Problemas y Teoría de Circuitos

Problemas de

CIRCUITOS ELÉCTRICOS (Régimen de CD)

Recopilados por

Prof. José R. Morón. Agosto, 2015

José R. Morón

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José R. Morón

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CIRCUITOS ELÉCTRICOS PROBLEMAS (Agosto, 2015) Elementos de Circuitos y Fuentes 1.1 Introducción A continuación se da un resumen de los elementos más comúnmente usados en los circuitos eléctricos. También se introducen las leyes que rigen la corriente y el voltaje en esos elementos como también la potencia entregada o disipada.

1.2 Corriente La corriente puede definirse como el movimiento de carga a través de un material conductor. La unidad de corriente es el amperio (A), en tanto que la carga se mide en culombios (C). Definición de un Amperio La cantidad de carga total que atraviesa una sección transversal arbitraria de un material conductor por segundo se define como un Amperio.

Matemáticamente, I=

Q o Q = It t

(1.1)

donde Q es el símbolo de la carga medida en Culombios (C), I es es la corriente en amperios (A) y t es el tiempo en segundos (s). La corriente también puede definirse como la tasa de carga q(t) que pasa por un punto en un circuito eléctrico, esto es, i=

dq dt

(1.2)

Una corriente constante o directa (CD) se denota por el símbolo I , en tanto que una corriente que varía en el tiempo (corriente alterna o CA) se representa por el símbolo i o i(t). Se debe señalar que La corriente siempre se mide a través de un elemento de circuito

La Fig. 1.1 demuestra el uso de un amperímetro en serie con un elemento de circuito, R, para medir la corriente que lo atraviesa.

Elemento de circuito

Amperímetro

que pasa por el elemento R. Figura 1.1. Un amperímetro se conecta en serie para medir la corriente I que

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1.3 Voltaje o Diferencia de Potencial Definición El voltaje o diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito eléctrico es 1 V si se utiliza 1 J (Julio de energía al transferir una carga de 1 C entre esos puntos.

Generalmente se representa por el símbolo V y se mide en voltios (V). El símbolo V también significa un voltaje constante (CD), en tanto que un voltaje que varía con el tiempo (CA) se representa por el símbolo v o v(t). El voltaje siempre se mide a través de un elemento de circuito, como se demuestra en la Fig. 1.2. Voltímetro

Elemento de circuito

Figura 1.2. Un voltímetro se conecta en paralelo con el elemento de circuito, R, para medir el voltaje a través de él.

Una fuente de voltaje proporciona la energía o fem (fuerza electromotriz) que se requiere para el flujo de corriente. Sin embargo, la corriente sólo puede existir si hay una diferencia de potencial y una trayectoria física para fluir. Una diferencia de potencial de 0 V entre dos puntos implica que 0 A de corriente fluye entre ellos. La corriente I en la Fig. 1.3 es 0 A ya que la diferencia de potencial en R2 es 0 V. En este caso, existe una trayectoria física pero no hay diferencia de potencial. Esto es equivalente a un circuito abierto.

Figura 1.3. La diferencia de potencia a través de R2 es 0 V, por tato, la corriente I es 0 A, donde V a e I a son las fuentes de voltaje y de corriente, respectivamente.

La Tabla 1.1 resume las cantidades eléctricas fundamentales, sus símbolos y sus unidades estándar.

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Cantidad Símbolo Unidad V , v Voltaje Voltio (V) I , i Corriente Amperio (A) Q, q Carga Culombio © P Potencia Vatios (W) W Energía Julios (J) t Tiempo segundos (s) Tabla 1.1: Cantidades estándar y sus unidades halladas comúnmente en circuitos eléctricos.

1.4 Cargas de Circuitos Una carga se refiere generalmente a una componente o algún equipo conectado a la salida de un circuito eléctrico. En su forma fundamental, la carga se representa mediante cualquiera de los siguientes elementos de circuito o por una combinación de ellos: 1. Resistor (R) 2. Inductor (L) 3. Capacitor (C) Una carga puede ser de naturaleza resistiva, inductiva o capacitiva o una mezcla de éstas. Por ejemplo, un bombillo incandescente es una carga puramente resistiva, en tanto que un transformador es una carga inductiva y resistiva. A una carga de circuito también se le refiere como un sumidero ya que disipa energía, mientras que el suministro de voltaje o corriente puede denominarse una fuente. Elemento de circuito

Símbolo

Esquemático

Resistor Inductor Capacitor Fuente de Voltaje CD

Fuente de Corriente CD

Tabla 1.2. Elementos de circuito comunes y su representación en circuitos eléctricos.

1.5 Convención de los Signos Es común pensar en la corriente como el flujo de electrones. Sin embargo, la convención estándar es tomar el flujo de protones (positivos) para determinar la dirección de la corriente. En un circuito dado, la dirección de la

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corriente depende de la polaridad del voltaje de la fuente. La corriente siempre fluye desde el lado positivo (alto potencial) hacia el lado negativo (bajo potencial) de la fuente, como se muestra en el diagrama de la Fig. 1.4(a), donde V s es el voltaje de la fuente, V L es el voltaje en la carga e i es la corriente en el lazo que fluye en la dirección horaria.

Observe que la polaridad del voltaje y la dirección de la corriente en un sumidero se oponen a la fuente: En la Fuente En la Carga (Sumidero)

la corriente sale por el terminal positivo la corriente entra por el terminal positivo

Una inversión en la polaridad del voltaje de la fuente cambia la dirección del flujo de corriente y viceversa, como se muestra en las Figs. 1.4(a) y 1.4(b).

Figura 1.4. Efecto de invertir la polaridad del voltaje o la dirección de la corriente. 1.6

Elementos de Circuito Pasivos

1.6.1 Resistor Para describir la resistencia de un resistor y por tanto sus características, es importante definir la ley de Ohm. Ley de Ohm Es la ley más fundamenta utilizada en el análisis de circuitos. Proporciona una fórmula sencilla para describir la relación de voltaje-corriente en un material conductor. Enunciado

El voltaje o diferencia de potencial a través de un material conductor es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del material.

Matemáticamente, V ∝ Ï V V V = RI o I = o R = R I donde la constante de proporcionalidad R se denomina la resistencia o resistencia eléctrica, medida en ohmios (Ω). Gráficamente, la relación V – I para un resistor según la ley de Ohm se muestra en la Fig.

1.5.

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v

V

i

I

Figura 1.5. Relación V – I para un resistor según la ley de Ohm.

En cualquier en esta gráfica, la razón del voltaje a la corriente siempre es constante. Un cortocircuito entre dos puntos representa una resistencia cero, en tanto que un circuito abierto corresponde a una resistencia infinita, como se muestra en la Fig. 1.6. Usando la ley de Ohm, cuando R = 0 (cortocircuito), V = 0 V cuando R = ∞ (circuito abierto), I = 0 A.

V S

Terminales en cortocircuito R = 0, V L = 0

V S

Terminales en circuito abierto R = ∞ , I = 0

Figura 1.6. Características de resistencia en cortocircuito y en circuito abierto.

Conductancia La conductancia ( G) es el opuesto exacto de la resistencia. En términos matemáticos, G=

1 R

⇒ I=

V = VG R

donde G se mide en Siemens (S) y algunas veces también se representa por la unidad mho

(℧) .

1.7 Fuentes de CD En general hay dos tipos principales de fuentes de CD: 1. Fuentes Independientes (Voltaje y Corriente 2. Fuentes Dependientes (Voltaje y Corriente) Una fuente independiente produce su propio voltaje y corriente y no depende de ninguna otra variable de voltaje o corriente en el circuito. Por otra parte, la salida de una fuente dependiente está sujeta a un cierto cambio de parámetro (voltaje o corriente) en un elemento de circuito.

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1.7.1 Fuente de Voltaje de CD Aquí se pueden introducir otras subcategorías formadas por fuentes ideales y no ideales. La Fuente de Voltaje Ideal Una fuente de voltaje ideal, mostrada en la Fig. 1.7(a), tiene un voltaje terminal que es independiente de las variaciones en la carga. En otras palabras, para una fuente de voltaje ideal, la corriente suministrada cambia con cambios en la carga, pero el voltaje terminal, V L, siempre permanece constante. Esta característica se ilustra en la Fig. 1.7(b).

V S = V L V S

(b) Características V – I de una fuente de voltaje ideal

(a) Una fuente de voltaje ideal

Figura 1.7. Esquemático y características de una fuente de voltaje ideal.

Fuente de Voltaje No Ideal o Práctica Para una fuente práctica, el voltaje termina cae cuando se incrementa la corriente de carga. Esto se muestra gráficamente en la Fig. 1.8(a). Esta conducta puede modelarse asignando una resistencia interna Ra, en serie con la fuente, como se muestra en la Fig. 1.8(b), donde RL representa la resistencia de carga. V Ra V s V L

V s

V L

I Fuente de voltaje práctica

(a) Características V – I de una fuente de voltaje práctica

(b) Una fuente de voltaje práctica tiene una resistencia interna conectada en serie con la fuente

Figura 1.8. Característica y modelo de una fuente de voltaje práctica.

La ecuación característica de la fuente de voltaje práctica puede escribirse como VL = Vs − Rs I

Para una fuente ideal, Rs = 0 y, por tanto, V L = V s.

RL

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Regulación de Voltaje La regulación de voltaje ( RV ) es una medida importante de la calidad de una fuente. Se usa para medir la variación entre el voltaje terminal cuando no hay carga ( I L = 0) y a plena carga ( I L = I PC), como se muestra en la Fig. 1.9. V V SC V PC

I I L = I PC

Figura 1.9. Voltajes sin carga y de plena carga especificados en un diagrama de la característica V – I de una fuente de voltaje práctica.

Si V SC y V PC representan los voltajes sin carga y de plena carga, entonces la RV de una fuente se define matemáticamente como RV =

VSC − V PC × 100% V P

Para una fuente ideal, no hay resistencia interna y por tanto VSC = V PC y RV = 0%

Por tanto, mientras más baja sea la regulación, mejor será la fuente. 1.7.2 Fuente de Corriente de CD Una fuente de corriente, a diferencia de la fuente de voltaje CD, no es una realidad física. Sin embargo, es útil en la derivación de modelos de circuitos equivalentes de dispositivos semiconductores, tales como un transistor. También puede subdividirse en las categorías de ideales y no ideales. La Fuente de Corriente Ideal Por definición, una fuente de corriente ideal, mostrada en la Fig. 1.10(a), produce una corriente que es independiente de las variaciones en la carga. En otras palabras, la corriente suministrada por una fuente de corriente ideal no cambia con el voltaje de carga. Fuente de Corriente No Ideal o Práctica La corriente entregada por una fuente de corriente práctica decae con un incremento en la carga o en el voltaje de carga. Esta conducta puede modelarse conectando una resistencia en paralelo con la fuente de corriente ideal, como muestra la Fig. 1.10(b), donde Rs es la resistencia interna de la fuente de corriente y RL representa la carga. La ecuación característica de la fuente de corriente práctica puede escribirse como I L = I s −

V L Rs

En una fuente de corriente ideal, Rs = ∞ (circuito abierto) y por tanto I L = I s.

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I s

I s

Rs

V L

RL

Fuente de Corriente Práct ica

(a) Una fuente de corriente ideal

(b) Una fuente de corriente práctica tiene una resistencia conectada en paralelo con la fuente.

Figura 1.10. Fuentes de corriente ideal y no ideal.

1.7.3 Fuentes Dependientes Las fuentes dependientes modelan la situación en la cual el voltaje o la corriente de un elemento de circuito es proporcional al voltaje o la corriente de un segundo elemento de circuito en otro punto de la red. Una fuente dependiente (o controlada) es un elemento activo en el cual la variable de la fuente (voltaje o corriente) es controlada en alguna forma prescrita por otro voltaje o corriente. Estas fuentes usualmente se designan mediante símbolos con forma de rombo, como muestra la Fig. 1.11. Como el control de la fuente dependiente se obtiene mediante un voltaje o corriente de algún otro elemento en el circuito, hay cuatro tipos posibles de fuentes dependientes, a saber: 1. Una fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV). 2. Una fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC). 3. Una fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV). 4. Una fuente de corriente controlada por corriente (FCCC).

v

i

Figura 1.11. Modelos de fuentes dependientes.

Las fuentes dependientes son útiles en el modelado de elementos activos electrónicos tales como transistores, amplificadores operacionales y circuitos integrados. Para una fuente de voltaje dependiente, el voltaje controlado, como también el voltaje controlador, puede ser constante o variable en el tiempo. Indiferentemente de la naturaleza en el dominio del tiempo, el valor del voltaje controlado no es un número independiente. Más bien, su valor es determinado por el voltaje controlador de acuerdo con una relación funcional prescrita. Lo anterior también es válido para una fuente de corriente, y también para fuentes controladas por corriente.

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1.8 Potencia Dadas las magnitudes de V e I , la potencia se puede evaluar como el producto de las dos cantidades y se mide en Vatios (W). Matemáticamente, P = VI (W) Convención pasiva de los signos La dirección de la corriente y la polaridad del voltaje juegan un papel primordial en la determinación del signo de la potencia. De manera que es importante que se preste atención a la relación entre la corriente i y el voltaje v en la Fig. 1.12(a). La polaridad del voltaje y la dirección de la corriente deben coincidir con lo mostrado en la Fig. 1.12(a) para que la potencia tenga un signo positivo. Esto se conoce como la convención pasiva de los signos (o convención de variables asociadas). Las variables v e i se denominan variables terminales para el elemento y sus valores pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la dirección real del flujo de corriente y de la polaridad real del voltaje. Para la convención pasiva de signos, la corriente entra por la polaridad asignada positiva (+) del voltaje. En este caso, p = + vi o vi > 0 implica que el elemento está absorbiendo o almacenando energía. Sin embargo, si p = − vi o vi < 0 , como en la Fig. 1.12(b), el elemento está entregando o suministrando potencia. La convención se satisface cuando la corriente entra por el terminal positivo de un elemento y p = + vi . Si la corriente entre por el terminal negativo, p = − vi . La convención se puede resumir en la regla siguiente: Si i fluye en la dirección de v creciente, entonces se está entregando potencia. Si i fluye en la dirección de v decreciente, entonces se está absorbiendo potencia. i

i

+

+

v

v

−

−

p = +vi

p = − vi

(a)

(b)

Figura 1.12. Polaridades de referencia para la potencia usando la convención pasiva de los signos. (a) se absorbe potencia, (b) se entrega potencia.

En general, para un circuito, +Potencia absorbida = −Potencia suministrada (entregada) Expresiones Alternas para la Potencia Usando la Ley de Ohm Al usar la ley de Ohm, esto es, V = IR, se pueden deducir otras dos expresiones útiles para la potencia absorbida o entregada: P = VI = ( IR ) R = I 2 R

También, I =

V y entonces R

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V V 2 P = VI = V = R R

1.9 Energía La energía se define como la capacidad de un sistema físico de realizar trabajo. En el contexto de los circuitos eléctricos, la energía (w) está relacionada con la potencia por la siguiente relación: p = vi =

dw dt

es decir, potencia es la tasa de cambio de la energía. Usando la Ec. (1.2), el voltaje también puede escribirse en términos de la energía como el trabajo realizado o la energía suministrad por unidad de carga ( q); esto es, v=

dw dq

Para un resistor, la relación de energía puede obtenerse en la forma siguiente: p = vi = i 2 R =

v2 R

La potencia o la energía eléctrica suministrada a un resistor se disipan completamente como calor. Esta acción es irreversible y comúnmente se conoce como pérdidas i 2 R . La energía absorbida o entregada por un elemento desde un instante t0 hasta un instante t es w=

∫

t

t0

pdt =

∫

t

t0

vi dt

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1.

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En la figura, sea i = 3 e −100t A. Determine la potencia que absorbe el elemento de circuito en t = 8 ms, si v es igual a: (a) 40 i; ( b) 0.2di/dt.

Solución: 2

(a) p = vi = ( 40i ) i = 40 i 2 = 40 ( 3 e−100t ) = 360 e−200t −3

En t = 8 ms, p = 360 e −200( 8×10 ) ≈ 72.7 W (absorbe) (b) v = 0.2

di d = 0.2 ( 3 e −100t ) = −60 e −100t dt dt

p = vi = ( −60 e −100 t )( 3e −100t ) = −180 e−200t −3

En t = 8 ms, p = −180 e −200( 8×10 ) ≈ −36.34 W (entrega)

2.

La figura muestra la corriente y el voltaje en un dispositivo. Determine la energía total absorbida por el dispositivo en el período 0 < t < 4 s. v (V)

i (mA) 5

1

0

2

4

t s

0

1

3

4 t s

Solución: Las ecuaciones para la corriente y el voltaje son  0,  25t ,  i(t ) (mA) =   − 25 ( t − 4 ) ,  0,

t<0 0≤t≤2 , 2≤t≤4 t≥4

 0,  10t ,  v(t ) (V) =  10,  − 10 ( t − 4 ) ,   0,

Por tanto, la expresión para la potencia al dispositivo es  0.25t 2 ,   0.25t ,  p(t ) = i(t )v(t ) (W) =  − 0.25( t − 4) ,  2  0.25 ( t − 4 ) ,   0,

y la energía absorbida en el intervalo 0 < t < 4 s es

0≤t≤1 1≤t≤ 2 2≤ t≤ 3 3≤t≤ 4 t < 0, t ≥ 4

t<0 0≤t≤1 1≤ t ≤ 3 3≤t≤ 4 t≥4

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14

4

∫0 p(t ) dt 1 2 3 4 = ∫ 0.25t 2 dt + ∫ 0.25t dt − ∫ 0.25 ( t − 4 ) dt + ∫ 0.25 ( t − 4 )2 dt 0 1 2 3 w=

=0J

3.

Si la corriente que sale por el terminal positivo de un elemento es i = 5e −10t A y el voltaje es v = 3i , halle la energía (¿absorbida o entregada? por el elemento entre 0 y 50 ms.

4.

La corriente que entra a la terminal positiva de un dispositivo es i(t ) = 3e −2 t A y el voltaje entre sus terminales es v(t ) = 5 di dt V. (a) Halle la carga suministrada al dispositivo entre t = 0 y t = 2 s. (b) Calcule la potencia absorbida. (c) Determine la energía absorbida en 3 s. Solución:

(a) q =

∫

t

2

∫0

i( τ) dτ =

−∞

3 −2 t 2 3 3 = − ( e −4 t − 1 ) ≈ C 3e dt = − e 2 2 2 0 −2 t

d ( −2 t )  3 e  = −90 e−4t W (entrega)  dt 

(b) p = vi = ( 3e −2 t )  5 (c) w =

5.

3

3

∫0 p dt = ∫0

4

0

2

2

Las gráficas muestran la corriente (en amperios) que pasa por un elemento de circuito y el voltaje (en voltios) que se desarrolla en el mismo. Determine la potencia entregada al elemento de circuito y la energía disipada en el intervalo entre 0 y 4.5 segundos. v(t)

i(t)

2

2

0

6.

3

( −90 e −4t ) dt = 90 e −4t = 45 ( e−12 − 1 ) ≃ − 45 J (entrega)

1

2

4

5

t (s)

0

1

2

4

5

t (s)

La figura muestra la gráfica de la carga que está entrando a un elemento en función del tiempo. Determine la ecuación para la corriente en el elemento y dibuje una gráfica de la corriente versus tiempo.

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7. 8.

15

La carga total q(t) en una región es descrita por la función dada en la figura. Dibuje la corriente i(t) en esta región. Por un elemento de circuito está circulando la corriente graficada en la figura. Calcule la carga que pasa por el elemento en el intervalo de 2 a 3 seg y en todo el intervalo de –1 a 5 seg. q(t ) 1

i (A)

2 1

t

1

2

3

4 –1

−1

0

2

Problema 8

3

5

t (seg)

Problema 9

Solución Problema 8

El problema se resolverá gráficamente. Se deja para el lector hallar la solución analíticamente. Se aplica gráficamente la relación i =

dq ; la solución se muestra en la figura. dt

i(t)

2 1 1/2

1

2

3

4

t

−1 −2


Esta solución se obtendrá geométricamente. Se deja para el lector hallar la solución usando cálculo integral. La fórmula para la carga es q=

∫

t

−∞

i dt = área bajo la curva

El área bajo la curva se divide en cinco partes: i (A)

2 4

1 1

–1

3

2

2

5

3

t (seg)

5

La carga de 2 a 3 seg es 1 3 q 2 → 3 = A3 + A4 = ( 1)( 1) + ( 1)( 1) = C 2

y la carga en todo el intervalo es

2

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16

1 2

qtotal = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = (1)(1) + (2)(1)+ (1)(1)+

9.

1 (1)(1)+ (2)(1)= 6 C 2

En la figura se muestra la corriente que está entrando a un cierto elemento de circuito. Halle la carga entregada al elemento. i (A) 80

t (s) 0

2

4

6 8

10 12

Solución: La carga entregada en un intervalo t1 ≤ t ≤ t2 es q=

∫

t2

t1

i(t ) dt

Para la gráfica de la figura, es más fácil calcular la carga usando geometría (el procedimiento usando la integral se deja para el lector:

2≤t ≤8:

1 2 q2 = (8 − 2)(80) = 480 C

8 ≤ t ≤ 12 :

q3 = (12 − 8)(80) = 160 C

0≤t≤2:

q1 = (80)(2 − 0) = 80 C

1 2

qtotal = q1 + q 2 + q 3 = 720 C

10.

En la figura se ilustra el voltaje y la corriente en un elemento de circuito. (a) Dibuje una gráfica de la potencia versus tiempo para 0 ≤ t ≤ 10 s. (b) Calcule la energía entregada al circuito en t = 2, 5 y 8 s. v V 1 0. 1

2 3

4

5

7 8

10 11

t (s)

−1 i A 1 0. 1 2

4

5

8

10

11

t (s)

−1

11.

En la figura se grafica la corriente en un elemento de circuito. Determine la carga total que fluye a través del elemento entre 300 y 1200 µs.

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i(t),

720 400

800

1200 t, µs

−720

12.

R: 0.56 nC

En la figura se muestra la variación en el tiempo de la corriente y el voltaje en un elemento. Dibuje la potencia entregada al elemento para t > 0. ¿Cuál es la energía total entregada al elemento entre t = 0 y t = 25 s? La corriente y el voltaje en el elemento cumplen con la convención pasiva. v (voltios�

13.

Cuando un carro tiene una batería descargada, con frecuencia puede arrancarse conectando la batería de otro carro entre sus terminales. Los terminales positivos se conectan entre sí, como también los terminales negativos. La conexión se ilustra en la figura. Suponga que se mide la corriente i en la figura y se encuentra que es igual a 30 A. a) ¿Cuál es la batería descargada? b) Si se mantiene esta conexión por 1 minuto, ¿cuánta energía es transferida a la batería muerta?

14.

El voltaje y la corriente en los terminales del elemento en la figura son v = 250cos800π V, I = 8sen 800πt a) Halle el valor máximo de la potencia que se está entregando al elemento. b) Halle el valor máximo de la potencia que se está extrayendo del elemento. c) Halle el valor promedio de p en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2.5 ms.

d) Halle el valor promedio de p en el intervalo 0 ≤ t ≤ 15.625 ms. 15. En la figura a continuación se muestran el voltaje y la corriente en los terminales de una batería de automóvil durante un ciclo de carga (a) Calcule la carga total transferida a la batería. (b) Calcule la energía total transferida a la batería.

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i (A)

v (V)

t (ks)

t (ks)

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Métodos de Análisis 2.1 Introducción Esta parte bosqueja las leyes y teoremas más comúnmente usados que se requieren para analizar y resolver circuitos eléctricos. También se obtienen relaciones entre las diferentes leyes y se presentan técnicas para escribir ecuaciones por inspección. Se muestran varios ejemplos que demuestran diferentes aspectos de las leyes. Adicionalmente, se presentan situaciones donde no es posible aplicar directamente los conceptos y se suministran remedios posibles.

2.2 Definiciones y Terminologías En lo que sigue se estudian varias definiciones y terminologías de uso frecuencia en el análisis de circuitos. El lector encontrará regularmente estas terminologías y por ello es importante estudiarlas y entenderlas en este momento. Una conexión entre diferentes elementos de circuito puede llamarse una red eléctrica. El diagrama de circuito mostrado en la Fig. 2.1 es una red eléctrica.

•

Red Eléctrica

•

Circuito Eléctrico

Una conexión entre diferentes elementos de circuito de una red eléctrica que forman una trayectoria cerrada se denomina un circuito eléctrico. La trayectoria cerrada se denomina bien sea un lazo o una malla. En la Fig. 2.1, las mallas BDEB, ABCA y BCDB son circuitos eléctricos porque forman una trayectoria cerrada. En general, todos los circuitos son redes pero no todas las redes son circuitos. Un punto de conexión de varios elementos de circuito se denomina un nodo. Por ejemplo, A, B, C, D y E son cinco nodos en la red eléctrica de la Fig. 2.1. Observe que no hay ningún elemento conectado entre los nodos A y C y por tanto no puede considerarse como un solo nodo.

•

Nodo

•

Rama

La trayectoria en una red eléctrica entre dos nodos se denomina una rama. AB, BE, BD, BC, CD y DE son seis ramas en la red de la Fig. 2.1.

Figura 2.1. Una red eléctrica que muestra nodos, ramas, elementos y lazos.

2.3 Leyes de Kirchhoff Posiblemente el conjunto de leyes más común y más útil para resolver circuitos eléctricos es el de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff. A partir de estas leyes se pueden deducir otras relaciones útiles.

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2.3.1

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Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) “La suma de todos los voltajes (elevaciones y caídas) alrededor de un lazo cerrado es igual a cero”.

En otras palabras, la suma algebraica de todas las elevaciones de voltajes es igual a la suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un lazo cerrado. En la Fig. 2.1, considere la malla BEDB; entonces, según la LVK, V3 = V4 + V 5

Ejemplo En cada uno de los diagramas de circuitos en la Fig. 2.2, escriba las ecuaciones de mallas usando la LVK. R1 V s

R1 V s

R2

I

(a) Malla única con corriente I.

R2 I 2

I 1

R3

(b) Dos mallas con corrientes I 1 e I 2. R4 I 3 R1

V s

I 1

R2

I 2

R3

(c) Tres mallas con corrientes I 1, I 2 e I 3.

Figura 2.2. Diagramas de circuitos para demostrar la aplicación de la LVK en el ejemplo.

La Fig. 2.2(a) contiene un solo lazo y, por ello, una sola corriente I fluye a su alrededor. Por tanto, sólo resultará una sola ecuación: Vs = IR1 + IR2 (2.1) Si V s, R1 y R2 se conocen, entonces se puede determinar I . La Fig. 2.3(b) contiene dos mallas con corriente I 1 e I 2, por tanto, habrá dos ecuaciones como se muestra a continuación. Observe que la rama que contiene a R2 es común a ambas mallas y por ella fluyen corrientes I 1 e I 2 en direcciones opuestas. Lazo izquierdo Vs = I 1 R2 + ( I 1 − I 2 ) R2 Vs = ( R1 + R2 ) I 1 − R2 I 2

(2.2)

Lazo derecho

0 = ( I 2 − I 1 ) R2 + I 2 R3 0 = − R2 I1 + ( R2 + R3 ) I 2

(2.3)

José R. Morón

21

Dados V s, R1, R2 y R3,, las Ecs. (2.2) y (2.3) pueden resolverse simultáneamente para evaluar I 1 e I 2. Para el diagrama del circuito en la Fig. 2.2(c), es necesario escribir tres ecuaciones. Observe también que no hay un elemento de circuito compartido por los lazos 2 y 3 y, por tanto, I 2 e I 2 son independientes entre sí. Lazo izquierdo Vs = ( I 1 − I 3 ) R1 + ( I 1 − I 2 ) R2 Vs = ( R1 + R2 ) I 1 − R2 I 2 − R1 I 3

(2.4)

Lazo derecho

0 = ( I 2 − I 1 ) R2 + I 2 R3 0 = − R2 I1 + ( R2 + R3 ) I 2

(2.5)

Lazo superior

0 = ( I 3 − I 1 ) R1 + I 3 R4 0 = − R1 I1 + ( R1 + R4 ) I 3

(2.6)

Si se conocen V s y los valores de los resistores, se pueden evaluar las corrientes de mallas resolviendo las Ec. (2.4), (2.5) y (2.6) simultáneamente. Resistores en Serie Consideremos la Fig. 2.3 con una fuente de voltaje y dos resistores conectados en serie para formar una sola malla con corriente I . De acuerdo con la LVK Vs = V1 + V 2

Usando la ley de Ohm, se obtiene IReq = IR1 + IR2 Req = R1 + R2

(2.7)

V s

Figura 3.3. Combinación en serie de dos resistores.

donde Req es la resistencia combinada o equivalente de la red en serie. Por tanto, la resistencia equivalente de dos resistores conectados en serie la da la suma de todas las resistencias. Este resultado se puede extender a más de dos resistores; en general, para n resistores conectados en serie, Req es dada por Req = R1 + R2 + R3 +

⋯

+ Rn

(2.8)

José R. Morón

22

Regla del Divisor de Voltaje (RDV) La regla del divisor de voltaje proporciona una fórmula útil para determinar el voltaje en cualquier resistor cuando dos o más resistores están conectados en serie con una fuente de voltaje. En la Fig. 2.3, el voltaje en cada resistor individual puede darse en términos del voltaje de la fuente y la magnitud de las resistencias individuales como V1 = V s V2 = V s

R1 R1 + R2

(2.9)

R2

(2.10)

R1 + R2

En general, para n resistores conectados en serie, el voltaje en el i-ésimo resistor puede calcularse como Vi = V s

2.3.2

Ri R1 + R2 + ⋯ + Ri + ⋯ + Rn

(2.11)

Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) “La suma algebraica de todas las corrientes que entran o salen de un nodo en un circuito eléctrico es igual a cero.”

En otras palabras, la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo en un circuito eléctrico. Considere el nodo B en la Fig. 2.1; entonces, según la LCK, I1 + I4 = I2 + I 3

Resistores en Paralelo Consideremos la Fig. 2.4 con una sola fuente de corriente y dos resistencias conectadas en paralelo. Todos los elementos de circuito en paralelo tienen el mismo voltaje V entre sus terminales, esto es, V1 = V2 = V .

Se aplica la LCK en el nodo A, y se obtiene I s = I1 + I 2 Ahora usamos la ley de Ohm,

V V V = + Req R1 R2

o 1 Req

=

1 R1

+

1 R2

(2.12)

donde Req es la resistencia equivalente de la red de resistores en paralelo. Para n resistores conectados en paralelo, la resistencia combinada es 1 1 1 1 = + +⋯ + (2.13) Req

o, en términos de la conductancia G,

R1

R2

Rn

José R. Morón

23

Geq = G1 + G2 + ⋯ + Gn

I s I s

V 1

I 1

I 2

R1 V 2

R2

(2.14)

I s

Figura 2.4. Conexión de resistores en paralelo.

Regla del Divisor de Corriente La regla del divisor de corriente proporciona una relación útil para determinar la corriente que atraviesa elementos de circuito individuales que están conectados en paralelo. Para el circuito mostrado en la Fig. 2.4, la corriente que pasa por cada resistor puede evaluarse usando las fórmulas siguientes: I 1 = I s I 2 = I s

R2

(2.15)

R1 R1 + R2

(2.16)

R1 + R2

Observe la diferencia entre la RDV y la RDC (para dos resistores) en términos del valor del resistor en el numerador. Para generalizar la RDC para n resistores, se usa el parámetro conductancia. Por tanto, para hallar la corriente a través del k-ésimo resistor de n resistores conectados en paralelo, se puede usar la siguiente relación: I k = I s

Gk G1 + G2 + ⋯ + Gk + ⋯G n

(2.17)

La ecuación anterior tiene la misma forma que la RDV generalizada con R reemplazada por G y los voltajes reemplazados por variables de corriente.

2.4 Métodos de Análisis de Circuitos Eléctricos La LVK, la LCK y la ley de Ohm son las herramientas primarias para analizar circuitos eléctricos de CD. El término análisis nodal se usa generalmente cuando se analiza un circuito eléctrico con la LCK, en tanto que el análisis de lazos o de mallas se utiliza para resolver problemas usando la LVK. Los métodos de análisis de mallas y de nodos estudiados a continuación son bastante sistemáticos y normalmente proporcionan la solución a un problema dado. Sin embargo, requieren de bastante cálculo computacional y pueden existir soluciones directas usando técnicas de reducción tales como combinaciones de resistores (en serie y en paralelo) y métodos con RDV y/o RDC. 2.4.1. Análisis de Mallas La técnica del análisis de mallas consiste de los pasos siguientes: 1. Identifique y asigne una corriente a cada malla de la red (preferiblemente en la misma dirección).

José R. Morón

24

2. Escriba las ecuaciones de mallas usando la LVK y simplifíquelas. 3. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas. 4. El número de ecuaciones es igual al número de mallas en la red. 2.4.2. Análisis Nodal Los pasos siguientes describen el método de análisis nodal: 1. Identifique y asigne un voltaje arbitrario a cada nodo, incluyendo el nodo de referencia en la red, suponiendo que todas las corrientes salen del nodo. Normalmente se supone que el nodo de referencia esta a cero potencial. 2. Escriba las ecuaciones nodales usando la LCK y simplifíquelas. 3. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas. 4. El número de ecuaciones es N − 1, donde N es el número de nodos en la red, incluyendo el nodo de referencia. Ejemplo Calcule la corriente entregada por la fuente de 30 V y la corriente que pasa por cada resistor en el circuito mostrado en la Fig. 2.5 usando (1) análisis nodal, (2) análisis de mallas (3) técnicas de reducción de circuitos. Use los valores R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω.

R1 R2

V s

R3

R4

Figura 2.5

Solución 1. Análisis Nodal La transformación de fuentes no es posible para este circuito ya que requiere un resistor en serie con la fuente de voltaje. En el diagrama se identifican tres nodos y se marcan como 0, 1 y 2 como se ilustra en la Fig. 2.6, donde 0 es el nodo de referencia. Los voltajes de los nodos 1 y 2 se identifican como V 1 y V 2, respectivamente.

R1 V s

R2

R3

R4

Figura 2.6. Diagrama de circuito que muestra tres nodos marcados como 0, 1 y 2, donde 0 es el nodo de referencia.

José R. Morón

25

La fuente de voltaje V s y R2 están en paralelo; por tanto, V 1 = V s = 30 V, por inspección. Aplicando la LCK en el nodo 2 y suponiendo que todas las corrientes salen del nodo, se obtiene V2 − V1 V2 V2 + + =0 R1 R3 R4 V2 − 30 V2 V 2 +

10

+

10 10

=0

V2 − 30 + V2 + V 2 = 0 V 2 = 10 V

Las corrientes requeridas pueden ahora obtenerse usando la ley de Ohm: I R1 =

V1 − V 2 30 − 10 = =2A 10 R1

I R2 =

V 1 30 = =3A R2 10

I R3 =

V 2 10 = =1A R3 10

I R4 =

V 2 10 = =1A R4 10

La corriente suministrada por la fuente de voltaje, I s, es la suma de las corrientes I R1 y I R2 , esto es, I s = I R1 + I R2 = 2 + 3 = 5 A

Solución 2. Análisis de Mallas En la Fig. 2.7 se pueden identificar tres mallas con corrientes I 1, I 2 e I 3, donde se supone que todas las corrientes fluyen en la dirección de las agujas del reloj. Observe los elementos de circuito comunes (compartidos) entre las mallas, como R2 (entre las mallas 1 y 2) y R3 entre las mallas 2 y 3). La corriente a través de R2, por ejemplo, será I1 − I 2 cuando consideramos la malla 1 y es I 2 − I 1 para la malla 2. R1 V s

I 1

R2

I 2

R3

I 3

R4

Figura 2.7. Para análisis de mallas se señalan tres lazos con corrientes I 1, I 2 e I 3.

Ahora se pueden escribir las ecuaciones LVK:

José R. Morón

26

( I 1 − I 2 ) R2 = Vs ( I 2 − I 1 ) R2 + I 2 R1 + ( I 2 − I 3 ) R 3 = 0 ( I 3 − I 2 ) R3 + I 3 R4 = 0

A continuación se sustituyen los valores dados de la fuente de voltaje y de los resistores, y se obtiene el sistema de ecuaciones I 1 − I 2 = 3

(2.18)

I 1 − 3I 2 + I 3 = 0

(2.19)

I 2 − 3 I 3 = 0

(2.20)

cuya solución es I 1 = 5 A, I 2 = 2 A, I 3 = 1 A

Por tanto, I s = I 1 = 5 A I R1 = I 1 = 2 A I R4 = I 3 = 1 A I R2 = I1 − I 2 = 3 A I R3 = I 2 − I 3 = 1 A

Solución 3. Técnicas de Reducción de Circuitos Las técnicas de reducción de circuitos incluyen las fórmulas de combinación serie/paralelo y las de RDV y RDC. Del diagrama del circuito en la Fig. 2.5 es claro que R3 y R4 están en paralelo y pueden combinarse y reducirse a un solo resistor, R5. Por tanto, R5 =

10 × 10 R3 R4 = =5Ω R3 + R4 10 + 10

R5 está en seré con R1 y su resistencia combinada, R6, es entonces R6 = R1 + R5 = 10 + 5 = 15 Ω

La resistencia equivalente, R6, está ahora en paralelo con R2, lo que da una sola resistencia, R7, igual a 6 Ω. El proceso en cada paso se s e muestra en la Fig. 2.8. I s

I s

I s

R1 V s

R2

R3

V s

R2

R6 V s

R7

Figura 2.8. Reducción del circuito usando la combinación serie/paralelo de resistores.

José R. Morón

27

De la Fig. 2.8(c), la corriente I s suministrada por la fuente de voltaje puede calcularse usando la ley de Ohm:

I s =

V s 30 = =5A R7 6

En la Fig. 2.8(b), la corriente que pasa por R2 puede hallarse aplicando la RDC entre R2 y R6, es decir,

I R2 = Is

R6 R2 + R6

=5

15 = 3 A ⇒ I R6 = Is − I R2 = 2 A 10 + 15

Como R6 es una combinación en serie de R1 y R5, entonces

I R1 = I R5 = 2 A La corriente I R5 es la suma de las corrientes que atraviesan la combinación en paralelo de R3 y R4. Se puede aplicar la RDC para determinar las corrientes en cada resistor. Puesto que R3 = R4, las corrientes I R3 e I R4 son

I R3 = I R4 = 1 A

2.5 Otras Configuraciones Comunes de Circuitos Además de los ejemplos descritos en las secciones anteriores, hay ciertas situaciones donde puede no ser posible la aplicación de las reglas de circuitos. En esta sección, se describen dos de esas configuraciones y sus soluciones. 2.5.1. Supernodo Un supernodo existe cuando una fuente de voltaje ideal aparece entre dos nodos cualesquiera en un circuito eléctrico. La forma usual de resolver esto es escribiendo las ecuaciones LCK para ambos nodos y simplemente sumarlas para obtener una sola ecuación ignorando al voltaje de la fuente en cuestión. Sin embargo, esto significaría una ecuación menos que el número de variables (voltajes nodales) presentes en el circuito. Se puede especificar fácilmente una ecuación de restricción dada por la magnitud de la fuente de voltaje ideal entre los nodos y los voltajes nodales respectivos. El ejemplo siguiente ayudará a aclarar esta situación. Ejemplo Determine el voltaje a través de la fuente de corriente de 1 A en circuito de la Fig. 2.9 usando análisis nodal.

supernodo

Figura 2.9. Ilustración de un supernodo.

José R. Morón

28

Una simple inspección del circuito revela la existencia de tres nodos, excluyendo el nodo de referencia, y se identifican como V 1, V 2 y V 3 como sus respectivos voltajes nodales. La presencia de una fuente de voltaje ideal entre los nodos 2 y 3 crea un supernodo y es necesaria una ecuación de restricción. Como se mencionó, el análisis nodal se realiza en la forma normal y las ecuaciones nodales de los nodos 2 y 3 se suman. Nodo 1

1=

V1 − V 2 V1 − V 3 +

10 10 10 = 2V1 − V2 − V 3

(2.21)

Supernodo

0 =  

V2 − V1 V 2   V3 V3 − V 1 

10

+

+

10   10

+

10

 

0 = −V1 + V2 + V 3

(2.22)

Puesto que hay tres variables y dos ecuaciones, necesitamos otra ecuación. Ésta puede escribirse como la ecuación de restricción entre los nodos 2 y 3; ella es: Ecuación de Restricción V2 − V 3 = 2

(2.23)

Las Ecs. (2.21), (2.22) y (2.23) pueden resolverse simultáneamente para determinar los voltajes nodales V 1, V 2 y V 3. Aquí solamente se pide el voltaje V 1 y éste es V 1 = 10 V

2.5.2. Supermalla Una supermalla existe cuando una fuente de corriente ideal aparece entre dos mallas de un circuito eléctrico. En una situación así, como con el supernodo, se escriben las ecuaciones de mallas para las mallas involucradas y se suman dando una sola ecuación. Una vez más, se tendrá una ecuación menos que el número de variables (corrientes de mallas) y por tanto se necesita una ecuación de restricción. Ésta se basaría en la magnitud de la fuente de corriente ideal que está entre las dos mallas y sus corrientes de mallas. El ejemplo siguiente ayudará a aclarar la situación. s ituación. Ejemplo Determine la corriente suministrada por la fuente de 10 V en el circuito de la Fig. 2.10. Malla 1

10 I 1 + 10 10 ( I 1 − I 2 ) + 10 ( I 1 − I 3 ) = 0 3I 1 − I 2 − I 3 = 0

(2.24)

Supermalla 10 ( I 2 − I 1 ) + 10 ( I 3 − I 1 ) + 10 I 3  = 1 0 − 2 I 1 + I 2 + 2 I 3 = 1

(2.25)

José R. Morón

29

supermalla

Figura 2.10. Ilustración de una supermalla.

La corriente suministrada por la fuente de 10 V es I 2. Por tanto, al resolver el sistema se obtiene I 2 = 1 A

José R. Morón

30

Continuación Problemas 16.

Determinar la potencia absorbida (o entregada) por cada uno de los seis elementos del circuito de la figura y demostrar que su suma es igual a cero. + v1 −

+ v2 −

+ v3 −

i

4v 1 − v 2

2v 3 + v2

Solución: Considere la LVK alrededor del lazo único en el circuito de la figura. + v1 −

+ v2 −

+ v3 −

i

4v 1 − v 2

2v 3 + v2

−40 + v1 + v2 + v3 − ( 2 v3 + v2 ) + 4 v1 − v2 =

0 ⇒ 5v1 − v2 − v3 = 40

o 25i − 25i − 20 i = 40 ⇒ i = −2 A Las potencias absorbidas por los resistores son: P5 Ω = ( −2 ) 2 × 5 = 20 W,

P25 Ω = ( − 2 ) 2 × 25 = 100 W,

P20 Ω = (− 2) 2 × 20 = 80 W

Para la fuente de 40 V, P40 V = (−40) ( −2 ) = 80 W (absorbe)

Para la fuente identificada como 4 v1 − v2 : 4v1 − v2 = 4 ( −2 ) ( 5 ) − (− 2 ) ( 25 ) = 10 V y su potencia es P4 v1 − v2 = ( 10 ) ( −2 ) = −20 W (entrega)

Para la fuente identificada como 2 v3 + v2 : 2 v3 + v2 = 2 ( −2 ) ( 20 ) + (− 2 ) ( 25 ) = − 130 V y su potencia es P2 v3 + v2 = [− ( −130 )] (− 2 ) = − 160 W (entrega)

Se verifica fácilmente que la potencia entregada es igual a la potencia absorbida.

17.

Determinar V o en el circuito de la figura y la potencia consumida o absorbida por cada elemento.

José R. Morón

31

I 0 = 2 A

+ 28 V – + 12 V –

1A 3A

30 V

+ V 0 –

+ –

– +

5 I 0

3A

R: V o = 18 V

18.

La conservación de energía requiere que la suma de la potencia recibida por todos los elementos en un circuito sea cero. La figura muestra un circuito y en él se especifican todos los voltajes y corrientes en los elementos. ¿Son correctos estos voltajes y corrientes? Justifique su respuesta.

19.

En el circuito de la Fig. P.19, calcule la relación VO V S .

20.

En el circuito de la Fig. P.20, calcule la relación IO I S . 3Ω

12 Ω

I O 12 Ω

+

V S

18 Ω

3Ω

I S

V O −

3Ω

12 Ω

3Ω

P.19

21.

P.20

Halle la potencia total desarrollada en el circuito de la figura si vo = 5 V.

vg

+ + va −

vo −

10va

José R. Morón

32

Solución: Considere el circuito dibujado a continuación. + v 9A

i

vg

+

−

vo

+

10va

−

va −

vo = 5 V ⇒ va =

vo

10

= 0.5 V

i = 9 + 6 = 15 A

20 + v9A = 5 ⇒ v9A = −15 V va − v g = 0.5 ⇒ v g = −4.5 V

Las potencias entregadas o recibidas son: Fuente de 9 A

p9A = ( 15 )( 9 ) = 135 W (entrega)

Fuente de 20 V:

p20V = ( 20 )( 9 ) = 180 W (recibe)

Fuente v g:

pv g = ( 4.5 )( 6 ) = 27 W (recibe)

Fuente de 6 A:

p6A = ( 0.5 )( 6 ) = 3 W (recibe)

Fuente vo:

pvo = ( 5 )( 15 ) = 75 W (entrega)

Por tanto: Potencia entregada = p9A + pv = 135 + 75 = 210 W o

Potencia recibida = p20V + pv + p6A = 180 + 27 + 3 = 210 W g

y se cumple que ambas potencias, entregada y recibida, son iguales.

22.

(a) Determine los valores de R1 y R2 en la figura (b) que hacen que el circuito de esta figura sea equivalente al circuito de la figura ( a). (b) Analice el circuito en la figura (b) para determinar los valores de las corrientes ia e i b. (c) Como los circuitos son equivalentes, las corrientes ia e i b son iguales en los dos circuitos. Use este hecho para determinar los valores del voltaje v1 y la corriente i2 mostrados en la figura (b). Todos los valores de las resistencias están en ohmios (Ω)

José R. Morón

33

−

v1 + 10 Ω

ia

8Ω

i b

ia i b

i2 24 Ω

9Ω

8Ω

12 Ω

(a)

23.

(b )

En el circuito de la figura: (a) Halle las corrientes I 1, I 2, I 3, I 4 e I 5. (b) Calcule los voltajes V ab y V cd. (c) Verifique que la potencia entregada al circuito es igual a la suma de las potencias disipadas en los resistores.

Solución: Sólo se resolverá la parte (a).

Primero se determina la resistencia vista por la fuente: ( R3 + R6 ) R6 =

( 3 + 6 )× 6

18 18 23 kΩ ⇒ R2 + ( R3 + R6 ) R6 = 1 + = kΩ 3+6+6 5 5 5 23 5× 5 = 115 kΩ R4 ( R2 + ( R3 + R6 ) R6 ) = 23 48 5+ 5 =

Rtotal = R1 + R4 ( R2 + ( R3 + R6 ) R6 ) + R7 = 1+

Por tanto, I 1 =

115 259 +2= kΩ 48 48

28 192 = ≈ 5.2 mA 259 48 37

Las demás corrientes se determinan aplicando el principio del divisor de corriente: I 4 = I1 × I3 = I2 ×

24.

23 5 192 23 = × ≈ 2.5 mA ⇒ I 2 = I1 − I4 ≈ 2.7 mA 5 + ( 23 5 ) 37 48

6 ≈ 1.1 mA ⇒ I 5 = I2 − I 3 ≈ 1.6 mA ⇒ I6 = I5 + I3 ≈ 2.7 mA 15

Las resistencias marcadas como R1 y R2 en la figura forman lo que se conoce como un atenuador, una red usada con frecuencia en aplicaciones de audio para lograr una resistencia equivalente Req dada y una ganancia vo v f . Demuestre que si Req = RL, entonces RL2 = 4 R1 ( R1 + R2 ) y

José R. Morón

34

vo v f = R2 ( 2 R1 + R2 + RL ) . (b) Especifique valores adecuados para R1 y R2 para obtener que Req = RL = 600 Ω con vo v f = 0.5 V/V. R1

v f

R1 + vo

R2 R1

RL

−

R1

Req

25.

En el circuito de la figura: (a) determine Req si R = 10 kΩ; (b) hallar R para que Req = 18 kΩ; (c) hallar R para que Req = R. 10 kΩ

Req

10 k Ω

R

26.

El circuito mostrado en la figura contiene siete resistores, cada uno de resistencia R. La entrada a este circuito es el voltaje de la fuente vs. El circuito tiene dos salidas, va y v b. Exprese cada salida en función de la entrada.

27.

Hallar V ab en el circuito de la figura.

Solución: En la figura siguiente, el circuito se dibuja de nuevo y se identifican 3 corrientes: i, i1 e i2.

i

i1

i2

José R. Morón

35

Primero se determinará la corriente i calculando la resistencia vista por la fuente de voltaje: Recorriendo el circuito de derecha a izquierda, se obtiene 10 10 = 5 Ω ⇒ ( 3 + 5 + 2 ) 15 = 6 Ω Entonces, T total = resistencia vista por la fuente = 9 + 6 = 15 Ω

Por tanto, i =

30 =2A 15

Ahora usamos la regla del divisor de corriente, dos veces, para calcular i1 e i2: 2 × 15 = 1.2 A 25 1.2 i2 = = 0.6 A 2 i1 =

El voltaje V ab es la suma de las caídas de voltaje en las resistencias de 3 Ω y 4 Ω, respectivamente; para la polarizada indicada, este voltaje es, Vab = V4 Ω + V 3 Ω = − 4 × 0.6 − 3 × 1.2 = − 6 V

28.

Determinar la potencia que absorbe la resistencia de 5 Ω en el circuito de la figura.

1Ω 5A

α ≠ 5 0.25 Ω

v1

5αvv11 5Ω

29.

(a) Halle el voltaje vx en el circuito de la figura usando división de voltaje y/o división de corriente. (b) Reemplace la fuente de 18 V con una fuente de voltaje general igual a V f . Supóngase que V f es positivo en el terminal superior. Halle vx en función de V f .

+ vx

30.

−

Determine el valor de R para que la resistencia entre los terminales a-b sea igual a 2 Ω.

José R. Morón

36

R

1/2 Ω

a

5Ω

3Ω

4Ω

b

Solución: Combinando las resistencias de derecha a izquierda, se obtiene

5 4=

5 × 4 20 20 = Ω ⇒ R+ 9 9 9

20   20   9  = 27 R + 60 ⇒ R+  3 =  20 9 9 R + 47  3+R+ 9 3 ×  R +

1 27 R + 60 + = 2 ⇒ R ≈ 0.8 Ω 2 9 R + 47

31. 32.

En el circuito de la figura, la corriente i1 = 5 A. Determine el voltaje de la fuente v y las corrientes indicadas. Para el circuito serie-paralelo de la figura, determine v e i. 5Ω

i1 i

i2 v

i3 4Ω

3Ω

i4 3Ω

2Ω

4Ω +

6Ω

3Ω

4Ω

10 V

2Ω

v

−

Problema 31

Problema 32

Solución Problema 31: Combinando las resistencias del lado derecho, se obtiene

1 Req

=

1 1 1 + + 4 3 6

⇒ Req =

4 Ω 3

El voltaje de la fuente es entonces 4 95 v = 5 ×  5 +  = V 

3

3

y el voltaje en los tres resistores en paralelo es, por división de voltaje, v par

4 95 20 = × 3 = V 3 5+ 4 3 3

Las corrientes incógnitas se encuentran con simplemente aplicar la ley de Ohm.

33.

El circuito mostrado en la figura contiene una fuente dependiente. Determine el valor de la ganancia k de esa fuente dependiente.

José R. Morón

34.

37

R: k = 9

En el circuito de la figura, calcule i, v1, v2 y v3. i

3Ω +

v3

− +

+ 5Ω

18 V

v1

3Ω

2A

6Ω

−

v2

−

35.

Para el circuito de la figura, utilice la LCK para hallar las corrientes ramales I 1 a I 4.

36.

El circuito de la figura es del tipo conocido como un circuito puente. Dado que R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω y v1 = 7 V, determine v2, i, v3 y la resistencia Req = v g/i g vista por la fuente de voltaje. ii g g

+

+ vv11

vv33 − vv g = = 12 12VV g

R11 R

Ω 33 Ω

−

Ω 44Ω

R Reqea

Ω 66Ω

R22 R

+ v2

v2

−

37.

Para el circuito de la figura, determine cada una de las corrientes indicadas. Si el circuito tiene un fusible de 15 A como se muestra, ¿es la corriente suficiente para hacer que el fusible se rompa?

José R. Morón

38

��

Solución: Primero se obtiene R1:

1000 =

1202 R1

⇒ R1 =

120 2 = 14.4 Ω 1000

Para las direcciones indicadas, los valores de las corrientes son: 120 25 =− A 14.4 3 120 5 I3 = − = − A 48 2 I1 = −

El valor de la corriente I T es

IT = I1 + I 4 = −

120 = −5 A 24 15 I 4 = I 2 + I3 = − 2

I 2 = −

25 15 95 − =− A 3 2 6

La magnitud de I T es mayor que 15 A. Por tanto, el fusible se abre.

38.

Escriba una expresión para RT y RT para las redes de las Figs. (a) y (b).

39.

Determinar Rin en el circuito de la figura usando técnicas de conversión ∆ − Y.

1

2

7Ω

5Ω

10 Ω

6Ω

Rin 9Ω

40. 41.

4Ω

6Ω

20 Ω

12 Ω

3Ω

Hallar V e I en el circuito de la figura si la corriente que pasa por el resistor de 3 Ω es 2 A. Calcule la resistencia entre las terminales de entrada ab de la red de la figura.

José R. Morón

39

1Ω

2Ω 6Ω

4Ω V

4Ω

6Ω

2A

3Ω

0.6 Ω

2Ω

1Ω

a

6Ω

3Ω

5Ω

4Ω

b

Problema 38

Problema 39

42.

Obtenga la resistencia equivalente Rab en el circuito de la figura, si todos los resistores tienen un valor de 30 Ω.

43.

Calcule Rab en el circuito de la figura. Todas las resistencias valen 1. 8 k Ω. a

b

a

b

Problema 42

44.

Problema 43

Utilice transformaciones Y-∆ y ∆-Y para calcular la resistencia de entrada de la red que se muestra en la figura. 5Ω

75 Ω

6Ω

4Ω

2Ω 3Ω

9Ω 100

12 Ω

45.

Halle Rab en el circuito de la figura.

46.

Halle la resistencia equivalente Rab en el circuito de la figura.

José R. Morón

40

Solución: Consideremos las dos secciones conectadas en delta señaladas en el lado izquierdo de la figura siguiente. Éstas deltas se toman para su conversión en estrellas (observe que sus resistencias suman 100 Ω). El circuito resultante luego de la conversión se muestra en el lado derecho de la figura. La resistencia vista desde los terminales a-b resulta de combinar en serie la resistencia en serie de (33 Ω + 5 Ω) en serie con la resultante de la combinación en paralelo de las resistencias de (4 Ω + 6 Ω) y (20 Ω + 52 Ω + 28 Ω) más la resistencia en serie de (40 Ω + 3 Ω). El resultado de la combinación es Rab = 90 Ω.

a

5Ω

33 Ω

20 Ω 4Ω 52 Ω

b

47.

40 Ω

3Ω

6Ω 28 Ω

Use conversión ∆ − Y o Y − ∆ para hallar la corriente I y el voltaje V ab en el circuito de la figura.

b

Solución: El problema plantea el uso de una conversión. Se deja el uso de este método para el lector. Sin embargo, una forma sencilla de resolver este problema es la siguiente: Observe que los resistores R2 y R3 están en paralelo; por tanto, su combinación es igual a 10 Ω y ésta en serie con R1. La combinación de estas dos últimas resistencias es igual a 30 Ω y ésta está en paralelo con R4. De manera que la resistencia vista por la fuente es igual a 15 Ω y la corriente I es igual a I = 24 15 = 1.6 A . El voltaje en la resistencia R2 se puede hallar fácilmente aplicando el principio de la división de voltaje.

48.

Utilice una transformación Y-∆ para calcular (a) i0 y (b) la potencia suministrada por la fuente de tensión.

José R. Morón

41 56 Ω

44 Ω

80 Ω

2

20 Ω

i0

1

40 Ω

5V

3

10 Ω

49.

Utilizar transformaciones Y-∆ y ∆-Y para calcular la resistencia de entrada de la red que se muestra en la figura.

50.

Determinar la resistencia equivalente entre los terminales A y B del circuito de la figura. A 6Ω

6Ω 3Ω

6Ω

3Ω

Req

3Ω

6Ω B

6Ω

51.

6Ω

Use una transformación Y−∆ para hallar (a) io; (b) i1; (c) i2 y (d) la potencia entregada por la fuente de corriente en el circuito de la figura.

i1

i2

52.

io

(a) Supóngase que la fuente de 100 V en el circuito se cambia a 67.5 V. Halle la potencia total disipada en el circuito.

José R. Morón

42

(b) Repita la parte (a) si la fuente de corriente de 4 A se reemplaza por un cortocircuito. (c) Explique por qué las respuestas (a) y (b) son iguales. (d) Suponga ahora que desea cambiar el valor de la fuente de 25 V en vez de la fuente de 100 V para obtener la misma potencia disipada por la fuente de corriente que se calculó en las partes (a) y (b). ¿Cuál es el nuevo valor de esta fuente de voltaje?

53.

Si V = 6 V en el circuito de la figura, encuentre I . 3Ω

1Ω

+

4V

2Ω

6Ω

I

V

−

Solución. El circuito se dibuja de nuevo y se indican algunas incógnitas. V 1

1Ω

3Ω

I 1

I 2 2Ω

4V

6Ω

I

+

I 1

V

−

Ref.

Del circuito se obtiene que 6 = 1 A ⇒ V1 = 3I 1 = − 4 + 6 = 5 V 6 V 5 I 2 = 1 = V 1+ 2 3 y al aplicar la LCK en el nodo V 1, se obtiene I1 =

5 8 A 3 3

I = I1 + I 2 = 1 + =

Observación: Ésta no es la única forma de resolver este problema.

54. 55.

Para el circuito dado en la figura, calcule v e i. Determine i en el circuito de la figura.

José R. Morón

43 1Ω

i

3Ω

2Ω

4Ω

2Ω

4Ω 3Ω

+ 10 V

4Ω

3Ω

2Ω

4Ω

4Ω 4Ω

v

10 V

−

2A

4Ω

i

Problema 54

56.

a)

Problema 55

Use el método de corrientes de mallas para hallar todas las corrientes indicadas.

b) Verifique sus respuestas demostrando que la potencia total generada es igual a la potencia total disipada. 4 id

ia

57.

ib

ie

2ib

ic

id

a) Use el método de voltajes nodales para hallar vo y la potencia entregada por la fuente de corriente de 2 A en el circuito de la figura. Use el nodo como el nodo de referencia. b) Repita la parte (a), pero use el nodo b como el nodo de referencia. c) Compare la selección del nodo de referencia en (a) y (b). ¿Cuál es mejor y por qué?

vo

58.

Determine los valores de los voltajes nodales v1, v2 y v3 en el circuito de la figura. Use análisis de nodos. 4ia

2Ω

12 V

+ v1 −

59.

2Ω

2Ω

+ v2 −

2Ω ia

+ v3 −

1A

Los voltajes v1, v2, v3 y v4 son los voltajes nodales correspondientes a los nodos 1, 2, 3 y 4 en el circuito de la figura. Use análisis de mallas para determinar estos voltajes nodales.

José R. Morón

44

5va

10 Ω

+−

3ib

ib

20 Ω +

+ 25 V −

va

30 Ω

2A

−

60.

a) ¿Cuál método usaría usted, mallas o nodos, para hallar la potencia absorbida por la fuente de 20 V en el circuito de la figura? Explique su selección. b) Use el método seleccionado en a) para hallar la potencia.

v∆

vo

61.

Calcule la potencia que se disipa en cada resistor de la figura. 0.5i0

4Ω

8Ω

i0

10 V

1Ω

2Ω

Solución. El problema se resolverá aplicando análisis de mallas. Para aplicar el método, el circuito se redibuja a continuación y se indican las corrientes de mallas. 0.5i0

4Ω

I 3

8Ω

i0

1Ω

I 1

10 V

I 2

2Ω

José R. Morón

45

Para las corrientes indicadas en la figura, las ecuaciones de mallas correspondientes son: 5 I 1 4 I 3 = −10 10 I 2 − 8 I 3 = 10 Pero I3 = 0.5i0 = 0.5 ( − I1 ) = − 0.5 I1 y por tanto,

5I 1 − ( −0.5I 1 ) = −10 10 I 2 − 8 ( −0.5 I 1 ) = 10 y al resolver este sistema, se obtiene 10 3 10 A, I 2 = − A e i0 = A 7 7 7 Las potencias disipadas en los resistores son: I1 = −

100 400 W, P4 Ω = I 12 × 4 = W 49 49 72 18 P8 Ω = I 22 × 8 = W, P2 Ω = I 22 × 2 = W 49 49 P1 Ω = I 12 × 1 =

62.

(a) Use el método de corrientes de mallas mallas para determinar cuáles fuentes en el circuito de la figura están generando potencia. (b) Halle la potencia total disipada en el circuito. circuito. + v∆ −

i∆

1.7v 1.7 v∆ 9 i∆

63.

Use análisis de mallas para determinar los voltajes v1 y v2. 2S 2vo v1

2A

1S

8S

v2

+ − + 2vo

v3

4S

13 V

−

Solución. Como las resistencias se dan en Siemens, el circuito se resolverá usando análisis nodal. El análisis de mallas se deja para el lector.

Los nodos v1 y v2 forman un supernodo. La restricción en el supernodo es v1 − v2 = 2 vφ = 2 v2

La ecuación LCK para el supernodo es

⇒ v1 = 3v2

José R. Morón

46

v1 ( 1 + 2 ) + v2 ( 4 + 8) − v3 ( 2 + 8) = 2 ⇒ 3v1 + 12 v2 = 2 + 10 v3

El voltaje en el nodo v3 es igual al voltaje de la fuente de 13 V; esto es, v3 = 13 V. Utilizando este hecho, se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener v1 =

132 V, 7

v2 =

44 V 7

64.

Determine I en en el circuito de la figura.

65.

Calcule la potencia disipada en la resistencia de 2 Ω del circuito de la figura. 12 Ω

5Ω

6 Ω

4 Ω

4 Ω

4A

2Ω

2 Ω 16 Ω

I

60 V

120 V

+

ia

+ −

Problema 64

6ia

3Ω

4Ω

5A

Problema 65

Solución Problema 62. En el lado izquierdo del circuito, las resistencias de 12 Ω y 4 Ω, en serie, están en paralelo con la de 16 Ω. Su combinación produce una resistencia de 8 Ω, la cual está en serie con la de 4 Ω en la parte superior de la figura, para una resistencia combinada a la izquierda del circuito de 12 Ω. Ésta está en paralelo con la de 6 Ω a la derecha del circuito y su combinación produce una resistencia de 4 Ω. Entonces, la resistencia “vista” por la fuente de 120 V es igual a 2 + 4 Ω = 6 Ω y la corriente producida es de 120 6 = 20 A , dirigida hacia abajo. Usando ahora el principio de división de corriente, se obtiene la corriente I como como 12 40 I = = − ( 20 ) = A 18 3

66.

Determine el valor de V 0 en el circuito de la figura.

2 k Ω 8 k Ω 6 k Ω

3 k Ω

+ 12 mA

4 k Ω

V 0

−

Solución. En el lado izquierdo del circuito, los resistores de 6 kΩ y 3 kΩ están en paralelo. Su combinación da una resistencia de 2 kΩ, la cual está en serie con la resistencia de 2 k Ω en la parte suprior del circuito. Ahora se aplica el principio del divisor de corriente: la corriente en la rama de 8 kΩ en serie con la resistencia de 4 kΩ es 4 12 × 10−3 = 3 × 10 −3 A 16

dirigida hacia arriba. Por tanto, el voltaje en el resistor de 4 kΩ es V 0 = ( −3 × 10 −3 ) × ( 4 × 10 3 ) = − 12 V

José R. Morón

47

67.

Aplique análisis de mallas para hallar la corriente io en el circuito de la figura.

68.

Calcule la ganancia de corriente io is en la red de la figura. f igura.

Problema 67

Problema 68

Solución Problema 67. Se utilizará análisis de mallas (véase la figura).

i1 i3 i2

Las ecuaciones de mallas son las siguientes: Malla 1: Supermalla (mallas 2 y 3):

16i1 − 10i2 − 2 i3 = 0 −12i1 + 10i2 + 10 i3 = 60

Restricción:

i3 − i2 = 3io = 3i1

y se obtiene el sistema de ecuaciones 8i1 − 5i2 − i3 = 0 −6i1 + 5i2 − 5i3 = 30 − 3i1 − i2 + i3 = 0 de donde se obtiene que i1 = io = −30 A. Solución Problema 68. El circuito con las incógnitas correspondientes se dibuja a continuación. 20 Ω

v1 10 Ω io

+

is

vo −

50 Ω

+ 5vo −

40 Ω

Se usará análisis de nodos en la solución. La ecuación para el nodo vo es 1 1  1  +  − v1   = is  30 20   20 

vo 

Pero v1 = −5 vo y por tanto

José R. Morón

48

5  1   − ( −5vo )   = is  60   20 

vo 

o vo = 3is

En la malla del lado derecho, − 5vo = 50io y al sustituir en la relación anterior, se obtiene io 3 =− is 10

69.

Utilice el método de las corrientes de mallas para calcular la potencia entregada a la resistencia de 2 Ω en el circuito. ¿Qué porcentaje de la potencia total generada se entrega a la resistencia de 2 Ω? 45 i

1Ω

2Ω i

25 Ω

20 V

4Ω

70.

80 V

3Ω

Para el circuito de la figura, determine la corriente de malla i1 y la potencia disipada en el resistor de 1 Ω.

i1

71.

Utilice análisis nodal para determinar los voltajes en los nodos 1, 2, 3 y 4. + 1

2Ω

2

1Ω + v0

10 Ω

10 Ω

30ia −

4Ω

3 −

20 Ω

4

ia

20 Ω

3.2v0

José R. Morón

49

72.

Halle los voltajes nodales en el circuito de la figura.

73.

Use análisis nodal para hallar V o en el circuito de la figura. 12 V

4I x

V x

1 kΩ

V o

1 kΩ

1 k Ω 2 mA

2V x

I x

74.

En el circuito de la figura, determine todos los cuatro voltajes nodales.

75.

(a) Use el método de corrientes de mallas para determinar cuáles fuentes en el circuito de la figura están generando potencia. (b) Calcule la potencia total disipada en el circuito. 2Ω +

v

5Ω −

i∆

4Ω 50 V

20 Ω +

−

9 i∆

1.7 v

José R. Morón

76.

50

Use el método de corrientes de mallas para calcular las corrientes de rama ic e id.

ia

4.3id

10 Ω 25 Ω

100 Ω

id

200 V

ic

50 Ω

i b

10 Ω

77.

Use el método de los voltajes nodales para hallar vo en el circuito de la figura.

vx

vo

78.

En el circuito de la figura determine la corriente I : (a) Mediante el método de análisis de nodos; (b) Mediante el método de análisis de mallas;

2Ω 12 V

4V

1Ω 2A

1Ω

79.

Calcule v0 en el circuito de la figura.

2 I

I

1Ω

José R. Morón

51

200 Ω

300 Ω 2 k Ω

+

15 mA

v0

− 10 k Ω

300 Ω

80.

1 k Ω

Determine v1 y v2 en el circuito de la figura usando análisis nodal. �Ω

�� Ω Ω

v1

v2

vo

�Ω �Ω

��

5v o

Solución. Nodo v1:

1 1 1 1 1 v1  + +  − v2   − 12   = − 3 2

4 8

8

3

1 1 1 1 Nodo v2: − v1   + v2  +  − (− 5v0 )   = 3 1 8 1 8  y vo = 12 − v1

A partir de estas tres ecuaciones, se obtiene el sistema 7 v1 − v2 = 24 −41v1 + 9 v2 = −456 cuya solución es: v1 = −

81.

120 1104 V y v2 = − V . 11 11

Use análisis nodal para determinar el voltaje v en el circuito de la figura. 5 mA

2 k Ω

−

+ v

−

10 k Ω

0.2v1

v1

500 Ω

+ 7 mA

10 V

José R. Morón

82.

52

Determine los voltajes nodales en el circuito de la figura. 4S 3io 1S

1S io

2S

2A

83.

4S

2S

4A

Determine V en el circuito de la figura. 30 Ω 16 Ω

15 Ω

10 Ω

+ 20 V

35 Ω

V 15 Ω

20 Ω

−

84.

85.

Para el cargador de batería cuyo modelo es el circuito de la figura, determine el valor del resistor ajustable R de modo que: a) circule una corriente de carga de 4 A; b) se entregue una potencia de 25 W a la batería (0.035 Ω y 10.5 V); c) esté presente una tensión de 11 V en las terminales de la batería (0.035 Ω y 10.5 V). Determine v0 e i0 en el circuito de la figura. 50 Ω 0.02 Ω

0.035 Ω

+ v0 10 Ω

R 13 V

10 Ω

10.5 V

i0

−

40 Ω

100 V 0.2v0

Cargador de batería

Prob. 84

86.

+ 4i0

−

2A

Batería

Prob. 85

Para el circuito mostrado en la figura, use análisis nodal para determinar (a) los voltajes de nodos v1, v2 y v3, (b) la corriente i1, y (c) la resistencia Req vista por la fuente de voltaje independiente.

José R. Morón

53

8i 1

V

+ − i

v1

v2

5Ω

2Ω

v3

i1

4V

7i2

6Ω

A

i2

87.

(a) Use análisis de nodos para determinar la corriente i∆ en el circuito de la figura. (b) Halle la potencia entregada por la fuente de voltaje dependiente. 980 Ω

91.8 kΩ 5vo i∆

88.

200i ∆

Determine vx en el circuito de la figura. 8Ω

2A

2Ω

+ 2Ω

30 V

10 Ω

v x

I x

− Solución. El circuito se redibuja en la figura siguiente y se identifican algunas variables: 8Ω

2A

2Ω

v1 i1 2Ω

30 V

v2 i2

i3

10 Ω

+ v x

I x

− En este circuito tenemos: v1 = 30 − 8 × 2 = 14 V i1 =

v1

2

=7

A ⇒ i2 = i1 − 2 = 5 A

v2 = v1 + 2i2 == 14 + 2 × 5 = 24 V = vx

89.

Determine vx en el circuito de la figura y la potencia absorbida por el resistor de 6 Ω.

José R. Morón

54

1 +

Ω

v x

1.2

– 4

6A

2

Ω

Ω

8

3

90.

Ω

Ω

6

Ω

12

Ω

Ω

Determine las corrientes de malla i1 e i2 en el circuito de la figura. 2I x

4Ω

−

10 V

i1

2Ω

+

I x i2

6Ω

12 V

91.

Use análisis nodal para hallar v1, v2 y v3 en el circuito de la figura.

92.

Use análisis nodal en el circuito de la figura y determine el valor de V 2 que resultará en v1 = 0. 4A

6A

+

0. 1v1

− 20 Ω

10 Ω

+ 96 V

40 Ω

v1

−

V 2

Solución. El circuito se dibuja de nuevo y se identifica el supernodo, los voltajes nodales v1 y v2, el nodo de referencia y las corrientes en las ramas ia, ib e ic.

José R. Morón

55

4A

6A

v2

Supernodo 0.1v1 20 Ω ia

10 Ω ic

40 Ω

96 V

ib v1

Ahora escribimos la LCK para el supernodo: 4 + ia + ib = ic + 6 o 4+

96 − v1 V2 − v1 v1 + = +6 20 10 40

Haciendo ahora v1 = 0 y despejando V 2 se obtiene V 2 = −28 V

V 2

José R. Morón

56

Teoremas de Circuitos 3.1 Teorema de Superposición El teorema de superposición es extremadamente útil para analizar circuitos eléctricos que contienen dos o más fuentes activas. En estos casos, el teorema considera cada fuente por separado para evaluar la corriente o voltaje en un componente. El resultado se obtiene de la suma algebraica de todas las corrientes o voltajes producidos por cada fuente actuando por separado. El teorema de superposición puede enunciarse en la forma siguiente: “La corriente o el voltaje en cualquier elemento en un circuito lineal que contiene varias fuentes es la suma algebraica de las corrientes o voltajes debidos a cada fuente actuando sola, con todas las otras fuentes removidas en ese instante.”

La linealidad es una condición necesaria para que el teorema aplique. Afortunadamente, la relación v-i para los elementos R, L y C son todas lineales. Las fuentes pueden removerse usando la metodología siguiente: 1. Las fuentes de voltaje ideales se cortocircuitan. 2. Las fuentes de corriente ideales se ponen en circuito abierto. En general, las fuentes prácticas son reemplazadas por sus resistencias internas. Ejemplo Hallar el voltaje V L usando el Teorema de Superposición en el circuito de la Fig. 3.1.

Figura 3.1. Un circuito que contiene múltiples fuentes.

Paso 1: Supresión de la fuente de corriente de 1 A Esto resulta en el circuito de la Fig. 3.2(a). El voltaje de salida, marcado V L′ , es el voltaje en la resistencia de 5 Ω. Como resistores de 10 Ω y 5 Ω, están en serie, podemos aplicar la RDV: V L′ = 10

5 10 = V 10 + 5 3

José R. Morón

57

V L′′

V L′

(a) Superposición (paso 2) – supresión de la fuente de voltaje

(a) Superposición (paso 1) – supresión de la fuente de c orriente

V L′′

V L′

(a) Superposición (paso 2) – supresión de la fuente de voltaje

(a) Superposición (paso 1) – supresión de la fuente de c orriente

Figura 3.2. Aplicación del Teorema de Superposición a la Fig. 1.9.

Paso 2: Supresión de la fuente de voltaje de 10 V El circuito resultante se muestra en la Fig. 3.2(b). El voltaje de salida es ahora representado por V L′′ y tiene la misma polaridad que V L. Es obvio que ambos resistores están en paralelo y por tanto se puede aplicar la RDC para determinar la corriente que fluye por el resistor de 5 Ω: 10 2 10 = A ⇒ VL′′ = I 5 Ω × 5 = V 10 + 5 3 3 El voltaje total, de acuerdo con el teorema de superposición es entonces dado por la suma de V L′ y V L′′ : I5 Ω = 1

VL = VL′ + V L′′ =

10 10 20 + = V 3 3 3

Teorema de Superposición – Cálculo de Potencia Aunque el teorema de superposición puede usarse para hallar el voltaje y la corriente en un elemento de circuito sumando las respuestas debidas a cada fuente actuando sola, la potencia (como una relación no lineal) no puede ser evaluada hasta que se encuentra el voltaje neto o la corriente neta. La causa de esto es que 2

P = ( I 1 + I 2 ) R ≠ I12 R + I 22 R

o 2

(V + V ) V 2 V 2 P= 1 2 ≠ 1 + 2 R R R

3.2 Teorema de Thévenin El teorema de Thévenin proporciona una herramienta útil cuando se resuelven circuitos grandes y complejos reduciéndolos a una sola fuente de voltaje en serie con un resistor. Es particularmente bueno se somete a cambios un solo resistor o carga en un circuito.

José R. Morón

58

Formalmente, el teorema de Thévenin se puede expresar como “Cualquier circuito eléctrico lineal de dos terminales formado por resistores y fuentes, puede ser reemplazado por un circuito equivalente que contiene una sola fuente de voltaje en serie con un resistor conectado a la carga.”

En los diagramas de circuitos mostrados en la Fig. 3.3, la corriente I L que atraviesa la resistencia de carga RL es la misma. Por tanto, los circuitos son equivalentes en todo lo que le concierne al resistor de carga RL. I L

I L RTh

Red de dos terminales

RL

RL

V Th

Circuito Equivalente de Thévenin

Figura 3.3. Ilustración del Teorema de Thévenin.

Los pasos siguientes bosquejan el procedimiento para simplificar un circuito eléctrico usando el Teorema de Thévenin, donde V Th y RTh son el voltaje de Thévenin y la resistencia de Thévenin, respectivamente. 1. Remueva la resistencia de carga RL. 2. V Th es el voltaje de circuito abierto entre los terminales de la carga, y 3. RTh es la resistencia entre los terminales de carga con todas las fuentes reemplazadas por sus resistencias internas. Alternativamente, mida el voltaje de circuito abierto ( V oc) y la corriente de corto circuito ( I sc) en los terminales de la carga. Entonces VTh = Voc y RTh =

V oc I sc

(3.1)

Ejemplo Use el Teorema de Thévenin para halla la corriente que pasa por la resistencia de 5 Ω en el circuito de la Fig. 3.3.

Figura 3.4

José R. Morón

59

Para evaluar RTh, remueva la resistencia de carga de 5 Ω y reemplace la fuente de voltaje de 10 V por su resistencia interna, como se muestra en la Fig. 3.5(a).

(a) Paso 1: Determinación de la resistencia de Thévenin.

(b) Cálculo del voltaje de Thévenin.

Figura 3.5. Determinación del voltaje de Thévenin, V Th, y de la resistencia de Thévenin, RTh.

RTh es dada entonces por

10 × 20 + 15 = 21.67 Ω 10 + 20 Para determinar V Th o V oc entre los terminales en circuito abierto, observe en la Fig. 3.5(b) que el voltaje en la resistencia de 20 Ω es igual a V oc ya que el lazo derecho está abierto y no hay caída de voltaje en la resistencia de 15 Ω ( I 15 Ω = 0 ) . RTh = ( 10 20 ) + 15 =

Los resistores de 10 Ωy 20 Ω están en serie y se puede emplear la RDV para determinar V oc: 20 = 6.67 V 10 + 20 Ahora se puede dibujar el circuito equivalente de Thévenin, como se muestra en la Fig. 3.6. La resistencia de carga de 5 Ω se coloca de nuevo entre los terminales A y B y se puede calcular la corriente de carga: V Th 6.67 = = 0.25 A I 5 Ω = RTh + RL 21.67 + 5 VTh = V oc = 10

Circuito Equivalente de Thévenin

Figura 3.6. Circuito equivalente de Thévenin para la Fig. 3.4 conectado a la resistencia de carga de 5 Ω.

3.3 Teorema de Norton El circuito equivalente de Thévenin es una fuente de voltaje práctica. En contraste, el circuito equivalente de Norton es una fuente de corriente práctica. Eso puede expresarse formalmente como

José R. Morón

60

“Cualquier circuito lineal de dos terminales, de resistores y fuentes, puede reemplazarse por una sola fuente de corriente en paralelo con un resistor.”

Para determinar el circuito equivalente de Norton, se requiere la corriente de Norton, I N , y la resistencia de Norton, RN . A continuación se bosqueja un procedimiento a seguir: 2. Remueva la resistencia de carga, RL. 3. I N es la corriente de cortocircuito que pasa por los terminales de carga y 4. RN es la resistencia que ven los terminales de carga con todas las fuentes reemplazadas por sus resistencias internas. Claramente, RN = RTh. Ejemplo Para el circuito mostrado en la Fig. 3.4, use el teorema de Norton para determinar la corriente que pasa por la resistencia de 5 Ω. Como se mencionó anteriormente, la resistencia de Norton es la misma que la de Thévenin, esto es, RN = 21.67 Ω

Para hallar la corriente de Norton, se cortocircuitan los terminales A y B en la Fig. 3.7(b). Entonces la corriente que atraviesa los terminales en cortocircuito es la corriente de Norton, I N o I sc . Hay varias formas de resolver este circuito, sin embargo, aquí se seleccionaron técnicas de reducción de circuitos. En primer lugar, la corriente total entregada por la fuente de voltaje puede hallarse calculando la resistencia que ve la fuente, usando una combinación serie/paralelo:

Figura 3.7

Req = ( 15 20 ) + 10 =

Por tanto, I s =

15 × 20 + 10 = 18.57 Ω 15 + 20

V s 10 = ≈ 0.54 A Req 18.57

Puesto que Is = I 10 Ω , I sc puede calcularse empleando la RDC entre las resistencias de 15 Ω y 20 Ω: 20 20 = 0.54 ≈ 0.31 A 15 + 20 15 + 20 El circuito equivalente de Norton se dibuja en la Fig. 3.8. La corriente que atraviesa la resistencia de 5 Ω puede determinarse aplicando la RDC entre RL y RN ; por tanto, I sc = I s

José R. Morón

61

I 5 Ω = 0.31

21.67 = 0.25 A 21.67 + 5

la que coincide con el resultado obtenido cuando se empleó el teorema de Thévenin.

Circuito Equivalente de Norton

Figura 3.8. Circuito equivalente de Norton visto por el resistor de 5 Ω.

3.4 Transformación de Fuentes En un circuito eléctrico, con frecuencia es conveniente tener una fuente de voltaje en vez de una fuente de corriente (por ejemplo, en el análisis de mallas) o viceversa. Esto se hace posible usando transformaciones de fuentes. En otras palabras, un circuito equivalente de Thévenin es transformado en uno de Norton o viceversa. Los parámetros usados en la transformación de fuentes se dan a continuación: V RTh

Parámetros de Thévenin:

VTh , RTh

⇒ RN = RTh , IN = Th

Parámetros de Norton:

I N , RN

⇒ RTh = RN , VTh = RN I N

Cualquier resistencia de carga, RL, tendrá el mismo voltaje y la misma corriente cuando se conecta entre los terminales de cualquiera de las fuentes. Ejemplo En la Fig. 3.4, use transformación de fuentes repetida para determinar la corriente en la resistencia de 5 Ω. Observando que la fuente de voltaje y el resistor de 10 Ω están en serie, transforme la combinación en una fuente de corriente en paralelo con el resistor de 10 Ω. La magnitud de la fuente de corriente es I =

V 10 = =1A R 10

El circuito resultante se muestra en la Fig. 3.9(a). Ahora los resistores de 10 Ω y 20 Ω están en paralelo y pueden combinarse para formar una sola resistencia de 6.67 Ω (véase la Fig. 3.9(b)). Esta resistencia estará en paralelo con la fuente de corriente de 1 A, la cual puede transformarse de nuevo en una fuente de voltaje en serie con la resistencia de 6.67 Ω, lo que resulta en un solo lazo, como se muestra en la Fig. 3.9(c). Ahora see puede aplicar la LVK par determinar la corriente de lazo, que es la misma corriente que fluye por el resistor de 5 Ω. Por tanto, I 5 Ω =

6.67 = 0.25 A 6.67 + 15 + 5

José R. Morón

62

Figura 3.9. Transformación repetida de fuente para este ejemplo.

3.5 Teorema de Máxima Transferencia de Potencia Como se estudió en la sección sobre el teorema de Thévenin, cualquier red de CD formada por fuentes y resistencias puede ser reemplazada por una sola fuente de voltaje en serie con una resistencia conectada con la carga. El teorema de máxima transferencia de potencia establece que la potencia entregada a la carga es máxima cuando la resistencia de carga, RL, es igual a la resistencia interna (fuente), Rs, de la fuente de poder CD. En otras palabras, se puede decir que la resistencia de carga debe adaptarse a la resistencia de Thévenin para que ocurra máxima transferencia de potencia; esto es,

( Rs = RTh ) = RL Cuando esto sucede, el voltaje en la resistencia de carga será

V s

2

y la potencia entregada a la carga es

P = VL I L = I L2 RL

V s2 P= 2 RL + R R ( s L) Bajo la condición Rs = RL, la potencia máxima será

Pmáx

V s2 = 4 Rs

(3.2)

José R. Morón

63

Continuación Problemas 93.

Determine V o en la red de la figura usando linealidad y la suposición de que V o = 1 V.

94.

Use linealidad y la suposición de que I o = 1 mA para hallar el valor real de I o en el circuito de la figura.

95.

En el circuito de la figura, elija v1 para obtener una corriente ix de 2 A. 1Ω

–1.5 V

1Ω

i x 3V

3A

v1

1Ω

2A

96.

La entrada al circuito mostrado en la figura es la fuente de voltaje vs. La salida es el voltaje vo. La corriente ia de la fuente de corriente se usa para ajustar la relación entre la entrada y la salida. Use los principios de linealidad y superposición para determinar los valores requeridos de A e ia de modo que la entrada y la salida estén relacionadas por la ecuación vo = 2 vs + 9 .

97.

Para el circuito en la figura, suponga que vo = 1 V y use linealidad para hallar el valor real de vo. 6Ω

vs

ixix

12 Ω

Aix

ia

Problema 96

12 Ω

vo

Problema 97

Solución Problema 97. A continuación se redibuja el circuito y se introducen nuevas variables:

José R. Morón

64

v0

v1

v i4

i2

i3

i0

i1

Para este circuito, suponiendo que v0 = 1 V, tenemos: v 1 1 A, i1 = 0 = A 6 6 6 6 1 1 1 1 ⇒ i2 = i0 + i1 = + = A, v1 = 3i2 + v0 = 3   + 1 = 2 V 6 6 3 3 v 1 1 1 2 ⇒ i3 = 1 = A, i4 = i2 + i3 = + = A 6 3 3 3 3 4 10 v2 = 2 i 4 + v 1 = + 2 = V 3 3 v0 = 1 V ⇒ i0 =

v0

=

Por tanto, si v0 = 1 V produce un voltaje en la entrada igual a 10/3 V, entonces la fuente de 15 V producirá un voltaje v0 igual a 15 9 v0 = = V 10 3 2

98.

Use linealidad para determinar io en el circuito de la figura.

Solución. El circuito se muestra de nuevo en la figura siguiente con nuevas variables. v0 i1

i

v2 i2

i3

Para este circuito, tomando io = 1 A, se obtiene: io = 1 V ⇒ v0 = 4(1) = 4 V ⇒ i1 =

v0

3

=

1 A 3

1 4 A 3 3

i2 = io + i1 = 1 + =

8 3

20 3 5 v 20 = V V ⇒ i3 = 2 = 3 4 4 3 4 5 i = i2 + i 3 = + = 3 A 3 3

v2 = 2i2 + v0 = + 4 =

Por tanto, si una corriente i = 3 A del lado de la fuente produce una corriente de valor io = 1 A, entonces una fuente de 9 A producirá una corriente i0 igual a 3 A.

99. Calcular vo usando transformaciones de fuentes si i = 5/2 A en el circuito mostrado en la figura. Todos los valores de los resistores están en ohmios.

José R. Morón

65

6Ω 3Ω 16 Ω 20 Ω

10 Ω 7Ω

12 Ω

100. Use transformación de fuentes para obtener vx en el circuito de la figura. 101. Use transformaciones de fuentes para determinar vo en el circuito de la figura.

vx

vo

Problema 99

Problema 100

102. Use superposición para hallar i. 8Ω

16 V

3Ω

2Ω

8A

103. Use el principio de superposición para determinar vo en el circuito de la figura. 104. Use el principio de superposición para calcular el voltaje v en el resistor de 100 Ω. 2.65 v

2.2iφ

+

15 Ω

− 25 Ω

+

iφ

+ vo

v

125 V

100 Ω

− 35 Ω

85 Ω

−

Problema 103

Problema 104

125 V

José R. Morón

66


Consideremos primero la contribución de la fuente de voltaje de 25 V. El circuito equivalente con la fuente de 5 mA en circuito abierto se muestra en la figura. 2.2 i′φ

2.2i′0

4 kΩ

+

iφ′

25 V

i

20 k Ω v′o −

Utilizando análisis de mallas, se obtienen las siguientes ecuaciones: 24 × 103 i − 2.2 × 10 3 iφ′ = 25 Ecuación de restricción: iφ′ = 2.2iφ′ − i ⇒ iφ′ =

i

1.2

Por tanto, al sustituir en la primera ecuación se obtiene i = 1.5 mA y vo′ = ( 0.5 × 10 −3 )( 20 × 10 −3 ) = 30 V

Ahora consideraremos la contribución de la fuente de 5 mA. El circuito correspondiente, con la fuente de 25 V en cortocircuito, se muestra a continuación. 2.2i′′φ

v′′o

4 kΩ

+

i′′φ

20 k Ω v′′o

5 mA

−

Para hallar el voltaje vo′′ usaremos análisis nodal. La ecuación para el nodo marcado vo′′ es 1 1  + = 2.2iφ′′ − 5 × 10 −3 3 3 20 × 10   4 × 10

vo′′ 

= 2.2

vo′′

4 × 10

3

−5×

10 −3

donde se utilizó el hecho de que iφ′′ = vo′′ ( 4 × 103 ) . Al despejar vo′′ se obtiene vo′′ = −25 V

y la solución buscada es vo = vo′ + vo′′ = 30 − 25 = 5 V

José R. Morón

67

105. Para el circuito de la figura, use superposición para encontrar i. Calcule la potencia suministrada a la resistencia de 3 Ω.

20 V

16 V

2A

1Ω

i

2Ω

3Ω

4Ω

106. Para el circuito de la figura, use el principio de la superposición para obtener i0. 4A 4Ω

3Ω

2Ω

io 10 Ω

12 V

5Ω

2A

107. Use superposición para hallar el voltaje vo(t) en el circuito mostrado en la figura. 108. Para el circuito de la figura, obtenga el equivalente de Thévenin entre los terminales (a) a-b (b) b-c �Ω

�Ω

�Ω

��

�Ω

�Ω

Prob. 106

��

Prob. 107

109. Determine V 0 en la red de la figura usando el teorema de Thévenin. 12 V

2Ω + V0 −

2Ω

2Ω

+ v −

2Ω

2

110. Halle la resistencia equivalente de Thévenin conectada a R en el circuito de la figura calculando el voltaje de Thévenin (V Th) y la corriente de Norton (I N) por separado y luego usando la relación RTh = RN = VTh IN .

José R. Morón

68

111. Calcule la resistencia de Thévenin entre los terminales ab en el circuito de la figura. usando la relación entre el voltaje de Thévenin y la corriente de Norton.

Problema110

Problema 111

112. Calcule el equivalente de Thévenin con respecto a las terminales a, b para el circuito de la figura. 20ib 2 kΩ

5 kΩ

10 kΩ

a

iibb 50 V

20 k Ω

50 k Ω

40 kΩ b

113. Use el teorema Thévenin para calcular el voltaje V o en el circuito de la figura.

114. Encuentre R para máxima transferencia de potencia y la máxima potencia transferida. 2Ω

6Ω

3V

2A

Solución: En el circuito, el voltaje de Thévenin (visto por R) es V Th = −3 + 12 = 9 V

y la corriente de Norton es

R

José R. Morón

69

12 − 3 9 = A 8 8

I N =

Por tanto, la resistencia de Thévenin es V Th 9 = =8Ω I N 9 8

RTh =

y R = RTh = 8 Ω. La máxima potencia transferida es Pmáx

( 9 )2 V Th2 = = = 2.53 W 4 RTh 4 × 8

115. Obtener el equivalente de Thévenin (entre los terminales a y b) de la red en la figura. 40 Ω

100 Ω

200 Ω

30 V

a

1 .5

1

1

b

116. Para el circuito de la figura, encuentre la resistencia de Thévenin vista desde la carga RL. β ib

R1 ib R2

8A

RL

117. Obtenga el circuito equivalente de Thévenin en los terminales a-b para el circuito en la figura.

118. Determinar el equivalente de Thévenin de la red que se muestra en la figura y luego encontrar la potencia máxima que puede extraerse del circuito. 119. Halle el equivalente de Thévenin del circuito de la figura. 0.1io a

3i10 +− 5A

10 Ω

2Ω

i10

Problema 118

−

a

io

40 Ω

10 Ω b

+ v0

20 Ω + −

2vo

Problema 119

b

José R. Morón

70

120. Determine V0 en la red de la figura usando el teorema de Thévenin. 12 V

2Ω +

+ V0

2Ω

v

2Ω

2Ω

2

−

−

121. Calcule los voltajes en los nodos v1 , v2 y v3 en el circuito de la figura y calcule la potencia total disipada en el circuito. 25 Ω + 2i0

v1 −

50 Ω +

100 Ω

v2 −

i0

20 Ω

+

200 Ω v3

+ −

5i0

38.5 V

−

122. El resistor variable en el circuito de la figura se ajusta para máxima transferencia de potencia a Ro. a) Halle el valor numérico de Ro. b) Halle la máxima potencia entregada a Ro.

123. En el circuito para el Problema 114, determine el equivalente de Thèvenin entre las terminales del resistor de 200 Ω. 124. Halle el equivalente de Thévenin mirando desde las terminales a-b del circuito en la figura.

125. Determine las redes equivalentes de Thévenin y Norton (por separado) vistas desde las terminales a-b.

José R. Morón

71

R1

R3

a

i V

R2

αi

R4

b

126. Halle V o en el circuito de la figura usando el teorema de Thévenin. 127. Halle el circuito equivalente de Norton (directamente, sin hallar el equivalente de Thévenin) para la sección de la red de la figura vista por la rama a-b.

Problema 126

Problema 127

128. Halle el circuito equivalente de Norton entre los terminales ab (sin usar el teorema de Thévenin) para el circuito mostrado en la figura. 2ix

4Ω

ix

2.5 A

6Ω

1Ω

a

3Ω

b

Solución: Para determinar la resistencia de Thévenin, se elimina la fuente de 2.5 A y se alimenta el circuito con una fuente de corriente de intensidad I o. El circuito resultante es 10 Ω

1Ω

V

+ 2ix

−

ix

+

3Ω

V o

I o

−

La ecuación nodal para el nodo marcado V es 1 1 1  −2ia + + − = I o  10 3 1  10

V 

Se reemplaza ia por V /3 y se obtiene que V = 2I o. El voltaje V o es entonces Vo = V − I o (1) = Io

⇒ RTh =

V o =1Ω I o

José R. Morón

72

Para hallar la corriente de Norton, usamos transformación de fuentes, cortocircuitamos el lado derecho y obtenemos el circuito siguiente: 10 Ω −

15 −2ix

ix

+

1Ω

V

I N

3Ω

La ecuación nodal correspondiente para el nodo V es 1 1 1  15 − 2ix + + − =0 10  10 3 1 

V 

o 43  2  V  15 +  =  30  10  3  10

V 

⇒ V = 1 V

e 1 1

I N = = 1 A

y el equivalente de Norton es

a

1A

1Ω

b

129. Determine el circuito equivalente de Norton en las terminales a-b para el circuito de la figura. 2Ω

a

+ 3Ω

vx −

6Ω

0.5vx

10 Ω b

130. Determinar qué valor de la resistencia absorberá máxima potencia del circuito de la figura cuando se conecta entre los terminales a y b. 2v ab +

a

vab −

b

131. Determine la potencia máxima suministrada al resistor R (variable) mostrado en la figura.

José R. Morón

73

3V x

5Ω

5Ω

15 Ω

4V

R

6Ω + V x −

132. Calcule la máxima potencia que puede ser transferida a RL en el circuito de la figura.

133. Si una carga de 8 kΩ se conecta a los terminales de la red en la figura, V AB = 16 V. Si se conecta una carga de 2 kΩ a los terminales, V AB = 8 V. Halle V AB si se conecta una carga de 20 k Ω a los terminales. 134. Hallar la máxima potencia transferida al resistor R en el circuito de la figura. 22 k Ω

10 k Ω +

Circuito Circuito lineal lineal

100 V

40 k Ω v0 3v0

30 kΩ

R

−

Prob. 133

Prob. 134

135. En el circuito de la figura, la resistencia variable ( R) se ajusta para conseguir una transferencia máxima de potencia a R. Use el teorema de Thévenin para calcular el valor de R y la máxima potencia transferida. 25 Ω

10 Ω i

20 Ω 200 V

100 Ω

R

+

− 30i

José R. Morón

74

Solución. Primero se determinará el equivalente de Thévenin. Para el voltaje de Thévenin, consideremos el circuito siguiente: 25 Ω

10 Ω

V 1

i

20Ω

100 Ω

200 V

+

V th + 30i − −

Las ecuaciones nodales para el circuito mostrado son 1 1  1  1  +  − V1   − ( 30i )   = 0  10 20   10   20  1 1  1   1 − VTh   + V 1  + + = 0  10   25 100 60 

VTh 

y la ecuación para i es i=

V1 − V Th

10

Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene V Th = 100 V

Ahora se determinará la corriente de Norton con el lado derecho en cortocircuito. Aquí usamos el circuito siguiente: 25 Ω

10 Ω

i 200 V

i1

20Ω

iN

100 Ω 30i +−

Las ecuaciones de mallas son (observe que i = iN) 125i1 − 100i = 200 −100i1 + 110 i = 0 cuya solución es i = iN = 80 A

Por tanto, la resistencia buscada para máxima transferencia de potencia es R = RTh =

V Th 100 = = 1.25 Ω I N 80

El cálculo de la potencia transmitida se deja como ejercicio.

136. El resistor variable R0 en el circuito de la figura se ajusta hasta que la potencia disipada en el resistor es de 250 W. Calcule los valores de R0 que satisfacen esta condición.

José R. Morón

75

25 Ω

10 Ω i0

+ 30i0 −

100 Ω

200 V

R0

20 Ω

Circuitos de Primer Orden 137. Dibuje la forma de onda para la corriente en un capacitor de 24 µF cuando el voltaje en el capacitor es como se describe en la figura .

138. Exprese la señal de la figura en términos de funciones singulares. v(t ) 4 2

0

2

4

6

t

139. El pulso rectangular de corriente mostrado en la figura se aplica a un capacitor de 0.1 µF. El voltaje inicial en el capacitor es una caída de 15 V en la dirección de referencia de la corriente. Deduzca la expresión para el voltaje en el capacitor para los intervalos de tiempo siguientes: (a) 0 ≤ t ≤ 10 µs; (b) 10 µs ≤ t ≤ 20 µs; (c) 20 µs ≤ t ≤ 40 µs ; (d) t ≥ 40 µs; (e) Dibuje v(t) en el intervalo 10 µs ≤ t ≤ 50 µs

José R. Morón

76

140. Determine i(t) para t ≥ 0 para el circuito de la figura cuando i(0) = 25 mA y vs(t) es el voltaje mostrado en la figura.

141. Suponiendo que los capacitores se encuentran inicialmente descargados, encuentre v0 (t ) en el circuito de la figura. i s (ma) 60

6 mF

i s

+ 3 mF

0

1

2

t (s)

v 0 (t )

−

142. El circuito de la figura está en estado estacionario. Calcular la energía almacenada en el inductor y el capacitor.

+ vx −

143. El circuito RL mostrado en la figura es excitado con la rampa vI (t ) = K 1t para t mayor que cero (ver figura) y vI (t ) = 0 para t < 0. Suponiendo que iL ( 0 − ) , di buje la corriente iL (t ) para todo el tiempo. Halle también una expresión analítica para iL (t ) .

José R. Morón

77

144. En el circuito de la figura determine la tensión de cada capacitor. 4 mF +

120 V

6 mF

_

2 mF

3 mF

145. Demuestre que la regla de división de voltaje para dos capacitores en serie como en la figura es v1 =

C 2 C 1 + C 2

v2 =

v s ,

C 1 C 1 + C 2

v s

suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero. C1

+ v1 − + v2

C2

−

146. En el circuito de la figura, sea is (t ) = 6 e −2t mA, t ≥ 0 e v1 (t ) y v2 (t ), t > 0 .

i1 ( t ) = 4 mA. Determine i1(t) e i2(t), t > 0 y

10 mH + v1

−

i2

i1

30 mH

i2

+ v2 20 mH −

147. Si la forma de onda de voltaje en la figura se aplica a un inductor de 10 mH, determine la corriente en el inductor i(t). Suponga que i(0) = 0 A. v(t )

5 0

1 −5

2

t

José R. Morón

78

148. Si la señal de voltaje de la figura se aplica a las terminales de un inductor de 5 H, calcule la corriente que pasa por el inductor. Suponga que i(0) = 1 A. También exprese v(t) en términos de la función escalón unitario. v t

V

10

0

2

1

3

4

5

t

149. La corriente mostrada en la figura se aplica a un capacitor de 2 µF. El voltaje inicial en el capacitor es cero. a) Halle el voltaje en el capacitor en t = 10 ms. b) ¿Cuánta energía es almacenada en el capacitor por esta corriente. i(A) 5

2

4

6

8

10

12

t (ms)

−5

150. El voltaje en un inductor de 2 H es dado por la señal de voltaje mostrada en la figura. Halle la corriente en el inductor y grafíquela.

151. En el circuito de la figura, determine i(t) para t > 0 si i(0) = 3 A. 6H i

40 Ω

0.5i

10 Ω

Solución. Éste circuito no contiene una fuente independiente. Para obtener la resistencia vista por el inductor, se conecta una fuente de voltaje v0(t) en sustitución del inductor y se redibuja el circuito.

José R. Morón

79

6H

+− vi0

i

0.5i

40 Ω

i1

10 Ω

i2

Si se escribe la ecuación para la supermalla y la restricción correspondiente, se obtiene: 40i1 + 10i2 = − v0 −i1 + i2 = 0.5i = 0.5 ( − i2 ) , ( i = − i2 ) Al despejar i2, se obtiene i2 = −

v0

70

lo que da una resistencia equivalente Req =

v0 = 70 Ω i

Por tanto, τ=

L 6 3 = = s Req 70 35

y la corriente i(t) es entonces i(t ) = 3e−35t 3 A, t ≥ 0

Este problema también puede resolverse directamente usando análisis de mallas. Defina las corrientes de mallas i1 e i2 en el circuito siguiente: 6H i

0.5i

40 Ω

10 Ω

i2

i1

Ahora escribimos la ecuación para la supermalla formada por las dos mallas del circuito:

di2 + 10 i2 = 0 dt Pero i2 − i1 0.5i (restricción) e i2 = −i; así que al sustituir en la ecuación anterior se obtiene

40i1 + 6

40 ( −i − 0.5i ) − 6

di + 10 i = 0 dt

o di dt

6 + 70i = 0 Puesto que la condición inicial es i(0) = 3 A, la solución de esta última ecuación es i(t ) = 3e−35t 7 A, t ≥ 0

que, por supuesto, es igual a la solución obtenida anteriormente.

152. Determine la inductancia equivalente, Leq, que puede usarse para representar la red inductiva de la figura en los terminales a-b.

José R. Morón

80

Solución. Considere el circuito dibujado con las corrientes indicadas y supongamos una fuente independiente de voltaje v(t) entre los terminales ab:

i

i1

Las ecuaciones de mallas correspondientes son: di di −3 2 dt dt di di di −2 = −3 + 8 2 dt dt dt

v(t ) = 7

Al eliminar di2/dt de este sistema de ecuaciones, se obtiene v(t ) =

53 di 8 dt

esto es, la red inductiva puede representarse por una inductancia equivalente Leq =

53 H 8

153. Si iL(0) = 10 A en el circuito de la figura, encuentre iL(t) para t > 0. 10 Ω i

L

i L

20 Ω

0.5 H

4

Solución. Para obtener la resistencia equivalente, coloque una fuente de voltaje independiente v0 en lugar del inductor (polaridad en su parte superior). La ecuación LVK para la malla derecha es i  −20  L  + 20iL = − v0 4

⇒ iL (25) = − v0

Por tanto, Req =

La constante de tiempo es entonces

v0 = 25 Ω −iL

José R. Morón

81

τ=

L 0.5 1 = = s Req 25 50

y la corriente iL es dada por iL (t ) = 10 e−50t , t ≥ 0 Observación: Este problema también puede resolverse mediante análisis de mallas. La ecuación de malla

para este circuito es di i  −20  L  + 30iL + 0.5 L = 0 4

dt

o diL + 50iL = 0 dt

con condición inicial iL (0) = 10 A . Y, por supuesto, la solución a esta ecuación es la misma que la anterior.

154. En los inductores L1 y L2 del circuito de la figura no hay energía almacenada en el instante en que el interruptor se abre. a) Deduzca las expresiones para las corrientes i1(t) e i2(t). b) Use las expresiones deducidas en (a) para hallar i1(∞) e i2(∞).

155. En el circuito de la figura, halle i(t) para t > 0 si i(0) = 2 A. i

6H

0.5i

10 Ω

40 Ω

156. Si v(0) = 20 V en el circuito de la figura, obtenga v(t) t > 0.

+

v

−

Solución. Para t > 0: La resistencia equivalente vista por el capacitor es Req = 10 8 =

10 × 8 40 = Ω 18 9

y  40  ( ) 4  0.1 = s 9  9 

τ = Req C = 

José R. Morón

82

La respuesta para el voltaje en el capacitor es v(t ) = v(∞ ) + [ v(0) − v(∞ )] e −t τ

5  5  − 9t 4 +  20 − e 18  18  1( = 5 + 355e−9 t 4 ) , t ≥ 0 18 =

Observación: Otra forma de resolver el circuito es escribiendo la ecuación nodal correspondiente: dv 1 1 0.5 + 0.1 =0 dt 8 9 8

v  +  −

o dv 9 2.5 + v = dt 4 4

con la condición inicial v(0) = 20 V. Por supuesto, la solución es igual a la obtenida anteriormente.

157. El circuito mostrado en la figura ha alcanzado régimen permanente antes de que el interruptor se abra en t = 0 . Determine los valores de i1 (t ), iL (t ), vC (t ) y vR (t ) inmediatamente antes de que el interruptor se abra y el valor de vR (t ) inmediatamente después de que se abra el interruptor.

158. Para el circuito de la figura, obtenga una expresión válida para todo t > 0.

iR iL

iC

+ vC −

159. Determine i(t) para t ≥ 0 para el circuito mostrado en la figura.

José R. Morón

83

2ix

6Ω

4Ω

1Ω ix

2.5u(t) A

3Ω

i(t)

5H

160. El interruptor en el circuito mostrado en la figura ha estado en la posición OFF por un largo tiempo. En t = 0, el interruptor cambia instantáneamente a la posición ON. Halle vo(t) para t ≥ 0. 10 × 10 3 i∆ t= 0 i∆ + vo −

161. Calcular v(t) para t > 0. El interruptor estaba cerrado para t < 0. 3Ω

24 V

200 mF

3Ω

2Ω

+ 6V

t = 0

+ −

6Ω

v

−

2i

i

162. Determine i(t) y v(t) para t > 0 en el circuito de la figura si i(0) = 10 A. i(t)

2H 5Ω

20 Ω 1Ω

+ v −

163. Obtenga expresiones para i1(t) e iL(t) que sean válidas para t > 0. iL

i1

164. El interruptor en el circuito de la figura ha estado abierto por un largo tiempo y ha alcanzado su estado estacionario antes de cerrarse en t = 0. Halle io(t) para t ≥ 0 .

José R. Morón

84

165. El interruptor en el circuito de la figura ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en t = 0. Halle vo(t) para t ≥ 0 + . t= 0 +

20 mA

vo

i∆

9i ∆

50 mA

−

166. Una alarma de seguridad para la puerta de un edificio de oficinas se modela mediante el circuito de la figura. El interruptor representa la cerradura de la puerta y v es el voltaje indicador de la alarma. Halle v(t) para t > 0 para ese circuito. El interruptor ha estado por un largo tiempo antes de t = 0− .

167. El circuito mostrado en la figura está en estado estacionario (régimen permanente) cuando se abre el interruptor en el instante t = 0. Determínese v(t) para t ≥ 0.

168. El interruptor en el circuito de la figura ha estado en la posición a por un largo tiempo. En t = 0, el interruptor se mueve a la posición b. En el instante en que el interruptor hace contacto con el terminal b, el interruptor 2 se abre. Determine vo(t) para t ≥ 0.

José R. Morón

85

169. Determine i para t > 0 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 100 mF

6Ω

+

vC

6Ω −

t=0

6Ω

12 V

6Ω

i

Solución. Para t < 0, el interruptor está cerrado y el capacitor está abierto (transitorio ha desaparecido). Por tanto el voltaje en el capacitor es de 6 V (división de voltaje), esto es, vC ( 0− ) = 6 V

6 6

i ( 0− ) = = 1 A

Para t > 0, el interruptor se abre y tenemos entonces para la condición inicial en el capacitor: vC ( 0− ) = vC ( 0 + ) = 6 V

El voltaje v(∞) = 6 V ¿por qué? La resistencia equivalente “vista” por el capacitor es Req = 6 + 6 + 6 6 = 15 Ω

y la constante de tiempo es ReqC = 15 × ( 100 × 10 −3 ) = 1.5 s

Entonces, vc (t ) = vc (∞ ) + [ vC (0) − vC (∞ )] e −t τ = 6 + (6 − 6)e −2 t 3

=6

V, t ≥ 0

Se deja para el lector verificar que i = 2 A.

170. Calcule v(t) para t < 0 y t > 0 en el circuito de la figura. 0.5 H

t =0 i1

i0

3Ω

iL inductor

8Ω

+ + 4i0 −

20 V

2Ω

v −

5V

Solución. Para t < 0, la fuente de 5 V no está conectada al circuito. Por tanto, en t = 0− , si se usa análisis de mallas, tenemos que

3i1 + 2 iL = 20 2 iL = 4i0 = 4 ( − i1 ) Por tanto, i1 = − iL 2 e

José R. Morón

86

iL ( 0− ) = 80 A

Para t > 0, la fuente de 20 V está desconectada, se conecta la fuente de 5 V, la corriente i0 = 0 (lo que desactiva la fuente dependiente de 4i0) y usando entonces la solución general de la ecuación de primer orden iL (t ) = iL (∞ ) + [ iL (0) − iL (∞ )] e−t τ

se obtiene: il (0 − ) = iL ( 0+ ) = iL (0) = 80 A

5 = 0.5 A 10 L 0.5 τ= = = 0.05 s Req 10

iL (∞ ) =

y la corriente para t > 0 es iL (t ) = 0.5 + 79.5 e−20t

171. El interruptor en el circuito de la figura ha estado cerrado por un largo tiempo. El voltaje máximo que soporta el capacitor de 1.6 µF es de 14.4 kV. ¿Después de cuanto tiempo de abrir el interruptor el voltaje en el capacitor alcanza el voltaje máximo permitido?

172. Determine io(t) para t > 0 en la red de la figura. El interruptor ha estado abierto por mucho tiempo antes de cerrarse en t = 0.

173. El interruptor en el circuito de la figura ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en t = 0. Halle vo(t) para t ≥ 0+. t=0

+

i∆

vo −

174. Calcular vC para t > 0 en el circuito de la figura.

4i∆

José R. Morón

87

+ v x − + vC

−

175. Halle iL(t) para t > 0 en el circuito de la figura. t=0

+ vL −

5v1 (t)

Solución. En t = 0 − , el inductor está en cortocircuito. Por tanto, para la dirección indicada de iL, la ecuación de malla correspondiente es − v1 + 12 í L ( 0 − ) − 5 v1 = 0, v1 =

10 V

12iL ( 0− ) = 6 v1 = 60 iL ( 0− ) = 5 A

Para t > 0,

iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = iL (0) = 5 A

Para hallar la resistencia vista por el inductor se utilizará la relación dada por el voltaje de Thévenin (vTh) dividido por la corriente de Norton (iN). Para el voltaje de Thévenin, con el inductor en circuito abierto y la polaridad indicada, se obtiene: ⇒

−5 v1 − v1 + vTh = 0

vTh = 6v1 = 6 ( 4 × 2 ) = 48 V

y para la corriente de Norton, la ecuación nodal da 1 1 1 +  − ( −5 v 1 )   = 4  12 2  2 

v1 

⇒

v1 = 4 V

y la LVK para la malla derecha da 4 = 12iN − 5 v1 ⇒ iN = 2 A Por tanto, la resistencia equivalente es Req =

vTh 48 = = 24 Ω iN 2

La constante de tiempo es τ=

L 2 1 = = s Req 24 12

La corriente i(∞) es igual a la corriente de Norton y, por tanto, la corriente iL(t) es iL (t ) = iL (∞ ) + [ iL (0) − iL (∞ )] e−t τ = 2 + ( 5 − 2 ) e −12t = 2 + 3e −12 t

A

Observación: Este problema puede resolverse fácilmente si se escribe la ecuación LVK para la malla que queda para t > 0 y se usa la condición inicial ya determinada. La ecuación que se obtiene es

José R. Morón

88

14i + 2

di − 8 = 5 v1 = 5 ( 4 − i ) ( 2 ) dt

o di + 12i = 24, i(0) = 5 dt

La solución de esta ecuación, por supuesto, es la misma encontrada anteriormente.

176. El interruptor en el circuito de la figura ha estado en la posición 1 por un largo tiempo antes de pasar a la posición 2 en t = 0. Determine io(t) para t ≥ 0+. 2 × 104 io

1

3.3 kΩ

t=0

2

+ io

25 V 60 Ω

25 µF −

Solución. En la posición 1, el circuito está bajo régimen de CD y, por tanto, el capacitor actúa como un circuito abierto; de manera que io = 0, la fuente de voltaje dependiente está apagada y el voltaje en el capacitor es vC ( 0− ) = 25 V .

En la posición 2 tenemos que vC ( 0− ) = vC ( 0 + ) = vC ( 0 ) = 25 V

Para determinar la resistencia equivalente vista por el capacitor, se conecta una fuente de voltaje v0 en el lado derecho con la polaridad indicada. La ecuación para la malla en el lado derecho es 60io = 2 × 10 4 io + vo y, por tanto, vo = ( 60 − 2 × 10 4 ) io ≈ 2 × 10 4 io o Req =

vo ≈ 2 × 10 4 Ω −i o

La constante de tiempo es τ = Req C = 2 ×

10 4 × 25 × 10 −6 = 0.5 s

Cuando t → ∞, el capacitor se comporta como un circuito abierto; por tanto, io = 0 y v(∞) = 0. El voltaje en el capacitor es entonces vC (t ) = v(∞ ) + [ v(0) − v(∞ )]e −t τ = 25e −2t

y la corriente io(t) es io ( t ) = C

V

dvC = −1.35 e−2t mA (t ≥ 0) dt

177. El interruptor en el circuito de la figura ha estado cerrado por un largo tiempo. El máximo voltaje nominal que puede soportar el capacitor de 1.6 µF es 14.4 kV. ¿Cuánto tiempo pasará después de que se abra el interruptor para que el voltaje en el capacitor alcance el máximo voltaje nominal?

José R. Morón

89

1 kΩ 4 i∆

i∆ (t)

2 kΩ

1.6 µF

t=0

4 kΩ

5 mA

178. El circuito mostrado en la figura está en estado estacionario antes de cerrar el interruptor. Determínese i(t) para t ≥ 0. Los valores de las resistencias están en ohmios.

5 Ω5

20 Ω

i(t)

20 20 Ω

20 Ω

179. Calcular v(t) para t > 0. El interruptor estaba cerrado para t < 0. 24 V

3Ω

200 mF

3Ω

+ 6V

t = 0

v

−

2Ω

+ vC −

iC i1

6Ω

+ −

2i

i

Solución. Para t < 0. En t = 0− , el capacitor está en circuito abierto. Por tanto, por división de voltaje, v ( 0− ) =

6 ( −6 + 24 ) = 9 V 6 +3+ 3

e 9 6

i ( 0 − ) = = 1.5 A

Entonces, el valor de la fuente de voltaje dependiente de la derecha es 2i = 3 V y escribiendo la LVC para el lazo derecho, con la polaridad indicada para el voltaje en el capacitor, se obtiene − v ( 0 − ) + vC ( 0 − ) + 2i (0 − ) = 0

⇒

vC (0− ) = 6 V

Para t > 0. La condición inicial en el capacitor es vC ( 0− ) = vC ( 0 + ) = vC (0) = 6 V

Para obtener la Req vista por el capacitor, se escribe la LVK para la malla de la derecha, reemplazando el capacitor por una fuente independiente de voltaje v0 y cortocircuitando la fuente de voltaje de 24 V: − v0 − 2i = 2 i1 + 2 i1

Puesto que, por división de corriente, i 3 i = −i1   = − 1 9

3

José R. Morón

90

Entonces,  i  − v0 = 2  − 1  + 2 i 1 + 2 i1 =  3

10 i 3 1

se obtiene Req =

− v0 −i1

=

10 Ω 3

y la constante de tiempo del circuito es 2  10  −3  ( 200 × 10 ) = s 3  3 

τ = ReqC = 

Para t → ∞, el capacitor está en circuito abierto (transitorio ha desaparecido) y 6 v(∞ ) = (24)   = 16 V 9

i( ∞ ) =

2i =

16 8 = A 6 3

16 V (fuente dependiente) 3

− v ( ∞ ) + vC ( ∞ ) + 2i =

0

⇒

vC ( ∞) =

32 V 3

y el voltaje en el capacitor, para t > 0, es vC (t ) = vC ( ∞ ) +  vC ( 0 ) − vC (∞ )  e −t τ

32  32  −3t 2 + 6− e 3  3 32 14 −3t 2 = − e V 3 3 =

La corriente en el capacitor es dvC (t ) d  32 14 −3t 2  = 200 × 10−3  − e  dt dt  3 3 = 1.4 e − 3t 2 A

iC (t ) = C

Para obtener i(t) para t > 0, se escribe la LVK para la malla del lado derecho y se obtiene: 0 ⇒ − 6i(t ) + vC (t ) − 2iC (t )+ 2i (t ) = 0 8 i(t ) = − 5.6 e−3t 2 A 3

− v(t ) + vC (t ) − 2iC (t ) + 2i(t ) =

y v(t ) = 6i(t ) = 16 − 33.6 e−3t 2 V

180. El interruptor de la figura ha estado en la posición a durante mucho tiempo. En t = 0, se mueve a la posición b. Calcule i(t) para todo t > 0. t= 0

30 V

5Ω

12 V

181. Obtener iL para todo t en el circuito de la figura.

6Ω

2F

José R. Morón

91

60 Ω

60 Ω

60 Ω i L

18 u ( t )

18 V

10 mH

Solución. Para t < 0, la fuente de 18u(t) V no está conectada. Por tanto, el inductor se comporta como un cortocircuito (régimen de CD) y la corriente es iL ( 0 − ) =

18 3 = A 120 20

Para t > 0, se conecta la fuente de la izquierda. Por tanto, se tiene que iL ( 0 − ) = iL ( 0+ ) = iL ( 0+ ) = ⇒

Req = 60 + 60 60 = 90 Ω

τ=

3 A 20

10 × 10−3 L 1 = = s Req 90 9 × 103

La corriente final de estado estacionario, por superposición es, 18  60 1 = A   60 + 30  120 5

iL (∞ ) = (2) 

y la expresión para iL(t) es iL (t ) = iL (∞ ) + [ iL (0) − iL (∞ )] e−t τ

1  3 1  −9 × 103 t + − e 5  20 5  3 1( = 4 − e −9 × 10 t ) u(t ) 20 =

Observación: Otra forma de resolver este problema para t > 0, es mediante transformación de fuentes. Se

transforman las fuentes de voltaje en fuentes de corriente, éstas se combinan y la combinación se transforma de nuevo en una sola fuente de voltaje. El circuito resultante es una fuente de 18 V en serie con una resistencia de 90 Ω y el inductor.

182. En el circuito de la figura, el interruptor A ha estado abierto y el interruptor B ha estado cerrado por un largo tiempo. En t = 0, el interruptor A se cierra. Veinticinco milisegundos después, se abre el interruptor B se abre. Halle iL(t) para t ≥ 0. iL(t)

t = 25 ms B 75 mA

200 Ω

500 Ω

10 mH

t=0

183. El interruptor en el circuito de la figura ha estado cerrado por un largo tiempo y se abre en t = 0 . Si vC (t ) = 20 − 8 e −0.05t , determine R1, R2 y C.

José R. Morón

92

184. Calcule v0(t) para t > 0 en el circuito de la figura. 6Ω

+ v0

+

12 V

3Ω

−

-

4H t =

0

2Ω

185. Determine v(t) para t > 0 en el circuito de la figura, si v(0) = 0. 0. 1 F

4Ω

+

3u(t – 1) A

v

2Ω

− 8Ω

186. El interruptor de la figura ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo. En el instante t = 0 se mueve a la posición 3. Calcule i(t) para todo t > 0. 1 2

6 Ω

3 +

30 V

i

+

12 V –

3Ω –

187. A un capacitor de 4 mF se le aplica un voltaje  50 V , v(t ) =  −100t  Ae

t≤0 + Be −600t V , t ≥ 0

Si el capacitor tiene una corriente inicial de 2 A, halle (a) las constantes A y B,

2F

José R. Morón

93

(b) la energía almacenada en el capacitor en t = 0. (c) La corriente en el capacitor para t > 0. 188. Para el circuito mostrado, determine la constante de tiempo.

189. Determine i(t) para t > 0 y t < 0.

190. En el circuito de la figura, halle ix para t > 0. Supóngase que R1 = R2 = 1 kΩ, R3 = 2 kΩ, y C = 0.25 mF.

191. Los inductores en la figura están inicialmente cargados y se conectan a la caja negra en t = 0 . Si i1(0) = 4 A, i2(0) = −2 A y v(t ) = 50 e −200t mV, t ≥ 0, determine: (a) (b)

la energía almacenada inicialmente en cada inductor, la energía total suministrada a la caja negra desde t = 0 hasta t = ∞,

(c)

i1(t) e i2(t), t ≥ 0,

(d)

i(t), t ≥ 0.

+

Caja Caja negra negra

v −

José R. Morón

94

192. En el circuito en la figura, sea i s = 30 e −2t mA y v1(0) = 50 V, v2(0) = 20 V. Determine: (a) v1(t) y v2(t), (b) la energía en cada capacitor en t = 0.5 s.

193. Halle v(t) para t < 0 y t > 0 en el circuito de la figura. t=0 + v(t) −

194. El conmutador en la figura ha estado en la posición A por mucho tiempo. En t = 0, el conmutador se mueve de la posición A a la posición B y de una forma tal que no hay interrupción en la corriente en el inductor. Determinar: (a) i(t) para t > 0, (b) v(t) inmediatamente después de que el interruptor se ha movido a la posición B, (c) v(t) mucho tiempo después de que el interruptor está en la posición B. B i

t=0

A A

+ v −

195. El interruptor en el circuito de la figura ha estado abierto por largo tiempo antes de cerrarse en t = 0 . Halle io(t) para t ≥ 0

io(t)

+ vφ −

t=0 0.9v φ

Problemas y Teoría de Circuitos

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