problemas de Cuantica1

1. Demostrar que el operador Solución: El operador





momento angular orbital es hermitiano.

será hermitiano siempre y cuando cumpla la condi ción de que cada uno de sus

componentes sea hermitiano.

                                                                                                      Representando cada componente del operador

en su f orma orma matricial tenemos que:

Para este tipo de representación la condición de hermeticidad se cumple cuando:

Apli cando esta condición a cada componente de

tenemos:

y

y

y

De todo lo anterior podemos notar que cada componente cumple con la condición (1).

Si

son hermitianos

es hermitiano.

pág. 1

2. Demostrar que: Solución:

  

  

                                                                                                                                                                                                                                             Entonces:

Tomando

Despejando:

                        

tenemos:

de la ecuación de schrödinger:

er

do

Apli cando la segunda identidad de Green al 1 término del 2 miembro tenemos:

pág. 2

La integral de volumen se trans f orma orma en integral de superf icie y se anula ya que se tiene

                                                                                                               

extensión inf inita inita y en esta región tanto

como

se anulan.

                                                                                                                                           

Análogamente para los componentes Z e Y:

inición de momento angular: Por la analogía clási ca con la def ini

pág. 3

                                                                                                                                                                                                           3. Demostrar que el operador

viene dado por la siguiente expresión:

Solución:

Hacemos uso de la representación de

en coordenadas esf éri éricas

.

y

y

y

Teniendo en cuenta que

Sumando (1),(2)y(3) tenemos:

Donde :

 

:

pág. 4

  

   

4. Hallar la representa ción matri cial de los operadores momento .

Solución:

En teoría se sabe que los elementos de matriz de los operadores como:

     

y

Para

:

y

Para

:

y

Para

:

y

Y que para:

   

cuando

están def inidos inidos

                                          

Además se debe verif icar la siguiente condición:

Donde J puede tomar tanto valores enteros como semienteros. De lo anterior para nuestro caso tenemos que:

                                                                                               

Calculando la matriz de y

Usando

:

(1) tenemos:

Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal inal nos resulta:

              pág. 5

                                                                  

Calculando la matriz de y

Usando

:

(2) tenemos:

Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal inal nos resulta:

                                                                                                                                            

Calculando la matriz de y

Usando

:

(3) tenemos:

Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal inal nos resulta:

               pág. 6

                                                                                                                 

Calculando la matriz de y

Usando

:

(3) tenemos:

Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal inal nos resulta:

Además sabemos que

                                  y

están dados por:

                                                                                                      

Luego

serán:

pág. 7

5.

Una

cula esta en el estado  macropartí cu

     calcular

para este estado y

demostrar que satisf ace el principio de incertidumbre Desarrollo:



.

De la relación de incertidumbre de Heisemberg:

                                                                                                



Reemplazando lo pedido será de la siguiente manera:



Donde:



se obtiene:

























 

Finalmente:





pág. 8

6. Calcular el valor esperado de la energía cinética y la energía potencial del átomo de hidrogeno en su estado fundamental. Solución:



Consideremos en primer lugar la dependen cia de r en términos de la densidad radial de probabilidad 

dada por:

                           



La integral sobre

 









es igual a la unidad ya que cada una de las funciones

     



están

normalizadas por separado. Donde (también son ortogonales por separado), entonces tenemos

que:



      



Halando el valor esperado de la energía potencial del átomo de hidrogeno en su estado fundamental:

                                               



Teniendo en cuenta la expresión (1) y además:





Nos damos cuenta que:

                                  



Como



se puede representar de la f orma orma



entonces:



pág. 9

Reemplazando (3) en (2):

                                                                                                                              

Se puede observar que el valor esperado de la energía poten cial, no depende de

o

, del

problema se tiene que

Reemplazando estos valores en (4) tenemos:

Como el valor esperado de la energía cinética:





Teniendo en cuenta la expresión (1) y además:





Nos damos cuenta que:

Como

se puede representar de la f orma orma

  entonces:

El valor esperado de la energía cinética del átomo de hidrogeno en su estado fundamental

pág. 10

           

7. Calcular la probabilidad de encontrar un electrón hidrogeno dentro de una esf era era de radio Solución:

del átomo de

La función radial para el nivel 1s del átomo de hidrogeno es:

Donde



        

es el radio de Bohr.

La probabilidad de encontrar el electrón será:

                       

Integrando por partes se obtiene el resultado:





era imaginaria de radio Esto quiere decir que el 29.4% del tiempo está dentro de una esf era

En una gran cantidad de átomos de hidrogeno que f ormen ormen parte de una colectividad (ensamblé);



al electrón en el estado 1s lo podemos encontrar dentro de una esf era era imaginaria de radio igual a en en el 29.4% de los átomos y en el 70.6% de los átomos están fuera de la esf era era imaginaria.

8. Calcular el valor más probable de la distancia r para el electrón 1s del ion  resultado obtenido con el átomo de hidrogeno.

Solución: De

 y

podemos decir que la función de onda



Comparar

     

.

Apli cando la teoría de máximos y mínimos tomando la derivada con respecto a la variable independiente r e igualando a cero.

                                   

De la teoría def inida inida

pág. 11

Reemplazando (2), (3) en (1) tenemos:

                                                              

        Como:

Para el hidrogeno



Para el helio



Como



Evidentemente para el caso del hidrogeno es el mayor, la distancia r es inversamente a la carga nuclear (Z).

    9. Para el electrón 1s del átomo de hidrogeno calcular: Solución:

   

   

                                                                                 

a) Sabemos que :





Evidentemente el radio no puede ser negativo (-):

Como:

Entonces:





pág. 12

Luego de (1), (2) y (3) tenemos:

                                                                   

Recordar la integral gamma:





Para nuestro caso tenemos que



evidentemente no es un número cuántico principal:

Podemos observar qu e la distancia promedio a la cual se encuentra situado el electrón del núcleo probable

para dicho estado.

b) Primero hallamos el valor esperado de :

                                                                       



Puesto que :

De la integra semejante a la función gamma tenemos:





pág. 13

                                                                                                         

Para nuestro caso tenemos que

evidentemente no es un número cuántico principal:

Ahora calcularemos:

Se puede af irmar irmar que: c)



Calculando el valor esperado para :





Como tenemos:

De la integra semejante a la función gamma tenemos:





Para nuestro caso tenemos que

evidentemente es un número cuánti co principal:

El valor esperado de:

pág. 14

       



10. Considerando que un electrón en él a tomo de hidrogeno en su estado fundamental tiene una indeterminación de posición

y una indeterminación de moment um

demostrar que el mínimo de esa energía corresponde al radio y al a energía de Bohr.

Solución:



,



El principio de incertidumbre de heisemberg

                 Sea

Entonces:

sea

Reemplazando en (1) tenemos :

                                                                                                              

Calculando el estado fundamental de p e igualando a cero:

Como:





reemplazando estos valores

tendremos que :

Muy proximo

radio de Bohr hemos hallado p y conocemos

podemos halla la energia total

Muy proximo a







donde E1 es la suma de la energia cinetica y la

energia potencial E=T+V en su estado fundamental.

pág. 15

                                                                                                                                           

11. Demostrar los sigientes propiedades de los conmutadores: y

y

y

Solucion: y

y

y

12. Calcular los eigen valores y eigenvectores de los operadores cuyas matri ces se dan:



Solucion:



El sistema de ecuaciones para  será:

                                                  



Es decir:







Del sistema de ecuaciones podemos determinar los eigenvalores de  :

Luego reenplazando en (1) y (2) tenemos: y

Para



:

                      pág. 16

Entonce

  

                                                                                                                                                   ademas la condicion de normalizacion

El eigen vector para 

y

Para

Entonce

será: será:









:

ademas la condicion de normalizacion 

El eigen vector para 

será: será:









Para el caso de la matriz

ija la eigen-ecuacion del halmiltoniano de La ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo ,f ija la siguiente manera:

Puesto que estamos considerando que se trata de un sistema de dos estados, podemos representar la función de onda como:

De (2) La eigen-ecua cion matricial se puede escribir del modo siguiente:

Luego reemplazando (1), (2), (3) en (4) tendremos:

Donde tendremos un sistema de ecua ciones:

pág. 17

Juntando en la eigen -ecua cion lo que tenemos arriba, se llega entonces al siguiente determinante:

                                                                                                                                                       

Entonces:

y

Donde

Para

y reemplazando en (5) tendremos:

Entonces 

ademas la condicion de normalizacion para un vector un vector unitario





De (8) tenemos que el eigen vector para









Es :



pág. 18

y

Para

Donde

Entonces 

      

y reemplazando en (5) tendremos:

                                                                                                           

ademas la condicion de normalizacion para un vector un vector unitario





De (10) tenemos que el eigen vector para









Es :



pág. 19