Llegaron a mis manos estos problemas y como pasatiempo decidí darles solución.
Jorge Armando Ortiz Ramírez.
Los problemas son sobre geometría analítica. Si alguien encuentra una solución distinta por favor háganmelo saber al correo:
[email protected]
1. Viaje en crucero. Mediante un sistema de navegación por radio, una embarcación turística se mueve de una isla a la costa, conservando perpendiculares sus distancias a dos faros situados, uno en cada sitio en los puntos de coordenadas R(0,-8) y T(0,8). a. Encuentra la ecuación que describe su trayectoria entre la isla y la costa. b. ¿Cuál es la longitud de dicha trayectoria?
Solución
a.
Las distancias entre los faros y la embarcación se conservan perpendiculares, esto quiere decir que E conserva en todo momento una trayectoria circular por lo que la ecuación que describe la trayectoria de la embarcación es: X2+y2=64
b. La longitud de la trayectoria es ½ de la circunferencia: L=longitud L=2πr/2=πr=π8 Entonces la longitud de la trayectoria es
8π ≈ 25.13 unidades de longitud
2. Viaje espacial. Una nave tripulada corrige una peligrosa trayectoria curva, descendiendo en la línea recta para amarizar en el punto T(4.821,4.175) al sur del océano Pacifico. Escribe la ecuación de la nueva trayectoria.
Solución La nave va a amarizar después de corregir una trayectoria curva, la nueva trayectoria es en línea recta y esta nueva trayectoria es tangente a el punto T(4.821 , 4.175). -La nueva trayectoria es una recta tangente al punto dado.
La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Primero debemos encontrar la pendiente del radio que une a T con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (0,0). La pendiente buscada es m=4.175/4.821 De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en T es
1 −
4.175 4.821
ecuación de la trayectoria de descenso es: y − 4.175 = −
4.821 4.175
(x − 4.821) ⇒ y = −
4.821 4.175
x + 9.74176
4.821 =−
4.175
; por tanto la
3. Misiles mar-aire. Una batería de emplazamiento mar-aire dispara un misil que sale de la boca del cañón situada a 2 m de la altura del agua, con una velocidad inicial de 100 m/s y un ángulo de 45º. a. ¿En cuánto tiempo alcanza el proyectil su máxima altura, y cuál es ésta? b. ¿Cuál es el alcance horizontal x, del misil?
Solución Hacemos el planteamiento del problema, el lanzamiento es a 2 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de disparo es de 45º y la velocidad inicial es de 100 m/seg. Por lo que tenemos el siguiente diagrama:
En el diagrama se puede ver que la altura máxima se alcanza en el Vértice de la Parábola con respecto al tiempo, entonces si encontramos el punto en el que se encuentra el vértice tendremos la respuesta a la primer pregunta.
a. COMPONENTE VERTICAL Por simplicidad tomamos a g=-10 m/s
v yo
=
vo sin(θ s ) = 100 sin(45º ) = 70.71m / 2
y
=
yo
+ v yo t +
2
gt
2
=
2 2 + 70.71t − 5t
− 5t = y Dividimos entre -5 2 + 70.71t
y
2
− 0.4 − 14.142t + t =
2
+ (7.071) t − 14.142t
−5
2
=
Completamos el trinomio cuadrado perfecto
y −
2
(t − 7.071)
1 =−
5
5
+
0.4 + (7.071) 2
Reacomodando
( y − 252)
El vértice de la parábola se encuentra en el punto (7.071 , 252), por lo que se puede asegurar que en 7.071 segundos el proyectil alcanza su máxima altura y dicha altura es 252 metros.
b. COMPONENTE HORIZONTAL v
xo
= vo
s cos(θ ) = 100 cos(45º ) = 70.71m /
x = xo + v xo t
El tiempo que tomamos para encontrar el alcance horizontal es el doble del tiempo para llegar a la mitad del recorrido, haciendo la sustitución: x =
0 + (70.71m / s )(14.142 s ) = 999.98 ≈ 1000m
El alcance horizontal del misil es 1 kilometro.
