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PROBABILIDAD BÁSICA
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PROBABILIDAD BÁSICA BREVE HISTORIA DE LA PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD PROBABILIDADES OBJETIVAS Y SUBJETIVAS ENUNCIADOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD PROBABILIDADES CONDICIONALES, MARGINALES Y CONJUNTAS REVISIÓN DE PROBABILIDADES VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD FUNCIONES DE MASA ACUMULADA FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLES ALEATORIA LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISTRIBUCIONES MULTIVARIADAS DE PROBABILIDAD SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS UNA CONSTANTE MULTIPLICA UNA VARIABLE ALEATORIA EL PROCESO DE BERNOULLI Y LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD LA FUNCIÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD COLAS DERECHA E IZQUIERDA LA VARIABLE NORMAL ESTANDARIZADA Y LAS TABLAS DE PROBABILIDAD NORMAL PROBLEMAS PRÁCTICOS LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA BIBLIOGRAFÍA
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Probabilidad Básica BREVE HISTORIA DE LA PROBABILIDAD El origen de la teoría de las probabilidades es oscuro y ni siquiera los historiadores están de acuerdo con la fecha en que puede situarse. En 1494 (apenas dos años después del descubrimiento de América), el italiano Luca Pacioli planteó algunas preguntas concretas sobre la probabilidad, pero nunca intentó abordar el tema de manera científica.
Luca Pacioli
Cincuenta y seis años más tarde, también en Italia, el célebre y controvertido matemático Girolamo Cardano (1501-1576) lo estudió con mayor profundidad y escribió un tratado sobre los juegos de azar, pero sus escritos no fueron publicados sino hasta después de su muerte, bajo el título Líber de Ludo Aleae (Libro sobre los juegos del azar). Ése fue el primer tratado sobre la teoría de las probabilidades que se escribió en el mundo y pasarían más de cien años antes de que se escribiera el segundo.
Girolamo Cardano Al parecer, Cardano, adicto a los juegos de azar y las apuestas, desarrolló por su cuenta la teoría de probabilidades para sacar ventaja en el juego, pero sus resultados más importantes jamás los publicó por miedo a que sus contrincantes en el juego también los utilizaran. Se cuenta que Cardano tenía frecuentes disputas con sus adversarios en el juego y siempre cargaba un cuchillo, con el cual hirió en la cara a un contrincante que no quería pagarle una apuesta. Es una ironía de la historia que Cardano sea reconocido por algo que POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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aparentemente no hizo (la solución general de las cúbicas y las cuárticas), y en cambio no sea reconocido por algo que sí hizo (ser el primero en crear las bases de la teoría de las probabilidades). A pesar de su pasión compulsiva por el juego y las apuestas, Cardano logró escribir muchos libros acerca de todo lo que le interesaba, era un hombre sabio, estudió medicina y amaba la música. Su infancia fue muy dura: su madre jamás lo quiso, por lo que lo regaló a unos parientes, quienes lo golpeaban y lo hacían trabajar duro. Ya de viejo pronosticó que moriría exactamente a los 75 años, y efectivamente se suicidó el 21 de septiembre de 1576 a la edad de 75 años.
En 1654, y desconociendo lo que había escrito Cardano más de cien años atrás, el gran matemático francés (o geómetra, como se autonombraba) Blas Pascal redescubrió las bases de la teoría de las probabilidades con un enfoque mucho más universal y riguroso. Se cuenta que por aquella época el caballero de Mere formuló, en París, la siguiente pregunta al célebre ex-prodigio Blas Pascal: “Si alguien lanza un par de dados ordinarios una y otra vez, ¿cuántas veces habrá que lanzarlos para que se pueda apostar ventajosamente a que aparecerá el doble seis?"
Blas Pascal
Aunque hoy en día este problema lo puede resolver con facilidad cualquier estudiante de un primer curso de probabilidad, en aquella época fue un planteamiento novedoso. Pascal se puso a trabajar en este asunto y al cabo de unos días halló una serie de fórmulas simples que permitían resolver el problema y otros similares. Pascal informó entonces al Caballero de Mere que ya tenía la respuesta a su pregunta: resulta ventajoso apostar al doble seis en 25 tiradas de los dados o más; pero es desventajoso hacer semejante apuesta en 24 tiradas o menos.
Pierre Fermat Al parecer, a raíz de este incidente, Pascal se interesó por el estudio matemático serio de los fenómenos relacionados con el azar, aunque no se registra ninguna publicación suya al respecto: pero hubo un intercambio de cartas entre Pascal y otro ilustre matemático, que curiosamente era abogado de profesión, Pierre Fermat.
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Aproximadamente tres años después de este incidente, un joven holandés de 27 años radicado temporalmente en París y de nombre Christian Huygens, tuvo acceso a las cartas que habían intercambiado Pascal y Fermat, y profundizó las ideas de ambos en una pequeña monografía sobre la incertidumbre y el azar (El razonamiento en los juegos del azar). Ese fue el segundo libro sobre la teoría de probabilidades que apareció en el mundo y además marcó el camino sobre el que debería desarrollarse esta ciencia.
Christian Huygens
Algunos años después de la aparición del libro de Huygens, Jacobo Bernoulli publicó en Basilea, Suiza, su obra Ars Conjectandi, en la cual aparecen por primera vez las fórmulas y leyes básicas de la teoría de las probabilidades. El desarrollo posterior de esta ciencia tuvo lugar primero en Francia, y algunas décadas después en Inglaterra y Alemania.
Jacobo Bernoulli
Un fuerte desarrollo de esa teoría está asociado con los nombres de ilustres matemáticos franceses como el Marqués Pierre Simón de Laplace (1749-1827), Abraham DeMoivre (1667-1754), Georges-Louis Lecler (Conde de Buffon), Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900) (este último autor del libro Calcul des Probabilités), así como el reverendo Thomas Bayes en Inglaterra; el ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev (1821-1894) y Carlos Federico Gauss en Alemania, este último considerado por muchos como el matemático más notable en toda la historia de la humanidad hasta nuestros días, no tanto por la cantidad (la cual fue bastante exigua) sino por la impresionante calidad y originalidad de sus trabajo y descubrimientos, los cuales tuvieron influencia determinante en casi todas las ramas de las matemáticas.
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En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad.
Laplace A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austriaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales.
Gregor Mendel La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchos centros de aprendizaje estudiaron la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida.
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INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Si todas las decisiones de negocios pudieran tomarse bajo condiciones de certidumbre, la única justificación válida para tomar una decisión deficiente sería la falla al considerar todos los hechos pertinentes. Con certidumbre, puede hacerse un pronóstico perfecto del futuro. Sin embargo, infortunadamente, los ingenieros rara vez operan en un mundo de certidumbre. En general, se ven forzados a tomar decisiones en condiciones de incertidumbre en cuanto a lo que pasará después de que se tomen las decisiones. En esta última situación, la teoría matemática de la probabilidad proporciona una herramienta que puede ser de gran utilidad para la persona que toma las decisiones. En este capítulo, se presentan algunas de las notaciones y de las relaciones básicas de la teoría de las probabilidades. Aunque la probabilidad matemática está bien definida, para la persona que intenta aplicarla a los modelos pronto será evidente que existe gran incertidumbre respecto a las entradas de información que se requieren. Además, muchos modelos hacen abstracciones de las complejidades del mundo real.
PROBABILIDADES OBJETIVAS Y SUBJETIVAS Casi todas las personas están familiarizadas con las leyes del azar cuando se lanza una moneda al aire. Si alguien pregunta sobre la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda, la respuesta será de un medio o 0.50. Esta respuesta se basa en la experiencia común con las monedas, que supone que la moneda está perfectamente diseñada y que se lanza de manera correcta. Éste es un ejemplo de probabilidad objetiva. Existen dos interpretaciones de la probabilidad objetiva. La primera se basa en la simetría de los resultados e implica que los resultados que son idénticos en aspectos esenciales deben tener la misma probabilidad. Una moneda perfectamente diseñada debe ser equitativa, pues tiene dos lados idénticos, salvo por diferencias menores de imagen. Por tanto, cada lado tiene igual probabilidad de un medio (pasando por alto la posibilidad de que la moneda caiga sobre el borde). Si la moneda estuviera doblada, con peso adicional y los dos lados fueran iguales, la respuesta sería diferente. Otro ejemplo: una caja contiene tres bolas rojas y siete bolas negras (todas del mismo tamaño y textura, e idénticas salvo en el color), y se mezclan bien. La interpretación de la simetría de resultados asignaría 0.10 de probabilidad a cada bola, y por tanto 0.30 de probabilidad de sacar una bola roja. La interpretación de la frecuencia relativa de la probabilidad objetiva radica en la experiencia histórica en situaciones idénticas. Por tanto, si se lanza una moneda 10,000 veces y se obtienen 4,998 caras, la probabilidad de obtener cara la siguiente vez que se lance la moneda es de 0.50 (es decir, 4,998/10,000, por aproximación) de la misma forma que antes. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Con frecuencia, una interpretación subjetiva de probabilidades es útil para tomar decisiones de negocios. En el caso de la probabilidad objetiva, la información histórica definitiva, la experiencia común (evidencia objetiva), o el análisis riguroso están detrás de la asignación de probabilidad. En el caso de la interpretación subjetiva, la información histórica cuantitativa puede no estar disponible; y en lugar de una evidencia objetiva, la experiencia personal se convierte en la base de la asignación de la probabilidad. Para efectos de la toma de decisiones administrativas, con frecuencia se requiere de la interpretación subjetiva ya que la evidencia objetiva confiable puede no estar disponible.
ENUNCIADOS BÁSICOS DE LAS PROBABILIDADES Dos enunciados fundamentales sobre probabilidades son: 1. Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo deben sumar uno. 2. Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir, las probabilidades nunca son negativas) y son menores que o iguales a uno. Cuánto más pequeña sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendrá el evento. El primer enunciado indica que si A y B son los únicos candidatos para una oficina, la probabilidad de que A gane, más la probabilidad de que B gane, deben sumar uno (asumiendo que no es posible una relación). El segundo enunciado produce las siguientes interpretaciones. Si un evento tiene una probabilidad positiva, posiblemente pueda ocurrir; el evento también puede ser imposible, en cuyo caso tiene una probabilidad de cero; o es seguro que el evento ocurra, entonces la probabilidad es igual a uno. Sin tener en cuenta que las probabilidades puedan interpretarse como probabilidades objetivas o ponderaciones subjetivas, es útil pensar en términos de una escala de ponderación que oscile entre cero y uno. Si alguien lanza 500 veces una moneda de características desconocidas para obtener un estimado de probabilidades objetivas y los resultados son de 225 caras y 275 cruces, el rango de resultados posibles puede convertirse en una escala de cero a uno dividiendo por 500. Los resultados reales son 225/500 = 0.45 caras y 275/500 = 0.55 cruces. Por tanto, si desean derivarse probabilidades, los datos deben manipularse de manera que correspondan a la escala cero a uno. Las cifras 0.45 y 0.55 pueden utilizarse como estimados de las probabilidades reales de caras y cruces (las probabilidades reales son desconocidas).
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Definición
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir en una prueba. Pueden agregarse probabilidades de eventos mutuamente excluyentes para obtener la probabilidad de que uno de los eventos ocurrirá.
Ejemplo
Tabla 1.1
Las probabilidades mostradas en la Tabla 1.1 reflejan el estimado subjetivo del editor de un periódico respecto a las oportunidades relativas de cuatro candidatos para obtener un cargo público (se asume que un vínculo no es posible).
PROBABILIDADES RELATIVAS DE CUATRO CANDIDATOS
Evento: elección Candidato PRI: Candidato PRI: Candidato PRD: Candidato PRD:
Probabilidad
A B C D Suma:
0.18 0.42 0.26 0.14 1.00
Estos eventos son mutuamente excluyentes debido a que en una elección (o en un ensayo) sólo puede ocurrir un evento; por tanto, las probabilidades son aditivas. La probabilidad de una victoria del PRI es de 0.60; de una victoria del PRD, 0.40; o de cualquiera entre B o C, 0.68. La probabilidad de que B y C ganen es cero, ya que en una prueba sólo puede ocurrir uno de los eventos mutuamente excluyentes. Definición
EVENTOS INDEPENDIENTES Los eventos pueden ser independientes o dependientes. Si dos eventos son independientes (estadísticamente), que un evento ocurra no afectará la probabilidad de que el segundo ocurra1.
1
La independencia o dependencia estadística es diferente de la independencia o dependencia causal, debido a que si dos eventos son estadísticamente dependientes uno del otro, esto implica que uno sea causado por el otro. Cuando se utilizan los términos dependencia o independencia, se habla en términos estadísticos.
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Cuando dos (o más) eventos son independientes, la probabilidad de que ambos (o más de dos) ocurran es igual al producto de probabilidades de los eventos individuales. Es decir: P( A y B) P( A) P( B) si A y B son independientes
(1.1)
donde P( A y B) Probabilidad de que ocurran ambos eventos A y B. P( A) Probabilidad del evento A P(B) Probabilidad del evento B
La ecuación 1.1 indica que la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de A multiplicado por la probabilidad de B, si A y B son independientes. Si A es la probabilidad de que salga cara al primer lanzamiento de la moneda, y B es la probabilidad de cara en el segundo, entonces: P( A) 1/2 P(B) 1/2 P( A y B) (1/2)(1/2) = 1/4.
La probabilidad de que ocurra A y luego B (dos caras) es de un cuarto. P( A y B) es la probabilidad conjunta de los eventos A y B. Cuando sea apropiado, la conjunción y, puede omitirse para simplificar la notación, y la probabilidad conjunta puede escribirse simplemente P( AB ) . Para definir matemáticamente la independencia, se necesita el símbolo P( B A) , el cual se lee como “la probabilidad del evento B, dado que ocurrió el evento A”. P( B A) es la probabilidad condicional del evento B dado que ocurrió el evento A. Se observa que P( B A) no significa la probabilidad del evento B dividido por A; la línea vertical seguida de una A significa “dado que ocurrió el evento A”. Con eventos independientes: P( B A) P( B) si A, B son independientes
(1.2)
Es decir, la probabilidad del evento B, dado que ocurrió el evento A es igual a la probabilidad del evento B si los dos eventos son independientes. Con dos eventos independientes, que ocurra un evento no afecta la probabilidad de que ocurra el segundo, de igual forma, P( A B) P( A) . Las ecuaciones 1.1 y 1.2 son definiciones básicas de independencia entre dos eventos. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Definición
EVENTOS DEPENDIENTES Dos eventos son dependientes si el hecho de que ocurra uno de ellos afecta la probabilidad de que ocurra el segundo.
Ejemplo
Ejemplo
Lanzar una moneda y determinar si el resultado es cara o cruz. Si es cara, lanzar la misma moneda de nuevo. Si es cruz, lanzar una moneda defectuosa que tenga tres cuartos de probabilidad de caer en cara y un cuarto de probabilidad de que sea cruz. ¿El resultado del primero, afecta de alguna manera la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento? La respuesta es sí, ya que el resultado del primer lanzamiento afecta la decisión acerca de cuál moneda va a lanzarse la segunda vez (la que está perfectamente diseñada o la defectuosa).
Otro ejemplo de eventos dependientes implica eventos mutuamente excluyentes. Si los eventos A y B se excluyen mutuamente, son dependientes. Dado que el evento A ocurrió, la probabilidad condicional de que ocurra B debe ser de cero, ya que los dos eventos son mutuamente excluyentes. Es decir, P( B A) 0 , si los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
RESUMEN Una probabilidad es un número entre cero y uno que representa la posibilidad de que ocurra algún evento. Las probabilidades pueden ser objetivas si se basan en la simetría o en una gran experiencia, o subjetivas si se basan en el criterio de quien toma las decisiones. La probabilidad de que ocurra uno de dos o más eventos mutuamente excluyentes es la suma de probabilidades de los eventos. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
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PROBABILIDADES CONDICIONALES, MARGINALES Y CONJUNTAS La siguiente es una relación de probabilidad muy importante: P( B A) Definición
P( A y B) si P( A) 0 P( A)
(1.3)
PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional del evento B, dado que ocurrió el evento A, es igual a la probabilidad conjunta de A y B, dividida por la probabilidad del evento A.
Pueden multiplicarse ambos lados de la ecuación por P(A) y rescribirse la ecuación 1.3 como: (1.4) P( A y B) P( B A) P( A) Es decir, la probabilidad conjunta de A y B es igual a la probabilidad condicional de B dado A, multiplicado por la probabilidad de A. Observar estas fórmulas cuando asumen eventos independientes. Por la ecuación (1.3): P( A B)
P( A y B) P( A)
Sin embargo, por la ecuación 1.1): P( A y B) P( A) P( B)
para eventos independientes. Si se sustituye P( A y B) por P( A) P( B) en la ecuación (1. 3), se obtiene: P( A) P( B) (1.2) P( A B) P( B) P( A) Ésta es la definición matemática de independencia dada la anterior ecuación (1.2). Resulta necesario desarrollar dos ejemplos explicativos: 1. Probabilidades (marginales) incondicionales. El término marginal se refiere al hecho de que las probabilidades se encuentran en las márgenes de una tabla de POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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probabilidad conjunta (ver Tabla 1.3, más adelante); ellas suman uno. Una probabilidad marginal se refiere a la posibilidad de que ocurra un evento no condicional sobre la ocurrencia de otro evento. P(A) y P(B) son ejemplos de probabilidades marginales o incondicionales. 2. Probabilidades condicionales, como P( A B) y P( B A) . 3. Probabilidades conjuntas, como P( A y B) o P( AB ) . Ejemplo 1
En tres cajas hay bolas rojas y negras así: Caja 1: 3 rojas y 7 negras. Caja 2: 6 rojas y 4 negras. Caja 3: 8 rojas y 2 negras. De la caja 1 se saca una bola; si es roja, se saca una bola de la caja 2. Si la bola que se saca de la caja 1 es negra, se saca una bola de la caja 3. El diagrama en la Figura 1.1 ilustra el juego.
Figura 1.1
DIAGRAMA DEL JUEGO DE EXTRACCIÓN DE CANICAS
Ahora, considere las siguientes preguntas de probabilidad sobre este juego: 1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja de la caja 1? Esta probabilidad es incondicional o marginal es 0.30. (La probabilidad marginal de sacar una bola negra es 0.70). POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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2. Si la bola de la caja 1 es roja, ¿cuál es la probabilidad de sacar otra bola roja cuando se saque una segunda bola de la segunda caja? La respuesta es 0.60. Éste es un ejemplo de una probabilidad condicional. Es decir, la probabilidad de sacar una bola roja de la segunda caja si la que se sacó de la caja 1 es roja, es una probabilidad condicional. 3. Si en el primer intento en la caja 1 la bola era negra, ¿cuál es la probabilidad condicional de que en el segundo intento sea roja (esta vez de la caja 3)? La probabilidad es 0.80. El intento de la caja 1 (el evento condicionante) es muy importante para determinar las probabilidades de rojo (o negro) en el segundo intento. 4. Si no se sacó ninguna bola, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas? Ésta es una probabilidad conjunta; el evento sería una bola roja en ambos intentos. El cálculo de esta probabilidad conjunta es un poco más complicado que en las preguntas anteriores, y algo de análisis es pertinente. Los cálculos son los siguientes: P( A y B) P( B A) P( A)
(1.4)
La Tabla 1.2 y la Figura 1. 2 muestran la probabilidad conjunta de las dos bolas rojas como 0.18, es decir, P( R y R) , o de manera más sencilla, P(RR) , la rama superior del árbol. Las probabilidades conjuntas pueden resumirse como sigue: Dos bolas rojas (primera y segunda caja)
P(RR) = (0.3)(0.6) = 0.18
Una bola roja en la primera extracción y una negra en la segunda (primera y segunda caja)
P(RN) = (0.3)((0.4) = 0.12
Una bola negra en la primera extracción y una bola roja en la segunda (primera y tercera caja)
P(NR) = (0.7)(0.8) = 0.56
Dos bolas negras (primera y tercera caja)
P(NN) = (0.7)(0.2) = 0.14 Suma:
1.00
Tabla 1.2 PROBABILIDADES MARGINAL, CONDICIONAL Y CONJUNTA
Evento RR RN NR NN
Marginal P(A) P(R) = 0.30 P(R) = 0.30 P(N) = 0.70 P(N) = 0.70
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Condicional P(BA) (0.30)(0.60)/0.30) = 0.60 (0.30)(0.40)/0.30) = 0.40 (0.70)(0.80)/0.70) = 0.80 (0.70)(0.20)/0.70) = 0.20
Conjunta P(A y B) (0.30)(0.60) = 0.18 (0.30)(0.40) = 0.12 (0.70)(0.80) = 0.56 (0.70)(0.20) = 0.14 Página 14
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Figura 1.2
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DIAGRAMA DE ÁRBOL Probabilidades condicionales
Evento
Probabilidades conjuntas
RR
P(RR) =0.18
RN
P(RN) =0.12
NR
P(NR) =0.56
NN
P(NN) =0.14
Roja P(RR ) = 0.60 Roja P(R ) = 0.30 Segunda extracción – caja 2 Negra P(NR ) = 0.40 Primera extracción – caja 1
Roja P(RN ) = 0.80
Negra P(N ) = 0.70 Segunda extracción – caja 3 Negra P(NN ) = 0.20
La Figura 1.2 se denomina diagrama de árbol. Es un mecanismo muy útil para ilustrar situaciones de incertidumbre. La primera bifurcación muestra que puede salir una bola roja o una negra, y se dan las probabilidades de estos eventos. Si es roja, se pasa a la caja 2 donde puede salir de nuevo una roja o una negra, pero con probabilidades determinadas por el hecho de que esta vez el evento ocurrirá en la caja 2. Para la segunda bifurcación, las probabilidades son condicionales (dependen de si se sacó una bola negra o una roja en el primer intento). Al final de cada camino están las probabilidades conjuntas de seguir ese camino. Las probabilidades conjuntas se obtienen de multiplicar las probabilidades marginales (incondicionales) de la primera ramificación por las probabilidades condicionales de la segunda ramificación. La Tabla 1.3 presenta estos resultados en una tabla de probabilidad conjunta; las intersecciones de las filas y las columnas son probabilidades conjuntas. La columna de la derecha presenta las probabilidades incondicionales (marginales) del resultado de la primera extracción; la fila de abajo da las probabilidades incondicionales o marginales de los resultados de la segunda extracción. (La Tabla 1.3 resume el diagrama de árbol). POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Ahora, éstas son algunas probabilidades adicionales: 1. Probabilidad de una bola roja y una bola negra, sin tener en cuenta el orden: = 0.56 + 0.12 = 0.68 Probabilidad de una bola negra en la segunda extracción: = 0.26. Cálculo explicativo: Probabilidad de roja – negra = 0.12 Probabilidad de negra – negra = 0.14 Probabilidad de negra en la segunda extracción = 0.26 2. Probabilidad de que en la segunda extracción sea roja si en la primera es roja:
= 0.60
Si en la primera extracción es roja, fila R. De la Tabla 1.3 que totaliza 0.30. La pregunta es, ¿qué proporción es 0.18 de 0.30? La respuesta es 0.60; o en términos de la fórmula correspondiente: P( R2 R1 ) Tabla 1.3 Segunda extracción
TABLA DE PROBABILIDAD CONJUNTA R
N
probabilidad marginal del resultado en la primera extracción
R
P(RR) = 0.18
P(RN) = 0.12
0.30
N
P(NR) = 0.56
P(NN) = 0.14
0.70
= 0.74
= 0.26
1.00
Primera extracción
Probabilidad marginal del resultado en la segunda extracción
Ejemplo 2
P( R2 y R1 ) (0.30)(0.60) 0.18 0.60 P( R1 ) 0.30 0.30
Una moneda se lanza dos veces y se establecen las siguientes probabilidades: 1. La probabilidad de cara en ambos casos. 2. La probabilidad de cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo. 3. La probabilidad de que en el segundo lanzamiento salga cara. 4. La probabilidad de que en el segundo lanzamiento salga cara, dado que en el primero fue cruz.
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La Tabla 1.4 presenta los posibles resultados de dos lanzamientos y sus probabilidades. Ahora, utilizando la tabla, pueden determinarse las cuatro probabilidades solicitadas: TABLA 1. 4
Evento CC CCr CrC CrCr
POSIBLES RESULTADOS DE DOS LANZAMIENTOS Y SUS PROBABILIDADES Probabilidad Fórmula P(CC) = (1/2)(1/2) = 1/4 P(C) P(C) P(CCr) = (1/2)(1/2) = 1/4 P(C) P(Cr) P(CrC) = (1/2)(1/2) = 1/4 P(Cr) P(C) P(CrCr) = (1/2)(1/2) = 1/4 P(Cr) P(Cr)
P(CC) = (1/2)(1/2) = 1/4
P(CCr + CrC) = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
P(CC + CrC) = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
P(C Cr)
P(CrC) (1 / 2)(1 / 2) 1/ 2 . P(Cr) 1/ 2
Una característica importante del ejemplo anterior es que ilustra la independencia. En él se observa que las dos últimas probabilidades calculadas son las mismas; la probabilidad de cara en el segundo lanzamiento es de un medio, sin tener en cuenta el resultado del primer lanzamiento. Se dice que los dos eventos son independientes, debido a que la probabilidad de cara en el segundo lanzamiento no se ve afectada por el resultado del primero. Ese no era el caso en el ejemplo anterior, donde la probabilidad de una bola roja en la segunda extracción estaba afectada por el resultado de la primera. Este resultado puede resumirse así:
Dependencia (Ejemplo 1) Probabilidad condicional de obtener bola roja en la segunda caja dado que fue roja en la primera
Probabilidad conjunta RR(0.18) = Probabilidad marginal de obtener roja en la primera extracción (0.30)
= 0.60
Fórmula general: P( B A)
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P( A y B) si P( A) 0 P( A)
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Independencia (Ejemplo 2) Probabilidad condicional de obtener cara en el segundo lanzamiento, dado que salió cruz en el primero
Probabilidad conjunta de CCr(1/4) =
Probabilidad marginal de sacar cruz en un primer lanzamiento (1/2)
= 0.50, probabilidad marginal de sacar cara
Fórmula general: P( B A) P( B) si A, B son independientes
Ejemplo 3
(12)
Más adelante se presenta un ejemplo de las definiciones básicas de probabilidad. Se toma una encuesta de 100 familias; se obtiene información sobre el ingreso familiar y si la familia compra un producto alimenticio especial. En la Tabla 1.5 se muestran los resultados.
Suponer que de este grupo se selecciona una familia al azar. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora? Debido a que 38 de las 100 familias son compradoras, la probabilidad es 0.38. Se observa que ésta es una probabilidad marginal o incondicional. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora y tenga ingreso alto? Ésta es una probabilidad conjunta. P( compradora e ingreso alto) = 20/100 = 0.20. 3. Si se selecciona una familia al azar y resulta que tiene ingresos altos, ¿cuál es la probabilidad de que esa familia sea compradora? En esta pregunta se pide la probabilidad condicional P (compradora / alto ingreso). De las 40 familias con ingreso alto, 20 son compradoras. Por tanto, la probabilidad es de 20/40 = 0.50. 4. ¿Los eventos Comprador y Alto ingreso son independientes para este grupo de familias? Si en la pregunta 1, P(compradora) = 0.38; y en la pregunta 3, P(compradora/alto ingreso) = 0.50, es decir, no tienen igual probabilidad, entonces los dos eventos son dependientes. Por consiguiente, saber que la familia tiene un ingreso alto afecta la probabilidad de que sea compradora. Otra forma de expresar esta dependencia es diciendo que el porcentaje de compradores no es el mismo para las familias de alto y de bajo ingreso.
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TABLA 1.5
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ENCUESTA A 100 FAMILIAS CLASIFICADAS POR INGRESO Y COMPORTAMIENTO DE COMPRA Ingreso bajo Ingreso alto (ingreso familiar (ingreso familiar inferior a de 30,000 Número total 30,000 dólares) dólares o más) de familias
La familia es: Compradora de productos alimenticios especializados No compradora Número total de familias
18
20
38
42 60
20 40
62 100
REVISIÓN DE PROBABILIDADES Estudiadas las probabilidades conjuntas y condicionales, ahora se investigará cómo se revisan las probabilidades para tener en cuenta la nueva información. Suponer que no se sabe si una moneda en particular está perfectamente diseñada o es defectuosa. Si la moneda está perfectamente diseñada, la probabilidad de sacar cruz es 0.50; pero si la moneda es defectuosa, la probabilidad de cruz es 0.10. Además, asignar una probabilidad prioritaria a la moneda perfectamente diseñada de 0.80 y una probabilidad de 0.20 a la moneda defectuosa. El evento “moneda perfectamente diseñada” se llamará 𝐴1 y el evento “moneda defectuosa” se denominará 𝐴2 . Si se lanza la moneda una vez y el resultado es cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda esté perfectamente diseñada? La Figura 1. 3 muestra que la probabilidad condicional de sacar cruz, dado que la moneda está perfectamente diseñada, es 0.50; es decir, P(cruz A1 ) 0.50 . Si la moneda es defectuosa, la probabilidad de sacar cruz es 0.10; P(cruz A2 ) 0.10 . Si se calcula la probabilidad conjunta P(cruz y A1 ) , existe una probabilidad inicial de 0.80 de que A1 sea el estado verdadero; y si A1 es el estado verdadero, existe una probabilidad condicional de 0.50 de que salga cruz. Si la probabilidad conjunta del estado A1 es ser verdadera y obtener cruz es (0.80)(0.50) = 0.40, entonces: P(cruz y A1 ) P( A1 ) P(cruz A1 ) 0.80 0.50 0.40
La probabilidad conjunta de cruz y A2 es igual a: P(cruz y A2 ) P( A2 ) P(cruz A2 ) 0.20 0.10 0.02 POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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FIGURA 1.3
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PROBABILIDAD CONDICIONAL DE SACAR CRUZ P(cruzA1) = 0.5
P(cruzA2) = 0.1
P(A1) = 0.8 (moneda perfectamente diseñada)
P(A2) = 0.2 (moneda defectuosa)
Puede salir cruz en combinación con el evento de “moneda perfectamente diseñada” o en combinación con “moneda defectuosa”. La probabilidad de la primera combinación es 0.40; y de la segunda es 0.02. La suma de las probabilidades da la probabilidad incondicional de cruz en el primer lanzamiento; es decir, P(cruz)= 0.40 + 0.02 = 0.42: P(cruz y A2 ) = 0.02 P(cruz y A1 ) = 0.40
P(cruz ) = 0.42
Si sale cruz y no se sabe el evento verdadero, la probabilidad condicional del evento A1 es un hecho verdadero, utilizando la ecuación 1.3: P( A1 cruz)
P(cruz y A1 ) 0.40 0.95 P(cruz) 0.42
Por lo tanto, 0.95 es la probabilidad a posteriori o revisada de A1 , dado que en el primer lanzamiento salió cruz. De manera similar: P( A2 cruz)
P(cruz y A2 ) 0.02 0.05 P(cruz) 0.42
De manera general: P( Ai B) POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
P( Ai y B) P(B) Página 20
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La probabilidad condicional expresada en esta forma se conoce como teorema de Bayes. Tiene muchas aplicaciones importantes en la evaluación del valor de la información adicional en los problemas de decisión. En este ejemplo, las probabilidades revisadas para la moneda son de 0.95 de que sea perfectamente diseñada y 0.05 de que sea defectuosa (las probabilidades inicialmente eran 0.80 y 0.20). Estas probabilidades revisadas existen después de un lanzamiento que termina en cruz. Es razonable que haya disminuido la probabilidad de que la moneda sea defectuosa, debido a que apareció cruz en el primer lanzamiento, y la moneda defectuosa tiene sólo una probabilidad de 0.10 de ser cruz. Ejemplo 4
EL ROMPECABEZAS DE MONTY HALL Durante más de 25 años se transmitió un popular programa de televisión llamado “Let’s Make a Deal” (Negociemos), presentado por Monty Hall. Como parte del espectáculo, a los concursantes se les presentaban tres puertas. Detrás de una de ellas había un premio mayor: un lujoso automóvil nuevo, mientras que en las otras dos puertas no había premios: se ponía una cabra o algo parecido. El concursante seleccionaba una puerta, pero antes de abrirla, Monty podía abrir una de las otras puertas para mostrar una cabra. Luego, Monty le ofrecía al concursante la opción de mantener su elección original o de cambiar a la otra puerta que todavía no se había abierto. ¿Debía cambiar de decisión el concursante? El Problema de Monty Hall
Let’s Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas 60-70 del siglo XX de la televisión de Estados Unidos presentado por Monty Hall y Carol Merril.
Ésta es la pregunta que planteó y respondió la columnista Marilyn Vos Savant (catalogada como la persona con el CI más alto del mundo). Esta columna generó miles y miles de cartas, muchas de las cuales no estaban de acuerdo con la conclusión de la señorita Vos Savant. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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¡Bienvenidos al show de Monty Hall!
Detrás de una de estas puertas hay un coche.
Y detrás de las dos restantes hay una cabra.
Debe hacerse explícita una suposición antes de empezar a armar este rompecabezas. Si se supone que Monty siempre abre una de las puertas después de que el concursante ha elegido la suya, y que sólo abre la puerta que tiene una cabra (Monty sabe dónde están las cabras). Antes de seguir, puede pensarse si el concursante debería cambiar su decisión. Algunos piensan que debido a que Monty sólo abre la puerta que tiene la cabra, no existe información nueva y las probabilidades no cambian. Otros sostienen que las probabilidades son 5050 para el premio que está en la otra puerta. La señorita Savant argumentó que el concursante debía cambiar. ¿Cuál es la respuesta? Nuestro concursante seleccionará una puerta ... Elijo la puerta B
A
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B
C
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TABLA 1.6
El premio mayor está detrás de Puerta A Puerta B Puerta C
TABLA 1.7
El premio mayor está detrás de Puerta A Puerta B Puerta C Probabilidad marginal
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TABLA DE PROBABILIDAD CONDICIONAL Prob (abierta por Montypuerta con el premio mayor) Monty abre la puerta Puerta A
Puerta B
Puerta C
0 1/2 1
0 0 0
1 1/2 0
TABLA DE PROBABILIDAD CONJUNTA Prob (puerta con el premio mayor y puerta abierta por Monty) Monty abre la puerta Probabilidad marginal Puerta A Puerta B Puerta C 0 1/6 1/3
0 0 0
1/3 1/6 0
1/2
0
1/2
1/3 1/3 1/3
El análisis de este problema es una aplicación de la revisión de probabilidades. Si se supone que el concursante selecciona la puerta B, el análisis para cualquier otra selección es similar. La Tabla 1.6 muestra las probabilidades condicionales sobre la puerta que abre Monty, indicando en cuál se encuentra el premio mayor. Ésta es una descripción de la conducta de POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Monty. Si el premio está detrás de la puerta A, entonces abrirá la puerta C (no olvidar que el concursante escogió la puerta B). Si el premio realmente está en la puerta B, entonces Monty puede elegir la puerta A o la puerta C por igual. Finalmente, si el premio está detrás de la puerta C, entonces él abre la puerta A. Inicialmente, existe una oportunidad igual (es decir, 1/3) de que el premio mayor esté detrás de cualquier puerta. De esa manera, puede calcularse la tabla de probabilidad conjunta como aparece en la Tabla 1.7. Estos valores se obtienen mediante la regla P( A y B) P( A B) P( B) . Ahora, como se indicó, se supone que el concursante selecciona inicialmente la puerta B y que luego Monty abre la puerta A. ¿Debe cambiar de opinión el concursante? Puede calcularse la probabilidad de ganar el premio mayor para las dos estrategias: cambiar y mantener la decisión: Cambiar la decisión Prob (la puerta C tiene el premio mayor | Monty abre puerta A) = P(el premio mayor está en la puerta C y Monty abre la puerta A ) | P(Monty abre la puerta A) = (1/3) / (1/2) = 2/3. Mantener la decisión Prob (la puerta B tiene el premio mayor | Monty abre la puerta A) = P(el premio mayor está en la puerta B y Monty abre la puerta A) | P(Monty abre la puerta A) = (1/6) / (1/2) = 1/3. El concursante debería cambiar la decisión porque las probabilidades son de dos tercios de que el premio esté detrás de la otra puerta. Si Monty abre la puerta C, el análisis es exactamente el mismo y el concursante debería cambiar a la puerta A. De igual forma, si el concursante inicialmente selecciona una puerta distinta a la B, se haría el mismo análisis. Otro punto de vista del problema se presenta en el diagrama de árbol de la Figura 1.4. Aquí, la probabilidad inicial de que el concursante escoja una puerta con una cabra detrás de ella es de 2/3. Bajo esa circunstancia, cuando Monty descubra la segunda cabra, cambiar la decisión garantizaría obtener el premio (véase la rama superior de la Figura 5.4). Por otra parte, si la puerta que se eligió originalmente tiene el premio, entonces cambiar llevaría a la cabra.
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FIGURA 1.4
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ROMPECABEZAS DE MONTY HALL Cambiar
Cabra en la puerta seleccionada
2/3
1/3
Premio en la puerta seleccionada
Premio
Se descubre la segunda cabra
No cambiar
Cambiar
Primera cabra
Otra cabra
Se descubre una cabara No cambiar
Premio
Al ponderar estos resultados de acuerdo con las probabilidades de 2/3 y de 1/3, se llega al mismo resultado. Este resultado fue sorprendente para muchos de los lectores de la señorita Savant, incluso para muchos que eran matemáticos y estadísticos. El resultado depende fundamentalmente de la suposición acerca del comportamiento de Monty. Si éste no tiene que abrir la puerta (como sucedía en algunas ocasiones), entonces este análisis no se mantendría.
RESUMEN Una probabilidad conjunta es la probabilidad de que ocurran dos o más eventos. Una probabilidad condicional es la de que ocurra un evento, dado que se conoce que algún otro evento ya ocurrió. Una probabilidad marginal es la probabilidad incondicional de que ocurra algún evento. Una probabilidad a priori de que ocurra un evento puede revisarse utilizando el Teorema de Bayes para producir una probabilidad revisada o a posteriori. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una función de probabilidad es una regla que asigna probabilidades a cada elemento de un conjunto de eventos que pueden ocurrir. Si a su vez puede asignarse un valor numérico específico a cada elemento del conjunto de eventos, la función que asigna estos valores numéricos específicos es lo que se denomina variable aleatoria. El valor de una variable aleatoria es el resultado general de un experimento aleatorio (o probabilidad). Resulta de utilidad diferenciar entre la variable aleatoria en sí misma y los valores que puede tomar. El valor de una variable aleatoria es desconocido hasta que ocurre el evento, es decir, hasta que se ha realizado el experimento aleatorio. Sin embargo, la probabilidad de que la variable aleatoria sea de cualquier valor específico se conoce por anticipado. La probabilidad de cada valor de la variable aleatoria es igual a la suma de las probabilidades de los eventos asignados a dicho valor de la variable aleatoria. Por ejemplo, si se define la variable aleatoria Z como el número de veces que sale cara en dos lanzamientos de una moneda perfectamente diseñada, entonces, los posibles valores de Z y las correspondientes probabilidades son:
Valores posibles de Z 0 1 2
Probabilidad de cada valor 1/4 1/2 1/4
Las variables aleatorias pueden agruparse en distribuciones de probabilidad, las cuales pueden ser discretas o continuas. Las distribuciones de probabilidad discreta son aquellas donde la variable aleatoria sólo puede tomar valores específicos. La tabla anterior es un ejemplo de dicha distribución ya que la variable aleatoria Z sólo puede ser 0, 1 0 2. Una distribución de probabilidad continua es aquella donde el valor de la variable aleatoria puede ser cualquier número dentro de un rango de valores dado; es decir, entre cero e infinito. Por ejemplo, si la variable aleatoria fuera la estatura de los miembros de una población, una persona podría tener 1.75 metros de altura, 1.753 metros, 1.7535 metros, y así sucesivamente, según la capacidad de los instrumentos de medición. Algunos ejemplos adicionales de variables aleatorias se muestran en la Tabla 1.8.
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TABLA 1.8
Variable aleatoria (denotada por una letra mayúscula)
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EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS Descripción de los valores de la variable aleatoria
Discreta o continua
Valores de la variable aleatoria 2, 3, . . . , 12
U
Resultados posibles al lanzar un par de dados
Discreta
X
Cantidad de cara, posible si se lanza una moneda cinco veces.
Discreta 0, 1, 2, 3, 4, 5
Y
Ventas diarias posibles de un periódico, Discreta 0, 1, 2, . . . , S donde S representa el inventario disponible
T
Tiempo entre las llamadas al centro de llamadas de emergencia, Cruz Roja
Continua
0a
L
Vida útil de un componente electrónico de una computadora
Continua
0a
A una distribución de probabilidad discreta algunas veces se le llama función de masa de probabilidad (f.m.p.) y a una continua se le denomina función de densidad de probabilidad (f.d.p.). Los dos tipos de distribución se muestran en las Figuras 1.5 y 1.6. Para una distribución discreta, la altura de cada línea representa la probabilidad de ese valor de la variable aleatoria. Por ejemplo, 0.30 es la probabilidad de que la demanda de mañana sea de 0.2 toneladas en la Figura 1.5. Para una variable aleatoria continua, la altura de la función de densidad de probabilidad no es la probabilidad para un evento. En cambio, el área bajo la curva sobre cualquier intervalo en el eje horizontal representa la probabilidad de tomar un valor en él. Por ejemplo, él área sombreada al lado izquierdo de la Figura 1.6 representa la probabilidad de que la demanda de mañana esté dentro del intervalo comprendido entre 0.1 y 0.2 toneladas.
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA (función de masa de probabilidad o f.m.p)
FIGURA 1.5
0.30
Probabilidad
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0.30 Nota: la suma de las probabilidades es 1
0.20
0.20
0.10
0.10
0
0.1
0.10
0.2
0.3
0.4
0.10
0.5
0.10
0.10
0.6
0.7
0.8
0.9
La demanda de la mañana en toneladas
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA (función de densidad de probabilidad o f.d.p)
FIGURA 1.6
Demanda de mañana en toneladas
El área sombreada es P (la demanda de mañana está entre 0.1 y 0.2 toneladas)
El área bajo toda la curva suma 1 El área sombreada es P(la demanda de mañana es mayor que 0.5 toneladas)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Valor de la función de densidad de probabilidad
FUNCIONES DE MASA ACUMULADA Las funciones de masa de probabilidad (f.m.p.) están relacionadas con las funciones de masa acumulada (f.m.a.). Una función de masa acumulada muestra la probabilidad acumulada. Por ejemplo, si se considera la variable aleatoria S con la función de masa de probabilidad discreta mostrada en la Tabla 1.9. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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EJEMPLO DE FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD (f.m.p) s P(S = s) 0 0.00 1 0.20 2 0.40 3 0.30 4 0.10 Suma: 1.00
TABLA 1.9
TABLA 1.10
s 0 1 2 3 4
FIGURA 1.7
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EJEMPLO DE FUNCIÓN DE MASA ACUMULADA P(S = s) P(S s) 0.00 0.00 0.20 0.20 0.40 0.60 0.30 0.90 0.10 1.00
DIAGRAMA DE FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD Y DE FUNCIÓN DE MASA ACUMULADA 1.0
1.0 0.9 0.8
0.4
Probabilidad
0.4
0.3
0.3 0.2
0.2
s 1
2
3
4
Función de masa de probabilidad P(S = s)
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0.6
0.6 0.4 0.2
0.1
0.1 0
Probabilidad
0.5
0.2 s
0 1
2
3
4
Función de masa acumulada P(S s)
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Además de estar interesados en la probabilidad de que S sea igual a 2, es decir: P(S = 2) = 0.40, se puede desear saber la probabilidad de que S sea igual o menor que 2, es decir: P( S 2) 0.60 . A la función que da valores de esta naturaleza se le llama función de masa acumulada. La función de masa de probabilidad y la función de masa acumulada del tipo “menor que o igual a” para el ejemplo de la Tabla 1.9, se muestran en la Tabla 1.10 y en la Figura 1.7. Si se desea saber la probabilidad de que S sea mayor que 2, entonces: P( S 2) 1 P( S 2) 1 0.60 0.40 .
Dada la función de masa de probabilidad, puede obtenerse la función de masa acumulada y variaciones como P( S 2) o P(2 S 4) .
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Las funciones de distribución acumulada están asociadas con funciones de densidad de probabilidad continua, de la misma forma que las funciones de masa acumulada están asociadas con las funciones de masa de probabilidad discreta.
FIGURA 1.8
f (S )
1 , ba
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD f(S)
a S b; f ( S ) 0, de otro modo
f(S) =
1 si a S b b–a Área = 1, es decir:
1 b–a
a
1 • (b – a) = 1 b–a
b b–a
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FIGURA 1.9
F (S )
1 ba
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA F(S) F(S)
F(S) =
S–a , si a S b; F(S) = 1, si S > b b–a
1
a
b
S
La función de distribución acumulada debe ilustrarse utilizando una distribución de probabilidad rectangular o uniforme (remitirse a la Figura 18). Si S está entre a y b (a S b) , entonces el valor de la función de densidad de probabilidad es 1 /(b a) , y cero si es de otro modo. Si se suma el área que está bajo la función de densidad de probabilidad, entonces: f (S )
1 ba
en el rango desde a hasta S para cada valor de S, se obtiene la distribución acumulada. Se utiliza f () para representar la función de densidad de probabilidad y F () para representar la función de distribución acumulada del tipo “menor que o igual a” (ver Figura 1.9).
EL VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA El valor esperado o la expectativa de una variable aleatoria es la suma de los valores de la variable aleatoria ponderada por la probabilidad de que la variable aleatoria tome ese valor. Por consiguiente, el valor esperado es la media o valor promedio ponderado. Considerar el ejemplo de la Tabla 1.11.
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TABLA 1.11
CÁLCULO DEL VALOR ESPERADO
Valores de la variable aleatoria, x (demanda futura) x1 25 unidades
Probabilidad de P( xi )
Probabilidad de la demanda ponderada xi P( xi )
P( x1 ) 0.05
1.25
x2 26 unidades
P( x2 ) 0.10
2.60
x3 27 unidades
P( x3 ) 0.15
4.05
x4 28 unidades
P( x4 ) 0.30
8.40
x5 29 unidades
P( x5 ) 0.20
5.80
x6 30 unidades
P( x6 ) 0.20
6.00
1.00
E(x) = 28.10
Suma:
En este caso, 28.10 es la demanda esperada o media. Esto se escribe como: E ( x) 28.10
El valor esperado se calcula, como en la Tabla 1.11, ponderando cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad, y luego sumándolos. La fórmula matemática de la media es: n
E ( x ) xi P ( xi )
(1.5)
i 1
es el iésimo valor de la variable aleatoria; xi P( xi ) es la probabilidad del iésimo valor, y n
es el símbolo que representa la sumatoria de todos los productos para i =1 hasta
i 1
i = n, inclusive. El símbolo se le conoce como “sigma”. En el ejemplo, n = 6 debido a que hay seis posibles valores de la variable aleatoria. Por tanto: 6
E ( x) xi P( xi ) x1 P( x1 ) x2 P( x2 ) x6 P( x6 ) i 1
Sustituyendo los valores específicos: 6
E ( x ) xi P( xi ) 25(0.05) 26(0.10) 27(0.15) 28(0.30) 29(0.20) 30(0.20) 28.1 i 1
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El cálculo del valor esperado de una variable aleatoria continua requiere del uso de matemáticas más sofisticadas (cálculo). Sin embargo, el valor esperado tiene la misma interpretación que la variable discreta.
LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA Con frecuencia se requiere saber cómo se dispersan los valores de la variable aleatoria sobre la media. La varianza y la desviación estándar proporcionan medidas de esta dispersión. La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable aleatoria respecto a su media ponderada por la probabilidad de desviación. El enunciado matemático es el siguiente: n
Var( x) xi E ( x) P( xi ) 2
(1.6)
i 1
E (x) es la media; xi el valor iésimo de la variable aleatoria; y P( xi ) , su probabilidad. Puede verse que cuanto más grande es la dispersión de todos los xi para i = 1 hasta i = n inclusive,
tanto mayores son los valores de xi E(x)2 y mayor es la varianza. TABLA 1.12
Valores de la variable aleatoria, x (demanda futura)
CÁLCULO DE LA VARIANZA Desviación Desviación cuadrática de la cuadrática ponderada Probabilidad de media de 28.1 por la probabilidad P( xi )
xi E(x) 2
xi E( x) 2 P( xi )
x1 25 unidades
P( x1 ) 0.05
(2528.1)2 = 9.61
0.4805
x2 26 unidades
P( x2 ) 0.10
(2628.1)2 = 4.41
0.4410
x3 27 unidades
P( x3 ) 0.15
(2728.1)2 = 1.21
0.1815
x4 28 unidades
P( x4 ) 0.30
(2828.1)2 = 0.01
0.0030
x5 29 unidades
P( x5 ) 0.20
(2928.1)2 = 0.81
0.1620
x6 30 unidades
P( x6 ) 0.20
(3028.1)2 = 3.61
0.7220
Suma:
1.00 n
1.9900
Var( x) xi 28.1 P( xi ) 1.9900 2
i 1
La Tabla 1.12 muestra el cálculo de la varianza para la demanda de la variable aleatoria del ejemplo de la Tabla 1.11. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza; en el ejemplo, la desviación estándar es 1.99 , o aproximadamente 1.41. La desviación estándar suele designarse con la letra (una sigma minúscula) y, con frecuencia, la varianza se escribe como 2 . La varianza de una variable aleatoria continua tiene la misma interpretación que en la discreta, aunque la fórmula matemática sea más compleja e involucre el cálculo. Ejemplo
Este ejemplo muestra cómo se obtiene información sobre una variable aleatoria utilizando las reglas de probabilidad antes desarrolladas. Suponer que se intenta vender un producto a dos clientes. Para Big Stores, se calcula que se tiene 20% de oportunidad de vender 200 cajas, 40% de oportunidad de vender 100 cajas, y 40% de oportunidad de no vender nada. Para Little Markets, se calcula que se tiene 40% de oportunidad de obtener un pedido de 100 cajas y 60% de no vender nada. Además, las ventas a los dos clientes son dependientes; si Big Stores compra 200 cajas, se tiene 50% de oportunidad de que Little haga un pedido de 100 cajas (y, por supuesto, 50% de no obtener ningún pedido). Si Big Stores no compra ninguna caja, entonces las oportunidades de que Little tampoco ordene son de 5050.
FIGURA 1.10
Ventas a Little Markets (cajas)
PROBABILIDAD CONJUNTA Ventas a Big Stores (cajas) 200
100
Probabilidad marginal
0
0.50 100
0.40 0.10 0.50
0
0.60 0.20
Probabilidad marginal
0.20
0.40
0.40
1.00
Si hay interés en la variable aleatoria x, el total de ventas a ambos clientes, hay que desarrollar la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. Para ello, hay que iniciar con la Figura 1.10, de probabilidad conjunta, e incluir la información con que se cuenta. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Las probabilidades globales de ventas de 200, 100 y 0 cajas a Big Stores se muestran a lo largo de la margen inferior de la Figura 1.10. De igual forma, las probabilidades marginales de ventas a Little Markets aparecen en la columna de la derecha. También se sabe que P(ventas a Little = 100 | ventas a Big = 200) = 0.5. Esta probabilidad condicional se muestra en la esquina superior de la casilla superior izquierda. También se sabe que P(ventas a Little = 0 | ventas a Big = 0) = 0.5, lo que se muestra de manera similar en la esquina superior de la casilla inferior derecha de la Figura 1.10. Si se utiliza: P( AB) P( A B) P( B)
puede calcularse la probabilidad conjunta: P( Little 100 y Big 200) P( Little 100 Big 200) P( Big 200) (0.5)(0.2) 0.10
Estas probabilidades conjuntas se muestran en las correspondientes casillas de la Figura 1.10. Ahora es posible llenar el resto de la Figura 1.10 utilizando el hecho de que los totales de las probabilidades conjuntas en cualquier fila o columna deber ser igual a las probabilidades marginales. El cálculo completo aparece en la Figura 1.11. FIGURA 1. 11
Ventas a Little Markets (cajas)
LA SUMA DE PROBABILIDADES CONJUNTAS ES IGUAL A LAS PROBABILIDADES MARGINALES Ventas a Big Stores (cajas) 200
100
0.50
Probabilidad marginal
0
0.10
0.20
100
0.40 300 0.10
200 0.30
100 0.20
0
0.60 200
Probabilidad marginal
0.20
100 0.40
0 0.40
1.00
Las esquinas inferiores del lado derecho de las casillas de la Figura 1.11 contienen los valores para la variable aleatoria x, el total de ventas, igual a la suma de las ventas a Big Stores y Little Markets. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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La distribución de probabilidad para x aparece en las columnas 1 y 2 de la Tabla 1.13. El cálculo del valor esperado de esta distribución se muestra en la columna (3) de la Tabla 1.13. Es decir, E ( x) 120 cajas. La varianza para las ventas totales también se calcula; ver las columnas (4) y (5): Var( x) 7,600. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA EL TOTAL DE VENTAS (1) (2) (3) (4) (5) Desviación Desviación cuadrática cuadrática de la Cajas vendidas Probabilidad ponderada por la xi P( xi ) media de 120 P( xi ) xi probabilidad 2 TABLA 1.13
xi E(x)
0 100 200 300 Total
0.2 0.5 0.2 0.1 1.0
0 50 40 30
(0120)2 = 14,400 (100120)2 = 400 2 (200120) = 6,400 (300120)2 = 32,400
E ( x) 120
xi E( x) 2 P( xi ) 2,880 200 1,280 3,240 Var( x) 7,600
DISTRIBUCIONES MULTIVARIADAS DE PROBABILIDAD Una distribución multivariada de probabilidad es una función que expresa las probabilidades conjuntas para dos o más variables aleatorias. Esto es similar para las tablas de probabilidad conjunta ya estudiadas en este capítulo (ver Tabla 1.3, por ejemplo). Considerar el caso de dos variables aleatorias x y y. El valor esperado [E(x) y E(y)] y las varianzas [Var(x) y Var(y)] para las variables, individualmente, son muy semejantes a las que se definieron antes. Sin embargo, hay una medida de variabilidad adicional denominada covarianza, la cual mide el grado hasta donde dos variables tienden a estar relacionadas. La covarianza es: Cov( x, y) E( x E( x)) ( y E( y))
Como ejemplo, considerar la distribución conjunta de la estatura y peso de los individuos (sea x la estatura y y el peso). Las covarianza mide el grado hasta donde existe relación entre estatura y peso. Por lo general, debido a que las personas más altas tienden a pesar más que el promedio, y las personas bajas pesan menos que el promedio, la covarianza es positiva. Si el término de covarianza es negativo, indica que los valores altos de una variable tienden a estar asociados con los valores bajos de la otra y viceversa. Por ejemplo, considerar la POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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distribución conjunta del ingreso familiar promedio y la tasa de criminalidad en diversas zonas de una ciudad. Generalmente, las zonas con ingresos familiares promedio más altos tienden a tener menos tasas de criminalidad, y las áreas con ingresos menores tienen tasas de criminalidad más altas. La covarianza en este caso es negativa. Si dos variables son independientes la covarianza es cero. Una medida relacionada con el grado de relación entre dos variables es el coeficiente de correlación, definido como:
Cov( x, y) Var( x) Var( y)
El coeficiente de correlación puede tomar valores de +1, si las dos variables están perfectamente (linealmente) relacionadas de manera positiva, de 1 si están perfectamente relacionadas de manera negativa, o de 0 si son independientes, y valores intermedios según el grado de asociación de las variables. Las distribuciones multivariadas generales pueden involucrar un diverso número de variables. La covarianza y el coeficiente de correlación pueden definirse de la manera antes mencionada para cualquier par de variables.
SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS La expectativa de la suma de variables aleatorias es la suma de las expectativas de dichas variables aleatorias. Por consiguiente, la media de la variable aleatoria (x + y+z) es: E(x + y + z) = E(x) + E(y) + E(z) La varianza de una suma de variables aleatorias involucra la suma de las varianzas y covarianzas, así: Para dos variables x y y: Var(x + y) = Var (x) + Var (y) + 2Cov (x, y). Para tres variables, x, y y z, la varianza de la suma es: Var(x + y + z) = Var(x) + Var(y) + Var(z) + 2Cov(x,y) + 2Cov(x,z) + 2Cov(y, z) El patrón para más de tres variables es similar. Si las tres variables son independientes, los términos de covarianza en las fórmulas anteriores son cero. Es decir, la varianza de una suma de variables aleatorias es la suma de las varianzas, si las variables son independientes. De manera que para variables independientes: Var(x + y + z) = Var(x) + Var(y) + Var(z) si x, y, z son independientes. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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UNA CONSTANTE MULTIPLICA UNA VARIABLE ALEATORIA La expectativa de una constante (c) multiplicada por una variable aleatoria es la constante multiplicada por la expectativa de la variable aleatoria. Es decir: E(cx) = cE(x) La varianza de una constante multiplicada por una variable aleatoria es la constante al cuadrado multiplicada por la varianza de la variable aleatoria. Es decir: Var(cx) = c2 Var(x) Finalmente, si existe una variable aleatoria x multiplicada por una constante c, y una segunda variable aleatoria y multiplicada por una constante d; entonces, la varianza de la suma de estos términos está dada por: Var(cx + dy) = c2Var(x) + d2Var(y) + 2cdCov(x,y)
RESUMEN Una variable aleatoria agrega un valor numérico a varios resultados de un proceso aleatorio. Las probabilidades para las variables aleatorias pueden mostrarse en una distribución de probabilidad. El valor esperado es el promedio ponderado de los valores de una variable aleatoria, siendo los ponderados las probabilidades de que ocurra. La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión de una variable aleatoria. Una distribución de probabilidad multivariada expresa las probabilidades conjuntas para dos o más variables aleatorias. La covarianza es una medida del grado de relación de dos variables. El valor esperado de una suma de variables aleatorias es la suma de los valores esperados. La varianza de una suma de variables aleatorias es la suma de las varianzas, si las variables son independientes. De otro modo, la varianza de la suma también debe incluir la suma de las covarianzas multiplicada por dos.
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EL PROCESO DE BERNOULLI Y LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Un proceso de Bernoulli puede describirse de la siguiente manera: 1. Los resultados de cada prueba en el proceso se caracterizan como uno de dos tipos de resultados posibles, así: a. b. c. d.
Éxito, fracaso. Sí, no Caras, cruces Cero, uno
2. La probabilidad de que el resultado de cualquier prueba sea estable y no cambie a lo largo del proceso. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara, debido a que es una moneda perfectamente diseñada, es de 0.50 y no cambia, sin tener en cuenta el número de veces que se lance la moneda. 3. El resultado de cualquier prueba es independiente del resultado de pruebas anteriores. En otras palabras, la historia pasada del proceso no cambia la probabilidad asignada a la siguiente prueba. En el ejemplo de la moneda, se asigna una probabilidad de 0.50 a que salga cara en el siguiente lanzamiento, inclusive si ha salido cara en los últimos 10 lanzamientos (se supone que la moneda está perfectamente diseñada). 4. El número de pruebas es discreto y puede representarse con un entero como 1, 2, 3 y así sucesivamente. Dado un proceso, puede saberse que es Bernoulli, pero puede saberse o no la probabilidad de lo estable del proceso. Con una moneda perfectamente diseñada, puede saberse que el proceso es Bernoulli, con una probabilidad de 0.50 de tener éxito (obtener caras) y una probabilidad de 0.50 de fracasar (obtener cruces). Sin embargo, si una moneda está perfectamente diseñada, el proceso (lanzar la moneda) puede todavía ser Bernoulli, pero no se sabe la característica de probabilidad. Por consiguiente, puede tenerse un proceso de Bernoulli con una característica de probabilidad desconocida o conocida. Muchos procesos de negocios pueden caracterizarse como de Bernoulli para efectos analíticos, inclusive aunque no sean verdaderamente de Bernoulli en todo aspecto. Si el ajuste está lo suficientemente cerca, puede asumirse que el proceso Bernoulli es una caracterización razonable. A continuación se mostrarán algunos ejemplos.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
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Hay preocupación por un proceso de producción donde una parte (o producto) se produce en una máquina. Las partes pueden clasificarse como buenas o defectuosas, en cuyo caso, el proceso puede ser de Bernoulli. Si la máquina no está sometida a un desgaste rápido; es decir, si la configuración soportara un uso prolongado de las partes, la probabilidad de tener buenos productos puede ser bastante estable para que el proceso se califique como de Bernoulli. Si, por el contrario, salen más partes defectuosas a medida que se acerca el fin de su funcionamiento, el proceso no es de Bernoulli. En muchos procesos de este tipo, la presencia de partes buenas y defectuosas es suficientemente estable (no hay un patrón observable a través del tiempo) como para llamarlo de Bernoulli. La probabilidad de partes buenas y defectuosas puede permanecer estable durante un proceso de producción, pero puede variar de un proceso a otro (debido a la configuración de la máquina, por ejemplo). Aquí todavía podría considerarse el proceso como de Bernoulli, pero la probabilidad de tener éxito (o fracasar) cambiaría de un proceso a otro.
Un ejemplo diferente de un proceso de Bernoulli es una encuesta para determinar si los consumidores prefieren los jabones líquidos frente a los jabones en polvo. El resultado de la encuesta podría caracterizarse por respuestas de sí (éxito) o no (fracaso) a las preguntas formuladas. Si la muestra de consumidores se tomó de manera bastante aleatoria (sin patrón sobre la forma como ocurrieron las respuestas afirmativas y las respuestas negativas), Bernoulli (con una probabilidad desconocida) podría ser una descripción útil del proceso. Si la probabilidad de éxito en un proceso de Bernoulli es de 0.50, la probabilidad de fracaso también es de 0.50, ya que las probabilidades de que el evento ocurra y no ocurra suman uno. Si la probabilidad de éxito es p, la probabilidad de un fracaso es (lp).
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD Para responder a las preguntas de probabilidad sobre un proceso de Bernoulli, se necesita saber cuál es el parámetro de probabilidad del proceso, como el valor 0.50 en el ejemplo de la moneda perfectamente diseñada. Además, se necesita saber el número de pruebas que van a utilizarse. Por tanto, para analizar un proceso de Bernoulli, se necesita saber la característica de probabilidad del proceso, p y el número de pruebas, n.
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Los símbolos y relaciones de la Tabla 1.14 son de utilidad. TABLA 1.14
SÍMBOLOS Y RELACIONES
P(R = r p, n)
La probabilidad de que el número desconocido de éxitos, R (la variable aleatoria), sea igual a algún número específico, r (por ejemplo, 10), dado un número específico de pruebas, n (por ejemplo, 20) y alguna probabilidad específica, p, de un éxito en cada prueba.
P(R r p, n)
La probabilidad de que el número de éxitos sea mayor o igual a un número específico, r, dados los valores para p y n. Esto es lo que se denomina probabilidad acumulada. La Tabla C (al final de estas notas) contiene valores de probabilidades acumuladas La probabilidad de que el número de éxitos sea mayor que un número específico. Esta desigualdad es excluyente; es decir:
P(R > r p, n)
P(R > 10) Excluye 10, e incluye 11 y más.
P(R r p, n)
La probabilidad de que el número de éxitos sea menor o igual a un número específico (por ejemplo, 10).
P(R < r p, n)
La probabilidad de que el número de éxitos sea menor que un número específico. La probabilidad de exactamente 10 éxitos puede observarse en el apéndice de la tabla C restando dos probabilidades acumuladas. Si:
P(R=10) = P(R 10) – P(R 11)
P(R>11) se resta de P(R 10), el resultado es la probabilidad de exactamente 10 éxitos.
P(R<10) = 1 – P(R 10)
Debido a que las probabilidades suman 1, si la probabilidad de 10 ó más éxitos se resta de 1, el resultado es la probabilidad de menos de 10 éxitos.
P(R10) = 1 – P(R 11)
Debido a que menor que o igual a 10 incluye 10, resta la probabilidad de 11 aciertos o más de 1. Para leer una desigualdad estricta del apéndice, tabla C, se adiciona 1 al número deseado. La expresión:
P(R>10) = P(R 11)
P(R>10) excluye 10, de manera que esta probabilidad es la misma que P(R 11), que incluye 11 pero excluye 10.
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LA FUNCIÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD Si las suposiciones del proceso de Bernoulli se satisfacen y si la probabilidad de un éxito en
una prueba es p, entonces la distribución de la probabilidad del número de éxitos, R, en n pruebas, es una distribución binomial. La función de distribución binomial de la probabilidad es: n! (1.7) P( R n, p) p R (1 P) n R R!(n R)! donde n! (llamada n-factorial) es igual a n(n 1)(n 2) (2)(1) y 0! se define como igual a 1. Realizar los cálculos utilizando la ecuación 1.7 puede ser tedioso si el número de pruebas es grande. Por este motivo, se suministran las tablas de la distribución binomial acumulada al final de las notas, en la tabla C.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE LA PROBABILIDAD La distribución normal, algunas veces denominada distribución o campana de Gauss, es de extrema importancia. Matemáticamente es más fácil de manejar que muchas otras distribuciones y es una buena aproximación para varias de las otras. En muchos casos, la distribución normal es una aproximación razonable en una distribución de la probabilidad anterior para efectos de decisiones de negocios; en los capítulos siguientes se utilizará la distribución normal en muchas de las aplicaciones. A pesar de sus aplicaciones generales, no debe asumirse que todos los procesos pueden describirse como si tuvieran una distribución normal. La distribución normal tiene una función de densidad de la probabilidad que es una curva suave, simétrica, continua, en forma de campana, como se aprecia en la Figura 1.12. El área que está bajo la curva sobre cualquier intervalo en el eje horizontal representa la probabilidad de una variable aleatoria, x, que toma un valor en dicho intervalo. Al igual que la función continua de densidad de probabilidad, el área bajo la curva suma 1. Una distribución normal está completamente determinada por su valor esperado o media (denotada por ) y la desviación estándar ( ) ; es decir que una vez que se conoce la media y la desviación estándar, se establece la forma y ubicación de la distribución. La curva alcanza un máximo en la media de la distribución. La mitad del área queda en cualquiera de los lados de la media. Cuanto mayor sea el valor de , la desviación estándar, tanto más se expande la curva. Esto se ilustra en la Figura 1.13.
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Con toda la distribución normal, aproximadamente 0.50 del área queda dentro de 0.67 desviaciones estándar desde la media; cerca de 0.68 del área queda en 1.0 desviaciones estándar; y 0.95 del área queda con 1.96 desviaciones estándar. Véase la Figura 1.14. Debido a que la función de probabilidad normal es continua (una función de densidad de probabilidad), la probabilidad no puede leerse directamente de las gráficas. Debe considerarse la probabilidad del valor de una variable aleatoria en un intervalo (véase Figura 1.15). FIGURA 1.12
FUNCIÓN NORMAL DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Desviación estándar
Media
FIGURA 1.13
FUNCIÓN NORMAL DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
=1 =2
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X
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FIGURA 1.14
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FUNCIÓN NORMAL DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, DESVIACIONES DESDE LA MEDIA
50% de área sombreada
FIGURA 1.15
1.96x
1x
0.67x
68% de área sombreada
95% de área sombreada
FUNCIÓN NORMAL DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, VALOR DE UNA VARIABLE ALEATORIA
A
B –2
0
2
X
en la Figura 1.15: P(2 x 0) área sombreada A P(x 2) área sombreada B P(0 x 2) área entre A y B (también igual al área sombreada A debido a la simetría
de la curva normal)
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COLAS DERECHA E IZQUIERDA El símbolo FN se utiliza para diferenciar una función de distribución acumulada de una distribución de probabilidad normal. Es el área que está debajo de la cola izquierda de una función de densidad de la probabilidad normal. En la Figura 1.16, el área sombreada es la cola izquierda de una curva normal; es decir, FN (b) que es la probabilidad de que x sea igualo menor que b; es decir: FN (b) P( x b)
(1.8)
Ahora, se presenta un nuevo símbolo, GN , el cual se define como el área que está bajo la cola derecha de una función de densidad de probabilidad normal. En la Figura 1.16, el área no sombreada es el extremo derecho de una curva normal; es decir GN (b) . GN (b) es la probabilidad de que x sea mayor que b; es decir: GN (b) P( x b)
En la Figura 1.16 puede observarse que FN (b) y GN (b) están relacionadas: GN (b) 1 FN (b)
debido a que, por definición, el área total bajo la función de densidad de la probabilidad suma 1.
FIGURA 1.16
COLAS DERECHA E IZQUIERDA
FN(b) es el área sombreada
GN(b) es el área a la derecha de b
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b
x
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LA VARIABLE NORMAL ESTANDARIZADA Y LAS TABLAS DE PROBABILIDAD NORMAL Se dice que 0 (media de 0) y 1 (desviación estándar de 1) es una distribución normal estándar. Si una distribución normal tiene una media diferente a 0 o una desviación estándar distinta a 1, la distribución puede estandarizarse. La capacidad de estandarizar distribuciones normales es una de las características útiles de la distribución y permite buscar probabilidades normales en una tabla relativamente corta. Para estandarizar una variable aleatoria normal, una nueva variable normal estandarizada, z, debe definirse de la siguiente manera: x z (1.9) donde x es la variable aleatoria normal no estandarizada, es la media de esta variable aleatoria y es su desviación estándar. En la expresión anterior, z es la distancia de x desde su media, , medida en unidades de desviaciones estándar. Por ejemplo, si z = 4, entonces: x 4 de manera que: 4 x x 4 Por consiguiente, z = 4 corresponde a un valor de x que es cuatro desviaciones estándar más grande que su media. Como resultado de esta operación, z es una variable estandarizada, aleatoria, distribuida normalmente, que tiene una media de 0 y una desviación están dar de 1. Debido a que se buscan las probabilidades en términos de z y todas las z tienen una media de 0 y una desviación están dar de 1, sólo se necesita una tabla de probabilidades. La Tabla A (del apéndice que se encuentra al final de estas notas) es una tabla de probabilidades normales acumuladas. Vale la pena anotar que en la ecuación 1.9, se transforma un valor de una distribución normal en un valor de distribución normal estándar. El valor transformado debe provenir de una distribución normal. Suponiendo que hay una variable aleatoria distribuida normalmente, x, con una media de 8 y una desviación estándar de 3 , van a hallarse las siguientes probabilidades: 1. P( x 10). 2. P( x 10). 3. P(10 x 15).
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Ejemplo 1: Primero se estandariza la variable x para el valor x 10 : x
z
10 8 2 0.67 3 3
Cuando se busca la probabilidad P( z 0.67) en la Tabla A de la función de distribución normal estandarizada, el resultado es igual 0.7486. Notar que P( x 10) es lo mismo que P( x 10) , debido a que la probabilidad de ser exactamente 10 se define como cero si la distribución de probabilidad es continua. Ejemplo 2: Del ejemplo 1, se sabe que para x 10 , z 0.67 y: P( x 10) P( z 0.67) 0.7486 .
Entonces:
P( x 10) 1 P( x 10) 0.2514 .
Si la probabilidad de que x sea menor que 10 es de 0.75, la probabilidad de que x sea mayor que 10 es de 0.25. En términos de áreas, si el área que está a la izquierda de 10 es 0.75, y el área total bajo la función de densidad es 1, entonces el área que está a la derecha de 10 es (1 0.75) 0.25. Ejemplo 3: Se quiere determinar el área C de la Figura 1.17. El área C + D es P( x 10). El área D es P( x 15) . El primer paso es saber que P( x 10) 0.2514 , del ejemplo 2. Para calcular el área D, o P( x 15) , el primer paso es calcular z para un valor de x 15.
FIGURA 1.17
DETERMINACIÓN DEL ÁREA C
A
B
8
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D
C
10
15
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z
x
15 8 7 2.33 3 3
En la Tabla A, al final de estas notas, se encuentra que P( z 2.33) 0.9901
Ahora puede calcularse el área D: P( x 15) P( z 2.33) 1 P( z 2.33) 1 0.9901 0.0099
La probabilidad de que x sea mayor que 10 y menor que 15 (o equivalente, siendo z mayor que 0.67 y menor que 2.33) es el área C + D menos el área D: P(10 x 15) P( x 10) P( x 15) P( z 0.67) P( z 2.33) 0.2514 0.0099 0.2415
PROBLEMAS PRÁCTICOS Problema 1. Calcular las siguientes probabilidades, las cuales pertenecen al lanzamiento de una moneda tres veces. a. b. c. d.
P(tres caras). P(dos o más caras en tres lanzamientos). P(una o más cruces en tres lanzamientos). P(el último lanzamiento en una cara).
Solución: Los posibles resultados (los resultados son independientes) son: C
C
C
C Cr
C
C Cr
Cr
C Cr
Cr POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
Cr
Cr Página 48
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CCC CCCr CCrC CCrCr
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1/8 1/8 1/8 1/8
CrCC CrCCr CrCrC CrCrCr
1/8 1/8 1/8 1/8
a. P(tres caras) = 1/8 ó P(tres caras) = P(C) P(C) P(C) = 1/21/21/2 = 1/8. b. P(dos o más caras) = CCC + CCCr + CCrC + CrCC = 1/8 + 1/8 + 1/8 +1/8 = 4/8 = 1/2 c. P(una o más cruces) = CCCr + CCrC + CCrCr + CrCC + CrCCr + CrCrC + CrCrCr = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 7/8 o bien,
1 – P(CCC) = 1 – 1/8 = 7/8
d. P(el último lanzamiento es una cara) = CCC + CCrC + CrCC + CrCrC = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 Nota
Debido a que los resultados son independientes, esta P(caras) en un lanzamiento de una moneda legítima, es 1/2 .
Problema 2. Considere las tres urnas siguientes con bolas rojas (R) y bolas negras (N):
6R 4N No. 1
8R 2N No. 2
4R 1N No. 3
Extraiga una bola de la urna número 1: si es roja, pase a la urna número 2; si es negra pase a la urna número 3. Determine lo siguiente: a. b. c. d. e. f.
¿Cuál es P(bola roja en la segunda extracción, si es roja en la primera extracción)? ¿Cuál es P(bola negra en la segunda extracción, si es roja en la primera extracción)? ¿Cuál es P(bola roja en la segunda extracción, si es negra en la primera extracción)? ¿Cuál es P(bola negra en la segunda extracción, si es negra en la primera extracción)? ¿Cuál es P(bola negra en la segunda extracción)? Responda las preguntas (a)(e) si la urna número 3 fuera la siguiente:
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7R 3N No. 3. Solución: Considere la siguiente figura: 8R
6R No
R
1
No 2 2N
4N N 4R 1N No 3
a. b. c. d. e.
P(roja en la segunda extracciónroja en la primera extracción) = 8/10 = 4/5 P(negra en la segunda extracciónroja en la primera extracción) = 2/10 = 1/5 P(roja en la segunda extracción negra en la primera extracción) = 4/5 P(negra en la segunda extracción negra en la primera extracción) = 1/5 P(negra en la segunda extracción) = P(N2R1) P(R1) + P(N2N1) P(N1) = =
2 6 1 4 2 6 2 4 20 1 10 10 5 10 10 10 10 10 100 5
f. Considere la siguiente figura: 6R No 1 4N
8R R
No 2 2N
N 7R 3N No 3
a. P(roja en la segunda extracciónroja en la primera extracción) = 8/10 = 4/5 POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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b. c. d. e.
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P(negra en la segunda extracciónroja en la primera extracción) = 2/10 = 1/5 P(roja en la segunda extracciónnegra en la primera extracción) = 7/10 P(negra en la segundanegra en la primera) = 3/10 P(negra en la segunda extracción) = P(N2R1) P(R1) + P(N2N1) P(N1) = =
2 6 3 4 24 0.24 10 10 10 10 100
En el primer ejemplo, el evento condicionador no era importante porque las proporciones de bolas rojas y negras en las urnas 2 y 3 eran las mismas. Por consiguiente, existe independencia. En el segundo caso, las proporciones no son las mismas, de manera que el evento condicionador es importante. Problema 3. Se tiene una moneda defectuosa con probabilidad de 0.60 de sacar cruz y 0.40 de sacar cara. Determine lo siguiente: a. En dos lanzamientos, la probabilidad de: (1) Dos caras. (2) Dos cruces. (3) Una cara. (4) Una o más caras. (5) Una o más cruces. (6) Una cruz o menos. b. En tres lanzamientos, la probabilidad de: (1) (2) (3) (4)
Tres caras. Dos caras. Una cara. Una o más caras.
Solución: a. Con n = 2. Los posibles resultados son: (los resultados son independientes). C C
Cr C
Cr
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Cr
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CC , CCr, CrC, CrCr (1) (2) (3) (4) (5)
P(2 caras) = CC = (0.4)(0.4) = 0.16 P(2 cruces) = CrCr = (0.6)(0.6) = 0.36 P(1 cara) = CCr + Cr C = (0.4) (0.6) + (0.4)(0.6) = 0.48 P(1 cara) + P(2 caras) = (CCr + Cr C) + CC = 0.48 + (0.4)(0.4) = 0.48 + 0.16 = 0.64 P(1 cruz) = CCr + CrC = (0.4)(0.6) + (0.6)(0.4) = 0.48 P(1 cruz) + P(2 cruces) = 0.48 + 0.36 = 0.84 P(Cr 1) = 1 – P(Cr>1) = 1 – P(2 cruces) = 1 – 0.36 = 0.64
(6)
Una partición del evento, en dos lanzamientos es:
P(1 cara) = 0.48 P(2 caras) = 0.16 P(2 cruces) = 0.36 1.00
Probabilidad CC = 0.16 CCr = 0.24 CrC = 0.24 CrCr = 0.36 1.00
ó
b. Con n = 3. Los posibles resultados (los resultados son independientes) son: C
C
C
C Cr
C
C Cr
Cr
C Cr
Cr
CCC = (0.4)(0.4)(0.4) = 0.064 CCCr = (0.4)(0.4)(0.6) = 0.096 CCrC = (0.4)(0.6)(0.4) = 0.096 CCrCr = (0.4)(0.6)(0.6) = 0.144 (1) (2) (3) (4)
Cr
Cr
CrCC = (0.6)(0.4)(0.4) = 0.096 CrCCr = (0.6)(0.4)(0.6) = 0.144 CrCrC = (0.6)(0.6)(0.4) = 0.144 CrCrCr = (0.6)(0.6)(0.6) = 0.216
P(3 caras) = CCC = 0.064 P(2 caras) = CCCr + CCrC +CrCC = 0.096 + 0.096 + 0.096 = 0.288 P(1 cara) = CCrCr + CrCCr + CrCrC = 0.144 + 0.144 + 0.144 = 0.432 P (una o más caras ) = P(1 cara) + P(2 caras) + P(3 caras) = 0.064 + 0.288 + 0.432 = 0.784
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Problema 4. Si una distribución normal tiene una media de 12 y una desviación estándar de 4. Calcule lo siguiente: a. b. c. d. e.
P(x 15) P(x < 10) P(10 < x 15) P(x > 17) P(15 < x 17)
Solución: a.
Z = (15 – 12)/4 = –0.50 ; P(Z 0.75) = 1 0.7734 = 0.2266
b.
Z = (10 – 24)/4 = –0.50 ; P(Z 0.50) = P(Z 0.50) = 1 0.6915 = 0.3085
c.
P(10< X 15) = 1 – P(X < 10) – P(X 15) = 1 – 0.3085 – 0.2266 = 0.4649
d.
Z = (17-24)/4 = 1.25 ; P(Z > 1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056
e.
P(15 < X 17) = P(X > 15) – P(X > 17) = 0.2266 – 0.1056 = 0.1210
Problema 5. Treinta ejecutivos de una industria se clasifican por edad y por su cargo anterior, como se indica en la siguiente tabla: Cargo anterior Finanzas Mercadotecnia Otros Total
Menos de 55 años 4 1 4 9
Edad 55 años o más 14 5 2 21
Total 18 6 6 30
Suponga que se selecciona un ejecutivo al azar de este grupo, entonces: a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ejecutivo seleccionado tenga menos de 55 años? ¿Qué tipo de probabilidad es ésta (marginal, condicional, conjunta)? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar tenga 55 años o más y que haya desempeñado un cargo anterior en mercadotecnia? ¿Qué tipo de probabilidad es ésta? c. Suponga que se selecciona un ejecutivo, y se le informa a usted que su cargo anterior era en finanzas. ¿Cuál es la probabilidad de que el ejecutivo tenga menos de 55 años? ¿Qué clase de probabilidad es ésta? d. ¿Son factores independientes para este grupo de ejecutivos la edad y el cargo anterior? POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Solución: a. P(menor de 55) = 9/30 = 0.30 (probabilidad simple o marginal). b. P(55 ó mayor, mercadotecnia) = 5/30 = 0.167 (probabilidad conjunta). c. P(menor de 55Finanzas ) = 4/18 = 0.222 (probabilidad condicional). d. No. Note que P(menor de 55) no es igual a P(menor de 55 Finanzas), lo cual sería necesario para la independencia. Generalmente, los ejecutivos de la categoría “Otros” son menores que sus contrapartes de finanzas y comercialización. Problema 6. Las siguientes probabilidades se asignan a valores posibles de la fracción defectuoso en un proceso de manufactura. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria, la fracción defectuosa.
Evento 0.01 defectuoso 0.02 defectuoso 0.03 defectuoso 0.04 defectuoso 0.05 defectuoso 0.10 defectuoso 0.15 defectuoso Total
Probabilidad del evento 0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02 1.00
Solución: Vea la siguiente tabla. El valor esperado es 3.80. La varianza de la variable aleatoria es 5.360. La desviación estándar de la variable aleatoria es 5.36 2.32. Valor de la variable aleatoria Xi (cantidad de piezas defectuosas) 1 2 3 4 5 10 15 Total:
P(Xi) P(evento) 0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02 1.00
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(Xi) P(Xi) 0.10 0.30 0.60 1.20 1.00 0.30 0.30 3.80
Desviaciones cuadráticas de la media de 3.8; [Xi - E(X)]2 (2.80)2 = 7.84 (1.80)2 = 3.24 (0.80)2 = 0.64 (0.20)2 = 0.04 (1.20)2 = 1.44 (6.20)2 = 38.44 (11.20)2 = 125.44
Desviaciones cuadráticas ponderadas por la probabilidad: P(Xi) [Xi - E(X)]2 0.784 0.486 0.128 0.012 0.288 1.153 2.509 5.360 Página 54
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Problema 7. Considere dos urnas Tipos de bolas Rojas Negras
Urna 1 7 3
Urna 2 4 6
P(R1) = Probabilidad de una bola roja en la primera extracción. P(R2) = Probabilidad de una bola roja en la segunda extracción. P(N1) = Probabilidad de una bola negra en la primera extracción P(N2) = Probabilidad de una bola negra en la segunda extracción.
a. Tomar una bola de la urna 1, reemplazarla y luego tomar una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de: (1) Extraer dos bolas rojas? (2) Sacar una bola roja en la segunda extracción, si extrajo una roja en el primero? (3) Sacar una bola roja en la segunda extracción, si sacó una negra en el primero? (4) Dibuje el diagrama de árbol (5) Prepare la tabla de probabilidad conjunta b. Tomar una bola de la urna 1; reemplazar. Tomar una bola de la urna 2 si la primer bola fue negra, de lo contrario, sacar una bola de la urna 1. ¿Cuál es la probabilidad de: (1) Sacar dos bolas rojas? (2) Sacar una bola roja en la segunda extracción, si extrajo una roja en el primero? (3) Sacar una bola roja en la segunda extracción, si extrajo una negra en el primero? (4) Dibuje el diagrama de árbol. (5) Prepare la tabla de probabilidad conjunta
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Solución: a.
(1)
P(R1) = (7/10) = 0.7, P(R2) = (7/10) = 0.7; P(R1, R2) = (0.7)(0.7) = 0.49
(2)
P(R2R1) = 7/10 = 0.7; R2 es un evento independiente.
(3)
P(R2N1) = 7/10 = 0.7; R2 es un evento independiente.
(4) Diagrama de árbol:
P(R 2 .7 )= 0 1 R ( P P(N
1 )=0.
3
P(R1, R2)= (0.7)(0.7) = 0.49
.7 =0 R 1)
P(N2R )= 0 .3 1
P(R1, N2)= (0.7)(0.3) = 0.21
)= 0.7 P(R 2N1
P(N1, R2)= (0.3)(0.7) = 0.21
P(N
2 N 1 )=
0.3
P(N1, N2)= (0.3)(0.3) = 0.09 1.00
(5) Tabla de probabilidad conjunta:
b.
(1)
R2
N2
R1
0.49
0.21
0.70 = P(R1)
N1
0.21
0.09
0.30 = P(N1)
P(R2) = 0.70
P(N2) = 0.30
1.00
P(R1) = (7/10) = 0.7, P(R2R1) = (7/10) = 0.7; P(R2, R1) = P(R1) P(R2R1) = (0.7)(0.7) = 0.49
(2)
P(R2R1) =
P( R2 , R1 ) 0.49 0.7 . P( R1 ) 0.7
(3)
P(R2N1) =
P( R2 , N1 ) 0.12 0.40 . P( N 1 ) 0.30
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(4) Diagrama de árbol:
P(R 2
)= P(R 1 P(N
0.7
1 )=0.
3
0.7 R1)=
P(R1, R2)= (0.7)(0.7) = 0.49
P(N2 R )= 0 .3 1
P(R1, N2)= (0.7)(0.3) = 0.21
)= 0.4 P(R2N 1
P(N1, R2)= (0.3)(0.7) = 0.12
P(N
2 N 1 )=
0.6
P(N1, N2)= (0.3)(0.3) = 0.18
1.00
(5) Tabla de probabilidad conjunta: R2
N2
R1
0.49
0.21
0.70 = P(R1)
N1
0.12
0.18
0.30 = P(N1)
P(R2) = 0.61
P(N2) = 0.39
1.00
Problema 8. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener ocho caras en ocho lanzamientos de una moneda legítima? b. Suponga que una moneda legítima se lanza siete veces y cae siempre cara. ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo lanzamiento sea cara? Explique su respuesta. Solución: a. Puesto que los resultados son independientes: 8
1 1 P(8 caras en 8 lanzamientos de una moneda legítima) . 256 2 b. Puesto que los resultados son independientes:
P(cara en el octavo lanzamiento 7 caras en los primeros siete lanzamientos) = 1/2 Hay que recordar que los eventos son independientes. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 9. Si en una caja hay seis bolas rojas y cuatro bolas negras. Se extraen dos bolas, una por una, sin reemplazar la primera bola. Haga lo siguiente para este experimento: a. Elabore un diagrama que muestre el proceso. b. Prepare una tabla de probabilidades conjuntas. c. Calcule siguientes probabilidades: P(N2│N1), P(R2│N1), P(R2│R1) donde N2 es bola negra en la segunda extracción y R1 bola roja en la primera. Solución: a. Diagrama del proceso: Primera extracción
Segunda extracción P(R1, R2)= (6/10)(5/9)= 30/90
/9 )= 5
R 1 P(R 2 /1 =6
) P(R 1 P(N
1)
0
= 4/1
0
P(N2R )= 4 /9 1
P(R1, N2)= (6/10)(4/9) = 24/90
6/9 P(R 2N1)=
P(N1, R2)= (4/10)(6/9) =24/90
P(N
2 N 1 )=
3/9
P(N1, N2)= (4/10)(3/9) = 12/90
90/90 = 1
b. Tabla de probabilidad conjunta: Segunda extracción R2
N2
Probabilidad marginal primera extracción
R1
30/90
24/90
54/90 = 0.60
N1
24/90
12/90
36/90 = 0.40
54/90 = 0.60
36/90 = 0.40
1.00
Primera extracción
Probabilidad marginal segunda extracción POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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c. P(N2│N1)
P(N1 , N 2 ) 12 / 90 12 1 P(N1 ) 36 / 90 36 3
P(R2│N1)
P(R 2 , N1 ) 24 / 90 24 2 P(N1 ) 36 / 90 36 3
P(R2│R1)
P(R 2 , R 1 ) 30 / 90 30 5 P(R1 ) 54 / 90 54 9
Problema 10. Hay dos urnas:
6R 4N No. 1
8R 2N No. 2
Existe igual probabilidad de seleccionar cualquiera de las urnas. Se toma una urna, se saca una bola, y ésta es roja. Se desea saber de qué urna proviene, pero no puede mirarse dentro de ella. a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya extraído una bola de la urna 1? ¿De la urna 2? d. Si la bola es negra, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la urna 1?
Solución: a. P(U1 ) P(U 2 ) 0.5 P( R1 U1 ) 6 / 10 0.6 P( R1 U 2 ) 8 / 10 0.8 P( R1 ,U1 ) P( R1 U1 ) P(U1 ) y P( R1 ,U 2 ) P( R1 U 2 ) P(U 2 ) P( R1 ,U1 ) 0.6 0.5 0.30 P( R1 ,U 2 ) 0.8 0.5 0.40 P( R1 ) 0.70
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P( R1 ,U1 ) 0.3 0.43 P( R1 ) 0.7 P( R1 ,U 2 ) 0.4 P(U 2 R1 ) 0.57 P( R1 ) 0.7 1.00 P(U1 R1 )
b. P( N1 U1 ) 0.4 P( N1 U 2 ) 0.2 P( N1 ,U1 ) 0.4 0.5 0.2 P( N1 ,U 2 ) 0.2 0.5 0.1 P( N1 ) 0.3
P(U1 N1 )
P( N1 ,U1 ) 0.2 0.67 P( N1 ) 0.3
P(U 2 N1 )
P( N1 ,U 2 ) 0.1 0.33 P( N 1 ) 0.3 1.00
Problema 11. Considere la distribución de probabilidad de ventas
Ventas (en unidades) 1 2 3 4 5 10 15 Total
Probabilidad 0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02 1.00
Determine las funciones de probabilidad: P(S s), P(S > s), P(S < s), P(S s).
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Solución: S 1 2 3 4 5 10 15 Total:
P(S = s) 0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02 1.00
P(S s) 1.00 0.90 0.75 0.55 0.25 0.05 0.02
P(S > s) 0.90 0.75 0.55 0.25 0.05 0.02 0.00
P(S < s) 0.00 0.10 0.25 0.45 0.75 0.95 0.98
P(S s) 0.10 0.25 0.45 0.75 0.95 0.98 1.00
Problema 12. Calcule las siguientes probabilidades para una variable aleatoria distribuida normalmente, x: a. Media 0 y desviación estándar 1: P(x > 0.8) P(x 0.8) P(x 0.8) P(0.8 x 1.2) b. Media 6 y desviación estándar 2: P(x 8) P(x 8) P(x 8) P(8 x 12) c. Media 6 y desviación estándar 1. P(x > 8) P(x 8) P(x 4) P(4 x 12)
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Solución: a. Media 0 y desviación estándar 1: z
x
0.8 0 0.8 , de la Tabla A, z 0.7881 , por lo tanto: 1
P(x > 0.8) = 1 – 0.7881 = 0.2119 P(x 0.8) = 0.7881 P(x 0.8) = P(x 0.8) = 0.7881 z
x
1.2 0 1.2 , de la Tabla A, z 0.8849 , por lo tanto: 1
P(0.8 x 1.2) = P(x 0.8) P(x > 1.2) = 0.7881 – (1–0.8849) = 0.7881 – 0.1151 = 0.6730
b. Las variables aleatorias estandarizadas , Z, son: z
x
86 1 , de la Tabla A z = 0.8413 2
z
86 7 2
z
12 6 3 , de la Tabla A z = 0.998650 2
P(x 8) = P(z > 1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 P(x 8) = P(z 1) = 0.8413 P(x 8) = P(z –7) = 1 – P(z 7) = 1 – 0.0000 = 1.0000 P(8 x 12) = P(–7 z 3) = P(z –7) – P(z > 3) = 1.0000 – 0.00135 =0.99865
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c. Las variables estandarizadas son: x
z
z
86 2 , de la Tabla A z = 0.97725 1
12 6 6 1
z
46 2 , de la Tabla A z = 0.97725– 0.5= 1
P(x > 8) = P (z > 2) = 1 – 0.97725 = 0.02275 P(x 8) = P(z 2) = 0.97725 P(x 4) = P(z – 2) = P(z 2) = 0.97725 P(4 x 12) = P(x 4) – P(x 12) = P(z – 2) – P(z – 6) = 0.97725 – 0 = 0.97725
Problema 13. Encontrar el valor de las siguientes variables aleatorias distribuidas normalmente, para cada grupo de condiciones: a.
X es normal; con media 0 y desviación estándar 1. P(X > x) = 0. 02068. ¿Cuál es el valor de x?
b.
X es normal; con media 8 y desviación estándar 3. P(Z > z) = 0.1587. ¿Cuál es el valor de x (Z y z son los valores estandarizados de X y x, respectivamente).
c.
X es normal; con media 8 y desviación estándar 3. P(Z z) = 0.7224. ¿Cuál es el valor de x?
d.
X es normal; con media 10 y desviación estándar 2. P(Z > z) = 0.2327. ¿Cuál es el valor de x?.
Solución: a.
x 2.04 (note: z x en este caso)
b.
z
x 8 x 8 1 , x 8 3 11 . , P( Z z ) 0.1587 , z 1 , 3 3
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c. z
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x 8 , P( Z z ) 1 P( Z z ) 0.7224 , P( Z z ) 1 0.7224 0.2776 ; z 0.59 3
x 8 0.59 , x 8 3(0.59) 9.77 . 3
d. z
x 10 x 10 0.73 , x 10 2(0.73) 11.46 . , P( Z z ) 0.2327 , z 0.73 , 2 2
Problema 14. La demanda para un producto es una variable distribuida normalmente con media 240 unidades semanales y desviación estándar 40 unidades. ¿Cuántas unidades debe tener un minorista en inventario para asegurar 5% o menos de probabilidad de que se agote durante la semana? Solución: Necesitamos un valor de z tal que P(Z z) = 0.05. Refiriéndonos a la Tabla A, un valor de Z = 1.64 tiene un valor en la tabla de 0.94950. Entonces P(Z 1.64) = 0.05. Por lo tanto, X μ Zσ 240 1.64(40) 306 unidades
Problema 15. En un examen parcial, las calificaciones se distribuyeron normalmente con una media de 72 y una desviación estándar de 10. El estudiante Juan estuvo entre el 10% de los mejores en ese examen. a. Por lo menos, ¿cuánto sacó Juan en el examen? b. El examen final también tuvo una distribución normal, pero con media de 150 y una desviación estándar de 15. ¿Cuánto debe sacar de calificación Juan, como mínimo, para mantenerse en el mismo lugar de la clasificación, es decir, quedar dentro del 10% de los mejores)? Solución: a. Necesitamos encontrar una z tal que P(Z z ) = 0.90. De tablas, se obtiene un valor de 1.28. X μ Zσ 72 1.28(10) 85 Juan tuvo una calificación de 85 o más. b. Como en el inciso a.: Z = 1.28; X μ Zσ 150 1.28(15) 169 Juan deberá sacar una calificación de 169 o mayor para estar entre el 10% de los mejores. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 16. Un financista desea invertir en uno de dos proyectos. Las utilidades para ambos proyectos son inciertas, y la distribución de probabilidad para ella puede expresarse mediante una distribución normal en cada caso. El proyecto A tiene una utilidad media de 240,000 dólares y una desviación estándar de 20,000 dólares. El proyecto B tiene una utilidad media de 250,000 dólares y una desviación estándar de 40,000 dólares. a. Considerar una utilidad de 280,000 dólares ¿Cuál de los dos proyectos tiene una mayor oportunidad de lograr esta utilidad o una más alta?. b. Considere una utilidad de 220,000 dólares. ¿Cuál proyecto tiene mayor oportunidad de lograr esta utilidad o una más alta? Solución: a.
Para X = 280, ZA = (280-240)/20 = 2.0 P(Z 2.0) = 1 0.97725 =0.2275 ZB = (280250)/40 = 0.75 P(Z 0.75) = 10.7734 = 0.2266 Entonces el Proyecto B tiene la mayor probabilidad
b.
Para X = 220, ZA = (220240)/20 = 1.0 P(Z1.0) = 0.8413 ZB = (220250)/40 = 0.75 P( Z 0.75) = 0.7734 Entonces el Proyecto A tiene la mayor probabilidad.
Problema 17. Se llevó a cabo un estudio entre los lectores de una revista determinada. Los resultados indicaron que el 60% de los ellos tienen casa propia e ingresos superiores a 25,000 dólares al año; 20% tienen casa propia, pero ingresos menores a 25,000 dólares; el 10% tienen ingresos superiores a 25,000 dólares, pero no tienen casa propia, y el 10% restante no tienen casa propia ni ingresos superiores a 25,000 dólares. a. Si un lector de esta revista se selecciona de manera aleatoria y establece que esa persona tiene casa propia. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga un ingreso superior a 25,000 dólares? b. ¿Son independientes para este grupo los factores tener casa propia e ingresos, medidos en términos de superiores e inferiores a 25,000 dólares?
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Solución: La tabla de probabilidad conjunta es: Ingreso (en dólares) Menos de 25,000 Más de 25,000 Total
Casa propia 0.2 0.6 0.8
No 0.1 0.1 0.2
Total 0.3 0.7 1.0
a.
P(más de 25,000 dólares | Propietario de la casa) = 0.6/0.8 = 0.75.
b.
No. P(más de 25,000 dólares) = 0.7 y este valor no es igual al calculado en (a). Generalmente, las familias con altos ingresos en este grupo son más parecidos a los de casa propia que a las familias de bajos ingresos.
Problema 18. Se realizó una encuesta de familias en una área urbana y en una área suburbana de los alrededores. Las familias se clasificaron según la frecuencia con que sintonizan o no dos programas de televisión. Los datos se muestran en la tabla, con porcentajes del total. Ven programa A Si
No Urbana Suburbana 5% 1%
Ven programa B Si
Urbana 10%
Suburbana 14%
Total 30%
No
15%
21%
20%
14%
70%
Total
25%
35%
25%
15%
100%
a. Si se selecciona una familia de este grupo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que vea ambos programas? b. Si la familia seleccionada ve el programa A, ¿Cuál es la probabilidad de que también vea el programa B? c. ¿Son independientes los eventos “ver el programa A” y “ver el programa B”? d. ¿El evento “ver el programa B”, es independiente del evento urbano)? e. Considere el evento “ver el programa A o el programa B o ambos”. ¿Este evento es independiente del evento urbano? POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Solución a. P(ambos) = 0.10 + 0.14 = 0.24. b. P(B|A) = P(A y B)/P(A) = 0.24/0.60 =0.40. Donde, P(A y B) = P(ambos) = 0.24 y P(A) = 0.25 + 0.35 = 0.60 c. Note que P(B) = 0.30; P(B|A) = 0.40. Ya que no son los mismos, los dos eventos no son independientes. d. P(B|Urbano) = (0.10 + 0.05)/(0.25 + 0.25) =0.15/0.50 = 0.30. Ya que esta probabilidad es igual que P(B), los dos eventos son independientes. e. P(A o B o ambos) = 1 0.20 0.14 = 0.66 P(A o B o ambos) = (0.10 + 0.15 + 0.05)/(0.25 + 0.25) = 0.30/0.50 = 0.60. Ya que estos no son los mismos, los eventos así definidos no son independientes.
Problema 19. Un gerente de ventas elabora la siguiente la lista de probabilidades para varios niveles de ventas de un nuevo producto:
Probabilidad 0.10 0.30 0.30 0.15 0.10 0.05
Ventas (en unidades) 50 100 150 200 250 300
Calcular la media, la varianza y la desviación estándar para las variables aleatorias de “ventas” (Ayuda: una forma de facilitar los cálculos es manejar bloques de 50 como una unidad. Así 200 equivale a cuatro, 250 son cinco, etcétera).
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Solución: Procedimiento directo: Xi Ventas 50 100 150 200 250 300
P(Xi) Probabilidad 0.10 0.30 0.30 0.15 0.10 0.05 Suma
Xi P(Xi) 5 30 45 30 25 15 150
(Xi 150) 100 50 0 50 100 150
(Xi 150)2 P(Xi) 1,000 750 0 375 1,000 1,125 4,250
E( X ) X i P( X i ) 150
Var( X ) ( X i E( X )) 2 P( X i ) 4,250
X 4,250 65.2
Procedimiento corto: Supongamos que cada 50 unidades de venta son una unidad Y, esto es X = 50Y. Yi
P(Yi)
Yi P(Yi)
(Yi - 3)
(Yi - 3)2 P(Yi)
1 2 3 4 5 6
0.10 0.30 0.30 0.15 0.10 0.05
0.10 0.60 0.90 0.60 0.50 0.30
2 1 0 1 2 3
0.40 0.30 0 0.15 0.40 0.45
Suma:
3.00
1.70
E (Y ) 3.0 y E ( X ) E (50Y ) (50)(3) 150 . Var(Y ) 1.70 y Var( X ) Var(50Y ) (50) 2 (2,500)(1.7) 4,250
X 4,250 65.2 .
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Problema 20. Un gerente está preparando un plan para su división para el próximo año. La utilidad (U) se cataloga como una función lineal de las ventas unitarias (X) y costos fijos (Y), de la siguiente forma: U = 20(dólares) X Y El gerente no está seguro de las ventas unitarias ni de los costos fijos, pero está dispuesto a representarlos como variables aleatorias independientes cuyos valores esperados y desviaciones estándar, sean: E(X) = 10,000 unidades E(Y) = 150,000 dólares
σX = 2,000 unidades σY = 50,000 dólares
¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de la variable aleatoria U? Solución: E ( P) 20 E ( X ) E (Y ) 20(10,00) 150,000 50,000
Var( P) (20) 2 Var( X ) Var(Y ) (20) 2 (2,000) 2 (50,000) 2 4,100,000,000
P Var( P) 64,000 dólares (Nota: Var(Y ) Var((1)(Y )) (1) 2 Var(Y ) Var(Y ) Problema 21. Especifique cuáles de los siguientes procesos son de Bernoulli: a. Un vendedor puerta a puerta que hace visitas de ventas. b. Colocar monedas en una máquina tragamonedas que sólo tienen dos resultados: todo el acumulado o nada. c. Compra de acciones ordinarias. d. Inspección de una bobina de alambre para buscar defectos a medida que se fabrica e. Inspección de moldes al salir de la línea de producción. Explique brevemente las respuestas. Solución: a. Sí, si el vendedor no tiene experiencia, si la casa es típica, y si hay dos posibles resultados, “vende” o “no vende”. b. Sí, hay dos resultados posibles, la probabilidad es estable, los resultados son independientes del pasado, y el número de intentos es discreto. c. No, se tienen más de dos resultados posibles. d. No, el número de pruebas no es discreto ya que la línea de producción es continua. e. Sí, suponiendo que los moldes son aceptables o defectuosos. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 22 Un avión de una aerolínea proyecta transportar 14 pasajeros. La empresa permite que se registren hasta 16 reservaciones confirmadas para un vuelo. La experiencia histórica ha demostrado que existe 30% de probabilidad de que un pasajero no se presente. ¿Cuál es la probabilidad de que una o más personas queden fuera del vuelo si se confirmaron 16 reservaciones? Solución: Prob( una o más personas queden fuera del vuelo | n = 16, p = 0.7)=P(R 15 | n=16, = 0.7), de tablas p representa hasta 0.5, note que P(R 15 | n = 16, p = 0.7) = P( R 1 | n = 16, p = 0.3) = 1 (R2|n=16, p=0.3) = 1 0.9739 = 0.0261.
Problema 23 Bruce Jones presentó solicitudes a cinco colegios que califican la aceptación del candidato en el mes de enero de la siguiente forma: “probable”, “posible”, o “improbable”. Bruce recibió la notificación de que es “posible” en los cinco colegios. Los resultados anteriores indican las siguientes probabilidades de aceptación para cada colegio: Probable: Posible: Improbable:
0.98 de probabilidad de ser aceptado. 0.30 de probabilidad de ser aceptado 0.005 de probabilidad de ser aceptado.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Bruce sea aceptado en uno o más colegios? (Suponga que son independientes). b. ¿Cuál es la probabilidad de que Bruce sea aceptado por los cinco colegios? Solución: a. La probabilidad de que Bruce sea aceptado por una escuela o más es igual a uno menos la probabilidad de ser rechazado por todas las escuelas. La probabilidad de que sea rechazado por una escuela es 0.7 y la probabilidad de que sea rechazado por todas las escuelas es (0.7)5. La probabilidad de que sea aceptado por una escuela o más, es: 1 (0.7) 5 1 0.168 0.832
b. (0.3) 5 0.0024 En los dos resultados anteriores se supone “independencia” y se aplican los resultados promedio.
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Problema 24. Una contador está próximo a auditar 24 cuentas de una empresa, 16 de las cuales tienen alto volumen de clientes. Si el contador selecciona de manera aleatoria cuatro de las cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una cuenta sea de alto volumen? (Ayuda: primero hay que encontrar la probabilidad de que ninguna de las cuentas seleccionadas sea de alto volumen). Solución: P(clientes con no alto volumen) = (8/24)(7/23)(6/22)(5/21) = 0.0066 P(por lo menos uno) = 1 P(ninguno) = 1 0.0066 = 0.9934 Nota: ya que tenemos muestreo sin reemplazo, no es correcto el uso de la distribución binomial.
Problema 25. Dos equipos de atletismo se han enfrentado diez veces y el equipo Big Red ha ganado seis de las diez competencias. Se considera que la experiencia anterior es un indicio de los resultados futuros. Ahora los dos equipos van a jugar en un torneo eliminatorio. Suponga que el resultado de cada juego es independientes de los otros. a. Si los equipos juegan un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? b. Si los equipos juegan dos partidos de los tres de serie, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane ? c. Si los equipos juegan cuatro de siete encuentros, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? Solución: a. b.
c.
La probabilidad de que gane el equipo Big Red es 0.6. Para n = 3 y p = 0.4, P( R 2) = 0.3520; esta es la probabilidad de que gane el oponente. La probabilidad de que gane el equipo Big Red es 0.6480. Un diagrama de árbol ilustraría esta probabilidad. Para n = 7 y p = 0.4, P(R 4) = 0.2898. La probabilidad de que el equipo Big Red gane la serie es 0.7102.
Problema 26. El presidente de una gran empresa eléctrica tiene que decidir entre comprar un generador grande (Big Jim) o cuatro generadores pequeños (Little Arnies) para obtener determinada capacidad de generación eléctrica. Durante el verano, la probabilidad de que un generador esté en servicio en un día cualquiera es de 0.95 (los generadores son igualmente confiables). De igual forma, existe 0.05 de probabilidad de falla. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Big Jim esté fuera de servicio en un día cualquiera? POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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b. ¿Cuál es la probabilidad que ninguno o uno de los Little Arnies se dañe? c. Si se compran cinco Little Arnies, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos operen cuatro? d. Si se compran seis Little Arnies, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos operen cuatro? Solución: a. 0.05 b. Puesto que la probabilidad de una avería para un Arnie es 0.05, tenemos: P(R = 0 | n =4, p = 0.05) = 0.8145 P(R=1 | n = 4, p = 0.05) = 0.1715 (o de tablas) Suma: 0.9860 1P(R 2 | 4, 0.5) = 1 0.014 = 0.986 La probabilidad de que ninguno o uno de los Little Arnies esté fuera de servicio es 0.9860. Esta es la probabilidad de que funcionen tres o cuatro generadores pequeños. c. P(R=0|n=5, p=0.05) = 0.7738 P(R=1|n=5, p= 0.05)= 0.2036 Suma: 0.9774
ó 1 P(R 2 | 5, 0.05) = 1 0.0226 = 0.9774
La probabilidad de que uno o ninguno estén fuera de servicio es 0.9774; entonces, la probabilidad de que cuatro o cinco generadores funcionen es 0.9774. La probabilidad de 3, 4 ó 5 funcionen es (0.9774 + 0.0214 = 0.9988). d. P(R=0) = 0.7351 P(R=1) = 0.2321 P(R=2) = 0.0306 Suma: 0.9978 La probabilidad de que por lo menos cuatro Arnies funcionen si se compran seis pequeños es 0.9978.
Problema 27. Suponga que lanza una moneda hasta obtener cuatro caras. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra en exactamente siete lanzamientos? (Ayuda: El séptimo lanzamiento debe ser una cara, y tres de los primeros seis lanzamientos deben ser cara para que se cumpla la condición requerida). Solución: Prob(cuatro caras en exactamente siete lanzamientos) = = Prob(cara en el séptimo lanzamiento) P(R=3|0.5, 6) = (0.5)(0.3125) = 0.15625. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 28. Con frecuencia, los artículos de prensa citan el hecho de que cada año, un pequeño porcentaje (10%) de los conductores son responsables de todos los accidentes automovilísticos. A menudo se llega a la conclusión que si se identificaran estos conductores propensos a los accidentes y se les retirara de las calles, se podría reducir considerablemente el número de accidentes. La información habla de 100,000 conductores que estuvieron involucrados en uno o más accidentes en un año, 11,000 de ellos volvieron a estar involucrados en uno o más accidentes el año siguiente. a. Con base en esta información, complete la siguiente tabla de probabilidades conjuntas.. b. ¿Buscar a los conductores propensos a tener accidentes automovilísticos es una manera efectiva de reducirlos? ¿Por qué? Segundo año Primer año
Accidente
Ningún accidente
Probabilidad marginal del evento en el primer año
Accidente
0.10
Ningún accidente
0.90
Probabilidad marginal del evento en el segundo año
0.10
0.90
1.00
Solución: a. Dada la probabilidad condicional del 11% de un accidente en el año 2 dado un accidente en el año 1, el renglón superior de la tabla de probabilidades conjuntas debe ser: (0.11)( 0.10) = 0.011 y (0.89)(0.10) = 0.89 Estas probabilidades reflejan el 11% de probabilidad condicional de accidente, y se suma el 0.10 de la probabilidad marginal requerida. Entonces, por sustracción del renglón inferior de probabilidades marginales, el segundo renglón debe ser: 0.10 0.011 = 0.89,
0.900 0.089 = 0.811
b. Si los datos anteriores son representativos, entonces la búsqueda de “conductores propensos a accidentes” no será de mucha ayuda, ya que teniendo un accidente en el año 1 tiene solo un efecto de menor importancia en la probabilidad de un accidente en el año 2.
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Problema 29. Este problema de probabilidad clásico es similar al del rompecabezas de Monty Hall. Tres prisioneros de la época medieval (Joval, Reginald y Mordrid) están en la cárcel. El rey decreta que uno de ellos, elegido al azar, sea ejecutado a la mañana siguiente. Uno de los prisioneros, Joval, tiene una charla amistosa con el guardia y descubre que él sabe quien va a ser ejecutado y le suplica que le diga si va a ser él. El guardia responde que ha jurado no decirlo. Finalmente, después de tanto suplicar, el guardia dice a Joval, “No puedo decirte quién va a ser ejecutado, pero te diré que Reginald no va a ser ejecutado”. Joval, se queda muy preocupado por la noticia. ¿Porqué me dijiste eso? “Ahora se que tengo una de dos oportunidades para ser ejecutado, mientras que antes era una de tres”. ¿El cálculo de probabilidad de Joval era correcto? Solución: La estructura de este problema es idéntico al rompecabezas de Monty Hall. En lugar de abrir las puertas, el guardia da el nombre del otro prisionero, no de Joval, quien es perdonado de la ejecución. La tabla de probabilidad condicional y la tabla de probabilidad conjunta son idénticas al rompecabezas de Monty Hall (excepto, por supuesto, por las etiquetas de los eventos) Tabla de Probabilidad Condicional P(El guardia anuncia que no será ejecutado| en realidad será ejecutado) El guardia comunica que NO será ejecutado Reginald Joval Mordrid 0 0 1 1/2 0 1/2 1 0 0
Prisionero que será ejecutado: Reginald Joval Mordrid
Tabla de Probabilidad Conjunta P(El guardia anuncia que no será ejecutado y en realidad será ejecutado) El guardia anuncia que NO será ejecutado Prisionero que será ejecutado Reginald Joval Mordrid Probabilidad marginal
Reginald 0 1/6 1/3
Joval 0 0 0
Mordrid 1/3 1/6 0
1/2
0
1/2
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Probabilidad Marginal 1/3 1/3 1/3
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Ahora considere la probabilidad: Prob(Joval ejecutado| se sabe que Reginald no será ejecutado) = conjunta/marginal = Prob (se comunica que Reginald no será ejecutado y Joval será ejecutado) Prob (se comunica que Reginald no será ejecutado) = (1/6)/(1/2) = 1/3 Joval hace mal los cálculos, así que la ventaja de Joval de ser ejecutado no ha cambiado. La información proporcionada por el guardia no tiene ningún valor para Joval en cuanto a su ejecución. (Note, sin embargo, que la ventaja de Mordrid aumenta ahora a 2/3).
Problema 30. El comisionado de seguridad de una ciudad realizó un estudio de las muertes de peatones en las intersecciones. Observó que solo 6 de 19 muertes correspondían a peatones que cruzaban la intersección sin tener cuidado de la señal del semáforo, mientras que las otras 13 personas habían cruzado con la señal correcta. Esta situación extrañó al comisionado, porque las cifras parecían indicar que era dos veces más seguro cruzar contra la señal que con ella. ¿Cuál es la explicación a esta aparente contradicción? Solución: El comisionado está viendo las frecuencias condicionales erróneas (probabilidades). Las frecuencias observadas son P(cruzando con la señal | el peatón muere) y P(cruzando contra la señal | el peatón muere). Las probabilidades relevantes son: P(muere|cruzando con la señal) y P(muere | cruzando contra la señal). En resumen, las muertes se deben considerar de acuerdo al número de peatones que cruzan teniendo cuidado con la señal y sin tener cuidado de la señal. Como una posibilidad extrema, puede ser que únicamente 6 personas cruzaron sin tener cuidado en la señal fueron muertas, una tasa de mortalidad del 100%, mientras que un millón que cruzaron teniendo cuidado en la señal, una tasa de mortalidad de 0.000016. Probablemente este no sea el caso, pero los datos del comisionado no son verídicos.
Problema 31. Suponga que está disponible una nueva prueba para detectar la adicción a las drogas. La prueba tiene una precisión de 95%, en ambos sentidos; es decir, si la persona es adicta, hay un 95% de probabilidad de que la prueba indique “sí ”; si la persona no es adicta, la prueba indicará “no” el 95% de las veces. Se sabe que en las poblaciones urbanas la incidencia de adicción a las drogas es aproximadamente de una persona en cada 1,000. Si la prueba genera un resultado positivo (sí ), ¿cuál es la probabilidad de que la persona a la que se le aplicó la prueba sea adicta? POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Solución: Prob(Adicto | SI)=
Prob(Adicto y SI) P(SI)
Prob(Adicto y SI)= Prob(Adicto) Prob(SI | Adicto) = (0.001)(0.95)= 0.00095; Prob(SI)= Prob(Adicto y SI)+ Prob(No Adicto y SI) Prob(No Adicto y SI)= Prob(No Adicto) Prob(SI | No adicto) = (0.999)(0.05)= 0.04995 Así que; Prob(SI)= 0.00095+ 0.04995= 0.05090 y finalmente, 0.00095 Prob(Adicto | SI) = = 0.0187 0.05090 Entonces de aquellos hombres donde la prueba indica SI;, solo 0.0187 ó 1.87 por ciento son realmente adictos.
Problema 32. Se lanzó un satélite para recolectar datos sobre las condiciones atmosféricas en un planeta distante. El satélite contiene dos celdas de energía y se calcula que cada una tiene 90% de probabilidad de funcionar correctamente. Las celdas se encuentran ubicadas en partes diferentes del satélite, de manera que no es probable que la falla de cualquiera de las celdas se relacione con la otra (es decir, son independientes). Existen dos instrumentos de medición en el satélite: el principal y el de respaldo. Debido a que se instalaron al mismo tiempo, la confiabilidad de estos instrumentos no se considera independiente. Las probabilidades de falla y de éxito se presentan de la siguiente manera: Instrumento principal
Instrumento de respaldo Éxito
Falla
Éxito
0.6
0.2
Falla
0.1
0.1
El instrumento principal requiere sólo una celda de energía para funcionar, pero el de respaldo necesita de ambas celdas para operar. Si cualquiera de los instrumentos funciona, la misión del satélite es un éxito. ¿Cuál es la probabilidad de una misión exitosa? POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Solución: El árbol de probabilidad se presenta a continuación. Los eventos son: CE1E y CE1F la celda de energía 1 tiene éxito o falla. CE2E y CE2F la celda de energía 2 tiene éxito o falla. IPE y IPF el instrumento principal tiene éxito o falla. IRE y IRF el instrumento de respaldo tiene éxito o falla. E(0.648)
) (0.8
IP E
CE
2
(0 .1 )
CE
1
E
(0 .9 )
F
) .2 (0 IP F
CE
.9) 2 E(0
IRE(0.5)
E(0.081)
IRF (0 .5)
0.8) IP E( IP F (0 .2
E(0.072)
F(0.081)
) F(0.018)
CE ) .1 (0 1F ) IP E(0.8
CE
E(0.072)
.9) 2 E(0
IP
F (0
CE
.2)
F(0.018)
2
F (0
.1)
F(0.010)
Los valores de E y F en las últimas ramas del árbol indican si esta trayectoria tiene éxito (E) o fracaso (F) para la misión. Los números entre paréntesis indican las probabilidades de una trayectoria dada. La probabilidad total para las cuatro trayectorias de éxito (E), es: 0.648 + 0.081 + 0.072 + 0.072 = 0.873 y la probabilidad que fracase la misión, es: 0.081 + 0.018 + 0.018 + 0.010 = 0.127. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 33. Éste es un problema clásico de probabilidad. Pruebe su intuición antes de resolverlo de forma sistemática. Hay tres cajas y cada una tiene dos cajones. Una caja tiene dos monedas de oro, otra tiene dos de plata y la tercera tiene una de oro y otra de plata. Se selecciona al azar una de las cajas y al abrir uno de los dos cajones se observa una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de abrir el segundo cajón de la misma caja y observar una moneda de oro? O
O
P
O
P
P
Solución: Sean O1 la primer cajón tiene una moneda de oro y O2 el segundo cajón tiene una moneda de oro, Entonces 1 P(O1O2 ) 3 2 1 1 P(O1 ) , P(O1O2 ) ; P(O2 O1 ) . 1 3 2 3 P(O1 ) 2 Problema 34. Se fijan dos apuestas diferentes. En una, hay 50 bolas rojas y 50 negras en un frasco, y debe sacarse sólo una bola de manera aleatoria. Recibe un premio si adivina el color de la bola que se saque. En la segunda apuesta, hay un número desconocido de bolas rojas y bolas negras en un frasco y recibe el mismo premio si adivina el color de la bola que se saque. ¿En cuál apuesta preferiría participar? ¿Por qué? Solución: Debe ser indiferente. La probabilidad de hacer la elección correcta en la primera apuesta es 0.5. Si escoge un color al azar, la probabilidad de ganar en la segunda apuesta también es 0.5. Para la segunda apuesta, sea R el número de bolas rojas y N el número de bolas negras. 1 R 1 N 1 Probabilidad de ganar= + = 2 R+ N 2 R+ N 2
Puesto que R y N son desconocidas, en la segunda situación tiene la misma incertidumbre que la primera si sabemos que todas las bolas son rojas o negras. Entonces, se prefiere la primera apuesta. POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 35. Un restaurante tiene capacidad para 100 personas. Hace poco, el dueño decidió regalar un pastel a la persona que cumpliera años y ese día estuviera cenando en el restaurante. Suponiendo que p = 1/365 = 0.003 y n = 100, el dueño encontró el siguiente dato en una tabla binomial extensa: P(R 6 │ n = 100, p = 0.01) = 0.0005 El dueño pensó que, como su p era menor que 0.01, ésta probabilidad debería ser un límite superior sobre la probabilidad de que solicitaran seis o más pasteles de cumpleaños cada noche. Por consiguiente, pidió cinco pasteles cada noche. Después de 10 noches, en tres de ellas le habían faltado pasteles. ¿Qué estuvo mal en el análisis? Solución: La gente por lo regular en ocasiones especiales (por ejemplo en los cumpleaños) prefiere comer fuera de su casa, y si sabe de la política de un restaurante de regalar pasteles, la gente es más probable que escoja en particular este restaurante para la celebración del cumpleaños. Entonces se tiene un error al suponer que P = 1/365. Problema 36. Acme Company tiene dos bodegas ubicadas en ciudades diferentes. La demanda del producto es independiente en cada distrito. Sin embargo, las dos bodegas tienen distribuciones de probabilidad idénticas para la demanda, de la siguiente manera: Demanda (unidades)
Probabilidad
0 1 2 3 Total
0.10 0.50 0.30 0.10 1.00
Suponer que las dos bodegas normalmente guardan en existencia dos unidades. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda en una de las bodegas (no en ambas) supere las existencias? b. ¿Cuál es la probabilidad de que a ambas bodegas se queden sin existencias? Solución: a. P(demanda = 3 en un solo almacén) = P(D =3|A1) · P(D<3|A2) +P(D =3 |A2) · P(D<3|W1) = (0.10)(0.90) + (0.10)(0.90) = 0.18 b. P(D = 3|A1) · P(D = 3|A2) = (0.10)(0.10) = 0.01 POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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Problema 37. Remítase al Problema 36. Suponga que la compañía Acme Company fusionó las dos bodegas en una sola que abastece a las dos ciudades. La bodega fusionada tendría cuatro unidades de existencias. a. Determine la distribución de la probabilidad de la demanda en la bodega fusionada. b. ¿Cuál es la probabilidad de que a la bodega fusionada se le agoten las existencias y le falte una unidad? ¿Dos unidades? Compare estos resultados con los obtenidos en el Problema 36. Solución: a. Demanda
Probabilidad
0 1 2 3 4 5 6 Suma:
0.01 0.10 0.31 0.32 0.19 0.06 0.01 1.00
b. P(D = 5) = 0.6 y P(D = 6) = 0.01. Note que la fusión de las bodegas reduce enormemente la probabilidad de que falte una unidad en las existencias de la bodega fusionada de 0.18 a 0.06. La probabilidad de que falten dos unidades en existencias no se ve afectada.
Problema 38. El profesor Smullyan describe una isla cuyos habitantes son caballeros o truhanes. Los caballeros nunca mienten, y los truhanes nunca dicen la verdad. Se sabe que 80% de los habitantes (caballeros y truhanes) están a favor de elegir al profesor Smullyan como rey de la isla. La isla está poblada por 60% de caballeros y 40% de truhanes, pero no se sabe cuál es cuál. Si se toma una muestra de 10 habitantes al azar y se pregunta ¿Está a favor de que Smullyan sea el rey?” ¿Cuál es la probabilidad de obtener seis o más respuestas afirmativas?
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Solución: Primero debemos hallar la probabilidad de que algún habitante de la isla, seleccionado al azar, conteste “si”. Esto se obtiene de la siguiente manera: Responden
Probabilidad
En favor Si
0.48
No
0.12
(0.8) Caballero (0.6) En contra (0.2)
En favor (0.8)
No (una mentira)
0.32
Si (una mentira)
0.08
Truhán (0.4) En contra (0.2)
Entonces la probabilidad de un “Si” es 0.56. P(R 6 | n = 10, p = 0.56) = 1 P(R 5 | n = 10, p = 0.44) =1 – 0.4696 = 0.5304.
Problema 39. Hay interés en saber el precio de las papas para el próximo año. Tres factores afectan el precio: el número de acres plantados con trigo, el número de acres plantados con papas y las condiciones climáticas. Una combinación de una gran cantidad de acres sembrados con papas y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de 2 dólares por quintal. Un número mediano de acres y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de 4 dólares por quintal. Un número pequeño de acres y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de 6 dólares por quintal. El clima desfavorable aumentará el precio en cada caso en 2 dólares por quintal. La posibilidad de tener clima favorable se calcula en 0.8 y en 0.2 de tener clima desfavorable. El clima es independiente del número de acres plantados. El número total de acres plantados depende, en cierta medida, del número de acres plantados con trigo. Con base en la experiencia pasada, la probabilidad de plantar gran cantidad de trigo, se calcula en 30%, y en 70% la de plantar poco. Si existe una plantación grande de trigo, la probabilidad de plantar un gran número de acres con papa es cero; la POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
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probabilidad de sembrar un número mediano de acres es de 2/3 y la probabilidad de sembrar un número pequeño es de 1/3. Si se plantan pocos acres de trigo, las probabilidades de plantar papa en un número de acres grande, mediano y pequeño son de 2/7, 3/7, y 2/7, respectivamente. Considere el precio de las papas como la variable aleatoria y determine la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. ¿Cuál es el precio esperado? Solución: Plantación de trigo en invierno
Precio de la papa ($)
Clima
Acres de papa
favorable grande no (0.2) favorable (0.8)
mediano no
(0.7)
2
0.16
4
0.04
4
0.24
6
0.06
6
0.16
4
0.04
6
0.16
6
0.04
8
0.08
8
0.02
(0.8) (2/7)
poca
Probabilidad
(3/7)
(0.2) favorable
pequeño
(0.8) (2/7)
no (0.2) favorable
mediano
(0.8) (2/3)
no (0.2)
mucha favorable
(0.3)
(0.8)
pequeño (1/3)
no (0.2)
La distribución de probabilidad es: Precio ($) Xi
Probabilidad P(Xi)
Xi P(Xi)
2 4 6 8
0.16 0.44 0.34 0.06
0.32 1.76 2.04 0.48
Suma
1.00
4.60
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TABLA A. La función de distribución normal estandarizada FN = (Z) FN(b) es el área sombreada
GN(b) es el área a la derecha de b
=0
Z
b
Z
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0.947439
0.947546
0.947649
0.9477 48 0.947843
0.937759
Por ejemplo: F(2.41) = 0.922024 = 0.992024 Nota: los valores de esta tabla pueden obtenerse de la función de la hoja de cálculo Excel NORMSDIST.
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DEPARTAMENTO DE SISTEMAS
JOSÉ ANTONIO RIVERA COLMENERO
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