Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Campus Guanajuato
Estadística Industrial Ejercicios “Prueba de hipótesis” Arroyo Pozas Vanessa Irisema Profesor: Juan Ignacio Guizar Ruiz. 3IV1
Instrucciones: Realiza los siguientes ejercicios del libro base para el curso. Ejercicios: 10.35, 10.39, 10.40, 10.41, 10.42, 10.43, 10.44, 10.45, 10.53, 10.54, 10.55, 10.56, 10.57, 10.58, 10.59, 10.60, 10.61, 10.62, 10.67, 10.74, 10.75, 10.76, 10.77, 10.78. Los datos que se emplean en estos ejercicios están en la semana 8 del curso. Para la realización de estos ejercicios deberá plantear formalmente las hipótesis correspondientes, indicar el estadístico de prueba a utilizar, obtener el valor del estadístico de prueba para los datos y dar las conclusiones haciendo referencia al nivel de significancia empleado (de preferencia utilizando un valor P). Deberá emplear el software R como apoyo para solucionar los ejercicios
10.35 Para indagar si un nuevo suero frena el desarrollo de la leucemia se seleccionan 9 ratones, todos en una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de supervivencia, en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes: Con tratamiento Sin tratamiento
2.1
5.3
1.4
4.6
1.9
0.5
2.8
3.1
0.9
A un nivel de significancia de 0.05, ¿se puede decir que el suero es eficaz? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen de forma normal con varianzas iguales. Datos Varianzas iguales n=9 Nivel de significancia=0.05 1) Planteamiento H 0 : μ CT =μ ST H 1 : μCT > μ ST
2) Estadístico de prueba T=
( ´xCT − x´ ST )−(μCT −μ ST ) Sp
√
1 1 + nCT n ST
T t NCT +NST −2 HO
Bajo
( ´x CT −´x ST )
T=
Sp
√
1 1 + n CT nST
3) Criterio de rechazo (1) Se rechaza
HO
Aquí n-1= 9-2= 7 α =0.05
|T o|=0.669
si
|T o|≥t (n−2) α
(n−2)
tα
=1.894579
|0.669|<1.894579 Como
|T o|
no se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.2536 α =0.05 Como
0.2536>0.05
no se rechaza
4) Conclusión No hay evidencia suficiente para concluir que el suero es eficaz (si las inyectan o no, tienen el mismo tiempo promedio de vida). No se rechaza H O .
10.39 Los siguientes datos representan los tiempos de duración de películas producidas por 2 empresas cinematográficas: Empres a 1 2
Tiempo (min) 102 81
86 165
98 97
109 134
92 92
87
114
Pruebe la hipótesis de que la duración promedio de las películas producidas por la empresa 2 excede al tiempo promedio de duración de las que produce la empresa 1 en 10 minutos, contra la alternativa unilateral de que la diferencia es de menos de 10 minutos. Utilice un nivel de significancia de 0.1 y suponga que las distribuciones de la duración son aproximadamente normales con varianzas iguales. Datos Varianzas iguales Nivel de significancia=0.1 1) Planteamiento H 0 : μ 2−μ1=10 H 1 : μ2 −μ 1> 10
2) Estadístico de prueba T=
( ´xCT − x´ ST )−(μCT −μ ST ) Sp
√
1 1 + nCT n ST
T t E 1 +E 2−2 HO
Bajo
( ´x CT −´x ST )
T0=
Sp
√
1 1 + n CT nST
3) Criterio de rechazo (1) Se rechaza
HO
si
Aquí n-1= 12-2= 10 α =0.1
|T o|=0.1845 t (n−2) =1.372184 α
|0.1845|<1.372184
|T o|≥t (n−2) α
Como
|T o|
no se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.4287 α =0.1
Como
0.4287>0.1
no se rechaza
4) Conclusión No hay evidencia suficiente para concluir que las diferencias de las medias de las empresa 1 y la empresa 2 rebasa al promedio de 10 min. No se rechaza H O 10.40 En un estudio realizado en Virginia Tech se compararon los niveles de ácido ascórbico en plasma en mujeres embarazadas fumadoras con los de mujeres no fumadoras. Para el estudio se seleccionaron 32 mujeres que estuvieran en los últimos 3 meses de embarazo, que no tuvieran padecimientos importantes y que sus edades fluctuaran entre los 15 y los 32 años. Antes de tomar muestras de 20 ml de sangre se pidió a las participantes que fueran en ayunas, que no tomaran sus suplementos vitamínicos y que evitaran alimentos con alto contenido de ácido ascórbico. A partir de las muestras de sangre se determinaron los siguientes valores de ácido ascórbico en el plasma de cada mujer, en miligramos por 100 mililitros:
¿Existe suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia entre los niveles de ácido ascórbico en plasma de mujeres fumadoras y no fumadoras? Suponga que los dos conjuntos de datos provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Utilice un valor P. Datos Varianzas diferentes 1) Planteamiento H 0 : μ F −μ NF =0 H 1 : μ F −μ NF >0
2) Estadístico de prueba T=
( ´x F −´x NF )−(μF −μ NF )
√ HO
Bajo T0=
s2F s 2NF + nF n NF
( ´x F −´x NF )
√
s 2F s 2NF + n F n NF
3) Criterio de rechazo P-valor=0.6876 Se rechaza si
valor de significancia ≥ 0.6876
No se rechaza si
valor de significancia<0.6876
4) Conclusión No hay evidencia suficiente para concluir que hay una diferencia de ácido, por lo tanto no se rechaza H O
10.41 El Departamento de Zoología de Virginia Tech llevó a cabo un estudio para determinar si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en Cedar Run, una corriente secundaria que se localiza en la cuenca del río Roanoke. El drenaje de una planta de tratamiento de aguas negras y el sobreflujo del estanque de sedimentación de la Federal Mogul Corporation entran al flujo cerca del nacimiento del río. Los siguientes datos proporcionan las medidas de densidad, en número de organismos por metro cuadrado, en las dos estaciones colectoras:
A un nivel de significancia de 0.05, ¿podemos concluir que las densidades promedio en las dos estaciones son iguales? Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Datos Varianzas diferentes Nivel de significancia=0.05 1) Planteamiento
H 0 : μ E 1−μ E 2=0
H 1 : μ E 1−μ E 2 ≠0
2) Estadístico de prueba T=
( ´x E 1−´x E 2 )−(μ E 1 −μ E 2)
√ HO
Bajo T0=
s 2E 1 s 2E 2 + nE1 nE2
( ´x E 1− x´ E 2 )
√
2
2
sE1 sE2 + nE1 nE2
3) Criterio de rechazo (1) Se rechaza
HO
si
Aquí n-1= 28-1= 27 α /2=0.025
|T o|≥t (n−1) α/ 2
|T o|=2.7578 t (n−1) α /2 =2.0518
|2.7578|>2.0518 Como
|T o|>t (n−1) α/ 2
se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.01261 α =0.05
Como
0.01261<0.05
se rechaza
4) Conclusión Si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones, son distintas las densidades promedio. Se rechaza H O 10.42 Cinco muestras de una sustancia ferrosa se usaron para determinar si existe una diferencia entre un análisis químico de laboratorio y un análisis de fluorescencia de rayos X del contenido de hierro. Cada muestra se dividió en dos submuestras y se aplicaron los
dos tipos de análisis. A continuación se presentan los datos codificados que muestran los análisis de contenido de hierro:
Suponga que las poblaciones son normales y pruebe, al nivel de significancia de 0.05, si los dos métodos de análisis dan, en promedio, el mismo resultado. Datos Varianzas diferentes Nivel de significancia=0.05 n=5
Pareado 1) Planteamiento H 1 : μ E 1−μ E 2 ≠0
2) Estadístico de prueba T=
d´ −d 0 s D /√ n
T t n−1 Bajo T0=
HO d´ s D /√ n
3) Criterio de rechazo (1)
H 0 : μ E 1−μ E 2=0
Se rechaza
HO
si
|T o|≥t (n−1) α/ 2
Aquí n-1= 5-1= 1 α /2=0.025
|T o|=−1.5811 t (n−1) α /2 =−2.776445
|−1.5811|<−2.776445 Como
|T o|>t (n−1) α/ 2
no se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.189 α =0.05 Como
0.189>0.05
no se rechaza
4) Conclusión No hay evidencia suficiente para concluir que existe una diferencia entre un análisis químico de laboratorio y un análisis de fluorescencia de rayos X del contenido de hierro, por lo tanto no se rechaza H O
10.43 De acuerdo con informes publicados, el ejercicio en condiciones de fatiga altera los mecanismos que determinan el desempeño. Se realizó un experimento con 15 estudiantes universitarios hombres, entrenados para realizar un movimiento horizontal continuo del brazo, de derecha a izquierda, desde un microinterruptor hasta una barrera, golpeando sobre la barrera en coincidencia con la llegada de una manecilla del reloj a la posición de las 6 en punto. Se registró el valor absoluto de la diferencia entre el tiempo, en milisegundos, que toma golpear sobre la barrera y el tiempo para que la manecilla alcance la posición de las 6 en punto (500 mseg). Cada participante ejecutó la tarea cinco veces en condiciones sin fatiga y con fatiga, y se registraron las siguientes sumas de las diferencias absolutas para las cinco ejecuciones:
Un aumento en la diferencia media absoluta de tiempo cuando la tarea se ejecuta en condiciones de fatiga apoyaría la afirmación de que el ejercicio, en condiciones de fatiga, altera el mecanismo que determina el desempeño. Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente y pruebe tal afirmación. Datos Varianzas diferentes Nivel de significancia=0.05
Pareado 1) Planteamiento
H 0 : μ E 1−μ E 2=0 H 1 : μ E 1−μ E 2 ≠0 2) Estadístico de prueba T=
d´ −d 0 s D /√ n
T t n−1 Bajo T0=
HO d´ s D /√ n
3) Criterio de rechazo (1) Se rechaza
HO
|T o|≥t (n−1) α/ 2
si
Aquí n-1= 15-1= 14 α /2=0.025
|T o|=|−2.5259| (n−1)
t α /2 =−2.1447
|−2.5259|>−2.1447 Como
|T o|>t (n−1) α/ 2
se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.02422 α =0.05 Como
0.02422<0.05
4) Conclusión Se rechaza
se rechaza
10.44 En un estudio realizado por el Departamento de Nutrición Humana y Alimentos del Virginia Tech se registraron los siguientes datos sobre los residuos de ácido sórbico en jamón, en partes por millón, inmediatamente después de sumergirlo en una solución de sorbato y después de 60 días de almacenamiento: Si se supone que las poblaciones se distribuyen normalmente, ¿hay suficiente evidencia, a un nivel de significancia de 0.05, para decir que la duración del almacenamiento influye en las concentraciones residuales de ácido sórbico? Datos Nivel de significancia =0.05 Varianzas diferentes
Pareado 1) Planteamiento H 0 : μ AA−μ DA=0 H 1 : μ AA −μ DA ≠ 0
2) Estadístico de prueba T=
d´ −d 0 s D /√ n
T t n−1 Bajo T0=
HO d´ s D /√ n
3) Criterio de rechazo (1) Se rechaza
HO
si
|T o|≥t (n−1) α/ 2
Aquí n-1= 8-1= 7 α /2=0.025
|T o|=|2.6731| t (n−1) α /2 =−2.1447
|2.6731|>−2.3646 Como
|T o|>t (n−1) α/ 2
se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.03186 α =0.05
Como
0.03186<0.05
se rechaza
4) Conclusión Si existe suficiente evidencia para decir que si influye el almacenamiento del jamón en el nivel del ácido sórbico ya que el valor-P < α 10.45 El administrador de una empresa de taxis está tratando de decidir si el uso de neumáticos radiales en lugar de neumáticos regulares cinturados mejora el rendimiento de combustible. Se equipan 12 autos con neumáticos radiales y se conducen en un recorrido de prueba preestablecido. Sin cambiar a los conductores, los mismos autos se equipan con neumáticos regulares cinturados y se conducen nuevamente en el recorrido de prueba. Se registraron los siguientes datos sobre el consumo de gasolina, en kilómetros por litro:
¿Podemos concluir que los autos equipados con neumáticos radiales ahorran más combustible que aquellos equipados con neumáticos cinturados? Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente. Utilice un valor P en su conclusión Datos Nivel de significancia =0.05 Varianzas diferentes
Pareado 1) Planteamiento H 0 : μ LR −μ LC=0 H 1 : μ LR −μLC ≠ 0
2) Estadístico de prueba T=
d´ −d 0 s D /√ n
T t n−1 Bajo T0=
HO d´ s D /√ n
3) Criterio de rechazo
P-valor=0.03033 Se rechaza si
valor de significancia ≥ 0.03033
No se rechaza si
valor de significancia<0.03033
4) Conclusión
10.53 En el Departamento de Medicina Veterinaria del Virginia Tech se llevó a cabo un estudio para determinar si la “resistencia” de una herida de incisión quirúrgica es afectada por la temperatura del bisturí. En el experimento se utilizaron 8 perros. Se hicieron incisiones “calientes” y “frías” en el abdomen de cada perro y se midió la resistencia. A continuación se presentan los datos resultantes.
a) Escriba una hipótesis adecuada para determinar si la resistencia de las incisiones realizadas con bisturí caliente difiere en forma significativa de la resistencia de las realizadas con bisturí frío. b) Pruebe la hipótesis utilizando una prueba t pareada. Utilice un valor P en su conclusión Datos Nivel de significancia =0.05 Varianzas diferentes
Pareado 1) Planteamiento H 0 : μ AA−μ DA=0 H 1 : μ AA −μ DA ≠ 0
2) Estadístico de prueba T=
d´ −d 0 s D /√ n
T t n−1 Bajo
HO
T0=
d´ s D /√ n
3) Criterio de rechazo P-valor=0.355 Se rechaza si
valor de significancia≥ 0.355
No se rechaza si
valor de significancia<0.355
4) Conclusi ón
10.54 Se utilizaron 9 sujetos en un experimento para determinar si la exposición a monóxido de carbono tiene un impacto sobre la capacidad respiratoria. Los datos fueron recolectados por el personal del
Departamento de Salud y Educación Física del Virginia Tech y analizados en el Centro de Consulta Estadística en Hokie Land. Los sujetos fueron expuestos a cámaras de respiración, una de las cuales contenía una alta concentración de CO. Se realizaron varias mediciones de frecuencia respiratoria a cada sujeto en cada cámara. Los sujetos fueron expuestos a las cámaras de respiración en una secuencia aleatoria. Los siguientes datos representan la frecuencia respiratoria en número de respiraciones por minuto. Realice una prueba unilateral de la hipótesis de que la frecuencia respiratoria media es igual en los dos ambientes. Utilice α = 0.05. Suponga que la frecuencia respiratoria es aproximadamente normal.
Datos Nivel de significancia =0.05 Varianzas diferentes
Pareado 1) Planteamiento H 0 : μ AA−μ DA=0 H 1 : μ AA −μ DA ≠ 0
2) Estadístico de prueba T=
d´ −d 0 s D /√ n
T t n−1 Bajo
HO
T0=
d´ s D /√ n
3) Criterio de rechazo (1) HO
Se rechaza
si
|T o|≥t (n−1) α/ 2
Aquí n-1= 9-1= 8 α /2=0.025
|T o|=|2.3534| (n−1)
t α /2 =−2.3060
|2.3534|>−2.3060 Como
|T o|>t (n−1) α/ 2
se rechaza
3) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.04643 α =0.05
Como
0.04643<0.05
4) Conclusión
se rechaza
10.55 Un experto en mercadotecnia de una empresa fabricante de pasta considera que 40% de los amantes de la pasta prefieren la lasagna. Si 9 de 20 amantes de la pasta eligen la lasagna sobre otras pastas, ¿qué se puede concluir acerca de la afirmación del experto? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Datos n=20 x=9 ^p=
9 20
Nivel de significancia de 0.05 Binomial 1) Planteamiento H 0 : p=0.40 H 1 : p>0.40
2) Estadístico de prueba P−valor=p (X ≥ 9 dado que p=0.40)
0.60 ¿20− x 0.40¿ x ¿ 20
¿ ∑ C 20 x ¿ x=9
3)
Criterio rechazo
de (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.4044 α =0.05
Como
0.4044> 0.05
no se rechaza
4) Conclusión No hay razón suficiente para dudar de la afirmación del experto en mercadotecnia. No se rechaza H O
10.56 Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos estaban a favor de la pena capital. ¿Existe alguna razón para creer que la proporción de adultos que está a favor de la pena capital ha aumentado si, en una muestra aleatoria de 15 adultos, 8 están a favor de la pena capital? Utilice un nivel de significancia de 0.05 Datos n=15 x=8 ^p=
8 15
Nivel de significancia de 0.05 Binomial 1) Planteamiento H 0 : p=0.40 H 1 : p>0.40
2) Estadístico de prueba P−valor=p ( X ≥ 8 dado que p=0.40)
15−x
0.60 ¿ 0.40¿ x ¿ 15
¿ ∑ C 15 x ¿ x=8
3)
Criterio rechazo
de (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.2131 α =0.05
Como
0.2131>0.05
no se rechaza
4) Conclusión No existe evidencia suficiente para concluir que la proporción de adultos que están a favor de la pena capital ha aumentado, dado que tenemos un p-valor>α, por lo tanto no se rechaza H0
10.57 Se está considerando utilizar un nuevo aparato de radar para cierto sistema de misiles de defensa. El sistema se verifica experimentando con una aeronave en la que se simula una situación en la que alguien muere y otra en la que no ocurre ninguna muerte. Si en 300 ensayos ocurren 250 muertes, al nivel de significancia de 0.04, acepte o rechace la afirmación de que la probabilidad de una muerte con el nuevo sistema no excede a la probabilidad de 0.8 del sistema que se utiliza actualmente. Datos n=300 x=¿ 250
^p=
250 300
Nivel de significancia de 0.04
1) Planteamiento H 0 : p=0.8 ↔ p o H 1 : p>0.8 ↔ p o
2) Estadístico de prueba Z=
Bajo
√
^p− p N ( 0,1) p (1− p) n
HO
Zo=
^p − po
√
p o (1− p o) n
N (0,1)
3) Criterio de rechazo Se rechaza
HO
si
Z o ≤−Z α
P−valor=p (Z ≤ Z o )
Zo=
0.8333−0.8 0.8 ( 1−0.8 ) 300
√
Z o =1.441932
P−valor=p ( Z >1.441932 )=0.9253392 Se rechaza si
P−valor< α
P-valor= 0.9253392 α =0.04 Como
0.9253392>0.04
0.5159534 4) Conclusión
no se rechaza
10.58 Se cree que al menos 60% de los residentes de cierta área están a favor de una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión extraería si sólo 110 en una muestra de 200 votantes están a favor de la demanda? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Datos n=200 x=110 ^p=
110 200
1) Planteamiento H 0 : p=0.6 H 1 : p<0.6
2) Estadístico de prueba Z=
Bajo
^p− p
√
p (1− p) n
HO
N ( 0,1)
Zo=
^p − po
√
p o (1− p o) n
N (0,1)
3) Criterio de rechazo (1) Se rechaza
HO
si
Z o ≤−Z α
4) Criterio de rechazo (2) Se rechaza si
P−valor< α
P-valor=0.04643 α =0.05 Como
0.04643<0.05
5) Conclusión
se rechaza
10.59 Una empresa petrolera afirma que en una quinta parte de las viviendas de cierta ciudad la gente utiliza petróleo como combustible para calentarlas. ¿Existen razones para creer que en menos de una quinta parte de las viviendas la gente utiliza este combustible para calentarlas si, en una muestra aleatoria de 1000 viviendas de esa ciudad, se encuentra que 136 utilizan petróleo como combustible? Utilice un valor P en su conclusión. Datos n=1000 x=136 ^p=
136 1000
1) Planteamiento H 0 : p=0.2 H 1 : p<0.2
2) Estadístico de prueba
Z=
^p− p
√
p (1− p) n
HO
Bajo
Zo=
^p − po
√
N ( 0,1)
N (0,1)
p o (1− p o) n
3) Criterio de rechazo Se rechaza
HO
si
Z o ≤−Z α
P−valor=p (Z ≤ Z o ) Zo=
^p − po
√
p o (1− p o) n
P−valor=p (Z ≤−5.37) ≈ 3.936832e-08 ≈ 0
4) Conclusión Se rechaza por que p-valor es casi 0
10.60 En cierta universidad se estima que a lo sumo 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. ¿Parece que ésta es una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Datos n=90 x=28 ^p=
28 90
Nivel de significancia de 0.05. 1) Planteamiento H 0 : p=0.2 H 1 : p ≠ 0.2
2) Estadístico de prueba Z=
^p− p
√
p (1− p) n
HO
Bajo
Zo=
^p − po
√
N ( 0,1)
N (0,1)
p o (1− p o) n
3) Criterio de rechazo Se rechaza
HO
si
Z o ≤−Z α
P−valor=p (Z ≤ Z o ) Zo=
^p − po
√
p o (1− p o) n
P−valor=p (Z ≤−5.37) ≈ 0
4) Conclusión 10.61 En un invierno con epidemia de influenza los investigadores de una conocida empresa farmacéutica encuestaron a los padres de 2000 bebés para determinar si el nuevo medicamento de la empresa era eficaz después de dos días. De 120 bebés que tenían influenza y que recibieron el medicamento, 29 se curaron en dos días o menos. De 280 bebés que tenían influenza pero no recibieron el fármaco, 56 se cura ron en dos días o menos. ¿Hay alguna indicación significativa que apoye la afirmación de la empresa sobre la eficacia del medicamento? Datos nCM =120
x C M =29 n S M =280 x S M =56
1) Planteamiento H 0 : pCM = p SM H 1 : pCM > p SM
2) Estadístico de prueba pCM ^ pSM )−( pCM − pSM ) (¿− ^
√
pCM q CM pS M q S M + nCM nSM Z=¿
HO
Bajo
pCM ^ p SM ) (¿− ^
√
pq
^p=
1 1 + nCM n SM Z=¿
x CM + x SM n CM +n SM
^ pCM −^ p SM ¿ Z o =¿ ^p q^ 1 + 1 nCM nSM
√
3) Criterio de rechazo 29+56 ^p= =0.212 120+280
^ pCM =
29 =0.241 120
^ pSM =
56 =0.2 280
Por lo tanto Zo=
0.241−0.2
√
1 1 0.212(1−0.212) + 120 280
=3.577638
= 0.93 con valor P= P (Z> 0.93) = 0.1762 P−valor=P(Z >0.93)
4) Conclusión No hay evidencia suficiente para concluir que la nueva medicina es eficaz
10.62 En un experimento de laboratorio controlado, científicos de la Universidad de Minnesota descubrieron que 25% de cierta cepa de ratas sujetas a una dieta con 20% de grano de café y luego forzadas a consumir un poderoso químico causante de cáncer desarrollaron tumores cancerosos. Si el experimento se repite, y 16 de 48 ratas desarrollan tumores, ¿existen razones para creer que la proporción de ratas que desarrollan tumores cuando se someten a esta dieta se incrementa? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
10.67 Se sabe que el contenido de los envases de un lubricante específico se distribuye normalmente con una varianza de 0.03 litros. 2 Pruebe la hipótesis de que σ =0.03 contra la alternativa de que 2
σ ≠ 0.03 para la muestra aleatoria de 10 envases del ejercicio 10.23 de la página 356. Use un valor P en sus conclusiones. Datos 2
σ =0.03 n=10 s 2=0.060 1) Planteamiento 2 H 0 : σ =0.03 H 1 : σ 2 ≠ 0.03 2) Estadístico de prueba X 2=
Bajo
( n−1)s 2 2 X (n−1) σ2 HO
(n−1) s 2 X = σ 2o 2 o
2
X o =18.13 Como P−valor=2∙ P(X 2> X 2O ) 3) Criterio de rechazo Se rechaza
HO
Se rechaza si
si
Z o ≤−Z α
P−valor< α
P-valor=0.04643 α =0.05
10.74 En el ejercicio 10.41 de la página 358 pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 0.05 de que σ1 2 = σ2 2 contra la alternativa de que σ1 2 ≠ σ2 2, donde σ1 2 y σ2 2 son las varianzas para el número de organismos por metro cuadrado de agua en los dos lugares diferentes de Cedar Run. 10.75 Remítase al ejercicio 10.39 de la página 358 y pruebe la hipótesis de que σ1 2 = σ2 2 contra la alternativa de que σ1 2 ≠ σ2 2, donde σ1 2 y σ2 2 son las varianzas para la duración de las películas producidas por la empresa 1 y la empresa 2, respectivamente. Utilice un valor P. 10.76 Se comparan dos tipos de instrumentos para medir la cantidad de monóxido de azufre en la atmósfera en un experimento sobre la contaminación del aire. Los investigadores desean determinar si los dos tipos de instrumentos proporcionan mediciones con la misma variabilidad. Se registran las siguientes lecturas para los dos instrumentos:
Suponga que las poblaciones de mediciones se distribuyen de forma aproximadamente normal y pruebe la hipótesis de que σA = σB, contra la alternativa de que σA ≠ σB. Use un valor P. 10.77 Se lleva a cabo un experimento para comparar el contenido de alcohol en una salsa de soya en dos líneas de producción diferentes. La producción se supervisa ocho veces al día. A continuación se presentan los datos. Línea de producción 1. 0.48 0.39 0.42 0.52 0.40 0.48 0.52 0.52 Línea de producción 2. 0.38 0.37 0.39 0.41 0.38 0.39 0.40 0.39 Suponga que ambas poblaciones son normales. Se sospecha que la línea de producción 1 no está produciendo tan consistentemente como la línea 2 en términos de contenido de alcohol. Pruebe la hipótesis de que σ1 = σ2 contra la alternativa de que σ1 ≠ σ2. Utilice un valor P 10.78 Se sabe que las emisiones de hidrocarburos de los automóviles disminuyeron de forma drástica durante la década de 1980. Se realizó un estudio para comparar las emisiones de hidrocarburos a velocidad estacionaria, en partes por millón (ppm), para automóviles de 1980 y 1990. Se seleccionaron al azar 20 automóviles de cada modelo y se registraron sus niveles de emisión de hidrocarburos. Los datos son los siguientes: Modelos 1980: 141 359 247 940 882 494 306 210 105 880 200 223 188 940 241 190 300 435 241 380 Modelos 1990: 140 160 20 20 22360 20 95 360 70 220 400 217 58 235 380 200 175 85 65 Pruebe la hipótesis de que σ1 = σ2 contra la alternativa de que σ1 ≠ σ2. Suponga que ambas poblaciones son normales. Utilice un valor P.
