Grupo 305 A
DOCENTE
MATERIA Estadística y Probabilidad
Problemario
Fecha 04 de Junio 2016
UNIDAD 2 EJERCICIOS CAPITULO 2 2.1 Liste los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales: a) el conjunto de números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8; b) el conjunto S = {x| x2+ 4x – 5 = 0}; c) el conjunto de resultados cuando se lanza una moneda al aire hasta que aparecen una cruz o tres caras; d) el conjunto S = (x | x es un continente); e) el conjunto S = {x | 2x – 4 ≥ 0 y x < 1}. a) S = {8, 16, 24, 32, 40, 48} b) S = {–5, 1} c) S = {T, HT, HHT, HHH} d) S = {África, Antártida, Asia, Australia, Europa, Norteamérica, Sudamérica} e) S = ϕ 2.2 Utilice el método de la regla para describir el espacio muestral S, que consta de todos los puntos del primer cuadrante dentro de un círculo de radio 3 con centro en el origen. S = {(x, y) | x + y < 9; x ≥ 0, y ≥ 0} 2
2
2.3 ¿Cuáles de los siguientes eventos son iguales? a) A = {1, 3}; b) B = {x | x es un número de un dado}; c) C = {x | x2 – 4x + 3 = 0}; d) D = {x | x es el número de caras cuando se lanzan seis monedas al aire}. A=C
2.4 Un experimento implica lanzar un par de dados, uno verde y uno rojo, y registrar los números que resultan. Si x es igual al resultado en el dado verde y “y” es el resultado en el dado rojo, describa el espacio muestral S a) mediante la lista de los elementos (x, y); b) por medio del método de la regla.
(a) S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),(4, 1),(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1),(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. (b) S = {(x, y) | 1 = x, y = 6}. 2.5 Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vez si el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Use la notación 4H, por ejemplo, para denotar el resultado de que el dado muestre 4 y después la moneda caiga en cara, y 3HT para denotar el resultado de que el dado muestre 3, seguido por una cara y después una cruz en la moneda; construya un diagrama de árbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S. Si utilizamos un diagrama de árbol, obtenemos S = {1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 2H, 2T, 3HH, 3HT, 3TH, 3TT, 4H, 4T, 5HH, 5HT, 5TH, 5TT, 6H, 6T} 2.6 De un grupo de cuatro suplentes se seleccionan dos jurados para servir en un juicio por homicidio. Utilice la notación A1 A3, por ejemplo, para denotar el evento simple de que se seleccionen los suplentes 1 y 3, liste los 6 elementos del espacio muestral S. S = {A1 A2, A1A3, A1A4, A2A3, A2A4, A3A4}
2.7 De un grupo de estudiantes de química se seleccionan cuatro al azar y se clasifican como hombre o mujer. Liste los elementos del espacio muestral S1 usando la letra H para hombre y M para mujer. Defina un segundo espacio muestral S2 donde los elementos representen el número de mujeres seleccionadas. S1 = {HHHH, HHHM, HHMH, HMHH, MHHH, HHMM, HMHM, HMMH, MHMH, MMHH, MHHM, HMMM, MHMM, MMHM, MMMH, MMMM}; S2 = {0, 1, 2, 3, 4}
2.8 Para el espacio muestral del ejercicio 2.4, a) liste los elementos que corresponden al evento A de que la suma sea mayor que 8; b) liste los elementos que corresponden al evento B de que ocurra un 2 en cualquiera de los dos dados; c) liste los elementos que corresponden al evento C de que salga un número mayor que 4 en el dado verde; d) liste los elementos que corresponden al evento A n C; e) liste los elementos que corresponden al evento A n B; f) liste los elementos que corresponden al evento B n C; g) construya un diagrama de Venn para ilustrar las intersecciones y uniones de los eventos A, B y C. (a) A = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. (b) B = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1),(2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6)}. (c) C = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1),(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. (d) A n C = {(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. (e) A n B = f. (f) B n C = {(5, 2), (6, 2)}. (g) Diagrama de Venn
2.9 Para el espacio muestral del ejercicio 2.5, a) liste los elementos que corresponden al evento A en el que el dado salga un número menor que 3; b) liste los elementos que corresponden al evento B de que resulten 2 cruces; c) liste los elementos que corresponden al evento A´; d) liste los elementos que corresponden al evento A’ n B; e) liste los elementos que corresponden al evento A ∪ B. a) A = {1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 2H, 2T} b) B = {1TT, 3TT, 5TT} c) A = {3HH, 3HT, 3TH, 3TT, 4H, 4T, 5HH, 5HT, 5TH, 5TT, 6H, 6T} d) A n B = {3TT, 5TT} e) A ∪ B = {1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 2H, 2T, 3TT, 5TT}
2.10 Se contrata a una empresa de ingenieros para que determine si ciertas vías fluviales en Virginia, Estados Unidos, son seguras para la pesca. Se toman muestras de tres ríos. a) Liste los elementos de un espacio muestral S y utilice las letras P para “seguro para la pesca” y N para “inseguro para la pesca”. b) Liste los elementos de S que correspondan al evento E de que al menos dos de los ríos son seguros para la pesca. c) Defina un evento que tiene como elementos a los puntos {PPP, NPP, PPN, NPN} (a) S = {FFF, FFN, FNF, NFF, FNN, NFN, NNF, NNN}. (b) E = {FFF, FFN, FNF, NFF}. (c) El segundo río era más confiable para la pesca.
2.11 El currículum de dos aspirantes masculinos para el puesto de profesor de química en una facultad se coloca en el mismo archivo que el de dos aspirantes mujeres. Hay dos puestos disponibles y el primero, con el rango de profesor asistente, se cubre seleccionando al azar a uno de los cuatro aspirantes. El segundo puesto, con el rango de profesor titular, se cubre después mediante la selección aleatoria de uno de los tres aspirantes restantes. Utilice la notación H2M1, por ejemplo, para denotar el evento simple de que el primer puesto se cubra con el segundo aspirante hombre y el segundo puesto se cubra después con la primera aspirante mujer, a) liste los elementos de un espacio muestral S; b) liste los elementos de S que corresponden al evento A en que el puesto de profesor asistente se cubre con un aspirante hombre; c) liste los elementos de S que corresponden al evento B en que exactamente 1 de los 2 puestos se cubre con un aspirante hombre; d) liste los elementos de S que corresponden al evento C en que ningún puesto se cubre con un aspirante hombre; e) liste los elementos de S que corresponden al evento A n B; f) liste los elementos de S que corresponden al evento A ∪ C; g) construya un diagrama de Venn para ilustrar las intersecciones y las uniones de los eventos A, B y C. a) S = {H1H2, H1M1, H1M2, H2H1, H2M1, H2M2, M1H1, M1H2, M1M2, M2H1, M2H2, M2M1} b) A = {H1H2, H1M1, H1M2, H2H1, H2M1, H2M2} c) B = {H1M1, H1M2, H2M1, H2M2, M1H1, M1H2, M2H1, M2H2} d) C = {M1M2, M2M1} e) A n B = {H1M1, H1M2, H2M1, H2M2} f) A ∪ B = {H1H2, H1M1, H1M2, H2H1, H2M1, H2M2, M1M2, M2M1}
2.12 Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos del medicamento para bajar la presión sanguínea. Se utilizarán tres grupos de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. Los integrantes del grupo uno son sedentarios, los del dos caminan y los del tres nadan una hora al día. La mitad de cada uno de los tres grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo adicional de individuos no hará ejercicio ni restringirá su consumo de sal, pero tomará el medicamento estándar. Use Z para sedentario, C para caminante, S para nadador, Y para sal, N para sin sal, M para medicamento y F para sin medicamento. a) Muestre todos los elementos del espacio muestral S. b) Dado que A es el conjunto de individuos sin medicamento y B es el conjunto de caminantes, liste los elementos de A ∪ B. c) Liste los elementos de A n B.
(a) S = {ZY F, ZNF, WY F, WNF, SY F, SNF, ZY M}. (b) A ∪ B = {ZY F, ZNF, WY F, WNF, SY F, SNF}= A. (c) A n B = {WY F, SY F}.
2.13 Construya un diagrama de Venn para ilustrar las posibles intersecciones y uniones en los siguientes eventos relativos al espacio muestral que consta de todos los automóviles fabricados en Estados Unidos. C: cuatro puertas, T: techo corredizo, D: dirección hidráulica
2.14 Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: a) A ∪ C; b) A n B; c) C’; d) (C n D) ∪ B; e) (S n C)’ f) A n C n D_.
(a) A ∪ C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. (b) A n B =ø. (c) C’’= {0, 1, 6, 7, 8, 9}. (d) C’’ n D = {1, 6, 7}, así como (C n D) ∪ B = {1, 3, 5, 6, 7, 9}. (e) (S n C)’ = C’ = {0, 1, 6, 7, 8, 9}. (f) A n C = {2, 4}, así como A n C n D = {2, 4}
2.15 Considere el espacio muestral S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno, zinc} y los eventos A = {cobre, sodio, zinc}, B = {sodio, nitrógeno, potasio} C = {oxígeno}. Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: a) A; b) A ∪ C; c) (A n B) ∪ C; d) B n C; e) A n B n C; f) (A ∪ B) n (A n C). a) {nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno} b) {cobre, sodio, zinc, oxígeno} c) {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, zinc} d) {cobre uranio, zinc} e) ϕ f) {oxígeno}
2.16 Si S = {x | 0 < x < 12}, M = {x | 1 < x < 9} y N = {x | 0 < x < 5}, encuentre a) M ∪ N; b) M n N; c) M n N.
(a) M ∪ N = {x | 0 < x < 9}. (b) M n N = {x | 1 < x < 5}. (c) M n N ={x | 9 < x < 12}. 2.17 Sean A, B y C eventos relativos al espacio muestral S. Utilice diagramas de Venn para sombrear las áreas que representan los siguientes eventos: a) (A n B); b) (A ∪ B); c) (A n C) ∪ B.
a) Por encima del diagrama de Veen (A n B)’ contiene a las regiones de 1, 2 y 4 b) (A ∪ B) contiene a la región 1. c) El diagrama de Venn se muestra a continuación
(A n C) ∪ B contiene a las regiones de 3, 4, 5 ,7 y 8
2.18 ¿Cuál de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes?
a) Un golfista que se clasifica en último lugar en la vuelta del hoyo 18, en un torneo de 72 hoyos, y pierde el torneo. b) Un jugador de póquer que tiene fl or (todas las cartas del mismo palo) y 3 del mismo palo en la misma mano de 5 cartas. c) Una madre que da a luz a una niña y a un par de gemelas el mismo día. d) Un jugador de ajedrez que pierde el último juego y gana el torneo. (A) no se excluyen mutuamente. (B) Se excluye mutuamente. (C) no se excluyen mutuamente (D) Se excluye mutuamente.
2.19 Suponga que una familia sale de vacaciones de verano en su casa rodante y que M es el evento de que sufrirán fallas mecánicas, T es el evento de que recibirán una infracción por cometer una falta de tránsito y V es el evento de que llegarán a un lugar para acampar que esté lleno. Remítase al diagrama de Venn de la figura 2.5 y exprese con palabras los eventos representados por las siguientes regiones: a) región 5; b) región 3; c) regiones 1 y 2 juntas; d) regiones 4 y 7 juntas; e) regiones 3, 6, 7 y 8 juntas.
a) La familia experimentará fallas mecánicas, pero no recibirá una infracción por cometer una falta de tránsito, y no llegará a un lugar para acampar que esté lleno. b) La familia recibirá una infracción por cometer una falta de tránsito y llegará a un lugar para acampar que esté lleno, pero no experimentará fallas mecánicas. c) La familia experimentará fallas mecánicas y llegará a un lugar para acampar que esté lleno. d) La familia recibirá una infracción por cometer una falta de tránsito, pero no llegará a un lugar para acampar que esté lleno. e) La familia no experimentará fallas mecánicas.
2.20 Remítase al ejercicio 2.19 y al diagrama de Venn de la fi gura 2.5, liste los números de las regiones que representan los siguientes eventos: a) La familia no experimentará fallas mecánicas y no será multada por cometer una infracción de tránsito, pero llegará a un lugar para acampar que está lleno. b) La familia experimentará tanto fallas mecánicas como problemas para localizar un lugar disponible para acampar, pero no será multada por cometer una infracción de tránsito. c) La familia experimentará fallas mecánicas o encontrará un lugar para acampar lleno, pero no será multada por cometer una infracción de tránsito. d) La familia no llegará a un lugar para acampar lleno. (a) 6; (b) 2; (c) 2, 5, 6; (d) 4, 5, 6, 8. 2.21 A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos, cada uno de tres días, a sitios de interés. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una persona para que vaya a uno de los recorridos planeados por la convención? R= 18
con n1
Con n1 = 6 visitas turísticas disponibles en cada día sobre n = 3 diferentes días, la multiplicación nos da la regla n1 n2 = (6) (3) = 18 maneras para que una persona para organizar una visita .
2.22 En un estudio médico los pacientes se clasifican en 8 formas de acuerdo con su tipo sanguíneo: AB+, AB–, A+, A–, B+, B–, O+ u O–; y también de acuerdo con su presión sanguínea: baja, normal o alta. Encuentre el número de formas en las que se puede clasificar a un paciente. Con n1 = 8 tipos de sangre y n = 3 clasificaciones de la presión arterial, la multiplicación Nos da la regla n1n2 = (8) (3) = 24 clasificaciones.
2.23 Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral? Dado que la matriz puede aterrizar en n1 = 6 maneras y una carta puede ser seleccionada en n = 26 maneras, la regla de la multiplicación da n1n = (6) (26) = 156 Puntos en S
2.24 Los estudiantes de humanidades de una universidad privada se clasifican como estudiantes de primer año, de segundo año, de penúltimo año o de último año, y también de acuerdo con su género (hombres o mujeres). Calcule el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de esa universidad.
Puesto que un estudiante puede clasificarse de acuerdo con n1 = 4 clasificación de grado y = n2 clasificación de género, la regla de multiplicación da n1 n2 = (4) (2) = 8 posibles las clasificaciones para los estudiantes. 2.25 Cierta marca de calzado existe en 5 diferentes estilos y cada estilo está disponible en 4 colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatos que incluya todos los diversos estilos y colores, ¿Cuántos pares diferentes tendría que mostrar? Con n1 = 5 estilos diferentes de zapatos, en n2 = 4 diferentes colores, la regla de multiplicación da n1n2 = (5) (4) = 20 pares de zapatos diferentes.
2.26 Un estudio en California concluyó que siguiendo siete sencillas reglas para la salud un hombre y una mujer pueden prolongar su vida 11 y 7 años en promedio, respectivamente. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer ejercicio de manera habitual, moderar su consumo de alcohol, dormir siete u ocho horas, mantener el peso adecuado, desayunar y no ingerir alimentos entre comidas. De cuántas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas: a) ¿Si la persona actualmente infringe las siete reglas? b) ¿Si la persona nunca bebe y siempre desayuna? Usando el teorema 2.8 obtenemos lo siguiente: 7 (a) Hay 5 =21 maneras
()
(b) Hay
( 53 )=10
maneras
2.27 Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de una casa elegir entre 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje o cobertizo, y un patio o un porche cubierto. ¿De cuántos planos diferentes dispone el comprador? Utilizando la regla de multiplicación generalizada, hay n1x n2x n3× n4= (4) (3) (2) (2) = 48 diferentes planos de casa disponibles. 2.28 Un medicamento para aliviar el asma se puede adquirir en 5 diferentes laboratorios y en forma de líquido, comprimidos o cápsulas, todas en concentración normal o alta. ¿De cuántas formas diferentes puede un médico recetar la medicina a un paciente que sufre de asma? Con n1 = 5 diferentes laboratorios, n=2 = 3 diferentes presentaciones (preparación), y n3 = 2 Diferentes concentraciones, la regla de la multiplicación generalizada produce n1n2n3 = (5) (3) (2) = 30 diferentes maneras para prescribir un medicamento para el asma.
2.29 En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carreras se prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 2 pilotos y las pruebas se realizan una vez en cada uno de los distintos grupos de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesita realizar? Con n1 = 3 autos de carreras, n2 = 5 marcas de gasolina, n3 = 7 sitios de prueba, y n = 2 conductores, la regla de multiplicación generalizadas produce (3) (5) (7) (2) = 210 ejecuciones de prueba 2.30 ¿De cuántas formas distintas se puede responder una prueba de falso-verdadero que consta de 9 preguntas? Con n1= 2 opciones para la primera pregunta, n2=2 opciones para la segunda pregunta y así sucesivamente, la regla de multiplicación generalizada produce n1n2….n9= 2 9= 512 maneras de responder a la prueba
2.31 Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula del culpable, que huyó, contenía las letras RLH seguidas por 3 dígitos, de los cuales el primero era un 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está seguro de que los 3 eran distintos, calcule la cantidad máxima de registros de automóviles que la policía tendría que revisar. Desde el primer dígito es un 5, hay n = 9 posibilidades para el segundo dígito y luego n2 = 8 posibilidades para el tercer dígito. Por lo tanto, por la regla de la multiplicación existen n1n2 = (9) (8) = 72 registros de comprobación.
2.32 a) ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personas para abordar un autobús? b) ¿Cuántas maneras son posibles si, de las 6, 3 personas específicas insisten en formarse una después de la otra? c) ¿De cuántas maneras se pueden formar si, de las 6, 2 personas específicas se rehúsan a formarse una detrás de la otra? (A) Por el teorema 2.3, hay 6! = 720 maneras. (B) A ciertas 3 personas pueden seguir uno al otro, en una línea de 6 personas en un orden específico es de 4 maneras o en (4) (3!) = 24 maneras con respecto a la orden. Las otras 3 personas pueden entonces ser colocado en la línea de 3! = 6 maneras. Por el Teorema 2.1, no son totales (24) (6) = 144 maneras de fila 6 personas con una cierta 3 siguiente entre sí. (C) Al igual que en (b), el número de maneras en que una especificada 2 personas pueden seguir cada otra en una línea de 6 personas es (5) (2!) (4!) = 240 maneras. Por lo tanto, hay 720- 240 = 480 maneras si ciertamente 2 personas se niegan a seguir el uno al otro.
UNIDAD 3 3.1 Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X: el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia. Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente. N: el número de huevos que una gallina pone mensualmente. P: el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad emiten cada mes. Q: el peso del grano producido por acre.
X= discreta Y= continua M=continua N= discreta P= discreta Q= continua
3.3 Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
3.5 Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X: a) f (x ) = c (x2+ 4), para x = 0, 1, 2, 3; b) f (x ) = c
3 ( 2x )( 3−x )
para x=0, 1,2
3.7 El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas; b) entre 50 y 100 horas.
3.9 La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
a) Demuestre que P(0 < X < 1) = 1. b) Calcule la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.
3.11 Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad.
Podemos seleccionar x conjuntos defectuosos de 2 y 3 - x conjuntos buenos de 5 en maneras. Una selección aleatoria de 3 de 7 conjuntos se puede hacer en tanto 2 5 ( x )( 3−x ) f ( x )= , x=0,1,2 7 (3 ) En forma de tabla
( 73 )
5 ( 2x )( 3−x )
maneras. Por lo
3.13 La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por Construya la función de distribución acumulativa de X.
La función de distribución demostrativa para X es:
3.15 Calcule la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X que represente el número de unidades defectuosas en el ejercicio 3.11. Luego, utilice F(x) para calcular a) P(X=1) b) P= (0
3.17 Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x=1 y x=3, tiene una función de densidad dada por f(x)=1/2. a) Muestre que el área bajo la curva es igual a 1. b) Calcule P 2 < X < 2.5). c) Calcule P(X = 1.6).
3.19 Para la función de densidad del ejercicio 3.17 calcule F(x). Utilícela para evaluar P (2 < X < 2.5).
3.22 Se sacan tres cartas de una baraja de manera sucesiva y sin reemplazo. Calcule la distribución de probabilidad para la cantidad de espadas. Denotemos por X el número de espadas en el empate de tres. Sea S y N se queda por una espada y no por su espada, respectivamente. Entonces P(X = 0) = P (NNN) = (39/52) (38/51)(37/50) = 703/1700, P(X = 1) = P (SNN)+ P (NSN)+ P (NNS) = 3(13/52)(39/51)(38/50) = 741/1700P(X = 3) = P(SSS) = (13/52)(12/51)(11/50) = 11/850, and P(X = 2) = 1 - 703/1700 - 741/1700 - 11/850 = 117/850. La función de probabilidad para X es entonces
3.24 Calcule la distribución de probabilidad para el número de discos compactos de jazz cuando, de una colección que consta de 5 de jazz, 2 de música clásica y 3 de rock, se seleccionan 4 CD al azar. Exprese sus resultados utilizando una fórmula. Existen
( 104 )
maneras de seleccionar los 4 CDs de 10. Podemos seleccionar x CD jazz de 5
y 4 - x de los CD restantes en 3,4
5 ( 5x )( 4−x )
maneras. Por lo tanto
5 5 ( )( x 4−x ) f ( x )= ( 104 )
,
X= 0,1, 2,
3.26 De una caja que contiene 4 bolas negras y 2 verdes se sacan 3 bolas sucesivamente, cada bola se regresa a la caja antes de sacar la siguiente. Calcule la distribución de probabilidad para el número de bolas verdes. Denotemos por X el número de bolas verdes en el de tres empates. Sea G y B representan la colores de verde y negro, respectivamente.
3.31 Con base en pruebas extensas, el fabricante de una lavadora determinó que el tiempo Y (en años) para que el electrodoméstico requiera una reparación mayor se obtiene mediante la siguiente función de densidad de probabilidad: f (y) =14e - y/4 , y = 0, 0, en cualquier otro caso. a) Los críticos considerarían que la lavadora es una ganga si no hay probabilidades de que requiera una reparación mayor antes del sexto año. Comente sobre esto determinando P (Y >6). b) ¿Cuál es la probabilidad de que la lavadora requiera una reparación mayor durante el primer año? El uso integral por partes y el establecimiento
3.33 Suponga que cierto tipo de pequeñas empresas de procesamiento de datos están tan especializadas que algunas tienen dificultades para obtener utilidades durante su primer año de operación. La función de densidad de probabilidad que caracteriza la proporción Y Que obtiene utilidades está dada por f (y)= ky 4(1 - y)3 ,0 y = 1, 0, en otro caso. a) ¿Cuál es el valor de k que hace de la anterior una función de densidad válida? b) Calcule la probabilidad de que al menos 50% de las empresas tenga utilidades durante el primer año. c) Calcule la probabilidad de que al menos 80% de las empresas tenga utilidades durante el primer año.
3.35 Suponga que a partir de gran cantidad de datos históricos se sabe que X, el número de automóviles que llegan a una intersección específica durante un periodo de 20 segundos, se determina mediante la siguiente función de probabilidad discreta
a) Calcule la probabilidad de que en un periodo específico de 20 segundos más de 8 automóviles lleguen a la intersección.
b) Calcule la probabilidad de que sólo lleguen 2 automóviles.
3.39 De un saco de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 plátanos se selecciona una muestra aleatoria de 4 frutas. Si X es el número de naranjas y Y el de manzanas en la muestra, calcule a) la distribución de probabilidad conjunta de X y Y; b) P [(X, Y) ∈ A], donde A es la región dada por {(x, y) | x + y = 2}. 3 ( 3x )( 2y )( 4−x− y) 8 maneras. Una selección aleatoria de 4 piezas de fruta puede ser elaborada en ( 4 ) maneras. Por Podemos seleccionar x naranjas de 3 y manzanas de 2, y 4-x-y plátanos in
lo tanto: 3 2 3 ( )( )( x y 4−x− y ) f ( x , y )= , X =0,1,2,3 ; y=0,1,2 ; 1≤ χ + y ≤ 4 8 (4)
3.40 Un restaurante de comida rápida opera tanto en un local que da servicio en el automóvil, como en un local que atiende a los clientes que llegan caminando. En un día elegido al azar, represente las proporciones de tiempo que el primero y el segundo local están en servicio con X y Y, respectivamente, y suponga que la función de densidad conjunta de estas variables aleatorias es
a) Calcule la densidad marginal de X. b) Calcule la densidad marginal de Y.
c) Calcule la probabilidad de que el local que da servicio a los clientes que llegan en automóvil esté lleno menos de la mitad del tiempo.
3.41 Una empresa dulcera distribuye cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos y envinados. Suponga que cada caja pesa 1 kilogramo, pero que los pesos individuales de cremas, chiclosos y envinados varían de una a otra cajas. Para una caja seleccionada al azar, represente los pesos de las cremas y los chiclosos con X y Y, respectivamente, y suponga que la función de densidad conjunta de estas variables es
a) Calcule la probabilidad de que en una caja dada los envinados representen más de la mitad del peso. b) Calcule la densidad marginal para el peso de las cremas. c) Calcule la probabilidad de que el peso de los chiclosos en una caja sea menor que 1/8 de kilogramo, si se sabe que las cremas constituyen ¾ partes del peso.
3.45 Sea X el diámetro de un cable eléctrico blindado y Y el diámetro del molde cerámico que hace el cable. Tanto X como Y tienen una escala tal que están entre 0 y 1. Suponga que X y Y tienen la siguiente densidad conjunta:
Calcule P(X + Y > 1/2).
