PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
Si un système matériel est en équilibre, l'effort résultant et le moment résultant par rapport à n'importe quel point du système (y compris les couples) doivent être nuls simultanément. Si la somme des forces est nulle, alors aucune translation n'est possible (les forces « se compensent ») Si la somme des moments et couples est nulle, alors aucune rotation n'est possible (les moments et couples « se compensent »)
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1. RESOLUTION D’UN PROBLEME DE STATIQUE Un « problème de statique » est l’étude : d’un solide (une poutre par exemple) statique (c’est-à-dire sans mouvement, ce qui est, sauf exception, recherché en Génie Civil) en vue de déterminer les réactions r éactions d’appui.
PLAN TYPE DE RESOLUTION 7 étapes à retenir
1. Déterminer Déterminer le système système isolé de solide(s solide(s)) 2. Bilan des actions actions exercées exercées sur le système système : • à distance charges • • actions aux appuis en définissant pour chacune le point d'application, la direction, le sens et la valeur (intensité) 3. Représenter Représenter les résulta résultats ts du bilan sur un schéma schéma de calcul côté, sans oublier de définir le repère de sens d'orientation pour les composantes des forces et pour les moments (et couples). 4. Écrire les les 3 équatio équations ns du PFS PFS • somme des projections horizontales des forces = 0 • somme des projections verticales des forces = 0 • somme des moments (par rapport à un point quelconque du système) et des couples = 0 5. Résoudre Résoudre le système système de 3 équatio équations ns à 3 inconnues 6. Déterminer Déterminer les valeurs, valeurs, directions directions et sens des forces inclinées à partir des composantes trouvées 7. Représenter Représenter les résultats résultats sur un schéma schéma récapitulatif. récapitulatif.
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APPLICATION
Le solide considéré est un IPE 220 (profilé métallique en I de hauteur d'âme 220 mm) dans la configuration suivante :
Sa fixation sur les HEA 300 se fait par des boulons, à droite sans jeu, à gauche par trous oblongs. Le poids par mètre du profilé est de 26,2 daN. A mi-portée de la poutre est supporté un groupe de climatisation, de poids = 50 kN modélisé par une force ponctuelle. Déterminer les actions aux appuis. Etape 1
Le système isolé est constitué de___________________________________
Etape 2
Bilan des actions extérieures exercées sur le système isolé.
Action à distance : au point ___ on a la force ___ de direction ____________ orientée vers • ________ et dont l'intensité est de ______________________=________KN Charge(s) : • ___________________________________________________________ ___________________________________________________________KN • ___________________________________________________________ ___________________________________________________________KN Appuis : •
•
A l'appui A de type ______________________ on a ___________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ A l'appui B de type _______________________ on a __________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________
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Etape 3
L’IPE est modélisé par un simple trait, qui est en fait sa ligne moyenne.
Schéma et repère :
Etape 4 ➔
Somme des composantes horizontales des forces = 0
Equation 1 _______________________________________________________ = 0 ➔
Somme des composantes verticales des forces =0
Equation 2 _______________________________________________________ = 0 ➔
Somme des moments des forces par rapport à l'appui fixe (point choisi par libre choix) = 0
Equation 3 _______________________________________________________ = 0 soit en simplifiant :
___________________________________________ = 0
Etape 5
La résolution de l'équation 1 donne : ___________________________________________________________________ La résolution de l'équation 3 donne : ___________________________________________________________________ La résolution de l'équation 2 donne, en remplaçant une inconnue par la valeur trouvée précédemment : ___________________________________________________________________ Récapitulatif des résultats pour les composantes des forces à déterminer : • ____________________________________________________ • ____________________________________________________ • ____________________________________________________ 4 / 13
Etape 6
Action à l'appui A point d'application :
______________________________
valeur :
______________________________
direction (angle par rapport à l'axe Ox) : ______________________________ sens :
______________________________
Action à l'appui B point d'application :
______________________________
valeur :
______________________________
direction (angle par rapport à l'axe Ox) : ______________________________ sens :
______________________________
Etape 7
Schéma récapitulatif final :
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2. EXERCICES Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.
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Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.
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Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.
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Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.
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Déterminer les actions aux appuis.
Exercice A
Exercice B 10 / 13
Vérifier les actions aux appuis du modèle ci-dessous.
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3. SYSTEME ISOTATIQUE OU HYPERSTATIQUE ? On dit d’un système qu’il est isostatique vis-à-vis de l’extérieur, lorsque les réactions d’appui sont au nombre de 3 exactement. Exemple 1 : La poutre suivante est isostatique vis-à-vis de l’extérieur
Car si l’on fait le schéma en remplaçant les appuis par leurs réactions :
On totalise 3 réactions d’appui (1 en A, 2 en B). Equilibre : Exemple 2 : Cas de moins de 3 réactions d’appui
Equilibre : Exemple 3 : Cas de plus de 3 réactions d’appui
Un système ayant plus de 3 inconnues aux appuis est dit « hyperstatique » de degré i , avec i = (nombre d'inconnues – 3) Par exemple dans notre cas, le système est dit hyperstatique d'ordre 1 12 / 13
Déterminer le degré d’hyperstaticité vis-à-vis de l’extérieur des systèmes suivants :
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