INTEGRANTES: • RAUL REDROVAN • CINDY ROMERO • JAIME HUILCA • TANIA TORRES
DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA CONCEPTO Nuestra distribución binomial negativa esta basada en cuatro condiciones que debe cumplir: El experimento consiste en una sucesión de ensayos independientes. Cada ensayo puede resultar en éxito (S) o un fracaso (F). El experimento continua hasta que se hayan observado un total de k éxitos, donde k es un entero positivo específico. La probabilidad de éxito es constante de ensayo en ensayo.
CARACTERISTICAS Los experimentos estadísticos con este modelo de probabilidad tienen características similares a los experimentos binomiales : Los ensayos son independientes, cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, y la probabilidad que cada ensayo tenga un resultado favorable es una constante.
FORMULA Para utiliza la distribución binomial negativa
utilizamos la siguiente formula. x = variable aleatoria discreta con distribución binomial negativa (cantidad de ensayos realizados hasta obtener “k” éxitos) P= probabilidad de éxito es un valor constante en cada ensayo x= 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2 … … … .(variables que puede tomar la variable x) 𝑥 −1 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑥−𝑘 𝑃 𝑥=𝑥 = 𝑘
−1
EJEMPLO Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta enfermedad a la que esta expuesta es 30%, calcule la probabilidad que la decima persona expuesta a la enfermedad sea la cuarta en contraerla.
RESPUESTA : Cada persona expuesta a la enfermedad constituye un ensayo. Estos ensayos son independientes y la probabilidad de “éxito” es constante:0,3 ( note que “éxito” no siempre tiene una connotacion favorable)
Por la pregunta concluimos que la variable de
interés x tiene distribución binomial negativa con k=4, p=0,3. Sean x: Cantidad de ensayos realizados hasta obtener r “éxitos” (variable aleatoria discreta) X=4,5,6………….. 𝑃 𝑥=𝑥 = 𝑥 −1 0,34 (1 − 0,3)𝑥−4 ,x=4,5,6……. 4 −1 10 −1 𝑃 𝑥 = 10 = 0,34 (0,7)10−4 = 0,08 4 −1
DISTRIBUCION DE POISSON La distribución de poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al número de “éxitos” que ocurren en una región o en un intervalo de tiempo especificados, si se conoce el número promedio de “éxitos” que ocurren.
Este modelo de distribución requiere que se cumplan con las siguientes suposiciones: El número de “éxitos” que ocurren en la región o intervalo es independiente de lo que ocurre en otra región o intervalo. La probabilidad de que un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de la región o intervalo. La probabilidad de que mas de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.
CARACTERISTICAS Algunas aplicaciones que se pueden realizar con este método: Número de defectos por unidad de área en piezas similares de un material. Número de personas que llegan a una estación en un intervalo de tiempo especificado Número de errores de transmisión de datos en un intervalo de tiempo dado. Número de llamadas telefónicas que entran a una central por minuto. Número de accidentes automovilísticos producidos en una intersección en una semana.
FORMULA Para la utilización de este método utilizamos la siguiente formula: X= variable aleatorias con distribución de Poisson. (cantidad de “éxitos” en una región o intervalo especificados) X= ,1,2,…….(valores posibles para la variable x) λ : cantidad promedio de “éxitos” en la región o intervalo especificados
𝑓 𝑥 =
λ𝑥 𝑒 −λ ,x=0,1,2,…….. 𝑥!
e=2,71828
EJEMPLOS La cantidad e errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que tiene distribución de poisson, determine la probabilidad que : a) En cualquier hora ocurra un error. b) En cualquier hora ocurran al menos tres errores. c) En dos horas cualesquiera ocurran no mas de dos errores
Respuesta Sea x la variable aleatoria discreta (cantidad de errores por hora) λ =5 (promedio de errores de transmisión en una hora) a)𝑃 𝑥 = 1 = 𝑓 1 =
51 𝑒 −5 =0,0337 1!
b)P 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 2 = 1 − 𝐹 0 + 𝐹 1 + 𝐹 2 = 1 − 0,1247 = 0,8743 c)Sea x: variable aleatoria discreta (cantidad de errores en 2 horas) λ =10 (promedio de errores de transmición en dos horas) 𝑃 𝑥 ≤2 =𝐹 0 +𝐹 1 +𝐹 2 2 −10
100 𝑒 −10 101 𝑒 −10 = 0! + 1! +
2.- Una fuente radioactiva emite partículas según la distribución de Poisson de media 10 partículas por minuto se desea calcular. Probabilidad de 5 partículas en un minuto. Probabilidad de 0 partículas en un minuto Probabilidad de mas de 5 partículas en un minuto. Probabilidad de al menos 30 partículas en 5 minutos.
DISTRIBUCION POISSON COMO LIMITE Supongamos que en una cuantía binormal b(x;n, p), en
la cual se tiene np se aproxima a un valor n ∞ y p 0 entonces b(x;n,p) p(x;λ). λ >0. VARIANZA Y MEDIA DE UNA DISTRIBUCION POISSON Si x tiene distribución de poisson con parámetro λ, entonces; E(x)=V(x)= λ
PROCESOS POISSON Tres suposiciones: 1. Existe un parámetro 𝛼 > 0 tal que en cualquier intervalo corto de longitud ∆𝑡,la probabilidad de que se reciba exactamente un suceso es 𝛼. ∆𝑡 + 0(∆𝑡). 2. La probabilidad de mas de un suceso durante ∆𝑡 es 0(∆𝑡). 3. El número de sucesos durante un intervalo de tiempo ∆𝑡 es independiente del numero de ocurrencias previas a este intervalo de tiempo.
𝑘 (𝛼𝑡) 𝑃𝐾 𝑇 = 𝑒 −𝛼𝑡 . , 𝑘! De tal modo que el número de pulsos(sucesos) durante un intervalo de tiempo largo ∆𝑡 es una variable aleatoria Poisson con parámetro 𝛼𝑡. El número de pulsos(sucesos) esperados durante cualquiera de tales intervalos de tiempo es λ= 𝛼𝑡
BIBLIOGRAFIA Libro de probabilidad y estadística para
ingenieros pdf Variables aleatorias discretas del profesor Heriberto Figueroa S.pdf
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