RESOLUÇÃO
Conhecimentos Básicos CP-CEM/2015 Marinha do Brasil
2
Estrutura da prova, de acordo com o edital
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3
QUESTÃO 1 A derivada de
=
é a função
′
igual a?
Para resolver essa derivada devemos utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função composta.
′ ′ ′
A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função ) será = . ( ) composta = (
Na prática, podemos separar o método em dois passos: 1 – Identificar quantas funções existem na composição; 2 – Derivar de “fora para dentro”;
Na função primitivas:
123
2
=
, podemos identificar 3 funções
2
Aplicando o segundo passo do método, temos que a derivada de será:
′ 2
=
.cos
Derivada da função “mais de fora”:
′
(
) =
Derivada da função “do meio”:
′ sin( )
= cos( )
2
. 2.
Derivada da função “mais de dentro”:
′ 2
= 2.
4
Caso queira resolver mais questões para entender melhor a regra, os links abaixo são interessantes:
Um site totalmente gratuito e muito bom para resolver integrais e derivadas:
5
QUESTÃO 2 Seja
o ponto do intervalo
assim, o valor de
,
.
.
tal que
=
. Sendo
é:
Para resolver essa integral devemos utilizar uma técnica
específica de integração. As principais técnicas são: por PARTES e por SUBSTITUIÇÃO.
Como saber qual delas utilizar? A experiência adquirida com a resolução de exercícios é que vai dizer qual o melhor método a seguir, mas uma dica é:
Caso você consiga enxergar um termo na função que derivando irá resultar em outro termo presente na função, o método da SUBSTITUIÇÃO geralmente será a melhor alternativa. Por exemplo, na seguinte integral:
2
.
+3
Percebemos que se definirmos: = 2.
Teremos:
2
+3
= 4. .
E, como apareceu o termo nessa expressão, que . também está presente em nossa integral, poderemos dar sequência nesse método.
Na integral da questão, podemos ver que a derivada de nenhum termo resultará em outro termo presente na
6 função. Portanto, devemos utilizar o método da integração por PARTES. BREVE EXPLICAÇÃO DO MÉTODO:
O objetivo de utilizar essa técnica é transformar uma integral desconhecida em uma das integrais padrões que sabemos calcular. Dada uma integral da seguinte forma:
. ( ).
Podemos reescrevê-la como:
.
E que pode ser calculada pela seguinte expressão: .
= .
.
−
Basta, então, definir quem serão os seguintes termos:
Calcular:
E, por fim, substituir na expressão e resolver a integral.
A integral da questão é
7
0
.
.
COMO DEFINIR QUAL TERMO SERÁ
E QUAL SERÁ
Para isso, podemos utilizar a seguinte regra: Escolheremos quem será o prioridade: 1. 2. 3. 4. 5.
Logaratmicas Inversa de Trigonométrica
?
na seguinte ordem de
Aritméticas ou Algébricas Trigonométricas Exponenciais
Que formam o acrônimo LIATE. Isso significa que, por exemplo, se na integral tiver uma função logaritmica e uma trigonométrica, definiremos como
a função logarítmica.
Com base nisso, faremos a seguinte definição:
0
.
.
=
O próximo passo é calcular
=
=
e
=
:
Derivando os dois lados da equação
.
.
Integrando os dois lados da equação
− =
=
cos t
8
Substituindo os valores encontrados na fórmula geral:
− .
= .
.
Temos que:
− −− − − − − −
.
.
=
. ( cos
)
0
.
cos
0
0
.
0
Substituindo os limites de integração e sabendo que cos . = ( ), chegamos na seguinte expressão:
.
=
.cos
+ 0. cos 0
+
(0)
0
.
.
=
0
.cos
+
0
= Como foi dado na questão que cos reescrever o resultado da seguinte forma:
.
.
=
.
, podemos
+
0
2 Utilizamos a identidade trigonométrica + para deixarmos a expressão em função somente de
2
=1
2
2
=1
9
− =
1
2
2
Portanto, a resposta final é:
− 0
.
.
=
2
+
− 1
2
Caso queira ver mais ume exemplo desse tipo de integração, assista ao vídeo abaixo:
10
QUESTÃO 3
Qual o volume da parte da bola da equação tal que
≤
que fica entre os planos
=
e
+
+
= ?
Existem várias formas para resolver esse tipo de problema, mas a mais simples é Essa através do cálculo do volume de rotação de uma função. fórmula é a seguinte:
=
( )
2
Desenharemos a função no plano , substituindo na função. Nesse caso, teremos a seguinte função:
≤ ≤ − 2
(I)
2
9
9
2
+
por 0
(II)
Devemos, portanto, rotacionar a área entre as linhas vermelhas em torno do eixo para obtermos o volume que
11 é pedido na questão. A figura abaixo ilustra a revolução dessa superfície:
Substituindo (II) em (I), e definindo os limites de integração = 1 e = 2, podemos calcular o volume da parte de bola
2
=
9
2
2
1
− − 2
=
9
2
1
3
= . 9.
2
3 1
12
− − − =
. 9×2
23
=
9×1
3
13 3
20
3
Caso tenha interesse, assista ao vídeo abaixo para mais um exemplo:
13
QUESTÃO 4 A imagem da transformação linear
, ,
( , , ), em que × indica o produto vetorial em
=
, ,
×
, é:
O que é uma transformação linear? Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço. Em outras palavras, ela transforma (desloca, rotaciona, ...) um vetor em outro. Por exemplo: a transformação da figura abaixo faz com que um vetor seja espelhado em relação ao eixo x:
A transformada dada na questão faz o produto vetorial de um vetor qualquer = ( , , ) pelo vetor = (1,1,1), deslocando o vetor para um outro lugar no espaço. O que o exercício quer saber é justamente qual é esse lugar no espaço, ou seja, a imagem da transformação.
− − − −− − − − − − Para calcular o produto vetorial , , que calcular o seguinte determinante:
1
1
14
× (1,1,1), temos
1
11111
, ,
=
. +
.
Isso significa que se, por exemplo, fizer essa transformação em um vetor = (3, 5, 8) , teremos: = 5
=
. +
8 . + 8
3 . + 3
3 . + 5 . +
5 .
2 .
Baseado nas alternativas dadas pela questão, podemos verificar que esse vetor pertence ao plano de equação + + = 0, pois: 3+5
2=0
15
Graficamente, temos:
Onde:
O vetor em azul é O vetor em vermelho é O plano é
+
+
=0
Outra maneira de analisar a questão é através do fato de que o produto vetorial entre dois vetores gera um vetor que é ortogonal ao plano que contém esses dois vetores, conforme a figura abaixo:
16
Como o vetor (1,1,1) é o vetor normal do plano + + = 0, qualquer vetor multiplicado por ele irá gerar um vetor pertencente a esse plano.
Um vídeo bom caso queira dar uma revisada sobre produto vetorial:
17
QUESTÃO 5 Uma pessoa está inicialmente no quinto degrau de uma escada de dez degraus. Em cada etapa de um jogo, ela tem probabilidade 2/3 de primeiro subir três degraus e depois descer dois degraus, e probabilidade 1/3 de primeiro subir dois degraus e depois descer três degraus. A pessoa vence o jogo se passar pelo décimo degrau da escada em cinco etapas ou menos. Qual é a probabilidade de a pessoa vencer o jogo?
Primeiramente, temos que deixar claro que quando o exercício fala em passar pelo décimo andar, significa que ele tem que apenas pisar no décimo andar, ou seja, se na quinta etapa ele pisar no décimo e voltar para o nono andar, ele vence (sim, o enunciado ficou um pouco ambíguo, mas pela resposta da banca, ele quis dizer isso). Questões como essas de probabilidade não possuem um jeito único para resolver, pois cada pessoa pode modelar o problema de uma forma. Aqui mostrarei o raciocínio que eu utilizei para resolver. Para visualizar melhor todas as possibilidades, é interessante construir um diagrama de estados, como o abaixo:
18
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3 P4 ETAPA 4
ETAPA 5 P1
P2
P3
Nesse diagrama: O que está no interior do círculo significa o degrau que a pessoa se encontra; A seta para direita significa que a pessoa subiu 3 degraus e desceu 2;
A seta para esquerda significa que a pessoa subiu 2 degraus e desceu 3; O círculo com o número 10 em seu interior significa que a pessoa atingiu o objetivo e, portanto, é a soma das probabilidades desses eventos que queremos calcular.
19
Os eventos que não foram apresentados são os que a pessoa não teria mais chance de atingir o décimo degrau. Por exemplo, se a pessoa está no degrau 6 e possui mais duas tentativas, não precisamos colocar a hipótese dela ir para o degrau 5, pois a única forma dela atingir o degrau 10 é se ela subir de degrau duas vezes consecutivas. Temos, portanto, 4 caminhos possíveis para a pessoa atingir o degrau 10. É necessário, então, calcular a probabilidade de cada um ocorrer e fazer soma delas. Para isso, temos que fazer a multiplicação das probabilidades de cada evento, até atingir o degrau 10. Os caminhos foram definidos como P1, P2, P3 e P4. Segundo as probabilidades dadas na questão e a lógica que utilizamos, cada seta para esquerda tem um valor de 1/3 e cada seta para a direita tem um valor de 2/3. Probabilidade do caminho P1 ocorrer:
1=
3
×
2 3
×
2 3
×
2 3
×
2 3
=
16 243
Probabilidade do caminho P2 ocorrer: 2=
2 3
×
1 3
×
2 3
×
2 3
×
2 3
=
16 243
Probabilidade do caminho P3 ocorrer: 3=
1
2
×
3
2
×
3
1
×
3
2
×
3
2
=
3
243
Probabilidade do caminho P4 ocorrer:
4=
2 3
×
2 3
×
2 3
=
16
8 27
20
Somando essas 4 probabilidades, encontramos que a probabilidade pedida na questão é: 40 81
21
QUESTÃO 6
′
Aplicando o método de Euler explícito com passo
problema
=
,
= .
ao
= , qual a aproximação encontrada
para ( . )?
O método desolucionar Euler explícito é um método ordinárias numérico utilizado para equações diferenciais de primeira ordem com um valor inicial dado. A fórmula desse método é a seguinte:
+1
=
+ . (
)
Onde é o passo de cada iteração.
O procedimento é fazer o cálculo quantas vezes forem necessárias, até encontrar o valor desejado. A notação pode ser entendida da seguinte forma: = (0 + . ), ou seja, 1 significa o primeiro passo da iteração e é, portanto, o valor de (0.1). Queremos encontrar o valor de 0.2 , ou seja, a segunda iteração, 2. Os dados do problema são os seguintes:
= 0 = = 0.1
2
0
=1
Fazendo as duas iterações necessárias, temos que:
1
=
0.1 =
0
+ .
0
= 1 + 0.1. 1
2
=
0.2 =
1
+ .
1
= 1.1 + 0.1. 1.1
2
= 1.1 2
= 1.221
22
QUESTÃO 7
→
A integral de linha do campo que
,
,
,
=(
+
,
+
), em
são constantes reais, calculada ao longo de cada
caminho fechado simples :
, percorrido uma vez no
,
sentido anti-horário, tem valor igual ao da área da região
limitada por . Nessas condições, pode-se concluir que:
Para resolver essa questão, é necessário utilizar o Teorema de Green.
TEOREMA DE GREEN: Estabelece uma relação entre a integral de linha ao longo deOuma curva Cdefechada uma integral dupla sobre anumérico região D. método Euler eexplícito é um método
utilizado para solucionar equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com um valor inicial dado. A fórmula desse método é a seguinte:
− ′ .
+
.
=
Relembrando as notações para:
Campo:
,
=
. +
. =( , )
= . + ( ). = ( ( ), ( )) Curva: Existem 3 notações para representar uma integral de linha:
.
.
+
.
(
)
(
O teorema de Green utiliza a segunda notação.
).
.
23
O exercício diz que a integral de linha do campo ( , ) é igual a área da região limitada pela circunferência . Para que isso ocorra, a seguinte condição deve ser satisfeita:
=
−
Esse termo deve ser igual a 1 para que a integral resulte na área A, pois assim = teremos que
Portanto:
− − − =1
Identificando , de acordo com a notação de campo apresentada, temos: ,
=(
+
,
M
Substituindo
+
)
N
em (I):
(
(I)
+
)
(
+
)
=1
Resolvendo essa derivada, encontramos a seguinte resposta: b
=1
24
QUESTÃO 8
≥
Sabe-se que
, então
=
≥ − (
é igual a:
)
Para resolver essa questão, devemos fazer a expansão das séries e comparar os termos de uma com os termos da outra:
≥ ≥ −
1 2
=
1
1
1
1)2
(2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
72
+ 2
1
=
+ 2
1
+
12
+ 2
+ 2
1
+
32
+ 2
+ 2
1
+
52
72
⋯ ⋯
+
+
Comparando as séries, percebemos que a segunda é igual a primeira, mas sem os termos com o denominador par. A série de termos com o denominador par pode ser representada da seguinte forma:
≥ 1
1
(2
)2
=
1 22
1
+
+
42
1 62
+
1 82
+
⋯
Portanto, podemos calcular o somatório desejado da seguinte forma:
≥ 1
− ≥ − ≥ 1
(2
1)2
1
=
1
2
1
1
(2 )2
Por ser uma constante, podemos retirar esse “2” da expressão, resultando no seguinte termo 1 4
.
≥
1 1 ( )2
25
Dessa forma, teremos a expressão final:
1 (2
≥ ≥
−
1
=
1)2
1
1
2
4
1
.
( )2
≥ − ≥ 1
1
Substituindo a informação dada no exercício, que 1 1 2
=
2
6
, teremos:
− − 2
1
≥
1
(2
1)2
=
6
1
2
.
4 6
=
2
8
26
QUESTÃO 9 Um ponto material P1 de massa m percorre a circunferência de
centro na srcem O e raio 1 no sentido anti-horário com velocidade angular constante 2 , e no instante t0=0 está na posição (0,1). Nesse mesmo instante, um ponto material P 2 de massa m está na posição (0,2), percorrendo a circunferência de centro na srcem e raio 2 no sentido horário com velocidade angular constante
. No primeiro instante
> 0 em que os
pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a srcem, o ângulo entre o eixo Oy e o segmento OP2 será:
Modelando o enunciado da questão, obtemos a seguinte representação: Assumiremos como o sentido horário sendo onegativo, ou ou seja,
seja,
< 0, e o sentido anti-horário como positivo, ou
> 0.
0y - referência
A equação do movimento circular uniforme é:
final
=inicial + .
E de acordo com nossa referência, inicial = 0 para P1 e P2.
27
Aplicando essa equação para o corpo P1 , temos:
= 2.. 1
Já para o corpo P2 , temos:
+ = -. 2
Mas como estamos interessados no instante em que os pontos estiverem alinhados com com a srcem, 1 = 2
encontraremos
Isoalando 1 e 2 nas duas equações e igualando elas,
= 2 3
pode ser calculado através da relação:
+
Segundo o nosso desenho, o ângulo pedido pelo enunciado é , que
Substituindo o valor de
+ =2
encontrado, teremos que:
=
3
28
QUESTÃO 10 Um fio condutor muito longo, cilíndrico, de raio atravessado
por
uniformemente
uma
corrente
distribuída
de
nas
intensidade seções
, é
=
,
transversais
perpendiculares ao eixo do cilindro. A intensidade máxima do campo magnético gerado pela perpendicular ao eixo do cilindro é permeabilidade magnética no vácuo,
−
corrente = .
é igual a:
num . Se
plano é a
Para resolver essa questão, devemos entender como se comporta o campo magnético dentro e fora do fio. A figura abaixo ajudará nesse entendimento:
29
Vamos separar a análise em duas condições:
≥
1. Para a trajetória circular 1, ou seja, : A Lei de Ampere permite calcular o Campo Magnético produzido por uma corrente elétrica . A fórmula que relaciona essas variáveis é a seguinte:
=
.
Para uma trajetória circular, temos que:
. (2 . ) = =
.
.
2 .
2. Para a trajetória circular 2, ou seja, < : Levando em conta que a distribuição de corrente é uniforme, e sendo a corrente envolvida proporcional a área envolvida pela curva 2, temos que:
2
= .
.
2
.
2
(I)
Onde 2 é a corrente envolvida (aquela que irá gerar o campo magnético no interior do fio) e é a corrente total
que circula no fio. Portanto, podemos calcular o campo magnético no interior do fio da seguinte forma:
. (2 . ) =
.
2
(II)
30
Substituindo (I) em (II):
=
2
2 .
.
Analisando as expressões de e , fica fácil concluir que o campo magnético terá seu valor máximo quando de r for máximo onavalor superfície doigual fio. a R. Ou seja, o campo será O gráfico abaixo mostra a variação do campo magnético em relação ao raio:
Queremos descobrir o valor de R, já que nele que ocorre o campo magnético máximo fornecido na questão.
á
=
.
.
=
2 . .
2 .
á
Substituindo os valores fornecidos no exercício:
=
−
.1 2 . 2.10
4
=
104 . 4
31
QUESTÃO 11 Dois reservatórios cilíndricos de mesmas dimensões, altura H e
raio R, estão cheios, contendo um mesmo líquido de densidade . Na parede lateral do primeiro cilindro, há um pequeno
orifício localizado a uma distância h1 do topo do cilindro e, por esse orifício, o líquido escapa, pela ação da gravidade, com velocidade v1. Na parede lateral do segundo cilindro, há um pequeno orifício, similar ao anterior, localizado a uma distância h2 do topo e por onde o líquido escapa, pela ação da gravidade, com velocidade v2 = 2.v1. Então h2/h1 é igual a:
Para resolver essa questão precisamos relembrar a equação de Bernoulli
EQUAÇÃO DE BERNOULLI Ela relaciona variação de pressão, variação de altura e variação de velocidade em um fluído incompreensível num escoamento estacionário. Ela é obtida como uma consequência da conservação de energia. Dados dois pontos, 1 e 2, nesse escoamento, a seguinte relação deve ser satisfeita:
1
+
1
.
+
2 1
2.
=
2
+
2
.
+
2 2
2.
32
O desenho do tanque pode ser representado como a figura abaixo:
Agora temos que aplicar a equação de Bernoulli para achar a relação entre as variáveis dos pontos a e b.
2
2
+
.
+
2.
+
.
+
2.
As pressões Pa e Pb são iguais a atmosférica e por isso foram cortadas na equação. pode ser considerado 0, pois a velocidade que diminui o nível do tanque é muito menor do que a velocidade de saída de água pelo furo lateral. Portanto, temos que a velocidade de saída pode ser calculada como: =
=
2. . (
− −
)
Mas é a altura fornecida pelo exercício, pois é a altura do topo até o furo. Logo,
=
í
=
2. .
33
Para o tanque 1 temos que a velocidade de saída da água é:
1
=
2. .
1
2 1
= 2.
Para o tanque 2 temos que a velocidade de saída da água é:
2
=
2. .
=
2.
=
1
2 2
2.
(II)
2
2 2
2.
2
Usando a relação dada na questão, que
2 1
2.
2
Igualando (I) com (II), temos que: 2 1
(I)
1
Concluímos que:
=
1
2
1
2.
2.
= 4
1
2
2
2
= 2.
1:
34
QUESTÃO 12 Um sistema gasoso recebe de uma fonte térmica uma quantidade de calor equivalente a 30 J e expande-se. Ao final, verifica-se que houve um aumento de 20 J na energia interna do sistema. O trabalho realizado pelo gás na expansão foi de:
Para resolver essa questão temos que aplicar a 1a Lei da Termodinâmica.
1a LEI DA TERMODINÂMICA A variação da Energia interna ΔU de um sistema é expressa
por meio da diferença entre a quantidade de calor Q trocada com o meio ambiente e o trabalho W realizado durante a transformação.
∆ − =
A variação da Energia Interna do sistema será POSITIVA caso a temperatura do sistema aumente. Caso a temperatura diminua durante a transformação, a variação de Energia Interna será NEGATIVA
O calor será POSITIVO caso o sistema absorva calor do ambiente. Caso o sistema ceda calor para o ambiente, ele será NEGATIVO
O trabalho é POSITIVO se ele for realizado pelo sistema. Nesse caso, o volume aumenta. Caso o trabalho seja realizado sobre o sistema, ele será NEGATIVO e o volume diminuirá.
35 Dados do problema: Sistema recebe 30 J de calor, ou seja, Q = 30 J. Sistema teve um aumento na energia interna de 20 J, ou seja, = 20J
∆
Substituindo esses valores na fórmula apresentada, temos:
−
20 = 30
= 10 J
O valor positivo do trabalho comprova o que o enunciado do problema afirmou, que tivemos um trabalho realizado pelo gás e que houve uma expansão.
36
QUESTÃO 13
Em um circuito R-C, ligado a uma bateria de f.e.m , passa uma corrente que no instante t = 0 é de 1 A. A corrente continua passando sem interrupção e no instante t = 1 é de 0,5 A. Então, os valores de R e C desse circuito são, respectivamente:
Nos circuitos RC, como o da figura abaixo, a corrente tenderá a 0 quando o tempo tender a infinito, pois o capacitor se comporta como um circuito aberto quando o tempo tende a infinito.
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff no circuito, temos:
− − − −
=0
No instante inicial, em t = 0, a tensão no capacitor é nula, pois ele não admite variações abruptas de tensão. 0 = 0, e temos que: Portanto, 0 =0
A queda de tensão no resistor R é dada por: =
Logo:
.
0 =0
.
Como
37
0 é igual a 1 A, temos que: .1= 0
− =
Para calcular o valor de C, vamos utilizar a segunda informação dada na questão, que 1 = 0,5
−− − −
A queda de tensão no capacitor C é dada por: =
1
.
A lei das malhas ficará, então:
=0
1
. ( )
+
1
( )=0
Dividimos todos os termos dessa equação por para deixarmos na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
+
=0
Derivando essa expressão para eliminar a integral, temos: .
.
1
( )=0
−
A solução dessa equação diferencial é: 1
=
.
.
Para descobrirmos o valor da constante utilizarmos a condição inicial 0 = 1:
− 1
0 =1= . =1
− 1
1 = 0,5 = 1.
, basta
.0
Por fim, utilizaremos a informação de que descobrirmos o valor de C:
38
.1
1 = 0,5 para
Aplicando o logaritmo neperiano dos 2 lados da equação, temos:
− − − − 1
ln(0,5) = ln(
)
1
ln(0,5) =
1
ln(0,5) =
ln(0,5
1
1
ln(2) = =
1
)=
1
. ln(2)
Como descobrimos anteriormente que será =
1
. ln(2)
= , o valor de C
39
QUESTÃO 14
→
Um fio delgado e de distribuição de massa uniforme tem a
forma do gráfico de uma função contínua, com
:[ , ]
, com derivada
> 0, para todo . O comprimento do fio é
e o gráfico de
, ao ser girado em torno do eixo dos
,
gera uma superfície de área lateral 5. Se o centróide do fio está no ponto( , ), o valor da ordenada é:
Para resolver essa questão é necessária aplicação do Teorema de Pappus.
TEOREMA DE PAPPUS O teorema afirma que a área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geradora pela distância percorrida pelo centróide da curva para gerar a superfície. A equação desse teorema é a seguinte:
= . .
onde:
= Área da Superfície de revolução = Comprimento da curva geradora = Ângulo de revolução medido em radianos
= Distância perpendicular do eixo de revolução ao centróide da curva geradora
40
Desenhando a curva dada pela questão:
:[ , ]
De acordo com os dados do problema, temos que:
=5
=
= 2 , pois é temos uma revolução completa
=
Substituindo os dados na equação de Pappus:
5=2 . =
.
5
2
2
41
QUESTÃO 15
Uma mola, que obedece a lei de Hook, com constante elástica e comprimento natural
, é colocada na vertical, com uma
extremidade fixada no ponto O e a outra extremidade virada para baixo, em um local cuja aceleração da gravidade é constante e tem intensidade igual a g. Na extremidade livre da mola, coloca-se um ponto material de massa m. Esse sistema ficará em equilíbrio se o ponto material for colocado com velocidade nula e a mola estiver:
O desenho abaixo representa a situação descrita no problema:
Como o corpo está em equilíbrio, o Peso deve ser igual a Força Elástica:
Δ Δ =
.
= .
=
.
42
De acordo com o sistema de referências adotado, a posição do ponto material será:
Δ =
=
Como
+
+
.
> , a mola está distendida.
43
QUESTÃO 16
Dois pêndulos planos A e B de massas m A e mB , respectivamente, estão em um plano vertical
. Ambos têm
hastes de massas desprezíveis, de comprimento L, presas a um ponto O, localizado a uma altura 2L do solo. Num instante t 0 , os pêndulos são abandonados, sujeitos à ação exclusiva da gravidade, com velocidade nula, o pêndulo A com sua haste na horizontal e o pêndulo B com sua haste na vertical, abaixo do ponto O. Num instante t1 > t0 ocorre um choque perfeitamente inelástico e, a partir daí, os pêndulos passam a mover-se juntos, atingindo uma altura máxima num instante t2 > t1 . Supondo que não haja atrito, a altura máxima atingida depois do choque é de:
Para resolver esse problema, devemos utilizar os princípios da conservação de energia mecânica e da conservação da quantidade de movimento.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Em um sistema no qual agem somente forças conservativas (sem atrito, por exemplo), a soma das energias potencial (gravitacional e/ou elástica) e cinética será sempre constante. =
+
=
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO A quantidade de movimento também é mantida quando não há forças dissipativas, ou seja, o sistema é conservativo, fechado ou mecanicamente isolado.
=
=
.
44
Dividiremos a análise em três tempos distintos: t 0, t1 e t2. Em t0 temos a seguinte situação:
L
t0
A
L y 2L
B
O sistema de referências foi colocado naquela posição para facilitar os cálculos, pois nesse caso a altura de B vale 0 no instante inicial. Precisamos descobrir a velocidade com que o corpo A atingirá o corpo B no instante t 1. Para isso, utilizamos o princípio da conservação de energia mecânica no sistema:
â
0
. .
=
x
=
=
â
.
1
2
2
2. .
(I) O choque ocorre no instante t1 e, por se tratar de um choque inelástico, há a conservação da quantidade de movimento. Nesse caso, a seguinte equação deve ser satisfeita:
45
=
.
Em que
=
+
(II)
.
representa a velocidade do conjunto AB.
t1
Substituindo (I) em (II), temos que:
∗ ∗ . 2. .
=
A energia mecânica do sistema nesse instante será: (
â
+
O símbolo â
1
1
=
+
. 2. . +
).
2
2
nessa energia é para diferenciá-la da mostrada anteriormente. Elas são diferentes
porque o choque perfeitemante inelástico conserva somente a quantidade de movimento e não a energia mecânica do sistema, ou seja, a energia imediamente após
46 o choque é menor do que a energia imediatamente antes do choque. A energia pode ser transformada em outra forma, por exemplo, em energia térmica, ocasionando o aumento da temperatura dos objetos que colidiram.
Analisando agora a situação do sistema em t 2 :
t2 y
h x L
Nesse caso, temos apenas Energia Potencial Gravitacional, pois o conjunto atingiu a altura máxima e está em repouso. Aplicando o princípio de conservação de energia novamente, temos que:
∗ â
(
+
1
=
. 2. . +
).
2
â
2
2
=(
+
). .
47
Isolando nessa expressão, concluímos que:
= .
2
+
Devido ao sistema de referência adotado, devemos somar a altura do chão até o sistema. Com isso, a altura total do conjunto será:
( ) =
+
2
=
.
1+
+
você resoluções como essa :)
em breve,
enviarei
mais
