PROGRAMA MATLAB Introducción: Objetivo: Solución de Armaduras Planas por Matrices Este proyecto consiste en la creación de un programa de cálculo para el análisis de armaduras por medio del método matricial. matr icial.
Marco Teórico:
Armaduras Planas En ingeniería estructural, una celosía es una estructura reticular de barras rectas interconectadas en nudos formando triángulos planos. En muchos países se les conoce como armaduras o reticulados. El interés de este tipo de estructuras es que las barras trabajan predominantemente a compresión y tracción presentando comparativamente flexiones pequeñas. Las celosías planas de nudos articulados pueden dividirse desde el punto de vista estructural en:
Celosías simples: Son celosías estáticamente determinadas, en el que el número de barras y el número de nudos satisface la siguiente ecuación b + r = 2n , pueden ser calculadas mediante las ecuaciones de la estática en alguna de sus modalidades equilibrio de nudos y/o métodos de la estática gráfica.
son también celosías estáticamente Celosías compuestas: determinadas con b + r = 2n que pueden construirse uniendo dos o más celosías simples, de tal manera que cada par comparta una sus articulaciones y se añada alguna barra adicional entre cada par de modo que cualquier movimiento de una respecto de la otra esté impedido.
Si una celosía plana es de nudos rígidos, entonces es hiperestática con independencia del número de nudos y barras. En esos casos usualmente se calculan de modo aproximado suponiendo que sus nudos son articulados, o de modo más exacto por el método matricial matri cial de la rigidez. La condición de isostaticidad de la celosía requerirá por tanto que cumpla la ecuación: b +
r = 2n
Donde: b = número de barras
r = número de reacciones n = número de nudos Existen ciertos métodos para el cálculo de armaduras planas.
Método de los nudos Consistente en estimar que cada uno de los nudos está en equilibrio, lo que implica que la suma vectorial de las fuerzas actuantes sobre cada barra se equilibran. Al existir n nudos es necesario resolver
2n ecuaciones
lineales. Este
método sólo funciona para celosías estáticamente determinadas (internamente isostáticas) con 2n -3 barras, siendo n el número de nudos. Para celosías complejas el método de los nudos conduce a un sistema con más incógnitas que ecuaciones y no permite determinar los esfuerzos.
Método de las secciones Este método consiste en realizar cortes en una armadura con el fin de encontrar las fuerzas internas en una armadura, tomando en cuenta la sección cortada en equilibrio y utilizando las 3 ecuaciones de equilibrio determinar las fuerzas internas. Este método únicamente permite realizar un corte en el cual se corten 3 barras (al menos una de las cuales no sea paralela a las otras dos).
Método matricial Este método requiere resolver un sistema de 2n -r ecuaciones para los desplazamientos desconocidos, a partir del cual se calculan fácilmente las reacciones
y
los
esfuerzos
sobre
las
barras.
En
general
resulta
algorítmicamente más trabajoso que los otros dos, pero es fácilmente programable y tiene la gran ventaja de ser entendible casi sin modificaciones a celosías externamente hiperestáticas. Las estructuras para las que funcionan los dos primeros métodos se denominan simples, y su geometría es la de una triangulación. Existen celosías estáticamente determinadas que no son simples, llamadas compuestas que pueden ser calculadas por el método de las secciones, posiblemente combinado con el de los nudos. Si las celosías no están determinadas estáticamente, cosa que sucede siempre que
b >
2n -r los tres primeros
métodos anteriores no funcionan y debe emplearse el método de Henneberg o
el método matricial de la rigidez. En el caso de que
b >
2n -r las celosías se
denominan complejas.
Ejemplo: Para la Matriz B, se considero el ejemplo de la Armadura Isostática (Figura 1), por lo que se ingreso en la Base de Datos del Programa así: Matriz Cuadrada B: Estática (Proyección de las Barras en los Ejes), 24x24. B(1,1)=1;B(1,7)=.707;B(1,22)=-1;B(1,24)=0; B(2,7)=.707;B(2,23)=-1;B(2,24)=0; B(3,1)=-1;B(3,2)=1;B(3,24)=0; B(4,8)=1;B(4,8)=1;B(4,24)=0; B(5,2)=-1;B(5,3)=1;B(5,9)=-.707;B(5,24)=0;B(5,10)=0; B(6,9)=.707;B(6,10)=1;B(6,24)=0; B(7,3)=-1;B(7,4)=1;B(7,11)=-.707;B(7,13)=.707;B(7,24)=0; B(8,11)=.707;B(8,12)=1;B(8,13)=.707;B(8,24)=0; B(9,4)=-1;B(9,5)=1;B(9,15)=.707;B(9,4)=-1;B(9,24)=0;B(9,6)=0; B(10,14)=1;B(10,15)=.707;B(10,24)=0; B(11,5)=-1;B(11,6)=1;B(11,24)=0; B(12,16)=1;B(12,24)=0; B(13,6)=-1;B(13,17)=-.707;B(13,24)=0; B(14,17)=.707;B(14,24)=-1; B(15,7)=-.707;B(15,9)=.707;B(15,18)=1;B(15,24)=0; B(16,7)=-.707;B(16,8)=-1;B(16,9)=-.707;B(16,24)=0; B(17,11)=.707;B(17,18)=-1;B(17,19)=1;B(17,24)=0; B(18,10)=-1;B(18,11)=-.707;B(18,24)=0; B(19,19)=-1;B(19,20)=1;B(19,24)=0; B(20,12)=-1;B(20,24)=0; B(21,13)=-.707;B(21,20)=-1;B(21,21)=1;B(21,24)=0; B(22,13)=-.707;B(22,14)=-1;B(22,24)=0; B(23,15)=-.707;B(23,17)=.707;B(23,21)=-1;B(23,24)=0; B(24,15)=-.707;B(24,16)=-1;B(24,17)=-.707;B(24,24)=0; Este paso se obtiene detenidamente en el análisis de las Fuerzas que actúan en cada uno de los nudos de nuestra Estructura, y siguiendo las Leyes de Equilibrio se obtiene una Resolución fácil de Interpretar. La matriz P es de dimensiones (1x24) en nuestro caso, se ingreso estas cargas, correspondientes a una carga uniformemente Distribuida: P=[0;-2 0;0;-40;0;-40;0;-40;0;-40;0;-40;0;-20;0;0;0;-5;0;0;0;0;-5;0];
Para formar las diferentes ecuaciones de equilibrio es necesario obtener la Matriz Inversa Estática [], por lo que interiormente se calcula mediante la función del software MATLAB 2009 versión 7.8: inv(B). [] [ ] []
Aplicamos la ecuación General del Método Matricial y obtenemos la Matriz columna con los valores de las incógnitas de nuestro ejercicio.
Conclusiones y Recomendaciones:
Se elaboró el programa de cálculo de Análisis de Armaduras Planas Método de Matrices, con el cual se cumplió con el objetivo propuesto. La posibilidad de desarrollar un programa de cálculo para el análisis estructural en el método matricial resulta ser complejo o sencillo debido a su formulación matemática con base en la algebra matricial, teniendo así un procedimiento ordenado para el análisis de esta armadura. Debe resaltarse que el lenguaje es de Visual Basic, que permite elaborar programas de cálculo fáciles de manejar gracias a las opciones de gráfico como ventanas, botones de comando, tablas, con lo que para el usuario se torna un ambiente agradable y de fácil manejo. El programa de Análisis de Armaduras Planas por el Método de Matrices es una herramienta muy útil, y confiable dadas las características en su formulación matricial, es decir en este caso para armaduras planas. La exactitud de procedimiento y los resultados obtenidos a través de este programa se muestran al correr el ejemplo empleado. Este programa permitirá al usuario realizar el análisis para una armadura con cualquier número de nudos y barras, tanto de manera analítica como gráficamente. Si una persona no tiene conocimientos de análisis estructural, no tendrá modo de saber si los resultados proporcionados por el programa son correctos. Los programas pueden utilizarse para eliminar pasos tediosos o muy largos que normalmente se los hace a mano pero no pueden suprimir la responsabilidad que los ingenieros tienen ene le diseño de estructuras.
Bibliografía: Análisis estructural de Mccormac www.analisisestructural.com
