Problemas Bombas Resueltos

BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.

122

____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________

10. PROBLEMAS RESUELTOS

Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas ilustrativos.

Problema No. 1

Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones: D1 = 180 mm;

D2 D1

= 2; b1 = 30 mm; b2 = 20 mm; 1 = 20°; 2 = 30°. La entrada en los

álabes es radial; h = 81%, m = 95%; motor eléctrico = 0.85. Las bridas de entrada y de salida se encuentran a la misma cota. Diámetro de la tubería de entrada y de la tubería de salida: 220 mm y 200 mm, respectivamente. El desnivel entre el depósito de aspiración, abierto a la atmósfera, y la brida de aspiración, es de 1.2 m. Las pérdidas en la tubería de succión ascienden a 4.0 m. Calcular: 

Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.



El caudal de la bomba (supóngase v = 1.0).



La altura de Euler.



Las alturas de presión a la entrada y a la salida de la bomba.



La energía eléctrica consumida en seis horas de funcionamiento de la bomba.

FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Ramiro V. Marbello Pérez Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

10. PROBLEMAS RESUELTOS123

__________________________________________________________________________________ _____________________________________ _____________________________________________________________ ________________

Solución. 1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.  1  20º  1  90º (entrada radial)

Luego, c1 m

 c1 sen α1  c1

c1 u

cos α1  0  c1 cos

y

Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se representan de la siguiente manera:

n  1000

rev rev min min

ω  2πn

D2





1000 rev 60

s

2  π  1000 rad rad 60

s

 104.720

rad s

 2  D1  2  (180 mm)  360 mm

u1

 ω  r 1 

u2

 ω  r 2 

ω  D1

2 ω  D2

2

 104.720 

 104.720 


0.18  m     m  9.425 s  2  s

rad rad

0.36  m     m  18.850 s  2  s

rad rad



__________________________________________________________________________________ _____________________________________ _____________________________________________________________ ________________

Solución. 1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.  1  20º  1  90º (entrada radial)

Luego, c1 m

 c1 sen α1  c1

c1 u

cos α1  0  c1 cos

y

Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se representan de la siguiente manera:

n  1000

rev rev min min

ω  2πn

D2





1000 rev 60

s

2  π  1000 rad rad 60

s

 104.720

rad s

 2  D1  2  (180 mm)  360 mm

u1

 ω  r 1 

u2

 ω  r 2 

ω  D1

2 ω  D2

2

 104.720 

 104.720 


0.18  m     m  9.425 s  2  s

rad rad

0.36  m     m  18.850 s  2  s

rad rad



124

____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________

En el triángulo a la entrada: c1 m

tan β1 

u1

 c1 m  c1  u 1  tan β1   9.425

w1

 c

2 1m

m m  tan 20º  3.430 s s

 u  3.430   9.425 2

2 1

2

m2

s

2

 10.030

m s

Por continuidad: Q  A1  v1

 A2  v2

Q  π  D1  b1  c1 m

 c2m  c2m



D1  b1 D 2  b 2

 π  D 2  b 2  c 2 m c1 m

180 mm  30 mm m m 3.430  2.573 s s 360 mm  20 mm

En el triángulo a la salida: c2 m

 w 2  sen β 2

 w2 

cos β 2



2.573

c2 m sen β 2 u2



m

s sen 30º

 5.146

m s

 c2 u w2

 c 2 u  u 2  w 2  cos cos β 2 c2 u

 18.85 0

m m m cos 30º  14.393  5.146  cos s s s




__________________________________________________________________________________________________

 14.393  2.573 2

2

m2

s

c2

 c c

α2

 c  2.573   tan 1  2 m   tan 1     10.136º  14.393   c 2 u 

2 2u

2 2m

2

 14.621

m s

2. Cálculo del Caudal de la Bomba, Q Q  π  D1  b1  c1 m m  m3 l  Q  π  0.18 m   0.03 m    3.430   0.05819  58.19 s  s s 

3. Cálculo de la Altura de Euler, Ht Ht



0

u 2  c2 u

 u 1  c 1 u g



u 2  c2 u g

dado que: c1 u  0

;

 18.850 m    14.393 m      s   s    27.656 m Ht  9.81

m

s2

4. Cálculo de la Altura de Presión a la entrada de la Bomba,

p e 

Aplicando Bernoulli entre el tanque de aspiración y la entrada de la bomba, se tiene: 0

0

zA



p A γ



dado que:

v A

2

2g v 2A 2g

 h Ae  z e 

p e γ



v e2 2g

 0 y suponiendo presiones relativas,


(1) p A γ

0



126

__________________________________________________________________________________________________

p e

 z e  z A  

γ

p e

 H s 

γ

v e2 2g

8  Q2 π

2

 g  D e4

 h A e

(2)

 h A e

(3)

Suponieenedo η v  1.0 , y q e  q i  0 8  0.05819

2

p e γ

 1.2 m 

m6 s2

m   4 π 2   9.81 2   0.22 m 4 s  

 4.0 m   5.319 m

5. Cálculo de la Altura de Presión a la salida de la bomba,

p s 

Planteando la Ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s) de la bomba, se tiene: z e



p e γ



v e2 2g

 H u  z s 

p s γ



v s2 2g

(4)

Luego, p s γ

p s γ

 Hu 

p e

 Hu 

p e

γ

γ

 v s2  2g v e2



 1 1      2 4 4 π  g  D e D s 

8  Q2

(5)

(6)

Por otra parte, ηh



Hu Ht




__________________________________________________________________________________________________

 H u  η h  H t  0.81 (27.684 m)  22.424 m Sustituyendo éste y demás valores en (6), resulta: 2

p s

8  0.05819

 22.424 m  5.319 m 

γ

π

p s

2

m6 s2

 m   1 1    9.81 2      s   0.224 m 4 0.204 m 4  

 17.105 m

γ

6. Cálculo de la energía eléctrica consumida, Eeléct consumida Eeléct. consumida = Pred. tfuncionamiento Pa

 Pred  ηmotor eléctrico

(7) (8)

de (8), Pred



Pa η motor

(9)

Por otra parte,

 ηh  ηm  η v 

η total

Pu Pa

de donde Pa



Pu ηh  η m  η v

(10)

Sustituyendo (10) en (9) y el resultado en (7), se tiene: Pred



Pu η h  η m  η v  η motor

E eléct. consu. 

Pu  t func. η h  η m  η v  η motor




128

__________________________________________________________________________________________________

Finalmente, reemplazando la Pu, queda E eléct. consu. 

γ  Q  H u  t func. η h  η m  η v  η motor

(11)

m 3   1000 kgf       0.05819   22.424 m  s  m 3     6 horas E eléct. consu.  0.81  0.95  1.0  0.85

E eléct. consu.  11969.752

kgf  m

E eléct. consu.  117423.267

s

N  m h  11969.752  9.81 h s

J h  117423.267 W  h s

E eléct. consu.  117.423 kW  h

Problema No. 2

Una bomba centrífuga tiene las siguientes características: D1 = 100 mm;

D2 D1

= 2; b1 = 20

mm; b2 = 10 mm; 1 = 15°; 2 = 30°; n = 1500 rpm. Las tuberías de succión e impulsión tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración registra una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65 %; m = 96%; v = 0.9 y la entrada en los álabes es radial. Calcular: 

Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.



El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).



La potencia en el eje de la bomba. Pa.



La lectura del manómetro de impulsión.

Solución: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



__________________________________________________________________________________________________

1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades. u1

 ω  r 1  2  π  n  

u1

 π  1500 

u2



π  n  D2

60

D1

0.1 m 60 s

2



π  n  D1

60

 7.854

 π  1500 

;

n (rpm)

m s

0.2 m 60 s

 15.708

m s

α1  90º (entrada radial)

Del triángulo a la entrada: c1

 u 1  tan β1  7.854

w1

 c

2 1m

m s

 tan 15º  2.104

 u  2.104  7.854 2

2 1

2

m s

m2

s

2

 c1 m  8.131

m s

Por continuidad, Q  π  D1  b1  c1 m



c2 m

c2m





D1  b1 D 2  b 2

 π  D 2  b 2  c 2 m  c1 m

m m 100  20  2.104  2.104 s s 200  10 




130

__________________________________________________________________________________________________

Del triángulo a la salida, se tiene:

c2u

 u2 

c2m

 15.708

tan β 2

m s

2.104



m

s tan 30º

 12.064

 12.064   2.104 2

2

m2

s

c2

 c c

α2

 c  2.104   tan 1  2 m   tan 1     9.893º c 12.064    2 u 

w2

2 2u



2 2m

2.104

c2 m



sen β 2

2

m s

 12.246

m s

m

s sen 30º

 4.208

m s

2. Cálculo del Caudal, Q Q  π  D1  b1  c1 m m  m3 l  Q  π  0.1 m  0.02 m    2.104   0.01322  13.22 s  s s 

3. Cálculo de la Potencia en el Eje, Pa Pa



Pu η total



γ  Q  Hu η h  η v  ηm



γ  Q  η h  H t  η h  η v  η m



γQ ηv  ηm

 u  c    2 2 u   g 

(1)

kgf   m 3   1000 3    0.01322  s   m   m m    15.708    Pa  12.604  m  s   s   0.9  0.96    9.81 2  s  

Pa

 308.800

kgf  m s

 3029.3328 W  3.029 kW

4. Cálculo de la Lectura Manométrica a la salida, Ps Aplicando Bernoulli entre las bridas de succión y de impulsión, queda: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



__________________________________________________________________________________________________

zs



p s γ



v s2 2g

p i

 H u  z1 

γ



v i2 2g

de donde, p i γ

 v i2 p s   z s  z i     Hu γ 2g v s2

(2)

Suponiendo que las bridas están al mismo nivel, es decir, z1 = zs y considerando el hecho de que la diferencia de velocidades es muy pequeña, resulta: p i γ

 Hu 

p s γ

 ηh  H t 

p s γ

(3)

Además, η total  η h  η m  η v

y

ηh



Ht



η total ηm  ηv

u 2  c2 u

(4)

g

(5)

Llevando (4) y (5) a (3), p i γ

p i γ

p i γ



η total ηm  ηv



u 2  c2 u g



p s γ

(6)

m   m  0.65   15.708   12.064 





s 



m  0.96  0.9    9.81 2  s  

s 

4m

 10.532 m c.a.




132

__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 3

Una bomba centrífuga, en la cual se despreciarán las pérdidas, produce un caudal de agua de 300 m3/h y tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; b 2 b1

D2 D1

= 3; b1 = 40 mm;

1

 ; ß1 = 60°; ß2 = 40°; entrada radial. 2

Calcular: 

El número de revoluciones por minuto del rodete.



Altura efectiva de la bomba.



El par suministrado por la bomba.



La potencia de la bomba.



El incremento de presión que se produce en el rodete.



Altura dinámica generada por el rodete.

Solución. No hay pérdidas η h  η m  η v  η total  1 Q  300

m3 h

 0.08333

m3 s

 83.33

l s

1. Cálculo del Número de Revoluciones, n. Q  π  D1  b1  c1 m

c1 m



Q π  D1  b1

 π  D 2  b 2  c 2 m 0.08333



m3

m s  4.421 s π  0.15 m  0.04 m




__________________________________________________________________________________________________



c2m

0.08333

Q π  D 2  b 2



m3

m s  2.947 s π  0.45 m  0.02 m

Del triángulo a la entrada, se tiene: c1 m

4.421

s tan 60º

u1



w1

 u c

tan β1



2 1

m

 2.552

m s

 2.552  4.421 2

2 1m

Por otro lado, u 1 

π  D1  n

60

2

m2

s

2

 5.105

m s

(con n en rpm)

de donde,

n



60  u 1 π  D1

 

60 s   2.552



m 



s 

π  0.15 m

 324.93 rpm

2. Cálculo de la Altura Efectiva, Hu. u2



π  D2  n

60



π  0.45 m  324.93

60 s

 7.656

m s

Del triángulo a la salida, FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



134

__________________________________________________________________________________________________

c2 u

c2u

c2

α

2

c2m

 u2 

tan β 2

 7.656

 c

2 2m



2 2u

m

s tan 40º

 4.144

m s

 2.947  4.144  2

2

m2

s

2

 5.085

m s

 2.947 m    1  c 2 m  1  s   35.418º   tan  tan  m c    2 u   4.144  s  

 c

w2

 4.585

ηh

s

c

w2

Ht

m

2.947







2 2m

 u 2  c 2 u   2.947  7.656  4.144 2

m2

s

2

s 0

 u 1  c 1 u g



u 2  c2 u g

 7.656 m    4.144 m      s   s     3.234 m 9.81

m

s2

1

Ht

Hu

2

m

u 2  c2 u

Hu

2

 H t  3.234 m

3. Cálculo de la Potencia, P η total



Pu Pa

1

 Pu  Pa  γ  Q  H u  γ  Q  H t




__________________________________________________________________________________________________

kgf   m 3  kgf  m     3.234 m  269.392 Pu  Pa  1000 3    0.0833 s  s m   

 Pa  2642.74 W  2.64 kW  3.6 c.v.  3.54 h.p.

Pu

4. Cálculo del Par de la bomba, M 2  π  n   M.ω  M    60 

Pa



M

60  Pa 2 πn

 

60 s  269.392

kgf  m 

   7.917 kgf  m

s 2  π  324.93



5. Cálculo del Incremento de Presión, H p

 u 12 w 12  w 22 H p   2g 2g u 22

7.656

2

H p

H p



2

 2.552

m   2   9.81 2  s  

m2

s

2



5.105

2

2

 4.585  

2   9.81

m2

s

2

m 



s 2 

 2.912 m

6. Cálculo de la Altura Dinámica, Hd m2

  c12 5.085 4.421  s 2  Hd  m  2g  2   9.81 2   s  2

2

c 22

Hd

 0.322 m




136

__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 4

Una bomba centrífuga para agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la bomba es de 2.6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. La diferencia de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0.6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es de 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba. Solución: Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s), de la bomba, se tiene: ze



p e γ



v e2 2g

 H u  zs 

p s γ



v s2 2g

(1)

de donde Hu

 z s  z e  

p s  p e γ

(2)

p s

kgf  kgf kgf  2.6 bar  2.6   1.02 2   2.6  1.02  10 4  2  26520 2 m m  cm 

p e

kgf  kgf  250 Torr  250 mm Hg  0.25 m   13600 3   3400 2 m  m 

vs

 ve

(por ser tuberías de igual diámetro).

Sustituyendo valores numéricos en (2), resulta:

Hu

 0.6 m 

26520   3400 1000

kgf

kgf m2

 30.520 m

m3

De otra parte:




__________________________________________________________________________________________________

η total



Pu Pa

 Pa  Pa

Pu η total

 683.69



γ  Q  Hu η total

kgf  m s



50 m 3   1000 kgf       30.520 m  3   3600 s m     0.62

N.m s

 683.69  9.81

 6700 W  6.7 kW

Problema No. 5

Una bomba centrífuga, cuya entrada en los álabes del rodete es radial, proporciona una altura útil de 22 m, a una velocidad de 1200 rpm. D1 = 180 mm; D2 = 300 mm. cm es constante en todo el rodete; c 2 u  25

m s

. Las pérdidas hidráulicas en la bomba son iguales

a 0.027 c 22 m (c2 en m/s). Calcular. 

El rendimiento hidráulico de la bomba, h.



Los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida, ß1 y ß2.

Solución: Entrada radial:

α1  90º ; c1 u

 0 ; c1 m  c1  c 2 m , c 2 u  25

m s

; H int  0.027  c 22 (en

metros); H u  22 m . 1. Cálculo de la Eficiencia Hidráulica, h u1



π  D1  n

60



π  0.18 m  1200 


60 s

 11.31

m s



138

__________________________________________________________________________________________________

u2



ηh



Ht

ηh





π  D2  n



60 Hu Ht

π  0.30 m  1200 

60 s

 18.85

m s

u 2  c2 u g

(1) m   m   18.85    25  s   s     48.038 m

22 m 48.038 m

9.81

m

s2

 0.4580  45.80%

2. Cálculo de los Ángulos ß1 y ß2 Hu  H int

 H t  H int

(2)

 Ht  Hu

(3)

H int

 48.038  22 m  26.038 m

H int

 0.027  c 22  26.038 m

luego,

c2



26.038 m 0.027 s

 31.054

m s

De los siguientes triángulos de velocidades, se deduce:




__________________________________________________________________________________________________

β1

 2 2   c1 m  1  c 2 m  1  c 2  c 2 u    tan    tan  tan    u u u1  1   1    1

 31.0542  252 m    18.42  1  s   tan 1  β1  tan    58.519º m 11.31     11.31   s   m   18.47   1  c 2 m  1  ' s   71.5844º   tan β 2  tan  m  u c    2 2 u   18.85  25  s   β2

 180º  β 2 '  180º 71.5844º  108.4156º

En consecuencia, el triángulo de velocidades a la salida del álabe queda de la siguiente manera:

Problema No. 6

Una bomba centrífuga proporciona una altura útil de 40 m, con rendimiento hidráulico de 80%. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm de diámetro. D2 = 350 mm; b2 = 25 mm; ß2 = 25°; n = 1400 rpm. La pérdida de carga en las tuberías de aspiración e impulsión, incluyendo las pérdidas secundarias, es de 10 m. FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



140

__________________________________________________________________________________________________

Calcular: 

El caudal de la bomba.



La diferencia de cotas entre los niveles de agua en los depósitos de succión e impulsión, si ambos están abiertos a la atmósfera.

Solución:

1. Cálculo del Desnivel entre los Tanques, H. Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, sobre la superficie libre del agua, en sendos tanques, se tiene: 0

0

zA



p A γ



v A

0

0

2

2g

 h asp  h imp  H u  z C 

p C γ



v C

2

2g

 z C  z A  H u  h asp  h imp Luego, H  Hu

 h totales  40 m  10 m  30 m

2. Cálculo del Caudal Bombeado, Q. u2



π  D2  n

60



π  0.35 m   1400 


60 s

 25.656

m s



__________________________________________________________________________________________________

Del triángulo de velocidades a la salida, se tiene:

tan β 2



c2 m u2

 c2 u

(1)

 c 2 m  u 2  c 2 u  tan β 2

(2)

Además, ηh



Hu Ht



g  Hu u 2  c2 u

 u 1  c1 u

(3)

Suponiendo entrada radial α1  90º  , c1u = 0, entonces ηh



g  Hu u 2  c2 u

(4)

de donde,

c2u

 9.81 m   40 m   g  Hu m s 2      19.1 m  ηh  u 2 s  0.8  25.656  s  

Reemplazando éste y demás valores numéricos en (2), resulta: c2 m

m

m

s

s

 25.656  19.1  tan 25º  3.057




142

__________________________________________________________________________________________________

Finalmente, Q  π  D 2  b 2  c 2 m m  m3 l  Q  π  0.35 m  0.025 m    3.057   0.084  84 s  s s 

Problema No. 7

Entre las bridas de entrada y de salida de una bomba, se coloca un manómetro en U, de mercurio. La bomba da un caudal de agua de 300 m3/h. Las tuberías de aspiración y de impulsión son de 250 mm y 200 mm de diámetro, respectivamente. El eje de la bomba es horizontal y entre los ejes de las tuberías, en las tomas manométricas de aspiración e impulsión, hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento de altura de mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración). Calcular la potencia útil que da la bomba. Solución:




__________________________________________________________________________________________________

Aplicando Bernoulli entre las bridas de aspiración (a) y de impulsión (i), resulta: za



p a γ



v a2 2g

 Hu  zi 

p i γ



v i2 2g

(1)

de donde,

 p i   p a  v i2  v a2   H u   z i     z a  γ γ  2 g    

(2)

 p i   p a  8  Q 2  1 1    2  4  4  H u   z i     z a  γ   γ  π  g  D i D a  

(3)

Además, aplicando manometría entre (a) e (i), resulta: p a

 γ  z i  z a   l  Δh  γ m  Δh  γ  l  p i

p a

 z i  z a  l  Δh 

γ

γm γ

 Δh  l 

(4)

p i γ

Agrupando términos correspondientes y reduciendo términos comunes, se tiene:

 p i   p a   γ   z i     z a    Δh   m  1 γ   γ    γ 

(5)

Llevando el resultado de (5) en (3), queda:

 γ m  8  Q 2  1 1  H u  Δh    1  2  4  4   γ  π  g  D i D a 

(6)

Sustituyendo valores numéricos en (6), se tiene: 2

 300  m 6 8  13600  3600  s 2    1  H u  0.2 m    1000  π 2   9.81 m     s 2  Hu

 1  1   1  4  0.25 4  m 4  0.2

 2.520 m  0.212 m  2.732 m




144

__________________________________________________________________________________________________

Finalmente, Pu

 γ  Q  Hu

300  m 3  Pu  1000 3     2.732 m m  3600  s kgf

kgf  m

Pu

 227.67

Pu

 227.67  9.8 W  2231.17 W

Pu

 2.23 kW

s

Problema No. 8

Una bomba centrífuga para alimentación de una caldera de vapor, que desarrolla una altura efectiva de 80 m, bombea agua a 90°C, desde un depósito de aspiración, abierto a la atmósfera, hasta la caldera. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 0.5 m. La presión barométrica es de 725 Torr. El caudal de la bomba es 0.25 m3/s: El diámetro de la tubería de aspiración es de 400 mm y el coeficiente de cavitación de la bomba,  = 0.1. 

Esquematice la instalación, indicando la cota del eje de la bomba con respecto al nivel superficial en el pozo de succión.



¿A qué altura geodésica máxima se podrá colocar la bomba?.



Si la presión de la caldera es 8,2 bar. y el eje de la bomba se encuentra 6 m por debajo del nivel del agua en la caldera, ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba?.

Solución: 1. Esquema de la Instalación de Bombeo.




__________________________________________________________________________________________________

A la temperatura T = 90°C, de tablas, se obtiene: γ agua

 965

kgf m3

p vapor  70.11 kPa  7154

kgf m2

(absoluta).

p atmosferica

kgf   725 Torr  725 mm Hg  0.725 m   13600 3  m  

p atmosferica

 9860

kgf m2

2. Cálculo de la Altura de Succión Máxima, Hs máx. H s max



H s max



p A  p V γ

 h Ae  Δh

p atmosferica  p V γ


 h Ae  σ  H u

(1)

(2)



146

__________________________________________________________________________________________________

H s max



9860  7154 965

H s max

kgf m2

kgf

 0.5 m  0.1 80 m 

m3

  5.7 m

La bomba operará en carga, es decir, con su eje situado a 5.7 m, máximo, por debajo de la superficie libre de agua en el tanque de succión. 3. Cálculo de las Pérdidas Totales en la Tubería de Impulsión, h T imp. . Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y C, puntos situados sobre la superficie libre de agua, en sendos depósitos, se tiene:

0

zA



p A γ



v A

0 2

2g

 H T asp.  H u  H T imp  z C 

p C γ



v C

2

2g

(3)

en donde se han considerado presiones absolutas. Y despreciando las diferencias de velocidades. Luego, H T imp.

 H u  h T asp 


p A  p C γ

 z C  z A 

(4)



__________________________________________________________________________________________________

1.02 p A

 8.2 bar 

kgf

cm bar

2

10 4



kgf

m2 kgf

 83640

kgf m2

cm 2

Reemplazando valores numéricos en (4), resulta:

H T imp.

 80 m  0.5 m 

9860  83640 965

kgf m2

kgf

 6  5.7 m  2.744 m

m3

Problema No. 9

Una bomba centrífuga opera a 150

rad s

y necesita 294 h.p. Determine la descarga a través

de la bomba, si la velocidad absoluta del agua a la entrada no tiene componente tangencial. D2 = 16", b2 = 1" y ß2 = 45°. Además, η total  1 ¿Por qué existen dos posibles soluciones y por qué la bomba no operaría eficientemente en una de ellas?. Solución: Sean los siguientes, los triángulos de velocidades correspondientes a la entrada y a la salida de los álabes del rodete:




148

__________________________________________________________________________________________________

u2

ω  D2

 ω  r 2 

rad   16  0.0254 m  m   150      30.48 s   2 s  

2

Q  π  D 2  b 2  c 2 m

 c2 m 

tan β 2



(1) (2)

Q π  D 2  b 2

c2 m u2

u2

 c2 u 



c2 u

 c2 u c2 m tan β 2



c2 m tan 45º

 c2 m

 u 2  c2 m

(3)

Reemplazando (2) en (3), se tiene: c2 u

 u2 

Q π  D 2  b 2

(4)

Por otro lado, Pu

 γ  Q  Hu

(5)

Además,

η total

 ηh  ηV  ηm  1

de donde, ηh



Hu Ht

1

Luego, Hu

 Ht 

u 2  c2 u g

(6)

Llevando (6) a (5),




__________________________________________________________________________________________________

Pu

γ  Q  u2  c2u



g g  Pu



u2  γ

 Q  c2 u

(7)

Trayendo (4) a (7), se obtiene:

  Q   Q   u 2  π u2  γ D b   2 2   g  Pu

g  Pu u2  γ

 Q  u2 

Q2 π  D 2  b 2

o mejor,

 1  2 g  Pu    Q  u 2  Q   0 γ  u2  π D 2  b 2 

(8)

que es una ecuación cuadrática para Q, con dos raíces o soluciones para el caudal, la cual se resolverá sustituyendo en ella los valores numéricos, así:

 9.81 m    294  76 kgf  m      Q m  s  s 2       30.48   Q  0 π  16  0.0254 m  1  0.0254 m  s   1000 kgf    30.48 m      s  m 3    2

30.8363 Q 2

 30.48 Q  7.1841  0

(9)

ó Q2

 0.98445 Q  0.232975  0

(10)

cuyas soluciones son: Q1

 0.60043

m3 s

 600.43

l s

y FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



150

__________________________________________________________________________________________________

m3 Q 2  0.38801 s

 388.01

l s

Existen dos valores posibles para Q, puesto que, dada la forma de la curva H vs. Q, se pueden obtener dos valores de H correspondientes a sendos valores de Q, para un único valor de P, que satisfacen la ecuación Pu

 γ  Q1  H u 1  γ  Q 2  H u 2  constante

de donde se deduce que, para el mayor valor de Q, corresponde el menor valor de Hu, y viceversa. Ello se puede observar en el siguiente esquema:

Además, para la curva  vs. Q, de la misma bomba, se puede observar que existe un valor de Q2 , cuya eficiencia es menor que la correspondiente a Q1. La conclusión es que, para el l

mayor de los dos caudales posibles (Q = 600.42 ) se obtiene mejor eficiencia. s




__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 10

Una bomba centrífuga que aspira directamente de la atmósfera (patm = 740 mm Hg) da un l

caudal de 555 , a una altura efectiva de 13.5 m, cuando gira a 730 rpm. El NPSHneces es s

3.33 m; la temperatura del agua es 20°C y las pérdidas de carga en el tubo de aspiración ascienden a 0.54 m. Calcular: 

La altura máxima de aspiración de esta bomba.



El número específico de revoluciones.

Solución: 1. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx. H s máx



p atmosférica  p v γ

 h asp  NPSH necesario

A T = 20°C, pv = 2337 Pa = 238.47

kgf m2

(abs.) y

(1) γ  998

kgf m3

Reemplazando valores numéricos en (1), resulta:

0.74m   13600 H s máx





kgf 

998

H s máx 2.

kgf

  238.47 2 m 3  m  0.54m  3.33m kgf m3

 5.975 m

Cálculo del Número Específico de Revoluciones, ns ns

 3.65  n  Q1/2  H 3/4 1/2

 m 3    13.5 m3/4  281.85 n s  3.65  730 rpm   0.555 s   FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



152

__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 11

Una bomba centrífuga cuyo coeficiente de cavitación  = 0.11, desarrolla una altura útil de 90 m. La presión barométrica del lugar es 1.0 bar. La presión de saturación del vapor de líquido bombeado ( = 1.4), para la temperatura de funcionamiento, es 0.03 bar (abs.). Las pérdidas de carga en la tubería de aspiración ascienden a 1.5 m. Calcular la altura máxima permisible a la cual puede colocarse el eje de la bomba, con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración. Solución: H s máx



H s máx



H s máx



p atm  p v γ

p atm  p v γ

 h asp  Δh  h asp  σ  H u

1.0  0.03  1.02 x 10 4  1400

H s máx

kgf

kgf m2

 1.5 m  0.11  90 m

m3

  4.33 m

La bomba operará en carga, es decir, su eje estará 4.33m, como máximo, por debajo de la superficie libre de agua en el tanque de succión.

Problema No. 12

Una bomba centrífuga de 0.5 m de diámetro de impulsor, eleva 20

l s

de agua a una altura

de 18 m, con una potencia absorbida de 4 kW, cuando opera a 1170 rpm, en su máximo rendimiento. Si las relaciones de alturas de elevación y de diámetros de rodetes, con una




__________________________________________________________________________________________________

bomba modelo, son 4/1 y 5/1, respectivamente, a iguales rendimientos, ¿cuál es el número específico de revoluciones del modelo?. Solución. Para que exista semejanza dinámica entre bombas rotodinámicas, debe cumplirse que: ns p = ns m

(1)

En general,

ns

 n  P1/2  H 5/4

(2)

Con n (rpm); P (c.v.) y H (m) Además, se conocen los siguientes datos: l

D p

 0.5 m ; Q p  20 ; H p  18 m ; Pa p  4 kW  4000 W ; n p  1170 rpm

η p

 ηm ;

s

H p Hm

4

D p

1

Dm

 ;



5 1

Existen dos maneras de resolver este problema, una más rápida que la otra, y se desarrollan a continuación: 

Primera Solución: Hallando ns p, con los datos correspondientes al prototipo, mediante la ecuación (1) se obtiene indirectamente ns m. n s p

 n s m  n p  P p1/2  H p5/4

1W 

1 c.v.  1.359157322  10-3 c.v. 9.81  75 1.359157322  10-3 c.v

Pa p

 4000 W 

n s p

 n s m  1170rpm 5.43662929 c.v.1/2  18m-5/4

n s p

 n s m  73.58


1W

 5.43662929 c.v.



154

__________________________________________________________________________________________________



Segunda Solución: Se obtendrá ns m reemplazando en (2) los parámetros correspondientes al modelo, así: De la relación de cabezas se obtiene nm:

 n    p  H m  n m  H p

2

2

 D    p   D m 

(3)

 D  H m   m   n m  D p  H p n p

 D  H m  n s   p    n p D H p  m  nm

 5  1/4  1170 rpm  2925 rpm

(4) (5)

Ahora, de la relación de potencias, se calcula Pm:

 n    p  Pm  n m  P p

3

 D    p   D m 

 n   Pm   m   n p 

3

3

5

5

 D    m   P p  D p  5

 2925    1   5.43662929 c.v. Pm       1170   5  Pm

 2.718314644  102 c.v.

De la relación de alturas, se obtiene Hm: H p Hm

4

 Hm 

H p 4



18 m 4


 4.5 m



__________________________________________________________________________________________________

Finalmente, se obtiene ns m reemplazando los parámetros correspondientes al modelo, en la ecuación (2): nsm

 n m  Pm1/2  H m5/4

ns m

 2925 rpm  2.71831464  10 -2 c.v.  4.5 m -5/4

n sm

 73.58

con lo cual se comprueba que

n s p

 ns m

Problema No. 13

Una bomba de proceso, de succión única e impulsor de 8” de diámetro, bombea 35 0 US

gpm a 200 pie de cabeza, rotando a 3500 rpm, en su punto de mejor eficiencia. La potencia necesaria es de 26 h.p. El trabajo cambia ligeramente y se sugiere cambiar el diámetro del rotor a 7". Determinar las nuevas cabezas, descarga y potencia necesaria, en el punto de mejor eficiencia. Solución: Se trata de un caso de similitud en bombas geométricamente semejantes, de diámetro de rotor diferentes y girando a igual número de revoluciones. Prototipo

Modelo

D1 = 8"

D2 = 7"

Q1 = 350 US gpm

n2 = n1 = 3500 rpm

H1 = 200 pie

Q2 = ?

P1 = 26 h.p.

H2 = ?

n1 = 3500 rpm

P2 = ?




156

__________________________________________________________________________________________________

De la primera ley de semejanza, se conoce lo siguiente:

 D    1  Q 2  D 2  Q1

3

3

3  D 2  7     Q1     350 US gpm  234.47 US gpm Q 2    8   D1 

De la segunda ley, se tiene:  D    1  H 2  D 2  H1

2

2

2  D 2  7     H1     200 pie  153.13 pie H 2    8   D1 

Y de la tercera ley, se tiene:

 D    1  P2  D 2  P1

5

5

5  D 2  7    P2     P1     26 h.p.  13.34 h.p.  8   D1 

Problema No. 14

Debe bombearse agua a 55°C, desde un recipiente elevado, conectado a la atmósfera, en un lugar ubicado a 1048 m sobre el nivel del mar (patm = 9103.85 kgf/m2). Las pérdidas de carga en la tubería de succión se han estimado en 0.55 m. Si el eje de la bomba se encuentra 3.75 m por debajo de la superficie de agua en el tanque de alimentación, ¿cuál es el NPSH disponible? Solución:




__________________________________________________________________________________________________

Para

T  55º C, p vapor  1560

y

γ  986

NPSH disp

NPSH disp





kgf m2

(abs)

kgf m3

 p A  p v  γ

 H s  h succión

9103.85  1560.66 986

kgf

(succión negativa, Hs < 0)

kgf m2

 3.75m  0.55m

m3

NPSH disp  10.85 m

Problema No. 15

Una bomba situada a nivel del mar debe elevar agua a 15°C, desde un tanque subterráneo conectado a la atmósfera. La superficie de agua en el tanque de succión está localizada 2.15 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas totales de carga en la tubería de succión son equivalentes a 0.55 m de columna de agua. ¿Cuál es el NPSH disponible?. Solución:




158

__________________________________________________________________________________________________

Para

T  15º C, p vapor  183

γ  999.2

kgf m2

(abs) .

kgf m3

A nivel del mar, p atmosférica  10336 NPSH disp

NPSH disp





 p A  p v  γ

m2


10336  183 999.2

kgf

kgf

kgf

m2

 2.15 m  0.55 m

m3

NPSH disp  7.46 m

Problema No. 16

Se emplea una bomba para elevar agua desde un tanque que recibe una mezcla de agua y vapor de una caldera, a una temperatura de 115°C. El nivel de líquido en dicho tanque está 7 m por encima del eje de la bomba, y las pérdidas de carga en la tubería de succión son FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



__________________________________________________________________________________________________

equivalentes a 0.46 m de agua caliente. ¿Cuál es el NPSHdisponible de la instalación de bombeo, si ésta se encuentra a 578 m sobre el nivel del mar ( p atmosféric  9659 de vapor, a T = 115°C, p vapor  17675

kgf m2

kgf m2

). Presión

(abs.)

Solución:

 p A  p v 

NPSH disp



NPSH disp

 p  p    v  v  H s  h succión

NPSH disp

 H s  h succión

NPSH disp

 7.0 m  0.46 m  6.54 m

γ


( succión negativa, Hs < 0)

γ




160

__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 17

Se necesita una bomba para elevar 10000 gpm de agua a una cabeza de 25 pie. Una bomba similar, con un impulsor de 36" de diámetro, descarga 2500 gpm a una cabeza de 120 pie, cuando gira a 800 rpm. Determinar el diámetro necesario del impulsor y la velocidad de rotación para la bomba, a la misma eficiencia. Solución. η 1 total

 η 2 total BOMBA No. 1

BOMBA No. 2

Prototipo

Modelo

D1 = ?

D2 = 36"

n1 = ?

n2 = 800 rpm

Q1 = 10000 gpm

Q2 = 2500 gpm

H1 = 25 pie

H2 = 120 pie

De las leyes de similitud de bombas, se tiene: 3

 n   D    1    1  Q 2  n 2   D 2  Q1

(1)

3

 Q   D    1    2  n 2  Q 2   D1  n1

(2)

Además,

 n    1  H 2  n 2  H1

2

2

 D    1   D 2 

(3)

Llevando (2) a (3), resulta: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



__________________________________________________________________________________________________

 Q    1  H 2  Q 2 

2

 D    2   D1 

6

 Q    1  H 2  Q 2 

2

 D    2   D1 

4

H1

H1

 H   Q   4  1    2  D1  H 2   Q1 

D2

 D    1   D 2 

2

2

Luego, 2

 H   Q  D1  4  2    1   D 2  H1   Q 2  Entonces, 2

 120    10000   36 pulg. D1  4      25   2500  D1

 106.57 pulg.  8.88 pie  9.0 pie

(4)

Finalmente, reemplazando (4) en (2), resulta: 3

 Q   D  n 1   1    2   n 2  Q 2   D1  Luego, n1

10000   36        800 rpm  2500   106.57 

n 1  123.35 rpm




162

__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 18

Para abastecer de agua a una comunidad rural, situada a 1500 m sobre el nivel del mar, se ha construido un pozo cuyo nivel medio de agua se encuentra a 40 m por debajo del correspondiente a un tanque de almacenamiento, como se muestra en la figura. Se instalará l

un sistema de bombeo que, dada las necesidades de consumo, eleve 50.5 y opere 6 horas s

diariamente. Las tuberías de succión e impulsión serán de hierro galvanizado (C =100 ), y los accesorios requeridos en la instalación se indican en la figura. Se instalará una bomba centrifuga con motor de velocidad variable, cuyas especificaciones se desean conocer, para lo cual se pide seleccionar una bomba apropiada, y calcular: 

Altura dinámica de la bomba, HB.



Potencia útil de la bomba, Pu.



Potencia requerida (potencia absorbida) por la bomba, Pa, si se sabe que la eficiencia de la bomba es del 68%.



El NPSHdisonible de la bomba.



El NPSHrequerido de la bomba.



La altura de succión máxima de la bomba.




__________________________________________________________________________________________________

Solución: 1. Cálculo de la altura Dinámica de la bomba, HB. Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, situados en la superficie libre del agua en sendos tanques, se tiene: 0

zA



p A γ



v A

0 2

2g

 hT s  hTi  HB  zB 

p B γ



v B

2

2g

(1)

de donde, HB

 z B  z A   h T s  h T i 

(2)

En la cual z B  z A  es la altura estática a vencer por parte de la bomba. hT s y hT i son las pérdidas de carga totales, por fricción y por accesorios, en las tuberías de succión y de impulsión, respectivamente. FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



164

__________________________________________________________________________________________________

1. Cálculo de las Pérdidas de Carga Totales, hT 1.1.1. Pérdidas en la Tubería de Succión, hT s Se empleará la formula de Hazen-Williams, que expresa: V  0.355  C  D 0.63  J 0.54

(3)

Por continuidad, Q  V  A  0.355  C  D

0.63

 h    f   L 

0.54

 π  D 2     4  

de donde, h f



3.5866 CD

1.851

2.63

 L  Q1.851

(4)

Para considerar las pérdidas locales, debidas a válvulas y accesorios, se empleará el método de las longitudes equivalentes: VÁLVULAS/ACCESORIO

LONGITUD VIRTUAL EQUIVALENTE (m)

Válvula de pie con rejilla (D = 6”)

39.0

Codo 90º (radio medio) (D = 6”)

6.7

Válvula de compuerta abierta (D = 6”)

1.7

Longitud virtual equivalente, Lequivalente

47.4

Longitud real de la tubería de succión, L

3.0

Longitud total, LT = Lequivalente + L

50.4

Reemplazando valores numéricos en (4):




__________________________________________________________________________________________________

hTs

  3.5866  2.63  100 6 0.0254      

hTs

 4.02 m

1.851

 50.4   0.0505 1.851 m

1.1.2. Pérdidas en la Tubería de Impulsión, hT i VÁLVULAS/ACCESORIO

LONGITUD VIRTUAL EQUIVALENTE (m)

Válvula de compuerta abierta (D = 5”)

0.9

2 Codos de 45º (D = 5”) (*1.9 m)

3.8

1 Válvula de retención (tipo pesada) (D = 5”)

16.1

1 Salida de la tubería (D = 5”)

4.0

Longitud virtual equivalente, Lequivalente

24.8

Longitud real de la tubería de impulsión, L

127.0

Longitud total, LT = Lequivalente + L

151.8

  3.5866 hTi   2.63  100  5  0.0254   hTi

1.851

 151.8  0.0505 1.851 m

 29.42 m

Reemplazando en la ecuación (2), se tiene: HB

 40 m  4.02 m  29.42 m

HB

 73.44 m




166

__________________________________________________________________________________________________

2. Cálculo de la Potencia Útil de la bomba. Pu Pu

 γ  Q  Hu  γ  Q  HB

 m 3    73.44 m Pu  1000 3   0.0505 s  m  kgf

Pu

 3708.72

Pu

 48.8 h.p.

kgf  m s



3708.72 76

h.p.

3. Cálculo de la Potencia Requerida por la bomba, Prequerida A la potencia requerida se le llama también potencia absorbida en el eje, y se le denota por Pa. De la expresión para la eficiencia total se tiene: η bomba

Pa





Pu Pa

Pu η bomba



(5) 48.8 h.p. 0.68

 71.76 h.p.

4. Selección de la Bomba Para elegir la bomba más apropiada a las condiciones dadas del problema, se utilizará la siguiente gráfica suministrada por el fabricante de las bombas centrifugas. Para ello, se l

l

s

min

entrará a dicha figura con los valores de Q  50.5  3030


y H B  73.44 m .



__________________________________________________________________________________________________

En dicha figura se observa que la bomba que cumple con estas exigencias quedaría en una situación intermedia entre las bombas comerciales No. 1 ( n  1750 rpm , Pa1

 75 h.p. ) y la No. 2 (n = 2000 rpm, P2 = 100 h.p.).

Por tanto, se seleccionará la Bomba No. 2, por tener una potencia mayor que la requerida y por suministrar una cabeza, H, y un caudal, Q, mayores que los exigidos por la situación real. Luego, la bomba seleccionada tiene las siguientes especificaciones: Bomba: 5 x 6 x 15 Diámetro del rotor: D = 381 mm Velocidad Variable: 1150  n  2000 rpm Potencia nominal: P = 75 h.p.




168

__________________________________________________________________________________________________

Conexión a la succión: Ds = 6” Conexión a la impulsión: Di = 5” 5. Cálculo del NPSH disponible, NPSHdisponible NPSH disponible 

NPSH disponible 

p A  p v γ

 Hs  h T s

p Atmosférica  p v

(6)

 Hs  h T s

γ

A 1500 m sobre el nivel del mar, patm = 8.4

(7) N cm 2

= 0.8571

Para una temperatura del agua, T = 20ºC, p v  0.234

N cm

2

kgf cm 2

= 8571

 0.0239

kgf cm

2

kgf m2

 239

kgf m2

Además, la altura de succión Hs = 1.8 m. ,

Reemplazando valores numéricos en la ecuación (7):

NPSH disponible 

8571  239 1000

kgf m2

kgf

 1.8 m  4.02 m

m3

NPSH disponible  2.512 m

6. Cálculo del NPSHrequerido De la misma gráfica del fabricante, para la bomba seleccionada (n = 2000 rpm), se l

l

s

min

encuentra que, para Q  50.5  3030

, NPSH requerido  2.0 m

De esta manera, NPSH disponible  2.51 m  NPSH requerido  2.0 m




__________________________________________________________________________________________________

7. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx H s máx



H s máx



p A  p v γ

 Δh  h T s

p Atmosferica  p v γ

(8)

 NPSH requerido  h T s

(9)

Reemplazando valores numéricos en la ecuación (9), se tiene:

H s máx



8571  239 1000

H s máx

kgf m2

kgf

 2.0 m  4.02 m

m3

 2.31 m

Chequeo: Hs máx  2.31 m  H s  1.8 m

Problema No. 19

Para el sistema de bombeo mostrado en la figura, calcule la presión en el nodo C, las presiones de succión y descarga de la bomba, el caudal de la línea 3 y la potencia útil de la bomba. Solución. HB

 68.58  639.66  Q1.5

 m 3   H B m ; Q  s   Línea 1:

L= 67.1 m

D = 406 mm

C = 120

Línea 2:

L = 670.6 m

D = 105 mm

C = 120

Línea 3:

L = 304.8 m

D = 305 mm

C = 120




170

__________________________________________________________________________________________________

1.852

Potencia útil:

Pu

  Q H B

u

 3.5866   h  f  2.63   C  D 

 L  Q1.852

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y D, se tiene: p D   v 2D   v 2A   h f 1  H B  h f 2  h f 3  z D   zA    2g 2g p A

Considerando presiones relativas y despreciando las cabezas de velocidades, y reemplazando los valores numéricos, se tiene: 1.852

 3.5866  zA    C  D 2.63   1 1 

 3.5866    L 2  Q12.852   L1  Q11.852  68.58  639.66  Q11.5    2.63   C 2 D 2 

1.852

 3.5866     2.63   C D  3 3 

 L 3  Q13.852  z D

Por la ecuación de continuidad: Q1

 Q2  Q3  q




__________________________________________________________________________________________________

 3.5866   z D  z A   2.63   C D  1 1   Q 3  q 

1.852

1.852

 3.5866     2.63   C D  3 3 

 L1  Q 3  q 

1.852

 68.58  639.66  Q 3  q

1.5

    3.5866   L 2.63

 C 2 D 2 

2



1.85 2

 L 3  Q13.852

Agrupando términos y reemplazando valores numéricos, resulta:  3.5866  91.4  38.1  68.58  639.66  Q 3  0.0212      120  1.852 670.6  304.8  Q 3   67.1     4.87 4.87 4.87 0.305  0.305  0.405  1.5

1.852

 Q 3  0.0212 

1.852



Organizando se tiene: 639.66  Q3

 0.02121.5  335.226848 Q3  0.02121.852 148.6291144  Q13.852  15.28  0

m3 Q 3  0.0501046 s Q3

 50.1

l s

m3 Q1  Q 2  Q B  Q 3  0.0212 s

m3  0.0501046  0.0212 s

m3

Q1

 Q 2  Q B  0.0713046



Cálculo de la altura útil, Hu = HB

s

Hu

 H B  68.58  639.66  0.07130461.5

Hu

 56.4 m




172

__________________________________________________________________________________________________



Cálculo de la potencia útil de la bomba, Pu Pu

   QB  Hu

 m 3    56.4 m Pu  1000 3   0.0713046 s  m  kgf



kgf  m

Pu

 4021.58

Pu



4021.58 c.v.  53.62 c.v. 75

Pu



4021.58

Pu

 4021.58  9.8

76

s

h.p.  52.92 h.p. N  m s

J

 39411.48  39411.48 W  39.41 kW s

Cálculo de la presión en C, pc. Bernoulli entre A y C: p C



zA

 H B  z C  z A   h f 1  h f 2 

 0  0  h f 1  H B  h f 2

  v C2  zC   2g  p C

8    Q 22

 2  g  D 42 1.852

 3.5866   3.5866  1.852     68.58  639.66  Q  z C  z1     L  Q  1 1 2.63  2.63  C D C D γ  1 1   2 2  2 8  1  Q 2   L 2  Q1.852  2 2 4 π  g  D2

p C

1.5 B



Reemplazando valores: p C

 p C



 68.58  12.179 m  7.6 m  0.0611 m  2.46 m  0.0486 m  56.401 m  7.6 m  0.0611 m  2.46 m  0.0486 m  46.2313 m c. a.




__________________________________________________________________________________________________

p C

 

 46.2313m  1000

kgf m

3

 46231.3

kgf m

2

 4.6231

kgf cm 2

Cálculo de la presión de succión o presión a la entrada de la bomba, pa

Bernoulli entre A y e:

p e   v e2   v 2A   h f 1  z e   zA  2g 2g   p A

Despreciando la velocidad en A y tomando presiones relativas, se tiene

  v e2  z A  h f 1  z e  2g 

p e

p e



 z A  z e   h f 

8    Q12

 2  g  D14

Remplazando valores numéricos, se tiene: p e

 p e

 

 38.1  35.05  m  0.0611 m 

2

8  1  0.0713046 

 2  9.8  0.4064

m

 3.05 m  0.0611 m  0.0155 m  2.9734 m

Cálculo de la presión dinámica de descarga o presión a la salida de la bomba, ps Ecuación de Bernoulli entre e y s:

  v e2 p s   v s2   HB  zs   ze    2g 2g p e

  v e2  v s2    HB    2g

p s

p e

2 2  4  Q B   4  Q B       2 2     HB      2  g    D 2e     D s   

p s

p e




174

__________________________________________________________________________________________________

 1  2  1  2    HB  2            g  D 4e   D s4  

p s

p e

8    Q 2B

2

p s



 2.9734 m  56.401 m 

8  10.0713046

m

 1  2  1  2 1  s      4 4  4    m  0.406   0.305  m   2  9.8 2   2

s

p s

 p s



 2.9734 m  56.401 m  0.0331 m  59.341 m

Problema No. 20

Los resultados de un ensayo elemental de una bomba rotodinámica, girando a 1450 rpm, se presentan en la siguiente tabla:

Q (l/s)

40

80

120

160

200

H (m)

32.0

30.5

28.0

24.5

20.0

Pa (kW)

34.2

39.2

45.0

52.5

64.5

Aplicando las ecuaciones de regresión lineal por mínimos cuadrados, ajuste una expresión de la forma H  a  c  Q 2 , y otra de la forma η  dQ  e  Q 2 , para dicha bomba. Además, calcule su eficiencia máxima, sus características nominales (Q N, H N y PaN) y su número específico de revoluciones, ns.




__________________________________________________________________________________________________ N

N

H

 a  N  c  Q

i

i 1

N



N

η Q

2 i

i

i 1

N

i 1

i

i 1

N

N

 a  Qi2  c  Qi4

H i  Q i2

N

i 1



i 1

ηi  Q i

2

i 1

N: Número de puntos (Hi, Qi)

N

 d  Q  e  Q 3i 2 i

i 1

i 1

N

N

i 1

i 1

 d  Q3i  e  Q i4

N: Número de puntos (i, Qi)

1. Ajuste de la curva H vs. Q Se trata de determinar una ecuación de la forma H  a  c  Q 2 , y otra, de la forma η  dQ  e  Q 2 , para la bomba, aplicando los siguientes sistemas de ecuaciones N

H

N

i

i 1

N

η Q

(1)

i

i 1

N

H

 a  N  c  Q 2 i

N

i

i 1

 Q  a Q  c Q 2 i

η  Q i

i 1

N

 d  Q  e  Q 3i 2 i

i 1

N

(2)

4 i

i 1

i

i 1

N

2 i

N

N

2 i

i 1

(3)

i 1

N

 d  Q  e  Q i4 3 i

i 1

(4)

i 1

Donde N es el número de puntos (Hi, Qi) ó (i, Qi) de las respectivas curvas características. En este problema, se trabajará con caudales en m3/s. N



Hi

N



 135 ;

i 1

Q i2

 0.088 ;

i 1

N



H i  Q i2

N

Q

 2.0768 ;

i 1

4 i

 0.00250624

i 1

De (1): a



1 N

 H

i

 c  Qi2 

(5)

(5) en (2):

H 

i

 Q i2 

H i  Q i2



1  N

H

1

 N

Hi

i

 c Qi2   Q i2  c  Q i4

  Qi2  c Q i4 


c

Q  Q N 2 i

2 i



176

__________________________________________________________________________________________________

H

2 i  Qi 

1

H  Q N i

H Q c Q

2 i

i



4 i

2 i

2  1  c     Qi4   Qi2   N  

1

H  Q N 1   Q  N



i

2 i

(6)

2 2 i

Reemplazando las respectivas sumatorias en la ecuación (6), se tiene: 2.0768 

135  0.088

c 0.00250624 

5 0.0882

 312.5

(7)

5

Ahora, se sustituye el valor de c en la ecuación (5), para determinar el valor del coeficiente a, así: a

1

 135   312.5  0.088  32.5

(8)

5

Ecuación de regresión para H: H (m), Q (m3/s)

H  32.5 - 312.5 Q 2 ;

(9)

2. Cálculo de los valores de la potencia útil, Pu

 m 3  kgf     H m Pu  γ  Q  H  γ  3   Q  s m    

(10)

 m 3  kgf  m N  m   H m  1000  Q  H Pu  1000 3  Q   1000  9.81 Q  H s s m  s  kgf

Pu

J

1000  9.81

s

1000

 1000  9.81 Q  H  1000  9.81 Q  H W 

 m 3    H m kW Pu  9.81 Q  s  


 Q  H kW (11)



__________________________________________________________________________________________________

Sustituyendo los valores de Q (m3/s) y de H (m) de la Tabla de Datos en la ecuación (11), se obtienen los correspondientes valores Pu. Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, se tiene: Pu

 9.81 0.04  32 kW  12.5568 kW

(11’)

3. Cálculo de los valores de eficiencia,  η

Pu Pa

 100

(12)

Con ayuda de la ecuación (12) se calculan los respectivos valores de la eficiencia de la bomba, , completando la Tabla de Datos. Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, Pu = 12.5568 kW y Pa = 34.2 kW, se tiene: η

12.5568 kW 34.2 kW

 100  36.7958 %

(13)

4. Ajuste de la curva  vs. Q Ahora, se determinará la expresión que relaciona la eficiencia, , con el caudal, Q, que impulsa la bomba, de la forma η  dQ  e  Q 2 . De la ecuación (2),

η  Q  e  Q d Q i

i

3 i

2 i

(14)

Sustituyendo (14) en (4), se tiene:

η Q

2 i

η  Q  e  Q  Q Q

η  Q

2 i

η  Q  Q  Q

i

i

i

3 i

i

2 i

i

i


2 i

3 i



e

3 i

 e   Q i4

Q  Q Q 3 i

2 i

3 i

 e   Q i4



178

__________________________________________________________________________________________________

η  Q i

2 i

η  Q  Q  Q i

2 i

3 2   Q   i    e    Q i4  Q i2    

η  Q  Q    η Q  Q e  Q   Q  Q i



i

3 i

i

2 i

i

2 i

3 2 i

4 i

3 i

(15)

2 i

Para este caso, los valores de las sumatorias son:

η  Q i

Q

3 i

2 i

 5.812952003 ;

 0.0144 ;

Q

4 i

Q

2 i

 0.088 ;

η  Q i

i

 39.03049303 ;

 0.00250624

Reemplazando los valores de las sumatorias en la ecuación (15), se tiene: 5.812952003 

39.03049303  0.0144

e 0.00250624 

0.088 0.01442

 3828.862226

(16)

0.088

Sustituyendo este valor en la ecuación (10), se obtiene: d

39.03049303   3828.862226   0.0144   1070.069421 0.088

(17)

Con lo cual se obtiene: 3 η  1070.069421 Q - 3828.862226 Q 2 ; con Q (m /s),  (%)

(18)

5. Cálculo de la eficiencia máxima, máx El valor de la eficiencia máxima resultará de derivar la función  vs. Q, con respecto al caudal; así: dη dQ

 1070.069421  2 3828.862226 Q




__________________________________________________________________________________________________

dη dQ

 1070.069421  7657.724452 Q  0 1070.069421

Q

7657.724452

 0.1397372685

m3 s

(19)

(20)

Este es el valor del caudal correspondiente a la máx; es decir, es el caudal nominal, Q N

l

 139.74

(21)

s

Reemplazando este valor de Q en la ecuación (18), se tiene: η máx

 1070.069421 0.1397372585  3828.862226 0.13973725852  74.76428363

η máx

 74.764 %

(22)

6. Cálculo de las características nominales de la bomba, (Q N, H N, Pa N) Recuérdese que las características nominales de una bomba son las que corresponden al punto de mejor rendimiento, PMR, es decir a la máx. 6.1. Cálculo del caudal nominal, Q N En el epígrafe 5 se obtuvo el valor del caudal nominal, y es: Q N

l

 139.74

(23)

s

6.2. Cálculo de la altura nominal, H N H N

 H Q Q

H N

 26.4 m

l 139.74 N  s

 32.5  312.5 0.13974   26.3977 m (24)

6.3. Cálculo de la potencia útil nominal, PuN Pu N


 γ  Q N  H N



180

__________________________________________________________________________________________________

Pu N

m3  1000 3  0.13974 s m

Pu N

 36.19 kW

kgf

 26.4 m  3689.139

kgf  m s

(25)

6.4. Cálculo de la potencia de accionamiento nominal, PaN



η máx

Pu N Pa N

Pa N



Pa N

Pu N η máx





36.19 kW 0.74764

 48.40565 kW

 48.4 kW

(26)

6.5. Cálculo de la velocidad específica, ns ns



1/2 n  Q N 3/4 N

H

con n (rpm), Q N (m3/s) y H N (m)

, 1/2

1450  0.13974 

ns



ns

 46.54

3/4

26.4

 46.53989794

A continuación, se presenta una tabla con los valores iniciales del problema y los resultados obtenidos durante su resolución. Q (l/s)

40

80

120

160

200

H (m)

32.0

30.5

28.0

24.5

20.0

Pa (kW)

34.2

39.2

45.0

52.5

64.5

Pu (kW)

12.5568

23.9364

32.9616

38.4552

39.24

 (%)

36.71578947

61.0622449

73.248

73.248

60.8372093




__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 21

Dos bombas distintas, cuyas curvas características se expresan a continuación, han de acoplarse en serie, de acuerdo con la instalación mostrada en la figura. H B1

 69  135 Q - 4000 Q 2

;

η1

 25 Q - 230 Q 2

H B2

 54  71 Q - 4285 Q 2

;

η2

 37 Q - 380 Q 2

con H (m), Q (m3/s) y  en tanto por uno. Se desea determinar: 

El caudal que impulsarían las bombas si se acoplan en serie.



El costo unitario por m3 de agua elevada por el conjunto en serie, sabiendo que el costo de la energía es 219 $/kW∙h.

L Total

 L T  1872 m ;

ν agua

 1.141 106

m2 s

;

 k

LT

 7.4

k s = 0.2 mm = 0.0002 m Ds = Di = 350 mm Los subíndices s e i significan succión e impulsión, respectivamente.




182

__________________________________________________________________________________________________

Solución Analítica: Por tratarse de un sistema de bombas en serie, QT

 Q B1  Q B2 , y H T  H B1  H B2

(1)

1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C, se tiene: HA

 H A-C  H B1  H B2  H C

(2)

0 0 0 0  2   p C α v 2C p A α v A   z A  γ  2 g   h f s   h L s   h f i   h L i   H B1  H B2   z C  γ  2 g    

z C  z A   h f s  h f i    h L s   h L i   H B1  H B2

(3)

(4)

8  h L s  Q T2 8  h L i  Q T2   8 f s L s Q T2 8 f i Li Q T2      H B1  H B2 (5)  z C  z A    2  2  5 5  2 4 2 4   g D i    g D s  g D i    g Ds

 f s L s f i L i  8 Q T2 z C  z A   2  5  5   2  g  D s D i   g 8 Q T2

  h L s  h L i     D s4  D i4   H B1  H B2  

z C  z A  

 f s L s f i L i    h L s  h L i    H B1  H B2  5       2 g  D 5s D i   D s4 D i4 

z C  z A  

 f s L s f i L i    h L s  h L i  2  Q T  H B1  H B2   5  5    2 4 4  g  D s D i   D s D i  

8 Q T2

8

                    

   

Curva Resistente

Curva Motriz

(6)

1.1. Determinación de la ecuación de la curva motriz del sistema Hm

 H B1  H B2

(7)

Hm

 A1  B1 Q B1  C1 Q 2B1   A 2  B2 Q B 2  C 2 Q 2B 2 

(8)

Por estar las bombas acopladas en serie, FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



__________________________________________________________________________________________________

Q B1

 Q B2  Q T

(9)

Luego, Hm

 A1  A 2   B1  B2  QT  C1  C 2  QT2

(10)

Ecuación particular de la curva motriz del sistema, para dos bombas en serie. 1.2. Determinación de la curva resistente del sistema

 f s Ls f i L i    h L s  h L i  2  Q T (11) H r  z C  z A   2  5  5     4 4   g  D s D i   D s D i   8

Ecuación general de la curva resistente del sistema. En este problema, los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son iguales, es decir, D s  D i  D .

Además, por tratarse de tuberías de idéntico material

k s s  k s i  k s  constante , por las que fluye el mismo caudal QT  Q B1  Q B2  , los coeficientes de fricción son iguales f s  f i  f  . Por lo tanto, la ecuación (11) se puede expresar de la siguiente manera: H r  z C

 zA  

 f  Ls f i L i    k L s  k L i  2  Q T  5      4 4   2 g  D 5 D D D    

(12)

H r  z C

 zA  

 f L s  L i      k L s   k L i   2  Q T     2 5 4   g  D D    

(13)

8

8

Es claro que la longitud total de la tubería del sistema, L T  L s  L i , y que

 k   k   k Ls

Li

T

Luego, la ecuación (13) se reduce a la siguiente: H r  z C


 zA  

8 f L T 2

 g D

5

Q T2



8

 k

LT

2

 g D

4

Q T2

(14)



184

__________________________________________________________________________________________________

H r  z C

 zA  

8 2

 g D

5

f  L

T

 D  k L T  Q T2

(15)

Ecuación particular de la curva resistente del sistema 2. Determinación del punto de funcionamiento del sistema, PH T , Q T  El punto de funcionamiento del sistema queda definido por la intersección de la curva motriz con la curva resistente, es decir, resolviendo la ecuación (6) para el caudal, QT, del sistema. En pocas palabras, se debe calcular el valor de QT que satisfaga la siguiente igualdad: H r  H m

(16)

2.1. Cálculo del caudal total, QT Igualando las ecuaciones (15) y (16), se tiene:

z C  z A  

8 2

 g D

5

f  L

T

 D  k L T  Q 2T  A1  A 2   B1  B2  Q T  C1  C 2  Q T2 ecuación (17)

Para calcular QT que satisfaga la ecuación (17), se requiere del concurso de la ecuación de Colebrook & White, la cual expresa lo siguiente: 2.51   k  2 log  s   f  3.7 D R f 

1

con



R

4 QT πD

(18)

(19)

Reemplazando la ecuación (19) en la ecuación (18), se tiene:

 k 2.51 π D     2 log  s   3.7 D f 4 Q f T  

1

(20)

En definitiva, se trata de resolver el sistema de ecuaciones simultáneas conformado por las ecuaciones (17) y (20), cuyas incógnitas son f y QT. Ello sólo puede hacerse iterativamente, por ensayo y error, lo cual es bastante laborioso. FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



__________________________________________________________________________________________________

La manera más ágil de resolver el sistema de ecuaciones (17) y (20) es eliminando f y obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita: QT. En efecto, combinando la ecuación de Darcy & Weisbach con la de Colebrook & White, se llega a la siguiente expresión:



QT

 h f T    L T 

 D2

2 g D 

2

     k  2.51  s   log    3.7 D  h f T      D 2 g D  L  T   

(21)

y de la ecuación (4) se despeja h f s  h f s i   h f T , así: h f T

 z C  z A    k L s   k L i   H B1  H B 2

(22)

ó h f T

 z C  z A  

8

 k

LT

2

 Q T2

 g D

4

 A1  A 2   B1  B2  Q T  C1  C 2  Q 2T

(23)

Finalmente, llevando (23) a (21), y reordenando términos, resulta: QT

 0.5

2 g D5 LT

    log   2 g D3   L T

 8  k L T  Q T2  2 A1  A 2   B1  B 2  Q T  C1  C 2  Q T  z C  z A    2 4  g D  

   2.51   2  8  k L T  Q T   2 A1  A 2   B1  B 2  Q T  C1  C 2  Q T  z C  z A     2 g D 4    ecuación (24)

En la ecuación (24), todos los valores son conocidos, excepto el del caudal, QT. Con la ayuda de una calculadora programable (por ejemplo, la HP-48GX), es fácil resolver la ecuación (24), para lo cual, con los datos que aparecen en la figura del problema, se obtuvo: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín



186

__________________________________________________________________________________________________

QT

 0.080913

m3 s

(25)

Por lo tanto, el caudal impulsado por las dos bombas conectadas en serie es QT

 0.080913

m3 s

l

 80.91 . Además, f  0.0187958368401 . s

2.2. Cálculo de la altura suministrada por cada bomba en el punto de funcionamiento, HBi Para la bomba B1: H B1

 69  135 Q B1 - 4000 Q 2B1 m3  Q T  0.080913 s

Q B1

 Q B2

H B1

 69  135  0.080913 - 4000  0.0809132

H B1  31.889 m

Para la bomba B2: H B2

 54  71 Q B2 - 4285 Q 2B2

H B2

 54  71 0.080913 - 4285  0.0809132

H B2  20.202 m

2.3. Cálculo de la altura total del conjunto de bombas en serie Cuando las bombas se asocian en serie, la altura total de la asociación es, sencillamente, la suma de las alturas que suministran las bombas; esto es: HT

 H B1  H B2

HT

 31.889 m  20.202 m

HT

 52.091 m




__________________________________________________________________________________________________

3. Cálculo del caudal nominal de cada bomba, Q N El caudal nominal es aquel que corresponde al valor de la eficiencia máxima, y se calcula de la siguiente manera: Para la bomba B1: η1

 25 Q - 230 Q 2

d η1

 25 - 460 Q  0

dQ

Q N 1





Obsérvese que Q N 1  0.05435

25 460 m3 s

 0.05435

m3 s

 Q T  0.080913

m3 s

Para la bomba B2: η2

 37 Q - 380 Q 2

dη2 dQ 

 37 - 760 Q  0

Q N 2

Nótese que Q N 2  0.04868



m3 s

37 760

 0.04868

m3 s

 Q T  0.080913

m3 s

4. Cálculo de la eficiencia máxima de cada bomba, máx Para la bomba B1: η máz , 1

 25 Q N 1 - 230 Q N2 1

η máz , 1

 25 0.05435 - 230 0.054352  0.6793  67.93 %




188

__________________________________________________________________________________________________

Para la bomba B2: η máz , 2

 37 Q N 2 - 380 Q N2 2

η máz , 2

 37 0.04868 - 380 0.048682  0.9007  90.07 %

5. Cálculo de las eficiencias en el punto de funcionamiento, Bi La eficiencia de cada bomba, en el punto de funcionamiento del sistema, se obtiene reemplazando el valor del caudal correspondiente al punto de funcionamiento del sistema, Q T  0.080913

m3 s

, en la respectiva ecuación de rendimiento de la bomba:

Para la bomba B1: η B1

 25 Q T - 230 QT2

η B1

 25 0.080913 - 230 0.0809132  0.5170  51.70 %

η B2

 37 QT - 380 QT2

η B2

 37 0.080913 - 380 0.0809132  0.5060  50.60 %

Para la bomba B2:

6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i Pa i

Pa1

Pa2







Pu i ηB i



γ QB i  H B i ηB i

γ Q B1  H B 1 η B1

γ QB 2  H B 2 ηB 2





m 3   1000 kgf       0.080913   31.889 m s  m 3    0.517 m 3   1000 kgf       0.080913   20.202 m s  m 3   


0.506

 4990.78

 3230.44

kgf  m s

kgf  m s



__________________________________________________________________________________________________

7. Cálculo de la potencia útil del conjunto, PuT kgf   m 3  kgf  m    52.091 m  4214.84 Pu T  γ Q T  H T  1000 3    0.080913 s  s m    Pu T

N  m s

 4214.84  9.81



4214.84  9.81 kW  41.35 kW 1000

8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto, T ηT



Pu T



N

P

Pa T



Pa 1  Pa 2

γ QT  HT γ Q T  H B1 γ Q T  H B 2

ai

4214.84 ηT



ηB1

i 1

ηB 2

kgf  m



s

4990.78  3230.44

kgf  m

 0.5127  51.27 %

s

9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT Pa T



Pu T ηT



41.35 kW 0.5127

 80.65 kW

10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu Cu



C energía  E absorbida Volumen elevado



C energía  Pabsorbida  t bombeado Q bombeado  t bombeado



C energía  Pa T  t b Q T  t b

$    219   80.65 kW  1 h  $  kW h    Cu  60 . 64 m3  m 3   0.080913   3600 s s  




190

__________________________________________________________________________________________________

Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento: En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.




__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 22

Resolver el problema (21) bajo la consideración de que las dos bombas estarán asociadas en paralelo.

Solución Analítica: Por estar acopladas las dos bombas en paralelo, H B1  H B2  H T , y QT  Q B1  Q B2 1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C de la figura, resulta: HA

 H A-C  H T conjunto  H C

(1)

Al reemplazar en la ecuación (1), resulta: zA

 h f s   h L s   h f i   h L i   H T  z C

(2)

Reorganizando los términos en la ecuación (2), se tiene:

z C  z A   h f s   h L s   h f i   h L i   H T FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

(3) Ramiro V. Marbello Pérez Escuela de Geociencias y Medio Ambiente


192

__________________________________________________________________________________________________

La ecuación (3) presenta dos variantes distintas, según que se considere la trayectoria A  B1  U  C o la trayectoria A  B2

 U  C , y son las siguientes:

z C  z A  

 f s 1 L s 1  k L s 1  2  5   Q B1  28 2 4  g  D s 1  g D s 1 

z C  z A  

 f s 2 L s 2  5  2  g  D s 2

8

8

 k

Ls2

D s42

 f i L i  k L i  2  5   QT  HT 4  Di D i  

 2  Q B 2  28   g 

 f i L i  k L i  2  5   QT  H T 4  Di  D i  

(4a)

(4b)

Normalmente, las longitudes de las tuberías de succión en un sistema de bombas en paralelo son cortas, por lo cual se pueden ignorar las pérdidas de carga en dichas tuberías. Por esta razón, las ecuaciones (4a) y (4b) se vuelven idénticas, resultando:

z C  z A  

8 2

 g D

5 i

f L  D  k  Q  H  H  H i

i

i

2 T

Li

T

B1

B2

              

  

Curva Resistente

Curva Motriz

Por otra parte, como se dijo al principio,

QT

 Q B1  Q B2 ,

(5)

(6)

2. Cálculo de la altura suministrada por el conjunto de bombas en paralelo, HT Los caudales Q B1 y Q B2 se despejarán de las respectivas ecuaciones de H vs. Q, de la siguiente manera: H B1

 A1  B1 Q B1  C1 Q 2B1

 Q B1



 B1  B12  4 C1 A1  H B1  2 C1

(7)

(8)

Así mismo, HB 2

 A 2  B2 Q B 2  C2 Q 2B 2


(9)



__________________________________________________________________________________________________

 QB 2



 B 2  B 22  4 C 2 A 2  H B 2  2 C2

(10)

Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (6), sabiendo que H B1

 H B2  H T , se tiene:

 B1  B12  4 C1 A1  H T   B2  B22  4 C 2 A 2  H T  QT   2 C1

(11)

2 C2

La ecuación (11) se sustituye en la ecuación (5), resultando:

z C  z A  

8 2

5

 g D i

f L i

i

 D i  k L i  2

  135  18225  16000 69  H T   71  5041  17140 54  H T       HT 8000 8570  

(12)

Estas dos ultimas ecuaciones se resolverán iterativa y simultáneamente junto con la ecuación de Darcy & Weisbach combinada con la ecuación de Colebrook & White, la cual elimina la variación de f con QT.

QT



 D i2 2

2 g Di

 h f i     L i 

     k  2.51    log  s i  3.7 D  i  h   D i 2 g D i  f i     L i   

(13)

A continuación, se presenta la ecuación general que integra en una sola a las ecuaciones (11), (12) y (13), adecuada para calcular HT, dados los valores de las restantes variables:




194

____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________

 B1  B12  4 C1 A1  H T  2 C1



 B 2  B 22  4 C 2 A 2  H T  2 C2



 8  k L i   B1  B12  4 C1 A1  H T     H T  z C  z A  2 2 Li  2 C1  g D i4    2   B 2  B 22  4 C 2 A 2  H T    k 2.51     log s i   2 C2    3.7 D i D 2 g D i H  z  z   i T C A  Li      2  8  k L i   B1  B12  4 C1 A1  H T   B 2  B 22  4 C 2 A 2  H T        2  4 2 C1 2 C2  g D i     D i2

2 g Di

(14) En la ecuación (14) debe descartarse el signo (+) del término

B2

 4 C A  H T  ,

dado que éste es mayor que (-B), y siendo C < 0, por lo cual resultarían valores negativos para los caudales Q B1 y Q B2 . Para el problema que se está resolviendo, se conocen los siguientes parámetros:

A1 = 69;

B1 = -135;

C1 = -4000

A2 = 54;

B2 = -71;

C2 = -4285

zA =1.5 m

zC = 49.7 m

Di = Ds = 0.35 m

Li = 1872 m

k Li Li = 7.4

 = 1.141 x 10-6 m2/s

g = 9.81 m/s2

k sisi = 0.0002 m




__________________________________________________________________________________ _____________________________________ _____________________________________________________________ ________________

Al resolver la ecuación (14) para HT, resulta: HT

 51.189 m

(15)

Así mismo, H B1  H B2  H T  51.189 m

(16)

3. Cálculo de los caudales aportados por las bombas, Q B1 , Q B2 y Q T Sustituyendo este valor en las ecuaciones (8) y (10), respectivamente, resulta: Q B1

Q B2

 0.0519536  0.0186321

m3 s m3 s

 51.95  18.63

l s l s

Por lo tanto, Q T  Q B1  Q B2  0.0705857

m3 s

 70.59

l s

4. Comprobación del cálculo de los caudales Q B1 y Q B2 Con los caudales Q B1 y Q B2 calculados en el numeral anterior, se puede comprobar que H T  51.189 m  H B1  H B2 . En efecto, H B1

 69  135  0.051954 - 4000  0.0519542  51.189 m

O.K.

H B2

 54  71 0.018632 - 4285  0.0186322  51.189 m

O.K.

5. Cálculo de las eficiencias de las bombas, B1 y B2 η B1

 25 Q B1 - 230 Q 2B1

η B1

 25 0.051954 - 230 0.0519542  0.6780  67.80 %

η B2

 37 Q B 2 - 380 Q 2B 2

η B2

 37 0.0186321 - 380 0.01863212  0.5570  55.70 %




196

____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________

6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i Pa i

Pa1

Pa2

Pu i





ηB i

γ QB i  H B i ηB i

γ Q B1  H B 1



η B1

γ QB 2  H B 2



ηB 2



kgf   m 3   1000 kgf     0.051954   51.189 m s  m 3    0.678

 3922.53

kgf   m 3   1000 kgf     0.0186321   51.189 m  s  m 3   



0.557

kgf kgf  m

 1712.31

s

kgf kgf  m s

7. Cálculo de la potencia útil del conjunto de bombas asociadas, PuT kgf kgf   m 3  kgf kgf  m    51.189 m  3613.21 Pu T  γ Q T  H T  1000 3    0.0705857 s  s m    Pu T

N  m s

 3613.21 9.81

J s

 35445.59  35.45 kW

8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto de bombas asociadas, T

ηT



Pu T



N

P

Pa T Pa 1  Pa 2

3613.21



kgf kgf  m s

3922.53  1712.31

ai

kgf kgf  m

i 1

 0.6412  64.12 %

s

9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT Pa T



Pu T ηT



35.45 kW 0.6412

 55.29 kW

10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu Cu



C energía  E absorbida Volumen elevado




C energía  Pabsorbida  t bombeado Q bombeado  t bombeado



C energía  Pa T  t b Q T  t b



__________________________________________________________________________________________________

 219 $   55.29 kW  1 h    $ kW  h    Cu  47 . 65 m3  m 3   0.0705857   3600 s  s   Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento: En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.




198

__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 23

Analizar e interpretar cualitativamente los resultados de los Problemas 21 y 22. BOMBAS Y ASOCIACIÓN

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

BOMBA No. 1

HB1 = 69 – 135 Q – 4000 Q 2

B1 BOMBA No. 2 B2

EN SERIE

EN PARALELO

B1 = 25 Q – 230 Q2

HB2 = 54 – 71 Q – 4285 Q 2 B2 = 37 Q – 380 Q2

QT = QB1 = QB2 HT = HB1 + HB2

QT = QB1 + QB2 HT = HB1 = HB2

CAUDAL

ALTURA

EFICIENCIA

POTENCIA

Q (m /s)

H (m)

 ( % )

P (kgf.m/s)

3

Q N1 = 0.05435

H B1|Q=0 = 69

máx, 1 = 67.93

Q N2 = 0.04868

H B2|Q=0 = 54

máx, 2 = 90.07

QB1 = 0.080913

HB1 = 31.89

B1 = 51.7

QB2 = 0.080913

HB2 = 20.20

B2 = 50.6

QT = 0.080913

HT = 52.09

T = 51.27

QB1 = 0.051954

HB1 = 51.189

QB2 = 0.018632

HB2 = 51.189

QT = 0.070586

HT = 51.189

COSTO DE ELEVACIÓN

Cu ($/m3)

Pa1 = 4990.78 Pa2 = 3230.44 PaT = 8220.87

60.64

PuT = 4214.84 Pa1 = 3922.53

B1 = 67.8

Pa2 = 1712.31

B2 = 55.7

PaT = 5635.07

47.65

PuT = 3613.21

En el cuadro resumen, se presentan los resultados de los problemas 21 y 22, en los que se considera la asociación de las bombas en serie y en paralelo, respectivamente. De dicho cuadro se pueden extraer las siguientes conclusiones: i. La operación de bombas asociadas en serie conduce a un funcionamiento bastante alejado del punto de funcionamiento óptimo. ii. Bombas distintas acopladas en serie o, lo que es lo mismo, acoplar rodetes diferentes en una misma bomba multietapas, no pueden funcionar simultáneamente cerca o en el punto óptimo de funcionamiento respectivo. iii. El rendimiento global de dos o más bombas distintas, asociadas en serie, es relativamente bajo, tanto más bajo, cuanto más bambas diferentes se acoplen.



Problemas Bombas Resueltos

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