1.2-1.Una barra ABC que tiene dos secciones transversales de áreas diferentes 1.2-1.Una está cargada por una fuerza axial P=95kip (véase figura). Ambas partes de la barra tienen sección transversal circular. Los diámetros de las porciones AB y BC de la barra son 4.0 y 2.5plg, respectivamente. Calcular los esfuerzos normales en cada porción de la barra.
=95=95000 ∅ =4 ∅ =2,5 = = ⁄495000 .. = 7,56 4 = 7560 .. = = ⁄495000 2,5 = 19354 .. . = 19,35 1.2-2 Una barra horizontal CBD que tiene una longitud de 2.4m, se sostiene y se carga como se muestra en la figura. El miembro vertical AB tiene un área de sección transversal de 550mm2. Determinar la longitud de la carga P tal que produzca un esfuerzo normal igual a 40MPa en el miembro AB.
=550 =0,00055
=40=410 = → = 0,00055 1,5 410 00 55 = =13750 2,4
1.2-3 Un alambre de aluminio de 80 m de longitud cuelga libremente bajo su propio peso. Determinar el esfuerzo normal máximo en el alambre, si se supone que el aluminio tiene un peso específico
= 26,6 KN/
= 80
á = . = 80m 80m ∗ 26, 26,6 KN/ KN/ . = 2128 2128 KN/ KN/ 2,13MPa ∅ =4
∅ =
1.2-4 Un tubo hueco de diámetro interior y diámetro exterior se comprime por una fuerza axial P=55kip. Calcular el esfuerzo de compresión medio en el tubo.
4,5
∅ =4pulg ∅ =4,5pulg P=55000Libras 55000Lb σ = A P A = π⁄4 x 4,5pulg pulg π⁄4 x 4pulg 4pulg =16477Psi 1.2.5 Una columna ABC para un edificio de dos pisos se construye con un perfil cuadrado hueco. Las dimensiones exteriores son de 8plg x 8plg y el espesor de pared es de 5/8 de plg. La carga del techo en la parte superior de la columna es de P1= 80 Kip y la carga del piso a la mitad de la columna es P2= 100Kip. Determinar los esfuerzos de compresión y en ambas porciones de la comuna debido a esas cargas.
= 64 = A
= 80
= 100
P
B
C
Sabiendo las longitudes y el espesor de la lámina, se halla el área interna:
=[82(58)]∗ [82(58)] = 45,56 : = . . =6445.56=18,44 = =4338,4=4,33 = , = =5423=5,4 = , 1.2-6 La figura muestra la sección transversal de un pedestal de concreto cargado a compresión.
̅
a) Determinar las coordenadas y del punto donde debe aplicarse la carga a fin de producir una distribución uniforme de esfuerzos. b) ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo de compresión si la carga es igual a 20 MN?
= 1.21,2 =1,44 = = 0,6 0,4 =0,24 = =0,96 =0,6
= 1⁄2 1.2 = 0,6 En este caso 1,2m es la longitud de la base del 12+0,3∗0,12 = ∑ . = 0,6∗0,96+0,31,∗0, 44 =0,045 20 10 = Á 1 = 0,96 =20833333.33 =20,83 . 1.2-7 Un alambre de acero de alta resistencia, empleado para presforzar una viga de concreto, tiene una longitud = 80 y se estira ′ =3, 0 . ¿Cuál es la deformación unitaria del alambre? 1 =0,25 ′ =3,0 12 25 =3,12510− = ´ = 0,80 1.2-8 Una barra redonda de longitud =1,5 , se carga a tensión como se muestra en la figura. Una determinación unitaria normal =210− se mide por medio de un medidor de deformación (Strain Gage) colocado en la barra. ¿Qué alargamiento ′ de la barra completa puede preverse najo esta carga? = ´ → ´ = ´ = 210− x 1,5m = 0,003m Si pedestal.
1.2-9 Una barra de acero de 1m de longitud y 13mm de diámetro, soporta una carga de tensión de 13,5KN. La barra incrementa su longitud en 0,5mm cuando se aplica la carga. Determinar el esfuerzo normal y la deformación unitaria en la barra.
=13,5=13500 ∅=13=0,013 ′ =0,5=0,0005 = = ⁄4 13500 0,013 =101708484,3=102 005 =0,0005 = ´ = 0,01
1.2.10 Un conjunto de puntal y cable ABC (véase la figura) sostiene una carga vertical P = 15 KN. EL cable tiene una sección transversal efectiva de 120 mm 2 y el puntal un área de 250mm 2. a. Calcular los esfuerzos normales σ ab y σbc en el cable y el puntal e indicar si
son de tensión o de compresión. b. Si el cable alarga 1.3 mm ¿Cuál es la deformación unitaria? c. Si el puntal se acorta 0.62 mm ¿Cuál es su deformación unitaria?
P = 15KN Aab = 120mm2 = 1.2 x 10 -4 m2 Abc = 250mm2 = 2.5 x 10 -4 m2
θ2 = 53,13
Θ1 = 36,87
L=
√ 1.5 +2 =2.5
θ2 = 180° - (90° + 36.87°) = 53.13° P x Cosθ 2 = 15000 N
2.5 Cosθ1 = 2 θ1 =
Cos− . = 36. 87° a) σab =
=
P = 25000 N
.×
= 104.1 (Tensión)
σbc = = .× = 50 (Compresión) b) δ = 1.3 mm = 0.0013 m
√ 1.5 + 2 =2.5 δ . = = . =5.2×10−
L= ϵc
c) δ = 0.62 mm = 0.00062 m ϵp =
δ = . =2.48×10− .
1.5.1. Se realiza una prueba de tensión sobre un espécimen de latón de 10 mm de diámetro y se utiliza una longitud calibrada de 50 mm. Al aplicar una carga P = 25 KN se aprecia que la distancia entre marcas de calibración se incrementa en 0.152 mm. Calcular el módulo de elasticidad del latón.
∅= = = =,
ó : = = = ó =,− = , = , = − =, = ,
1.5.2. Determinar la fuerza de tensión P necesaria para producir una deformación unitaria axial ɛ=0.0007 en una barra de acero (E=30x10 6 psi) de sección transversal circular cuyo diámetro es igual a 1plg.
P
ɛ=. =0 ∅ = .
Determinar fuerza de tensión.
=ɛ = . = = = , = = , =
1-5-3. Los datos de la tabla anexa se obtuvieron de una prueba a tensión de un espécimen de aleación de aluminio. Grafique los datos y luego determine el módulo de elasticidad E y el límite de proporcionalidad para la aleación.
Esfuerzo Deformación (Ksi)
ℇ
8
0,0006
17
0,0015
27
0,0024
35
0,0032
43
0,0040
50
0,0046
58
0,0052
62
0,0058
64
0,0062
65
0,0065
67
0,0073
68
0,0081
La fórmula que se utiliza determinar el módulo de elasticidad:
Esfuerzo (Ksi)
Deformación
Módulo de elasticidad E
8,0000
0,0006
13333,3333
17,0000
0,0015
11333,3333
27,0000
0,0024
11250,0000
35,0000
0,0032
10937,5000
43,0000
0,0040
10750,0000
50,0000
0,0046
10869,5652
58,0000
0,0052
11153,8462
62,0000
0,0058
10689,6552
64,0000
0,0062
10322,5806
65,0000
0,0065
10000,0000
67,0000
0,0073
9178,0822
68,0000
0,0081
8395,0617
σ
ℇ
Promedio
ℇ
10684,4131
Módulo de elasticidad E= 10684,4 Ksi
σ
Límite de proporcionalidad trazando una línea paralela a 0,2% de la línea deformación vs esfuerzo para determinar cuándo las deformaciones dejan de ser proporcionales. Punto de corte = ± 60Ksi Límite de proporcionalidad
σ= 60 Ksi
80.0000
70.0000
60.0000
50.0000 σ o z r 40.0000 e u f s E
30.0000
20.0000
10.0000
0.0000 0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0.0040
0.0050
Deformación
ℇ
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
1.5.4. Una muestra de aleación de aluminio se prueba a tensión. La carga se incrementa hasta alcanzar una deformación unitaria de 0.0075; el esfuerzo correspondiente en el material es 443 MPa. Luego se retira la carga y se presenta una deformación permanente de 0.0013. ¿Cuál es el módulo de elasticidad E para el aluminio?
=, =, =
= ,, − = = , = ,
1.5-5. Dos barras, una de aluminio y otra de acero, se someten a fuerzas de tensión que producen esfuerzos normales = 24 ksi en ambas barras. ¿Cuáles son las deformaciones laterales y en las barras de aluminio y acero, respectivamente, si E = 10.6 x 10 6 psi y v = 0.33 para el aluminio, y E = 30 x 10 6 psi y v= 0.30 para el acero?
∈ ∈
= ∈ =? ∈ =? → = . ; = . → = ; = . =( ) → =. = = . =,− = ,. ,− =,− → Para el acero.
= = = − = ,. − =,− → .
1.5-6. Una barra redonda de 1.5 plg de diámetro se somete a carga en tensión con una fuerza P (véase figura). Se mide la variación en el diámetro y resulta 0.0031 plg. Se supone E= 400,000 psi y V= 0.4. Determinar la fuerza axial P en la barra.
=400000 =0,4 ∅ = 1,5 ∅ = 0,0031 =? 1,5 = 4 = 4 =1,7671 =2,06710− = 0,01.031 5 = − 2, 0 6710 = = 0,4 =5,167510− = = . →= =(400000 ) 1,7671 5,167510− = 3652,6
1.5-7. Un miembro compresible construido de tubo de acero (E= 200 GPa, = 0,30) tiene un diámetro exterior de 90 mm y un área de sección transversal de 1580 mm2. ¿Qué fuerza axial P ocasionará un incremento del diámetro exterior igual a 0,0094 mm?
=200 =0,30 ∅ = 90 á=1580 =? ∅ =0,0094 = ∅∅ = 0,090094 =1,044×10− = Øext − 1,044×10 Øext= = 0,30 =3,481×10− ∈= Øexto ϵx = ∈×ϵx = 200Gpa×3,481×10− => = 69,62 MPa = => = ×A = 69,62 ×1580 =110 1.5-8. Una barra de acero de alta resistencia (E=200GPa, v=0.3) se comprime con una fuerza axial P (véase figura). Cuando no actúa carga axial, el diámetro de la barra es 50mm. A fin de mantener cierta holgura, el diámetro de la barra no debe exceder de 50,02mm. ¿Cuál es el mayor valor permisible de la carga P?
= .= 200 = .= 0,3 ∅=50 ∅á.. = 50,02 á.. =? = = ó = ∆ 05002 =0,0004 = 0,050, 0,05 = = → = = 0,00,004 3 =0,00133 = → =. = 200100,00133 =266,67 = . 0, 0 5002 . = 266,67 4 = 524 KN
1.5.9. Al probar a compresión un cilindro de concreto, el diámetro original de 6´´ se incrementa a 0,0004´´ y la longitud original de 12´´ se redujo 0,0065´´bajo la acción de la carga de compresión P=52000lb. Calcular el módulo de Poisson.
Diámetro= 6´´ Longitud= 12´´
P= 52000lb ɣ=?
∆ = | E’| = . cd = −, =5,4110− 0004− =0,12 ɣ = ∆ = 5,0,4110 Ɣ
1.5.10. Un tubo de acero de 6 pie de longitud, diámetro exterior d=4.5 plg y espesor de pared t=0.3 plg, se somete a una carga axial de compresión P=40K. Se supone que E=30 x106 psi y v=0.3, determinar (a) el acortamiento del tubo, (b) el incremento del diámetro exterior y (c) el incremento de espesor de pared.
a)
= = =0,34,50,3 =3,958 . Ɛ =3,41810⁻⁴ ϸ=Ɛ med. =
=10256.41psi
=
x L= (2.418x10-4) (72 lb)=0.024 plg
b)
Ɛ
rƐ
lateral=-
∆
= (0.5) (-3.418x10-4) =1x10-4
d= (1x10-4) (4.5plg) =0.00045plg
C) ∆t=Ɛtxt = (1.0107x10-4) (0.5) =0.0000303plg
1.6-1. Un bloque de madera se prueba en cortante directo mediante el espécimen de prueba mostrado en la figura. La carga P produce un corte en el espécimen según el plano AB. EI ancho del espécimen (perpendicular al plano del papel) es 2 pulgadas y la altura h del plano AB es 2 pulgadas. Para una carga P = 1700 Libras, ¿Cuál es el esfuerzo cortante medio T medio en la madera?
Esfuerzo medio T medio:
= Donde:
P: Es la carga aplicada
A: Es el área sobre la cual se aplica la carga.
Al reemplazar en la fórmula los datos, se tiene que:
= 1700 = 2∗2 =425 1.6-2. Una ménsula de perfil estructural está fijada a una columna mediante dos tornillos de 16mm de diámetro, como se muestra en la figura. La ménsula sostiene una carga P=35KN. Calcular el esfuerzo cortante medio Ƭ medio en los tornillos,
cuando se desprecia la fricción entre la ménsula y la columna. Se deben realizar conversiones, de la siguiente manera:
1 =0,016 á:16∗ 1000 :35∗ 0.0101 =35000 Área
El esfuerzo a calcular es el que actúa en el área transversal de los tornillos se tiene que:
Á = 4
Á = 4 0,016
Reemplazando los datos obtenidos se tiene que:
= 2
Á − =210
35000 = 2210 − = 87,5 1.6-3. Una barra circular maciza de aluminio ajusta holgadamente dentro de un tubo de cobre. La barra y el tubo están unidos mediante un tornillo de 0.25plg de diámetro. Calcular el esfuerzo cortante medio en el tronillo si las barras se cargan por fuerzas P= 400lb.
= 2 = 2 0,40025 4 = 4074,4 1.6-4. Un punzón con diámetro d=20mm se utiliza para perforar una placa de aluminio de espesor t=4mm (véase figura). Si el esfuerzo cortante último para el aluminio es 275 MPa, ¿Qué fuerza P se requiere para perforar la placa?
= El valor del área de la perforación está definido por:
=
= 2,510−
= 0,02 ∗0,004
De la anterior fórmula despejando P, se tiene que.
= 2
= 2 =22,7510∗ 2,510− =1,410
1.6-5 Tres piezas de madera están adheridas entre si y sometidas a una fuerza P = 3000 lb, como se muestra en la figura. La sección transversal de cada miembro
es 1.5 × 3.5 pulgadas, y la longitud de las superficies es 6 pulgadas ¿Cuál es el esfuerzo cortante medio ? Respuesta.
Para determinar el valor del esfuerzo cortante medio, hay que establecer el área sobre la que actúa dicha carga.
=
= 3,5∗6
= 21
Por lo tanto el valor del esfuerzo medio cortante, será:
= 2 300 = 221 = 7,14 1.6-6 Tres piezas de madera (véase la figura) están adheridas entre sí en sus planos de contacto. Cada pieza tiene sección, transversal 2x4 plg (dimensiones reales) y longitud de 8 plg. Una carga P = 2400 lb se aplica a la pieza superior mediante una placa de acero ¿Cuál es el esfuerzo cortante medio en las uniones?
= 2 ×8 = 16 = = 162400 = 150 1.6-7 Tres placas de acero se unen mediante dos remaches, como se muestra en la figura. Si el diámetro de los remaches es de 20 mm y el esfuerzo cortante último en los remaches es 210 MPa, ¿qué fuerza P se requiere para ocasionar la falla por cortante de dichos remaches?
Para determinar el valor de la fuerza que se requiere para ocasionar la falla de los remaches, se utiliza la fórmula que define el esfuerzo en función de la carga y el área sobre la cual se aplica la carga.
= El valor del área de corte está definido por:
= 24 ×
= 4 × 0,02 = 12,5610− De la anterior fórmula despejando P, se tiene que.
= 2 = 2
=221010× 6,2810− =5,2752 ×10 1.6-8 Dos piezas de material se unen como se ve en la figura, y se tensionan con fuerzas P. Si el esfuerzo cortante ultimo para el material es 38 MPa, ¿qué fuerza P se requiere para fracturar a cortante las piezas?
= El valor del área de corte está definido por:
= 0,06 ×0,08 = 4,810− De la anterior fórmula despejando P, se tiene que.
= 2 = 2 =23810×4,810− =1,82410
1.6-9 La adherencia entre barras de refuerzo y el concreto se prueba mediante una “prueba de adherencia” de una barra empotrada en concreto (véase figura).
Se aplica una fuerza de tensión P al extremo de la barra, la cual tiene un diámetro d y una longitud empotrada L. Si P =4000 lb, d = 0,5 plg y L 12 plg ¿qué esfuerzo cortante medio se presenta entre el acero y el concreto?
= = ×0,5 ×12 = 18,85 = = 18,4000 85 = 212,2 1.6-10 Una viga hueca tipo cajón ABC se apoya en A mediante un perno de 7/8 plg de diámetro que pasa a través de la viga, como se muestra en la figura. Un apoyo de rodillo en B sostiene la viga a una distancia L/3 de A. Calcular el esfuerzo cortante medio en el perno si la carga P es igual a 3000 lb.
= = 22⁄4 = ⁄42 = 22×3000 ⁄4 0,875 = 4989,02
