Predictor Cerrector

Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias on M´ et odos etod os de Taylor M´ eto dos de Rung etodos Runge-Ku e-Kutta tta M´ eto dos de predi etodos predicci´ cci´ on-correcci´ on-correcci´ on on M´ etod os adaptat etodos adaptativos ivos de paso p aso variable El problema de contorno Resumen

Parte 8. Ecuac Ecuacione ioness difere diferencial nciales es ordina rdinarias rias Gustavo Montero

Escuela T´ ecnica ecnica Superior Super ior de Ingenieros Ingenier os Industrial I ndustriales es Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Curso 2004-2005


1

Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias on

2

M´ et odo eto doss de Tayl aylor or

3

M´ etodos de Run eto Rungege-Kut Kutta ta

4

M´ etodos de predi eto predicci cci´ ´ on-correcci´ on-correcci´ on on

5

M´ eto dos adaptativos de paso variable etodos

6

El problema de contorno

7

Resumen


El problema del valor inicial

1

Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias on

2

M´ et odo eto doss de Tayl aylor or

3

M´ etodos de Run eto Rungege-Kut Kutta ta

4

M´ etodos de predi eto predicci cci´ ´ on-correcci´ on-correcci´ on on

5

M´ eto dos adaptativos de paso variable etodos

6


7

Resumen



El problema del valor inicial Planteamiento del problema Sea la ecuaci´ on on diferencial



y = f (x , y ),

x ∈ [x 0 , x 0 + a]

con la condici´ on on inicial y (x 0 ) = η. Supondremos que se cumple la condici´ on de existencia y unicidad de la solución: on on: f es continua en [x 0 , x 0 + a] × R

Condici´ on on de Lipschitz en y ∗

∗

∀x ∈ [x 0 , x 0 + a] , ∀y , y ∗ ∈ R , con L ≥ 0 Los métodos eto dos más as utilizados son los de discretización, on, en los que se obtiene el valor de la solución on en unos puntos determinados, generalmente equidistantes, f (x , y ) − f (x , y ) ≤ L y − y

x i = x 0 + i h,

con h =

a n

,

i = 0, 1, . . . , n



El problema del valor inicial Planteamiento del problema Sea la ecuaci´ on on diferencial



y = f (x , y ),

x ∈ [x 0 , x 0 + a]

con la condici´ on on inicial y (x 0 ) = η. Supondremos que se cumple la condici´ on de existencia y unicidad de la solución: on on: f es continua en [x 0 , x 0 + a] × R

Condici´ on on de Lipschitz en y ∗

∗

∀x ∈ [x 0 , x 0 + a] , ∀y , y ∗ ∈ R , con L ≥ 0 Los métodos eto dos más as utilizados son los de discretización, on, en los que se obtiene el valor de la solución on en unos puntos determinados, generalmente equidistantes, f (x , y ) − f (x , y ) ≤ L y − y

x i = x 0 + i h,

con h =

a n

,

i = 0, 1, . . . , n

Clasificación on de los m´ eto dos etodos Si y i +k se obtiene en funci´ on on de las k soluciones anteriores ( y i , . . . , y i +k −1 ), el m´ etodo etodo se denomina de k pasos. Dentro de los m´ etodos etodos de 1 paso, pa so, Si y i +1 = Ωi (y i ),

etod et odo o es expl exp l´ıcito ıc ito i = 0, 1, . . . , n − 1, el m´

Si Ωi (y i +1 , y i ) = 0, hay que resolver una ecuaci´ on on para cada i = 0, 1, . . . , n − 1 (m´ etodo todo impl´ pl´ıcito)

Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias M´ etodos de Taylor M´ etodos de Runge-Kutta M´ etodos de predicci´ on-correcci´ on M´ etodos adaptativos de paso variable El problema de contorno Resumen

M´ etodo de Euler M´ etodo de Taylor de orden n

1

Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias

2

M´ etodos de Taylor

3

M´ etodos de Runge-Kutta

4

M´ etodos de predicci´ on-correcci´ on

5

M´ etodos adaptativos de paso variable

6


7

Resumen



Método de Euler Algoritmo Utilizando el desarrollo de Taylor hasta la primera derivada se obtiene, 

y i +1

=

y i + h y (x i ),

y 0

=

η

i = 0, 1, . . . , n − 1

sustituyendo la derivada seg´ un la ecuaci´ on diferencial, y i +1

=

y i + h f (x i , y i ),

y 0

=

η

Error local de orden O (h2 ) y global de O (h).

i = 0, 1, . . . , n − 1



Método de Euler Conceptos preliminares Si g es una funci´ on continua en el intervalo cerrado y acotado [x 0 , x 0 + a], dado δ > 0 cualquiera, se conoce como m´ odulo de continuidad de la funci´ on g para δ a la cantidad, ∗

∗

ω(δ, g ) = max g (x ) − g (x ) ,

x , x

∈ [x 0 , x 0 + a] , x − x ∗ ≤ δ

Para toda funci´ on g continua en [x 0 , x 0 + a] se verifica, lim ω (δ, g ) = 0

δ→0

Si una sucesi´ on {an } de n´ umeros reales no negativos verifica ∀n ≥ 0, an+1 ≤ (1 + A)an + B , con A ≥ 0, B ≥ 0 constantes independientes de n, se tiene Si A > 0 ⇒

nA

an ≤ a0 e

Si A = 0 ⇒

+

e n A − 1 A

an ≤ a0 + n B ,

B ,

∀n ≥ 0

∀n ≥ 0

Se define error de truncatura o de discretizaci´ on acumulado del método a la diferencia entre la soluci´ on exacta y la aproximada e i = y (x i ) − y i



Método de Euler Estudio del error Si f es continua en [x 0 , x 0 + a] × R y verifica la condici´ on de Lipschitz, el error de discretización e i del método de Euler es tal que e L i h − 1

ω(h, y  )

si L > 0

|e i | ≤

si L = 0

|e i | ≤ i h ω (h, y  )

L

La demostraci´ on se basa en los lemas anteriores.

i = 0, 1, . . . , n i = 0, 1, . . . , n



Método de Euler Estudio del error Si f es continua en [x 0 , x 0 + a] × R y verifica la condici´ on de Lipschitz, el error de discretización e i del método de Euler es tal que e L i h − 1

ω(h, y  )

si L > 0

|e i | ≤

si L = 0

|e i | ≤ i h ω (h, y  )

L

i = 0, 1, . . . , n i = 0, 1, . . . , n

La demostraci´ on se basa en los lemas anteriores.

Estudio de la convergencia Un método se dice que es convergente si se verifica,

lim

h→0

max

i =0,1,...,n

|y i − y (x i )|

El método de Euler tal y como se ha definido en convergente

=0


M´ etodo de Taylor de orden


k

Expresi´ on general del m´ etodo de Taylor Sea y la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y  (x ) = f (x , y (x )), derivando sucesivamente respecto a x , 

y



y



y

dy

=

= f = f (0)

dx dy 

=

dx dy 

=

dx

= f x + f y y  = f x + f y f = f (1) = f x (1) + f y (1) y  = f x (1) + f y (1) f = f (2)

. . . k

y

. . . dy (k −1)

=

dx

= f x (k −2) + f y (k −2) y  = f x (k −2) + f y (k −2) f = f (k −1)

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de Taylor, resulta (0)

y i +1

=

y i + hf

y 0

=

η

h2 (1) hk (k −1) (x i , y i ) + (x i , y i ), f (x i , y i ) + · · · + f 2! k !

i = 0, 1, . . . , n − 1

j

Cumple la condici´ on de Lipschitz con M =

k −1 j =0

M j h0

( j + 1)!

. Error local de orden O (hk +1 ) y global de O (hk ).


M´ etodo de Taylor de orden


k

M´ etodo de Taylor de orden 2 El método de Euler coincide con el caso particular m´ as sencillo del m´ etodo de Taylor (hasta la derivada primera). Si se desarrolla hasta el t´ ermino de la segunda derivada, resulta el m´ etodo de Taylor de segundo orden

(0)

y i +1

=

y i + hf

y 0

=

η

h2 (1) (x i , y i ) + f (x i , y i ),

Error local de orden O (h3 ) y global de O (h2 ).

2!

i = 0, 1, . . . , n − 1


Formulaci´ on general de los m´ etodos de Runge-Kutta M´ etodos de Runge-Kutta de orden 2 M´ etodo de Runge-Kutta de orden 4

1


2


3


4


5


6


7

Resumen



Formulaci´ on general de los m´ etodos de Runge-Kutta F´ ormulas generales La formulaci´ on de los m´ etodos de Runge-Kutta para k evaluaciones es, siendo

y i +1 = y i + h Φ(x i , y i , h),

i = 0, 1, . . . , n − 1

k

Φ(x , y , h)

=

c j K j j =1

K 1

=

f (x , y ) j −1

K j

=

f (x + h a j , y + h

b jl K l ,

j = 2, 3, . . . , k

l =1

con c j , a j y b jl elegidos adecuadamente. El método es consistente, es decir Φ(x , y , 0) = f (x , y ), si k

K j = f (x , y ),

c j = 1 j =1



Formulaci´ on general de los m´ etodos de Runge-Kutta F´ ormulas generales La formulaci´ on de los m´ etodos de Runge-Kutta para k evaluaciones es, y i +1 = y i + h Φ(x i , y i , h),

siendo

i = 0, 1, . . . , n − 1

k

Φ(x , y , h)

=

c j K j j =1

K 1

=

f (x , y ) j −1

K j

=

f (x + h a j , y + h

b jl K l ,

j = 2, 3, . . . , k

l =1

con c j , a j y b jl elegidos adecuadamente. El método es consistente, es decir Φ(x , y , 0) = f (x , y ), si k

K j = f (x , y ),

c j = 1 j =1

Casos particulares Se estudian en general los métodos que surgen de considerar 1, 2 y 4 evaluaciones Si k = 1 obtenemos el m´ etodo de Euler. Si k = 2 podemos obtener varios m´ etodos: m´ etodo de Euler Mejorado, de Euler Modificado y de Heun. Si k = 4 obtenemos el m´ etodo de Runge-Kutta de cuarto orden.



M´ etodos de Runge-Kutta de orden 2 M´ etodo de Euler Mejorado del Punto Medio y i +1

=

y i + hf x i +

y 0

=

η


h

2

, y i +

h

2

f (x i , y i )

,

i = 0, 1, . . . , n − 1




=

y i + hf x i +

y 0

=

η

h

2

, y i +

h

2

f (x i , y i )

,

i = 0, 1, . . . , n − 1


M´ etodo de Euler Modificado y i +1

=

y i +

y 0

=

η

h

2

[f (x i , y i ) + f (x i , y i + hf (x i , y i ))] ,


i = 0, 1, . . . , n − 1




=

y i + hf x i +

y 0

=

η

h

2

, y i +

h

2

f (x i , y i )

,

i = 0, 1, . . . , n − 1


M´ etodo de Euler Modificado y i +1

=

y i +

y 0

=

η

h

2

[f (x i , y i ) + f (x i , y i + hf (x i , y i ))] ,

i = 0, 1, . . . , n − 1


M´ etodo de Heun y i +1

=

y i +

y 0

=

η

h

4

f (x i , y i ) + 3 f x i +


2 3

h, y i +

2 3

hf (x i , y i )

,

i = 0, 1, . . . , n − 1



M´ etodo de Runge-Kutta de orden 4 Algoritmo de Runge-Kutta de cuarto onden h

y i +1

=

y i +

K 1

=

f (x i , y i )

K 2

=

f (x i +

K 3

=

f (x i +

K 4

=

f (x i +

y 0

=

η

6

(K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) ,

h

2 h

2 h

2

, y i + , y i + , y i +

Cumple la condici´ on de Lipschitz con M = L +

L2

2

h

2 h

2 h

2

i = 0, 1, . . . , n − 1

K 1 ) K 2 ) K 3 )

h0 . Error local de orden O (h5 ) y global de O (h4 ).


Generalidades M´ etodos expl´ıcitos de Adams-Bashforth M´ etodos impl´ıcitos de Adams-Moulton M´ etodos de Milne y Simpson M´ etodo Predictor-Corrector

1


2


3


4


5


6


7

Resumen



Generalidades M´ etodos multipaso Los m´ etodos de Taylor y de Runge-Kutta, son m´ etodos de un paso, es decir, se basan uńicamente en lo que ocurre en el paso anterior. Si incluimos algunas de las aproximaciones previas podemos construir mejores m´ etodos de aproximaci´ on. Los m´ etodos basados en esta idea se denominan m´ etodos multipaso. Para construir un m´ etodo multipaso, integramos la soluci´ on del problema de valor inicial en [ x i , x i +1 ], y i +1 = y i +

x i +1 x i

f (x , y (x )) dx ≈ y i +

x i +1

P (x ) dx

x i

siendo P (x ) el polinomio interpolador de f (x , y (x )) determinado por los puntos ( x 0 , f (x 0 , y 0 )), (x 1 , f (x 1 , y 1 )), . . ., (x i , f (x i , y i ))



Generalidades M´ etodos multipaso Los m´ etodos de Taylor y de Runge-Kutta, son m´ etodos de un paso, es decir, se basan uńicamente en lo que ocurre en el paso anterior. Si incluimos algunas de las aproximaciones previas podemos construir mejores m´ etodos de aproximaci´ on. Los m´ etodos basados en esta idea se denominan m´ etodos multipaso. Para construir un m´ etodo multipaso, integramos la soluci´ on del problema de valor inicial en [ x i , x i +1 ], y i +1 = y i +

x i +1 x i

f (x , y (x )) dx ≈ y i +

x i +1

P (x ) dx

x i

siendo P (x ) el polinomio interpolador de f (x , y (x )) determinado por los puntos ( x 0 , f (x 0 , y 0 )), (x 1 , f (x 1 , y 1 )), . . ., (x i , f (x i , y i ))

Métodos expl´ıcitos e impl´ıcitos Existen dos tipos de m´ etodos multipaso, Métodos expl´ıcitos: el cálculo de y i +1 no supone la evaluaci´ on de f (x i +1 , y i +1 ). Métodos impl´ıcitos: el cálculo de y i +1 s´ı supone la evaluaci´ on de f (x i +1 , y i +1 ).



M´ etodos expl´ıcitos de Adams-Bashforth M´ etodo de Adams-Bashforth de 2 pasos y i +1

=

y i +

y 0

=

η0 ,

Error local de orden O (h3 ).

h

2

3f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) , y 1 = η1

i = 1, 2, . . . , n − 1




=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

2

3f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) ,

i = 1, 2, . . . , n − 1

y 1 = η1


M´ etodo de Adams-Bashforth de 3 pasos y i +1

=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

12


23f (x i , y i ) − 16f (x i −1 , y i −1 ) + 5f (x i −2 , y i −2 ) , y 1 = η1 ,

y 2 = η2

i = 2, 3, . . . , n − 1




y 0


h

=

y i +

−

9f (x i −3 , y i −3 ) ,

=

η0 ,

24

55f (x i , y i ) − 59f (x i −1 , y i −1 ) + 37f (x i −2 , y i −2 )

y 1 = η1 ,

i = 1, 2, . . . , n − 1 y 2 = η2 ,

y 3 = η3




y 0

h

=

y i +

−

9f (x i −3 , y i −3 ) ,

=

η0 ,

24

55f (x i , y i ) − 59f (x i −1 , y i −1 ) + 37f (x i −2 , y i −2 )

y 1 = η1 ,

i = 1, 2, . . . , n − 1 y 2 = η2 ,

y 3 = η3


M´ etodo de Adams-Bashforth de 5 pasos y i +1

y 0

=

h

−

1901f (x i , y i ) − 2774f (x i −1 , y i −1 ) + 2616f (x i −2 , y i −2 ) 720 1274f (x i −3 , y i −3 ) + 251f (x i −4 , y i −4 ) , i = 1, 2, . . . , n − 1

=

η0 ,


y i +

y 1 = η1 ,

y 2 = η2 ,

y 3 = η3 ,

y 4 = η4



M´ etodos impl´ıcitos de Adams-Moulton M´ etodos de Adams-Moulton de 2 pasos y i +1

=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

12

5f (x i +1 , y i +1 ) + 8f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) , y 1 = η1


i = 1, 2, . . . , n − 1




=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

5f (x i +1 , y i +1 ) + 8f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) ,

12

i = 1, 2, . . . , n − 1

y 1 = η1


M´ etodos de Adams-Moulton de 3 pasos y i +1

=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

24

9f (x i +1 , y i +1 ) + 19f (x i , y i ) − 5f (x i −1 , y i −1 ) + f (x i −2 , y i −2 ) , y 1 = η1 ,

y 2 = η2


i = 1, 2, . . . , n − 1




=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

5f (x i +1 , y i +1 ) + 8f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) ,

12

i = 1, 2, . . . , n − 1

y 1 = η1



=

y i +

y 0

=

η0 ,

h

24

9f (x i +1 , y i +1 ) + 19f (x i , y i ) − 5f (x i −1 , y i −1 ) + f (x i −2 , y i −2 ) , y 1 = η1 ,

i = 1, 2, . . . , n − 1

y 2 = η2



y 0

=

y i +

h

+

251f (x i +1 , y i +1 ) + 646f (x i , y i ) − 246f (x i −1 , y i −1 ) 720 106f (x i −2 , y i −2 ) − 19f (x i −3 , y i −3 ) , i = 1, 2, . . . , n − 1

=

η0 ,

y 1 = η1

y 2 = η2


y 3 = η3



M´ etodos de Milne y Simpson M´ etodo de Milne Consiste en una t´ ecnica expl´ıcita obtenida integrando sobre [x i −3 , x i +1 ] el polinomio interpolador de diferencias regresivas de Newton.

y i +1

=

y i −3 +

y 0

=

η0 ,

4h 3

2f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) + 2f (x i −2 , y i −2 ) ,

y 1 = η1 ,

y 2 = η2 ,


y 3 = η3

i = 1, 2, . . . , n − 1



M´ etodos de Milne y Simpson M´ etodo de Milne Consiste en una t´ ecnica expl´ıcita obtenida integrando sobre [x i −3 , x i +1 ] el polinomio interpolador de diferencias regresivas de Newton.

y i +1

=

y i −3 +

y 0

=

η0 ,

4h 3

2f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) + 2f (x i −2 , y i −2 ) ,

y 1 = η1 ,

y 2 = η2 ,

i = 1, 2, . . . , n − 1

y 3 = η3


M´ etodos de Simpson Consiste en una t´ ecnica impl´ıcita obtenida integrando sobre [x i −1 , x i +1 ] mediante el m´ etodo de Simpson.

y i +1

=

y i −1 +

y 0

=

η0 ,

h

3

f (x i +1 , y i +1 ) + 4f (x i , y i ) + f (x i −1 , y i −1 ) ,

y 1 = η1


i = 1, 2, . . . , n − 1



M´ etodo Predictor-Corrector M´ etodos de Adams-Bashforth-Moulton Consiste en utilizar un método expl´ıcito de Adams-Bashforth para predecir la aproximaci´ on de y i +1 y un método impl´ıcito de Adams-Moulton para corregir dicha aproximaci´ on. Por ejemplo para obtener un m´ etodo Predictor-Corrector de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, debemos elegir el Adams-Bashforth de cuatro pasos como predictor y el de Adams-Moulton de tres pasos como corrector. Para obtener los cuatro primeros valores de partida es necesario, además, utilizar inicialmente un m´ etodo de un paso de cuarto orden (por ejemplo el de Runge-Kutta de cuarto orden). (0)

y i +1

=

y i +

(1)

=

y i +

y i +1

h

24 h

24

55f (x i , y i ) − 59f (x i −1 , y i −1 ) + 37f (x i −2 , y i −2 ) − 9f (x i −3 , y i −3 ) (0)

9f (x i +1 , y i +1 ) + 19f (x i , y i ) − 5f (x i −1 , y i −1 ) + f (x i −2 , y i −2 )



M´ etodo Predictor-Corrector M´ etodos de Adams-Bashforth-Moulton Consiste en utilizar un método expl´ıcito de Adams-Bashforth para predecir la aproximaci´ on de y i +1 y un método impl´ıcito de Adams-Moulton para corregir dicha aproximaci´ on. Por ejemplo para obtener un m´ etodo Predictor-Corrector de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, debemos elegir el Adams-Bashforth de cuatro pasos como predictor y el de Adams-Moulton de tres pasos como corrector. Para obtener los cuatro primeros valores de partida es necesario, además, utilizar inicialmente un m´ etodo de un paso de cuarto orden (por ejemplo el de Runge-Kutta de cuarto orden). (0)

y i +1

=

y i +

(1)

=

y i +

y i +1

h

24 h

24

55f (x i , y i ) − 59f (x i −1 , y i −1 ) + 37f (x i −2 , y i −2 ) − 9f (x i −3 , y i −3 ) (0)

9f (x i +1 , y i +1 ) + 19f (x i , y i ) − 5f (x i −1 , y i −1 ) + f (x i −2 , y i −2 )

M´ etodo de Milne-Simpson Consiste en utilizar el método expl´ıcito de Milne para predecir la aproximaci´ on de y i +1 y el método impl´ıcito de Simpson para corregir dicha aproximaci´ on. De igual forma que los m´ etodos anteriores se necesita un m´ etodo de un paso para obtener las aproximaciones iniciales. 4h (0) = 2f (x i , y i ) − f (x i −1 , y i −1 ) + 2f (x i −2 , y i −2 ) y i +1 y i −3 + 3 (1)

y i +1

=

y i −1 +

h

3

(0)

f (x i +1 , y i +1 ) + 4 f (x i , y i ) + f (x i −1 , y i −1 )


Introducci´ on M´ etodo de Runge-Kutta-Fehlberg M´ etodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable

1


2


3


4


5


6


7

Resumen



Introducci´ on Definición Un método adaptativo es aquel que adapta el n´ umero y posici´ on de los nodos que utilizan en la aproximaci´ on para mantener el error local dentro de unos l´ımites definidos a priori.



Introducci´ on Definición Un método adaptativo es aquel que adapta el n´ umero y posici´ on de los nodos que utilizan en la aproximaci´ on para mantener el error local dentro de unos l´ımites definidos a priori.

Control del error mediante el tamaño del paso Supongamos que aplicamos dos m´ etodos de o ´rdenes n y n + 1 para resolver el problema de valor inicial, n

y i +1

=

y i + hΦ(x i , y i , h) con un error local |y (x i ) − y i | < Kh

y i +1

=

y i + hΦ(x i , y i , h) con un error local |y (x i ) − y i | < K h

n+1

Entonces si e i representa el error local de un m´ etodo, se tiene e i +1 = (y i +1 − y i +1 ) + e i +1 n+1 Como e i +1 es de orden O (h ) y e i +1 es de orden O (hn+2 ), es evidente que |y i +1 − y i +1 | = Mhn+1 , |y i +1 − y i +1 | de donde M = hn+1

n

Si ahora usamos un tama˜ no de paso qh se debe satisfacer |y (x i + qh) − y i +1 | < M (qh) = Luego q <

h

|y i +1 − y i +1 |

1/ n

q n |y i +1 − y i +1 | h

<



M´ etodo de Runge-Kutta-Fehlberg Algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg Utiliza un m´ etodo de Runge-Kutta de onden 5, 16 6656 28561 9 2 y i +1 = y i + K 1 + K 3 + K 4 + K 5 + K 6 135 12825 56430 50 55 para estimar, utilizando la cota anterior, el error local de un m´ etodo de Runge-Kutta de orden 4, 25 1408 2197 1 y i +1 = y i + K 1 + K 3 + K 4 − K 5 216 2565 4104 5 siendo K 1

=

hf (x i , y i ),

K 3

=

hf x i +

K 4

=

K 5

=

K 6

=

3h

K 2 = hf x i +

, y i +

8 12h

3

K 1 +

9

K 2

h

4 ,

, y i +

1 4

K 1

,

32 32 1932 7200 7296 , y i + hf x i + K 1 + K 2 + K 3 , 13 2197 2197 2197 439 3680 845 hf x i + h, y i + K 1 − 8K 2 + K 3 + K 4 , 216 513 4104 8 3544 1859 11 h hf x i + , y i − K 1 + 2K 2 + K 3 + K 4 − K 5 2 27 2565 4104 40



M´ etodo de Runge-Kutta-Fehlberg

Tama˜ no de paso El tama˜ no de paso te´ orico tiende a ser muy conservador. El más utilizado es

q =

h

1/ 4

2|y i +1 − y i +1 |

Si q < 1, se rechaza la elecci´ on inicial para el paso i -´ esimo y se repiten los c´ alculos usando qh. Si q ≥ 1, se acepta el valor calculado en el paso i -ésimo con pas h y se cambia el tama˜ no de paso a qh para el paso (i + 1)-ésimo.



M´ etodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable Algoritmo Consiste en utilizar el m´ etodo expl´ıcito de Adams-Bahforth de Cuatro Pasos como predictor y el impl´ıcito de Adams-Moulton de Tres Pasos como corrector



M´ etodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable Algoritmo Consiste en utilizar el m´ etodo expl´ıcito de Adams-Bahforth de Cuatro Pasos como predictor y el impl´ıcito de Adams-Moulton de Tres Pasos como corrector

Control del error mediante el tamaño de paso El resultado te´ orico resulta q <

270

1/ 4

h

,

19 |y i +1 − y (0) | i +1

aunque en la pr´ actica se suele utilizar un valor más conservador debidos a las aproximaciones realizadas en el proceso de obtenci´ on de la cota de q ,

q = 1.5

1/4

h (0)

|y i +1 − y i +1 |


Generalidades M´ etodo de diferencias finitas

1


2


3


4


5


6


7

Resumen



Generalidades Planteamiento del problema Consideremos el siguiente problema lineal, 



y (x ) = p (x ) y (x ) + q (x ) y (x ) + r (x )

con las condiciones de contorno o bien

y (a) = α, y (a) = α,

y (b ) = β y  (b ) = β

x ∈ [a, b ]

(condiciones tipo Dirichlet) (condiciones tipo mixtas)






y (x ) = p (x ) y (x ) + q (x ) y (x ) + r (x )


y (a) = α, y (a) = α,

y (b ) = β y  (b ) = β

x ∈ [a, b ]


Resoluci´ on por diferencias finitas Se trata de sustituir y  , y  por valores aproximados utilizando los esquemas estudiados para derivaci´ on numérica, conduciendo finalmente a un sistema de ecuaciones donde las inc´ ognitas son los valores de y en los puntos del intervalo [a, b ] donde se ha planteado los esquemas de derivaci´ on.






y (x ) = p (x ) y (x ) + q (x ) y (x ) + r (x )


y (a) = α, y (a) = α,

y (b ) = β y  (b ) = β

x ∈ [a, b ]


Resoluci´ on por diferencias finitas Se trata de sustituir y  , y  por valores aproximados utilizando los esquemas estudiados para derivaci´ on numérica, conduciendo finalmente a un sistema de ecuaciones donde las inc´ ognitas son los valores de y en los puntos del intervalo [a, b ] donde se ha planteado los esquemas de derivaci´ on.

Existencia y unicidad de solución Supongamos que en el problema de contorno anterior con condiciones Dirichlet se verifica, p (x ) y  (x ) + q (x ) y (x ) + r (x ), p (x ) y q (x ) son continuas en R .

a acotada. p (x ) est´ q (x ) es positiva ∀x ∈ [a, b ].

entonces la soluci´ on existe y es ´ unica.



M´ etodo de diferencias finitas Problema general Consideremos el problema general, 



A(x ) y (x ) + B (x ) y (x ) + C (x ) y (x ) = D (x )

x ∈ [a, b ]

con condiciones de contorno de expresadas de forma general, 

=

r



=

s

a1 y (a) + a2 y (a) b 1 y (b ) + b 2 y (b )

siendo A(x ), B (x ), C (x ) y D (x ), funciones continuas en [a, b ], A(x )  = 0 en [a, b ] y a1 , a2 , b 1 , b 2 ∈ R , donde a1 y b 1 no se anulan simultáneamente.



M´ etodo de diferencias finitas Problema general Consideremos el problema general, 



A(x ) y (x ) + B (x ) y (x ) + C (x ) y (x ) = D (x )

x ∈ [a, b ]

con condiciones de contorno de expresadas de forma general, 

=

r



=

s

a1 y (a) + a2 y (a) b 1 y (b ) + b 2 y (b )

siendo A(x ), B (x ), C (x ) y D (x ), funciones continuas en [a, b ], A(x )  = 0 en [a, b ] y a1 , a2 , b 1 , b 2 ∈ R , donde a1 y b 1 no se anulan simultáneamente.

Discretizaci´ on de la ecuación de segundo orden Utilizaremos esquemas de orden 2 para aproximar la primera y segunda derivada en puntos x i del interior de [a, b ], y i +1 − y i −1  + O (h2 ) y (x i ) = 2h y i +1 − 2y i + y i −1  + O (h2 ) y (x i ) = h2

Luego, denotando Ai = A(x i ), B i = B (x i ), C i = C (x i ) y D i = D (x i ), la ecuaci´ on diferencial en x i resulta, y i +1 − 2y i + y i −1 y i +1 − y i −1 + B i + C i y i = D i Ai i = 1, 2, . . . , n − 1 2h h2



M´ etodo de diferencias finitas Discretizaci´ on de las condiciones de contorno Los esquemas de orden 2 para la derivada primera en los extremos son, 

y (a) 

y (b )

= =

−y (a + 2 h) + 4 y (a + h) − 3y (a) 2h y (b − 2h) − 4y (b − h) + 3 y (b ) 2h

+ O (h2 )

+ O (h2 )

Luego las condiciones de contorno resultan,

a1 y 0 + a2 b 1 y n + b 2

−y 2 + 4 y 1 − 3y 0 2h

y n−2 − 4y n−1 + 3y n

2h

=

r

=

s



M´ etodo de diferencias finitas Construcci´ on del sistema de ecuaciones Los esquemas anteriores aplicados a todos los puntos del soporte producen un sistema de n + 1 ecuaciones lineales con matriz de la forma, a1 − A1 h2

3a2

4a2

2h

2h

− 0 ··· 0 0

B 1

2h

−

2A1 h2

A2 h2

−

+ C 1

− ··· ··· ···

B 2

2h

a2

2h A1 B 1 + 2h h2 2A2 − + C 2 h2

··· 0 0

A2 h2 An−1 h2

0

···

0

0

···

0

···

0

+ ··· − b 2

2h

B 2

2h B n−1

2h

··· 2An−1 − + C n−1 h2

−

4b 2 2h

··· An−1 h2

+

b 1 +

y vector segundo miembro r , D 1 , . . . , D n−1 , s , para obtener las inc´ ognitas y 0 , y 1 , . . . , y n−1 , y n

B n−1

2h 3b 2 2h


1


2


3


4


5


6


7

Resumen


Resumen Entre los m´ etodos de un paso para la resoluci´ on de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y los de Runge-Kutta son los m´ as utilizados. El m´ etodo m´ as sencillo es el de Euler, aunque también es que mayores errores produce. En cambio, el método de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona soluciones con una precisi´ on m´ as aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cient´ıficos. Los m´ etodos multipasos impl´ıcitos tienen en general mayor precisi´ on que los expl´ıcitos, aunque su aplicaci´ on tiene mayor complicaci´ on ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuaci´ on generalmente no lineal. M´ as eficiente es utilizar un m´ etodo impl´ıcito para corregir la soluci´ on obtenida previamente por uno expl´ıcito (método predictor-corrector). Los más utilizados son los m´ etodos de Adams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson Si se utiliza un tama˜ no de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los métodos. En este sentido, los m´ etodos adaptativos de paso variable ajustan el tama˜ no de paso para que el error cometido se mantenga siempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los más populares son el de Runge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable. Uno de los m´ etodos m´ as utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dicha discretizaci´ on conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de forma discreta la funci´ on que es la solución del problema de contorno de segundo orden.







Predictor Cerrector

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