Resolución de Problemas

PROPUESTA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Material Docentes Matemática I

Ciencias Básicas Vicerectoría Académica de Pregrado

Propuesta de R esolución de Problemas Material de apoyo para docentes de Matemática I de INACAP Elaborado por el área de Ciencias Básicas de la Vicerectoría Académica de Pregrado Casa Central Santa Clara 684, Santiago, Chile Material de uso exclusivo para docentes de INACAP Primera versión Septiembre 2013

Contenidos Presentación

¿Para qué y por qué de esta propuesta?, 1

Antecedentes ¿Qué es la Matemática?... Una reflexión necesaria, 4 ¿Qué es un problema?, 6

Propuesta de Problemas Aspectos generales, 8 Problemas de Números, 9 Problemas de Álgebra, 20 Problemas de Proporcionalidad y Porcentaje, 28 Problemas de Funciones, 36

Bibliografía, 47

Presentación ¿Para qué y por qué de esta propuesta?

“El asunto, entonces, no radica en cual es el mejor camino para enseñar, sino lo que realmente son las matemáticas…” (Hersh, 1976)

L

a renovación curricular que realiza INACAP promueve el desarrollo de competencias transversales, vinculando a la asignatura de Matemática I, la competencia genérica de Resolución de Problemas. En el contexto de la asignatura, esta competencia busca que los alumnos puedan resolver situaciones problemáticas mediante estrategias que involucran la utilización de sus conocimientos matemáticos, un aspecto relevante del aprendizaje de las matemáticas, que implica movilizar conocimientos adquiridos en contextos de enseñanza, a situaciones cotidianas o de interés para el desarrollo de su especialidad. La OCDE1 reconoce que la adquisición de conocimientos específicos es importante, pero que la aplicación de este conocimiento en contextos productivos, depende de manera decisiva de la adquisición de competencias más amplias. El proyecto PISA 2 de la OCDE (2003), que evalúa las destrezas y conocimientos de los alumnos en matemática, lo hace de acuerdo a su capacidad para resolver problemas: “Los alumnos no pueden aprender en la escuela todo aquello que necesitarán saber en su vida adulta. Por tanto, lo que necesitan adquirir son los requisitos previos para un aprendizaje futuro provechoso”3 . La resolución de problemas es considerado un aspecto clave para posibilitar los aprendizajes futuros. A partir de las evaluaciones internacionales, muchos países, incluido Chile, han incorporado la resolución de problema como una actividad central en sus propuestas curriculares escolares, mientras que en el ámbito de la educación técnica profesional, a nivel superior, se reconoce la necesidad que “los programas profesionales se centren en la habilidad de transferir competencias –como la solución de problemas o el trabajo en equipo- a contextos profesionales”4. 1 2 3

Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico. Proyecto Internacional para la Producción de Indicadores de rendimiento de los Alumnos, 2003. Marcos teóricos de PISA, 2003; p.18

4

Educación Técnico Profesional y Mercado Laboral en Chile (P. Meller y J.J. Brunner, 2009, p. 85)

Propuesta de R esolución de Problemas

1

En el ámbito de la enseñanza esto describe un problema importante, ¿cómo se puede desarrollar la competencia de resolución de problemas?, específicamente ¿cómo hacer que los estudiantes activen sus conocimientos matemáticos para elaborar estrategias que les permitan resolver problemas? Existen propuestas que se sustentan en la enseñanza de reglas heurísticas1 — indicaciones y sugerencias que supuestamente permitirían resolver todo tipo de problemas matemáticos- las que centran su atención en las deficiencias metacognitivas de los estudiantes: la dificultad para planificar, regular y evaluar su propio pensamiento. Sin embargo, estas propuestas presentan limitaciones importantes, dada la imposibilidad de establecer reglas generales que sirvan para cualquier tipo de problema matemático, además de generar un fenómeno didáctico en que se tiende a desplazar el estudio de la matemática por el de tratar enseñar a “aprender a aprender”, sin que quede claro como se puede lograr aquello. La propuesta que presentamos a continuación no interviene el problema en ese sentido, sino que lo aborda desde una perspectiva epistemológica, la necesidad de introducir la resolución de problemas como una actividad fundamental en el estudio de la matemática. En distintas épocas la investigación matemática ha sido impulsada por la necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos, matemáticos, etc. Sin embargo, la importancia de la resolución de problemas en el desarrollo matemático no se ve reflejada en la enseñanza, que aparece desalineada de los fundamentos de la disciplina. El modelo tradicional de enseñanza de la matemática reduce el aprendizaje a una acumulación de conceptos y habilidades, que el estudiante debe dominar por memorización y mecanización, lo que provoca que la matemática sea percibida como un cuerpo de conocimiento estático y descontextualizado de las situaciones prácticas que les podrían dar sentido y vida. El enfoque usual de enseñanza suele restringir la actividad del estudiante a la aplicación de fórmulas y técnicas, un conocimiento matemático utilitario, que se presenta desprovisto de significados y de contexto. La resolución de problemas adopta la forma de ejercicios de aplicación, cuyo propósito es acotado. La ausencia de un verdadero trabajo matemático provoca que nuestros estudiantes no desarrollen ciertas habilidades que son fundamentales para la comprensión de la matemática. La actividad de resolución de problemas permite generar procesos que van más allá del memorizar y aplicar fórmulas matemáticas para la obtención de un resultado, promueve el uso de la intuición, los procesos de construcción, la utilización de medios de prueba, el desarrollo de la abstracción y la búsqueda de generalización, aspectos esenciales para lograr un aprendizaje matemático adecuado. Esta propuesta recoge la premisa que nuestros estudiantes pueden aprender matemática bajo un enfoque constructivista, en el que actúen como matemáticos en ciernes, viviendo los procesos que subyacen a la creación matemática, a través de la resolución de problemas.

5

Como plantear y resolver problemas, Polya 1945.


2

La propuesta intenta mostrar cómo introducir actividades de resolución de problemas en ciertos momentos del estudio de la matemática, entregando sugerencias didácticas que describan los procesos implicados. Se promueve como un material complementario para el docente, un conjunto de problemas que puede introducir en las instancias sugeridas y en virtud de su propio diseño de enseñanza. Es importante aclarar que esta propuesta no es metodológica, sino una invitación a mirar la matemática y su enseñanza desde un ángulo distinto.


3

Antecedentes ¿Qué es la Matemática?... Una reflexión necesaria

“No se puede abordar el tema de la enseñanza y aprendizaje de la matemáticas sin preguntarse al mismo tiempo qué son las matemáticas” (Yves Chevallard, 1997)

L

o invitamos a preguntarse ¿Qué es la matemática?... es posible que le resulte difícil completar una respuesta, pero es seguro que puede señalar algunos elementos característicos que definan su noción de esta disciplina. Quizás estará de acuerdo o no en que la matemática es un lenguaje, una estructura lógica, un cuerpo de conocimientos sobre los números y el espacio, una herramienta para interpretar la realidad, un instrumento útil para ciertas aplicaciones, etc. De cualquier forma, su concepción de la matemática incide en el modelo docente que orienta su práctica de enseñanza, el papel que asume para el profesor y el alumno, el tipo de tareas que propone, la forma de evaluar, los textos que utiliza, etc. También determina la función que le asigna a la resolución de problemas en el proceso de enseñanza. Para entender cual es lugar en el que queremos situar la resolución de problemas es necesario distinguir primero las concepciones de la matemática que actualmente rigen la enseñanza. Por un lado, se puede identificar un punto de vista instrumental, que considerada a la matemática como una disciplina útil, una colección de hechos, reglas y habilidades, que tienen su razón de ser en las aplicaciones a las cuales pueden servir. Esta visión de la matemática establece un modelo docente denominado tecnicismo, en que enseñar matemática se asocia a enseñar técnicas algorítmicas. La actividad matemática queda restringida a la obtención de resultados, mientras que la resolución de problemas se relega al final del proceso de enseñanza, tomando la forma de “problemas de aplicación”, que pretenden justificar la matemática aprendida.


4

¿Es esta matemática la que necesitan nuestros alumnos?... Por cierto que las aplicaciones de la matemática son muy importantes en el contexto de la formación profesional, pero difícilmente se puede sostener el estudio de la matemática en un ambiente donde los conceptos matemáticos surgen en el aula descontextualizados y sin sentido, a la espera de ser aplicados —una promesa vaga que a veces se diluye en el tiempo-. Como un antecedente se puede mencionar que en la historia de la matemática culturas como la de los Babilonios y Egipcios florecieron y se destacaron en muchos aspectos durante miles de años, pero su visión instrumental de la matemática nos les permitió avanzar a la par, llegando apenas a desarrollar una aritmética y álgebra rudimentaria, un conjunto de recetas basadas en casos particulares. Otro punto de vista de la matemática es el formalismo, que relaciona la matemática con conjuntos de axiomas, definiciones y teoremas, que deben ser demostrados a través del razonamiento deductivo. En esta concepción no tiene ninguna relevancia que son los objetos matemáticos, ni su relación con el mundo físico, lo que importa es la forma en que ellos se relacionan. Desde esta perspectiva la matemática se concibe como “un juego formal desprovisto de significado”. Esta prescindencia con el mundo real permitió dotar a la disciplina de la independencia necesaria que la llevó a evolucionar. Esta forma de concebir la matemática ha generado un modelo docente denominado teoricismo, que plantea que enseñar matemática es mostrar teorías solidificadas. La enseñanza se trivializa a exponer saberes ya producidos y el aprendizaje a ser capaz de reproducirlos. Desde esta perspectiva la resolución de problemas tiene poca cabida en la enseñanza. Ciertamente la matemática formal es un aspecto a desarrollar, pero la lógica y la exposición prístina de los teoremas solo es posible porque el matemático, antes de poder llegar a enunciar y demostrar, tuvo que involucrar la intuición, la invención, la experimentación y los medios de prueba, procesos que aparecen ocultos en la exposición formal de la matemática, pero que son la esencia de la creación matemática. No se puede imponer una formulación abstracta de la matemática sin hacer que el estudiante pueda vivir la experiencia de construir su conocimiento. Por sobre todas las cosas la inventiva matemática tuvo que activarse a partir de problemas (prácticos o teóricos) y todo lo que el matemático hizo, incluido los caminos errados, le permitieron llegar a comprender y enunciar la propiedad matemática en juego, la demostración formal permite comprobar lo que la intuición pudo reconocer a priori. La claridad y la precisión del formalismo matemático es en realidad una meta, mientras que la intuición y la construcción es la partida de todo trabajo matemático. Esta propuesta recoge un concepto de la matemática que incluye los procesos de creación matemática y vincula el aprendizaje con la práctica de desarrollar matemáticas. Se reconoce que la resolución de problemas es la actividad que permite activar la invención matemática y que en su desarrollo el estudiante debe actuar como un matemático en ciernes, que recolecta información, descubre relaciones, plantea conjeturas, busca medios para probar sus resultados, abstrae, generaliza, etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento matemático.


5

Antecedentes ¿Qué es un problema?

“virtualmente todos los problemas que se le plantean a los estudiantes en sus estudios de las matemáticas no son realmente problemas, sino ejercicios que pueden ser resueltos en un corto tiempo.” (Schoenfeld, 1983)

E

l papel que los docentes otorgan a la resolución de problemas depende de lo que ellos entiendan por problema, conceptualización que está estrechamente relacionada con sus creencias respecto de lo que es enseñar y aprender matemática. Los “problemas” que aparecen en los textos de matemática, por lo general, describen situaciones rutinarias, cuya vía de solución se desprende del tratamiento previo de los contenidos y es por tanto conocida, admiten el empleo de procesos mecanizados de solución y se ajustan mejor a la noción de ejercicio que de problema. Un ejercicio implica trabajar en casos idénticos o muy similares a otros que ya fueron resueltos, por lo que el estudiante puede acceder de forma inmediata a los métodos que le permitan resolver la situación. Los ejercicios buscan que el estudiante adquiera ciertas destrezas en el uso de las técnicas, por medio de la repetición de los métodos involucrados. En cambio un problema matemático, según Klipatrick (1985) “se identifica como un problema que requiere conocimientos matemáticos para resolverlo y para el cual no existe un camino directo o inmediato para obtener su solución o soluciones” Los problemas son situaciones no rutinarias, que admiten más de una estrategia de solución y en las que no se tiene, al menos de forma inicial, los medios para resolverlos. El sujeto que se enfrenta a un problema reconoce que en la tarea no se logra vislumbrar un camino obvio de solución, es necesario explorar distintas estrategias y establecer nuevos métodos de resolución.


6

¿problema o ejercicio? Pedro y María visitaron una granja el fin de semana donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?

Existe cierta dificultad para identificar si una situación es un ejercicio o un problema, ya que depende del esfuerzo que signifique la tarea involucrada para cada persona. Mientras que para algunos estudiantes el problema anterior se reconoce como un simple ejercicio de aplicación de sistemas de ecuaciones, para otros, que no tienen este conocimiento, puede significar un problema genuino, que activa la búsqueda de estrategias aritméticas, algebraicas o de otro tipo. El problema puede ser resuelto de varias formas, dependiendo de los conocimientos previos de cada alumno y de la manera en que visualice la situación. Basta mencionar algunas de las posibles estrategias de resolución: Método pictórico: Utiliza dibujos que representen a los animales y que le permita contarlos hasta completar el número requerido. Método de ensayo y error: Escoge un número arbitrario de gallinas y cerdos y cuenta el número de cabezas y patas, a partir de esto comienza una estimación del número de gallinas y cerdos necesarios para cumplir con la cantidad requerida. También puede utilizar una tabla en que sistemáticamente registra los datos y busca la solución. Método algebraico: Realiza una formulación algebraica del problema. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones x+ y = 19 2x + 4 y = 60 Método gráfico: El sistema anterior se resuelve de manera gráfica.


7

Propuesta de Problemas Aspectos generales

Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas” (Luis Santaló, 1985)

E

sta propuesta contiene un conjunto de problemas matemáticos, en los que se describe su propósito, los procesos de la actividad matemática que podría activar, el momento de enseñanza en el que pueden ser planteados, las sugerencias didácticas para su implementación y las posibles estrategias involucradas en su resolución.

Se insta al docente a mantener una postura de mediador, transfiriendo a los estudiantes la tarea de intentar resolverlos. Debe involucrar a los alumnos en el problema, devolviéndoles constantemente la función de proponer y desarrollar las estrategias para su solución. Cuando sea necesario pueden modificar algunas variables de la situación que permita a los estudiantes redirigir sus intentos, sin que ello implique presentarles la respuesta. Finalmente el docente debe realizar la institucionalización del saber involucrado, partiendo desde las mismas producciones de los estudiantes, presentando generalizaciones y formalizando cuando sea requerido. Se sugiere el trabajo en grupos, de manera que las acciones emprendidas puedan ser discutidas y las conjeturas y estrategias formuladas se sujeten a la validación de sus integrantes. El aprendizaje en la resolución de problemas no se reduce solo al objeto matemático involucrado, incluso, aunque algunos estudiantes no logren responder por sí mismo al problema, el estar implicado en el proceso les permite un acercamiento y comprensión que no tendrían al trabajar de forma individual. Es necesario recalcar que esta propuesta es un material complementario para el docente, que pretende guiar la incorporación de actividades de resolución de problemas en sus procesos de enseñanza de la matemática.


8

Problemas de Números

Problema Nº1 Encuentra dos números enteros positivos cuyo producto sea un millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación.2

Propósitos asociados al problema Este problema plantea la necesidad de la descomposición en factores primos como medio eficiente de resolución. Proponer este tipo de situaciones al comienzo del estudio del tema de números permitiría al estudiante visualizar la importancia práctica de la factorización prima.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Es posible que los estudiantes se planteen como primera estrategia la búsqueda exhaustiva de la solución, pero que no lleguen a determinar los números de esta manera. Una segunda estrategia podría ser considerar casos más simples, que complejizan de forma progresiva hasta determinar el patrón que les permite concluir la solución. 10= 2 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 52 100 = 23 ⋅ 53 1000  = 26 ⋅ 56 1000000 El método general para resolver este tipo de problema de forma eficiente es la descomposición en factores primos. Se debe instar a los alumnos a desarrollarla y a concluir por ellos mismo la utilidad que esto les puede otorgar para la solución al problema. La siguiente tabla muestra esta descompsición:

6 Problema propuesto en “Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas”, Santos (1997, p. 123).


9

1000000 500000 250000 125000 62500 31250 15625 3125 625 125 25 5 1

2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5

Por tanto 1000000 = 26 ⋅ 56 , de todas las combinaciones posibles para escribir este número como producto de dos números que no contengan ceros en su representación, cada número no puede contener 2 y 5 a la vez. Luego los números deben ser 26 = 64 y 56 = 15625 . Se sugiere al profesor que posteriormente complemente este problema con otras situaciones de aplicación de la factorización prima, como por ejemplo proponer la simplificación de una fracción en la que la factorización resulta más útil que la búsqueda de divisores comunes, como por ejemplo la simplificación: 3528 23 ⋅ 32 ⋅ 7 2 2 = = 5292 22 ⋅ 33 ⋅ 7 2 3


10

Problema Nº2 El profesor toma una caja de fósforos que contenga menos de 30 palitos, se la pasa a un alumno y le pide que saque todos los palitos que quiera, que cuente cuantos quedaron en la caja, sume los dígitos de ese número y vuelva a sacar de la caja esa cantidad de fósforos. El profesor toma la caja se la lleva al oído, la sacude varias veces y sin abrir la caja es capaz de adivinar la cantidad exactamente de palitos que quedaron en la caja. Puede repetir la operación con dos o tres alumnos y luego pedir que expliquen matemáticamente la situación.

Propósitos asociados al problema Generalmente, las situaciones que se proponen a los alumnos se acotan a la ejecución de técnicas o métodos para su solución, pocas veces se les pide responder a cuestiones de naturaleza tecnológica3 o teórica. En este problema, a los estudiantes se les pide responder por qué y cómo es posible adivinar el número de palitos que quedan en la caja, lo que los llevará en última instancia a considerar la descomposición de números en la forma an 10n + ⋅⋅⋅ + a2102 + a110 + a0 a partir de la cual puedan trabajar con los dígitos de cada número. Después de este primer acercamiento con la descomposición en suma de potencias de base 10, es posible profundizar otros aspectos que habitualmente no reciben explicación, como por ejemplo la justificación de los criterios de divisibilidad.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas En una fase de acción, es natural que los alumnos intenten replicar el experimento, deben disponer de las cajas y es recomendable que todas ellas tengan distinta cantidad de palitos en su interior. Nº de palitos en la Nº que quedan la caja primera vez 30 27 30 25 30 19 30 12

Suma de los dígitos 9 7 10 3

Nº que quedan la 2ª vez 18 18 9 9

A partir de los resultados comenzaría una fase de formulación, en que tenderían a reconocer que el resultado es siempre un múltiplo de 9. 7 En la teoría antropológica de lo didáctico (TAD), las tecnologías se entienden como un discurso que permite justificar racionalmente la forma en que actúa una técnica.


11

Pero aún queda determinar como el profesor reconoce que múltiplo de nueve corresponde a los fósforos que están en la caja. La explicación es que el profesor, al sacudir la caja en su oído, va tanteando por el sonido que hacen los palitos dentro de la caja: si suena poco debe ser 9 fósforos, si se la caja hace más ruido serán 18. Aunque la conjetura de los alumnos resulte correcta y se compruebe empíricamente, es necesario llevarlos a la etapa de validación. El profesor debe plantear preguntas tales como ¿por qué el resultado es siempre un múltiplo de 9?, ¿cuál es la explicación matemática? En este proceso de validación es necesario que los alumnos generalicen la situación, utilizando una notación para cualquier número de dos cifras. Se puede hacer notar que la cantidad de palitos que quedan no dependen del número inicial de fósforos en la caja, sino de cuántos quedan la primera vez. Supongamos que la primera vez quedan “ab ” fósforos, su expresión matemática es a ⋅10 + b

con a, b ∈ 

Como a esa cantidad se le resta la suma de sus dígitos, quedaría a ⋅10 + b − (a + b)= 10a + b − a − b= 9a Lo que permite establecer, de forma general, que el resultado es siempre un múltiplo de 9. La descomposición en potencias de base 10 se instala como una herramienta que permite justificar ciertas propiedades de los números, lo que se puede profundizar planteando la fundamentación matemática de las reglas de divisibilidad. Por ejemplo, un criterio de divisibilidad dice que un número entero es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3, lo que puede ser comprobado con la descomposición en suma de potencias de base 10. Veamos el caso particular de un número de cuatro dígitos abcd, de cuya descomposición se tiene abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + d = a ⋅1000 + b ⋅100 + c ⋅10 + d = a ⋅ (999 + 1) + b ⋅ (99 + 1) + c ⋅ (9 + 1) + d = (a ⋅ 999 + b ⋅ 99 + c ⋅ 9) + (a + b + c + d ) = 3(a ⋅ 333 + b ⋅ 33 + c ⋅ 3) + (a + b + c + d ) Se observa que el número se descompuso en dos sumandos, el primero múltiplo de 3, solo basta que el segundo término a + b + c + d sea múltiplo de 3 para que el número abcd sea divisible por 3.


12

Problema Nº3 Si para cruzar una calle una persona recorre la mitad, luego la mitad de la mitad, después la mitad de la mitad de la mitad, si así continua indefinidamente ¿logrará cruzar la calle? Si otra persona lo hace recorriendo un cuarto del camino, luego avanza un cuarto del cuarto que ya recorrió, y luego un cuarto de lo anterior, si sigue de esa forma ¿qué parte de la calle logrará recorrer?

Propósitos asociados al problema En este problema se recurre a la visualización como herramienta para determinar el valor al que convergen las series geométricas involucradas. A través de una representación figural es posible identificar el valor de las sumas infinitas implicadas en el problema. También se puede recurrir a una comprobación aritmética y a la búsqueda de una fórmula general.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Sería recomendable activar la discusión respecto de si estas suman convergen o divergen, lo que deberían acompañar con argumentos matemáticos. Después de escribir las sumas involucradas se deben buscar estrategias para sumar los infinitos términos. Es probable que la acción de los estudiantes se reduzca a sumar algunos términos e intentar inferir el valor al cual tienden las sumas. El resultado de algunas sumas parciales podría inducir al estudiante a afirmar que la primera persona se acerca pero no llega nunca al otro lado de la calle, ya que el numerador es siempre menor al denominador en las fracción resultante 1 1 1 7 + + = 2 4 8 8 1 1 1 1 15 + + + = 2 4 8 16 16 1 1 1 1 1 31 + + + + = 2 4 8 16 32 32 


13

Del mismo modo, la sumas parciales del segundo caso 1 1 1 21 + + = 4 16 64 64 1 1 1 1 82 + + + = 4 16 64 256 256  Mostraría que la segunda persona solo puede alcanzar a cubrir una parte de la calle. Es necesario plantear al estudiante preguntas que lo lleven a precisar o justificar claramente sus afirmaciones, dado que los argumentos anteriores tienen no resultan conluyentes. El profesor puede preguntar ¿cuánto le falta a la primera persona para llegar al otro lado?, ¿qué parte alcanza a recorrer la segunda?... El tratamiento aritmético no le permite responder claramente a estas preguntas, debe buscar otros medios. Se puede proponer la siguiente figura

y esperar que los estudiantes concluyan que 2

3

1 1 1 1 1 1 + + + ⋅⋅⋅⋅= +   +   + ⋅⋅⋅⋅= 1 2 4 8 2 2 2 La primera persona logra cruzar la calle. Para la segunda persona la suma es 2

3

1 1 1 1 1 1 + + + ⋅⋅⋅⋅= +   +   + ⋅⋅⋅⋅= 4 16 64 4 4 4 Se puede sugerir la búsqueda de otra figura que les permita visualizar el valor de esta suma. Se les puede ayudar señalando que intenten hacer una descomposición similar a la del cuadrado pero con un triángulo de Sierpinska.


14

Un momento de observación puede llevar a reconocer que la parte blanca está compuesta por triángulos que son la cuarta parte del triángulo más grande y que en su conjunto equivalen a la tercera parte de toda la figura, por tanto: 2

3

1 1 1 1 +   +   + ⋅⋅⋅⋅ = 4 4 4 3 Lo que implica que la segunda persona podrá recorrer como máximo la tercera parte de la calle. Se puede plantear una comprobación aritmética de estos resultados, recurriendo al siguiente argumento

:

1 S= + 2

2

3

1 1   +   + ⋅⋅⋅⋅ 2 2 2

3

1 1 1 S =   +   + ⋅⋅⋅⋅ 2 2 2

/⋅

1 2

    ( −)   

Restando se tiene 1 1 S− S= 2 2 1 1 S= 2 2 S =1


15

De manera general, si S = r + r 2 + r 3 + ⋅⋅⋅⋅ entonces multiplicando por r y restando se tiene S = r + r 2 + r 3 + ⋅⋅⋅⋅   ( −) 2 3 rS= r + r + ⋅⋅⋅⋅  S (1 − r ) = r r S= 1− r Para todo r ∈  − {1} El alumno podrá comprobar que 1 2 3 1 1 1 1 4 +   +   += ⋅⋅⋅⋅ = 1 3 4 4 4 1− 4 Como sugerencia, para seguir trabajando la visualización en los alumnos, el profesor puede proponerles que descubran la propiedad matemática que describen las siguientes figuras4:

8

En los libros de Roger Nelsen “Proofs Without Words” (vol. I y II) se puede encontrar gran variedad de estas figuras.


16

Problema Nº4 ¿Cuánto dinero obtenemos al invertir $1, a un interés del 100% anual, al cabo de un año? Y si pudiéramos reinvertir el dinero en períodos cada vez más breves (2 veces al año, 3 veces, 6 veces, todos los meses, cada semana, todos los días, a cada segundo, etc.), ¿Cuánto dinero podríamos ganar? ¿Crecería ilimitadamente hasta hacernos millonarios?

Propósitos asociados al problema El número e es uno de los números más importantes en matemáticas, está presente en los logaritmos naturales, en los modelos de crecimiento y decrecimiento y en muchas otras aplicaciones. Sin embargo, su aparición en la enseñanza casi nunca se justifica, afectando el sentido que el estudiante le otorga al estudio de los objetos matemáticos en los que interviene este número. El número e apareció a principios del siglo XVII en torno al estudio de los logaritmos y del trabajo de Jacob Bernoulli sobre interés compuesto. Este problema plantea la reconstrucción del número e en ese ámbito, aportando un contexto y significado en la emergencia de este número.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Es poco usual que una inversión reciba un 100% de interés anual sobre el capital, pero este valor es conveniente para nuestro propósito. Invertir 1 peso al 100% anual genera 1 peso de ganancia, con lo que se tendría 2 pesos al final del año. Si en vez de eso, reinvirtiéramos el dinero cada 6 meses, en cada semestre aplicaríamos un 50% de interés. El primer semestre tendríamos una ganancia de 0, 5 pesos, reinvertimos entonces 1,5 pesos, ganando 0,75 pesos en los siguientes seis meses, con esto obtendríamos la suma de 2,25 pesos al cabo del año. Repitiendo los cálculos obtendríamos 2,37… pesos reinvirtiendo cada 4 meses y 2,44… cada 3 meses. Como se observa en la medida en que reinvertimos en períodos más cortos de tiempo el monto es cada vez mayor, pero ¿se detiene o sigue creciendo indefinidamente? Podríamos sugerir el cálculo de los montos en períodos aún más breves, siguiendo la misma estrategia anterior o buscando una fórmula para el monto.


17

Los siguientes cálculos pueden describir esta fórmula Dinero al cabo de un año:

Capital: 1

Ganancia: 1

1

 1 Total al cabo del año: (1 + 1) = 1 +   1

Dinero si se reinvierte dos veces en el año

Capital: 1 Ganancia al cabo de 6 meses: 1 2 1 Capital a reinvertir: 1 + 2 1 1 Ganancia al cabo del año: 1 +  2 2  1 1 1  1 Total al cabo del año: 1 +  + 1 +  =1 +   2 2 2  2

2

Por tanto, $1 al 100% anual reinvertido n veces al año genera al cabo del año el monto:  1 1 +   n

n

 1 n  Esta expresión es el término general de una sucesión de números reales {a= } 1 +   n n    Encontrar los montos en distintos períodos es determinar algunos términos de esta sucesión. La siguiente tabla muestra algunos de estos valores.


18

Período de inversión

Nº de inversiones al año

Monto al cabo de un año

1 vez al año

1

 1 a1 =1 +  =2  1

Cada 6 meses

2

 1 a2 = 2, 25 1 +  =  2

Cada 4 meses

3

 1 a3 = 2,37037037... 1 +  =  3

Cada 3 meses

4

 1 a4 = 2, 44140625... 1 +  =  4

1

2

3

4

12

1  = 1 +   12 

Cada mes

12

a12

Cada día

365

1   a365 = 1 +   365 

Cada minuto Cada segundo

a525600

525.600 31.536.000

a31536000

= 2,61303529... 365

= 2,714567482...

1   = 1 +   525600 

525600

31536000

1   = 1 +   31536000 

= 2,718279243... = 2,718281793...

En los términos de la sucesión comienza a repetirse los dígitos, lo que lleva a concluir que la sucesión tiende a un valor límite. Este valor límite es el que conocemos como número e. e = 2,71828182845904...

 1 n  El número e corresponde al límite de la sucesión {a= n }  1 +   , que al introducir la no n   tación de límite puede ser descrito como = e

 1 lim 1 +  n n →∞ 

n

Esto implica que al invertir $1 al 100% anual, capitalizable de manera continua, se obtiene el monto límite de e pesos al cabo del año.


19

Problemas de Álgebra Problema Nº5 Encontrar todos los rectángulos cuyas medidas de sus lados estén dadas en números enteros (positivos) y cuya área y perímetro sean numéricamente iguales.5

Propósitos asociados al problema La elección de métodos aritméticos por sobre los algebraicos se sostiene, muchas veces, por la tendencia de los alumnos a juzgar la pertinencia de sus estrategias de acuerdo a criterios de eficacia y no de eficiencia. Si el estudiante cree que un método aritmético es suficiente para resolver el problema, persistirá en su utilización aunque reconozca que su aplicación resulta ineficiente. Este problema plantea una situación que puede ser resuelta aritméticamente, una serie de cálculos, por ensayo y error, les permitiría encontrar algunos de los posibles resultados, sin embargo una formulación algebraica del problema permitirá refinar la búsqueda aritmética. Con esto se pretende que el estudiante reconozca la utilidad y potencia de la modelización algebraica de los problemas.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Proponga el problema, propiciando la discusión y formulación de estrategias, sin intervenir en el diseño o elaboración de sus propuestas. Es probable que los estudiantes comiencen la búsqueda exhaustiva de las soluciones. Podría proponerles llevar un registro como el siguiente: Largo 1

Ancho 2

Área 2

Perímetro 6

= NO

≠ SI

... hasta que se cumpla área = perímetro. 9 Problema propuesto en “Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas”, Santos (1997, p. 117).


20

Al encontrar una solución, por ejemplo Largo = 3 y Ancho = 6, es posible que los estudiantes cesen la búsqueda. Será necesario instarlos a preguntase si existen otras soluciones. Establecer luego una instancia de debate en la que los estudiantes expongan sus soluciones y anlicen la eficiencia de los métodos utilizados. Proponga la utilización de variables para representar el largo y el ancho del rectángulo. Si el largo es a y el ancho es b, pregunte si es posible obtener una expresión que relacione el área con el perímetro. La relación sería

área = perímetro a ⋅ b = 2a + 2b ab − 2a = 2b a (b − 2) = 2b 2b a= b−2

Al analizar esta igualdad se reconoce que b debe ser un entero mayor que 2. La formulación algebraica no permite encontrar los valores por si misma, pero si establecer una relación de dependencia y ciertas restricciones para una búsqueda aritmética más restringida. Las soluciones enteras para a y b son b = 3

a=6

b = 6

a=3

b = 4

a=4

Aún queda por discutir porqué no es posible obtener más soluciones, se deja propuesto.


21

Problema Nº6 Un libro se abre al azar. El producto de los números de las dos páginas en que se abrió el libro es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro? 6

Propósitos asociados al problema El problema admite un tratamiento aritmético, que puede ser optimizado por la descomposición en factores primos, pero también admite una formulación algebraica. Lo interesante es establecer una reflexión sobre la utilidad de cada uno de estos métodos.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Pregunta abierta…. ¿Qué números creen, aproximadamente, ustedes que son los de estas páginas? Es posible que los estudiantes intenten, por ensayo y error, determinar un rango en el que 2500 y se encuentre la solución, por ejemplo entre las páginas 50 y 60, ya que 50 ⋅ 50 = 60 ⋅ 60 = 3600 . Podrán combinar como ellos quieran, pero resulta más eficiente si descartan algunos casos. Usando el concepto de múltiplo, se puede descartar 55 ∙56 y 54 ∙55, porque terminan en 0. Quedarían por analizar, los productos 51 ∙52, 53∙54, 56∙57 y 58∙59, que terminan en 2. Como el valor está próximo al valor medio entre 50 y 60, entonces puede ser 53 y 54 o 56 y 57; Se multiplican y se comprueba el resultado. Sugiera realizar la factorización prima, si es que ninguno lo ha realizado. Obtendrá: 3192 = 2∙2∙2∙3∙7∙19 Probando combinaciones de factores cuyo producto esté entre 50 y 60, se reducirá los casos a los números 56 = 2∙2∙2∙7 y 57 = 3∙19. Fomente la discusión sobre la eficiencia de esta estrategia en relación con la anterior. Sugiera la utilización de un símbolo literal para describir el problema de forma algebraica. Si x es el número de una de las páginas ¿podrías encontrar una expresión algebraica que represente el problema?, recuerda que son páginas seguidas.

10 Problema propuesto en “Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas”, Santos (1997, p. 122).


22

Se obtiene las ecuaciones x( x + 1) = 3192 o x( x − 1) = 3192 .

Resolviendo una de las ecuaciones cuadrática equivalentes se obtiene el número de las páginas del libro x( x + 1) = 3192 x 2 + x − 3192 = 0 ( x − 56)( x + 57) = 0 x − 56 = 0 ∨ x + 57 = 0 x= 56 ∨ x = −57

La solución pertinente es x = 56 . La respuesta son las páginas 56 y 57.


23

Problema Nº7 a) Dos obreros de la construcción, Antonio y Claudio, revisten paredes rectangulares con cerámicos. La pared de Antonio tiene 6 cerámicos en la base y la pared de Claudio tiene 8 cerámicos en la base. Si entre las dos paredes se utilizan 182 cerámicos ¿Cuántas filas de cerámicos puede tener cada pared? b) Si la pared de Antonio tiene 6 cerámicos en la base y la pared de Claudio tiene 8 cerámicos en la base. y la pared de Antonio tiene 40 cerámicos más que la de Claudio ¿Cuántas filas de cerámicos puede tener cada pared? 7

Propósitos asociados al problema Al comenzar el estudio del álgebra, los estudiantes traen consigo las nociones y enfoques que usaban en la aritmética. Es habitual que muchos de nuestros estudiantes sigan usando los métodos que les funcionaban en la aritmética, sin embargo la complejidad creciente de las organizaciones matemáticas que se les presenta, comienza a limitar fuertemente el abanico de problemas que pueden llegar a resolver con este tipo de estrategias. Este problema aborda articuladamente el pasaje de la aritmética al álgebra, proponiendo el estudio de las soluciones de una ecuación diofántica lineal8 como el eslabón entre la aritmética y el álgebra. La primera situación admite una solución aritmética, mientras que la segunda requiere una modelización algebraica para plantear sus soluciones. En el desarrollo del problema los estudiantes deberán explorar, buscar representaciones, establecer conjeturas, validarlas, construir modelos, lo que constituye una oportunidad para desarrollar una actividad matemática que va más allá de la adquisición de un conocimiento.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Al abordar el problema A), una estrategia puramente aritmética implicaría probar con distinto número de filas de cada pared, hasta encontrar la que cumple con el total de cerámicos utilizados. Así podrían encontrar algunas soluciones, como por ejemplo 1 y 22, ya que 1 fila de 6 cerámicos de Antonio más 22 filas de 8 cerámicos de Claudio hacen un total de 182 cerámicos. También pueden buscar los múltiplos de 6 y de 8 y ver aquellos que sumen 182. Es posible que los alumnos encuentren otras soluciones, aunque les resultará difícil juzgar si lograron encontrar todas las posibles soluciones.

11 Problema propuesto en el libro “Entre aritmética y álgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario” Barrio, Lalanne y Petich (2010). 12

Ecuaciones del tipo ax + by = c.


24

Se requiere una generalización de la situación lo que puede ser activado por algún tipo de representación o por la comprensión de la tarea involucrada en la búsqueda anterior.

El problema se modeliza mediante la ecuación 6 x + 8 y = 182 . Las soluciones se pueden determinar listando todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación o por dependencia de una variable respecto de la otra. De hecho la relación: y=

182 − 6 x 8

permite establecer las restricciones para x e y , con x, y ∈  + . La ecuación tiene un número finito de soluciones enteras, dadas por: S = { (1, 22 ) , ( 5,19 ) , ( 9,16 ) , (13,13) , (17,10 ) , ( 21,7 ) , ( 25, 4 ) , ( 29,1) } La parte B) del problema puede admitir la búsqueda aritmética de algunas soluciones, repetir ciertas estrategias, como por ejemplo buscar los múltiplos de 6 y de 8 y reconocer aquellos donde la diferencia es 40. Sin embargo, los alumnos tendrán dificultades para estimar el número de soluciones posibles. Será necesario modelizar la situación a través de la ecuación 6x − 8 y = 40 y establecer la relación de dependencia y =

3 x −5 4

La que permite reconocer que hay infinitas soluciones S = { ( 8,1) , (12, 4 ) , (16,7 ) , ( 20,10 ) , ( 24,13) , ( 28,16 ) ,...} Al observar la regularidad en los pares ordenados se puede plantear la solución general S = {(4n + 4,3n − 2) / n ∈  + }


25

Problema Nº8 Cierto gavilán atacó un palomar. Las palomas eran valientes y lo rechazaron. Maltrecho su orgullo, al huir, él dice “Adiós cien palomas”, implicando con ello que sólo en su número radicaba su fuerza. Pero una paloma le contesta: “Nosotras, más nosotras, más la mitad de nosotras, más la cuarta parte de nosotras, más usted señor gavilán, sí somos cien”. ¿cuántas son las palomas son?.9

Propósitos asociados al problema Cuando abordamos las temáticas relacionadas con álgebra, esperamos que nuestros alumnos usen este conocimiento en los problemas que se les presenta, sin embargo, algunos recurren a la aritmética, otros manipulan las representaciones icónicas y otros incluso los objetos tangibles, como medio para construir una respuesta. En la resolución de un problema el estudiante construye lo que se denomina un espacio de trabajo matemático10, que le otorga elementos teóricos y técnicos para la elaboración de una estrategia de solución. Cada alumno construye un espacio propio, de acuerdo al conjunto de creencias que tiene sobre de los objetos matemáticos involucrados, creencias que definen su forma de actuar, las herramientas que utilizará y los argumentos que aceptará, creencias que se constituyen en verdaderos paradigmas sobre los que sostienen el trabajo matemático. Muchas veces, los paradigmas en que están situados los estudiantes no concuerdan con los paradigmas del profesor. En el caso del álgebra, se reconocen 4 paradigmas: uno básico, que involucra la experimentación con los objetos tangibles, otro que recurre a la aritmética para resolver los problemas, otro que responde al álgebra elemental y uno más elevado que utiliza la lógica y conjuntos. Es difícil pretender que un alumno, cuyo paradigma dominante es el de la aritmética, elabore sus respuestas desde el álgebra elemental, lo más probable es que se resista al uso del álgebra como herramienta para resolver problemas o que use inadecuadamente artefactos de la aritmética en ámbitos algebraicos. Este problema muestra los paradigmas sobre los cuales un alumno puede responder a la pregunta formulada y su utilidad en contextos de enseñanza.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Es difícil que este problema pueda ser abordado desde el paradigma más elemental, resulta complicado trabajarlo con elementos concretos. De todos modos, de aparecer, el trabajo desde este paradigma se caracterizaría por la falta de abstracción y la ausencia de lenguaje matemático. 13 Problema que aparece en el artículo “Elementos para una aproximación epistemológica a un “espacio de trabajo” algebraico, Mena y Morales (2011). 14

Kuzniak (2011)


26

Los alumnos que se posicionan desde el paradigma de la aritmética abordarían el problema como una cuestión de números. La solución se buscaría por ensayo y error, comprobando que se cumplan las condiciones del problema. El enunciado permite inferir que el número buscado debe ser un número natural múltiplo de 4, se continúa la búsqueda hasta encontrar la solución o hasta agotar todos los casos. Si se reconoce que el número debe ser menor a 40, ya que es el primer múltiplo de 4 que en la suma excede a 100, la búsqueda se acota y rápidamente es posible llegar a comprobar que el número de palomas debe ser 36. Desde el paradigma del álgebra elemental, el número de palomas es representado por un literal (incógnita), el estudiante debe ser capaz de traducir el enunciado a una formulación algebraica y aplicar las técnicas para resolver la ecuación x+x+

x x + +1 = 100 2 4

Aunque los estudiantes no tienen los conocimientos para situarse desde un paradigma de mayor abstracción, el problema aún puede ser analizado desde la lógica. En este paradigma la ecuación es una función proposicional que contiene una igualdad, las incógnitas son las variables de la función proposicional y sus soluciones un subconjutno de  , para los cuales la función proposicional se transforma en una proposición verdadera. Esta ecuación sería la función proposicional p( x) : x + x +

x x + +1 = 100 2 4

y su solución el conjunto S = { x ∈  / p( x) es V } = {36} Este último paradigma puede proveer de sentido a situaciones difíciles de interpretar desde el paradigma del álgebra elemental. Por ejemplo, si se les plantea las siguientes ecuaciones 2( x + 1) − 1 = x + x + 1

y

2( x + 1) + 1 = x + x + 2

Al reducir las ecuaciones con técnicas del álgebra elemental se tiene que 2( x + 1) − 1 = x + x + 1 1=1

y

2( x + 1) − 1 = x + x + 2 1= 2

Lo que para muchos alumnos no tiene mayor sentido. Visto como funciones proposicionales p ( x) : 2( x + 1) − 1 = x + x + 1 es verdadera para todo x ∈  , mientras que q ( x) :2( x + 1) + 1 = x + x + 2 es falsa para todo x ∈  , por tanto la

primera tiene solución S =  y la segunda tiene como solución al conjutno vacío S = φ .


27

Problemas de Proporcionalidad y Porcentaje

Problema Nº9 El dibujo que se presenta es un rompecabezas denominado tangram. Se pide construir un rompecabezas más grande pero preservando todas las formas, de modo que la parte que mide 4, deberá medir 7 en el nuevo rompecabezas.11 6

5

6

2 7

5

2 4

2

5

Propósitos asociados al problema En el contexto escolar la noción de proporcionalidad se admite como evidente y se suele enseñar sin justificación matemática. Su tratamiento se acota al ámbito de la aritmética y se sustenta sobre la denominada “regla de tres”, un algoritmo que impide a los estudiantes comprender la naturaleza matemática de la relación de proporcionalidad y que es aplicado de forma indiscriminada, incluso en situaciones que no la requieren. La organización matemática clásica con la que se aborda los problemas de proporcionalidad gira en torno a la regla de tres, pero la falta de sentido que provoca, evidencia la necesidad de evolucionar hacia otras organizaciones matemáticas. Una de ellas es la modelización algebraica, que justifica la proporcionalidad a través del cociente contante y la otra la modelización funcional, que relaciona la proporcionalidad con un modelo lineal. El propósito de este problema es modelizar, por medio de una función lineal, una situación en la que interviene proporcionalidad. La situación ofrece al estudiante el estudio de técnicas y elementos tecnológicos y teóricos, que le permitiría una comprensión más amplia de este concepto. 15

Situación Didáctica planteada por Guy Brousseau (1987).


28

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Un aspecto importante de esta situación es que siempre posibilita la validación de los resultados. Al juntar las piezas se puede verificar si el rompecabezas que construyeron mantiene la forma. En la fase de acción, los estudiantes tenderían a aplicar una estrategia aditiva. Pasar de una medida de 4 a una de 7, implicaría sumar 3 a todas las otras medidas. 4→ 4+3= 7 2→ 2+3= 5 5→5+3= 8 6→6+3= 9 7 →7+3= 10

Pero se verifica fácilmente que estas medidas no mantienen la forma de la figura, al juntar las nuevas piezas no forman un cuadrado. La estrategia aditiva puede plantearse de distinta manera, pero todas se mostrán inadecuadas al tratar de armar el puzzle. En ese momento los alumnos tenderían a reconocer la proporcionalidad que subyace al problema, pero en vez de fomentar el uso de la regla de tres, se puede aprovechar de introducir la utilización de un operador multiplicativo que conduzca a la determinación de la función lineal involucrada. El docente podría partir de la estrategia aditiva  →  + 3 y preguntar, ¿de qué otra manera podemos ampliar de 4 a 7 cm? Es posible que el estudiante no reconozca que en la transformación puede intervenir un operador multiplicativo, 7  → ⋅ 4

Que el operador multiplicativo sea una fracción y no un entero resulta complejo para los alumnos. El docente puede intervenir preguntando de qué forma se podría cambiar de 4 a 8 cm. Inmediatamente los estudiantes relacionarían la transformación con una multiplicación, el problema se reduce a encontrar la constante que interviene en la multiplicación que transforma 4 en 7. La estrategia multiplicativa implicaría los siguientes resultados: 7 4 → ⋅4 = 7 4 7 2 → ⋅2 = 3,5 4 7 5 → ⋅5 = 8,75 4 7 6 → ⋅6 = 10,5 4 7 7 → ⋅7 = 12, 25 4 Propuesta de R esolución de Problemas

29

La relación de proporcionalidad entre las medidas de la figura original y la construida, implica una relación de dependencia que queda descrita por la función lineal f ( x) =

7 x 4

De esta manera es posible justificar matemáticamente la proporcionalidad, que permite señalar que dos variables x e y son proporcionales cuando existe una constante k > 0 , tal que y= k ⋅ x

Esto es equivalente a establecer que son proporcionales cuando se relacionan de forma lineal. Por último, sería conveniente que el profesor exponga otras situaciones en las que se resuelva problemas de proporcionalidad por medio de la función lineal. Por ejemplo, si una máquina demora 12 minutos en producir 5 tornillos, si trabaja de igual manera, ¿cuánto demora en fabricar 2, 7, 12, 31 y 43 tornillos? La función lineal involucrada sería f ( x) = 2, 4 x . En vez de resolver 5 problemas de regla de tres, la solución sería f (2)= 2, 4 ⋅ 2= 4,8 f (7)= 2, 4 ⋅ 7= 16,8 f (12) = 2, 4 ⋅12 = 28,8 f (31) = 2, 4 ⋅ 31 = 74, 4 f (43) = 2, 4 ⋅ 43 = 103, 2


30

Problema Nº10 El precio de las acciones de una empresa aumenta sucesivamente, un 10% en el mes de enero, valor que aumenta un 20% en febrero, en marzo esta cantidad disminuye un 10% y en abril vuelve a disminuir, ¿en qué porcentaje disminuye el precio en el mes de abril para que las acciones terminen valiendo los mismo que al comienzo?

Propósitos asociados al problema En este problema se plantea una situación en que el uso de proporciones para el cálculo de porcentaje presenta limitaciones importante en la formulación del problema y su solución. Se propone la utilización de la expresión decimal del porcentaje y su uso como operador multiplicativo, como medio eficiente de solución.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Inicialmente algunos alumnos creerán que la solución es trivial. Si se aumentó el precio en un 10%, luego en un 20%, después disminuye 10%, parece obvio que volver al precio incial implica disminuir un 20% el último mes. Un análisis más riguroso del problema llevará al estudiante a descartar la interpretación aditiva que hace de los procentajes. Los valores sobre los que se aplica un aumento o disminución porcentual en cada mes van cambiando. El hecho que el valor inicial de las acciones sea desconocido plantea una dificultad para el cálculo de porcentaje a través de proporciones.

Precio Mes de Enero Precio Inicial

110% 100%

El estudiante está acostumbrado a que en una proporción 3 de los términos sean conocidos, pero aquí conoce solo dos valores. Para plantear la proporción el alumno debería reconocer y activar el uso de incógnitas y parámetros. El precio del Mes de Enero sería la incógnita x, mientras que el Precio Incial sería un parámetro P. La distinción entre incógnita y parámetro es fundamental para proceder con claridad en los siguientes cálculos, el estudiante debe comprender que aunque se utilizan literales para ambos precios, solo se debe buscar el valor de uno de ellos, manteniendo el otro literal como una constante. Las proporciones que se deben plantear para cada mes son:


31

x 110 = ⇒ x= 1,1P P 100 120 x = ⇒ x = 1, 2 ⋅1,1P ⇒ x = 1,32 P 1,1P 100 90 x = ⇒ x = 0,9 ⋅1,32 P ⇒ x = 1,188 P 1,32 P 100 100 P P x ⇒ x ≈ 84% = ⇒ x= 1,188 P 100 1,188 P

Es decir el último mes debió disminuir aproximadamente en un 16%. El desarrollo anterior está dado en términos de un precio incial cualquiera P. El alumno podría haber ocupado un valor particular como precio incial, obteniendo el mismo resultado. Para este problema el cálculo de porcentaje a través de proporciones resulta complejo. Usar la representación decimal de porcentaje como operador multiplicativo resulta más efectivo. Suponiendo un precio incial P y x la expresión decimal del porcentaje aplicado en el último mes, toda la operación puede resumir en una sola expresión 1,1 ⋅1, 2 ⋅ 0,9 ⋅ x ⋅ P =P

Al resolver se tiene 1,1 ⋅1, 2 ⋅ 0,9 ⋅ x ⋅ P =P 1,188 ⋅ x = 1 1 1,188 x ≈ 0,84 x=

Este resultado indica que para volver al precio incial, en el último mes la disminución debe ser de 16% aproximadamente.


32

Problema Nº11 ¿Qué es mayor el a% de b, o el b% de a?

Propósitos asociados al problema La pregunta involucra un análisis de lo particular a lo general. La respuesta, inferida de casos particualres, debe ser validada a través de una generalización algebraica. El problema tiene la finalidad de activar en el alumno la formulación de conjeturas y de procesos de prueba para su validación.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas La respuesta incial de los estudiantes puede ser diversa, lo relevante es que sus afirmaciones sean respaldas con evidencias que vayan más allá a la exhibición de un caso particular. Se puede proponer comparar los porcentajes para valores • a =b • ab Las respuestas seguirán siendo inferencias basadas en situaciones puntuales, es necesario exigir un medio de prueba general. Los alumnos deberán expresar el cálculo de porcentaje de forma algebraica El a% de b es igual a

a ab ⋅b = 100 100

El b% de a es igual a

b ab ⋅a = 100 100

Esto permite establecer que de manera general el a% de b es igual al b% de a. Finalmente, se puede vincular este resultado con situaciones en contexto, por ejemplo, si a un artículo se le hace un descuento del 30% y además debe pagar impuesto (IVA 19%), ¿qué prefieres, que se te aplique el descuento primero y después el IVA o al revés?


33

Problema Nº12 a) Cada mes el precio de un artículo se disminuye un 10% respecto del valor del mes anterior. ¿Qué porcentaje del precio inicial del artículo queda al cabo de 2 años? b) Si al cabo de 4 meses el artículo se redujo a un 6,25% de su precio incial, ¿cuánto disminuyó de forma contante cada mes? c) Si el precio del artículo aumenta mensualmente un 2%, ¿Al cabo de cuántos meses el precio habrá aumentado un 35% respecto del precio inicial?

Propósitos asociados al problema Un fenómeno didáctico muy relevante en el estudio de la matemática es la atomización de los temas matemáticos en los programas de estudio. Es habitual encontrar una desarticulación en las organizaciones matemáticas, que incide en su razón de ser, conceptos matemáticos que se relacionan entre si aparecen desvinculados. Es el caso de los conceptos de potencia, raíz y logarítmo, que están tratados como temas separados, pero que en su génesis escolar pueden ser planteados desde un mismo tipo de situación. El objetivo del problema no es tratar de responder inmediatamente a cada pregunta, sino justificar la aparición de los conceptos de potencia, raíz y logaritmo, enfatizando su origen común. Las respuestas se pueden obtener al profundizar el estudio de cada uno de estos objetos matemáticos.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Cada una de las preguntas implica una formulación ab = c , donde la base a correponde al porcentaje aplicado en cada mes, el exponente b el tiempo en meses y c el porcentaje respecto del precio incial. Lo que cambia en cada caso es el lugar de la incógnita, lo cual permite definir los conceptos de potencia, raíz y logaritmo.


34

Después de mostrar el origen común y la relación entre estos conceptos, es necesario responder a los cuestionamientos propios de cada uno, ¿cómo se calculan? ¿cuáles son sus propiedades?, etc., que puede deivar en el estudio de organizaciones matemáticas independientes.


35

Problemas de Funciones

Problema Nº13 Un agricultor dispone de un terreno triangular, como se presenta en la figura, cuyos catetos y miden ambos 11 metros. Dentro de este terreno debe construir un cerco rectangular, ¿En qué punto del lado debe fijar uno de los vértices de manera que la superficie al interior del cerco sea máxima?12 ∆ABC rectángulo en A C P

E

A

D

B

Propósitos asociados al problema El tema de funciones suele ser presentado a través de una exposición abstracta y un tratamiento esencialmente algebraico, que no enfatiza su carácter de herramienta de modelización matemática, útil en la resolución de problemas matemáticos. La modelización es una actividad que justifica y da sentido al estudio de las funciones. Este problema es una situación de modelización en contexto geométrico, que puede ser propuesta en el momento del encuentro con la organización matemática de funciones, con el propósito de proveer de sentido al estudio de este objeto matemático. Su desarrollo, además, permitiría introducir el uso de distintas representaciones semióticas para las funciones.

16

Problema adaptado de “La noción de función: análisis epistemológico y didáctico”, Ruiz L. (1998, p. 207).


36

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Los estudiantes se enfrentan a un problema en que disponen de un dibujo, lo que les permite visualizar la variación del área del rectángulo en función de la variación de uno de sus lados. En principio, es posible que trabajen solo con el dibujo y de forma concreta, intentando encontrar por búsqueda exhaustiva las medidas que maximizan el área.

P P P

Esta estrategia podría no otorgarles el resultado que buscan, lo que permitiría establecer la necesidad de activar el proceso de construcción de un modelo matemático. Se puede intervenir proponiendo la utilización de una variable que represente la longitud de uno de los lados del rectángulo y preguntar luego si es posible obtener una expresión matemática para el área del rectángulo.

P

x

Para construir el modelo matemático los estudiantes se pueden apoyar en su conocimiento de geometría, transformando la fórmula A= b ⋅ h en la función matemática A= ( x) x(11 − x)

A partir de ahí, se puede plantear el trabajo de representaciones y su utilidad para la solución del problema, estableciendo la tarea de completar una tabla con los valores x y A(x).


37

x 1 2 3 4 

A(x)

En este momento se puede propiciar la discusión de los conceptos de imagen, pre-imagen, dominio, recorrido y la definición de función. La representación tabular puede entregar al alumno una idea del comportamiento de la función, que le sugiera el valor de x donde el área es máxima. Sin embargo, sería conveniente plantear la limitación de la representación tabular como medio para establecer la respuesta de manera exacta y preguntar a los estudiantes de que otra forma se puede representar una función. Puede surgir entonces el uso de la representación gráfica y

x

Al identificar la gráfica de la función cuadrática con la parábola se puede fomentar la discusión respecto de la obtención del valor de la abscisa relacionada con el vértice, que podría reconocerse como el punto medio de los valores donde la gráfica intersecta al eje x, esto es = x

0 + 11 = 5,5 2

Para que el rectángulo tenga área máxima P debe estar ubicado en el punto medio del segmento BC. La figura corresponde a un cuadrado de lado 5,5.


38

Problema Nº14 En una cierta colectividad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias para realizar cambios: por 5 gallinas se obtienen 6 conejos, mientras que por 4 conejos se obtienen 3 patos.13 a) Una persona quiere cambiar gallinas por patos. ¿Puedes encontrar la relación que determine, de manera general la equivalencia entre el número de gallinas y el número de patos? b) ¿Podrías determinar en esta situación una función matemática?

Propósitos asociados al problema Este problema plantea la necesidad de modelar situaciones de proporcionalidad a través de la composición de funciones lineales. Su discusión podría dotar a la composición de funciones de un significado y utilidad que el estudiante podría reconocer fácilmente, además de poner en términos prácticos la exigencia de explicitar el dominio de la función involucrada. Este problema puede ser propuesto a los alumnos en el momento del estudio de composición de funciones y de dominio y recorrido.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Es posible que los estudiantes realicen la siguiente formulación algebraica 5G = 6C 4C = 3P

donde asumen que 5 gallinas debe ser equivalente a 5G , una expresión en que el literal es utilizado como etiqueta y no como variable, es decir la letra G hace referencia a los objetos (gallinas) y no la característica medible de esos objetos (número de gallinas). Las expresiones anteriores son incorrectas, al despejar y reemplazar G = 5, 5 gallinas no equivalen a 6 conejos, sino 4,16 . 5 5 5G =6C ⇒ C = G ⇒ C = ⋅ 5 =4,16 6 6 El problema implica una relación de proporcionalidad G 5 = C 6

C 4 = P 3

17 Adaptación del problema propuesto en el libro “La noción de función: análisis epistemológico y didáctico”, Ruiz L. (1998, p. 209).


39

El tratamiento aritmético de las proporciones, al cual están acostumbrados los alumnos, resulta imposible en este contexto, ya que el uso de variables requiere expresar la dependencia de una en términos de la otra, lo que implica la construcción de las funciones lineales 3 P= C 4

6 C= G 5

Reemplazar la expresión de C en P involucra una composición de funciones 6  3 6 9 G =⋅ G = G 10 5  4 5

( P  C ) (G ) =P ( C (G ) ) =P  La relación P =

9 G implica que por cada 10 gallinas se obtienen 9 patos. 10

La relación anterior es una función que requiere aún precisar su dominio, de manera que las imágenes seanvalores enteros. Si f ( x) =

9 x entonces el dominio de la función se restringe a los mútiplos naturales de 10. 10

Dom = (f)

{10n / n ∈ }


40

Problema Nº15 Suponga que debe cortar una pizza con cierto número de cortes tratando de obtener la mayor cantidad de porciones posible. No importa si las porciones son distintas, como se muestra a continuación.14

1 corte 2 porciones

2 cortes 4 porciones

3 cortes 7 porciones

a) ¿Cuántas porciones como máximo se puede obtener con 50 cortes? b) Encuentre una fórmula que permita predecir el número máximo de porciones que se obtienen al hacer x cortes.

Propósitos asociados al problema La matemática se ha desarrollado por seres humanos, cuya actividad ha estado determinada por factores históricos y culturales, a través de prácticas sociales que han favorecido la construcción del conocimiento matemático. Una de las prácticas, que está en relación con el concepto de función, es la predicción. La necesidad de adelantarse de forma racional a los acontecimientos, ha llevado al hombre a generar modelos matemáticos que permitan predecir los resultados asociados a una situación. Este problema plantea una actividad de predicción, en que es necesario establecer qué tipo de modelo matemático está implicado. A los argumentos, gráficos o algebraicos se propone sumar estrategias de tipo variacional, que permitirán identificar el grado del polinomio involucrado. Esta problema permite vincular la noción de variación en el contexto del estudio de funciones con el estudio futuro del concepto de derivada.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas Para identificar el número máximo de porciones de acuerdo a la cantidad de cortes, los alumnos pueden seguir valiéndose del dibujo.

18

Problema propuesto en “matemáticas… ¿estás ahí?”, (Paenza, p. 47)


41

Nº de cortes 0 1 2 3 4 5 6

Nº máximo de porciones 1 2 4 7 11 16 22

Se podría seguir así hasta llegar a 50 cortes. Pero si preguntamos por el número de porciones con 728 cortes, la estrategia muestra sus limitaciones. Se requiere una fórmula que permita predecir el número de porciones en función del número de cortes, ¿qué función será? Es necesario reconocer el tipo de función. Los alumnos pueden intentar graficar los valores de la tabla como pares ordenados o plantear un tipo de función (polinomial) y buscar el valor de sus coeficientes a través de un sistema de ecuaciones. De forma alternativa, proponemos el estudio variacional de la función. A medida que se realizan cortes la pizza queda dividida en más partes, ¿cuántas más?...La siguiente tabla permite mostrar este incremento

Nº de cortes 0 1 2 3 4 5 6


Diferencia

1 2 3 4 5 6

Se observa que esta diferencia también se incrementa con el número de cortes y que esa segunda diferencia ahora es constante


42

Nº de cortes 0 1 2 3 4 5 6


Diferencia

1 2 3 4 5 6

Diferencia de las diferencias

1 1 1 1 1

Observemos como este comportamiento se repite en el caso de una función cuadrática, por ejemplo con f ( x) = x 2

x 0 1 2 3 4 5 6

f ( x) 1 2 4 9 16 25 36

∆f

∆(∆f )

1 3 5 7 9 11

2 2 2 2 2

En esta función cuadrática las diferencias de diferencias también son contantes, lo que permite inferir que la función que permite relacionar el número máximo de porciones con el número de cortes debe ser una función cuadrática. studiemos el comportamiento variacional de la función cuadrática general f ( x) = ax 2 + bx + c x 0 1 2 3 4 5 6

f ( x) c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c 36a+6b+c

∆f

∆(∆f )

a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b 11a+b

2a 2a 2a 2a 2a


43

Para la función cuadrática siempre se tiene que las segundas diferencias son contantes con ∆(∆f ) =2a , lo que la caracteriza y permite reconocerla. Si consideramos además que f (0) = c , al mirar la tabla de las porciones de pizza se tiene que ∆(∆f )= 2a= 1 , por tanto a =

1 y que f (0)= c= 1 . 2

Basta reemplazar en la función en cualquier valor para encontrar el valor de b . Por ejemplo, f (1) = 2 1 2 ⋅1 + b ⋅1 + 1 =2 2 1 b= 2 Luego la función que establece la relación entre el número de cortes y el número máximo de porciones de pizza es 1 2 1 x + x +1 2 2 Podemos determinar que con 50 cortes se obtiene un máximo de 1276 porciones f ( x) =

f ( x) =

1 1 ⋅ 502 + ⋅ 50 + 1 = 1276 2 2


44

Problema Nº16 De acuerdo a una leyenda india, los sacerdotes de un templo debían transferir una torre compuesta de 64 frágiles discos de oro, desde una parte del templo hasta otra, moviendo un disco a la vez. Todos los discos son de distinto tamaño y por su fragilidad, nunca puede colocarse un disco más grande sobre otro más pequeño. Además solo existe una torre intermedia en donde se pueden colocar los discos en forma temporal. La leyenda dice que el mundo terminará antes que los sacerdotes terminen su trabajo, ¿tendrá sentido esta afirmación?

Propósitos asociados al problema Para responder la pregunta, es necesario modelar matemáticamente el número de movimientos para pasar de la primera a la tercera torre. Resolver el problema implica experimentar, inferir y construir. El modelo matemático puede ser inferido a partir de algunos resultados parciales o puede ser construido a través de la búsqueda de la fórmula de una sucesión recursiva.

Tratamiento del problema y sugerencias didácticas La búsqueda comenzará con la experimentación para casos particulares, con 2, 3 o 4 discos quizás. para sistematizar los resultados sugiera completar una tabla con el número de discos y el número de movimientos involucrado. A modo de ejemplo, los movimientos para el caso n = 3 discos son


45

Al completar la tabla hasta n = 5 se tiene Nº de discos 1 2 3 4 5

Nº movimientos 1 3 7 15 31

En la tabla se puede observar la siguiente regularidad. El número de movimientos de cada fila se obtiene sumando al número anterior una potencia de 2: Nº de discos 1 2 3 4 5

Nº movimientos 1 3 7 15 31

+2 = 21 +4 = 22 +8 = 23 +16 = 24

Infiriendo el término enésimo es Sn = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ⋅⋅⋅ + 2n −1 Se requiere estabelcer la fómula para esta suma. De manera algebraica se puede multilicar por 2 y luego restar. 2 Sn = 2 + 22 + 23 + 24 + ⋅⋅⋅ + 2n−1 + 2n   ( −)  Sn = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ⋅⋅⋅ + 2n−1 n S= n 2 −1

Como el problema era traspasar 64 discos, el número de movimientos requeridos es 64 S= 64 2 − 1

S64 = 18446744073709551615 Teniendo en cuenta que un año tiene 31.556.926 segundos y que cada movimiento se realiza en un segundo, los sacerdotes demorarían algo menos de 585 mil millones de años (varias veces la edad del universo). Propuesta de R esolución de Problemas

46

Bibliografía Barrio, E., L alanne, L. & Petich, A. 2010

Entre aritmética y álgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario. Ediciones Novedades Educativas.

Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. 1997

Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: Horsori.

Cantoral, R., Molina, J., Sánchez, M. 2005

Socioepistemología de la Predicción. En Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Vol 18, pp. 463-468). México.

Courant, R. & Robbins, H. 1979

¿Qué es la matemática?. Madrid: Aguilar.

Crilly, T. 2012

50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Barcelona: Ariel.

Gascón, J. 2011

¿Qué problema se plantea el enfoque por competencias? Un análisis desde la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol.31, n°1 pp. 9-50.

K line, M. 2009

Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México: Fondo de Cultura Económica. Propuesta de R esolución de Problemas

47

Kuzniak, A. 2011

El espacio de Trabajo Matemático y su Génesis. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, volumen 16 p.9-24. IREM de Strasbourg.

Mena, M. & Morales M. 2011

Elementos para una aproximación epistemológica a un “espacio de trabajo” algebraico. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil.

Nelsen, R. 1993

Proofs Without Words. Exercises in Visual Thinking.

Polya, G. 1981

Como plantear y resolver problemas. México D. F.: Trillas.

Ruiz, R., Espinoza, L., Gálvez, G., Barbe, J. & Olfos, R. 2010

Análisis didáctico en torno a la proporcionalidad en los distintos niveles de enseñanza del sistema educativo. XIII jornadas nacionales de Educación Matemática, Viña del Mar-Chile. SOCHIEM.

Santos, L. 1997

Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México D. F.: Iberoamérica.


48

Resolución de Problemas

Recommend Documents