PROBLEMAS B-3 B-3-1. Obtenga el coeficiente de fricción viscosa
equivalente b eq del sistema de la Figura 3 -30
B-3-2. Obtenga modelos matemáticos de los sistemas mecánicos de las Figuras 3-31(a) y (b).
B-3-3. Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema mecánico de la Figura 3-32, donde u1 y u2 son entradas e y1 e y2 son salidas.
Figura 3-32. Sistema mecánico
B-3-4. Considere el sistema del péndulo accionado por resorte de la Figura 3-33. Suponga que la fuerza del resorte que actúa sobre el péndulo es cero cuando el péndulo está vertical, o bien h = 0. Suponga también que la fricción involucrada es insignificante y que el ángulo de oscilación h es pequeño. Obtenga un modelo matemático del sistema.
B-3-5. Remitiéndose a los Ejemplos 3-5 y 3-6, considere el sistema del péndulo invertido de la Figura 3-34. Suponga que la masa del péndulo invertido es m y que está distribuida equitativamente a lo largo de la longitud de la barra. (El centro de gravedad del péndulo se ubica en el centro de la barra.) Suponiendo que h es pequeño, obtenga modelos matemáticos para el sistema en forma de ecuaciones diferenciales, funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estado.
Figura 3-34. Sistema de péndulo invertido.
B-3-6. Obtenga la función de transferencia X 1( s)/ U( s) y X 2( s)/ U( s) del sistema mecánico que se muestra en la Figura 3-35.
Figura 3-35. Sistema mecánico
B-3-7. Obtenga la función de transferencia E o( s)/ E i( s) del circuito eléctrico que se muestra en la Figura 3-36.
Figura 3-36. Circuito eléctrico.
B-3-8. Considere el circuito eléctrico que se muestra en la Figura 3-37. Obtenga la función de transferencia E o( s)/ E i( s) utilizando la aproximación de diagramas de bloques.
Figura 3-37. Circuito eléctrico.
B-3-9. Obtenga la función de transferencia del sistema eléctrico de la Figura 3-38. Dibuje un diagrama esquemático de un sistema mecánico análogo.
Figura 3-38. Circuito eléctrico.
B-3-11. Obtenga la función de transferencia E o( s)/ E i( s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-40.
Figura 3-40. Cicuito con amplificador operacional.
B-3-12. Utilizando la aproximación de impedancias, obtenga la función de transferencia E o( s)/ E i( s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-41
B-3-13. Considere el sistema que se muestra en la Figura 3-42. Un servomotor cc controlado por inducido mueve una carga con un momento de inercia J L. El par desarrollado por el motor es T . El momento de inercia del rotor del motor es J m. Los desplazamientos angulares del rotor del motor y del elemento de carga son °m y °, respectivamente. La razón de engranaje es n = °/°m. Ob-tenga la función de transferencia C ( s)/ E i( s).
PROBLEMAS B-4 B-4-1. Considere el sistema del tanque de agua cónico d e la Figura 4-42; el flujo a través de la válvula es turbulento y se relaciona con la altura H mediante 3
donde Q es el caudal medido en m /seg y H está en metros. Suponga que la altura es 2 m en t = 0. ¿Cuál será la altura en t = 60 seg?
B-4-2. Considere el sistema de control de nivel de líquido de la Figura 4-43. El controlador es de tipo pro porcional. El punto de funcionamiento del controlador está fijo. Dibuje un diagrama de bloques del sistema suponiendo que los cambios en las variables son pequeños. Obtenga la función de transferencia entre el nivel del segundo tanque y la entrada de perturbación qd . Obtenga el error en estado estacionario cuando la perturbación qd es un escalón unidad.
B-4-3. Para el sistema neumático de la Figura 4-44, suponga que los valores de la presión del aire y el desplazamiento de los amortiguadores en estado estacionario son P 1 y X 1, respectivamente. Suponga también que la presión de entrada cambia de P 1 a P 1 + p , donde p es un pequeño cambio en la presión de entrada. Este cambio provocará que el desplazamiento de los amortiguadores varíe una pequeña cantidad x. Suponiendo que la capaci-tancia de los amortiguadores es C y que la resistencia de la válvula es R, obtenga la función de transferencia que relaciona x y p . •
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B-4-4. La Figura 4-45 muestra un controlador neumático. El relevador neumático tiene la característica de que
pc = Kpb, donde K > 0. ¿Qué tipo de acción de control produce este controlador? Calcule la función de E ( s). transferencia P c( s)/
B-4-5. Considere el controlador neumático de la Figura 4-46. Suponiendo que el relevador neumático tiene
las características de que pc = Kpb (donde K > 0), determine la acción de control de este controlador. La entrada al controlador es e y la salida pc.
PROBLEMAS B-5 B-5-1. Un termómetro requiere de un minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden, encuentre la constante de tiempo. Si el termómetro se coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a una velocidad de o 10 /min, ¿qué error muestra el termómetro?
B-5-2. Considere la respuesta escalón unitario de un sistema de co ntrol realimentado unitariamente cuya fun ción de transferencia en lazo abierto es
Obtenga el tiempo de subida, el tiempo p ico, la sobre-elongación máxima y el tiempo d e asentamiento
B-5-3. Considere el sistema en lazo cerrado dado por Determine los valores de 1 y con para que el sistema responda a una entrada escalón con una sobreelongación de aproximadamente el 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 seg. (Utilice el criterio del 2%.)
B-5-4. Considere el sistema de la Figura 5-72. Inicialmente el sistema está en reposo. Suponga que el carro se pone en movimiento mediante una fuerza de impulso unitario. ¿Puede detenerse mediante otra fuerza de impulso equivalente?
Figura 5-72. Sistema mecánico.
B-5-5. Obtenga la respuesta impulso unitario y la respuesta escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente cuya función de transferencia en lazo abierto sea
B-5-6. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la siguiente función de transferencia: Suponga que existe un registro de una oscilación amortiguada, tal como aparece en la Figura 5-73. Determine el factor de amortiguamiento relativo ' del sistema a partir de la gráfica.
Figura 5-73. Oscilación amortiguada.
B-5-7. Considere el sistema de la Figura 5-74(a). El factor de amortiguamiento relativo de este sistema es 0.158 y la frecuencia natural no amortiguada es de 3.16 rad/seg. Para mejorar la estabilidad relativa, se emplea una reali-mentación tacométrica. La Figura 5-74(b) muestra tal sistema de realimentación tacométrica. Determine el valor de K b para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibuje curvas de respuesta escalón unitario tanto del sistema original como del sistema de realimentación tacométrica. Tam bién dibuje las curvas de error frente al tiempo para la respuesta rampa unitaria de ambos sistemas
Figura 5-74. (a) Sistema de control; (b) sistema de control con realimentación tacométrica.
B-5-8. Remitiéndose al sistema de la Figura 5-75, determine los valores de K y k tales que el sistema tenga un factor de amortiguamiento ' de 0.7 y una frecuencia natural no amortiguada u n de 4 rad/seg
Figura 5-75. Sistema en lazo de control
B-5-9. Considere el sistema de la Figura 5-76. Determine el valor de k de modo que el factor de amortiguamiento ' sea 0.5. Después obtenga el tiempo de subida t r, el tiempo pico t p, la sobreelongación máxima M p y el tiempo de asentamiento t s en la respuesta escalón unitario.
Figura 5-76. Diagrama de bloques de un sistema.
B-5-19. Considere la ecuación diferencial de un sistema dada por ,
,
y¨ + 3 y + 2 y = 0, y(0) = 0.1, y (0) = 0.05 Obtenga la respuesta y(t ), sujeta a la condición inicial dada.
B-5-20. Determine el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es
B-5-21. Considere la ecuación característica siguiente: Utilizando el criterio de estabilidad de Routh, determinar el rango de estabilidad de K .
B-5-22. Considere el sistema en lazo cerrado que se muestra en la Figura 5-79. Determine el rango de estabilidad para K . Suponga que K > 0.
B-5-24. Considere el servosistema con realimentación tacométrica que se muestra en la Figura 5-81. Determi-
ne los rangos de estabilidad para K y K h. ( K h debe ser positiva.)
Figura 5-81. Servosistema con realimentación tacométrica
