Relatividad1

Relatividad Dr J. Manuel Garc´ıa-Islas Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas Universidad Nacional Autónoma de México, UNAM A. Postal 20-726, 01000, México DF, México e-mail: [email protected] 4 de septiembre de 2013

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Índice general 1. Relatividad Especial 1.1. Relatividad Galileana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El Espacio-Tiempo de Minkowski y Transformaciones de Lorentz 1.3. Diagramas Espacio-Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Espacio-tiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Contracción de la longitud y dilatación del tiempo . . . . . . . . 1.6. Curvas en el espacio-tiempo y tiempo propio . . . . . . . . . . . 1.7. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Suma de velocidades y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. L´ınea de mundo de una part´ıcula que se mueve con aceleración en un sistema de referencia inercial . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 7 12 14 17 19 23 25 27

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Cap´ıtulo 1 Relatividad Especial 1.1.

Relatividad Galileana

La relatividad Galileana o Newtoniana se basa en la existencia de un espacio de tres dimensiones y un tiempo absoluto. Por tiempo absoluto entenderemos que todo observador asigna el mismo valor temporal a un evento. Matemáticamente R3 es el espacio. Un observador asigna a un evento coordenadas espaciales (x, y, z) en un sistema que identifica como R3 con ejes de coordenadas que podemos considerar ortogonales. También le asigna una coordenada temporal t del tiempo absoluto. Otro observador asignará al mismo evento coordenadas (x′ , y ′, z ′ ) pero sin embargo por absolutismo del tiempo entendemos una vez más que t′ = t. Cada observador tiene un sistema y en dicho sistema el observador asigna tres coordenadas espaciales a los eventos. Podemos entonces pensar que dicho sistema es el espacio R3 mismo y un evento es entonces un punto de R3 . Un sistema de referencia inercial se define de acuerdo a un observador como aquel donde la primera ley de Newton se cumple, es decir, un sistema en donde si una part´ıcula se encuentra en reposo permanecerá en reposo en ausencia de una fuerza y una part´ıcula en movimiento rectil´ıneo uniforme permanecerá en dicho estado también en ausencia de una fuerza. Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ donde cada observador en su sistema ha escogido un sistema de coordenadas con ejes ortogonales. Considere que se mueven a velocidad relativa v uno respecto del otro y que en un tiempo inicial t = t′ = 0(tiempo absoluto) los sistemas coincidian teniendo sus respectivos ejes paralelos. Por simplicidad considere que los sistemas se mueven paralelamente a lo largo de los ejes x x′ . (Figura 1.1) Es importante entender lo siguiente. Cuando hablamos de velocidad relativa de dos sistemas inerciales nunca se ha mencionado que un sistema está en reposo y otro está en movimiento, ya que esto implicar´ıa que estar´ıamos pensando en un espacio absoluto, un espacio preferencial respecto al cual los demás sistemas se mueven o permanecen en reposo. Abandonamos esta idea desde este momento y tan solo 5

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Figura 1.1: Sistemas inerciales en movimiento relativo

podemos argumentar que desde el punto de vista del observador que está en el sistema S el sistema S ′ se mueve con rapidez v en la dirección positiva de su eje x. Análogamente podemos pensar que desde el punto de vista del observador que está en el sistema S ′ el sistema S se mueve con rapidez v en la dirección negativa de su eje x′ . Observe que lo importante es el movimiento relativo. No existe un sistema preferencial, tan solo hablaremos de sistemas inerciales que se mueven con velocidades relativas, sin que alguno sea preferencial. Hablamos de un tiempo absoluto en relatividad Galileana, pero hemos abandonado desde un principio la noción de un espacio absoluto. Sea un evento con coordenadas (x′ , y ′, z ′ ) en un tiempo t′ , es decir un evento observado en el sistema S ′ en dicha posición y en dicho momento. Es claro que las coordenadas asociadas a de dicho evento por un observador en el sistema S están relacionadas con las asociadas en S ′ por medio de t′ = t x′ = x − vt y′ = y z′ = z

(1.1)

De manera inversa las transformaciones inversas de las coordenadas de S en

Notas de Relatividad

J.Manuel Garc´ıa-Islas

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términos de las de S ′ tienen la misma forma remplazando v por −v. Si una part´ıcula se mueve en la dirección x a una velocidad u en S, entonces su velocidad en S ′ está dada por dx′ dx = − v = ux − v (1.2) ′ dt dt dicha ecuación es interpretada como la suma de velocidades. Es fácil notar que si diferenciamos de nuevo obtenemos la ecuación a′x = ax . Es decir, cuando una part´ıcula cambia su velocidad, dicho cambio es el mismo para ambos observadores. Todos los observadores en sistemas de referencia inerciales medirán la misma aceleración de una part´ıcula. En mecánica Newtoniana la masa de una part´ıcula no se ve afectada por el movimiento, y por tanto la segunda ley de Newton se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales; esto implica que todas las leyes de la mecánica son las mismas en todos los sistemas de referencia inercial. Esto confirma una vez más lo mencionado anteriormente sobre la no existencia de un espacio absoluto, ya que, el que las leyes de la mecánica sean las mismas en todos los sistemas de referencia inercial implica que no existe manera de realizar experimentos mecánicos que hagan distinguir de manera especial y u ´ nica a alg´ un sistema sobre demás. Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes. u′x =

1.2.

El Espacio-Tiempo de Minkowski y Transformaciones de Lorentz

La relatividad especial surge al abandonar del concepto de tiempo absoluto y asumir dos postulados. 1) Las leyes de la F´ısica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. 2) La velocidad de la luz toma el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. Estos postulados nos dicen de nuevo que no existe un sistema de referencia inercial preferencial. No hay experimentos que pueda realizar un observador en movimiento inercial que lo hagan determinar la existencia preferencial de su sistema sobre los demás; también todos los observadores inerciales coincidirán en el valor de la velocidad de la luz. Debemos entender que lo que estos postulados afirman a´ un es más profundo. Como no existe dicho sistema de referencia inercial preferencial entonces en relatividad sólo se puede hablar de movimiento relativo entre sistemas inerciales. Cuando se considera un problema que involucra movimientos relativos de sistemas referenciales inerciales es válido considerar lo que un observador en uno de estos sistemas mide, y como relaciona sus mediciones respecto a los

8 demás observadores en otros sistemas. Y siempre es posible cambiar de observador y obtener las relaciones correspondientes; estas relaciones estarán dadas por transformaciones como verémos en un momento. En otras palabras, todos los sistemas de referencia inercial son equivalentes. Definamos ahora el espacio-tiempo de la relatividad especial. Tenemos que el tiempo ya no es absoluto, es decir que cada observador tendrá su propia medida del tiempo. Considere de nuevo dos sistemas de referencia inercial S y S ′ , que se mueven a velocidad relativa v. Por simplicidad considerémos de nuevo que ambos sistemas estan alineados como en la figura 1.1. Considere que un observador en el sistema S detecta que un evento ha ocurrido en alg´ un momento que un reloj que lleva consigo le dice. Además lo ha observado en alg´ un punto de su sistema. Por tal le asigna cuatro coordenadas (t, x, y, z). Este mismo evento tiene coordenadas asignadas por un segundo observador en el sistema S ′ como (t′ , x′ , y ′, z ′ ). Deacuerdo al simple movimiento que estamos considerando de la figura 1.1 y a que el tiempo ya no es absoluto podemos deducir que la transformación de coordenadas entre S y S ′ están dadas por t′ = At + Bx x′ = Dt + Ex y′ = y z′ = z

(1.3)

El origen de S ′ , es decir x′ = 0, desde el punto de vista del observador en S corresponde al punto x = vt. Por tanto haciendo x′ = 0 y x = vt tenemos que D = −Ev. Esto implica que puedo escribir las ecuaciones (1.3) como t′ = At + Bx x′ = E(x − vt) y′ = y z′ = z

(1.4)

Considere que cuando los dos sistemas S y S ′ coinciden en sus respectivos or´ıgenes, ambos observadores en estos sistemas seleccionan sus tiempos t = 0 y t′ = 0 respectivamente y que el observador del sistema S emite un haz de luz desde su origen de su sistema de coordenadas. Fotones se desplazan en todas las direcciones, y por tanto en cada tiempo fijo t de S el conjunto de todos estos fotones del haz de luz han recorrido una distancia ct y determinan matemáticamente una esfera con ecuación x2 + y 2 + z 2 = c2 t2

(1.5)

Utilizarémos unidades de tal forma que la velocidad de la luz c = 1. Y nuestra ecuación (1.5) se escribe entonces



x2 + y 2 + z 2 = t2

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(1.6)

Tenemos el postulado de que la velocidad de la luz toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial independientemente de cómo se mueva éste respecto a un haz de luz. Por tanto para un observador en el sistema S ′ los fotones del haz de luz que fueron emitidos en S forman también matemáticamente a cada tiempo fijo t′ una esfera con ecuación 2

2

2

x′ + y ′ + z ′ = t′

2

(1.7)

Sustituyendo en ésta ecuación (1.7) las transformaciones de las ecuaciones (1.4) tenemos (E(x − vt))2 + y 2 + z 2 = (At + Bx)2

(1.8)

(E 2 − B 2 )x2 + y 2 + z 2 − 2(vE 2 + AB)xt = (A2 − v 2 E 2 )t2

(1.9)

E2 − B2 = 1 vE 2 + AB = 0 A2 − v 2 E 2 = 1

(1.10)

Podemos re-escribir la ecuación como

Comparando ésta ecuación (1.9) con la ecuación (1.6) tenemos el sistema de ecuaciones

Resolviendo éste sistema de ecuaciones encontramos los valores de A, B, E dados por 1 1 − v2 v B = −√ 1 − v2 1 E=√ 1 − v2 A= √

(1.11)

Por tanto podemos escribir las ecuaciones (1.3) como t − vx t′ = √ 1 − v2 x − vt x′ = √ 1 − v2 y′ = y z′ = z

(1.12)

10 √ Denotemos por γ = 1/ 1 − v 2 . Dichas ecuaciones (1.12) de cambio de coordenadas entre los dos sistemas se conocen como transformaciones de Lorentz. Hemos mencionado que cada observador asocia a un evento 4 coordenadas (t, x, y, z). Definimos el espacio-tiempo como un espacio vectorial de cuatro dimensiones que identificamos como R4 con una forma cuadrática Q dada por Q = −t2 + x2 + y 2 + z 2

(1.13)

Un evento es entonces un punto del espacio-tiempo con coordenadas (t, x, y, z) que se puede pensar también como un vector en dicho espacio vectorial. Dicho espacio vectorial con la forma cuadrática Q se conoce como el espaciotiempo de Minkowski. Sean dos eventos con coordenadas p1 = (t1 , x1 , y 1 , z 1 ) y p2 = (t2 , x2 , y 2, z 2 ) respectivamente.1 Si denotamos las coordenadas generales como t = x0 , x = x1 , y = x2 , z = x3 , entonces los dos eventos p1 , p2 , los podemos denotar como (xµ1 ) = (x01 , x11 , x21 , x31 ) y (xµ2 ) = (x02 , x12 , x22 , x32 ) Dados estos dos eventos definimos su separación espacio-temporal usando la forma cuadrática como Q(p2 − p1 ) = − (t2 − t1 )2 + (x2 − x1 )2 + (y 2 − y 1)2 + (z 2 − z 1 )2 = − (x02 − x01 )2 + (x12 − x11 )2 + (x22 − x21 )2 + (x32 − x31 )2 =

3 X

ηµν ∆xµ ∆xν

(1.14)

µ,ν=0

donde ∆xµ , ∆xν denotan las diferencias (x02 − x01 ), (x12 − x11 ), (x22 − x21 ), y (x32 − x31 ) para cada µ, ν que van de cero a tres, y ηµν toma los valores η00 = −1, η11 = 1, η22 = 1, η33 = 1, con los demás términos igual a cero, es decir ηµν = 0 cuando µ 6= ν. Si los ∆xµ denotan diferencias de coordenadas entre dos eventos, y suponemos que estos eventos suceden muy cercanos uno de otro, es decir ubicados en tiempos y coordenadas espaciales muy cercanas entonces denotamos a ∆xµ por una diferencial dxµ . Si también denotamos a Q por ds2 tenemos entonces que la fórmula (1.14) la podemos escribir como 2

ds =

3 X

ηµν dxµ dxν

(1.15)

µ,ν=0

Utilizando la convención de Einstein nos olvidamos de la suma en la ecuación (1.15) y la escribimos como ds2 = ηµν dxµ dxν 1

(1.16)

No confundir, los numeros arriba de las letras denotan numeraci´ on de coordenadas y no exponentes.


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entendiendo que siempre que tenemos ´ındices repetidos arriba y abajo, en este caso µ y ν, implica que hay una suma sobre dichos ´ındices. A la forma cuadrática (1.13) que hemos escrito en la forma (1.16) se le conoce como métrica del espacio-tiempo. Podemos verificar que dadas las transformaciones de Lorentz (1.12) la métrica (1.16) permanece invariante. Esto es muy fácil de verificar pues dados los eventos p1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) y p2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) como anteriormente, que corresponden a coordenadas asociadas a dos eventos por un observador en S; las correspondientes coordenadas asociadas a estos eventos por el observador en S ′ son p′1 = (x′ 01 , x′ 11 , x′ 21 , x′ 31 ) y p′2 = (x′ 02 , x′ 12 , x′ 22 , x′ 32 ) que están relacionadas con las asociadas por S mediante las transformaciones (1.12) y al sustituir se verifica que 0

1

2

3

−(∆x0 )2 + (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + (∆x3 )2 = −(∆x′ )2 + (∆x′ )2 + (∆x′ )2 + (∆x′ )2 Matemáticamente entonces podemos decir que las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales en el espacio vectorial que es el espacio-tiempo y que dejan invariantes la forma cuadrática (1.16). Para ver esto de la forma más simple, observe que podemos re-escribir las transformaciones (1.12) en forma matricial.    ′   t γ −vγ 0 0 t    x′   −vγ γ 0 0  x    ′ = (1.17)  y   0 0 1 0  y  z 0 0 0 1 z′

que es la matriz asociada a dicha transformación lineal. Veamos ahora una manera análoga en la que podemos escribir las transformaciones de Lorentz. Esta manera nos hará tener un entendimiento desde el punto de vista más matemático sobre estas transformaciones en las que la manera algebraica se relaciona con la manera geométrica. Definamos la transformación lineal dada matricialmente como    ′   t cosh φ − senh φ 0 0 t  x′   − senh φ cosh φ 0 0   x     ′ = (1.18)  y   0 0 1 0  y  z 0 0 0 1 z′

donde −∞ < φ < ∞. La transformación invesa está dada reemplazando φ por −φ. En el plano (t, x) la transformación viene dada por t′ = t cosh φ − x senh φ x′ = −t senh φ + x cosh φ

(1.19)

Para ver que esta forma de la transformación de Lorentz (1.19) es equivalente a la usual (1.12) lo verificamos de la siguiente forma:

12 en primer lugar el punto x′ = 0 se mueve con velocidad v = tanh φ desde el punto de vista del observador que ésta en el sistema inercial S. Esto se puede ver de la ecuación dos de la transformación (1.19) 0 = −t senh φ + x cosh φ =⇒ v =

senh φ x = = tanh φ t cosh φ

(1.20)

Las ecuaciones (1.19) las ponemos en la forma senh φ t = cosh φ t − x cosh φ senh φ ′ x = cosh φ − t +x (1.21) cosh φ p √ tenemos que cosh φ = 1/sech φ = 1/ 1 − tanh2 φ = 1/ 1 − v 2 = γ. Por tanto tenemos que ′

t = γ t − vx ′ x = γ x − vt ′

(1.22)

Y por lo tanto nuestra transformación (1.19) es equivalente a la transformación (1.12).

1.3.

Diagramas Espacio-Tiempo

Geométricamente la forma en que escribimos las transformaciones de Lorentz nos ense˜ na que se puede pensar en éstas como en un tipo de rotación espaciotemporal. En el caso particular del movimiento relativista más simple sobre los ejes x, x′ como en la figura 1.1, la rotación espacio-temporal se ve de la siguiente forma. El observador que se encuentra en S dibuja lo que se llama un diagrama espacio-tiempo. Este considera ejes ortogonales, tres de espacio y uno de tiempo. Como esto ser´ıa un diagrama en cuatro dimensiones, considera una simplificación de este hecho y tan solo dibuja dos ejes de espacio y uno de tiempo. De acuerdo a que esta simple transformación de Lorentz que hemos estado considerando sólo se reduce a la transformación (1.19) es suficiente considerar dos ejes, uno espacial y otro temporal. El eje x′ es aquel cuando t′ = 0 y por la primera ecuación de esta trasformación tenemos que t′ = 0 corresponde a que t/x = tanh φ lo que nos indica que la pendiente de x′ es menor a 1. El eje t′ es aquel cuando x′ = 0 y por la segunda ecuación de esta trasformación tenemos que x′ = 0 corresponde a que t/x = 1/ tanh φ lo que nos indica que la pendiente



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Figura 1.2: Rotación espacio-temporal

de t′ es mayor a 1. Por tanto los ejes t′ y x′ en el diagrama espacio-temporal del observador que está en el sistema de referencia inercial S se ven como en la figura 1.2. El observador que se encuentra en S se encuentra en reposo en su propio sistema de referencia inercial y por tanto en un diagrama espacio-temporal como el de la figura 1.2 el eje t representa su llamada l´ınea de mundo. El eje t′ representa la l´ınea de mundo del sistema S ′ desde el punto de vista del observador que está en S. Además S ′ tiene velocidad v desde el punto de vista del observador en S y ésta se representa en el diagrama por la pendiente del eje t′ respecto al eje t. Recuerde que el eje t′ es aquel para el cuál x′ = 0 y corresponde a t/x = 1/ tanh φ > 1 ⇒ x/t = v = tanh φ < 1, que es la pendiente de ésta recta a partir del eje t. Por tal, toda part´ıcula masiva que se mueve a velocidad relativa constante respecto a un observador que se encuentra en un sistema de referencia inercial S, tiene una trayectoria en un diagrama espacio-temporal dada por una recta con pendiente menor a uno respecto al eje temporal. En la figura 1.2 se tiene un punto del espacio-tiempo(evento) con proyecciones a los ejes t y x, pero también tiene proyecciones a los ejes t′ y x′ . El eje x′ representa los puntos t′ = 0, es decir representa eventos que pasan simultaneamente en S ′ , en el tiempo t′ = 0. Es fácil ver que entonces las l´ıneas paralelas al eje x′ representan eventos simultáneos en S ′ . Gráficamente es fácil ver que

14 eventos simultáneos en S ′ que se encuentran en l´ıneas paralelas al eje x′ no representan eventos simultáneos en S ya que éstos no se proyectan a la misma coordenada t. De la misma manera, eventos simultáneos en S que se representan en l´ıneas paralelas al eje x, no representan eventos simultáneos en S ′ . En estos diagramas espacio-tiempo es fácil ver cómo eventos que son simultáneos para un observador en un sistema de referencia inercial S ′ , no son simultáneos para un segundo observador que se mueve relativamente al primero en un sistema de referencia inercial S.

1.4.

Espacio-tiempo de Minkowski

Veamos ahora una descripción más formal y matemática de la relatividad especial. Definici´ on 1. El espacio-tiempo de Minkowski es un espacio vectorial real 4dimensional que donatomos por M el cuál tiene asociado una forma bilineal, simétrica y no degenerada de ´ındice 1. Esto significa que g :M ×M →R tal que 1) Bilineal: Para todo u, v y w ∈ M y todo a, b ∈ R tenemos que g(au + bv, w) = ag(u, w) + bg(v, w) g(u, av + bw) = ag(u, v) + bg(u, w) 2) Simétrica: Para todo u, v ∈ M tenemos que g(u, v) = g(v, u) 3) No-degenerado: Si para v ∈ M tenemos que g(u, v) = 0 para todo u ∈ M entonces u = 0. 4) De ´ındice 1: El producto en M es Lorentziano. Es decir, existe una base {e0 , e1 , e2 , e3 } de M con la propiedad de que si u = uµ eµ y v = v ν eν entonces g(u, v) = −u0 v 0 + u1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3



Los elementos de M se llaman eventos.  −1 0  0 1 η=  0 0 0 0

15

Considere la matriz dada por  0 0 0 0   (1.23) 1 0  0 1

Denotarémos a sus entradas por ηµν o por η µν de tal forma que tenemos que ηµν = η µν = −1 si µ = ν = 0, ηµν = η µν = 1 si µ = ν = 1, 2, 3 y 0 si µ 6= ν. De esta forma podemos escribir g(eµ , eν ) = ηµν = η µν

(1.24)

y usando la convención de Einstein tenemos que g(u, v) = ηµν uµ v ν

(1.25)

Definici´ on 2. Se dice que u y v ∈ M son ortogonales si g(u, v) = 0. Un vector v ∈ M se dice que es unitario si g(v, v) = ±1. La forma cuadrática asociada a esta forma bilineal esta dada por la fórmula (1.13) y la separación entre dos eventos p1 y p2 está dada por la fórmula (1.14). Definici´ on 3. Definimos asi formalmente el cono nulo o cono de luz en p ∈ M por CN (p) = {q ∈ M | Q(q − p) = 0} Definici´ on 4. Considere dos distintos eventos p y q. El vector desplazamiento de p a q dado por v = q − p. Se dice que v es temporal si Q(v) < 0 y v es espacial si Q(v) > 0. Definici´ on 5. Sean {e0 , e1 , e2 , e3 } y {e′0 , e′1 , e′2 , e′3 } dos bases ortonormales de M. Sea una transformación lineal T : M → M tal que T (eµ ) = e′µ . Se dice que T es una transformación ortogonal, si g(u, v) = g(T (u), T (v)) para todo u, v ∈ M. Debido a que el producto interior es no-degenerado, la transformación T es un isomorfismo. Note que podemos escribir la base eµ como una combinación lineal de la base e′µ , Tenemos entonces que eµ = Λ0µ e′0 + Λ1µ e′1 + Λ2µ e′2 + Λ3µ e′3

(1.26)

para cada µ = 0, 1, 2, 3. Observe que dicha ecuación puede escribirse usando la convención de Einstein como eµ = Λνµ e′ν

(1.27)

16 Asi podemos escribir la ecuación (1.24) de la siguiente forma ηµν = −Λ0µ Λ0ν + Λ1µ Λ1ν + Λ2µ Λ2ν + Λ3µ Λ3ν

(1.28)

que en la notación de Einstein es ηµν = Λρµ Λσν ηρσ

(1.29)

Es fácil ver que la ecuación (1.29) es equivalente a η ρσ = Λρµ Λσν η µν La matriz asociada con la transformación  0 Λ0 Λ01  Λ10 Λ11 Λ=  Λ20 Λ21 Λ30 Λ31

T está dada por  Λ02 Λ03 Λ12 Λ13   Λ22 Λ23  Λ32 Λ33

(1.30)

(1.31)

que para un vector en general v = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) tenemos que la transformación T aplicada esta dada por v ′ = T (v). En términos de la matriz asociada y con la notación de Einstein tenemos v ′µ = Λµν v ν

(1.32)

Se puede verificar que las ecuaciónes (1.29) y (1.30) son equivalentes a la ecuación Λt ηΛ = η

(1.33)

donde Λt es la matriz traspuesta. Definici´ on 6. Una transformación lineal de M en M cuya matriz asociada Λ satisface que Λt ηΛ = η se le llama transformación general de Lorentz. Observemos que la ecuación (1.28) o (1.29) implican que para µ = ν = 0 tenemos que −1 = −(Λ00 )2 + (Λ10 )2 + (Λ20 )2 + (Λ30 )2

(1.34)

(Λ00 )2 = 1 + (Λ10 )2 + (Λ20 )2 + (Λ30 )2

(1.35)

que re-escribimos

La ecuación (1.35) implica que (Λ00 )2 ≥ 1, de tal forma que entonces tenemos Λ00 ≥ 1 ó Λ00 ≤ −1. Definici´ on 7. Una transformación de Lorentz se llama ortocrona si Λ00 ≥ 1 y no-ortocrona si Λ00 ≤ −1



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Teorema 1. Sea v un vector temporal, y w 6= 0 un vector temporal ó nulo. Sea {e0 , e1 , e2 , e3 } una base ortonormal de M tal que v = v µ eµ , w = w ν eν . 1) Si v0 w0 > 0 entonces g(v, w) < 0 2) Si v0 w0 < 0 entonces g(v, w) > 0 Demostración. Como v es temporal tenemos que g(v, v) < 0 y como w es nulo o temporal tenemos que g(w, w) ≤ 0. Esto es −(v 0 )2 + (v 1 )2 + (v 2 )2 + (v 3 )2 < 0

− (w 0 )2 + (w 1 )2 + (w 2)2 + (w 3 )2 ≤ 0

⇒ (v 0 w 0 )2 > ((v 1 )2 + (v 2 )2 + (v 3)2 )((w 1)2 + (w 2)2 + (w 3 )2 ) ≥ (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 )2 Esta u ´ ltima desigualdad es la conocida desigualdad de Cauchy. Por lo tanto tenemos que | v0w0 | > | v1w1 + v2w2 + v3w3 |

asi tenemos que v 0 w 0 6= 0 y g(v, w) 6= 0. Sea v 0 w 0 > 0, entonces v0w0 = | v0w0 | > | v1 w1 + v2w2 + v3w3 | ≥ v1w1 + v2 w2 + v3w3 ⇒ − v 0 w 0 + v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = g(v, w) < 0

Analogamente se puede verificar que si v 0 w 0 < 0 entonces g(v, w) > 0.

1.5.

Contracci´ on de la longitud y dilataci´ on del tiempo

Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ , que se mueven a velocidad relativa v. Considere una barra en reposo en el sistema S ′ que tiene longitud L′ = x′B − x′A medida en dicho sistema. ¿Qué longitud tiene la barra respecto a un observador en S? De acuerdo a las transformaciones de Lorentz, tenemos que xB − vtB x′B = √ 1 − v2

y

xA − vtA x′A = √ 1 − v2

(1.36)

18

Figura 1.3: Dos sistemas S y S ′ en movimiento relativo. Una barra en S ′ de longitud L′ = xB′ − xA′ Desde el punto de vista del observador en S la barra está en constante movimiento y por tanto debe realizar la medición de los puntos iniciales y finales de la barra xB y xA al mismo tiempo, es decir tB = tA . Esto implica entonces que

es decir

xB − xA L′ = x′B − x′A = √ 1 − v2

(1.37)

√ L = L′ 1 − v 2

(1.38)

Por lo tanto la longitud L de la barra aparece contra´ıda desde el punto de vista del observador en S. Considere ahora un reloj en resposo situado en S ′ donde se han considerado dos eventos, uno en tiempo t′A y otro en tiempo t′B . Desde el punto de vista del observador en S los dos eventos considerados en ′ S tienen lugar en tiempos t′B + vx′B tB = √ 1 − v2

y

t′A + vx′A tA = √ 1 − v2

(1.39)



19

Figura 1.4: Dos sistemas S y S ′ en movimiento relativo. Un reloj en reposo en S ′.

donde en estas u ´ ltimas ecuaciones hemos utilizado la transformación inversa. Tenemos que el reloj en S ′ está en reposo, y por lo tanto x′B = x′A . Esto implica entonces que t′ − t′A T′ T = tB − tA = √B =√ (1.40) 1 − v2 1 − v2 y de esta fórmula se puede ver que para el observador que se encuentra en S el reloj del observador en S ′ se avanza más lentamente. Cabe notar que ambos hechos, la contacción de la longitud y la dilatación del tiempo, son hechos simétricos. Esto es en el sentido en que desde el punto de vista del observador en S ′ las barras que se encuentren en S se verán contra´ıdas y los relojes en S avanzarán más lentamente. Por tanto desde el punto de vista de cualquier observador en un sistema de referencia inercial, barras en movimiento se verán contra´ıdas y relojes en movimiento avanzarán más lentamente.

1.6.

Curvas en el espacio-tiempo y tiempo propio

Considere de nuevo el espacio-tiempo de MInkowski como se definió en la sección 1.2. Recuerde que éste es un espacio vectorial de cuatro dimensiones que

20 identificamos como R4 con una forma cuadrática ds2 dada por Q = −(x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2

(1.41)

donde hemos re-etiquetado t = x0 , x = x1 , y = x2 , z = x3 . Recuerde también que dados dos eventos p1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) y p2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) definimos su separación espacio-temporal usando la forma cuadrática como Q(p2 − p1 ) = − (x02 − x01 )2 + (x12 − x11 )2 + (x22 − x21 )2 + (x32 − x31 )2 =

3 X

ηµν ∆xµ ∆xν

(1.42)

µ,ν=0

La separación entre los eventos p1 y p2 se le llamará respectivamente temporal si y sólo si Q(p2 − p1 ) < 0 espacial si y sólo si Q(p2 − p1 ) > 0 nula o de luz si y sólo si Q(p2 − p1 ) = 0

Figura 1.5: Vectores en el espacio-tiempo Hemos mencionado que en el espacio-tiempo de un observador inercial, un sistema (que puede ser una part´ıcula) que se mueve a velocidad relativa constante define una recta que se le llama la l´ınea de mundo de dicha part´ıcula.



21

De manera más general tenemos que una part´ıcula en el espacio-tiempo de un observador describirá una trayectoria dada matemáticamente por una curva. Una curva en el espacio-tiempo es entonces una función α : I ⊂ R → R4 donde I es un intervalo abierto. Pediremos además que la función sea diferenciable C ∞ . Tenemos entonces que α(λ) = (x0 (λ), x1 (λ), x2 (λ), x3 (λ)) que también podemos denotar como xµ (λ) entendiendo que µ va de cero a tres . La velocidad 0 1 2 3 µ = ( dxdλ(λ) , dxdλ(λ) , dxdλ(λ) , dxdλ(λ) ) = dxdλ(λ) . Una curva α(λ) en el está dada por dα(λ) dλ espacio-tiempo se dice que es respectivamente dα(λ) es temporal para todo λ ∈ I dλ dα(λ) es espacial para todo λ ∈ I espacial si y sólo si dλ dα(λ) es nulo para todo λ ∈ I nula o de luz si y sólo si dλ

temporal si y sólo si

En relatividad entenderemos que una part´ıcula masiva viajará siempre a una velocidad menor a la de la luz y en el espacio-tiempo describirá una curva temporal. A esta curva se le conocerá como la l´ınea de mundo de la part´ıcula. Recordemos por ejemplo que una part´ıcula que se mueve a velocidad constante respecto a un sistema inercial describe en el espacio-tiempo una l´ınea de mundo dada por una recta con pendiente respecto al eje temporal dada por la velocidad. En general una part´ıcula describirá una trayectoria en el espaciotiempo dada por una curva temporal que no necesariamente es una recta. Dada dicha curva definida en un intervalo abierto I = (a, b) definimos su tiempo propio como Z br dxµ dxν τ= dλ (1.43) −ηµν dλ dλ a Ilustremos el contenido f´ısico de ésta fórmula de tiempo propio considerando la famosa paradoja de los gemelos. Tenemos dos gemelos en una estación de tren; uno de ellos parte en un tren que viaja a una velocidad muy cercana a la de la luz. El otro permanece en la estación por mucho tiempo medido en su sistema de referencia esperando el regreso de su hermano. Este u ´ ltimo vuelve en otro tren que viaja de igual forma a una velocidad muy cercana a la de la luz y encuentra de vuelta a su hermano que lo esperaba en la estación. Resulta que el tiempo medido por el reloj del hermano que viajó en los trenes es mucho menor que el tiempo medido por el reloj del hermano que se quedó en la estación, siendo el hermano que viajó mucho más joven que el hermano que se quedó. El hecho ahora es que este problema no es simétrico como en el caso de la dilatación del tiempo visto anteriormente en la sección 1.4. Para el hermano que viajo no se aplica que desde su punto de vista su hermano sea más joven debido a lo siguiente. El hermano que se quedó en la estación se encontraba

22 en un sistema de referencia inercial mientras que el que viajó no estuvo en un sistema de referencia inercial ya que para partir en primer lugar tuvo que acelerar hasta alcanzar una velocidad quizá constante; después para regresar y compararse con su hermano tuvo que desacelerar hasta alcanzar una velocidad cero para cambiar de dirección comenzando de nuevo a acelerar. Este hecho lo pone en un sistema que no es inercial y por tanto el hecho ya no es simétrico. Para ver que realmente el hermano viajero es mucho más joven consideramos un diagrama espacio-tiempo que dibuja el hermano que se quedo en la estación, ya que éste se encuentra es un sistema inercial. Este diagrama espacio-tiempo muy simplificado es como el que dibujamos en la figura 1.6. La l´ınea de mundo del hermano que se quedó en la estación está dada simplemete por el eje temporal t. La l´ınea de mundo que describirá su hermano viajero estará dada por una curva que parte del origen, si suponemos que cuando el hermano parte ambos gemelos sincronizan sus relojes en tiempo cero, y que intersecta de nuevo el eje temporal t en una coordenada mayor que representa el evento en que los hermanos se encuentran. En la figura 1.6 hemos considerado la curva del hermano viajero de la forma matemática más simple representado por dos rectas. Basta con considerar este simple caso para darse cuenta que el tiempo propio del hermano viajero es mucho menor y que para una curva en general se cumplirá también. Esta u ´ ltima afirmación es cierta ya que una curva en general se puede aproximar por rectas.

Figura 1.6: Paradoja de los gemelos



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Para el gemelo que se queda en la estación, cuya l´ınea de mundo está dada por el eje temporal, la parametrización de dicha curva está simplemente dada 1 (λ) = (1, 0, 0, 0). Supor α1 (λ) = (λ, 0, 0, 0), lo que impica que su velocidad es dαdλ poniendo que el evento en el que encuentra a su hermano de nuevo es (t1 , 0, 0, 0), tenemos que utilizando la fórmula (1.30) el tiempo propio del hermano que se queda en la estación es τ1 = t1 . Para el hermano que se va de viaje su tiempo propio(ida y vuelta) se calcula como dos veces el tiempo propio de ida. La l´ınea de mundo dada por el viaje de ida es α2 (λ) = (λ, λv, 0, 0), y por tanto su vector velocidad está dado por dα2 (λ) = (1, v, 0, 0). Usando la formula (1.30) tenemos dλ Z

t1 /2

0

√

1 − v 2 dλ

(1.44)

Tenemos que la velocidad v es constante y como el tiempo propio total √ del viaje del gemelo viajero es el doble de la formula anterior tenemos que τ2 = t1 1 − v 2 . Cuando v se aproxima a la velocidad de la luz c = 1 tenemos claramente que τ2 < τ1 , implicando que el tiempo propio del gemelo viajero es menor que el tiempo propio del gemelo que se queda la estación. Esto es interpretado como que el hermano gemelo que viajó en un tren a una velocidad muy cercana a la de la luz y volvio a la estación en otro tren a una velocidad también muy cercana a la de la luz es más joven que el hermano gemelo que se quedó en la estación.

1.7.

Efecto Doppler

Derivemos ahora el efecto Doppler de una manera geométrica utilizando diagramas espacio-tiempo. Supongamos que dos sistemas de referencia inercial S y S ′ se mueven a velocidad relativa v. Desde el punto de vista de S suponemos que S ′ se mueve hacia el eje positivo de las x. Suponga que desde el sistema S ′ se em´ıten fotónes en dirección hacia S, uno a uno y en tiempos igualmente separados desde el punto de vista del emisor que se encuentra en S ′ . Desde el punto de vista de S la frecuencia con la que los fotónes son observados disminuye cuando S ′ se aleja de S como es el caso que estamos tratando. Para ver como cambia la frecuencia de emisión con respecto a la frecuencia de recepción dibujemos un diagrama espacio-tiempo de éste problema. En éste diagrama la linea inclinada hacia la derecha representa la linea de mundo del sistema S ′ . Las lineas punteadas representan las lineas de mundo de los fotónes que viajan en dirección hacia S cuya linea de mundo está representada por el eje temporal t. Los puntos 1 y 2 representan los eventos de emisión de los fotónes; y los puntos 3 y 4 son los eventos de recepción de los eventos. Denotemos con coordenadas dichos puntos. El primer punto de emisión (t1 , x1 ), el segundo punto de emisión como (t1 + ∆t1 , x1 + ∆x1 ). Al primer

24

Figura 1.7: Diagrama espacio-tiempo. Las lineas punteadas representan las lineas de mundo de los fotónes

punto de recepción (t0 , 0), el segundo punto de recepción como (t0 + ∆t0 , 0). Tenemos que deacuerdo a la fórmula (1.30) los tiempos propios transcurridos para el emisor de los puntos 1 a 2 y para el receptor de los puntos 3 a 4 están dados respectivamente por τ12 =

√

1 − v 2 ∆t1

y

τ34 = ∆t0

(1.45)

Los fotones emit´ıdos obedecen a la ecuación ds2 = ηµν dxµ dxν = 0

(1.46)

la cuál implica que dx2 = dt2

⇒

dx = −dt

(1.47)

El signo negativo es debido al hecho de que los fotones se mueven hacia la parte negativa respecto al sistema S ′ , lo que es equivalente a que las lineas de mundo de los fotones en el diagrama espacio-tiempo tienen pendiente -1. Para la linea de mundo del fotón que va del evento 1 al evento 3 tenemos que Z

t0 t1

dt = −

Z

0

dx x1

⇒

(t0 − t1 ) = x1

(1.48)


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Dela misma forma para el fotón que va del evento 2 al evento 4 tenemos que ∆t0 − ∆t1 = ∆x1 de lo que obtendriamos que ∆t0 =

∆x1 1+ ∆t1 = (1 + v)∆t1 ∆t1

(1.49)

De aqui tenemos que el cociente entre los tiempos propios τ12 y τ34 está dado por

∆t0 τ34 (1 + v)∆t1 1+v = =√ =√ =p τ12 1 − v 2 ∆t1 1 − v 2 ∆t1 (1 + v)(1 − v)

r

1+v 1−v

(1.50)

Esto implica que el cociente entre la frecuencia del receptor νr y la frecuencia del emisor νe está dado a la inversa de la fórmula anterior νr = νe

r

1−v 1+v

(1.51)

Por tanto si el sistema emisor S ′ se mueve a una velocidad cercana a la de la luz respecto al sistema receptor S tenemos que νr < νe

1.8.

(1.52)

Suma de velocidades y aceleraci´ on

Considere dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ que se mueven a velocidad relativa v a lo largo de sus ejes x y x′ . Considere que una part´ıcula se mueve en S con velocidad w en cualquier dirección, es decir w = (wx , wy , wz ). ¿con que velocidad w ′ = (wx′ , wy′ , wz′ ) se mueve en el sistema S ′ ? Para responder a ésta pregunta utilicemos las transformaciones de Lorentz dadas en la sección 1.2 ecuación (1.12). Escritas en forma diferencial y recordando que v es constante tenemos que

dt′ = γ(dt − vdx) dx′ = γ(dx − vdt) dy ′ = dy dz ′ = dz

(1.53)

1 ′ donde γ = √1−v está dada por w ′ = (wx′ , wy′ , wz′ ) = 2 . La velocidad en S (dx′ /dt′ , dy ′/dt′ , dx′ /dt′ ), por lo que al tomar dichos cocientes tenemos

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Figura 1.8: Sistemas de referencia inerciales con part´ıcula moviendose a velocidad w en S. ¿Que velocidad w ′ es observada en S ′ ?

wx′ =

dx −v wx − v dx − vdt dx′ dt = = = dx ′ dt dt − vdx 1 − vwx 1 − v dt dy

wy′ = wz′ =

dy ′ wy dy dt = = = dx dt′ γ(dt − vdx) γ(1 − vwx ) γ(1 − v dt )

(1.54)

dz wz dz ′ dz dt = = = dx dt′ γ(dt − vdx) γ(1 − vwx ) γ(1 − v dt )

La formula anterior entonces nos da las componentes de la velocidad w ′ medidas en S ′ cuando se conoce como es la velocidad w en S. Supongamos ahora que la part´ıcula se mueve en S con velocidad variable w, es decir tenemos aceleración. Dicha aceleración está dada por a = (ax , ay , az ). ¿Que acelaración a′ = (a′x , a′y , a′z ) de la part´ıcula es medida en el sistema inercial S ′ ? De forma análoga a como hemos obtenido las formulas (1.41) tenemos ahora que dwx (1.55) − vwx )2 Dejamos que el lector calc´ ule dwx′ y dwz′ , y asi obtener finalmente que las componentes de la aceleración a′ = (a′x , a′y , a′z ) = (dwx′ /dt′ , dwy′ /dt′ , dwz′ /dt′ ) estan dwx′ =

γ 2 (1


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dadas en terminos de las componentes a = (ax , ay , az ) de la siguiente forma 1 dwx′ = 3 ax ′ dt γ (1 − vwx )3 dwy′ 1 vwy a′y = = 2 ay + 2 ax ′ 2 dt γ (1 − vwx ) γ (1 − vwx )3 dw ′ 1 vwz a′z = ′z = 2 az + 2 ax 2 dt γ (1 − vwx ) γ (1 − vwx )3 a′x =

(1.56)

1 donde recuerde que nuevamente tenemos γ = √1−v 2 que depende del valor v que es la velocidad relativa entre los sistemas de referencia inerciales S y S ′ , y por tal es una constante. Observe que en relatividad Galileana teniamos que la aceleración de una part´ıcula era la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Aqui en relatividad especial tenemos que el vector acelaración es diferente en diferentes sistemas de referencia inercial. Lo u ´ nico que podemos observar es que si la aceleración de una part´ıcula es diferente de cero en un sistema de referencia inercial entonces es diferente de cero en todos los sistemas de referencia inerciales. Es decir que si una part´ıcula se acelera para un observador inercial entonces todos los observadores inerciales coinciden en que dicha part´ıcula se acelera.

1.9.

L´ınea de mundo de una part´ıcula que se mueve con aceleraci´ on en un sistema de referencia inercial

Hemos visto que si en un sistema de referencia inercial S una part´ıcula se mueve a velocidad constante entonces su l´ınea de mundo en el espacio-tiempo está dada por una recta cuya pendiente respecto del eje temporal t está dada por la velocidad de la part´ıcula. Ahora estudiemos la l´ınea de mundo de una part´ıcula que lleva una aceleración en un sistema de referencia inercial S, es decir dicha part´ıcula tiene una velocidad variable deacuerdo al observador inercial en S. Denotemos dicha velocidad variable por w(t). Supongamos además que la part´ıcula se mueve solo en la dirección positiva del eje x del sistema referencial inercial S. Estamos entonces simplificando el problema al pensar que la velocidad de la part´ıcula no tiene componentes en y y z. Como la part´ıcula tiene una velocidad variable, entonces no define ella misma un sistema de referencia inercial. Sin embargo asi como matemáticamente podemos pensar en que una curva se puede aproximar por un gran n´ umero de

28 segmentos rectos que tienen una longitud peque˜ na ∆s de tal forma que la longitud de la curva es calculada cuando el n´ umero de segmentos rectos tienden a infinito y ∆s → 0, podemos entonces imaginar que la part´ıcula va montada en un sistema de referencia inercial, desde luego solo por un lapso de tiempo propio de la part´ıcula demasiado corto, es decir por un δτ → 0. Entonces por éste muy corto lapso de tiempo propio δτ , la part´ıcula se encuentra en un sistema de referencia inercial al que llamaremos sistema de referencia inercial instantaneo. En dicho sistema la part´ıcula se encuentra en reposo desde el punto de vista de dicho sistema de referencia inercial instantaneo. Es decir tenemos que w ′ = 0. Esto implica deacuerdo a la fórmula de tiempo propio, que el tiempo propio de dicha part´ıcula en éste caso coincide con la coordenada temporal del sistema referencial instantaneo, esto es, dτ = dt′ . Por tanto tenemos dw ′ dw ′ = ′ = a′ (τ ) (1.57) dτ dt y deacuerdo a la formula inversa de la primera fórmula de las transformaciones (1.43) tenemos que dw p = (1 − w 2 )3 a′ (τ ) (1.58) dt Desde el punto de vista del sistema de referencia inercial S podemos también argumentar que la part´ıcula se mueve a velocidad constante solo por un lapso corto del tiempo propio dt de S. Suponiendo esto ultimo entonces el tiempo propio τ de la part´ıcula está relacionado con el tiempo propio del observador en el sistema de referencia inercial S por dτ =

p

(1 − w 2 ) dt

(1.59)

La fórmula (1.45) la podemos escribir

dw = (1 − w 2 ) a′ (τ ) (1.60) dτ Re-etiquetando a′ (τ ) = f (τ ), haciendo separación de variables y suponiendo que la part´ıcula acelerada parte cuando su tiempo propio τ es cero tenemos Z τ Z τ −1 tanh (w) = f (s) ⇒ w = tanh( f (s)) (1.61) 0

0

Supongamos que la part´ıcula se mueve con aceleración uniforme. En relatividad especial entenderemos por esto que f (s) es constante. Por tanto tenemos entonces w = tanh(f τ )

(1.62)

Recuerde que anteriormente en la sección 1.2 cuando escribimos las transformaciones de Lorentz en términos de una matriz que lleva entradas con funciones



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hiperbólicas teniamos que la velocidad estaba dada por la tangente hiperbólica. Aqui vemos ahora de nuevo que se vuelve a cumplir que la velocidad está dada por la tangente hiperbólica aunque en este caso ahora también como función de un parametro τ que es el tiempo propio de la part´ıcula. Finalmente para determinar la linea de mundo de la part´ıcula con aceleración, notemos que la fórmula (1.46) se puede escribir como 1 dt =p dτ (1 − w 2 )

(1.63)

como dx/dt = w tenemos entonces

dx w =p dτ (1 − w 2 )

(1.64)

las cuáles podemos re-escribir nuevamente como dt dx = cosh(f τ ) = senh(f τ ) (1.65) dτ dτ La l´ınea de mundo de la part´ıcula está por tanto integrando las ecuaciones anteriores. Tomando como evento inicial del espacio-tiempo (t0 , x0 ) la l´ınea de mundo de una part´ıcula desde el punto de vista de un observador inercial tiene por ecuación 1 1 (1.66) α(τ ) = t0 + sinh(f τ ) , x0 + cosh(f τ ) f f Dicha ecuación es una curva parametrica en el espacio-tiempo dada por una hipérbola como en la figura 1.9 La as´ıntota que representa la l´ınea de mundo de un fotón nos hace ver que la part´ıcula jamás alcanza la velocidad de la luz. As´ı mismo como la hipérbola es asintótica a la l´ınea de mundo de un fotón se tiene que para un observador que fuera viajando en movimiento acelerado existen eventos que nunca observaria que son aquellos que se encuentran en la parte futura de la as´ıntota. Toda l´ınea de mundo de una part´ıcula que cruce dicha as´ıntota desaparecerán de la vista del observador acelerado. Por este hecho a la as´ıntota se le conoce como horizonte de eventos.

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Figura 1.9: L´ınea de mundo de una part´ıcula con aceleración en un sistema de referencia inercial dada por una hipérbola

Relatividad1

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