Concurso Público: Ano 2017 (Instuição QUADRIX) Processo Seletivo Simplicado Cargo: Professor Substituto (Matemática) Profº. Marcos Teixeira.
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Questões 71 a 100 (Específicas)
No conjunto dos números complexos, i , que representa a unidade imaginária, é tal que i 2 = -1. A respeito de números complexos, complexos, julgue os seguintes seguintes itens. −
71) + =
= . = .
. .
Calculando a Primeira parte
− − − = +
. = . = , mas temos que i² = -1 = (* (*) Calculando a segunda parte
. = .
. primeiramente vamos passar de radianos para graus. (Caso tenha dúvida nos valores de seno e c osseno para ..) ,
cos 270° = i. sen270°, temos que temos que cos270° = cos270° = 0 e sen270° = sen270° = -1, (É necessário saber!) Daí é só substituir. 0 = i.(-1)
= (** **)) Fazendo a comparação de (* (*) e (** (**), ), temos que
= ≠ = Conclusão. Logo a afirmação é falsa. Pois são diferentes. (minha conclusão diverge do gabarito!)
+.
72) −. =
. = = (. ) = = Conclusão. Logo, temos que 10 = 10, a afirmação é verdadeira.
Em determinado concurso publico parao cargo de professor, 1200 candidatos inscreveram-se para as áreas de física, matemática e química. Sabe-se que, dos inscritos, 230 podem lecionar matmática e física; 380 podem lecionar física e química; 220 podem lecionar matemática e química; 560 podem lecionar matemática; e 120 podem lecionar as três disciplinas. A partir dessas informações, é possível construir o dennominado diagrama de Euler-Venn, como mostra a figura a seguir. matemática
física a
e
g b
d
c
f química
O diagrama mostra subconjuntos disjuntos e cada uma das letras de (a) a (g) indica a quantidade de elementos do respectivo subconjunto. Por exemplos, g é a quantidae de inscritos que só lecionam matemática. Com base nessas informações e no diagrama, julgue os itens seguintes. (*) Sugestão! primeiramente coloque a quantidade de (d), que representa os incritos nas três opções, ou seja, matemática, física e química. A partir daí, você subtraí as demais informações de (d). Primeiramente montaremos um gráfico para melhor compreensão. Foram inscritos para esse concurso 1.200 candidatos (Professores) Na tabela são distribuídos os candidatos segundo suas especialidades descrição quantidade após (*) a matemática e física 230 110 b matemática e química 220 100 c física e química 380 260 d matemática, física e química 120 120 e somente física e e f somente química f f g matemática 560 230
*Novo gráfico passa ser esse!
(O exercício não fornece os valores (e) e (f), o que vai nos gerar um SPI).
matemática física 110 230
e 120 100
260
f química 73) A partir do diagrama, é possível construir um sistema de equações lineares nas variáveis de a a g, sendo que, nesse caso, a solução desse sistema é única. Temos 1.200 inscritos! Somando as letras de (a) a (g), temos a + b + c + d + e + f + g = 1.200 (substituindo pelos valores do novo gráfico*) 110 + 100 + 260 + 120 + e + f + 260 =1.200 850 + e + f = 1.200 e + f = 350 (Equação obtida!) Temos apenas uma equação e duas variáveis (e) e (f ). O sistema possui soluções infinitas e não ÚNICA, pois, quaisquer valores que façam e + f = 350, satisfazem nosso sistema. Logo concluímos que, é um (SPI) Sistema Possível Indeterminado, ou seja, possui solução(Possível), porém, várias soluções(Indeterminado). Conclusão. Errado! O Sistema é (SPI) e não (SPD) 74) Há mais inscritos que podem lecionar somente matemática e física que inscritos que podem lecionar as três disciplinas. Do novo gráfico (*), temos matemática e física = 110, inscritos matemática, física e química = 120 inscritos Conclusão. Errado! Os inscritos nas três disciplinas são uma quantidade maior. 75) Mais de 200 inscritos podem lecionar apenas matemática. Coclusão. Correto! Pois 230 inscritos podem lecionar apenas matemática 76) Se 200 inscritos podem lecionar apenas química, então mais de 150 inscritos podem lecionar apenas física. Notemos, que a + b + c + d + g = 850 (dos 1.200 inscritos).
Sobram apenas 350 para serem distribuidos entre (e) física e (f) química. Se 200 inscritos correspodem apenas química, então sobram apenas 150 inscritos para física. Conclusão. Errado! Não satisfaz a condição da questão, pois ela diz que são mais de 150 inscritos. minha conclusão diverge do gabarito. 77) A quantidade de inscritos que podem lecionar apenas duas das três disciplinas é inferior a 450. Dos inscritos que podem lecionar apenas duas das três disciplinas, temos; 110 + 100 + 260 = 470 inscritos. Conclusão. Errado! A quantidade não é inferior a 450. Uma sala retangular medindo 18m × 30m deverá servir para pequenos eventos. O projeto dessa sala inicialmente previa a sua divisão em quadrados de mesmo tamanho e de área máxima, de modo que, em cada um desses quadrados, fosse colocada uma mesa redonda com cadeiras à sua volta. A respeito desse projeto, julgue os itens que se seguem. 78) Considerando-se que o projeto preveja um corredor lateral de 1 m de largura que acompanhe as quatro paredes da sala, ficando o espaço interno restante para a desejada divisão em quadrados iguais e de área máxima, a divisão será feita em mais de 25 quadrados e cada um deles terá área superior a 17m 2. 1 30m A área inicial é 1 28m 540m² 448m²
18m 16m
A = 30x18 = 540m² A área após o corredor de 1m é A = 28x16 = 448m²
Não podemos! Pois, se aumentarmos apenas a quantidade de quadrados para 26, mantendo sua área A= 17m², ainda sobram 6 metros do total de 448m², só que, não conseguiremos uma divisão exata! Requesito dá área máxima. Conclusão.Errado! não podemos aumentar a quantidade e o tamanho, pois não conseguiremos a área máxima. 79) Se toda a sala for dividida em quadrados iguais e de área máxima, então serão menos de 17 quadrados e cada um deles terá área superior a 35m 2. Toda a sala tem A= 540m² Conclusão. Sim! Podemos considerar 15 quadrados de área A=36m² Que dá 15x 36 = 540m², ou seja, área máxima!. Na figura a seguir, as retas r 1 , r 2 , r 3 , r 4 e r 5 são paralelas; as retas s1 e s2 são transversais; X , Y e Z e os números ao lado dos segmentos das retas transversais indicam seus respectivos comprimentos.
s1
s2 r 1
4 X 16 8
3
r 2 15
r 3
Y Z
r 4 r 5
Com relação à figura, julgue os itens seguintes. Retas paralelas e Retas transversais. Temos a proporcionalidade entre o valores, da seguinte forma; = = = = Daí concluímos, que; X = 20 , Y = 12 e Z = 6. Substituindo nas questões seguintes, temos.
= .
80) X + Y = 31 20 + 12 = 32 Conclusão. Errado! 31 ≠ 32 81) Y + Z = 24 12 + 6= 18 Conclusão. Errado! 24 ≠18 82) X + Z = 23 20 + 6 = 26 Conclusão. Errado! 23 ≠ 26
83) X + Y + Z = 38 20 + 12 + 6 = 38 Conclusão. Certo! 38 = 38 Os professores João, Paulo e Pedro participaram de uma maratona que consistia em correr ao redor de uma pista circular em um parque da cidade. Partindo do ponto inicial, João deu uma volta no parque em 8 minutos; Paulo fez o mesmo em 12 minutos e Pedro, em 15 minutos. Considerando que eles partiram do ponto inicial juntos e no mesmo instante, julgue os itens a seguir. Para esse exercício basta calcularmos o MMC do tempo que cada professor gastou para dar uma volta na pista, ou seja, o menor multiplo comum (mmc) dos três, será o ponto onde eles se encontram novamente. MMC (8,12,15) = 120. *Conclusão. 120 minutos depois eles se encontram novamente no ponto inicial!
84) João e Paulo passaram juntos pelo ponto inicial 24 minutos depois de iniciada a corrida. MMC (do tempo)de João e Paulo MMC (8,12) =24 Conclusão. Correto! 24 minutos depois eles passaram pelo mesmo ponto. 85) Paulo e Pedro passaram juntos pelo ponto inicial antes de 60 minutos de iniciada a corrida. Conclusão. Errado! Eles passaram exatamente em 60 minutos. 86) Os três professores só passaram juntos pelo ponto inicial 120 minutos depois de iniciada a corrida. Conclusão. Correto! 120 minutos. A quantidade de água em um reservatório, durante determinado mês, pode ser . expressa, em porcentagem, pela equação = .² , em que x representa o dia do mês. Com relação a essa situação, julgue os itens que se seguem. Temos uma equação polinomial de 2º grau, onde as variáveis são frações! De difícil resolução, pois, as frações não permitem simplificações, o 121 só é divisível por; 1, 11 e por ele mesmo. (Esse infeliz é primo dos Primos!) *Daí é onde temos que ser práticos, pelos dados das questões seguintes, vamos apenas substituir os valores na função Q(x) ao invés de perder tempo calculando raízes, que não são necessárias para essa questão! rsrsrs...somente trocadilhos eu gosto de todos os números, inclusive o treze!
89) Nos primeiros dias do mês, houve um aumento da quantidade de água do reservatório. Basta substituirmos valores para x na função Q(x), ou seja, x=1, x=3, x=5 e se ainda não der uma noção do comportamento da função para esses valores, façamos para x=10. O resultado obtido corresponde a água em (%) no reservatório para aquele dia x. . Podemos simplicar a função =
Vamos lá;
−7.+.7
(Todos os denominadores são iguais!)
Para o 1º dia do mês, temos. . −7.+.7
x=1, temos 1 = Para o 3º dia do mês, temos.
. −7.+.7
x=3, temos 3 = Para o 5º dia do mês, temos.
−7.+.7
. X=5, temos 5 =
= 5.324 (quantidade de água %) = 4.364(quantidade de água %) = 3.596 (quantidade de água %)
Até aqui já é suficiente para perceber que a quantidade de água está diminuindo e não aumentando.
Conclusão. Errado. A quantidade de água está diminuindo.
90) Nesse mês, a quantidade de água desse reservatório chegou ao valor mínimo de 20% de sua capacidade no dia 12.
1 = .
−7.+.7
= . = 20
Conclusão. Correto. No dia 12 a capacidade do reservatório estava em 20%. Em uma sala de aula, entre alunos e alunas, há 36 pessoas. Se, em determinado dia, seis das alunas faltarem às aulas e todos os alunos se fizerem presentes, então, nesse dia, a quantidade de alunos será o dobro da de alunas. Um problema que se coloca é determinar quantos alunos e quantas alunas pertencem a essa sala. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. Nesse exercício devemos montar as equações a partir dos dados fornecidos. Em seguida montaremos a matriz a partir das equações. a) Vamos considerar que x = quantidade de alunas e y = quantidade de alunos Na sala de aula temos um total de x + y = 36 alunos (dentre meninos e meninas) 1ª Eq. b) Temos também que, 2.(x - 6) = y, ou seja, (faltando seis alunas, o número de alunos é o dobro de alunas). 2ª Eq. Agora montaremos o sistema linear, juntando as duas equações. x + y = 36
x + y = 36 (I)
2x – 12 = y
2x – y = 12 (II)
Logo, temos que x = 16 e y = 20. Agora vamos responder as questões seguintes. 91) O problema enunciado pode ser formalizado por uma equação matricial da forma AX = B, em que A é uma matriz quadrada 2 × 2, X e B são matrizes-colunas 2 × 1 e o determinante da matriz A é diferente de zero. A partir do sistema linear montado, temos as seguintes matrizes. 1
1
x .
36 =
y 12 Os valores da matriz(A2x2) , são os coeficientes de x e y nas equações 1 e 2. A . X = B onde A é uma matriz 2x2 e X e B são matrizes-colunas 2x1, assim como a questão surgere. Conclusão. Correto. Pode ser formado a partir AX = B. 2
-1
92) Nessa sala, a diferença entre as quantidades de alunos e de alunas é superior a cinco. Conclusão. Errado alunos(y) = 20 e alunas(x) = 16. A Diferença é 4.
93) Considerando-se que a diretora da escola resolva sortear um ingresso para teatro entre todos os membros dessa sala, a probabilidade de que uma das seis alunas faltosas seja a premiada é superior a 0,15. Utilizaremos regra de três simples. Quant. De alunos(as) na sala 36 6
Proporção 100% x
Logo x = 16,6 ou 0,16% Conclusão. Correto. É superior a 0,15. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem uma equação da forma Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 , em que A, B, C, D, E e F são constantes reais, pode representar: um único ponto; uma reta; duas retas; uma circunferência; uma elipse; uma hipérbole; uma parábola; ou um conjunto vazio. A respeito desse assunto, julgue os itens seguintes Nesse exercício trabalharemos com uma equação do 2º grau de duas variáveis. Que representa em sua forma geral equações do tipo (circunferência, hipérbole, retas, elipse, etc.) Mas vamos precisar também saber qual é a sua forma canônica, saindo do geral para o particular. 94) A equação (*) x² + y² – 4x + 6y + 12 = 0 representa uma circunferência de centro no ponto (2, -3) e raio 1. A fórmula agora é específica e não geral) (x – x0)² + (y – y0)² = R² Forma canônica da circunferência, onde (x0, y0) é o centro e (R) é o raio e (x, y) um ponto qualquer pertencente à ela. Substituindo nas informações do enunciado (2, -3) e raio 1, temos. (x – 2)² + (y + 3)² = 1² ( O núm.1 é o raio!) Vamos desenvolver o produto notável (7ª série) x² - 4.x + 4 + y² + 6y + 9 = 1, organizando a equação, temos. x² + y² - 4x + 6y + 12 = 0 (*) Conclusão. Correto. Coincide com a equação sugerida! (*)
95) A equação (*)9x² + 4y² + 36x – 8y + 4 = 0 representa uma elipse de centro (1, -2) e semieixos iguais a 2 e 3. Da mesma forma do exercício anterior, a elipse pode ser representada em sua forma geral, com a forma descrito no enunciado acima, porém, precisamos saber sua forma canônica.
−² −²
= , onde o par ordenado (x0 , y0) pertence ao centro da elipse e (a) e
(b), são seus respectivos semi-eixos e (x,y) um ponto qualquer pertencente à ela! Esse exercício pode ser resolvido de duas maneiras distintas, que eu conheço, ou seja, pela equação geral 9x² + 4y² + 36x – 8y + 4 = 0 , completando os valores dos produtos notáveis (9x² + 36x + ____) e (4y² - 8y + ____) ou pela equação canônica da elipse substituindo os valores. Vamos, então, pela segunda opção, substituir os valores na equação canônica da elipse, assim temos. −² +²
=1
−+ ++
=1
3. 2 1 2. 4 4 = 6 3 6 3 2 8 8 = 6 , organizando a equação. =
Conclusão. Errado. A equação que encontramos diverge da equação proposta.(*) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, considere-se a função = + .Tendo como referência essa função, julgue os itens que se seguem. (*)Vamos fazer uma breve análise da função (y). a) Se observarmos a função vemos, que para quaquer valor real de x, tanto positivo quanto negativo, seu denominador é positivo. (x ЄⱤ sem restrições !) b) E também quando ± ∞ , a função tende para zero, pois, o denominador é maior que o numerador! c) Para x = 0, y também será zero, ou seja, ela passa exatamente na origem do plano d) A imagem da função(y) será Im[- 0,5 até + 0,5] 96) Essa função está definida em todo conjunto dos números reais, é contínua em todos os pontos de seu domínio e seus limites, tanto em - ∞ como em +∞, são iguais a zero. Conclusão. Da análise feita na função podemos afirmar que sim! 97) Para essa função, x = -1 é ponto de mínimo relativo, mas não absoluto, e x = +1 é ponto de máximo relativo, mas não absoluto. − p/x=-1, temos = = - 0,5 Esses valores (± 0,5) é o menor e maior valor que a função admite, limitada pela sua imagem, pois, para valores como x= ±2, x= ±3, ..., x= ±100 fazem com que a função tende a aumentar (quando negativo) e a diminuir (quando possitivo) se aproximando de zero. Vide análise feita acima.(*)
Conclusão. Errado! Pois para x= ± 1, temos os pontos, máximo e mínimo, relativos da função e são absolutos, uma vez que, apenas para x ± 1 a função atinge seus extremos, ou seja, ± 0,5. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, considere as funções definidas por y 1 = f(x) = x 2 e y 2 = g(x) = 4 – x 2 para julgar os itens que se seguem. 98) A área da região do plano xOy compreendida entre os gráficos de y 1 e y2 é igual a .√ unidades de área. y1 = f(x) = x² ( a > 0, Parábola, concavidade pra cima) y2 = g(x) = 4 - x² (a < 0, Parábola, concavidade pra baixo)
Para encontrarmos a área desejada Basta calcularmos a integral da região limitada [- √ 2 √2] entre as curvas y1 e y2.
Conclusão. Correto a “área desejada” é
= .√ .
99) O volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de y 2, para 0 ≤ x ≤ 2 , em torno do eixo Oy é igual a 4π unidades de volume.
Conclusão. Errado. O volume (y2) do sólido obtido pela rotação da curva em 0 y é S = 8.π
100) O volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de y 1, para 0 ≤ x ≤ 2, em torno do eixo Ox é igual a 32π unidades de volume.
Conclusão. Errado. O volume (y 1) do sólido obtido pela rotação da curva em 0x é
= .
