Tema 10 : PANDEO
x Ncr
(2)
(1) L
y
N cr
=
π 2 . E.I z 2
L
x y
Problemas resueltos
Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
10.1.- Un pilar, de 3 m de longitud, se encuentra sometido a una carga F de compresión centrada. Se pide calcular el valor de la carga máxima que podrá soportar para los siguientes supuestos: 1) El pilar tiene impedido totalmente el pandeo 2) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xy 3) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xz 4) El pilar puede pandear líbremente Datos: f y= 275 N/mm 2, E= 2,1.10 5 N/mm2. Perfil : HEB-160, γ γM = 1,1, γ γ = 1,35 F
HEB-160
z
3m z y
y
1) Comprobación sec ción pilar a compresión : N
*
≤ A. f yd
2 F .1,35 ≤ 54,3.10 . 275 1,1
→ F ≤ 1055555 N
2) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeo en plano xy ) N
*
Ncy
≤ χ . A. f yd =
λ y =
π 2 . E.I y L2k A. f y N y
=
π 2 .2,1.105.889,2.10 4
(1.3000 ) 54, 3.102.275
=
2045669,8
2
= 2045669,8 N
= 0,854 → curva c de pandeo → χ = 0, 63
Lk = β .L = 1.3000 mm 2 fórmula : F .1,35 ≤ 0, 63.54,3.10 . 275 1,1
→ F ≤ 469259,3 N
3) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeoen plano xz ) N
*
N cz
≤ χ . A. f yd =
λ y =
π 2 . E.I z L2k A. f y N y
=
π 2 .2,1.10 5.2492.104
(1.3000 )
2
= 5733028,7 N
2
=
54, 3.10 .275 5733028,7
= 0, 51 → curva c de pandeo → χ = 0,84
Lk = β .L = 1.3000 mm 2 fórmula : F .1,35 ≤ 0,84.54, 3.10 . 275
1,1
→ F ≤ 844666, 7 N
4) Comprobación pilar a pandeo ( puede pandear líbremente ) F ≤ 469259,3 N
10.2- Un pilar de 6 m de longitud, articulado en sus extremos, se encuentra sometido a una carga de compresión de 1100 kN. La sección del pilar es tubular rectangular. Se pide: 1) Dimensionar la sección de dicho pilar a resistencia 2) Comprobar el pilar a pandeo utilizando: a) La fórmula de Euler b) La fórmula de la Normativa española DBE-SE-A 3) Repetir los apartados anteriores suponiendo que el pilar tiene 8 m de longitud Datos: f y = 275 N/mm2, E = 2,1.105 N/mm2 , γ γ = 1,5, γ γM = 1,1 Sección
z
y Cálculo de las reacciones:
∑F
Diagrama de esfuerzos:
0 − x − 6
x
=0
RA N
= 1100 kN
= − 1100 kN
x 1100 kN
x
1100
-
6m z y
N
RA
Dimensionamiento a resitencia: Sección más solicitada: todas igual
N
*
→ 0 − x − 6
N
= −1100 kN = cte
≤ N pl , d = A. f yd → 1100.10 3.1, 5 ≤ A. 275 1,1 → A ≥ 66.10 2 mm 2
→ tablas : 200 / 120 / 12, 5 200/120/12,5
Comprobación a pandeo: a) Pandeo teórico: Fórmula de Euler
Carga crítica de Euler: N cr =
π 2 . E.I min 2
Lk
< Ncr
Comprobación a pandeo: N * er . 1 tan teo : perfil
= 3099 cm
I z
N *
4
Iy
= 3979 cm
4
Iy
2
Lk
=
π 2 .2,1.105.1397.104 (1.6000)2
= 803475 N
= 2820 cm = I min → N cr = 4
π 2 . E.I min L2k
=
π 2 .2,1.105.2820.10 4 (1.6000)2
= 1624000 N
= 1650000 < Ncr = 1624000 → No cumple
er
= 4109 cm
N *
π 2 . E.I min
200 /160 /12, 5 :
3 . tan teo : perfil I z
= 1397 cm = I min → N cr = 4
= 1650000 < Ncr = 803475 → No cumple
o
N *
= N.γ = 1100.10 3.1,5 = 1650000 N
200 /120 /12,5 :
2 . tan teo : perfil I z
siendo: N *
4
Iy
220 /180 / 8 :
= 3020 cm = I min → N cr = 4
π 2 . E.I min 2
Lk
=
π 2 .2,1.105.3020.10 4 (1.6000)
2
= 1739000 N
= 1650000 < Ncr = 1739000 → Si cumple 220/180/8 b) Pandeo práctico: Método de la Normativa española DBE-SE-A
Comprobación a pandeo : N
1 tan teo : 220 /180 / 8 → er
Ncrz
Ncry
= =
π 2 . E.I z 2
Lk
π 2 . E.I y 2
Lk
= =
*
≤ Nb, Rd = χ . A. f yd
A = 59, 2 cm ; I z 2
π 2 .2,1.105.4109.10 4 (1.6000)
2
π 2 .2,1.105.3020.10 4 (1.6000) 2
siendo : N
*
= N.γ = 110.103.1,5 = 1165000 N
= 4109 cm4 ; I y = 3020 cm4
= 2366000 N = 1739000 N
λ z = λ y =
A. f y N crz A. f y N cry
=
59, 2.10 2.275 2366000 2
=
59, 2.10 .275 1739000
λ z = 0,83 → curva a de pandeo → χ = 0, 78 λ y = 0,968 → curva a de pandeo → χ = 0, 69 nos quedamos naturalmentecon el valor menor del os 2 : χ = 0, 69 N *
= 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 69.59, 2.10 2.
275 1,1
= 0,83
= 1021200 N → No cumple
= 0,968
2º tan teo : 250 / 200 /10 → Ncrz
Ncry
= =
π 2 . E.I z L2k
π 2 . E.I y 2
Lk
= =
A = 82, 6 cm ; I z 2
π 2 .2,1.10 5.7266.10 4 (1.6000) 2
π 2 .2,1.105.5154.104 (1.6000)
2
= 7266 cm4 ; I y = 5154 cm4
= 4183000 N = 2967000 N
λ z = λ y =
A. f y N crz A. f y N cry
2
= =
82, 6.10 .275 4183000 82, 6.102.275 2967000
= 0, 737 = 0,875
λ z = 0, 737 → curva a de pandeo → χ = 0, 781 λ y = 0,875 → curva a de pandeo → χ = 0, 747 nos quedamos naturalmentecon el valor menor delos 2 : χ = 0, 747 N
*
= 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 747.82, 6.10 2.
3er tan teo : 250 / 200 /12 → Ncrz
Ncry
= =
π 2 . E.I z 2
Lk
π 2 . E.I y 2
Lk
= =
A = 96,1 cm2 ; I z
π 2 .2,1.10 5.8159.10 4 (1.6000) 2
π 2 .2,1.105.5792.104 (1.6000)
2
275 1,1
= 1543000 N → No cumple
= 8159 cm4; I y = 5792 cm4
= 4697000 N = 3335000 N
λ z = λ y =
A. f y N crz A. f y N cry
2
= =
96,1.10 .275 4697000 96,1.10 2.275 3335000
λ z = 0, 75 → curva a de pandeo → χ = 0,825 λ y = 0,89 → curva a de pandeo → χ = 0, 737 nos quedamos naturalmentecon el valor menor delos 2 : χ = 0, 737 N
*
= 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 74.96,1.10 2.
275 1,1
= 1771000 N → Si cumple
250 / 200 /12 resultados finales :
dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12,5 dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 220 /180 / 8 dim ensionamiento a pandeo por la formula dela Normativaespañola : 250 / 200 /12 3.-Repitiendo el procedimiento para una longitud del pilar de 8 m:
resultados finales :
dim ensionamientoa compresión : 200 /120 /12, 5 dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 300 / 200 /10 dim ensionamientoa pandeo por la formula dela Normativa española : 300 / 220 /12
= 0, 75 = 0,89
10.3- En la estructura de la figura se pide el dimensionamiento a resistencia de las secciones de la viga( utilizando un criterio plástico) y del pilar y la comprobación de éste a pandeo, en los dos casos siguientes: 2 5 2 Datos: f y = 275 N/mm , E = 2,1.10 N/mm , γ γ = 1,5, γ γM = 1,1 a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta) b) El pilar se acorta Perfil viga: IPE, perfil pilar: HEB El pilar se considera debidamente arriostrado en el plano perpendicular al de la figura.
50 kN/m B
6m
A
5m
C Cálculo de las reacciones en los apoyos. Ecuaciones de equilibrio: RA
MA
A
50 B
6
∑F =0 ∑ M = 0 A
R A + RC = 50.6 RC .6 + M A
(1)
= 50.6.3 (2)
es una estructura hiperestática
↓
5
tiene una ligadura de más
↓ se buscará una ecuación de deformación
C RC Estructura isostática equivalente: se quita el apoyo en C y se pone la condición: Ecuación que se desarrollará aplicando el Teorema de ls Trabajos Virtuales RA MA
yC = 0 (3)
50
A
B
6
AB :
= R A .x − M A − 50. x.
= R A − 50. x BC : N = − RC V y
5
C RC
M z
x
2
R´A
M´A
Cálculo de las reacciones. Ecuaciones de equilibrio
50
∑F =0 ∑ M = 0
B
6
A
A
5
AB :
R´ A
= 1 kN
M ´A = 1.6 = 6 kN .m
M ´ z = − 1. x + 6 V ´ y = − 1
BC :
C
N ´= − 1
1 Kg
Teorema de los Trabajos Virtuales: L
∑ F .δ ´ +∑ R .∆´ = ∫ i
i
i
i
0
´ N . N .dx
E. A
L
+∫
M z .M ´z .dx E.I z
0
( se desprecia efectosVy )
a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta) al considerarse el pilar de rigidez axil infinita ( no se acorta) será cero, es decir se cumplirá: L
∫ 0
siendo:
Fi
= 1 kN
δ ´i = yC = 0
Ri
N .N ´ .dx E. A
→ el trabajo interno debido a las R x
=0
= ( R´A = 1 kN
y
M ´ A = 6 kN .m)
∆´i = 0 y sustituyendo :
6
x ( −1. x + 6).( R A .x − M A − 50.x. ).dx 2 0
∫ 1.0 + 0 =
E.I z
operando : 36.R A − 18.M A − 2700 = 0 y resolviendo (1), (2), (3) :
R A
(3)
= 187, 5 kN . M A = 225 kN .m RC = 112, 5 kN
Diagrama de esfuerzos: 225
Mz
N
Vy 112,5 112,5
A 3,75 m
+
B
A
B
+ -
126,5
C
C
A
B
18,75 3,75 m
C
AB :
M z
= 187,5. x − 225 − 50. x.
x
Vy
2
= 187, 5 − 50. x
N = 0
x = 0 → M z
= −225 x = 0 → V y = 187,5 x = 6 → M z = 0 x = 6 → V y = −112, 5 x = 3, 75 → M z = 126, 56 Vy = 0 → x = 3, 75 BC : M z = 0 Vy = 0 N = −112, 5 Dimensionamiento sección viga AB a resistencia con criterio plástico: sección más solicitada:
x = 0
→ M z = −225 kN .m., Vy = 187, 5 kN
Comprobacióna flexión : *
M z
≤ M zpl , d = Wzpl . f yd
337,5.10
6
*
Mz
= M z .γ = 225.10 6.1,5 = 337,5.10 6 N. mm
≤ W zpl . 2751,1 → tablas → IPE − 450
Comprobacióna cortadura : f yd
V y*
≤ Vypl , d = Av .
Av
= area alma = h.t w = 450.9, 4 = 4230 mm2
281250 ≤ 4230.
V y*
3 275 1,1 3
= Vy .γ = 187,5.10 3.1,5 = 281250 N
= 610547,9 N → sí cumple *
además se c umpleque : V y
1
≤ .Vypl → no senecesitacombinar flectores concor tan tes 2
viga AB : IPE − 450 Dimensionamiento sección pilar BC a resistencia: sección más solicitada: todas igual:
N
*
≤ N pl , d = A. f yd
168750 ≤ A. 275
N
*
N
= −112,5 kN
= N.γ = 112, 5.103.1,5 = 168750 N
2 → A ≥ 675 mm → tablas → HEB − 100 1,1
Comprobación pilar BC a pandeo:
N
≤ Nb ,d = χ . A. f yd
*
N
A( HEB − 100) = 2600 mm
π 2 . E.I z
=
Ncz
λ=
2
Lk A. f yd
=
= N .γ = 112, 5.103.1,5 = 168750
2
I z ( HEB − 100) = 449,5.10 mm 4
π 2 .2,1.105.449,5.104
(1.5000 ) 2600. 275 1,1 372278,8
=
N cz
*
2
4
= 372278,8 N
= 1,386 → curva b de pandeo → χ = 0,39
fórmula :168750 ≤ 0, 39.2600. 275
1,1
= 253500 N → sí cumple
pilar BC : HEB − 100
b) Se considera que el pilar se acorta al considerar que el pilar no se acorta → el trabajo interno debido a las R x ya no será cero y habrá que tomarle en cuenta, es decir se cumplirá: Teorema de los Trabajos Virtuales: L
∑ F .δ ´ +∑ R .∆´ = ∫ i
i
i
N . N ´.dx
i
E . A
0
L
+∫
M z .M ´z .dx E.I z
0
( se desprecia efectosVy )
siendo:
Fi
= 1 Kg
δ ´i = yC = 0
Ri
= ( R´A = 1 kN
6
∫ (−1. x + 6).(R .x − M A
1.0 + 0 =
M ´A = 6 kN .m)
y
5
x
A
∫ (−1).(− R
− 50.x. ).dx 2
0
E.I z
∆´i = 0 y sustituyendo :
C
+
).dx
0
E .A
primer tan teo : viga → IPE − 450 ( I z
= 33740 cm4 ), pilar → HEB − 100 ( A = 26 cm 2 ) operando : 936.R A − 468.M A − 70200 + 16,87.RC = 0 (3) y resolviendo (1), (2), (3) : R A = 188, 5 kN . M A = 231, 03 kN .m RC = 111, 5 kN Los diagramas de esfuerzos serían ahora: 231,0
Mz
N 111,5 111,5
A 3,77 m
+
B
A
B
+ -
124,2
C
C
A
B
188,5
C
Comprobación sección viga AB (IPE-450) a resistencia: sección más solicitada:
x = 0
→ M z = −231, 03 kN .m., Vy = 188, 5 kN
Comprobación a flexión : *
M z
≤ M zpl , d = Wzpl . f yd
346, 545.10
6
*
Mz
= M z .γ = 231, 03.10 6.1,5 = 346, 545.10 6 N. mm
≤ W zpl . 2751,1 = 1702.10 3. 2751,1 = 425,5.10 6 → sí cumple
Comprobación a cortadura : f yd
V y
≤ Vypl , d = Av .
Av
= area alma = h.tw = 450.9, 4 = 4230 mm2
*
282, 75.10
3
*
Vy
3
≤ 4230.
275 1,1 3 *
además se c umpleque : V y
= V y .γ = 188,5.10 3.1,5 = 282,75.103 N
= 610, 547.10 3 N → sí cumple 1
≤ .Vypl → no senecesitacombinar flectores concor tan tes 2
viga AB : IPE − 450
Comprobación pilar BC (HEB-100) a resistencia y a pandeo: Dado que el pilar va a trabajar ahora, en el apartado b) con N = 111,5 kN < que la N = 112,5 kN con los que trabajaba en el apartado a), no será necesario su comprobación. Así pues:
pilar BC : HEB − 100
10.4.-Un pilar de 4 m de longitud articulado en ambos extremos y de sección tubular cuadrada: 100/10 está sometido a una carga de compresión centrada. Se pide calcular la máxima carga que podrá soportar y la tensión correspondiente a) Utilizando la fórmula del pandeo teórico de Euler b) Utilizando la fórmula práctica de la Normativa Española DB-SE-A 2 5 2 Datos: f y = 275 N/mm , E = 2.1.10 N/mm , γ γM = 1,1
Datos sec ción tubular cuadrada : A = 32, 6 cm , I z 2
a) Pandeoteórico : FórmuladeEuler : Ncr =
σ cr =
π 2 . E.I L2k N cr A
π 2 .2,1.10 5.411.10 4
=
(1.4000)2
=
531863,8
=
Lk
siendo : λ
32,6.10
=
i
2
β .L i
=
3,55
*
≤ N cr
= 531863,8 N
= 163 N / mm 1.400
N
= I y = 411 cm4 , iz = i y = 3,55 cm
π 2 . E π 2 .2,1.105 2 = = 163 N / mm o bien : σ cr = 2 2 λ 112,676
2
= 112, 676
( λ lim
=
π 2 .E f y
=
π 2 .2,1.10 5 275
= 86,8)
≤ Ncr → N * ≤ 531863,8 N o bien : σ * ≤ σ cr → σ * ≤ 163 N / mm 2
con lo cual : N *
b) Pandeo práctico : Fórmula dela Normativa Española DB − SE − A :
N
*
≤ Nb , Rd = χ . A. f yd
Cálculo del coeficiente de pandeo χ : Ncr =
λ=
π 2 . E.I 2
Lk A. f y N r
π 2 .2,1.10 5.411.10 4
=
(1.4000)
=
531863,8 *
=
N
A
= 1, 298 1,3 → curva a de pandeo → χ = 0, 47 ≃
≤ Nb, Rd = χ . A. f yd → N * ≤ 0, 47.32, 6.102.
*
o bien : σ
= 531863,8 N
2
32, 6.10 .275
con lo cual : N *
2
≤
383050 32,6.10
2
275 1,1
= 383050 N
= 117,5 N / mm2
Con los resultados obtenidos comprobamos cómo el cálculo a través de la normativa es más restrictivo que el teórico de Euler, tal y como nos dice la teoría (ver tema 10, sección 10.3.1)
σ
fy=275
163 117,5
λlim=86,8
λ=112,676
λ
