REDES DE AGUA POTABLE CON LOS METODOS DEL GRADIENTE HIDRAULICO, NEWTON-RAPHSON Y CROSS II
Carlos Orlando Rojas Rodríguez Doc. Emérito Ing. Civil
[email protected] Cel 72300884 El método del Gradiente Hidráulico, actualmente vigente en el mundo, le ha otorgado un enfoque nuevo y muy interesante al diseño hidráulico de tuberías a presión. El sistema de ecuaciones no lineales que se plantea al diseñar redes de agua potable, solo era posible resolver con el método desarrollado d esarrollado por H. Cross, cuya base b ase es el teorema del binomio de Newton. Entre las décadas de los 80 a 90, se puso en práctica y pasó muy fugazmente el método Lineal y Matricial de Wood y Charles. Actualmente, otro de los teoremas de Newton, el denominado “del valor medio” medio”, mejorado y/o ampliado por Raphson, se halla en plena aplicación. Este método numérico, conocido como Newton-Raphson, ha demostrado ser uno de los mejores para el diseño de redes en Hidráulica de tuberías a presión. Sin embargo, el autor del presente artículo ha relanzado también el método Cross II para Gradiente Hidráulico. A continuación se presenta un resumen de los métodos nombrados. 1) Iteración de Newton Dada una función F(x). función F(x). Asumiendo Asumiendo que conocemos el valor de tal función y su derivada ∂F/∂x en un punto x punto xm, notemos que: tg ( ) F(x)
x m
α
1
F m F m m m1 x x x m
x m
F
F m x 1
xm1 xm D m F m
α xm
xm+1
xm+2
D1
1 F
Ec. (1)
z D1 F
x
En la Ec.(1), la Ec.(1), los los vectores {x} y {F} remplazan {F} remplazan a la variable x variable x y y a la función F función F . La inversa del -1
Jacobiano [D] o [D] o sea [D] , remplaza a la inversa de la derivada.
2) Aplicación del Método de Newton-Raphson, en sistemas de ecuaciones de redes de agua potable planteadas para el método del Gradiente Hidráulico. Sea la red:
18,00
24,00
7 11,92 1035,70
F
8 29,92 960,00 9 72 1260,00
T1 2668,70
6 12,08 1050,00
Anillo I 36,00
5 30,08 800,00
E
▼agua
G
8,40
3 12,16 1000,00
D
0 48 840,00
A
T2 ▼agua
12,00
Anillo II 4 6,24 1000,00
2657,20
1 15,36 959,90
C 2 5,76 923,50
12,00
B 9,60
Fig.1. Red con dos tanques De las condiciones de diseño, se obtiene el siguiente Sistema de ecuaciones ó Sistema [F]:
F 1 =
Qo
F 2 =
- Q 1 Q 1
- Q 3
- Q 6
- Q 2
F 3 =
Q 2
F 4 =
+ Q 4 Q 3
- Q 4
+ Q 5
F 5 =
- Q 5
- Q 8
F 6 =
- Q 7
F 7 =
Q 6
+ Q 7
+ Q 8
+ Q 9
- qA
=
ΣQ A
- qB
=
ΣQ B
- qC
=
ΣQ C
- qD
=
ΣQ D
- qE
=
ΣQ E
- qF
=
ΣQ F
- qG
=
ΣQ G
1
Donde:
Qm
Qij
H i H j n K ij Caudal en el tramo “m” entre (i,j)
H i = Cota de la presión en el nodo “i” H j = Cota piezométrica en el nodo “j” K i,j = Coeficiente de resistencia al flujo para el tramo (i,j) ∑Q N = Sumatoria de caudales en el nodo N q N = Consumo en el nodo N
Derivando las ecuaciones del Sistema [F] tenemos: ∂Qo
∂ F 1 =
∂Q 1
∂ F 2 =
∂Q 1
∂ F 3 =
∂Q 3
∂Q 6
∂Q 2 ∂Q 2
∂Q 4
∂ F 4 =
∂Q 3
∂Q 4
∂Q 5
∂ F 5 =
∂Q 5
∂Q 8
∂ F 6 =
∂Q 7
∂ F 7 =
∂Q 6
Donde:
F ij Qij 1 nK ij H ij H ij
H i H J K ij
1 1 n
∂Q 9
∂Q 8
∂Q 7
=
Σ ∂ F 1 =
- d (1,1)
=
Σ ∂ F 2 =
- d (2,2)
=
Σ ∂ F 3 =
- d (3,3)
=
Σ ∂ F 4 =
- d (4,4)
=
Σ∂F 5 =
- d (5,5)
=
Σ∂F 6 =
- d (6,6)
=
Σ∂F 7 =
- d (7,7)
n
Qij1
nK ij
derivada del caudal respecto a Hi , Hj
Las derivadas ∂[F]/∂H forman un sistema N x M (N columnas por M filas), con el que no es posible resolver el sistema. Entonces es necesario realizar un arreglo matricial que permita plantear una matriz (NxN), con N igual al número de nodos de la red. Nodos A B C D E F G
A
B
C
D
E
F
G
- d (1,1) ∂Q 1 ∂Q 3 ∂Q 6 0 0 0 ∂Q 1 - d (2,2) ∂Q 2 0 0 0 0 ∂Q 2 - d (3,3) ∂ Q 4 0 0 0 0 ∂Q 3 ∂ Q 4 - d (4,4) ∂Q 5 0 0 0 - d (5,5) ∂Q 5 ∂Q 8 0 0 0 0 - d (6,6) ∂Q 8 ∂Q 7 0 0 0 0 ∂Q 6 ∂Q 7 - d (7,7) 0 0 0 0
Cuya expresión matemática es: Donde:
[D] * {∆H} = {Sq}
[ ∆ H]
{Sq}
∆ H A
ΣQ A ΣQ B ΣQ C ΣQ D ΣQ E ΣQ F ΣQ G
∆ H B ∆ H C
*
∆ H D ∆ H E ∆ H F ∆ H G
=
Ec.(2)
[D] = Matriz Jacobiana {∆H} = Factores de corrección de las Cotas piezométricas en los nodos {Sq} = ∑Q = Sumatoria de caudales en cada nodo
Los factores de corrección de las cotas piezométricas (∆H) se obtienen multiplicando la matriz -1 Jacobiana Inversa [D] por el vector {Sq} de caudales descompensados. -1
[∆H] = [D] .{Sq}
Ec.(3)
Y las cotas piezométricas ó alturas de presión, se corregirán repitiendo el proceso iterativo, de la manera siguiente: {H}´ = {H}º – {∆H}º {H}” = {H}´ – {∆H}´ ….. ….. ……. m+1
{H}
m
m
= {H} – {∆ H}
Ec.(4)
Observemos que la Ec.(4) es similar a la Ec.(1) formulada po r Newton. 1
xm1 xm D m F m
Ec.(1)
3) Método Cross II, para el Gradiente Hidráulico Con el Sistema [F] planteado para la red del inciso anterior, para cada nodo se aplica la siguiente tabla ó planilla de cálculo: Nodo
A
Tramo T2,A 0
Hi H T2
Hj H A
hf(i,j) H T2 - H A
Ki,j K 0
Qi,j
Q/hf
Q0
Q 0 /hf 0
A,B
1
H A
H B
H A - H B
K 1
- Q 1
Q 1 /hf 1
A,D
3
H A
H D
H A - H D
K 3
- Q 3
Q 3 /hf 3
A,G
6
H A
H G
H A - H G
K 6
- Q 6
Q 6 /hf 6
qA =
- q A
∑Q A =
Donde:
Hi Hj h f(i,j) K i,j ∆H A H´ A
ΔH A
n
Q A Q
hi
fi
H´ A = H A - ∆H A
∑Q i /hf i
= Cota de la presión en el nodo “i” = Cota piezométrica en el nodo “j” = Pérdida de carga en el tramo (i,j) = Coeficiente de resistencia al flujo en el tramo (i,j) = Factor de corrección de la cota piezometrica en el nodo A = Cota piezométrica corregida
CONCLUSIONES: 1. Los métodos antiguos, no han dejado de ser buenos, sin embargo solo compensan caudales, quedando el cálculo de presiones para una segunda instancia. En cambio con el método del Gradiente Hidráulico se corrigen simultáneamente las cotas de las presiones (piezométricas) y los caudales de cada tramo ó ramal de la red de distribución. 2. Con el método de Newton – Raphson, la compensación ó corrección de las cotas piezométricas se logra rápidamente, con pocas iteraciones. Pero, este método exige un buen conocimiento de las operaciones matriciales que implica. 3. Con el método Cross II, es también posible compensar ó corregir las cotas de las presiones, con muchas iteraciones. Pero, este método puede ser recomenda ble para quienes no desean aplicar procedimientos matriciales. El método Cross II, para Gradiente Hidráulico, ha sido reformulado y relanzado, en la Carrera de Ingeniería Civil de la Facultad Nacional de Ingeniería, de Oruro – Bolivia. Carlos Orlando Rojas Rodríguez Docente Emérito
