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Huancavelica – Perú Perú ______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____
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Para la viga mostrada dibujar diagrama de momento flector y fuerza cortante debidamente acotados y graficar para valores unitarios de P y a. P
Rotula C
B
A
P
a
D
a
E 2a
2a
2I
I
Para la solución de este problema se hará el siguiente procedimiento, ya que existe una rotula entonces podemos dibujar los diagrama de momentos reducidos hacia los empotrados para así eliminar la mayor cantidad de incógnitas, como se ve que hay 6 incógnitas en los empotrados considerando la reaccione horizontales. En la figura siguiente en la rótula existe una incógnita “V” y hacemos que los
diagramas momentos reducidos grafiquen hacia los empotrados y la rótula será un apoyo móvil. P A MD
RHA
V
B a
I
E
D
C a
R VA
P
Rotula
2a
2I
V
ME
2a
RHE
R VE
Grafica de la viga conjugada V.2a/EI
P.a/EI
V.a/EI
P.a/EI
D' E' A'
B' C'
V.a/EI
V.2a/EI
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= 0 +↓
12 .4. .2 . (23 . 4) 2 1 . . 2 1 . . 2 4) + 12 .2. .2. ( . 2) 2 ) + . . ( + . ) = . 2 . ( 2 + 3 2 3 2 3 .2) 32.3. + 8. 3. 2 . + 5.6 = 10.03. ; 40.3. = 52.. ; = 1805 = 316 Para determinar las reacciones verticales en los empotrados solo aplicaremos sumatoria de fuerzas vertical.
∑ = 0 = + ; = . ∑ = 0 ℎ ℎ = ; = . ∑ = 0 = 2162 ∗ ∑ = 0 ℎ ℎ = 2160 ∗ P
M A =12P/16
V=3P/16
A
B a
P
Rotula
2a
2a
2I
V V=3P/16
I
E
D
C a
ME=20P/16
R VE=13P/16
R VA =19P/16
Teniendo las reacciones, reacciones, es suficiente para grafica de los diagrama diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores. Diagrama de Fuerzas Cortantes 19*P/16 3*P/16
3*P/16
E A
B
C
D 13*P/16
13*P/16
Diagrama de Momentos Flectores
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22*Pa/16 20*Pa/16
3*Pa/16
D 0
B
A
E
C 3*Pa/8
Diagrama de Fuerzas Cortantes 1.1875 0.1875
0.1875
E A
B
C
D 0.8125
0.8125
Diagrama de Momentos Flectores 1.375
1.25
0.1875
A
B
D 0
E
C 0.375
Comprobando con el software sap2000
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Para la figura mostrada se tiene una carga uniformemente distribuida de 1.5 ton/m, se pide: Dibujar el diagrama de momento flector y fuerzas cortantes debidamente acotados. Calcular el giro en “B” Calcular la flecha en la mitad del tramo BC.
Grafica de la viga real
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2 ton
2 ton 1.5 ton/m
I 3m
A
I
2I 2m
B
3m
C
D
Cantidad de incógnitas en la viga real, pero si en la viga real aplicamos un momento en el apoyo móvil “B” podemos reducir una incógnita menos
entonces tendríamos
,
las gráficas de los diagramas de momentos
reducidos todos irán al apoyo “B” como se muestra en la figura prosiguiente.
2 ton
1.5 ton/m
2 ton
I 3m
2I
I
2m
3m
RB
R A
RC
RD
Para isostatizar la viga podemos hacer un cambio de rotulas en los apoyos centrales y la viga estará con sus cargas ficticias como sigue ne la figura. Grafica de la viga conjugada P6
P10
P5
P9
P4
A'
D' B'
C'
P3 P8 P2 P7
P1
Para realizar los cálculos de los puntos
…
se tiene los valores al al igual que
el método del área de momentos en los respectivos puntos.
= . = .... = ,. = ... = ., = = ,.. = . = .., = , ,
,
,
,
,
,
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= . = .. = ,. = .., = .. = ., = ,
,
,
Como existe en la viga conjugada dos rotulas entonces podemos aprovechar para poder determinar determinar las reacciones en los apoyos “A”, “C” y “D”
de la viga viga real. real.
P6
P10
P5 P4
A'
P9
V
B'
V1
C'
V
D'
V1
P3
R A'
P8 P2
RD'
P7
P1
∑ = 0 = 3. + . . . 3. . 3 = . ., . 1,5.1,5+ .1,5 3. + . = , = ,. . ………… …… …………11 ∑ = 0 = 3. 3. + . . 1,5.1,5+ . 1,55 = . . .3. 3. . 3 3. 3. + 5,625 = . ; = . 5,3.625 ……………..2 = 0 = ;
;
;
+ . ,.2 . 2 + , . 2 + . .2 . 2 = + . .2+,. .2+ . . 2 + + + = + + . + + = + + . ……………3 3. 5,3.625 + + 4. 4. 3.) + 6 = 3. (5,3.625 3. …………… ………………….. ……..44 3. + + 7. = 349 ………………………… ;
Reemplazando las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación 3
= 0 = .
2. + . , . 2. . 2,+.,.2. + . .2.. 2 = . . 2. . 2 + . 2. + . . 2. . 2 7
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3. + 4. 4.3 2. + (1,5) + ( 3 ) + (38 ) = 43.. + 3. 2. + = . + . ……… … ………… ……..55 Reemplazando la ecuación 1 en 5
2.2. 5,3.625 3. + = . + . ; 6. 6. + . + = ………………6 ∑ = 0 = 2.3,5 1,5.2. 22+3. 2.1,5 2. 5. = 0 3. 3. 2. 5. = 7 ……… …… … ………7 …… …7 ……… ……..…..…...44 3. + + 7. = 349 ……………. 6. 6. + 43 + 133 = 11231 …………… 6 3. 3. 2. 5. = 7 ……… …… … ………7 …… …7 [ ] = [63 4/31 13/37 ]− . [131/12 39/4 ] 3 2 5 7 = 0.694444 = 2.805556 = 0.694444 "B" ℎ ∑ = 0 = = 2.805556 ;
Juntando las ecuaciones 4, 6 y 7 y resolviendo para obtenerlas reacciones.
,
,
;
Las reacciones son iguales en los apoyos extremos e intermedios debido a que la viga es simétrico.
2 ton I 3m A =0.694444 ton
2 ton
1,5 ton/m
2I
I
2m
3m
RB=2.805556 ton
RC=2.805556 ton
RD=0.694444 ton
Grafica de Diagrama de Fuerza Cortante y Diagrama Momento Flector y con las reacciones calculadas es suficiente dibujar dichos diagramas.
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Diagrama de fuerza cortante
1.5000 0.694444
1.305556
B
A
1.305556
0.694444
D
C
0.694444 1.305556
1.305556
0.694444
1.5000
Diagrama de Momento Flector
- 0.916667
- 0.916667 - 0.166667
0.000
A
1.041667
B
0.000
C
1.041667
D
COMPROVACION CON EL SOFTWARE SAP2000
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Para poder calcular el giro en “B” solo necesito saber cuánto vale mi “V” y según la
teoría la cortante en cualquier punto es el giro.
3. = 53.,625 3.0.0.694444 0. 2 08333 = 53.,625 3. = 10
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Para calcular la flecha en la parte central del tramo “BC” bastara hacer un corte y
hacer la sumatoria de momentos, según la teoría la flecha en el momento en ese punto. P6
Pd
P5
P9 Pc
V 1
' R
C'
Pb
P3 P8 Pa
P2
., = , = . = . = . = .. = ,. = . = . . . , . . , . ., = , = . = = = . = . = . . = . 5,3.625 = ., ,. = . ∑ = 0 = ℎ = = 1. . + . .1. . 1 + . 1 + . .1. .1 . .1. . 1 1. . . .1. . 1 .1. .1+ . . 1 + . . .1. . 1 + . .−. = 1. . . . . .1. . 1 1. , . . ,−, .1. . 1 0 . 2 16435 = 0.216435 = ↓ ,
,
,
,
,
,
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Para la viga mostrada dibujar el diagrama de fuerza cortante y
40 ′ =
momento flector debidamente acotado, tiene una sección 25
210/
L=1m. m
m
m
C
B A
L
L
RB
R A
RC
Solución:
Cantidad de incógnitas en la viga solo hay las reacciones en los tres apoyos, tomaremos arbitrariamente la acción de las reacciones y al final lo daremos el sentido.
m
m
m
C
B A
L
L
RB
R A
RC
Grafica de la viga conjugada
m/EI C'
B'
A'
m/EI
R A' R A .L/EI
RC'
RC.L/EI
Viga conjugada separado en la rotula
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m/EI V
A'
C'
B'
V
m/EI R A'
RC' RC.L/EI
R A .L/EI
∑ = 0 = →
. .. . . . + . = . .
= . . …….1
∑ = 0 = →
. . = .. + . .. . . . = . + . …… … … … … 2 . + . = .. . = ,
Igualando las ecuaciones 1 y 2,
∑ = 0 = →
. = + + + ., ; = . = 3 + . = = = ↓ = + = ↑ ;
Grafica de la viga con las reacciones con su dirección correcta. m
m
m C
B A
L
R A =3m/2
RC=3m/2
L
RB=0
Los diagra,as de fuerzas cortantes podemos graficar solo con las reacciones y el diagrama de momento flector las áreas de fuerzas cortantes. Diagrama de fuerza cortante
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R A =3m/2
RC=3m/2
C
B A
L
L
RB=0
Diagrama de Momento Flector -1m
-0.5m
C
B A
+0.5m
+1m
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