RELACIÓN DE POISSON
Cuando una barra esbelta homogénea se carga axialmente, el esfuerzo y la deformación unitaria resultantes deben satisfacer la ley de hooke, siempre y cuando la carga aplicada a este no exceda el límite elástico del material. Asumiendo que la carga car ga P está dirigida a lo largo del eje de simetría se tiene que tiene el material generando un esfuerzo normal, sabemos que: ESFUERZO normal= FUERZA/ÁREA FUERZA/ÁREA DE LA SECCIÓN SECCIÓN TRANSVERSA TRANSVERSAL L Y por la ley de hooke obtenemos obtenemos tambien que: DEFORMACIÓN=ESFU DEFORMACIÓN=ESFUERZO ERZO normal/MODULO normal/MODULO DE DE ELASTICIDAD ELASTICIDAD Considerando ambos materiales HOMOGÉNEOS e ISOTRÓPICOS, es decir que sus propiedades mecánicas son independientes tanto de la posición como la dirección,ha de asumirse que el valor de la deformación unitaria debe tener el mismo valor para cualquier dirección transversal en la cual sea calculada. Teniendo esto claro, la relación de Poisson o Coeficiente de poisson (llamado así en honor al matemático francés SIMEÓN DENIS POISSON (1781-1840)) es una constanteelástica importante para un material denotado con la letra ((μ)), esta relación elástica hace referencia al estrechamiento o engrosamiento de las caras paralelas de un material que se encuentra sometido a fuerzas normales y referencia la capacidad de un material para soportar deformaciones transversales, este se calcula con la ecuación: μ=DEFORMACIÓN UNITARIA UNITARIA LATERAL / DEFORMACIÓN UNITARIA AXIAL. El valor de μ para los diferentes materiales existentes oscila entre 0 ≤ µ ≤ 0,5. MODULO DE YOUNG
El modulo de elasticidad de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de diferentes materiales elásticos frente a una fuerza aplicada, este modulo esta ligado directamente a la composición química del material y es considerado una propiedad mas del mismo y se determina experimentalmente. Este es usado principalmente para determinar de forma experimental las deformaciones que sufre cada material al estar sometido a diferentes cargas que se encuentren dentro de las que soporta en su rango elástico ( su valor es diferente al limite elástico de cada uno de los materiales así dependa de este). este es un modulo de elasticidad longitudinal mientras el coeficiente de Poisson antes nombrado es de elasticidad transversal Su relación con el modulo de elasticidad es mediante una ecuación que también involucra el modulo de cortante y es: E/(2G) – 1 Donde E es el modulo de Young y G el de cortante.
Elasticidad:
Es la propiedad de un material que le permite regresar a su tamaño y formas originales, al suprimir la carga a la que estaba sometido. Esta propiedad varía mucho en los diferentes materiales que existen. Para ciertos materiales existe un esfuerzo unitario más allá del cual, el material no recupera sus dimensiones originales al suprimir la carga. A este esfuerzo unitario se le conoce como Límite Elástico.
Todos los materiales poseen limite elástico unos de un valor inferior o superior a otro, los materiales con un alto limite elástico se consideran materiales elásticos, mientras que los que lo poseen de un valor menor se les conoce como materiales plásticos o frágiles.
LEY DE HOOKE La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, establece la relación entre el alargamiento o estiramiento longitudinal y la fuerza aplicada. La elasticidad es la propiedad física en la que los objetos con capaces de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto. El objeto tiene la capacidad de regresar a su forma original cuando cesa la deformación. Depende del tipo de material. Los materiales pueden ser elásticos o inelásticos. Los materiales inelásticos no regresan a su forma natural.
Constante del resorte (K): Se tiene un resorte al que se le aplica una fuerza de tensión F, de manera que el resorte se alarga una distancia L.
Según la Ley de Hooke, la fuerza aplicada debe ser proporcional a la deformación producida y la constante de proporcionalidad es K, la cual es específica para cada resorte. Esta constante dependerá no sólo del tipo de material del que está hecho el resorte (acero, aluminio, hierro, etc.) sino del diámetro del alambre e incluso de la distancia entre dos vueltas consecutivas de la hélice que forma el resorte y el diámetro de la misma. La Ley de Hooke para el resorte se escribe:
F=K L Práctica: calcula la constante recuperadora de un resorte. Colgamos sucesivamente masas de 2, 4 y 6 kg del muelle y observamos que los diferentes alargamientos son proporcionales. La fuerza aplicada en los diferentes casos es el peso: F = P = mg Sustituyendo en la formula, obtenemos que la constante de proporcionalidad es: K = F/L = mg/L = 2 * 9,8 / 0,01 = 4 * 9,8 / 0,02 = 6 * 9,8 / 0,03 = 1960 N/m
Muchos materiales estructurales, incluyendo la mayor parte de los metales, madera, plásticos y cerámicos, se comportan tanto de manera elástica como lineal cuando se cargan por primera vez. En consecuencia, sus curvas esfuerzo-deformación unitaria inician con una línea que pasa por el origen. Un ejemplo es la curva esfuerzo-deformación unitaria para el acero estructural (f gura 1.10), donde la región desde el origen O hasta el límite de proporcionalidad (punto A) es tanto lineal como elástica. Otros ejemplos son las regiones bajo los límites tanto de proporcionalidad como de elasticidad en los diagramas para el aluminio (f gura 1.13), los materiales frágiles (f gura 1.16) y el cobre (f gura 1.17). Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria se dice que es linealmente elástico. Este tipo de comportamiento es muy importante en ingeniería por una razón obvia: al diseñar estructuras y máquinas para que trabajen en esta región, evitamos deformaciones permanentes debidas a la fluencia plástica.
Ley de Hooke
La relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria para una barra en tensión o compresión simple se expresa por la ecuación
en donde es el esfuerzo axial, es la deformación unitaria axial y E es una constante de proporcionalidad conocida como módulo de elasticidad del material. El módulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo deformación unitaria en la región linealmente elástica, Como la deformación unitaria es adimensional, las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo. Las unidades típicas de E son psi o ksi en unidades inglesas y pascales (o sus múltiplos) en unidades SI. La ecuación = E se conoce como ley de Hooke, nombrada en honor del famoso científico inglés Robert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona que investigó científicamente las propiedades elásticas de los materiales y probó varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones. Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y observó que los estiramientos “siempre mantienen las mismas proporciones entre sí de acuerdo con los pesos que los causaron. Así, Hooke estableció la relación lineal entre las cargas aplicadas y los alargamientos resultantes. La ecuación en realidad es una versión muy limitada de la ley de Hooke debido a que sólo se relaciona con los esfuerzos longitudinales y las deformaciones unitarias desarrolladas en tensión o compresión simple de la barra (esfuerzo uniaxial ). Para tratar con estados más complicados de esfuerzos, como los encontrados en la mayoría de las estructuras y máquinas, debemos emplear ecuaciones más completas de la ley de Hooke.
El módulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales que son muy rígidos, como los metales estructurales. El acero tiene un módulo de elasticidad de aproximadamente 30 000 ksi (210 GPa) y el aluminio tiene valores típicos alrededor de 10 600 ksi (73 GPa). Los materiales más f exibles tienen un módulo menor — los valores para los plásticos varían de 100 a 2000 ksi (0.7 a 14 GPa) — . Algunos valores representativos de E se enlistan en la tabla H.2 del apéndice H. Para la mayor parte de los materiales el valor de E en compresión es casi el mismo que en tensión. El módulo de elasticidad con frecuencia se llama módulo de Young, en honor de otro científico inglés, Thomas Young (1773-1829), quien introdujo la idea de un “módulo de la elasticidad” en conexión con una investigación de tensión y compresión de barras prismáticas. Sin embargo, su módulo no era el mismo que el empleado en la actualidad, debido a que comprendía propiedades de la barra así como del material.
Relación de Poisson
Cuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de una contracción lateral (es decir, contracción normal a la dirección de la carga aplicada). Este cambio de forma se representa en la f gura 1.22, donde en la parte (a) se muestra la barra antes de la carga y en la (b) después de la carga. En la parte (b), las líneas discontinuas representan la forma de la barra antes de la carga. La contracción lateral se observa con facilidad estirando una banda de caucho, pero en los metales los cambios en las dimensiones laterales (en la región linealmente elástica) usualmente son demasiado pequeños para observarlos a simple vista. Sin embargo, se pueden detectar mediante dispositivos sensitivos de medición. La deformación unitaria lateral ` en cualquier punto en una barra es proporcional a la deformación unitaria axial en el mismo punto si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad del material conocida como relación de Poisson. Esta relación adimensional, que en general se denota por la letra griega (nu), se puede expresar mediante la ecuación
El signo menos agregado en la ecuación es para compensar el hecho de que las deformaciones unitarias lateral y axial por lo general tienen signos opuestos. Por ejemplo, la deformación unitaria axial en una barra en tensión es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa (debido a que el ancho de la barra disminuye). Para compresión tenemos la situación opuesta ya que la barra se acorta (deformación unitaria axial negativa) y se hace más ancha (deformación unitaria lateral positiva). Por tanto, para materiales ordinarios la relación de Poisson tendrá un valor positivo. Cuando se conoce la relación de Poisson para un material, podemos obtener la deformación unitaria lateral a partir de la deformación unitaria axial como sigue:
La relación de Poisson recibe su nombre en honor del matemático francés Siméon Denis Poisson (1781-1840), quien intentó calcular esta relación mediante una teoría molecular de los materiales. Para materiales isotrópicos, Poisson determinó que = 1/4. Cálculos más recientes basados en mejores modelos de estructura atómica dan como resultado =1/3. Esas dos cifras están cercanas a los valores reales medidos, que están en el rango de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y para muchos otros materiales. Entre los materiales con un valor extremadamente bajo de la relación de Poisson se incluyen el corcho, para el cual n es prácticamente cero y el concreto, para el cual n es aproximadamente 0.1 o 0.2. Un límite teórico superior para la relación de Poisson es 0.5. El caucho se acerca a este valor limitante. En el apéndice H se da una tabla de relaciones de Poisson para varios materiales en el rango linealmente elástico. Para la mayor parte de los f nes se supone que la relación de Poisson es la misma tanto en tensión como en compresión. Cuando las deformaciones unitarias en un material son grandes, la relación de Poisson cambia. Por ejemplo, en el caso del acero estructural la relación llega hasta 0.5 cuando ocurre la fluencia plástica. Así, la relación de Poisson permanece constante sólo en el rango linealmente elástico. Cuando el comportamiento del material es no lineal, la relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria axial con frecuencia se denomina relación de Por supuesto, en el caso especial de comportamiento linealmente contracción. elástico, la relación de contracción es igual que la relación de Poisson.
