prueba 3 calculo 1 UC

Facultad de Matem´ aticas aticas Departamento Departam ento de Matem´ atica atica Primer semestre 2014.

MAT 1610 - C´ alculo alc ulo 1 Pauta Interrogaci´ on on 3

1. Calcular Calcular a )

 

1 √ 

x arcsin(x2 )

2

√ 1 − x

0

4

dx.

Soluci´ on: on:

⇒ du = √ 12−x x

Hacemos: u  = arcsin(x2 ) = Adem´ as: as: x  = 0

 

1 √ 

x arcsin(x2 )

2

√ 1 − x

4

0

  ln(2)

b)

0

ex

4

−→ u = 0 y x = √ 12 −→ u = π6

luego:

 

⇒ 12 du  = √ 1 x− x

dx  =

1 dx  = 2

π/6 π/ 6

  0

1 u du  = 4

4

dx

π2

     = 144 2

u

π/6 π/ 6 0

√ e − 1 dx. x

Soluci´ on: on:

Hacemos: u  =  e x Adem´ as: as: x  = 0

− 1 =⇒ du =  e

x

dx

−→ u = 0 y x = ln(2) −→ u = 1

luego:   ln(2)

 

ex

0

1

√ e − 1 dx  =   √ u du = 2 u 2 x

0

3/2

  = 2 3 1 0

4

c )

 

−3

|x − 1| dx.

Soluci´ on: on: 4

 

−3

1

|x − 1| dx =

 

4

  | − 1|  + | − 1|     = − 2 + 2 − x

dx

−3

x

1

dx  =

1

x

x2

1

−3

x2

 

−3

4

−(x − 1) dx +

  = 8 +  9 = 25 2 2

x

4 1

  1

(x

− 1) dx

l´ım

n→∞

1 n

   2  ( sen + sen + ·· · + sen a n

a n

n

− 1) a   n

=

1

− cos(a) , a = 0. a

Soluci´ on:

La expresi´on de la izquierda la podemos escribir como: n−1

 1  sen   k=1

ka n

n

.

En ella reconocemos la funci´on f (x) = sen(ax), una partici´on regular de largo k

1 n

del

intervalo [0, 1] y valores xk =  escogidos para evaluar la respectiva suma. En resumen n tenemos una suma de Riemann asociada a la funci´on integrable f (x) = sen(ax) en el intervalo [0, 1]. Al tomar l´ımite de esta expresi´on se tiene que l´ım

n→∞

1 n

   2  ( sen + sen + · · · + sen a n

a n

n

Como esta u ´ ltima integral tiene por primitiva x  = 0, x  = 1, respectivamente, se tiene que 1

 

sen(ax)dx  =

0

1

− 1) a   =   n

sen(ax)dx.

0

 − cos(ax) , en este caso evaluada en a

− cos(a a) +  cos(0) , a

que es el valor pedido. x

b)

Calcular l´ım

 

sen(t3 )  dt

0

.

x4

x →0

Soluci´ on:

0 El l´ımite es de la forma  , luego aplicando la regla de L’Hˆopital, y el Teorema Funda0 mental del C´alculo, se tiene: x

l´ım

x→0

 

sen(t3 )  dt

0

sen(x3 ) 1 sen(x3 ) 1 = l´ım =   l´ım = x→0 4 x3 4 x→0 4 x3

L′ H 

x4

x3 →0

x

=  l´ım

⇒

x →0

 

sen(t3 )  dt

0

x4

=4

x

f (x) =

 

g (t) sen(x

0

Verifique que para todo x

− t) dt.

′′

∈ R se tiene f  (x) + f (x) =  g (x).

Indicaci´ on: Recuerde que sen(α

− β ) = sen(α) cos(β ) − cos(α) sen(β ).

Soluci´ on: x

f (x) =

x

 

g (t) sen(x

0

− t) dt

    = () g t

sen x

0

x

=

⇒ f (x) = sen (x)

 

 ( ) cos( ) − cos( ) sen( )   t

x

t

dt

x

g (t) cos(t) dt

0

− cos(x)

g (t) sen(t) dt

0

Por el Teorema Fundamental del C´alculo, se tiene: x

 ′

f  (x) = cos(x)

 

g (t) cos(t) dt + sen(x) g (x) cos(x)

0

x

+ sen(x)

 

g (t) sen(t) dt

0

− cos(x) g(x) sen(x)

x

=

 ′

⇒ f  (x) = cos(x) x

=

 ′ ′

⇒ f 

(x) =

− sen(x) =

  0

 ′ ′

⇒ f 

 

x

g (t) cos(t) dt + sen(x)

0

 

g (t) sen(t) dt

0

2

g (t) cos(t) dt +cos (x) g (x)+cos(x)

x

 

g (t) sen(t) dt +sen2 (x) g (x)

0

(x) +  f (x) = cos2 (x) g (x) + sen2 (x) g (x) =  g (x)

y la recta x  =  a . Determine a rotar la regi´on

 R

+

de modo que el volumen del s´olido generado al 81 π  en torno al eje Y  sea . 2

∈R

Soluci´ on:

Se tiene:

El volumen V   del s´olido, est´a dado por a2

V  =  π

 

a2

2

a dy

0

−π

 

4

y dy  =  π a

0

81 π , entonces 2

Como el volumen debe ser V  =

π

2

a4 =

a2

   − 2   = π

81 π = 2

⇒ a = 3

y

2

0

 π a4

− π2 a

4

,   pues a >  0

Otra forma de calcular el volumen es: a

V  = 2 π

  0

2

x x dx  = 2 π

·

el resto del resultado sigue como antes.

a

  0

3

x dx

π

a

π

     =   = 2 2 4

x

0

a4

=

π

2

a4

las areas A y B  de la figura sean iguales.

Soluci´ on:

2 Notemos que los puntos a  y b  son tales que 0  < a < b < . 3 Las a´rea A  y B  est´an dadas por: a

A  =

 

h

0

b

B  =

  

(2x

a

2

− (2x − 3x ) dx

2

− 3x ) − h



dx  =



x2

  =

2

−x

hx

3

− x − hx

2

3

2

3

b

a

  = 0

  = (

Ahora: A =  B

+ x

3

b2

a

2

 ha

2

−a

+ a3

3

2

3

− b − hb) − (a − a − ha)

3

2

3

 ⇐⇒ ha − a + a = (b − b − hb) − (a − a − ha) ⇐⇒ b − b − hb = 0 ⇐⇒ b (b − b − h) = 0 =⇒ b − b − h = 0 =⇒ h =  b − b b =0

2

2

2

Como f (b) =  h , entonces: 2b

− 3b

2

=  h  =  b

− b =⇒ 2b − b = 0 =⇒ b(2b − 1) = 0 =⇒ b = 12 =⇒ h = 14 2

b =0

2

Otra forma de calcular es primero calcular al ´area A1 , bajo la curva f (x) = 2x para x  entre 0 y b, esto es: b

A1  =

 

2x

0

− 3x

2

dx  =



2

x

3

−x

  = b

0

 b 2

2

− 3x

3

−b

Como A  =  B , entonces al ´area A1  coincide con el ´area del rect´angulo, de base b  y altura h, esto es: 2

A1  =  b h  =

3

2

b =0

3

2

2

⇒ b − b = b h =⇒ b − b = b f (b) =⇒ b − b = 2b − 3b 1 1 =⇒ 2b − b  = 0 =⇒ b(2b − 1) = 0 =⇒ b  = =⇒ h  = 2 4 2

b =0