Regiões no Plano Complexo
0 : A distância − 0 |. Logo o
Círculo de raio e centro entre dois pontos e 0 é | círculo em questão é dado por:
− 0 | = interior de : |
Pontos no desigualdade
U
− 0 | <
|
(I) satisfazem a (II)
Disco aberto:
−
A região definida por | 0 | < também é chamada de disco, ou mais apropriadamente, um disco aberto. Ou disco de centro 0 e raio .
Disco fechado:é definido por
− 0 | ≤
|
Esta região consiste do interior do círculo do próprio .
(III)
e
Vizinhança do ponto 0 : é o conjunto de todos os pontos para os quais
− 0 | <
|
(1)
Onde é alguma constante positiva. Assim, uma vizinhança consiste de todos os pontos de um disco, inclusive o centro 0 mas sem os pontos do círculo de contorno.
Vizinhança do ponto
•
•
0 (continuação)
0
tem infinitas vizinhanças, cada uma correspondendo a um dado valor de > 0.
−
Mais genericamente, qualquer conjunto que contenha o disco aberto | é 0| < chamado uma vizinhança de 0 .
Conjunto de pontos no plano complexo : quaisquer coleções contendo um número finito ou infinito de pontos. Exemplos: pontos no interior de um círculo; a solução de 2 + 4 = 0; os pontos de uma reta.
Ponto interior de um conjunto S: é um ponto de tal que alguma vizinhança desse ponto contém somente pontos de .
Limite, Derivada, Função Analítica
Função Complexa: seja um conjunto de números complexos. Uma função complexa definida sobre é uma regra que associa a todo em um número complexo , chamado de valor de em . Escrevemos
= ()
Note que varia em , portanto é uma variável complexa. O conjunto é chamado de domínio de definição de .
•
−
Exemplo: = ( )= 3+2 2 é uma função complexa definida para todo . Seu domínio é todo o plano complexo.
•
O conjunto de todos os valores de uma função é chamado de imagem de .
= () = (, ) + (, ) Como é um número complexo, pode ser escrito como = + , onde e são suas A notação
partes reais e imaginárias, respectivamente.
= () = (, ) + (, )
Além disso depende de = + . Então e são funções reais de e , e escrevemos:
( ) é Conclusão: a função complexa equivalente a duas funções reais ( , ) e ( , ), cada uma dependente de duas variáveis reais e .
Exercício: seja = ( ) = 2 + 3 . Determine ( , ), ( , ) e calcule os valores de em . = 1 + 3 e = 2
− 1 Repita para = () = 2 + 6̅ e = + 4 . 2
Limite e Continuidade
Diz-se que uma função ( ) tem limite quando tende a 0 , escrito como
lim→0 ( ) =
0 ,
0 (1)
Se é definida em uma vizinhança de 0 (exceto talvez em = 0 ) e se os valores de são próximos de 0 para todo próximo de 0 .
∀
Precisamente: real > 0 podemos determinar um real > 0 tal que, 0 no disco | 0 | < , tenhamos: | ( ) 0 | < (2).
∀ ≠ − − Obs. pode aproximar-se de 0 ao longo de qualquer direção no plano complexo.
Continuidade: diz-se que uma função contínua em = 0 se:
(0 ) é definido
()
é
e
lim→0 ( ) = ( 0 )
(3)
Diz-se que ( ) é contínua em um domínio se ela é contínua em cada ponto deste domínio.
Derivada A derivada de uma função complexa um ponto 0 é escrita ′ ( ) e definida por
( +∆ )− ( ) ′ (0 ) = lim∆→0 ∆ 0
em
0
(4)
se o limite existe. Se a derivada diferenciável em
está 0.
definida,
é
dita
∆ −
Escrevendo = 0 , portanto a Equação (4) assume a forma
= 0 + ∆,
( )− (0 ) ′ (0 ) = lim→0 −0
(4’)
Se ( ) é diferenciável em 0 , o quociente acima sempre se aproxima do mesmo valor, qualquer que seja o caminho pelo qual 0.
→
Exemplo: ( ) = 2 é diferenciável para todo . Use a Eq. (4) para calcular a sua derivada.
̅
( ) = não é Exemplo: a função diferenciável. Considere o quociente (4) ao longo dos caminhos (I) e (II) na figura abaixo.
Regras de diferenciação: são as mesmas do cálculo, e suas provas são análogas.
)′ = ′, ( + )′ = ′ + ′, ′ ′ ′ − ( )′ = ′ + ′, � = (
2
Valem a regra da cadeia e a regra da potência −1 . Pode-se demonstrar que se ( ) ( )′ = é diferenciável em 0 , ela é contínua em 0 .
Função Analítica
Uma função ( ) é dita analítica em um domínio se ( ) é definida e diferenciável em todos os pontos de .
A função ( ) é dita analítica em um ponto se ( ) é analítica em uma = 0 em vizinhança de 0 .
Exemplo: polinômios são analíticos em todo o plano complexo, ( ) = 2 + 2 4.
Exemplo: a função racional analítica para todo
≠ 5.
−
() = −5 2
é
Equações de Cauchy-Riemann
= , = − , ou seja, = , = − Em qualquer ponto de .
( ) = ( , ) + ( , ) A função analítica em um domínio se e somente:
é
Exercício: Verifique se as seguintes funções são analíticas para todo .
a) ( ) =
2
(b) ( ) =
̅
