Probabilidad
La probabili probabilidad dad de un suceso suceso es un número, número, comprend comprendido ido entre entre cero y uno, que indica las posibilidades posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplo: -ualquier proyecto de !ngenier"a o de otras áreas. -ompetencias deportivas. -#uegos de azar, etc. Teoría de probabilidades
La teor teor"a "a de prob probab abililid idad ades es se ocup ocupa a de asig asigna narr un cier cierto to núme número ro a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dic$os resultados y saber si un suceso es más probable que otro. on este fin, introduciremos algunas definiciones : Sucesos: es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
%jemplos: -&l lanzar una moneda salga cara. -&l lanzar una moneda se obtenga '. Espaci Espacio o muestr muestral: al: es el conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento estad"stico, lo representaremos por el s"mbolo ()o bien por la letra griega *+. ada resultado de un espacio muestral se llama elemento o miembro del espacio muestral. (i el espacio tiene un número finito de elementos, podemos anot anotar ar los los miem miembr bros os sepa separa rado doss por por coma comass y ence encerra rrado doss en par parnt ntes esis is.. %jemplo: onsidere el experimento de lanzar un dado. (i nos interesamos en el número que muestra en la cara superior, el espacio espacio muestral ser"a: ( ), /, 0, ', 1,2+. (i nos interesamos s3lo en si el número es par o impar, el espacio muestral simplemente es: (/ )par, impar+. %ste ejemplo ilustra de que se puede usar más de un espacio muestral para describir los resultados de un experimento.
Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral. %jemplos:
4irar un dado un suceso ser"a que saliera par, otro, obtener múltiplo de 0, y otro, sacar 1.
Axiomas de probabilidad son las condiciones m"nimas que deben verificarse
para que una funci3n definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Axiomas de Kolmogorov dado un conjunto de sucesos elementales, *, sobre
el que se $a definida una 5 de subconjuntos de * y una funci3n 6 que asigna valores reales a los miembros de 5, a los que denominamos 7sucesos7, se dice que 6 es una probabilidad sobre 8 )*,5+ si se cumplen los siguientes tres axiomas. 1.- La probabilidad de un suceso & es un número real mayor o igual que 9.
P (A) > 0 2.- La probabilidad del total )*+ es igual a , es decir, tenemos un resultado de
x
6 )*+ 3.-(i, &, &/, (on sucesos mutuamente excluyentes )incompatibles dos a
dos, disjuntos o de intersecci3n vac"a dos a dos+, entonces: .
PA1!A2!......... !A"# $ PA1# % PA2# % .......% PA"# PA!&# $ PA# % P&#
(egún este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes. Propiedades 'ue se deduce" de los axiomas
;e los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad: . ;onde el conjunto vac"o el suceso imposible /. 6ara cualquier suceso 0. '. (i entonces 1.
representa en probabilidad
Eve"to
Tipos de sucesos o eve"tos Suceso eleme"tal: (uceso elemental es cada uno de los elementos que
forman parte del espacio muestral. %jemplo: 4irando un dado un suceso elemental es sacar 1. Suceso compuesto: (uceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio
muestral. %jemplo: 4irando un dado un suceso ser"a que saliera par, otro, obtener múltiplo de 0. Suceso seguro: (uceso seguro, %, está formado por todos los posibles
resultados )es decir, por el espacio muestral+. %jemplo: 4irando un dado obtener una puntuaci3n que sea menor que >. Suceso imposible: (uceso imposible,
, es el que no tiene ningún elemento. %jemplo: 4irando un dado obtener una puntuaci3n igual a >. Sucesos compatibles: ;os sucesos, & y ?, son compatibles cuando tienen
algún suceso elemental común. %jemplo: (i & es sacar puntuaci3n par al tirar un dado y ? es obtener múltiplo de 0, & y ? son compatibles porque el 2 es un suceso elemental común. Sucesos i"compatibles: ;os sucesos, & y ?, son incompatibles cuando no
tienen ningún elemento en común. %jemplo: (i & es sacar puntuaci3n par al tirar un dado y ? es obtener múltiplo de 1, & y ? son incompatibles. Sucesos i"depe"die"tes: ;os sucesos, & y ?, son independientes cuando la
probabilidad de que suceda & no se ve afectada porque $aya sucedido o no ?. %jemplo: &l lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos depe"die"tes: ;os sucesos, & y ?, son dependientes cuando la
probabilidad de que suceda & se ve afectada porque $aya sucedido o no ?. %jemplo: %xtraer dos cartas de una baraja, sin reposici3n, son sucesos dependientes. Suceso co"trario: %l suceso contrario a & es otro suceso que se realiza
cuando no se realiza &. (e denota por sacar par e impar al lanzar un dado.
.%jemplo: (on sucesos contrarios
(istribuci)" de *recue"cia
!ndica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si ste se llevase a cabo, es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una $erramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede dise8ar un escenario de acontecimientos futuros, considerando las tendencias actuales de diversos fen3menos naturales.
4oda distribuci3n de probabilidad es generada por una variable )porque puede tomar diferentes valores+ aleatoria )porque el valor es totalmente al alzar+. %stas. +ariable aleatoria: (e llama variable aleatoria a toda funci3n que asocia a
cada elemento del espacio muestral % un número real. (e utilizan letras mayúsculas @, A,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas )x, y,...+ para designar valores concretos de las mismas. Bsta se divide en: +ariable aleatoria discreta: %s aquella que s3lo puede tomar valores enteros.
%jemplo: %l número de $ijos de una familia, la puntuaci3n obtenida al lanzar un dado. +ariable aleatoria co"ti"ua: %s aquella que puede tomar todos los valores
posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. %jemplos: La altura de los alumnos de una clase, las $oras de duraci3n de una pila. (istribuci)" bi"omial
%s una distribuci3n de probabilidad discreta que mide el número de xitos en una secuencia de n ensayos de ?ernoulli independientes entre s", con una probabilidad fija p de ocurrencia del xito entre los ensayos.
x 9,,/,,n.
;onde: 6)@+ es la probabilidad de ocurrencia del evento. p es la probabilidad de xito del evento )en un intento+. q es la probabilidad de fracaso del evento )en un intento+ )se define como q C p+. @ ocurrencia del evento o xitos deseados. n número de intentos. %jemplo: La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de c$oque dada es de 0D0. %ncuentre la probabilidad de que sobreviva exactamente dos de los siguientes componentes que se prueben.
p= E para cada una de las
cuatro pruebas, obtenemos:
(istribuci)" ,ipergeomtrica
%s una distribuci3n discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. (up3ngase que se tiene una poblaci3n de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categor"a A y N-d a la B. La distribuci3n $ipergeomtrica mide la probabilidad de obtener x ) + elementos de la categor"a A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la poblaci3n original. La funci3n de probabilidad de una variable aleatoria con distribuci3n $ipergeomtrica puede deducirse a travs de razonamientos combinatorios y es igual a
;onde: F: 4ama8o de la poblaci3n @: Fúmero de xitos en la muestra. n: 4ama8o de la muestra. d: es el número de elementos en la poblaci3n original que pertenecen a la categor"a deseada. (istribuci)" de Poisso"
%n general, la distribuci3n de 6oisson se puede utilizar como una aproximaci3n de la binomial, ?in)n, p+, si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de xito p es peque8aG una regla es que la aproximaci3n 6oissonbinomial es HbuenaI si nJ/9 y pK9,91 y Hmuy buenaI si nJ99 y pK9,9. %s útil cuando tratamos con cantidades de ocurrencia de un evento a lo largo de un intervalo de tiempo o espacio especificado. %sta distribuci3n se utiliza para describir ciertos procesos. aracter"sticas: %n este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc. - número de defectos de una tela por m/
- número de aviones que aterrizan en un aeropuerto por d"a, $ora, minuto, etc. - número de bacterias por cm/ de cultivo - número de llamadas telef3nicas a un conmutador por $ora, minuto, etc. - número de llegadas de embarcaciones a un puerto por d"a, mes, etc. 6ara determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de tiempo, área, o producto, la f3rmula a utilizar ser"a:
;onde: p)x,λ+ probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es λ λ media o promedio de xitos por unidad de tiempo, área o producto ε /.> x variable que nos denota el número de xitos que se desea que ocurra May que $acer notar que en esta distribuci3n el número de xitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, as" como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado. %jemplo: (i un banco recibe en promedio 2 c$eques sin fondo por d"a, Ncuáles son las probabilidades de que reciba, a+ cuatro c$eques sin fondo en un d"a dado, b+ 9 c$eques sin fondos en cualquiera de dos d"as consecutivosO (oluci3n: a+ x variable que nos define el número de c$eques sin fondo que llegan al banco en un d"a cualquiera 9, , /, 0,....., etc. λ 2 c$eques sin fondo por d"a e /.>
b+ x variable que nos define el número de c$eques sin fondo que llegan al banco en dos d"as consecutivos 9, , /, 0,......, etc. λ 2 x / / c$eques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos d"as consecutivos Fota: λ siempre debe de estar en funci3n de x siempre o dic$o de otra forma, debe H$ablarI de lo mismo que x.
%jercicios de probabilidad referentes a ingenier"a de petr3leo + (e dice que el >1P de los accidentes que ocurren en la planta de gas se atribuyen a errores operacionales, si en un periodo de tiempo dado se suscrita 1 accidentes, determine la probabilidad de que: a+ ;os de los accidentes se atribuyan a errores operacionales. b+ omo máximo uno de los accidentes se atribuyen a errores de tipo operacional. c+ 4res de los accidentes no se atribuyen a errores operacionales. a+ (oluci3n: n 1 x/ p9.>1 q)-p+ 6)/+ 6)/+
1Q /Q )1-/+Q
6)@x+
nQ px q n-x @Q )n-x+Q
)9.>1+/ )-9.>1+)1-/+
) 1x'x0x/x+
)9.12/1+ )9./1+0
)/x+ )0x/x+ 6)/+ /9 /
)9.12/1+ )9.912/1+ 9.9>
b+ n1 x 9G p9.>1
6x 6 )9+R6)+
1Q )9.>1+9 )-9.>1+ )1-9+ 9Q )1-9+Q
6)9+
6)9+ ) 1x'x0x/x+ )9./1+1 9.999S>2 ) 1x'x0x/x+ )9.>1+ )9./1+ )1-+
6)+
1Q Q )1-+Q
6)+
)1x'x0x/x+ )9.>1+ )9./1+' 9.9'2' )'x0x/x+
6x 9.9'2'R9.999S>2 9.1'2/ c+ %n este caso cambia el valor de 6 que vendr"a a ser el /1P restante. n1 69./1 x0 6)0+ 6)0+
1Q )9./1+0 )-9./1+ )1-0+ 0Q )1-0+Q
)1x'x0x/x+ )9.912/1+ )9.12/1+ 9.9>S )0x/x+ )/x+
/+
6)1+
9Q 1Q
)1 - 9+Q )1 - 1+Q 1Q 1Q
9Q 1Q 1Q 1Q 9Q 1Q 1Q 1Q 9Q
)/1/+ T 9.90S 0990
%xiste una probabilidad muy baja de $aber mandado un env"o sin tuber"as defectuosas
&ibliogra*ía
Ualpole V.)SSS+ 6robabilidad y %stad"stica para ingenieros. )6ág. 1-/1+ $ttp:DDWWW.vitutor.comDproD/DaX.$tml $ttp:DDWWW.itc$.edu.mxDacademicDindustrialDsabaticoritaDamarillo.$tm $ttp:DDmetodoscuantitativo/.galeon.comDenlaces//>'.$tml $ttp:DDWWW.monografias.comDtrabajos/SDdistribucion-probabilidadesDdistribucionprobabilidades.s$tml $ttp:DDes.WiYipedia.orgDWiYiD;istribuciP0P?0nXbinomial $ttp:DDdxsp.sergas.esD&pli%datosD%pidatD&yudaD'&yudaP/9;istribuciones P/9deP/9probabilidad.pdf
