Qarqet Logjike Vatan Beqrama
January 23, 2011
1
Contents 1 Qarqet Logjike
3
2 Minimizimi i funksioneve
6
3 Minimizimi algjelbrik
6
4 Minimizimi gra k 5
11
Funksionet me vlera të çfarëdoshme dhe të pacaktuara
2
15
1 Qarqet Logjike Prodhimi i pajisjeve kompjuterike mbështetet në shfrytëzimin e qarqeve të ndyshme elektronike, të cilat me një emër njihen si qarqe kompjuterike (ang. computer circuits). Përshkrimi matematikor i qarqeve të tilla bëhet përmes funksioneve logjike, prandaj këto qarqe quhen edhe qarqe logjike (ang. logic circuits). Dy vlerat logjike të mundshme, 0 dhe 1, te qarqet kompjuterike paraqiten përmes dy tensioneve ose dy rrymave të caktuara, përkatësisht përmes sinjalit të lartë dhe sinjalit të ulët . Nëse vlera 1 paraqitet me sinjalin e lartë, kurse vlera 0 - me sinjalin e ulët, atëherë thuhet se kemi të bëjmë me logjikë pozitive (ang. positive logic). Por, kur për paraqitjen e vlerës 1 përdoret sinjali i ulët, kurse për vlerën 0 - sinjali i lartë, itet për të ashtuquajturën logjikë negative (ang. negative logic). Në praktikë, si tensione për paraqitjen e sinjalit të lartë dhe të ulët, përdoren, p.sh., tensionet +5V dhe 0V (familja e elementeve logjike TTL), ose -1.55V dhe -0.75V (familja e elementeve logjike ECL), ose, p.sh., rrymat 20mA dhe 0mA. Në pjesën vijuese të librit, sa herë që itet për vlerat logjike 1 dhe 0, do të mendohet në tensionet +5V dhe 0V. Për realizimin praktik të qarqeve logjike shfrytëzohen elemente logjike (ang. logic element), përmes së cilave kryhen operacione të ndryshme. Për vizatimin e qarqeve kompjuterike elementet logjike paraqiten duke i pasur parasysh standardet përkatëse botërore. Disa nga format e paraqitjes së këtyre elementeve, në bazë të rekomandimeve të IEC-së (nga. International Electrotechnical Commision), standardit të ushtrisë amerikane (MIL-STD 806B) dhe standardit gjerman DIN (nga Deutsch Industrie Norm), me funksionet logjike përkatëse, janë dhënë në tabelat e Fig.3.8, të grupuara në 3 grupe të elementeve: themelore, universale dhe speciale. . Table 1: Elementet logjike Elementi OSE
Funksioni f=A+B
DHE
f=A·B
JO
f=A
Simboli Rekomendimi i IEC DIN
MIL-STD
A B
> _1
f
A B
f
A B
f
A B
&
f
A B
f
A B
f
A
f
A
f
A
1
3
f
Table 3: Elementet logjike universale Funksioni Simboli Rekomandimi i IEC DIN
Elementi JOOSE JODHE
f=A+B
A B
> _1
f
A B
f=A . B
A B
&
f
A B
MIL-STD f
A B
f
f
A B
f
Table 4: Elementet logjike speciale Funksioni Simboli Rekomandimi i IEC DIN
Elementi
Komparatori i barazisë
A B
≠
f
A B
f = AB + AB =A +B
A B
=
f
A B
MIL-STD
+
f
A B
f
+
Komparatori i jobarazisë
f = AB + AB =A + B
f
A B
f
Tabelat e kombinimeve për dy elementet logjike speciale, të dhëna në tabelën e fundit të Fig.3.8, të cilat njihen edhe si ekskluziv -OSE (XOSE) e ekskluziv DHE (XDHE), janë: . A 0 0 1 1
.
B 0 1 0 1 A 0 0 1 1
A+B 0 1 1 0 B 0 1 0 1
A
+
1 0 0 1
B
Nga tabelat e dhëna shihet se vlejnë raportet:
.
A + B= A+ B A + B= A + B
dhe atë, si për dy ashtu edhe për më shumë variabla. Në pjesën vijuese, për vizatimin e qarqeve logjike do të përdoren simbolet e dhëna në kolonat e fundit të tabelave, por grupi i elementeve speciale do të plotësohet edhe me disa elemente të tjera. 4
Shembull
Vizatimi i qarqeve logjike të cilat përshkruhen përmes funksioneve:
a.
f = AB + BCD + ACD + AD
b.
g = (A+B+D) (B+C) (A+B)
duke shfrytëzuar elemente logjike themelore.
a) A
B
C
D
f
b) A
B
C
D
f
5
2 Minimizimi i funksioneve Gjatë realizimit praktik të qarqeve logjike kërkohen format më të thjeshta të tyre, me qëllim të kursimit në material dhe në punë. Për këtë qëllim, para realizimit të qarqeve gjenden shprehjet minimale të funksioneve logjike përmes të cilave përshkruhen, përkatësisht bëhet minimizimi i tyre. Në përgjithësi, për minimizimin e funksioneve logjike përdoret minimizimi algjebrik, minimizimi gra k dhe minimizimi tabelar .
3 Minimizimi algjelbrik Minimizimi i funksioneve logjike në rrugë algjebrike mbështetet në shfrytëzimin e postulateve, ligjeve dhe teoremave të algjebrës së Bulit.
Shembull
Gjetja e formës minimale të funksioneve:
a.
f = A + ABC + AB + ABC
b.
u = (A+B)C + AB + C
c.
g = (A+C) (A+D) (B+C) (B+D)
d.
v = [AB(C+D+E)+ABD])A+B+E)
e.
h = (A+B+CD) (A+B) (A+B+E)
duke shfrytëzuar minimizimin algjebrik.
a)
f = A + ABC + AB + ABC = A + AB + ABC + ABC = A(1+B) + BC(A+A) = A + BC
6
b)
u = (A + B)C + AB + C = AC + BC + AB +C = AC + AB + (B+1)C = AC + AB + C = (A + 1)C + AB = C + AB = AB + C c)
g = (A + C) (A + D) (B + C) (B + D) = [AA + AC + AD + CD][BB + BC+ BD + CD] = [A + AC + AD + CD][B + BC + BD + CD] = [A (1 + C) + AD + CD][B(1 + C)+ BD + CD] = [A + AD+ CD][B + BD + CD] = [A(1 + D) + CD][B(1 + D) + CD] = [A + CD] [B + CD] = AB + BCD + ACD + CCDD = AB + BCD + ACD + CD = AB +BCD + (A + 1) CD = AB + BCD + CD = AB + (B +1) CD = AB + CD
7
d)
g = [AB(C + D + E) + ABD][A + B + E] = [ABC + ABD + ABE + ABD][A + B + E] = [ABC + ABD + ABE][A + B + E] = AABC + AABD + AABE + ABBC + ABBD = ABBE + ABCE + ABDE + ABEE = ABCE + ABDE e)
h = (A + B + CD) ( A + B) (A + B + E) = [AA + AB + ACD + AB + BB + BCD](A + B + E) = [AB + ACD + AB + B + BCD](A + B + E) = [AB + ACD + (A + 1)B +BCD] (A + B + E) = [AB + ACD + B + BCS] (A + B + E) = [AB + ACD + B(1 + CD)] (A + B + E) = [AB + ACD +B] (A + B + E) = AAB + AACD + AB + ABB + ABCD + BB + ABE + ACDE + BE = AB + ACD + AB + AB + ABCD + B + ABE + ACDE + BE = AB + ACD + ABCD + B + ABE + ACDE +BE = AB(1 + CD) + ACD(1 + E) + B + BE(A + 1) = AB + ACD + B +BE = (A + 1)B + ACD + BE = B + ACD + BE = B(1 + E) ACD = B + ACD i qarqeve të tilla bëhet përmes funksioneve logjike, prandaj këto
8
Që të shihet efekti i minimizimit të funksioneve, p.sh., le t'i vizatojmë qarqet logjike për funksionet f dhe u, të dhëna në shembullin e mësipërm, para dhe pas gjetjes së shprehjeve minimale përkatëse.
a)
f = A + BC
f = A + ABC + AB + ABC A
B
C
A
B
C
f f
9
b)
u = AB + C
u = (A + B)C + AB +C A
B
C A
B
C
u u
Përgjigjja adekuate në pyetjen se cila është forma minimale e funksionit, varet nga elementet logjike të cilat i kemi, nga çmimi i tyre, ose nga puna për realizimin e qarkut. Por, kriter esencial që në praktikë merret gjatë gjetjes së shprehjeve minimale të funksioneve është ai i minimizimit të numrit të shkronjave që marrin pjesë në shprehje , ku me shkronja nënkuptohen të gjitha variablat dhe kovariablat . P.sh., funksioni f i dhënë nën a në shembullin e mësipërm:
f = A + ABC + AB + ABC përmban 9 shkronja. Pas minimizimit të tij është tuar shprehja:
f = A + BC dukshëm më e thjeshtë, sepse përmban vetëm 3 shkronja.
10
4 Minimizimi gra k Procesi i gjetjes së shprehjes minimale të një funksioni në rrugë gra ke mbështetet në shfrytëzimin e K-diagramit përkatës. Gjatë kësaj ndiqet procedura vijuese. 1. Grupohen fushat me vlera 1, duke pasur parasysh principet e grupimit. 2. Për çdo grup shkruhet minterma e grupit, si prodhim i variablave dhe i kovariablave (komplementit të variablave), të cilat gjatë gjithë grupit nuk i ndryshojnë vlerat. 3. Shkruhet shprehja minimale e funksionit si shumë e mintermave të grupeve të veçanta. Principet e grupimit të fushave brenda K-diagramit janë: • Grupohen vetëm fushat fqinjë, kurse si fqinjë llogariten fushat të cilat tangohen mes vete me brinjë dhe jo me kënde. • Në çdo grup mund të përfshihen 2n fusha, ku n=0, 1, 2, ... • Grupin mund ta formojë edhe vetëm një fushë. • Një fushë mund të përfshihet njëkohësisht në më shumë grupe.
Si fqinjë llogariten edhe fushat në skajet e kundërta të K-diagramit, duke e paramenduar takimin e tyre në paku , ose si tangim i cili do të ndodhte nëse K-diagrami lakohet. Shembull
Gjetja e shprehjeve minimale të funksioneve të dhëna përmes K-diagrameve: A
A A 1
1
1
1
1
1
1
1
C B
1
1 1
1
D
D 1 C
C 1
1
1
1
1
A 1
1
1 C 1
1 B
B A 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A 1
1 1
D
1
1
1 D
C
1
1
1
1
C 1 B
B
duke shfrytëzuar minimizimin grafik.
11
D 1 1 B
1
b)
BC
a)
A
A AC
1
AB 1
1
1
1
C
1 1
ABC
BCD
1 D
AD
ABCD
1
1
B
C 1
1
f = AC + BC + ABC
B
f = AB + AD + ABCD + BCD d)
c)
A
A 1 1
1
1
BD
1
1
1
1
1
1
1
1
ABD
1 D
C
AB
1
1
C 1
BC
1
1
1
AD D
AC
B
f = AC + AD + BC + A B D
B
f = AB + BD e)
BCD
f) A
A 1
1
1
AD
D C
AC
1
1
ABC
1 1
ABCD
BD
1 1
D 1
ABC 1
1
1
C
1
1
AD
1
B B
f = ABC + AC + AD + BD
f = AD + ABC + ABCD + B C D
Në K-diagram mund të grupohen edhe fushat me vlera 0, duke zbatuar principet e njëjta të cilat vlejnë gjatë grupimit të fushave me vlera 1. Por, në këtë rast, për çdo grup shkruhet maksterma e grupit si shumë e variablave dhe e kovariablave (të kundërta me ato që shënohen në K-diagram), të cilat gjatë gjithë grupit nuk i ndryshojnë vlerat e tyre. Në fund, shprehja minimale e funksionit tohet përmes prodhimit të makstermave të grupeve të veçanta.
12
Gjetja e shprehjeve minimale të funksioneve:
Shembull
a. f(A,B,C,D) = AB + AC + BCD + ABC
Σ Π
b.
m1 (1,3,4,6)
g(A,B,C) =
c. h(A,B,C,D) =
0
M (0,2,3,7,13,15)
në formën e tyre disjunktive dhe konjuktive, duke shfrytëzuar procedurën e minimizimit grafik. A
AB
1
BCD
1
1
1 D
AC
1
1
1
1
1
1
C
B
f = AB + AC + BCD
A
(A + B+ C)
0
0
0
(B + C + D)
0 D
AC
0 C
0
(A + B+ C)
B
f = (A + B+ C) (A + B+ C) (B + C + D)
A
A 1 C
1
1
1
AC AC
(A + C)
0 0 0 0
C B
B
g = (A + C) (A + C)
f = AC + AC
13
(A + C)
A
0 (A + B + D)
0
( A + B + C) D
0
(A + C + D)
0
0
C
0 B
h= (A + B + D) (A + C + D) (A + B + C) A
1
1 1
ACD
1
1
AB
1 D
BD 1 C
1
1
1
B
h = AB + ACD + BD
Nëse dihet K-diagrami i një funksioni, shprehja e funksionit invers mund të gjendet nëse përpilohet K-diagrami i funksionit invers (duke zëvendësuar vlerat 1 me 0 dhe vlerat 0 me 1) dhe pastaj gjendet shprehja minimale përkatëse.
Shembull
Gjetja e shprehjes së funksionit inverz në formën e saj disjunktive për funksionin i cili është dhënë përmes K-diagramit: A 1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
D
C
B
duke shfrytëzuar procedurën e minimizimit grafik.
14
BCD A
A 1
1
AC
AB
1
1
1
1
1 D
D
AD 1
1
1
1
1
1
1
CD
ABD
C
C
5
1
1
BC
B
B
f = AB + AD + BC + CD
f = AC + ABD + BCD
Funksionet me vlera të çfarëdoshme dhe të pacaktuara
Shpesh herë, në praktikë takohen raste kur funksioni, në disa kombinime të vlerave të variablave: • ka vlera të çfarëdoshme (+), përkatësisht
0 ose 1, ose
• ka vlera të pacaktuara (-).
Në këto dy raste gjatë gjetjes së formës minimale të funksionit, nëse nuk është thënë ndryshe, përvetësohen lirisht vlerat 0 ose 1, ashtu që të formohen grupe sa më të mëdha të fushave që grupohen. Mintermat dhe makstermat e fushave të cilat u përgjigjen vlerave të çfarëdoshme (+) dhe vlerave të pacaktuara (-) në pjesën vijuese do të shënohen me: m+ , m− , M+ dhe M− . Shembull
Gjetja e shprehjeve minimale të funksioneve:
a.
A
B
C
0
0
0
f 1
0
0
1
0
0
1
0
0
0 1
1 0
1
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1 + +
0
b. f(A,B,C,D) = =
-
Σ Σ
m1 (2,3,4,5,9,15) +
m (1,6,13,14)
15
Σ m (1,2,7,8,11,12) = Σ m (3,4,9,13) +Σ m (5,6) 1
c. f(A,B,C,D) =
-
+
ΠM (2,4,6,8,10) = ΠM (1,3,5,7) = ΠM (12,13,14,15,)
d.
0
h(A,B,C,D) =
+ -
nëse vlerat e pacaktuara merren si vlera të çfarëdoshme.
a.
b. A BC
A +
_
1
c
1
ABC
_
1
+
+
ABC
BC
B
C
1
+
D
+
+
t = BC + B C
CD ABC
1
1 1
1
B
f= ABC + ABC + ABC + CD c.
d.
BD
A 0
1
+
+
_
+
+
_
0
0
_
A 1 +
1
_
+
1
1
_
C AC
+
1
B
AC
+ 1
D
(C + D)
+
C
1 D 0
B
B
h= (A + D) (C + D) B
g= AC + AC + BD
16
(A + D)
