Problemas de programación lineal con dos variables. Un problema de programación lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal: F(X,Y) = ax + by
Llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. l conjunto intersección intersección de todos esos semiplanos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones soluciones factibles. l conjunto de los v!rtices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles b"sicas # el v!rtice donde se presenta la solución óptima se llama solución m"xima (o m$nima seg%n el caso). l valor &ue toma la función objetivo en el v!rtice de solución óptima se llama valor del programa lineal. l procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal en dos variables ser", pues: '. legir las incógnitas. . scribir la función objetivo en función de los datos del problema. . scribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. *. +verig erigua uarr el conj conjun unto to de solu soluci cione oness facti factibl bles es repre represen senta tando ndo gr"fic gr"ficam ament entee las las restricciones. . Calcular las coordenadas de los v!rtices del recinto de soluciones factibles (si son pocos). -. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los v!rtices para ver en cu"l de ellos presenta el valor m"ximo o m$nimo seg%n nos pida el problema (a# &ue tener en cuenta a&u$ la posible no existencia de solución si el recinto no es acotado)
PROBLEMAS DE PROGRAMACIO LIEAL '. Una compa/$a posee dos minas: la mina + produce cada d$a ' tonelada de ierro de alta calidad, toneladas de calidad media # de baja calidad. La mina 0 produce cada d$a toneladas de cada una de las tres calidades. La compa/$a necesita al menos 12 toneladas de mineral de alta calidad, '-2 toneladas de calidad media # 22 de baja calidad. 3abiendo &ue el coste diario de la operación es de 222 euros en cada mina 4cu"ntos d$as debe trabajar cada mina para &ue el coste sea m$nimo5
d!as
Al"a calidad
Calidad media
Ba#a calidad
Cos"e diario
Mina A
x
'x
x
x
222x
Mina B
#
#
#
#
222#
12
'-2
22
La función objetivo C(x, #)6222x 7 222# Las restricciones son las siguientes:
La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r ' x 7 #612, r x 7 #6 '-2 r x 7 #622 n el primer cuadrante # considerando la región no acotada &ue determina el sistema de restricciones:
La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r ' x 7 #612, r x 7 #6 '-2 # r x 7 #622 en el primer cuadrante # considerando la región no acotada &ue determina el sistema de restricciones:
Los v!rtices son los puntos +(2, '22), 0(2, 2), C(*2, 2), 8(12, 2), &ue se encuentran al resolver el sistema &ue determinan dos a dos las rectas auxiliares # (# &ue est!n dentro de la región factible).
r '
r
&ue nos da el punto (*2, 2) (comprobarlo)
r
r
&ue nos da el punto (2, 2)
r '
r no ace falta calcularlo pues &ueda fuera de la región factible.
n la gr"fica se aprecia &ue el primer punto &ue se alcanza al desplazar la recta C(x, #)62 es el (*2, 2). Luego la solución es trabajar *2 d$as en la mina + # 2 en la 0. (m!todo gr"fico).
$sando el m%"odo gr&'ico( Ma)imi*ar + , -/01 -2/3 S4#e"o a( 3/01 /3 5 036 78oras de prod4cción9 3/01 :/3 5 066 78oras de inspección ; empa<4e9 7/0= /3 > 69
M?@ODO SIMPLE/ l M%"odo Simple) es un m!todo anal$tico de solución de problemas de programación linela capaz de resolver modelos m"s complejos &ue los resueltos mediante el m!todo gr"fico sin restricción en el n%mero de variables. l M%"odo Simple) es un m!todo iterativo &ue permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matem"tica de esta mejora radica en &ue el m!todo consiste en caminar del v!rtice de un poliedro a un v!rtice vecino de manera &ue aumente o disminu#a (seg%n el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado &ue el n%mero de v!rtices &ue presenta un poliedro solución es finito siempre se allar" solución. ste famos$simo m!todo fue creado en el a/o de '9* por el estadounidense ;eorge 0ernard 8antzig # el ruso Leonid
U 3 U?+ @+ABD 8?A8+85 Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser n%meros reales o complejos, dispuestos en forma de filas # de columnas. La matriz id!ntica o identidad es una matriz cuadrada (&ue posee el mismo n%mero tanto de columnas como de filas) de orden n &ue tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (') # todos los dem"s componentes iguales a cero (2), se denomina matriz id!ntica o identidad de orden n, # se denota por:
La importancia de la teor$a de matrices en el @!todo 3implex es fundamental, dado &ue el algoritmo se basa en dica teor$a para la resolución de sus problemas.
OBSERACIOES IMPOR@A@ES AL $@ILI+AR M?@ODO SIMPLE/ ARIABLES DE OLG$RA E/CESO l @!todo 3implex trabaja bas"ndose en ecuaciones # las restricciones iniciales &ue se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello a# &ue convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de olgura # exceso relacionadas con el recurso al cual ace referencia la restricción # &ue en el tabulado final representa el E3lacF or surplusE al &ue acen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables ad&uieren un gran valor en el an"lisis de sensibilidad # juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del 3implex. stas variables suelen estar representadas por la letra E3E, se suman si la restricción es de signo EG6 E # se restan si la restricción es de signo EH6E. Ior ejemplo:
VARIABLE ARTIFICIAL / MÉTODO DE LA "M"
Una variable artificial es un truco matem"tico para convertir inecuaciones EH6E en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la caracter$stica principal de estas variables es &ue no deben formar parte de la solución, dado &ue no representan recursos. l objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad. stas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es @ (por esto se le denomina @!todo de la @ grande, donde @ significa un n%mero demasiado grande mu# poco atractivo para la función objetivo), # el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de @aximización su signo es menos (J) # en problemas de @inimización su signo es (7), repetimos con el objetivo de &ue su valor en la solución sea cero (2). MÉTODO SIMPLEX PASO A PASO EL PROBLEMA
La empresa el 3+@K? Ltda. 8edicada a la fabricación de muebles, a ampliado su producción en dos l$neas m"s. Ior lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas # bibliotecas. Cada mesa re&uiere de piezas rectangulares de 1 pines, # piezas cuadradas de * pines. Cada silla re&uiere de ' pieza rectangular de 1 pines # piezas cuadradas de * pines, cada cama re&uiere de ' pieza rectangular de 1 pines, ' cuadrada de * pines # bases trapezoidales de pines # finalmente cada biblioteca re&uiere de piezas rectangulares de 1 pines, bases trapezoidales de pines # * piezas rectangulares de pines. Cada mesa
cuesta producirla '2222 # se vende en 2222, cada silla cuesta producirla 1222 # se vende en 1222, cada cama cuesta producirla 2222 # se vende en *2222, cada biblioteca cuesta producirla *2222 # se vende en -2222. l objetivo de la f"brica es maximizar las utilidades.
Iroblema planteado por M!ctor +ngulo J ngeniero ndustrial PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL •
Las variables:
/0 , Cantidad de mesas a producir (unidades) /3 , Cantidad de sillas a producir (unidades) /: , Cantidad de camas a producir (unidades) / , Cantidad de bibliotecas a producir (unidades) •
Las restricciones:
/0 1 '/3 7 '/: 7 / G6 * /0 1 /3 7 '/: G6 2 /: 7 / G6 2 */ G6 '-
•
La función Nbjetivo:
+MA/ , 2222/0 1 2222/3 1 2222/: 7 2222/ PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES
n este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Molgura, dado &ue todas las restricciones son EG6E. /0 1 '/3 7 '/: 7 / 1 'S0 7 2S3 1 2S: 1 2S 6 * /0 1 /3 7 '/: 1 2/ 1 23' 7 'S3 1 2S: 1 2S 6 2 2/0 1 2/3 7 /: 1 / 1 2S0 7 2S3 1 'S: 1 2S , 2 2/0 1 2/3 7 2/: 1 */ 1 2S0 7 2S3 1 2S: 1 'S , '8e esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n 6 *), formado por las variables de olgura las cuales solo tienen coeficiente ' en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de olgura E3'E solo tiene coeficiente ' en la restricción correspondiente a el recurso '. La función objetivo no sufre variaciones:
+MA/ , 2222/0 1 2222/3 1 2222/: 7 2222/ PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
l @!todo 3implex parte de una solución b"sica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución b"sica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (2) en la matriz identidad. 'S0 6 * 'S3 6 2 'S: , 2 'S , 'PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL
Sol4ción: (segundo t!rmino)6 n esta fila se consigna el segundo t!rmino de la solución, es decir las variables, lo m"s adecuado es &ue estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones. C# 6 La fila ECjE ace referencia al coeficiente &ue tiene cada una de las variables de la fila EsoluciónE en la función objetivo. ariable Sol4ción 6 n esta columna se consigna la solución b"sica inicial, # a partir de esta en cada iteración se van inclu#endo las variables &ue formar"n parte de la solución final. Cb 6 n esta fila se consigna el valor &ue tiene la variable &ue se encuentra a su dereca E
3olución inicial:
PASO 5: REALIAR LAS ITERACIONES NECESARIAS
ste es el paso definitivo en la resolución por medio del @!todo 3implex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va de un v!rtice del poliedro objetivo a otro. l procedimiento a seguir es el siguiente: '. valuar &ue variable entrar" # cual saldr" de la solución óptima:
Ma)imi*ar ariable <4e en"ra
ariable <4e sale
La m"s positiva de los Cj J Dj 3iendo b los valores bajo la celda solución # a el valor correspondiente a la intersección entre b # la variable &ue entra. La menos positiva de los b/a.
Minimi*ar La m"s negativa de los Cj 3iendo b los valores bajo la solución # a el valor correspondiente a la interse entre b # la variable &ue ent m"s positiva de los b/a
. l eco de &ue una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado 3implex, cambios &ue se explicar"n a continuación. J Lo primero es no olvidar el valor del EaE correspondiente a la variables a entrar, en este caso el Ea 6 *E.
J Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
J 3e repite este procedimiento con las dos filas restantes, aora se ar"n los c"lculos correspondientes en el resto de las celdas.
8e esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetir" cuantas veces sea necesario # solo se dar" por terminado el m!todo seg%n los siguientes criterios.
Ma)imi*ar
Minimi*ar
Sol4ción p"ima Cuando todos los Cj J Dj sean G6 2 Cuando todos los Cj J Dj sean H6 2 J Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos &ue repetir los pasos anteriores.
n esta %ltima iteración podemos observar &ue se cumple con la consigna Cj J Dj G6 2, para ejercicios cu#a función objetivo sea E@aximizarE, por ende emos llegado a la respuesta óptima.
/0 , /3 , * /: , / , * Con una utilidad de: *2222 3in embargo una vez finalizado el @!todo 3implex se debe observar una matriz identidad en el rect"ngulo determinado por las variables de decisión, el eco de &ue en este caso no se muestre la matriz identidad significa &ue existe una solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en &ue cada una de las variables entro a la solución b"sica, recordemos &ue el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj J Dj del tabulado inicial. +&u$ les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.
Iodemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta # existe un menor consumo de recursos, dado &ue el eco de &ue se encuentre la variable E3'E en la solución óptima con un coeficiente de EE significa &ue se presenta una olgura de unidades del recurso (pieza rectangular de 1 pines).
/0 , 2 (Cantidad de mesas a producir 6 2) /3 , (Cantidad de sillas a producir 6 ) /: , - (Cantidad de camas a producir 6 -) / , * (Cantidad de bibliotecas a producir 6 *) S0 , (Cantidad de piezas rectangulares de 1 pines sin utilizar 6) Con una utilidad de: *2222 PROBLEMAS DE MINIMIACIÓN CON EL MÉTODO SIMPLEX
Iara resolver problemas de minimización mediante el algoritmo simplex existen dos procedimientos &ue se emplean con regularidad. J l primero, &ue a mi juicio es el m"s recomendable se basa en un artificio aplicable al algoritmo fundamentado en la lógica matem"tica &ue dicta &ue "para cualquier función f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizará también a f(x)". Ior lo tanto el procedimiento a aplicar es multiplicar por el factor negativo (J') a toda la función objetivo.
+ continuación se resuelve el algoritmo como un problema de maximización. l segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimización consiste en aplicar los criterios de decisión &ue emos esbozado con anterioridad, en los casos de la variable &ue entra, &ue sale # el caso en el &ue la solución óptima es encontrada. +&u$ recordamos los procedimientos seg%n el criterio dado el caso EminimizarE.
Minimi*ar ariable <4e en"ra ariable <4e sale Sol4ción p"ima
La m"s negativa de los (Cj J Dj) 3iendo FbF los valores bajo la celda solución # Fa correspondiente a la intersección entre FbF # la variable & positiva de los FbaF. Cuando todos los (Cj J Dj) sean H6 2.
