RESOLUCION DE REDES DE VENTILACIÓN 1. Introducción La determinación de la forma como se distribuye el flujo de aire en una mina y de las pérdidas de presión que ocurren en la red, son los problemas de ventilación más comunes que tiene que resolver un ingeniero en la práctica. Se presentan sin embargo una gran variedad de casos, entre los cuales se podrían mencionar los siguientes: a) Se conocen las resistencias de todos los ramales que conforman la red y las características de los ventiladores instalados en ésta. b) Las mismas condiciones del caso anterior pero además, se requiere que a través de uno o más ramales, circule un caudal dado. c) Las condiciones son similares a las del caso anterior, pero se desconoce el punto de operación de uno o más de los ventiladores instalados en la red. d) Una combinación de las condiciones descritas en a) y b), que obliga a modificar las resistencias de algunas de los ramales, con el f in de lograr los caudales requeridos. Los casos a), b) y c) pueden ser resueltos haciendo uso de métodos de aplicación inmediata, mientras que en el último caso, el análisis puede presentar algunas dificultades. La teoría de resolución de redes de ventilación tiene como objetivos principales: -
Plantear correctamente el problema ; y
-
Establecer las ecuaciones que permitan hallar los valores de las incógnitas (caudales que fluyen a través de los ramales, presiones aplicadas por los ventiladores y resistencias de los reguladores).
Para resolver una red de ventilación cualquiera, se dispone de dos técnicas principales: a)
Métodos numéricos o de aproximaciones sucesivas; y
b) Métodos analógicos. 2. Teoría de redes de ventilación El conjunto de ramales (piques, galerías, chimeneas y tajeos) que forman parte de una mina subterránea, constituyen lo que se conoce como una red de ventilación. Cualquiera que sea la red, ésta se encuentra cerrada a través de las conexiones que tiene la mina con la atmósfera. Si despreciamos los pequeños flujos de gas provenientes de la roca y los escapes de aire comprimido que se producen en las tuberías o a través de las máquinas perforadoras, los caudales de aire que fluyen a través de cada uno de los ramales y los que llegan o salen de cada uno de los nudos que conforman la red, deben cumplir con las leyes de Kirchoff: a) Primera Ley de Kirchoff: La suma algebraica de los caudales de aire en cada nudo debe ser nula, es decir :
∑α
i
Qi = 0 , donde α i será igual a +1 si el caudal fluye hacia el nudo e
igual a -1 si el aire fluye desde el nudo.
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b) Segunda Ley de Kirchoff: En una malla cualquiera de la red, la suma algebraica de las caídas de presión que ocurren a lo largo de cada uno de los ramales que conforman la malla, debe ser nula:
∑α
i
∆ p i = 0 donde α i será igual a +1 si el aire fluye en la dirección positiva del
ramal y -1 si lo hace en sentido contrario. El caudal de aire que fluye a través de la red, deberá cumplir con la ecuación característica de cada ramal. Esta ecuación puede tener cualquiera de las formas que se indican a continuación: a)
∆ p = RQ 2
pero como p y Q deben tener el mismo signo: ∆ p = RQ Q
para ramales pasivos y
∆ p = RQ Q − p f
para ramales activos,
donde pf es la presión que aplica el ventilador; y b)
Q = Q0
para ramales con caudal fijo.
Mediante la aplicación de estos principios, será posible: a) Precisar el número de incógnitas independientes que existen en cada una de las mallas que conforman la red; y b) Determinar el número de relaciones independientes que existe entre las incógnitas. 3. Número de mallas independientes en una red Supongamos una red cualquiera, constituida por r ramales y n nudos, tal como la que se muestra esquemáticamente en la figura No. 1.
D
B
+
+
A C +
E
Figura No. 1 Resolución de Redes de Ventilación Pontificia Universidad Católica del Perú – Sección Ingeniería de Minas
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Asumiremos que para efectos del cálculo el sentido horario es positivo, pudiendo asignarse a cada ramal de la red, un sentido arbitrario para el flujo de aire. Como puede observarse, las mallas que conforman la red (ABC, BDC y CAE) no son independientes entre sí, ya que tienen por lo menos un ramal común. Se observa también que es posible seleccionar un número determinado de mallas que tienen las siguientes propiedades: a) Cada ramal de la red figura por lo menos una vez en alguna de la mallas; y b) Cada una de las mallas es una entidad independiente, es decir, ninguna de ellas forma parte de otra malla. El conjunto de mallas así definido, constituye lo que se denomina la red y si se ésta tiene m mallas, se puede demostrar que: m = r - (n-1) = r-n+1 La red de la Figura No. 1 está formada por 6 ramales, 4 nudos y m mallas independientes, es decir: m = 6-4+1 = 3 Los ramales AB, BD, AEC y CD son independientes, ya que pertenecen a tres mallas diferentes. 4. Selección de ecuaciones independientes Suponiendo que ninguna malla contenga ramales con caudales fijos se tendrá como incógnitas r caudales y r caídas de presión en la red, siendo 2r el número total de incógnitas. Se podrá establecer entonces (n-1) ecuaciones de nudos, m = r-n+1 ecuaciones de mallas y r ecuaciones de ramales. El número total de ecuaciones independientes que habría que plantear será entonces: (n-1) + m + r = n-1 + r-n+1 + r = 2r 5. Métodos de cálculo para redes de ventilación La resolución de redes de ventilación puede hacerse mediante la aplicación de dos métodos: a) Resolución numérica de ecuaciones aplicando las leyes generales de la ventilación y la teoría de mallas, lo que supone emplear algún procedimiento de aproximaciones sucesivas; o b) Procedimientos analógicos, para lo cual es necesario representar el circuito de ventilación en un modelo que contenga elementos en los que se pueda hacer mediciones físicas de las variables que se necesita determinar. Aquí se tratará únicamente el caso de los métodos numéricos, pues los métodos analógicos suponen la construcción de un modelo físico de la red (similar a un circuito eléctrico), en el que se hacen mediciones, que luego son convertidas a caudales y caídas de presión. Resolución de Redes de Ventilación Pontificia Universidad Católica del Perú – Sección Ingeniería de Minas
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Aunque se ha intentado la aplicación de diversos métodos numéricos para resolver circuitos de ventilación de minas, el que ha dado mejores resultados por su flexibilidad y fácil adaptación a sistemas automatizados de cálculo es el método de Hardy - Cross, desarrollado originalmente para el cálculo de estructuras reticuladas y redes de distribución de agua. 6. El método de Hardy-Cross Este método constituye un caso particular de los procedimientos de cálculo denominados de relajamiento. Se trata de resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, partiendo de un juego de valores arbitrarios que satisfagan algunas de las ecuaciones. Se calcula luego una corrección que, aplicada a los valores asumidos originalmente, permitirá satisfacer las demás ecuaciones. La corrección introducida hará variar los valores asumidos al inicio del cálculo, lo cual supone que las primeras ecuaciones ya no serán satisfechas por los valores corregidos. Se inicia luego un segundo ciclo de cálculo con los valores corregidos, lo cual permitirá determinar un nuevo valor que se utilizará para hacer la corrección. La aplicación repetida de este procedimiento conduce a la convergencia de los valores asumidos, reduciéndose progresivamente la corrección hasta hacerse despreciable. Se recomienda iniciar los cálculos asumiendo los caudales que fluyen a través de cada uno de los ramales, los mismos que deberán satisfacer las ecuaciones de equilibrio de caudales y de presiones en cada uno de los nudos. Por tratarse de un método que supone una aproximación gradual a los valores reales, se puede asumir cualquier valor inicial para los caudales (inclusive cero), excepto para aquellos ramales con caudal fijo, para los cuales será necesario fijar el caudal real. Luego del primer ciclo de cálculo, en una malla cualquiera j se tendrá:
∑ α ij ∆ p ≠ 0 y para los ramales pasivos (en los que no existen ventiladores ni reguladores): ∑α
ij
Ri Qi Qi ≠ 0
Al no cumplirse las condiciones de equilibrio para cada malla, será necesario calcular una corrección de los caudales para cada una de ellas, de tal modo que: ∑α
ij
Ri (Qi + α ij q j ) Qi + α ij q j = 0
o lo que es lo mismo: ∑α
ij
Ri Qi Qi + 2q j ∑ Ri Qi = 0
La corrección que habrá que aplicar a los caudales de cada malla será entonces: qj =
∑α
ij
Ri Qi Qi
2 ∑ Ri Qi
Aplicando sucesivamente esta corrección a cada una de las mallas que forman la red, llegará un momento en que el valor de la corrección será tan pequeño, que se podrá dar por concluido el cálculo. Resolución de Redes de Ventilación Pontificia Universidad Católica del Perú – Sección Ingeniería de Minas
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Supóngase que se tiene la siguiente red de ventilación que contiene tres mallas independientes: 3
10 m /s R = 1.00
B
D 3
10 m /s R = 2.00 R = 1.00
+ I R = 2.00
+ II
R = 2.00
A
3
10 m /s
3
10 m /s
C + III R = 3.00
R = 1.00
E
Figura No. 2 Los valores indicados al lado de cada tramo representan la resistencia de cada uno de ellos y las flechas indican la dirección asumida para los flujos de aire. Se ha supuesto además que al interior de cada malla, el sentido horario es positivo. Para dar inicio al cálculo, se asumirá que el caudal de 10 m³/s que llega al nudo A se distribuye de la siguiente manera (en función inversa a las resistencias de los ramales, es decir, que los mayores caudales tenderán a circular a través de los ramales que tienen menor resistencia): -
5 m3/s van del nudo A al B, 4 m3/s van del nudo A al C, 1 m3/s va del nudo A al C pasando por E, y 1 m3/s va del nudo B al C.
Con el fin de mantener un orden en los cálculos, se recomienda trabajar en forma tabulada, de tal modo de poder observar la convergencia de los valores conforme se aplican las correcciones. La tabla siguiente muestra la secuencia de los primeros cuatro ciclos iterativos correspondientes a la red representada en la figura No. 2.
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PROCESO ITERATIVO DE HARDY-CROSS PARA UNA RED SENCILLA
MALLA RAMAL
I
II
R*Q*|Q|
BD
1.00
4.00
16
DC
2.00
-6.00
-72
*CB
2.00
-1.00
-2
4.00
0.611
AB
1.00
5.00
25
10.00
5.167
*BC
2.00
1.00
2
*CA
2.00
-4.00
-32
* AC
2.00
4.00
32
III
I
II
II
II
58
5
24.00
4.00
Qcorregido 5.611
36
30
1.611
0.167
16.00
-4.389
1.167 -3.833
16.00
2.833 24
-1.167
CEA
4.00
-1.00
-4
8.00
-2.167
BD
1.00
5.61
31
11.22
5.829
DC
2.00
-4.39
-39
*CB
2.00
0.44
0
1.78
0.662
AB
1.00
5.17
27
10.33
4.575
*BC
2.00
1.17
3
*CA
2.00
-2.67
-14
* AC
2.00
2.83
16
7
-15
17.56
4.67
31
26
0.217
-0.592
10.67
-4.171
0.575 -3.259
11.33 3
2.928 29
0.095
CEA
4.00
-2.17
-19
17.33
-2.072
BD
1.00
5.83
34
11.66
5.759
DC
2.00
-4.17
-35
*CB
2.00
1.25
3
5.02
1.184
AB
1.00
4.57
21
9.15
4.611
*BC
2.00
0.57
1
*CA
2.00
-3.35
-22
* AC
2.00
2.93
17
III
I
8.00
-28
III
I
∆Q
Qa
-Σ(R*Q*|Q|)
2*R*|Q|
Σ(2*R*|Q|)
R
-2
1
16.69
2.30
4.00
-2.07
-17
BD
1.00
5.76
33
25
-0.069
0.036
13.41 0.001
-2.071
11.52
5.764 33
0.005
DC
2.00
-4.24
-36
*CB
2.00
1.15
3
4.59
1.153
AB
1.00
4.61
21
9.22
4.611
*BC
2.00
0.61
1
*CA
2.00
-3.32
-22
* AC
2.00
2.93
17
III
0
16.96
0.611 2.929
28 16.57
0
-4.241
-3.317
11.71 0
CEA
33
2.44
4.00
-2.07
-17
0.000
13.27
2.929 28
16.57
0.611 -3.318
11.72 0
CEA
25
-4.236
0.000 -2.071
* Ramales que pertenecen a más de una malla.
Habiéndose reducido el error en los flujos a menos de 0.005 m3/s, se podría detener en este punto el proceso de cálculo, con lo cual la distribución de los caudales al interior de la red será la que se muestra en el siguiente diagrama: Resolución de Redes de Ventilación Pontificia Universidad Católica del Perú – Sección Ingeniería de Minas
6
10 m3/s
5.76 m3/s B
D + II
4.61 m3/s 1.15 m3/s
4.24 m3/s
+ I
A 3.32 m3/s
3
10 m /s
C 2.07 m3/s
2.07 m3/s E
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