16. 16. Dos Dos insp inspec ecto torres de calid calidad ad supe superv rvis isan an fall fallas as en artí artícu culo los. s. Si se encuen encuentra tra una falla falla,, será será detect detectada ada por el prime primerr inspec inspector tor con con una proba probabil bilida idad d de 0.9 y por por el segundo segundo con una proba probabil bilida idad d de 0.7. 0.7. Suponga ue los inspectores traba!an de manera independiente. a" Si un artí artícu culo lo tiene tiene una una fall falla, a, #$uál #$uál es la prob probab abili ilida dad d de ue la detecten ambos inspectores% b" Si un artí artícu culo lo tiene tiene una una fall falla, a, #$uál #$uál es la prob probab abili ilida dad d de ue la detecte al menos uno de los inspectores% c" Suponga Suponga ue el segundo segundo inspecto inspectorr revisa revisa solamente solamente los los artículos artículos ue &an sido aprobados por el primer inspector. Si un artículo tiene una falla #$uál es la probabilidad de ue el segundo inspector la detecte% Solución: a) Si un artículo artículo tiene tiene una falla, falla, ¿Cuál es la probabili probabilidad dad de que la detecten ambos inspectores? '()" * 0.9 '(+" * 0.7 P ( A n B )= P ( A ) . P ( B ) P ( A n B )= ( 0.9 ) . ( 0.7 )
P ( A n B )= 0.63
b) Si un artículo artículo tiene tiene una falla, falla, ¿Cuál es la probabili probabilidad dad de que la detecte al menos uno de los inspectores? P ( almenosunoladetecte )=1 − P (ninguno ningunolo lo tetecte) P ( almen almenos osun uno o ladetecte ladetecte )=1 − P ( A n B ) P ( almeno almenoss uno uno ladetecte ladetecte )=1 − P ( A ) . P ( B ) P ( almen almenos osun uno o ladetecte ladetecte )=1 −( 1−0.9 ) . ( 1−0.7 ) P ( almen almenos osun uno o ladetecte ladetecte )=1 −( 0.1 ) . ( 0.3)
P ( almenos almenosuno unola ladete detecte cte )=1 −0.03 P ( almenos almenosuno unola ladete detecte cte )=O .97
c) Supo Supong nga a qu que e el segu segund ndo o insp inspec ecto torr revi revisa sa sola solame ment nte e los los artículos que han sido aprobados por el primer inspector Si un artículo tiene una falla ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo inspector la detecte? P ( A ᾽ n B ) = P ( A ᾽ ) . P ( B ) P ( A ᾽ n B ) =( 1−0.9 ) . ( 0.7 )
P ( A ᾽ n B ) =( 0.1 ) . ( 0.7 )
P ( A ᾽ n B ) =0.07
17. $on referencia al e!ercicio 16, suponga ue ambos inspectores supervisan cada artículo y ue si uno no tiene falla entonces ningn inspector la detectará. a" Suponga ue la probabilidad de ue un artículo tenga falla es de 0.10. Si un artículo es aprobado por el primer inspector, #$uál es la probabilidad de ue tenga en realidad falla% b" Suponga ue la probabilidad de ue un artículo tenga fallas es 0.10. Si un artículo es aprobado por ambos inspectores, #$uál es la probabilidad de ue tenga en realidad falla%
Solución: a) Suponga que la probabilidad de que un artículo tenga falla es de !"! Si un artículo es aprobado por el primer inspector, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga en realidad falla? Sea - el evento ue tiene falla, sea ) el evento aprobado por el primer inspector y + el evento ue la falla la detect el segundo inspector/ Probabilidad de falla: P (F) = 0.1 Probabilidad de que no haya falla: P ( F ) = 1-O.1= 0.9 Dado que tiene falla no pase la inspei!n: P ( no in" F ) : 0.99# Dado que tiene falla no fue aprobado por el primer inspector : P ($ " F ) : 0.1 Dado que no tiene falla no fue aprobado por el primer inspector : P ( $" F ) :1
#l utili$ar la regla de %a&es: P ( A / F ) P ( F ) P ( F / A )= P ( A / F ) P ( F )+ P ( A / F ) P ( F ) ᾽
᾽
᾽
᾽
P ( F / A )=
( O .1 ) . ( O .1 ) (O .1 ) . ( O .1 )+ ( 1 ) . ( 0.9)
P ( F / A ᾽ )=
0.01 0.01+ 0.9
P ( F / A ᾽ )=
0.01 0.91
᾽
P ( F / A ᾽ )=0.01098901
᾽
᾽
P ( F / A ᾽ )=0.011
b) Suponga que la probabilidad de que un artículo tenga fallas es !"! Si un artículo es aprobado por ambos inspectores, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga en realidad falla? P ( A nB / F ) P ( F ) P ( F / A n B )= P ( A nB / F ) P ( F )+ P ( A nB / F ) P ( F ) ᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
P ( A / F ) P ( F ) . P ( B / F ) . P ( F ) P ( F / A n B )= P ( A / F ) P ( F ) . P ( B / F ) . P ( F )+ P ( A / F ) P ( B / F ) . P ( F ) ᾽
᾽
᾽
᾽
P ( F / A n B )=
( 0.1 ) . ( 0.3 ) . ( 0.1 ) ( 0.1 ) . ( 0.3 ) . ( 0.1 )+( 1 )( 1) . P ( 0.9)
P ( F / A ᾽ n B ᾽ )=
0.003 0.003 + 0.9
P ( F / A ᾽ n B ᾽ )=
0.003 0.903
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
᾽
P ( F / A ᾽ n B ᾽ )= 0.00332226 P ( F / A ᾽ n B ᾽ )= 0.003
1. 2n programa de control de control de calidad en una línea de monta!e de botellas de plástico implica inspeccionar botellas terminadas para detectar fallas, como &uecos microscpicos. 3a proporcin de botellas ue tiene tal falla en realidad es de solo 0,0004. Si una botella tiene una falla, la probabilidad es 0,995 de ue no pasará la inspeccin. Si una botella no tiene falla, la probabilidad es 0,99 de ue pasará la inspeccin. a" Si una botella no pasa la inspeccin, #$uál es la probabilidad de ue tiene falla% b" #$uál de las siguientes es la interpretacin más correcta de la respuesta del inciso a"% i. 3a mayoría de las botellas ue no pasan la inspeccin no tienen falla. ii. 3a mayoría de las botellas ue pasan la inspeccin tienen falla. c" Si una botella pasa la inspeccin, #$uál es la probabilidad de ue no tenga falla% d" #$uál de las siguientes es la interpretacin más correcta de la respuesta del inciso c"%
iii.
3a mayoría de las botellas ue no pasan la inspeccin tienen falla. iv. 3a mayoría de las botellas ue aprueban la inspeccin no tienen falla. e" pliue por u8 una probabilidad peuea en el inciso a" no es un problema, tan grande como una probabilidad del inciso c" Solución: a) Si una botella no pasa la inspección, ¿Cuál es la probabilidad de que tiene falla? Probabilidad de falla: P (F) = 0.000% Probabilidad de que no haya falla: P (no F) = 1-O.OO%= 0.999& Dado que tiene falla no pase la inspei!n: P ( no in" F ) : 0.99# Dado que no tiene falla' pase la inspei!n: P ( in" no F ) : 0.99 y Dado que no tiene falla' no pase la inspei!n: P ( no in" no F ) : 0.01
)l utili:ar la regla de +ayes/ F / no ∈¿=
P ( no ∈¿ F ) P ( F ) P ( no ∈¿ F ) P ( F )+ P ( no ∈¿ no F ) P ( no F ) P ¿
;eempla:ando valores/ F / no ∈¿=
F / no ∈¿=
( 0.995)( 0.0002 ) ( 0.995 )( 0.002 )+( 0,01 )( 1− 0.0002) P ¿
0.000199
0.000199 +( 0,01)( 0.9998 )
P ¿
F / no ∈¿=
0.000199 0.000199 + 0.009998
P ¿
F / no ∈¿=
0.000199 0.010197
P ¿ F / no ∈¿=0.01951554 P ¿
F / no ∈¿=0.02 P ¿
b) ¿Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta del inciso a)? i. 3a mayoría de las botellas ue no pasan la inspeccin no tienen falla. ii. 3a mayoría de las botellas ue pasan la inspeccin tienen falla. C Si una botella pasa la inspección, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga falla? Probabilidad de falla: P (F) = 0.000% Probabilidad de que no haya falla: P (no F) = 1-O.OO%= 0.999& Dado que tiene falla no pase la inspei!n: P ( no in" F ) : 0.99# Dado que no tiene falla' pase la inspei!n: P ( in" no F ) : 0.99 Dado que no tiene falla' no pase la inspei!n: P ( no in" no F ) : 0.01 Dado que tiene falla' pase la inspei!n: P ( in" F ) : 1 - 0.99# =0.00#
)l utili:ar la regla de +ayes/ P (¿ / no F ) P ( no F ) P ( no F /¿)= P (¿/ noF ) P (noF )+ P (¿/ F ) P ( F )
;eempla:ando valores/ P ( no F /¿)=
P ( no F /¿)=
( 0.99 )( 0.9998 ) ( 0.99 )( 0.9998 )+( 0.005 )( 1− 0.9998) 0.989802
0.989802+( 0,005 )( 0.0002 )
P ( no F /¿)=
0.989802 0.989802+ 0.000001
P ( no F /¿)=
0.989802 0.989803
P ( no F /¿)= 0.99999899
c) ¿Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta del inciso c)? i. 3a mayoría de las botellas ue no pasan la inspeccin tienen falla.
ii.
3a mayoría de las botellas ue aprueban la inspeccin no tienen falla. d) '(plique por qu una probabilidad peque*a en el inciso a) no es un problema, tan grande como una probabilidad del inciso c) 'uesto ue las fallas son tan diminutas (&uecos microscpicos", ue no pueden ser detectadas a simple vista puede ocasionar posibles errores en detectar dic&os &uecos, 40" un sistema contiene dos componentes, ) y +, conectados en serie, como se muestra en el diagrama/
)
+
Suponga ue ) y + funcionan de manera independiente. ' ara ue el sistema funcione, ambos componentes deben funcionar a" Si la probabilidad de ue ) falle es 0.05 y la probabilidad de ue + falle es 0.0<, determine la probabilidad de ue el sistema funcione. b" Si tanto ) como + tienen probabilidad p de fallar, #$uál debe ser el valor de p para ue la probabilidad de ue el sistema funcione sea 0.90% c" Si tres componentes están conectados en serie y cada uno tiene probabilidad p de fallar, #$uál debe ser el valor de p para ue la probabilidad de ue el sistema funcione sea 0.90% Solución: a) Si la probabilidad de que # falle es !!+ & la probabilidad de que % falle es !!, determine la probabilidad de que el sistema funcione '()" * 0.05 P ( sistema funcione )= P ( A n B ) P ( sistema funcione )= P ( A ) . P ( B ) P ( sistema funcione )=( 1− 0.05 ) . ( 1 −0.03 ) P ( sistema funcione )=( 0.95 ) . ( 0.97 )
P ( sistema funcione )=0.9215 P ( sistema funcione )=0.92
'(+" * 0.0<
b) Si tanto # como % tienen probabilidad p de fallar, ¿Cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea !-!? '()" * '
'(+" * '
P ( sistemafuncione )= P ( A n B ) P ( sistema funcione )= P ( A ) . P ( B ) P ( sistema funcione )=( 1− P ) . (1− P ) 0.90 = (1 − P ) ²
√ 0.90=( 1 − P ) 0.9486833 = 1 − P
P=1 −0.9486833 P=0.0513167 P=0.05
c) Si tres componentes están conectados en serie & cada uno tiene probabilidad p de fallar, ¿Cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea !-!? '()" * ' '(+" * ' '($" * ' P ( sistemafuncione)= P ( A n BnC ) P ( sistema funcione )= P ( A ) . P ( B ) . P (C ) P ( sistema funcione )=( 1− P ) . ( 1− P ) . (1− P ) 0.90 =( 1− P ) ³
√ 0.90=1 − P 3
0.96548938 =1 − P
P=1 −0.96548938
P=1 −0.96548938 P=0.03451062
P =0.03
41. un sistema contiene, dos componentes $ y D, conectados en paralelo como se muestra en el diagrama. $
D
Suponga ue $ y D funcionan de manera independiente. 'ara ue el sistema funcione, debe funcionar $ o D. a" Si la probabilidad de ue $ falle es 0.0 y la probabilidad de ue D falle es 0.14, encuentre la probabilidad de ue el sistema funcione. b" Si tanto $ como D tienen probabilidad p de fallar, #$uál debe ser el valor de p para ue la probabilidad de ue el sistema funcione sea 0.99% c" Si tres componentes están conectados en paralelo, funcionan de manera independiente y cada uno tiene una probabilidad p de fallar, #$uál debe ser el valor de p para ue la probabilidad de ue el sistema funcione sea 0.99% d" Si los componentes funcionan independientemente y cada componente tiene una probabilidad de fallar de 0.5, #$uál es el valor mínimo de componentes ue se debe conectar en paralelo para ue la probabilidad de ue el sistema funcione sea de almenos 0.99% Solución: a) Si la probabilidad de que C falle es !!. & la probabilidad de que / falle es !"0, encuentre la probabilidad de que el sistema funcione '($" * 0.0
'(D" * 0.14
P ( sistema funcione )= P ( C U D ) P ( sistema funcione )= P ( C )+ P ( D)− P ( C n D ) P ( sistema funcione )= P ( C )+ P ( D)− P ( C ) . P ( D ) P ( sistema funcione )=( 1−O .O 8 )+( 1 −0.12)− ( 1−O .O 8 ) . (1− 0.12) P ( sistema funcione )=( O .92 )+( 0.88 )− (O .92 ) . ( 0.88 )
P ( sistema funcione )=1.8 −0.8096 P ( sistemafuncione)=0.9904
b) Si tanto C como / tienen probabilidad p de fallar, ¿Cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea !--? '($" * ' '(D" * ' P ( sistema funcione )= P ( C U D ) P ( sistema funcione )= P ( C )+ P ( D)− P ( C n D ) P ( sistema funcione )= P ( C )+ P ( D)− P ( C ) . P ( D ) P ( sistema funcione )=( 1− P )+( 1− P )− (1 − P ) . ( 1− P ) P ( sistema funcione )=2 −2 P −(1− 2 P + P ² ) 0.99 = 2−2 P −1 + 2 P − P ² ¿
P ²=1 −0.99 2
P =O .O 1 P ₁ =O .1 v P ₂ =−0.1
;pta/ 'uesto ue 0 = ' = 1, entonces
P=O .1
c) Si tres componentes están conectados en paralelo, funcionan de manera independiente & cada uno tiene una probabilidad p de fallar, ¿Cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea !--? '($" * ' '(D" * ' '(" * ' P ( sistema funcione )=1− P ( los tre componentesfallan)
P ( sistema funcione )=1− P ( C n D n E ) P ( sistema funcione )=1− P ( C ) . P ( D ) . P ( E ) P ( sistema funcione )=1−( P ) . ( P ) . ( P ) 0.99 =1 − P ³ 3
P =O .O 1
P=O .21544347 P=O .22
d) Si los componentes funcionan independientemente & cada componente tiene una probabilidad de fallar de !+, ¿Cuál es el valor mínimo de componentes que se debe conectar en paralelo para que la probabilidad de que el sistema funcione sea de almenos !--? P ( sistema funcione )=1− P ( los n componentes fallan)
P ( sistema funcione )=1− P ( C n D n E … … … .. nn ) 0.99 =1 − P (C ) . P ( D ) … … … . P ( n) 0.99 =1 −(0.5 ) ᶯ
( 0.5 ) ᶯ =0.01 ln ( 0.5 ) ᶯ =ln ( 0.01 )
nLn ( 0.5 )= ln ( 0.01 )
n=
ln ( 0.01) ln ( 0.5 )
n =6.64385619
;pta/ 'uesto ue los componentes son nmeros enteros, por lo tanto >n> mínimo es 7
44. 2n sistema consta de cuatro componentes conectados, como se muestra en el diagrama siguiente. )
+ )
)
Suponga ue ), +, $ y D funcionan de manera independiente. Si las probabilidades de ue ), +, $ y D fallen son 0.10, 0.05, 0.10 y 0.40, respectivamente, #$uál es la probabilidad de ue el sistema funcione% Solución: l sistema funcione si tanto ) como + funcionan, o si funciona $ o D. 'or tanto/ P ( sistema funcione )= P ( A n B ) UP ( C U D) P ( sistema funcione )= P ( A n B ) + P ( C U D )− P ( A n B ) . P ( C U D ) A ᾽
¿
B᾽ C ᾽
¿
D ᾽ C ᾽
¿
D A ᾽
¿
B᾽ D ᾽ ¿ ] P ( sistema funcione )= P ¿ O .9
¿
O .95 0.9
¿
0.8 0.9
¿
0.8 0.9
¿
0.95 ¿ 0.9
¿
0.8 ¿ ]
P ( sistema funcione )=¿
¿ 1.7 ¿ 0.72 ¿ ] P ( sistema funcione )=( O .855 )+ ( 1.7 )−( 0.72 ) −( O .855 ) . ¿ P ( sistemafuncione )=1.835− (O .855 ) . ( 0.98 )
P ( sistema funcione )=1.835− 0.8379 P ( sistema funcione )=O .9971