Recubrimiento mínimo

Árboles de recubrimiento mínimo Sea G=(V, E) un grafo conexo y ponderado. Se llama árbol de recubrimiento de G al subgrafo que incluye todos los vértices de G y que es conexo y acíclico. Se llama árbol de recubrimiento mínimo de G, al árbol de recubrimiento de G tal que la suma de los pesos de todos sus arcos es mínima. Ejemplo: La línea gruesa muestra un árbol de recubrimiento mínimo del grafo G.

Técnica Greedy Un algoritmo greedy (voraz, ávido, codicioso, avaro, devorador o goloso) es aquel que, para resolver un problema, sigue una metaheurística consistente en elegir la opción que parece mejor en cada paso con la esperanza de llegar a una solución general óptima. Estos algoritmos operan en fases, en cada fase se toma una decisión que parece buena, sin importar las consecuencias futuras. El principio es: “La suma “La  suma de los óptimos locales es el óptimo global ”. Normalmente la técnica se aplica a problemas de optimización. Presentamos dos algoritmos Greedy para hallar el árbol de recubrimiento mínimo de un grafo conexo y ponderado G.

El algoritmo de Kruskal (Joseph Bernard Kruskal 1956) Entrada: Un grafo G=(V, E) conexo ponderado. Salida: Un árbol T de recubrimiento mínimo para G. En cada paso se elige la opción obvia: el arco de menor peso (que aún no haya sido seleccionado y que no de lugar a un ciclo). Debe notarse que durante el desarrollo del algoritmo el grafo subyacente no necesariamente es un árbol.  A0 ← { } V0 ← { } PARA k = 1 hasta |V| -1  Ak ← Ak-1 { (vi,v j) } Vk ← Vk-1 { vi, v j } donde (vi,v j) es un arco de menor peso en E – Ak-1 tal que T k=(Vk, Ak) es acíclico FinPARA Devolver T|V| -1

El algoritmo de Prim (Robert Clay Prim 1957) Entrada: Un grafo G=(V, E) conexo ponderado. Salida: Un árbol T de recubrimiento mínimo para G. Se marca un vértice elegido al azar. En cada paso se elige la opción obvia: el arco de menor peso, de entre todos los arcos con un vértice no marcado y el otro vértice marcado. Una vez elegido el arco, se marca el vértice no marcado del arco elegido. V0 ← { v0 } donde v0 es un vértice arbitrario de G. T0 ← { } PARA k = 1 hasta |V| -1 Vk ← Vk-1 { (v j) } Tk ← Tk-1 { (vi,v j) } donde (vi,v j) es el arco de menor peso tal que v j está en V - V k-1 y v j es adyacente a algún vértice v i en Vk-1 FinPARA Devolver T|V| -1

 A continuación presentamos un ejemplo de corrida del Algoritmo de Kruskal (tomado del libro de Cormen) (note que cuando un arco es de menor peso, pero da lugar a un ciclo se lo ignora):

 A continuación presentamos un ejemplo de corrida del Algoritmo de Prim (tomado del libro de Cormen):

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