Proses Transfer - Pertemuan 1

BAHAN AJAR MATA KULIAH

PROSES TRANSFER

oleh: Nurul Hidayati Fithriyah, S.T., M,Sc., Ph.D. Rahmawati, S.T., M.Sc.

Jurusan Teknik Kimia Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jakarta 2013

2

Modul Pembela jaran Prose s Transfer

SILABUS MATA KULIAH PROSES TRANSFER BAHAN UTS (30%) :

I.

2. Distribusi Kecepatan dalam Aliran Laminar 1) Neraca momentum dan dan syarat batas 2) Aliran dalam penampang balok: 3) studi kasus aliran jatuh lapisan tipis ( falling ( falling film) film) 4) Aliran melalui pipa silinder (cylinder ( cylinder tube) tube) 5) Aliran aksial dan tangensial dalam anulus 3. Analisa Dimensi

! " " " " " " " # — " " " " " " $ ! # — — $

4. Aliran dalam Pipa 1) Aliran bergolak (turbulen) 2) Selisih tekanan ( pressure drop) drop) 3) Perbahan luas penampang aliran 5. Aliran Meliputi Benda

! " # " $

6. Neraca Mikro dengan Persamaan Perubahan 1) persamaan kontinuitas kontinuitas 2) persamaan gerak 3) aplikasi persamaan perubahan 7. Rangkuman, Latihan Soal, Pembahasan Tugas, Kisi UTS

! # $ # $

PENDAHULUAN 1. Peristiwa Perpindahan 2. Hukum Kekekalan

II. TRANSFER MOMENTUM 1. Viskositas dan Mekanisme Transfer Momentum 1) Hukum Newton tentang viskositas 2) Fluida Newtonian 3) Fluida Non-Newtonian 4) Viskositas sebagai fungsi suhu dan tekanan 5) Fluks Momentum Gabungan

Pertemuan ke-1

Pertemuan ke-2

Pertemuan ke-3

Pertemuan ke-4 Pertemuan ke-5

BAHAN UAS (50%) :

! III. TRANSFER PANAS " 1. Konduktivitas Panas dan Mekanisme Transfer Panas 1) Hukum Fourier tentang konduksi panas " 2) Pengaruh suhu dan tekanan terhadap konduktivitas panas # " 2. Distribusi Suhu dalam Padatan dan Aliran Laminar $ 1) Neraca energi dan syarat batas ! 2) Konduksi panas secara mantap dan takmantap # 3) Konveksi alamiah dan paksa # 4) Transfer panas melalui radiasi $ 3. Rangkuman, Latihan Soal, dan Pembahasan Tugas

Pertemuan ke-6

Pertemuan ke-7 Pertemuan ke-8

3


IV. TRANSFER MASSA 1. Difusivitas Massa dan Mekanisme Transfer Massa 1) Hukum Fick tentang difusi massa biner (molekular) 2) Pengaruh suhu dan tekanan terhadap difusivitas massa 2.

3. 4.

! " " # Distribusi Massa dalam Aliran Laminar " " 1) Neraca massa dan syarat batas " 2) Teori lapisan ( film theory) $ 3) Difusi massa secara mantap dan takmantap ! 4) Perpindahan massa secara konveksi " Perpindahan Panas dan Massa secara Simultan (bersamaan) # " Rangkuman, Latihan Soal, Pembahasan Tugas, Kisi UAS $

Pertemuan ke-9

Pertemuan ke-10

TUGAS 4! (20%): 2! Transfer Momentum; 1! Transfer Panas; dan 1 ! Transfer Massa

4


Pertemuan ke-1 Kompetensi: Memahami mekanisme proses transfer momentum, konsep fluida Newtonian,

serta perilaku viskositas Indikator :

1. Dapat menjelaskan mekanisme transfer momentum secara molekuler dan konvektif 2. Dapat menjelaskan perilaku fluida Newtonian dan Non-Newtonian 3. Dapat menjelaskan perilaku viskositas

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Proses Perpindahan Peristiwa fisika akan selalu diiringi dengan berpindahnya satu atau lebih dari tiga besaran utama berikut ini: massa, momentum, dan energi (khususnya panas). Peristiwa perpindahan ini akan dijumpai dalam semua operasi teknik kimia. Proses Transfer mempelajari kejadian fisik yang berlangsung selama suatu operasi teknik kimia dan mencari suatu model matematis ideal yang dapat menggambarkan perubahan-perubahan yang berlangsung dalam peristiwa tersebut. Dalam menggunakan model matematis tersebut, perlu dikuasai prinsip dan langkah perhitungan geometris, diferensial dan integral. Di samping itu, semua besaran dan sifat fisika diperlakukan sebagai variabel (peubah), sehingga dengan sendirinya ketentuanketentuan ilmu fisika, imia, dan termodinamika tetap berlaku terhadap peubah-peubah tersebut. Perubahan-perubahan dalam peristiwa perpindahan dapat dinyatakan dengan persamaan matematis melalui penyusunan neraca berdasarkan hukum kekekalan. Perubahan besaran dan sifat fisika dinyatakan dengan perbandingan diferensial. Sistem koordinat dan satuan digunakan utuk memudahkan perhitungan sesuai dengan bentuk geometri dari sistem yang diamati. Diperlukan keterampilan mengubah satuan besaran antarsistem dengan meninjau faktor konversi dari satuan-satuan yang terlibat dalam perhitungan.

1.2 Hukum Kekekalan Hukum kekekalan massa, momentum, dan energi menyatakan bahwa massa, momentum dan energi (panas) tidak dapat dimusnahkan (oleh manusia), akan tetapi hanya berubah bentuk. Hal ini dinyatakan dalam persamaan umum neraca sistem per satuan waktu sebagai berikut: akumulasi = laju alir masuk - laju alir keluar + pembentukan - konsumsi (1.1) Untuk menyelesaikan suatu neraca dibutuhkan syarat-syarat batas yang membatasi volum banding dari sistem tersebut.


5

BAB II TRANSFER MOMENTUM 2.1 Viskositas Dan Mekanisme Transport Momentum Bagian pertama dari mata kuliah ini adalah tertuju kepada masalah aliran fluida yang viscous (viscous fluids). Dalam bahasa Indonesia, padanan kata viscous menurut pengertian awam adalah kental, dan viscous menyatakan derajat kekentalan. Akan tetapi dalam pembahasan transport phenomena (Proses Transfer), istilah ‘viscous fluid’ diartikan sebagai fluida yang mempunyai ‘viscosity’ > 0, atau dapat diterjemahkan mempunyai viskositas yang lebih besar daripada nol. Istilah viskositas secara eksplisit digunakan untuk menyatakan sifat fluida yang merefleksikan besarnya hambatan di dalam fluida terhadap gerak aliran fluida. Hambatan ini digagaskan terjadi karena adanya gesekan di antara molekul-molekul fluida yang saling bersinggungan atau berbenturan. Dengan demikian, apakah suatu fluida kental atau tidak kental (‘encer’), selama terjadi gesekan atau benturan antar molekul bilamana fluida mengalir, dan efek gesekan dan benturan tersebut mempengaruhi kemudahannya untuk mengalir, maka fluidanya disebut fluida yang ‘viscous’, dan viskositasnya > 0. Bila viskositas suatu fluida berharga nol, maka fluida itu disebut fluida ‘invicid’. 2.1.1 Hukum Newton tentang Viskositas Kita tinjau suatu eksperimen maya (imajiner), dengan mengimajinasikan sistem yang skemanya ditunjukkan di Gambar 1. Fluida ada diantara dua pelat (atau lempeng) paralel berjarak Y satu sama lain dan mempunyai dimensi L (panjang). Luas masing-masing pelat 2 adalah A yang mempunyai dimensi L . Dalam tinjauan terhadap sistem aliran termaksud, luas permukaan pelat yang bersinggungan dengan fluidanya yaitu A, diasumsikan sangat besar harganya. Dengan ketentuan itu, efek keadaan di sisi-sisi ujung pelat, yang menumpu aliran fluida, diabaikan. Skema (a) di gambar tersebut menunjukkan gambaran sistem secara menyeluruh. Skema (b) menunjukkan penampang tampak samping arah memanjang saat semua bagian sistem ada dalam keadaan tak bergerak, dan ditunjukkan juga sistem koordinat x-y-z. Skema (c) menunjukkan keadaan awal saat pelat bawah digerakkan secara mendadak dengan kecepatan V dalam arah x, sedang pelat atas ditahan dalam keadaan tak bergerak. Karena adanya hambatan dari fluida, untuk mempertahankan gerak pelat tersebut diperlukan gaya tetap sebesar F. Akibat gerak pelat yang di bawah, fluida yang tepat bersinggungan dengan permukaan pelat tersebut ikut bergerak. Diasumsikan bahwa molekul-molekul fluida yang tepat bersinggungan dengan permukaan pelat tersebut melekat (berpegang kuat) pada permukaan. Maka kecepatan geraknya sama dengan kecepatan gerak pelat, yaitu V.


6

Gambar 2.1 Skema percobaan maya (imaginer) untuk menunjukkan perpindahan momentum yang disertai pembentukan aliran fluida akibat adanya ‘ shear stress’ Gerak lapisan fluida yang bersinggungan dengan permukaan pelat tersebut mengimbas ke molekul-molekul fluida yang ada di lapisan lebih atas, dan terjadilah aliran fluida dalam arah x. Gerak yang terjadi pada saat-saat awal masih belum sempurna terbentuk, dan dalam keadaan transient (transient state) ini distribusi kecepatan fluida dalam arah y ditunjukkan di skema (d) dari gambar I; gerak fluida hanya teramati di daerah yang tak jauh dari permukaan bawah, dan makin ke atas makin kecil kecepatannya. Setelah cukup lama aliran fluida terbentuk sempurna, dan tercapai keadaan tunak ( steady state). Profil kecepatan tidak berubah dengan waktu, sebagaimana ditunjukkan di skema (e).

7


Dalam sketsa ditunjukkan bahwa kecepatan fluida mengecil secara linear dengan kenaikan dari harga y. Hubungan antara berbagai besaran sistem yang digambarkan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan yang diberikan sebagai persamaan (2.1). F =

A

& V # ! Y % "

(2.1)

µ $

Persamaan (2.1) menyatakan bahwa gaya persatuan luas permukaan bidang selang antara pelat dan fluida berbanding lurus dengan penurunan kecepatan fluida dalam arah y. Konstanta pembandingnya µ didefinisikan sebagai viskositas dari fluida. F/A disebut ‘ shear stress’. ‘Shear stress’ tersebut terimbas ke fluida, dan karenanya di dalam fluida terasakan juga adanya ‘ shear stress’ dalam arah y karena adanya gaya F yang bekerja pada arah x. Bila digunakan lambang

!

yx

untuk menyatakan ‘ shear stress’ di dalam fluida yang bekerja

dalam arah x terhadap lapisan fluida pada jarak y dari permukaan bidang selang antar pelat dan fluida, oleh fluida yang ada pada kedudukan kurang dari y, dan untuk menyatakan kecepatan fluida dalam arah x digunakan lambang v x , maka hubungan yang dinyatakan dalam persaman 1 dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai berikut: (

yx

=

& dv ' µ $ x $ dy %

# ! ! "

(2.2)

Seperti halnya dengan persamaan (2.1), persamaan di atas juga menyatakan bahwa: ‘ shear stress’ berbanding lurus dengan ‘ shear rate’

yaitu (dvx/dy). Pernyataan yang diberikan

sebagai Persamaan (2.2) disebut ‘ Newton’s law of viscosity’ atau Hukum Newton tentang viskositas. Fluida yang pola laku alirannya berkelakuan sebagaimana dinyatakan oleh Hukum Newton tentang viskositas lazim disebut sebagai fluida Newtonian ( Newtonian Fluid ). Semua gas, dan banyak cairan berkelakuan sebagai fluida Newtonian. Lumpur, pasta gigi, aspal, larutan polimer menunjukkan kelakukan yang berbeda dan dikategorikan sebagai fluida non Newtonian (non-Newtonian Fluid ). Cara pandang lain untuk memahami makna pernyataan Persamaan (2.2) adalah dengan mengartikan pengimbasan gerak fluida karena adanya ‘ shear stress’ sebagai perpindahan momentum. Lapisan fluida yang bersebelahan dengan permukaan pelat yang bergerak, yaitu pada kedudukan y = 0, memperoleh momentum dalam arah x dan karenanya ikut bergerak dalam arah x. Momentum yang diperoleh tersebut sebagian dipindahkan ke lapisan di atasnya, menyebabkan lapisan yang ada di atasnya ini memperoleh momentum juga, dan karenanya ikut bergerak kearah x. Kejadian ini berimbas terus ke atas. Jadi terjadilah propagasi momentum yang berarah x ke arah y. Untuk menyingkat, momentum yang berarah x selanjutnya disebut x-momentum, yaitu komponen x dari vector momentum. Komponen lainnya adalah y-momentum dan z-momentum. Kedua komponen momentum yang

8


disebutkan terakhir ini tidak terdapat dalam peristiwa yang ditelaah dalam eksperimen imaginer disini. Dengan menggunakan cara pandang tersebut, maka

!

yx

dapat diartikan sebagai flux x-

momentum dalam arah y, akibat adanya gerak dalam arah x, yang terimbas kearah y dengan mekanisme interaksi antar molekul fluida. Perpindahan momentum dengan mekanisme tersebut lazim disebut sebagai ‘viscous momentum transfer’. Istilah flux momentum berarti laju perpindahan momentum per satuan luas [(momentum)/(waktu)(luas)]. Jadi

!

yx

menyatakan laju perpindahan x-momentum dalam arah y per luas permukaan yang tegak lurus terhadap y. Flux momentum yang terjadi dengan mekanisme molekuler lazim disebut ‘viscous flux’ . Selain dengan mekanisme molekuler, model perpindahan momentum dapat juga terjadi karena sejumlah massa fluida berpindah tempat, atau mengalir dari satu kedudukan ke kedudukan lain, dan karenanya momentumnya terbawa pindah ke tempat barunya. Moda perpindahan momentum semacam ini disebut ‘convective momentum transfer (transport)’. Perhatikan kembali persamaan (2.2). Rumusan yang diungkapkan persamaan tersebut menyatakan bahwa ‘viscous momentum transfer’ terjadi dalam arah gradient kecepatan negatif, artinya momentum bergerak dari kedudukan dengan kecepatan yang lebih tinggi ke kedudukan dengan kecepatan yang lebih rendah. Dengan demikian gradient kecepatan dapat dipandang sebagai gaya gerak dan kendali (‘ driving force’) bagi perpindahan momentum. ‘Shear stress’ dan ‘ flux momentum’

Uraian yang diberikan terdahulu menyatakan bahwa

!

yx

dapat dipandang sebagai proses

perpindahan momentum, dan dapat juga dipandang sebagai tegangan geser (‘ shear stress’ ) dalam peristiwa mekanik tentang efek gaya geser, yang bekerja di suatu bidang permukaan suatu fluida terhadap pola pergeseran antara s atu bagian fluida dengan bagian lainnya.

Dimensi dan satuan •

!

yx

dan ! dan definisi viskositas kinematik

!

- ‘shear stress’ : gaya per satuan luas, maka dimensinya adalah gaya/luas. Satuan

!

dalam system satuan cgs:

yx

yx

!

yx

-2

-1

-2

[=] dyne.cm = gram.cm .det

[=] dibaca sebagai ‘mempunyai dimensi’ atau ‘mempunyai satuan •

µ -

viskositas

Karena

µ =

-[! yx ]/[dvx/dy] maka dimensi dari

-1 -1 ! [=] gr.cm .det = Poise

µ adalah

(gaya/luas)/(laju/jarak).

9


2.1.2 Fluida Newtonian Hukum Newton tentang viskositas menyatakan: ( yx

=

& dv ' µ $ x $ dy %

Untuk fluida Newtonian, pada (T,P) tetap,

& dv x $ dy

hubungan ‘ shear stress’ ( ! yx ) dengan - $

# ! ! "

µ berharga

(2.3) tetap, sehingga bila dibuat grafik

# ! atau harga-harga negative dari ‘shear rate’ !

akan diperoleh garis lurus, seperti ditunjukkan di Gambar 2.2.

Gambar 2.2

10


0

Hubungan seperti yang ditunjukkan di Gambar 2 berlaku untuk semua gas dan sebagian besar zat cair homogen dan ‘non-polymeric’. Akan tetapi banyak cairan atau fluida yang mempunyai hubungan ‘ shear stress’ dan ‘ shear rate’ yang tidak linear seperti halnya fluida Newtonian.

2.1.3 Fluida Non-Newtonian Fluida yang menunjukkan sifat bahwa hubungan antara ‘ shear stress’ dan ‘shear rate’ tidak linier, karena itu mempunyai hubungan ‘shear stress’ dan ‘shear rate’ yang berbeda dari fluida Newtonian, disebut fluida ‘non-Newtonian’. Contoh fluida ini dalam industri maupun kehidupan sehari-hari adalah seperti ‘tapal gigi’, lumpur, lelehan polimer, polimer cair, larutan polimer, aspal, lem dan masih banyak lagi. Pola alir dari fluida ‘non-Newtonian’ dinyatakan dengan istilah pola alir ‘non-Newtonian’. Ilmu mengenai, dan yang arah kajiannya tertuju kepada pola alir ‘non-Newtonian’, merupakan bagian dari bidang ilmu yang disebut ‘ rheology’. Lazimnya dapat dinyatakan bahwa ‘rheology is the science of flow and deformation’. Rheology mencakup aliran Newtonian, aliran ‘non-Newtonian’, sampai kepada deformasi elastis dari zat padat. Berbagai bentuk hubungan ‘shear stress’ vs ‘shear rate’ fluida ‘non-Newtonian’ secara skematik diberikan di Gambar 3, yang menunjukkan bahwa pada dasarnya ada empat macam pola hubungan ‘shear stress’ dan ‘shear rate’: (a) linier (Newtonian), (b) dilatant, (c) pseudoplastic, dan (d) Bingham plastic.

Gambar 2.3

Bentuk umum hubungan antara ‘shear stress’ vs ‘shear rate’ fluida ‘non-Newtonian’ adalah:

11


1

) yx

dan

!

=

& dv # '( $ x ! $ dy !

merupakan fungsi atau dinyatakan sebagai fungsi dari

(2.4)

& dv x $ dy %

atau $ yx

!

# ! ! "

Viskositas yang dipengaruhi oleh perubahan laju geser ( shear rate) dilambangkan dengan " (eta). Jika " tidak dipengaruhi laju geser, maka fluida bersifat Newtonian di mana " = !. Fluida dikatakan bersifat pseudoplastic jika " menurun dengan peningkatan laju geser. Fluida yang mengalami penurunan " selama waktu tertentu disebut bersifat thixotropic. Fluida dikatakan bersifat dilatant jika " meningkat dengan peningkatan laju geser. Fluida yang mengalami peningkatan " dalam kurun waktu tertentu disebut bersifat rheopectic. Fluida yang sebagiannya kembali ke bentuk semula setelah tegangan geser dihilangkan disebut bersifat visco-elastic. Untuk fluida Bingham plastic berlaku fluks momentum berikut: ! dv x $ ! yx = ! + µ # & " dy % 0

di mana

! 0

(2.5)

adalah yield stress atau tegangan alir, yaitu tekanan minimum yang harus

diberikan kepada fluida untuk dapat melampaui hambatan alirnya sehingga fluida dapat mengalir. Bila tekanan yang diberikan kurang dari tegangan alirnya, maka fluida Bingham plastic akan berperilaku seperti benda padat (tidak mengalir). Setelah fluida Bingham plastic mengalir, maka perilakunya seperti fluida Newtonian.

2.1.4 Viskositas sebagai Fungsi Suhu dan Tekanan Pengaruh suhu terhadap viskositas tampak pada data dalam Tabel 2.1 - 2.2. Viskositas fluida umumunya mengalami penurunan seiring dengan kenaikan suhu pada tekanan tetap, kecuali untuk gas karena densitas yang rendah. Viskositas dipengaruhi pula oleh perubahan tekanan. Viskositas dapat diprediksi menggunakan data sifat kritis fluida, grafik seperti tampak pada Gambar 2.4 dan persamaan (2.6). Aplikasi metode ini menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil eksperimen. 2.1.5 Fluks Momentum Gabungan Persamaan fluks momentum gabungan antara mekanisme transfer momentum molekuler (viscous) dan konvektif (aliran) dapat dilihat dalam Tabel 2.3.


12

2

Tabel 2.1 Viskositas Beberapa Gas dan Cairan pada Tekanan 1 atm dan Berbagai Suhu [Bird]


13

3

Tabel 2.2 Viskositas Beberapa Logam Cair pada Tekanan 1 atm dan Berbagai Suhu [Bird]


14

4

Gambar 2.4 Grafik prediksi viskositas berdasarkan data suhu dan tekanan tereduksi [Bird] Tabel 2.3 Persamaan Fluks Momentum [Bird]


15

5

Pertemuan ke-2 Kompetensi:

Mahasiswa mampu melakukan perhitungan analitik terhadap permasalahan transfer momentum pada aliran fluida laminar tunak Indikator :

1. Mahasiswa mampu menuliskan persamaan neraca momentum shell pada sistem fluida laminar 2. Mahasiswa mampu menyebutkan syarat batas (boundary conditions) yang digunakan dalam penyelesaian kasus transfer momentum 3. Mahasiswa mampu melakukan perhitungan analitik terhadap permasalahan transfer momentum pada aliran fluida laminar tunak dengan s tudi kasus aliran falling film.

2.2 Distribusi Kecepatan pada Aliran Laminar Pada bab ini, kita akan mempelajari bagaimana menghitung profil kecepatan laminar untuk beberapa sistem aliran geometri sederhana. Perhitungan ini menggunakan definisi viskositas dan konsep neraca momentum. Pada kenyataannya, pengetahuan mengenai distribusi kecepatan secara lengkap biasanya tidak dibutuhkan pada permasalahan engineering . Tetapi kita lebih perlu untuk mengetahui kecepatan maksimum, kecepatan ratarata atau shear stress pada permukaan. Besaran-besaran ini dapat diketahui secara mudah jika profil kecepatan telah diketahui. Pada bagian pertama, kita akan membahas beberapa pernyataan umum mengenai neraca momentum diferensial. Selanjutnya, kita akan mengerjakan beberapa kasus klasik untuk contoh aliran viscous. Contoh-contoh kasus ini harus sepenuhnya dimengerti, karena akan berulang kali dirujuk pada bahasan-bahasan mendatang. Kita mungkin akan merasakan bahwa sistem-sistem tersebut adalah terlalu sederhana untuk menjadi sebuah permasalahan engineering . Ini benar, karena sistem-sistem tersebut merepresentasikan situasi yang sangat ideal, akan tetapi hasilnya dirasakan cukup berguna dalam pengembangan berbagai macam topik pada permasalahan mekanika fluida. Metode serta contoh kasus yang diberikan pada bab ini hanya mencakup aliran tunak ( steady-state) saja. Dari term tunak ( steady state) berarti bahwa kondisi pada setiap titik pada aliran tersebut tidak berubah terhadap waktu. Yaitu, perekaman gambar pada sistem aliran pada waktu t terlihat benar-benar sama dengan perekaman gambar yang diambil pada beberapa waktu kemudian , t + #t . Pada bagian ini diterangkan analisa untuk memahami struktur dan pola laku fenomena aliran fluida dengan menggunakan pendekatan neraca mikroskopik. Penggunaan dan pendekatan neraca mikroskopik dipilih dan diperlukan karena:


16

6

a) Variabel keadaan dalam medan medan aliran yang ingin diketahui pola lakunya merupakan fungsi kedudukan. b) Ingin diketahui bagaimana variabel keadaan tersebut terdistribusi di dalam ruang medan aliran Dalam masalah transport phenomena, variabel keadaan yang menjadi fokus perhatian adalah kecepatan fluida, tekanan, dan fluks momentum di dalam aliran. Neraca mikroskopik untuk melakukan analisis proses perpindahan momentum (energi dan massa) lazim juga disebut ‘ shell momentum balance’ . Inti permasalahan yang dipelajari: ‘Bagaimana pendekatan yang dilakukan untuk merumuskan neraca mikroskopik hingga diperoleh rumusan matematik (= model matematik) yang dapat menjelaskan struktur dan pola laku aliran fluida?’ Untuk memudahkan permasalahan, di bab ini pembahasan dilakukan terhadap aliran fluida laminar untuk system-sistem dengan geometri sederhana. Secara khusus akan ditinjau: a) Aliran fluida pada bidang datar yang dimiringkan b) Aliran fluida melalui saluran berbentuk silinder c) Aliran fluida melalui celah yang dibatasi dua silinder konsentrik 2.2.1 Neraca Momentum Shell ; Penetapan Syarat Batas ( Boundary Conditions)

Contoh-contoh kasus yang akan dibahas pada sub bab ini didekati dengan merumuskan neraca momentum pada sebuah shell fluida yang sangat tipis. Untuk aliran tunak, neraca momentum dapat dirumuskan sebagai berikut: {Laju Momentum masuk} – {Laju Momentum keluar} + {Jumlah gaya yang bekerja pada sistem} = {Akumulasi Momentum}

(2.6)

Momentum dapat masuk ke dalam sistem melalui transport momentum berdasarkan peristiwa Newtonian (atau non Newtonian) untuk flux momentum. Momentum juga dapat masuk melalui pergerakan aliran fluida keseluruhan. Gaya-gaya yang kita perhatikan adalah gaya tekanan (yang bekerja pada permukaan) serta gaya gravitasi (yang bekerja pada volume fluida secara keseluruhan atau disebut gaya badan). Secara umum, prosedur untuk merumuskan serta menyelesaikan permasalahan aliran viscous adalah sebagai berikut: pertama, kita menuliskan neraca momentum seperti di atas untuk sebuah shell dengan ketebalan terbatas, kemudian kita biarkan ketebalan ini mencapai nol lalu kita gunakan penurunan pertama untuk memperoleh persamaan diferesial yang menggambarkan distribusi flux momentum. Pengintegrasian dari persamaan diferensial ini akan menghasilkan flux momentum dan distribusi kecepatan pada s istem.


17

7

Pada proses pengintegrasian ini, akan muncul beberapa konstanta integrasi, yang dapat dievaluasi dengan menggunakan “syarat batas” atau boundary conditions. Yaitu, beberapa pernyataan dari fakta fisik pada nilai-nilai spesifik dari variabel bebas. Berikut ini adalah beberapa ketentuan dalam menentukan syarat batas: a. Pada interface fluida-padat, kecepatan fluida sama dengan kecepatan di mana permukaannya sendiri sedang bergerak; yaitu fluida diasumsikan melekat pada suatu permukaan padat yang berhubungan dengannya b. Pada interface cair-gas, momentum perubahan terus menerus (dalam hal ini gradien kecepatan) pada tahap cair adalah sangat mendekati nol dan dapat diasumsikan nol dalam banyak / sebagian besar penghitungan. c. Pada interface cair-cair, momentum perubahan terus menerus tegak lurus dengan lapisan interfasa (permukaan kontak), dan kecepatannya kontinyu menembus permukaan kontak. Ketiga tipe dari batasan kodisi tersebut akan ditemui dalam contoh-contoh studi kasus sistem aliran sederhana.

Kasus 1: Aliran Falling Film

Sebagai contoh pertama, Kami memperrtimbangkan arus dari fluida sepanjang permukaan datar yang menurun, seperti ditunjukkan pada gambar 2-1. Kasus falling film ini bisa kita jumpai pada peristiwa menara dinding basah (wetted wall towers), percobaan-percobaan penguapan dan penyerapan gas, dan aplikasi dari coating menjadi gulungan kertas. Kita asumsikan viskositas dan kerapatan fluida adalah konstan.

Gambar 2.5 Skema diagram kasus falling film yang menggambarkan end effect .

18


8

Fokus kita adalah pada area sepanjang L, cukup jauh dari ujung dinding yang gangguan keluar-masuknya tidak dimasukkan pada L. Pada area ini, komponen kecepatan v z tidak bergantung pada z. Kita memulai analisa dengan menetapkan neraca momentum-z melalui sistem dengan ketebalan

%x, dibatasi oleh panjang sistem z = 0 dan z = L, dan lebar W pada arah-y.(lihat

gambar 2-2). Aneka komponen pada saat keseimbangan momentum adalah : Laju momentum-z masuk pada permukaan sepanjang x: Laju momentum-z keluar pada permukaan sepanjang x +

( LW )($ xz )| x

%x:

( LW )($ xz )| x+% x

Laju momentum-z masuk pada permukaan di titik z = 0:

(W % x v z )(&vz) | z =0

Laju momentum-z keluar pada permukaan di titik z = L:

(W % x v z )( %v z )| z=L

Gaya grafitasi yang ada pada fluida :

( L W % x)( % g cos & )

Gambar 2.6 Aliran film isotermal dibawah pengaruh gravitasi, tanpa riak. Sumbu y tegak lurus bidang gambar dan neraca momentum dibuat untuk ketebalan fluida 'x. Catatan bahwa kita selalu menggunakan arah masuk dan keluar pada arah positif sumbu x dan z (Hal ini terjadi berbarengan dengan arah dari transfer momentum). Notasi | x+%x berarti dievaluasi pada x+%x. Ketika persamaan-persamaan ini disubstitusikan ke dalam keseimbangan momentum dari persamaan (2.6), kita dapatkan

19


9 (LW)((xz)|x - (LW)((xz)|x+%x + (W%x &vz2) |z=0 - (W%x &vz2) |z=L + (LW %x)(&g cos)) = 0 (2.7) Karena vz adalah sama pada z = 0 dan pada z = L pada setiap nilai x, persamaan ketiga dan keempat akan saling meniadakan satu sama lain. Sekarang kita bagi persamaan di atas dengan LW%x dan ambil limit %x mendekati nol :

lim

# xz

x + $ x

% # xz

x

$ x

$r &0

=

" g cos !

(2.8)

Hasil persamaan pada sebelah kiri dapat didefinisikan sebagai turunan pertama dari

!

xz

terhadap x. Sehingga persamaan di atas dapat dituliskan kembali sebagai: d

" g cos !

(2.9)

" gx cos ! + C1

(2.10)

!

xz

dx

=

Hasil pengintegrasiannya menghasilkan: !

=

xz

Konstanta integrasi (C1) dapat dievaluasi dengan menggunakan syarat batas ( boundary conditions) pada interfasa cair-gas. B.C. 1:

saat x = 0

maka

!

xz

=0

Substitusi nilai syarat batas ini pada persamaan (3) menghasilkan C 1= 0, sehingga distribusi flux momentumnya diperoleh: !

=

xz

" gx cos !

(2.11)

Jika fluida tersebut merupakan fluida Newtonian, maka kita ketahui bahwa hubungan antara flux momentum dengan gradien kecepatan ditunjukkan oleh " dv % !µ $ z ' ! xz # dx & (2.12) Substitusi ekspresi di atas ke persamaan (4) menghasilkan persamaan diferensial di bawah ini =

yang merupakan distribusi kecepatan:

dv z dx

=

& ) g cos ( # !! x '$$ µ % "

(2.13)

Persamaan di atas dengan mudah diintegrasi untuk menghasilkan:

v z

=

& ) g cos ( # '$$ !! x µ 2 % "

2

+

C 2

Konstanta integrasi (C2) dapat dievaluasi dengan menggunakan syarat batas: B.C. 2: saat x = * maka vz = 0 Substitusi nilai batas ini ke persamaan (2.14) akan menghasilkan :

(2.14)

20


0

C 2

) # g cos " & '' $$! µ 2 ( % 2

=

(2.15)

Sehingga distribusi kecepatan dapat dirumuskan sebagai:

, 0 g . cos / )& , x ) ** ''$1 - * ' 2 µ + ($% + . ( 2

v z

=

2

# ! !"

Persamaan-persamaan lain dapat diturunkan sebagai berikut:

(2.16)

Proses Transfer - Pertemuan 1

Recommend Documents