PROBLEMAS RESUELTOS MAGNETISMO
1
EJERCICIOS RESUELTOS: CAMPO MAGNETICO. 1º Calcula la inducción magnética en el centro de una espira de 32 cm de radio si la corriente es de 2 A .
El módulo de la inducción magnética en el centro de una espira puede calcularse utilizando la ecuación: o I
B
2r
donde B es el módulo de la inducción magnética ( B ( B es el vector inducción magnética que representa matemáticamente el campo magnético)
o la
permeabilidad magnética en el vacío
( o 4 107 T m / A) , I la intensidad de la corriente que circula por la espira y r el r el radio de la espira. Sustituyendo datos: B
T m
4 10 7
o I
A 2 0,32 m
2r
2 A 3,9 10
6
T
2º A una distancia de 30 cm de un hilo conductor muy largo se ha medido un campo 6 magnético de 4,2 . 10 T. Si no existe ninguna otra fuente de campo magnético, calcula la intensidad de la corriente que circula por el hilo.
La expresión del campo magnético debido a un conductor rectilíneo es: o I
B
2 r
(1)
donde B es el módulo de la inducción magnética,
o
es la permeabilidad magnética del vacío
( o 4 107 T m / A) , I es la intensidad de la corriente que circula por el conductor y r la r la distancia desde el conductor al punto en el que la inducción magnética es B. Como nos piden la intensidad de la corriente que circula por el conductor, debemos despejar I de la ecuación (1) B
o I
I
2 r
2 r B o
Sustituyendo datos: I
2 r B
2 0,30 4,2 106 4 10
o
7
6,3 A 4
3º Calcula la fuerza que un campo magnético de 2 . 10 T ejerce sobre una carga eléctrica 4 de + 1 C que se mueve perpendicularmente al campo con una velocidad de 10 m/s.
La fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en un campo magnético viene dada por la expresión:
F q (v B)
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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2
donde F es la fuerza que actúa sobre la carga eléctrica que se introduce en el campo magnético,
q es el valor de dicha carga, v es su velocidad y B es el vector inducción magnética.
Si ecuación:
es
el ángulo que forman los vectores v y B , el módulo de la fuerza viene dado por la
F q v B sen En este caso
90º
y sen 1 luego: F q v B
Sustituyendo datos:
F q v B 1 10 6 C 104
m
4
2 10
T 2 10 6 N
s 3 4º Un electrón penetra en un campo magnético uniforme de 10 T con una velocidad de 3 7 . 10 m/s perpendicular al campo. Calcula: a) la fuerza que actúa sobre el electrón; b) el radio de 19 31 la órbita circular que describe. Carga y masa del electrón: qe = 1,6 . 10 C, me = 9,1 . 10 kg a) La fuerza magnética que actúa sobre una carga en un campo magnético viene dada por la expresión:
F q (v B)
donde F es la fuerza que actúa sobre la carga eléctrica que se introduce en el campo magnético,
q es el valor de dicha carga, v es su velocidad y B es el vector inducción magnética.
Si
es
el ángulo que forman los vectores v y B , esta expresión adopta la forma:
F q v B sen En este caso
90º
y sen 1 luego: F q v B
Sustituyendo datos:
F q v B 1,6 1019 3 107 103 4,8 1015 N b) El radio de la órbita circular que describe una partícula con carga eléctrica cuando se introduce perpendicularmente a la dirección del campo magnético viene dado por la expresión: R
mv q B
donde m es la masa de la partícula (electrón), v es la velocidad con que se introduce en el campo magnético, q la carga de la partícula (electrón) y B es el módulo del vector inducción magnética. Sustituyendo datos: Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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R
mv q B
3
9,1 10
31
7
3 10
1,6 1019 10 3
0,17 m
5º Un protón penetra en un campo magnético uniforme de 0,2 T con una velocidad de 3 . 10 m/s perpendicular al campo. Calcula: a) la fuerza magnética que actúa sobre el protón; b) el 19 radio de la órbita circular que describe. (Carga y masa del protón: qp = +1,6 . 10 C, mp = 1,67 . 27 10 kg.) 7
a) La fuerza magnética que actúa sobre una partícula con carga que se introduce perpendicularmente en un campo magnético viene dada por la expresión:
F q v B donde F es la fuerza que actúa sobre la partícula, q es el valor de la carga de la partícula, v es su velocidad y B el módulo del vector inducción magnética. Sustituyendo datos se obtiene:
F q v B 1,6 1019 C 3 107
m
0,2 T
9,6 1013 N
s b) El radio de la órbita circular que describe una partícula con carga que se introduce perpendicularmente en un campo magnético viene dada por la ecuación: R
mv q B
donde R es el radio de la órbita circular, m la masa de la partícula y q, v y B tienen el mismo significado que antes. Sustituyendo datos: R
mv q B
1,67 1027 3 107 1,6 10
19
0,2
1,56 m
6º Por un hilo conductor rectilíneo de 3 m de longitud circula una corriente de 2 A de intensidad. Calcula la fuerza que experimenta cuando se le aplica un campo magnético uniforme 2 de 3 . 10 T que forma un ángulo de 30º con la dirección del hilo.
La fuerza magnética que actúa sobre un conductor rectilíneo sit uado en un campo magnético es: Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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F I ( l B )
donde F es la fuerza magnética que actúa sobre el conductor, I la intensidad de la corriente
que circula por el, l es un vector cuyo módulo es la longitud del conductor rectilíneo y cuya dirección
y sentido son los de la corriente y B es el vector inducción magnética. El módulo de dicha fuerza vendrá dado por la expresión:
F I l B sen
donde
es
el ángulo que forma el conductor con el vector B .
Sustituyendo datos:
F I l B sen 2 A 3 m 3 102 T sen 30º 9 102 N La fuerza magnética sería perpendicular al conductor y al campo magnético (perpendicular al plano del papel) 7º Dos hilos conductores rectilíneos y paralelos de gran longitud, están separados 10 cm. Si por ellos circulan corrientes de 2 A y 5 A en el mismo sentido, calcula la fuerza que se ejercen 5 mutuamente por unidad de longitud y di si es atractiva o repulsiva. Sol.: 2 . 10 N/m.
La figura indica las fuerzas magnéticas con que se atraen dos conductores rectilíneos paralelos
por los que circulan corrientes del mismo sentido (las corrientes entran en el plano del papel), F 1 2 es la
fuerza que el conductor 1 ejerce sobre el 2, F 2 1 es la fuerza que el conductor 2 ejerce sobre el 1, B1 es el vector inducción magnética creado por el conductor 1 en el punto en el que se encuentra el conductor
2, B2 es el vector inducción magnética creado por el conductor 2 en el punto en el que se encuentra el conductor 1, I 1 e I 2 son las intensidades de las corrientes que circulan por ambos conductores y r es la distancia entre los conductores. El módulo de la fuerza que el conductor 1 ejerce s obre el 2 es:
F 1 2
o I 1 I 2
l
2 r
Donde l es la longitud de los conductores. La misma ecuación se tendría para F 2 1 , por lo que utilizaremos el símbolo F para los módulos de ambas fuerzas. Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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5
El módulo de la fuerza por unidad de longitud será: F
l
Sustituyendo datos se obtiene:
o I 1 I 2
2 r
F
o I 1 I 2
4 107 2 5
l 2 r 2 0,10 siendo la fuerza entre los conductores atractiva.
2 105 N / m
8º Calcula la fuerza magnética que actúa sobre un hilo rectilíneo de 4 m de longitud por el 2 que circula una corriente de 2,5 A cuando se le aplica un campo magnético uniforme de 2 . 10 T perpendicular al hilo.
La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo por el que circula una corriente situado en un
campo magnético B viene dada por la expresión:
F I (l B)
donde F es la fuerza magnética que actúa sobre el conductor, I es la intensidad de la corriente
que circula por el conductor, l es un vector cuyo módulo es la longitud del conductor y cuyo sentido es
el de la corriente y B es el vector inducción magnética. El módulo de dicha fuerza será:
F I l B sen donde
es
el ángulo que forma el conductor con las líneas de fuerza del campo magnético.
Sustituyendo datos y teniendo en cuenta que el hilo conductor es perpendicular al campo magnético ( 90º y sen 1) se tiene:
F I l B sen 2,5 A 4 m 2 102 T 1 0,2 N 9º Dos hilos conductores muy largos, rectilíneos y paralelos, por los que circulan corrientes de 2 A y 3 A en sentidos contrarios, están separados 12 cm. Calcula la fuerza que se ejercen mutuamente por unidad de longitud y di si es atractiva o repulsiva.
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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6
La figura representa dos conductores rectilíneos y paralelos por los que circulan corrientes de
sentidos contrarios. B1 es el vector inducción magnética creado por el conductor 1 en la posición del
conductor 2 y B2 es el vector inducción magnética creado por el conductor 2 en la posición del 1,
I 1 e I 2 son las intensidades de las corrientes eléctricas de sentidos contrarios, d es la distancia entre
los conductores, F 1 2 es la fuerza que el conductor 1 ejerce sobre el 2 y F 2 1 es la fuerza que el conductor 2 ejerce sobre el 1. Suponemos que la longitud de ambos conductores es l .
Según esto los módulos de F 1 2 y F 21 vienen dados por la expresión: (ambos vectores tienen módulos iguales, la misma dirección y sentidos contrarios, por lo que designaremos a ambos módulos por F )
F
o
I 1 I 2 l 2 d
y la fuerza que se ejercen mutuamente por unidad de longitud es:
F
l
o
I 1 I 2 2 d
Sustituyendo datos:
F
l
o
I 1 I 2 2 d
4 10
7
2 0,12
5
2 3 10
N / m
La fuerza que se ejercen mutuamente, como se deduce aplicando la regla del producto vectorial
F I (l B) , ( l es un vector cuya dirección y sentido es el de la corriente y B está indicado en la figura), es de repulsión. 10º Calcula el campo magnético en el centro de un conductor en forma de semicircunferencia, de 10 cm de radio por el que circula una corriente de 1 A.
El módulo del vector inducción magnética en P viene dado por la expresión: B
o I
4 r
donde B es el módulo del vector inducción magnética en el punto P,
o es
la permeabilidad
magnética del vacío, I es la intensidad de la corriente y r el radio de la semicircunferencia. Sustituyendo datos: B
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
o I
4 r
4 10
7
4 0,1
1
3,14 10
6
T
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7
11º Calcula la intensidad de la corriente que circula por un hilo semicircular de 40 cm de 6 radio si en su centro existe un campo magnético de 2 . 10 T.
El módulo del vector inducción magnética en P viene dado por la expresión: B
o I
4 r donde B es el módulo del vector inducción magnética en el punto P (cuyo valor es conocido), o es la permeabilidad magnética del vacío, I es la intensidad de la corriente (que es lo que se pide calcular) y r el radio de la semicircunferencia. Despejando I y sustituyendo datos se obtiene: o I
4 B r 4 2 10
6
0,4
2,54 A o 4 r 4 10 7 12º Dos hilos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos, por los que circulan corrientes de 2 A y 4 A en el mismo sentido, están separados 60 cm. Calcula el valor de la inducción magnética en un punto P situado entre los dos hilos, en el plano definido por ambos y a 20 cm del primero.
B
I
La figura indica dos conductores rectilíneos y paralelos por los que circulan corrientes eléctricas del mismo sentido, separados una distancia d.
El módulo del vector inducción magnética B1 Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
o I 1
2 d 1
( B1 ) en P debido al conductor 1 es:
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donde
o es
8 7
la permeabilidad magnética del vacío ( o 4 10
T m / A) ; I 1 es la intensidad de
la corriente que circula por el conductor 1 ( I 1 2 A) y d 1 es la distancia del conductor 1 al punto P ( d 1 20 cm). Sustituyendo datos:
B1
o I 1
4 107 2
2 d 1
2 0,2
2 10
6
T
El módulo del vector inducción magnética ( B2 ) en el punto P debido al conductor 2 es: B2 donde
o es
o I 2
2 d 2
la permeabilidad magnética del vacío, I 2 es la intensidad de la corriente que
circula por el conductor 2 ( I 2 =4 A) y d 2 es la distancia desde el punto P al conductor 2 ( d 2 40 cm) . Sustituyendo datos: B2
o I 2
4 107 4
2 d 2
2 0,4
2 10
6
T
Dado que B1 y B2 tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios, el vector inducción magnética resultante en el punto P será nulo. 13º Dos alambres muy largos, rectilíneos y paralelos, por los que circulan intensidades de corriente de 2 A y 3 A en sentidos opuestos, están separados 20 cm. Calcula la inducción magnética en un punto situado entre los dos hilos, en el plano definido por ambos y a 7 cm del 5 primero. Sol.: 1,0 . 10 T.
La figura representa dos conductores muy largos, rectilíneos y paralelos por los que circulan intensidades de corriente de I 1 2 A y I 2 3 A en sentidos opuestos. Siendo d la distancia entre los conductores ( d 20 cm ), d 1 la distancia del conductor 1 a P ( d 1 7cm ) y d 2 la distancia desde el punto P al conductor 2 ( d 2 13cm) El módulo del vector inducción magnética en P debido al conductor 1 ( B1 ) viene dado por la expresión: Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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B1
9 o I 1
2 d 1
Sustituyendo datos: B1
o I 1
4 107 2 2 0,07
2 d 1
5,7 10
6
T
El módulo del vector inducción magnética en P debido al conductor 2 ( B2 ) viene dado por la ecuación: I B2 o 2 2 d 2 Sustituyendo datos: B2
o I 2
2 d 2
4 107 3 2 0,13
4,6 10
6
T
El módulo del vector inducción magnética resultante en P debido a ambos conductores será:
B B1 B2 5,7 106
4,6 106
5
1,03 10
T
dado que ambos vectores tiene la misma dirección y sentido. 14º Por dos hilos rectilíneos, paralelos e indefinidos circulan intensidades de corriente de 5 A y 1 A en el mismo sentido. Si los hilos están separados 4 cm, calcula el campo magnético en un punto situado entre los dos hilos, en el plano que los contiene y equidistante de ambos. Sol.: 4 . 5 10 T.
La figura representa dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos por los que circulan intensidades de corriente de 5 A y 1 A ( I 1 5 A, I 2 1 A) en el mismo sentido. La distancia entre los conductores es de 4 cm y el punto P se encuentra en el centro del segmento que une el conductor 1 con el 2. El módulo del vector inducción magnética en P debido al conductor 1 ( B1 ) viene dado por la expresión: I B1 o 1 2 d 1 Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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donde I 1
5 A
y
d 1
B1
o I 1
10
2 cm 0,02 m . Sustituyendo estos datos se obtiene:
4 107 5 2 0,02
2 d 1
5 10
5
T
De forma análoga, el módulo del vector inducción magnética en P debido al conductor 2 vendrá dado por la expresión: B2 donde I 2 1 A y
o I 2
2 d 1
d 2 0,02 m , sustituyendo datos:
B2
o I 2
2 d 1
4 10
7
1
2 0,02
1 10
5
T
El módulo del vector inducción magnética resultante en P será:
B
B1
B2 5 105 1 105
4 105 T
puesto que los vectores B1 y B2 tienen la misma dirección pero sentidos opuestos. 2
+
16º En la cámara de ionización de un espectrómetro de masas se obtienen iones H . Estos iones se aceleran mediante una diferencia de potencial de 1500 V y penetran en un campo magnético uniforme de 0,1 T perpendicular a la velocidad de los iones. Calcula: a) la velocidad con la que los iones penetran en el campo magnético; b) el radio de la órbita circular que 2 + 19 describen los iones en el interior del campo magnético.(Carga y masa del ion H : q = +1,6 . 10 27 C, m = 3,34 . 10 kg.)
a) El trabajo realizado por la fuerza del campo es:
W A Fcampo B
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
(V B V A )
q
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donde (V B del ión ( q 0) .
V A )
11
es la diferencia de potencial entre las placas (V B
V A 0 )
y q es la carga
Este trabajo que se realiza a expensas de la disminución de energía potencial se emplea en aumentar la energía cinética del ión, el ión al moverse en el sentido del campo eléctrico es acelerado, disminuyendo su energía potencial para aumentar la energía cinética, conservándose de esta forma la energía. Luego: E p (V B V A )
Disminución de energía potencial: Aumento de energía cinética:
E c
1 2
mv 2 0
q
0
(La energía cinética inicial es cero pues el
0
ión parte del reposo) Por el principio de conservación de la energía mecánica se tiene: E p E c
Por tanto:
E c E p
Llamando V V A V B
0 1
2
se tiene
mv2 (V B V A ) q 1
2
mv2 V q
v
2V q m
Sustituyendo datos:
2 V q
v
2 1500 1,6 10 27
3,34 10
m
19
3,79 105
m s
b) El radio de la órbita circular que describen los iones en el interior del campo magnético puede calcularse por medio de la ecuación: R
mv q B
donde m es la masa del ión, v su velocidad, q la carga y B el módulo del vector inducción magnética. Sustituyendo datos: R
mv q B
3,34 10
27
5
3,79 10
1,6 1019 0,1
0,079 m 7,9 cm
2
+
17º En el interior de un espectrómetro de masas, un ión H describe una semicircunferencia de 90 cm de radio. Si el campo magnético en el espectrómetro vale 0,4 T, calcula: a) la velocidad y la energía cinética del ión; b) la diferencia de potencial necesaria para que el ión adquiera dicha velocidad si parte del reposo.
a) El radio de la órbita circular que describen los iones en el interior de un campo magnético se puede calcular por medio de la ecuación:
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
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12
R
mv qB
donde m y q son la masa y la carga del ión, v su velocidad y B el módulo del vector inducción magnética. Despejando v de esta ecuación: v
R q B m
Sustituyendo datos: v
R q B
0,90 1,6 1019 0,4 27
m
3,34 10
1,72 107 m / s
1 1 La energía cinética será: E c mv2 3,34 10 27 (1,72 107 ) 2 4,9 1013 J 2 2 b) La variación de energía cinética esta relacionada con la diferencia de potencial mediante la cuál se acelera el ión por medio de la expresión:
E c ( Final ) E c ( Inicial ) V q Si el ión parte del reposo y la energía cinética inicial es cero, se tiene:
E c V q donde E c es la energía cinética que adquiere el ión, V es la diferencia de potencial existente en el campo eléctrico uniforme y q la carga del ión. Luego:
V
E c
q
4,9 1013 19
1,6 10
6
3,062 10
V
19º Un protón, tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 25000 V, penetra perpendicularmente en un campo magnético y describe una trayectoria circular de 40 cm de radio. Determina: a) la inducción magnética; b) el radio de la trayectoria para un valor doble de 2 la inducción magnética. Sol.: a) 5,7 . 10 T; b) 20 cm.
a) La variación de energía cinética esta relacionada con la diferencia de potencial mediante la cuál se acelera una partícula con carga por medio de la expresión:
E c ( Final ) E c ( Inicial ) V q Si la partícula parte del reposo y la energía cinética inicial es cero, se tiene: E c V q siendo E c es la energía cinética
que adquiere la partícula,
existente en el campo eléctrico uniforme y q la carga. Luego:
1 2
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
mv 2
V q
v
2 V q m
V la diferencia de potencial
PROBLEMAS RESUELTOS MAGNETISMO
Sustituyendo datos: v
13
2 25.000 1,6 10
19
mv
2,19 10
6
m / s 1,67 10 A continuación, conociendo el radio de la órbita circular que describen los protones en el interior del campo magnético, puede calcularse el módulo del vector inducción magnética por medio de la ecuación: mv mv R B q B R q donde R es el radio de la órbita, m es la masa del ión, v su velocidad, q la carga y B el módulo del vector inducción magnética. Sustituyendo datos: 27
1,67 10 27 2,19 10 6
0,057 T R q 0,40 1,6 10 19 b) El radio de la trayectoria para un valor doble de la inducción magnética ( 2 0,057T 0,114T ) será:
B
R
mv
1,67 10 27 2,19 10 6
q B
1,6 10 19 0,114
0,20 m 20 cm
20º Por dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos separados una distancia d circulan corrientes de intensidades I1 e I2 en sentidos opuestos. Si I1 = 2I2, determina en que punto el campo magnético resultante es nulo.
La figura indica dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos por los que circulan
corrientes eléctricas
de intensidades
I 1 e I 2 de sentidos opuestos.
B1 es el vector inducción
magnética debido al conductor 1 y B2 es el vector inducción magnética debido al conductor 2. El módulo del vector inducción magnética creado por un conductor por el que circula una I corriente eléctrica I viene dado por la expresión: B o , donde d es la distancia desde el 2 d conductor al punto en el que se desea calcular B. A la izquierda del conductor 1 los vectores inducción magnética tienen sentidos contrarios pero
B1 B2 pues la intensidad del conductor 1 es el doble que la del conductor 2. Entre los dos conductores los vectores inducción magnética tienen el mismo sentido. Sólo pueden pues anularse a la derecha del conductor 2 donde el menor valor en la intensidad queda compensado por una menor distancia. Para que el campo magnético se anule se debe de cumplir:
B1
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
B2
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14
es decir, los vectores inducción magnética deben de tener igual módulo y dirección pero sentido contrario como indica la figura. o I 1 El módulo de B1 viene dado por la expresión: B1 2 (d x) El módulo de B2 análogamente viene dado por:
( I 1
B2
o I 2
2 x
Igualando ambas expresiones y teniendo en cuenta 2I 2 ) o
2 I 2
2 (d x) de donde
x d
Ing. Luis Hugo Flores Ergueta
o I 2
2 x
2
1
d x x
la relación entre las intensidades
2 x d x
