Relatividad Dr J. Manuel Garc´ıa-Islas Instituto de Investigaciones en Matem´aticas Aplicadas y en Sistemas Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico, UNAM A. Postal 20-726, 01000, M´exico DF, M´exico e-mail:
[email protected] 4 de septiembre de 2013
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´Indice general 1. Relatividad Especial 1.1. Relatividad Galileana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El Espacio-Tiempo de Minkowski y Transformaciones de Lorentz 1.3. Diagramas Espacio-Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Espacio-tiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Contracci´on de la longitud y dilataci´on del tiempo . . . . . . . . 1.6. Curvas en el espacio-tiempo y tiempo propio . . . . . . . . . . . 1.7. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Suma de velocidades y aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. L´ınea de mundo de una part´ıcula que se mueve con aceleraci´on en un sistema de referencia inercial . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 5 7 12 14 17 19 23 25 27
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Cap´ıtulo 1 Relatividad Especial 1.1.
Relatividad Galileana
La relatividad Galileana o Newtoniana se basa en la existencia de un espacio de tres dimensiones y un tiempo absoluto. Por tiempo absoluto entenderemos que todo observador asigna el mismo valor temporal a un evento. Matem´aticamente R3 es el espacio. Un observador asigna a un evento coordenadas espaciales (x, y, z) en un sistema que identifica como R3 con ejes de coordenadas que podemos considerar ortogonales. Tambi´en le asigna una coordenada temporal t del tiempo absoluto. Otro observador asignar´a al mismo evento coordenadas (x′ , y ′, z ′ ) pero sin embargo por absolutismo del tiempo entendemos una vez m´as que t′ = t. Cada observador tiene un sistema y en dicho sistema el observador asigna tres coordenadas espaciales a los eventos. Podemos entonces pensar que dicho sistema es el espacio R3 mismo y un evento es entonces un punto de R3 . Un sistema de referencia inercial se define de acuerdo a un observador como aquel donde la primera ley de Newton se cumple, es decir, un sistema en donde si una part´ıcula se encuentra en reposo permanecer´a en reposo en ausencia de una fuerza y una part´ıcula en movimiento rectil´ıneo uniforme permanecer´a en dicho estado tambi´en en ausencia de una fuerza. Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ donde cada observador en su sistema ha escogido un sistema de coordenadas con ejes ortogonales. Considere que se mueven a velocidad relativa v uno respecto del otro y que en un tiempo inicial t = t′ = 0(tiempo absoluto) los sistemas coincidian teniendo sus respectivos ejes paralelos. Por simplicidad considere que los sistemas se mueven paralelamente a lo largo de los ejes x x′ . (Figura 1.1) Es importante entender lo siguiente. Cuando hablamos de velocidad relativa de dos sistemas inerciales nunca se ha mencionado que un sistema est´a en reposo y otro est´a en movimiento, ya que esto implicar´ıa que estar´ıamos pensando en un espacio absoluto, un espacio preferencial respecto al cual los dem´as sistemas se mueven o permanecen en reposo. Abandonamos esta idea desde este momento y tan solo 5
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Figura 1.1: Sistemas inerciales en movimiento relativo
podemos argumentar que desde el punto de vista del observador que est´a en el sistema S el sistema S ′ se mueve con rapidez v en la direcci´on positiva de su eje x. An´alogamente podemos pensar que desde el punto de vista del observador que est´a en el sistema S ′ el sistema S se mueve con rapidez v en la direcci´on negativa de su eje x′ . Observe que lo importante es el movimiento relativo. No existe un sistema preferencial, tan solo hablaremos de sistemas inerciales que se mueven con velocidades relativas, sin que alguno sea preferencial. Hablamos de un tiempo absoluto en relatividad Galileana, pero hemos abandonado desde un principio la noci´on de un espacio absoluto. Sea un evento con coordenadas (x′ , y ′, z ′ ) en un tiempo t′ , es decir un evento observado en el sistema S ′ en dicha posici´on y en dicho momento. Es claro que las coordenadas asociadas a de dicho evento por un observador en el sistema S est´an relacionadas con las asociadas en S ′ por medio de t′ = t x′ = x − vt y′ = y z′ = z
(1.1)
De manera inversa las transformaciones inversas de las coordenadas de S en
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t´erminos de las de S ′ tienen la misma forma remplazando v por −v. Si una part´ıcula se mueve en la direcci´on x a una velocidad u en S, entonces su velocidad en S ′ est´a dada por dx′ dx = − v = ux − v (1.2) ′ dt dt dicha ecuaci´on es interpretada como la suma de velocidades. Es f´acil notar que si diferenciamos de nuevo obtenemos la ecuaci´on a′x = ax . Es decir, cuando una part´ıcula cambia su velocidad, dicho cambio es el mismo para ambos observadores. Todos los observadores en sistemas de referencia inerciales medir´an la misma aceleraci´on de una part´ıcula. En mec´anica Newtoniana la masa de una part´ıcula no se ve afectada por el movimiento, y por tanto la segunda ley de Newton se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales; esto implica que todas las leyes de la mec´anica son las mismas en todos los sistemas de referencia inercial. Esto confirma una vez m´as lo mencionado anteriormente sobre la no existencia de un espacio absoluto, ya que, el que las leyes de la mec´anica sean las mismas en todos los sistemas de referencia inercial implica que no existe manera de realizar experimentos mec´anicos que hagan distinguir de manera especial y u ´ nica a alg´ un sistema sobre dem´as. Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes. u′x =
1.2.
El Espacio-Tiempo de Minkowski y Transformaciones de Lorentz
La relatividad especial surge al abandonar del concepto de tiempo absoluto y asumir dos postulados. 1) Las leyes de la F´ısica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. 2) La velocidad de la luz toma el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. Estos postulados nos dicen de nuevo que no existe un sistema de referencia inercial preferencial. No hay experimentos que pueda realizar un observador en movimiento inercial que lo hagan determinar la existencia preferencial de su sistema sobre los dem´as; tambi´en todos los observadores inerciales coincidir´an en el valor de la velocidad de la luz. Debemos entender que lo que estos postulados afirman a´ un es m´as profundo. Como no existe dicho sistema de referencia inercial preferencial entonces en relatividad s´olo se puede hablar de movimiento relativo entre sistemas inerciales. Cuando se considera un problema que involucra movimientos relativos de sistemas referenciales inerciales es v´alido considerar lo que un observador en uno de estos sistemas mide, y como relaciona sus mediciones respecto a los
8 dem´as observadores en otros sistemas. Y siempre es posible cambiar de observador y obtener las relaciones correspondientes; estas relaciones estar´an dadas por transformaciones como ver´emos en un momento. En otras palabras, todos los sistemas de referencia inercial son equivalentes. Definamos ahora el espacio-tiempo de la relatividad especial. Tenemos que el tiempo ya no es absoluto, es decir que cada observador tendr´a su propia medida del tiempo. Considere de nuevo dos sistemas de referencia inercial S y S ′ , que se mueven a velocidad relativa v. Por simplicidad consider´emos de nuevo que ambos sistemas estan alineados como en la figura 1.1. Considere que un observador en el sistema S detecta que un evento ha ocurrido en alg´ un momento que un reloj que lleva consigo le dice. Adem´as lo ha observado en alg´ un punto de su sistema. Por tal le asigna cuatro coordenadas (t, x, y, z). Este mismo evento tiene coordenadas asignadas por un segundo observador en el sistema S ′ como (t′ , x′ , y ′, z ′ ). Deacuerdo al simple movimiento que estamos considerando de la figura 1.1 y a que el tiempo ya no es absoluto podemos deducir que la transformaci´on de coordenadas entre S y S ′ est´an dadas por t′ = At + Bx x′ = Dt + Ex y′ = y z′ = z
(1.3)
El origen de S ′ , es decir x′ = 0, desde el punto de vista del observador en S corresponde al punto x = vt. Por tanto haciendo x′ = 0 y x = vt tenemos que D = −Ev. Esto implica que puedo escribir las ecuaciones (1.3) como t′ = At + Bx x′ = E(x − vt) y′ = y z′ = z
(1.4)
Considere que cuando los dos sistemas S y S ′ coinciden en sus respectivos or´ıgenes, ambos observadores en estos sistemas seleccionan sus tiempos t = 0 y t′ = 0 respectivamente y que el observador del sistema S emite un haz de luz desde su origen de su sistema de coordenadas. Fotones se desplazan en todas las direcciones, y por tanto en cada tiempo fijo t de S el conjunto de todos estos fotones del haz de luz han recorrido una distancia ct y determinan matem´aticamente una esfera con ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
(1.5)
Utilizar´emos unidades de tal forma que la velocidad de la luz c = 1. Y nuestra ecuaci´on (1.5) se escribe entonces
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x2 + y 2 + z 2 = t2
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(1.6)
Tenemos el postulado de que la velocidad de la luz toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial independientemente de c´omo se mueva ´este respecto a un haz de luz. Por tanto para un observador en el sistema S ′ los fotones del haz de luz que fueron emitidos en S forman tambi´en matem´aticamente a cada tiempo fijo t′ una esfera con ecuaci´on 2
2
2
x′ + y ′ + z ′ = t′
2
(1.7)
Sustituyendo en ´esta ecuaci´on (1.7) las transformaciones de las ecuaciones (1.4) tenemos (E(x − vt))2 + y 2 + z 2 = (At + Bx)2
(1.8)
(E 2 − B 2 )x2 + y 2 + z 2 − 2(vE 2 + AB)xt = (A2 − v 2 E 2 )t2
(1.9)
E2 − B2 = 1 vE 2 + AB = 0 A2 − v 2 E 2 = 1
(1.10)
Podemos re-escribir la ecuaci´on como
Comparando ´esta ecuaci´on (1.9) con la ecuaci´on (1.6) tenemos el sistema de ecuaciones
Resolviendo ´este sistema de ecuaciones encontramos los valores de A, B, E dados por 1 1 − v2 v B = −√ 1 − v2 1 E=√ 1 − v2 A= √
(1.11)
Por tanto podemos escribir las ecuaciones (1.3) como t − vx t′ = √ 1 − v2 x − vt x′ = √ 1 − v2 y′ = y z′ = z
(1.12)
10 √ Denotemos por γ = 1/ 1 − v 2 . Dichas ecuaciones (1.12) de cambio de coordenadas entre los dos sistemas se conocen como transformaciones de Lorentz. Hemos mencionado que cada observador asocia a un evento 4 coordenadas (t, x, y, z). Definimos el espacio-tiempo como un espacio vectorial de cuatro dimensiones que identificamos como R4 con una forma cuadr´atica Q dada por Q = −t2 + x2 + y 2 + z 2
(1.13)
Un evento es entonces un punto del espacio-tiempo con coordenadas (t, x, y, z) que se puede pensar tambi´en como un vector en dicho espacio vectorial. Dicho espacio vectorial con la forma cuadr´atica Q se conoce como el espaciotiempo de Minkowski. Sean dos eventos con coordenadas p1 = (t1 , x1 , y 1 , z 1 ) y p2 = (t2 , x2 , y 2, z 2 ) respectivamente.1 Si denotamos las coordenadas generales como t = x0 , x = x1 , y = x2 , z = x3 , entonces los dos eventos p1 , p2 , los podemos denotar como (xµ1 ) = (x01 , x11 , x21 , x31 ) y (xµ2 ) = (x02 , x12 , x22 , x32 ) Dados estos dos eventos definimos su separaci´on espacio-temporal usando la forma cuadr´atica como Q(p2 − p1 ) = − (t2 − t1 )2 + (x2 − x1 )2 + (y 2 − y 1)2 + (z 2 − z 1 )2 = − (x02 − x01 )2 + (x12 − x11 )2 + (x22 − x21 )2 + (x32 − x31 )2 =
3 X
ηµν ∆xµ ∆xν
(1.14)
µ,ν=0
donde ∆xµ , ∆xν denotan las diferencias (x02 − x01 ), (x12 − x11 ), (x22 − x21 ), y (x32 − x31 ) para cada µ, ν que van de cero a tres, y ηµν toma los valores η00 = −1, η11 = 1, η22 = 1, η33 = 1, con los dem´as t´erminos igual a cero, es decir ηµν = 0 cuando µ 6= ν. Si los ∆xµ denotan diferencias de coordenadas entre dos eventos, y suponemos que estos eventos suceden muy cercanos uno de otro, es decir ubicados en tiempos y coordenadas espaciales muy cercanas entonces denotamos a ∆xµ por una diferencial dxµ . Si tambi´en denotamos a Q por ds2 tenemos entonces que la f´ormula (1.14) la podemos escribir como 2
ds =
3 X
ηµν dxµ dxν
(1.15)
µ,ν=0
Utilizando la convenci´on de Einstein nos olvidamos de la suma en la ecuaci´on (1.15) y la escribimos como ds2 = ηµν dxµ dxν 1
(1.16)
No confundir, los numeros arriba de las letras denotan numeraci´ on de coordenadas y no exponentes.
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entendiendo que siempre que tenemos ´ındices repetidos arriba y abajo, en este caso µ y ν, implica que hay una suma sobre dichos ´ındices. A la forma cuadr´atica (1.13) que hemos escrito en la forma (1.16) se le conoce como m´etrica del espacio-tiempo. Podemos verificar que dadas las transformaciones de Lorentz (1.12) la m´etrica (1.16) permanece invariante. Esto es muy f´acil de verificar pues dados los eventos p1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) y p2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) como anteriormente, que corresponden a coordenadas asociadas a dos eventos por un observador en S; las correspondientes coordenadas asociadas a estos eventos por el observador en S ′ son p′1 = (x′ 01 , x′ 11 , x′ 21 , x′ 31 ) y p′2 = (x′ 02 , x′ 12 , x′ 22 , x′ 32 ) que est´an relacionadas con las asociadas por S mediante las transformaciones (1.12) y al sustituir se verifica que 0
1
2
3
−(∆x0 )2 + (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + (∆x3 )2 = −(∆x′ )2 + (∆x′ )2 + (∆x′ )2 + (∆x′ )2 Matem´aticamente entonces podemos decir que las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales en el espacio vectorial que es el espacio-tiempo y que dejan invariantes la forma cuadr´atica (1.16). Para ver esto de la forma m´as simple, observe que podemos re-escribir las transformaciones (1.12) en forma matricial. ′ t γ −vγ 0 0 t x′ −vγ γ 0 0 x ′ = (1.17) y 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z′
que es la matriz asociada a dicha transformaci´on lineal. Veamos ahora una manera an´aloga en la que podemos escribir las transformaciones de Lorentz. Esta manera nos har´a tener un entendimiento desde el punto de vista m´as matem´atico sobre estas transformaciones en las que la manera algebraica se relaciona con la manera geom´etrica. Definamos la transformaci´on lineal dada matricialmente como ′ t cosh φ − senh φ 0 0 t x′ − senh φ cosh φ 0 0 x ′ = (1.18) y 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z′
donde −∞ < φ < ∞. La transformaci´on invesa est´a dada reemplazando φ por −φ. En el plano (t, x) la transformaci´on viene dada por t′ = t cosh φ − x senh φ x′ = −t senh φ + x cosh φ
(1.19)
Para ver que esta forma de la transformaci´on de Lorentz (1.19) es equivalente a la usual (1.12) lo verificamos de la siguiente forma:
12 en primer lugar el punto x′ = 0 se mueve con velocidad v = tanh φ desde el punto de vista del observador que ´esta en el sistema inercial S. Esto se puede ver de la ecuaci´on dos de la transformaci´on (1.19) 0 = −t senh φ + x cosh φ =⇒ v =
senh φ x = = tanh φ t cosh φ
(1.20)
Las ecuaciones (1.19) las ponemos en la forma senh φ t = cosh φ t − x cosh φ senh φ ′ x = cosh φ − t +x (1.21) cosh φ p √ tenemos que cosh φ = 1/sech φ = 1/ 1 − tanh2 φ = 1/ 1 − v 2 = γ. Por tanto tenemos que ′
t = γ t − vx ′ x = γ x − vt ′
(1.22)
Y por lo tanto nuestra transformaci´on (1.19) es equivalente a la transformaci´on (1.12).
1.3.
Diagramas Espacio-Tiempo
Geom´etricamente la forma en que escribimos las transformaciones de Lorentz nos ense˜ na que se puede pensar en ´estas como en un tipo de rotaci´on espaciotemporal. En el caso particular del movimiento relativista m´as simple sobre los ejes x, x′ como en la figura 1.1, la rotaci´on espacio-temporal se ve de la siguiente forma. El observador que se encuentra en S dibuja lo que se llama un diagrama espacio-tiempo. Este considera ejes ortogonales, tres de espacio y uno de tiempo. Como esto ser´ıa un diagrama en cuatro dimensiones, considera una simplificaci´on de este hecho y tan solo dibuja dos ejes de espacio y uno de tiempo. De acuerdo a que esta simple transformaci´on de Lorentz que hemos estado considerando s´olo se reduce a la transformaci´on (1.19) es suficiente considerar dos ejes, uno espacial y otro temporal. El eje x′ es aquel cuando t′ = 0 y por la primera ecuaci´on de esta trasformaci´on tenemos que t′ = 0 corresponde a que t/x = tanh φ lo que nos indica que la pendiente de x′ es menor a 1. El eje t′ es aquel cuando x′ = 0 y por la segunda ecuaci´on de esta trasformaci´on tenemos que x′ = 0 corresponde a que t/x = 1/ tanh φ lo que nos indica que la pendiente
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Figura 1.2: Rotaci´on espacio-temporal
de t′ es mayor a 1. Por tanto los ejes t′ y x′ en el diagrama espacio-temporal del observador que est´a en el sistema de referencia inercial S se ven como en la figura 1.2. El observador que se encuentra en S se encuentra en reposo en su propio sistema de referencia inercial y por tanto en un diagrama espacio-temporal como el de la figura 1.2 el eje t representa su llamada l´ınea de mundo. El eje t′ representa la l´ınea de mundo del sistema S ′ desde el punto de vista del observador que est´a en S. Adem´as S ′ tiene velocidad v desde el punto de vista del observador en S y ´esta se representa en el diagrama por la pendiente del eje t′ respecto al eje t. Recuerde que el eje t′ es aquel para el cu´al x′ = 0 y corresponde a t/x = 1/ tanh φ > 1 ⇒ x/t = v = tanh φ < 1, que es la pendiente de ´esta recta a partir del eje t. Por tal, toda part´ıcula masiva que se mueve a velocidad relativa constante respecto a un observador que se encuentra en un sistema de referencia inercial S, tiene una trayectoria en un diagrama espacio-temporal dada por una recta con pendiente menor a uno respecto al eje temporal. En la figura 1.2 se tiene un punto del espacio-tiempo(evento) con proyecciones a los ejes t y x, pero tambi´en tiene proyecciones a los ejes t′ y x′ . El eje x′ representa los puntos t′ = 0, es decir representa eventos que pasan simultaneamente en S ′ , en el tiempo t′ = 0. Es f´acil ver que entonces las l´ıneas paralelas al eje x′ representan eventos simult´aneos en S ′ . Gr´aficamente es f´acil ver que
14 eventos simult´aneos en S ′ que se encuentran en l´ıneas paralelas al eje x′ no representan eventos simult´aneos en S ya que ´estos no se proyectan a la misma coordenada t. De la misma manera, eventos simult´aneos en S que se representan en l´ıneas paralelas al eje x, no representan eventos simult´aneos en S ′ . En estos diagramas espacio-tiempo es f´acil ver c´omo eventos que son simult´aneos para un observador en un sistema de referencia inercial S ′ , no son simult´aneos para un segundo observador que se mueve relativamente al primero en un sistema de referencia inercial S.
1.4.
Espacio-tiempo de Minkowski
Veamos ahora una descripci´on m´as formal y matem´atica de la relatividad especial. Definici´ on 1. El espacio-tiempo de Minkowski es un espacio vectorial real 4dimensional que donatomos por M el cu´al tiene asociado una forma bilineal, sim´etrica y no degenerada de ´ındice 1. Esto significa que g :M ×M →R tal que 1) Bilineal: Para todo u, v y w ∈ M y todo a, b ∈ R tenemos que g(au + bv, w) = ag(u, w) + bg(v, w) g(u, av + bw) = ag(u, v) + bg(u, w) 2) Sim´etrica: Para todo u, v ∈ M tenemos que g(u, v) = g(v, u) 3) No-degenerado: Si para v ∈ M tenemos que g(u, v) = 0 para todo u ∈ M entonces u = 0. 4) De ´ındice 1: El producto en M es Lorentziano. Es decir, existe una base {e0 , e1 , e2 , e3 } de M con la propiedad de que si u = uµ eµ y v = v ν eν entonces g(u, v) = −u0 v 0 + u1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3
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Los elementos de M se llaman eventos. −1 0 0 1 η= 0 0 0 0
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Considere la matriz dada por 0 0 0 0 (1.23) 1 0 0 1
Denotar´emos a sus entradas por ηµν o por η µν de tal forma que tenemos que ηµν = η µν = −1 si µ = ν = 0, ηµν = η µν = 1 si µ = ν = 1, 2, 3 y 0 si µ 6= ν. De esta forma podemos escribir g(eµ , eν ) = ηµν = η µν
(1.24)
y usando la convenci´on de Einstein tenemos que g(u, v) = ηµν uµ v ν
(1.25)
Definici´ on 2. Se dice que u y v ∈ M son ortogonales si g(u, v) = 0. Un vector v ∈ M se dice que es unitario si g(v, v) = ±1. La forma cuadr´atica asociada a esta forma bilineal esta dada por la f´ormula (1.13) y la separaci´on entre dos eventos p1 y p2 est´a dada por la f´ormula (1.14). Definici´ on 3. Definimos asi formalmente el cono nulo o cono de luz en p ∈ M por CN (p) = {q ∈ M | Q(q − p) = 0} Definici´ on 4. Considere dos distintos eventos p y q. El vector desplazamiento de p a q dado por v = q − p. Se dice que v es temporal si Q(v) < 0 y v es espacial si Q(v) > 0. Definici´ on 5. Sean {e0 , e1 , e2 , e3 } y {e′0 , e′1 , e′2 , e′3 } dos bases ortonormales de M. Sea una transformaci´on lineal T : M → M tal que T (eµ ) = e′µ . Se dice que T es una transformaci´on ortogonal, si g(u, v) = g(T (u), T (v)) para todo u, v ∈ M. Debido a que el producto interior es no-degenerado, la transformaci´on T es un isomorfismo. Note que podemos escribir la base eµ como una combinaci´on lineal de la base e′µ , Tenemos entonces que eµ = Λ0µ e′0 + Λ1µ e′1 + Λ2µ e′2 + Λ3µ e′3
(1.26)
para cada µ = 0, 1, 2, 3. Observe que dicha ecuaci´on puede escribirse usando la convenci´on de Einstein como eµ = Λνµ e′ν
(1.27)
16 Asi podemos escribir la ecuaci´on (1.24) de la siguiente forma ηµν = −Λ0µ Λ0ν + Λ1µ Λ1ν + Λ2µ Λ2ν + Λ3µ Λ3ν
(1.28)
que en la notaci´on de Einstein es ηµν = Λρµ Λσν ηρσ
(1.29)
Es f´acil ver que la ecuaci´on (1.29) es equivalente a η ρσ = Λρµ Λσν η µν La matriz asociada con la transformaci´on 0 Λ0 Λ01 Λ10 Λ11 Λ= Λ20 Λ21 Λ30 Λ31
T est´a dada por Λ02 Λ03 Λ12 Λ13 Λ22 Λ23 Λ32 Λ33
(1.30)
(1.31)
que para un vector en general v = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) tenemos que la transformaci´on T aplicada esta dada por v ′ = T (v). En t´erminos de la matriz asociada y con la notaci´on de Einstein tenemos v ′µ = Λµν v ν
(1.32)
Se puede verificar que las ecuaci´ones (1.29) y (1.30) son equivalentes a la ecuaci´on Λt ηΛ = η
(1.33)
donde Λt es la matriz traspuesta. Definici´ on 6. Una transformaci´on lineal de M en M cuya matriz asociada Λ satisface que Λt ηΛ = η se le llama transformaci´on general de Lorentz. Observemos que la ecuaci´on (1.28) o (1.29) implican que para µ = ν = 0 tenemos que −1 = −(Λ00 )2 + (Λ10 )2 + (Λ20 )2 + (Λ30 )2
(1.34)
(Λ00 )2 = 1 + (Λ10 )2 + (Λ20 )2 + (Λ30 )2
(1.35)
que re-escribimos
La ecuaci´on (1.35) implica que (Λ00 )2 ≥ 1, de tal forma que entonces tenemos Λ00 ≥ 1 ´o Λ00 ≤ −1. Definici´ on 7. Una transformaci´on de Lorentz se llama ortocrona si Λ00 ≥ 1 y no-ortocrona si Λ00 ≤ −1
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Teorema 1. Sea v un vector temporal, y w 6= 0 un vector temporal ´o nulo. Sea {e0 , e1 , e2 , e3 } una base ortonormal de M tal que v = v µ eµ , w = w ν eν . 1) Si v0 w0 > 0 entonces g(v, w) < 0 2) Si v0 w0 < 0 entonces g(v, w) > 0 Demostraci´on. Como v es temporal tenemos que g(v, v) < 0 y como w es nulo o temporal tenemos que g(w, w) ≤ 0. Esto es −(v 0 )2 + (v 1 )2 + (v 2 )2 + (v 3 )2 < 0
− (w 0 )2 + (w 1 )2 + (w 2)2 + (w 3 )2 ≤ 0
⇒ (v 0 w 0 )2 > ((v 1 )2 + (v 2 )2 + (v 3)2 )((w 1)2 + (w 2)2 + (w 3 )2 ) ≥ (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 )2 Esta u ´ ltima desigualdad es la conocida desigualdad de Cauchy. Por lo tanto tenemos que | v0w0 | > | v1w1 + v2w2 + v3w3 |
asi tenemos que v 0 w 0 6= 0 y g(v, w) 6= 0. Sea v 0 w 0 > 0, entonces v0w0 = | v0w0 | > | v1 w1 + v2w2 + v3w3 | ≥ v1w1 + v2 w2 + v3w3 ⇒ − v 0 w 0 + v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = g(v, w) < 0
Analogamente se puede verificar que si v 0 w 0 < 0 entonces g(v, w) > 0.
1.5.
Contracci´ on de la longitud y dilataci´ on del tiempo
Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ , que se mueven a velocidad relativa v. Considere una barra en reposo en el sistema S ′ que tiene longitud L′ = x′B − x′A medida en dicho sistema. ¿Qu´e longitud tiene la barra respecto a un observador en S? De acuerdo a las transformaciones de Lorentz, tenemos que xB − vtB x′B = √ 1 − v2
y
xA − vtA x′A = √ 1 − v2
(1.36)
18
Figura 1.3: Dos sistemas S y S ′ en movimiento relativo. Una barra en S ′ de longitud L′ = xB′ − xA′ Desde el punto de vista del observador en S la barra est´a en constante movimiento y por tanto debe realizar la medici´on de los puntos iniciales y finales de la barra xB y xA al mismo tiempo, es decir tB = tA . Esto implica entonces que
es decir
xB − xA L′ = x′B − x′A = √ 1 − v2
(1.37)
√ L = L′ 1 − v 2
(1.38)
Por lo tanto la longitud L de la barra aparece contra´ıda desde el punto de vista del observador en S. Considere ahora un reloj en resposo situado en S ′ donde se han considerado dos eventos, uno en tiempo t′A y otro en tiempo t′B . Desde el punto de vista del observador en S los dos eventos considerados en ′ S tienen lugar en tiempos t′B + vx′B tB = √ 1 − v2
y
t′A + vx′A tA = √ 1 − v2
(1.39)
Notas de Relatividad
J.Manuel Garc´ıa-Islas
19
Figura 1.4: Dos sistemas S y S ′ en movimiento relativo. Un reloj en reposo en S ′.
donde en estas u ´ ltimas ecuaciones hemos utilizado la transformaci´on inversa. Tenemos que el reloj en S ′ est´a en reposo, y por lo tanto x′B = x′A . Esto implica entonces que t′ − t′A T′ T = tB − tA = √B =√ (1.40) 1 − v2 1 − v2 y de esta f´ormula se puede ver que para el observador que se encuentra en S el reloj del observador en S ′ se avanza m´as lentamente. Cabe notar que ambos hechos, la contacci´on de la longitud y la dilataci´on del tiempo, son hechos sim´etricos. Esto es en el sentido en que desde el punto de vista del observador en S ′ las barras que se encuentren en S se ver´an contra´ıdas y los relojes en S avanzar´an m´as lentamente. Por tanto desde el punto de vista de cualquier observador en un sistema de referencia inercial, barras en movimiento se ver´an contra´ıdas y relojes en movimiento avanzar´an m´as lentamente.
1.6.
Curvas en el espacio-tiempo y tiempo propio
Considere de nuevo el espacio-tiempo de MInkowski como se defini´o en la secci´on 1.2. Recuerde que ´este es un espacio vectorial de cuatro dimensiones que
20 identificamos como R4 con una forma cuadr´atica ds2 dada por Q = −(x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2
(1.41)
donde hemos re-etiquetado t = x0 , x = x1 , y = x2 , z = x3 . Recuerde tambi´en que dados dos eventos p1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) y p2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) definimos su separaci´on espacio-temporal usando la forma cuadr´atica como Q(p2 − p1 ) = − (x02 − x01 )2 + (x12 − x11 )2 + (x22 − x21 )2 + (x32 − x31 )2 =
3 X
ηµν ∆xµ ∆xν
(1.42)
µ,ν=0
La separaci´on entre los eventos p1 y p2 se le llamar´a respectivamente temporal si y s´olo si Q(p2 − p1 ) < 0 espacial si y s´olo si Q(p2 − p1 ) > 0 nula o de luz si y s´olo si Q(p2 − p1 ) = 0
Figura 1.5: Vectores en el espacio-tiempo Hemos mencionado que en el espacio-tiempo de un observador inercial, un sistema (que puede ser una part´ıcula) que se mueve a velocidad relativa constante define una recta que se le llama la l´ınea de mundo de dicha part´ıcula.
Notas de Relatividad
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21
De manera m´as general tenemos que una part´ıcula en el espacio-tiempo de un observador describir´a una trayectoria dada matem´aticamente por una curva. Una curva en el espacio-tiempo es entonces una funci´on α : I ⊂ R → R4 donde I es un intervalo abierto. Pediremos adem´as que la funci´on sea diferenciable C ∞ . Tenemos entonces que α(λ) = (x0 (λ), x1 (λ), x2 (λ), x3 (λ)) que tambi´en podemos denotar como xµ (λ) entendiendo que µ va de cero a tres . La velocidad 0 1 2 3 µ = ( dxdλ(λ) , dxdλ(λ) , dxdλ(λ) , dxdλ(λ) ) = dxdλ(λ) . Una curva α(λ) en el est´a dada por dα(λ) dλ espacio-tiempo se dice que es respectivamente dα(λ) es temporal para todo λ ∈ I dλ dα(λ) es espacial para todo λ ∈ I espacial si y s´olo si dλ dα(λ) es nulo para todo λ ∈ I nula o de luz si y s´olo si dλ
temporal si y s´olo si
En relatividad entenderemos que una part´ıcula masiva viajar´a siempre a una velocidad menor a la de la luz y en el espacio-tiempo describir´a una curva temporal. A esta curva se le conocer´a como la l´ınea de mundo de la part´ıcula. Recordemos por ejemplo que una part´ıcula que se mueve a velocidad constante respecto a un sistema inercial describe en el espacio-tiempo una l´ınea de mundo dada por una recta con pendiente respecto al eje temporal dada por la velocidad. En general una part´ıcula describir´a una trayectoria en el espaciotiempo dada por una curva temporal que no necesariamente es una recta. Dada dicha curva definida en un intervalo abierto I = (a, b) definimos su tiempo propio como Z br dxµ dxν τ= dλ (1.43) −ηµν dλ dλ a Ilustremos el contenido f´ısico de ´esta f´ormula de tiempo propio considerando la famosa paradoja de los gemelos. Tenemos dos gemelos en una estaci´on de tren; uno de ellos parte en un tren que viaja a una velocidad muy cercana a la de la luz. El otro permanece en la estaci´on por mucho tiempo medido en su sistema de referencia esperando el regreso de su hermano. Este u ´ ltimo vuelve en otro tren que viaja de igual forma a una velocidad muy cercana a la de la luz y encuentra de vuelta a su hermano que lo esperaba en la estaci´on. Resulta que el tiempo medido por el reloj del hermano que viaj´o en los trenes es mucho menor que el tiempo medido por el reloj del hermano que se qued´o en la estaci´on, siendo el hermano que viaj´o mucho m´as joven que el hermano que se qued´o. El hecho ahora es que este problema no es sim´etrico como en el caso de la dilataci´on del tiempo visto anteriormente en la secci´on 1.4. Para el hermano que viajo no se aplica que desde su punto de vista su hermano sea m´as joven debido a lo siguiente. El hermano que se qued´o en la estaci´on se encontraba
22 en un sistema de referencia inercial mientras que el que viaj´o no estuvo en un sistema de referencia inercial ya que para partir en primer lugar tuvo que acelerar hasta alcanzar una velocidad quiz´a constante; despu´es para regresar y compararse con su hermano tuvo que desacelerar hasta alcanzar una velocidad cero para cambiar de direcci´on comenzando de nuevo a acelerar. Este hecho lo pone en un sistema que no es inercial y por tanto el hecho ya no es sim´etrico. Para ver que realmente el hermano viajero es mucho m´as joven consideramos un diagrama espacio-tiempo que dibuja el hermano que se quedo en la estaci´on, ya que ´este se encuentra es un sistema inercial. Este diagrama espacio-tiempo muy simplificado es como el que dibujamos en la figura 1.6. La l´ınea de mundo del hermano que se qued´o en la estaci´on est´a dada simplemete por el eje temporal t. La l´ınea de mundo que describir´a su hermano viajero estar´a dada por una curva que parte del origen, si suponemos que cuando el hermano parte ambos gemelos sincronizan sus relojes en tiempo cero, y que intersecta de nuevo el eje temporal t en una coordenada mayor que representa el evento en que los hermanos se encuentran. En la figura 1.6 hemos considerado la curva del hermano viajero de la forma matem´atica m´as simple representado por dos rectas. Basta con considerar este simple caso para darse cuenta que el tiempo propio del hermano viajero es mucho menor y que para una curva en general se cumplir´a tambi´en. Esta u ´ ltima afirmaci´on es cierta ya que una curva en general se puede aproximar por rectas.
Figura 1.6: Paradoja de los gemelos
Notas de Relatividad
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23
Para el gemelo que se queda en la estaci´on, cuya l´ınea de mundo est´a dada por el eje temporal, la parametrizaci´on de dicha curva est´a simplemente dada 1 (λ) = (1, 0, 0, 0). Supor α1 (λ) = (λ, 0, 0, 0), lo que impica que su velocidad es dαdλ poniendo que el evento en el que encuentra a su hermano de nuevo es (t1 , 0, 0, 0), tenemos que utilizando la f´ormula (1.30) el tiempo propio del hermano que se queda en la estaci´on es τ1 = t1 . Para el hermano que se va de viaje su tiempo propio(ida y vuelta) se calcula como dos veces el tiempo propio de ida. La l´ınea de mundo dada por el viaje de ida es α2 (λ) = (λ, λv, 0, 0), y por tanto su vector velocidad est´a dado por dα2 (λ) = (1, v, 0, 0). Usando la formula (1.30) tenemos dλ Z
t1 /2
0
√
1 − v 2 dλ
(1.44)
Tenemos que la velocidad v es constante y como el tiempo propio total √ del viaje del gemelo viajero es el doble de la formula anterior tenemos que τ2 = t1 1 − v 2 . Cuando v se aproxima a la velocidad de la luz c = 1 tenemos claramente que τ2 < τ1 , implicando que el tiempo propio del gemelo viajero es menor que el tiempo propio del gemelo que se queda la estaci´on. Esto es interpretado como que el hermano gemelo que viaj´o en un tren a una velocidad muy cercana a la de la luz y volvio a la estaci´on en otro tren a una velocidad tambi´en muy cercana a la de la luz es m´as joven que el hermano gemelo que se qued´o en la estaci´on.
1.7.
Efecto Doppler
Derivemos ahora el efecto Doppler de una manera geom´etrica utilizando diagramas espacio-tiempo. Supongamos que dos sistemas de referencia inercial S y S ′ se mueven a velocidad relativa v. Desde el punto de vista de S suponemos que S ′ se mueve hacia el eje positivo de las x. Suponga que desde el sistema S ′ se em´ıten fot´ones en direcci´on hacia S, uno a uno y en tiempos igualmente separados desde el punto de vista del emisor que se encuentra en S ′ . Desde el punto de vista de S la frecuencia con la que los fot´ones son observados disminuye cuando S ′ se aleja de S como es el caso que estamos tratando. Para ver como cambia la frecuencia de emisi´on con respecto a la frecuencia de recepci´on dibujemos un diagrama espacio-tiempo de ´este problema. En ´este diagrama la linea inclinada hacia la derecha representa la linea de mundo del sistema S ′ . Las lineas punteadas representan las lineas de mundo de los fot´ones que viajan en direcci´on hacia S cuya linea de mundo est´a representada por el eje temporal t. Los puntos 1 y 2 representan los eventos de emisi´on de los fot´ones; y los puntos 3 y 4 son los eventos de recepci´on de los eventos. Denotemos con coordenadas dichos puntos. El primer punto de emisi´on (t1 , x1 ), el segundo punto de emisi´on como (t1 + ∆t1 , x1 + ∆x1 ). Al primer
24
Figura 1.7: Diagrama espacio-tiempo. Las lineas punteadas representan las lineas de mundo de los fot´ones
punto de recepci´on (t0 , 0), el segundo punto de recepci´on como (t0 + ∆t0 , 0). Tenemos que deacuerdo a la f´ormula (1.30) los tiempos propios transcurridos para el emisor de los puntos 1 a 2 y para el receptor de los puntos 3 a 4 est´an dados respectivamente por τ12 =
√
1 − v 2 ∆t1
y
τ34 = ∆t0
(1.45)
Los fotones emit´ıdos obedecen a la ecuaci´on ds2 = ηµν dxµ dxν = 0
(1.46)
la cu´al implica que dx2 = dt2
⇒
dx = −dt
(1.47)
El signo negativo es debido al hecho de que los fotones se mueven hacia la parte negativa respecto al sistema S ′ , lo que es equivalente a que las lineas de mundo de los fotones en el diagrama espacio-tiempo tienen pendiente -1. Para la linea de mundo del fot´on que va del evento 1 al evento 3 tenemos que Z
t0 t1
dt = −
Z
0
dx x1
⇒
(t0 − t1 ) = x1
(1.48)
Notas de Relatividad
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J.Manuel Garc´ıa-Islas
Dela misma forma para el fot´on que va del evento 2 al evento 4 tenemos que ∆t0 − ∆t1 = ∆x1 de lo que obtendriamos que ∆t0 =
∆x1 1+ ∆t1 = (1 + v)∆t1 ∆t1
(1.49)
De aqui tenemos que el cociente entre los tiempos propios τ12 y τ34 est´a dado por
∆t0 τ34 (1 + v)∆t1 1+v = =√ =√ =p τ12 1 − v 2 ∆t1 1 − v 2 ∆t1 (1 + v)(1 − v)
r
1+v 1−v
(1.50)
Esto implica que el cociente entre la frecuencia del receptor νr y la frecuencia del emisor νe est´a dado a la inversa de la f´ormula anterior νr = νe
r
1−v 1+v
(1.51)
Por tanto si el sistema emisor S ′ se mueve a una velocidad cercana a la de la luz respecto al sistema receptor S tenemos que νr < νe
1.8.
(1.52)
Suma de velocidades y aceleraci´ on
Considere dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ que se mueven a velocidad relativa v a lo largo de sus ejes x y x′ . Considere que una part´ıcula se mueve en S con velocidad w en cualquier direcci´on, es decir w = (wx , wy , wz ). ¿con que velocidad w ′ = (wx′ , wy′ , wz′ ) se mueve en el sistema S ′ ? Para responder a ´esta pregunta utilicemos las transformaciones de Lorentz dadas en la secci´on 1.2 ecuaci´on (1.12). Escritas en forma diferencial y recordando que v es constante tenemos que
dt′ = γ(dt − vdx) dx′ = γ(dx − vdt) dy ′ = dy dz ′ = dz
(1.53)
1 ′ donde γ = √1−v est´a dada por w ′ = (wx′ , wy′ , wz′ ) = 2 . La velocidad en S (dx′ /dt′ , dy ′/dt′ , dx′ /dt′ ), por lo que al tomar dichos cocientes tenemos
26
Figura 1.8: Sistemas de referencia inerciales con part´ıcula moviendose a velocidad w en S. ¿Que velocidad w ′ es observada en S ′ ?
wx′ =
dx −v wx − v dx − vdt dx′ dt = = = dx ′ dt dt − vdx 1 − vwx 1 − v dt dy
wy′ = wz′ =
dy ′ wy dy dt = = = dx dt′ γ(dt − vdx) γ(1 − vwx ) γ(1 − v dt )
(1.54)
dz wz dz ′ dz dt = = = dx dt′ γ(dt − vdx) γ(1 − vwx ) γ(1 − v dt )
La formula anterior entonces nos da las componentes de la velocidad w ′ medidas en S ′ cuando se conoce como es la velocidad w en S. Supongamos ahora que la part´ıcula se mueve en S con velocidad variable w, es decir tenemos aceleraci´on. Dicha aceleraci´on est´a dada por a = (ax , ay , az ). ¿Que acelaraci´on a′ = (a′x , a′y , a′z ) de la part´ıcula es medida en el sistema inercial S ′ ? De forma an´aloga a como hemos obtenido las formulas (1.41) tenemos ahora que dwx (1.55) − vwx )2 Dejamos que el lector calc´ ule dwx′ y dwz′ , y asi obtener finalmente que las componentes de la aceleraci´on a′ = (a′x , a′y , a′z ) = (dwx′ /dt′ , dwy′ /dt′ , dwz′ /dt′ ) estan dwx′ =
γ 2 (1
Notas de Relatividad
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dadas en terminos de las componentes a = (ax , ay , az ) de la siguiente forma 1 dwx′ = 3 ax ′ dt γ (1 − vwx )3 dwy′ 1 vwy a′y = = 2 ay + 2 ax ′ 2 dt γ (1 − vwx ) γ (1 − vwx )3 dw ′ 1 vwz a′z = ′z = 2 az + 2 ax 2 dt γ (1 − vwx ) γ (1 − vwx )3 a′x =
(1.56)
1 donde recuerde que nuevamente tenemos γ = √1−v 2 que depende del valor v que es la velocidad relativa entre los sistemas de referencia inerciales S y S ′ , y por tal es una constante. Observe que en relatividad Galileana teniamos que la aceleraci´on de una part´ıcula era la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Aqui en relatividad especial tenemos que el vector acelaraci´on es diferente en diferentes sistemas de referencia inercial. Lo u ´ nico que podemos observar es que si la aceleraci´on de una part´ıcula es diferente de cero en un sistema de referencia inercial entonces es diferente de cero en todos los sistemas de referencia inerciales. Es decir que si una part´ıcula se acelera para un observador inercial entonces todos los observadores inerciales coinciden en que dicha part´ıcula se acelera.
1.9.
L´ınea de mundo de una part´ıcula que se mueve con aceleraci´ on en un sistema de referencia inercial
Hemos visto que si en un sistema de referencia inercial S una part´ıcula se mueve a velocidad constante entonces su l´ınea de mundo en el espacio-tiempo est´a dada por una recta cuya pendiente respecto del eje temporal t est´a dada por la velocidad de la part´ıcula. Ahora estudiemos la l´ınea de mundo de una part´ıcula que lleva una aceleraci´on en un sistema de referencia inercial S, es decir dicha part´ıcula tiene una velocidad variable deacuerdo al observador inercial en S. Denotemos dicha velocidad variable por w(t). Supongamos adem´as que la part´ıcula se mueve solo en la direcci´on positiva del eje x del sistema referencial inercial S. Estamos entonces simplificando el problema al pensar que la velocidad de la part´ıcula no tiene componentes en y y z. Como la part´ıcula tiene una velocidad variable, entonces no define ella misma un sistema de referencia inercial. Sin embargo asi como matem´aticamente podemos pensar en que una curva se puede aproximar por un gran n´ umero de
28 segmentos rectos que tienen una longitud peque˜ na ∆s de tal forma que la longitud de la curva es calculada cuando el n´ umero de segmentos rectos tienden a infinito y ∆s → 0, podemos entonces imaginar que la part´ıcula va montada en un sistema de referencia inercial, desde luego solo por un lapso de tiempo propio de la part´ıcula demasiado corto, es decir por un δτ → 0. Entonces por ´este muy corto lapso de tiempo propio δτ , la part´ıcula se encuentra en un sistema de referencia inercial al que llamaremos sistema de referencia inercial instantaneo. En dicho sistema la part´ıcula se encuentra en reposo desde el punto de vista de dicho sistema de referencia inercial instantaneo. Es decir tenemos que w ′ = 0. Esto implica deacuerdo a la f´ormula de tiempo propio, que el tiempo propio de dicha part´ıcula en ´este caso coincide con la coordenada temporal del sistema referencial instantaneo, esto es, dτ = dt′ . Por tanto tenemos dw ′ dw ′ = ′ = a′ (τ ) (1.57) dτ dt y deacuerdo a la formula inversa de la primera f´ormula de las transformaciones (1.43) tenemos que dw p = (1 − w 2 )3 a′ (τ ) (1.58) dt Desde el punto de vista del sistema de referencia inercial S podemos tambi´en argumentar que la part´ıcula se mueve a velocidad constante solo por un lapso corto del tiempo propio dt de S. Suponiendo esto ultimo entonces el tiempo propio τ de la part´ıcula est´a relacionado con el tiempo propio del observador en el sistema de referencia inercial S por dτ =
p
(1 − w 2 ) dt
(1.59)
La f´ormula (1.45) la podemos escribir
dw = (1 − w 2 ) a′ (τ ) (1.60) dτ Re-etiquetando a′ (τ ) = f (τ ), haciendo separaci´on de variables y suponiendo que la part´ıcula acelerada parte cuando su tiempo propio τ es cero tenemos Z τ Z τ −1 tanh (w) = f (s) ⇒ w = tanh( f (s)) (1.61) 0
0
Supongamos que la part´ıcula se mueve con aceleraci´on uniforme. En relatividad especial entenderemos por esto que f (s) es constante. Por tanto tenemos entonces w = tanh(f τ )
(1.62)
Recuerde que anteriormente en la secci´on 1.2 cuando escribimos las transformaciones de Lorentz en t´erminos de una matriz que lleva entradas con funciones
Notas de Relatividad
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hiperb´olicas teniamos que la velocidad estaba dada por la tangente hiperb´olica. Aqui vemos ahora de nuevo que se vuelve a cumplir que la velocidad est´a dada por la tangente hiperb´olica aunque en este caso ahora tambi´en como funci´on de un parametro τ que es el tiempo propio de la part´ıcula. Finalmente para determinar la linea de mundo de la part´ıcula con aceleraci´on, notemos que la f´ormula (1.46) se puede escribir como 1 dt =p dτ (1 − w 2 )
(1.63)
como dx/dt = w tenemos entonces
dx w =p dτ (1 − w 2 )
(1.64)
las cu´ales podemos re-escribir nuevamente como dt dx = cosh(f τ ) = senh(f τ ) (1.65) dτ dτ La l´ınea de mundo de la part´ıcula est´a por tanto integrando las ecuaciones anteriores. Tomando como evento inicial del espacio-tiempo (t0 , x0 ) la l´ınea de mundo de una part´ıcula desde el punto de vista de un observador inercial tiene por ecuaci´on 1 1 (1.66) α(τ ) = t0 + sinh(f τ ) , x0 + cosh(f τ ) f f Dicha ecuaci´on es una curva parametrica en el espacio-tiempo dada por una hip´erbola como en la figura 1.9 La as´ıntota que representa la l´ınea de mundo de un fot´on nos hace ver que la part´ıcula jam´as alcanza la velocidad de la luz. As´ı mismo como la hip´erbola es asint´otica a la l´ınea de mundo de un fot´on se tiene que para un observador que fuera viajando en movimiento acelerado existen eventos que nunca observaria que son aquellos que se encuentran en la parte futura de la as´ıntota. Toda l´ınea de mundo de una part´ıcula que cruce dicha as´ıntota desaparecer´an de la vista del observador acelerado. Por este hecho a la as´ıntota se le conoce como horizonte de eventos.
30
Figura 1.9: L´ınea de mundo de una part´ıcula con aceleraci´on en un sistema de referencia inercial dada por una hip´erbola