PROPIEDADES DEL MACIZO ROCOSO Hoek, E. “Practical Rock Enginnerign” (2007) Cap XI
1. INTRODUCCIÓN
Se requieren estimaciones estimaciones fiables de la resistencia y características de deformación deformación de los macizos rocosos para casi cualquier tipo de análisis utilizado para el diseño de taludes, fundaciones profundas y excavaciones subterráneas. Hoek y Brown (1980a, 1980b) propusieron un método para obtener las estimaciones de la resistencia de los macizos rocosos fracturados, sobre la base de una evaluación del entrelazamiento de los bloques de roca y la condición de las superficies entre estos bloques. Este método fue modificado en los últimos años con el fin de satisfacer las necesidades de los usuarios que lo estaban aplicando a problemas para los que no fue considerados cuando se desarrolló el criterio original (1983, Hoek y Brown 1988). Para la aplicación del método a macizos rocosos de muy baja calidad requirió más cambios (Hoek, Madera y Shah 1992) y, finalmente, el desarrollo de una nueva clasificación llamada el Índice de Resistencia Geológica “GSI” (Hoek, Kaiser y Bawden 1995, Hoek 1994, Hoek y Brown
1997, Hoek, Marinos y Benissi, 1998, Marinos y Hoek, 2001). Una revisión mayor se llevó a cabo en el 2002 con el fin de suavizar las curvas, necesaria para la aplicación del criterio en los modelos numéricos, y para actualizar los métodos de estimación de parámetros de Mohr Coulomb (Hoek, Carranza - Torres y Corkum, 2002). Una modificación relacionada para estimar el módulo de deformación del macizo rocoso fue hecha por Hoek y Diederichs (2006) En este capítulo se presenta la versión más reciente del criterio de Hoek-Brown en una forma que se ha encontrado práctica en campo y que parece ofrecer el conjunto más fiable de los resultados para su uso como dato de entrada para los métodos de análisis que se utilizan actualmente en ingeniería de rocas. 2. EL CRITERIO GENERALIZADO DE HOEK-BROWN
El criterio de rotura generalizado de Hoek y Brown para macizos rocosos fracturados se define por:
Donde
y son el máximo y mínimo esfuerzo principal efectivo en la fractura
es el valor de la constante m de Hoek y Brown para el macizo rocoso y son las constantes que dependen de las características del macizo rocoso y es el esfuerzo de compresión uniaxial para las piezas de roca intacta
(1)
Los esfuerzos normal y de cizalla están relacionados a los esfuerzos principales por la ecuación publicada por Balmer 1 (1952)
√
(2)
(3)
Donde
(4)
En orden de usar el criterio de Hoek y Brown para estimar la resistencia y deformabilidad de los macizos rocosos fracturados, tr es “propiedades” del macizo rocoso tienen que ser estimadas:
de las piezas de roca intacta El valor de la constante de Hoek y Brown para estas piezas de roca intacta y Resistencia a la compresión uniaxial
El valor del Índice de Resistencia Geológica GSI para el macizo rocoso
3. PROPIEDADES DE LA ROCA INTACTA
Para las piezas de roca intacta del macizo rocoso, la ecuación (1) se simplifica a:
(5)
La relación entre los esfuerzos principales de rotura de una roca dada se define por dos constantes, la resistencia a la compresión uniaxial
y una constante . Siempre que sea
posible los valores de estas constantes deben ser determinados por análisis estadístico de los resultados de un conjunto de ensayos triaxiales en muestras de núcleos de perforación cuidadosamente preparados. Tenga en cuenta que el rango de valores de los esfuerzos principales menor (
) sobre los que
se llevan a cabo estas pruebas es fundamental en la determinación de los valores fiables para las dos constantes. Al deducir los valores originales de un rango de 0 <
y , Hoek y Brown (1980a) utilizaron
<0,5 y, con el fin de ser coherente, es esencial que el mismo rango debe
utilizarse en las pruebas triaxiales de laboratorio en muestras de roca intacta. Por lo menos cinco puntos de datos bien espaciados deben ser incluidos en el análisis. Un tipo de celda triaxial que se puede utilizar para estas pruebas se ilustra en la Figura 1. Esta celda, descrita por Franklin y Hoek (1970), no requiere drenaje entre las pruebas y es conveniente para la prueba rápida de un gran número de especímenes. Celdas más sofisticadas están disponibles para fines de investigación, pero los resultados obtenidos a partir de la celda 1
Las ecuaciones originales derivadas por Balmer contenían errores que han sido corregidas en las ecuaciones 2 y 3
ilustrada en la Figura 1 son adecuados para las estimaciones de resistencia de la roca, requeridos para la estimación de
y . Esta celda tiene la ventaja adicional de que puede ser utilizado
en el campo al probar materiales tales como carbón o lutitas que son extremadamente difíciles de conservar durante su transporte y preparación normal del espécimen para pruebas de laboratorio.
Figura 1: Corte de una celda triaxial para los ensayos de especímenes de roca
Las pruebas de laboratorio deben llevarse a cabo con contenidos de humedad lo más cerca posible a las que se producen en el campo. Muchas rocas muestran una disminución significativa fuerza al aumentar el contenido de humedad en los ensayos de laboratorio, cuando se han dejado secar en el núcleo de perforación durante varios meses, esto puede dar una impresión equivocada de la resistencia de la roca intacta.
Una vez que se han obtenido los cinco o más resultados de las pruebas triaxiales, estos pueden ser analizados para determinar la resistencia a la compresión uniaxial Hoek-Brown
y la constante de
como se describe por Hoek y Brown (1980a). En este análisis, la ecuación (5)
se vuelve a escribir en la forma:
Donde
y
Para especímenes, la resistencia a la compresión uniaxial de determinación
son calculados de la siguiente forma:
(6)
, la constante , el coeficiente
* + * + [] [ ][]
(7) (8) (9)
Una hoja de cálculo para el análisis de los datos de prueba triaxial se muestra en la Tabla 1. Tenga en cuenta que los datos de las pruebas triaxiales de alta calidad por lo general dar un coeficiente de determinación
superior a 0,9. Estos cálculos, junto con muchos más en
relación con el criterio de Hoek-Brown también se pueden realizar por el programa RocLab que se puede descargar (gratis) de www.rocscience.com. Cuando las pruebas de laboratorio no son posibles, las tablas 2 y 3 pueden utilizarse para obtener estimaciones de
y .
Tabla 1: Hoja de cálculo para la estimar el
y de datos de una prueba triaxial
Nota: Estos cálculos, junto con muchos otros cálculos relacionados con el criterio de HoekBrown, también se puede llevar a cabo utilizando el programa RocLab que se puede descargar (gratis) de www.rocscience.com. Tabla 2: Estimación en campo de la resistencia a la compresión uniaxial RESIST. A LA COMP. UNIAXIAL (MPa)
ÍNDICE DE CARGA PUNT. (Mpa)
EJEMPLOS
> 250
> 10
Basalto, diabasa, gneis, granito, curacita, chert.
CALIDAD*
TÉRMINO
ESTIMACIÓN DE CAMPO DE LA RESISTENCIA
R6
Extremadamente resistente
Solo se pueden romper esquirlas de la roca con el martillo de geólogo.
R5
Muy resistente
Se necesitan muchos golpes con el martillo de geólogo para romperla.
100 - 250
4 - 10
Anfibolita, arenisca, gneis, gabro, granodiorita, basalto.
Resistente
Se necesita más de un golpe con el martillo de geólogo para romperla.
50 - 100
2-4
Caliza, mármol, esquisto, arenisca.
Moderadamente Resistente
No se puede rayar o labrar con una navaja, se pueden romper con un golpe firme con el martillo.
1-2
Lutita, carbón, concreto, esquisto, pizarra (shale), limolita
5.0 - 25
**
Creta, marga, yeso, esquisto, pizarra (shale)
1.0 - 5.0
**
Roca alterada o muy alterada
0.25 - 1
**
Milonita de falla
R4
R3
R2
Débil
R1
Muy Débil
R0
Extremadamente Débil
Puede labrarse con dificultad con una navaja, se pueden hacer marcas poca profundas golpeando fuertemente la roca con la punta del martillo. Deleznable bajo golpes fuertes con la punta del martillo de geólogo puede labrarse con una navaja. Rayado con la uña del dedo pulgar.
25 - 50
*Calidad según Brown (1981). **Las pruebas de carga puntual en rocas con una resistencia a la compresión uniaxial debajo de 25MPa tienden a generar
Tabla 3: Valores de la constante
para la roca intacta, por grupo de roca. Note que los valores en paréntesis son estimados
Las rocas anisotrópicas y foliadas como las pizarras, esquistos y filitas, cuyo comportamiento está dominado por planos de debilidad, clivaje o esquistosidad muy cercanos, presentar dificultades particulares en la determinación de las resistencias a la compresión uniaxial. Salcedo (1983) ha publicado los resultados de un conjunto de pruebas de compresión uniaxiales direccionales en una filita de grafito en Venezuela. Estos resultados se resumen en la Figura 2. Se observará que la resistencia a la compresión uniaxial de este material varía por un factor de aproximadamente 5, dependiendo de la dirección de la carga.
Figura 2: Influencia de la dirección de la carga en la resistencia en filitas de grafito evaluada por Salcedo (1983).
Al decidir el valor de
de rocas foliadas, la decisión tiene que ser hecho en sí se debe usar la
resistencia a la compresión uniaxial más alta o más baja obtenida en los resultados, como las indicadas en la Figura 2. La composición mineralógica, el tamaño de grano, el grado de metamorfismo y la historia tectónica juegan un papel en la determinación de las características del macizo rocoso. El autor no puede ofrecer ninguna orientación precisa sobre la elección del
pero una cierta percepción en el papel de esquistosidad en macizo rocoso puede ser obtenida considerando el caso del túnel Yacambú-Quíbor en Venezuela.
Este túnel se ha excavado en filita de grafito, similar a la prueba por Salcedo, a profundidades de hasta 1200 metros a través de las montañas de los Andes. La apariencia del macizo rocos en el frente del túnel se muestra en la Figura 3 y un análisis posterior del comportamiento de este material sugiere que un valor adecuado para
es de aproximadamente 50 MPa. En otras
palabras, en la escala del túnel de 5,5 m de diámetro, las propiedades del macizo rocoso tienen un "promedio" y no hay ninguna señal de un comportamiento anisotrópico en las deformaciones medidas en el túnel.
Figura 3: Filita de grafito tectónicamente deformado y cizallado en la cara del túnel Yacambú-Quibor a una profundiad de 1200m debajo la superficie.
4. INFLUENCIA DEL TAMAÑO DE LA ROCA
La influencia del tamaño de la muestra sobre la resistencia de la roca ha sido ampliamente discutida en la literatura geotécnica y en general se supone que hay una reducción significativa de la resistencia con el aumento de tamaño de la muestra. Sobre la base de un análisis de los datos publicados, Hoek y Brown (1980a) han sugerido que la resistencia a la compresión
de una muestra de roca con un diámetro de d mm está relacionada con la resistencia a la compresión uniaxial de una muestra de 50 mm de diámetro por la siguiente uniaxial de relación:
(10)
Esta relación, junto con los datos en los que está basada, se muestra en la figura 4.
Figura 4: Influencia del tamaño del espécimen en la resistencia de la roca intacta. Fuente: Hoek y Brown (1980a)
Se sugiere que la reducción de la resistencia se debe a la mayor oportunidad para el fracturamiento a través y alrededor de los granos, los "bloques" de la roca intacta, a medida que más y más de estos granos son incluidos en la muestra de prueba. Eventualmente, cuando un número suficientemente grande de granos se incluyen en la muestra, la fuerza alcanza un valor constante. El criterio de falla de Hoek- Brown, que asume a la roca y macizo rocoso con un comportamiento isotrópico, sólo debe aplicarse a los macizos rocosos en los que hay un número suficiente de discontinuidades muy próximas entre sí , con características superficiales similares, que se pueda asumir al comportamiento de la fractura como isotrópico. Cuando la
estructura que se está analizando es grande y el tamaño de los bloques en comparación son pequeños, el macizo rocoso puede ser tratado como un material de Hoek-Brown. Cuando el tamaño de bloque es del mismo orden que la de la estructura que se está analizando o cuando uno de los conjuntos de discontinuidad es significativamente más débil que los otros, no debe utilizarse el criterio de Hoek-Brown. En estos casos, la estabilidad de la estructura debe ser analizada teniendo en cuenta los mecanismos de fallo que implican el deslizamiento o rotación de bloques y cuñas definidas por la intersección de estas discontinuidades. Es razonable extender este argumento más allá y sugerir que, cuando se trata de masas de roca a gran escala, la fuerza llega a un valor constante cuando el tamaño de las piezas de roca individuales es suficientemente pequeño en relación con el tamaño global de la estructura en consideración. Esta sugerencia se grafica en la figura 5, que muestra la transición de un espécimen isotrópico de roca intacta, pasando por un macizo rocoso muy anisotrópo en el cual el fallamiento es controlado por una o dos discontinuidades, llegando a un macizo rocoso isotrópico muy fracturado.
Figura 5: Diagrama idealizado mostrando la transición de un macizo rocoso intacto a uno muy fracturadocon mientras crece el tamaño de la muestra.
5. EL ÍNDICE DE RESISTENCIA GEOLÓGICA
La resistencia de macizo rocoso fracturado depende de las propiedades de las piezas de roca intacta y también de la libertad de estas piezas para deslizar y girar en diferentes condiciones tensionales. Esta libertad es controlada por la forma geométrica de las piezas de roca intacta, así como del estado de las superficies que separan las piezas. Los pedazos de roca angular con superficies rugosas y limpias de sus discontinuidades generarán un macizo rocoso mucho más fuerte que uno que contiene partículas redondeadas cubiertas por materiales intemperizados y alterados. El Índice de Resistencia Geológica (GSI), introducido por Hoek (1994) y Hoek, Kaiser y Bawden (1995) proporciona un número que, cuando se combina con las propiedades de las rocas intactas, se puede utilizar para estimar la reducción de la resistencia del macizo rocoso para diferentes condiciones geológicas. Este sistema se presenta en la Tabla 4, para las macizos rocosos blocosos, y en la Tabla 5 para macizos rocosos heterogéneos tales como flysch. La tabla 5 también se ha ampliado para hacer frente a rocas molásicas Hoek et al 2006) y ofiolíticas (Marinos et al, 2005). Antes de la introducción del sistema GSI en 1994, la aplicación del criterio de Hoek- Brown en el campo se basa en una correlación con la versión de 1976 de la calificación de macizo rocoso de Bieniawski, con la valoración para las aguas subterráneas fijada en 10 (seco) y el ajuste por la Orientación de discontinuidades establecida en 0 (muy favorable) (Bieniawski, 1976). Si se utiliza la versión de 1989 de la clasificación RMR de Bieniawski (Bieniawski, 1989), entonces la valoración de las aguas subterráneas se establecía en 15 y el de ajuste de Orientación de discontinuidades se establecía en cero. Durante los primeros años de la aplicación del sistema GSI, el valor del GSI era estimada directamente del RMR. Sin embargo, esta correlación ha demostrado ser poco fiable, particularmente para los macizos rocosos de baja calidad y de rocas con peculiaridades litológicas que no pueden ser acomodados en la clasificación RMR. Por consiguiente, se recomienda que el valor del GSI deba ser estimado directamente por medio de los gráficos presentados en las Tablas 4 y 5 y no de la clasificación RMR. La experiencia demuestra que la mayoría de los geólogos e ingenieros geólogos están cómodos con la naturaleza descriptiva y en gran parte cualitativa de las tablas de GSI y generalmente tienen poca dificultad para llegar a un valor estimado. Por otro lado, muchos ingenieros sienten la necesidad de un sistema más cuantitativo en el que se pueden "medir" alguna dimensión física. Por el contrario, estos ingenieros tienen poca dificultad para entender la importancia de la resistencia de la roca intacta
y su incorporación en la evaluación de las propiedades del
macizo rocoso. Muchos geólogos tienden a confundir la resistencia intacta y del macizo rocoso y consecuentemente subestiman la resistencia intacta. Tabla 4: Caracterización de un macizo rocoso fracturado en función de la trabazón del macizo y las condiciones de sus discontinuidades.
Una cuestión práctica adicional es si los núcleos de perforación se pueden utilizar para estimar el valor GSI sin las demás caras visibles. Los núcleos de perforación son la mejor fuente de datos en profundidad pero tiene que ser reconocido que es necesario extrapolar la información unidimensional proporcionada por el núcleo al macizo rocoso tridimensional. Sin embargo, este es un problema común en la investigación mediante perforaciones y los ingenieros geólogos más experimentados se sienten cómodos con este proceso de extrapolación. Varias perforaciones y perforaciones inclinadas son de gran ayuda a la interpretación de las características del macizo rocoso en la profundidad.
Tabla 5: Estimación del Índice de Resistencia Geológica GSI para macizos rocosos heterogéneos como los Flysch. (De Marinos y Hoek, 2001)
La decisión más importante que debe hacerse en el uso del sistema GSI es cuando se debe usar y cuando no. Si la separación de las discontinuidades es grande en comparación con las dimensiones del túnel o del talud en consideración, como se muestra en la figura 5, entonces las tablas del GSI y el criterio de Hoek-Brown no deben ser utilizadas y las discontinuidades deben ser tratadas individualmente. Cuando la distancia de las discontinuidades es pequeña en comparación con el tamaño de la estructura (Figura 5), entonces las tablas de GSI se pueden utilizar con confianza.
Uno de los problemas prácticos que se plantean cuando se evalúa el valor de GSI en el campo está relacionado con los daños debido a voladuras. Como se ilustra en la Figura 6, hay una diferencia considerable en la apariencia entre la cara de roca que ha sido excavado por voladura controlada y una cara que ha sido dañado por medio de una voladura masiva. Siempre que sea posible, la cara en buen estado debe ser utilizada para estimar el valor de GSI ya que el objetivo general es determinar las propiedades del macizo rocoso sin perturbaciones.
Figura 6: Comparación entre los resultados de una voladura controlada (a la izquierda) y una voladura masiva común para excavar la superficie de un gneis.
La influencia del daño por voladura en las propiedades cercanas a la superficie del macizo rocoso ha sido tomada en cuenta en la versión del criterio de Hoek y Brown del 2002 (Hoek, Carranza-Torres y Corkum, 2002) de la manera siguiente:
(11) (12)
Y
()
(13)
El D es un factor que depende del grado de perturbación debido a los daños por voladura y relajación tensional. Este varía desde 0 para macizos rocosos sin disturbación in situ, a 1 para macizos rocosos muy perturbados. Algunas directrices para la selección de D se presentan en la Tabla 6. Cabe resaltar que el factor D se aplica sólo a la zona dañada por voladura y no debe ser aplicado a todo el macizo rocoso. Por ejemplo, en los túneles, el daño explosión se limita
generalmente a una zona de 1 a 2 m de espesor alrededor del túnel y esto debe ser incorporado en los modelos numéricos como un material diferente y más débil que macizo rocoso circundante. Aplicando el factor de daño por voladura D a todo el macizo rocoso es inapropiado y puede dar lugar a resultados erróneos e innecesariamente pesimistas. Tabla 6: Guía para la estimación del factor de Disturbación D FACTOR DE DISTURBACIÓN "D" PARA TÚNELES
Una voladura contralada de excelente calidad o una excavación realizada por una Tunelaroda TBM resultan en una disturbación mínima en el macizo rocoso confinado alrededor del túnel.
D=0
Una excavación mecánica o manual en macizos rocosos de mala calidad (sin voladura) resulta en una mínima disturbación alrededor del macizo rocoso.
D=0
La disturbación puede ser severa cuando los problemas de confinamiento generan un levantamiento del piso, a menos que se ubique un nivel inferior "Invert" temporal como se muestra en la fotografía.
D=0.5 Sin "Invert"
Una voladura de muy baja calidad en un túnel de roca dura genera daños locales severos que se pueden extender 2 o 3 metros alrededor del macizo rocoso.
D=0.8
PARA TALUDES Una voladura de pequeña escala en taludes de ingeniería civil provocan daños en macizos de regular calidad, particularmente si se usa una voladura controlada como se muestra en a la izquierda. Sin embargo, el alivio tensional causa alguna disturbación.
Buena Voladura D=0.7 Mala Voladura D=1.0
Las grandes minas a cielo abierto sufren disturbaciones significantes debido a las voladuras a gran escala y también por el alivio tensional del movimiento de tierras.
Voladura a Gran Escala D=1.0
En rocas más blandas se puede excavar mediante acarreo por corte y explanación por lo que el grado de daño a las pendientes es menor.
Excavación mecánica D=0.7
La resistencia a la compresión uniaxial del macizo rocoso se obtiene mediante el la suposición de
en la ecuación 1, dando como resultado:
(14)
Y, la resistencia tensional del macizo rocoso como:
La ecuación 15 se obtiene mediante la suposición de
(15)
en la ecuación 1. Esto
representa una condición de tensión biaxial. Hoek (1983) mostró que, para materiales quebradizos, la resistencia a la tracción uniaxial es igual a la resistencia a la tracción biaxial.
Tenga en cuenta que el "cambio" en GSI = 25 para los coeficientes y (Hoek y Brown, 1997) ha sido eliminado en las ecuaciones 11 y 12 que dan transiciones continuas suaves para todo el
rango de valores de GSI. Los valores numéricos de y , dados por estas ecuaciones, están muy cerca de las dados por las ecuaciones anteriores y no es necesario para que los lectores vuelven a revisar y hacer correcciones en los cálculos anteriores. 6. LOS PARÁMETROS DE MOHR-COULOMB
Dado que muchos software geotécnicos están programados en términos del criterio de rotura de Mohr-Coulomb, a veces es necesario determinar el equivalente ángulo de fricción y fuerza de cohesión cada macizo rocoso y rango de tensiones. Esto se realiza mediante el ajuste de una relación lineal promedio de la curva generada por la gráfica de la ecuación 1 para una gama de
, como se ilustra en la Figura 7. El proceso de ajuste implica equilibrar las áreas por encima y por debajo de la gráfica de Mohr-Coulomb. Esto da lugar a las siguientes ecuaciones para el ángulo de fricción y la fuerza de cohesión : valores de tensiones principales menores definidos por
*+ ] [ √
Cuando
Tenga en cuenta que el valor de
(16) (17)
, el límite superior de la tensión confinante sobre la que
se considera la relación entre el los criterios de Mohr-Coulomb y Hoek-Brown, tiene que ser
determinado para cada caso individual. Algunas directrices para la selección de estos valores para taludes, así como túneles superficial y profundos, se presentan más adelante.
El resistencia cizallante de Mohr-Coulomb , para un tensión normal dada, se encuentra por
en la ecuación:
sustitución de valores de y
(18)
La gráfica equivalente, en términos de los esfuerzos principal mayor y menor, está definido por:
(19)
Figura 7: Relación entre los esfuerzos principales mayor y menor del criterio de Hoek y Brown y el criterio equivalente de Mohr-Coulomb. 8. RESISTENCIA DEL MACIZO ROCOSO
La resistencia a la compresión uniaxial del macizo rocoso fallamiento inicia en el límite de una excavación cuando
está dada por la ecuación 14. El
es superada por la tensión inducida
en ese límite. El fallamento se propaga desde este punto de iniciación en un campo de tensión biaxial y con el tiempo se estabiliza cuando la fuerza local, definida por la ecuación 1, es mayor que las tensiones
y inducidas. La mayoría de los modelos numéricos pueden seguir este
proceso de propagación de la fractura y este nivel de análisis detallado es muy importante cuando se considera la estabilidad de las excavaciones en la roca y de los sistemas de apoyo a la hora del diseño
Sin embargo, hay ocasiones en que es útil considerar el comportamiento global de un macizo rocoso en lugar de detallar el proceso de propagación del fallamiento descrito anteriormente. Por ejemplo, cuando se considera la fuerza de un pilar, es útil tener una estimación de la fuerza total de la columna en lugar de un conocimiento detallado de la extensión de la propagación de la fractura en el pilar. Esto lleva al concepto de "resistencia del macizo rocoso" global y HoekBrown (1997) propusieron que esto podría estimarse a partir de la relación de Mohr-Coulomb:
(20)
determinados por los rangos de tenciones dando:
Con y
9. DETERMINACIÓN DEL
La cuestión de determinar el valor apropiado de
(21)
para su uso en las ecuaciones 16 y 17
depende de su aplicación específica. Dos casos serán investigados: Túneles - donde el valor de
es el que se da según las curvas características equivalentes
para los dos criterios de fractura para túneles profundos o túneles poco profundos.
Taludes - aquí el factor de seguridad calculado y la forma y ubicación de la superficie de falla tienen que ser equivalentes. ara el caso de túneles profundos, formas de solución cerradas tanto para el criterios generalizado de Hoek -Brown y de Mohr -Coulomb y se han utilizado para generar cientos de soluciones y para encontrar el valor de
que da curvas características equivalentes.
Para los túneles poco profundos, donde la profundidad debajo de la superficie sea inferior a 3 veces el diámetro del túnel, estudios numéricos comparativos de la medida del fallamiento y la magnitud de la subsidencia de la superficie dieron una relación idéntica a la obtenida para los túneles profundos, siempre que la espeleología a la superficie sea evitada. Los resultados de los estudios de túneles profundos se representan en la Figura 8 y la ecuación ajustada para los túneles tanto profundos y poco profundos es:
Donde
es la resistencia del macizo rocoso, definido por la ecuación 21, es el peso
específico del macizo rocoso y H es la profundidad del túnel debajo la superficie. En casos donde la tención horizontal es mayor que la tensión vertical, el valor del esfuerzo horizontal debe ser usado en lugar del
.
