UNIVERSIDADNACIONAL DE INGENIERÍA FACULTADDE CIENCIASY SISTEMAS DEPARTAMENTODE FÍSICA GUÍA DE CLASEPRÁCTICADE ELECTRoESTÁTICA PREGIINIAS DE SELECCIÓN(Lasunidadesqueno semuestransonS.I.) 1 Una partícula de S-mCde cargase encuenüaen el origen de coordenadas.Si un detectormide una intensidad f =(a? +a j )x 104NlC La üstanciadela cargaal puntoes: a)
b)
900
30
c)
d) veoo
1/30
e)
40,145n
2. Una gota de aceite cargada y con masa Q2 g se mantiene suspendida en el aire por causa de la gravedad y un campo eléctrico de 98 N/C dÍri$do hacia abajo. La carga de la gota, en coulomb es:
a)
-2 X L0-s
b)
+5x104
c)
-S x 104
d) NDLA
3. Una partícula con carga positiva se suelta del reposo en una re$ón donde existe un campo eléctrico horizontal constante y dirigido hacia la derecha. Si el peso de la partícula no es despreciable, diga cual esla trayectoria que mejor describesu movimiento.
c)
\a) \
\
4. Las dos esferitas tienen cargas iguales y están unidas por un hilo de seda, I está fija al plano no conducton Después que se corta el hilo, diga que gráfica representa de manera aproximada la aceleraciónde 2.
77-7 ,
b.
-7-7-7-7
7'7-7
7-7'-/-7.-7'7-7-777/-7-77,
7-7-7-T
Las cargas puntuales +q y - q estánsituadas en (- d ; 0) y (d ; 0)
5.1 El campo eléctrico en el origen de coordenadases: a) c) kqldz b) 2kqldz
d)
5.2 La fuerza neta que experimenqaría+2q situada en el origen es: c) kq'ld' b) 2kq2ld2 a) +kq2ld2
d) cero.
2kql4d2
5.3 El potencial eléctrico en el origen de coordenadases: a)
kqld
b)
zkqld
c)
kqlzd,
d) cero.
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6, Un campo eléctrico uniforme de 100 N/C forma 300 con el momento dipolar de un dipolo eléctrico. Si el momento del dipolo es 6 x l-O-e el torque que enperimenta el dipolo es:
a)
¡J5xt0-?
c) z^[lxn-'
b)
3x10-7
d)
e) NDLA
6x10-7
7. Una esfera conductora con ' 25¡.r.C de carga se lleva al aula, el flujo neto a través de las paredes del aula es: d)0 a) b) 25xL0-s c) 2,2xLos 2,8x 108 e) No se puededeterminarsin conocerlas dimensionesdel aula. B. El flujo a travós de una cara de un cubo, que tiene centrada una carga puntual de -3,00¡rC -3.10-6/ €o -L0-6/2 eo +3.10-6/€0 a) b) +10-6/2eo c) d)
es:
9. La naturaleza irrotacional del campo eléctrico impone algunas restricciones a su forma. ¿Cuál de Ias sigqientes^expresiones es_válidapara un campo eléctricq?
a)
E=U i+Zyz'j+3xzk
b)
É,- y,i+(Zxy+zr)j+Zyzi<
PROBLEMASRESTJELTOS 1. Un tipo de cuadripolo, tiene la configuraciónde la figura, calcular J, ."-no
eléctrico en
P(R;0) lqil=q,=lqil=so=q Solución:El cuadripoloes de lado 2Q,
y estácentradoen el origen;el punto de interésestásobreel ejex
y a R del centrodel cuadripolo.Recordemos que el campode una cargapuntuales É,=*"1 ? r"
y 0z=0¡ 0r=00 l"r=rr=/{R*ffi y losángulos son: .r=ro=/[R*of*o' Lasdistancias De modoquepor simetría,tenemos: Er*=Eo, y Erx=E¡* porlotanto Ex=0 E"= Xf,o= -Er*+Eo*+Er* -Er* Erv=E oy y Er"=Er" así Er= X E,r=+Er"+Eo*-Err-Er"=2XEr senOr-2XErsen0, 2ruqa 2r"qa ¿y=----T-----T-r;12
E,=2r"qat(ilhf
I tara R)o
((n-a)2+a')v'
tr--!*#Ug) tenemos
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2. Seauna varilla dieléctrica semÍ infinita, con densÍdad I del campo eléctrico a una distancia R de un extremo.
determinemos el vector de intensidad
El aspectobásicoes tomar comocampoelécuicode un elementode carga,el modelodel campoeléctricode una cargapuntual,luegosuperponemos las contribuciones de los infinitos elementosde cargaque contituyen la configuraciónde carga. 10 E[jamos un sistemade Referencia.La descripciónde la contibución y algunasparticularidades de su cálculo,dependenel sistemade referenciaelegido. El vectorde intensidaden un punto dado,dependetando de la configuraciónde la distribucióny su densidad,comode la posiciónrelativadel puntode interés.
X Representemos un elememtode carga:gráficamente, y describamos 20 matemáticamente la regiónque ocupala carga. Elegimosun elementode cargacualesquiera y lo representamos tantoa él comosu posición. dq=l, dL Descripcióngeneral dq=l, dx Descripciónparticular Ubicadoen un puntode coordenadax tal que 0
30
El vector i describela posicióndel puntode interés,relativaal elementofuente. r2=x2+R2 Seasomalacoordenadaangular; asíescribimosx=Rtang y r=Rsecg 40 Representamos el campocreado,por el elementode carga,en el punto de interés.Representación gráfica. matemáticageneraly representación La contribución aÉ,=*t!q f r' y tenemosen menteel replanteode las coordenadas para Examinamossu cantidadde componentes 5o luegodescribirlas. El vector d E tienedos componentes x ey 60 Analizarla simetríadel campo,en el puntode interés. 70 Integramoscadacomponenre. rc-do La componente x es d Er=¿B 5¿¡¡Q=-:;jsen
,ñ
0 con
seng=i asíque:
rrl,xdx
QL n-=-""""":-r"
para r=Rsec0 tenemosx=Rtan0 y Replanteando la contribución
0e[0 ;n12)
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dEr=
r"l,R2tan0sec20d0 R3sec30
Krtr ¿x=-I-
K 1e cos0 conasíque: "os r rt)'" cos0dx r ¡ ) ' , c o s 0 R s e c 2 0 d 0 abv=--T-= 0 e [ 0 ;¡ / 2 ) R2sec2o
y es d Er= ¿g La componente
0-
Er=+
formaldelvecror 80 Escritura deintensidad delcampo eléctrico.E=+1(-i*i)
3. Consideremosun anillo cargado, centrado en el plano XY y determinemos el vector de intensidad del campo eléctrico en un punto axial z>0 El sistemade referencia con origen en el centro del anillo y con un eje axial al anillo es el más adecuadopara describir el problema, y es mas afortunadoque el punto de interésseadel eje de simetría. La descripcióndel elementode cargala hacemosen el plano xy
d q = ^ ,d s=7R'"d 0
0 e [0 2 ru ]
ds=RdO El vector i parte del dq en Ia basecircular, hastaP e V bane la superficie de un cono imaginamos que circular recto, en el procesode sumade vectoresde dÉ El módulodel vector í esconstante 12=R2+22 La
definición
general ¿rt=ÍElq-¡
distribución lineal ¿ É=
r"
,
para
Ia
*"tdt i r-
Para el elementode carga situado en eI primer cuadrante, dE üene componentes x e y negaüvas y para el elemento de carga simétrico, i.e del tercer cuadrante, dE tiene componentesx e y positivas. En suma, cada elementode carga del anillo, üene un simétrico, de igual magnitud de modo que el campo total no posee componentesx e y, sino sóIo componentez. Preferimos decir que el campo en el punto axial es normal al plano del anillo.
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La componentez del campoviene dadapor dEr=flBs"rp formael vector i
con el planoxy,
rc"}"R zd 0 d EFL r 2nrc,XRz
Er={frff "
donde B es el ángulo, constante,que
sen$=z
r
0e[02¡]
sea Q=2nR}" Er==4ú3* -¿
(R'+z')3t'
lR'+z')'''
4. Campo eléctico de un disco con carga superficial unifrme, en un punto axial. calculamosel campo eléctricodel disco a partir del.campocreadopor el anillo, del ejemploanterior. La cargadel anillo seráel elemento_de cargaparala determinación del camfo del disco.Siendoahora dq=o dA El campoaxial del anillo se constituye,en el campoelementalde un discocon densidaduniforme o el raüo de anÍilo varíadesdecero hasta d parabanertodael áreadel disco r,e(0;a)
an=anr=ffi r'=r'2+22 y
dE P(0;0;z)
dq=odA-Zno r' dr'
r'dr'=rdr
Znrcro zdr aEz=---7-
re(z;r[3;7)
Er=Znrrot1-ffiJ
)E=2IrKEo tr a>>lzl si a<
Ejemplo. campo axial creado por una superficie cilíndrica. una superficiecilíndrica de radio R v longitudL, tieneuna cargadistribuidauniformemente con densidad o Determinemosel campoeléctricl en un puntodel eje de simetríaa una distanciaa del extremo.
P(L+¿;
El campocreadopor el elementode cargaes l_p=KuorA
i
y dA=2nRdx con x€(0;¿)
RazoneUstedsobrelas premisasqueconducen ,rurr.rl. Or* E v = E z - 0 " La componente x es dE"=6f¿satg Es máscómododescribirla en términosde
x'=L+a-x
Así
¡=(x't+R2)t/2 y
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cos0=x'/r
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Replanteando el elemento deárea dA=-ZnRdx'
y loslímites x'e(L+a,a)
Znr"o x'dx' d E .x--1";i¡z¡aii =
sustituyendo u2=x'2+R2 re(Jk*óTF;,ñTnt¡
Ex=2n*olfr#-re*rer
PROBLEMAS PROPUESTOS ELÉCTRICO DE LADISTRIBUCIÓN COMÍI\TUA. VECTOR DE INTENSIDAD DEL CAIVTPO 1. Una üstribuciónlineal uniformede cargaQ y de longitudL, estásituadasobreel eje X con uno de sus extremosen el origende coordenadas.Detemrineel valor de la fuerzaqueejercesobreunacargapuntualq situada enel punto P(x>I;0)
-É = 1 Q g f 4neox( x- .[) '
2. Una varilla no conductorade longitud f,=0,40m posee una carga Q=Z4tt,C disuibuida del campoeléctricoa /=0,20 m dedistanciadela varillasobresu uniformemente. Calcula¡la intensidad planobisector.
E=3,8jttt¡ tc
3. Un segmento. dielécuicorecto estácargadocon una densidadlineal constante ?i y estáüspuesto x del campo eléctrico en el punto desdex=xr hasta X=Xz Demostrarque la componente
P(0;y*0) es rr=-5:.L¡.os(tan*t1)-cos(r*-*)l '
v
v'
y"
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y un arcode radioa. Determine 4. La distibución lineal condensidadconstante ¡" tienedossemi-rectas el vectordeintensidaddel campoeléctricoenel origendecoordenadas.
E = r " I !.
Yi
j)
o
x :.
t cargas+Q y -Q se doblanen fonna arcos $ formandouna semi-circunferencia. Demuesüeque el vectordel campoeléctrico,creadoen el origenes -n 5. Dos varillas no conductoras,cadauna de longitud
E=-*i n"e¡R'-
, respectivamente. 6. Dosrectasinfinitascargadas(fo) estánsituadasen el planoXY en x=to Un segmentorecto de longÍtud .L y masa m ocupandoze[L;LL|, poseeuna densidadlineal ], Determinar: a) El campoelécuicocreadoen P (0;0; z) y dibujarsu gráfica;b) El valor de l, paraque enequilibrio el segmento semantenga
z¡ I
al z=ZL I
I
rl
Y+ I
I
I
II
ll z=L i l.'
.......
-..L
I
r't r v¡ a I
--)
x
¡
I a a I 'l
xt''
i
7. Con una varilla delgadade longitud L=4a cargadauniformementecon una densidad I se conformaun cuadradoy se disponecentradoen el planoXY Halleel campoelécuico E(0;0; z=c) v grafíquelopara zef-Za; +Zal
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B. Un üapeciocircular de radio a y b>a poseeuna cargapor unidadde área o situadosimétricamenteal eje Y y con ángulocentral n/6 Calcular el vector de intensidaddel campoeléctricocreadopor esacargaen el origen de
E- -* oml ? coordenadas. o"
9. Unasuperficiehemisférica aislantederadioR y cpe[n /2 ; n ] üeneuna cargasuperficial a Delrostrarque el vectorde intensidaddel campoelécnicoen el centrode curvatura delhemisferio es E=(4-)k '4 €o'
LEY DE GAUSS. 10. Determinarel flujo del campoeléctico oeado por dos cargaspuntuales+q y -q situadosen los extremosde un segmentode longitud 2L a travésde un círculo de radio R perpendicularal segmentoy coincidiendo sucentrodecurvatura conel puntomediodelsegmento.O"=4 tf -¿llnt-?]
YT
z^' l-1. Demostrarque el flujo del campoeléctricode una distribuciónlineal recülíneasemi infinita de densidad constante I a travésde un círculo de radio R situadoen su extremocon el centroen la línea y perpendicular a ella es Q¡=)"R/2 eo 12. Una moneda neutra se coloca en una región donde existe un campo eléctrico uniforme, de perpendiculara las caras. Hallar la magnitud de la densidad de carga de cada cara, 1,60kN/C planas. Si el radio de la monedaes 1,00 cm, hallar la c¿rgaen una cara. suponiendolas L4,2nClm2 4,45pC 13. Demostrarque el vector de intensidaddel campo eléctricode una recta infinÍta con carga por longitud unitaria l. es E=Xil?neor
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14. Hallar el campo eléctrico creadopor el plano infinito z=0, cargapor áreaunitaria o
E_
*fr l€o -+[ l€o
con
si z>o sÍ z<0
15. Determinarel campoeléctricode una distribucióncribicade carga con densidad p contenÍda en un volumen cilíndrico de radios a y b de longitud infinita. Dibujar su gráfica.
É=ó
É=*,r(r,-a,)é,
É=*(b,
t'
Y
-a,)é,
POTENCIAL ELECTROESTATICO. GRADIENTE DEL POTENCIAL. ECUACIÓN DE POISSON. 16. El potencial eléctrico en cierta zona del espacio depende de la coordenada x según la ley V(x)=a¡3a6 dondeaybsonconstantes, Hallarladistribucióndelacargavolumétrica. P ( x ) = - 6 e oa x
17. Determinarel vector de intensidadde un campoeléctricocuyo potencialdependede las coordenadasx e ysegúnlaleya)c0=a(x'-y') b) g=dxy dondeaesunaconstante.
É,=-2a(x?-yi) É,=-a(yi+xi) 18. Determinarel vectorde intensidaddel campoeléctrico,cuyopotencialviene dadopor
a esun vectorconstantey
i
cp=A'7 donde
el radiovectordel puntodel campo' É=-á
esun campouniforme.
19. El potencial de una esfera cargadadependeúnicamentede la distancia hasta su centrosegrinla ley dela cp=a r'2+,b dondea y b son constantes.Hallar Ia distribuciónde cargavolumétrica p(r) dentro esfera.
p=-6d€0
20. El
campo eléctrico en los puntos interiores de una esfera de radio R=2,0 m es
f (r
b) La densidadcúbicade carga,c) E(r>R) Hallara)Lacargadela esfera,
y d)
v(r>R)
Q= 1,G4C;p= #p
Clm s v=0,g0( 4-r') tW V
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21' se tieneuna distribucióncúbicauniformede cargaesférica de radio R y cargatotal e1 y sobrela superficiede raüo R una carga Qoc on densidad o0 El potencial interior de la esferaestádadopor pr=Kr+Kzr' y .l potencialexterior Determinar: a) Los valoresde las constantesKrKz y *r=f K3 b) E(rR) yc)Dibujarelperfildelasgráficasdelcampoyelpotencial.
Kr=KW
*r=-*
rr=reo+e,E(rR)=¡qry
22' un campoeléctrico,est1d"9o porla ley É= a x? dondea esunaconsrante posiüva.a) ¿cuálesson lasunidades dea ensI? b) ¿cuántótraba¡oserealizapor este.r*po cuando ,. mü.u. unacargaq desdeel origenhastael punto x7
vtm2
lnor'
23' ¿cuántotrabajoserealizaal trasladarla cargade 2 x 1"0-8 C desdee infinito hastael puntosituadoa la distanciade 1,00cm dela superficiedeunaeiera derra" E".l a 1,00cm conunadensidad superficial decargao=LnClm2? 1,13x10-4J 24' unavariüa delon$tud L tienediseibuidauniformemente unacargae. a)calculeel potencialeléchico enel puntoP' b)useel resultado anteriory argumentos desimetríaparahallarel campoeléctricoenp. c)si unapartículademasam y carga-Q selania háciael hilo conuni r"iia." v-0 desdeel punto(sL;0)halle v(x=2L)
*=frn{t.*)r1")=ffi v(x=21)= uá*ffmr,zs
25' una varilla no conductoradeloagitud 2a esrria 19largodel ejex centradaen !¡¡ el !t origen ur¡ y tie¡e una densÍdad decargauniforme r carculeel potencialetéctricóenp.' r_T___-. v=2rc1,.In\i o-+y'+a
v
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26. Un anillo dieléctrico centradoen el plano XY y de radio R tiene una carga total Q disuibuida uniformementeen toda su longitud. a) A partir del campoaxial determinadoen el problema8 halle a diferenciade potenciaLv(z=2R)-v(z=0) b) Si una partículade carga q>0C se coloca en (O;O;}r) encuentre la rapidez máxima que alcanza la partícula, evalúe para Q = l U . C , Q = 8 p r . C ;m = 2 0 9 , . R = 3 , 0 m y H = 4 , 0 m
+X
..f:--.
27. Seha comunicado cargasopuestas a dossuperficies cilínüicascoaxiales,de modoquesuscargaspor unidad de longitud de ambassuperficiesson iguales en módulo. La densidadsuperficial en ambas superficiesesuniforme. Calcularla diferenciadepotencialenbelas superficies. ^L
¡ v---&-¡1s ¿fieo o 28. Un cilindro conducto¡ muy largo de longitud L y radio Ro, tiene una densidadde carga superficial uniforme o El cilindro está a un potencial elécuico v0 ¿Cuál es el potencial en los puntos muy alejados del extremo,a una distanciar del centrodel cüindro?Determíneloparaa) rRo
v(r>Ro)=vr-**ü
v(rcRo)=vo
29. UnaesferametálÍcaderadio c poseeunacargaQ y estáenel centrodeun casquete esféricoderadios b y c>b queüeneunacarganetaiguala cero.Encuéntresev(r)
-|t v(a>>b)-'.ot].f -f t v(b>r>c)='.ot].f v(r>c)=¡6Q. (Rcr<2R)esuáocupadapor 30. La*r"*U.radioRylacorona(2R
p(n
o1=5eaE, or=-3eo¿r
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p=3eoEr/R
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31,. Una cargaQ estádistribuidauniformementepor el volumende una esferade radio R. suponiendoque la constantedieléctrica es igual a la unidad en todaspartes,determinarel potencial: a)En el centro de la esferay b)Dentrode la esferaen funciónde la distancia r desdesu centro.
.t-) y^--!Qv(r
l>>R 33. Una distribución contínua de carga, esféricamentesimétrica, produce un potencial que varía proporcionalcon Lnr ¿Cómovaríael campoeléctrico?¿Quédistribuciónde cargaproduciríaesecampo?
ENERGÍA. MOMENTO DIPOLAR. CAPACITORES. 34. Determinela energíapotencialelectroestáticatotal de una esferano conductorade radio R que tiene una cargatotal Q distribuidauniformementeen todo su volumen. 3Q' r r--
"
20rra^R
35. Un dipolo puntual,cuyo momentodipolares 2,40x10-8Cnr estáorientadoformandoun ángulode de 3X l-04V/m. Calculeel momentode 600 con un campoeléctricoconstanteaplicadoexteriormente, rotaciónejercidosobreel dipolo y el trabajorealizadopor el dipolo al alinearel momentodipolar.
36. Hallar la capacitanciade un capacitorcilíndrico cuyas armadurasson de radios a espacioseha llenadode un dieléctricoisótropode permitividadrelativa €r constante.
y
b cuyo
-- 2ne^e-L lnbla Rz quesellenacon l . - -
37. Calcularla capacidadde un capacitoresféricocon armadurasde radios Rr Y un dieléctricoisótropocon permitividad er constante.
4n €^RR , "
rv -- ------:----:---2 Rr-R,
38. Determinarla capacidaddel sistemade capacitoresentre los puntosA y B, que se muestra.Cuatro láminasidénticasdistantesa una de otra se sitúanen el aire. El área de cada lámina es S' Calcularla entrelos puntosA y B. capacitancia
am
B
+l l-FJl--Hl-f' Colecüvode FísicaII/J Arguello S
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39. Un capacitorestáhecho con dos placasparalelasseparadasuna distanciade t,2}mm. La magnitud de la cargaen cadaplacaes de 0,0240¡"tC cuandola diferenciade potenciales de 200V. ¿Cuáles la capacitancia?¿Cúales el áreade cadaplaca?¿Cuáles el máximo voltaje que se puedeaplicar sin que haya rupturadieléctrica?Cuandola cargaesde 0,0240¡l C, ¿Cuálesla energíaalmacenada?
40. El dieléctricoque se va a utilizar en un capacitorde placasparalelases una variedadde gomaque tiene una constantedieléctricade 3,40 y un campode rupturade 2,00x107y/m. El capacitordebetener una capacitancia de I,37 nF y debesoponaruna diferenciade potencialmáximade 6,00 ky ¿Cuáles el áreamínimaque debentenerlas placas?
L,37xL}-'mz 41. En la figura cadacapacitores 2,00¡.tF y v¿a=40,4V en cadacapacitory la diferenciade potencial v AD
Calculela carga
I6,2¡t"C 32,3¡rC 48,5¡rC 8,08y 16,2V 24,2V
^*dHl-L
!tr"{
""--JF 42. ¿Cuántaenergiapuedealmacenarse en un capacitorcon dosplacasparalelasde 64,0cm2 y separadas por un entrehienode L,30mm lleno de porcelanacon resistenciadieléctricade 7,0 si las cargasde las placasson +420ltC ?
43 Un capacitorplanocon aire de entrehierrose conectaa una bateríade 6,00 V. Despuésde la carga,la energíaalmacenadaes de 72,0nJ. Sin desconectarde la batería,se introduce un dieléctrico en el entrehierroy de Ia bateríafluyen 3I7 nJ adicionalesde energía. ¿Cuál es la constantedielécEicadel dieléctrico?Si el áreade cadaplacaes 50,0cm2 ¿Cuáles la cargasobrela placapositivatrasinsertarseel dieléctrico?¿Cuáles el campoeléctricoentrelas placasantesde insertarseel dieléctrico?¿Cuáles el campo el dieléctrico? eléctricoentrelas placastrasinsertarse 5,40 0,129¡t.C 5,42.r0sN/C 5,42.10sN/C
44. lJn capacitorde 8,00pF se carga por completoa una batería de 240V, se desconectade la batería y a continuaciónse conectaa otro capacitordescargadode capacitanciaC y se encuentraque la diferenciade potencial a través del capacitores de 80,0y. ¿Cuál es el valor de C? ¿Cuántaenergía terminapor ser almacenadaen el segundocapacitor?
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