REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Hay importantes aplicaciones en las cuales las excitaciones no son armónicas en el tiempo (senoidales) y las condiciones no son de estado estacionario. Como ejemplo podemos citar:
Las señales digitales (pulsos) en circuitos de computadoras. computadoras.
Ondas súbitas en líneas telefónicas y de potencia eléctricas.
Para analizar el comportamiento en régimen transitorio suponemos una línea de transmisión ideal, sin pérdidas (r o=0 y go=0) en donde
vo
1
=
Zc =
y
l o ⋅ co
lo co
Consideremos que la resistencia de carga al final de la línea es R L≠Zc y que la resistencia interna del generador de señal es R g≠Zc, como vemos en la siguiente figura:
La distancia “x” se mide desde el generador (x=0) hacia la carga (x= ℓ). El observador se ubica en el punto x=x1 para graficar la tensión v(x 1,t). Una onda de tensión incidente V d1 viaja en el sentido de las “x” positivas con una velocidad v o. Por lo tanto:
Vd1
=
Uo ⋅
Zc R g + Zc
La onda correspondiente de corriente es:
I d1
=
Vd1 Zc
=
Uo R g + Zc
En las condiciones planteadas planteadas (resistivo puro) la onda I(x,t) tiene t iene la misma forma que V(x,t). Cuando la onda V d1 alcanza la carga R L, aparece una onda reflejada que viaja en la dirección de las “x” negativas. Esta onda se inicia en un tiempo τ =
l
vo
, considerando τ=0 al tiempo en el que la
onda parte desde el generador. La magnitud de la l a tensión reflejada se la determina mediante:
Vr1 = Vd1 ⋅ ρ L
;
ρL
=
R L − Zc R L + Zc
En donde ρL es el coeficiente de reflexión en la carga.
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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La onda reflejada llega a los terminales del generador (x=0) en el tiempo t=2 τ, y allí, debido a que Rg≠Zc, se refleja nuevamente produciéndose una segunda onda incidente. En este caso, tenemos que:
Vd2
=
Vr1 ⋅ ρ g
=
Vd1 ⋅ ( ρ g ⋅ ρ L )
;
ρg
R g − Zc
=
R g + Zc
En donde ρg es el coeficiente de reflexión en el generador. Esta nueva onda viaja hacia la carga, donde llega en un tiempo t=3 τ, instante en el que se genera una nueva onda reflejada, dada por:
Vr2
=
Vd2 ⋅ ρ L
=
ρL
⋅
( ρ g ⋅ ρ L ) ⋅ Vd1
Vr2
=
ρL
2
⋅
ρg
⋅
Vd1
Antes de continuar debemos destacar dos puntos: a) Las ondas reflejadas pueden tener amplitud negativa ya que ρL , ρg o ambas pueden ser negativas (-1 < ρ < 1). b) Las amplitudes de las ondas reflejadas se hacen cada vez más pequeñas por ser ρL<1 y ρg<1 (excepto para el caso de cortocircuito o de circuito abierto); siendo el proceso
convergente. En el proceso de reflexiones múltiples nos interesa determinar el valor que toma la tensión en la carga cuando t → ∞. Teniendo en cuenta lo anterior, podemos escribir para la
VL
=
(Vd1 + Vr1 ) + (Vd2 + Vr2 ) + (Vd3 + Vr3 ) + .......
VL
=
Vd1 ⋅ (1 + ρ L + ρ L ⋅ ρ g + ρ L 2 ⋅ ρ g
VL
=
Vd1 ⋅ 1 + ρ L ⋅ ρ g
+
ρL 2 ⋅ρg 2
1 − ( ρ ⋅ ρ )n + 1 L g VL = Vd1 ⋅ 1- ( ρL ⋅ρg )
Como 0<ρL . ρg<1 y
+
ρL
lim
+
⋅
+
ρL 2 ⋅ρg 2
ρL 3 ⋅ ρg 3
+
+
ρL 3 ⋅ ρg 2
+
ρL 3 ⋅ ρg 3
....... + ρ L ⋅ 1 + ρ L ⋅ ρ g
+
+
.......)
ρL2 ⋅ρg2
+
ρL3 ⋅ρg3
+
.......
1 − ( ρ L ⋅ ρ g ) n + 1
1- ( ρL ⋅ρg )
1 − ( ρ L ⋅ ρ g )n + 1
n→∞
VL tensión en la carga cuando t → ∞:
1- ( ρL ⋅ρg )
=
1 1- ( ρL ⋅ρg )
Entonces podemos escribir: ρL 1 + ρL 1 =V ⋅ VL = Vd1 ⋅ + d1 1 - ( ρ ⋅ ρ ) VL 1 - ( ρ L ⋅ ρ g ) 1 - ( ρ L ⋅ ρ g ) L g
=
1 + ρL Vd1 ⋅ 1 - ( ρ L ⋅ ρg )
Y el valor final de la corriente es:
IL
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
=
Vd1 1 − ρL ⋅ Zc 1 - ( ρ L ⋅ ρ g )
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Ejemplo: Sí Rg=2Zc y RL=3Zc; los valores finales en la carga serán: ρL
=
R L − Zc R L + Zc
VL
=
1 + ρL 3 = ⋅U Vd1 ⋅ 1- ( ρL ⋅ρg ) 5 o
=
1 2
;
ρg
=
R g − Zc
=
1 3
IL
=
R g + Zc y
;
Vd1
=
Uo ⋅
Zc R g + Zc
=
1 ⋅U 3 o
Vd1 1 − ρL 1 Uo ⋅ = ⋅ Zc 1 - ( ρ L ⋅ ρ g ) 5 Zc
El proceso de reflexiones múltiples se puede analizar más fácilmente mediante los diagramas de reflexiones múltiples o “Diagramas de Mallas de BEWLEY” .
DIAGRAMA DE REFLEXIONES MULTIPLES El diagrama de reflexiones múltiples nos permite determinar la tensión o la corriente en cualquier punto sobre la línea de transmisión. En este diagrama se mide el tiempo a lo largo del eje vertical en intervalos “ τ” y en el eje horizontal se mide la distancia entre la carga y el generador. El diagrama toma la siguiente forma:
A partir de este diagrama, podemos representar la tensión y la corriente en cualquier parte de la línea en función del tiempo. Así, por ejemplo, para una posición
x=x1 en la línea, el procedimiento
sería:
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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i) Trazar una línea vertical en x=x1 encontrando los puntos P 1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, ….. en la intersección con las trayectorias. Puede haber un número infinitos de intersecciones sí R L≠Zc y RL≠Zg.
ii) De los puntos P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, …..; trazar horizontales hacia el eje vertical, encontrando los puntos t1, t 2, t 3, t4, t 5, t6, t 7, …..; respectivamente. “Estos son los instantes en que una nueva onda de tensión llega a x=x1 y cambia abruptamente su valor”.
iii) La tensión en la posición x=x1 puede ser leída del diagrama de reflexiones como: Rango de tiempo
Tensión
Salto de tensión
0 ≤ t ≤ t1
0
0
t1 ≤ t ≤ t2
Vd1
“V d1” en t1
t2 ≤ t ≤ t3
Vd1.( 1 + ρL )
“V d1 . ρ L” en t2
t3 ≤ t ≤ t4
Vd1.( 1 + ρL + ρL.ρg )
“V d1 . ρ L . ρ g” en t3
t4 ≤ t ≤ t5
Vd1.( 1 + ρL+ ρL.ρg + ρL2.ρg )
“V d1 . ρ L . ρ g” en t4
t5 ≤ t ≤ t6
Vd1.( 1 + ρL+ ρL.ρg + ρL2.ρg + ρL2.ρg2 )
“V d1 . ρ L . ρ g ” en t5
t6 ≤ t ≤ t7
Vd1.( 1 + ρL+ ρL.ρg + ρL2.ρg + ρL2.ρg2 + ρL3.ρg2)
“V d1 . ρ L . ρ g ” en t6
…………….
…………………………………………….........
………………………………
2 2
2
3
2
Para conocer cual es el valor de la tensión en un tiempo “t” en una posición fija de la línea, por ejemplo para “t 5” en “x 1”; el valor de la tensión en este punto es igual a la suma de todas las tensiones de las diagonales, hasta la diagonal anterior a que interfecta nuestro tiempo en cuestión. Para nuestro ejemplo sería la suma de las tensiones de las diagonales (1)-(2)-(3)-(4), es decir:
V(x1,t5)= Vd1.( 1 + ρL+ ρL.ρg + ρL2.ρg ) El salto está dado por el valor de tensión en la diagonal anterior. Para nuestro ejemplo, sería el valor de la tensión de la diagonal (4), por lo tanto:
SALTO= Vd1.( ρL2.ρg ) Utilizando los conceptos anteriormente vistos, podemos graficar V(x1,t) e I(x1,t).
1+ρ L V =V ⋅ L d1 1-( ρ ⋅ρ ) L g
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Respecto a la corriente, el diagrama de reflexión y su gráfica en el tiempo toma l a siguiente forma:
U I
I
d 1
. ρ L
I
d 1
. ρ L
. ρ
g
d1
=
d1 Zc
I
d 1
. ρ L
2
. ρ
g
I
d 1
. ρ L
2
. ρ
g
I L =Id1 ⋅
1−ρL 1-( ρL ⋅ρg )
2
A partir del diagrama de reflexiones múltiples podemos encontrar la distribución de tensión o de corriente a lo largo de la línea en un tiempo particular “t”. Por ejemplo, para el tiempo “ t = t4”, el procedimiento es el siguiente:
i) Marcar “t4” en el eje vertical. ii) Trazar una línea horizontal desde “ t4” y encontrar “P4” (Todas las trayectorias por encima de P 4 son irrelevantes para nuestro problema; es tiempo futuro).
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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iii) Dibujar una línea vertical desde “P4” intersectando el eje horizontal en “ x=x1”.
A la izquierda de “ x1” ( 0 < x < x 1 ) la tensión tiene un valor:
Vizq = Vd1 + Vr1 + Vd2 = Vd1 . ( 1 + ρL+ ρL.ρg )
A la derecha de “ x1” (x1 < x < ℓ ) la tensión tiene un valor:
Vder = Vd1 + Vr1 + Vd2 + Vr2 = Vd1 . ( 1 + ρL+ ρL.ρg+ ρL2.ρg ) Por lo tanto, el salto de tensión es:
SALTO= Vd1.( ρL2.ρg ) La representación de la tensión será entonces:
Con respecto a la corriente tendremos para el tiempo “ t = t4”:
Iizq = Id1 + Ir1 + Id2 = Id1 . ( 1 - ρL+ ρL.ρg ) Ider = Id1 + Ir1 + Id2 + Ir2 = Id1 . ( 1 - ρL+ ρL.ρg - ρL2.ρg )
Otro método para el análisis de las reflexiones múltiples es por el método de Bergeron que estudiamos a continuación.
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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MÉTODO DE BERGERON Consideremos Una línea ideal (r o=0 y go=0) en donde su impedancia característica es Zc =
lo . co
Sí “ℓ” es la longitud de la línea, el tiempo que demora una onda en recorrer la misma desde un extremo al otro será: τ =
l
vo
=
l⋅
l o ⋅ c o , donde “vo” es la velocidad de propagación de la onda en la
línea. En el diagrama de Bergeron usamos la representación en el plano u-i. En este plano, por ejemplo representamos los siguientes casos:
A. Generador de tensión ideal – Generador de corriente ideal – Resistencia. u
Io
(riA = 0) Uo
Uo
R=
0
Io
U I
(riV = 0)
(Pendiente de la recta)
i
B. Generador real de tensión:
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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C. Generador real de corriente:
Supongamos que un observador se desplace con la onda incidente desde el generador a la carga. Este no ve la onda directa (incidente) ya que el ve “ Vd1-Id1.Zc”; o sea para el observador la relación
v i
=
Vd1 I d1
=
Z c = constante
Cuando el observador se encuentra con la onda reflejada tenemos que “ Vr1= -Id1.Zc”. En cualquier punto de abcisa (x,t) de la línea, el observador mirará:
V = Vd1 + Vr1 V I = I d1 − I r1 = d1 Zc
−
Vr1 Zc
Sí el observador se encuentra en el punto “ x1”en
t=t1; y en el punto “ x2” en t=t2 las variaciones de
tiempo y de espacio son: ∆x = x
(1)
∆t = t
2 − x1
2 − t1
Como el observador viaja a la velocidad “ vo” (constante), entonces podemos escribir: ∆t = −
∆x
vo
El signo negativo se lo coloca para que tenga un sentido real la ecuación. Esto se debe a la elección de que en la carga
x=0 y en el generador x=ℓ. (Cuando “t” aumenta, “x” disminuye).
El observador ve una variación de tensión ∆V, pero también ve siempre que “ vo” es constante (desde su posición). En conclusión, lo que el observador observa es: ∆V = ∆V
r1 ∆V r1 ∆I = − Zc Las cuales se obtienen de derivar las ecuaciones (1). PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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De estas ecuaciones se deduce como válida la siguiente expresión: ∆V = − Zc ⋅ ∆I Relación fundamental válida para cualquier régimen.
Si nos ubicamos en el plano (i-v) un punto (i 1-v1) representa el estado de la línea. Para pasar a otro punto de la línea se debe trazar una recta con pendiente “ -Zc”. Se puede hacer un razonamiento idéntico para un observador que viaja con la onda reflejada. Para el será válida la relación: ∆V = Zc ⋅ ∆I
u ZC
Esto tendrá lugar en el lapso ∆t =
∆x
vo
.
Otro punto de la línea en el plano (i-v) se encontrará sobre una recta de pendiente Z c.
-ZC
i
Ejemplo 1: Se aplica una tensión “E” a una línea de transmisión en vacío y se quiere determinar la tensión v(0,t) y la corriente i(ℓ,t) por el método de Bergeron.
En t=0 se cierra el interruptor, un primer observador parte desde el generador hacia la carga con la onda incidente (directa). El observador ve siempre la impedancia Z c. La tensión en el generador es igual a E. Por lo tanto, el estado inicial de la línea está representado por el punto la recta E=constante con la recta
(0) (intersección de
v=i.Zc. 2E
E
−
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
E
E
Zc
Zc
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El observador Nº 1 parte desde el punto
(0) con la onda incidente, es decir que el se desplaza en el
plano (i-v) sobre una recta de pendiente “ -Zc” y llega al punto
(1) (intersección con el eje i=0) o sea
al final de la línea. El observador Nº 2 parte desde el punto
(1) con la onda reflejada, por lo tanto él se desplaza sobre
una recta de pendiente “ Zc”y llega al punto
(2) (intersección con la recta v=E que es la tensión en el
generador. Es decir que llega al generador). El observador Nº 3 parte desde el punto
(2) con una nueva onda incidente, por lo tanto, se desplaza
sobre una recta de pendiente “ -Zc”. Llega al final de la línea en el punto encuentra la condición
(3) ya que en este punto
i=0.
El observador Nº 4 parte desde el punto generador al intesectar la recta
(3) con una onda reflejada (pendiente “ Zc”) y llega al
E=constante.
Para la construcción de las gráficas de las tensiones y/o corrientes en los extremos de la línea (tomamos como ejemplo la tensión en el extremo receptor v(0,t) y emisor v( ℓ,t) de la misma) debemos seguir el siguiente procedimiento:
Intervalo
v(0,t)
v(ℓ,t)
Entre (0) y (1)
0
E
Entre (1) y (2)
2E
E
2E 0
E E
Entre (2) y (3) Entre (3) y (0)
(en (1) tenemos el lugar geométrico de RL→∞)
(en (0) tenemos el lugar geométrico de RL=0, v=0)
Considerando que las ondas demoran un tiempo τ =
l
v o en recorrer la línea de un extremo al otro,
las gráficas para las tensiones y las corrientes al principio y al final de la línea serán:
E Zc
−
E Zc
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Ejemplo 2: Se aplica una tensión E a una línea cargada con una resistencia RL
Las gráficas correspondientes son:
E
E Zc
E RL
En estado estacionario, la impedancia característica de la línea no interviene, por lo tanto se tiene el siguiente circuito equivalente:
+
E
G
I
RL
I=
E RL
Conclusión: Cuando R L
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Cuando se cierra el interruptor, el primer observador parte del generador con la onda incidente (pendiente –Zc). El punto de arranque
(0) en el plano (i,v) representa el estado inicial de la línea. El
observador llega al final de la línea donde encuentra la resistencia de carga
RL, la tensión es v=i.RL
(punto (1) en el plano (i,v)). El segundo observador parte del receptor con la onda reflejada en llega al generador en el tiempo reflexiones a
t=τ y
t=2τ. Continuando de este modo se llega después de infinitas
v(0,t)=E (recordar que la línea es sin pérdida). La corriente en la resistencia i(0,t)
tiene exactamente la misma forma que la tensión
v(0,t) en la misma .
Ejemplo 3: Se aplica una tensión E a una línea cargada con una resistencia RL=0 (Rg=0).
Las gráficas correspondientes son:
E
E Zc
l τ=
vo
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Ejemplo 4: Se aplica una tensión E a una línea cargada con una resistencia RL>Zc (Rg=0).
Las gráficas correspondientes son:
E
E
E
RL
Zc
E RL
Conclusión: Cuando R L>Zc, la tensiones y las corrientes se estabilizan en el valor de régimen estacionario en forma oscilatoria. Se obtiene un régimen transitorio con sobretensión en la resistencia. Hay una oscilación del valor de tensión alrededor del valor de
E proporcionado por el generador. Luego de un cierto número de
oscilaciones se llega al valor de régimen permanente.
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Ejemplo 5: Se aplica una tensión E a una línea cargada con una resistencia no lineal.
Las gráficas correspondientes son:
E
E Zc
La corriente en la carga alineal es oscilante. Sus máximos y mínimos difieren en relación con los de la tensión en la misma, debido a la característica de la carga (No lineal). Es decir, que no mantienen proporcionalidad.
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Ejemplo 5: Se aplica una tensión E=Eo.cos(ωt) a una línea cargada con una resistencia RL>Zc (Rg=0). La línea tiene una longitud tal que en un cuarto de período (T/4) de la onda cosenoidal hay 20 recorridos de la onda viajera entre un extremo y otro de la línea. l 1 T ⋅ =τ= 20 4 vo
En la gráfica de la tensión en la resistencia en función del tiempo
v(0,t)
vemos que inicialmente hay una oscilación alrededor de la sinusoide y luego continúa en saltos escalonados siguiendo el perfil sinusoidal.
0 c E Z
0
E
0
π 2 π 0 2 2 π 0 3 2 π 0 4 2 π 0 5 2 π 0 6 2 π 0 7 2 π 0 8 2 π 0 9 2
π 2
PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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