UNESP – UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACUDADE DE ENGENHARIA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUÍDOS
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
TURMA 2230B AULA PRÁTICA Nº 03 ALUNOS: Leonardo Ken Inoue Yamamoto Matheus Luiz de M. Barbosa Eduardo Henrique Salermo de Lima Rodrigo Rizzi Langerhorst
612 511 811 815 711 624 811521
1.
Objetivos
Este experimento tem como objetivo principal a determinação de forças hidrostáticas que atuam sobre superfícies planas submersas. Serão mostradas as maneiras de se calcular o módulo da força resultante da distribuição uniforme de pressão atuante na superfície. Além disso, será demonstrado que o módulo da força resultante de uma distribuição uniforme de pressões em uma superfície plana submersa é igual ao produto da pressão que age no centro de gravidade da superfície pela área da mesma, que está em contato com o fluido. Será também obtido o ponto de aplicação da força resultante, além da elaboração do perfil de pressão atuante na placa submersa.
2.
Introdução
2.1 Força hidrostática Um fluido, por definição, deforma-se continuamente sob a ação de uma tensão tangencial, independentemente da intensidade da tensão. Desta forma, nos fluidos classificados como estáticos, devido à inexistência de movimento relativo, não existe ação de tensões tangenciais. Nesta condição só é possível a ação de tensões normais de compressão, denominadas normalmente como pressão. A ação de um fluido estático sobre uma superfície sólida gera uma força, denominada de Força Hidrostática. As forças hidrostáticas, por serem geradas pela ação da pressão, só dependem da altura da lâmina de fluido e de seu peso específico, atuando sempre perpendicularmente à superfície em contato com o fluido. Para estudá-la, considera-se a situação descrita pela Figura 2.1, de uma superfície inclinada, o caso mais geral, onde a única restrição é a existência de uma superfície livre, ou seja, o líquido estar em contato com o ar atmosférico.
2
Fig. 2.1: Superfície plana submersa. A superfície plana submersa encontra-se no eixo • • •
Oy
, e foi projetada no plano
xOy
, sendo:
A : Área da superfície plana submersa;
: Ângulo qualquer; CG : Centro de gravidade da figura.
2.2 Princípio dos vasos comunicantes No âmbito deste experimento, em seu inicio, será utilizado o principio de vasos comunicantes. O sistema de vasos comunicantes deriva do Teorema de Stevin, que diz que em um recipiente com um fluido a uma profundidade h, Figura 2.2, a pressão no fundo do recipiente é dada por PF = Patm + ρ .g.h .
Fig 2.2: Recipiente de profundidade h preenchido por um fluido Nota-se que não influencia no cálculo da pressão a forma do recipiente. Assim, uma conseqüência de Stevin é que o nível de um liquido, em recipientes devidamente interconectados, é o mesmo, independentemente da forma de cada um, se configurando o principio de vasos comunicantes, que a Figura 2.3 mostra. 3
Fig 2.3: Água é colocada dentro de um arranjo de vasos de diferentes formas que estão conectados entre si. O nível é o mesmo em todos eles. Um exemplo muito simples de um sistema desse tipo é a mangueira transparente, com água dentro, que os pedreiros usam nas construções, para nivelar, por exemplo, duas paredes ou uma fileira de azulejos (veja a Figura 2.4).
Figura 2.4: Nivelamento de paredes. A praticidade dos vasos comunicantes é enorme. Em uma maquina de café, por exemplo, um tubo lateral mostra a quantidade de café existente ainda na maquina. Como o café está em equilíbrio e sujeito apenas à pressão atmosférica, a altura nos dois vasos é a mesma. Assim, é possível saber qual a quantidade de café existente no interior da máquina, sem precisar olhar lá dentro (Figura 2.5).
Fig 2.5: Vistas de uma maquina de café
3.
Materiais e Métodos 3.1 Materiais utilizados • • • •
Piezômetro; Mangueiras de Silicone; Água; Placa com Orifícios de 1mm de diâmetro; 4
• •
Túnel de Água; Bomba de Água.
3.2 Métodos experimentais Inicialmente, a placa é colocada dentro do túnel de água, perpendicular à superfície do fundo do túnel, conforme a Figura 3.1. A placa deve ser de mesma secção transversal do túnel, impossibilitando, assim, que a água possa escoar pelas suas laterais.
Figura 3.1: Placa com orifícios, posicionada no túnel de água. Posteriormente, as mangueiras são ligadas nos orifícios da placa, e aciona-se a bomba de água, que enche o túnel. Controla-se com uma válvula o nível de água para que esta fique superior a todos os orifícios da placa, como mostrado na Figura 3.2.
Fig. 3.2: Vista do túnel preenchido com água. 5
Conectam-se então as extremidades livres das mangueiras ao piezômetro, conforme é mostrado na Figura 3.3. Toma-se o cuidado de retirar, durante a conexão das mangueiras, todo o ar interior das mangueiras, pois estas bolhas provocam desvios no nível correto da água no piezômetro.
Fig. 3.3: Piezômetro conectado ao túnel de água Com o sistema de água ligado, após o preenchimento de todos os orifícios da placa, verifica-se a altura inicial de água ( hoi ) nas colunas do piezômetro. As medidas devem ser, teoricamente, as mesmas, devido ao princípio dos vasos comunicantes, mostrado na Introdução. No entanto, pequenas diferenças ocorrem, possivelmente, devido a não retirada completa do ar nas mangueiras e a outros fatores de causa de erro. Posteriormente, desliga-se a bomba, o que cessa o fluxo de água pelo túnel, e o que faz com que os orifícios fiquem expostos à pressão atmosférica. Assim, a água dos piezômetros começa a diminuir seu nível, até alcançarem uma altura final ( h f i ), de tal forma que esta diferença de altura ( hoi h f i ) representa a altura de cada orifício em relação à superfície livre da água. Os níveis alcançados nos tubos do Piezômetro. −
6
3.2.1
Perfil de pressão
Tendo-se então os valores de hoi e h f i , para i calcular a pressão relativa (isto é, considerando P atm da Eq. 3.1. P i
=
i
γ H O .( ho 2
−
h f i ) , i =1,2,...,
=1,2,..., 8 , isto é, para os oitos orifícios, pode-se =
0)
atuante em cada nível de água no túnel, através Eq. 3.1
8.
Tendo-se então o valor da pressão em cada um dos oito níveis, é possível obter o perfil de pressão ao longo da placa, conforme exposto na Figura 3.5.
P 1 P 2 P 3
P 4 P 5
P 6 P 7 P 8
Fig. 3.5: Perfil de pressão ao longo da placa.
3.2.2
Força resultante ( F ) R
Pode-se também, a partir dos dados coletados, calcular o módulo da força resultante ( F R ) atuante na placa, partindo-se da equação 3.2. dF
= P .dA
Sendo:
Eq. 3.2
dF : Diferencial de força; P : Pressão; dA : Diferencial de área.
Considerando P =γ .h , então, dF =γ .h.dA
Eq. 3.3 7
Figura 3.6: Dimensões. De acordo com a Figura 3.6, sabe-se que forma:
h
=
y. sen θ .
Desta maneira, a equação 3.2 toma a seguinte
. y. sen θ .dA dF =γ
Eq. 3.4
Integrando-se a Eq. 3.4, para se obter o módulo resultante da força, tem-se:
∫ dF = ∫ γ . y.sen θ .dA ⇒ F
R
E como ∫ y.dA obtém-se: F R
= y. A ,
= y. sen θ .∫ y.dA
sendo
y
Eq. 3.5
a posição do centro de gravidade da placa, e A a área da placa,
= γ . sen θ . y. A
Eq. 3.6
Observando-se que o valor de sen θ . y é equivalente ao de h , que é a altura vertical do centro de gravidade até a superfície livre do líquido, obtém-se a equação final para o módulo da força resultante atuante na placa: F R
=
Eq. 3.7
γ .h . A
Que também pode ser escrita por: F R = P CG . A
Eq. 3.8
Sendo P CG a pressão atuante no centro de gravidade da placa. 8
3.2.3
Ponto de aplicação da força ( y ) CP
O ponto de aplicação da força pode ser obtido através da seguinte somatória de momentos atuantes:
∫
Eq. 3.9
F R . y CP = γ . y. sen θ .dA . y
Substituindo-se F R por γ . sen
∫
θ . y . A ,
obtém-se:
∫
γ . sen θ . y. A. y CP =γ . sen θ . y .dA ⇒ y. A. y CP = y .dA 2
2
Eq. 3.10
Sabe-se que a expressão ∫ y 2 .dA quantifica o valor da inércia da placa ( I ), que pode também ser bh 3 descrita por I b + y . A , sendo I b = 12 2
, e sendo
b
e
h
os valores da base e da altura da placa, mostrados
na Figura 3.7.
Fig. 3.7: Dimensões da placa Substituindo-se então o valor da inércia ( I = I b + y 2 . A ) na Eq. 3.10, obtém-se a expressão para o cálculo do ponto de aplicação da força: yCP
4.
= y +
I b
Eq. 3.11
y. A
Resultados
4.1 Perfil de pressão 9
Os valores das alturas encontradas são mostrados na Tabela 4.1.
i 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000
hoi ( m)
h f ( m )
∆h i ( m)
0,345 0,345 0,344 0,395 0,944 0,945 0,945 0,947
0,294 0,245 0,194 0,144 0,684 0,647 0,626 0,592
0,051 0,100 0,150 0,251 0,260 0,298 0,319 0,355
i
Tab. 4.1: Valores das alturas medidas no experimento. Através da Eq. 3.1, calcularam-se as pressões nos oito níveis superficiais da água, considerando o peso específico da água ( γ H O ) equivalente a 9800 .19 N / m3 . 2
= 9800 ,19 x(0,345 − 0,294 ) = 499 ,810 Pa P 2 = 9800 ,19 x(0,345 − 0,245 ) = 980 ,019 Pa P 1 P 3
P 4
=
9800 ,19 x(0,344
−
0,194 )
=
1470 ,028 Pa
= 9800 ,19 x(0,395 − 0,144 ) = 2459 ,848 Pa
P 5
=
9800 ,19 x(0,944
−
0,684 )
=
2548 ,049 Pa
P 6
=
9800 ,19 x(0,945
−
0,647 )
=
2920 ,457 Pa
P 7
=
9800 ,19 x(0,945
−
0,626 )
=
3126 ,261 Pa
P 8
=
9800 ,19 x(0,947
−
0,592 )
=
3479 ,068 Pa
Com esses dados das pressões, é possível obter uma aproximação da curva do perfil de pressão atuante na placa, conforme mostrado no Gráfico 4.1. Para fazê-lo, foram utilizados os recursos de geração de gráficos do software Microsoft Excel®.
10
Gráfico 4.1: Perfil de Pressões
4.2 Força resultante ( F ) R
Considerando a Eq. 3.7 ( F R γ .h . A ), é preciso encontrar o valor de h , isto é, a distância vertical entre a superfície livre de água e o centro de gravidade da placa, que, neste caso, encontra-se ao “meio” da altura. Então: =
h
=h
Eq. 4.1
2
A altura
h
Logo,
=
h
da placa é equivalente a altura 35 .50 2
h8
= ho8 − h f 8 = 94 ,7 − 59 ,2 = 35 ,5cm
= 17 .75 cm
A área da placa ( A ), por sua vez, é calculada pela seguinte equação: A = h.b
Eq. 4.2
A largura ( b ) da placa é dada: b = 20 cm Desta forma, pela Eq. 4.2, tem-se: A = 0.355 ⋅ 0.20
= 0.071 m 2
E pela Eq. 3.7, finalmente, tem-se o módulo da força resultante: F R
=
γ .h . A
=
9800 ,19 x0.1775 x 0.071
=
123 ,507 N
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4.3 Ponto de aplicação da força ( y ) CP
I Com base na Eq. 3.11 y CP = y + b , é preciso determinar o valor de y. A Devido ao fato da placa encontrar-se na posição vertical, então y ≡h bh 3
I b
, por sua vez, é equivalente a
I b
= 0,2 x (0,355 ) = 7,456 ⋅10 −4 m 4
12
y
e de I b .
=17 ,75 cm
.
. Então, tem-se:
3
12
E assim, yCP
= y +
−4 = 0,1775 + 7,456 x10 =0,2375 m = 23 .75 cm (em relação à superfície livre do y. A 0 , 1775 x 0 , 07 fluido. Ver Figura 4.1)
I b
Fig. 4.1: Ponto de aplicação da força resultante. A teoria diz, que, numa situação como esta, o ponto de aplicação da força resultante está exatamente a dois terços da altura da placa, em relação à superfície livre do fluido. Neste caso, então, y CP (teórico )
=
2.h 3
=
2 ⋅ 35.5 3
= 23 .67 cm .
Como se pode observar, o valor de yCP (teórico ) demonstra-se significantemente próximo do valor obtido de yCP experimentalmente. De forma surpreendente, o erro encontrado entre os valores teórico e experimental, foi de zero.
5.
Conclusões 12
Fora constatado no item 4.3 que o desvio entre os valore teórico e experimental do ponto de aplicação da força resultante foi nulo. É claro esta é uma situação ideal, e um erro pertinente existe, de fato, mas está numa ordem de grandeza menor do que a utilizada nos cálculos. Devido a este pequeno erro, não mensurado, pode-se concluir de antemão que o experimento fora realizado em ótimas condições. Os desvios de nível dos equipamentos em relação ao solo, o valor da gravidade utilizado, o valor obtido do peso específico da água em função da temperatura ambiente, a existência de bolhas no interior dos tubos do piezômetro, a dificuldade de leitura dos dados por causa da existência do menisco no fluido, entre outros, se demonstraram insignificantes de acordo com o resultado final obtido para o ponto de aplicação da força. Neste caso, tendo-se um desvio muito baixo no valor do ponto de aplicação, é certo que todas as outras análises anteriores, referentes aos itens 4.1 e 4.2, também tiveram seu procedimento experimental muito bem conduzindo, não devendo apresentar, claramente, distorções em relação ao que acontece realmente na placa.
6.
Bibliografia http://www.unb.br http://escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/exatas/fisica/tc2000/20fis.pdf
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