Propiedades de los fluidos en PROPIEDADES DE los yacimientos LOS FLUIDOS FLUIDOS EN petroleros y LOS YACIMIENTOS aplicaciones
PETROLEROS Y 2013-1
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
APLICACIONES
Cap. 7 Otras ecuaciones de estado 2013-1
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Copyright 2012 Dr. Jorge Alberto Arévalo Villagrán Todos los derechos reservados. La preparación de este documento fue coordinado por el Dr. Jorge Alberto Arévalo Villagrán Con la colaboración de Ing. Priscila Estefania Ochoa Porchas Ing. José Francisco Guzmán Arévalo Ing. Mariel Pérez Castillo Diseño gráfico y editorial Lic. Ana Gisela Alejandro Fernández Lic. Roxette González Calixto La reproducción, el uso y el aprovechamiento por cualquier medio de las imágenes e información plasmadas en esta obra han sido debidamente autorizados por el Dr. Jorge Alberto Arévalo Villagrán al cual se deberá solicitar su autorización para divulgarse por cualquier otro medio. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, archivada o
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Contenido 7.1 Introducción. ...................... ........... ...................... ...................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ...................... ...................... ........... 2 7.2 Ecuación de estado de van der waals ( ede de vdw ). ). .......................... ........................................ ........................... ................ ... 3 7.3 Ecuaciones de estado en el punto crítico. ........................................................................ 5 7.4 Ecuación de estado cúbica de van der waals de dos parámetros. ..... ...................... ........... ................. ...... 8 7. 5 Ecuación de estado de redlich-kwong (ede . .......................... ....................................... ........................... ................. ... 13 (ede de rk ) 7.5.1 Reglas de mezclado para la ecuación de estado estado de Redlich-Kwong. .......................... ............... ............. .. 16 7.6 Ecuación de estado de soave-redlich-kwong (ede de srk). ........................................... 22 7.7 Ecuación de estado de peng-robinson (ede de pr). ...................... ........... ..................... ..................... ...................... ............. .. 27 7.8 Reglas de mezclado para las ecuaciones de estado de soave-redlich-kwong, s r k y peng-robinson, p r . .......................... ........................................ ........................... ........................... ........................... .......................... .......................... ................... ...... 28 Ejercicios resueltos................................................................................................................. 33
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Capítulo 7 Otras ecuaciones de estado 7 . 1 I n t r o d u c c i ón . Una ecuación de estado ( EdE o EoS en EoS en Inglés) es una expresión analítica que relaciona la presión respecto a la temperatura y el volumen. Una descripción adecuada de una relación PVT para para fluidos hidrocarburos reales es básica para determinar los volúmenes de los fluidos y el comportamiento de fase de los fluidos petroleros, así como en el pronóstico del comportamiento de los fluidos para el diseño de las instalaciones de separación en la superficie. La ecuación de estado más simple y mejor conocida para un peso molecular de cualquier gas ideal es la ecuación de los gases ideales, la cual se expresa matemáticamente como: pV M
………….............................................................................................................(6.21) ………….............................................................................................................(6.21) RT 3
en donde V M M es el volumen molar de una unidad de peso molecular del gas en ft /lbm-mol . Para n moles de moles de un gas ideal, la ecuación 6.21 se transforma en, pV nRT nRT ...........................................................................................................................(6.22)
en donde V es es el volumen en ft 3 para n moles de moles de gas. La ecuación de los gases ideales se emplea solamente para describir el comportamiento volumétrico de gases de hidrocarburos reales a presiones cercanas a la presión atmosférica, para las cuales fue derivada experimentalmente. Similarmente, la ecuación de estado para gases ideales (ecuación 6.21) se puede representar como la ecuación de estado de la compresibilidad para gases reales, es decir: pV M
zRT ............................................................................................................................(7.1)
en donde z es es el factor de compresibilidad . Para n moles de moles de un gas real, la ecuación 7.1 se transforma en, T …………..............................................................................................................(7.2) …………..............................................................................................................(7.2) pV znRT znR Una de las limitaciones al emplear la ecuación de estado de la compresibilidad para caracterizar el comportamiento de gases es que el factor de compresibilidad no no es constante. Por lo que, se requieren técnicas gráficas o numéricas para su cálculo, debido a que no se pueden realizar manipulaciones matemáticas con esta ecuación de estado.
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Se han derivado varias ecuaciones de estado con coeficientes que corrigen la ley de los gases ideales en donde la no idealidad se considera constante. Esto permite que las ecuaciones de estado se puedan emplear en cálculos involucrando diferenciación e integración. Es decir, las limitaciones extremas de la aplicación de la ecuaciones 6.21 y 2.5.22 dieron el indicio para desarrollar numerosas ecuaciones de estado necesarias para describir el comportamiento de fluidos reales que se aplique a un amplio rango de presiones y temperaturas. El objetivo principal de esta sección es revisar algunos desarrollos y avances en el campo de las ecuaciones cúbicas empíricas de estado así como demostrar su aplicación en la ingeniería petrolera.
7 . 2 E c u a c i ó n d e e s t a d o d e V a n d e r W a a l s ( E d E d e V D W ) . Durante el desarrollo de la ecuación de estado para gases ideales, por ejemplo en la ecuación 6.21, se consideraron dos suposiciones, la primer suposición considera que el volumen de las moléculas de gas es insignificante en comparación con el volumen del contenedor (recipiente que lo contiene) y la distancia entre las moléculas, y la segunda suposición considera la inexistencia de fuerzas de atracción o de repulsión entre las moléculas del gas o entre el gas y las paredes del recipiente que las contiene. Una de las primeras ecuaciones de estado para representar el comportamiento de los gases reales fue desarrollada por Van der Waals en 1873. Van der Waals se enfocó en tratar de eliminar las dos suposiciones mencionadas anteriormente mediante su ecuación de estado, explicando que las moléculas de gas ocupan una f racción significante de volumen a presiones altas. Para contrarrestar la primera suposición Van der Waals propuso que el volumen de las moléculas, representado por por el parámetro b debe de restarse del volumen molar real VM en la ecuación 2.5.21; arreglando esta última ecuación se tiene,
RT p ………......................................................................................................................(7.3) ………......................................................................................................................(7.3) V M aplicando el parámetro el parámetro b, b,
p
RT ………..................................................................................................................(7.4) ………..................................................................................................................(7.4) V M b
en donde el parámetro b representa el volumen de las moléculas que se restan y V M M es la 3 variable que representa el volumen molar real, ambos en ft por una unidad de lbm-mol . Para eliminar la segunda suposición, Van der Waals restó un término de corrección, 2 denominado a/V M a la ecuación 7.4 para tomar en cuenta las fuerzas de atracción entre las moléculas. Van der Waals propuso la expresión matemática siguiente:
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p
RT RT
a 2 …………......................................................................................................(7.5) …………......................................................................................................(7.5) V b V M M
o bien,
a p 2 V M b RT …………...........................................................................................(7.6) …………...........................................................................................(7.6) V M en donde la ecuación 7.6 representa la ecuación de Van der Waals, la cual es diferente de la 2 ecuación de los gases ideales (ecuación 6.21) por la adición del término a/V M a la presión y la sustracción del parámetro del parámetro b del b del volumen molar. 2
El término a/V M representa un intento para corregir la presión debido a las fuerzas de atracción entre las moléculas. moléculas . Es decir, la presión real ejercida sobre las paredes del 2 recipiente que contiene al gas real es menor por la cantidad a /V /V M que la presión ejercida en el mismo recipiente por un gas ideal. El parámetro b representa un intento por corregir el volumen molar debido al volumen ocupado por las moléculas. moléculas . Las constantes a y b dependen del tipo de gas. De las ecuaciones 2 3 7.4 a 7.6, R representa representa la constante universal de los gases e igual a 10.732 (lb/pg abs-ft /lbmo 2 o mol- R), R), p es p es la presión del sistema en lb/pg abs, T es es la temperatura del sistema en R y R y V 3 es el volumen molar en ft /mol . Los parámetros
a
y b representan constantes y caracterizan las propiedades moleculares de
cada componente de la mezcla. La ecuación 7.6 presenta las características importantes siguientes: 1. A bajas bajas presiones y grandes grandes volúmenes, el parámetro b es insignificante en comparación 2 con V M /V M son insignificantes, por lo que M y las fuerzas de atracción representadas por a /V la ecuación de Van der Waals se reduce a la ecuación para gases ideales (ecuación 2.23). 2. A presiones presiones altas (por ejemplo ejemplo cuando cuando p ), ), el volumen molar V M M es muy pequeño aproximándose al valor del parámetro b que b que representa el volumen molar actual. La ecuación de Van der Waals representa una mejora a la ecuación para gases ideales. Sin embargo, la ecuación de Van der Waals se limita a presiones bajas y representa las bases semiteóricas en la cual varios investigadores se han respaldado para desarrollar ecuaciones de estado a partir de la ecuación de gases ideales. A la ecuación de Van der Waals (ecuación 7.5) se le denomina ecuación de estado de dos constantes constantes (aunque en realidad contiene tres constantes: a , b y R ) ó ecuación de estado cúbica. cúbica. Cualquier ecuación de estado se puede representar en una forma general como:
p prepulsión patracción ……….….............................................................................................(7.7) ……….….............................................................................................(7.7)
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en donde, prepulsión
RT
(V M b)
.................................................................................................................(7.8)
y patracción
a 2 …………..........................................................................................................(7.9) …………..........................................................................................................(7.9) V M
7.3 Ecuaciones de estado en el punto crítico. Van der Waals al tratar de determinar experimentalmente los valores de las constantes
a
yb
para cualquier sustancia pura, en un diagrama de fase de presión contra volumen molar observó que la isoterma crítica, representa una pendiente horizontal y un punto de inflexión en el punto crítico (figura 7.1). Esta observación para una sustancia pura se representa matemáticamente como:
p ……….............................................................................................................(7.10) 0 ……….............................................................................................................(7.10) V M T C
2 p ……….............................................................................................................(7.11) 2 0 ……….............................................................................................................(7.11) V M T C
p 2 p 0, 2 0 V V M Tc M Tc pc
) s b a 2 g p / b l (
T c
n ó i s e r P
V Mc Volumen (ft 3 )
Figura 7.1.- Diagrama de presión contra volumen molar para una sustancia pura mostrando las condiciones en el punto crítico.
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Obteniendo la primera y segunda derivada de la ecuación de Van der Waals (ecuación 7.5) con respecto al volumen al punto crítico, e igualando ambas ecuaciones a cero se obtiene respectivamente:
p 2a RT c …………..........................................................................(7.12) 0 …………..........................................................................(7.12) 2 3 V V V M M T M b C
C
C
y
2 p 2 RT c 6a ………................................................................................(7.13) 2 4 0 ………................................................................................(7.13) 3 V V V b M M T M C
C
C
Resolviendo las ecuaciones 7.12 y 7.13 simultáneamente para los parámetros
a
y b, se
obtiene:
9 a V ………..........................................................................................................(7.14) M T c R ………..........................................................................................................(7.14) 8 C y,
1 b V M C ……….…...........................................................................................................(7.15) ……….…...........................................................................................................(7.15) 3
Ahora bien, expresando la ecuación de estado de Van der Waals W aals (ecuación 7.6) en el punto crítico, se tiene:
pc a V M b RT c …………....................................................................................(7.16) …………....................................................................................(7.16) 2 V M C
C
combinando las ecuaciones ecuaciones 7.12, 7.13 y 7.16 se obtiene,
27 R 2T c2 a ………..............................................................................................................(7.17) ………..............................................................................................................(7.17) 64 pc b
RT c ……….……............................................................................................................(7.18) ……….……............................................................................................................(7.18) 8 pc
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Ejemplo 7.1.- Constantes de la ecuación de estado de Van der Waals. Calcular las constantes de Van der Waals para el 3-metil-hexano. Solución. o
Para el 3-metil-hexano la T c y pc se obtienen de la Tabla A-1 del Apéndice A como 963.8 R y y c y p 2 408.1lb/pg 408.1lb/pg abs, abs, respectivamente. respectivamente . Sustituyendo valores en la ecuación 7.17, 2
2 3 lb/pg abs ft (963.8 o R) 2 (27)10.732 lbm mol R (lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 110,599.29 a (64)(408.1 lb/pg 2 abs) (lbm mol ) 2
de igual manera, sustituyendo valores en la ecuación 7.18,
lb/pg 2 abs ft 3 10.732 (963.8 R) lbm mol R b 3.168 2 (8)(408.1 lb/pg abs)
ft 3 lbm mol
De igual manera, se pueden determinar ecuaciones similares a las ecuaciones 7.17 y 7.18 para otras ecuaciones de estado. Esta metodología se limita a sustancias puras. La ecuación 7.15 implica que el volumen de las moléculas expresado por la constante b es aproximadamente de 0.333 del volumen crítico de la sustancia . Estudios experimentales indican que la constante b b se encuentra en el rango de 0.24-0.28 del volumen crítico. crítico . Combinando las ecuaciones ecuaciones 7.14, 7.15 y 7.16 se obtiene,
pcV M C ( 0.375 )RT c ………..................................................................................................(7.19) ………..................................................................................................(7.19) La ecuación 7.19 implica que independientemente del tipo de sustancia, la ecuación de Van der Waals proporciona un factor universal de compresibilidad crítica del gas, z c c , de 0.375 . Estudios experimentales indican que los valores de z c c para diversas sustancias se encuentran entre 0.23 y 0.31. 0.31. Luego, la ecuación 7.19 se combina con las ecuaciones 7.14 y 7.15 para proporcionar expresiones más convenientes para calcular l os parámetros a y b, es decir,
a a
R 2T c2 p c
.......................................................................................................................(7.20)
y b b
RT c pc
........................................................................................................................(7.21)
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3
o
en donde R es es la constante universal de los gases e igual a 10.732 (lb/pg abs-ft /lbm-mol- R), R), 2 o pc es la presión crítica en lb/pg abs, abs, T c c es la temperatura crítica en R , a es igual a 0.421875 y b es igual a 0.125 .
7.4 Ecuación parámetros.
de
estado
cúbica
de
Van
der
Waals
de
dos
La ecuación de estado de Van der Waals (ecuación 2.6.6) en forma cúbica y en términos de V M expresa como: M se
V M 3 b
ab RT 2 a V M V M 0 ……….…………......................................................(7.22) ……….…………......................................................(7.22) p p p
la ecuación 7.22 es la ecuación de estado cúbica de Van der Waals de dos parámetros. Los dos parámetros se refieren a las constantes a y y b. El término de ecuación de estado cúbica implica una ecuación que expandida contiene términos de volumen molar, V M M , elevados a la primera, segunda y tercera potencia. Una de las características de mayor importancia de la ecuación 7.22, es la caracterización del fenómeno condensación – condensación –líquido líquido y del cambio de estado de la fase gas a la fase líquida conforme el gas se comprime. La ecuación de estado de Van der Waals se comporta de acuerdo a la figura 7.2.
F i g u r a 7 . 2 ..- Diagrama de fase de p vs V M M a T constante para un componente puro mostrando el comportamiento volumétrico pronosticado por la ecuación de estado de Van der Waals (ecuación 7.22).
De la ecuación 7.22 se obtienen tres raíces reales (soluciones) o volúmenes para cada valor de presión especificado. La curva isotérmica ABCDE en la figura 7.2 representa el
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comportamiento gráfico de la solución de la ecuación 2.6.22, para una temperatura constante T 1 a la presión p presión p1. Las tres soluciones de V M A, C y E sobre la línea horizontal M son las intersecciones A, correspondiendo a la presión p1. La curva isotérmica calculada ABCDE proporciona aparentemente una transición continua de la fase gaseosa a la fase líquida. En realidad esta transición es discontinua y abrupta con las fases líquido y gas existiendo a lo largo de la línea horizontal AE horizontal AE . La raíz más grande (solución) para V M M es el punto E , correspondiendo al V M M del gas saturado (línea de curva de rocío), mientras que la raíz más pequeña para V M el punto M es A, A, correspondiendo al V M M del líquido saturado (línea de curva de burbuja). La tercera raíz para V M representada por el punto C no no tiene significado físico. Las raíces para V M idénticas M son conforme la temperatura se aproxima a la T c la sustancia pura. c de Expresando la ecuación 7.22 en términos del factor de compresibilidad z , es decir, de la ecuación 7.1 para gases reales, se tiene: V M
zRT zRT
…………................................................................................................................(7.23) …………................................................................................................................(7.23)
p
Sustituyendo la ecuación 7.23 en la ecuación 7.22, y rearreglando la ecuación resultante: z 3 (1 B) z 2 Az Az AB 0 ..................................................................................................(7.24) en donde,
A
ap R 2T 2
.............................................................................................................................(7.25)
y
B
bp RT
...............................................................................................................................(7.26)
en donde z es es el factor de compresibilidad , p es p es la presión absoluta del sistema en lb/pg 2 abs y T es es la temperatura t emperatura del sistema en °R. La solución de la ecuación de estado 7.24 proporciona una raíz real para z en la región de una fase (en algunas regiones súper críticas esta ecuación proporcionan tres raíces reales para z , seleccionando la mayor raíz como el valor con significado físico para el factor de compresibilidad , z ) o tres raíces reales en la región de dos fases (en donde la presión del sistema es igual a la presión de vapor de la sustancia). En este último caso, la raíz real con el v mayor valor numérico corresponde al factor de compresibilidad de la fase vapor (gas), z , mientras que la raíz real con el menor valor numérico corresponde al factor de L compresibilidad de la fase líquida, z . La ecuación 7.24 se aplica de forma práctica para determinar las densidades de las fases líquida y vapor.
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Ejemplo 7.2.- Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de estado Van der Waals. En un cilindro cerrado se encuentra propano puro a 100 °F 100 °F teniendo las fases líquido y vapor presentes. Empleando la ecuación cúbica de estado de Van der Waals de dos parámetros, calcular la densidad de las fases líquido y vapor (gas). Solución.
Etapa 1. 1. Estimando la presión de vapor, pv , del propano puro a partir de las cartas de Cox (recordar que esta pv es la presión a la cual las dos fases existen en equilibrio a esta 2 temperatura), luego la p la pv estimada es igual a 185 lb/pg 185 lb/pg abs.
Etapa 2. 2. Calculando los parámetros
a
y b a partir de las ecuaciones 7.20 y 7.21,
respectivamente. 2
a a
2
R T c pc
........................................................................................................................(7.20)
es decir, 2
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (666 R) 2 lbm lbm mol R lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 34 , 970 . 465 a (0.421875) (616.3 lb / pg 2 abs) (lbm lbm mol ) 2 y
b b
RT c pc
...........................................................................................................................(7.21)
es decir,
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (666 R) lbm lb m mol R b (0.125) 1.4496 2 (616.3 lb / pg abs)
ft 3 lbm lbm mol
Etapa 3. Calcular 3. Calcular los coeficientes A y A y B aplicando las ecuaciones 7.25 y 7.26
A
ap 2
2
R T
............................................................................................................................(7.25)
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luego,
lb / pg 2 abs ( ft 3 )2 34,970.465 (185 lb / pg 2abs) 2 (lbm lbm mol ) A 0.17912 2 2 3 lb / pg abs ft 10.732 (560 o R) 2 lbm lbm mol R y
B
bp RT
…............................................................................................................................(7.26)
por lo tanto,
ft 3 1.4496 (185 lb / pg 2 abs) lbm lbm mol B 0.04462 2 3 lb / pg abs ft o 10.732 (560 R) lbm lb m mol R
Etapa 4. Sustituyendo 4. Sustituyendo los valores de A de A y y B dentro de la ecuación 7.24, se tiene: z 3 (1 B) z 2 Az Az AB 0 ..……… ..………......................................................................................(7.27) ......................................................................................(7.27) y z 3 1.04462 z 2 0.17912 z 0.007993 0
Etapa 5. 5. Resolviendo el polinomio de tercer grado de la ecuación 7.27, obteniendo el mayor y menor valores (raíces) del polinomio. Para resolver este polinomio se utilizan métodos directos o iterativos. Para la fase f ase vapor se obtiene: v
z =0.84350, y para la fase líquida: L
z =0.07534 =0.07534
Etapa 6. 6. Calculando las densidades de las fases líquido y vapor. Para la fase vapor se tiene, t iene, pM C v V 3 ,……..................................................................................................................(7.28) ,……..................................................................................................................(7.28) z RT RT
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Sustituyendo valores,
v
(185 lb / pg 2 abs)(44 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (560 o R) (0.84350)10.732 lbm lbm mol R
1.606
lbm lbm ft 3
y para la fase líquida, pM C L L 3 …..……............................................................................................................(7.29) …..……............................................................................................................(7.29) z RT
por lo tanto,
L
(185 lb / pg 2 abs)(44 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg abs ft (560 o R) (0.07534)10.732 lbm lbm mol R 2
3
17.978
lbm lbm ft 3
Aún con la simplicidad de la ecuación de estado de Van der Waals, ésta proporciona al menos cualitativamente una descripción correcta del comportamiento PVT de de una sustancia en los estados líquido y vapor (gas). Sin embargo, esta ecuación no es muy precisa para propósitos de diseño y estudios de ingeniería de yacimientos y producción. En la actualidad, se han desarrollado una gran cantidad de ecuaciones de estado con muy buena precisión y aplicación para el cálculo de propiedades físicas y de equilibrio de fases en fluidos, apoyadas por eficientes equipos de cómputo. Varias de estas nuevas ecuaciones de estado desarrolladas son modificaciones de la ecuación de estado de Van der Waals, teniendo ecuaciones simples desde dos o tres parámetros hasta ecuaciones más complejas de más de 50 parámetros. La complejidad de cualquier ecuación de estado no presenta problema desde el punto de vista computacional. Sin embargo, varios investigadores en ingeniería petrolera prefieren trabajar con la simplicidad encontrada en la ecuación cúbica de estado de Van der W aals con algunas modificaciones para mejorar su precisión. En el inicio, todas las ecuaciones de estado se desarrollaron generalmente para sustancias puras, posteriormente éstas ecuaciones se extendieron para mezclas de fluidos mediante el empleo de reglas de mezclado. Las reglas de mezclado implican simplemente el cálculo de parámetros de la mezcla equivalente a los calculados para las sustancias puras.
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7. 5 Ecuación de estado de Redlich-Kwong (EdE DE RK). En 1948 Redlich y Kwong modificaron el término de fuerzas de atracción (fuerzas de presión 2 a /V /V ) de la ecuación de Van der Waals, lo cual mejora en forma considerable la predicción de las propiedades físicas y volumétricas de la fase gas. Redlich-Kwong sustituyeron el término de fuerzas de atracción de presión, con un término general de dependencia de la temperatura. La ecuación de Redlich-Kwong se expresa como:
a ………...…..................................................................(7.30) p RT ………...…..................................................................(7.30) ( V M b ) RT T 1 / 2V M ( V M b ) en donde T es la temperatura del sistema en °R .
Al desarrollar su ecuación, Redlich-Kwong observaron que conforme el sistema de presión es muy grande, por ejemplo cuando p , el volumen molar de la sustancia, V M M, se encoge casi el 26% de 26% de su volumen crítico, independiente de la temperatura del sistema. Redlich y Kwong encontraron que la ecuación 7.30 satisface la condición siguiente:
b 0.259921 V ………..….................................................................................................(7.31) M C ………..….................................................................................................(7.31) expresando la ecuación de estado de Redlich-Kwong (ecuación 7.30) a las condiciones en el punto crítico,
a …………..................................................................(7.32) p c (V M b) RT c …………..................................................................(7.32) 1/ 2 ( ) T V V b c M M C
C
C
Ahora bien, combinando y resolviendo simultáneamente las ecuaciones 7.10, 7.11 y 7.32 se obtiene,
R 2T c2.5 a a ……….…………............................................................................................(7.33) ……….…………............................................................................................(7.33) pc y,
RT b b c ………..……………............................................................................................(7.34) ………..……………............................................................................................(7.34) pc en donde a y b son constantes e iguales a 0.427481 y 0.427481 y 0.08664, 0.08664, respectivamente. Igualando la ecuación 7.31 con la ecuación 7.34, proporciona:
pcV M C (0.333) RT c .…………...............................................................................................(7.35) …………...............................................................................................(7.35) La ecuación 7.35 muestra que la ecuación de estado de Redlich-Kwong proporciona un factor universal de compresibilidad crítica del gas, z , z , de 0.333 para 0.333 para todas las sustancias. Estudios
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experimentales indican que para diversas sustancias el valor de z c c se encuentra entre 0.23 y 0.31. 0.31. Recordando la expresión para el volumen molar,
V M
zRT ………..…............................................................................................................(7.23) ………..…............................................................................................................(7.23) p
sustituyendo la ecuación 7.23 en la ecuación 7.30 y expresando la ecuación resultante en una ecuación en forma cúbica, se tiene que, ………...….........................................................................(7.36) z 3 z 2 ( A B B 2 ) z AB 0 ………...….........................................................................(7.36) en donde,
A
ap ……….…...........................................................................................................(7.37) ……….…...........................................................................................................(7.37) 2 2.5 R T
y,
B
bp ………..…...............................................................................................................(7.38) ………..…...............................................................................................................(7.38) RT
La ecuación 7.36 proporciona una raíz real para z en en la región de una fase (región de fase líquida o región de fase vapor), y tres raíces reales en la región de dos fases. Para la región de dos fases la raíz de mayor valor corresponde al factor de compresibilidad de de la fase gas, v L z , y la raíz de menor valor corresponde a la de la fase líquida, z .
Ejemplo 7.3.- Cálculo de las densidades de líquido y vapor con la ecuación de RedlichKwong. Empleando la ecuación de estado de Redlich-Kwong repetir el ejemplo 7.2. Solución. Etapa 1. Calculando 1. Calculando los parámetros a , b, A y A y B.
a a
R 2T c2.5 pc
……................................................................................................................(7.33) ……................................................................................................................(7.33)
Sustituyendo valores, 2
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (666 R) 2.5 0.5 lbm mol R (lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 R a (0.42747) 914,450.86 (616.3 lb / pg 2 abs) (lbm mol ) 2
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para b, se tiene:
b b
RT c pc
...………………… ...…………………..............................................................................................(7.34) ..............................................................................................(7.34)
Sustituyendo valores, 2 3 lb / pg abs ft 10.732 (666 R) lbm mol R lbm 1.0048 3 b (0.08664) 2
(616.3 lb / pg abs)
ft
Luego,
A
ap R 2T 2.5
..… ..….....................................................................................................................(7.37)
sustituyendo valores, 0.5 (lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 R 914,450.863 (185 lb / pg 2 abs) 2 (lbm lbm mol ) A 0.19793 2 2 3 lb / pg abs ft 10.732 (560 o R) 2.5 lbm lbm mol R
y para B,
B
bp RT
…............................................................................................................................(7.38)
sustituyendo valores,
lbm 1.0048 3 (185 lb / pg 2 abs) ft B 0.03093 lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (560 o R) lbm mol R
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Etapa 2. Sustituyendo 2. Sustituyendo los valores calculados de A y A y B en la ecuación 7.36, se obtiene, z 3
z 2
0.16604 z 0.00612
0
Etapa 3. 3. Resolviendo el polinomio de tercer grado de la ecuación 7.36 y, obteniendo los valores mayor y menor se tiene: v
z =0.80263 y, L
z =0.05271 Etapa 4. Calculando 4. Calculando las densidades de las fases vapor y líquido con las ecuaciones 7.28 y 7.29 respectivamente,
Para la fase vapor se tiene,
v
pM C 3 v
z RT RT
(185 lb / pg 2 abs)(44 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg abs ft (560 o R) (0.80263)10.732 lbm lbm mol R 2
3
1.687
lbm lbm ft 3
y para la fase líquida,
L
pM C 3 L
z RT RT
185 lb / pg abs44 lbm lbm / lbm lbm mol 2
lb / pg 2 abs ft 3 (560 o R) (0.05271)10.732 lbm lbm mol R
25.696
lbm lbm ft 3
7.5.1 Reglas de mezclado para la ecuación de estado de RedlichKwong. Para mezclas de hidrocarburos líquidos o gaseosos, Redlich y Kwong extendieron la aplicación de su ecuación de estado empleando reglas de mezclado. Para una mezcla de hidrocarburo líquido, se tiene: 2
n j a j0.5 ………..……….........................................................................................(7.39) ………..……….........................................................................................(7.39) a m x j 1 ˆ
ˆ
ˆ
y,
n ………….....................................................................................................(7.40) bm x j b j ………….....................................................................................................(7.40) j 1 ˆ
ˆ
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
en donde n es el número de componentes en la mezcla, a ĵ es el parámetro a de la ecuación de Redlich – Redlich – Kwong Kwong para el componente ĵ calculado calculado con la ecuación 7.33, b ĵ es el parámetro el parámetro b de la ecuación de Redlich – Redlich –Kwong Kwong para el componente ĵ calculado calculado con la ecuación 7.34, am es el parámetro a de la mezcla, bm es el parámetro b de la mezcla y x ĵ es la fracción mol del componente ĵ en en la mezcla líquida en fracción mol. Ahora bien, las reglas reglas de mezclado mezclado para una mezcla de vapores hidrocarburos son, 2
n j a j0.5 ……….......................................................................................................(7.41) ……….......................................................................................................(7.41) am y j 1 ˆ
ˆ
ˆ
y
n ………...........................................................................................................(7.42) bm y j b j ………...........................................................................................................(7.42) j 1 ˆ
ˆ
ˆ
en donde y ĵ es la fracción mol del componente ĵ en en la mezcla gaseosa en fracción f racción mol.
Los factores de compresibilidad de la fase gaseosa (vapor) o de la fase líquida se calculan con los coeficientes A y B definidos por las ecuaciones siguientes, 7.43 y 7.44, respectivamente; y con el empleo de la ecuación cúbica de estado representado por la ecuación 7.36, es decir:
A
am p ………................................................................................................................(7.43) ………................................................................................................................(7.43) R 2T 2.5
y,
B
bm p RT
...……………. ...……………..........................................................................................................(7.44) .........................................................................................................(7.44)
Ejemplo 7.4.- Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong. Calcular la densidad de un hidrocarburo líquido cuya composición se proporciona en la Tabla 7.1 y que se encuentra a 4,000 lb/pg 2 abs y abs y 160 °F. Emplear °F. Emplear la ecuación de estado de RedlichKwong.
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Tab la 7.1.- Composición del componente líquido de la mezcla de hidrocarburos para el ejemplo 7.4.
Componente
x j (fracción (fra cción m ol)
Metano, C 1H 4
0.45
Etano, C 2 2H 6 6
0.05
Propano, C 3H 8 8
0.05
n-Butano, nC 4H 10 10
0.03
Pentano, C 5 5H 12 12
0.01
Hexano, C 6 6H 14 14
0.01
+ Heptano, C 7 7H 16 16
0.40
+ Peso molecular del C 7 7H 16 16 =215 lbm/lbm-mol + 2 pc del C 7 7H 16 16 = 285 lb/pg abs. + T c c del C 7 7 H 16 16 = 825 °R .
Solución . Etapa 1. 1. Calculando los parámetros a ĵ y b ĵ para cada componente con el empleo de las ecuaciones 7.33 y 7.34, respectivamente. Parámetros a y b Parámetros b para el ejemplo 7.4 T a b l a 7 . 2 ..-
Componente
x j p cj (fracción (lb/pg 2 abs) mol)
T cjcj (° R)
a j
b j
0.5
x j a j
x j b j
Metano, C 1H 4
0.45
666.4
343.33
161,505.800
0.479
180.845
0.2156
Etano, C 2 2H 6
0.05
706.5
549.93
494,652.368 494,652.3 68
0.724
35.166
0.0362
Propano, C 3H 8
0.05
616
666.06
915,896.499 915,896.4 99
1.005
47.851
0.0503
n-Butano, nC 4H 10 10
0.03
550.6
765.60
1,451,484.270 1,451,48 4.270
1.293
36.143
0.0388
Pentano, C 5 5H 12 12
0.01
490.4
829.10
1,988,889.042 1,988,88 9.042
1.572
14.103
0.0157
Hexano, C 6 6H 14 14
0.01
436.9
914.60
2,853,249.019 2,853,24 9.019
1.946
16.892
0.0195
Heptano, C 7 7H 16+ 16+
0.4
285
825.00
3,380,132.619 3,380,13 2.619
2.692
735.405
1.0766
Total:
1,066.41
1.4526
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Etapa 2. 2. Calculando los parámetros de mezclado am y bm con las ecuaciones 7.39 y 7.40, respectivamente. 2
0.5 7 (lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 R 0.5 am x j a j 1,137,219.926 (lbm mol ) 2 j 1 ˆ
ˆ
ˆ
y,
n lbm lbm bm x j b j 1 .4526 3 ft j 1 ˆ
ˆ
ˆ
Etapa 3. 3. Calculando los coeficientes A y B empleando las ecuaciones 7.43 y 7.44, respectivamente,
(lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 R 0.5 1,137,219.926 (4,000 lb / pg 2 abs) 2 (lbm lbm mol ) a p A 2m 2.5 4.126 2 2 3 R T lb / pg abs ft 10.732 (620 o R) 2.5 lbm lbm mol R
y,
lbm lbm 1.4526 3 (4,000 lb / pg 2 abs) ft b p 0.87326 B m 2 3 RT RT lb / pg abs ft o 10.732 (620 R) lbm lb m mol R
Etapa 4. Resolviendo 4. Resolviendo la ecuación 7.32 para encontrar la raíz con el menor valor,
z 3 z 2 ( A B B 2 ) z AB 0 ..........................................................................................(7.36) Sustituyendo valores se obtiene, z 3 z 2 2.4901z 3.6001
Luego, resolviendo para encontrar la raíz con el menor valor, L
z = 1.27134
Etapa 5. Calculando 5. Calculando el peso molecular aparente de la m ezcla líquida se tiene, M =100.2547 lbm/lbm-mol
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Etapa 6. Calculando 6. Calculando la densidad de la fase líquida con la ecuación 7.45, considerando el peso molecular aparente de la mezcla,
L
pM a z L RT
..........................................................................................................................(7.45)
es decir,
L
pM a z L RT
4 ,000 lb / pg abs 100.2547 lbm / lbm mol 47.405 lbm 2
lb / pg 2 abs ft 3 ( 620 o R ) ( 1.27134 )10.732 lbm mol R
ft 3
La densidad del líquido al emplear la correlación de Standing y Katz proporciona un valor de 3 46.23 lbm/ft .
Ejemplo 7.5.- Cálculo de la densidad del gas de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong. Empleando la ecuación de estado de Redlich-Kwong calcular la densidad de una mezcla de 2 gases a 4,000 lb/pg abs y abs y 160°F . La composición de la mezcla de gases se proporciona en la tabla 7.3. Tabl a 7.3.7.3.- Composición de los componentes gaseosos de la mezcla de hidrocarburos para el ejemplo 7.5
Componente
y j (fracción mol)
Metano, C 1H 4
0.86
Propano, C 2 2 H 6 6
0.05
Etano, C 3H 8 8
0.05
n-Butano, nC 4H 10 10
0.02
Pentano, C 5 5H 12 12
0.01
Hexano, C 6 6 H 14 14
0.005
+ Heptano, C 7 7 H 16 16
0.005
+ Peso molecular del C 7 7 H 16 16 =215 lbm/lbm-mol + 2 pc del C 7 7 H 16 16 = 285 lb/pg abs. + T c c del C 7 7H 16 16 = 825 °R .
Solución. Etapa 1. Obteniendo 1. Obteniendo el peso molecular, la presión y temperatura crítica y los parámetros a ĵ y b ĵ para cada componente de la mezcla. (Tabla 7. 4)
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
T a b l a 7 . 4 ..- Datos para cada componente de la mezcla del ejemplo 7.5.
Componente
x j (fracción (fra cción m ol)
p c j (lb/pg 2 abs)
T cjcj (° R)
a j
b j
Metano, C 1H 4
0.86
666.40
343.33
161,365.75
0.47904452
Etano, C 2 2H 6
0.05
706.50
549.93
494,214.45
0.72375436
Propano, C 3H 8
0.05
616.00
666.06
915,102.28
1.00538349
n-Butano, nC 4H 10 10
0.02
550.60
765.60
1,450,225.62 1,450,22 5.62
1.29289967
Pentano, C 5 5H 12 12
0.01
490.40
829.10
1,987,164.39 1,987,16 4.39
1.57201093
Hexano, C 6 6H 14 14
0.005
436.90
914.60
2,850,774.84 2,850,77 4.84
1.94647244
Heptano, C 7 7H 16+ 16+
0.005
285.00
825.00
3,377,201.55 3,377,20 1.55
2.69158560
Etapa 2. 2. Calculando los parámetros de mezclado am y bm con las ecuaciones 7.39 y 7.40, respectivamente, 2
0.5 7 (lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 R 0.5 am x j a j 234,506.00 (lbm mol ) 2 j 1 ˆ
ˆ
ˆ
y,
bm
7
x b
j 1 ˆ
j j ˆ
ˆ
lbm lbm . 0 563204 ft 3
Etapa 3. 3. Calculando los coeficientes A y B empleando las ecuaciones 7.43 y 7.44, respectivamente:
(lb / pg 2 abs) ( ft 3 ) 2 R 0.5 234,506.00 (4,000 lb / pg 2 abs) 2 (lbm lbm mol ) a p A 2m 2.5 0.85089 2 2 3 R T lb / pg abs ft 10.732 (620 o R) 2.5 lbm lbm mol R
y,
lbm lbm 0.563204 3 (4,000 lb / pg 2 abs) ft b p B m 0.33857 2 3 RT RT lb / pg abs ft 10.732 (620 o R) lbm lbm mol R
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Etapa 4. Resolviendo 4. Resolviendo la ecuación 7.36 para encontrar la raíz con el mayor valor,
z 3 z 2 ( A B B 2 ) z AB 0 .…............................................................... …......................................................................................(7.36) .......................(7.36) Sustituyendo valores, se obtiene, z 3 z 2 0.39769z 0.28809
luego entonces, la raíz con el mayor valor es: v
z = 0.91068 Etapa 5. Calculando 5. Calculando la densidad de la mezcla m ezcla de gases con la ecuación 7.46, y considerando el peso molecular de la mezcla,
v
pM a z v RT
.…......................................................................................................................(7.46) …......................................................................................................................(7.46)
es decir,
v
pM a v
z RT RT
(4,000 lb / pg 2 abs)(20.89 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (620 o R) (0.91068)10.732 lbm lbm mol R
13.789
lbm lbm ft 3
7 . 6 E c u a c i ó n d e e s t a d o d e S o a v e - R e d l i c h - K w o n g ( E d E d e S R K ) . Recordando la ecuación de Redlich-Kwong se tiene: t iene:
a (V M b) RT ……….........................................................................(7.30) ……….........................................................................(7.30) p 1 / 2 T V M (V M b) Soave en 1972 realizó una modificación en la evaluación del parámetro a en las presiones de 1/2 atracción de la ecuación de Redlich-Kwong. Soave reemplazo el término de a/T con un término dependiente de la temperatura, aT , es decir,
aT ……….................................................................................(7.47) p RT ……….................................................................................(7.47) (V M b) RT ( ) V V b M M en donde la ecuación para aT es dada por, aT ac …………...............................................................................................................(7.48) …………...............................................................................................................(7.48) siendo un un término adimensional y dependiente de la temperatura. Cuando la temperatura del sistema es igual a la temperatura crítica ( T=T c), tiene tiene el valor de una unidad y ac es el valor de aT a la T c.
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
La modificación realizada a la ecuación 7.30 por Soave, originó la ecuación de estado de Soave-Redlich-Kwong, SRK , expresada por la ecuación 7.47. A temperatura diferente a la temperatura crítica, el parámetro se se define por:
1 m1 T r 1 / 2 …….….................................................................................................(7.49) …….….................................................................................................(7.49) 2
en donde el parámetro m se correlaciona con el factor f actor acéntrico de Pitzer, , como: 0.176 2 ……….………........................................................................(7.50) ……….………........................................................................(7.50) m 0.480 1.574 siendo el factor acéntrico de Pitzer, , definido a una T r r de 0.7, como:
(log pvr 1) ………..……..............................................................................................(7.51) ………..……..............................................................................................(7.51) en donde p donde pvr es la presión de vapor reducida evaluada a una T r r de 0.7 . El factor acéntrico de Pitzer, , es un valor constante para cada sustancia pura. La tabla A-1 en el Apéndice A presenta los valores valores del factor acéntrico de Pitzer Pitzer para diferentes sustancias. sustancias. Para cualquier sustancia pura, las constantes aT y b de las ecuaciones 7.47 y 7.48 se calculan empleando las clásicas restricciones impuestas por Van der Waals en el punto crítico (ecuaciones 7.10 y 7.11) a la ecuación 7.47, es decir,
p ………..............................................................................................................(7.10) 0 ………..............................................................................................................(7.10) V M T c
y,
2 p ………..……….................................................................................................(7.11) 2 0 ………..……….................................................................................................(7.11) V M T c
se puede demostrar que obteniendo de la ecuación 7.47 la primera y segunda derivada respecto al volumen molar en el punto crítico, e igualando ambas ecuaciones obtenidas de acuerdo a las ecuaciones 7.10 y 7.11 y resolviendo simultáneamente para los parámetros ac y b se obtiene,
R 2T c2 ac a ………...……….............................................................................................(7.52) ………...……….............................................................................................(7.52) pc y,
RT b b c ……………….....................................................................................................(7.53) ……………….....................................................................................................(7.53) pc en donde a y b son los parámetros de las sustancias puras adimensionales de la ecuación de Soave-Redlich-Kwong, SRK , siendo éstas igual a 0.42748 y 0.08664, 0.08664, respectivamente. Las unidades de ac y b dependen de las unidades seleccionadas para la constante universal de los gases reales, R
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En 1984 Edmister y Lee demostraron que los dos parámetros ac y b se pueden calcular a través de un mejor método. Para la isoterma crítica, se obtiene, 3 3 2 2 3 (V M 3V ………..........................................................(7.54) M V M c ) V M 3V M cV M cV M V M c 0 ………..........................................................(7.54)
luego, expresando la ecuación 7.47 en forma cúbica, se tiene,
RT aT b RT 2 aT bRT bRT 3 2 V V b V ………..…..................................................(7.55) M M p 0 ………..…..................................................(7.55) M p p p
en el punto crítico las ecuaciones 7.54 y 7.55 son idénticas y es es igual a la unidad ( at =ac). Igualando las ecuaciones 7.54 y 7.55 se tiene,
3V M c
RT c pc
………..……………............................................................................................(7.56) ………..……………............................................................................................(7.56)
y, 2 3V M c
aT pc
bRT bRT c
pc
b2 ………...............................................................................................(7.57) ………...............................................................................................(7.57)
y,
V M 3 c
aT b pc
………..................................................................................................................(7.58) ………..................................................................................................................(7.58)
Resolviendo las ecuaciones anteriores para los parámetros ac y b se obtienen las ecuaciones 7.52 y 7.53. A partir de la ecuación 7.56 se obtiene que la ecuación de estado de SoaveRedlich-Kwong, SRK , proporciona un factor de compresibilidad crítico universal de gas de 0.333. 0.333. Combinando la ecuación 7.53 con la ecuación 7.56 se obtiene,
b 0.259921 V M ……….......................................................................................................(7.59) ……….......................................................................................................(7.59) Introduciendo el factor z dentro dentro de la ecuación 7.55 al reemplazar el volumen molar, V M , en la ecuación con (zRT/p ( zRT/p)) y arreglando, z 3 z 2 ( A B B 2 ) z AB 0 ………................................................................................(7.36) ………................................................................................(7.36)
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
en donde, aT p ………….............................................................................................................(7.60) ………….............................................................................................................(7.60) ( RT ) 2
A y,
bp B ……………..............................................................................................................(7.61) ……………..............................................................................................................(7.61) RT 2
en donde p donde p es es la presión del sistema en lb/pg abs, abs, T es es la temperatura del sistema en °R , y R 2 3 o es la constante universal de los gases e igual a 10.732 (lb/pg abs-ft /lbm-mol- R). R).
Ejemplo 7.6.- Cálculo de las densidades de las dos fases de una sustancia pura con la ecuación de Soave-Redlich-Kwong, S RK . Empleando la ecuación de Soave-Redlich-Kwong, SRK , calcular la densidad de las fases vapor y líquido para el propano a las condiciones del ejemplo 7.2. Solución . Etapa 1. Localizando 1. Localizando la p la pc , T c a partir de la tabla A-1 del Apéndice A. Se obtienen para el c y a 2 propano: p propano: pc =616 lb/pg 616 lb/pg abs, abs, T c 666.06 °R y =0.1522. c =666.06 °R Etapa 2. Calculando 2. Calculando la T r r, se tiene: T r
T T c
560 R 666.06 R
0.8407
Etapa 3. Calculando 3. Calculando el parámetro m aplicando la ecuación 7.50,
m 0.480 480 1.574 574( 0.1522 ) 0.176 176 ( 0.1522 ) 0.71549 2
Etapa 4. Calculando 4. Calculando el parámetro con con la ecuación 7.49,
1 0.71549 1 0.8407
1 / 2
2
1.12245
Etapa 5. Calculando 5. Calculando los coeficientes aT y b con las ecuaciones 7.52 y 7.53, se obtiene: 2
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 666.06 R 2 o 2 2 lbm lbm mol R R T c lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 0.42748 35,441.465 ac a 2 616.3 lb / pg 2 abs pc lbm lbm mol
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luego,
lb / pg 2 abs abs ( ft 3 )2 lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 aT ac 35441.465 2 2 1.12245 39781.272 lbm lbm lbm mol lbm mol y, 2 3 lb / pg abs ft 10.732 666.06 R o lbm lb m mol R RT RT c b b 0.08664 1.00471 2
pc
616.3 lb / pg abs
ft 3 lbm-mol
Etapa 6. Calculando 6. Calculando los coeficientes A coeficientes A y y B con las ecuaciones 7.60 y 7.61,
lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 39781.272 185 lb / pg 2 abs 2 lbm mol a p A T 2 0.20376 2 2 3 ( RT ) lb / pg abs ft R 10 . 732 520 o lbm mol R ft 3 1.00471 185 lb / pg 2 abs lbm-mol bp 0.03331 B 2 3 RT lb / pg abs ft 10.732 520.0 R o lbm lb m mol R
v
L
Etapa 7. Resolviendo 7. Resolviendo la ecuación 7.36 para z y z ,
z 3 z 2 ( A B B2 ) z AB 0 .….......................................................................................(7.36) sustituyendo valores, se llega a: z 3 z 2 0.16934z 0.00679
Luego, las raíces son: v
z =0.79859
y L
z =0.06018
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Etapa 8. 8. Calculando las densidades de las fases vapor y líquido con las ecuaciones 7.28 y 7.29, respectivamente: Para la fase vapor se tiene,
v
pM C 3 V
z RT RT
(185 lb / pg 2 abs)(44 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs abs ft 3 (560 o R) (0.79859)10.732 o lbm lbm mol R
1.69602
lbm lbm
22.506
lbm lbm
ft 3
y para la fase líquida, finalmente:
L
pM C 3 L
z RT RT
(185 lb / pg 2 abs)(44 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg abs ft (560 o R) (0.06018)10.732 o lbm lbm mol R 2
3
ft 3
7.7 Ecuación de estado de peng-robinson (ede de pr). Peng y Robinson, PR , en 1975 realizaron un exhaustivo estudio para evaluar el uso de la ecuación de estado de Soave-Redlich-Kwong, SRK , y predecir el comportamiento de los hidrocarburos. Peng y Robinson, PR , mejoraron la ecuación de estado de SRK para para predecir las densidades de líquidos y otras propiedades físicas, principalmente en la vecindad de la región crítica (por ejemplo, muy apropiado para los f luidos petroleros en yacimientos cercanos al punto crítico). Ellos propusieron un ligero cambio en el término de atracción molecular de la ecuación 7.30, es decir,
aT …………...........................................................(7.62) p RT …………...........................................................(7.62) (V M b) RT ( ) ( ) V V b b V b M M M en donde el término aT es dependiente de la temperatura tal como en la ecuación de estado de SRK . Sin embargo, manifiestan que aT
no presenta presenta los mismos valores valores en ambas
ecuaciones de estado. Los coeficientes ac y b se calculan como,
R 2T c2 ac a ……….………................................................................................................(7.52) ……….………................................................................................................(7.52) pc y,
RT b b c ………................................................................................................................(7.53) ………................................................................................................................(7.53) pc en donde a y b son los parámetros de las sustancias puras adimensionales de la ecuación de Peng-Robinson, PR , siendo éstas igual a 0.457234 y 0.077796 , respectivamente. La ecuación para a se expresa como: aT ac ………...………......................................................................................................(7.48) ………...………......................................................................................................(7.48)
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
para el parámetro dependiente dependiente de la temperatura se tiene,
1 / 2 1 m (1 T r 0.5 ) ………..................................................................................................(7.49) ………..................................................................................................(7.49) siendo el parámetro m definido por, ω- 0.26992ω2 ……….……...................................................................(7.63) ……….……...................................................................(7.63) m 0.37464 1.54226 esta última expresión para m fue expandida en 1978 por algunos investigadores dando, ………......................................................(7.64) m 0.379642 1.48503ω- 0.1644ω 2 0.016667 3 ………......................................................(7.64) rearreglando la ecuación 7.62 en la forma del factor de compresibilidad, 2 z 3 ( B 1) z 2 ( A 2 B 3 B AB B2 B3 ) 0 ………..................................................(7.65) ) z ( AB ………..................................................(7.65)
en donde A donde A y y B se dan para componentes puros mediante: A
aT p ………….…….....................................................................................................(7.60) ………….…….....................................................................................................(7.60) ( RT ) 2
y
bp B ……….....................................................................................................................(7.61) ……….....................................................................................................................(7.61) RT
7.8 Reglas de mezclado para las ecuaciones de estado de SoaveR e d l i c h - K w o n g , S R K K y P e n g - R o b i n s o n , P R R .. Las reglas de mezclado siguientes se recomiendan para emplearse con las ecuaciones de estado de Soave-Redlich-Kwong, SRK , y de Peng-Robinson, PR , es decir:
aT
x x (a i j
ˆ
1 2 a ) ( 1 δ i j ) ………..............................................................................(7.66) ………..............................................................................(7.66) /
Ti T j
ˆ
ˆ
para la fase líquida, y
aT
y y (a i
ˆ
j
ˆ
1 2 aT j ) ( 1 δij ) ………….........................................................................(7.67) ………….........................................................................(7.67) /
T i
ˆ
ˆ
para la fase vapor, en donde 1 2 aT i j ( 1 δi j )(a Ti aT j ) ………….….......................................................................................(7.68) ………….….......................................................................................(7.68) /
ˆˆ
ˆ
ˆ
siendo, para la fase líquida, b
………..….........................................................................................................(7.69) ( x b ) ………..….........................................................................................................(7.69) j
ˆ
j
ˆ
y para la fase vapor,
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
b
…………..........................................................................................................(7.70) ( y b ) …………..........................................................................................................(7.70) j
ˆ
j
ˆ
El término îĵ îĵ representa los coeficientes de interacción binarios y se consideran independientes de la presión y temperatura. Estos coeficientes implican una corrección determinada empíricamente y caracterizan un sistema de dos componentes formado por el componente î y el componente ĵ en la mezcla de hidrocarburos. Los valores de los coeficientes îĵ îĵ se obtienen ajustando la ecuación de estado a partir de datos de equilibrio líquido-vapor para cada mezcla binaria. Los coeficientes de interacción binaria tienen valores diferentes para cada par binario y toman diferentes valores para cada ecuación de estado. Los coeficientes îĵ îĵ se emplean para modelar la interacción molecular a través de ajustes empíricos del término aT (ecuaciones 7.66 y 7.67). Los coeficientes îĵ îĵ dependen de la diferencia en el tamaño molecular de los componentes en un sistema binario y se caracterizan por las propiedades siguientes dadas por Slot-Peterson en 1987: 1. La interacción entre componentes componentes hidrocarburos hidrocarburos se incrementa en función de la diferencia relativa entre el incremento de sus pesos moleculares, es decir î,ĵ+1 î,ĵ+1> îĵ îĵ . 2. Los componentes componentes hidrocarburos hidrocarburos con el mismo peso molecular tienen un coeficiente de interacción binario nulo, es decir îĵ îĵ =0. 3. La matriz de coeficientes coeficientes de interacción binaria es simétrica, es decir î,ĵ î,ĵ = ĵ ,i ,i . Ejemplo 7.7.- Cálculo de las densidades de las dos fases de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Soave-Redlich-Kwong, S RK . Una mezcla de hidrocarburos cuya composición se muestra en la tabla 7.5 existe en equilibrio 2 en dos fases a 4,000 lb/pg abs y abs y 160 °F . Calcular las densidades de las fases vapor y líquido empleando la ecuación de Soave-Redlich-Kwong, SRK . Considerar que no existe interacción binaria entre los componentes de la mezcla.
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Fracciones mol del líquido y gas para cada componente del ejemplo 7.7. Fracciones T a b l a 7 . 5 ..-
Componente
x j (fracción (fra cción mo l líq u id o )
y j (fracción (fra cción mo l vapor)
Metano, C 1H 4
0.45
0.86
Etano, C 2 2H 6 6
0.05
0.05
Propano, C 3H 8 8
0.05
0.05
n-Butano, nC 4H 10 10
0.03
0.02
n-Pentano, nC 5 5 H 12 12
0.01
0.01
n-Hexano, nC 6 6H 14 14
0.01
0.005
Heptano, C 7 7H 16+ 16+
0.40
0.005
+ Peso molecular del C 7 7H 16 16 = 215 lbm/lbm-mol + 2 pc del C 7 7H 16 16 = 285 lb/pg abs, + Tc del C 7 7H 16 16 = 700 °R y = 0.52
Solución. Etapa 1. Se 1. Se calculan los parámetros (ecuación (ecuación 7.49), ac (ecuación 7.52) y b (ecuación 7.53) T a b l a 7 . 6 ..- Datos para cada componente de la mezcla del ejemplo 7.7.
Componente
a c
a titi
b i
Metano, C 1H 4
0.6878
8,708.74
5,990.22
0.4790
Etano, C 2 2H 6
0.9234
21,074.79
19,460.58 19,460.58
0.7238
Propano, C 3H 8
1.0510
35,457.90
37,264.63 37,264.63
1.0054
n-Butano, nC 4H 10 10
1.1636
52,415.21
60,990.89 60,990.89
1.2929
n-Pentano, nC 5 5H 12 12
1.2638
71,821.07
90,770.04 90,770.04
1.6037
n-Hexano, nC 6 6H 14 14
1.3564
94,058.30
127,576.63
1.9443
Heptano, C 7 7H 16+ 16+
1.7844
232,454.57
414,799.03
3.7845
Etapa 2. Se 2. Se obtienen los parámetros de mezclado: para la fase líquida aT i j (ecuación 7.68) y ˆˆ
b (ecuación 7.69), se obtiene,
lb / pg abs ft =104,373.9 2
aT i j
ˆˆ
2 lbm mol lbm
y
b=1.8901
ft 3 lbm mol
6
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Para la fase vapor se calcula aT i j y b, y se obtiene, ˆˆ
lb / pg abs ft =9,244.11 2
aT i j
ˆˆ
6
lbm mol 2
y
ft 3 b=0.56897 lbm mol Etapa 3. 3. Se calculan los coeficientes A y A y B para cada fase. Para la fase líquida, 2 3 2 lb pg abs ft 4,000 lb / pg 2 abs2 / 104,373.9 2 lbm lbm mol aT i j p A 9.4298 2 2 2 3 (RT) lb / pg abs ft 10.732 560 R2 o lbm lbm mol R ˆˆ
y
ft 3 1.8901 (4,000 lb / pg 2 abs) lbm mol bp B 1.136 2 3 RT RT lb / pg abs ft 10.732 (620 o R) o lbm mol R
Para la fase vapor (gas). 2 2 3 4,000 lb / pg 2 abs 2 lb pg abs ft / 9244.11 lbm mol 2 aT i j p A 0.8352 2 2 3 (RT)2 lb / pg abs ft 2 10.732 R 620 lbm mol o R ˆˆ
y
ft 3 0.56897 (4,000 lb / pg 2 abs) lbm mol bp B 0.3420 RT lb / pg 2 abs ft 3 o 10.732 (620 R) o lbm mol R
Dr. Jorge Arévalo Villagrán L
Etapa 4. Con 4. Con la ecuación 7.65 se obtiene el valor de z , 3 2 2 z z (9.4298 1.136 1.136 ) z (9.4298 x1.136) 0
reduciendo términos, se obtiene, z 3 z 2 7.0033 z 10.71225
es decir, L
z =1.41221 v
Etapa 5. Con 5. Con la ecuación 7.65 se obtiene el valor de z ,
z 3 z 2 ( 0.8352 0.3420 0.3420 2 ) z ( 0.8352 x0.3420 ) 0 reduciendo términos, se obtiene z 3 z 2 0.37624 z 0.28564
es decir, v
z =0.92663 Etapa 6. Luego, 6. Luego, se calcula el peso molecular aparente del líquido y del vapor a partir de la composición de la mezcla. Para la fase líquida, se tiene: M a= 100.25 lbm/lbm-mol y para la fase vapor, M a = 20.89 lbm/lbm-mol
Etapa 7. 7. Finalmente, se calcula la densidad de cada fase, con las ecuaciones 7.45 para la fase líquida y 7.46 para la fase vapor, para la fase líquida,
pM a
L
L
z RT RT
(4,000 lb / pg 2 abs)(100.25 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (620 o R) (1.41221)10.732 o lbm lbm mol R
42.67492
lbm lbm
13.55251
lbm lbm
ft 3
y para la fase vapor,
v
pM a v
z RT RT
(4,000 lb / pg 2 abs)(20.89 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (620 o R) (0.92663)10.732 o lbm lbm mol R
ft 3
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 7.1.- Derivar la ecuación 7.6 a partir de la ecuación 7.5. Solución. La ecuación 7.6 describe la ecuación …., y …., y se representa por:
p
RT RT
a 2 ………..………………………………………………………... ………..………………………………………………………...………………...( ………………...(7.5) 7.5) V M b V M
Sumando en ambos lados de la ecuación 7.5 el término a 2
V M
p
a V M 2
, se obtiene,
RT RT V M b
Multiplicando por V M
b la ecuación anterior se tiene:
a p 2 V M b RT ……….………………………..…………………………………………..(7.6) ……….………………………..…………………………………………..(7.6) V M que representa la ecuación de estado de Van der Waals 7.6
Ejemplo 7.2.- Derivar las ecuaciones 7.14 y 7.15 a partir de la ecuación 7.6 en el ejercicio 7.1.
9 a V M C T c R ……….………….……………………..………………… ……….………….……………………..…………………... ...………………… …………………....(7.14) ....(7.14) 8 1 b V M C ……….…….……………………………..……………… ……….…….……………………………..………………... ...………………...……..( ………………...……..(7.15) 7.15) 3 Desarrollando la primera y segunda derivada de la ecuación 7.6 del ejercicio 7.1 a temperatura crítica constante en el punto crítico,
a pc 2 V Mc b RT c V Mc
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Despejando la p c, pc
RT c
V Mc b
a 2
V Mc Luego, obteniendo la primera y segunda derivada de la ecuación anterior,
dp 2a RT c RT c 2 a 1ª derivada= V M b2 V M 3 V M b2 V M 3 dV M T C
C
C
C
C
y,
d 2 P 2 RT c 23a 2 RT c 6a 2ª derivada= 2 4 V M V M b3 V M b 3 V M 4 dV M T C
C
C
C
C
Como en el punto crítico la pendiente de la línea recta es horizontal e igual a cero, se igualan las expresiones para la primera y segunda derivada, es decir:
2a 3 V M C
RT RT c
V
b
2
M C
0
y
RT c 2 RT
V
b
3
M C
6a 4
V M C
0
Resolviendo para a de la ecuación de la primera derivada:
V M 3 a 2 V M b 2 RT RT c
C
C
Sustituyendo a en la ecuación de la segunda derivada: derivada:
6
V M 3 4 3 2 V M b V M V M b 2 RT c 2 RT
C
C
RT RT c
C
C
y
2 RT c
V
M C
b
3
3 RT c
V M C V M C b
2
0
0
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Reacomodando Reacomodando términos se llega a:
2 RT RT cV M C 3 RT RT c V M C b
V M C V M C b
3
0
2 RT RT cV M C 3 RT RT c V M C b 0 2 RT RT cV M C 3 RT RT c V M C b 2V M C 3 V M C b 2 3
V M C V M C b 1
V M b 3
C
luego,
1
V M b 3
C
V M 3 Sustituyendo b en la ecuación a 2 V M b 2 RT RT c C
V M 3 a 2 1 2 V V M M 3 RT c
C
C
C
C
y,
V M 3 a 2 4 V M 9 RT c
C
9 RT cV M 8
C
C
por lo que queda demostrado que :
1 b V M C ……………..……….……………………..…………… ...………………………....( 7.14) ……………..……….……………………..……………... ………………………....(7.14) 3
9 a V M C T c R ……….…….…………………………..…………………………... ……….…….…………………………..…………………………...……...……..( ……...……..(7.15) 7.15) 8
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2
Ejercicio 7.3.- Derivar las ecuaciones a
2
27 R T c 64 pc
y b
RT c 8 pc
a partir de las ecuaciones
7.12, 7.13 y 7.16 de la ecuación de estado de Van der Waals en el punto crítico.
p 2a RT c ……….…………..............................................................(7.12) 3 0 ……….…………..............................................................(7.12) 2 V V V b M M T M C
C
C
y,
2 P 2 RT c 6a ………….............................................................................(7.13) 2 4 0 ………….............................................................................(7.13) 3 V V V b M M T M C
C
C
y,
pc a V M b RT c ………..…..................................................................................(7.16) ………..…..................................................................................(7.16) 2 V M C
C
Solución. De la ecuación 7.12 y 7.13 se obtuvieron los términos de a y b correspondientes a las ecuaciones 7.14 y 7.15 (ejercicio 7.1), es decir:
9 a V M C T c R ………........................................................................................................(7.14) ………........................................................................................................(7.14) 8 y,
1 b V M C ……….……......................................................................................................(7.15) ……….……......................................................................................................(7.15) 3 Sustituyendo los valores de a y b en la ecuación 7.16, se tiene:
9 RT cV M 8 p c V M 2
C
C
1 V M V M RT c 3 C
y,
RT c 3 RT c pc 9 RT V 8 2V M M C
C
C
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Despejando la p la pc pc
3 RT c 2V M C
RT c 9 RT
8 V M C
RT c 3 RT
8 V M C
Despejando V Mc sustituyéndolo en las ecuaciones 7.14 y 7.15, 7.15, se tiene: Mc y sustituyéndolo
V M C
3 RT c 8 pc
2 RT c 27 R 2T c 3 RT 9 ………..……........................................................................(7.17) ………..……........................................................................(7.17) a T c R 8 8 64 p p c c
y, RT c 1 RT c 1 3 RT ……….……...................................................................................(7.18) ……….……...................................................................................(7.18) b 3 8 pc 8 pc
Ejercicio 7.4.- 7.4.- Calcular la z c de 0.375 combinando las ecuaciones 7.14, 7.15 y 7.16 de la ecuación de estado de Van der Waals.
9 a V ………..........................................................................................................(7.14) M T c R ………..........................................................................................................(7.14) 8 C
1 b V M C ………..…..........................................................................................................(7.15) ………..…..........................................................................................................(7.15) 3 pc a V M b RT c ………........................................................................................(7.16) ………........................................................................................(7.16) 2 V M C
C
Despejando la p la pc de la ecuación 7.16 pc
RT c
a 2 ………..……….....................................................................................(7.71) ………..……….....................................................................................(7.71) V M C b V M C
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y sustituyendo las ecuaciones 7.14 y 7.15 en la ecuación 7.16; se obtiene:
pc
RT c
C
1 V M V M 3 C
9 V M T c R 8 2 V M C
C
y,
3 RT RT c 9 RT c 3 RT c 2 V M 8 V M 8 V M
pc
C
C
C
por lo que la presión evaluada en el punto crítico es:
a pcV M C 0.375 375RT c pc 2 V M b RT c ………...........................................................(7.19) ………...........................................................(7.19) V M C
C
Ejercicio 7.5.- En una celda cilíndrica cerrada se encuentra butano normal puro a 150°F teniendo las fases líquido y vapor presentes (región de dos fases). Empleando la ecuación cúbica de estado de Van der Waals de dos parámetros calcular la densidad de las fases líquido y vapor. Solución. Etapa 1. Se 1. Se estima la p la pv del propano puro a partir de la cartas de Cox. La pv estimada es: 2
pv = 100 lb/pg abs
Etapa 2. 2. Se calculan los parámetros a y b a partir de las ecuaciones 7.20 y 7.21, respectivamente. 2
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (765.62 R) 2 2 2 lbm lbm mol R R T c lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 a a 0.421875 51,729.162 (550.6 lb / pg 2 abs) (lbm pc lbm mol ) 2
y,
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (765.32 R) lbm lb m mol R RT RT c (0.125) 1.86538 b b 2 P c
(550.6 lb / pg abs)
ft 3 lbm lbm mol
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Etapa 3. Se 3. Se calculan los coeficientes A y A y B aplicando las ecuaciones 7.25 y 7.26
lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 51,729.162 (100 lb / pg 2 abs) 2 (lbm mol ) ap A 2 2 0.12070 , 2 2 3 R T lb / pg abs ft 10.732 (610 o R) 2 lbm mol R y, B
bp RT RT
(1.86538 ft 3 / lbm lbm mol )(100 lb / pg 2 abs)
lb / pg 2 abs ft 3 10.732 (610 o R) lbm lbm mol R
0.02849
Etapa 4. Se 4. Se sustituyen los valores de A y A y B dentro de la ecuación 7.24, z 3 (1 B) z 2 Az Az AB 0 ………........................................................................................(7.24) ………........................................................................................(7.24) y, z 3 1.02849 z 2 0.12061z 0.00344 0
Etapa 5. Se 5. Se resuelve el polinomio de tercer grado de la ecuación 7.27, obteniendo el mayor y menor valores (raíces) del polinomio. Para resolver este polinomio se utilizan métodos directos o iterativos. Para la fase f ase vapor se obtiene, v
z = 0.89852 y para la fase líquida, lí quida, L
z = 0.04512
Etapa 6. Se 6. Se calculan las densidades de las fases líquido y vapor. Para la f ase vapor se tiene,
v
pM C 3 V
z RT RT
....… ....…..................................................................................................................(7.28)
sustituyendo valores,
v
lbm / lbm lbm mol ) (100 lb / pg 2 abs)(58 lbm 2 3 lb / pg abs ft (610 o R) (0.89852)10.732 lbm lbm mol R
0.98603
lbm lbm ft 3
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
y para la fase líquida,
L
pM C 3 z L RT
.…………..........................................................................................................(7.29) …………..........................................................................................................(7.29)
y,
(100 lb / pg 2 abs)(58 lbm / lbm mol )
L
lb / pg 2 abs ft 3 (610 o R) (0.04512)10.732 lbm lbm mol R
19.63579
lbm ft 3
Ejercicio 7.6.- En un contenedor cerrado se tiene butano normal a 120 °F . Encontrar la densidad de las fases líquido y vapor empleando la ecuación de estado de Soave-RedlichKwong (SRK (SRK ). ). Comentar el resultado. Solución. Etapa 1. 1. Se determinan las propiedades críticas pc , T c c y el factor acéntrico de Pitzer, , a 2 partir de la tabla A-1 del Apéndice A. Se obtienen pc =550.6 lb/pg abs, abs, T c c =305.62 °F , M =58.123 =58.123 lbm/lbm-mol y y =0.1995 =0.1995 2
Etapa 2. Se 2. Se calcula la presión de vapor, p vapor, pv , de las cartas de Cox, obteniendo p obteniendo pv =70 lb/pg abs. abs. Etapa 3. Se 3. Se calcula la temperatura reducida, T r r , y se obtiene, T r
T T c
120 460 305.62 460.0
580.0 R 765.62 R
0.75756
Etapa 4. Se 4. Se calcula el parámetro m aplicando la ecuación 7.50, 0.176 2 ……………….........................................................................(7.50) ……………….........................................................................(7.50) m 0.480 1.574 y, 2 m 0.480 1.574( 0.1995 ) 0.176( 0.1995 ) 0.78701
Etapa 5. Se 5. Se calcula el parámetro con con la ecuación 7.53,
1 m1 T r 1 / 2 …………………....................................................................................(7.49) …………………....................................................................................(7.49) 2
y,
1 0.78701 1 0.75756
1 / 2
2
1.21443
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Etapa 6. Se 6. Se calculan los coeficientes aT y b con las ecuaciones 7.52 y 7.53, 2
2 3 lb / pg abs ft 2 10 . 732 765 . 62 R o lbm lbm mol R R 2T c2 lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 0.42748 52,416.43 ac a 2 550.60 lb / pg 2 abs pc lbm lbm mol
luego,
lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 1.21443 63,656.209 aT ac 52,416.43 2 2 lbm lbm lb m mol lbm mol y, 2 3 lb / pg abs ft 10.732 765.62 R o lbm lb m mol R RT RT c 0.08664 1.29293 b b 2
pc
550.60 lb / pg abs
ft 3 lbm-mol
Etapa 7. Se 7. Se calculan los coeficientes A coeficientes A y y B con las ecuaciones 7.60 y 7.61,
lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 63,656.209 70 lb / pg 2 abs 2 lbm mol a p 0.11501 A T 2 2 2 3 ( RT ) lb / pg abs ft R 580 . 0 10.732 o lbm mol R
y,
ft 3 1.29293 70 lb / pg 2 abs lbm-mol bp B 0.01454 2 3 RT / lb pg abs ft 10.732 580.0 R o lbm lb m mol R
Etapa 8. Resolviendo 8. Resolviendo la ecuación 7.36 para z , se llega a:
z 3 z 2 ( A B B2 ) z AB 0 .………………........................................... ……………….....................................................................(7.49) ..........................(7.49) sustituyendo valores,
z 3 z 2 (0.11501 0.01454 0.014542 ) z (0.11501x0.01454) 0
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
y, z 3 z 2 0.10026 z 0.00167
se obtiene, L
z = 0.02094 y v
z =0.88938
Etapa 9. Se 9. Se calcula la densidad de cada fase, es decir: Para la fase vapor, se obtiene:
pM v v a …………………..................................................................................................(7.28) …………………..................................................................................................(7.28) z RT sustituyendo valores,
v
(70.0 lb / pg 2 abs)(58.123 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (580o R) (0.88938)10.732 o lbm lbm mol R
0.73494
lbm lbm ft 3
y para la fase líquida, se obtiene:
L
pM a z L RT
..………………............................................................................. ..………………..................................................................................................(7.49) .....................(7.49)
sustituyendo valores, finalmente se obtiene:
L
(70.0 lb / pg 2 abs abs)(58.123 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (580 o R) (0.02094)10.732 o lbm lbm mol R
31.2148
lbm lbm ft 3
2
Ejercicio 7.7.- Una mezcla de hidrocarburos se encuentra en equilibrio a 4,200 lb/pg 4,200 lb/pg abs y 200 °F . El arreglo de la mezcla se presenta en la tabla 7.7, así como las propiedades del + C4H10 .
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Tabl a 7.7.7.7.- Fracciones mol del líquido y gas para cada componente del ejercicio 7.7
Componente
x j (fracción (fra cción m ol vapor)
y j (fracción (fra cción mo l líq u id o )
Metano, C 1H 4
0.55
0.86
Etano, C 2 2H 6 6
0.06
0.06
Propano, C 3H 8 8
0.03
0.02
+ Butano, nC 4H 10 10
0.36
0.06
Total Propiedades Propiedades del Butano+: Peso molecular del nC4H10+=215 lbm/lbm-mol pc del nC4H10+ = 285 lb/pg 285 lb/pg 2 abs + T c 700 °F c del nC4H10 = 700 °F =0.53
Considerar que no existe interacción binaria entre los componentes de la mezcla. Calcular las densidades de cada fase empleando la ecuación de estado de Soave-Redlich-Kwong ( SRK ). ). Solución. Etapa 1. 1. Del Apéndice A se obtiene, el peso molecular, propiedades críticas y factor acéntrico, para obtener la T r r y el peso molecular aparente para cada uno de los componentes y por último la masa aparente de la mezcla para el vapor y el líquido. La tabla 7.8 muestra los datos y cálculos obtenidos. T a b l a 7 . 8 ..- Datos y cálculos para cada componente de la mezcla del ejercicio 7.7.
Componente
Mj p cj (lbm/lbm- (lb/pg 2 abs) mol)
T cjcj (° R)
Factor acéntrico
T rjrj
Ma vapor Ma líq ui d o (lbm/lbm- (lbm/lbm-mol) mol)
Metano, C 1H 4
16.043
666.40
343.33
0.0104
1.9223
8.82
13.80
Etano, C 2 2H 6
30.070
706.50
549.93
0.0979
1.2002
1.80
1.80
Propano, C 3H 8
44.097
616.00
666.06
0.1522
0.9909
1.32
0.88
Butano+, nC 4H 10 10
215.00
285.00
1160.00
0.53
0.5690
77.40
12.90
89.35
29.38
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Etapa 2. Se 2. Se calculan los parámetros (ecuación (ecuación 7.49), m (ecuación 7.50), ac (ecuación 7.52),
b (ecuación 7.53) y aTi (ecuación 7.48), se obtiene: Tabla 7.8.- Datos y cálculos para cada componente de la mezcla del ejercicio 7.7 (continuación).
Componente
m
a c
b
a titi
Metano, C 1H 4
0.6532
0.49631
8,708.74
0.4790
5,688.19
Etano, C 2 2 H 6
0.8829
0.63202
21,074.79
0.7238
18,607.05
Propano, C 3 H 8
1.0065
0.71488
35,457.90
1.0054
35,689.42
Butano+, nC 4 H 10 10
1.7167
1.26266
232,454.57 232,454.5 7
3.7845
399,060.52
Etapa 3. 3. Se calculan los parámetros de mezclado: para la fase de vapor y líquido aT i j
ˆˆ
(ecuación 7.68) y b para vapor (ecuación 7.70) y para líquido (ecuación 7.69), es decir:
Tabla 7.8.- Datos y cálculos para cada componente de la mezcla del ejercicio 7.7 (continuación).
Componente
a titi j Vapor
a tij t ij Líquido
b iyi
b ixi
Metano, C 1H 4
11,728.75
7,441.33
0.2635
0.41198
Etano, C 2 2H 6
2,314.15
938.98
0.0434 0. 0434
0.04343
Propano, C 3H 8
1,602.48
433.48
0.0302 0. 0302
0.02011
Butano+, nC 4H 10 10
64,301.88
4,348.46
1.3624
0.22707
Total
79,947.2650
13,162.2469
1.6995
0.7026
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Etapa 4. Se 4. Se calculan los coeficientes A y A y B para cada fase. Para la fase vapor,
lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 79,947.265 4,200 lb / pg 2 abs 2 aT i j p lbm mol A 6.69274 2 2 3 (RT)2 lb / pg abs ft 660 R 10.732 o lbm mol R ˆ ˆ
y, ft 1.6995 4,200 lb / pg abs bp lbm-mol B 1.00773 lb / pg abs ft RT RT 10.732 660 R lbm lbm mol R 3
2
2
3
o
para la fase líquida,
lb/pg 2 abs (ft 3 )2 13 ,162.246 4,200 lb/pg 2 abs 2 aT i j p lbm mol A 1.10187 2 2 3 (RT)2 lb/pg abs ft R 660 10.732 o lbm mol R ˆˆ
y,
ft 3 0.70258 4200 lb / pg 2 abs lbm-mol bp B 0.4166 2 3 RT RT lb / pg abs ft 10.732 660.0 R o lbm lb m mol R v
Etapa 5. Con 5. Con la ecuación 7.36 se calcula el valor de z
z 3 z 2 ( A B B2 ) z AB 0 ...…………………..................................... ...…………………...............................................................(7.36) ..........................(7.36) sustituyendo valores,
z 3 z 2 (6.69274 1.00773 1.007732 ) z (6.69274 x1.00773) 0 y, z 3 z 2 4.66949z 6.74447
y, v
z = 1.32319
Dr. Jorge Arévalo Villagrán L
Etapa 6. Con 6. Con la ecuación 7.36 se calcula el valor de z
z 3 z 2 (1.10187 0.4166 0.41662 ) z (1.10187 x0.4166) 0 y, z 3 z 2 0.51171z 0.46188
y, L
z =0.96550 Etapa 7. Se 7. Se calcula la densidad de cada fase. Para la fase vapor,
pM v v a ……………….....................................................................................................(7.28) ……………….....................................................................................................(7.28) z RT sustituyendo valores,
v
(4,200 lb / pg 2 abs)(89.35 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (660 o R) (1.32319)10.732 o lbm lbm mol R
40.04364
lbm lbm ft 3
y para la fase líquida,
pM L L a ….………………................................................................................................(7.29) ….………………................................................................................................(7.29) z RT sustituyendo valores,
L
(4,200 lb / pg 2 abs)(29.38 lbm lbm / lbm lbm mol )
lb / pg 2 abs ft 3 (660 o R) (0.96550)10.732 o lbm lbm mol R
18.04364
lbm lbm ft 3
3
3
Ejemplo 7.8.- Una celda de laboratorio con un volumen de 0.008829 ft (250 cm 250 cm ) contiene 0.007357 lbm/lbm-mol ( lbm/lbm-mol (79.28 gr 79.28 gr ) de gas. La composición del gas es como como se muestra en la tabla 7.9.
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
T a b l a 7 . 9 ..- Composición de la mezcla para el ejercicio 7.8 (continuación).
Componente
y j (fracción m ol vapor) (fracción
Metano, C 1H 4
0.65
Etano, C 2 2H 6 6
0.25
n-Butano+, nC 4H 10 10
0.10
Total
1.00
La temperatura es de 709.6°R (250°F (250°F ). ). Utilizar las ecuaciones de estado Soave-RedlichKwong (SRK ) para calcular la presión del sistema. Utilizar valores de coeficientes de interacción binaria de 0.02 entre entre metano y n-butano, 0.01 entre 0.01 entre etano y n-butano, y 0.0 entre entre metano y etano. Solución. Etapa 1. Del 1. Del Apéndice A se obtiene el peso molecular, propiedades críticas y factor acéntrico, para obtener la T r r, para cada uno de los componentes. Los datos y cálculos obtenidos para la mezcla se presentan en la tabla 7.9. Tab la 7.9.- Datos y cálculos para cada componente de la mezcla para el ejercicio 7.8.
Componente
y i (fracción (fracció n mo l vapor)
p ci (lb/pg 2 abs)
T cici (° R)
Factor acéntrico
T riri
Metano, C 1H 4
0.65
666.40
342.90
0.0104
2.0694
Etano, C 2 2H 6
0.25
706.50
549.93
0.0979
1.2904
Butano+, nC 4H 10 10
0.10
550.60
765.00
0.1995
0.9276
Etapa 2. 2. Se calculan los parámetros (ecuación 7.49),
m (ecuación 7.56), ac (ecuación
7.52), b (ecuación 7.53) y aT (ecuación 7.68). Tabla 7.9.- Datos 7.9.- Datos y cálculos para cada componente de la mezcla para el ejemplo 7.8 (continuación).
Componente
m
Metano, C 1H 4
0.4964
Etano, C 2 2H 6 Butano+, nC 4H 10 10
a ci ci
bi
aT i
b i
0.6120
8,686.94
0.4784
5,316.74
0.31099
0.6325
0.8354
21,074.79
0.7238
17,606.72
0.18094
0.7872
1.0589
52,330.35
1.2919
55,413.96
0.12919
78,337.41
0.62112
Dr. Jorge Arévalo Villagrán
Etapa 3. Se 3. Se calcula las constantes para la m ezcla aT y b, con las ecuaciones 7.67 y 7.70:
aT
n
n
y y (a i
ˆ
i 1
j
ˆ
T i
ˆ
aT j )1 / 2( 1 δij ) ˆ
j 1 ˆ
i=1, ĵ =1 =1 – ĵ =B ĵ =B
es decir,
(0.65)(0.65)(5316.74 * 5316.74)1/ 2 (1 0.0) (0.65)(0.25)(5316.74 *17606.72)1/ 2 (1 0.0) 4,911.93 (0.65)(0.10)(5316.74 * 55413.96)1/ 2 (1 0.02)
aT 1 j
ˆ
y,
aT 2 j
ˆ
(0.25)(0.65)(17606.72 * 5316.74)1/ 2 (1 0.0) (0.25)(0.25)(17606.72 *17606.72)1/ 2 (1 0.0) 3,445.73 (0.25)(0.10)(17606.72 * 55413.96)1/ 2 (1 0.01)
y,
aT 3 j
ˆ
(0.10)(0.65)(55413.96 * 5316.74)1/ 2 (1 0.02) (0.10)(0.25)(55413.96 *17606.72)1/ 2 (1 0.01) 2,418.41 (0.10)(0.10)(55413.96 * 55413.96)1/ 2 (1 0.0)
aT aT 1 aT 2 aT 3 y, aT 10,776.06
lb / pg 2 abs ( ft 3 ) 2 2 lbm mol lbm
y, b
ft 3
( y b ) 0.6211 lbm-mol j j ˆ
ˆ
aT 11 y1 y1(a1a1 )( 1 δ11 )
y1 y2(a1a2 )( 1 δ12 ) y1 y3(a1a3 )( 1 δ13 ) aT 2 y2 y1
Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicación
Luego se calcula el volumen molar, V M M , de la mezcla, es decir: V m
0.008829 ft 3 lbm / lbm lbm mol 0.007357 lbm
De la ecuación 2.6.47, p
p
RT RT V M b
1.2
ft 3 lbm lbm / lbm lbm mol
quedando: RT , se despeja la presión, quedando: (V M b) RT V M (V M b) aT
aT V M (V M b)
sustituyendo datos: 2 3 2 2 3 lb / pg abs ( ft ) lb / pg abs ft 10,776.06 10.732 709.6 R 2 o lbm lb m mol R lbm lb m mol p 3 3 3 3 ft ft ft ft ft 3 1.2 1.2 1.2 0.6211 0.6211 lbm lb m mol lbm-mol lbm lb m mol lbm lb m mol lbm-mol
finalmente, p 8,223.83 lb / pg 2 abs