FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA PROBLEMAS RESUELTOS
Carmen García López
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
1.
CONCEPTOS Y MAGNITUDES ELÉCTRICAS FUNDAMENTALES PROBLEMAS RESUELTOS
1.1.
La carga total que entra por el terminal de un elemento, viene dada por q(t)=4t2-7t mC. Calcular la intensidad de corriente eléctrica que circula en los instantes: t1=0s y t2=2s.
La intensidad que circula por un elemento es debida a la variación de carga, y se obtiene mediante la expresión i (t ) =
dq (t ) dt
Si q (t ) = 4 t 2 − 7 t mC, entonces i (t ) =
dq (t ) = 8t − 7 mA dt
Para t 1 = 0 s, i (t 1 ) = −7 mA Para t 2 = 2 s, i (t 2 ) = 9 mA
1.2.
Por un elemento circula una intensidad de 6mA y está: a) absorbiendo una potencia eléctrica de 18mW, y b) suministrando al circuito una potencia de 12mW. Determinar la tensión en cada uno de los casos anteriores. ¿Qué energía eléctrica suministra el elemento en el caso b) entre los instantes, 2s y 7s.
Criterio de signos: +
v
-
i
Potencia absorbida, positiva ( p > 0) p = v ⋅ i Potencia suministrada, negativa ( p < 0) 1
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
a)
p = 18 mW p 18 ⋅ 10 −3 p = v ⋅i ⇒ v = = = 3V i 6 ⋅ 10 − 3
b)
p = −12 mW
p = v ⋅i ⇒ v =
p − 12 ⋅ 10 −3 = = −2 V i 6 ⋅ 10 − 3
La energía suministrada en un intervalo de tiempo es t2
w = ∫ p (t )dt t1
Para t1 = 2 s y t 2 = 7 s, 7
7
w = ∫ p(t )dt = ∫ ( −12)dt = −12 ⋅ t ]72 = −60 J 2
1.3.
2
En la figura 1.1, calcular v, si i = -2mA y el elemento está: a) Absorbiendo una potencia de 18mW. b) Suministrando una potencia de 20mW. v i
Figura 1.1
a)
El elemento absorbe potencia, por tanto p = 18mW p 18 ⋅ 10−3 p = v ⋅i ⇒ v = i = = −9 V −2 ⋅ 10−3
b)
2
El elemento suministra potencia, por tanto p = -20mW
CONCEPTOS Y MAGNITUDES ELÉCTRICAS FUNDAMENTALES
p −20 ⋅ 10−3 p = v ⋅i ⇒ v = i = = 10 V −2 ⋅ 10−3 1.4.
Si la intensidad de corriente eléctrica que entra por el terminal positivo de un elemento es: i(t)=4sen2t A, para t≥ ≥0, y i(t)=0, para t<0. Calcular la potencia eléctrica suministrada al elemento para t≥ ≥0 y la carga que circula por el elemento entre los instantes t=0s y t=π/4s, cuando: a) v=2i, b) v=5(di/dt), estando v en voltios e i en amperios.
4 sen 2t A t ≥ 0 i (t ) = t<0 0 a)
v = 2i
8 sen 2t V t ≥ 0 v(t ) = t <0 0
p(t ) = vi = (4 sen 2t )(8 sen 2t ) = 32(sen 2t ) 2 W π 4
π
q T = ∫ 4 sen 2tdt = −2 cos2t ] 04 = −2(0 − 1) = 2 C 0
b)
di v = 5 dt 40 cos 2t V t ≥ 0 v(t ) = t <0 0
p(t ) = vi = (4 sen 2t )(40 cos 2t ) = 160 sen 2t cos 2t = 80 sen 4t W π 4
π
q T = ∫ 4 sen 2tdt = −2 cos2t ] 04 = −2(0 − 1) = 2 C 0
3
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
1.5.
-3t
Si la tensión a través de un elemento es v(t) = 6e V y la intensidad de corriente eléctrica es: i(t) = 2(dv/dt) A. Determinar la potencia eléctrica suministrada en función del tiempo y la energía eléctrica transferida al elemento entre los instantes t=0s y t=4s.
La tensión en el elemento es, v ( t ) = 6e−3t V y la intensidad,
i (t ) = 2
dv ( t ) = −36e−3t A dt
La potencia eléctrica instantánea se obtiene a partir de la expresión p(t ) = v ( t ) ⋅ i ( t )
por tanto, p(t ) = −216 e−6t W Y la energía eléctrica transferida se obtiene a partir de la potencia, t
4
wT = ∫ p(t )dt = ∫ − 216 e − 3t dt = 72 e − 3t ] 0 = 72(e −12 − 1) ≈ −72J 4
0
0
Este valor de energía negativo indica que es una energía suministrada por el elemento al resto del circuito.
1.6.
Realizar un balance de potencias en el circuito de la figura 1.2 y comprobar si verifica que la potencia total suministrada es igual a la potencia total absorbida, teniendo en cuenta que los valores de las corrientes y voltajes en los diferentes elementos son:
ia = -10 A
4
va = 160 V
CONCEPTOS Y MAGNITUDES ELÉCTRICAS FUNDAMENTALES
ib = 20 A
vb = -100 V
ic = 6 A
vc = 60 V
id = 50 A
vd = 800 V
ie = -20 A
ve = 800 V
if = 14 A
vf = -700 V
ig = 16 A
vg = 640 V -
+ a +
+
+
c -
-
-
+ g
f
e
d
-
+
b
+
-
Figura 1.2
i(A)
v(V)
p(W)
a
-10
160
1600
b
20
-100
2000
c
6
60
360
d
50
800
-40000
e
-20
800
16000
f
14
-700
9800
g
16
640
10240
Si un elemento absorbe potencia, p>0; si el elemento suministra potencia, p<0. En un circuito eléctrico debe cumplirse que la potencia total absorbida debe ser igual a la potencia total suministrada en valor absoluto. pabsorbida
= pa + pb + pc + pe + pf + pg = =1600+2000+360+16000+9800+10240 = 40000W
5
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
psuminist.
= pd = -40000W
Por tanto, pabsorbida = psuminist.
1.7.
Un fabricante de pilas secas de 1.5V dice que la pila suministra 9mA durante 25 horas seguidas. Durante este período de tiempo la tensión caerá de 1.5V a 1V, de forma lineal respecto al tiempo. Determinar a) la energía eléctrica que suministra la pila durante este período de tiempo b) el precio del KWh, si la pila cuesta 95 pesetas. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio de 1996)
Dado que la tensión cae de forma lineal respecto al tiempo, podemos realizar una representación gráfica y tendríamos, v(t) (Voltios)
1.5
1
t (horas) 0
25
A partir de esta gráfica podemos obtener la expresión de la tensión en función del tiempo, v(t ) = −0. 02 t + 1. 5V
donde t viene expresado en horas
6
CONCEPTOS Y MAGNITUDES ELÉCTRICAS FUNDAMENTALES
a) Energía eléctrica suministrada por la pila durante 25 horas t
25
w = ∫ v (t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt = ∫ ( −0.02t + 15 . ) ⋅ (9 ⋅ 10 − 3 ) ⋅ dt = 0
0 25
t2 = − 0.02 + 15 . t ⋅ 9 ⋅ 10 − 3 = 0.28W ⋅ h = 2.8 ⋅ 10 − 4 KW ⋅ h 2 0 b) Precio del KW⋅h Si la pila cuesta 95 ptas, el precio del KW⋅h es,
p=
95 = 339285. 7 ptas 2. 8 ⋅ 10−4
7
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.8.
La intensidad de corriente eléctrica i, que circula por un conductor, depende del tiempo y viene dada por la expresión: i(t)= t3-2t2+3, donde t se expresa en segundos. ¿Qué cantidad de carga eléctrica pasa a través de la sección del conductor, durante el intervalo de tiempo, 1≤t≤5 ?. Sabiendo que la carga del electrón es -1.6⋅10-19C, determinar el número de electrones que han circulado por el conductor en el intervalo de tiempo mencionado.
1.9.
Si la función q(t) (figura 1.3) representa la carga en culombios que entra en el terminal positivo de un elemento en el tiempo t segundos, calcular: a) la carga que entra el instante t=8s, b) la variación de la carga que entra entre los 4s y 9s, y c) la intensidad de corriente eléctrica en los instantes 1s, 5s y 8s. q(t) 8 6
2 0
t 4
6 7
9
12
Figura 1.3
1.10. Cuando se ha descargado la batería de un coche, es posible volverlo a arrancar con ayuda de otro, conectando los terminales positivos de sus baterías entre sí, al igual que los negativos. La conexión realizada se muestra en la figura 1.4 y suponer que se mide la de la corriente i en la figura y es de -25A. Determinar: a) ¿Cuál de los dos coches tiene la batería descargada? b) Si se mantiene la conexión durante 45s, ¿cuánta energía eléctrica se transfiere a la batería descargada? i A
B
Figura 1.4
8
CONCEPTOS Y MAGNITUDES ELÉCTRICAS FUNDAMENTALES
1.11. En el problema 1.8., si la tensión a través del elemento es 6V. Calcular la potencia suministrada al elemento cuando t=1s, t=5s, t=8s y t=10s. 1.12. La tensión y la intensidad de corriente entre los terminales de una batería recargable durante el proceso de carga varía respecto al tiempo según las gráficas de la figura 1.5. Determinar la carga total y la energía eléctrica que se han suministrado a la batería. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Febrero de 1995)
Figura 1.5
1.13. La corriente y la tensión en los terminales de un elemento de un circuito eléctrico son las que se muestran en la figura 1.6. a) Dibujar la gráfica de la potencia eléctrica frente al tiempo, para 0≤t≤10s. b) Calcular la energía suministrada al elemento del circuito entre los instantes t=1s, t=6s y t=10s. i(A) 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(s)
-20 v(V) 5 t(s)
-5
Figura 1.6
9
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
1.14. Si una corriente i=0.4A entra en el terminal positivo de una batería, cuya tensión entre bornes es de v=12V, entonces la batería está en proceso de carga. Calcular: a) la energía suministrada a la batería y, b) la carga eléctrica entregada a la batería al cabo de 2 horas. ¿Cuál debería ser la corriente que circulase por la batería para suministrarle la misma carga que en b), pero en 30 minutos. 1.15. La corriente eléctrica que entra por el terminal positivo de un elemento es: i(t)=2sen6t A, para t>0. Si tensión es v=4(di/dt), demostrar que la energía suministrada al elemento es siempre positiva.
10
3.
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA. LEYES FUNDAMENTALES PROBLEMAS RESUELTOS
3.1.
Encontrar la corriente i y la tensión vab en el circuito de la figura 3.1. a + 6V -
b
2Ω
← 2A
1A ↓
8Ω i →
6Ω → 7A
4Ω 3A ↑
Figura 3.1
Para determinar la corriente i en el circuito, numeramos los distintos nudos y asignamos una corriente a cada rama con un sentido arbitrario. a + 6V ← 2A
b 1A ↓
2Ω ↓ i1 [1]
i2 → 4Ω
i →
6Ω
[2]
8Ω ↓ i3 [3] → 7A
3A ↑
La corriente i la obtenemos aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo 2, −1 − i2 − 3 + i = 0
(1) 25
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
El criterio de signos utilizado es el siguiente: Corriente que entra en el nudo, negativa Corriente que sale del nudo, positiva Este criterio es el que se empleará en adelante al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff. Para obtener la corriente i2, se aplica de nuevo la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo 1, y tenemos 2 − i1 + i2 = 0
(2)
Por la ley de Ohm, la corriente i1 es 6 i1 = 2 = 3A Sustituyendo este valor en la ecuación (2), obtenemos el valor de i2 i2 = −2 + i1 = −2 + 3 = 1A Y sustituyendo este valor en la ecuación (1) obtenemos la corriente i buscada i = 1 + i2 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5A La tensión entre los puntos a y b es la suma
vab = va1 + v12 + v23 + v3b =
(3)
= 6 + 4i2 + 6i − 8i3 La corriente i3, la obtenemos al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo 3. − i − i3 + 7 = 0 ⇒ ⇒ i3 = 7 − i = 7 − 5 = 2A
26
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
Sustituyendo en la ecuación (3), la tensión entre los puntos a y b es vab = 6 + 4 i2 + 6i − 8i3 = = 6 + 4 ⋅ 1 + 6 ⋅ 5 − 8 ⋅ 2 = 24 V
3.2.
Calcular la corriente i y la tensión v en el circuito de la figura 3.2. 2Ω 2A
6V
+ -
3Ω
2Ω
3Ω
+ 8V -
+ - v
i ← Figura 3.2
En el circuito de la figura vamos a definir las intensidades de cada rama y las tensiones en los extremos de cada elemento, así como sus nudos, 2Ω ↑ i1
+ v2 -
[1]
2A c
b
↓ i2 + v3 + 3Ω v1 2Ω -
+ -
6V
a
e
g ↓ i3 + 8V -
i ← d
[3]
f
[2]
↓ i4 + 3 v4 Ω + - v h
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) a cada nudo, siguiendo el criterio de signos mencionado anteriormente, obtenemos el sistema de ecuaciones 27
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Nudo 1
− i + i1 + i2 + 2 = 0
Nudo 2
−2 + i3 + i4 − i1 = 0
Nudo 3
i − i2 − i3 − i4 = 0
(1) (2) (3)
Aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria cerrada abcda, −6 +v1 = 0
⇒
v1 = 6 V
Al aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff, recorremos la trayectoria cerrada en sentido horario, y dar un signo a cada tensión se utiliza el siguiente criterio: • • •
Si tenemos una fuente de tensión, el signo es el que primero encontremos al recorrer la fuente en el sentido indicado La tensión en una resistencia es positiva Si tenemos una tensión indicada (caso de v1 en el ejemplo anterior), el signo es el que encontremos en primer lugar.
Aplicamos la LVK a la trayectoria dcefd, y obtenemos el valor de v3,
− v1 + v3 + 8 = 0 ⇒ v3 = v1 − 8 = 6 − 8 = −2V que es también la tensión v2. La ley de Ohm nos permite calcular las corriente, v −2 i1 = 22 = 2 = −1A v 6 i2 = 31 = 3 = 2 A 8 i3 = 2 = 4 A
28
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) obtenemos el valor de la intensidad i buscada, i = i1 + i2 + 2 = −1 + 2 + 2 = 3A
De la ecuación (2), obtenemos el valor de i4, i4 = i1 − i3 + 2 = −1 − 4 + 2 = −3A y la tensión v4 es v4 = 3 ⋅ i4 = 3 ⋅ ( −3) = −9 V Y al aplicar la LVK a la trayectoria feghf, obtenemos el valor de la tensión v buscada
−8 + v4 + v = 0 ⇒ v = 8 − v4 = 8 − ( −9 ) = 17 V
3.3.
Calcular i1, i2 y la tensión vab en el circuito de la figura 3.3.
+ 20V -
6V a
← 1A
4A ↓
5Ω 20Ω
- +
← i1 ↓ 2A
i2 ↑ 10Ω + 24V -
8Ω
b Figura 3.3
Numeramos los distintos nudos del circuito de la figura y nombramos las intensidades en las distintas ramas,
29
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
+ 20V -
6V a
← 1A
- +
4A ↓
5Ω 20Ω
↓ i3
← i1
[1]
i2 ↑ i4 → [2]
10Ω
↓ 2A
[3] i5 ↓ + 24V 8Ω b
La corriente i1, la obtenemos aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) en el nudo 1, 1 − i3 + 2 − i1 = 0 ⇒ i1 = 1 − i3 + 2 La corriente i3, la podemos obtener aplicando la ley de Ohm en la resistencia de 5Ω,
i3 =
20 = 4A 5
Así, la intensidad i1, pedida es i1 = 1 − i3 + 2 = 1 − 4 + 2 = −1A La corriente i2, la obtenemos al aplicar la LCK en el nudo 3, − i4 + i5 + i2 = 0
⇒ i2 = i4 − i5
(1)
La corriente i5 se obtiene al aplicar la ley de Ohm en la resistencia de 8Ω, 24 i5 = 8 = 3A, y la intensidad i4 se obtiene al aplicar la LCK en el nudo 2,
30
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
i1 − 4 + i4 = 0 ⇒ i4 = − i1 + 4 = 1 + 4 = 5A y sustituyendo estos valores en la ecuación (1), tenemos el valor de i2
i2 = i4 − i5 = 5 − 3 = 2 A Por último, para calcular la tensión entre los puntos a y b, se suman las tensiones entre los puntos a-1, 1-2, 2-3 y 3-b,
vab = va1 + v12 + v23 + v3b = = −6 − 20 ⋅ i1 + 10 ⋅ i4 + 24 = = −6 + 20 + 50 + 24 = 88V
3.4.
Tres resistencias de valores 20Ω, 30Ω y RΩ están conectadas en paralelo para formar una resistencia equivalente de 4Ω. Encontrar el valor de R y la corriente que transporta, si una fuente de corriente de 6A está conectada a la combinación. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio de 1998)
Las tres resistencias en paralelo, equivalen a una resistencia de valor Rp=4Ω, siendo Rp
1 Rp = 1 1 1 R1 + R2 + R
(1)
y R1=20Ω y R2=30Ω
R1
R2
R
⇒
Rp
Despejando R de la expresión (1) tenemos,
31
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
1 1 R= 1 1 1 = 1 1 1 = 6Ω − − − − Rp R1 R2 4 20 30 Si a continuación se conecta una fuente de 6A, el circuito es un divisor de corriente, y la intensidad i que circula por la resistencia R es
↓i R1
6A
R2
R
1 R i= 1 1 1 ⋅6 = R1 + R2 + R 1 6 1 1 1 ⋅ 6 = 4A + 20 30 + 6
3.5.
Un divisor de corriente consiste en la conexión en paralelo de resistencias de 10KΩ, 20KΩ, 30KΩ, y de 60KΩ. Calcular la resistencia equivalente del divisor, y si la corriente total que entra en este divisor es de 120mA, calcular la corriente en la resistencia de 60KΩ. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio de 1998)
Resistencia equivalente.
10KΩ
20KΩ
30KΩ
60KΩ
1 Rp = 1 1 1 1 = 5KΩ + + + 10 20 30 60 32
⇒
Rp
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
Corriente en la resistencia de 60KΩ. 120mA → ↓i 10KΩ
30KΩ
20KΩ
60KΩ
1 60 i= 1 1 1 1 ⋅ 120 = 10mA 10 + 20 + 30 + 60
3.6.
Se va a construir un divisor de tensión con una fuente de 60V y cierto número de resistencias de 10KΩ Ω. Calcular el número mínimo de resistencias requerido si la tensión de salida es de 30V.
En un circuito divisor de tensión de N resistencias, la tensión en la resistencia i-esima se calcula mediante la expresión, Ri
vi =
⋅v
N
∑R
k
k =1
R1
R2
Ri
RN
+ vi v
+ -
Si todas las resistencias son iguales, la tensión en cualquiera de ellas es, v vR = N
(1)
33
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
donde N es el número total de resistencias. En el problema, la tensión de la fuente es de 60V, y queremos una tensión en cualquiera de las resistencias de 30V, así sustituyendo en la ecuación (1), v 60 vR = N ⇒ 30 = N N = 2 resistencias
3.7.
Calcular i1 e i2 en el circuito de la figura 3.4. 8Ω i1 →
3Ω
24Ω i2 ↓
24V +-
10Ω
15Ω
24Ω
Figura 3.4
Antes de calcular las intensidades, simplificaremos el circuito buscando resistencias equivalentes a asociaciones en serie y paralelo. Las resistencias de 10Ω y 15Ω están en paralelo, al igual que las resistencias de 24Ω y 8Ω, así, la primera simplificación que hacemos en el circuito es, i1 → 24V +-
3Ω
6Ω
6Ω
24Ω
A continuación nos encontramos la resistencia de 6Ω en serie con la de 24Ω, y éstas en paralelo con la de 6Ω.
34
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
i1 → 24V +-
3Ω
5Ω
Así la intensidad i1 es i1 =
24 = 3A 3+5
Para calcular la corriente i2, deshacemos las asociaciones realizadas, y el circuito queda como, i1 →
3Ω i2 ↓
24V +-
10Ω
15Ω
30Ω
El circuito es un divisor de corriente, y la intensidad i2 es, 1 15 i2 = 1 1 1 ⋅ i1 = 1A + + 10 15 30
3.8.
Calcular i, i1 y v en el circuito de la figura 3.5. i1 →
2Ω
12Ω
4Ω 4Ω
30V
+ -
16Ω 3Ω
i →
8Ω 6Ω
+ v -
35
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Figura 3.5
Calculamos en primer lugar la intensidad i1, y para ello se reduce el circuito asociando las resistencias. Las resistencias de 8Ω y 4Ω están en serie, y las de 3Ω y 6Ω están en paralelo. i1 →
2Ω
12Ω 4Ω
30V
+ -
12Ω
16Ω 2Ω
A continuación asociamos las resistencias de 4Ω y 2Ω en serie, y éstas en paralelo con la de 12Ω. i1 →
30V
+ -
2Ω
12Ω
16Ω
4Ω
Las resistencias de 12Ω y 4Ω están en serie y éstas en paralelo con la resistencia de 16Ω. La resistencia equivalente, de 8Ω está en serie con la de 2Ω.
36
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
i1 →
30V
i1 →
2Ω
+ -
16Ω
30V
16Ω
10Ω
+ -
La corriente i1 es, 30 i1 = 10 = 3A Para obtener la corriente i, calculamos previamente la corriente i2, i1 →
30V
i2 →
2Ω
+ -
16Ω
16Ω
16 1 i2 = 16 + 16 ⋅ i1 = 2 ⋅ 3 = 1. 5A A continuación calculamos la corriente i3, i1 →
i2 →
2Ω
12Ω 4Ω
30V
+ -
↓ i3 12Ω
16Ω 2Ω
37
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
12 12 i3 = 12 + 4 + 2 ⋅ i2 = 18 ⋅ 1. 5 = 1A Por último la corriente i es, i1 →
i2 →
2Ω
i4 →
12Ω
4Ω
↓ i3 4Ω 30V
+ -
16Ω
i →
3Ω
8Ω 6Ω
+ v -
3 1 1 i = 3 + 6 ⋅ i3 = 3 ⋅ 1 = 3 A Para calcular la tensión v, calculamos la corriente i4, i4 = i2 − i3 = 1. 5 − 1 = 0. 5A v = 8 ⋅ i4 = 8 ⋅ 0. 5 = 4 V
3.9.
Calcular la tensión v en el circuito de la figura 3.6 aplicando el divisor de tensión. (Ejercicio propuesto en el examen parcial de Febrero de 1997).
2Ω 14V +-
3Ω 8Ω
+ v -
1Ω
Figura 3.6
Calculamos en primer lugar la tensión entre los puntos a y b del circuito,
38
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
2Ω
3Ω
a
14V +-
c + v -
8Ω
1Ω
d
b
Para calcular la tensión vab, debemos hallar la resistencia equivalente vista hacia la derecha entre los puntos a y b, 2Ω 14V +-
2Ω
a 4Ω
8Ω
a
14V +-
b
8/3Ω
b
El circuito que nos queda es un divisor de tensión, y la tensión vab en la resistencia de 8/3Ω es,
8 vab = 8 3 ⋅ 14 = 8V 3+2 Esta tensión se reparte entre las resistencias de 1Ω, y 3Ω, de forma que la tensión v buscada entre los puntos c y d es, 1 v = 1 + 3 ⋅ 8 = 2V 2Ω 14V +-
+ 8V -
3Ω
a 8Ω
b
c + v -
1Ω
d
3.10. Se tiene un conductor de 5m de longitud y 2mm de diámetro, constituido por un alma y una envoltura. Sabiendo que el alma es de
39
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
cobre y su diámetro es de 1.5mm y la envoltura de plata, de espesor 0.25mm determinar la resistencia eléctrica del cable. Datos: ρ(Cu)=1.7⋅10-8Ω⋅m; ρ(Ag)=1.59⋅10-8Ω⋅m. (Ejercicio propuesto en 1ªVuelta de Septiembre de 1997).
Cuando se establezca una diferencia de potencial v en los extremos del conductor, circulará una intensidad i, cuya relación es v Req = i donde Req es la resistencia equivalente del conductor. La intensidad que circula por el alma de cobre, es diferente de la que circula por la envoltura de plata, pero la tensión en sus extremos es la misma, por tanto, la envoltura y el alma se encuentran conectadas en paralelo, y su resistencia equivalente es R R Req = R Cu+ Ag RAg Cu La resistencia de cada uno de los materiales que forman el conductor es, l 5 −2 RCu = ρCu ⋅ A = 1. 7 ⋅ 10−8 ⋅ −3 2 = 4. 8 ⋅ 10 Ω π ⋅ ( 0. 75 ⋅ 10 ) Cu R Ag = ρ Ag ⋅
l 5 = 159 . ⋅ 10 −8 ⋅ = 5.8 ⋅ 10 − 2 Ω 2 2 − 3 − 3 A Ag π ⋅ (1 ⋅ 10 ) − ( 0.75 ⋅ 10 )
(
)
y la resistencia equivalente,
Req =
40
RCu R Ag RCu + R Ag
4.8 ⋅ 5.8 ⋅ 10 −4 −2 = Ω − 2 = 2.6 ⋅ 10 ( 4.8 + 58 . ) ⋅ 10
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
3.11. Calcular la intensidad iA en el circuito de la figura 3.7. (Ejercicio propuesto en el examen parcial de Febrero de 1997). 6Ω
6Ω 12V
6Ω 12V
12V
6Ω
iA 6Ω
6Ω
6Ω
6Ω 6Ω
Figura 3.7
La única simplificación que se puede realizar en el circuito es la asociación en serie de las resistencias de 6Ω, tal como se muestra a continuación, y consideramos los siguientes puntos en el circuito, 12Ω
b
12Ω
12V 12V a
e
12V c
iA 6Ω 12Ω
12Ω d
La tensión del punto a con respecto al punto e es la misma que la tensión del punto b con respecto del punto e, por tanto entre los puntos a y b no
41
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
habrá circulación de corriente, y lo mismo ocurrirá entre los puntos b y c por simetría del circuito. Al aplicar la LCK en el nudo b, tenemos, −0 − 0 + i1 = 0 ⇒ i1 = 0
Así, si aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo e, − i1 − i2 − i3 + iA = 0 Como i1 = 0, tenemos que i2 + i3 = iA Por simetría en el circuito, la intensidad por la rama a-e, debe valer iA/2, al igual que la intensidad en la rama c-e. Y como en el nudo a (y por simetría el nudo c), sólo entre la corriente iA/2, esa es la corriente que circula por la rama a-d (y por la rama c-d). 12Ω
b
12Ω
12V i1 ↑ i=0 i2 12V → a → iA iA/2 i /2 ↑ A 12Ω
12V i3 ↑ i=0 ← c ← iA/2 6Ω ↑ iA/2
e
12Ω d
A continuación, aplicamos la ley de tensión de Kirchhoff a la trayectoria cerrada aeda, y tenemos la ecuación i −12 + 6iA + 12 2A = 0 Por tanto, iA = 1A 3.12.
42
Una batería tiene una fem de 15V. La tensión en sus bornes es de 11.6V cuando se liberan 20W de potencia en una resistencia de carga, de valor R. Determinar el valor de la resistencia de carga y de la resistencia interna de la batería.
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
Al conectar la batería a una resistencia de carga R, tenemos la conexión de la figura, 15V a
r
b
← i
R
La tensión entre los puntos a y b es, vab=11.6V, y la potencia disipada en la resistencia de carga R, es PR=20W. El valor de la resistencia de carga lo podemos obtener a partir de la potencia disipada,
PR = R ⋅ i2 ⇒R=
PR i2
(1)
La potencia disipada en la resistencia también la podemos expresar como la tensión en sus extremos, vab, multiplicada por la intensidad que circula por ella, y de aquí obtenemos el valor de i. PR = vab ⋅ i P 20 ⇒ i = v R = 11. 6 = 1. 72 A ab Sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos el valor de R
R=
PR 20 = 6. 76Ω 2 = i 1. 722
El valor de la resistencia interna de la batería, r, la obtenemos a partir de la expresión, vab = ε − i ⋅ r donde ε es la fuerza electromotriz de la batería.
43
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
r=
3.13.
ε − vab 15 − 11. 6 = 1. 72 = 1. 97Ω i
Dado el circuito de la figura 3.8 y sabiendo que Ri1 es mayor que Ri2, calcular el valor de R para el cual se anula la diferencia de potencial en los bornes de uno de los generadores. Indicar de cuál de ellos se trata.
ε, Ri1
ε, Ri2
R
Figura 3.8
La tensión en los extremos de cada una de las baterías es, vb1 = ε − Ri1 ⋅ i vb 2 = ε − Ri 2 ⋅ i
donde i es 2ε i = R+ R + R i1 i2 Así, si igualamos a cero la tensión en bornes de cada generador obtenemos,
44
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
2ε vb1 = ε − Ri1 ⋅ R + R + R = 0 i1 i2 ⇒ R + Ri1 + Ri 2 = 2 Ri1 ⇒ R = Ri1 − Ri 2
(1)
2ε vb 2 = ε − Ri 2 ⋅ R + R + R = 0 i1 i2 ⇒ R + Ri1 + Ri 2 = 2 Ri 2 ⇒ R = Ri2 − Ri1
(2)
La resistencia interna del generador 1 es mayor que la resistencia interna del generador 2, así que la solución (2) nos daría un valor de resistencia R negativo. Desechamos esta solución, y el valor de R que hace que se anule la tensión en los extremos del generador 1 es, R = Ri1 − Ri 2 3.14.
Demostrar que la potencia suministrada por un generador a un circuito es máxima cuando por él circula una intensidad igual a la mitad de la correspondiente al cortocircuito.
Rg
→ i R
ε
El teorema de máxima transferencia de potencia establece que la potencia suministrada por un generador es máxima cuando se conecta una resistencia de carga cuyo valor sea igual a la resistencia interna del generador. En estas circunstancias, la intensidad que circula es
ε i = R+ R g donde ε es la fem del generador, Rg su resistencia interna y R la resistencia de carga. En condiciones de máxima transferencia de potencia, la intensidad es
ε ε i = R + R = 2R g g
(1) 45
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Rg
→ icc
ε
Por otro lado, al cortocircuitar los terminales del generador, la intensidad que circula es,
ε icc = R g Comparando con la ecuación (1), vemos que 1 i = 2 ⋅ icc Se cumple que el generador suministra una potencia máxima cuando por él circula una intensidad que es la mitad del cortocircuito.
3.15. Cuando se cortocircuita una fuente de intensidad, a través del cortocircuito circulan 20A. Si se conecta una resistencia de 10Ω, circulan por ella 13A. Calcular la resistencia interna de la fuente. (Ejercicio propuesto en 1ª Vuelta de Septiembre de 1996).
Una fuente real de corriente se representa mediante una fuente ideal de corriente y una resistencia en paralelo.
Ig
46
Rp
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
Al cortocircuitar los terminales de la fuente, la intensidad que pasa por el cortocircuito es la intensidad de la fuente ideal.
icc=20A Ig
Rp
Así la intensidad de la fuente es de 20A. A continuación se conecta una resistencia de 10Ω en sus terminales, y la intensidad que circula por esta resistencia es de 13A.
13A 20A
10Ω
Rp
El circuito que tenemos es un divisor de corriente, y la resistencia Rp la obtenemos a partir de la expresión,
13 =
Rp R p + 10
⋅ 20
⇒ R p = 18.6Ω
3.16. Las mediciones de laboratorio de una fuente de tensión dan una tensión entre terminales de 75V sin carga conectada a la fuente, y 60V cuando está cargada con una resistencia de 20Ω. Determinar la resistencia interna de la fuente. (Ejercicio propuesto en 2ª Vuelta de Septiembre de 1997).
47
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Una fuente real de tensión se representa mediante una fuente ideal de fem ε, y una resistencia en serie. Rs
ε
+ -
Las medidas hechas en laboratorio, nos dan 75V entre los terminales de la fuente sin ningún elemento conectado, y 60V cuando se conecta una resistencia de 20Ω.
Rs
Rs
ε
+ -
+ 75V -
ε=75V
+ -
+ 20Ω 60V -
De la primera conexión, obtenemos el valor de la fem de la pila que es de 75V. El segundo circuito es un divisor de tensión, y la resistencia Rs la podemos calcular mediante la expresión, 60 =
48
20 ⋅ 75 20 + Rs ⇒ Rs = 50Ω
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
PROBLEMAS PROPUESTOS 3.17. En el circuito de la figura 3.9, determinar la corriente i, y la tensión entre los puntos a y b. a
b
2Ω
1A ↓
5Ω
3Ω
i↑
+ 12V 4Ω -
+ 6V 1A ↓
3A
12V
6Ω
Figura 3.9
3.18. Determinar i, vab, vac, y vbc en el circuito de la figura 3.10. b
a + 6V 2Ω ← 2A
↓2A
8Ω
6Ω 4Ω 3Ω
→ 7A
→ i
↓5A c Figura 3.10
3.19. Calcular i y v en el circuito de la figura 3.11. 2Ω 2V
3Ω
6V
2Ω
+ v -
3Ω 1Ω
← i Figura 3.11
49
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
3.20. Determinar la diferencia de tensión vab y la potencia en la fuente de 5V en el circuito de la figura 3.12. 20Ω
a
60Ω
10V
5V 30Ω
b
40Ω
Figura 3.12
3.21. Analizar el circuito de la figura 3.13, basándose en las leyes de Kirchhoff. 8Ω
3Ω
24V
24Ω
10Ω
15Ω
24Ω
Figura 3.13
3.22. El circuito de la figura 3.14 se denomina puente de Wheatstone. Se utiliza para medir resistencias por el método de comparación cuando el circuito está equilibrado. Esta situación se verifica cuando la corriente eléctrica que circula por el amperímetro es nula. Determinar la relación que se cumple entre las resistencias, cuando el circuito está equilibrado.
50
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
Rx
R1 Ra
A R3
R4 Vcc
Ri
Figura 3.14
3.23. Encontrar la resistencia equivalente, vista desde la fuente, del circuito de la figura 3.15 y usar el resultado para encontrar i, i1 y v. 3Ω → i
+ v -
i1↓
22Ω
8Ω
80V
34Ω
Figura 3.15
3.24. Determinar la resistencia equivalente vista desde la fuente y la intensidad i en el circuito de la figura 3.16. 4Ω
1Ω ↓i
22Ω 20V
8Ω
90Ω 4Ω
4Ω
Figura 3.16
3.25. Analizar el circuito de la figura 3.17 utilizando el concepto de divisor de tensión.
51
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
2Ω
30V
12Ω
4Ω
8Ω
6Ω
16Ω
Figura 3.17
3.26. Realizar el análisis del circuito de la figura 3.18, mediante el concepto de divisor de intensidad. 4Ω
15A →
6Ω
3Ω
4Ω
2Ω
3Ω
Figura 3.18
3.27. Por un medidor D’Arsonval puede circular una corriente máxima de 1mA y su resistencia interna es de 4.9Ω. Si se coloca una resistencia Rp de 0.1Ω en paralelo con el medidor, como se indica en la figura 3.19, determinar la intensidad máxima que se puede medir con dicho montaje. ¿Qué tensión existen entre los extremos del medidor?
→ i
ip ↓
→ igm
G
Rg
Rp
Figura 3.19
3.28. En el circuito de la figura 3.20, las resistencias de cada una de las 12 resistencias son iguales y de valor RΩ. Determinar la resistencia equivalente del circuito si la corriente entra por a y sale por b. 52
CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL EN CORRIENTE CONTINUA
R
R
R
R
R R
R
b
a R
R
R R
R
Figura 3.20
3.29. Un montaje de tres resistencias en triángulo (R1, R2, R3) se puede reemplazar por otro montaje en estrella de otras tres resistencias (Ra, Rb, Rc), ambos montajes se muestran en la figura 3.21. Determinar la relación que deben cumplirse entre los valores de las tres últimas resistencias con los de las primeras. R3
Ra R2
Rb
R1 Rc
Figura 3.21
3.30. Verificar el teorema de Telleguen en el circuito de la figura 3.22. 15Ω
25Ω
20V
10V 40Ω
Figura 3.22
53
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
3.31. Una batería de fem Σ, y resistencia interna r, se conecta a una resistencia R. Demostrar que a) La potencia P suministrada por la batería viene dada por Σ2/(R+r). b) La potencia PR disipada en la resistencia externa es Σ2R/(R+r)2. c) La potencia Pr disipada en la batería es Σ2r/(R+r)2.
54
4.
TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA PROBLEMAS RESUELTOS
4.1.
Determinar v1 y la potencia eléctrica transformada en la resistencia de 8Ω del circuito de la figura 4.1.
3v1
10Ω → i
6Ω - v1 +
+
+ -
20V -
6V
8Ω
Figura 4.1
Los circuitos con fuentes dependientes se analizan de la misma forma que aquellos que no las tienen, es decir, aplicando las leyes de Kirchhoff. La única diferencia está en que habrá que buscar una ecuación más que relacione la magnitud de la que depende la fuente dependiente con las magnitudes que aparecen en las ecuaciones del circuito. Aplicando la Ley de Tensiones de Kirchhoff al circuito, tenemos −20 + 10 i − 3v1 + 6i + 6 + 8i = 0
donde i es la corriente en el circuito. Además, la magnitud de la que depende la fuente, está relacionada con la corriente i por la Ley de Ohm en la resistencia de 6Ω mediante la relación v1 = −6i
55
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Uniendo las dos ecuaciones obtenemos una corriente 1 i = 3A y por tanto la tensión v1 es v1 = −2 V
Por último la potencia disipada en la resistencia de 8Ω es 2
1 p = Ri = 8 ⋅ = 0.9W 3 2
4.2.
Calcular i en el circuito de la figura 4.2. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Marzo 1996)
i →
3v1
1Ω - v1 +
6V +-
6Ω
Figura 4.2
Aplicando la Ley de Tensiones de Kirchhoff al circuito tenemos −6 + i + 3v1 + 6i = 0 y la tensión v1 de la que depende la fuente dependiente, está relacionada con la corriente i por la Ley de Ohm en la resistencia de 1Ω mediante la relación v1 = − i Con estas ecuaciones, obtenemos el valor de la corriente 56
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
i = 1. 5A 4.3.
Calcular la corriente i1 en el circuito de la figura 4.3.
6Ω v1 +
+
3V -
←
2Ω ↓ ia
4Ω i1
→
→
a
ia
12Ω
4v1
ix
b Figura 4.3
Este tipo de circuito se caracteriza porque la corriente eléctrica que circula por la rama ab es nula. Esto permite analizar los circuitos situados a ambos lados de la rama de forma independiente. Para verificar lo anterior, aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff en el punto a, y tenemos: ia = ia + ix Y por tanto, ix = 0 Analizando la malla de la izquierda del circuito, tenemos que la tensión v1 es de –3V.
+
3V -
v1 +
2Ω
4v
Una vez conocido el valor de la tensión v1, podemos analizar la parte derecha del circuito.
57
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
6Ω
6Ω
12Ω 4v1 i
→
24v Ω =-12V 1
4Ω
3Ω i
i1 →
→
La corriente i, es −12 4 i = 6+3 = −3A y la corriente i1 la podemos calcular aplicando un divisor de corriente, i1 =
4.4.
12 − 12 + 4
4 = −1A 3
Mediante el análisis de nudos en el circuito de la figura 4.4, determinar: a) i1; b) vab; c) la potencia eléctrica suministrada por la fuente de corriente; d) la energía absorbida o suministrada al circuito por la fuente controlada al cabo de 10 minutos. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1996)
i1 ↓ 4Ω
2i1
4Ω
a
8Ω
10Ω
4Ω
9A
b
Figura 4.4
Para aplicar el método de análisis de nudos, en primer lugar debemos identificar éstos y numerarlos. El circuito tiene 4 nudos,
58
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
Nudo 0 i1 ↓ 4Ω
2i1
8Ω
4Ω
9A
Nudo 1 Nudo 3
4Ω
10Ω
a
b
Nudo 2
Elegiremos como nudo de referencia el nudo 0. El nudo 3 está unido al nudo 0 mediante una fuente de tensión. Como la tensión del nudo de referencia se toma 0V, la tensión en el nudo 3 es la tensión de la fuente, en este caso 2i1. Nudo 0 ≡ Ref. i1 ↓ 4Ω
2i1
8Ω
4Ω
9A
v1 v3=2i1
4Ω
a
10Ω
b
v2
Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff a los nudos 1 y 2, con el criterio de signos siguiente: Corriente que entra en el nudo, negativa Corriente que sale del nudo, positiva Nudo 1 Nudo 2
v1 − 2 i1 v1 v1 − v2 4 + 4 + 10 = 0 v2 − v1 v2 v2 10 + 8 + 4 + 9 = 0
Ahora debemos buscar una relación entre la magnitud de la que depende la fuente, i1, y las tensiones de nudos, v i1 = − 82
(1)
59
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Sustituyendo esta expresión en la ecuación del nudo 1, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones, 16v1 − v 2 = 0 − 4v1 + 19v 2 = −360 Así, las tensiones de nudos son, v1 = −1. 2 V v2 = −19. 2 V a)
Según la ecuación (1), la corriente i1 es
v −19. 2 i1 = − 82 = − 8 = 2. 4 A b) Tensión vab
vab = v1 − v2 = −1. 2 − ( −19. 2 ) = 18V c)
Potencia suministrada por la fuente de corriente p = v2 ⋅ i = −19. 2 ⋅ 9 = −172. 8W
Potencia negativa indica que es una potencia suministrada. d) Energía absorbida o suministrada por la fuente dependiente al cabo de 10 minutos, La tensión en esta fuente es 2i1, y el valor de i1 calculado en el apartado a), es de 2.4 A, así que la tensión es 4.8V. Para calcular la potencia en la fuente, debemos conocer también qué corriente circula por ella, que es la misma que la corriente que circula por la resistencia de 4Ω, y ésta es, i=
v1 − 2i1 −1. 2 − 4. 8 = −1. 5A 4 = 4
La potencia suministrada por la fuente es
60
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
p = v ⋅ i = 4. 8 ⋅ ( −1. 5) = −7. 2 W
y la energía suministrada al cabo de 10 minutos es w = p ⋅ t = −7. 2 ⋅ 10 ⋅ 60 = −4320 J
4.5.
En el circuito de la figura 4.5, calcular la tensión en los extremos de la fuente de 9A, y la potencia disipada en la resistencia R2 = 2Ω Ω. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Marzo 1996)
1Ω + vx -
2Ω
iy ↑
3iy 1Ω
2V +-
R2=2Ω 2vx
9A
Figura 4.5
Numeramos los nudos y elegimos uno como nudo de referencia (nudo 0) y a continuación asignamos una tensión al resto de los nudos.
1Ω
v1 + vx 2V +-
v4 9A
Supernudo 2-3
2Ω
3iy 1Ω
v3
v2 iy ↑ 2Ω
2vx
v0 ≡ Ref.
El nudo 1 está unido al nudo de referencia por una fuente de tensión, así que la tensión en este nudo está forzada por el valor de la fuente, en este caso v1 = 2V. Entre los nudos 2 y 3 existe otra fuente de tensión, y 61
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
formaremos un supernudo. A continuación, aplicamos la ley de corrientes de kirchhoff al nudo 4 y al supernudo 2-3. v4 − v1 v4 − v3 2 +9+ 1 = 0 v2 − v1 v3 − v4 v2 1 + 1 − 2 vx + 2 = 0
Nudo 1 Supernudo 2 − 3 La ecuación del supernudo es
v2 − v3 = 3iy Por último, debemos plantear las ecuaciones que relacionen las magnitudes vx e iy de las que dependen las fuentes controladas, con las tensiones de nudos,
v1 − v4 = vx v2 = −2 iy Con estas ecuaciones obtenemos los siguientes resultados, v1 = 2 V v2 = 2 V v3 = 5V v4 = −2 V vx = 4 V iy = −1A La tensión en la fuente de corriente de 9A, es la diferencia de tensión entre el nudo 4 y el nudo de referencia. Como la tensión en el nudo de referencia se toma como cero, la tensión pedida es, v9A = v4 = −2 V Y la potencia disipada en R2 es, pR2 = R2 ⋅ iy2 = 2 ⋅ ( −1)2 = 2 W
62
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
4.6.
Calcular la matriz de admitancias y la potencia absorbida por la resistencia de 4Ω Ω en el circuito de la figura 4.6. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Septiembre de 1996)
4Ω 1Ω
2Ω + v1 -
2A
4V
2Ω
+ -
3v1
Figura 4.6
La matriz de admitancias de un circuito es la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones resultante de aplicar el método de nudos. Así, realizaremos un análisis por nudos, comenzando por numerar cada nudo y asignarle una tensión. 4Ω 2Ω
v1 2A
+ v1 -
4V
v2
v3
1Ω
2Ω
+ -
3v1 Ref.
Como entre el nudo 2 y el nudo de referencia existe una fuente de tensión, el valor de ésta es la tensión v2 en el nudo. Aplicamos ahora la ley de corrientes de Kirchhoff en los nudos 1 y 3.
63
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
v1 − 4 v1 − v 3 + =0 2 4 v 3 − 4 v 3 v 3 − v1 −3v1 + + + =0 1 2 2 −2 +
Nudo 1 Nudo 3
Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, 3v1 − v 3 = 16 − 7v1 + 4v 3 = 8 que en forma matricial es, 3 − 1 v1 16 ⋅ = − 7 4 v3 8 donde 3 − 1 G= − 7 4 es la matriz de conductancias del circuito. Ésta no es simétrica debido a la presencia en el circuito de fuentes independientes de tensión (4V) y de fuentes dependientes (3v1).
4.7.
64
Mediante análisis de nudos obtener en el circuito de la figura 4.7, la tensión v2 y la potencia disipada en la conductancia de 0.03s. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial Marzo 1997)
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
0.45A
0.03s
0.06s + vx -30V
+ -
+ v2 -
0.04s 2vx + -
10V
Figura 4.7
Asignamos tensiones a cada nudo en el circuito, 0.45A
v1 0.06s + vx -30V
+ -
v2 0.03s + v2 -
v3 0.04s 2vx
v4 + -
10V
Ref.
Entre el nudo 1 y el nudo de referencia existe una fuente de tensión de valor –30V; entre el nudo 4 y el de referencia hay otra fuente de tensión de 10V, y entre el nudo 3 y el de referencia hay otra fuente, en este caso, una fuente dependiente de valor 2vxV. Así, tenemos las siguientes tensiones de nudos, v1 = −30 V v4 = 10 V v3 = −2 vxV Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff al nudo 2, y tenemos, ( v2 + 30 ) ⋅ 0. 06 + 0. 45 + ( v2 + 2 vx ) ⋅ 0. 03 = 0
(1)
Debemos ahora relacionar la tensión vx de la que depende la fuente controlada, con las tensiones de nudos del circuito. Esta relación es, 65
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
vx = v1 − v2 = −30 − v2 Sustituyendo este valor en la ecuación (1), ( v2 + 30 ) ⋅ 0. 06 + 0. 45 + ( v2 + 2 ⋅ ( −30 − v2 )) ⋅ 0. 03 = 0 0. 03 ⋅ v2 = −0. 45 v2 = −15V La potencia disipada en la conductancia de 0.03s, es
p = 0. 03 ⋅ ( v2 − v3 )2 y como, v3 = −2 vx = −2 ⋅ ( −30 − v2 ) = −2 ⋅ ( −30 − ( −15)) = 30 V p = 0. 03 ⋅ ( −15 − 30 )2 = 60. 75W
4.8.
Mediante análisis de nudos, obtener la potencia suministrada por la fuente de 10A en el circuito de la figura 4.8. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Febrero 1998)
1s
3s
2s
10V 10A
4s
+ -
20A
Figura 4.8
Para aplicar el método de nudos, asignamos una tensión a cada nudo del circuito,
66
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
1s
2s
3s
v2
v3
v1
10A
10V
4s
+ -
20A
Ref.
La potencia en la fuente de 10A es, p = −10 ⋅ v1
(1)
Entre el nudo 3 y el nudo de referencia existe una fuente de tensión de 10V, así que v3 = 10 V Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff a los nudos 1 y 2,
Nudo 1
−10 + ( v1 − v2 ) ⋅ 2 + ( v1 − 10 ) ⋅ 1 = 0
Nudo 2
( v2 − v1 ) ⋅ 2 + ( v2 − 0 ) ⋅ 4 + ( v2 − 10 ) ⋅ 3 = 0
Y resulta el siguiente sistema de ecuaciones,
3v1 − 2v 2 = 20 − 2v1 + 9v 2 = 30 De este sistema, sólo interesa el valor de v1 para sustituirlo en la ecuación (1), y tenemos, v1 = 10. 43V y por tanto, 67
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
p = −10 ⋅ v1 = −10 ⋅ 10. 43 = −104. 3W
El signo negativo indica que es una potencia suministrada por la fuente al circuito.
4.9.
Obtener la matriz de resistencias en el circuito de la figura 4.9. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial Marzo 1997)
R1
vg1 -+
R2
+ -
R3
vg2
Figura 4.9
La matriz de resistencias de un circuito es la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que resulta de aplicar el método de mallas al circuito. Lo primero que debemos hacer es definir una corriente para cada malla del circuito.
R1
vg1 -+
68
i1
R2
R3
i2
+ -
vg2
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
Una vez definidas las corrientes de mallas, se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla, recorriéndola en sentido horario. Malla 1
− vg1 + R1 ⋅ i1 + R3 ⋅ (i1 − i2 ) = 0
Malla 2
R3 ⋅ (i2 − i1) + R2 ⋅ i2 + vg2 = 0
De estas ecuaciones resulta el siguiente sistema, ( R1 + R3 ) ⋅ i1 − R3 ⋅ i2 = vg1 − R3 ⋅ i1 + ( R2 + R3 ) ⋅ i2 = vg2 que expresado en forma matricial es,
R1 + R3 − R3
− R 3 i1 v g 1 ⋅ = R2 + R3 i 2 v g 2
donde, R1 + R3 R= − R3
− R3 R2 + R 3
es la matriz de resistencias pedida. Se trata de una matriz simétrica debido a que en el circuito sólo existen fuentes independientes de tensión (vg1 y vg2).
4.10. En el circuito de la figura 4.10, calcular la potencia disipada en la resistencia de 4Ω. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Marzo 1996)
69
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
24V +6Ω
8Ω 16Ω 4Ω 30V
10A
+ -
Figura 4.10
Calcularemos la potencia disipada en la resistencia de 4Ω, mediante la expresión p = 4 i2
(1)
donde i es la corriente que circula por dicha resistencia. Para calcular la corriente i, aplicaremos el método de análisis de mallas, para ello definimos las corrientes de mallas. 24V +8Ω
6Ω
↓i
16Ω
i1 30V
i2
4Ω
i3
+ -
Según la figura,
i = i1 − i3
70
(2)
10A
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
En la malla 3 hay una fuente de corriente en la periferia del circuito, por tanto la corriente en esa rama está fijada por el valor de la fuente, es decir, i3 = −10 A Aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff en las mallas 1 y 2, recorriéndolas en sentido horario, Malla 1
−30 + 16i1 + 8(i1 − i2 ) + 4(i1 + 10 ) = 0
Malla 2
8(i2 − i1) + 24 + 6(i2 + 10 ) = 0
De estas ecuaciones resulta el siguiente sistema,
14i1 − 4i 2 = −5 − 4i1 + 7i 2 = −42 El valor de i1 es −5 i1 =
−4
−42 7 = −2. 48A 14 −4 −4
7
Sustituyendo este valor en la ecuación (2), i = i1 − i3 = −2. 48 − ( −10 ) = 7. 52 A Con este valor de i, la potencia en la resistencia de 4Ω, según la ecuación (1) es, p = 4 i2 = 4 ⋅ 7. 522 = 226. 2 W
4.11. Mediante análisis de mallas determinar en el circuito eléctrico de la figura 4.11. la potencia suministrada o absorbida por la fuente de 5A. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1997)
71
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
10V +-
6Ω
5Ω 5A
+ v1 -
2Ω
3v1
3Ω
Figura 4.11
La potencia absorbida o suministrada por la fuente de 5A, la calculamos mediante la expresión, p = v ⋅i
(1)
donde i es la corriente de la fuente, es decir, 5A v es la tensión en sus extremos Para calcular la tensión v, utilizando el método de mallas, definimos las corrientes de mallas.
10V +-
5Ω
i2
6Ω
5A
i1 2Ω
+ v1 -
+ v 3v1
i3
3Ω
Con las corrientes definidas, la tensión v en los extremos de la fuente es v = −5(i2 − i1 ) − 6i2
si recorremos la malla 2, o bien, 72
(2)
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
v = −3v1 + 3i3
(3)
si recorremos la malla 3. Para calcular esta tensión, calculamos las corrientes de malla, aplicando el método de mallas. La rama común a las mallas 2 y 3 tiene una fuente de corriente, por tanto definimos la supermalla 2-3, y aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff a la malla 1 y a la supermalla, Malla 1
2 i1 − 10 + 5(i1 − i2 ) + 3v1 = 0
( 4)
Supermalla 2 - 3
−3v1 + 5(i2 − i1) + 6i2 + 3i3 = 0
( 5)
Como la corriente en la rama común a las mallas 2 y 3 es de 5A (valor de la fuente de corriente), tenemos i2 − i3 = 5
(6)
En el circuito tenemos una fuente dependiente de la tensión v1, siendo v1 la tensión que hay en los extremos de la resistencia de 2Ω, que en función de las corrientes de malla es, v1 = −2 i1
Sustituyendo este valor de v1 en las ecuaciones (4) y (5), nos queda junto a la ecuación (6) el siguiente sistema,
i1 − 5i 2
= 10 i1 + 11i 2 + 3i 3 = 0 i2 − i3 = 5
Y obtenemos los siguientes resultados,
i1 = 11. 31A i2 = 0. 26 A i3 = −4. 74 A v1 = −22. 62 V 73
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Así, sustituyendo en la ecuación (2), calculamos el valor de v v = −5(i2 − i1 ) − 6i2 = −5( 0. 26 − 11. 31) − 6 ⋅ 0. 26 = 53. 69 V
Y la potencia en la fuente de 5A, sustituyendo en la ecuación (1) es, p = v ⋅ i = 53. 69 ⋅ 5 = 268. 45W
Al ser la potencia positiva, indica que es una potencia absorbida por la fuente.
4.12. Mediante transformaciones sucesivas de fuentes y reducciones de resistencias sustituir el circuito a la izquierda de los terminales a y b de la figura 4.12, por una sola fuente independiente de tensión en serie con una sola resistencia. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1997)
25Ω 0.2A 200Ω
200Ω
a 500Ω b
Figura 4.12
En primer lugar asociamos las dos resistencias de 200Ω en paralelo, y obtenemos el siguiente circuito equivalente,
[1]
a 25Ω
0.2A
100Ω
[2]
500Ω
b
Una fuente real de corriente de parámetros ig, Rp, se transforma en una fuente real de tensión equivalente, de parámetros vg, Rs, que cumplen las siguientes condiciones: 74
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
vg = Rp ⋅ ig Rs = Rp La fuente real de corriente a la izquierda de los puntos [1] y [2], se transforma en una fuente real de tensión, cuya f.e.m. es 20V. [3] 25Ω
100Ω 20V
a 500Ω
+ -
b
[4]
La fuente real de tensión a la izquierda de los puntos [3] y [4] se transforma en una fuente real de corriente de 0.16A y 125Ω.
125Ω + -
[3]
a
[3]
500Ω
0.16A
500Ω
125Ω
20V
b
[4]
b
[4]
a
Asociando las dos resistencias en paralelo, tenemos una fuente real de corriente que transformamos en una fuente real de tensión de 16V y 100Ω. 100Ω
a
0.16A
100Ω
16V
b
a
+ -
b
75
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
4.13. Mediante transformaciones sucesivas de fuentes y reducciones de resistencias sustituir el circuito a la izquierda de los terminales a y b de la figura 4.13, por una sola fuente independiente de tensión en serie con una sola resistencia. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Septiembre 1997)
a
8Ω 2A
60Ω
40Ω 24V b
Figura 4.13
Una fuente real de corriente de parámetros ig, Rp, se transforma en una fuente real de tensión equivalente, de parámetros vg, Rs, que cumplen las siguientes condiciones: vg = Rp ⋅ ig Rs = Rp
Igualmente, una fuente real de tensión de parámetros vg, Rs,, se transforma en una fuente real de corriente de parámetros ig, Rp,, que cumplen las siguientes condiciones: v ig = Rg s Rp = Rs Así, la fuente real de tensión de 24V y 8Ω, se transforma en una fuente real de corriente de 3A y 8Ω.
76
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
a
60Ω
2A
8Ω
40Ω
3A
b
En este circuito podemos agrupar en paralelo las resistencias de 60Ω, 8Ω y 40Ω, y sumar el valor de las fuentes de corriente, y obtenemos el siguiente circuito simplificado: a
6Ω
5A
b
Por último, este circuito lo transformamos en una fuente real de tensión de parámetros 30V y 6Ω. 6Ω
a
30V
b 77
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
78
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
PROBLEMAS PROPUESTOS 4.14. En el circuito mostrado en la figura 4.14. el dispositivo X es desconocido. Puede ser una pila o una resistencia. Determinar qué es dicho dispositivo y cuánto vale. Verificar el principio de conservación de la energía en el circuito.
Vab = 10V 14V
2Ω 10Ω
b
a 20Ω
X Figura 4.14
4.15. Calcular v1 e i1 en el circuito de la figura 4.15.
8Ω i1
3v1
4Ω + v1 -
12V +-
10i1
+ -
8V
Figura 4.15
4.16. Encontrar i1 en el circuito de la figura 4.16.
4A
6Ω
3i1
4Ω
↓ i1 8A
Figura 4.16
4.17. Determinar i en el circuito de la figura 4.17. ¿Qué valor debe tener la resistencia de 6Ω para que la intensidad i valga 3A?
79
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
i1 → 5V
10Ω
6Ω
+ -
i ← + -
5i1
25V
Figura 4.17
4.18. Calcular i1 y v en el circuito de la figura 4.18.
4Ω
4Ω +v3i1
+ 3V -
↓ i1
+ -
9V
Figura 4.18
4.19. Determinar i en el circuito de la figura 4.19.
3i i →
4Ω 10Ω
25V
+ -
6Ω
Figura 4.19
4.20. Mediante el análisis de nudos, determinar la tensión en cada nudo del circuito de la figura 4.20.
80
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
4Ω
5A 4Ω
6A 2Ω
3A
Figura 4.20
4.21. Escribir el sistema de ecuaciones resultante del análisis de nudos del circuito de la figura 4.21. ¿Es simétrica la matriz de los coeficientes? Razona la respuesta.
G1
G2
v1
v2
G3 vg
β(v1- v3) v3
+ -
G5
G4
Figura 4.21
4.22. Determinar la diferencia de tensión entre los terminales de la resistencia de 6Ω del circuito de la figura 4.22.
24V - +
3Ω
4Ω 8Ω
7A
4Ω + -
30V
Figura 4.22
81
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
4.23. Mediante el análisis de mallas determinar las intensidades que circulan por las mallas del circuito de la figura 4.23. i1 →
6Ω
2Ω
+ -
+
16V -
9V 6i1 3Ω
Figura 4.23
4.24. Mediante el análisis de mallas, determinar la intensidad que circula por la resistencia de 3Ω del circuito de la figura 4.24.
3Ω → i 5Ω
4Ω
11A
4A
Figura 4.24
4.25. Utilizando el análisis de mallas, determinar la potencia absorbida por la resistencia de 4KΩ en el circuito de la figura 4.25. 24V - +
11A
+ v1 -
4kΩ
Figura 4.25
4.26. Determinar i en el circuito de la figura 4.26.
82
5kΩ
2v1
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
4kΩ 3mA 25V +-
4kΩ 2kΩ
11mA
3kΩ
5mA
Figura 4.26
4.27. Determinar la potencia entregada por la fuente de 10V en el circuito de la figura 4.27.
3A
4Ω
i1 →
6Ω + v1 -
3Ω
+ -
2v1
2Ω
10V
12i1 Figura 4.27
4.28. Determinar el valor de v2 en función de R e Ig en el circuito de la figura 4.28. i1 → 100Ω Ig
R
50i1 3 10 v2 -4
+ v2 -
1KΩ
Figura 4.28
4.29. Calcular la potencia máxima que puede recibir la resistencia R del circuito de la figura 4.29
83
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
2Ω
3Ω +
6Ω
12V -
2A
R
Figura 4.29
4.30. Usando la técnica de análisis de transformación de fuentes, determinar la intensidad que circula por la resistencia de 6Ω en el circuito de la figura 4.30
4Ω
8V
6Ω
12Ω
1A + -
Figura 4.30
4.31. Mediante transformación de fuentes determinar la tensión entre los terminales de la resistencia de 4Ω en el circuito de la figura 4.31.
3Ω
+
32V -
1Ω
4Ω
6Ω
6Ω
2Ω
4A
Figura 4.31
4.32. Encontrar la condición para la cual la corriente que circula por una resistencia es la misma para la conexión en serie y en paralelo de n pilas reales idénticas. 4.33
Dado un circuito elemental formado por un generador de corriente real (ig, Rg) y una resistencia R, determinar los valores de R para que circule por ella una
84
TÉCNICAS DE ANÁLSIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
intensidad: a) máxima y b) mínima. Qué valor debe tener R para que el generador le suministre una potencia máxima. 4.34. Determinar la fuente real de tensión equivalente a una asociación de n fuentes reales de tensión idénticas conectadas en serie de forma a) todas ellas directamente y b) una cuarta parte del total conectadas inversamente. 4.35. Resolver el problema anterior suponiendo que las fuentes son reales de corriente. 4.36. Determinar la fuente real de tensión equivalente a una asociación de n fuentes reales de tensión conectadas en paralelo con la misma polaridad, cuando todas son a) iguales y b) diferentes.
85
5.
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES PROBLEMAS RESUELTOS
5.1.
Calcular, aplicando el principio de superposición, la potencia disipada por la resistencia de 4Ω Ω en el circuito de la figura 5.1. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Septiembre 1996)
12V
+6Ω
3Ω
2Ω 4Ω 2A
3A
6Ω
Figura 5.1
Para calcular la potencia disipada en la resistencia de 4Ω, determinaremos la tensión en sus extremos, v, y a partir de esta tensión calcularemos la potencia como
v2 p= R
(1)
No podemos determinar directamente la potencia aplicando el principio de superposición porque ésta es una magnitud no lineal, y el principio de superposición sólo se aplica para determinar magnitudes lineales en circuitos (tensiones o corrientes). La tensión v en los extremos de la resistencia de 4Ω es la suma de la tensión v1 debida exclusivamente a la fuente de corriente de 12V, más la 85
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
tensión v2, debida exclusivamente a la fuente de 3A, más la tensión v3, debida exclusivamente a la fuente de 2A, es decir, v = v1 + v2 + v3
(2)
Calculamos cada una de estas tensiones: Para determinar la tensión v1, anulamos las fuentes de 2A y 3A. Anular una fuente de corriente supone dejarla en circuito abierto, mientras que anular una fuente de tensión significa cortocircuitar sus extremos. 12V
+6Ω
3Ω
2Ω 4Ω 6Ω
+ v1 -
Este circuito es equivalente a: 12V
+4Ω 2Ω
3Ω
+ va +
Aplicando un divisor de tensión, la tensión va es 4 48 va = 4 + 3 ⋅ 12 = 7 V y por tanto, la tensión v1 es,
86
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
4 48 16 v1 = − 4 + 2 + 6 ⋅ 7 = − 7 V
(3)
Para calcular la tensión v2, anulamos las fuentes de 12V y de 2A.
+6Ω
3Ω
2Ω 4Ω
+ v2
3A
-
6Ω
Podemos realizar las siguientes modificaciones en el circuito: las resistencias de 6Ω y 3Ω están en paralelo, y en serie con la de 4Ω. En la otra rama, la resistencia de 2Ω y 6Ω están en serie, así el circuito simplificado es:
+2Ω 8Ω 4Ω
+ v2
3A
-
87
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
+vb 8Ω 6Ω
3A
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo superior calculamos la tensión vb: v v −3 + 8b + 6b = 0 72 ⇒ vb = 7 V Y por tanto, la tensión v2 es, 4 72 48 v2 = 4 + 2 ⋅ 7 = 7 V
(4)
Por último, para calcular v3 anulamos las fuentes de 12V y 3A.
+6Ω
3Ω
2Ω 4Ω 2A
6Ω
+ v3 -
Simplificamos el circuito asociando en paralelo las resistencias de 3Ω y 6Ω. 88
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
2Ω 2Ω vc
2A
4Ω 6Ω
+ v3 -
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff al nudo c, calculamos la tensión vc. v v −2 + 6c + 8c = 0 48 vc = 7 V Y por tanto, v3 es, 4 48 24 v3 = 4 + 2 + 2 ⋅ 7 = 7 V
(5)
Sustituyendo los valores (3), (4) y (5) en la ecuación (2) tenemos, −16 48 24 v = v1 + v2 + v3 = 7 + 7 + 7 = 8V Y sustituyendo este valor en la ecuación (1), obtenemos la potencia buscada:
v2 82 p = R = 4 = 16W
89
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
5.2.
Aplicando el principio de superposición, calcular v en el circuito de la figura
5.2. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1997)
3V
3Ω
+-
2Ω
6Ω - v +
+ -
2Ω
6A
16V
Figura 5.2
Igual que en el problema anterior, la tensión v la calculamos como la suma de v1, v2 y v3, donde la tensión v1 es debida exclusivamente a la fuente de 6A, la tensión v2 es debida exclusivamente a la fuente de 3V, y la tensión v3 es debida exclusivamente a la fuente de 16V. v = v1 + v2 + v3
(1)
Empezamos calculando la tensión v1. Para ello, anulamos las dos fuentes de tensión. 3Ω +-
6Ω
6A
2Ω
- v1 +
2Ω + -
En este circuito las resistencias de 6Ω y 3Ω están en paralelo, por tanto, podemos hacer la siguiente simplificación:
90
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
+-
2Ω - v1 +
2Ω
6A
2Ω + -
La tensión v1 es, 2 v1 = 2 ⋅ 2 + 2 + 2 ⋅ 6 = 4 V
(2)
Para calcular la tensión v2, anulamos la fuente de 6A, y la de 16V. 3V
3Ω
+-
2Ω
6Ω - v2 +
2Ω
+ -
Las resistencias de 2Ω están en serie, y en paralelo con la de 6Ω, así obtenemos el siguiente circuito simplificado 3Ω
3V +-
12/5Ω - v2 +
Así, la tensión v2 es, 12 4 v2 = − 12 5 ⋅ 3 = − 3 V 5 +3
(3)
91
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Por último, para calcular la tensión v3, anulamos la fuente de 6A y la de 3V. 3Ω +-
2Ω
6Ω
2Ω
- v3 +
+ -
16V
En este circuito la resistencia de 3Ω y 6Ω están en paralelo, por tanto, podemos realizar la siguiente simplificación: 2Ω
2Ω
+-
- v3 +
2Ω + -
16V
La tensión v3 es entonces, 2 16 v3 = 2 + 2 + 2 ⋅ 16 = 3 V
(4)
Sustituyendo en la ecuación (1) los valores obtenidos en (2), (3) y (4), obtenemos el valor de v buscado. 4 16 v = v1 + v2 + v3 = 4 − 3 + 3 = 8V
92
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
5.3.
Obtener aplicando el principio de superposición, la tensión y intensidad que circula en cada una de las resistencias del circuito de la figura 5.3. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial Febrero 1998)
i1
20Ω + v1 -
10V
30Ω
i2 i3 + v3 - 10Ω
+ -
+ v2 -
+
10V
Figura 5.3
Para analizar el circuito, anulamos cada una de las fuentes, y tenemos los dos circuitos siguientes i11
20Ω + v11 -
10V
+ -
i12
20Ω + v12 -
+ -
i21
30Ω
i31 + v31 - 10Ω
+ v21 -
i22
30Ω
i32 + v32 10Ω -
+ v22 -
+
+
10V
Y calculamos cada una de las magnitudes señaladas en los circuitos. 10 i11 = 27. 5 = 0. 36 A 2. 73 i21 = − 30 = −0. 09 A i31 = 0. 36 − 0. 09 = 0. 27 A 93
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
20 v11 = 27. 5 ⋅ 10 = 7. 27V 7. 5 v21 = v31 = 27. 5 ⋅ 10 = 2. 73V Y para el segundo circuito, 1. 8 i12 = 20 = 0. 09 A 8. 2 i22 = − 30 = −0. 27 A 1. 8 i32 = − 10 = −0.18A 6. 6 v12 = 36. 6 ⋅ 10 = 1. 8V 30 v22 = 36. 6 ⋅ 10 = 8. 2 V v32 = − v12 = −1. 8V Sumando las magnitudes correspondientes obtenemos los valores pedidos: i1 = i11 + i12 = 0. 36 + 0. 09 = 0. 45A i2 = i21 + i22 = −0. 09 − 0. 27 = −0. 36 A i3 = i31 + i32 = 0. 27 − 0.18 = 0. 09 A Y las tensiones, v1 = v11 + v12 = 7. 27 + 1. 8 = 9. 07 V v2 = v21 + v22 = 2. 73 + 8. 2 = 10. 93V v3 = v31 + v32 = 2. 73 − 1. 8 = 0. 93V
94
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
5.4.
Determinar los circuitos equivalentes Thevenin y Norton desde los terminales a y b, en el circuito de la figura 5.4. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Febrero 1997)
2A
10Ω
10V
10Ω
10Ω
1A
+ -
a
20Ω
b Figura 5.4
La tensión de Thevenin, es la tensión que haya entre los terminales a y b, en circuito abierto, por tanto debemos calcular este valor en el circuito y para ello, realizamos un análisis de nudos. 2A
10V
10V
10Ω
v1
10Ω
1A
+ -
Ref
v2
10Ω
a
20Ω
b
La tensión entre los puntos a y b es la tensión en el nudo 2. Para calcular la tensión v2, aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nudo.
95
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
v1 − 10 v1 − v2 10 + 2 + 10 = 0 v −v v −2 + 210 1 − 1 + 202 = 0
Nudo 1 Nudo 2
Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2v1 − v 2 = −10 − 2v1 + 3v 2 = 60 Y calculamos v2,
v2 =
2
−10
−2 2
60 = 25V −1
−2
3
Por tanto, vTh = 25V La resistencia del circuito de Thevenin es la resistencia equivalente del circuito pasivo del circuito activo dado.
10Ω
10Ω
10Ω
a
20Ω
+ -
b
El circuito pasivo lo hemos obtenido anulando todas las fuentes que aparecen en el circuito, y ahora determinamos la resistencia equivalente vista desde los terminales a y b. RTh = 20Ω 96
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
Así el circuito equivalente de Thevenin es a 20Ω
+ 25V b
A partir de este circuito podemos obtener el circuito equivalente de Norton, sabiendo que la relación entre la corriente y resistencia de Norton con la tensión y resistencia de Thevenin es la siguiente: v iN = RTh Th RN = RTh
Así, los parámetros de Norton son:
25 iN = 20 = 1. 25A RN = 20Ω Y el circuito equivalente de Norton es: a
20Ω 1.25A b
97
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
5.5.
Obtener el circuito equivalente Norton entre los terminales a y b del circuito de la figura 5.5. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Septiembre 1996)
10Ω
30Ω
5Ω
a
6Ω
24V
b Figura 5.5
La corriente de Norton es la que pasa por el cortocircuito entre los terminales a y b. Por tanto, cortocircuitamos estos terminales, y calculamos la corriente que por él circula. 10Ω
30Ω
i1
5Ω
a iN
i2
24V
6Ω
iN b
Realizamos un análisis por mallas, aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla. Malla 1
10 i1 + 30(i1 − i2 ) + 5(i1 − iN ) = 0
Malla 2
−24 + 30(i2 − i1 ) + 6(i2 − iN ) = 0
Malla 3
6(iN − i2 ) + 5(iN − i1) = 0
Y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
98
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
45i1 − 30i 2 − 5i N = 0 − 30i1 + 36i 2 − 6i N = 24 − 5i − 6i + 11i = 0 1 2 N La corriente iN es,
iN =
45
−30
0
−30
36
24
−5 45
−6 0 = 2. 8 A −30 −5
−30
36
−6
−5
−6
11
La resistencia de Norton se calcula de la misma manera que la resistencia equivalente de Thevenin, es decir, calculando la resistencia equivalente del circuito pasivo del circuito activo dado. 10Ω
30Ω
5Ω
a
6Ω
b
En este circuito, la resistencia equivalente vista desde los terminales a y b es, RN = 5Ω El circuito equivalente de Norton es entonces:
99
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
a
5Ω 2.8A b
5.6.
Calcular los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton del circuito de la figura 5.6, visto desde los terminales a y b. ¿Cuál es la máxima potencia que puede entregar el circuito? (Ejercicio propuesto en convocatoria de Septiembre 1997)
a 6Ix 4Ω
↓ Ix 6Ω
+-
20V
b
Figura 5.6
Cuando en un circuito eléctrico existen fuentes dependientes no es posible calcular la resistencia equivalente de Thevenin o Norton anulando las fuentes independientes, y se obtiene a partir del cociente entre la tensión de Thevenin (vTh) y la intensidad de Norton (iN). v RTh = iTh N Calculamos en primer lugar la tensión de Thevenin, que es la tensión entre los puntos a y b del circuito. Para ello aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff a la única malla del circuito. 4 Ix − 6 Ix + 6 Ix − 20 = 0 Ix = 5A 100
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
Con este valor de Ix, la tensión entre los puntos a y b es la caída de tensión en la resistencia de 6Ω, es decir, vth = vab = 6 Ix = 30V A continuación calculamos la intensidad de Norton, que obtenemos cortocircuitando los terminales a y b,
a 6Ix 4Ω
↓ Ix
iN
6Ω
+-
20V
b
Al cortocircuitar los terminales a y b, estamos cortocircuitando la resistencia de 6Ω, y por tanto la intensidad que circule por ella será cero, es decir, Ix=0, y entonces la intensidad de Norton es, 20 iN = 4 = 5A La resistencia de Thevenin o de Norton la obtenemos como la relación entre la tensión de Thevenin y la intensidad de Norton, v 30 RTh = RN = iTh = 5 = 6Ω N Con estos resultados, obtenemos los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton,
101
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
a
a 6Ω 6Ω
+ -
5A
30V
b
b
Thevenin
Norton
Para calcular la potencia máxima que entrega el circuito, aplicamos el teorema de máxima transferencia de potencia que nos dice que un circuito entrega una potencia máxima cuando se le conecta una carga de valor igual a la resistencia de Thevenin del circuito, y en ese caso, la potencia entregada es,
v 2 Pmax = 4 Th RTh Así, para nuestro circuito, la potencia máxima entregada es,
302 v 2 Pmax = 4 Th = RTh 4 ⋅ 6 = 37. 5W
5.7.
Encontrar el valor de R que extraiga la potencia máxima del resto del circuito y calcular dicha potencia. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Junio 1996)
6Ω
4Ω
R 2A
3A
Figura 5.7
102
+ 10V -
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
Para calcular el valor de R pedido, nos basamos en el teorema de máxima transferencia de potencia. Para ellos sustituimos todo el circuito eléctrico sin la resistencia problema R, por su circuito equivalente de Thevenin visto desde los terminales a y b, que nos quede después de desconectar la resistencia R. 6Ω
4Ω a
2A
+ 10V -
3A b
Para obtener la tensión de Thevenin, aplicamos un análisis por nudos, y si tomamos como nudo de referencia el inferior, la tensión entre los terminales a y b es la tensión en el nudo a. va
v1
4Ω
6Ω
10V
a
2A
+ 10V -
3A b Ref
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff a cada nudo tenemos, Nudo a Nudo 1
va − v1 4 =0 v − v v − 10 3+ 1 4 a + 1 6 = 0 −2 +
Y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, v a − v1 = 8 − 3v a + 5v1 = −16
103
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
El valor de va es, 8 −1 −16 5 va = = 12V 1 −1 −3 5 Y por tanto la tensión de Thevenin es, vTh = 12V La resistencia de Thevnein la obtenemos calculando la resistencia equivalente del circuito pasivo del circuito activo dado, es decir, anulando todas las fuentes y calculando la resistencia equivalente desde los terminales a y b. 6Ω
4Ω a
+ b
Obtenemos una resistencia equivalente de 10Ω, es decir, el circuito equivalente de Thevenin es, a 10Ω
12V
+ -
b
104
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
Aplicando el teorema de máxima transferencia de potencia, el valor de R buscado es R = RTh = 10Ω Y la potencia
122 v 2 Pmax = 4 Th = RTh 4 ⋅ 10 = 3. 6 W
5.8.
Determinar el circuito equivalente de Thevenin, visto desde la resistencia R, del circuito de la figura, y a partir de él obtener el valor de R para que la potencia que absorba sea máxima, y calcular esta potencia. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Septiembre 1997)
5V
10Ω
- +
6Ω
7Ω
5A
R 3Ω
4Ω
Figura 5.8
Igual que en el problema anterior, obtenemos el circuito equivalente de Thevenin visto desde los terminales a y b que nos quede después de desconectar la resistencia R. 5V
10Ω
- +
6Ω
4Ω
5A
7Ω
a
3Ω
b
105
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Para calcular la tensión entre los puntos a y b (tensión de Thevenin), aplicamos el teorema de superposición. 5V
10Ω
- +
6Ω
7Ω + v1 -
3Ω
4Ω
a
b
La tensión v1 es debida exclusivamente a la fuente de 5V, y en este caso es, v1 = 5V 10Ω - +
6Ω
4Ω
5A
7Ω
3Ω
+ a v2 b
Y la tensión v2 es debida exclusivametne a la fuente de 5A. 7 13 v2 = −7 ⋅ 20 ⋅ 5 + 3 ⋅ 20 ⋅ 5 = −2. 5V La tensión entre los puntos a y b es entonces, vab = v1 + v2 = 5 − 2. 5 = 2. 5V La resistencia de Thevenin la calculamos igual que en el problema anterior:
106
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
10Ω - +
6Ω
7Ω
a
4Ω
3Ω
b
Es decir, RTh = 15Ω El circuito equivalente de Thevenin es, a 15Ω
+ 2.5V b
A partir de este circuito, aplicando el teorema de máxima transferencia de potencia, el valor de R buscado es R = RTh = 15Ω Y la potencia
Pmax
vTh2 2. 52 = 4 R = 4 ⋅ 15 = 0.104 W Th
107
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
PROBLEMAS PROPUESTOS 5.9.
Hallar v utilizando el teorema de superposición en el circuito de la figura 5.9. 8V
8kΩ
- +
12kΩ
2mA
+ v -
8mA
4kΩ
Figura 5.9
5.10. Calcular, aplicando el principio de superposición, la potencia disipada por la resistencia de 14Ω en el circuito de la figura 5.10. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Septiembre 1996) 6Ω
4Ω
2A
3A
14Ω
+ 10V -
Figura 5.10
5.11. Aplicando el principio de superposición, calcular i en el circuito de la figura 5.11. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio de 1997)
10Ω
5Ω i
24V
2A
20Ω
Figura 5.11
108
36V
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
5.12. Determinar el valor de i utilizando la técnica de superposición en el circuito de la figura 5.12.
24Ω
12Ω 36V i
9A
- +
12Ω
6Ω Figura 5.12
5.13. Hallar el circuito equivalente de Thevenin visto desde los terminales ab en el circuito de la figura 5.13, con la finalidad de obtener a partir de él el valor de la intensidad i.
4Ω
a i↓
12Ω 6Ω
6Ω
3A + -
5V
b Figura 5.13
5.14. Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 4Ω sustituyendo el resto del circuito de la figura 5.13 por su circuito equivalente de Thevenin. 5.15. Determinar la tensión en la resistencia de 4Ω en el circuito de la figura 5.14, sustituyendo el resto del circuito por su equivalente de Thevenin.
109
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
6Ω
4A 8Ω
15A
+ v -
4Ω
6A
2Ω
Figura 5.14
5.16. Encontrar el valor de R que extraiga la potencia máxima del resto del circuito de la figura 5.15. Calcular la potencia máxima extraída por R. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Junio de 1996)
4Ω
v
4Ω 4Ω 100V
+ -
+ v -
4Ω
R + -
20V
Figura 5.15
5.17. Determinar el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 5.16 y utilizarlo para determinar la tensión v.
110
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
20Ω
10Ω 3A
6Ω
+ v -
30Ω
5Ω
Figura 5.16
5.18. Encontrar el valor de la intensidad i en el circuito de la figura 5.17 a partir de reemplazar el circuito a la izquierda de los terminales a y b por su equivalente de Norton.
2Ω a 4Ω
4A
i↓
+ v -
16Ω
v/4A b Figura 5.17
5.19. Obtener el circuito equivalente de Thevenin del circuito de la figura 5.18 a la izquierda de los terminales a y b. Determinar v a partir del circuito equivalente.
2A 6Ω
a 6Ω
18V
+ -
5Ω
20Ω
24Ω 20V +-
+ v -
b Figura 5.18
111
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
5.20. Encontrar el valor de la resistencia R para obtener la potencia máxima del resto del circuito de la figura 5.19.
2.5A
+ -
3V
6Ω
v1 +
12Ω
R 6i1
v1/4
12Ω
i1 ↑
Figura 5.19
5.21. Obtener el circuito equivalente de Thevenin del circuito de la figura 5.20, entre los terminales a y b.
300i
a
i↓ 2i
10Ω
700Ω
b Figura 5.20
5.22. Obtener el valor de R que extraiga la máxima potencia del resto del circuito de la figura 5.21.
i1 →
12V
+ -
4Ω
2Ω
v1/5
5i1
Figura 5.21
112
+ v1 20Ω -
R
APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES
5.23
Obtener el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales a y b del circuito de la figura 5.22.
30i
2KΩ
5KΩ
10KΩ
a
i↓ 40V
+ -
20KΩ
50KΩ
40KΩ
b Figura 5.22
5.24. Demostrar por el teorema de compensación que al variar la resistencia R en el circuito de la figura 5.23, la intensidad I no sufre ninguna variación. R
R1 v1 +-
R2
I↓ R3
+ -
v2
Figura 5.23
5.25. Se comprueban mediante un puente cierto número de resistencias cuyo valor nominal es de 500Ω. Se admite una tolerancia del 5%. Con objeto de no perder tiempo en equilibrar el puente en cada medida se procede de la siguiente forma: Se toman unos valores para el puente de forma que quede equilibrado para el valor nominal de la resistencia a medir. Figura 5.24. Se observa si la corriente en el amperímetro rebasa los límites correspondientes a 525Ω y 475Ω. Calcular los valores límites de las intensidades.
113
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
10Ω
10Ω
495Ω
3V +-
ix Rx
500Ω
Figura 5.24
114
A