Análisis Matemático II
Leticia Chávez A.
BANCO DE PREGUNTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO II !
!
f (t) = h2t2 ; ln ti ; el dominio de f está dado por: 1. Dada la siguiente función vectorial f (
a) R b) R c) ]0;+1[ d) Ninguna de las anteriores. !
f (t) = hcos t; 2sin ti ; queda descrito por: 2. El rango de la función vectorial f (
a) un circulo b) una elipse c) una parábola d) una hipérbola ! 3. Sea C la curva que describe el rango de la función vectorial f : I
la secuencia del procedimiento para representar C.
R ! R ; seleccione 3
1. Hallamos las ecuaciones cartesianas de dos super…cies a partir de las ecuaciones paramétricas 2. Representam Representamos os grá…camente grá…camente las dos super…cies super…cies 3. Escribimos la ecuación vectorial en forma paramétrica 4. Identi…camos grá…camente la curva de intersección de las dos super…cies 5. Veri…camos si todos los puntos (x,y,z) de la curva C obtenida corresponden a la grá…ca de la función vectorial 6. Determinamos el dominio de la función vectorial a) 2,4,5,1,3,6 b) 6,4,3,1,2,5 c) 6,3,1,2,4,5 d) Ninguna de las anteriores !
!
!
R ! R 3 tal que f ( f (t) = ht; t2 ; t3 i ; la curva que representa f está dada por 4. Sea f : I la intersección de las super…cies: = x 3 a) y=x2 ; z = x b) x=y2 + 1; 1; y = z = z 2 c) y=x2 ; z = 2x3 d) Ninguna de las anteriores
5. Si C es la curva de intersección de las super…cies x2 4y 2 9z 2 = 36 y el plano x+z=9, C es: a) un paraboloide b) un circulo c) una elipse d) Ninguna de las anteriores 6. La función vectorial vectorial que está dada por la curva curva de intersección intersección de las super…cies z=1+x-y, z=1+x-y, 2 y=x + x es_ 1
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! a) f (t) = t + 21 ; t2 + 1; t2 + 3t ! b) f (t) = t 21 ; t2 41 ; t2 + t + ! c) f (t) = t 21 ; t2 + 41 ; t2 + t + 41
d) Ninguna de las anteriores
1 4
7. Supongamos que estamos sobre el punto P(-1, 5, 8) en una colina cuya ecuación es z = 74 - x2 - 7xy - 4y2 . El eje Y señala hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distanciasse miden en metros. (a) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el noroeste (b) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el suroeste (c) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el noreste (d) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el sureste 8. Sea C la curva de nivel que pasa por P(1, -1) de z = f (x,y ) = x 2 + y2 . El valor de la pendiente en P(1,-1) de la tangente a la curva C es: (a) 1 (b) -1 (c) 0 (d) ninguna de las anteriores 9. Sea z = f (x,y ) una función continua y con derivadas parciales continuas en el punto (2, (2; 1) = 1; @f (2; 1) = 1; entonces: 1) entonces si @f @x @y (a) la dirección de máximo crecimiento de la función en ese punto es la norma del gradiente. (b) si desde el punto (2, 1) nos vamos en la dirección del eje y positivo el valor de z aumenta (c) sea T el plano tangente a la super…cie dada por z = f (x,y ) en el punto (2,1, f (x 0 ,y0 )) , entonces un vector normal a T en el punto (2,1, f (xo ,y0 )) es N =h1; 1; 1i (d) Ninguna de las anteriores 10. Dada z = x2 y + xy en el punto (1, 2) un vector perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por el punto (1,2) es: (a) h6; 2i (b) Paralelo al eje X (c) Paralelo al eje Y (d) Bisectriz del primer cuadrante (e) Ninguna de las anteriores 11. Sea f (x,y ) , una función con derivadas parciales primeras nulas en el punto (1, 1). Determine la a…rmación correcta.
2
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(a) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) existe la derivada direccional de f en el punto (1, 1) en cualquier dirección. (b) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) es diferenciable en el punto (1, 1) (c) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) no se puede concluir que es continua en el punto (1, 1) (d) La ecuación del plano tangente a la función f en el punto (1, 1) es un plano horizontal (e) Ninguna de las anteriores 12. 2) La integral dada por:
3y )dxdy; donde D está limitada por x=lnjyj ; x=0, x=-2 está 2
(2xy
ln y
0
a)
Z Z
Z Z 2
0
(2xy
b)
2
3y )dydx
ex
Z Z
0
(2xy
2 ex
ln(y )
2
3y )dydx
ln y
Z Z
c) 2
2
(2xy
2
3y )dydx
0
13. Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa: p
2 3 13
p
Z Z 0
4 4y 2
2
f (x; y)dxdy =
y p
2 cos2 +4sin2
p
Z Z 0
3
f (r; )rdrd
0
14. Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa: 2 p
5
p
Z Z 0
2 cos2 +4sin2
p
4 4y 2
4
f (x; y)dxdy =
Z Z 0
y
f (r; )rdrd
0
15. Sea f(x,y), una función continua con derivadas parciales primeras y segundas continuas en todo R2 , tal que rf (1; 2) = h 1; 1i ; entonces la ecuación del plano tangente a la grá…ca de f en el punto (1,2,1) es: x
y + z = 1 f (1; 2)
a) Falso, el plano tangente tiene como ecuación x-y-z=0 b) Falso, no podemos hallar la ecuación del plano tangente con los datos del problema c) Falso, pues no podemos determinar si el punto (1,2,1) pertenece a la grá…ca de f. d) Verdadero, el punto (1,2,f(1,2)) pertenece a la grá…ca de f. 2
16. Sea w=f(x,y,z)=x2 ye 1+z donde x=t2 + t; y=t2 + 1; z=t5 + 2, entonces se veri…ca para t=0 que: dw (0) = 0 dt
a) Verdadero, aplicando la regla de la cadena tenemos: dw dt
(0) =
@f @x
(0; 0; 0) dx (0) + dt
@f @y
(0; 0; 0) dy (0) + dt
@f @z
(0; 0; 0) dz (0) = 0;1 + 0;0 + 0;0 = 0 dt
b) Verdadero, pues aplicando la regla de la cadena tenemos: 3
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dw dt
(0) =
@f @x
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(0; 1; 2) dx (0)+ @f (0; 1; 2) dy (0)+ @f (0; 1; 2) dz (0) = 0;1 + 0;0 + 0;0 = 0 dt @y dt @z dt
c) Falso, ya que w no es diferenciable en t=o y por lo tanto no podemos aplicar la regla de la cadena d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 17. Sea z=f(x,y)= x 3+xyy se puede a…rmar que el límite de f en el punto (0,0): 2
2
a) existe b) son todos iguales y valen cero c) son todos iguales y valen 23 d) depende del conjunto de puntos que se considere para hallar el límite. 18. La ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto (1,1) siendo C la curva de intersección de la super…cie dada por z=f(x,y)=x2 + y 2 y el plano y=1 está dada por: a) x=1+t, y=1, z=2+t b) x=1+t, y=1, z=2+2t c) x=1+t, y=1, z=2t d) Ninguna de las anteriores 19. Supongamos que f es continua y tiene derivadas parciales continuas. Supongamos también que tiene derivada direccional máxima igual a 35 en P(1,0), que se alcanza en la dirección de P a Q(3,1). Utilizando esta información rf (1; 0) está dado por:
D E D E
a) rf (1; 0) = p 25 ; p 15 b) rf (1; 0) = 35 70 p ; 355 c) rf (1; 0) = p 5 d) Ninguna de las anteriores @z @z 20. Sea z=f(w) una función derivable, w= xy entonces la expresión x @x + y @x + xy es
a) f 0 ( xy ) b) xy c) no se puede calcular si no se conoce la función f d) ninguna de las anteriores 21. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: ! ! a) Si f es una función vectorial de variable real de…nida en x 0; entonces f (x0 ) es ! tangente a la grá…ca de f en xo ! b) La integral de una función vectorial de variable real f es un vector. ! c) La grá…ca de ua función vectorial de variable vectorial F de R2 en R3 es un conjunto de vectores en R5 :
d) Si un campo escalar F posee derivadas parciales en un punto x0 entonces F es continuo en x0 22. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: 4
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a) Si un campo escalar F posee derivada direccional en un punto x 0 en todas las direcciones, entonces F es derivable en x0 b) Si las derivadas parciales cruzadas de un campo escalar F en un punto son iguales, el campo es diferenciable en el punto c) Si una función escalar de varias variables posee todas las derivadas en un punto, entonces es diferenciable d) El gradiente de un campo escalar en un punto P, es un vector anclado en P. ! 23. Sea f una función vectorial de variable real que representa la curva de intersección entre las super…cies z=xy , x2 + y 2 = 4; entonces es correcto a…rmar que: ! a) f (t) = t; 4 t2 ; t 4 t2 ! b) f (t) = cos t; sin t; cos t sin t ! c) f (t) = t; 4 t2 ; t 4 t2 ! d) f (t) = 2cos t; 2sin t; 2sin2t ! 24. La grá…ca de la función vectorial f (t) = et cos t; et sin t; et se encuentra en:
p h p h
p
i p i
h
a) una esfera b) un cono c) una paraboloide d) en un hiperboloide 25. Para que el campo escalar F(x,y)= correcto a…rmar que:
(
(x+y )2 x2 +y 2
k
i
= (0; 0) si (x,y) 6 sea continuo en (0,0), es si (x,y)=(0,0)
a) k=0 b) k=1 c) k=2 d) no existe ningún k
p
26. Para el campo escalar F(x,y)= xy es correcto a…rmar que en el origen (0,0): 3
a) es derivable b) Fx = F y c) Fx es continua d) Fy es continua 27. La derivada direccional de F(x,y)=2x2 + 3y 2 en el punto (a,b) en dirección dada por un ángulo (formado con el eje x) es: a) 4a b) 6b c) 4a + 6b d) 4acos + 6b sin En las preguntas de la 28 a la 33: Si 1 y 2 son correctas marque a) Si 2 y 3 son correctas marque b) Si 3 y 4 son correctas marque c) Si 2 y 4 son correctas marque d) Si 1 y 3 son correctas marque e) 5
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! 28. Si la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio está determinada por f (t) = 4t; 3cos t; 3sin t ; es correcto a…rmar que:
h
i
!
1. d (t)=h2t2 ; 3sin t; 3sin ti es su posición su velocidad ! 3. a(t) = h4; 3cos t; 3cos ti es su aceleración a) b) c) d) e)
!
2. v (t)=h4; 3sin t; 3cos ti es 4. k=5 es su rapidez
29. Para el campo escalar F(x,y)=xy se puede a…rmar que: 1. F(x,y)=F(y,x) 1 3. F(x,-y)= F (x;y ) a) b)
2. F(-x,-y)=-F(x,y) 4. F(-x,y)=-F(x,y) c) d)
e)
30. Si F(x,y)=ln(xy) entonces es correcto a…rmar que: 1. Las curvas de nivel de F son hipérbolas de revolución 3. El dominio de F=f(x; y) 2 R2 =xy > 0 g a) b) c) d) e)
2. La grá…ca de F es una super…cie 4. El rango de F =fz 2 R=z > 0 g
31. Si F(xy,x/y)=x2 y 2 entonces es correcto a…rmar que: 1. F(0,0)=0 a) b)
2. F(1,1)=0 c) d)
3. F(1,-1)=2 e)
4. F(2,1)=3
! 32. Para el campo vectorial F (x; y) = ex ; ln y se puede a…rmar que:
h
1. Dominio es R2 3. El rango es una curva en R2 a) b) c)
i
2: El rango es un campo vectorial en R2 ! 4: F (0; e) = 1; 1
d)
e)
h i
33. Si F es un campo escalar en R2 en R, entonces su derivada direccional puede estar determinada por: 1. Un número real 3. Una super…cie a) b)
2. Un vector en R2 3. Una recta tangente c) d) e)
34. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) El plano tangente a una super…cie solo hace contacto con la super…cie en un punto b) Si el gradiente de un campo escalar en un punto se anula, el punto es crítico c) Si el determinante de la matriz Hessiana de un campo escalar es igual a cero, el campo escalar no posee puntos críticos ! d) Si el gradiente de un campo escalar F y un vector v tienen igual dirección y sentido, ! la derivada direccional del campo escalar F es dirección v es máxima 35. La diferencial de la función F(t,) = e t sin es igual a: 6
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a) du=et sin dt + et cos td b) du=et sin t + et cos t c) u=et sin t + et cos t d) u=et sin + et cos t + 1 t + 2 36. La máxima razón de cambio de F(x,y)=ln(x 2 + y 2 ) en (1,2) es: a) ln5 b) 5 c) 54 p d) 2 5 5 37. La ecuación xz+yz=1 de…ne implicitamente a z como de x e y, entonces es correcto a…rmar que: 2
@ z = (x+zy) a) @x @ z = (x+zy) b) @y @ z c) @x@y = (x+2zy) xz yz @ z d) @y@x = z (x+y ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
38. Si se utilizan multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia más corta desde el punto (4,0,0) al cono z= x2 + y 2 se debe:
p p p
a) Minimizar F(x,y,z)=z- x2 + y 2 sujeto a G(x,y,z)=(x-4)2 + y 2 + z 2 b) Minimizar F(x,y,z)=(x-4)2 + y 2 + z 2 sujeto a G(x,y,z)=z- x2 + y 2 c) Minimizar F(x,y,z)=x2 + y 2 + z 2 sujeto a G(x,y,z)=z- x2 + y 2 d) Minimizar F(x,y,z)=z- x2 + y 2 sujeto a G(x,y,z)=x2 + y 2 + z 2
p p
39. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) Los límites de integración de la primera integral , de una integral doble siempre son números reales b) En toda integral doble no se puede cambiar el orden de integración. c) La región de integración de una integral triple siempre es un sólido d) La integral triple de la densidad sobre un sólido S determina su masa 40. El área de la región que está dentro del cardiode r=1+cos y fuera de la circunferencia r=1, está determinada por: 2 1+cos
Z Z Z Z Z Z Z Z
a)
0
2
rdrd
1 1+cos
b)
2
drd
1
2 1
c)
(1 + cos )rdrd
0
2
0 1+cos
d)
2
rdrd
1
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Análisis Matemático II 2 2
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Z Z Z
41. La integral
rdzdrd representa el volumen del sólido limitado por:
0
0
r
p
a) La esfera x2 + y 2 + z 2 = 2 y el plano z=2 b) El cono z= x2 + y 2 y el plano z=2 c) El cono z= x2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 d) El apraboloide z=x2 + y 2 y el cilindro x2 + y 2 = 4
p p
42. El momento de inercia del sólido S con respecto al eje z limitado interiormente por el cono z= x2 + y 2 y superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9; cuya densidad volumétrica está dada por (x;y;z) = x +1 y ; está dado por la integral:
p Z Z Z
2
2
2
3
4
a)
2 sin ddd
4
0
2
b)
4
3
Z Z Z
sin ddd
4
0
2
c)
0
0
3
4
Z Z Z Z Z Z
2 sin ddd
0
0
2
d)
0
4
3
sin ddd
0
4
0
43. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) Para calcular una integral de línea a lo largo de una curva, esta se debe parametrizar b) La parametrización de una curva es única. c) El teorema de Green está de…nido en Rn d) El trabajo realizado por una fuerza para mover una partícula a lo largo de una curva es una integral de línea 44. La integral de línea
Z
F (x; y)ds; si C es el círculo unitario, es equivalente a:
C
1
Z p Z Z Z
a) F (t; 1
t2 )dt
1
2
b) ) F (cos2t; sin2t)dt 0
c) 2
F (cos t; sin t)dt
0
4
d)
F (cos4t; sin4t)dt
0
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Análisis Matemático II
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45. La masa de un alambre homogéneo con forma de un triángulo equilátero de lado 1 es igual a: a) 3k 3 b) p k 2 c) 43 k d) k
Z
!
!
46. La integral de línea F (x; y):d r ; si C es el segmento de recta de (0,0) hasta (1,1), es igual C
a: 1
a)
Z Z Z Z
! F (t; t)dt
0 1
b)
! F (t; t): 1; 1 dt
h i
0 1
c)
! F (t2 ; t2 ): 2t; 2t dt
h
i
0 1
d)
! F (cos t; sin t):
h sin t; cos ti dt
0
Z
47. La integral de línea ydx + xdy es independiente de la trayectoria y su valor desde (-1,-1) C
hasta (-2,3), es igual a: a) 15 b) -5 c) 12 d) 5 48. Si C es el borde la de la circunferencia x 2 + y 2 = 4; la integral
I
xy 2 dy + x 2 ydx es
C
equivalente a: 2 2
a)
Z Z Z Z Z Z
r 3 drd
0 0 2
b)
(sin + cos )td
0 2
c)
(4sin2 2 + 4 cos2 2)td
0 2 2
d)
r 2 sin drd
0
0
9
Análisis Matemático II 49. La integral de línea
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Z
(2xy + 1)dx + x2 dy a lo largo de todo C, siendo C el borde de una
C
circunferencia de cualesquier radio, es igual a: a) 1 b) cos1 c) 0 d) ninguna de las anteriores ! 50. El trabajo realizado por la fuerza F (x;y;z) =
x x2 +y 2 +z 2
! i +
y x2 +y2 +z 2
! j +
mover una partícula a lo largo de C de (1,0,0) a (1,2,3) está dado por: a) ln4 b) ln14 c) 21 ln14 d) ninguna de las anteriores
10
z x2 +y 2 +z 2
! k al
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RESPUESTAS
1: c 2:b 3:c 4:a 6:b 7:b 8:a 9:c 11:c 12:b 13:F 14:V 16:b 17:d 18:b 19:c 21:a)V; b)V; c)F; d)F 22:a)F; b)F; c)F; d)V 23:d 24:b 26:b 27:d 28:d 29:c 31:d 32:d 33:e 34:a)V; b)F; c)F; d)V 36:d 37:c 38:b 39:a)V; b)F; c)V; d)V 41:b 42:a 43:a)V; b)F; c)F; d)V 44:c 46:b 47:d 48:a 49:c
V: verdadero F: falso
11
5:c 10:a 15:d 20:b 25:d 30:e 35:a 40:d 45:a 50:c