1.MAT.OBJEKTI: IZRAZI I FORMULE- M.O.SU KONSTANTE KOJE IMAJU SVOJ TERMIN I ZNAK KOJI NE MORAJU BITI JEDNOZNACNO ODREDJENI. POSEBAN ZNACAJ IMAJU SIMBOLI ODNOSNO PROMENLJIVE.TO SU RAZNA SLOVA KOJA SLUZE KAO ZAJEDNICKA OZNAKA ZA POSEBNE OBJEKTE KOJI SE NAZIVAJU VREDNOSTI PROMENLJIVE.M.O.SU SE KAO I MAT.JEZIK POJAVILI KAD JE MAT.POCELA DA SE PROUCAVA SA LOGICKOG. ASPEKTA. IZRAZI SU RECI KOJE SE SASTOJE OD JEDNE PROMENLJIVE ILI OD JEDNOG ZNAKA KONSTANTE,ILI OD VISE PROMENLJIVIH ILI ZNAKOVA KONSTANTI POVEZANIH ZNACIMA OPERACIJA.IZRAZI SE ODREDJUJU DEFINICIJOM KOJA IMA TRI DELA:1)ZNACI KONSTANTI I PROMENLJIVIH SU IZRAZI.2)AKO SU A I B IZRAZI I AKO JE F OPERACIJSKI ZNAK ONDA JE F(A,B)IZRAZ.3)IZRAZI SE DOBIJAJU JEDINO KONACNOM PRIMENOM DELOVA 1,2 OVE DEF. FORMULE SU SLOZENIJI ZAPISI ZA KOJE JE NEOPHODNO KORISTITI RELECIJSKE ZNAKE.DEFINISU SE KAO ZAPISI OBLIKA t1 R t2,GDE SU t1 t2 IZRAZI,A R ZNAK BINARNE RELACIJE.AKO JE R ZNAK RELACIJE DUZINE n,a t1 t2...tn IZRAZI,ONDA JE R(t1 t2...tn). 2.BR SISTEMI-PREVODJENJE: BR.S. MOGU BITI DEKADNI,BINARNI,OKTALNI,HEKSADECIMALNI. DEKADNI,BINARNI,OK TALNI,HEKSADECIMALNI. NAJPOGODNIJI JE RAD U DEKADNOM POMOCU RELATIVNO MALOG BR. ZNAKOVA(10 CIFARA) ZAPISUJU SE VELIKI ILI MALI BROJEVI I DOBIJAJU SE DOVOLJNO PREGLEDNI ZAPISI.RACUNANJE ZAPISI.RACUNANJE JE RELATIVNO PROSTO NA OSNOVU OPERACIJA U OKVIRU PRVE DESETICE.OSIM GRUPISANJA, KAO GLAVNE IDEJE, U RAZL B.S. BITNA JE IDEJA O FORMI ZAPISA I NJEGOVOM ZNACENJU. AKO TREBA PREVESTI ZAPIS MESOVITOG BR. IZ SISTEMA OSNOVE P U SIST. Q (P Q)PREVOD MOZEMO VRSITI:1) ARITMETIKOM SIST P ; 2)ARIT SIST Q. 1)PREVODJENJE P Q SE VRSI OVAKO: AKO IMAMO ZAPIS BR X=(pn, pn-1,…,p1,po,p-1…,p-m) pn-1,…,p1,po,p-1…,p-m) PR. SE VRSI IZRACUNAVANJEM VR X=pn*P^N + pn-1*P^N-1... GDE SU p1 CIFRE A P OSNOVA IZRAZENA U SISTEMU Q. 2) PREVODJENJE PQARITMETIKA SISTEMA P:AKO JE X=(X)P CEO DEO BROJA X, ZAPIS BR X U SISTEMU Q IMACE OBLIK (qs,qs-1,...,qo)Q GDE SU qi NEPOZNATE CIFRE SIST Q. PODELIMO OBE STR JEDNAKOSTI (X)p=(q..)Q SA Q: (X)p/Q= qs*Q^S-1 + qs1*Q^S-2...+q1+qo/Q 1*Q^S-2...+q1+qo/Q SLEDI DA JE qo OSTATAK PRI DELJENJU (X)p SA Q . AKO JE PQ MOZE SE IZVESTI DR POSTUPAK. 4) KODIRANJE I BINARNO K-NJE : ZA CUVANJE, OBRADU I RAZMENU INFORMACIJA POTREBAN JE ODREDJEN MEDIJ. UZ POMOC KODIRANJA. OSTVARUJE SE NESTO PRAKTICNO.KOD.SE PRAKTICNO.KOD.SE VRSI RASVETLJAVANJEM KOLIKU MOC U SEBI SADRZE BROJEVI. TREBA TRANSFORMISATI. RECI IZ AZBUKE An U ODGOV. RECI AZB Bm, GDE JE n BR SIMBOLA Z A, A m ZA B. PROCES PRIDRUZIVANJA RECI U ALFABETU Bm RECIMA U ALFABETU An ZAOVE SE KODIRANJE. SUP. PROCES JE DEKODIRANJE. ALFABET An JE IZVORNI A Bm JE KODNI ALFABET. BR SLOVA KODNOG ALFABETA JE m>2. AKO JE M=2 RADI SE O BINARNOM ALF. B=(0,1). BIN. K-NJE OMOGUCAVA DA SE U RACUNARSKOM MEDIJU PREDSTAVE SVE INF KOJE SE PREDAJU RACUNARU, I TO: NUMERICKI PODACI,ALFABETSKI PODACI,ALFABETSKI ITD. POMOCU BIN CIFARA 0 I 1 PREDSTAVLJAJU SE NE SAMO BR NEGO I SVI OSTALI PODACI(SLOVA, PODACI(SLOVA, ZNACI..)KOJI ZNACI..)KOJI SE OBRADJUJU U RACUNARU.SVAKOM SIMB. SE PRIDRUZUJE ODR. NIZ BINARNIH CIFARA KOJI JE KOD TOG SIMBOLA. POSTOJE RAZL. NACINI BIN K-NJA, ALI VREMENOM SU SE IZGRADILI ODREDJENI STANDARDI. NAJRASPROSTRANJENIJI NAJRASPROSTRANJENIJI JE ASCII KOD. KOD. 5)OPTIMALNA OSNOVA BR SISTEMA ZA MASINSKO PREDSTAVLJANJE: ZA PREDSTAVLJANJE PREDSTAVLJANJE JEDNOG BR POTREBAN JE DUZI ZAPIS KAO NIZ CIFARA. ZATO JE SA SA ASPEKTA MASINSKOG PREDSTAVLJANJA PREDSTAVLJANJA VAZNO ODREDITI TAKVU OSNOVU BR SISTEMA (N), SA STO MANJE RAZL CIFARA (N) I STO KRACIM ZAPISOM BR. KOLICINA FIZICKIH EL U MASINI (M) PROPORCIONALNA PROPORCIONALNA JE BROJU RAZL. CIFARA (N) I DUZINI ZAPISA BROJA (n): M=k*n*N (k- JE KOEF. PROPORCIONALNOSTI) PROPORCIONALNOSTI) Kmax=N^n –1 P ; K MAX JE NAJVECI N-TOCIFREN BR KOJI MOZEMO ZAPISATI U SIST OSNOVE N. ZA N>1 DOVOLJNO VELIKO n MOZE SE UZETI Kmax = Nn pa je n=lnKmax/lnN. POSTO OSNOVA BR SISTEMA MORA BITI CEO BROJ OSTAJE DA SE IZABERE 2 ILI 3. 3 JE OPTIMALNA OSNOVA U SMISLU DA BI TO BILO NAJEKONOMICNIJE – POTREBNO JE NAJMANJE EL U SIST ALI JE CENA SUVISE VELIKA. IPAK JE PRIHVACENA OSNOVA 2- NAPRAVITI NAPRAVITI SKLOP ZA DVA STANJA JEDNOSTAVNIJE JE NEGO ZA TRI. 6) ISKAZI, LOG OPERACIJE I NJIHOVE OSOBINE: RECENICE KOJE IMAJU OBLIK TVRDJENJA, TJ. R. KOJE MOGU BITI ISTINITE ILI LAZNE (IMAJU SVOJSTVO ILI SU TACNE ILI SU NETACNE, TJ. ISTINITOSNA VR JE POTPUNO ODREDJENA) ZOVU SE ISKAZI. POSTOJE RECENICE SA PROMENLJIVOM (ZAVISE OD NJE) TU NISMO U STANJU DA ODREDIMO VREDNOST, ONE SE ZOVU I SLOZENE F-JE- PREDIKATI. ONI PREDSTAVLJAJU PREDSTAVLJAJU NEKU VEZU IZMEDJU TIH PROMENLJIVIH.KVANTIFIKATORI PROMENLJIVIH.KVA NTIFIKATORI UKAZUJU ZA KOLIKO JE VREDNOST ODREDJENE PROMENLJIVE U PREDIKATU TAJ PREDIKAT TACAN.U MATEMATICKOJ LOGICI SE ZA REC SVAKI KORISTI SIMBOL ∀ I ON SE ZOVE UNIVERZALNI KVANTIFIKATOR.VAZNIJE LOGICKE OPERACIJE SU KONJUKCIJA, DISJUNKCIJA,NEGACIJA, IMPLIKACIJA I EKVIVALENCIJA.KONJUKCIJA EKVIVALENCIJA.KONJUKC IJA JE TACNA AKKO SU TACNA OBA ISKAZA KOJI UCESTVUJU U NJOJ.DISJUNKCIJA JE TACNA AKKO JE TACAN BAR JEDAN OD ISKAZA KOJI U NJOJ UCESTVUJU.NEGACIJA JE TACNA AKKO JE NETACAN ISKAZ KOJI UJE OBRAZUJE.IMPLIKAC OBRAZUJE.IMPLIKACIJA IJA JE NETACNA AKKO JE P(PRETPOSTAVKA) TACAN A Q(POSLEDICA) NETACAN ISKAZ.EKVIVALENCIJA JE TACNA UKOLIKO P I Q IMAJU ISTE ISTINITOSNA VREDNOSTI. 7)ISKAZNE FORMULE: NASTAJU AKO SE ISKAZNA SLOVA POVEZU ZNAKOM LOGICKE OPERACIJE. PO DEF. ISKAZI SU: 1) ISKAZNA SLOVA SU ISKAZNE FORMULE 2) AKO SU A,B ISKAZNE ISKAZNE FORMULELE, ONDA JE (A*B) ISK FORMULA GDE JE * ZNAK LOG OPERACIJE. 3) VREDNOSTI KOJE MOZE DA IMA ISKAZNA FORMULA SU 0 I 1. SVE ISK FORMULELE SE DELE NA 3 GRUPE: 1)ONE KOJE IMAJU VR 1-TAUTOLOGIJE; 2)KOJE UVEK IMAJU VR 0- KONTRADIKCIJE (NEGACIJA.TAUTOLOGIJE) 3) ONE KOJE MENJAJU VREDNOST. VREDNOST. SKUPA ISKAZNIH FORMULA. FORMULA.
8)METODE ZA ODREDJIVANJE TAUTOLOGIJA: ISKAZNA FORMULA, KOJA ZA SVE VR SVOJIH ISKAZNIH SLOVA IMA VR 1, ZOVE SE TAUTOLOGIJA.METODE:1)TABLICE TAUTOLOGIJA.METODE:1)TABLIC E ISTINITOSTI, 2)ALGEBARSKA METODA-ZASNIVA SE NA VEZAMA LOGICKIH I ARITMETICKIH OPERACIJA. FORMULA JE TAUTOLOGIJA AKO JE ALG IZRAZ KOJI JE PRIDRUZEN FORMULI =1.3)ARITMETICKA METODA- ZASNOVANA NA NUMERICKOM KRITERIJUMU. KRITERIJUMU. ISKAZNA F-LA JE F(p1,p2,...,pn) F(p1,p2,...,pn) ; UVODI SE IZRAZ f(k1,k2..) GDE JE k1=I(n)/I(n-I)+2 ; I(n)=2^k-1; k=2^N; i=1,...n. F-LA JE TAUTOLOGIJA AKO JE F(p1,p2..)=f(k1..)=I(n) ; KORISTIMO JEDNAKOSTI: neX=I(n)-X ; XvY=X+Y-XΛY=X+neXΛY ; X⇒Y=neX+XΛY ; X⇔Y= neXΛneY+XΛY=ne(X+Y)+2(XΛY). 4) REZOLUCIJSKA METODA-METODA METODA-METODA OPOVRGAVANJA;IZVODI SE KONTRADIKCIJA PRIMENOM PRAVILA REZOLUCIJE NA SASTAVKE. SASTAVCI SU DISJUNKCIJE ISKAZNIH SLOVA ILI NJIHOVA NEGACIJA. ZA ODR SKUPA SAST. DATA F-LA SE TRANSFORMISE TRANSFORMISE U KONJUKTIVNU NORMALNU FORMU. PRAVILO REZOLUCIJE R: …A,B,C SU ISK FLE. 9)ALGEBRA PREKIDACKIH MREZA: ELEKTRICNOM PROVODNIKU SA PREKIDACEM P PRIDRUZUJEMO ISKAZNO SLOVO p, A PREKIDACU KOJI PROVODI STRUJU AKO p NE PROVODI ne P. POSTOJE DVA STANJA:1)AKO JE R ZATVOREN-PROVODI, VREDNOST MU JE 1; 2)AKO JE R OTVOREN-NE PROVODI, VREDNOST MU JE 0. AKO MREZA SA 1 ILI VISE PREKIDACA PROVODI – VRED MREZE JE 1, AKO NE PROVODI 0. MOGU BITI VEZANI PARALELNO (Pgore Q v)ILI SERIJSKI (Λ). PRAVI SE ISTINITOSNA TABLICA. 10)BULOVA ALGEBRA(DEF. I PRIMER): NEKA JE S NEPRAZAN SKUP, * I SU OZNAKE BINARNIH OP, A ‘ ZA UNARNU. UREDJENA CETVORKA (S,*, ,’) JE BULOVA ALGEBRA AKKO VAZE AKSIOME: B1.- ZATVORENOST ,
(GRUPISANOST)- UVEK OSTAJE U SKUPU S) X,Y∈S , ONDA X*Y Λ∈, XoY∈, X’Λ∈S; B2.KOMUTATIVNOST(R B2.KOMUTATIVNOST(REZULTAT EZULTAT SE NE MENJA KADA SE MENJA MESTO ARGUMENATA) X,Y∈S, ONDA: X*Y=Y*X ; X °Y = Y°X B3.ASOCIJATIVNOST: X*(Y*Z) = (X*Y)*Z ; X °(Y°Z) = (X °Y)°Z B4.DISTRIBUTIVNOST: X*(Y°Z) = (X*Y) ° (X*Z) ; X ° (Y*Z) = (X °Y) * (X °Z) B5. POSTOJANJE PRVOG I POSLED EL. U SKUPU S: X*0=X; X ° I =X B6.SVOJSTVO UNARNE OPERACIJE: X*X’=1 X °X’=0. PRIMER: ({1,0}, v, Λ, ‘ ) KAO BULOVA ALGEBRA. UVERENUJE DA UREDJENA UREDJENA CETVORKA ZADOVOLJAVA AKSIOME BULOVE ALGEBRE.INTERPRETIRAMO S KAO {1,0},* KAO ∨, ° KAO ∧, ′ KAO .TADA IZ DEF OPERACIJA ∧, ∨,SLEDI USLOV GRUPOIDNOSTI, B1 ZADOVOLJEN.ZA DISJUNKCIJU I KONJUKCIJU VAZE ASOCIJATIVNI, DISTR.I KOMUT.ZAKONI PA SU ZADOVOLJENI USLOVI B2,B3 I B4, 0 JE NEUTRALNI ELEMENT ZA DISJUNKCIJU A 1 ZA KONJUKC.ZA: p∨ p=1 p=1 i p∧ p=0 UREDJENA CETVORKA CETVORKA ZADOVOLJAVA SVE SVE AKSIOME. 11)TEOREME U BULOVOJ ALGEBRI- NEKA NEKA JE (S,*,o, ‘)BULOVA ALGEBRA.OSIM IDENTITETA KOJI SU SADRZANI U AKSIOMAMA BULOVE ALG, IZDVAJAJU SE IDENTITETI KOJI SE DOKAZUJU NA OSNOVU AKSIOMA KAO POSLEDICE.VAZNIJI IDENTITETI SU: T1) X*X=X; X °X=X T2)X*I=I, X°0=0; T3) X*(X°Y)=X;X°(X*Y)=XT4)X*(X′°Y)=X*Y;X°(X′*Y)=X°Y;T5) (X*Y)*(X′°Y′)=I;(X°Y)°(X′*Y′)=0;T6)(X*Y)°(X′°Y’)=0;(X°Y)*(X′*Y′)=I; T7) (X’)’=X;T8)0’=I;I’=0;T9)(X*Y)′=X′°Y′;(X°Y)′=X′*Y′;T10)AKO JE∂*X=Ii∂°X=0, ONDAJEX=∂′T11) X*Y=0 AKKO X=Y=0;T12)X°Y=IAKKOX=Y=I;T13)X°Y=0AKKOX=0iliY=0;T14)ZASVAKIELE M.POSTOJI SAMO JEDAN X’ DOKAZ:T2) X °0=0 12) BULOVI IZRAZI-KANONSKE FORME:1)BULOVE KONSTANTE 0 I 1 I BULOVE PROMENLJIVE SU BULOVI IZRAZI I SU.2)AKO SU A I B BULOVI IZRAZI ONDA SU I (A*B),(AvB)BULOVI IZRAZI.BULOVI IZRAZI NASTAJU SAMO KONACNOM PRIMENOM 1 I 2 DELOVA OVE DEF.KANONSKE FORME BULOVIH IZRAZAI SU KDNF I KKNF. DEF. DISJUNKTIVNA FORMA Vi=1 DO n Ci JE KDNF U ODNOSU NA PROMENLJIVE X1,X2,...,Xk X1,X2,...,Xk AKO SU C1,C2,...,Cn C1,C2,...,Cn KANONSKE ELEMENTARNE KONJUKCIJE U ODNOSU NA TE PROM. DEF. KONJUKTIVNA FORMA Λi=1 DO n Di JE KKNF U ODNOSU NA X1,X2,...,Xk AKO SU D1,D2,..,Dn K ELEMENTARNE DISJUNKCIJE UODNOSU NA TE PROM. FORME FORME KDNF I KKNF KKNF SU TIPICNI IZRAZI JER BILO KOJI BULOV IZRAZ MOZE DA SE TRANSFORMISE U NJIH. 13.BULO JEDNACINE –ODREDJIVANJE RESENJA(OSN.TEOREMA):DEF. A(x1,x2..xn)=B(x1,..Xn) A(x1,x2..xn)=B(x1,..Xn) GDE SU A I B BULOVI IZRAZI OD KOJIH BAR JEDAN SADRZI PROMENLJIVE x1,x2,..xn IZ L2. RESENJE BULOVE JEDNACINE A=B JE BILO KOJA n-TORKA KOJA KAD SE STAVI UMESTO PROMENLJIVE DAJE TACNU JEDNAKOST.TREBA NACI BAR 1 VEKTOR α ZA KOJI JE JEDNACINA MOGUCA. DEF.R=∅, A=B JE NEMOGUCA. NE POSTOJI NI 1 VEKTOR KOJI ZADOVOLJAVA JEDNAKOST. RESITI ZNACI NACI SVA RESENJA KOJA POSTOJE. EL SKUPA R SE ZOVE PARTIKULARNO RESENJE.AKO POSTOJI SKUP R (KOJI OBUHV SVAKO PART. RESENJE) NJEGOV OPSTI ZAPIS JE OPSTE RESENJENJERESENJENJE- UVODI SE DODATNI DODATNI PAR POMOCU KOJEG SE MOZE IZRAZITI SAMO PARTIKULARNO RESENJE. 14. B NEJNE I SIST JNA I NEJNA: SVAKA BULOVA JEDNACINA MOZE DA SE SVEDE NA BULOVU NEJEDNACINU: A(x1,x2..)>=B(x1,x2..). IZRAZ GDE SU A I B BULOVI IZRAZI I AKO SAMO JEDAN SADRZI PROM x1,..,Xn jeB NEJEDNACINA.SKUP RESENJA RESENJA NEJEDNACINE JE R={α| A(α)<=>B(α), α∈L2^n}. DEF. X<=Y AKKO XvY=Y ; T1. AKO JE X<=Y ONDA X*Y=X,ZA X>=Y JE X ∧Y=Y, X∨Y=X ; T2. A<=B JE EKV SA A*B=0 , f(x1,x2…xN)=0. f(x1,x2…xN)=0. SIST BULOVIH JEDNACINA I NEJEDN: A1B1 ∨A1B1=0 DO n... F1=0, F2=0 … F n=0 EKV. SA F1V F2 V ...=0 ; f(X1,...,Xn)=0 . 15)METODA SUKCESIVNOG ELIMINISANJA-KORISTI SE U SLUCAJUCBULOVIH SLUCAJUCBULOVIH JEDNACINA SA VISE PROMENLJIVIH ZA ODREDJIVANJE OPSTEG RESENJA BULOVIH JEDNACINA A(x1,..,Xn)=B TRANSFORMISE TRANSFORMISE SE U EKVIVALENTNU ABvAB=0 KOJA IMA OBLIK f1(x1,...xn)=0. OVU JEDNACINU TRANSFORMISE U EKVIVALENTAN OBLIK:f1(1, x2,..,Xn)X1v f1(0, x2,…,xn)X1=0. ONA JE MOGUCA AKKO f1(1, x2,..,Xn)*f2(0, x2,…,xn)=0;LEVA x2,…,xn)=0;LEVA STRANA POSLEDNJE JEDNACINE IMA OBLIK f2(X2,..,Xn)=0 GDE JE ELIMINISANO X1. SADA SE SVE PONAVLJA ZA f2( X2,..,Xn) I ELIMINISE SE X2. POSTUPAK ELIMINISANJA SE PRODUZUJE DO:fn(1)XnV fn(O)Xn=0, fn(O)Xn=0, GDE SU fn(1)=a , fn(0)=b IZ L2 TJ. DO SVODJENJA NA JEDNACINU SA 1 PROMENLJIVOM.ONA PROMENLJIVOM.ONA JE MOGUCA AKKO ab=0 I NJENO RESENJE JE Xn=aPn V bPn GDE JE Pn PARAMETAR IZ L2.
16) BULOVE MATRICE- MATRICA GRAFA: A(aij) , aij SU BULOVI IZRAZI, K=(kij) kij(0,1)KONSTANTE BULOVE MAT. OPERACIJE SA MAT: ZBIR(V),
PROIZV. (∧) NEGACIJA, 0 M , 1 MAT; POSEBAN ZNACAJ BULOVE MATRICE IMAJU U TEORIJI GRAFOVA.NEKA JE S=(x1,xn) I ρ⊂S^2 RELACIJA TOG SKUPA. UREDJENI PAR (S, ρ) JE GRAF REDA n. GEOMETRIJSKA PREDSTAVA GRAFA (S, ρ) ODREDJUJE SE TAKO STO SVAKOM ELEMENTU Xi SKUPA S PRIDRUZUJEMO 1 TACKU- CVOR GRAFA. AKO JE (Xi,Xj) ∈ ρ, I≠J TADA CV Xi I Yj VEZUJEMO STRELICOM.AKO JE (Xi,Xi)E ρ TADA U CVORU IMAMO PETLJU. SVAKOM GRAFU REDA n PRIDRUZUJEMO KVADRATNU BULOVU MATRICU: Mg=(mij), i,j=1..n, i,j=1..n, GDE JE mij=1, AKO (Xi,Xj) ∈ρ ILI 0 AKO (Xi,Xj)NE ∈ρ. Mg ZOVEMO M GRAFA (S, ρ). 17)BULOVE FUNKCIJE-KANONSKE FORME: FUNKCIJE CIJI SU DOMENI I KODOMENI ODREDJENI SKUPOM L2=(0,1) SU FUNKCIJE ALGEBRE LOGIKE ILI BULOVE FUNKCIJE. DEF. PRESLIKAVANJE f: L2^n L2 ZOVE SE BULOVA FUNKCIJA ( n JE BR PROMENLJIVIH). BULOVA FUNKCIJA MOZE BITI ZADATA TABLICOM ILI BULOVIM IZRAZOM.TEOREMA:BROJ IZRAZOM.TEOREMA:BROJ RAZLICITIH BULOVIH FUNKCIJA OD n PROMENLJIVIH JE 2^2^n. POSTOJE KDNF I KKNF. KANONSKE FORME SU POSEBNE STANDARDNE FORME NA KOJE SE MOGU SVESTI SVE FORME.MA KOJA BULOVA FUNKCIJA UKDNF :f(x1,xn)=Vα∈L2^nf(α1,αn)X1^α1 ...Xn^ αn GDE JE α=(α1,..αn). MA KOJA BULOVA FUNKCIJA N PROMENLJIVIH MOZE SE PREDSTAVITI U KKNF f(x1,xn)=Πα∈L2^n(f(α1, αn)V X1^α1...V Xn^αn). 18)MINIMIZACIJA BULOVIH FUNKCIJA- DIJAGRAMI VEJC KARNEA – MINIMIZACIJA JE PROCES TRANSFORMISANJA TRANSFORMISANJA IZRAZA J1 U IZRAZ J2 KOJI JE EKVIVALENTAN SA J1 U SMISLU DA PREDSTAVLJA ISTU FUNKCIJU I KOJI JE PO ODREDJENOM KRITERIJUMU MINIMALAN. ZA KRITERIJUM MINIMALNOSTI NAJCESCE SE UZIMA BR SLOVA I ZNAKOVA KONJUKCIJE ILI DISJUNKCIJE U IZRAZU J2. METODE ZA MINIMIZACIJU:1)ALGEBARSKOMINIMIZACIJU:1)ALGEB ARSKO- LOGICKE: METOD KVAJN MAK-KLASKI 2)GRAFICKO-GEOMETRIJSKE 2)GRAFICKO-GEOMETR IJSKE METODE VEJC-KARNEA- DIJ.3)METODE BAZIRANE NA TOPOLOSKOJ INTERPRETACIJI BULOVE FUNKCIJE URBANO-MILER. DIJAGRAMI VEJC-KARNEA:POLAZI SE OD BULOVE FUNKCIJE ZAPISANE U KDNF ILI KKNF. SVAKOJ KANONSKOJ KONJUKCIJI X^α, GDE JE X=(X1,XN), α=(α1…αn), PRIDRUZUJE SE BINARNI ZAPIS: α =α1α2...αn KOJI SE ZATIM PREVODI U DESETICNI SISTEM. VEJC JE PRIMETIO DA JE TE DESETICNE BROJEVE POGODNO ZAPISIVATI U OBLIKU MATRICE, KOJU ZOVEMO KARTA ILI DIJAGRAM. MOGUC JE VELIKI BROJ RAZLICITIH RASPOREDA NUMERACIJA U DIJAGRAMU:DIJAGRAM DIJAGRAMU:DIJAGRA M SE POPUNJAVA TAKO STO SE U KVADRATICE UPISUJE MARKER NA MESTO BROJEVA U IZRAZU BULOVE FUNKCIJE,A OSTALI KVADRATICI OSTAJU PRAZNI.POPUNJENI KVADRATICI SE UKLJUCUJU U BLOKOVE OD PO 2^k KVADRATICA GDE JE K RED BLOKA.ZATIM SE FORMIRAJU NAJPRE GLAVNI A IZ NJIH OSNOVNI BLOKOVI.GLAVNI BLOK ZA DATI KVADRATIC JE NAJVECI BLOK KOJI GA SADRZI.OSNOVNI SADRZI.OSNOVNI BLOK JE GLAVNI BLOK KOJI SADRZI BAR JEDAN KVADRATIC KOJI NE ULAZI U DRUGE BLOKOVE. 19)ALGEBARSKO-LOGICKE METODE KVAJNA ZA MINIMIZACIJU: KVAJN JE IZGRADIO 2 NEZAVISNE METODE: PRVA UPROSCUJE BULOV IZRAZ FUNKCIJE, ALI NE GARANTUJE MINIMUM; A DRUGA SISTEMSKI DOVODI DO MIN. NORMALNOG EKVIVALENTA. POLAZI SE OD KDNF I DEFINISU SE POJMOVI: TERM ϕ SADRZI ψ AKKO SE SVI LITERALI IZ ψ NALAZE U ϕ. FORMULA ϕ IMPLICIRA FORMULU ψ AKO NE POSTOJE TAKVE KOMBINACIJE VREDNOSTI PROM ZA KOJE ϕ IMA VREDNOST 1 A ψ IMA VR 0.** TERM ϕ JE PROSTA IMPLIKANTA ZA FORMULU ψ AKKO ϕ IMPLICIRA ψ I NE SADRZI PODTERM KOJI BI TAKODJE IMPLICIRAO ψ . ALGORITAM MINIMIZACIJE PO KVAJNU: *DATA JE KDNF :C1V C2V ...V Ck (Ci SU TERMI) 1) AKO SE JAVLJAJU DVA TERMA OBLIKA X ξ I Xξ ONDA SE ZAJEDNICKI DEO X UKLJUCUJE U SPISAK NOVE VRSTE.2)SVI TERMI SE ZADRZAVAJU U SPISKU I MOGU SE KORISTITI VISESTRUKO ZA DRUGE KOMBINACIJE SPARIVANJA, A TERMI KOJI UCESTVUJU U SPARIVANJU SE MARKIRAJU. 3)KADA NEMA NOVIH MOGUCNOSTI ZA SPARIVANJE NEMARKIRANI TERMI TERMI U SPISKU SU PROSTE PROSTE IMPLIKANTE. IMPLIKANTE. *PROSTE IMPLIKANTE SE GRUPISU TAKO DA SVAKI TERM Ci(i=1,..k) SADRZI NEKU IMPLIKANTU. * SVAKA NAJPROSTIJA GRUPA PROSTIH IMPLIKANTI KOJA POKRIVA SVE TERME Ci PREDSTAVLJA SE U TERMU DISJUNKCIJE I PREDSTAVLJA MINIMALNI NORMALNI OBLIK EKVIVALENTAN POCETNOJ FORMULI. 20) TOPOLOSKI MODEL B FJE: JEDAN OD METODA ZA MINIMIZACIJU BULOVE FUNKCIJE JE TOPOLOSKI MODEL (METODA URBANO MILERA). KORISTI SE MODEL N-DIMENZIONALNE KOCKE (>=0), TZV. N-KUBA. SMATRA SE DA JE B FUNKCIJA ZAPISANA U KDNF. IZABERIMO KOORDINATNI SISTEM ZA JEDINICNI N-KUB SA KOORDINATAMA X1,X2...Xn. SVAKOM TEMENU TAKVOG N-KUBA PRIDRUZUJEMO TERM CIJI JE BINARNI ZAPIS α1α2..αn. DEKADNI BR. ODREDJEN OVIM BINARNIM ZAPISOM JE TEMENI BROJ. K-KUB (k<=n) SADRZAN U N-KUBU SADRZI 2^k TEMENA, TJ. 2^k TERMA KDNF. K-KUB MOZEMO SHVATITI KAO MODEL TERMA KOJI SADRZI ( n-k)PROMENLJIVU. ZA DATI M-KUB (m<=n) K-GRANE SU SVI K-KUBOVI (k
22) AKSIOMATSKE I FORMALNE TEORIJE-DEF.IPRIMER : AKO POJMOVI TEORIJE IMAJU ODREDJENO ZNACENJE(SADRZAJ) , A STAVOVI
TEORIJE PREDSTAVLJAJU ISTINITA TVRDJENJA O POJMOVIMA TEORIJE, T SE ZOVE SADRZAJNA TEORIJA. UKOLIKO ZNACENJE I ISTINITOST NISU APRIORI SADRZANI U POJMOVIMA I STAVOVIMA TEORIJE, NEGO IM SE PRIPISUJE TEK U MODELIMA ( INTERPRETACIJAMA) INTERPRETACIJAMA) TEORIJE, TEORIJA JE FORMALNA. 23)SVOJSTVA FORMALNIH TEORIJA: FORMALNE T. SE GRADE S CILJEM SVODJENJA NA MINIMUM NEPRECIZNOSTI I NEODREDJENOSTI KOJE SE JAVLJAJU USLED POTREBE GOVORNOG JEZIKA.O ISPRAVNOSTI NEKE DEF. ILI DOKAZA ODLUCUJE SE SAMO NA OSNOVU NJIHOVE STRUKTURE ( FORME) A NE NA OSNOVU SADRZAJA. FORMALNA TEORIJA τ JE ODREDJENA KADA SU ZADATI SKUPOVI: 1)S(τ)- NAJVISE PREBROJIV SKUP OSNOVNIH SIMBOLA (AZBUKA TEORIJE τ) 2) F( τ)- SKUP FORMULA KAO PODSKUP SKUPA SVIH RECI SA OSNOVNIM SIMBOLIMA TEORIJE τ. DAT JE POSTUPAK ZA ODLUCIVANJE DA LI JE NEKA REC FORMULA ILI NE. DATA JE DEF KOJA IZ SKUPA SVIH RECI DATE AZBUKE IZDVAJA ONE KOJE SE SMATRAJU FORMULAMA. 3)A(τ)- SKUP AKSIOMA KAO PODSKUP SKUPA FORMULA, 4)R( τ)- KONACAN SKUP PRAVILA IZVODJENJA. AKO SU FORMULE FORMULE A1,A2,...An-1, An U RELACIJI α ONDA KAZEMO DA JE FORMULA An DIREKTNA POSLEDICA FLA A1,…,An-1 PO PRAVILU IZVODJENJA α: α:A1,..,An-1/An. OVI SKUPOVI POTPUNO ODREDJUJU FORMALNU TEORIJU, PA SE TEORIJA τ MOZE DEF KAO UREDJENA CETVORKA (S(τ), F( τ),A(τ),R(τ)). 24.DOKAZI I VRSTE DOKAZA: POSTUPAK IZVODJENJA TVRDJENJA IZ AKSIOMA ILI TEOREMA ZOVE SE DOKAZ (DEDUKCIJA). DOKAZ SE OSTVARUJE U SKLADU SA ZAKONIMA LOGICKOG MISLJENJA I SASTOJI SE OD NIZA KORAKA KOJI POVEZUJU POLAZNE PRETPOSTAVKE, AKSIOME ILI TEOREME. AKO SE TVRDJENJE IZVODI IZ PRETPOSTAVKI KOJE NISU DOKAZANE , TAKAV DOKAZ SE ZOVE IZVODJENJE IZ HIPOTEZA. AKO SE DOKAZ. IZV PRIMENOM STROGO FORMALNIH PRAVILA, TO JE FORMALNI DOKAZ. AKO PRAVILA NISU STROGO PRECIZIRANJA, TO JE NEFORMALNI SADRZAJNI DOKAZ. SADR DOK MOGU BITI ANALITICKI I SINTETICKI. ANALITICKI-POLAZI OD STAVA OD KOJEG TREBA DOKAZIVATI, VRZI SE NJEGOVA ANALIZA. SINTETICKIPOLAZI OD STAVOVA CIJA JE ISTINITOST PRIHVACENA, NJIHOVIM SPAJANJEM SINTETIZUJE SE TVRDJENJE KOJE JE TREBALO DOKAZATI. PREMA FORMI DOKAZ MOZE BITI DIREKTAN (NEPOSREDNO SE DOKAZUJE DATO TVRDJENJE) ILI INDIREKTAN (DOKAZUJE SE NEMOGUCNOST TVRDJENJA TVRDJENJA KOJE JE PROTIVURECENO PROTIVURECENO DATOM TVRDJENJU). KORACI IZ KOJIH SE SASTOJI DOKAZ SU NEKE RECENICE ILI FORMULE. SVAKI CLAN DOKAZA JE: AKSIOMA, VEC DOKAZANA TEOREMA, NEKA HIPOTEZA ILI – NEKA LOGICKA FORMULA ILI – RECENICA KOJA JE POSLEDICA NEKIH PRETHODNIH CLANOVA DOKAZA PO NEKOM PRAVILU IZVODJENJA. PRAVILO IZVODJENJA MOZE BITI LOGICKO(MODUS PONENS,TOLENS) ILI MATEMATICKO. 25.POJAM IZVODJENJA U FORMALNOJ TEORIJI. : KOD F. T SE RAZLIKUJU DVA TIPA IZVODJENJA:1)IZVODJENJE. IZ AKSIOMA, 2) IZ HIPOTEZA. 1)I. IZ AKSIOMA- KONACAN NIZ FORMULA B1..Bm F.T τ ZOVEMO IZVODJENJE(DEDUKCIJA) U TEORIJI AKO SVAKA FORMULA Bi(1<=i<=m) TOG NIZA ISPUNJAVA USLOV: 1)Bi JE AKSIOMA ILI 2) Bi JE DIREKTNA POSLEDICA NEKIH PRETHODNIH FORMULA NIZA PO IZVESNOM PRAVILU IZVODJENJA. FORMULU Bm F.T ZOVEMO TEOREMA U TEORIJI τ, U OZNACI |-- τ--Bm ILI, AKO POSTOJI BAR JEDAN NIZ B1,B2,..,Bm B1,B2,..,Bm KOJI JE IZVODJENJE U TEORIJI τ. 2)IZVODJENJE IZ HIPOTEZE NEKA JE F NEKI SKUP SKUP FORMULA NEKE F.T τ I A ODREDJENA FORMULA ISTE TEORIJE. FORMULA JE POSLEDICA SKUPA FORMULA F, AKO POSTOJI KONACAN NIZ FORMULA B1,B2,..,Bm B1,B2,..,Bm CIJA SVAKA FORMULA ISPUNJAVA USLOV: 1. Bi JE AKSIOMA ILI 2)Bi JE IZ SKUPA F, ILI 3) Bi JE DIREKTNA POSLEDICA NEKIH PRETHODNIH FORMULA NIZA PO IZVESNOM PRAVILU IZVODJENJA TEORIJE τ. PISEMO F|-- τ--A ILI.., ELEMENTE SKUPA F ZOVEMO HIPOTEZE (PRETPOSTAVKE). NIZ B1,B2, …,Bm ZOVEMO IZVODJENJE FLE A IZ SKUPA HIPOTEZA F. 26.POJAM KVANTIFIKATORA I PREDIKATA: OD ISKAZNE FUNKCIJE UPOTREBNOM RECI SVAKI, ODNOSNO NEKI, MOGU SE DOBITI ISKAZI. ISKAZNE FUNKCIJE OBICNO IZRAZAVAJU IZRAZAVAJU NEKO SVOJSTVO ODNOS ILI RADNJU. ZATO SE JOS ZOVU PREDIKATSKE FUNCIJE ILI PREDIKATI. KAO OZNAKE JEDNOMESECNIH PREDIKATA KORISTIMO SIMBOLE: P(X), Q(X), SIMBOL P(X,Y) OZNACAVA DVOMESNI, A P(X,Y,Z) TROMESNI PREDIKAT. U MATEMATICKOJ LOGICI ZA REC SVAKI I NJENE SINONIME KORISTIMO SIMBOL ∀. OVAJ SIMBOL SE ZOVE UNIVERZALNI KVANTIFIKATOR. ZA REC POSTOJI KOREISTI SE SIMBOL ∃ KOJI SE ZOVE EGZISTENCIJALNI KVANTIFIKATOR. 27.JEZIK PREDIKATSKOG RACUNA: NASTAO JE KAO PRIRODNO UOPSTENJE JEZIKA MATEMATICKIH. FORMULA. SIMBOLI OVOG JEZ SU: 1)PROMENLJIVE:X,,Y,Z..,Xn... 1)PROMENLJIVE:X,, Y,Z..,Xn... 2)OPERACIJE: f,g,h,...*, o,+ ... U OPSTEM SLUCAJU fk^n DUZINE n(IMA n ARGUMENATA, N>=0) , f1^0,f2^0..SAMI OBJEKTI(KONSTANTE)); 3)RELACIJE: Rk^n Rk-IME, n-DUZ RELACIJE, N>=0- SAME ISTINITOSNE ISTINITOSNE VREDNOSTI) ; 4) KVANTIFIKATORI; KVANTIFIKATORI; 5)POMOCNI 5)POMOCNI SIMBOLI (,),;LOGICKI VEZNICI ¬,∧,∨,⇒ . BILO KOJU RECENICU KOJA IMA OPERACIJSKO-RELACIJSKU OPERACIJSKO-RELAC IJSKU STRUKTURU MOZEMO DA PREVEDEMO NA OVAJ JEZIK. TO JE FORMALIZACIJA (PREVODJENJE SA GOVORNOG NA FORMULSKI JEZIK). NIJE JEDNOZNACNO, TJ. NE MOZE SE VRSITI NA VISE NACINA. 28)INTERPRETACIJA I MODEL FORMULE PR RACUNA: DA BI SE IZVRSILA INTER. MORA SE ZNATI STA JE DOMEN; ZATIM SE IZABERE PRESLIKAVANJE KOJE CE OPERACIJE IZ FORMULE DA PROTUMACI KAO VEZE. INTER JE UREDJENI PAR KOJI JE ODREDJEN DOMENOM I PRESLIKAVANJEM:I=(D,ϕ). INTERPRETACIJA IMA ONOLIKO KOLIKO MOZE DA SE SMISLI RAZLICITIH DOMENA F In DnFn (KAO GRANE). AKO SE ISTA FORMULA INTERPRETIRANA NA RAZLIC DOMENE , VREDNOST TE F MOZE DA POSTANE KONKRETAN ISKAZ- DA BUDE T ILI NE T. INTERPRETACIJOM FORMULE KOJA NE SADRZI SLOBODNE PROMENLJIVE NASTAJE ISKAZ, DOK INTERPRETACIJA FORMULE SA SLOBODNIM PREDIKATOM DAJE ISKAZNU F-JU CIJA ISTINITA VRED. ZAVISI UPRAVO OD VRED. KOJE UZIMU SLOBODNE PROMENLJIVE. FORMULA JE TACNA PRI INTERPRETACIJI I AKO SE TOM INTERZPR. PRETVORI U TACAN ISKAZ. U TOM SLUCAJU ZA INT. I KAZEMO DA JE MODEL TE FORMULE. FORMULA JE NETACNA PRI INTERPRETACIJI INTERPRETACIJI I AKO JE NJENA NEGACIJA TACNA PRI TOJ INTERPRETACIJI.
29)NEZADOVOLJIVOST I DOKAZI POBIJANJEM-POLUODLUCIVOST- U OPSTEM SLUCAJU ZA PROIZVOLJNU F-LU F KVANTIFIKATORSKOG. RACUNA NISMO U MOGUCNOSTI DA ODGOVORIMO NA ? DA LI JE FORMULA VALJANA ILI NIJE. OVO JE STAV CERCA O NEODLUCIVOSTI KV. RACUNA PRVOG REDA. ERBRAN- STAV O POLUODLUCIVOSTI KV. RAC. I REDA: ZA PROIZVOLJNU FORMULU F KONACNOM PROCEDUROM SAZNAJEMO DA JE VALJANA, KADA ONA TO JESTE. KADA F NIJE VALJANA TAKVA PROCEDURA RADI BESKONACNO I NE DAJE ODGOVOR. DEF: ZATVORENA F-LA A JE ZADOVOLJIVA AKO POSTOJI INTERPRETACIJA U KOJOJ JE A TACNA.DAKLE, F-LA A JE ZADOVOLJIVA AKO IMA MODEL. FLA A JE NEZADOVOLJIVA AKO ZA A NE POSTOJI MODEL. DEF: SKUP S ZATVORENIH F-LA JE ZADOVOLJIV AKO JE ZADOVOLJIVA KONJUKCIJA SVIH F-LA IZ S. SKUP S JE NEZADOVOLJIV AKO JE NEZADOVOLJIVA KONJUKCIJA KONJUKCIJA SVIH F-LA IZ S. F-LA JE VALJANA AKKO JE NJENA NEGACIJA NEZADOVOLJIVA. METODE DOKAZIVANJA NEZADOVOLJIVOSTI DATOG SKUPA SKUPA F-LA ZOVU SE SE METODE POBIJANJA(OPOVRGAVANJA). 30)PRA 30)PRAVIL VILO O REZOLUC REZOLUCIJE IJE ZA ISKAZN ISKAZNII RACUN RACUN – REZOLUCIJSKA. METOD METODA A OPOVR OPOVRGAV GAVANJ ANJA A SE ZASNIV ZASNIVA A NA SLEDEC SLEDECEM EM PRAVI PRAVILU LU REZOLUCIJ REZOLUCIJE E (R) : ¬A∨B, A∨C/B∨C , A,B,C A,B,C SU BILO BILO KOJE KOJE ISKAZNE ISKAZNE FORMULE. POSEBNO, ¬A,A/∅ ,TJ. IZ ¬A I A SE IZVODI KONTRADIKCIJA. ZA IZVODJENJE KONTRADIKCIJE NISU POTREBNE AKSIOME ISKAZNOG RACUNA. RACUNA. KOREKTNOS KOREKTNOST T PRAVILA PRAVILA R- ZNACI ZNACI DA S EPRIMENOM EPRIMENOM OVOG PRAVILA NA FLU F1I F2 DOBIJA FLA F KOJA JE LOGICKA POSLEDICA F1 I F2, TJ. F1,F2|---F. POSEBNO, AKO SU F1 I F2 TEOREME RACUNA L, ONDA JE I FLA F IZVEDENA REZOLUCIJOM, TEOREMA U L. POTPUNOST PRAVILA R- ZNACI ZNACI DA SE SVAKA SVAKA TEOREMA TEOREMA RACUNA RACUNA L . MOZE MOZE DOKAZAT DOKAZATII PRIMENOM PRAVILA R UMESTO PRAVILA MP . .
