p r e c Al c u l o HAEU SSLERI PA D LI WOO WOOD I CANTU
A L W A Y S L E A R N I N G
PEARSON
Precálculo
Precálculo
Ernest Haeussler Richard Paul Rich Richar ard d W oa od Idalia Cantú Martínez Ma. de los Ángeles Flores Treviño María del Carmen Garza Santos María Teresa Flores Garza Aminta Garza Piñal Rita Arenas Velasco Mireya Isabel Sánchez Velázquez
PEARSON
ion bibliográfica HAEUSSLER ERNEST, PAUL RICHARD, WOOD RICHARD, CANTÚ M. IDALIA et al. Precálculo. Primera edición PEARSON EDUCACIÓN, México,2012 ISBN: 978-607-32-0836-9 Formato: 21 x 27 cm
Páginas: 184
Authorized translation from the English language edition, entitled: Introductory Mathematical Ana lys is fo r Business, Ec on om ics, and the Life and S ocial Sciences, 12th Edition, by Erne st F. Haeussler, Jr., Richard S. Paul and Richard J. Wood, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALL, Copyright © 2008. Original ISBN 0-13-240422-2. Translation ISBN 978-970-26-1147-9 All rights reserved. Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés, tituladas: Introductory Mathematical A nalysis fo r Business, Economics, and the Life an d Social Sciences, 12a. Edición, por Ernest F. Haeussler, Jr., Richard S. Paul y R ichard J. Wood, publicada po r Pearson Education Inc., publicada como PREN TICE HAL L, Copyright © 2008. ISBN Original 0-13-240422-2. ISBN Tranducción 978-970-26-1147-9
Todos los derecho s reservados. Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción:
Carlos Mario Ram írez Torres
[email protected] Claudia Silva Morales José D. Hernán dez G arduño
PRIM ERA EDICIÓN, 2012 D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, SA. de C.V. Atlacomulco 500- 5o Piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, E stado d e México Cám ara Nacional de la Indu stria Edito rial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice Hall es una marca registr ada de Pearson Ed ucación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pued en reproducirse, registrarse o transmitirse, po r un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni po r ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, mag nético o electroóp tico,por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo po r escrito de los coeditores. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejem plar requerirá también la autorización de los coeditores o de sus representantes. ISBN VER SIÓ N IMPRESA: 978-607-32-0836-9 ISBN E-BOOK: 978-607-32-0837-6 ISBN E-CH APTER : 978-607-32-0838-3 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 1 4 1 3 12 11
PEARSON
www.pearsoneducacion.com
ISBN: 9 78 -60 7 -32 -0836-9
CONTENIDO • ----------------------------------------------------------------------------------
Prólogo ix CAPÍTULO 1
S i s t e ma s d e n ú m e r o s 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
CAPÍTULO 2
1
Clasifi cación de los número s 1 Operaciones y propiedades de los números reales 4 Suma, resta, multiplica ción y división con números enteros y fraccionarios Cálculo de promedios 8 Cálculo de porcentajes 9 Ra zonamie nto aritmétic o 11
Exponentes
6
15
2.1 Exponentes 15 2.2 Suma, resta, multiplicac ión y división de números reales 19 2.3 Exponentes y radicales con expresiones algebraicas 20 2.4 Simplificación de expresiones que resultan de las derivadas 24 CAPÍTULO 3
Radicales 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
CAPÍTULO 4
Radicales 29 Simplif icación de radicales 29 Suma y resta con radicales 31 Multiplic ac ión y división con radicales Racionalización de radicales 33
29
31
E x pr e s i o n e s a l g e b r a i c a s y s u s o p e r a c i o n e s 4.1 Definición de expresión alg ebraica 37 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas
CAPÍTULO 5
37
38
Productos notables o especiales 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Binomio eleva do al cua dra do o cua drado de un binomi o da como resultado un trinomio cuadrado perfecto 47 Binomios conjuga dos dan como resulta do una diferencia de cuadrados Binomios con término común dan como resultado un trinomio general de seg undo gra do 48 Binomios con términos semejantes dan como resultado tn trinomio general de segundo grado 48 Binomio elevado al cubo o cubo de un binomio da como resultado un cubo perfecto 49 Productos de un binomio por un trino mio dan como resultado una suma o diferencia de cubos 49 Cuadra do de un poli nomio 49
47
47
Contenido
CAPÍTULO 6
Factorización 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
CAPTULO 7
Fracciones simples y complejas 7.1 7.2
CAPÍTULO 8
Expresión alge braica con fac tor común 51 Diferencia de cuadrados 52 Trino mio cua drado perfecto 53 Trinomio general o de seg undo gra do 54 Suma y diferenc ia de cubos 55
Fracciones simples 59 Fracciones compleja s 66
Ecuaciones 8.1 Definic ión de ecuaci ón 72 8.2 Clasifi cación de las ecuaciones 72 8.3 Solución de ecuaciones de prime r gra do con una variable 8.4 Ecuaciones que com prende n fracciones 75 8.5
73
Ecuaciones cuadrátic as 78 8.6 Ecuaciones con radicales que conducen a ecuaciones lineales 8.7 Aplicac iones de las ecuaci ones lineales 87 CAPÍTULO 9
Desigualdades y valor absoluto 9.1 Desigualdades 91 9.2 Desigual dades compuestas 9.3 Valor abs oluto 96
CAPÍTULO 10
94
Sistema de ecuaciones lineales y no lineales 10.1 Sis tema de ecuaciones lineal es 101 10.2 Sistemas lineales con tres variables 109 10.3 Sistemas de ecuaciones no lineales 115
CAPÍTULO 11
Funciones y gráficas 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8
CAPÍTULO 12
Funciones 122 Funciones especiales 129 Combinac iones de funciones 133 Funciones inversas 138 Gráficas en coordenada s rectangulares Simetría 150 Tras laciones y reflexiones 155 Repaso 157
Ap l ic a c ion e s dive rs a s 12.1
Definic ión intui tiva de límite
12.2 División sintétic a
163
161
141
Contenido
vii
CAPÍTULO 13
E va l u a c i ó n d e e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s
167
CAPÍTULO 14
El ál gebra y su cone xión con el cálculo
171
14.1 Racionalización 171 14.2 Simplif icación de expresiones que son respuestas para problemas de cálculo 172
Prólogo Después de buscar en el mercado y no encontrar ningún libro que cumpliera con el program a qu e se imparte en el curso de Precálculo, de la U niv ersidad de Monterrey , nos dimos a la tarea de elabor ar un texto que cu briera en la medida de lo posible, el plan de estudio de la materia. La estructura de este libro se pensó como algo dinámico, fácil de en tend er y muy práctico par a e l alumno p or lo que en cada capítulo se incluyó: • Un a parte teórica con problemas resueltos y con su respectiva explicación • Una parte práctica que incluyera ejercicios propu estos para que el alumno los re suelva. De igual manera, se buscó da r may or énfasis a la pa rte algebraica, necesaria para cursar con éxito la materia de Cálculo, y de esta forma el alumno pudiera adquirir m a yor habilidad y refor zar los conocimientos imprescindibles del álgebra. Los temas que se abordan son: Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Capítulo 10 Capítulo 11 Capítulo 12 Capítulo 13 Capítulo 14
Sistemas de números. Exponentes. Radicales. Expresiones algebraicas y sus operaciones. Productos notables. Factorización. Fracciones simples y complejas. Ecuaciones. Desigualdades y valor absoluto. Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales Funciones. Aplicaciones diversas. Evaluación de expresiones algebraicas. El álgebra y su conexión con el Cálculo.
Esperamos que este texto les sea de utilidad a los alumnos y a los profesores.
SISTEMAS DE NÚMEROS
1.1 1.1
Clasific ac ión de los números
1.2
Operaciones y propiedades de los números reales
1.3
Clas ificación de los nú m e ros
El siguiente esque ma mues tra la clasificación de números con los cuales trabajaremos. Númer os reales
Negativos
Suma , resta, multiplicación y división con números enteros y fraccionarios
1.4
Cálculo de promedios
1.5
Cálculo de porcentaje s
1.6
Ra zona miento aritmético
positivos
I
“i
Racionales
Enteros
r
Irracionales Racionales
iFracciónanos
r
Enteros
Irracionales
Fraccionarios
FIGURA 1.1
El cero representa un elemento de separación entre los números positivos y ne gativos, de m odo que es m ayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. Núm eros negativos
Númer os positivos
FIGURA 1.2
En la recta numérica aparecen así: Cada uno de estos conjuntos se rep resenta con la siguiente notación: • • • • • • • •
Núm eros complejos: Núm eros reales: Números reales negativos: Núm eros reales positivos: Número s racionales: Núm eros irracionales: Números enteros: Núm eros naturales:
C R
R R+
Q Q' Z NoZ+
El primer conjunto de n úmeros que se utiliza es el de los enteros positivos, también llamados números de con teo o naturales: 1,2,3,4, 5,.
1
2
Ca pítu lo 1
Sistemas de números
Los enteros negativos se rep resentan d e la siguiente manera: • • • —1? " 2 , —3, —4, —5, • • • Cuando se comb inan los enteros positivos, los enteros negativos y el cero, se o btienen los enteros: . . . - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , —1 , 0 ,1 , 2 ,3 , 4 ,5 , ...
A continuación veremos algun as aplicaciones de los números e ntero s positivos y negativos: • EJEMPLOS
a. El número para rep resenta r que la temp eratura es de 5o bajo cero es: R = -5
b. El número par a represen tar qu e Juan tiene ahorrados $23 en su alcancía es: R = + 23
c. El número que representaría, en términos de ganancia, que hubo una pérdida de $25 000 es: R = -25 000
Y así sucesivamente podemos mencionar una serie de situaciones en las que se utilizan los núm eros e nteros en general. Los números racionales son aquellos que pu eden s er expresados como el cociente de dos enteros, excepto si la división es entre cero, pues ésta no existe. Los números con decimales exactos o que se repiten (decimales periódicos), son casos de núme ros racionales. • EJEMPLOS
2 a. - = 0.4
Núm ero con decimales exactos.
b. i =0.1666
Número con decimales repetidos.
c. - = 0.571428
Se repite después de un número máximo de seis dígitos.
d. V 9 = 3
Núm ero exacto.
4 e. j = 4
Número exacto.
6
Tbdos los entero s forma n parte de l conjunto de los núme ros racionales, ya que todo en tero se pued e escribir como el cociente del mismo núm ero en tre la uni dad positiva o negativa. Observación:
• EJEMPLOS
Lo anter ior n os lleva a una expansión del sistema numérico. Por definición, los nú meros irracionales son todos los números decimales que no se re piten y no son exactos.
Se cc 1.1
Clasificación de los números
3
• EJEMPLOS
a. 0.10010001. b. 0.12345678910111213. Los cuales siguen un patró n definido que no se repite. Otros ejem plos son: t t , \ f l , V U , etcétera. Considerando los conjuntos de números anteriores definimos los números reales como aquellos que son racionales o irracionales, o bien, como los números decimales en general. •
EJEMPLOS
±2, ±3, ± |,±7 r, ±(X5, ±1 ,121 2..., ± V 2 ,V l5 , etcétera. De acuerdo con la definición anterior, todos estos números se identifican como números reales. Por otra parte, extendiendo más el sistema numérico real tendremos un sistema mayor llamado números complejos, del cual podemos decir que está integrado por n ú meros de la forma a + 6/, donde a es un núm ero real y bi es un n úmero imaginario. De este modo, tanto el conjunto d e los números reales como el de los números imaginarios son subconjuntos de los núm eros complejos. En la expresión a + b i se tiene que a y b son números reales e i = V —í es un nú mero complejo. Al número b i se le llama también número imaginario puro. • EJEMPLOS
a. 3 + 2i
d. -5 + \ / —9 = - 5 ± 3i e. - 1 0 - Ai l -Si
b. i c. V - 4 = ±2 i
Ejercicios 1.1 I. Diga a qué campo o campos, de los siguientes: naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), ¡nacionales (Q'), reales (R) o complejos (C), pertenecen los números que se presentan a continuación. Atora: Un número puede pertenecer a más de un campo. 2. Ai h -3
19. -75
20. 3.14168125.
2L-\
22. 4
23. - i
24. 11738
25. 2
26. 0
27. 0333
28. 32
3. V2
- i
5. V i
6. 8
29. 3
30. 1
31. -V 5
32. -2
* 17
4 33. -
34.^64
7. -1000 9. -V 3 - T
m ?
12. V l6
13. 0.838383...
14. 12.5
15. 0.05
16. 4.31313
17. y / —Á
* 5
35. 2tr n. Escriba el número que representa cada situación. (a) Un submarino se encuentra sumergido a una profundi dad de 37.9 metros. (b) Un termómetro marca 23 °C. (c) Cierta ciudad se encuentra a 500 metros sobre el nivel del mar. (d) Luis vendió periódicos y su ganancia fue de $107.40.
4
Ca pítu lo 1
Sistemas de números
(e) La temperatura promedio del mes pasado fue de 7 °C bajo cero. (f ) Tomás le pidió prestado a Joaquín $900. (g) Un avión se eleva a 10 000 metros sobre el nivel del mar. (h) Un día de febrero de 2011, en la ciudad de Monterrey la temperatura fue de -3 °C bajo cero.
1.2
(i) Un barco hundido en 1900 se encuentra en el llamado Triángulo de las Bermudas a 1 000 metros bajo el nivel del mar. (k) Laura compró una laptop y por ello adquirió una deuda de 25 000 pesos.
Opera ciones y propieda des de los núm eros reales
Las operaciones fundamentales que pueden efectuarse con los números reales son suma, resta , multiplicación y división. P r o p ie d a d e s d e l o s n ú m e r o s r e a le s
a. Propiedad reflexiva. Para cualquier « G R , tenemos que: a=a
Ejemplos:
6 = 6, - 3 = - 3
b. Prop ieda d simétrica. Para cualquier a ,b E R, tenemos que: si a =b => b = a Ejemplos: 5 = x= >x = 5,
x = - 3 =>■ - 3 = x
c. P ropied ad transitiva. Para cualquie r a, si a = b Ejemplos: Si2 + 2 = 3 + l Si * = 9
c E R, tenemos que: b =c= * a =c
y
3 + l = 4=>-2 + 2 = 4
y
9 = (3)(3) =>x= (3)(3)
y
Leyes de los números reales
a. Ley de cerradura. Para cualquier a, b E R, tenemos que: fl + ¿ E R
y
fl*¿E R
Ejemplos: 3 + 4 es un número rea l y 3 •4 es un núm ero real b. Ley conm utativa. Para cualqu ier «, b E R, tenemos que: a + b = b + a
Ejem plos: 7 + l = l + 7
y
a*b = b»a
y
3-4=4-3
c. Ley asociativa. Para cualquier a , b , c S R, tenemos que: (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplos:
(3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4)
y y
(ab)c = a(bc ) (2 •3) 4 = 2 (3 •4)
d. Ley distributiva. Para cualquier a , b , c £ R, tenemos que: a(b + c) = ab + ac
Ejemplos: 4(2 + 1) = 4 - 2 + 4-1
y
(b + c)a = ba + ca
y
(2 + 1) 4 = 2 •4 + 1 •4
Secc. 1.2
Operacione s y propiedade s de los números reales
5
e. El elemento identidad (para la suma). Existe un núm ero real llamado cero, den o tado como 0, tal que para cualquie r a E R, tenemos que: a+0=a
Ejemplos: 5 + 0 = 5
y
0+a=a
y
0 + 5= 5
f. El eleme nto identidad (para el producto). Existe un número real, denom inado uno y designado con 1, tal que p ara cu alquie r a E R, tenemos que: a -1 = a
Ejemplos: 5 - 1 = 5 ,
1 -5 = 5
1 ■ a =a
y
-8 -1 = - 8
g. El elemento inverso (para la suma). P ara cada a E R existe un número real den o tado con - a , tal que: a + (-a) = 0
Ejemplos: 3 + (-3 ) = 0
y
y
(-a) + a = 0
-3 + (3) = 0
h. El eleme nto inverso (para el produ cto). Para cada número no nulo a E R existe un número real, designado con i , llamado también el recíproco de a, tal que:
Ejemplos: 4@) = 1
= 1
y
(- 3 ) = 1
- 1 (- 8 ) = 1
Nota: En el ejemplo anterior observamos que i es el recíproco de 4, igual que 4 es el 1 recíproco de Para los otros ejemplos podem os afirmar lo mismo.
Ejercicios 1.2 I. En cada uno de los siguientes ejercicios señale qué propie dad o ley de los números reales se utiliza.
14. Si |w = T y T = 4=>¿W = 4
L 3+ 2 = 2+ 3
15. 8 - 1 = 8
2. 3 • 4 es un número real
16. y = 3 entonces 3 = y
3. 8 • 2 = 2 •8
4. | + (0) = |
13. (3 + x)2 = 6 + 2*
-------------------------
17.
^ e i I n c o
18. x = z y z = w=>x = w
5. 2 - 5 es un número real
19. 4 + ( - 4 ) = 0
- i © 7. (x + 2) + b = x + (2 + b)
8. 5x + ( —5*) = 0
9. a(b + 2) = ab + 2a 10. 9(2 +3) = 9(2) + 9(3) 11. 4 + 0 = 4 12. 7 = 7
------------------------------
20. a = a 21.
l -
H + 1 l -" *
’ -H l -' l -
I 0
22. - 9 + 9 = 0
23. x + y + z = y + z + x 24.
H H "
25. 1
X
= X
6
Ca pítu lo 1
Sistemas de números
1.3
Sum a, resta, mu ltiplica ción y división con n ú m e r o s e n t e ro s y f ra c c i o n a ri os ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
•• a. Si a, b y c E R, entonces la operación de suma o adición se define mediante la si guiente ecuación: a+b =c Ejemplo: 5 + 4 = 9
b. Si a y b E R, entonces la operación de sustracción o resta se define mediante la siguiente ecuación: a - b = a + ( - 6 ) Ejemplo: 6 - 5 = 6 + (- 5 ) c. Si a y b E R, enton ces la operació n de m ultiplicación se define med iante la siguien te ecuación: a•b=b•a=c Ejemplo: 4 •5 = 5 •4 = 20 d. Si a y b E R, con b ecuación:
0 la operación de división se define mediante la siguiente a_
2
Ejemplo: r
1
m 2 -g )
(1\ "
W
e. Si a, b, c y d E R, con b y d # 0, entonces: a c _ ac b d bd Ejemplo:
1=|
f. Si a, b y c E R, con c ^ 0, entonces: fl + £ _ a +
c e
b
c
ríi -1 + 5- = -6 = ~3 Ejemplo: g. Si a, b, c y íf E R, con £ y d # 0, entonces: a b
c _ ad + cb d bd
_ , 1 , 2 1(5 )+ 2(3 ) 5+6 Ejemplo: 5 + 5 = ------ ¡5 ---------= j
11
h. Para cualquier a, b, c y d E R, donde b , c y d ^ O , entonces: a . c _ a d _ a d b d b c be
. 4 . 1 4 2 8 Ejemplo: Observación: Tbme en cuenta que al sumar dos número s positivos el resultado es otro núm ero positivo. Por otr a pa rte, si se suman dos números c on signo diferente, se restan los números, y el resultado tend rá el signo del núme ro mayor. Si se suman d os números negativos su resultado es otro número negativo. Si se multiplican o se dividen:
- Números con igual signo, el resultado es un núm ero positivo. - Números con signos diferentes, el resultado es un número negativo.
Secc. 1.3 Suma, resta, multiplicación y división con números enteros
Esquematizando lo anterior con las leyes de los signos para Ye división, tenem os lo siguiente: O
(-)
+ •+ = +
++ + = +
+ •- =
+ + - = -
-
- •+ = -
- + + = -
- • - = -f •
EJEMPLOS
Multiplicación
División
(4)(2) = 8 5 __1 -10 2
(5)(-3) = - 1 5 (-4)(2) = - 8 ( -2 X - :3) = 6
Ejercicios 1.3 I. Efectúe las siguientes operaciones con números reales. h 2 + (-3)+ 1=
2. 8 + 5 + 10 = 3. -3 - 1 - 9 = 4. (-5) + (-7) + (-1) = 5. 15 + (-16 ) + 4 =
6. 23 + 25 -48 =
16. 1 8 , 7 _ 3 3 3 2 9 4 17. 15 15 15 + 3 + 10 = 18. Z 8 8 8 _ 19. 45 7 14 S 20. 2 _ 4 + i =
3
9
6
7. (2)(3)(4) = 8. (-8X-7) =
21. 1 - 1 + 1 = 2 3 6
9. (— 1) (2) ( —4) =
22. A _ J_ + l =
10. 11 . 1Z 13. 14. 15.
27
23.
fflfflt-D ■ (-*)(-§) m
-
® (S )(-8 ■
81
3
5 ,7 7 24 8 2
24. - 2 - A + i 4 12 25. ^ —3 +
6
26. 89 . 29 27. 32 .• 47 28.
11 = 2
8
Ca pítu lo 1
Sistemas de números
36. -5.3 - 2.8 = 29‘ ( 27) : ( 27°) ™
11
^
66
37. -(-37.89) -5 7 =
=
38. 3 § - 4 ¡ -
33 ‘ 33 31. (-4.6)+ 53+ (-8 .7) +(- 1.2) =
-
32. 2.9 + 1 + (- 6.8 ) + (-3 .1) + 7 = 33. (-3.7 5) + {-152) + (-11.1) =
( f -f ) -( f -f )
"■ - ( 4s +1l ) +1l -
H ) + 3 + ( _1 5) + (_ 1 >=
-
( -¥ ) -( § -! )
=
- H - f M - f K + ( -! ) = 1.4
Cálculo de prom ed ios __________________________
Un promedio se calcula con el objetivo de hallar un número medio entre varios de la misma especie. Debe en tenderse que el núm ero medio no es aq uel que divide al conjun to de datos en dos p artes iguales. R e g la g e n e r a l
Para determinar el promedio de un conjunto de dato s hay que sumar cada uno de ellos y dividir el producto de la suma en tre el núm ero total de datos. • EJEMPLO 1
Un nifio gastó el lunes $3.95, el m artes $4, el miércoles $2.85 y el jueves $7. ¿Cuál e s su gasto promedio po r día? Solución: Si se suman las cantidad es que h a gastado el niño po r día, se obtiene $17.8.
Esta cantidad se divide entre el número de días que el niño ha gastado dinero (4). El resultado es el gasto prom edio diario, esto es: ^ 3.95 + 4 + 2.85 + 7 $17.8 „ , _ Gasto promedio = ------------ j ------------= 4 = $4.45 • EJEMPLO 2
Los siguientes dato s represen tan el aumento de peso (en gramos) de pollos alimentados con una d ieta rica en proteínas. Halle el aum ento de peso pro medio de estos pollos. 12.5, 12.7, 13, 13.1, 13.2, 13.8 Solución: Se suman los aumentos de peso (los datos anteriores) para obten er como re
sultado 78.3 gramos, cifra que se divide entre el número total de d atos para de term inar el aumento de peso promedio. Esto es: Aum ento 12.5 + 12.7 + 13.0 + 13.1 +13 .2 + 13.8 78.3 ,. = 2 ------------------------= — gram os ------------------------ prom edio 6 62 — = 13.05 & •
EJEMPLO 3
Las tres calificaciones parciales obtenidas po r un alumno de un curso de m atemáticas son: 8,5 y 7. Deter min e el prom edio d e las calificaciones. Solución: Para ob ten er el prom edio se suman las cantidad es y el total se divide entre
el número total de calificaciones. Esto es: Promedio de calificaciones = ■- ~
= 6.6
Se cc 1.5
9
d. En Monterrey, una estancia infantil puede ser subsidia da por la oficina de asistencia social del ayuntamiento si el ingreso anual promedio de las familias cuyos hijos asisten a la institución llega, cuando mucho, a $12 500. El ingreso familiar, en pesos, de los padres de los niños es: 15 500,12 500,8 600,7 800,6 500,5 900,10 200,8 800, 14 300 y 13 900. • ¿Cumple la estancia infantil con los requisitos para re cibir el apoyo financiero del municipio de Monterrey? Explique porqué. • Si la respuesta del inciso anterior es negativa, ¿cuánto debe disminuir el ingreso familiar promedio para te ner acceso al subsidio? • Si la respuesta de la primera pregunta es afirmativa, ¿cuánto puede aumentar el ingreso familiar promedio sin que la estancia infantil pierda el subsidio?
Ejercicios 1.4 I. Resuelva los siguientes ejercicios de promedios. a. En las últimas seis semanas un vendedor de seguros ha ganado, po r comisiones, las siguientes cantidades: $1 250, $1320, $965, $1 040, $896 y $1 480. ¿Cuál fue su comisión promedio? b. Una persona camina durante siete días de este modo: el primer día 12 kilómetros; el segundo, 15; el tercero, 13; el cuarto, 12.5; el quinto, 11.5; el sexto, 10 y el séptimo, 11.8 ¿Cuántos kilómetros en promedio caminó por día? c. Un estudiante gasta en comidas diarias lo siguiente: el lunes, $75; el martes, $82; el miércoles, $74; el jueves, $65 y el viernes $97. ¿Cuánto gasta al día, en promedio, en comidas?
1.5
Cálculo de porcentajes
Cá lculo de porcenta jes
1.5.1 Definición
Se le llama tanto p or ciento a una o varias de las cien partes iguales en que se pu ede dividir un número; es decir, una o varias centésimas de dicho número. El símbolo con que se representa el tanto por ciento es %. • EJEMPLO 1
¿Cuál es el 4% d e 80? 4 Solución: El 4% equivale a — ;es decir, el 4% de 80 es cuatro centésimas partes de
A 80, esto es: j q q x 80 = 3.2.
lUv/
Otra alternativa para c alcular el porcentaje es utilizar una simple regla de tres. Si se toma en cuen ta que el 100% de un núm ero es el mismo número, entonces podemos encon trar el 4% de 80. Si el 100% es 80, ¿a qué cantidad corresponderá el 4%? La cifra que se busca se establece como x y despué s se form a una regla de tres simple con estas cantidades, es decir: 100% - 80 4% - * y se desp eja*. Nota : Para despejar x se efectúan, en d iagonal, los productos de la ecuación anterior, de modo que se logre la forma 100* = (80) (4%). De ello podemos concluir que:
= 80(4%) _ *
100%
^
# EJEMPLO 2
Halle el i % de 96. o
Solución: Para encon trar el porcentaje que se pide se utilizarán dos métodos, a saber: Alte rn a tiva I
El número se divide entre 100 partes iguales y de ellas se toma i,e s to es: <
Q12. Por lo ta nto, el - % de 96 es 0.12. o
u
100
X£ = o
10
Capítulo 1
S is te ma s d e n ú me r os
Alte rn a tiva II
Utilizando la regla de tres simple se sabe que el 100% de 96 es el mismo núm ero (96). Cómo nos interesa saber qué cantidad será para -% , lo expresamos de la siguiente o
De donde, como en el ejemplo anterio r despejando a a:,se concluye que: 96
x =
100%
=
01 2
Con ambas a lternativas es posible concluir que el i % de 96 es 0.12. o
1 .5 . 2 Ha l l a r u n n ú m e r o c u a n d o s e c on o c e c i e r to p o r c e n t a j e d e é l
Se usará el méto do de la regla de tres simple p ara decir: Si el % dado correspon de a la cantidad dada , ¿el 100% a qué cantidad correspo n derá? •
EJEMPLO 1
¿Cuál es el núm ero d el que 46 es el 23%? Solución: Para enc ontrar el núm ero se utiliza una regla de tres simple. Se sabe qu e 46 es e l23 %, entonces, ¿qué cantida d será el 100%? De lo ante rior se tiene que:
23%
-
46
100%
-
x
Así pues, el nú mero q ue se busca es: x = Ib r lo tan to, el número del cual el 23% es 46 es: 200. • EJEMPLO 2
3 ¿Cuál es el núm ero d el cual su ^ % es 21? Solución: Utilizando una regla de tres simple se tiene que:
21
%
100
Como se puede ver, el número que se busca es: x Es decir, el nú mero es 2 800.
x
Se cc 1.6
Razona miento aritmético
11
Ejercicios 1.5 L Hallar...
n. ¿Cuál es el número L 5% es 35?
h 18% de 72
2. 35% de 180 3. 90% de 1315
2. 90% es 60? 3. 82% es 115?
4. |% de 18
4. ^% es 16?
5. |% de 108
5. 0.4% es 50? 6. ^%es24?
6. 02% de 84
7. 3.5% es 70? 8. 2.75% es 55? 9. 0.56% es 196? 10. 10% es 130? 11. 12% es 920? 12. 5% es 245? 13. 32% es 18?
7. 10% de \5 j 8. 33% de 2 346
9. 10% de 1327 10. 1% de 915 11. 8.6% de 129 12. 19.5% de 1 560
14. 3% es 84? 15. 2% es 18? 16. 7% es 84? 17. 35% es 91?
13. 75% de 1250 14. 55% de 40 000 15. 86% de 172 16. 95% de 304 17. 18% de 45
18. 18% es 240? 19. 17% es 133?
18. 5% de 64 19. 1.75% de 3 576
20. 43% es 520? 21. 72% es 1680? 22. 34% es 326? 23. 39% es 25? 24. 12% es 64.5? 25. 92% es 1500?
20. 5.6% de 750 2L 4% de 208 22. 20% de 258 23. 35% de 1215 24. 12.5% de 918 25. 21% de 907.5
1.6
R a z o n a m i e n t o a r itm é ti c o
•• En este capítulo se aplicará todo lo visto anteriormente, es decir, las leyes, propiedades, operaciones de los núm eros reales, etcétera. Enseguida se presentan algunas recomendaciones para resolver problemas de ra zonamiento aritmético, así como varios ejercicios resueltos. Recomendaciones
1. Lea cuidadosamen te el problema y,de ser necesario, haga un dibujo para represen tarlo. 2. Identifique los dato s que se conocen. 3. Proponga las incógnitas del problema. 4. Presente un a o varias ecuaciones que involucren tanto los dato s conocidos como b s desconocidos.
12
Capítulo 1
S is te ma s d e n ú me r os
5. Resuelva la o las ecuaciones hasta despejar la incógnita de interés.
6. Presente la solución del problema. • EJEMPLOS
h Después de gastar $215 me quedaron $475. ¿Cuánto tenía al principio? Solución: Para resolver este ejercicio lo único que hay que hacer es razonar la pregunta, esto es, si gasté $215 y me s obraron $475, ¿cuánto tenía al principio? Basta con sumar $215 y $475; el resultado es la respuesta. Por lo tanto: $215 + $475 = $690, es decir, lo qu e tenía al principio era n $690.
2. Julia compró una casa e n $750 000 y un automóv il en $87 000. Con po steriori dad, vendió la casa en $835 000 y el automóvil en $93 500, ¿Julia ganó o perdió? ¿Cuánto? Solución: A simple vista se aprecia que si Julia compró la casa en $750 000 y la
vendió en $835 000 tuvo una ganancia de $85 000. Esta cantidad se obtiene restan do $750 000 a $835 000. Por otra parte , si compró el automó vil en $87 000 y lo vendió en $93 500 también hay una ganancia, en este caso de $6 500. La respuesta a la primera pregunta es ganó. La ganancia total es la suma de las cantidades que o btuvo po r la casa y el automóvil, es decir, $85 000 + $6 500 = $91500.
3. Juan el carnic ero pide 1 000 kg de carne. Prim ero le manda n 294 kg; más tard e 100 kg menos que la primera vez y, finalmente, 120 kg más que la primera vez. ¿Cuánto le falta por recibir? Solución: El total de carne que p ide es 1 000 kg. Como lo primero que le mandan
es 294 kg y, más tarde, 100 kg menos que esa primera vez, lo que le mandan en esta ocasión es 194 kg. De spu és le enviaro n 120 kg más que la prime ra vez; esto es, 294 kg más 120 kg igual a 414 kg. En total le enviaro n lo siguiente: 294 kg la prime ra vez 194 kg la segu nda vez 414 kg la tercera vez En total son 902 kg. Si Juan pidió 1 000 kg, lo que le falta es la diferencia entre lo que quie re y lo que le enviaron : 1 000 kg meno s 902 kg, igual a 98 kg, que es la cantidad de carne que es pera e l carnicero. 4. Una mueb lería vende cierto estilo de refrigerador en $3 600. Si po r promoción lo
ofrece a un precio de $2 970, ¿cuál es el porcentaje de desc uento? Solución: Dado q ue el precio de venta del refrigerador era de $3600 y se ofreció
en $2970, tenemos q ue el descuento e s de: $3 600 - $2 970 = $630 El porcentaje de d escuento sería: 3 600 630 -
100% *
x = ^ r - 100% =17.5% j oUU
El porcentaje de descuento se obtiene dividiendo la cantidad descontad a entre el precio de venta y multiplicándola po r el 100%. 5. Si una libreta cuesta $8.50 y se ofrece a la venta con un descu ento del 30% , ¿cuánto hay que paga r por ella?
Se cc 1.6
Razona miento aritmético
13
Solución: Por un lado, sabemos q ue el 30% d e $8.50 es:
100%
-
8.50
30%
-
x
x=
8.50 =$2.55
Por otro lado, sabemos que el costo de un artículo ya con descuento se obtiene con la diferencia del precio original menos la cantidad descontada. De ahí que el costo de la libreta con un 30% de descuento sea: $8.50 - $2.55 = $5.95 Otra alternativa para resolver este problema es tomar en cuenta que, si están haciendo un descuento del 30%, lo que hay que pagar neto por el artículo es el 70%. Por lo tanto, para ob tener el resultado basta multiplicar el precio d e ve nta po r k) que realmente se debe pagar, esto es: 100%
-
8.50
70%
-
*
* = HX>'$ 8-50 = $5-95
Como se observa, con ambos procedimientos se llega al mismo resultado.
Ejercicios 1.6 1* Durante cinco días del mes de enero se registraron estas temperaturas: -1 3 °C, 8 °C, 1 °C, 18 °C y - 1 °C. ¿Cuál fue la temperatura promedio de esos cinco días? 2. El Banco de México registró durante una semana las si guientes fluctuaciones: ganó 132 puntos, perdió 53, perdió 68, ganó 45 y perdió 30. ¿Cuál fue el resultado de la semana? 3. Durante el amanecer de un día de verano la temperatura fue (fe 22 °C. A media mañana subió 8 °C; por la tarde descendió 3°C,y en la noche bajó 5 °C más. ¿Qué temperatura hubo en la noche? 4. Mara tenía $307. Tuvo que pagar una cuenta de $18.65, una de $52 y otra de $20.50. Juan le pagó $91.60 que le debía. ¿Cuánto dinero tiene ahora Mara? 5. Un aeroplano subió una altura de 7 285 m. Debido al mal tiempo tuvo que descender 1457m. Después se elevó 1329 m para continuar su viaje. ¿A qué altura volaba? 6. Pablo tiene una taijeta de crédito con un saldo a favor de $300 y pagó con ella $296, $99 y $67. Como había gastado mucho depositó $103. ¿Qué saldo tiene ahora en su tarjeta de crédito? 7. El área de un rectángulo es igual a 48 cm2. Si se deforma el rectángulo disminuyendo su altura pero manteniendo el área constante, ¿qué le sucede a la base? (Recuerde que el área del rectángulo se calcula multiplicando su base por su altura). 8. Un depósito de agua que tiene una capacidad de 1 600 L se lena en cuatro horas ¿Cuántos litros por minuto arroja la llave? 9. Escribiendo tres páginas en una hora durante jornadas de ocho horas diarias, ¿cuántos días se requieren para escribir un libro de 912 páginas? 10. Después de gastar $319, a Lorena le quedaron $615. ¿Cuán to tenía al principio? 11. Si tuviera 35 caballos más de los que ya poseo, tendría 216. ¿Cuántos caballos tiene mi hermano si el número de los míos excede a los suyos en 89? 12. Si recibiera $145 podría comprarme un vestido que vale $560. ¿Cuánto tengo en este momento?
13. ¿En cuánto excede la suma de 756 y 8134 a la diferencia entre 5 234 y 1514? 14. Al vender una casa en $121380 gané $18150. ¿Cuánto me había costado la casa? 15. Tenía $305 400, compré un automóvil y me quedé con $196 500. Entonces, recibí $87 300, compré un terreno y me quedaron $73 200. ¿Cuánto me costó el auto y cuánto el tenreno? 16. El lunes deposité $500 en el banco, el martes pagué $256, el miércoles pagué $96 y el jueves deposité $84. Además, pres té $45. ¿Cuánto tengo? 17. Un hombre deja $950 000 para repartir entre sus tres hijos y su esposa. El hijo mayor debe recibir $230 000; el segundo $50 000 menos que el mayor; el tercero tanto como los dos primeros, y la esposa lo restante. ¿Cuánto recibió la mujer? 18. Un comerciante pide 3 000 kg de mercancía. Primero le mandan 854 kg, más tarde 123 kg menos que la primera vez, y después 156 kg más que la primera vez. ¿Cuánto le falta por recibir? 19. Ana obtuvo en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual? 20. Pedro gasta $750 a la semana en alimentos. ¿Cuánto gastará a la semana si el precio de los alimentos se incrementa en 8%? 21. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31 440por la venta de una casa en Los Ángeles. ¿En cuánto vendió la casa si cobró un 6% del precio de venta? 22. Catalina compró un abrigo de pieles en $9 372, con un im puesto del 6.5% incluido. ¿Cuál fue el precio de venta del abrigo sin impuesto? 23. ¿En cuánto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la tienda lo ofrece con un 15% de descuento? 24. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $10 500, luego de aplicarle un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
.
2
.............
-
EXPONENTES
2.1 2.1
Exponentes
2.2
Suma , resta, multiplicación y división de números reales
2.3
2.4
Exponentes
Definición: Si a es un número real y n es un entero positivo, entonce s an representa el
pro ducto de n factores, cada uno d e los cuales es a. a" = a a a a a
a •a
n factores
Exponentes y radicales con expresiones algebraicas
A la cantidad o" se le llama la e-nésima p otencia de
Simplificación de expresiones que resultan de las derivadas
L e ye s d e l os e x p o n e n t e s
Donde m y n representan números reales se tienen: 1) Productos de potencia de la misma base
Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. ( f1 a* = am+* • EJEMPLO
Simplificar la expres ión 2 3 •2 2
Solución: Como la expresión dad a tiene bases iguales, los exponentes se sum an,esto es:
23 •22 = 2^2 = 25 = 32 • EJEMPLO
Simplificar las sigu ientes expresiones
Solución: í
i
í +i
l± l
5
a. 53-52 = 5*+2 = 5 6 = 56 b. 3-2 • 34 = 3"2+4 = 32 = 9 2)
Potencia de una potencia
Cuando se tiene potencia de u na poten cia los exponentes se multiplican, esto es: (am)H= (Tn • EJEMPLO
Simplificar la expres ión {23¥
Solución: (2*)2 = 2<3X2>= 26 = 64.
Hay un núm ero elevado a una poten cia y éste, a su vez, está elevado a otra po tencia, por b tanto los exponentes se mu ltiplicaron. ^^
16
Ca pítul o 2
Exponentes
• EJEMPLO
Simplificar las siguientes expresiones
I ■*.! 2 a. (73)3 -7 3 3 = 73 = 5 I T.l 2 b. ( 33)2 = f 2 = 32 c. (8-2)-1 = 8<-2X-1>= 82 = 64 3)
Potencia de un produ cto
Cuando una base es tá formada po r dos o más factores elevados a una misma potencia, cada uno de los factores se eleva a la potencia dada, esto es: {abc)H= a” bnc” • EJEMPLO
Simplificar la expres ión (3-2 )2
Solución: elevando cada factor a la potencia indicada se tiene: (3 • 2)2 = 32 • 22 =
9 • 4 = 36. • EJEMPLO
1
Simplificar las siguientes expresiones: a. ( 2 - 9 ) 2, b. (3 - 6) 2
Solución:
a. (2 • 9)* = 2^ •£ = 2! • ( 3 ^ = 2 ^- 3 b - ( 3
6)~2 = 3 ~2 6~ 2 = j T T f f = 3I 4
Nota: En el a partado 6) se explica el cambio de exponen tes negativos a positivos. 4)
Cocientes de potencias de la misma base
Cuando se dividen potenc ias que tienen igual base, los exponentes se restan. Hay tres casos que se esquematizan de la siguiente manera:
ar an
# EJEMPLO
am n
si
m>n
1
si
m =n
-an-m i — si
m
Simplificar cada una de las siguientes expresiones
Solución: como las bases son iguales, los exponentes se restan teniendo presente el
esquema anterior: a. -| j = 37-5 = 32= 9
45 £ _
& 65
1
_ 1 _ 1 62
36
5) Un número elevado a una potencia nula (cero)
Cualquier número elevado a una potencia n ula da uno, siempre que a # 0. Esto es: a° = l • EJEMPLO
Simplificar la expres ión (-57 )°
Solución: hay un número negativo elevado a una potencia nula, por lo que la respuesta
es 1. Esto es: (-57)° = 1
Secc 2.1 • EJEMPLO
Exponentes
17
Simplificar las siguientes expresiones
a. (52)° = 1 b. (125o)"3 = 125 (0)(_3) = 125° = 1
c. 45° = 1 d. ( -5 )° = 1 e. -(4)° = -1 f. (5100)0 = 5 <100><°> = 5 ° = 1 •g Í\5 T/ = (5)» = i 6) Un número elevado a una potencia nega tiva Cuando existe un núm ero elevado a un exponente negativo, éste da como resultado una fracción con el expo nente positivo. En forma gen eral se tiene que: a~n = i ; cf • EJEMPLO
con
a ¥= 0
Simplificar la expres ión 5 -2
Solución: se observa un número elevado a un exponente negativo y, de acuerdo con la regla anterior, sabemos que para quitar el signo negativo del exponente hay que escribirlo en fo rma de fracción, esto es: = ¿ = J52 25 • EJEMPLO
Simplificar las sigu ientes expresiones
3)2 _ 9 _ 1 3)3 -2 7 3 o b ien, utilizando la ley am • an = am+n>se tiene que: (- 3 )2 ( - 3 )-3 = (- 3 )2-3 = (- 3 )-1 = —-í—y = -i ;q u e nos da el mismo resultado. I ^ c. (4~2)" 3 = 4<-2X-3) = 46 = 4 096 d. (23 • 3-2)-1 = 2 ‘ 3 • 32 = i • 32 = ? 2~3 • 3~2 _ 34 = 32 = 9^ e# ? - 3 ~ * 22 • 23 • 32 25 32 Observación: hay otras alternativas para resolver estos ejercicios, pero indepen diente mente de la que se em plee el resultado e s el mismo.
7) Un núm ero eleva do a una potencia fraccionaria Si se tiene que am,H y — es un número racional donde m representa el exponente y n v a mydonde a > 0 si #i es un n úmero representa el índice deln radical, entonces cfnln = v»/— par, es to es: am" ' = < / ^ = (< ía T
18
Ca pítul o 2
Exponentes Exponentes
• EJEMPLO EJEMPLO
Utilizando las las leyes de los los expon entes simplifique 8 213 2
p ar a simp s implifi lificar car 83 hay d os alterna alte rnativ tivas: as: Solución: par Alte Al te rn a tiva ti va I 2
Primero se exp resa 83en forma d e radical, ''v/82, /82, luego se elev a el 8 al cuadr cu adr ado y el re sultado es 64. 64. Despu és se extrae la raíz cúbica de 64, es decir, se busca un núm ero q ue multiplic multiplicado ado tres veces po r sí mismo mismo dé 64. El núm ero que se obtiene es 4, por lo tanto: 8* = $ 1 ? = ^ 6 4 = 4 Alte Al te rn a tiva ti va II
Se utilizan utilizan las leyes de los expon entes, sin cambiar a radicales, de la siguiente forma: 83 = (23)5 = 23'5 = 22 = 4 En la solución solución de este pro blema se observa que el número 8 se se reescribió como 2 elevado al cubo. Asimismo, se pudo comprobar una vez más que al emplear procedi mientos diferentes (pero correctos) se llega al mismo resultado. • EJEMPLO EJEMPLO Simplificar Simplificar cada una de las siguientes expresiones utiliza ndo las leyes de los exponentes
L 42 = ^ 4 =2
o
4^ = (21^ = f ' I = 2
2 . 8 3 = 1J /8 /8 = 2
o
83 = (23) ^ = 2 ^ = 2
3. 81* = 1&'8Í = 9
o
81* = (92) í = 22'* = 9
4. 41= (V 4 f = 9
o
42 = (22)5 (22)5 = 23 =
5. 9 -1 * = 1- ^ = J- _^ == !i 9¡ ^ 3
oo
=± = i 99--*l = iA == ± 9* ( y ? 32'5 3
o
(25f = 25'* = Z2= 4 32* 32* = (25
6. (55)3 = 5r 3 = 5l = 5 7. ( 4 V 2 = 4 “ ^ = 4 “ 1 = ^
8. (322) (322)^ = 32* 32* = \/ ( 3 2 ) 2 = [Í/32.)1 = (2)2 (2) 2 = 5
Observación: cuando la raíz es cuadrada no hay necesidad de escribir el índice en el
símbolo del radical. Nota: Not a: para simplifi simplificar car números que compre ndan expone ntes se utilizan utilizan las las leyes antes mencionadas. mencionadas. En ocasiones se pod rá u tilizar más de u na ley, ley, depend iendo d e lo qu e se quie ra simplificar. simplificar. # EJEMPLO EJEMPLOSS a. (-3 )2 ( —3)3 = ( —3) 2+3 = ( - 3 )5 = -243 b. (22)1 = 24 = 16
c. (3 • 2 • l) 2 = 32 • 22 • l 2 = 9 • 4 • 1 = 36 d.
= 84~2 84~2 = 82 = 64
(S-32 (S- 32)2 )2 *• 9
52-34 52 -34 53
34 _ 3^ S3" S3" 2 5
81 5
Secc. 2.2
2.2
Suma, resta, resta, multiplicación y división de números reales reales
19
Suma , resta, resta, mu ltiplica ltiplica ción y división de números reales
Suma y resta • EJEMPLO EJEMPLOSS simplificar
Efectuar las siguientes operaciones con números reales y
a. 22 + 33 = 4 + 9 = 13 h
9-3
i
1
i
1
8_
i
1 " 8
~8
" 7
T
c. (-5 )° +5° = 1 + 1 = 2 d . 3o 3o - ( -3 -3 )° )° = 1 - 1 = 0 e. 4^ - 9* = 2 - 3 = -1 f. 273 + 162 = 3 + 4 = 7
Observe que para realizar estas operaciones prim ero se simplific simplificaa cada una d e las expresiones expresiones y, y, después, se efectúa la operación indicada. indicada. Recuerde que dichas ope racio nes no se pued en realizar realizar directamente si no no se tienen términos semejantes. semejantes. Multiplicación • EJEMPLO EJEMPLOSS
Resolver las siguientes multiplicaciones multiplicaciones con núme ros reales reales
a. 22 • 34 = 4 • 81 = 324 32 4 b .
32 • 33 = 32+3
=
35 = 243
c. ( 2 T - 2 - 2 = l - 1 - J = \ d- 4 ' ' 5 ' = 4 5 = 20 11 1.1 1.1 2+ 2+2 5 e. 22 • 23 = 22 3 = 2 6 = 2 6 1
1
f. 83-273 83-273 =
Observación: a diferencia del ejemplo e, en el f existen dos alternativas ya que se tienen bases diferentes con el mismo exponente. A continuación se presentan ambas posibilid posi bilidade ades. s. Alte Al te rn a tiva ti va I
De acuerdo con la teoría antes m encionada (ley (ley 7), tenemos tenemos que: 83 = 2 y 273 = 3, de donde se concluye que: 83 • 273 = (23)3 • (33)3 = 2*3 = 6 Alte Al te rn a tiva ti va II
La ley 3 indica indica que si se tienen los mismos mismos exponentes puede escribirse escribirse la expresión expresión como el producto d e sus bases elevadas al mismo exponente, entonces: 83 • 273 = (8 • 27)3 = (216)3 (2 16)3 = (63 (6 3) 3 = 6 Se concluye que el resultado debe ser el mismo al utilizar cualquiera de los dos métodos propuestos.
20
Ca pítul o 2
Exponentes Exponentes
2.3
Expone ntes y radicale rad icaless con expresiones algebraicas
Las Las leyes de los exponen tes también s on válidas válidas para expresiones algebraicas algebraicas.. 2.3. 2.3.1 1
Expone ntes pos itivos itivos
Para simplifica simplificarr una expresión que contiene expon entes positivos se efectúan tod as las operaciones posibles utilizando utilizando las leyes de los expo nentes (9.1). (9.1). El resultado también se reduce a su mínima expresión. • EJEMPLO EJEMPLO
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar
3x2 • 3x Solución: si se aplica la ley de los exponentes que indica que cuando se tienen bases iguales se suman los exponentes (am • an = am+n), primero el coeficiente numérico y luego luego la variable, se tien e que:
3x* 3x* - 3x = 32-x 32- x 3 = 9x3 9x 3 • EJEMPLO EJEMPLO
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar
(2 y 3)2 ley que dice dice que cu ando existen productos a una Solución:en este prob lema se aplica la ley misma misma potencia cada uno de los factores se eleva a la potencia dada. El resultado de la expresión es: 4y 6 (2y3)2 = (2)2{y3)2 = 4y6 • EJEMPLO EJEMPLO
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar
3x* 3x* + 3 ( x f
ley de los exponentes que señala que cua ndo se tiene Solución: en este caso se aplica la ley poten po ten cia de una un a p oten ot encia cia los exp e xp on en tes te s se multipl mu ltiplican ican.. El E l re sulta su ltado do es: 3x2 3x 2 + 3(x)2 = 3xL+ 3xL= 6x2 .x )2 = x2. Si comp aramo s este factor con Zx2 Zx2 veremos que son términos observamos que ( x semejantes y, y, po r lo tanto, se puede efectuar la sum a indicada. • EJEMPLO EJEMPLO
Efectuar las siguientes operacione s y simplificar
e * ? 2) 3 8x2y6 Solución: lo primero que tenemos que hacer es aplicar la ley de los exponentes que indica indica que cuand o se tienen productos a una misma potencia cada uno de los núm eros se eleva a la potencia potencia dada. Al emplear en el num erador dicha ley queda que: (2xy2)3 = 23x 3y 6 = S x 3y 6;después se acom oda la expresión resultante en e l num erado r y se sim sim plifica plific a co n el deno de no m inad in ador or,, a plica pli cand ndoo la ley 4 (cu ando an do se divide div ide n poten po ten cia s de igual base los ex po ne ntes nt es se rest re stan an ), da nd o así cu alq uier ui eraa de los tres tr es caso c asoss ya y a m enc ionad ion ados. os. Siguiendo todos los pasos se obtiene:
üxy° • EJEMPLO EJEMPLO
6x^y°
Efectuar las siguientes operacione s y simplificar
Solución: a diferencia del ejemplo anterior, en este caso toda la expresión está elevada
a la misma misma potencia, de m anera que podem os opta r entre d os caminos. caminos.
Secc. 2.3
Exponentes y radicales con expresiones algebraica s
21
Alte rn a tiva I
Se simplifica primero la parte que está dentro del paréntesis (cuando se dividen po tencias de igual base los exponen tes se restan), luego se eleva a la potenc ia establecida (cuando hay una base form ada po r dos o más factores que se encuen tran elevados a una misma poten cia,cada uno d e los factores se eleva a la potencia dada). El resultado es: 3a W 4a 3b 2)
I 3 b \ 3 \ 4a )
ZV 4 3a3
21b 3 64 a3
Alte rn a tiva II
Aquí se invierte el procedimiento: primero se eleva a la potencia establecida (cuando hay una base formad a por dos o más factores que se encu entran elevados a una misma po ten cia, cad a uno de los factores se eleva a la potencia da da ) y luego se simplifica la expresión resultante (cuando se dividen potencias de igual base los expon entes se res tan). Como conclusión, el resultado tiene q ue se r el mismo, esto es: í 3 a2b3\3 \ 4 a3b2)
3 3a V _ 4 3a9b 6
21 a V _ 64 a9b6
21b3 64 a 3
Se observa que el resultado es el mismo con cualquiera de las dos alternativas, aun que generalm ente es preferible simplificar primero. • EJEMPLO
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar
(lw y 2z3)2 (3 w2y z 2)3 Solución: en este caso num erado r y denom inador están elevados a potencias distintas,
por lo qu e se re comienda aplicar p rim ero la ley de los exponentes donde se tiene (abc)n = anbncn. En segundo lugar hay que simplificar utilizando la ley de los expon entes qu e se refiere a cocientes de potencias d e la misma base, de a quí que: (l w y 2z 3) 2 l 2w2y Az 6 49 y (3 w2y z 2)3 “ 3 V y V “ 21 w 4 2 . 3. 2
E x p o n e n t e s n e g a t i vo s
Para simplificar expresiones con exponen tes negativos se puede convertir cualquier ex presión d e dichos e xpon en tes en otra equivale nte en la cu al todo s los expon en tes sean positivos. Luego se simplifica tal como se hace cuando se tie ne n ex po nentes positivos. Regla: cualquier factor del num erado r de una fracción se puede pa sar al deno mina dor si se cambia el signo del expo nente del factor. De igual forma, cualquier factor del de nominador se puede pa sar al num erador si se cambia el signo del expon ente d el factor. Como se record ará, a~n = i - , según la ley 6 de los exponentes. • EJEMPLOS Simplificar las siguie ntes expresiones utilizando las leyes de los exponentes, sin dejar exponentes nega tivos en el resultado
2a 2bc 3 2b x4 b. ---- “ TI = —7TT ---
22
Ca pítul o 2
Exponentes
Solución: par a simplificar expresiones en las que aparecen números co n ex ponentes n e
gativos tanto en el num erador como e n el denom inador, algunos de ellos con la misma base, p rim ero se convierten los factores con exponente neg ativo a factores con expo nente positivo, esto es: 6x3y~ 2z ~ 1 _ 6 •3 x 3y3 3~l:xy~3z xy2zz
Ya que se tiene esta expres ión se efectúan las operaciones indicadas, resultando: 6-3 x 3y 3
x y h z
1Sx2y
z2
• EJEMPLO Simplificar la siguiente expresión sin de jar expone ntes negativos en la respuesta
(3 a~2b2\~ 2 U 3b
alternativas. Alte rn a tiva I
Piense en la ley de los exponentes que se refiere a potencias de producto donde cada uno de los números se eleva a la potencia dada. R ecuerde, además, que cuando se multi plican núm ero s que tiene n signos iguales el signo d el núm ero resultan te es positivo (+), y cuando se multiplican núm eros con signos diferentes el signo del núm ero resultante es negativo ( - ) . Así se obtiene: (3a~2b2\ - 2 = 3 ~2a4b~ A \ a 3bc3 ) a~6b~2c~6 El siguiente paso es convertir la expresión resultante en o tra equivalente p ero con b s exponentes positivos, esto es: 3-V ¿ > " 4
a W c6
a~6b~2c ~6
3 2b A
Para finalizar se simplifica la expresión efectuando las operaciones indicadas y uti lizando tanto la ley 4 par a cocientes de potencias de igual base como la ley 1 para p ro ductos de potencias de igual base. De todo lo anterio r se tiene: a4a6b2c6 _ al0c6 9 b2 3 2b A Alte rn a tiva II
Esta opción no s lleva, primero, a simplificar lo que está de ntro del paréntesis, dejando b s exponentes positivos. L uego se efectú an las op eraciones necesarias:
Enseguida se aplica la ley 3 de los exponentes hasta lograr:
f 3b \~2 \a 5c3)
3~2b~2 " a~l0c~6
po r último, la expresión resultante se convierte en otra equivalente con ex po ne ntes positivos, est o es:
3~2b~2 _ a\oc6 _ a\oc6 a-10c-6 32b2 9b2
Nótese qu e la solución es la m isma que se o btuvo con la alternativa I.
Secc. 2.3
• EJEMPLO
Exponentes y radicales con expresiones algebraica s
23
Simplificar la siguiente expresión
x ~2— 9 y~2 X '1 + 3y~ l Solución: en contraste co n los ejemplos anteriores, aquí tenemos operaciones de suma
y resta de términos. Eso significa que no se puede h acer ninguna cancelación ni es posi ble ca mbiar al n um erad or o de nominador, seg ún sea el caso. Se com ienza convirtiendo aquellos términos que presenten exponentes negativos a términos con exponentes po sitivos, es decir, se form a u na fracción compleja: I _ 2.
X ~ 2 — 9 y ~ 2 _ *2
x~ l + 3 y~ l
__ _
^2
1 3 x
y
Ahora se procede a simplificar la fracción compleja: _1_
y 2 —9x?
9^
x2 ~ y 2 _
1 3 x
x2y 2
_ ( y 2 - 9 x2) ( x y ) _ ( y + 3 y )( y - 3 x )( x y) _ y - 3x y +3* “ (x 2y 2)(y + 3x) “ (x 2y 2)(y + 3x) ~ xy xy
“ y
Reglas 1. Si una fracción está formada po r términos con varios factores tanto en el num era dor como en el denominad or, y si algún(os) factor(es) tiene(n) expo nentes neg ati vos, par a hacerlos positivos hay que pasarlos al num erador o denom inador, según convenga, y camb iar el signo del expon ente de l factor tal como se describe a conti nuación: • E JE MP L O
3 x~ 2y 3 2x~ly~2 Solución:
3x~2y 3 _ 3 xy2y 3 _ 3¿_ 2x~ly~2~
2x2 ~ 2x
2. Si una fracción está formada p or más de un término con varios factores tanto en el num erador como en el denominad or, la manera de h acer positivos los exponen tes es generando un a fracción compleja como se describe a continuación: • EJEMPLO
x~ l + 3y~l x~ 2 + 9y~ 2 Solución: i + -
x __ y _
x~l +3y~l _
x~ 2 + 9y~ 2
1 _ £ X2 y 2 =
y + 3x xy
y2 - 9 x 2 x2y 2
( x2y2)(y + 3y) ( x y ) (y 2 - 9x2)
( x 2y 2)( y +3-t) _ (xy) (xy)(y - 3 x ) (y + 3x ) (y - 3 x)
Nota: Observe que en este caso es imposible m over al numerador o al denominador po rque los términos o factores con expon en tes negativos están inv olucrados en oper a ciones de suma y resta.
24
Ca pítul o 2
Exponentes
2.4
Simplificación de expresiones que resultan de las derivadas ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------i' • • Estas expresiones son las que se obtienen al derivar una función. A continuación se explicará la forma en que deb en ser simplificadas dichas expresiones. 2.4.1
Expone ntes pos itivos
• EJEMPLO
Simplificar la expres ión 3x(2)(x - 2) + (x - 2)2(3)
Solución: esta expresión se simplifica a través de factorización (factor común), de la
siguiente manera: 3 * ( 2)( * - 2 ) + (x - 2)2(3) = 3(* - 2){2(x) + (x - 2) ]
Se efectúan las operaciones indicadas y se reducen los términos semejantes, esto es: 3(* - 2)[2(*) + (* - 2)] = 3 (* - 2)(2* + * - 2) = 3(* - 2)(3x - 2) La expres ión simplificada es: 3(x - 2)(3x - 2). • EJEMPLO
Simplificar (2x - 1)*(4)(3x + 2^(3 ) + (3x + 2)*(3)(2x - 1)2(2)
Solución: factorizando como en el ejemplo anterior, tenemos que:
(2x - 1)3(4)(3* + 2)3(3) + (3* + 2)4(3)(2* - 1)2(2)
= 6(2* —1)2(3* + 2)3[2(2* - 1) + (3* + 2)] Se efectúan las operacion es indicadas entre corchetes h asta ob tene r la expresión: = 6 (2* - 1)2(3* + 2)3(4* - 2 + 3* + 2) Se suma n los términos semejantes: = 6(2* - l ) 2(3x + 2)3 (7*) La expresión simplificada es: = 42*(2* -1)2(3* + 2)3 • EJEMPLO
Simplificar la expresión
(a + 1)5(4 )(a2 + 5)3(2 a) - ( a2 + 5)4(5)(a + 1)4(1) [(<* + 1)5]2 Solución:
(a + l ) 5(4) (a2 + 5)3(2 a) - (a2 + 5)4(5 )(a + 1)4(1) [(a + 1)5]2 (a + l) 4(a2 + 5)3[8fl(fl + 1) - 5 (a2 + 5)] (a + l ) 10 (a + l ) 4(a2 + 5)3[8a2 + 8a - 5a2 - 25] (a + l ) 10
_ (a + 1)V
+ 5)3[3fl2 + 8a - 25] (a + l ) 10
(a2 + 5)3(3a2 + 8a - 25) (a + l)6
La expresión simplificada es: (a + l) 5(4)(a2 + 5)3(2a) - (a2 + 5)4(5 )(a + 1)4(1) [(fl + I)*]’ _ (a 2 + 5 ) 3(3a 2 + 8a - 25)
(a + l)6
Secc 2.4 Simplifica ción de expresiones que resultan de las derivadas 2.4.2
25
Exponentes nega tivos
• EJEMPLO Simplificar y obte ner el resultado sin expone ntes nega tivos o cero, de la siguiente expresión
a2( -2 ) (3a - 5)-3(3) + (3 a - S ) ~ \2 á ) Solución: para resolver este tipo de exp resiones hay d os alternativas. Alte rn a tiva I
Convertir la expresión en un a fracción equivalente en la que los expone ntes sean posi tivos, esto es: a2(-2 )(3 a - 5)~3(3) + (3a - 5)-2(2a) = (3~ ^ )2 +
La expresión resultante se resuelve obteniendo el común denominador, que es (3a - 5)3,y efectuando las operaciones. De ello queda: -6 a 2 (3fl - 5)3
2a _ -f a 2 + 2a(3a - 5) (3a - 5 )3 (3a - 5)2
Se efectúan las operaciones indicadas y se tiene: -6a2 + 6a2 - 10a -10a (3a - 5)* “ (3a - 5)3
Ésta es la expresión simplificada. Alte rn a tiva II
Primero se obtiene el factor común,que es 2a(3a - 5)~3. La factorización qued a: 2a(3a - 5)"3[- 3 a + 3 a - 5 ]
Se reducen los términos semejantes y se tiene: 2a(3a - 5 )-3 ( —5)
la cual es equivalente a: (3~ ^ ) 3Concluimos que las respuestas logradas con las dos alternativas son iguales. + EJEMPLO Simplificar la expresión sin de ja ren la respuesta expone ntes negativos o nulos
f(3* - 1)(1) - {x N f - 2)(3)1 2( X ~ 2 Y _ _ 1 > - 1 j _ 1 _ _ _ _
Solución: para simplificar este tipo de expresione s se realizan las opera ciones indicadas 1 dentro de los corchetes, esto es: . J J U I 2.yT(3* - 1)(1) - (X - 2)(3)1 _ J x - 2 \-3f-3* - l - 3* + 61 [ ( 3 T f j " \ 3 x - l ) [ (33c - 1)* . En la expresión resultante hay un factor, el cual es una fracción elevada a un ex po nente, por lo que se separa en dos y cada parte es afectada po r el exponente co rrespon diente; después se reducen los térm inos semejantes, esto es: r
\ 3 x - l - 3 x + 6] _ [ (3* - l)2
? H 1 e s
v * - y
.(x-2)->
“(3* - 1) -3íL(3* 5"
1
1)2J
26
Ca pítul o 2
Exponentes
Luego se simplifican las expresiones, sin olvidar que no deb en qued ar expon entes ne gativos, esto es: c f T
1 Ñ 1 l
rM
(3* - l )"3
5 1
1
k N i
1
-10 (*2- 2) 3(3* —1)_1
-10(3* - 1) (*2—2)3
2.4.3 Expo nente s fracc ionarios • EJEMPLO
Simplificar la expresión
(2 x - 3)’(|)(3x + 2)-5(3) + (3* + 2 f { ^ j ( 2 x - 3)“2(2) Solución: prim ero se efectúan las operaciones solicitadas:
(2x - 3)2(| )(3x + 2) 3(3) + (3x + 2 )s ( | ) (2 x - 3 )2 (2 )
= (2 x - 3)5(|)(3* + 2)'3 + (3x + 2)s(|)(2x - 3)"5 Esto es equivalente a: (2* - 3)2(3* + 2)"3 + (3* + 2)3(2* - 3 )"2 Para simplificar la expresión resultante hay dos alternativas. Alte rn a ti va I
Se reescribe la expresión resultante con exponentes positivos, esto es: (2* -3 )2 | (3* + 2)3 (3* + 2)5
(2* + 3)^
Simplificamos la expresión obteniendo el mínimo común denominad or: (2* - 3)2(2* - 3)2 + (3* + 2)3(3* + 2)3 (3* + 2)3(2* - 3)2 A ct ua m os las operaciones hasta llegar a: 2 * - 3 + 3* + 2 _ (3* + 2)3(2* - 3)2
5* - 1 (3* + 2)1(2* - 3)2
Alte rn a tiva II
Se obtiene e l factor común: (2* - 3)^(3* + 2)"3 + (3* + 2)5(2* - 3)~* = (3* + 2)"5(2* - 3)~*[2* - 3 + 3* + 2] Se efectúan las operaciones del corchete sin olvidar que no deben queda r exponen tes negativos. Así, se tiene que: (3* + 2)'i(2* - 3)^[2* - 3 + 3* + 2] ----------- — ------- f ( 3 * + 2)3(2* - 3 ) 2 Nótese que la ex presión simplificada es la mism a con cualquiera de las do s alternativas.
Ejercicios EJEMPLO
27
Simplificar
l í a 2 Z- 3 l P f (3a ~ 5)(2g) - (a2 -3 )( 3 )1 (3a - 5)J J 3V3a - 5 / l Solución: se efectúan las operaciones indicadas dentro del corchete, queda ndo:
1 /V - 3 3 \3 a - 5
5r (3a - 5)(2a) - (a2 - 3)(3)~ (3^=1? .
3f6a2 - 10a - 3 a2 + 91 (3 a- 5 )2 3V3a - 5 / 3a2 - 10a + 91 (3a - 5)1
_ 1 ( ^ - 3 3 \3 a - 5
En la expresión resultante hay un factor, el cual es una fracción elevada a un exp o nente, por lo que se separa en dos y cada parte es afectada po r el exponente co rrespon diente. Después se red ucen los términos semejantes, esto es: 3H \3— a - 5 /V
B-
3o2 - 10a + 9]
1 (a2 - 3)
3a2 - 10a + 91 (3a-5)2
( 3 a " 5)2 J - ( 3 a - 5 ) Debido a que no se deben de jar exponentes negativos en la respuesta, par a simpli ficar al máximo ha y que: 1 (a2 ~ 3) 3 (3a - 5)
3a2 - 10a + 9 3a 2- 1 0 a + 9 (3a - 5)J ] 3Í02 - 3)5(3a - 5)3
Ejercicios 2.1 Simplifique cada expresión, realizando las operaciones indicadas y escriba la respuesta sin dejar exponentes negativos o nulos. L 2*23 2.
—
23 • 22
3. 3a3 -o4 4. ¿ ( - x ) 3 5. 2(x + yY (x + y)4
.
6
(2x2)(3xf)
7. -2*x2 (~ 32xy3)
11 7 j *
3;c2 18‘ " F -* y
_ 9a2*5 ^ 36?^
. 26a3¿?
21 Zl- -39&V
8. (3P? 9. (o2)4
10. (3X2)4
2Z
(?J
tL (2V)2
1Z (3x2y3)2 13. 3ab2( 2&y 14. 38
16.
C-2)3
26
« ( a v >‘ 24 ( ¿ m (10a2íic2)4 26. (-4 )° „ 7o 27. g
28
Ca pítul o 2
Exponentes
28. 3°r
5L x* x*
29. (3 -5 0)5
52.
30. 2x°(x — 2)
53. 27*-2
32. 3"3
54. 4* -5
32. 2"2• 2-3
55. —3** •3x*
3-2 33. 3Tt 35. (2~2y 35. (52) “2
4
I
V
56. x • 57. (jr2)* 58. (x*y 59. [(x3/ ) ^ ) 4]^
36.
(fïj
60. ( jc2/ ) ^ 5)*
6L jc2 ( ^ - 2 )
» (g )"
62.
38. ( j c b ^ ' V / ) 2
63. (jc^-3 )2
a' 26"1 39- 7TW* 5 - W 4#- l ü W 1 2"1+ 1"1 4L 2“1—I“1 j r V 2 jH + j t 1 x - y + j f y - i 43. j.-i 4- y~ T 1+ 42.
44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
5(jc + 3)4(jc - I)3+ (x + 3)5(3)(* - l)2 (4.r - 1)6(3) ( jc - 3)2 + (6)(4jc - l)5(4)(jc - 3)3 3(4* + 1)2( 4 )(5 jc - 3)- 4 + ( 4a: + 1)3( - 4 )(5* - 3)" 5(5) (—6)(3jc + 5)"7(3)(Zr + 7)4 + (3x + 5 )" 6(4)(2r + 7)3(2) 3* -3^ -3° 22-2* 4-2*
jcM
+ 4)
64. (3x U > ¿ ) ( 3 j¿ - y* ) S
65.
66.
I
xly Ï
*T + y1 -T
67. (16*V2)*
(&cV)f
.
68
(2*2/ ) 1 (4c4/)*
69. (4* + 1) 2 p x + 3 p (5) + (5* + 3y(4)
(4.T2+ 9)*(2) - (2x + 3)^j(4*2 + 9>" ' <**> 70.
[(4x2+9)*]2
.
3
.............
RADICALES
3.1 Radicales 3.1
Radicales
3.2
Simplifica ción de radicales
3.3
Suma y resta con radicales
3.4
Multiplicac ión y división con radicales
3.5
Rac ionalización de radicales
Definició n: La raíz w-ésima de un núm ero r eal a se deno ta con el símbolo V a , al cual se le llama radical. La raíz n-ésima d e a es un número cuya potencia n-ésima es a. Esto es: a) = a,
bajo las siguientes condiciones: 1. Cuando n es par y a > 0, V a > 0, llamada raíz principal; cuando n es par y no es un núm ero real. 2. Cuando n es imp ar y a > 0 , V a > 0; cuando n es imp ar y a < 0, V a < 0. El número natural n ,presente en el radical V a yse llama índice u orde n d el radical, en tanto qu e a se denom ina radicando o subradical. Cuando no se escribe ningún índice, como en V a, significa que el índice es 2 y se lee “raíz cuad rada d e a ”. Leyes de los radicales
Si a, b G R , a > 0 , ¿ > 0 y « G J V , entonces:
a. \y a ) = a b. V ^ b = V ¿ - V b
cÆ=Jf;65é° d. W ^ = W ^ = n'< ^ e. V a = ' í ^ s i f l ^ 0 cu an do c e s p ar Operaciones que se pue den efectuar con los radicales
1. Simplificación 2. Suma y resta 3. Multiplicación 4. División 5. Racionalización
3.2
S implificac ión de radicales
Simplificar un radical significa expresarlo en su forma más simple. Se dice que una ex pre sión rad ical está simplificada si los expo ne ntes de los factores del radicando son menores que el índice del radical y no existen fracciones dentro del radical. 29
30
Ca pítul o 3
Radicales
• EJEMPLO
Simplificar la expresión
Solución: observamos que el radicando tiene un núm ero elevado a una potencia mayo r
(7) que el índice del radical (3), por lo que escribimos la x 7 com o x6 • x y aplicamos la ley de los radicales V a H = v a •'V b ,esto es: tiene una raíz exacta, que es -x2,
En la expresión resultante uno de los factores no así v x , quedando: x2 - ^
El radical simplificado es: - x 2• V x • EJEMPLO
Simplificar la expresión
V8x3y2z5 Solución:
V 8 x 3y2z5 = V 4 x2y 2Z*’2xz = 2 xy z2V 2 x z
Se dejaro n prim ero los factores que tienen raíz exacta y, a un lado, los factores que no la tienen. Después se proced ió a sac ar del radical los factores que tienen raíz exacta, de esta forma el radical aparece completam ente simplificado. La respuesta que da así: V 8 x3y2z5 = 2xyz2 V 2 x z • EJEMPLO
Simplificar
Solución: en este caso el índice del radical y los exponentes de todos los factores del
radicando poseen un factor común, entonces el radical se expresa como radical de rad i cal, esto es: N W y 0= W
26^ 10
Para simplificar la expresión resultante se inicia con el radical que se encuentra más adentro, dando así: vv2vy° = V 2W Ahora se simplifica la expresión que se ha obtenido, esto es: V 2 3x 2y5 = V 2 2x 2y 4-2y = 2xy2 V 2 ~y • EJEMPLO
Radical simplificado.
Simplificar
3/27 v í5 Solución: según las leyes de los radicales donde
fá ~
,/27 _^27 y/« Se simplifica cada u no d e los radicales, esto es: 27"
El rad ical simplificado es:
3
'fyy
-J ,
3
V ~a
0, se tiene que:
Secc. 3.4
3.3
Multiplica ción y división con radicales
31
Sum a y resta con radicales
------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------- • • Para efectu ar la suma y resta con radicales existe como condición q ue se tenga el mismo áidice y el mismo subradical. índice del radical
•
EJEMPLO
V
— a
*—subradical
Efectuar las siguientes operaciones con radicales de
V2 + V 8-V3 2 Solución: recuerde que
par a sumar y restar con radicales debe ten er el mismo índice y el mismo subradical. En este caso, ninguno de los tres radicales cumple con esa condición, pero es posible descomp oner cada uno de ellos en fact ores que tengan raíz exacta, esto es: V 2 + V 8 -V 3 2 = V 2 + V Í 2 - V 1 6 - 2 Aplicando la ley de los radicales donde V a - b = V a •V b , se tiene que: V 2 + V * 2 - V W
l = V 2 + V 4 • V 2 - V Í 6 • V 2
= V 2 + 2V2 - 4V^ = -V2 •
EJEMPLO Efectuar las siguientes operaciones con radicales y simplificar a su mínima expresión
x V í i l y 3 + yV 7 5 x2y - V 4 8 x¿y 3 Solución:
x V Ü l y 3 + y V 7 5 ^ y - V ^ f = aV3 • l 2y2y + yV3 • 5 2x 2y - V 24 • 3x2y2y = 7 x y V 3 y + 5 x y V 3 y - 4xyV 3y
por la propied ad distributiva
= (7 xy + 5 xy - 4x y) V3y = 8xyV3 y
El radical simplificado es: SxyV3y •
EJEMPLO Efectuar las siguie ntes operaciones con radicales y simplificar a su mínima expresión
+ a < / Í 6 a W - b V c í V Solución:
V9 á W + a V í t á b * - b i ^ b 3 = V3 W
• ab + a V V 2 W - b W t f b 3
= 3a b V r i +
a V ñ i P - b V tfb
= 3abVab + a V 2 2b2-ab - b V a 2-ab = 3a b V a b +
2abVab - abVab
= AabVab
3.4
Mu l t i p l ic a c i ó n y d i v i s i ó n c o n r a d ic a l e s ________
Para efec tuar el producto o división con radicales, la condición es qu e se teng a el mismo iidice. Nota 1: Para multiplicar o dividir con dos radicales de índices diferentes, primero es necesario expresarlos como radicales con el mismo índice. El índice de los nuevos radi cales deb e ser el mínimo comú n mú ltiplo de los índices de los radicales originales. La ley 5 se utiliza en esta o peración de la siguiente manera: V a = a" = a” 7 = a™ = V a * ;considerando que a > 0 cuando ces par
32
Ca pítul o 3
Radicales
• EJEMPLO
Efectuar el sigu iente producto
V 2 •V 8 Solución: los radicales tienen el mismo índice ,por lo que se efectúa la multiplicación de
tos subradicales. Es to es: V2 -V8 = Vl6 = 4 No ta 2: en algunas ocasiones es conveniente efectu ar primero el prod ucto y, en o tros ca sos, es mejor simplificar cada uno d e los radicales y posteriorm ente e fectua r el producto. • EJEMPLO
Efectuar el siguiente produc to
V 54 ■V 24 Solución: hay dos alternativas para res olver este producto: Alte rn a tiva I
Efectu amos la m ultiplicación de los radicales y luego simplificamos el radical: V54 • V24 = VÍ296 = V(3 6p = 36 Alte rn a tiva II
Simplificamos cada radical y luego efe ctuam os la multiplicación: V 54 • V 24 = • EJEMPLO
• V í ó = 3V 6 • 2V 6 = 6V36 = (6)(6) = 36
Efectuar el sig uiente produc to
Solución:
• EJEMPLO
Efectuar el siguiente produc to
Solución:
^ 4 . ^ = ^ 42 . ^ = • EJEMPLO
=^48
Efectuar el siguiente produc to
(3V*-2)(V*) Solución: se observa que las expresiones a multiplicar son un binomio y un m onomio,
por lo q ue se utiliza la pro pied ad distrib utiva, esto es: { í V x - 2 )( V x ) = 3 V x ■ V x - 2V* = 3* - TSÍx • EJEMPLO
Efectuar la siguiente multiplica ción
(2V I + 3'V y )( 2 V x - 3 V y ) Solución: se obtiene el producto de los dos b inomios y, par a efec tuar las operaciones, se
elige entre dos alternativas: Alte rn a tiva I
Se utiliza la prop ieda d distributiva, esto es: ( 2 V x + W y ) { 2 V x - 3 V j ) = 2 V x • 2V i + 2 V x [ - W y ) + 3 V y • 2 V x + 3 v 7 ( - 3 \ / y )
= 4* - 6 Vxy + 6 V x y - 9y = 4x - 9y
Secc. 3.5
Racionalizac ión de radicales
33
Alte Al te rn a tiva ti va II
Si se recu erdan los productos notables se observará q ue en este caso hay binomios con jugados. jugad os. Al aplic ap licar ar la l a reg r egla la de d e esto e sto s prod pr oduc ucto toss que q ue da : (2 V x f - { W y f = 4* - 9 y ( i V x + 3 V y ) ( 2 X ^ - 3 V y ) = (2 4* Las dos alternativas conducen a la misma respuesta. Nota: Not a: Se recomiend a preferir la alternativa II, pu es se utiliza uti lizará rá más má s adela ad ela nte nt e pa ra ra cionalizar. • EJEMPLO EJEMPLO
Efectuar la sigu iente división V 8
V2 Solución: tos radicales tienen el mismo índice por lo que se efectúa la división de los subradicales, esto es: ^ -= V2 • EJEM EJEMPLO PLO
f l = V 4 = 2 '2
Efectuarla siguiente división división y simplificar simplificar V2 7 V4 8
Solución: V2 7
V9 -3
3 V3
3
V4 8
V ló ^
4 V3
4
O bien, se puede resolver así: así: • EJEMPLO EJEMPLO
V 27 _
V48
[
9
T
V16-3
_ / i r = j?
Vl6
4
Efectuar
($5?)+('fónF) Solución:
= ,f J F = 3/ Z = £ * 27
3.5
3
Ra ciona lizac lizac ión de radicales radicales
•• Hay expresiones racionales con radicales que, en ciertos casos, casos, son m ás fáciles fáciles de trab a ja r si se elim ina el ra dic al del de l nu m erad er ad or o d el den d en om inad in ad or. or . Este Est e proc pr oc ed im ient ie ntoo reci r ecibe be el nombre de racionalización del numerador o del denominador, respectivamente. El proces pro cesoo pu ed e llevarse llevar se a cabo cab o utiliza uti lizand ndoo el princ p rincipio ipio de que qu e cu alqu al qu ier ie r núme nú me ro mu ltipli ltip li cado po r 1 no se altera, este este 1 puede es tar represe ntado por todas aquellas fracciones fracciones en que resulte el 1. # EJEMPLO EJEMPLO
Racionalizar Racionalizar el den om ina dor de la la expresión
V2 V5 Solución: lo que se preten de es eliminar el radical del denominador, po r lo que se va a multipl multiplica icarr tanto tanto el denominador como como el numerador por V 5 (se (se eligi eligióó V 5 porque al
34
Ca pítul o 3
Radic Radicales ales
multiplica multiplicarlo rlo por el deno min ador obtene mo s la raíz raíz cuad rada de un cuad rado perfecto). Esto es: V 2 V J V io V io V j ' VJ V2 5 5 La expresión racionalizada queda como: • EJEM EJEMPLO PLO
Ra cionalizare! cionalizare! deno mina dor de la expresión
1 pa ra elim eli m inar ina r e l ra dical dic al del de l den d en om inad in ador or y ob tene te ne r un cub o perfe pe rfecto cto,, la ex Solución: para pre sión sió n se de be multip mu ltiplic licar ar tan t an to en el nu m erad er ad or como com o en el deno de no m inad in ad or p o r V~4x, esto es:
1
V 4*
V4t
-fax
^4x V&? 2x Observación: para racionalizar el denominador (numerador) de una fracción con más de un término en el denom inador (nu merador), se multipli multiplica ca tanto el nume rador como el denominador por el conjugado del denominador (numerador). V 2 ?
• EJEMPLO EJEMPLO Ra cionalizar
2 3+ v j Solución: multi multiplicamo plicamoss el numerador y el denominador denominador por el conjugado conjugado de 3 + V J que que es es 3 - V J, dando: 2
3 -V J
2 ( 3 -V -V J )
3+ V 5 3 -V 5
9 -V -V 2 5
Simplificando se tiene: 2(3 2(3 - V J ) _ 2(3 - V s ) 9 - V25 • EJEM EJEMPLO
2(3 - V J ) _ (3 - v J )
9 -5
4
2
Racionalizar Racionalizar el nume rador de
Vx +2 x - 4 Solución: se puede resolver este problema de dos maneras. Alte Al te rn a tiva ti va I
Se racionaliza racionaliza la expresión multiplicando multiplicando el numerad or y el denomin ador po r el conju gado de V x + 2, que es V x - 2, dando : V i+ 2
x - 4
V I -2 -2 _ Vx - 2
(V x)-(2)2
(x - 4) ( V x - 2)
Efectuando las operaciones y simplificando queda: ( V t f - (2 ) 2
(x - 4) ( V Í - 2) 2)
x - 4 ( x - 4 ) ( V i - 2) 2)
_
1 ( V x -2 -2 )
Alte Al te rn a ti va II
Otra manera d e resolver este este problema es reescribir reescribir el denominador como u na diferen cia cia de cuadrados. Observamos q ue x y 4 son el cuadrado de V x y 2, respectivamente, y
Ejercicios
35
que al factorizar el denomin ador se tiene: = 1 V x+2 _ ( V x + 2) x - 4 ( V x + 2) ( V x - 2) ( V r - 2 )
Se comprueba así que la respuesta es la misma desarrollando cualquiera de las dos alternativas.
Ejercicios 3.1 I. Simplificar los siguientes radicales utilizando las leyes que convengan. 1. V8 2. V ñ 3. V2Ó 4. -V27 5. 2V54 6. V 9 - 5
5. 3 x f á - 6 y f á + 4 y f á V32 6. 4V8 + V 8Í - V32 7. 2V24 2V24 + V54 - V36 8. V5l —V 32 - vTo vTo 9. 6xVx - 7V *5 + —V ¿ X
10. x V s x f -
“ y
7. V i 6 - 4
11.'\! 11.'\!/64 /64 + V l 8 + V50 12. V4Í¿> - V25ab¿ + Va*b + V Ü t á ?
8. V ? 9. Vx*y
cü P 1 3 .V & d + V?7c*cP + V r Ü W - V cü
10. V 7 y
U .^ * J ± - ± Vx ' x Vx u2v ~ V4uv2 ~ Vw*v + V25mv2 15. 15. V 9
VL V50xY 12. V 4 8 x Y z 2
III. Obtenga los productos.
13. 13. V jcV (x + y f 14 15. V -4 0 16.-^64
h V2V3 2. 3V6(-2V7)
17. 17. 18. V —x* 19.^Í6xV
5. V2 VTÓ
20. V/8?yI 2L \Z64 x Y 22. \Z64 23 .^9? y5‘ y5‘
24. 24. 25. Vrp(xT2)3
26. 'V^6 'V^64( 4(3jr 3jr - l ) 6 27. V x Y ( y - 2 f 28. \ / -54x4y -54x4y 6z0 IL Efectúe las siguientes operaciones. 1. 6 V 2 - 5V2 + V2 2. 8 ^ 6 - 3 ^ 6 - 5 ^ 6 3. 6V * - 2 V x - 4 V x x V 2 + 2 y V 2 - 4 x V 2 4. xV
3. 2V2(-3V2) 4. V 2 V l4 6. 7. 8. 9. 10.
V2x V y 4V7(3V7) 3Vxy V y V jc V T ^ Í V ^ 2 \/^ 2
. VxVxy-x
11
U.V2V4
13. V 4 V -6 j? 14 V l x V j? 15. <Í4¿ 16. V 2 V 8 17. V 2 (V2 (V2 + v 5 ) (Vxy + 18. V x (Vxy ) 19.(3 19.(3++ V 2) (3 -V2)
20.(1 + V2)(l-V2) 2L (V 2- 2V J) (V2 (V2 + 2V3 )
36
Capítulo
3
Radicales
22. (V2 + x f 23.(V7m + 2 f
V2 U- V 7 T 2
24. V6¿yV2¿yS 25. V Ü h ^ V lh k
26. V3Ó¥V27Ó7 28. V ^ V l & r V 29. V3x*y V Ñ x f 30. V24X? Vl&r5? IV. Efectúe las siguientes divisiones de radicales y simplifique. V» VÍ8
3.
1
16> ^ , 12 + VÍ S 17. — r /r _ V c + Vy 18- v ^ V l4x - V3y 19‘
V5ÜP 4 2o* 1 + V3 21. j _ y j Vs
i=
4 3V5
^ 3 + V 2 VJ
3 5- V6
VJ
V2 * V3
24. 2V2 + 3V3
6V3 7- 4V3
^
2-V 3
3V2 *• Vl5
^
V6 - V5 V6 + V5
_ 9. ^ &
10. - j= r
v io
2 1L V7
^
3 V75*
2+ V3
5V2 + Vio 3 V 5 - V 5 v /-i + 2V/-y ^ 3 V 7 -2 V 7 1 29. i + \/ 2 a — 2 Va¿> + b
301
V a - Vb
r
4
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES Empezaremos record ando algunos conceptos que serán de gran utilidad:
4.1 4.1
Definición de expresión algebraica
4.2
Operac iones con expresiones a lgebraicas
Definición de expres ión a lge braica
Expresión algebraica es la combinación de números y letras (que representan núme ros), combinadas, a su vez, con una o más de las operaciones fundamentales de l álgebra. EJEMPLOS
3x2 - 2x + 5, — —10,
(4 a:+2)
- y y etcétera
Término es un número, una letra o la combinación de ambos, únicamente bajo la ope ra
ción de producto o división. A meno s que se utilice algún símbolo de agrupación, todo lo que está den tro de él se considera término. EJEMPLOS
3x,
3, (4*+2 )
Coeficiente numérico es el número que acompaña a una literal incluyendo el signo.
Considérese que si no está escrito ningún núm ero ni signo se da por hecho que el núm e ro es 1 y el signo es p ositivo. EJEMPLOS
3x -» el coeficiente numérico es 3 — x -» el coeficiente numérico es — 2 2 —x —>el coeficiente num érico es - 1 Potencia es el número de veces que la base será multiplicada por sí misma. •
EJEMPLOS
x 5 la base es x , la poten cia es 5
-4 x 3 la base es x yla potencia es 3 ( - 2 x ) 2 la base es - 2 x , la potencia e s 2 x la base e s x, la potencia es 1 Términos semejantes: son aquellos que tienen la misma base y potencia, sin importar
el valor de su coeficiente numérico.
^
38
Capítulo 4
Expresiones algebraica s y sus operaciones
•
EJEMPLOS
5* es sem ejante a - 3 x S x 2 es semejante a j X 2
— es sem ejante a _ x * 3x 3es semejante a - y * 3
Las expresiones algebraicas se puede n clasificar, según la cantidad de términos que las componen, en monomios, binomios y polinomios. •
Si la expresión contiene sólo un término se llama monomio.
•
•
x 2 x 2y 3x, - 2 y , - x , 3x
EJEMPLOS
Si la expresión contiene dos términos se llama binomio. • EJEMPLOS
3x + 2y>5x —1, ^ + 3, (2x + 3 y) - 4
•
Si la expresión contiene tres o más términos se llama polinomio. • EJEMPLOS
3x + 2y - 5,** -3*3 + x2 - 5
4.2
Opera ciones con e xp resiones algebraica s
En esta sección se explicarán las operaciones con expresiones algebraicas de suma, res ta, multiplicación y división. 4.2.1 Sum a y resta
Para efectuar sumas y restas con expresiones algebraicas es necesario saber: a. Qué es un término semejante. b. Aplicar correctam ente las leyes d e los signo s pa ra la suma. c. Efectua r sin errores operacion es aritméticas fundamentales. A continuación se exponen algunos ejemplos así como las diferentes formas en que se pu eden resolver. • EJEMPLO Efectuar las operaciones indicadas en la sigu iente expres ión algebraica
3x - 2y + 6x — 3y = Solución: aplicando conceptos anteriores, como el manejo de signos y el de términos
semejantes, tenemos qu e 3 xy 6x son semejan tes y d e signos iguales; combinándolos, el resultado es 9x. Por otra parte, - 2 y y - 3 y tam bién son sem ejantes y de signos iguales, pero ambos negativos; el resultado es -5 ^ . Así, la so lución es: 3 x - 2 y + 6x - 3y = 9x - 5y • EJEMPLO Efectuar las operaciones en la sigu iente expres ión algebraica
2 —3* —2 + 5 * + 6 =
Secc. 4.2
Operacione s con expresiones algebraica s
39
Solución: este problema se pued e resolver recurriend o a los símbolos de ag rupación, es
decir, agrupando términos semejantes de la siguiente m anera: (2 - 2 + 6) + (5* - 3x) = 6 + 2x o bien, el resultado se puede obtener combinando mentalmente los términos que sean semejantes. • EJEMPLO Efectuar las operaciones en las siguientes expresiones algebraicas
(3x - 2 y + z) + (8x - 2 y - z) + ( - 5 * + 4 y - 2z) Solución: existen varias alternativas para resolver este prob lema, aquí se presen tará la
que tiene menos riesgo de err or pero se deja en libertad al alumno pa ra que compruebe de otro modo el resultado. Primero se escriben to das las expresiones algebraicas hacia abajo, se acom odan los términos debajo de sus semejantes y se efectúa la suma como si se tratara de una sum a aritmética. & + 3x l z 8x - 2 y z -5 x + 4 y 2z — 6x 2z Ibdem os concluir que el resultado final es: 6x - 2 z
Otra forma de presentar una suma o resta de expresiones algebraicas es a través de símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación sirven par a agrupar uno o más términos de un a expre sión algebraica, así como más de una op eración fundamental; los símbolos de agrupa ción más u sados son: !),(),[] Cuando tenem os más de un símbolo de agrupación en una expresión algebraica, se eli minan de a den tro hacia fuera. Hay que recorda r el manejo de signos y considerar que: Si a un símbolo de agrupación le antecede un signo positivo los términos que agru pa n o camb ian de signo; si a un símbolo de agrupación le antecede un signo neg ati vo los términos que agrupa sí cambian de signo. • EJEMPLO Eliminar los símbolos de agrupación y combina r términos semejantes
2 - {{3x + 2) - [5* + 6]} Solución: se eliminan los símbolos de agrupación de acuerdo con la regla antes m en cionada y se combinan los términos semejantes dentro del símbolo con el fin de reducir la expresión algebraica. 2 - {(3* + 2) - [5x + 6]} = 2 —{3* + 2 - 5* —6} = 2 — { - 2 x - 4}
= 2 + 2x + 4 = 2x + 6 • EJEMPLO Eliminar los símbolos de agrupación y combina r términos semejantes 3 + 2 { b - 4 [a + 2 (2a - b) + b] - a) + 2b
40
Capítulo 4
Expresiones algebraica s y sus operaciones
Solución
3 + 2{b - 4[a + 2(2a - b) + b] - a) + 2b = 3 + 2{b - 4[a + 4a - 2b + b] - a} + 2b = 3 + 2{b -4a - 16a + 8b -4b - a} +2b = 3 + 2{5 b - 21a] + 2b = 3 - 42a + 12¿ Observación: hay distintas maneras de resolver estos ejercicios. Una alternativa es la
que se presentó en ambos ejemplos, es decir, se eliminaron los símbolos de agrup ación y se efectuaro n las operaciones individuales por cada símbolo de agrupación eliminado. Otra alterna tiva es desechar los símbolos de agrupación, sin redu cir los términos seme jantes, m aneja r c orrectam ente los signos du rante el procedimien to y, al final, efectua r las sumas y restas indicadas. El resultado deb e ser el mismo. 4 . 2 .2 M u l ti p l i c a c i ó n y d i v is i ó n d e e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s
Lo primero que se hará e n esta sección es recordar alguna s leyes y propieda des que se requieren para efectuar el pro ducto y división de expresiones algebraicas. a. Leyes de los signos para el produ cto y la división. b. Las leyes c onmutativa y d istributiva pa ra el producto. c. La ley distributiva par a la división. d. Leyes de los exponentes pa ra el producto y la división. e. Procedimiento par a dividir polinomio entre polinomio. A continuación se explican los conceptos relacionados con el producto: a. Leyes de los signos para el producto
+ • + = +
Ejemplo: (3)(2) = 6
+ . - = -
Ejemplo: (5)(-3) = -15
- • + = -
Ejemplo: (-10)(5) = -50
- • - = +
Ejemplo: (-2 0 )(-2 ) = 40
b. Ley conmutativa para el producto
Para cualquier a y b E R tenemos que: ab = ba •
E JE MP LO
(4)(8)=(8)(4) •
E JE MP L O
W (-5 ) = ( - 5 ) « c. Ley distributiva por izquierda y derecha, respectivamente, para el producto
Para cualquier a , 6 y c G R tenemos que: a(b + c) = ab + ac •
E JE MP L O
2 (3+ 4) =2 (3 )+ 2(4) (b + c)a = ba + ca = ab + ac m EJEMPLO
(3 + 4) (2) = (3) (2) + (4) (2) = (2)(3) + (2)(4)
Secc. 4.2
Operacione s con expresiones algebraica s
41
d. Leyes de los exponentes para el producto
Para cualquier m y n G R tenemos que: am • an = a™+ " y (« ")" = a,m" • EJEMPLOS
h X*-X5 =X 3+5 =X * 2. (*3)4 = J^X4) = *12
Aplicando los conceptos anter iores se pueden ef ectuar produc tos de dos o más expre siones algebraicas. m EJEMPLOS
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar. a. x2 • x3 = x2+3 = x5 b. (—3x4)(2x2) = -6 x* +2 = -6X6 c. (3jc)2(jc3)2 = (9x2)(x6) = 9x6+2 = 9x* d. 3x(2x + y) = 3x(2*) + 3x{y) = fo 2 + 3xy
e. (3x + 2y)(3x + y) = El último ejercicio puede resolverse de dos maneras: aplicando la ley distributiva o como una m ultiplicación aritmética común (colocando una exp resión debajo de la otra). Apl ic a nd o la le y di s tri bu tiva
(3* + 2y)(3x + y) = 3x(3x + y) + 2y(3x + y) = 9x2 + 3xy + 6 xy + 2y2 = 9x2 + 9xy + 2y2
El otro procedimiento es: 3x 3x
+ +
2y y
9x2 + 6xy + 3xy + 2 y2 9x2 + 9xy + 2 y2
Los resultados son iguales, es decir, las dos formas de resolver el problem a son correctas. Ahora se enun cian las leyes y propiedades par a la división. a. Leyes de los signos para la división
+
-r
+
+
+
+
Ejemplo: 4 + 2 = 2
— =
—
Ejemplo: 6 + ( - 2 ) = - 3
— +
+
=
—
Ejemplo: ( - 8 ) + 4 = —2
-
— =
+
Ejem plo: ( -1 0 ) + ( - 2 ) = 5
+
=
b. Leyes de los exponentes pa ra la división Para cualesquier m, n, a E R y a # 0, tenemos que:
o'"-" ;si m es mayor que n\ ( m > n ) 1 ;si m es igual a n\ (m= n) ; si n es mayor que m; (n > m )
42
Ca pítul o 4
Expresiones algebraicas y sus operaciones
c. Ley distributiva para la división
•
Polinomio entre monomio a + b + c + ... a
a b c d a d
--------- - ---------= - + — + —+ ... •
con dy¿Q
E JE MP L O
6x* - 9x* + 3x2 _ 6x* 3x2 3x2
9X6 3x 2
3x 2 _ ^ 3x 2
¿
^
d. Procedimiento para dividir polinomio entre polinomio
• Orden ar el numerador y denom inador con letras iguales, en forma descendente en función del exponente. Dejar espacio para cu alquier potencia faltante del num era dor, que pres ente una letra distinta. • Dividir el primer término del numerador entre el primero del denominador. El resultado es el primer térm ino del cociente. • Multiplicar cada uno de los términos del denom inador po r el prim er término del cociente. Colocar los resultados debajo de cada uno de los términos semejantes del num erador, con signo contrario. • Considerar el residuo así obtenido com o un nuevo numerador. Repe tir los pasos segundo y tercero para encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo. • Continuar este proceso hasta que el residuo sea igual a cero o hasta que el expo nente de la letra común sea m enor que el exponente de la letra comú n del den om i nador. Si el residuo es cero se dice que la división es exacta. El resultado q ue se o btiene es el siguiente: Num erador = Q)ciente Denominador Jbr e l contrario, sí el residuo no es cero, el resultado es: Num erador = Co ciente + Residuo Denominador Denominador Nota: la división es llamada también “división de casita”. Sus partes se organizan de la siguiente manera:
Cociente Denominador |Numerador Residuo • EJEMPLOS
Efectuar las operaciones indicadas.
2.
- f e W = 3 a2bc
*
^ 8?
A
14*3 — 2Sx2
4-
7?
5.
3x2 + x - 24 3x - 8
- 2 abe
= _L 2x
I4xi 28X2 _ = ~TiF ~ "7?" = ^
Secc. 4.2
Operacione s con expresiones algebraica s
43
En los ejercicios 1 a 4 se aplicaron sólo algun as leyes y propieda des d e la división, mien tras que el ejercicio 5 requiere la división polinomio entre polinomio. La solución es: x + 3 3x - 8 I 3x2 + * - 24 - 3 x 2 + &x 9x - 2 4 —9x + 24 0
R>r lo tanto:
3x2 + x —24 =*+3 ^ 3 3
• EJEMPLO
Dividir ( 8J 4 - 24 + 15x) entre (4 - x + 7x2)
Solución: la manera de reso lver este ejercicio es emplea r el procedimiento antes m en cionado (dividir polinomio entre polinomio). Al seguir los pasos se tiene que: a. Orden ar numerador y denominador (de mayor a menor con respecto a la pote n
cia). b. Si falta alguna potencia, dejar un espacio en blanco o colocar un cero par a rep re
sentarla. c. Dividir el primer término del num erador entre el primero del denominador, obte niendo así el primer término de l cociente. d. Multiplicar el prim er término del cociente por cada uno de los términos del den o
minador. Los produc tos se colocan con signo contrario debajo d e cada uno de sus términos semejantes, con respecto al numerado r. e. Efectua r las sumas o restas indicadas en el numera dor. Rep etir los pasos c y d hasta que el primer término del numerador sea menor al primero del denominador, o bien, cu ando el residuo sea igual a cero. Con todo lo anterior tenemos que:
__________ 4x2 + 2x - 7 2x2 —x + 4 \Sx 4 + 0x3 + Ox2 + 15* - 24 _________ 4jc3 - 16x2 + 15* - 24 - 4 x 3 + 2x2 ~ Sx - 1 4 x 2 + I x - 2 4 + 14x2 - I x + 28 4 El resultad o de la división es: 4X2 + 2x - 7 + •
EJEMPLO
------- r -1 2xr —x + 4
Dividir (ó*4 - 5x2f- - 5 xy3 - y4) entre (2* 2 + 2xy + y2).
Solución: obsérvese q ue este ejercicio, comp arado con los anteriores, es u na división
con dos variables. El procedimiento es exactamente el mismo, aunque ahora hay que orden ar tanto el num erado r como el denom inador con respecto a un a de las variables. Se ordenará con respecto a x , sin importar el orden de y, tomando en cuenta qu e falta la potencia cúbica de x y, por lo tanto, hay que dejar un espacio para representar la potencia cúbica.
44
Ca pítul o 4
Expresiones algebraicas y sus operaciones
________ 3x2 - 3 x y - y2 2x2 + 2x y + f [ 6 ? - 5x?y2 - 5xy* - / - 6x4 - 6x3y ~ 3x 2f _________ - 6x3y ~ 8x2y2 - 5xy3 - y 4 + 6x3y + 6 x2y2 + 3xy3 - 2 x V - 2xy3 - y 4 + 2 x2y 2 + 2xy3 + y*
0 Pbr lo tan to :6x*
y> = 3ac2 - 3 xy - y 2
Observación: como el residuo es cero, el resulta do final de la división no se escribe como en el ejemplo anterior.
En resumen, dependiendo del tipo de división se puede: a.
b.
simplificar num erado r y deno min ador al mismo tiempo.
onomio
aplicar la ley distrib utiva y simplificar cada un a de las fracciones resulcomo en ei caso de monomio entre monomio.
c. PQ|mQm| 0 yresolv er igual que la división aritmétic a (“d e casita”). Polinomio
Ejercicios 4.1 I. Efec tuar las operaciones indicadas.
1. mn + ( -m n ) + 6mn 2. —x + ( —7*) 3. (-8a) - (-3a) - (-2a) 4. 5a - 6a - 7a 5. 10¿> - 3 b - 4 b 6. 12 y + 3a - 5y —a 7. 10ry + y - Ix y - 8y 8 . 4ax — 10bx -9 b x - 4 a x
9. Ix + 3x - 2 y - 8 y 10. Ylx + 2x —lx IL Eliminar los símbolos de agrupación y reducir a términos semejantes.
L 3a + (2 + 5a) 2. 2a + (8 —a) 3. x —(2x — 4) 4. 4 + 6(* - 1) 5. 7 - 2(3* - 8) 6. (2x - 3y) - 4(x - 5 y) 7. 4 jc —[9 —4(3 — jc)] 8. 1 - [a - 2b - (3 - a) + 3]
9. x - [3x + (4 - *)] - [8 - 3(x - 2)]
10. 2x + 2{y - [4x - (z + 2 y)\ + z) ~ 2 y 11. 8 - 3[ a - 2[a - (b - 2) + 3 (b - 3)] - 6} 12. 3* - [2x + [3x - 2 y - (5x - 4y) - 2 x ] ~ 5 y) IIL Obtener la suma de las siguientes expresiones. L 2a + 6 b ja -2 b 2. x - 3y,2y - 5x 3. 3 x - 8 , 7 x - 4 , 2 x - l 4. la —3b + 11c, —14a + 10¿> + 10c, 8a + 8b + 13c 5. a + 10¿> —9,3a — 5b + 4c, 2c + b —6 6. 3x + 6xy + 3yz + 4,3* - Ixy - 6 yz - 13,9 - Z xy + 3yz IV. En cada uno de los siguientes ejercicios restar la segunda expresión de la primera. L 5a + 9b — 10c, —6a + 7c 2. 2a - /, a + t 3. 2x + 3a + 5y, x + 3a - 2y 4. 6a - 106 + 8c, 5a + Ib - c 5. 3* + 6:xy + 3yz +4, 3x - Ixy - 6 yz - 13 V. Efectuar la multiplicación que se indica y simplificar. L (3f) (2f)
2 . (2a3b2) (—3a*b3)
3. (2a2¿>3)( -3 a 2c)(¿>2c3) 4. xy (x3- y3)
Ejercicios 5. (* + 2 y ) ( x - 2y )
5 * V - 10a4/
6. (i + 3) (x - 2)
V y3
7. (2x —3) (2x + 4) 8. (w - 6) (w - 5)
3
2a:
fc (l -2 *) (4 + 3*) 10. (c - 4a) (2c2 + 5ac - a2) 11. 3 + * [- 6 + * (4 + *)]
- a) -
2 2a -
7.- (2xVaj ^ o5 - tf* + 2o3 4,3
12. [22a¿4]3 [3a2/)]4 13. (-2a *)2 - (-a2) (x2)
** + 5* + 6 * *+ 2
14. a (2a — b) — 2b(a — b) + ab(a + 3)
3*2 + * - 24
15.jcy(jc-3y)-jt(y2'-3jr)-y(* l -y ) l~\ ~16* 4J* -+ 4 I x + -
*+ 3
a
l)(« + 2)
8 —6* + a^ 1L
----
a:
+ 2
17. 30 a+ b
18. (2x + 3 y - 2) (* + 2y + 4) VL Re alizar las siguientes divisiones.
4-8* L 4 ó*2 - 3* 3* .r4 - 5a^+ 12*5+ 18*4 - 6x3 4 -ó*3
8a4 + 15* - 24 2*2 —* + 4
13. -
14.
3** - 16*2 + 15* + 5 x2 - 2 x + l 10*4 + ll *3- 2Ó*2 + 23* - 6 5*-2
45
PRODUCTOS NOTABLES O ESPECIALES 5.1
Binomio ele vado al cuadrado o cuadrado de un binomio da como resultado un trinomio cuadra do perfecto perfecto
5.2 5.2
Binomios conjuga dos dan com o resultado una una diferencia de cuadrados
5.3 5.3
5.4
5.5
5.6
5.7 5.7
Hay ciertos productos de polinomios que aparecen con mucha frecuencia y conviene recordarlos para hacer más rápida y segura la manipulación algebraica. Estos Estos produc tos se llaman productos notables. notables. Los produc tos notables son aq uellos que se resuelven a través de fórmulas específicas específicas que deben ser mem orizadas y aplicada aplicadass hasta dom inar el proceso de o btención de los prod pr oduc ucto toss nota n otable bles. s.
5. 1
Binomios con término común dan como resultado un trinomio general de segundo grado Binomios con términos semejante semejantess dan como resultado un trinomio general de segundo grado Binomio eleva do al cubo o cubo de un bino mio da como resultado un cubo perfecto Producto Productoss de un binom io por un trinomio dan como resultado una suma o diferencia de cubos Cuad rado de un polinomio
•
Binomio elevado al cua drado o cua drado de un binomio da como resultado un trinomio cuadrado perfecto
EJEMPLO
y2 (* + y)2= x 2 + 2 xy + y2
(1)
( x - y )2 ) 2 = x 2 - 2x y + y 2
(2)
Res olver (2a + 3b)2
ecuación ( l) ,s e tiene que: Solución: al aplicar paso a paso la ecuación (2a + 3b)2 = (2a)2 + 2(2a)(3fc) + (36)2 = 4a2 + 12afc + 9 b 2 •
EJEMPLO
Res olver (5x -2)2
Solución: al aplica r paso a paso la ecuac ión (2), se tiene que:
( S * -2 )2 = (5*)2 -2(5*)(2) + (2) (2)2 = 25x225x2- 20x 20x + 4
5.2
B in in o m i o s c o n j u g a d o s d a n c o m o r e s u l ta ta d o u n a d i fe f e r e n c ia i a d e c u a---------------------------------------------------d ra ra d o s ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ • • (x + y) (x - y) y ) = x 2 - y 2 ( x - y ) ( x + y ) = x 22- y 2
•
EJEMPLO
2b ) (5a (5a - 2b). Res olver (5a + 2b)
Solución: aplicando la fórmula anterior se tiene que:
(5a)2 )2 - (2b)2 (2b)2 (5 a + 2b) (5 a - 2 b) = (5a = 25fl2 - 4b 2
47
48
Ca pítul o 5
Product Productos os notables notables o especiales especiales
• EJEM EJEMPLO
Resolv Resolver er 0 +
Solución: aplicando la fórmula anterior se tiene que:
(2 3 \ (2 _ 3 \ _ ( 2 V _ ( 3 \ 2 _ ± _ ? _ \ y ) ~ x 2 y2 U + W U y ) ~ \ x )
5. 3
B i n o m io i o s c on on t é r m i n o c o m ú n d a n c o m o resultado un trinomio general de segundo grado (x + a) (x + b) = x2 x 2 + (a + b)x b) x + ab
• EJEMPLO Res olver olver
(x + 2) (x + 3) aplicando la fórmula anterio r se tiene que: Solución: aplicando (x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3)* + (2) (3) = x2 + 5x + 6 • EJEMPLO Res olver olver
(x - 4 ) (x - 1)
aplicando la fórmula ante rior se tiene que: Solución: aplicando (jr (jr - 4) (x - 1 ) = x 2 + ( - 4 - 1)* + ( - 4 ) ( - 1 ) = *2 - 5* + 4
5.4
B i n o m io i o s c on o n t é r m i n o s s e m e j a n te te s d a n como resultado un trinomio general de segundo grado dy ) = acx? + (ad + bc)xy + bdy2 (iax + by) (ex + dy)
• EJEMPLO
Resolver Resolver
( 3 x + 2 y ) (2 (2 x + y )
aplicando la fórmula ante rior se tiene que: Solución: aplicando (3* + 2 y) (2 ( 2 x + y ) = (3)(2) (3)(2) * + [(3)(1) [(3)(1) + (2)(2)]xy + (2)(1)/ 6x 2 + 7 xy x y + 2y2 = 6x2 • EJEMPLO
Resolver Resolver
(2 x -3 y ) (5x (5x + 4y)
aplicando la fórmula ante rior se tiene que: Solución: aplicando y ) (5x + 4 y) y ) = (2) (5)x2 (5) x2 + [(2)(4) + (-3)(5)]*> + (-3)(4)/ (2* - 3 y) I0 x2 - Ix y - 12y2 = I0x2
Secc. 5.7
5. 5
Cuadrado de un polinomio
49
B i n o m i o e l e v a d o a l c u b o o c u b o d e u n b in in o m i o d a c o m o r e s u l t a d o u n c u b o p e r fe fe c t o
• EJEMPLO
(x + y)3 y )3 = x 3 + 3 x2 x 2y + 3 xy2 + y3 y 3
(3)
(x ~ y) 3 = x3 - 3x2y 3x2y + 3 xy2 xy 2 - y 3
(4 )
Resolver Resolver
y )3 (2x + 3 y)3 Solución: aplicando la ecuación (3) se tiene que:
(2x + 3 y)3 y )3 = (2a:)3 + 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 + (3 y)3 y )3 = 8x3 + 36 x2y x2y + 54xy2 54 xy2 + 27y 3 m EJEMPLO
Resolver
(x-2y)3 Solución: aplicando la ecuación (4) se tiene que:
(x - 2y)3 = (x)3 - 3(x)2(2y) + 3(x)(2y)2 - (2y)3 (2y)3 = x 3 - 6 x 2y + 1 2x 2x y2 y2 - 8 y 3
5.6
Productos Productos de un bin om io por un trinom io dan como resultado una suma o diferencia de cubos
• EJEMPLO
(x + y)( x2 - xy + y2) y2) = x 3 + y3
(5)
(x - y)(x2 + xy + y 2) = x3 - y3
(6)
Resolver Resolver
(5x + 2)(25x2 - l Q x + 4) 4) Solución: aplicando la ecuación (5) se tiene que:
(5x + 2)(25x¿ - lOx + 4) = (5a:)3 + (2)3
= 125a:3 + 8 • EJEMPLO
Resolver Resolver (6 a: - 5z )(36 a:2 + 3 0 a:z +
25z2)
Solución: aplicando la ecuación (6) se tiene que: (6a: - 5 z ) ( 3 6 a :2 :2 + 3 0 a: a: z + 2 5 z 2 ) = (6 a:)3 -
(5z)3
= 2 16 16 a 3 - 1 25 2 5 z3 z3
5. 7
Cua dra do de un polino m io
••
(x + y + z)2 z) 2 = x 2 + y2 y 2 + z2 + 2 xy x y + 2a:z + 2 yz y z • EJEMPLO
Resolver Resolver
(x + 2y + 3z)2 Solución: aplicando la ecuación (7) se tiene que:
(x + 2y + 3z) 2 = (x)2 + (2y)2 + (3z)2 + 2(x)(2y) + 2(*)(3z) + 2(2y)(3z) x 2 + 4 y2 + 9 z 9 z 2 + 4 xy + = x2
6 a:z
+1 2 yz
(7 )
50
Ca pítu lo 5
Productos notables o especiales
Resumen de fórmulas de productos notables o especíales
Binomios conjugados (x + y) (x - y)
Diferencia de cuadrados =
x 2 - y 2
Binomio al cuadrado U + y)2 (x-y)2
THnomio cuadrado perfecto x 2 + 2x y + y 2 x 2 - 2x y + y 2
—
=
Binomios con término común (x + a) (x + b)
THnomio general =
x2 + (a + b)x + ab
Binomios con términos semejantes (ax + b y) (ex + dy)
THnomio general =
acx 2 + (ad + bc)xy + b d y 2
=
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 x z + 2y z
Polinomio al cuadrad o (x + y + z)2
Binomio al cubo (x + y f (X-y)3
Cubo perfecto =
Binomio por trinomio (x + y) (x 2 - x y + y 2) ( x - y) (x2 + xy + y2)
Ejercicios 5.1 L Efectuar los siguientes productos notables. L (2 r + lOsf
x 3 + 3x2y + 3 x y2 + y 3 x 3 - 3 &y + 3 x f - y 3
—
Suma o diferencia de cubos = =
20. (x - 2y) (x2 + 2xy + 4f ) 21. [(3¿>4 - b) + (b3 - 2b2)] [(3b4 - b ) - ( & - 2^)] 22. (3r + 10s)2
2. (4X3 - 5 f ) 2
23. ( x2 + f )3
3. (2x - 1 y
24. (x + 2) (x2 - 2x + 4)
4. ( x - 2 y f
25. (x ~ 3 ) ( 2 x + 1)
5. (2a + 3 b f
26. (3* + 2 y + z f
6. (.x2 + f ) '
27. ( l y + 4 c ) ( 7 y - 4c)
7. (3b2 + 6c3) (3b2 - 6c3)
28. (4x - 1) (x + 7) 29. (xy - 5 )3
2 / \3 2 / \3 9. [(3& + c2) - 3 be] [(3b2 + c2) + 3 be]
30. (2x - 1) (4jc2 + 2x + 1) ( m2 2hs \ / m 2 2n3\
10. (4x ~ l) (x + 1) 1L (2 + x) (3 — x) 1Z (3 - 2x) (3 + 4x)
13. (5X2 + 2y) (3X2 - ly ) 14. (x + y + z f 15. (2m* - 2m + m2 + l)2 16. (a - 3b + 2)2 17. (x - 2) (x2 + 2x + 4) 18. (x + 1) (x 2 - X + 1) 19. (2x -l )( 4 x2 + 2x + 1)
x 3 + y 3 x 3 - y 3
3 Z [ ( 2 x - y ) + 3 ] [ ( 2 x - y ) - 5 ]
33. (a3 - b* f 34. (4x2y - xy2) (4x2y - xy2) 35. ( a - 2 b + 3 c f 36. (m3 + m2 —2m + I)2 37. (2x + 5) (3x - :2) 38. (3 jc - 4 )2
39. (Ix - 5 y) ( Ix + 5y) 40. (4a - 3) (16 a2 + 12a + 9)
É) FACTORIZ ACIÓN
6.1
Expresión algebraica con factor común
6.2
Diferencia de cuadrados
6.3
Tr in o m i o c ua d ra d o perfecto
6.4
Tr in o m i o g e ne ra l o d e segundo grado
6.5
S um a y di fe re nc ia d e cubos
En el capítulo anterior se revisó el tema de productos especiales o notables, en particu lar cómo obtener los productos a partir de determinados factores. En este apartado se determ inarán los factores de los productos, es decir, el proceso con trario. Definición: la factorización es el proceso de desco mpon er una expresión algebraica en sus factores, o bien, el procedimiento para escribir un polinomio como el produc to d e dos o m ás factores. Al descomponer diversas expresiones algebraicas en factores, los resultados son expresiones factorizadas identificadas como: a. Expresión algebraica con factor común b.
Diferencia de cuad rados
c. Trinomio cuadrad o perfecto d.
Trinomio gene ral o de segundo grado
e
Suma y diferencia de cubos
6.1
Expres ión a lgebraica con fa ctor com ún _______
Cuando cada uno de los términos de un polinomio tiene como factor el mismo término, éste se denomina factor común. Observación: si hay un factor que se repite en tod a la expresión, pero con diferente p o tencia, el factor común es el que presen ta la mínima. En otra s palabras, el factor com ún es la máxima expresión entre la cual pued en ser divididos cada uno d e los términos de la expresión dad a. • EJEMPLO
Factorizar comple tame nte la siguiente expresión
A x + A y + A z
Solución: en la expresión dada hay u na letra que se repite, la cual sería el factor común. Para obten er el factor que multiplica al común, debe dividirse cada uno de los términos de la expresión original entre el factor común. De esta forma la expresión qued a com pletam ente factorizada: A x + A y + A z = A (x + y + z) i
Factor común • EJEMPLO
Factorizar comple tame nte la siguiente expresión
4*y + 6* y -IQxy
52
Ca pítul o 6
Factorización
Solución: en este ejemplo se observa claramente la teoría an tes mencionada, según la
cual aquel factor que se repite en todos los términos de la expresión es el común. En tonces, el factor comú n es 2x y y el resultado queda: 4 x3y2 + 6 x 2f - 10 xy = 2xy(2¿y + 3 xy - 5) • EJEMPLO
Factorizar comp letam ente la sig uiente expresión
3(x
- 2)
- a(2
-
x)
Solución: en este ejemplo no hay, aparentemente, un factor común. Si se observa con
atención es claro que los términos ( x - 2) y (2 - x) difieren entre sí po r los signos. Entonces, primero se saca el signo de factor comú n de los términos del paréntesis de la derecha, y despu és el factor común (x —2). Luego se termina d e fa ctorizar la expresión. 3
6.2
(x — 2 )
-
a(2 - x ) = 3(x - 2 )
+
a(x -
2) =
(x
-
2)
(3 +
a)
Diferencia de cua drad os
En el tema de prod uctos especiales se analizó cómo el producto de do s factores (bino mios conjugados) da como resultado una d iferencia de cuadrados. Si ahora se tiene una diferencia de cuadrados, ésta se descompone en factores y el resultado es el producto de dos binomios conjugados. a2 —b2 = (a + b)(a —b ) i i Diferencia de Binomios cuadrados conjugados
Dicho de otro m odo, al ser factorizada, la diferencia de cuadrado s da como resultado el producto d e dos binomios c onjugados. Regla general para factorizar una diferencia de cuadrados
Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos de la diferencia dada. Luego se combinan estas dos raíces en la suma y diferencia de las raíces cuadradas, de tal m anera que su resultado sea el prod ucto de dos binomios conjugados. Nota: antes de verificar si el binomio es una diferencia de cuadrados, se debe analizar si la expresión tiene factor común. E n caso afirmativo debe siempre obten erse el factor común para po der con tinuar la factorización. • EJEMPLO
Factorizar comp letam ente la sig uiente expresión 4 X 2 _ 9y 2
Solución: de acuerdo con lo anterior, hay que extraer las raíces de cada uno de los
términos y acomodarlas en una sum a y diferencia de factores para formar los binomios conjugados. El resultado es: 4x2 ■- 9y2 = (2 x -3 y ) (2x + 3y) i >1 \ r4x2 V 9 y i i 2x 3 y
0 EJEMPLO
Factorizar comp letam ente la sig uiente expresión
x2 ~ 4 (y - 3)2
Se cc 6.3
Trinomio cuadra do perfecto
53
Solución: se sigue el mismo procedimiento qu e en el ejemplo anterio r, así que el resul tado es: x2 - 4 (y - 3)2 = [x + %y - 3)] [x - 2(y - 3) ]
= (x + 2y - 6 )( x - 2 y + 6) Vx2 = xy V 4 (y- 3 )2 = 2(y-3 ) • EJEMPLO
Factorizar comple tame nte la sig uiente expresión a2(x - 4y ) + b 2 (4 y - x)
Solución: esta expresión puede transformarse en otra equivalente para sacar el signo negativo de factor común del término b 2 (4 y - x) . Esto es: a2 (x ~ 4y) + b 2 (4 y - x) = a2(x - 4y )
b 2 ( - 4 y + x) = a2(x - 4y ) - b 2 (x - 4y)
recuerde que si se saca un signo negativo de factor comú n, los términos que están d en tro del símbolo de agrupación cambian d e signo. Aho ra se ve que la expresión tiene un factor común: (x — 4 y ) , y ya factorizada qued a de la siguiente manera: a2(x ~ 4y) + b 2 (4 y - x) = a2 (x - 4y ) - tí2 (x - 4y) = (x - 4y)(a2 - Ü2)
Hay que seguir factorizando esta expresión porque el factor ( a 2 - b 2) es también u na diferencia de cuadrados. La expresión completam ente factorizada queda : a2(x - 4y) + b 2 (4 y - x) = a2 (x - 4y ) - b2 (x - 4y) = (x - 4y)(a2 - tí2)
= (x - 4_y) ( a + b ) ( a - b )
6.3
Trino m io cua drad o perfecto ___________________
Es una expresión algebraica que contiene exactam ente tres términos. Su representación general está dada po r a2 + la b + tí1. Su factorización, recordan do los produc tos no ta bles o especiales, es un binom io al cu adrad o: a2 ± 2a b + b 2
i Trinomio cuadrado perfe cto
=
( a ± b )2
i Binomio al cu adrado
Regla para reconocer un trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando su primer y tercer térm inos tienen raíz cuad rada positiva, en tan to q ue el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Regla general para factorizar un trinomio cuadrado perfecto
Se extrae la raíz cuad rada al prim er y tercer términos de l trinomio y se separan po r el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrad o y la expresión resultante es la factorización del trinomio cuadrado perfecto. • EJEMPLO
Factorizar comple tame nte la sig uiente expresión
4X2 + 1 2xy + 9 y 2
Solución: con base en la teoría an terior, el primer paso es orde na r el trinomio con res pecto a un a letra, en este caso co n respecto a x. El segundo paso es verificar si el prim er y tercer términos tienen raíces positivas, lo cual en este ejemplo así es y son: 2x y 3 y. El tercer paso es verificar si el doble produc to de estas do s raíces corresponde al segundo término, es decir, que 2( 2x )( 3y ) debe dar como resultado Í 2xy pa ra afirmar qu e se trata de un trinomio cuadrado perfecto.
54
Ca pítul o 6
Factorización
Dado que todas las condiciones se cumplieron a lo largo del proceso, la factorización queda de la siguiente manera: 4x2 + 12xy + 9 y2 = (2x + 3 y)2
Nótese que la expresión del lado derecho se c onstruye con las dos raíces y el signo del segundo término.
6 .4
Tr i n o m i o g e n e r a l o d e s e g u n d o g r a d o
Es una expresión algebraica que contiene tres términos y su representación general está dada p or x? + (a + b)x + ab. Se sabe, recordando los productos notables, que la factorización que resulta es el produc to de dos binomios con término co m ún,e s decir: x 1 + (a + b)x + ab i Trinomio general
= (x + a)(x + b) i Binomios con término común
Regla general para factorizar un trinomio gene ral
(El que resulta de multiplicar dos binom ios con término común ).
Ordenar el trinomio con respecto a una letra, extraer la raíz cuadrada del primer tér mino y colocarla, a su vez, como primer término en cada uno de los binomios. Luego, descomponer el tercer término en parejas de m anera que las cantidades multiplicadas den como resultado dicho término; además, conside rar también que la combinación de esas parejas sumadas o restad as con sus signos respectivos deben d ar como resultado el segundo término. • EJEMPLO
Factorizar comp letam ente la sig uiente expresión
x2 + 5x + 6 Solución: de acu erdo con la regla establecida se tiene que la raíz cuad rada del prim er
término es x,por lo tanto el primer término de los binomios es x. Ahora se procede a encontrar las parejas que, multiplicadas, den como resultado el tercer término, y que sumadas o restadas den como resultado el segundo término. Tentativamente, las parejas pu eden ser: 6,1
3 ,2
-3 ,- 2
-6 ,-1
Se comprueb a que cada p ar de parejas cumple el requisito, pue s multiplicadas dan como resultado 6 (el tercer té rmin o), pero no tod as dan 5 (segundo término) al ser sumadas o restadas. Por lo tanto, la única pareja que cump le con to dos los requisitos es 3,2 y la factorización de la expresión queda:
x2 + 5* + 6 = (x + 3)(* + 2) Otra expresión considerada trinomio g eneral es aquella que tiene la forma: acx2 + (ad +bc)xy + bdy2
la cual, si se re cuerdan los productos notables, es la que resulta de multiplicar dos b ino mios co n términos semejantes. Su factorización se repre senta d e la siguiente forma: acx2 + (ad +bc)xy + bdy2 = (ax + by)(cx + dy) Regla para fa ctorizar este tipo de trinomios
Lo primero qu e se hace es buscar las parejas cuyo resultado, una vez m ultiplicadas, sea el primer término; luego se hace lo mismo con el tercer término. Por último hay que
Secc 6.5
Suma y diferencia de los cubos
55
comprobar que el producto de sus diagonales sumadas o restadas sea el segundo tér mino. Si se cumple lo anterior se concluye que la factorización de la expresión dada se forma con los factores en línea recta. El siguiente esquema nos m uestra más claramente esta regla. acx1 + {ad + bc) xy + bdy1
j,
4' rby
Observación: hay otras alternativas para llegar al resultado, es decir, diferentes mé todos par a factorizar los trinomios g enerales, uno de ellos es p or visu alización. Lo importante es qu e cualquier procedim iento conduce siempre al mismo resultado. + EJEMPLO
Factorizar comple tame nte la sig uiente expresión
Sx2 + lftr —8 Solución: se inicia buscando las parejas que , multiplicadas, den el prim er nú mero (3.x2).
Al mismo tiem po se identifica a las pareja s que, tambié n multiplicadas, de n (—8) y, des pués, sum adas o restad as en d iagonal arrojen el s egundo térm ino (10x). Así se determ i nan los binomios cuyo resultado, al s er m ultiplicados, es la expresión d ada. A continuación se listan las posibles parejas ordenada s pa ra verificar cuál de ellas cumple con to das las condiciones. 3x
4
3x
—2
3x
-8
x - 2
x
4
x
1
3 x 1 x
-8
Obsérvese que todas las parejas ordenadas cum plen con el requisito del primer y tercer términos, pero no todas cumplen con la condición de q ue el pro ducto d e sus diagonales, sumadas o restadas, sea el segundo término. Así, las únicas parejas válidas son: 3tr - 2 * 4 Para form ar los binomios se colocan las parejas en línea recta, po r lo que la expresión dada queda totalmente factorizada de la siguiente manera: 3x* + 10* - 8 = (3x - 2 ) ( x + 4)
o 3X2 + 10* - 8 = (x + 4) (3x - 2) Para verificar que la factorización es correcta se multiplican los dos binomios semejan tes. El resultado de be ser igual a la expresión del lado derecho d e la igualdad.
6.5
Su ma y diferencia de cubos
a3 + b3 a3 —b 3 Si se divid e --------- y ----------los resultados, respectivamente, son: a + b a- b a3 + b3 2 2 --------- = a2 - ab + b2 a+b
a3 —b3 2 2 ---------- = a2 + ab + b2 a- b Debido a que en to da división exacta el numerad or es igual al producto del cociente por el denominador, obtenem os:
y
56
Ca pítul o 6
Factorización
1) a3 + tí3 = (a + b) (a2 - ab + tí1) I Suma de cubos
y
2) a3 - b3 = (a - b) (a1 + ab + b2) i Diferencia de cubos
De este proceso se deducen las siguientes fórmulas: Fórmula 1 La suma de dos cubos perfectos se descompone en do s factores: 1er faetó n la sum a de sus dos raíces cúbicas. 2o faetón el cua drado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segun da raíz. Fórmula 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1er faetó n la dife rencia de sus raíces cúbicas. 2o faetón el cuad rado de la primer a raíz, más el produc to d e las dos raíces, más el cua drado de la segunda raíz. • EJEMPLO
Factorizar comp letam ente la sigu iente expresión
+ 125 Solución: se aplica la fórmula 1 en virtud de que la expresión dada es una sum a de cubos. El 1er factor de la expresión se forma con las raíces cúbicas de cada uno de los términos y qued a el siguiente binomio:
(* + 5) Posteriormente se forma el 2o factor con base en el binomio, justo como indica la fór mula 1. Esto es el cuad rado de la primera raíz (x)2, meno s el producto de ambas raíces (5)(.r),más el cuadrado de la segunda raíz (5)2. El resultado e s el siguiente trinomio q ue es también el segundo factor: ( x1 - 5 x + 25)
De donde se concluye que la expresión dada qued a totalm ente factorizada con el pro ducto de estos dos factores, es decir, con el prod ucto d el binomio p or el trinomio. Ello se expresa de la siguiente forma: x3 +Í2 5 = (x + 5 ) ( x2 - 5 x + 25) • EJEMPLO
Factorizar comp letam ente la sigu iente expresión
a*3-64 Solución: al obser var la expresión se determ ina que se tra ta de u na diferencia de cubos, aunque antes debe recordarse que el primer paso a seguir es verificar si se tiene un factor común. En este caso el factor comú n de la expresión es 8. El primer paso de la factorización queda de la siguiente manera: 8x3 - 64 = S(x* - 8)
En la expresión resultante se aprecia qu e el facto r (x3- 8) es una diferencia de cubos, por lo q ue debe continuarse la factorización siguiendo la fórm ula 2: El 1er factor se obtien e con las raíces cúbicas de cada u no de los térm inos y se forma el siguiente binomio: (x-2)
Luego, el 2o factor se obtiene a través del binomio y siguiendo la fórmula 2: el cuadrad o de la primera raíz (x)2, más el producto d e las dos raíces (*) (2), más el cuadra do d e la segunda raíz (2)2. Se for ma así el trinomio: (x2 + 2x + 4 )
Ejercicios
57
De lo anterior se concluye que la expresión dada queda totalmente factorizada de la siguiente forma: 8r* - 64 = 8 (at 3 - 8) = 8 (x —2) (x2 + 2x +4) Resumen de fórmulas de factorizacíón Expresión
=
Factorizacíón
Wx + Wy + Wz
—
Factor comú n W ( x + y + z)
=
Binomios conjugados (x + y) (x - y)
= =
Binomio al cuadrado (x + y)2 (• x - y ?
—
Binomios con término común (.x + a)(x + b )
acx2 + (ad + bc)xy + bdy2
—
Binomios con términos semejantes (ax + by) (ex + dy)
Suma y diferencia de cubos x3 + y3 x3 - y 3
— =
Knomio por trinomio (x + y) (x2 - xy + y 2) (x - y) (x2 + xy + y 2)
= =
Binomio al cubo (x + y y (x-yy
Diferencia de cuadrados j f - f Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y 2 x2 - 2xy + y 2 Trinomio general x2 + (a + b) x + ab
Trinomio general
Cubo perfecto x 3 + 3x?y + 3 x f + y3 x 3 - 3¿ y + 3 x f - y 3
Ejercicios 6.1 Factorizar comple tame nte las siguientes expresiones. h 3x2y + 6x2f
Z 52xV + lóry 3 + 26 z
3. jc (x + 2) + 3 (jc + 2) 4. Ix (4 x —3) — 4 (4* —3) 5. (Ir + i y + 2( 2x + l )2 6. 3 x \ 3 x + 1) - 6jc(3jc + l )2 7. (x + 3 ) ( x - 2 ) ~ 2(x + 5) (x - 2) 8. 2( x + 2 y — (x + 2) (x — 1) 9. 4x (x —7) — 2y (7 — x) ÍO.x1 ( 2 x - l ) - x ( l - 2 x ) lL3x(x-l)-6y(l-x) U.6x(3x-l)-12x2(l-3x) 13. z2 - 64 14. 16r2 - 9 f
15. 2x* - 5 0 / 16. y4— 4xz 17. 49m 4 - 16n1 18. 16n2 19. 4X3 - xy 2 20. 2 5 / - 49 2L 16 b 3 - 4b 5 22. y * - 16 23. *2 + Ix + 10
24. x2 — 8a: + 12 25. p2 —3p — 10 26. / — I6y + 15 27. w2 - 18w + 45 28. x2 + Sxy + 1 5/ 29. x2 - 4 xy + 4 /
58
Ca pítul o 6
Factorización
30. 2x2 - 14x + 12 3L 3 / - 33 y + 54 32. x3 - 3X2 - 18x 33. 2x3+ 6x2- 56x 34. 3x2 + 5x + 2 35. 2x2 + llx + 15 36. 5a2 - li a + 6 37. 4x2+ 13* + 3 38. 5m2 - 16m + 3 39. 10x2 - 27x + 5 40. 12z2 + 32z + 20 4L 2JC2 - 7xy + 3 / 42. 40.r5+ 5x2 43. 3a3- 81 44. 8*3 + 27 45. 64x3- 27y3 46. x6 + 1 47. 27a3 - 64 48. 27 - 8y3 49. 64 - x3 50. *Y - xy5 5L X2 + 7x + 12 52. x2 + 7x + 10 53. x2+ x - 6 54. 4x2 - 9 55. lSx2 - 38x + 24 56. lOx2 - 31 xy + 30y2 57. a2(a + 2) + (a + 2) 58. x2(x + 4) —3 (x + 4) 59. y2 (y + 2) —4 (y + 2) 60. 2x2 + 5x - 3 61. 8 X 2 - 6x + 1 62.18xV - 9X 2 63. 5(x - 4) - 10(x - 4^ 64. X2 - 16 65. 3x(2x - 5) - 6(5 - 2x) 66. m2+ 2mn - n2 67. 36x* + 6Q*Y + 2 5 / 68. x2 + 7x + 12 69. 2x2 - 18x + 16
70. 3a3- 18a2 + 21a 7L 2 x3y + x2y - 3xy 72. (3x + 2)(x - 4) + (1 + 2x)(4 - x) 73. 4 - 49x2 74. 8(2 y + 1) - 32(2y + l )2 75. 4*2- 4k + 1 76. 81c16- 126c8d6 + 49 á 2 77. x2- 9x + 20 78. ax2 + 5ax + 6a 79. ów2—25tv + 4 80. 6(2x + 1) + x(2x + 1) 81. x2y - 4 y .
16 8 _ i r 83. 49m2- 14m + 1 84. x2+ 60 + 17x 85. X3 w3 86. 64x3+ 27 87. 8 - 125z6 88. x2(x - 4) + 9 (4 - x) 89. 18x3+ 12x2y + Ixy2 90. 4X3 - 8X2 + 4x 91. 16 X* -y * 92. 10x2 + l lx - 6 93. llx3 - 27x 94. 6X2 - x - 1 95. a3- 8b3 96. (Abx3- b 97. 6(3x - 2) - 12y (2 - 3x) 98. 81a4 - 25Ò2 99. 2z2 (x + 3 y) - 6xz (x + 3y) 100. x6 - 7X3 - 8 10L 2a2^ - abe - 10c2 10 2./(y-2) + 9(2-y) 103. Ay2 - 16 y + 16 104. m2 - 6mn + 9 n2 105. 27X3- 6 4 / 106. pn + (f 107. 12a2 - 14a¿> - 1062 108. 16a4 - 81¿»4
.
7
.............
FRACCIONES SIMPLES Y COMPLEJAS 7.1 7.1 Fracci ones si mpl es 7. 2 Fracci ones compl ej as
Fracc iones s imples
Una fracción algebraica simple es aquella expresión que contiene números o letras o la combinación de ambos, tanto en el num erador como en e l denom inador. Considere qu e una fracción tiene tres signos asociados con ella: el signo que ante cede a la fracción, el del nu merad or y el del denominado r. Si se tiene que: -a a — ~ = - ; s i b * 0 —b b
Lo anter ior demue stra que el valor de u na fracción no se altera si se cambia, al mismo tiempo, el signo del n umera dor y el del denominad or. De igual forma, el valor de una fracción permanece igual al cambiar simultánea mente el signo de la fracción y el numerad or o el signo de la fracción y el denom inador. Esto se escribe de la siguiente forma: a
-a
-a
j = - b = - T
a = - - b ’s i b * °
Tal como lo muestran las igualdades anteriores, cualesquiera dos de los tres signos aso ciados con una fracción se pueden cambiar sin alterar el valor de la fracción. Cambiar el signo del nume rador de una fracción con más de un término significa camb iar los signos de tod os los términos de l num erado r, y lo mismo ocurr e si se cambia un signo en el deno minado r. Esto es equivalente a sacar el signo negativo como factor común. EJEMPLO —2x2+ 5 x - 6
—(2x2 -5 x + 6)
2x2 - 5x + 6
3x - 5
3x - 5
3x-5
-2x2 + 5x - 6
-2x2+ 5x - 6
-2x2 + 5x + 6
3x —5
-(-3x + 5)
-3x + 5
Si num erador y deno mina dor es tán factorizados, los signos de los término s de cualquie ra de los dos factores o los signos de los términos de uno de los factores y el signo de la fracción, se pueden camb iar sin alterar el valor de la misma.
59
60
Ca pítul o 7
Fracciones simples y complejas
• EJ EMPLO Uti l i zando l os concept os anteri ores escri ba una f racci ón equi val ent e a:
(6 - x) (7x + 4) _ ( - 1 ) ( - 6 + x) (7x + 4) _ — (.x - 6) ('Ix + 4) _ (x - 6) (7x + 4) (x - 6) (3x - 7) " (x - 6) ( - 1 ) ( - 3x + 7) “ - ( x - 6) (7 - 3x) “ (x - 6) (7 - 3x) • EJ EMPLO Uti l i zando l os concept os anteri ores escri ba una f racci ón equi val ent e a:
(3 - x) (4* + 3) ( x - 3 ) ( 3 x -7 ) Sol uci ón: apl i cando todos l os conceptos antes menci onados el resul tado queda repre sentado así:
(3 - x) (4x + 3) (- 3 + x) (4x + 3) (x - 3) (4x + 3) (x - 3) (3x - 7 ) ~ ( x - 3 ) ( -3 x + 7) ~ (x - 3) (7 - 3x) 7.1.1
Simp lificación de fracciones simples
Se dice que una fracción simple está totalmen te simplificada si el numerad or y el de nominador no tienen factor com ún, excepto el 1. Para simplificar una fracción se factorizan el nume rador y el denom inador, y si aparecen simultáneamente en ambas partes de la fracción uno o m ás factores comunes, éstos se eliminan con facilidad por me dio de la división. • EJEMPLO
Expresa r en términos mínimos la sigu iente expresión
4x2y3 2 xy Solución: hay dos m aneras de simplificar esta exp resión, una es aplica r las leyes de los
exponentes; otra, aplicar la factorizacíón. Se va a resolver este ejercicio po r factorizacíón, procedimiento cuyo resultado p ue de ser comprobado. Por lo tanto 2 xy (2 xf) „ „ 4 x Y ------- = -------------- = 2 x y , 2xy 2 xy • EJEMPLO
para*, v # 0
Simplificar a términos mínimos la sig uiente expres ión
2 xy 4x2y3 Solución: de nuevo se elegirá la factorizacíón para resolver este ejercicio. Así, el resul
tado qued a como sigue: 2xy
1(2 xy ) W
1
^ ) = ^
;ParaX’^ °
Observación: en los ejemplos anteriores se canceló el término 2 xy porque es un factor común; además, el num erado r y el denom inador están expresados como productos po r que es la única forma en que pue de se r eliminado un factor. • EJEMPLO
Simplificar a términos mínimos la sigu iente expresión
*2 - 3x + 2 x2 —5x "H 6
Secc. 7.1
Fracciones simples
61
Solución: p ara simplificar esta fracción es necesario expr esar el num erado r y el den o minador en forma de produc tos (factores); después se proc ede a simplificar. Esto es: x2 ~3x + 2
(x - 2) (x - 1)
xt-Sx + e
(,x-3 )(x-2 )
( *- 1) (x - 3 ) ' P
El factor que se cancela es (x - 2), así que las expresiones anterio res son iguales cuando x - 2 i* 0, esto e s x 5* 2. • EJEMPLO
Simplificar a términos mínimos la sigu iente expresión
x 2 - 4 x + 3 9 —x2
Solución: el prime r paso es factorizar el numera dor y el denominador: x 2 - 4x + 3 (x - 3) (x - 1) 9 - x 2 ~ (3 - x) (3 + x)
Obsérvese que la expresión no pu ede ser simplificada porque no hay un factor común. Sin embargo, de acu erdo con la teoría antes vista, si sacamos el signo - de fa ctor común tenemos un factor igual en nu merad or y denominad or, esto es: Jt2 - 4x + 3 _ (x - 3 ) ( x - 1) _ - ( 3 - * ) ( * - ! ) _ - ( x - 1) _ - * + 1 _ 1 3 + x x + 3' 9 - x2 (3 - x) (3 + x) (3 - x) (3 + x) (3 -h a:) si* 5*3. Ésta no es la única forma de simplificar una fracción. A continuación se presen ta otra alternativa para co mprobar su resultado; usted puede elegir cuál emplear para re solver este problem a. Alternativa II Primero hay que orden ar el numerado r y el denomin ador con respecto a x , tratando de trabajar con la variable cuadrática positiva en ambos para factorizar más fácilmente. A partir de la expresión dada se hace un cambio de signo en el denominador de esta forma: x2 - 4 x + 3 _ x 2 - 4 x + 3 9 - x2 - ( x 2 - 9)
El siguiente paso es fa ctoriza r la expr esión y luego h acer la simplificación, esto es: x2 - 4 x + 3 _ x 2 - 4 x + 3 _ (* —3) (x —1) _ (x - 1) _ x - l _ - x + l _ 1 - x 9 —x2 ~ ~( x2 - 9) ~ - ( x - 3 ) ( x + 3 ) ~ - ( 3 + x ) ~ ~ x + 3 ~ x + 3 ~ x + 3'
s i* # 3 . Como se puede apreciar, ambas a lternativas nos llevan al mismo resultado. • EJEMPLO
Simplificar a términos mínimos la sigu iente expresión
x + 1 (x+ 2)x + 1
Solución: en los ejercicios anteriores el numerador y el denominador tenían que es tar factorizados para pod er ha cer un a cancelación, es decir, sí había un factor común. Aquí en particular hay que ser cuidadosos para no hacer una cancelación errónea, ya que este ejercicio parece ten er a (x + 1) como factor com ún y no es así. Nótese qu e en el denom inador hay una sum a y no un prod ucto, po r lo tanto, primero se resu elven las operaciones indicadas en el denom inado r y después se factoriza la expresión resultante. A continuación se describe este p rocedimiento. x + 1 _ x + 1 _ x + 1 _ ___ 1 (x + 2) x + 1 x2 + 2 x + 1 (x + l)2 x + 1
62
Ca pítul o 7
Fracciones simples y complejas
7 .1 . 2
M u l ti p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e f r a c c i o ne s s i m p l e s
Para multiplicar o dividir fracciones simples hay qu e recorda r los siguientes conceptos: a c ac h — • — = — ;para6,d?*0. b d bd a c a d ad 2. — + — = — • — = — ;para b , c , d ^ 0. b d b c be
Para facilitar el producto y división de fracciones es conveniente simplificar cada una de las fracciones antes de efectuar las operaciones indicadas. • EJEMPLO
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
V2a2b2 36b 6b ' 2a2 Solución: se puede empezar haciendo la reducción a términos mínimos, de manera
que sea posible extr aer parte s a los coeficientes numéricos (del num erado r con los del denominador). Luego se aplican las leyes de los expo nentes a las variables hasta que el resultado quede en su mínima expresión. A continuación se muestra la expresión de s pué s de este pro cedimiento: \2a 2& 36 b (12)(36) a2b3 --------------- -- -——— ------- = 36¿>2 6b 2a2 Ua 2b • EJEMPLO Efectuar las operaciones indicada s y simplificar a su mínim a expresión
x2 y2 2x + 4y x + 2y x +y Solución: primero se reduce cada un a de las fraccion es,es d ecir,se factoriza p ar a verifi
car si hay factores iguales que puedan cancelarse en num erado r y denom inador, esto es: x ? - y 2 2x + 4y (x + y) (x - y) 2(x + 2y) „ =A.x-y) — r --------7 — = — --------------7 ------- x + 2y x + y x +y * + 2 y -----
• EJEMPLO Efectuar las operacione s indicadas y simplificar a su mínim a expresión
x( x + 2) + 2(2* + 4) *2 - (* + 2) x 2x(x + 2) + (* + 3) x + 4 * 2 -4 Solución: hay que tener cuidado al hacer una cancelación, pues ésta se efectúa sólo hasta que están totalmente factorizados el numerador y denominador. Enseguida se muestra el procedimiento:
* x( x + 2) + 2(2x + 4) x2 - ( x + 2 ) x _ x( x + 2) + 2[2(x + 2)] * 2 - * - 2 2x(x + 2) + (x + 3) x2 - 4 x + 4 2x* + 4x + x + 3 (* + 2) (* - 2) * + 4 x1 - x - 2 x *(* + 2) + 4(x + 2) 2*2 + 4x + * + 3 (* + 2) (* - 2) * + 4
_ (* + 2) (* + 4) * *2 - * - 2 2*2+ 5* + 3 ' ( x + 2 ) ( x - 2 ) ' x + 4 (* + 2) (* + 4) (* - 2) (* + 1) * (2* + 3) (* + 1) (* + 2) (* —2) * + 4
* 2*+ 3
Como puede observarse es mucho más sencillo hacer prime ro la simplificación de frac ciones y de spués las operacion es indicadas.
Secc. 7.1
Fracciones simples
63
EJEMPLO Efectuar las operaciones indicadas y simplificar a su mínim a expresión
x2 - 6x + 9 x2 + 8x + 7
x2 - x - 6 x2 - x - 2
Solución: una m anera fácil de resolver este problem a es cambiar la operación de divi sión por multiplicación y aplicar la teoría utilizada en los tres ejemplos anteriores. Para esto hay que recorda r la siguiente propiedad .
a b
c _ a d b
d _ ad c be
ft>r lo tanto, la expresión d ada es equ ivalente a: x2 - 6x + 9 x 2 - x - 2 x2 + 8x + 7 x2 - x - 6
Ahora se procede a factorizar cada uno de los factores del num erador y del denomina dor, cancelando aquellos que sea n iguales hasta obte ner el resultado final como se ve enseguida. x2 - 6x + 9 ¿ - x - 2 (x - 3)2 (x - 2) (s + 1) (jr - 3) (x - 2) ¿ + 8* + 7 ’ X2 - * - 6 ” (* + 7) (x + 1) ’ (x - 3) (x + 2) “ (x + 7) (* + 2) Observación: para concluir este tema hay que enfatizar que la herramienta más útil par a realizar o peraciones con fraccion es es la factorizackm, rec urso qu e tamb ién será aplicado en temas posteriores. 7 . 1. 3
S u m a y r es t a d e f ra c c i o n e s s i m p l e s
Para sum ar o re star dos o más fracciones que tienen el mismo denomin ador, lo único que hay que hacer es sumar o restar todos los términos de los numeradores y después neescribir la fracción como el to tal de la suma o resta de los num eradores en tre el d e nominador. • EJEMPLO
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
A . ! ? _ 5 + 5 "
Solución: las fracciones tienen el mismo denominador, así que basta con sumar los nume radores y reescribir la fracción como la suma de los numerado res entre el mismo denominador. E s decir: 3_ 12 3 + 12 15 5 + 5 ~ 5 ” 5 “ • EJEMPLO
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
J _ _ j L 4 4 ” . . . 1 3 1 -3 2 1 So lucio n : ----------= -------- = ------ = -----4 4 4 4 2 • EJEMPLO
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
5a ^ 2b 2xy 2xy
4b - 5a 2xy
64
Ca pítul o 7
Fracciones simples y complejas
Solución: este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores, sólo hay que
tomar en cuenta que no se está trabajand o con cantidades numéricas sino con expresio nes algebraicas. Por lo tanto e s necesario c orrobo rar que en tod as las fracciones esté el mismo denominad or. Observe: 5a 2xy
2b 2xy
4b - 5a 2xy
5a + 2b - (4b - 5a) 2xy 10a - 2b _ 2(5a - b ) 2xy 2xy
5a + 2b - 4b + 5a 2xy 5a-b xy
A continuación se explicará el procedimiento para sumar y restar fracciones que no tienen el mismo denominador. El procedimiento es diferente y se compone de los si guientes pasos: L Factorizar cada uno de los denominadores p ara extra er un factor que los divida a todos. Dicho factor es llamado mínimo común deno mina dor (MCD). 2. El MCD se form a con el producto de los distintos factores de los denominadores. Si hay un factor que se rep ite con diferentes exponentes, debe elegirse el que con tenga el exponente más grande. 3. Un a vez que se ha obten ido en M CD se le divide entre c ada uno de los deno mi nadores. El resultado de la división se multiplica por cada uno de los términos del nume rador y se obtiene una nue va fracción. Efectuando las operaciones indicadas y simplificando se obtiene el resultado de la expresión dada. A continuación se aplica este proc edimiento en varios ejercicios. • EJEMPLO
Efectuar las operacione s y simplificar a su mínima expresión
Solución: al factorizar el 10 como (2)(5), encontramos que el MCD entre 5 y 10 es, justam ente, 10, ya que el mínimo común de no minad or es un nú mero formado con el producto de los factores repetidos (5), po r los factores no repetidos (2), y es capaz de dividir a todos los denominadores. Por tanto, el resultado de la expresión dad a es: 3_ 7 (2) (3) + (1)(7) 5 + 10" 10 • EJEMPLO
6+7 13 10 ” 10
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
3 _______________ 2 ________ ( x - l ) ( x + 3) " (x + 2 ) ( x - l ) " Solución: obsérvese que ya están factorizados los denominadores, por lo que única mente hay que obtener su MCD. De acuerdo con la teoría antes mencionada, el MCD es: (x - 1) (x + 3) (x + 2); el factor (x - 1) se pone una sola vez porqu e está repetido. El resultado de la expresión se represen ta así: 3 (x - 1) (x + 3)
• EJEMPLO
3(x + 2) - 2 ( x + 3) 2 (x + 2 ) ( x - l ) ~ ( x - 1) (x + 3)(x + 2) 3x + 6 - 2 x - 6 x _ ~ (x - 1) (x + 3) (x + 2) ~ ( x - 1) (x + 3) (x + 2) Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
3 x + y x2 - y 2
2y x 2 - xy
1 x + y
Solución: el primer paso es factorizar todos los denominadores para ob tener el M CD que, como segundo paso, se divide entre cada uno de los denominadores, de manera
Secc. 7.1
Fracciones simples
65
que cada resultado se multiplica po r el numerador correspon diente. En el terc er paso se efectúan las opera ciones i ndicada s y se simplifica el resultado final. Procederemos a factorizar cada uno de los denominadores. x2 - y2 = (x - y) (x + y) yx2 - x y = x ( x - y ), (x + y) = (x + y)
entonces: el MCD = x ( r — y) (x + y). La expresión dada q ueda resuelta así: 3 x + y x2- y 2
2y x1 - xy
1 x +y
3 x + y (x + y ) (x — y)
2y x (x - y)
1 x + y
_ x(3x + y) - 2y(x + y) - x(x - y) x(x + y) (x - y) 3x2 + x y - 2 x y - 2 y 2 - x2 + xy x( x + y) (x - y) 2(x2 —y 2) x( x + y ) ( x - y ) 0
EJEMPLO
2x* - 2y2 x(x + y) (x - y)
2(x + y) (x —y) x(x+ y)(x-y)
2 x
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
_5 _____ 4 _____ 3_ x3y x2)? xy 3 Solución: a diferencia de los ejemplos anteriores, en este ejercicio no aparecen las op e raciones de suma o resta en los denominadores, así que no será necesario factorizar los denominadores para de terminar el MCD, que simplemente se obtiene con el producto de la máxima potencia de x y la máxima potencia de y. Por lo tanto el MCD es: x3 y 3, de lo que se desprende que: 5 _____ _
x*y
3 _ 5(y2) - 4 (xy) - 3(x2) _ 5y2 - 4 xy - 3x2
*2y2
xy 3
xy
xy
Observe que el resultado ya no puede ser simplificado porque la expresión del num era dor no tiene un factor igual al del denominador, de modo que éste es el resultado final. • EJEMPLO
Efectuar las operaciones y simplificar a su mínima expresión
3x 2xz + 3xy - 2y2
y ___________2 x + y _ x2 - 4 y 2 Tx2 - 5 xy + 2 y2
Solución: como los denominadores no están factorizados ése es el primer paso para resolver el problema, po r lo tanto: 2x2 + 3 xy - 2y2 = ( 2 x - y ) ( x + 2y) *2 _
4 y 2 =
( x + 2y ) ( x - 2 y )
2x2 ~ 5 xy + 2 y2 = (2x - y) (x - 2y)
El MCD es: (Ix - y) (x + 2 y) (x - 2y). Por lo tanto, el resu ltado de la expresión dad a es: 3x 2x2 + 3xy - 2y 2
y x2 - 4 y 2
2x + y 2x2 - 5 xy + 2_y2
3x y •+ (2x - y) (x + 2 y) (x + 2 y) (x - 2y)
2x + y (2r - y ) ( x - 2y)
3 x ( x - 2 y ) + y ( 2 x - y ) - ( 2 x + y) (x + 2 y) (2x-y )(x + 2y)(x-2y)
66
Ca pítul o 7
Fracciones simples y complejas
= 3x2 - 6xy + 2xy - y2 - 2x2 - 4 xy - xy - 2 f (2x -y)(x + 2y)(x-2y) _
x ¿ - 9 x y - 3y 2 (2x-y)(x+2y)(x-2y)
Observe que el num erador ya no se pu ede factorizar, así que ésta es la respuesta.
7.2
Fracciones comple ja s
Una fracción compleja es aquella expresión en la que al menos uno de sus dos miem bros (nu merad or o denominador) e stá com puesto p or fracciones. EJEMPLO
2 — 1 + — 3
? 5 7.2.1
x--------------x y ---------------+ ——— y x-y x+y
7 7 Ï ’ ^
*2 ->>2
Simp lificación de fracciones compleja s
Para simplificar una fracción compleja basta con simplificar el numerado r po r una p ar te, el denom inado r por otra o los dos al mismo tiempo. Hecho lo anterior se abor da la división de la forma que más convenga, po r ejemplo, se puede d ejar el num erador igual y multiplicar por el recíproco de l denom inador d e la fracción compleja. Otra m anera de resolver la división consiste en, ya simplificados num erado r y deno minador, dividir extremos po r extremos (queda el num erador de una fracción simple) y medios po r medios (que es el denom inado r de la misma fracción simple). Finalmente se verifica si la fracción resultante ya no puede ser simplificada. a c Si la fracción compleja e stá escrita así: — + —,se pu eden simplificar por sepa rado b a las fracciones de manera que la división indicada se hace en forma cruzada, es decir: a c ad ~b ~ ~d ~ ~bc
Cualquiera qu e sea la opción elegida el resultado deb e ser el mismo. • EJEMPLO
Simplificar la siguiente expresión
■ 4
2- l Solución: con la opción de simplificar el numerador y el denominador de la fracción
compleja al mismo tiempo, se tiene que: 1
i 2 9_A 2
2 +1 3 2 = 2_ = A 4 -3 1 2 ~Y~ 2
i_ = A = 3 1 2
Observe que para simplificar el numerador y el denominador se tiene que sacar por separado el mínimo común denom inador de cada un o de ellos. Despu és se resuelven las operaciones y, po r último, se efectúa la división, que en este caso se realizó invirtiendo el denominad or de la fracción compleja.
Ejercicios
EJEMPLO
67
Simplifica r la sig uiente expres ión
2+— x
Solución: se obtienen los MCD del nu mera dor y del denominador, que son, respectiva men te,*2 y *. Después de las operaciones se tiene:
.
1
4x 2 — 1
» 7 Luego, al multiplicar extremos po r extrem os y medios po r medios, se obtien e el siguien te resultado: _i_ x2 J_ X
4X2 —1 x2
x(4 x2 - 1)
2 x + l
(2x + 1) (*2)
X
Simplificando esta última expresión el resultado final es: 4
1 4x2 - 1 x 2 *2
2 + — X
EJEMPLO
2* + 1
x(4 x2 ~ 1)
x(2x + 1) (2x - 1)
(2* + 1) (x2)
x2(2x + 1)
2x - 1
X
Simplifica r la sig uiente expres ión
a-
2 a - 1
1 2 a - 1 + (a - l)2 Solución: como en el ejemplo anterior, primero se determinan los MCD del num erador y denominador, que en este caso son: a —1 y (a — l ) 2, respectivamente. Efectuan do operaciones se obtiene:
a_
2 a- 1
1 , ^ a -l (a -1 )2
a (a - 1) - 2 a -1 a —1+ 2 (a - 1)2
a2- a - 2 a- 1 a +1 (a - l )2
(a2 - a - 2 ) (a - l)2 (a - 2 ) (a + l)(a - l)2 .......................... (fl- i ) (fl + i) = - - a - i y ^ +— = ( « - 2 ) (« - i)
Ejercicios 7.1 I. Reduzca las fracciones dadas a su mínima expresión. 24ab2c 18a2bc2 32af>b 18a4b6
«5#
ax + 3x a2 + 3a 3x x* + 2x
68
Ca pítul o 7
Fracciones simples y complejas
3x 6x + 9
5.
4x+ 12 x+ 3
Ix + 21 y
x 2 - 6x y + 9y2
x2 - 9 /
X2
- 2xy - 3 f
2x2 - 9x + 9 2x 8x - 12 x2 - 3x
7.
x2 —2x x1 - 4x + 4
n
x+3 x3- 27 x —3 x2 + 3x + 9
8.
x2 —2x —& 4 —x
8.
x3+ 8 x+3 x2 - x - 6 x2 —2x + 4 2a(a + b f 3¿>3
9.
4x-8 4-2x
9.
.
2r —3 3 - 2x
10.
10p5 24q2(2p+3qf 9^3(4p2- 9 ÿ ) 5/>3
x2 - 25 (x-5Y
IL
7¿>c 9a
12
.
6x2 - 13* + 6 3* —2
1Z 64x3-Ï-
13.
2h2 + 3h - 2 3/j2+ 7/1 + 2
13.
14.
x2 + 4r + 3 x2 - x - 2
10
1L
15. 16.
r3 y3 x2 —y2 m6_„6
tf ia - b ) 12a2b2 8a3(a + ¿>) a2- b2
14c a2 8x2/ 3
15.
a —b 9a + 9
a2- b2 a2 + 2a + 1
16.
2x2 + 9x + 4 x2 + 7x + 12
2x2 - x - l (x + 3)2
17.
Ix2 - Sx - 12 2X2 + l lx + 12
17.
3a2 - a - 10 10a2+ a - 2 8x2- 2 a - 3 3a2 + 20a + 25
18.
x2 + 2r - 8 2x2 + Ux + 12
18.
x2 + 4 x y - Uy 2 x2 - 6xy - ly2 x2 + Ix y + 6 / x2 - xy - lly2
16x + 4 óx2 - 5x + 6 +
15X2
20.
2X2+ 6x + 4 4X2+ 20x + 24
IL Efectuar las operaciones indicadas y expresar su resultado en términos mínimos. 2Sy 5x_ Í5x * ly
5a2 + 8a - 4 12a2 + l i a - 15 x2 - 9 x y + 1 4 y 2 x2 - xy - 12 y2
I1L Efectuar las operaciones indicadas y simplificar a su mínima expresión x -1 x +• 6 x+11 2x + 5 ■+ 8 8 3x + 6
4x2 9a2b 3tfb'^2x~
x + y x- 6
llx2 36 xy5 6 y2 ' 12
—2x —4 x2 + 2x + 1
3x + 5 x2 + 2x + 1
x2 + x y2 - !
—2x + 6 x2 + x —6
3x —3 x2 + x 6
y + 1 x+ 1
p *
6x2 -2xw y5 6x + 9 14. x2+ 8x + 7 ' x2 - x - 2
-
19.
(2p - 3g) 6^
5x - 2 y x- 6
Ejercicios
+
4jc
7*
3x +
12
3 —x
~
X _ L
15
3 —x
,
------ £ 1 + JC
4 3 8. — + — x
2x
6
3
“7 y ” 2 1 ----H — a 2a
9‘ í 2 + 2x 3
10‘
4x2y
+ 5 jc /
13.
*• T 2 - a a
3
1
x - 2
2 -x
jc 2
- 4
n 9-
2 jc
16. 17.
xr uy _- x ri2
a — — b
f-x y
3
x2 - 9x + 8
¿-te-ie
2
2
1 2* - 1 1 2c - 1
m2 - 1 ________ 2 m3+ 1 m2- m + 1
2a 2 - 5¿>2 a - 2¿ 18. - i ------ ;-----~ T + a2 + a b - 2 b 2 a + 2b
a —2b a-b
IV. Simplifique las fracciones complejas para obten er una fracdón simple en términos mínimos.
L
b
¡
r~ + 2 — ba
5
2_
a
ab
y _________ x
______
1 , 1
+ 2
x + 3 2 14. —z — ------- — — ------ - jc2 — 3jc — 10 x —5
ic
^
^
b
x + 2
—
a+ 2
7
1L a - b + 12.
7.
* -y 12.
+ y
jc
3jc -
1
1 ' 3jc —
1
H
+ y x —y jc
1
1
X
x - y x + y
4
,- «
x2 - X - 6
1- —
* x~+6 2+ .c2 - * - 6
21 J_ _ 2_ 2 ~ 5
1 + 2. 2 10
»•2 jc2- /
____
14.
2x
J
y-*
1+3
p+2
15a J L
_5_ ¿>3 36-r4
5/z5 9jc/
15z5
!
- 2
p + 2
15. ------------ 7------3 - p +2
69
r
f
T
i
ECUACIONES
8.1
Definición de ecua ción
Introducción
8.2
Clasificación de las ecuaciones
8.3
Solución de ecuaciones de primer grado con una variable
La gráfica de una ecuación lineal es u na línea recta que d ebe cumplir con ciertas condi ciones. Lo más com ún p ara realizar la gráfica e s ten er do s pu ntos, P 1(A:1,y 1) y P2(^ , y¿), y ubicarlos en un sistema coordenad o. La distancia entre ellos se calcula utilizando la siguiente fórmula:
8.4
Ecuaciones que comp renden fracciones
8.5
Ecuaciones cuadráticas
8.6
Ecuaciones con radicales que conducen a ecuaciones lineales
8.7
Aplicac iones de las ecuaciones lineales
d = V ( x l - x i y + (y¡ - y 2)>
Otro d e los conceptos relacionados con la línea recta (gráfica de u na ecuación lineal) es el cálculo de su pend iente, la cual representa la tangente d el ángulo de inclinación. Si conocemos dos puntos de la recta, P ^ , ^ ) y P ^ x ^ ^ s u pendiente se determina por: m = y i - y i *2"*1 Ecuación punto-pendie nte
La ecuación y —y 1 = m( x — es la de una línea recta y se obtiene a partir de dos pu n tos o de un pun to y la pendiente. Cuando sólo contamos con e l dato de los dos puntos, se determina la pendiente con la definición del párrafo anterior (la pendiente rep resenta la tangente del ángulo d e inclinación). Ya con este dato y cu alquiera de los dos puntos se construye la ecuación de la recta. Ecuación general de la recta
La ecuación A x + By + C = Oes conocida como ecuación general de la recta, dond e A, B y C son constantes con B 5* 0. La ecuación general puede obtenerse al igualar a cero la ecuación punto-pen diente y acomodar sus términos. Si se tiene la ecuación general de un a re cta A x + B y + C = 0, puede determinarse su pendiente despejándola hasta que qu ede y = m x + b (llamada ecuación particular de la recta), donde m representa la pend iente y ¿l a intersección con el eje y. La pendiente y la intersección con el eje y de una recta pueden determinarse a pa rtir d e la ecuación g en eral A x + B y + C = 0, dond e m = —— y la intersección con c B el eje y e s ------. B Se dice que un a recta es paralela a otr a cuando sus pendien tes son iguales, m l = mr Se dice que una recta es perpe ndicular a otra cua ndo sus pendien tes son recíprocas , . 1 1 entre sí y tienen signo contra no, esto es: m. = ------ o m, = ------- . m2 1 ml 1 71
72
Ca pítul o 8
Ecuaciones
DL Determine la ecuación de la recta que cumple con las condi
Ejercicios 8.1 I. Determine la distancia entre los siguientes pares ordenados. L P, (3, —2),P2 (—1,3) 2. P, (0,3), P2( —1,3) 3. P, (7,2), P2(7, —2) 4. p, g . f ) . p4 i ) 5. P, ( —1, —3),P2(—5, —4) IL Determine la pendiente de la recta que pasa por los siguien tes pares de puntos. L Pj (3,2), P2( —1,4) 2. P,(-3,0),P2(1,0) 3. P, (1,3), P2(2,3) 4. P, (—3, —3),P 2(—3,2)
ciones establecidas. L Que pase por el punto (-1,3); m = 2. 2. Que pase por los puntos (3,2) y (-1,4). 3. Que pase por el punto (1,2); m = — 4. 5. 6. 7.
Que pase por los puntos (3, -2 ) y (0, -2) . Que pase por el punto (3,5); m —0. Que pase por el punto (2,3) y sea paralela a x - y = 4. Que pase por el punto (0, 1) y sea perpendicular a 3x-2y +1=0.
8. Que pase por el punto (1,1) y sea paralela a y = x. 9. Que pase por el punto y sea perpendicular a 5* - 3 y = 1. 10. Que pase por el punto (0,0) y sea paralela a 2x + 4 y +
5. P, (0,0), P2(3,0)
2
8.1
=
0.
Defi nici ón de ecu a ción
•• Una ecuación es una igualdad de do s expresiones algebraicas. A esas expresiones se les llama miembros de la ecuación; el miembro que aparece d el lado izquierdo de la igual dad se le llama primer miembro, mientras que el que se enc uentra en e l lado derec ho se le llama segundo miembro. • EJEMPLOS
h 2 x - 3 = 5x + 2 Z 3 y - 5 = 2 2 3. - - 1 = 4 x
8.2
Clas ificación de las ecua ciones
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- • • Hay dos tipos de ecuaciones con las que comú nmente se trab aja, uno son las llamadas ecuaciones identidades; mientras que en el otro son las ecuaciones condicionales. Las ecuaciones identidade s son aquellas que resultan válidas para todos los valores posibles de las letras qu e contien en. •
E JE MP L O
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
Sise asigna cualquier valor a a y a b, efectuamos las operaciones indicadas en cada lado de la igualdad y obtenem os el mismo resultado, estamos ante una ecuación identidad. Otros ejemplos de ecuaciones identidad son tod os los productos no tables vistos con anterioridad. Las ecuaciones condicionales son aquellas que, como su nombre lo indica, están condicionadas a algún(os) valor(es) de su(s) variable(s), es decir, la igualdad se cumple sólo para ciertos valores de la variable. • EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación * +3 = 5
Secc. 8.3
Solución de ecuaciones de primer grado con una variable
73
Solución: sin utilizar ningún métod o de solución podemos dedu cir que el único valor
que satisface la igualdad es x = 2, po r lo tanto, la ecuación es del tipo condicional. Por otro lado, si la ecuación contiene sólo un a incógnita (el valor que se descon oce) a cada solución se le conoce como raíz. Por ejemplo, la raíz o solución de la ecuación anterior es x = 2. Las ecuaciones equivalentes son aque llas que tien en la misma solución. Por ejem plo, p or sustitución directa se compru eba qu e x = 2 es la solución de x + 3 = 5 y de 4x + 3 = 11, po r lo tanto, dichas ecuaciones son equivalentes.
8. 3
S o l u c i ón d e e c u a c i o ne s d e p r i m e r g r a d o con una variable ------------------------------------------------------------------------------------------------------------•• En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma ax + b - Oo que son reducibles a dicha forma. En la ecuación ax + b = 0, b representa cualquier número y a cualquier número distinto de cero. Esta ecuación es de prim er grado en x y es llamada ecuación lineal. Una ecuación de primer grado es aquella en la que la incógnita del numerador tiene como expon ente uno. Para resolver una ecuación de este tipo hay que acomo dar del lado izquierdo de la igualdad todos los términos que contenga n la incógnita; a la derecha los términos cons tantes, o viceversa, según conveng a. Toma ndo en cue nta que : a. Si un término está en u n lado de la igualdad, sumando o restando, pasa al otro lado de la igualdad efectuando la operación contraria. b. Cada lado de la igualdad debe qu eda r reducido a un solo término.
c. Si un núm ero está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa hacia el otro divi diendo a todos los términos de ese lado y conservando su signo. • Si un número e stá dividiendo de un lado de la igualdad pasa hacia el otro m ulti plic and o a todo s los términos d e ese lado y conservando su signo. • El resultado de una ecuación debe expresarse de la forma más simplificada posi ble. • EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
5x - 8 = x + 2 Solución: al pasa r al lado izquierdo las x y al lado derecho las constantes, obtenem os la
siguiente ecuación equivalente: 5x - x = 2 + 8
Después de efectu ar las operacion es indicadas tenemos que: 4* = 10 R>r último, para de spe jar x vemos que el 4 está multiplicando, entonces pasa dividiendo al otro lado de la igualdad. El resultado es: 10 5 x ~ 4 ~ 2 La solución se puede comprobar sustituyendo este valor en la ecuación original para verificar la igualdad. • EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
3 (3* -1 ) + 4 (9 - 5x) = 0
74
Ca pítul o 8
Ecuaciones
Solución: pa ra resolver la ecuación con respecto a x primero hay qu e efectuar las o pe
raciones indicadas y, posteriorm ente, d ejar las x de un lado y las cons tantes del otro. P or lo tanto, la ecuación dada e s equivalente a: 9* - 3 + 36 - 2Qx = 0 y a su vez esta ecuación es equ ivalente a: 9x - 20x = - 3 6 + 3
Haciendo operaciones y despejando la variable tenemos que: -11* = -33 -3 3 *=3 Nota: todos los resultados de las ecuaciones pueden comprobarse sustituyendo en la ecuación original el valor obtenido, por ejemplo, par a el problema anter ior la comp ro bación es: 3 (3* —1) + 4 (9 — 5x) = 0
3 [3 (3) - 1] + 4 [9 - 5 (3)] = 0 3 [9 - 1] + 4 [9 - 15] = 0 3 [8] + 4 [-6] = 0 24 - 24 = 0
0= 0 # EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
* (x - 8) + 3x2 = 2 (x - 2) (2x + 1) Solución: efectuando las operaciones indicadas tenem os que:
x ( x - 8 ) + 3x2 = 2 ( x - 2) (2x + 1) x2 - 8 x + 3x2 = 2 (2x2 - 3 x - 2 ) x2 - 8x + 3x2 = 4x2 - 6x - 4 x2 - 8 x + 3x2 - 4 x 2+ 6 x = - 4 —2x = - 4 *
_ - 4 -2
x —2
# EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
(x + l ) 2 - ( x - l ) 2 = x + 9 Solución: efectuando las operaciones indicadas y despe jando ate ne m os que:
(x + l )2 - ( x - l ) 2 = x + 9 x 2 + 2 x + l - ( x 2 - 2 x + l ) = x + 9 x 2 + 2 x + l - x 2 + 2 x - l = x + 9 3x = 9
9 *"3 x=3
Secc. 8.4
8.4
Ecuaciones que compren den fracciones
75
Ecuaciones que com pren de n fracciones
•• Son aquellas que incluyen fracciones en alguno de sus términos. Se resuelven multi plicando todo s los términos p or el mínimo común múltiplo de los den om inadores (el MCM divide a todos los denominadores), esto hace que la ecuación se convierta en un a ecuación ente ra, lo cual facilita su solución. • EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
5 6 X
7 2 9*+ 3
1 4 X
8 9
Solución: hay varias alternativas par a resolver este problema, una es pas ar de u n solo
lado las x y del otro las constantes y efectuar las operaciones indicadas para despej ar a x. Otra alternativa es determinar el mínimo común denom inador de cada lado de la igual dad y despu és resolver las operacion es para de spejar a x. Un a terc era opción es, como se mencionó en el párrafo anterior, sacar el mínimo común múltiplo para convertir la ecuación dada en una entera, de m anera que sea fácil desp ejar el valor de x. Aplicando este último procedimiento tenemos que el MCM de todos los denomi nadores es 36, de a quí que la ecuación dada es equivalente a:
Al efectuar las operaciones y despe jar la variable tenemos: 6 (5*) - 4 ( I x ) + 12 (2) = 9 (1*) - 4(8 ) 3Qx - 28* + 24 = 9* - 32 3Qx - 28* - 9* = -3 2 - 24 - l x = - 5 6
*
56 -7
*= 8 • EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
Solución: como la ecuación compren de fracciones hay que multiplicar ambos lados por
el MCM de los denominado res para o bten er una ecuación sin fracciones. El MCM es 4, po r lo tanto ten emos que:
Es equivalente a:
Efectuando las operaciones indicadas y despejando * tenemos: 3 * - 2 + 12 = 4 * - 2 3* - 4* = -2 + 2 - 12 -* = -12 -1 *=12
76
Ca pítul o 8
Ecuaciones
Afora:hay ecuaciones que co ntienen fracciones, lo que significa que sus denom inadores no son sólo núm eros sino términos con variables. En tal caso hay que evitar que la solu ción sea un valor que anule al o a los denominadores, porqu e la división entre cero no existe. Si esto sucede se dice que la ecuación no tiene solución. Por ello, antes de resol ver el problem a se recom ienda determ inar el o los valores que no pu eden ser solución. Los valores permisibles para las variables de u na ecuación son todos a quellos con los que se cumple la igualdad. • EJEMPLO
Resolver para x la sigu iente ecuación
- + 3 x + 1 8
5 1 2(x + 1)
2
Solución: considérese x £ —1 y que el MCM de los denominadores es 8 (x + 1). En
tonces tenem os que: 8 (x + 1)
x + 1
8
i]
2 (x+1 )
8x( x + 1) 3(8)( x + 1) _ 5(8) (x + 1) x + 1 + 2 (x + 1) 8
8(x + 1) 2
8(x) + 3 (x +1) = 20 + 4 (x + 1) 8x + 3x + 3 = 20 + 4x + 4 8x + 3x - 4x = 20 + 4 - 3 I x =21
21 *= 7 x = 3 •
EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
3 x - 4
2 x - 3
6 x 2 - I x + 12
Solución: considérese x 4- 4, x * 3 y que para obtene r el MCM tienen que estar com
pletamente factorizados to do s los den om inadores, de aquí qu e: x 2 ~ I x + 12 = (x ~ 4) (x - 3)
por lo tan to, el M CM d e los d enom inadores e s (* - 4) (x - 3). Con esto tenemos que: (*-4) (*-3) 3 (x —4) (x —3) x - 4
x - 4
x - 3
2 (x —4) (x - 3) x - 3
6 (x - 4) (x - »
6 ( x - 4) (x - 3) (x - 4) (x - 3)
3 (* - 3) —2 (x - 4) = 6 3* -9-2* + 8= 6 3 * -2 x = 6 + 9 - 8 x —1
EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación
2 x - 4 =_ 3 + * -3
* -3
i
Secc. 8.4
Ecuaciones que compren den fracciones
77
Solución: considérese x í 3 y que el M CM es (x - 3), de aqu í que: ~2x — 4
( * - 3 ) x - 3 = 3 + — - 3 j1 ^ - ; _ (7
3 ) = 3 ( , - 3 ) + ^
2 jc -4 = 3 (jc
^
— 3) + 2
2 * - 4 = 3 j c - 9 + 2 2 x - 3 *
= - 9 + 2 + 4
—x =
- 3
x= 3
Observación: 3 no es una raíz de la ecuación dada p orque este valor hace al denom ina dor igual a cero. Por lo tanto , se concluye qu e la ecuación dada no tiene solución. •
EJEMPLO
Resolver para x la siguiente ecuación 3
_
1 _____________1 _
x2 —4
x -2
x +1
recuerde que p ara o btener el MCM de los denominadores, éstos tienen que estar totalmente factorizados. Entonces tenemos que :*2 - 4 = (x - 2) (x + 2 ) . Luego, observe que el MCM de los denom inadores e s (x - 2 ) ( x + 2 ) (x + 1). Considere* í 2 , x ± - 2 y x * -1 . Solución:
(x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + l ) 3
3
1_____________1 _ 1
_(* + 2)( * - 2)
(* + 2 ) (x — 2 ) (* + 1) _ (x (x + 2) (* - 2) 3
(x 3x
+
1)
=
(x
+
(x - 2 ) (* + 1) x - 2
2)
+ 2 ) (x +
+ 3 = *2 +
3* + 3 =
x + 1 J
x - 2
x 2 +
3 j t - x 2 - 3 A ; + * 2 = 2 +
3x
+ 2 -
3* + 2 -
4-
1) - (x (* 2 -
+ 2)
(x +
2)
(s - 2 ) (x + 1) x + 1
( x - 2)
4)
x2 + 4
3
0 = 3
Debido a que la última igualdad es una contradicción, se concluye que la ecuación no tiene solución.
Ejercicios 8.2 I. Resolver las siguientes ecuaciones. h
r n 1 « o I 0
2. Ix + 8 = -3 3. 3w — 2 = w — 6 I u 1 1 * O 4. ► J x I ■ 1 * 5. 6. 7. 8. 9.
1
1
14. —jc + 4
3 ( jc + 2 ) = 5 ( jc - 1 ) h
,
+ e n 1
1
1
i a«
2 9 = - 4 3 + jc
p 2 + 6 p - 1 = p 2 - p + 6
1
13. —JC+ —JC= — 4 2 6
2 ( jc - 3 ) = 3( jc + 1 )
T
10. (w - l)(w + 1) = w (w - 4) 11. (r —l) 3= x * (x — 3) + jc 12. (jc + 3)2 + ( x + 2 y = x 3 + 7x2 + 9
1
15.
2 3 = — jc + 5
3
2
5 - ~ x = j x + 2
16. 1
2 X
1 _ 1 3
* 6
4
78
Ca pítul o 8
Ecuaciones
17. y ( f - 2 ) + j / = 2t + j
23.
3* + 1
8x + 1
1 s + -1 = 1— 3- — s 18. —
24.
4 * - 2
3 *+ 1
8 (jc - 2) (jc + 1)
19. ^ L l l = w - 3
25.
1 2x + 3
3 jc —3
3 (2 r + 3) (x - 3)
*
+ != • 4
4
2
2
4
3
.
20
.
21
3jc - 2 + 3 _ 4x - 1 2s-9 3
26.
= x - 3 3
27.
22. 3r + 1 0 _ f _ 4 = 3r + 6 2
28.
4
8.5
jc
—4
3y = 7 -
y + 4
jc
21 - u —3
- 4
jc
12 y + 4
jc
6
—3
Ecuaciones cuadrá ticas
Definición: una ecuación cuadrática es una expresión algebraica de segundo grado que
se represen ta: ax2 + bx + c - 0; don de a , b y cson números reales y a & 0. Ecuaciones de las formas: 3x* - 5 = x2 + 2x -1
5x*-l=2x
que se pued en re ducir a la forma general de una ecuación cuadrática, también son ecua ciones de este tipo. Para resolver una ecuación cuadrática es necesario encontrar el conjunto de solu ciones o las raíces de la ecuación. Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización
El procedimiento gene ral es: a. Escribir la ecuación en su forma general (igualada a cero). b. Factorizar completam ente el lado izquierdo.
c. Igualar a cero cada uno de los factores. d. Desp ejar la variable de cada uno de los factores. • EJEMPLO
Resolver la ecuación 9X2 - 25 = 0
Solución: como ya tenemos la ecuación en su forma general empezaremos por facto-
rizarla: (3x + 5) (3* - 5) = 0
Igualamos a cero cada factor: 3x + 5 = 0
y
3x - 5 = 0
Despejamos la variable de cada uno de los factores: 3x = - 5
3x = 5
5 5 x 3 '33 X ft>r lo tanto , la solución o las raíces de la ecuación son:
Secc. 8.5
• EJEMPLO
Ecuaciones cuadráticas
79
Resolver la ecuación x2 - x = 2
Solución:
x2 - x - 2
0
=
(x - 2) (x + 1) = 0 x
-
2=0
y
*+ 1= 0
x =2
x=-l
ft>r lo tanto , la solución o ra íces de la ecuació n son: {-1,2 }. • EJEMPLO
Res olver la ecua ción 7X2 - 11x = 0
Solución:
(7x
*
x = 0
- 1 1) = 0
l x - 1 1 = 0
y
l x = 11
11 R>r lo tanto , la solución o raíces de la ecuación son: • EJEMPLO
1«
Vi
Re solverla ecuac ión 18x2 + 3 = 29x
Solución: 1 8 a :2 (9 a : 9a: - 1
-
=0 9a:
-
1) (2 a :
y =
29 a:
+3=0
- 3) = 0
2a:
- 3 =0
1
1 *=9
2a:
=3
3
Ibr lo tanto, la solución o raíces de la ecuación son: Nota: existen ecuaciones cuadráticas de la forma ax1 - c = 0, en las que a y c o alguna de ellas no tiene raíz exacta. En este caso la ecuación se puede resolver más fácilmente si sólo despejamos la variable con el siguiente procedimiento:
a. Pasar el término independiente c del lado derecho d e la igualdad. b. En caso de que x2 tenga coeficiente diferen te de 1, pasa r este coeficiente dividiendo al lado derecho de la igualdad. c. Sacar raíz cuad rada en a mbos lados de la igualdad para ob ten er las dos raíces o soluciones de la ecuación. d. Racionalizar el denom inador en caso necesario. • EJEMPLO
Resolver la ecuación 3X2 - 5 = 0
Solución: prim ero se pasa e l térm ino independiente de l lado derecho de la igualdad. 3 a :2 = 5
El coeficiente de
pasa dividiendo al lado de recho de la igualdad.
a :2
80
Ca pítul o 8
Ecuacio Ecuaciones nes
Se extrae la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.
x ~ ~ ñ Para finalizar, finalizar, se racionaliza racionaliza el denominad or, para ello se multiplica multiplica tanto e l num erador como como el denominador denominador por V 3. x =
| V5 V3 _ , V(5K3) +W j ' y / 3 ± V(3)( V(3)(3) 3)
, V Í5 _ , V l5 ± V52 - 3
Ib r lo tanto , las las dos raíces o soluciones de la ecuación son: V l5
-V Í 5
*! = —
y
ÍVÍ5 S' l 3 '
El conju nto soluc ión de la ecuación es: * •
E JE JE MP MP LO LO
^ =
VTsl 3 J-
R e s ol ol ve ve r la e c ua ua c ió ió n 4 x2 x2 - 7 = 0
Solución:
4x2—7=0 4x2=7 x2 = ^
4
VT \ñ X ~ ± V * ~ ~ 2
V7 V 7
= V7 2
#
ft>r ft>r lo tanto, el conjun to solución de la ecuació n es: •
EJEM EJEMPLO PLO
- t \
Resolver Resolver la ecuación ecuación x2 - 8 = 0
Solución:
x2 - 8 = 0 x 2 = S
V ? = ±V 8 x = ±V (4j(2j (4j(2j = ± 2 V 2 = 2V2
y
x 2 = - 2 V 2
ft>r ft>r lo lo tan to, el conjunto solución de la ecuació n es: (2V 2, - 2V 2 ). Solución Solución de las ecuaciones ecuaciones cuadráticas cuadráticas a plicando la fórmula genera l
En ocasiones las ecuaciones cuadráticas no pu eden resolverse por factorizaci factorización ón d ebido a que no son factorizables factorizables o tal procedim iento no se puede hacer con facili facilidad dad,, por eso necesitamos necesitamos uno que se aplique a cualqu ier tipo tipo de ecuación cuadrática. El proceso de
Secc. 8.5
Ecuaciones Ecuaciones cuadráticas
81
solución solución consiste consiste en utilizar utilizar una fórmula gen eral que se describe describe e n la siguiente ecua ción: —b —b ±V¿>2 —4ac X ~ 2a ax? + bx + c = 0. Éstaes lafórmula general general pararesolverecuacionescuadráti pararesolverecuacionescuadráti casdelaform a ax? El ± que aparece en el numerador indica las dos raíces o soluciones de la ecuación cuadrática de la siguiente manera: - b + W - 4 ú c x ' = — s —
y
—b —b -V& 2 - 4ac **=— ü—
Para aplicar la fórmula general debem os ten er la ecuación en su forma general, es decir, igualada a cero. Resolver la ecuación x2 + x - 1 = 0
# EJEMPLO EJEMPLO
simple vista se aprecia que la ecuación no es factorizable, entonces aplica Solución: a simple mos la fórmula general sin despejar pue sto que la ecuación está igualada a cero. cero. a = l ,b ,b = l , c = - l
Sustituimos Sustituimos estos valores en la fórmula general: - i t V q ) 2 - 4 ( i )( -i j
- i ±V i + 4
- i ±Vs
2(1)
2
2
X
De este modo:
-1 + V 5 r ~
-1 - V s y
r ~
, , • , Í-1+V 5 - l- V íl R>r lo tanto , el conjunto solución de la ecua ción es: j ----- -------------- ------ 1 . • EJEMPLO EJEMPLO
Res olver la ecua ción 2X2 2X2 + 1 = 5x
pr im ero er o debe de be m os iguala igu alarr la ecu e cuaci ación ón a cero: ce ro: Solución: prim 2x2 - 5 x + l = 0 a = 2, b = —5, c = 1 *
- ( - 5 ) ± V 2 5 - 4( 4( 2 )( )( 1 ) 2(2) 5 + VÍ 7
xi = — :—
y
^2 =
5 ¿ v T7 4 5-Vrf
4
5+VÍ7 ■f 4
R>r lo tanto , el conju nto solución d e la ecua ción es: f •
EJEMPLO EJEMPLO
5 - V r f j
Resolver la ecuac ión 9x2 + 10x + 2 = 0
Solución:
a = 9, b = 10, c = 2 X =
- 1 0 + V 1 0 0 - 4 (9 (9 )(2 ) 2(9) 2(9 ) —10 —10 ± V (4 )( 7 ) 18
- 1 0 ± V 1 0 0 - 72 18 —10 ± V 7 V 4 18
-10 ±V 28 18
-1 0 ±2V7 18
82
Ca pítul o 8
Ecuacio Ecuaciones nes
Factorizando Factorizando el numera dor y el denominad or tenemos: _ 2 ( - S ± V 7 ) 2(9) X
-5 + V7 9
y
-5 ± V 7 9 -5-VÌ 9
*2
R>r lo tanto , el conjun to solución de la ecuac ión es:
-5 + V7 ^
-5 ^
Casos especiales
ax 2 + bx + c = 0. En A veces las las ecuaciones cuadráticas no pres entan la forma forma está nda r ax2 tales tales casos es es necesario necesario transformar la ecuación original en una equivalen te, sin sin olvidar que en la solución solución de estas ecuaciones hay que eliminar los los valores de la variable que conviertan en cero algún algún denominado r. • EJEM EJEMPLO PLO
7 6 Resolver Resolver la ecu ac ión ------- ---------- 5— — = 5
x - 1
x 2 - 1
hacen que el denomi Solución: debemos considerar que x ¿ ± 1 ya que estos valores hacen nador sea cero. cero. Multiplic Multiplicamos amos toda la ecuación po r el MCM:
l ( x + 1) —6 = 5 (x + 1) (x - 1)
7* + 7 - 6 = 5 ( * 2 - l ) I x + 1 = 5*2 - 5
0 = 5x2 - I x - 6 Que equivale a: 5*2- 7* - 6 =0
Esta ecuación se resuelve por factorizaci factorización: ón: 5J*2 J*2 - I x - 6 = 0 (5* + 3) (x - 2) = 0 5* + 3 = 0 3
£ -2 = 0 x = 2
R>r lo lo tan to, el conjunto solución de la ecua ción es: • EJEM EJEMPLO PLO
Resolver Resolver la ecuación ecuación (x (x + S)2+ 3x = (x + 3) (2x - 1)
x2 x 2 + 10* + 25 + 3x = 2k2 2k2 + 5* - 3
0 = 2*2 2*2 + 5* - 3 - *2 - 13* - 25 0 = x2 - Sx —28
Que equivale a: x 2 - 8 x - 2 8 = 0
Secc. 8.5
Ecuaciones cuadráticas
Resolveremos esta ecuación con la fórmula general: a - l f b = -8 ,c = -28
8 ±V64 - 4(l)(-28)
8 ±V Í76
2( 1)
2
*
= 8 ±V(16)(11) = 8 ± 4VÜ
2
X
2
, . 3 i ^ ü U 2 jr1 = 4 + 2 V Ü
y
s2v n jí 2 =
4 - 2V i l
R>r lo tan to, la solución de la ecuación es: {4 + 2VTÍ, 4 - 2 V í l } .
Ejercicios 8.3 Resolver las siguientes ecuaciones. L *2 —4 = 0 2. 2*2 = 18 3. 16 = 4*2 4. 5*2 = 6* 5. 3*2 + 9* = 0 6. 25 = *2 7. 2*2 = 72 8. 7* = 49*2 9. 10. 11. 12.
4*2 = 25 3*2 = 18 5*2 = 75 4*2 -9 = 0 13. 25*2 = 16 J 14. 2« 1 - II o 15. 5 = 35*2 16. 64 = 9*2 17. 49*2 = gl 18. 3*2 = 4 19. 25 = 2*2 20. *2 = 144 Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización. L *2 * = 2 2. *2 + 8 = -9* 3. 2*2 + 3* + 1 = 0 4. 2*2 + 3 = 5* 5. 18*2 + 3 = 29* 6. *2 - 3* + 2 = 0
7. 3 f + y = 2 8. 9. 10. 11. 12.
z2 — z = 12 3*2 - * = 2
2*2 —3 = * 3 /-y = 2
4z2 = llz + 3 DL Resolver las siguientes ecuaciones por fórmula general. L *2 - 4* + 3 = 0 2. 2*2 + 2 = 5* 3. 6y2 + 1 = 5y 4. *2 6* + 8 = 0 5. 8*2 + 10* + 1 = 0 6. *2 —* —20 = 0 7. ó*2 + 5* + 1 = 0 8. Ir2 + 1 = 4* 9. 2*2 + 3* = 2 10. 9*2 + 10* + 2 = 0 11. *2 = * + 3 12. 4*2 + 3 = 9* IV. Resolver las siguientes ecuaciones por el método que convenga. 1. 4* (* —2) —7 = 5* —10 2. 5* (* + 4) + 21 = 6xr + 24 3. 7 = (3* + 8) (2 - 3*) 4. (3* - 2) (* + 1) = 2 5. 4(* + 1) - 2 (* - 2) = *2 - * - 2 2* 4 6. 1 5 *-1 *+2 5* 2* 7. . + -. 2* - 1 3* + 2« ~ 3
83
84
Ca pítul o 8
Ecuaciones 18
x2 + x - 2
x2 + 5x + 6
x1 - x - 6 + x2 + x - 2
2 x2 + 2x - 3
8.6
2
2
x2 - 4x + 3
Ecuaciones con radicales qu e conduce n a ecuaciones lineales
•• Existen ecuaciones con radicales que conducen a ecuacio nes lineales. La ecuación lineal equivalente se puede o bten er m ediante la eliminación de dichos radicales. Es importante mencionar que no todas las ecuaciones con radicales conducen ne cesariamente a u na ecuación lineal. Procedimiento para resolver una ecuación con radicales a. Si la ecuación contiene solamente un radical, éste deb e se r aislado en uno de los
lados de la ecuación. b. Si la ecuación contiene dos radicales hay que dejar sólo uno en cada lado de la ecuación. c. Aplicar la operación de potenciación en ambo s lados de la ecuación tantas veces como sea necesario para eliminar todos los radicales y obte ner una ecuación lineal. d. Resolver la ecuación lineal. •
EJEMPLO
Ecuación con un radical
Obten er la solución de la ecuación: V *^4 = 3 Solución: se elevan al cuadrado am bos lados de la ecuación.
(V* - 4)2 = (3)2 El radical del lado izquierdo se elimina y la constante ubicada a la derecha de la ecu a ción se eleva al cuadrado. * -4 = 9 Se despeja x para ob tene r la solución: x = 9 + 4 x = 13 •
EJEMPLO
Ecuación con dos radicales
Obten er la solución de la ecuación: V -* + 2 -
= o
Solución: pasamos al ot ro lado de la ecuación un o de los do s radicales, d ejan do sólo
uno en cada lado. V —* + 2 = V 2 x ^ \ Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. (V = 7 T 2 ) 2 = ( V 2 ^ T f Eliminamos los radicales en amb os lados de la ecuación. - x +2 = 2 x - l
Secc
8.6
Ecuaciones con radicales que conducen a ecuaciones lineales
85
Despejamos x y obtene mos la solución: —x —2x = —l —2 —3x = - 3 X
-3 -3
x = l • EJEMPLO
Ecuación con dos radicales
Resolver la ecuación: V 17 T T + V 3 ^ 2 = 5 Solución: pasam os al otro lado de la ecuación uno de los do s radicales, d ejando sólo
uno en cada lado. V á*T I = 5 - y / z x ^ z Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. ( V î r + ï f = (5 - V 3 x - - 2 ) 2 Eliminamos el radical del lado izquierdo de la ecuación y desarrollamos el binomio al cuadrado [(lo.)2 + 2 (lo.)(2o.) + (2o.)2] ubicado en la parte derecha, esto es: 3x +1 = (5)2 - 2 V 3 x - 2 + (V3jr —2 f
Simplificamos: 3* + 1 = 25 - 2 \ í x - -2 + 3 x - 2 3x + 1 = 3x + 23 - 2 V ^ 2
Dejamos de un lado de la ecuación el término con radical y simplificamos. 3x - 3 x + l - 2 3 = - 2 V T r 2
-22 = - 2 V x ~ 2 ~ 22 — - =W V x - ô2 -2 -----
ll=Vx^2 Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
(ll)2 = ( V ^ 2 f El radical del lado derech o se elimina y elevamos al cuadrado la constante ubicada a la izquierda de la ecuación.
121 — x —2 Se despeja x para o bten er esta solución: x = 121 + 2 x = 123 •
EJEMPLO
Ecuación con radicales que no conduce a una ecuación lineal
Obten er la solución de la ecuación: x = V4x + 1 - 1
86
Ca pítul o 8
Ecuaciones
Solución: aislamos el radical en un lado de la ecuación, cambiando el -1 . x + 1 = V4* + 1 Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. (x + 1)2 = ( V ¥ T T ) 2
Eliminamos el radical de la parte derec ha de la ecuación y desarrollamos el b inomio al cuadrado ubicado en la parte izquierda. * 2 + 2* + l = 4 * + l
Igualamos a cero la ecuación y simplificamos. x 2 + 2* - 4x + 1 - 1 = 0 x2 - 2 x = 0
Como se observa, obtuvimo s una ecuación cuadrática qu e resolveremos po r factorizadón. x(x - 2) = 0
Igualamos cada factor a cero y obtenemo s la solución. *=0 *
—
2
=
0
*= 2 Solución: *=0
x - 2
y
Ejercicios 8.4 L
V2*+
2.
V3*+ 1 - 4
3.
V5* -1
1=5
4. V 3 x T l
17. V2* + 1 = V* + 5
=
-2
19.
=
V2x
20.
5.
* V7* + 4 II < i
6.
V*2 + *
7.
V*
+
8. V5* 9.
18. V3* - 1 - V2* + 1 = 0
= 0
3=
+
1 £
* +
2
3 -- V* - 2 = 5 11
- V5* + 1 = 2
V * - 2 == V* -
4
+
=7
+
I
>
+
+
> « -H o i t 1 e s I O
21. V* - 1 = V* + 2 22. V4* - 11 - V * + 1 = 0 23. V2* + 1 = 2+ V* - 3 24. V2* + 3 = *
27.
'
I
1
12. 3V* + 5 = 8 13. 5 -
+
25. V*2 + 5 = * - 1 26. * - V *2 + * - 2 = 0
10. V 3 * - 3 + 3 = V3x
11.
£
28.
1=0
V* + 1 V3*-2
14. V5*+ 1 = Vl4* + 2
29. V5* + 1 = * + 1
15. 2V2* - \) = V4* -
30. V*2 + 3* - 7 - V4* + 5 = 0
16. V* + 2 -- V * -
11
1= 1
Secc. 8.7
8.7
Aplicaciones de las ecuaciones lineales
87
A plicaciones de las ecuaciones lineales _______
Muchos problemas qu e se suscitan en distintos ámbitos pueden s er resueltos en térmi nos de un a ecuación lineal. Para resolver un problema de aplicación lo más importante es saber plantear un a ecuación que describa la situación. Iniciaremos este tem a convir tiendo enunciados e n ecuaciones. Para obtener una expresión algebraica que corresponda al enunciado planteado, cada expresión se puede ir construyendo po r partes. a. El cubo de la suma de dos números. “El cubo”: ( )3 “de la suma de dos n úm eros” : (x - y)3. b. El trip le del c ubo d e la diferen cia de dos núm eros. “El triple”: 3( ) “del cub o”: 3( )3 “de la diferencia de dos nú me ros”: 3(x - y)3. c. Un quinto de un número o la quinta parte de un número. 1 5 X d. Un tercio del doble de un n úmero, menos el triple de otro. “Un tercio”: j ( ) “del doble de un núm ero, meno s el triple de o tro ”: ^(2x - 3y). e. Un núm ero más su quíntuplo. “Un núm ero”: x “más su qu íntup lo”: x + 5x. Pasos para la resolución de problem as de aplicación. a. Leer con atención el problema y realizar un esquema que permita visualizar el planteamiento de la ecuación . b. Identificar la variable (x) en función de la cual se calcula el resto de las cantidades desconocidas. c. Identificar qué igualdades se pueden establecer con base en lo que dice el pro blema. d. Plantear la ecuación de acuerdo con el esquema. e. Resolverla para x. f. Revisar cuál es la incógnita que se solicita resolver. +
E JE MP L O
Rspe quiere comp rar 10 piezas en un a liquidación de ropa. Los pantalone s cuestan $300 cada uno y las camisas $80 cada una. ¿Cuántos artículos de cada uno puede comprar con $1900? Primero hacemos un esquema:
88
Ca pítul o 8
Ecuaciones
En total quiere comprar 10 piezas. Llamaremo s * a las camisas.
10
camisas x
pantalones 10-X
Como Pepe quiere gastar $1900, entonces multiplicamos: (cantidad de camisas)(precio) + (cantidad de pantalones)(precio) = gasto total x (80) + (10 —jt)(300) = 1900 De man era que generam os la siguiente ecuación: 80* + 300(10 - x) = 1900 Resolvemos para x: 80* + 3000 - 300* = 1900 -22 0* = 1900 - 3000 *=
-1100
-220
*=5 finalmente, en el problema se pide determinar cuántas camisas y cuántos pantalones puede comprar Pepe. * = 5 camisas 10 -* = 5 pantalones EJEMPLO
Un soldador tarda ocho h oras en realizar cierto trabajo. Otro solda dor realiza la misma labor en 24 horas. ¿Cuánto tardarán los dos juntos en realizar el trabajo? Esquema
Trabajo realizado en u na hora Primer soldador Segundo soldador
1 - del trabajo
— del trabajo
o
En una hora hace En una hora hace una octava parte una veinticuatroava pa rte del trabajo. del trabajo. Si * es e l número d e horas requeridas p ara termin ar el trabajo, entonces: (parte del soldador 1 + parte del soldador 2) * (número de h oras) = trabajo term inado
i + =
1
á ) * = 1 *=
24
*=6 Juntos, ambos soldado res tarda rían seis horas en concluir el trabajo.
Ejercicios •
89
E J EMP L O
Pedro obtuvo un 12% de aumento de sueldo, lo que significa que recibe $6300 más al mes. ¿Cuál era su sueldo anterior y cuál e s el actual? Sueldo anterior: * Aumento: *(0.12) =6 300 Despejamos *: 6300 x = ___ 6300 * = 52500 * = 58800 •
Sueldo anterior Sueldo actual
E J EMP L O
En un taxi la tarifa se obtiene tomando como base un valor fijo de $8.50 más $4.50 por cada kilómetro recorrido. Si el taxista cobra $90, ¿cuántos kilómetros recorrió e n ese servicio? Esquema
Tarifa
Valor fijo
+
4.50 (kilóm etros) = $90
Llamamos * a los kilómetros. Ecuación: 8.50 + (4.50)* = 90 (4.50)* = 90 - 8.50 81.50 * = 18.11 kilómetros
Ejercicios 8.5 I. Represente como expresión algebraica cada una de las si guientes expresiones. 1. El cuadrado de la suma de dos números:
6. El triple de un número menos su quin ta parte: 7. El cuadrado de un número más el doble producto de ese número p or otro:
2. Un quinto de un número más un medio de otro: 8. Un quinto de la diferencia de un número men os tres: 3. El cuadrado de la tercera parte de la suma de dos números:
4. La mitad del cuadrado de la diferencia de do s números: 5. El triple de la diferencia de un número menos dos:
9. El producto de tres números consecutivos: n . Resuelva los siguientes problemas (utilice los pasos sugeri dos en esta sección). 1. Un túnel mide 1300 m y debe recorrerse a una velo cidad máxima de 70 km/h. ¿Cuál es el tiempo m ínimo
Ca pítul o 8
Ecuaciones
9. Un rectángulo tiene un perímetro de 174 m. Si se sabe
que puede em plearse en cruzar el túnel? Recuerde que
v = dlt. 2. Un vended or inicia su día con $200 en caja; vende jugos a $12 y tortas a $24. Si term ina el d ía con $980, ¿cuántos jugos y cuántas tortas vend ió si se s abe qu e v end ió cin co jugos más q ue tortas?
que su largo es tres unidades más grande qu e su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
10. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro au menta 12 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado origi nal?
3. Ana, Laura y María compraron un juego de mesa. Si Laura pagó la cuarta parte del costo, Ana la tercera pa rte y María $100, ¿cuánto cos tó el jue go? ¿C uánto pagó An a? ¿C uá nto p agó Laura?
11. El papá de Juan puede pintar una casa en cinco ho
4. La suma de tres núm eros consecutivos es 105. ¿Cuáles son esos números?
12. La cabeza de un cachorro pesa un tercio de su peso to
ras; su primo lo h ace en seis horas y su herm ano en 12. ¿Cuántas horas tardarán en pinta r la casa los tres fami liares de Juan juntos? tal; la cola, una duodécima parte y el resto del cuerpo 5 kg. ¿Cuánto pesa el cachorro?
5. TYes núm eros im pares consecutivos suman 87. ¿Cuáles son los números?
13. Claudia compró tres regalos para sus amigas y en total
6. Andy tiene el triple de la edad de su hermano y la cuar ta parte de la edad de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno, si entre los tres suman 48 años?
gastó $500. Calcule el precio de cada regalo, si el pri mero vale el triple del segundo y el tercero el doble del primero.
7. Hace seis años el tío de Beto tenía el cuádruplo de su
14. La entrad a para una función benéfica de teatro se ven dió en $80 para los adultos y $60 para los niños Si se recaudaron $11200 y el total de boletos vendidos fue de 150, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron?
edad En 10 años más tendrá sólo el doble. Halle la edad actual de ambos.
8. Para producir cierto producto se requieren tres mate rias primas diferentes. Se compran 25 unidades de la primera, 32 de la seg unda y 24 de la tercera paga ndo en total $16900. Si la primera cues ta el triple d e la tercera, más $20, y la segun da cuesta el dob le d e la tercera, más $ 8, ¿cuál es el costo de cada un a?
Reto
“La mitad de mis alumnos estudia LIN, la cuarta parte estudia LAE, la séptima parte IIS y tres más no sé qué estudian”. ¿Cuán tos alumnos tengo?
i
f
DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO — • -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Introducción 9.1
Desigualdades
9.2
Desigualdades compuestas
9.3
Valor abs oluto
En muchas ocasiones no nos interesa enco ntrar valores exactos de ca ntidades sino ra n gos o intervalos de v alores para una cantidad. Decimos que la tem peratu ra está entre 30 y 40 °C ,que el pre cio de un car ro oscila entr e los $200 000 y los $300 000, que el tiempo que nos toma llegar al trabajo es de entre 15 y 20 minutos, que las ganancias de una compañía van a e xceder el pronóstico en dos m illones de pesos este año, o q ue el nivel de tolerancia para un err or en el diámetro d e una m áquina es meno r a 0.003 pulgadas. Decimos, también, que para jugar béisbol en un a liga juvenil debes tener al menos 14 años, que los elevadores de un edificio fueron construidos pa ra sop ortar un p eso máxi mo de 3 600 Ib o que el reglamento d e un p arque de diversiones señala que las personas que deseen subirse a la mon taña rusa deben medir no menos de 42 in. Para rep resen tar como expresiones algebraicas todas estas cifras se requ iere una notación específica.
9.1
Desigualdades
•• La desigualdad utiliza los símbolos > (mayor que), < (menor que ), ^ (mayor o igual que) y ^ (menor o igual que). Éstos son símbolos de desigualdad y se utilizan para expresar rangos o intervalos de números reales. Obsérvese que , para los sím bo los de desigualdad, la cantidad mayor queda siempre del lado hacia el cual abre el símbolo, mientras que el vértice señala hacia la cantidad menor. Por ejemplo: Simbolismo x <3
Representación de números reales x es “menor que ” 3
t> 0
fes “mayor o igual que” 0
3 < x < 5
x está “entre 3 y 5”
Muchas desigualdades pueden s er resueltas u sando las mismas técnicas emp leadas con las ecuaciones, la diferencia en tre ellas es el resultado. Para ver tal diferencia comparamos ecuaciones y desigualdades que p arecen simi lares al ser resueltas e interpretadas. Ecuación 4x + 1 = 5 4x = 4 X = 1
Desigualdad 4x + l < 5 4x < 4 x < 1 91
92
Ca pítul o 9
Desigualdades y valor abs oluto
En la solución de la ecuación, x es igual a 1, mientras que en la desigualdad esta variable representa cualquier número real men or a 1. Antes de resolver más desigualdades revisaremos la n otación y simbolismos. Exis ten dos formas de represe ntar las soluciones de las desigualdades, ambas se aprecian en la siguiente tabla junto con u na rep resentación gráfica en u na línea de nú mero s reales. Observe que la variable de la notación en la izquierda aparece en la representación . En la de la derecha, que se conoce como no tación de intervalo, la variable no aparece. El símbolo +oo se utiliza para rep resen tar el infinito positivo, mientras que el símbolo — oo representa el infinito negativo. En la tabla no está incluido el punto final de un intervalo, se utilizan paréntesis; en la línea de núme ros reales ocupamos un círculo abierto. Cuando el punto final se inclu ye se utilizan corchete s y círculos rellenos.
x < b
(- 00,6 )
x > a
(a, +oo)
x < b
( - 00, 6 ]
x > a
[a, +oo)
a < x
(«. 6)
a < x
(a, 6]
a
M )
[«. b\
Nota: (a, b) se conoce como u n intervalo abierto. [a, b] se conoce como un intervalo cerrado. (ia , b] y [a, b) se conocen com o intervalos semiabiertos.
Para resolver desigualdades es recom endable repasar las reglas generales. Regla 1 .
Cualquier número real puede ser sumado o restado de ambos lados de una desigualdad.
Reg la 2.
Am bos lados de u na desigualdad pued en ser multiplicados o divididos po r el mismo número real positivo.
Regla 3.
Si ambos lados de u na desigualdad son multiplicados o divididos po r el mis mo núm ero real negativo, enton ces el sentido o dirección de la desigualdad se invierte (es decir, “< ” se convierte a “> ” y viceversa).
Secc. 9.1
Desigualdades
93
• EJEMPLO Resuelva las siguie ntes desigua ldades e interprete los resultados
a. 3x - 8 ^ 7 b. 2x + 6 < 5 Solución:
3* - 8 > 7
2* + 6 < 5
3x > 15
Regla 1
x> 5
Regla 2
Ix < -1 x < ~ \
La solución de la prime ra desigualdad es cualquier núm ero real may or o igual a 5, mien tras que la solución de la segunda desigualdad es cualquier número real m enor a • EJEMPLO Resuelva la sigu iente des igualda d y escriba la respuesta en notación de intervalo y en forma gráfica
4 - 3x < 7 Solución:
4-3x<7 - 3* < 3 -1
Regla 3
La solución en n otació n de intervalo es: [-1, +«>). En forma gráfica:
-1
+00
Una manera más concisa de expresar la solución de una desigualdad es la notación de conjuntos : [x\x > - 1) el conjunto de todos los números [x\xes mayor o igual a - 1). • EJEMPLO Resuelva la siguiente des igua ldad y escriba la respuesta en notación de intervalo y en forma gráfica
6 + 3 (x - 1) > 2x Solución:
6 + 3 (x - 1) > 2x 6 + 3x - 3 > 2x 3x + 3 >2x 3x-2x>-3 x > - 3
La solución en notación de intervalo es: (-3, +oo). En forma gráfica:
94
Ca pítu lo 9
Desigualdades y valor abs oluto
9. 2
De s i g u a l d a d e s c o m p u e s t a s
Las desigualdades compuestas son aq uellas unidas po r las preposiciones “y” u “o ”, po r ejemplo: a)x + 4 > 2
y
¿>) * + 8 > 3
o
x - 5 < 7
x - 8 < -3
El conjunto solución de una desigualdad compuesta que tenga la conjunción “y” está formado por la intersección de los conjuntos solución de ambas d esigualdades. Por ejemplo, al determ inar el conjunto solución de la siguiente desigualdad com puesta: 3x - 9 > -6
3x-9<6
y
Resolver cad a desigualdad: 3x - 9 < 6
3x - 9 > - 6 3x > —6 + 9
3x < 6 + 9
3x >3
3x < 1 5
x > l
x< 5
De acuerdo con lo anterior, a: es mayor que 1 pe ro men or a 5. Esto lo podemos expresar en forma de intervalo (1,5) o en forma gráfica:
También se pueden resolver juntas las dos desigualdades. -6 < 3x - 9 < 6 -6 + 9<3 *< 6 + 9 3 < 3x < 15 3 15 73 < x < T3 l
La expresión se lee: x es m ay or que 1 y men or qu e 5. La solución de un a desigualdad com puesta qu e tiene la conjunción “o ” es la unión de los dos conju ntos solución de las desigualdades. Encuentre los valores x tales que: 4x + 6 ^ 10 Resolver cad a desigualdad.
o
4 c+ 6 >10
4x + 6 < -1 0 4x + 6 < - 1 0
4* > 1 0 - 6
4 *< -1 0 - 6
4x ^ 4
4x < - 1 6
x > 1
-4
El conjunto solución de 4x + 6 > 10 es [1, +»] y el de 4x + 6 < -1 0 es ( - 4 ] ; por consiguiente, el conjunto solución de la desigualdad compuesta es la unión de ambos intervalos, o sea: (-<» , - 4 ] U [1, +<»), su repres entación gráfica es: -o o
-4
1
+00
Secc. 9.2
Desigualdades compuestas
95
Al resolver una d esigualdad no siempre encontram os u na solución. Es decir, puede su ceder que ningún número haga verda dera la desigualdad, o bien, que todos los números reales la hagan verdad era. Observe los siguientes ejemp los •
E JE MP L O
2 2 ~ x + 4 > 7 - =;X 3 3 Solución:
2 2 ~ x + = ¿ x > 7 - 4 3 3 0 >3 Esta expresión es falsa, entonces, la desigualdad no tiene solución y se re presenta como 0 , conjunto vacío, o como: una gráfica <--------- >sin punto s •
EJEMPLO 2
- 3 ( 2 * + 1) + 7 * < * + 5 Solución:
-6 x - l + 7 x < x + 5 - 6 x + 7 * - * < 5 + 1
0 <6 Esta expresión es verdadera, entonces el conjunto solución de la desigualdad es el con jun to de los número s reales (-<», +oo). La gráfica de este conju nto contiene tod os los puntos d e la recta: M ----------------------------------------------► •
E J EMP L O
x
+
1 _ x
3“
-
2
3
Solución:
x + 1 < x - 2 x - x < - 2 - 1
0 < -3 Esta expresión se lee: 0 es menor o igual a - 3 y es verdade ra porqu e cumple una de las dos condiciones pues 0 es me nor o igual a -3 . Entonces, el conjunto solución es el de todos los números reales; en forma de intervalo se representa (-<», +oo) y, en forma gráfica: M ----------------------------------------------►
Ejercicios 9.1 Determine el conjunto solución de las siguientes desigualdades lineales y represéntelo: a) en forma de intervalo y b) en forma gráfica. L
3* - 5 > 2
2.
2r + 6 < 5
3.
4 — 5*< 7
4. 5 + 3(x —1) > 2jc 5. x + 2 < 0 6. 2x —1 > 0 7. 7 + 2* > 3
96
Ca pítu lo 9
9. 3x 10. 5 * 11. 12.
Desigualdades y valor abs oluto
23. 24.
7 < 2 1
>
-4 — 3*
14
>
2
> 21 13. 5(x - 1 ) - 2(x - 3 ) > 14. 8 - 2 ( x - 3 ) < 2 + x
26.
13
<
2r - 5
<
jc +
3 <1 2
* + 2 > 3 ,- 4 3
5
9
^5 ~4x 3 6 28. 5 x 3 + 4x 3 3 12 2x 3-4x 3 29. 2 3 6 2 r + 1 _ 7 + 2jc 30.
27.
2x 1 —
5
_
5
3L
- 6(2 - y + 3 í> 32. 6 * - 3 < 2jc - 3
- 1 4 < 7 ( 3 - jc ) < 7
3
4 <
25. ~ 3 —í —5 2
15 - 4r
15. 2 x + l < x + ^ 2 16. x - 4 < 3x + 4 17. 6* — 3(x + 1 ) > 0 18. 2(x - 3 ) < 3 * 19. - 1 6 < 5 * - 6 < 1 0 20. 2 1 < 3 ( 5 - 2 * ) < 3 9 2h 22.
20 < 30 — 5* < —20
-3
9.3
Va lor a bs oluto
<• • El valor absoluto de un núm ero es el valor positivo de dicho núm ero. Se den ota con dos barras verticales. Por ejemplo: |-5 | = 5 |5| = 5 El valor absoluto está relacionado con el concepto d e distancia. Observe la siguiente recta numérica. Note que la distancia que hay entre 0 y 5 es la misma que existe entre 0 y -5 . Así, el valor absoluto de un núm ero real es la distancia entre ese núm ero y el cero en la recta num érica. <----------1------------1------------- 1-------- ► -5 o 5 Propiedades del valor absoluto
Para todo número real x y y: i) |*| = m
=*
ii) \x\ = 0, si y sólo si x = 0 iü) kl • |>| = k • y|
-> H-H v) \x\ + \ y \ ^ \ x + y \ Ecuaciones con va lor a bsoluto
En esta sección resolveremos ecuaciones con valor absoluto aplicando sus propiedades.
Secc. 9.3
Valor abs oluto
97
• EJEMPLO
\3x - 1| = 5
R>r la propied ad i), para que e l valor absoluto de la expresión sea 5, puede ser que: 3x - 1 = 5
o bien,
3x - 1 = - 5
Entonces, resolvemos ambas ecuac iones 3x-1 = 5
3x - 1 = - 5
3x =5 + 1
3x = - 5 + 1 x = — 5
, =| =2 3 Las soluciones para la ecuación son: \ l, - ^ J . • EJEMPLO R esuelva
\3x - 2| = 13
Primero elimine las barras de valor absoluto, considerando que sin ellas la expresión puede se r po sitiva o negativa. \3x - 2| = 13
Las soluciones para la ecuación son: j 5, “ ^ } #
EJEMPLO
Resuelva
2
2 ——= 2 5
—
——= 2 —2 5
, 14— jc
L
6r + 1 4
=1
2. 2x —3 = 2 3.
= 4
5-lt
=
-2
* = (- 4 ) (—5) * = 20
Las soluciones para la ecuación son : {0,20). Resuelv a los sigu ientes ejercicios:
5
--= -2 - 2 5
x = 0 (—5) *=0
Ejercicios 9.2
-
= 3
= 4
6.
|3 jc — 2| + 4 = 0
7.
|2 r — 2| = 5
98
Ca pítu lo 9
Desigualdades y valor abs oluto
9. |8* —15 + 4| = 12
20. * + 1 = 2 -2 21. 3* + 5 = 2 9 —2x —1 22.
10. 2 _ ? = 1 11. |3 —5 jc| = 2
= 3
1Z |2 * - 8 | = 3 13. \l x - 3| =5 14. |1 —2 * |= 4 2x —x =4 15.
23. |2* + 5| = 4
24. 3* - 5 8 -2*-3 25.
16. | —7* + 16| + 8 = 3 17. 2 |—1 0* — 13| = 12 18. 3 | 5 * — 1 1 1 — 1 = 4 19. \lx — 3| = 5
26. 27.
5 3 -* -2 3
—4* —1
28.
3
* —2
=5
+1
Desigualdades con valor absoluto
Recuerde que el valor absoluto es la distancia entre un punto en la recta y cero. Para determ inar los valores de * que hacen posible tene r una distancia menor o m ayor a un valor específico, se pu ede emplea r una desigualdad. Propiedades
Para todo número rea l*s e cumple que: Si el valor absoluto de * es m enor que un número real a , la solución en la recta nu mérica estará re presentad a po r el intervalo (- a < x < a). “Si |*| < a, entonces - a < x < a” Gráficamente: -a
Si el valor absoluto de xe s m ayor que un n úme ro real a, la solución en la recta num é rica estará represe ntada po r la unión de los intervalos: * > a y * < - a . “Si |*| > a, entonces * < - a o * > a” Gráficamente: -a
En ninguno de los casos anteriores las soluciones incluyen el número a ni -a, pu esto que las desigualdades no co ntienen la igualdad. Cuando las desigualdades conten gan la igualdad, la solución incluirá los valo res a y -a . •
E JE MP L O
|2* + 5| < 7 Como el valor absoluto es menor que, aplicamos la propieda d respectiva. |2* + 5 |< 7
=>
-7 < 2* + 5 < 7
=*
- 1 2 < 2* < 2
=>
-6 < * < 1
Secc. 9.3
Valor abs oluto
99
Restamos 5 en los tres términos y después dividimos entre 2 a dichos tres términos. El conjunto solución resulta: (-6 ,1 ). El intervalo es abierto ya que las desigualda des no incluyen la igualdad. Esto significa que tod os los valore s entre - 6 y 1 satisfacen la ecuación. Gráficamente:
_______ 1
I _______
-6
•
1
E JE MP L O
\3x + 2| > 1
Como el valor absoluto es mayor que, primero separamos en do s desig ualdades de acuerdo con la propie dad correspond iente. \3x + 2| > 1
=>
3*+2>l
3* + 2 < - 1
=>
3x > - 1
3x < —3
=» x ~ ~ \
x < - \
Despejamos x de ambas desigualdades. El conjunto solución será la unión de los inter valos encontrados. Para x > --ten em os [ - - , oo) y para x < -1 tenemos (-oo, -1]. 1 La unión de estos dos intervalos, (-oo, - 1 ] u [ - - , oo), es la respuesta a nuestro pro blema. Los inte rvalo s son sem iabiertos ya q ue las desigu aldades co ntiene n igualdad. Gráficamente: -oo
-i
-1/3
En algunas desigualdades con valo r absoluto se pre senta n casos especiales, de man era que antes de resolver cualquier desigualdad con valor absoluto hay que analizar si es posible su solución. EJEMPLO
6x - 5
< 0
No tiene solución porq ue un valor absoluto no puede ser negativo.
• EJEMPLO
6x - 5
<
-4
No hay solución porque un valor absoluto no puede ser menor a -
que es un núm ero negativo. •
E JE MP L O
<*-5 > _ 2 Este problema s í tiene solución pues aunque el valor absoluto no p uede ser, po r ejem plo, -1 , sí pue de asu mir valores positivos o incluso el 0, puesto qu e tales valores son mayores que -2. 6x - 5
> -2
100
Ca pítul o 9
Desigualdades y valor abs oluto
Eliminamos las barras de valor absoluto. 6x - 5
6* - 5 _ > - 2 6* - 5 > - 6
6x - 5 <6
6x> -6 + 5
6x < 6 + 5
11
-1 x > —
El conjunto solución es: [
1
x < —
11 <» I u ( -°o , —
Ejercicios 9.3 Resuelva los siguientes ejercicios. 11. 2.
3.
5-4* 2
< -6
3 - f *
1
5
2
4.
- I
5.
2* — 1
6.
7.
8.
^5
< 1
-3 *+ 1
<1
>2
2
3*+
>0
5
7
3* — 1 8
<3
o y.
2* — 1
10.
2* + 5 > - 1
9
17. |* + 5| > 3 18. |8* — 3 | < 6 19. |3* —7| < 1 20 . 4 - ± * > 7
21. 22. 23. 24. 25.
|3* —4| < 0 |3jc|>8 |jc - 4 | < 9
|2 jc —7| > 1 |-1 2 - 3 x | < 6
26.
>2
>3
<0 r-> 27. |—5 jc| < 4 28. \l x + 2| > 0
29. |17x — 3| < — 3 30. |3*-5|<4 2-5* >5 31. 3 5 + 4* 3
11. 3 * - 5 > 1
31
12. 3 * - 5 > 1
33. 2 - 3 *
4 5
13.
* -3 5
2
2
<{
14. 7* + 16| > 8 15. - 1 0 * - - 13| < 16. 5* — 11| > —
<2
2 34. |3*-7|<7 35. |5* —2| < 4 36. |*+ 5 |< 4 - 8 37. j * +3
5
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES 10.1
Sis tema de ecua ciones lineales
10.1 Sistema de ecuaciones lineales
Introducción
10.2 Sistemas lineale s con tres variables
Antes de de finir lo que es un sistema de ecuaciones lineales hay que re cordar qu é es una ecuación lineal. Éstas son de la forma:
10.3 Sistemas de ecuaciones no lineales
ax + by = c
Donde a , b y c son elemen tos del conjunto de los números reales (R ) y, además, a y b son diferentes de 0. Recuerde que la gráfica de u na ecuación lineal es una línea recta. Si observamos la ecuación lineal ax + by = c es claro que tenemos dos incógnitas (va riables) para las que existe un núm ero infinito de soluciones. Al introducir otr a o varias ecuaciones de la misma forma lineal podemos e ncon trar una solución al sistema. Definición: un sistema de ecuaciones lineales está conformado por dos ecu aciones li neales de la siguiente forma: alx + v = c¡
aje+ b¿> = c2
donde los coeficientes de cada ecuación son elementos del conjunto de los números reales. Hay que tomar en cuenta que en el sistema,* y y represen tan lo mismo en las dos ecuaciones y son los valores que interesa encontrar. En la solución de un sistema de ecuaciones lineales se puede pr esen tar una de las siguientes situaciones: a. Tener una solución única.
Cuando las pendientes de las ecuaciones son diferentes. b. Hallar un número infinito de soluciones.
Cuando tanto las pendientes de las ecuaciones com o las intersecciones con e l eje y son iguales. c. Que no exista solución. Cuando las pendientes d e las ecuaciones son iguales pero la intersección con el eje es diferente.
Existen diferentes métodos p ara solucionar un sistema de ecuaciones, a saber: a. Gráfico. b. Suma y resta (también llamado reducción).
c. Sustitución.
101
102
Capítulo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Método gráfico
El método gráfico para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en re pre sentar am bas rectas en los ejes cartesianos y prob ar si se cortan. Esto se logra tabulan do o utilizando la pen dien te y la intersecció n con el eje .y. Forma tabular
La forma tabular consiste en despejar primero la variable y , dar valores a x (al menos dos) y así enco ntrar el valor de y. Este proceso se realiza par a las dos ecuaciones. Ya que se cuenta co n los valores se procede a grafícar en un plano cartesiano con una escala en cada eje x y de acuerdo con los valores encontrados (es decir, que los abarque). Despu és de grafícar se pu ede llegar a las siguientes conclusiones: si las dos rectas se cortan en un pun to, la solución es única y los sistemas son consistentes en las coordenadas (x, y );si las rectas no tienen ningún punto en com ún (son paralelas),n o hay solución porque no hay puntos que satisfagan a ninguna de las dos ecuaciones al mismo tiempo, por lo que este sistema es m consistente. Por último, si las rectas coinciden e n todos sus pun tos y la gráfica es un a sola recta, enton ces tod os los pu ntos son solución, de modo que existe un nú mero infinito de soluciones par a este sistema de ecuaciones llamado depend iente.
Figura 10.1 Sistema consis tente s o l u c ió n ú n i c a e n ( 1, 5 ).
Figura 10.2 Sistema inconsis tente no tiene solución.
Figura 10.3 Sistema inde pe ndie nte n ú m e r o i n f i n i t o d e s o l u c i on e s .
En el siguiente ejemplo se ilustra el método gráfico. • E JE MP L O
2x + y = 3 3x + 2y = 1 Solución: hay que grafícar cada u na de las ecuaciones descritas en el sistema de e cua ciones, ya sea de forma tabular o utilizando la pendiente y la intersección con el eje y. Si se elige la forma tab ula r le damos va lor a x para encon trar los valores de y. Para esto, primero debem os desp ejar y en am bas ecuaciones. Despejando y en la primera ecuación:
2x + y = 3 y = 3 - 2 x
En este caso la pendie nte es - 2 y la intersección con el eje y sería 3. Despejando y en la segunda ecuación: 3x + 2y = 1
Secc
10.1
Sistema de ecuaciones lineales
103
2y = 1 - 3x
1 -3x Esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: 1
3
Aquí la pendiente es — t t y la intersección co n el eje y es
z 3 La pendiente e intersección de las ecuaciones es - 2 para la primera y — Para
la segunda; las pendiente s son diferentes, por lo que o btendrem os una solución única. 1 3 Teniendo las dos ecuaciones despejadas: y = 3 - 2 x, y = -^ ------ ^ x *asignamos valores a x. x
0
3
1
1
2
-1
3
-3
4
-5
5
-7
x
0
1 3 y - y * 0.5
1
-1
2
-2.5
3
-4
4
-5.5
5
-7
Graficando los puntos anter iores obtenemos:
Figura 10.4
y = 3 — 2x
104
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
En la gráfica se aprecia que el pu nto de intersección de las dos rectas es (5, - 7 ). Éste es el único punto que satisface al sistema de ecuaciones. Entonces, la solución única para el pro blem a es * = 5, y = -7. Método de suma y resta
Para aplicar este método se debe considerar que: a. Los coeficientes de la variable que se quiere eliminar sean iguales. b. Los signos de los números de las variables a eliminar sean diferentes. •
E JE MP L O
5* + 2y = 8 3x + 3y = 10 Solución: para tratar de eliminar una de las variables o incógnitas prim ero hay que
decidir cuál. E n este caso eliminarem os y, así que observamos sus coeficientes. Para la prim era ecuación, 5x + 2y = 8, el coeficiente d e y es 2 Para la segunda ecuación, 3* + 3 y = 10, el coeficiente d e y es 3 Una vez identificados estos coeficientes multiplicamos la ecuación: 3 -(5* + 2y = 8)
15* + 6y = 24
2 -(3* + 3y =10)
6x + 6y = 20
Si restamos las ecuaciones resultantes reducimos el sistema de la siguiente forma: 15*+ 6y = 2 4 6* + 6 y = 20 9* + 0 y = 4 Trabajando sólo con: 9* + Oy = 4 Ibdemos o btener el valor de * despejando: 9* =4 4 Aho ra este valor lo sustituimos en cualquiera de la ecuaciones originales para ob tene r el valo r de >>despejando: 3* + 3 y = 10
12 — + 3;y = 10
78 9
Secc
10.1
Sistema de ecuaciones lineales
105
Para obte ner la fracción multiplicamos extremos po r extremos y medios po r medios: 78 *-T i
78
y = 9 - 3 78 27
y
4 78 La solución de nuestro p roblem a es: x = —, y = y se trata de una solución única. Método de s ustitución
El método de sustitución consiste en desp ejar una variable de alguna de las ecuaciones y sustituirla en la ecuación faltante. Así se halla el valor de esa variable que, a su vez, se sustituye en la ecuación original (con la que inicia el proceso) par a enc ontr ar el valor de la variable faltante. Analice un ejemplo qu e ilustra este método. #
E JE MP L O
2x + 4y = 18 2x + 5y = 11 Solución: hay que des pejar un a variable de alguna de las ecuaciones, en e ste caso x de la primera ecuación. 2x + 4y = 18
2x = 18 - 4y X = 1* - * x . 2
Esto se simplifica así:
4 y 2
18 2
X
x = 9 - 2y
Ahora pode mos sustituir este valor x = 9 - 2y en la ecuación que no hemos trabajado: 2x + 5y = 11
2(9 - 2 y) + 5y = U 1 8 - 4 y + 5y = 11
Sumamos términ os comu nes —4 y + 5,y 18 + y = 11 Y despejamos y: 18 + y =11 y = 1 1 - 1 8
y = - l y
=
- 7
106
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Aho ra sustituimos el valor y = - 7 e n * = 9 - 2y, que es el despeje de x , en la primera ecuación x = 9 - 2y x = 9 — 2(—7)
* = 9 + 14 * = 23 Entonces la solución única para e l sistema de ecuaciones es * = 23, y = -7 que es una solución única. Cómo identificar infinitas soluciones o que no existe solución
Al ejemplificar los métodos de solución trabajamos con sistemas de ecuaciones que te nían una solución única o no tenían solución. En e sta sección mostrarem os las distintas formas de identificar ambas situaciones. a. Si una ecuació n es múltiplo de la otra se tienen infinitas soluciones. Esto se com prueba si, al multiplicar alguna de ellas por cierto valor, se obtiene la otra. • EJEMPLO
* + 3y = 5 3* + 9y = 15 Solución: obsérvese que al multiplicar la prime ra ecuación por 3 obtenem os la segunda ecuación: 3 • (* + 3y = 5) 3-* + 3-3^ =3 -5 3* + 9 y = 15 Entonces, la solución al sistema de ecuaciones son todos los puntos en la recta. * + 3 y = 5 b. Dar a cada una de las ec uaciones la form a pen diente, es decir: y = ax + b. Si las pend ientes (a) y las intersecciones con el eje y (b) son iguales, hay infinida d de soluciones. • EJEMPLO
2* - 4y = 4 4 x - 8 y = 8 Solución: damos la forma pendiente a cada ecuación.
2* - 4y = 4 - 4 y = 4 - 2 * 4-2* ^ = -4 Simplificamos la ecuación:
Secc
10.1
Sistema de ecuaciones lineales
107
1* De la primera ecuación: y = —— 1 4x - 8 y = 8 - 8 y = 8 - 4x - 4x - 8
y = simplificamos la ecuación:
-4x 8 y = ~ 8 + ^ í lx de la segunda ecuación: y = — - 1
Las dos ecuaciones son iguales pues sus pendientes e intersecciones son idénti cas. Entonces, la solución al sistema de ecuaciones son todos los puntos en la recta: _ lx y 2 Si las pendientes (a) y las intersecciones con el eje y (b ) son diferentes, no existe solu ción para el sistema de ecuaciones. •
E JE MP L O
18* - 6 y = 15 24* - S y = 21 Solución: damos la forma pendien te a cada ecuación.
18* - 6 y = 15 - 6 y = 1 5 - 18*
y =
15 -18* - 6
Simplificamos la ecuac ión 15 , -18* r --6 + -= r , ~ a * „ 15 De la primera ecuación: y = 3* — — 24 x - 8 y =21 —Sy = 21 - 2 4 *
y =
21 -24* - 8
simplificamos: 21 ^ -24*
'■ = s + ^ r 21 de la segunda ecuación: y = 3* — — o
En las dos ecuaciones las pendientes son iguales y las intersecciones diferentes, entonces el sistema no tiene solución.
108
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Ejercicios 10.1 L
i
I N 1 < I • H * Zr + 3y = 5
2. x + 4y = 7 2x + 3y = 4 3. 2x - 3y = 9 3x + 4y = 5 + I o 4. Zr + 5y = 11
5.
& +
I o
1 II o
6. 2 x - l l y = 4 4x + 7y = 8 7. 3x + y = 5 6x + 2y = 7 4 8. ? 1 I 2* -y = 2
9. Zr - 6y = 2 jc - 3y = 3 10. 7jc + 2y = 1 2 U + 6y = 3 11. 4jc + 8^ = 10 jc + 3y = 27 12. 3* - 2y = 12 7* + 2y = 8 13. x + 5y = -1 0 - 5 r + y = 24
14. 3x + 5y = 15 6* + lOy = - 5 1 il — i
15. x+
5 3
- ; k = 5
20. b - 2 c = 0 -3b + 6c = 8 2L 3A - B = - 3 5.4 + 3 5 = - 1 9
22. 2z - 3/ = 9 Z + 2 /= -13
23. jc — 3y = —11 Zr + 5y = 11 24. 5jc + y = 4 * - 2y = 3 25. 1 U + 2y = 1 9jc - 3y = 24 26. 2 r + y = 0 3 r + y = 2
27. y = 3x - 3 6x = 8 + 3y 28. 3m = 2y y = - 7 - 2 m 1
29. j X - y = - 3 -x -2 y =6
30. y = 2 x - \ 6x - 3y = - 1 31. Zr + 3y = 2y - 2 3 r + 2y = 2x + 2
32.
< 1 > I » -H 1 3 3
4v = 7« — 2
33. 0.2r - 0.5y = 0.07 0.8r ~ 0.03 y = 0.79 34. 0.5v + 0.2w = 0.54 0.3v - O.ów' = 0.18
16. 3w + 8v = 4 15h >+ 10v = -10
35. x
4
17. 6a - 2b = 18 -3a + b= -9 18. 4m + 6n = 2 6 - 9n = 15 19. 2 r + y = 6 y=*+3
2y _ 3
9
x 2-y— 2
36.
?, Z
1
1
1
-2/ + -3 r = 1
Secc 10.2
10.2
Sistemas lineales con tres variables
109
Sis temas lineale s con tres varia bles
Aho ra vamos a e studiar los sistemas de la forma: a,* + v + ci y = d \ a2* + *2? + CJ> = d 2 aj e + b ^ + c j = d 3 El procedimiento que se sigue para resolver tal sistema es el métod o de suma y resta el cual se utiliza dos veces. Éstos son los pasos a seguir: a. Tbmar dos ecuaciones y eliminar una variable con el métod o de sum a y resta. b. Tbmar otras dos ecuaciones y eliminar la misma v ariable que fue eliminada en el paso anterior. c. Con las ecuaciones que resultan de los pasos a y b tenemos un sistema de ecuacio nes lineales con dos incógnitas de la forma: a \x
+
y = «i
+ V = C2 que pu ede ser resuelto con algunos de los métodos vistos con anterioridad. d. Después de resolver el sistema del paso c, sustituimos los valores en una de las ecuaciones iniciales y obtenemo s el v alor de la variable faltante. m EJEMPLO
2x + y —z = 5 x - 2 y - 2 z = 4 3x + 4y + 3z = 3
(1) (2) (3)
Solución: eliminamos con el método de suma y resta la variable x en las ecuaciones
1 y 2.
_2 x + y - z = 5 2(x - 2 y - 2 z = 4 ) 2x + y - z = 5 ~ 2 x - 4y - 4z = 8 Ox + 5y + 3z = - 3
Ahora ejecutamo s los pasos 2 y 3, también con la misma variab le*. _3(x-2y-2z=4) 3x + 4y + 3z = 3
_ 3* - 6y - 6z = 12 3x + 4y + 3z = 3 (k - lOy - 9z = 9 Con las dos ecuacion es resultantes: 5y+3z = -3 —lOy —9z = 9
Aplicamos otra vez el métod o de suma y resta para e ncon trar el valor de: 2(5'y + 3z = - 3 ) —lQx - 9 z = 9 10y + 6z = - 6 + -10>>+ 9z = 9 0y+ 15z = 3 15z = 3 3
Z = TS
1
Z= 5
110
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Con esto enco ntramos el valor de y sustituyendo en lOy - 6 z = -6 . 10y - 6 ( j ) = - 6 - 1 0 , —j = - 6 - 1 0 y = - 6 + |
^ -3 0 + 6 -lOy = ----- -----
y =
-2 4 5 -1 0
= 24 = 12 y 50 25
1 12 Ahora que ya tenemos tanto el valor de z = — como el de y = — los sustituimos en alguna de las ecuaciones iniciales para ob tene r el valor q ue falta, x.
2.-
m ~1 25
2x =
118 25
118 25 x = 2 X
118 50
59 25
59 12 1 Entonces, la solución del prob lema es : x = — >y = — , z = Además del método a ntes mencionado podemo s resolver este tipo de sistemas con tres variables: atx + b¡y+ cxz = a^c + b¿y+ c^z = d2 QyX + bjy+ c3z = ¿3
Se cc 10.2
Sistemas lineales con tres variables
111
mediante el método de Cramer, que es una regla que emplea determinantes, mismos que explicaremos a continuación. Existen diversos procedimientos pa ra calcular el determina nte de una matriz, pero en virtud de que se trata de un tema muy amplio esta sección sólo se enfocará en el método de lluvia. El determ inante se simboliza como: \matriz\.
Repetimos nueva mente las dos p rimeras columnas y las ponem os al final, justo como se ilustra: *1 *2 *3
*1 *>2. ¿3
*1 C2 *2 *2 C3 <*3 *3
Marcamos líneas paralelas a la diagonal principal, que es la formada p or los coeficientes av ^ 2 y c3*y en con tra: h M a2 Ú3
Multiplicamos los coeficientes que están en cada diagonal; sumamos los que van de izquierda a derecha y restam os los que van de derecha a izquierda. flj b 2C3 +
Cia -J) 3 ~~
~
a \C,P z ~ ^ \ a 2C3
Entonces, el determina nte es: = a fi 2c} + *,c2a3 + c ,a263 - c fi 2a} - a tc2b3 - 6,a2c3
*2 • EJEMPLO
1 -1 5
4 2 -3
Solución: repetimos las dos primera s columnas.
-Î j f
2 -y
4 . i
-1 2 s x ~3.
Aplicando el método de lluvia el determ inante qu edaría: 1 -1 5
4
2
= +2 + 80 + 9 - 30 - (-12) - (-4 )
-3 = +2 + 80 + 9 - 30 + 12 + 4 = 77
Entonces: 1 4 - 1 2 5 -3
3 4 1
= 77
112
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Después de habe r definido el determina nte continuarem os con la definición de la regla de Cramer. Regla de Cramer
atx + b¡y+ cxz = a^x + btf + c¿z = (¡2 aj e + bjy+ c3z = ¿3
Para resolver este sistema necesitamos el determinante q ue simbolizamos de la siguien te manera: *1 A = «2 *3
*2 *3
C1 C2 C3
lor de x> yy z:
x =
y =
z =
C1 C2 C3
d2 d ,
*2 *3 A
ai °2 «3
d, d2 dy A
C1 C2 C3
bi *2
¿i <*2 dy
°2 a3
m EJEMPLO x - 8 y + 2z = - 1 x - 3y + 2z = 1 2x - l l y + 3z = 2 Solución: obtenem os el determinante del sistema con el método d e lluvia.
A=
1 -8 1 -3 2 -11
2 2 3
A=
1 -8 1 -3 2 -1 1
2 2 3
A=
1 -8 1 -3 2 -11
2 2 = +(1 X 3 — (2 X
A=
1 -8 1 -3 2 - 11
1 -8 1 -3 2 -11
2 2 = -5 3
= -5
Se cc 10.2
Sistemas lineales con tres variables
Ahora establecemos los determ inantes para en contra r los valores de x>y y z :
A -1 -8 C1 1 -3 C2 = 2 -11 C3
¿>1 *2 ^3
¿3
2 2 3
Aplicamos nuevame nte el m étodo de lluvia. -1 -8 1 -3 2 -11
2 -1 2 1 3 2
2 1 3
-1 -8 1 -3 2 -11
2 1 = + (-1 3 - (2 X
= -31
2 1 = -31 3
-1 -8 1 -3 2 -11 Entonces:
dx
b,
-31 _ 31 -5 5
x —-
Ahora encontramos el valor de y:
y =
*2 *3 fll *2 fl3
¿2 d3 A ¿2 ¿3
C2 C3
*2 = C3
1 1 2
-1 1 2
2 2 3
Aplicamos nuevame nte el m étodo de lluvia. 2 2 3
1 1 2
-1 1 2
2 2 = + (1 X 1 X 3) + (- 1 X 2 X 2) + (2 X 1 X 2) 3 - (2 X 1 X 2) - (1 X 2 X 2) - (-1 X 1 X 3) = -2 2 2 = -2 3
113
114
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Entonces:
y =
al a2 *3
<*> d2 d ,
ci C2 *3
^2 -5
Ahora encontramos el valor de z : «1
4 *2 *3
z =
ai «2 a3
dy
d, d2 =
*2 *3
1 -8 1 -3 2 -11
Aplicamos nuevam ente el m étodo d e lluvia. 1 -8 1 -3 2 -11
-1 1 - 8 1 1 -3 2 2 -11
1 -8 1 -3 2 -11
-1 1 = + (1 X - 3 X 2) + ( - 8 X 1 X 2) + ( -1 X 1 X -11) 2 - (-1 X - 3 X 2) - (1 X 2 X -11 ) - ( - 8 X 1 X 2 ) = 11
1 -8 1 -3 2 -11
-1 1 2
=
11
Entonces:
z =•
¿>1 *2 ¿3
*3
¿1 ¿2 ¿3
_ 11
-5
, , , • 31 2 11 La solución al sistema es: x = — , y = —>z = 3 ^.
Ejercicios 10.2
*
I. Resuelva los ejercicios del 1 al 7 po r el método de suma y resta, y del 8 al 13 po r la regla de Cramer. L
-2 x = 2
3>- + 2z - 4 6 x - 5 y - 2z = 0 4.
x - 3 y = 2 2y + z = -4 x - 3y + 2z = 9 ~y = 3
2x + z = ~5 x - 3z = - 6
- x + 2y + 3z = - 7 Z
4,-*--13
4x + 2y - z = ~9
5.
x —3y + z = 4 - x + 4y - 4z = 1 2x - y + 5z = -3
Secc. 10.3
6. 2* + 4y + 3z = 6 x - 3y + 2z = - 7 - x + 2y - z = 5
10.
7. 3x —2y + 3z = 11
11.
+ 4y - 3z = -9 4x - 2y + 5z = 13 2 jc
4r-2 y+ 3z = 0
3 x - 5 y - 2 z = -12
x + 4y - z = - 5
.
2 x - 3 y
+ 3z =
115
5* — 3y + 2z = -1
2x + 3y —2z = —5 8
Sistemas de ecuaciones no lineales
2 jc + 4 y - 3 z = - 4
12.
-1 5
- jc
3x + 2 y - 5 z = 19
+
2y
-
z
=
-4
4x + y - 2z = 1
5 x - 4 y - 2 z = - 2
r + y - z = -1
9. 3 x - 2 y - 4 z = -8 4* + 3y - 5z = -5 6 x - 5 y + 2z = -1 7
10.3
Sistemas de ecua ciones no lineales
•• a. El sistema de ecuaciones puede conte ner una ecuación lineal y otra no lineal. Lo que se hace e n este tipo de sistema es despejar alguna de las variables y sustituirla en la ecuación restante.
•
E JE MP L O
2x + y = 10 4x2 + y 2 = 16 Solución: empezamos despejando una d e las variables, la y de la prime ra ecuación.
2x + y = 10 y = 10—2*
Aho ra sustituimos y = 10 - 2x en la segunda ecuación: 4x2 + y2 = 16
4*2 + (10 - 2x)2 = 16 Aquí necesitamos desarrollar el binomio al cuadrado : 4x2 + (10 - 2x)2 = 16 4x2 + 100 - 40* + 4x2 = 16
Sumamos términos sem ejantes: 8*2 + 100 - 40* = 16 lime mo s la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 8*2 - 4 0 * + 1 0 0 - 1 6 = 0 8*2 - 40*+ 84 = 0 Obtenemos e l máximo factor común, 8*2 - 40* + 84 = 0 que es 4. 4 (2 * 2 - 10* + 2 1) = 0
116
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Resolvemos la ecuación cuadrática con la fórmula general: x =
—b ± V¿>2 —4ac 2a
En nuestro problema: (2x2 - lOx + 21) = 0 a= 2
X =
X =
X =
¿>= -1 0
c = 21
- ( - 1 0 ) ± V ( - 1 0 ) 2 - 4 (2 ) (2 1 ) 2(2) 10 ± V 100 -8( 21 ) 4 10 ± V 100 - 168 4 10-VÍ2
Simplificando la expresión : 10 ± V l2 4 10±VM3) 4
10±2V(3j 4 2(5 ± y/3) 4 (5 ±
V5)
2 5 -V 3 * i= ^ —
5 + V§ *2= 2
Ahora e stos resultados los sustituimos en la ecuación lineal: y = 10 - 2x
5 -V 3 \ ^ = 1 0 - 2 \ - 2 ~ )
.. /5 + V 3 >>=1 0 - 2\ 2
y t = 10 — (5 — V 3 )
y2= 10 - (5 + V 3)
y t = 10 - 5 + V 3
y 2= 10 - 5 - V 3
y t = 5 + V 3
y 2= 5 - V 3
Las soluciones de nuestro sistema de ecuaciones son: 5 -V 3 x¡= — r — 2
5 + V3 * 2= — 5— ?2 =
_ y ,= 5 + V 3 5 - V5
Se cc 10.3
Sistemas de ecuaciones no lineales
117
b. El sistema de ecuaciones puede contener d os ecuaciones no lineales. En tal caso se
pu ede usar el mé todo de sustitución o el de suma y resta, com o se ilustra enseg uid a. • EJEMPLO
j*2 + y 2 = 4 4 y2 - x 2 = 4 Solución: aplicamos el método de sum a y resta.
x2 + y 2 = 4 —x 2 + Ay2 = 4 Qx2 + 5 y 2 = 8
Despejamos y: 5
y 2 = 8
Entonces tenemos:
Sustituimos en una d e las ecuacion es iniciales: x 2 + y 2 = 4
Para:
Obtenem os las primeras soluciones:
Sustituimos:
118
Ca pítu lo 10
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
en: X2 + y2 = 4
^ 4 - f , 20-8 j r = 5 12
Obtenem os las primeras soluciones:
Ahora tenemos todas las soluciones del sistema de ecuaciones original: /8~
/Í2
/8"
v ?
* 1= + V 7
* = +V 7
[s y2 = - y ¡ 7
Iñ * 2 = -V y
[8 ^ “ -V t
yi
Ejercicios 10.3 L 2x —y = 6
y2 = 4.r 9. x2 + y2 = 4
2. x
+
y
= 2
4/ -
x2 + y 2 = 4
3. 2x + y = 4.
9JC2 + ló y2 = 145 1L 4jc2 + 9y2 = 36
3* - y - 8 = 0 x2 + y 2 - 4 x - 6 y + 8 = 0
9*2 + 4y2 = 36 12. ** + 4 ^ = 16
5. 2x - 3y —5 2X2 + Sy2 = 5
. x -
6
y
+ 2 = Q
f - & x
=
0
7. * + y = 5 x 2 + x2 = 9
8. 2 * - y + 2 = 0
4
10. x2 —y2 = 5
4
y2 + 4x = 0
jc2 =
jr2 + y2 = 9 13.
jc2
+ y2 = 16
9X2 + ló y2 = 144 14. x2 + y 2 = 2 2y 2 - x 2 = 4
15. j^ + y ^ l x2 —y2 = 4
*3 = +
= _
Ejercidos
16. x2 + f = l x2 + y2 = 4
17. 4x2 + y2 = 25 2x + y = 1
18. 2x2 - y 2 = l 3x + y = 2
19. x2 + y2 = 25 y = - 4
20. x2 + y 2 = 169 x = —12 21. y2 = 2x 1 x=y --
22. 8X2 —y2 = 16 y = 2x
23. x2 + 4y2 = 32 x + 2y = 0 24. 2x2 - 3 y 2 = 25 x + y = 0
25. x2 = 2y + 3 x = y +
5
26. y2 = —x x - 2y = 5 27. x2 —y2 =3 j f + y2 =5 28. 2x2 + y2 = 24 x2 - y2= -12 29. x2- 2 / = 1 x2 + 4 / = 25 30. x2 + y2 = 10 Í6x2 + y2 = 25
31. 2 x 1 - 3 y 2 = l 0 x2 + 4y2 = -17 32. 2x2 + Sy2 = -4 4x2 + 2 f = 8 33. x2 + y2 = 20 x2 = y 34. x2 —y2 =2 y2 = x 35. x2 + y2 = 16 y2 = 4 - x
119
FUNCIONES Y GRÁFICAS
11. 1 Funci ones 11. 2 Funci ones especi al es 11. 3 Combi naci ones de f unci ones 11. 4 Funci ones i nversas 11. 5 Gráf i cas en coordenadas rectangul ares
S
uponga que un hom bre de 180 libras bebe cuatro cervezas, una tras otra. Se sabe que su concentración de alcohol en la sangre, CAS, primero se elevará y después disminuirá y regresará en forma paulatin a has ta cero. Pero, ¿cuál es la mejor ma nera de describir qué tan rápido se eleva la CAS, en dónd e alcanza su punto máximo y qué tan rápido disminuye de nuevo ? Si se obtienen los valores medidos de la CAS para este b ebe dor en particular, pu e den mostrarse en una tabla ,com o sigue:
11. 6 Si metrí a
Tiempo (h)
11. 7 Trasl aci ones y refl exi ones
CAS(%)
1
2
3
4
5
6
0.0820
0.0668
0.0516
0.0364
0.0212
0.0060
11. 8 Repaso
Sin embargo, una tabla sólo puede mo strar un núm ero limitado de valores y en realidad no proporciona la imagen global. En lug ar de lo anterior, pod ría relacionarse la CAS con el tiempo t utilizando una combinación de ecuaciones lineales y cuadráticas:
Tiempo (h)
CAS = -0.10 25/2 + 0.1844/
si t < 0.97
CAS = -0.01 52/ + 0.0972
si t > 0.97
Sin embargo, como con la tabla, después de ver las ecuaciones resulta difícil ente nde r de inmediato lo que sucede con la CAS a lo largo del tiempo. Quizá la mejor descripción de los cambios en la CAS a través del tiempo es una gráfica como la de la izquierda. Aq uí se observa con facilidad qué es lo qu e sucede. La concentración de alcohol en la sangre asciende rápidamente, alcanza un máximo de 0083% después de una hora aproximadamente, y luego desciende de manera gradual durante las siguientes cinco horas y media. Observe que po r más de tres horas la CAS de este bebedor está por arriba de 0.05%, el punto en el que, por lo regular, las habilidades par a conducir un vehículo empiezan a fallar. La curv a variará d e u n bebedor a otro, p ero por lo ge ne ral las m ujeres se ven afectadas con mayor severidad que los homb res, no sólo po r la diferencia de peso, sino tam bién a consecuencia del diferente contenid o de agua en el cuerpo de ambo s sexos. La relación entre tiemp o y contenido de alcohol en la sangre es un ejemplo de un a función. En este capítulo se trat an a fon do las funciones y sus gráficas.
121
122
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
O B J E T I V O __________________
Entender lo que es una fundón y determinar sus dominios yvalores.
11.1
Funciones
•• En el siglo x v i i , Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdu jo el término func ión en el vocabulario matemático. Se trata de uno de los conceptos más elementales de las matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo. Con frecuencia escuchamos en el habla cotidiana de person as educad as frases como “las tasas de interés están en función de los precios del petróleo ” o “el mo nto de la pe n sión está en función de los años trabajado s” o “la concentración de alcohol en la sangre después de be ber cerveza es una función del tie mpo ”. Algunas veces, tales expresiones tienen relación con las matemáticas, pero no siempre. Debem os ser más cuidadosos con el uso que hacemos de la palabra func ión, a fin de que sea útil matemáticamente; sin embargo, hay características den tro de su uso cotidiano que vale la pen a destacar. Por ejemplo, el espíritu que fundamenta las frases anteriores podría enunciarse como “las cantidades d e tipo Y están en función de las cantidades de tipo X \ Existen dos tipos de cantidades —aunque es posible que Y sea igual qu e X — y el valor de X parece determinar de alguna manera el valor de Y. En gene ral, el uso no es simétrico en A' y en y. A m odo de ilustración: la frase “los precios del petróleo están e n función de las tasas de interés” no parece verd adera. La mayor parte de la gente no cree q ue ni siquiera la manipulación de las tasas de interés que lleva a cabo la Reserva Fe deral de Estados Unidos pued a determ inar los precios del petróleo. La mayoría de los economis tas recorda rán aquella ocasión en que la tasa de interés federa l estuvo al 6% y el precio del barril de pe tróleo fue d e $30; y la vez en que la tasa de interés tam bién era de 6 %, pero e l prec io d el barril de pe tró leo ascendió a $40. Un a tasa de interé s dada no asegura un único precio del petróleo. Por lo tanto, la cantidad de entrada, la tasa de interés, no determina la cantidad de salida , el precio del petróleo. Por otro lado, suponga que una persona que acaba d e be be r cinco cerv ezas se somete a un a prue ba de concentra ción de alcohol en la sangre a p artir de ese momento y cada ho ra dur ante las siguientes seis. Para cada uno d e los valores de tiempo {0,1,2,3 ,4,5,6), la medición de la concentración de alcohol en la sangre prod ucirá exactamente un valor. Este último ejemplo propor ciona la clave para qu e el uso de la palab ra jun ción sea preciso: para cada valor de entrada, x (un tiem po), existe exactamente un valor de salida, y (u na concentración de alcohol en la sangre). De hecho, con este criterio no es correcto decir que “las tasas de interés están en función de los precios del petróle o”. Aunque podría pensa rse qu e los altos precios del petró leo son la causa de las dificultades económicas, no es cierto que un va lor del pre cio del petróle o determine una tasa de interés única. Par a ver esto con may or claridad pu ede visitar h t t p : / / w w . w t r g . c o m / o i l _ g r a p h s / o i l p r i c e l 9 4 7 . g if y
h t t p : / / w w w . g o l d e a g l e . c o m / e d i t o r i a l s _ 0 O/ leopoldO11 400.html A partir del primer sitio de Internet pueden determinarse dos ocasiones (bastante re cientes) en las que el precio del petró leo fue el mismo. Si el segundo sitio indica que en ambas existieron diferentes tasas de interés, entonces se tiene la prueb a de que un precio p artic ular de l petróleo n o d a lugar a una cierta tasa de interés. Tampoco es cierto que “el monto de u na pensión está en función de los años traba jados” . Si el valor de los “años trabajado s” es 25, el valor del “monto de la pensión” aún no puede d eterminarse. En la mayoría de las organizaciones, el director gene ral y el gerente de sistemas tendrá n pensiones de retiro m uy diferentes de spués de 25 años de servicio. Sin em bargo, en este ejemplo podría decirse que, de acuerdo con el perfil del puesto , el monto de la pensión está en función de los años trabajados. Si se invierten $100 a una tasa de in terés simple del 6%, ento nces el interés g anad o / es una función de la cantidad de tiempo t que el dinero permanece invertido. Estas cantidades están relacionadas po r la fórmula: / = 100(0.06)í
(1 )
Secc. 11.1
Funciones
123
Aquí, para cada valor de / existe exactamente un valor de / dado por la ecuación (1). En una situación como ésta, con frecuencia se escribe /(/) = 100(0.06)/ para reforzar la idea de que el valor de I está determinado po r el valor d e /. Algunas veces se escribe 1 = /(/) para expresar que Ie s una función de / aun si no se conoce una fórmula que lo especifique. La fórmula (1) asigna la salida 3 a la entrada ? y la salida 12 a la entrada 2 Puede pensarse en la fórmula (1) como la definición de una regla', multiplicar / por 100(0.06). La regla asigna a cada número d e en trad a / exactamente un nú mero de salida /,el cual se simboliza mediante la siguiente notación con flechas: / h* / o / 100(0.06)/ Una fórmula proporciona el modo de describir una regla para cubrir potencialmente un número infinito de casos, pero si existe sólo una cantidad finita de valores par a la variable de e ntrada, como en el caso al inicio del capítulo, entonces la regla obtenida a pa rtir de las observacio nes reg istradas en la tab la pued e n o se r parte de ning una fó rm u la reconocible. A continuación, se usará la pa labra regla en lugar de fórmula para pod er incluir esta útil generalización . DEFINICIÓN
Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de números de entrada para los cuales se aplica la regla se le llama dom inio de la función. Al conjunto de todos los núm eros posibles de salida se le llama rango (o codo m inió). Para la función del interés definida por la ecuación (1), el número de entrada / no puede se r negativo, puesto q ue en este ejemplo el tiempo negativo no tiene sentido. Así, el dominio consiste en todos los núme ros no negativos (esto es, todo / ^ 0, dond e la variable proporciona e l tiempo t ranscurrid o de sde el momento en que se hizo la inversión). Hasta aquí se ha usado el término func ión en un sentido restringido porque, en general, las entradas o salidas no tienen por qué ser números. Por ejemplo, una lista de estados y sus capitales asigna a cada estado su capital (exactame nte una salida), de modo que hay una función implícita. Sin embargo, por el mo mento sólo se considerarán las funciones cuyos dominios y rangos consistan en núm eros reales. Una variable que representa los números de entrada para una función se denomina variable independiente. Una variable que rep resen ta los núm eros de salida se denom i na variable dependiente, porqu e su valor depende del valor de la variable independiente. Se dice que la variable depend iente es u na junc ión de la variable independiente. Esto es, la salida es una función de la entrad a. Así, par a la fórmula de interés I = 100(0.06)/, la variable independien te es /,1a variable depend iente es /, e Ie s una función de /. Como otro ejemplo, la ecuación: y = x + 2 (2)
A
ADVERTENCIA
En y2 = x, x y y están relacionadas, per o es ta relació n no es un a func ió n de x.
define a y como una función de x. La ecuación proporciona la regla “sumar 2 a x”. Esta regla asigna a cada en trad a x exactamente una salida x + 2, que es y. Si x = 1, entonces y = 3; si x = -4 , entonces y = - 2 . La variable indepen diente es a: y la variable depe n diente es y. No t od as las ecuaciones e n x y y definen a y como una función de x. Por ejemplo, sea y2 = x. Si x es 9, entonces y2 = 9, de modo q ue y = ±3. Por lo tanto, para la entrada 9 se asigna n o u no, sino dos números de salida, 3 y -3 . Esto contradice el concepto de función, de m odo qu e y no es una función de x. Por otra par te, algunas ecuaciones con dos variables definen a cualquiera de las va riables como una función de la otr a variable. Por ejemplo, si y = 2 xyentonces para cada entrada x existe exactamente una salida, 2x. Así que y e s una función de x. Sin embargo, al desp ejar x de la ecuación se obtien e x = y ¡2, Para cada entrada y existe exa ctamente una salida y / 2. En consecuencia, x es una función de y. Por lo general, las letras /, g, h , F, G,etcéte ra, se usan para rep resenta r reglas de fu n dones. Por ejemplo, la ecuación (2), y = x + 2, define a y como una función de x, d onde la regla es “sumar 2 a la entr ada ”. Suponga que se elige / para re presen tar esta regla,
124
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
entonces se dice que f e s la función. Para indicar que / asigna a la entra da 1 la salida 3, se escribe /(1 ) = 3, que se lee “/d e 1 es igual a 3”. De m anera similar,/ ( - 4 ) = -2 . En general, si x es cualquier entrad a, se tiene la notación siguiente: /(*), que se lee “/d e x y\ representa el número de salida en el rango de /q ue corresponde al número de entrada x en el dominio de /.
f(x) es un número de salida.
entrada j f salida
Así, la salida f(x ) es lo mismo que y. Pero como y = x + 2, puede escribirse y = f(x ) = x + 2 o simplemente, f ( x) = x + 2 R>r ejemplo, para encontrar /(3), que es la salida correspondiente a la entrada 3, se reemplaza con 3 cada x en f(x ) = x + 2: /( 3) = 3 + 2 = 5 Del mismo modo, /(8) = 8 + 2 = 10 A
f( x )
/ ( —4) = - 4 + 2 = -2
ADVERTENCIA
no s i g n i fi c a / p o r x, f(x ) si
no
la salida que corresponde a la e n t r a d a x. La notación funcional es muy u t i li z a d a e n c á l c u lo .
Los números de salida como / ( - 4 ) se llaman valores de la función.Tenga en me nte que dichos valores están e n el rango de /. Con mucha frecuencia, las funciones se definen po r medio de la “notación de fun do nes ”. Por ejemplo, la ecuación g(x) = x3 + x2, define a la función g que asigna a cad a número de entrad a x el número de salida x3 + x 2: g: x i-+ x 3 + x 2
En otras palabras, g suma el cubo y el cuadrado de un número de entrada. Algunos valores de la función son: g(2) = 23 + 22 = 12 r t - l ) = (-1 )3 + ( - 1 ) 2 = - 1 + 1 = 0 g(t) = t3 + t2 g(x + 1) = (x + l) 3 + (x + l)2 L a i d e a d e reemplazo e s m u y i m p o r t a n t e e n l a d e t e r m i n a c i ó n de los valores funcionales.
Observe que g(x + 1) se encontró al reemplazar cada x en x3 + x 2 por la entrada x + 1. Cuando se haga referencia a la función g definida p or g( x) = x 3 + x2y se puede decir con toda libertad que la ecuación es una función. Así, se habla de “la función g{x) = x 3 + *2” y, de m anera aná loga, “la función y = x + 2”. Seamos más específicos acerca del dom inio de u na función. A m enos que se esta blezca otra cosa, el dominio consiste en tod os los nú meros reales par a los cuales la regla de la función tenga sentido, esto es, el conjunto de todos los números reales para los cuales la regla proporciona valores de la función que también son números reales. Por ejemplo, suponga que: . Aquí puede usarse cualquier número real para x excepto 6, porque el denominador es 0 cuan do x es 6. Así que se entiende que el dominio d e h consiste en todo s los núm e ros reales excepto 6. Igualdad de funciones
Decir que dos func iones/y g son iguales, denotado po r / = g,es igual a decir que: 1. El dominio de f e s igual al dominio de g. 2. Para toda x en el dominio de / y g>f(x) = g( x).
Secc. 11.1
Funciones
125
El requisito 1 dice que un n úme ro x está en el dominio de /s i y sólo si está en el dominio de g. Así que si se tiene qu e f( x ) = x2ysin mención explícita del dom inio, y g(*) = x 2 para * > 0, entonces/ # g. Aquí, el dominio de / e s toda la recta real ( -o o , oo) y el dominio de g es [0, oo). Por otro lado, si se tiene f(x ) = (x + l) 2 y g(x) = x2 + 2x + 1, enton ces se entiende que tanto p ara /com o para g el dominio es ( - 00, 00) y el criterio para decidir si / = gconsiste en saber si, para cada núm ero real x yse tiene que (x + l) 2 = x2 + 2x + 1. De hecho, los antiguos libros de texto se refieren a los enunciados del tipo (x + l)2 = x2 + 2x + 1 como “ide ntidades”, par a indicar que son ciertos para cualq uier valor admi sible de la variable, y pa ra distingu irlos de los enunc iados de l tipo (x + l) 2 = 0, que son verdaderos sólo pa ra algunos valores de x. Dadas las funciones / y g, se tiene que / g ya sea por qu e el dominio de / e s dife rente del dominio de g o porque existe algun a x para la cual f(x) ¿ g( x). •
EJEMPLO 1
Determinación de la igualdad de funciones
Determine cuáles de las siguientes fun cio ne s son iguales.
b. g(x) =x +2 . í x +2
si x ¥=1
c- * W = (
0
s i* = 1
d. mv ' = í\
x + l3
si* s i x *= 1í
Solución: El dominio de f e s el conjunto de tod os los números reales diferentes de 1, mientras que el de g es el conjunto de todos los números reales, aquí se sigue la con vención de que el dominio es el conjunto de todos los números reales pa ra los cuales la regla tiene sentido. Se ten drá que decir más acerca de funciones como h y k, que se de finen por casos en el ejemplo 4 de la sección 11.2. Aq uí se observa que tanto el dominio de h como el de k es ( - 00, 00), puesto qu e pa ra am bos existe una regla que tiene sentido par a todos los n úm eros reales. L os dominio s de g, h y k son iguales entre sí, pero el de / es diferente. Entonces, por el requerim iento 1 par a la igualdad de funciones / g ,/ y f # k. Por definición, g(x) = h(x) = k(x) para toda x =£ 1, de m anera qu e la igualdad de gyh y A:depende de sus valores en 1. Como g( l) = 3, h( 1) = 0 y k{ 1) = 3, se concluye que g = k y que g ^ h (y que h =£ &).Aunq ue este ejemp lo pud iera pa rec er artificial, es representativo de las situaciones que surge n frecuen temente e n el cálculo. AHOR A R ESUELVA EL PR OBLEMA 3
• EJEMPL O 2 PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 1 DETER MINACIÓN DE DOMINIOS El área de un círculo depende de la longitud de su radio. a . E s c ri b a u n a f u n c i ó n a(r) p a r a el á r e a d e u n c í r c u lo c u a n d o la l o n g i t u d d e l r a d i o es r.
b.
¿ C u á l e s e l d o m i n i o d e e s ta f u n c i ó n f u e r a d e c o n t e x to ?
c
¿ C uá l e s e l d o m i n i o d e e sta función en el contexto dado?
Determinación de dominios
Encuentre el dom inio de cada función .
/( *) = — - — J v / x 2 - x - 2 Solución: No es po sible dividir en tre cero, así qu e de be n en contrarse todos los valores
de x que hacen que e l denom inado r sea cero. Éstos no pueden ser números de entrada. Así que se iguala el deno mina dor a cero y se resuelve par a x: x2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0
(ecuacióncuadrática) (al factorizar)
x = 2 , - 1
Por lo tanto, el dominio de /con siste en todos los números reales excepto 2 y -1 . b. g(r) = V2T = 1 Solución: V2r - 1 es un n úmero rea l si 2t - 1 es mayo r o igual que cero. Si 2/ - 1 es
negativo, entonces V2/ - 1 no es un núm ero real (es un número imaginario).
126
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Como los valores de la función deb en ser nú mero s reales, po r lo menos hasta este momento, debe sup onerse que: 2t —í > 0 21 > 1
(al sumar 1 en ambos lados) (al dividir ambos lados entre 2)
Así, el dominio es el intervalo [ j, oo). AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 7
P R I N C IP I OS E N P R Á C T I C A 2 DETERMINACIÓN DEL DOMINIO Y DE LOS VALORES DE LA FUNCIÓN El tiempo necesario para recorrer una cierta distancia depende de la velocidad a la cual se haga el reco rrido. a . E s c ri b a u n a f u n c i ó n / ( r ) p a r a e l tiempo si la distancia a recorrer es 300 millas y la velocidad es r.
b.
¿ Cu á l e s e l d o m i n i o d e e s t a función fuera de contexto?
c
¿ C u á l es e l d o m i n i o d e e s ta función en el contexto dado?
d.
Encuentre
e.
¿ Q u é l e p a s a a l ti e m p o s i la velocida d se reduce (divide) por una constante c? Describa esta situación con el uso de una ecuación.
• EJEMPLO 3
Sea g( x) = 3x2 - x + 5. Puede utilizarse cualquier número real como x, de modo que el dominio de g son todo s los números reales.
a. Encuentre g(z). Solución: Al reemplazar cada x por z en g(*) = 3x2 - x + 5 se obtiene:
g(z) = 3 (z)2 -
Solución: Al reemplazar cada x po r r2 en g(x) = 3x2 - x + 5 se obtiene:
g(r>) = 3(r2)2 - r 2 + 5 = 3 r A - r 2 + 5 c. Encuentre g(x + h). g ( x + h ) = 3(x + h )2 - ( x + h ) + 5
No confunda la notación. En el e j e m p l o 3 (c ) s e e n c o n t r ó g(x + h) a l
g(x)
+ 5=3z2-z + 5
Solución:
y
ADVERTENCIA
r e e m p l a z a r c a d a x e n
z
b. Encuentre gir2).
= 3(x2 + 2hx +hí2) —x - h + 5 = 3x2 + 6hx + 3/í2 —x —h + 5 AHOR A RES UELVA EL PR OBLEMA 31 (a )
• EJEMPLO 4
A
Determinación del dom inio y de los valores funcionales
=
3x2 - x + 5 p o r la e n t r a d a x + h. P e r o g(x + h), g(x) + h y g(x) + g(h) s o n c a n t i d a d e s t o t a l m e n t e d i s ti n ta s .
Determinación de un cociente de diferencia
Sifíx ) = x \ determine / ( * + * » ) - / ( * ) h Solución: La expresión - - —^
se conoce como un cociente de diferencia.
Aquí el num erado r es una diferencia de valores de la fun cióa Se tiene que: f ( x + h ) - f ( x ) _ ( x + h f - x 2 h h x 2 + 2hx + h? - x 2
El cociente de diferencia de una función es un concepto importante
h(2x + h)
2h x + h 2
= 2 x + h
para el cálculo. AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 35
En algunos casos, el dom inio de una función está restringido p or raz ones físicas o económicas. Por ejemplo, la función de interé s estudiada co n anter ioridad, I = 100(0.06)í, tiene t > 0 porque t representa el tiempo. El ejemplo 5 ilustra algo similar.
Secc. 11.1 PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 3 FUNCIÓN DE DEMANDA S u p o ng a q u e l a d e m a n d a s e m a nal de pizzas e n un res taurante es
a. Si el precio actual es de $18.50 por pizza, ¿cuántas se venden cada semana?
b.
c
Si s e ve n d e n 2 0 0 p i z za s s e m a nales, ¿cuál es el precio ac tual? S i e l p r o p i e t a r io d e s e a d u p l ic a r e l n ú m e r o d e p iz z a s ve n d i d a s cada se mana (a 400), ¿cuál debe ser el precio?
•
EJEMPLO 5
Funciones
127
Función de dema nda
Suponga que la ecuación p = 100!q describe la relación entre el precio por unidad p de cierto producto, y el número de unidades q que los consumidores comprarán (de manda) po r semana a ese precio. Esta ecuación se llama ecuación de demanda para el producto. Si q es un núm ero de entrada, entonces para cada valor de q se asigna exacta mente un número de salida p\ q
^
100
<7
= p
Por ejemplo, 20 •"»
100
20 = 5
esto es, cuando q es 20, entonce s p es 5. Así, el precio p es una función de la cantidad demandada, q. Esta función se llama función de demanda. La variable independiente es q y la variable dependiente es p. Como q no pue de ser 0 (la división entre 0 no está definida) y no puede ser negativa (q representa una cantidad), el dominio consiste en todos los valores de q tales que q > 0. AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 43
M
Se ha visto que una función es esencialmente u na correspondencia en la que a cada número de entrada en el dominio, se asigna un único número de salida en el rango. En la figura 11.1 se muestran por medio de flechas algunos ejemplos de asignaciones par a la correspondencia dad a p or/ (j r) = j^ .E l ejemplo siguiente ilustra una co rrespo n dencia funcional que no está d ada po r medio de un a fórmula algebraica.
Rango Dominio
P R I N CI P I OS E N P R Á C T I C A 4
FIGURA 11.1
Correspondencia funcional para f{x) = x2.
PROGRAMA DE OFERTA
P
Precio por unidad en dólares
Cantidad ofrecida por semana
500
11
600 700
14 17
800
20
».
v ;. . ,
•
EJEMPLO 6
Programa de la oferta
La tabla de la figura 11.2 es un pr og ra ma de ofe rta . Indica una correspondencia entre el precio p de cierto producto y la cantidad q que los fabricantes surtirán por sem ana a ese precio. A cada precio le corresponde ex actamente u na cantidad y viceversa. Si p es la variable independie nte, entonces q es una función de p, es decir q = f{ p ), y /(500) = 11 /(600) = 14 /(700) = 17 y /(800) = 20 Observe que cuando el precio po r unidad se increm enta, los fabricantes están dispues tos a surtir más unidades por semana. Por otra p arte, si q es la variable independiente, entonce s p es una función de q } es decir p = g( q) , y g (l l) = 500 g(14) = 600 g(17) = 700 y g(20) = 800 Se habla de f y g como funciones de oferta.
Programa de oferta y funciones de oferta. FIGURA 11.2
AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 53
^
128
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
^ T E C N O L O G Í A
____________
Los valores de una función pueden calcularse fácilmen te con un a calculadora graficadora. Por ejemplo, suponga que: /(* ) = 17*4 - 13x3 + 7
dos se muestran en la figura 11.3. De be n otarse que exis ten otros métodos pa ra evaluar funciones por medio de la TI-83 Plus. x Vi fi.622? fiSl.3 4 ¡ k 15700?
y que se quiere encontrar /(0 .7 ),/( -2 3 1 ) y /(10). Con una calculadora TI-83 Plus, primero se introduce la función como Y jí
* I ■ - D X » C
Y l = 17XA4 - 13XA3 + 7
Después se presiona la tecla “Table” y de m anera sucesiva se introducen los valores de x .7, -2.31 y 10. Los resulta
FIGURA11.3 Tabla de valores para la función para f(x) = 17x4-13*3+ 7.
Ejercicios 11.1 En los problemas la 4, determine si las Junciones dadas son iguales L /(*)= 4 ? \ g ( x ) = x 2. G(x) = (\ZxT+T)2; H(x) = x + l
•3-*(*)-!;*(*)-{_}
Tx<° o
x1 —4x +3 six *3 . 4. /(*)- ' x —3 » 2 six =3 En los problemas 5 a 16, obtenga el dominio de cadafunción.
6. g(x) = 5
5./(*)- = *7. h(x) = Jx=l>
8. K(z) =
9. f (z )=3z¿+ 2z ~4 9x - 9 1L f (x )= 2xX +7 4 13. *00- ii2 _ 4y + 4 15. h(s) =
4 —í 2 2s2 - 7í —4
r2 +1 Determine los valores de la función para cada una de lasfunciones de los problemas 17 a 28. 17. /(*) = 2* + l;/( 0 ),/ (3 ),/ (- 4 ) 18. H(s) = 5s2 - 3; H(4), H(s/ f ), t f Q j 19. G(*) = 2 - jc2; G(-8), G(«), Gf«2) 20. F(x) = -5x; F(s), F(t +1), F(x + 3) 21. y(u) = 2u *-u\y(-2),y( 2v),y(x+a) 22. *(i/) = ± ; h ( í 6 ) , h ( ^ \ h ( l - x ) 23. /(x ) = X? +2x +1; /(l), /(-l ), f( x + h ) 24. //(*) = (jc + 4)2; //(O), //(2), H(t - 4) 25. «*) =
A(5), *(3*), A(* +h )
26. *(*) = \ ^ 3 ; A(4), *(3), *(* +1) - *(*) 27. f( x) = x4/3; /(O), /( 6 4 ),/ Q
28. g(x) = jr2^5; g(32), g( -6 4) , g (/10) f(x + h ) - f ( x ) losproblemas 29 a 36 encuentre (a)f(x + h)y(b ) simplifique sus respuestas. 29. f ( x ) = 4 x - 5 30. /(* ) = | *31. /(*)=*2+2 jc 32. /(*) = 3X2 —2* - 1 33. /(*) = 3 —2* + 4X2 34. f(x)=x * 36. f( x) =
*35. /(x) = i 37. Si f(x) = 5* + 3, encuentre 38. Si / ( jc )
=
2x* - x +
f(3 + h ) - f ( 3 )
1 , encuentre ^
_ ^ 2\
En los problemas 39 a 42, ¿es y una función de x? ¿Es x una función de y? 39. 9y —3x —4 = 0 40. x2 + y = Q 4l.y=7x2 42. x2 + y2 = 1 *43. La fórmula para el área de un círculo de radio re s A = irr2. ¿Es el área una función del radio? 44. Suponga que f( b) = a2b3 + a3!*2. (a) Encuentre/(a), (b) En cuentre f(ab).
45. Valor de un negocio Un negocio cuyo capital original es de $25 000, tiene ingresos y gastos semanales de $6500 y $4800, respectivamente. Si se conservan todas las utilidades, exprese el valor V del negocio al final de /semanas, como una función de t. 46. Depredación Si una máquina de $30 000 se deprecia 2% de su valor original cada año, determine una función / que exprese d valor V de la máquina después que han transcurrido / años. 47. FUndón de utilidad Cuando se venden q unidades de cierto producto (q es no negativa), la utilidad P está dada por la ecua ción P = 125q. ¿Es P una función de ql ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente? 48. Fündón de demanda Suponga que la función de deman da anual para que derto actor protagonice una película es 1 200 000 p = - , donde q es el número de películas que prota goniza durante el año. Si el artista actualmente cobra $600 000 por película, ¿cuántas protagoniza cada año? Si quiere prota gonizar cuatro cintas por año, ¿cuánto cobrará por esto? ----
----
Se cc 11.2
49. Función de oferta Suponga que la función de oferta semanal por una libra de café, la mezcla propia de un expendio local, q es p = — , donde q es el número de libras de café que se ponen en venta cada semana. ¿Cuántas libras semanales deben ofrecerse si el precio es de $8.39 por libra? ¿Cuántas libras a la semana deben ofrecerse para su venta si el precio de cada una es de $19.49? ¿Cómo cambia la oferta conforme el precio se incrementa? 50. Altas de un hospital Una compañía de seguros examinó los registros de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de pacientes dados de alta al final de t días de hospitalización 9 está dada por: '» - '- ( s n ?
/4/3
R = /( /) = —— 500 < / < 3500 1 v ' 2500 Evalúe (a)/(1000) y (b) /(2000). (c) Suponga que /0y 2/0están en el dominio de /. Exprese /(2/0) en términos de /( /0). ¿Qué efecto sobre la respuesta tiene el hecho de duplicar la inten sidad?
Introducir los conceptos de función constante función polinomial, función racional, función definida por partes, función valor absoluto ynotaciónfactorial. PRINGPIOS EN PRÁCTICA 1 FUNCIONES CONSTANTES Suponga que las primas mensuales de un seguro médico para u n individuo son $125.00.
a.
E s c ri b a la s p r i m a s m e n s u a l e s d e l s e g u r o m é d i co c o m o u n a f u n c i ó n d e l n ú m e r o d e v is i ta s q u e e l individuo hace al doctor.
b.
¿ C ó m o c a m b i a n la s p ri m a s d e l s e g u r o m é d i c o c o nf o rm e a u m e n tan las visitas al doctor?
c
¿ Q u é ti p o d e f u n c i ó n e s é s ta ?
129
52. Psicología En un experimento de aprendizaje,2la probabili dad de una respuesta correcta como función del número n de intentos tiene la forma: />(n) = l - i ( l - c ) " - 1 nü l donde el valor estimado de c es 0344. Con el uso de este valor de c, determine P( l) y P(2). *53. Programa de demanda La tabla siguiente es un programa de demanda y proporciona una correspondencia entre el precio p de un producto y la cantidad q que los consumidores demanda rán (esto es, comprarán) a ese precio, (a) Si p = f(q), haga una lista con los números en el dominio de f Encuentre /(2900) y /(3000). (b) Si q = g(p), liste los números en el dominio de g. Encuentre g(10) y g(17). Precio por unidad, p Cantidad de demanda por semana, q
Evalúe (a) /(O), (b) /(100) y (c) /(900). (d) ¿Al cabo de cuántos días se habrá dado de alta a la mitad (1/2 = 0.500) del grupo? 5L Psicología Se realizó un experimento para analizar la respues ta humana a las descargas eléctricas.1Los sujetos recibieron una descarga de cierta intensidad se les pidió que le asignaran una magnitud de 10 y la llamaron estímulo estándar. Después se les aplicaron otras descargas (estímulos) de varias intensidades. Para cada una de éstas, la respuesta R consistía en un número que indicaba la magnitud percibida de la descarga en relación con la del estímulo estándar. Se encontró que R era una función de la intensidad /d e la descarga (/en microamperes) y se esti mó mediante:
OBJETIVO
Funciones especiales
11.2
$10 12 17 20
3000 2900 2300 2000
En los problemas 54 a 57 utilice su calculadora para determinarlos valoresfuncionales indicados para lafunción dada. Redondee las respuestas a dos decimales.
54. f (x ) = 2.03a-3 - 5.21x2 -13.71; (a) /(1.73),(b) /(-5.78 ), (c) f W 2) „ , 14.7x2 -3.95 * -15.76 ... 55- /( * ) ----------- 24.3-x> -------- ; (a) /(4)’(b) /(_17/4)’
(c) f ( i r )
56. f(x) = (20.3 —3.2x)(2.25x2 - 7.1* - 16)4; (a) /(0.3), (b) / ( —0.02), (c) /(1.9) 57. f(x) = 7
S
^
; ( a
) f (12.35), (b) /(-123 ),
(c) /(0)
Funcione s es peciales
En esta sección se verán funciones que tienen formas y re presentaciones especiales. Se iniciará con la jun ció n con stante , tal vez el tipo m ás sencillo que existe: • EJEMPLO 1 Función cons tante
Sea h(x) = 2. El dominio de h consiste en todos los números reales. Todos los valores funcionales son 2. Por ejemplo, ¿(10 ) = 2
/i( —387) = 2 h( x + 3) = 2
Se llama a h una jun ció n constante , puesto q ue to dos los valores de la función son igua les. En form a más gene ral, se tiene esta definición: Una función de la forma h(x) = c, donde c es una constante,se llama ñinoon constante. AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 19
M
'Adaptado de H. Babkoff, “Magnitude Estimation o f Short Electrocutaneous Pulses”, Psychological Re search, 39, nOm. 1 (1976), 39-49. *0. Laming, Mathematical Psychology (Nueva York; Academic Press, 1983).
130
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Una función constante pertenece a una clase más amplia de funciones llamadas juncion es polinom iales. En general, una función de la forma f ( x ) = c / * + cn_tx" -' + --- + c1x + c0
donde n es un entero no negativo y cn>cn_v • ••, c0son co nstantes e n las que cn # 0, se llama función polinomial (en x). El número n se llama gra do del polinomio, y cn es el coeficiente principal. Así, Cada término de una función polinomial es, o bien una cons tante, o u n a c o n s t a n t e p o r u n a p o t e n c ia e n t e r a p o s i t i v a d e x.
P R I N C IP I OS E N P R Á C T I C A 2 FUNCIONES POUNOMIALES L a f u n c i ó n d(t) = 3/* , p a r a t < ) 0 , r e p r e s e n ta l a d is t a n c ia e n m e t ro s q u e u n a u t o m ó v i l p u e d e r e c o r re r e n t s e g u n d o s c u a n d o t i e n e u n a a c e l e ra c i ó n c o n s ta n t e d e 6 m p o r s e g u n d o .
/(*) = 3x2 - Sx + 9 es una función polinomial de grado 2 con coeficiente principal 3. Del mismo modo, g(x) = 4 - 2x tiene grado 1 y coeficiente principal -2 . Las funciones polinomiales de grado 1 o 2 son llamadas funciones lineales o cuadráticas,respectivamente. Por ejemplo, g(x) = 4 - 2x es lineal y f(x ) = Zx2 - 8x + 9 es cuadrática. Observe que una función constante distinta de cero, como j (x ) = 5 [la cual puede escribirse como f (x ) = 5jc0], es una función polinomial de grado cero. La función constante f( x) = 0 también se considera una función polinomial, pero no tiene ningún grado asignado. El dominio de cualquier función polinomial consiste en todo s los número s reales. • EJEMPLO 2
a. f{x) = x3 - 6x2 + 7 es una función polinomial de grado 3 con coeficiente principal 1. — es un a función lineal con coeficiente principal ^2 • b. g(x) = 2* c. f ( x ) =
¿Cuál es el grad o?
c.
¿Cuál es su coeficiente principal?
2
no es una función polinomial. Co mo /í*) = 2*-3y el exponente pa ra x no
es un entero no negativo, esta función no tiene la forma propia de las polinomiales. En forma similar, g(jr) = y/ x no es función polinomial porq ue g(x) = x m.
a . ¿ Q u é t ip o d e f u n c i ó n e s é s ta ?
b.
Funciones polinomia les
AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 3
M
Una función que es un co ciente de funciones polinomiales se llama función racional. • EJEMPLO 3
Funciones racionales
x? — 6x a. f ( x ) = x es una función racional, puesto que el nume rador y el denom ina
dor son funciones polinomiales. Observe que esta función racional no es tá definida pa ra x = -5 .
Toda función polinomial es una f u n c i ó n r a c i o na l .
2x + 3 b. g(x) = 2x + 3 es una función racional porque 2x + 3 = — -— . De hecho, toda
función polinomial también es una función racional. AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 5
P R I N C IP I OS E N P R Á C T I C A 3 FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES Para reducir el inventario, una tien d a d e p a r t a m e n t a l c o b r a t re s p r e c i os . S i u n c l i e n t e c o m p r a d e 0 a 5 pares de medias , el precio es de $3.50 por par. Si compra de 6 a 10 p a r e s , e l p r e c i o e s de $ 3 . 0 0 p o r p a r. S i c o m p r a m á s d e 1 0 p a re s , e l p r e c i o e s d e $ 2 . 7 5 p o r p a r . E s c ri b a u n a f u n c i ó n d e f i n id a p o r p a r te s p a r a r e p r e s e n t a r e l c os t o d e c o m p r a d e n p a r e s de medias.
Algunas veces es necesaria más de una expresión para definir una función, como lo muestra el ejemplo 4. • EJEMPLO 4
Sea:
Funciones definidas por partes
{
1 si - 1 < s < 1 0 sil< s< 2
5-3
s i2 < s < 8
Ésta se llama fundó n definida por partes, puesto que su regla está dada por más de una expre sión. Aquí 5 es la variable independiente y el do minio Fes toda s tal que -1 < s < 8. El valor de s determ ina cuál expresión debe usarse.
Se cc 11.2
Funciones especiales
131
Determ ine F(0): como —1 < 0 < 1, se tiene F(0) —1. Determ ine F(2): como 1 < 2 < 2, se tiene F( 2) —0. Determ ine F(7): como 2 < 7 ^ 8, se sustituye 7 po r la s en s - 3. .F(7) = 7 —3 = 4 AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 19
M
[ t e c n o l o g í a
Para ilustrar cómo introducir una función definida por parte s en una calculadora TI-83 Plus, la figura 11.4 m ues tra una secuencia de pasos para la función
Ploti Pl*t2 Pl*t3
sYiB2X
+X*<0 -X10 ■ nV2 = \Vs = n V h = V 5=
í 2x si * < 0 / ( *) = < *2 s i 0 < * < 1 0 { - x si * > 10
Introducción de uiía ción definida por partes URA 11.4
Como |*| proporc iona un número real único para cada nú mero real *,el valor absoluto, |- |, e s una función. EJEMPLO 5
Función val or ab so luto
La función |- |(* ) = |*| se denom ina Junción valor absoluto. Recuerde que el valor ab soluto de un número real * se deno ta po r |*| y se define po r La función valor abs oluto puede c o n s id e r a r s e u n a f u n c i ó n d e f i n i d a por partes.
\x\ =
x *
si* —0 s ìa
: < 0
Por lo tanto, el dominio de |—| son todos los nú mero s reales. Algunos valores de esta función son: |16| = 16 i - jl = - H ) = 3 iq-o AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 21
En los ejemplo s siguientes se utiliza la notación factorial. El símbolo r!, dond e r e s un entero positivo, se lee “r factorial”. Repre senta el pro ducto de los primero s ren ter os positivos: rl = 1 - 2 - 3 - r
También se define: 0!
=
1
Para cada entero no negativo n,(- )! (/i) = n\ determina un número único,de mane ra que puede decirse que (- )! es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros no negativos. P R I N CI P I OS E N P R Á C T I C A 4
• EJEMPLO 6
Factoriales
FACTORIALES Deben colocarse siete libros dife r e n te s e n u n a r e p i s a . ¿ D e c u á n t a s f o rm a s p u e d e n a c o m o d a r s e ? R e p r e sente la pregu nta como un proble m a d e f a c t o ri a l e s y d é l a s o l u c i ó n .
a. 5! =1-2-3-4-5 = 120 b. 3!(6 -5 )! = 3! • 1! = (3 *2 • 1)(1) = ( 6 ) ( 1 ) = 6 4! _ 1 • 2 • 3 • 4 24 0! i T “
AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 27
# #
132
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
EJEMPLO 7
Genéti ca
Suponga que se rep rodu cen dos conejillos de indias de co lor negro, y tienen cinco crías. Bajo ciertas condiciones puede mostrarse que la probabilidad P de que exactamente r de las crías sean d e colo r café y las otras negras, es una función de r, por ejemplo, P = P(r), donde: P(r) _ = 5! ( I Y (i)5~r r = 0,1,2,..., 5 r!(5-r)!
Los factoriales aparecen con frecuencia en la teoría de probabilidad.
La letra P en P = P(r) se usa de dos formas. En el lado derecho, P representa la regla de la función. En el izquierdo rep resen ta la variable dependiente . El dominio de P consiste en todos los entero s desde 0 hasta 5, inclusive. Determin e la probab ilidad de que exacta mente tres conejillos de Indias sean de color café. Solución: Para en contrar P(3), se tiene:
nm . a q ) 3 (i )2 . t t 0(¿)(&) _ 45 V'
3!2!
6(2)
512
AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 35
M
Ejercicios 11.2 En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomio!. h /(JC> = JC2 - x4 -h4 2. /(*) = x3 + l x ~ 3 1 4. g(x) = 3 2x 2 *3. g(x) = x2 +2x + 1 En los problemas 5 a 8 determine si la función dada es una función racional.
--------
*5. /(* ) = **+ * Jt 3 + 4
3
1 si x< 5 7* * w = ( ¿ s i ü s * - s M = 4* ' 4 Determine el dominio de cadafunción de losproblemas 9 a 12. 10. /(*) = yf r 9. h(z) = 19 1L /(*) =
5x
s i jc > 1
4
si jc ^ 1
Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los problemas 13 a 16.
13. F(x) = 7X3 — 2x? + 6
14. g(x) = 7*
15. f(x) = ^ - 3 x 5 + 2x6 + x1 16. f(x) = 9 Evalúe las funciones para cada caso de los problemas 17 a 22.
17. f{x ) = 8; /(2), /(/ + 8), / ( - VTj) 18. g(x) = |* —3|; g(10), g(3), g(-3 ) 1
*19. F(t) =
0 -1
si/ > 0 s i/ = 0 ; si/ < 0
F(10), F (- V 5), F(0), f ( - j ^J 20. f(x) =
4 3
s i * 2=0 si jt < 0 ’
/ ( 3 ) , / ( —4 ) , / ( 0 )
G(8), G(3), G(—1), G(l) 22. F(0) =
20-5 si0<2 & - 3 0 + 1 s i ^ > 2 ;
F(3), F ( - 3), F(2) En los problemas 23 a 28 determine el valor de cada expresión. 23.6! 24.0! 25. ( 4 - 2 ) ! n\ _28. 8! *27. 26. 6! 2! (r t-1)! 5!(8 —5)! 29. Viaje en tren Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $4JO. Escriba su costo como función del ingreso del pasajero. ¿Qué tipo de función es? 30. Geometría Un prisma rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho, y altura una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como una función del ancho. ¿Qué clase de función es? 3L Función de costo En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un dado es de $850, y todos los costos adicionales son de $3 por unidad producida, (a) Exprese el costo total C (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas, (b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $1600? 32. Inversión Se invierte un capital de P dólares a una tasa de interés simple anual r durante t años. Exprese la cantidad total acumulada del capital y del interés como una función de t. ¿Su resultado es una función lineal de r? 33. Ventas Para estimular las ventas a grupos grandes, un teatro cobra dos precios. Si su grupo es menor de 12, cada boleto cuesta $9.50. Si su grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta $8.75. Escriba una función definida por partes para representar el costo de comprar n boletos. 34. Factoriales El grupo que cursa matemáticas financieras ha elegido a un comité integrado por cuatro personas, para quejarse con el magisterio por la inclusión de la notación factorial en el curso. Decidieron que, para ser más eficaces, los miembros se harían nombrar A, G, M y S, y que el miembro A
Secc. 11.3
cabildearía con los profesores cuyos apellidos iniciaran con las letras A a la F, el miem bro G con los pro fesores cuyas iniciales fueran de la G a la L y así sucesivamente. ¿De cuántas maneras pu ede el co mité no mbrar a sus mie mb ros con este procedi miento? ¿De cuán tas formas podría nomb rarse un comité integrado p or cinco person as con cinco letras diferentes? *35. Genética Bajo ciertas condiciones, si dos adultos co n ojos de color café tienen exactamente tres hijos, la probabilidad P de que tengan exactamente r hijos con ojos azules está dada por la fun ció n P = P(r), donde:
p ( r ) = 3_ i m i r U r!(3 —r)l '
t = f ( T ) =
4
4 175 -7 -- ^ 3 4
OBJETIVO
Combinar fundones por medio de suma, resta, multiplicadón, división, multiplicaaón por una constante ycomposidón.
133
(a) Determine el dominio d e/ y (b) encuen tre/(30),/(36) y j{39). En los problem as 38 a 41, use su calculadora para enco ntrar los valores de las func ione s indicados para cada caso. Red onde e las respuestas a dos decimales. f( \ = ¡ 0 19 *4 “ 27- " s i* - 5 9 9 nx) 10.63.x5 —57.42 si * < 5 .9 9
(a) /(7.98) (b) /(2.26) ( c ) / ( 9 )
FI-m* t t \
Í29.5*4 + 30.4 si* < 3
* • f( X) = ( 7.9*3-2.1* sl, a3
r = 0,1,2, 3
(a) /( 2.5) ( b ) / ( —3.6) (c) /(3.2)
Determ ine la probabilidad de que exactam ente dos d e los hijos tengan los ojos azules. 36. Genética En el ejemplo 7, determin e la probabilidad de que los ojos de las cinco crías sean d e color café. 37. Crecimiento de bacterias Existe un cultivo en el cua l se están desarrollando las bacterias. El tiem po t (en horas) para que el número de b acterias se duplique (tiempo d e generación), es una función de la temperatura T ( en °C) del cultivo. Si esta función está dada po r3 24
Combinaciones de fundones
4 . 0 7 * - 2 .3 /(*)= •
s i* < - 8
19.12 Si —8 < * < —2 x 2 - 4 x ~ 2 s i* > - 2
(a) / ( - 5 . 8 ) (b) /(—14.9) (c) /(7.6)
* / (* + 3 )
s i* < - 5
0 4 L /(* ) = • *(* —4)2 s i - 5 < * < 0 y/2 .\ x + 3 s i * ^ 0
si 30 < r < 3 6
(a) /(-V5Ó) (b) /(46) (c ) / ( - 2/3)
s i3 6< r < 3 9
11.3
Combina ciones de funciones
Existen diferentes formas de combinar dos funciones para crear una nueva función. Suponga que / y g son las funciones dadas p or f (x ) = x 2 y g(x) = 3x
Al sum ar/(* ) y g(*) se obtiene: f(x ) + g(*) = x2 + 3*
Esta operación define una nueva función llamada suma de / y g, que se denota por / + g. Su valor funcional en * e s/( * ) + g(*). Esto es, ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x 2 + 3x
Por ejemplo, ( / + g)P ) = 22 + 3(2) = 10 En general, par a cualesquiera funcione s / y g se define la suma / + g, la diferencia / / — g» el producto /g y el cociente —como sigue:4 g c/+*)m = m
+ g (x )
(/ -g) w = m
-g(x)
( /g ) w = m
g(x)
f -( x ) = ^ para g(x) * 0 g gw 3Adaptado de F. K. E. Imrie y A. J. Vlitos, “Production of Fungal Protein from Carob”, en Single-Cell Protein II, ed. S. R. Tannenbaum y D. I. C. Wang (Cambridge, MA: MIT Press, 1975). •*En cada una de las cuatro combinaciones, se supone que x se encuentra en los dominios tanto de / como de g. E n el cociente tampoco se permite ningún valor de x para el cual g(x) sea 0.
134
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Un caso especial de f g merece una mención especial. Para cualquier número real c y cualquier función / se define c/med iante (cf)(x) = c f(x)
Este tipo restringido de p roducto se llama producto escalar. El produc to escalar tiende a com partir algunas propiedade s con las sumas (y las restas), a diferencia de los produ c tos (y cociente s) en gen eral. Para/(x) = x2y g(x) = 3x,se tiene: ( f + g )( x) = f ( x ) + g ( x ) = x 2 + 3x ( f - g ) (x ) = f ( x ) - g ( x )= x 2 - 3 x (fg)( x) = f (x ) ■ g(x) = x 2(3 x ) = Ix3 f f ( x ) X2 X —(x) = = — = - para x * 0 g(x) 3x 3 (V2f)( x) = V2 f(x) = V2x2 • EJEMPLO 1
Combinac ión de funciones
Si f( x) = 3x - 1 y g( x) = x 2 +3x, encuentre:
a- ( / + g)W b- ( f ~ g )W c- (fg)(x) d- é gw e. ( \ f ) ( x ) Solución:
»■ ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = ( 3 x - l ) + (x2 + 3 x ) = x 2 + 6 x - 1
*»-(/ —g)M = /(* ) - g(x) = (3* - !) - (*2 + 3x) = - 1 - x2 c. (fg)(x) = f(x)g(x) = (3x - l)(x2 + 3x) = 3*3 + Sx2 - 3x d. L ( X) = M = * i z l g ’ g(x ) x2 + 3x e. ( l f ) ( x ) = \ ( f ( x ) ) = \( 3 x - 1) = 3* " 1 k 2 ) " 2X ' 2 2 AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 3(a)-
M
Composición
Tkmbién pued en combinarse dos funciones al aplicar primero un a función a un nú mero y después la otra función al resultado. Por ejemplo, suponga que g( x) = 3x, f(x) = x2 y x = 2. Entonces g(2) = 3 - 2 = 6 . Así, g envía la entrada 2 a la salida 6:
2 A 6 Después, se determina que la salida 6 se convierte en la entrada p ara /: /(6) = 62 = 36 De modo que /en vía 6 al 36: 6 *-4 36 Al aplicar primero g y des pu és /,se envía e l 2 al 36: 2 Á
6
Secc. 11.3
FIGURA 11.5
Combinaciones de fundones
135
Composición de /co n* .
De manera más gen erars e reemplazará el 2 por x , donde a : está en el dominio de g (vea la figura 11.5). Al aplica r g a x, se obtiene el núm ero g(*), el cual se supone está en el do minio de /.Al ap licar /a g( x) se obtiene /(g(*)), se lee “/d e g de x ”, que está e n el rango de /. Esta operación de aplicar g y después a pl ica r/a l resultado se llama composición, y la función que se obtiene, denotada p o r / ° g,se conoce como la jun ció n compuesta d e / con g. Dicha función asigna al número de e ntra da a; el número de salida /(g(* )). (Vea la flecha inferior en la figura 11.5.) De esta manera, (f° g)(x) = f(g(x)). DEFINICIÓN
S i/ y g son funciones, la com posición de f con g es la fun ción f ° g definida po r. ( f ° g ) M =f(g(x))
donde el dominio de f ° g es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que g(*) esté en el dominio d e /. Para/(a:) = x 2y g(x ) = 3*,pued e obten erse una form a sencilla para /® g: (/• « ) M = /(*(*)) = /( a*) = (3*)2 = 9x* Por ejemplo, (/ ° g)(2) = 9(2 )2 = 36, como se vio anteriorm ente. Cuando se trata con n úm eros reales y la operación de sum a, 0 es un caso especial, par a cualquier número real a ,se tiene: a+0=fl=0+a
El número 1 tiene una propiedad similar con respecto a la multiplicación. Para cual quier número real a ,se tiene: al = a = la A man era de referencia, en la sección 11.4 se observa qu e la función / definida p or I(x) = x , satisface, para cua lquier fu nción /,
/o / = / = / « /
PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 1
donde se considera la igualdad de funciones como se definió en la sección 11.1. De he cho, par a cu alquier x , (/«m
COMPOSICIÓN U n C D c u e s t a x d ó l a r e s a l m a y o r e o. E l p re c i o q u e l a t i e n d a p a g a a l mayorista está dado por la función s(x) = x + 3 . E l p r e c i o q u e e l c l i e n t e p a g a e s c ( x) = 2x, d o n d e j c es e l p r e c i o q u e l a t ie n d a p a g a . E s c ri ba u n a f u n c i ó n c om p u e s t a p a ra d e t e rm i n a r e l p r e c io a l c l i e n te c o m o u n a f u n ción del precio al m ayo reo.
=r m ) =m
La función I se llama funció n identidad. • EJEMPLO 2
Composic ión
Sean f(x) = \fx y g(*) = x + 1. Encuentre: a- ( f ° g ) U )
*>• (ír° /) M
= K f ( x ) ) = ( i °f)(x)
136
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Solución:
A
ADVERTENCIA
P o r l o g e n e r a l , f °
g y g ° f s o n
muy
a* ( f ° £)(*) es/(g(jc)). Aho ra g suma 1 a x, y /ob tiene la raíz cuadrada de l resultado. Así que,
diferentes. En el ejemplo 2,
(f° g)( x) = \/ x + \ pero se tiene:
(g° f)(x) = y/x + 1 Ob s e rv e qu e ( / ° g K 1) =
y/2,
(g°/)(1) =2. T a m p o c o c o n f u n d a f( g(x)) c o n (fg)(x), e s t a ú l ti m a e s e l p r o d u c t o f{x)g(x). A q u í m i e n tr a s q u e
f( g(x )) = y/ x + 1 pero:
( f ° g )(*) = f(g(*)) = f ( * + 1) = V x T i
El dominio d e g consiste en todos los núm eros re ales x, y el de /e n todos los núm e ros reales no negativos. De aquí que el dominio de la composición esté constituido po r tod as las x para las que g( x) = x + 1 sea no negativa. Esto es, el dominio está formado por tod as las x ( ) -1 , o de m anera equivalente, el intervalo [-l ,o o) . b. ( g ° f ) ( x ) es g(/W ). Aho ra /tom a la raíz cuadrada de x yy gsu ma 1 al resultado. De esta manera gsuma 1 a y/ x , y se tiene: (.g ° /)(* ) = g(f(x)) = g(Vx) = Vx + 1
El dominio de /consiste en todas las x () 0, y el dominio de g en todos los núm eros reales. Por lo que el dominio d e la composición está constituido por tod as las x ( ) 0, pa ra las cu ale s / ( x) = y/x es real, a saber, toda x ( ) 0.
f( x)g(x) = y/x(x + !)•
AHOR A RES UELVA EL PR OBLEMA 7
M
La composición es asociativa , lo que significa que para c ualesquiera tres funciones f yg yhy t f ° g ) ° h = f ° (g°h) • EJEMPLO 3
Composic ión
Si F[p) = p2 + 4p - 3, G(p) = 2p + 1 y H( p) = |p|, encuentre:
a. F{G(p)) b. F{G(H(p))) c. G(F{1)) Solución:
a. F(G(p)) = F(2p + 1) = (2p + l)2 + 4(2p + l ) - 3 = 4p 2 + 12p +2 = (F°G)(/>) b. F(G(H( p))) = (F o (G o H))(p) = |( f « G) o H) (p) = (F o G)(H(p)) = (F o G)(|p|) = 4|pp + n\p\+ 2 = 4p2 + 12|p|+ 2 c. G(F(1)) = G(l2 + 4 - 1 - 3 ) = G(2) = 2-2 + 1 =5 AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 9
En cálculo, a veces es necesario pensar en una función en particular como una composición de dos funciones más sencillas, como se muestra en el siguiente ejemplo. PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 2 EXPRES IÓN DE UNA FUNCIÓN COMO UNA COMPOSICIÓN S u p o n g a q u e e l á r e a d e u n ja r d í n c u a d r a d o e s g ( x ) = ( x + 3 ) 2. E x p re se g com o una composición de dos f u n c i o n e s y e x p l i q u e q u é r e p re s e n t a cada función.
• EJEMPLO 4
Expresión de una función como una compos ición
Exprese h(x) = (2x - l)3 como una com posición. Solución: Se observa qu e h(x) se obtiene al encon trar 2x - 1 y elevar al cubo el resul
tado. Suponga que se d eterm ina g(x) = 2x - 1 y f(x) = x3. Entonces: h (x ) = ( 2 x - i y = [gW]3 = M x ) ) =
que da h como una composición de do s funciones. AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 13
£ 0
Secc. 11.3
[
t
e
c
n
o
l
o
g
í
Combinaciones de fundones
137
a
Se pueden combinar dos funciones con el uso de una calcu ladora grafícadora. Considere las funciones
Ploti
Plots
Plots
\ViB2X+l \V*BX* '••V 3 BV 1+V 2 \ V i B V i
/ ( * ) = 2x + \ y g(x) = x2
\Vs = •••Vh = NV? =
que se introducen como Y l y Y2, según se muestra en la figura 11.6. La suma de f y ges tá dada po r Y3 = Y, + Y2 y la composición de f ° g por Y4 = Y 1(Y2). Po r ejemplo, /(g(3 )) se obtiene al evalu ar Y4 en 3.
11.6 Y3y Y4soncomb i nanes de Y, y Y r
J r aURA
Ejercicios 11.3 1. Si f( x ) = x + 3 y g(x) = x + 5, encuen tre lo siguiente. (a) ( / + g)(*)
(b) ( / + g)(0)
(c) ( / - g)(.r)
(d) (fg)(x)
(e) ( / g X - 2 )
(0 U x) g
(g) ( / ° g)(*)
0») ( / o g)(3)
(i) (g ®/X* )
(j) (* * /X3)
En ¡os problemas 11 a 16, determine las funciones fy g tales que h(x) =f(g(x)). 1L h(x) = IIjc —7 1Z h(x) =
—2
*13. h(x) = ^
(a) ( / + g)(*)
(b) ( / - g)(x)
(c) ( / - gX4)
14. /:(*) = (9jr3 - 5 x f 4/^1 15. h(x) = w V X + 3
(d) (fg)(x)
(e) U x )
(f) {(2)
I*. h(r\ = 2 - < ^ - 5>
2. Si /(* ) = 2x y g(jc) = 6 + x, encu entre lo siguiente.
(g) ( / o g)(x)
g (h) (g o /)( * )
g (i) (g • /) ( 2)
*3. Sí/(jc) = x 2 + 1 y g(x) = x 2 - jc, enc uen tre lo siguiente. (a) ( / + g)(x)
(b) ( / - g)(x)
(d) (fg)(x)
(e) £ ( x ) g 0*) (s ° /)(* )
(g) ( / ° *X*)
(c) ( / - g) (- J )
•íH
(>) te ° /X -3 )
4. Si/i(jc) = x 2 + 1 y g(jc) = 5, enc uen tre lo siguiente.
(a) ( / + *)(*)
0>) ( / + g ) ( | )
(c) ( f ~ g ) ( x )
(d) (fg)(x)
(e) (/gX7)
<0
(g) ( / • *)(*)
0 0 ( / • gX12 003) (i) (g o /)(* )
g
5. Si f ( x ) = 3 x2 + 6 y g(x ) = 4 - 2 * , e nc ue ntre /(g(2))yg(/(2)). 4 n —2 6- Si /(p ) = - y g(p) = —-— »encuentre ( / ° g)(p )y teo/Xp).
2
*7. Si F(r ) = r2 + 7í + 1 y G(r) = , encu entre (FoG)(t)y(GoF)(t). 8. Si F( /) = y/t y G(t) = 3/2 + 4t +2, encuentre (F*G)(t)y(GoF)(t). *9. Si f ( v ) = 2 + y yg(v) = v'v +2, encuentre ( f ° g ) ( v ) y (g °/)(v> 10. Si /( * ) = a:2 + 2* - 1, encu entre ( / ®/)(* ).
(9X3
-5 xf +U
( ) ( 3 jc —5 ^+ 2 17. Utilidad Cierto expendio de café vende una libra de café por $9.75. Los gastos mensuales son $4500 más $425 por cada libra vendida. (a) Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una fundón del número de libras vendidas. (b) Escriba una función e(x) para los gastos mensuales totales como una función del número de libras de café vendidas. (c) Escriba una función (r - e)(x) para la utilidad mensual total como una función del número de libras vendidas. 18. Geometría Suponga que el volumen de un cubo es v(x) = (4x - 2)3. Exprese ucomo una composición de dos funciones y explique qué representa cada función. 19. Negocios Un fabricante determina que el número total de unidades de producdón por día, q, es una función del número de empleados, m, donde: q = f( m) =
(40m-m2)
El ingreso total, r,que se recibe por la venta de q unidades, está dado por la función g, donde r = g(q) = 40
138
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Además, suponga que el ingreso de una persona Ie s una fun dón del número de años de educación £ , donde I = g(E) = 7202 + 029E**8 Determine ( f ®g)(E). ¿Qu é es lo que describe esta función? Dete rmine lo s valores in dica dos para las funcio nes f y g dada s en lo s prob lem as 21 a 24. Red on de e las respu estas a d os decimales.
|2 L /(* ) = (4x - 13)2, g(*) = 0.2*2 - 4x + 3 (a)(/ + g)(4.5)
|22. /( x) =
x — 3 , g ( * ) = 1 1 .2 * + 5 .3 9 x + 1
(a) L ( - 2 ) (b) (g ° / ) ( —10) g
¡23. /(jr) = jr4/5,g (j r) = ^2 - 8 (a)( /g)( 7) (b) (g o /X3.75) J24* / ( * ) = J T 3 > S ( * ) = p (a )(/ -g )( 7 .3 ) (b) ( / °g )(—4.17)
OBJETIVO
11.4
Funciones inversa s
Introducir las funciones inversas, sus propiedades y usos.
Así como - a es el número pa ra e l cual: a + (- a) = 0 = (~a) + a
y, pa ra a # 0, a~l es el número p ara el cual: a a [ = 1 = a~la
entonces, dada un a fun ción /,cab e preguntarse acerca de la existencia de una función g que satisfaga: f ° g = I = g ° f
(1)
donde / es la función identidad, que se explicó en el fragmento titulado “comp osición” de la sección 11.3, y dad a p or I( x) = x. Suponga que se tiene g como se indicó antes, y una función ¿q u e también satisface (1) de man era que: f ° h = I = h ° f
Entonces: h = h 0I = h°(f° g) = (h °f )og = I°g = g
A
ADVERTENCIA
N o c o n f u n d a f~ \ l a i n v e r s a d e f,
muestra que hay, máximo, una función que satisface los requerimiento s de g en (1). En la jerga m atemática, g está determ inada de forma única p o r/ y , por lo tanto, se le da un nombre, g = / _1,lo cual refleja su dependencia de /. La función f ~ l se lee com o/inve rsa y se llama la inversa de /. El inverso aditivo - a existe pa ra cualquier número a\ el inverso multiplicativo a~ l existe precisamente si a # 0. La existencia de / _1 impone a una función / un fuerte re quisito, pued e m ostrarse qu e / _1existe si y sólo si, para toda a y ¿»siempre que f(a) =f(b), entonces a = b. Es útil pensar que un a/ as í puede cancelarse (a la izquierda).
y y, el recíproco m ultiplicativo
Una función /qu e satisface:
d e / . D e s a f o r tu n a d a m e n t e , l a nom enclatura para las funciones i n ve r s a s i n t e r f ie r e c o n e l u s o n u m é r i c o d e ( — ) “ 1. P o r lo g e n e r a l , / _ I ( x ) es d i fe r e n te d e —
J
(x) =
/ V*/
P o r e j e m p l o , / _1 = 1 ( p u e s t o q u e
I ° I = I) e n t o n c e s
/ _ 1( j c ) =
1M 1 1 pero7w = 7 w = I -
x,
para toda a y bysi f(a) = f( b ), entonces a = b se llama una función uno a uno. De este modo, puede decirse que una función tiene un a inversa precisamen te si es uno aun ó. Una form a equivalente de expresar la condición de uno a uno es: par a tod a a y ¿>, si a
b, entonces f(á)
f(b)
así que entrad as distintas dan lugar a salidas diferentes. Observe qu e es ta condición no se cumple para muchas funciones simples. Por ejemplo si/(*) = x2,entonces/(-l) = (- 1 )2 = 1 = (l )2 = /( 1) y -1 # 1 muestra que la función cuadrática no es uno a uno. De manera similar, f( x) = |*| no es uno a uno. En general, el dominio de f ~ l es el rango de /y el rango d e / _1 es el dominio de /.
Se cc 11.4
Funciones inversas
139
Aquí debe hacerse nota r que (1) es equivalente a f { f \ x ) ) = x = f - \ f ( x ) )
(2)
La primera ecuación se aplica para to da x en el dominio de / " 1y la segunda ecuación es aplicable para toda x en el dominio de / . En g eneral, el dominio de / _1,que es igual al rango de /, puede ser muy diferente al dominio de /. • EJEMPLO 1
Inversas de funciones lineales
De acuerdo con la sección 11.2, una función de la forma f(x ) = ax + b, donde a 0, es una función lineal. Muestre que una func ió n lineal es uno a uno. Encuen tre la inversa d e f{x) = ax + b y mue stre qu e también es lineal Solución: Suponga que /(«) = /(u),esto es
au + b = av + b
(3)
Para mostrar que f e s uno a uno, debe comprobarse que de esta suposición se sigue que ii = u Al restar b de ambos lados de (3) se obtiene au = av, de donde se sigue que u = v al dividir ambos lados en tre a (se supone que a i=0). Como /s e obtuvo tras multiplicar primero por a y luego sumar b>es de esperarse que el efecto de /p u ed a eliminarse al restar primero b y dividir despu és entre a. Entonces, considere g(*) = (/'«) M =
= a ~—~ a
— .Se tiene:
+b = (x -b )+ b = x
y
ax ✓ r, xx (ax + b ) - b (g ° /)(*) = g ( f M ) = - — ~a r — = — a =*
Como g satisface los requerimientos de (1), se deduce que g es la inversa de /. Esto es / -1 (x) = ------ = - x + — y la última igualdad muestra que / ^ también es una funa a a ción lineal. AHOR A R ESUELVA EL PR OBLEMA 1
# EJEMPLO 2
4 #
Identidades para las inversas
Muestre que:
a. Si f y g son funciones uno a uno , la composición f ° g también es uno a uno y (f°g)~1 = g"1° /" 1* b. Si fe s uno a uno (/-1)-1 = /• Solución: a. Suponga que (f° g)(a) = (f°g)(b)ye sto es f( g(a)) = f (g(b)) . Como f e s uno a uno,
g(a) = g(b). Dado que g es uno a uno, a = b y esto m uestra que / ° g es uno a uno. Las ecuaciones:
( / ° g ) ° ( g " ' ° / ~ ‘) = f ° ( g ° g ~ ' ) ° r ' = f ° i ° / _1 = f ° r 1 = 1 y
(?■ ' ° r 1) • ( / • « ) = g - ' ° (/"* • / ) * 8 = s ' l “ í í g = í ' l * ? = í muestran que g~l °f~l es la inversa d e /° g,lo cual, de manera simbólica, correspon de a la igualdad g_1 °f~l = (f° g)“1.
140
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
b. En las ecuaciones (2) reemplace / por f ~ l. Al tomar g como /s e muestra que las
ecuaciones (1) están resueltas, y de esto de obtiene ( f l) _1 = /. M • EJEMPLO 3
Uso de inversas para resolver ecuaciones
Muchas ecu aciones tom an la fo rm a f{ x) = 0, donde fe s una función. Si fe s una función uno a uno, entonce s la ecuación tiene x = /^(O) como única solución. Solución: Si se aplica f~ l a ambos lados de /(*) = 0 se obtiene f ~ l(f (x)) = f ~ l( 0) y
f~x(f( x)) = x muestra que x = f ~ \ 0) es la única solución posible. Como f { f ~ \ 0)) = 0, f ~ \ 0) es realmente u na solución.
• EJEMPLO 4
Restricción del dom inio de una función
Puede suceder que una funció n f cuyo domin io sea el natural, que consiste en to dos los núm eros para los cuales la regla de definición tiene sentido, no sea uno a uno, y aún así pueda obtenerse una función g un o a un o al restringir el dom inio de f. Solución: Se ha mostrado que la función/(jr) = x 2 no es uno a uno, pero la función g(x) = x2 donde el dominio explícito dado como [0, oo) sí lo es. Como (>/x)2 = x y v/x2 = x,
pa ra x > 0, se sigue que V es la inversa de la función cua drática restringida g. A con ti nuación se pre senta un ejemp lo m ás artificial. Sea f( x) = |*| (con su dominio natural). Sea g(x) = |x| en donde el dominio está dado explícitamente com o ( -oo, -1 ) U [0,1]. La función ges uno a uno y po r ende tiene una inversa.
EJEMPLO 5
Determinación de la inversa de una función
Para determinar la inversa de una función /u n o a uno, resuelva la ecuación y = / ( x) para x en términos de y para obtener x = g(y). Entonces / _1( x) = g( x). Para ilustrar, encuentre f - \ x ) s i f ( x ) = ( x - \ ) 2, p a r a x > \ . Solución: Sea y = (x
- l) 2, para x > 1. Entonces x - 1 = \fy y, por lo tanto, x = \fy + 1. Se sigue que f ~ l (x ) = y/ x + 1. AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 5
Ejercicios 11.4 Encuentre la inversa de la func ión dada en los problema s la 6.
*L f (x) = 3* + 7 3. F(x) = \ x - 1 *5. A(r) = ttr2, para r > 0
2. g(x) = 2x + l 4. /( x) = (4x - 6. V(r) = | i r r 3
para x > ;
En los problemas 7 a 10, determine si la Junción es uno a uno o no.
7. /(*)= 5 * + 12 8. g(x)=(5;c + 12)2 9. h(x) = (5* + 12)2, para* ^ - y
10. F(x) = |jc —9| Resuelva cada ecuación de los problemas I I y 12, mediante la deter minación de una función inversa. Ih (4x - 5)2 = 23, para x ^ I
12. = 100 13. Función de demanda La función: 1200 000 p = p (q ) = j
77T3
q> 0
expresa el sueldo p de una actriz, por película, como una función del número de películas q que protagoniza. Exprese el número de cintas en las que actúa, en términos de su sueldo por película. Muestre que la expresión es una función de p. Muestre que la función resultante es inversa a la función que especifica a p en términos de q. 14. Función de oferta La función de la oferta semanal de una libra de café, la mezcla de la casa en una cafetería, es: p = p(q) = Jj
q>o
donde q es la oferta de café en libras por semana, y p es el pre cio por libra. Exprese q como una función de p y demuestre la relación entre las dos funciones.
Secc. 11.5
11.5
OBJETIVO
Gráficas en coordenadas rectangulares
141
Gráficas en coordena da s rectang ulares
Graficarecuacionesyfundones en coordenadas El sistema de coordenadas rectangulares permite especificar y localizar puntos en un rectangulares, determinar intersecdones, plano. También propo rciona una manera geométrica de represen tar ecuaciones de dos aplicar la prueba de la recta vertical y larecta variables, así como funciones. horizontal, ydeterminar el dominio yrango En un plan o se trazan dos rectas de n úme ros reales, llamadas ejes de coordenadas , de una fundón a partir de una gráfica. perpendiculares en tre sí, de mo do q ue sus oríg enes coincidan, como en la figura 11.7. Su punto de intersección se llama origen del sistema de coordenadas. Por aho ra se llamará a la recta ho rizontal eje a: y a la vertical eje y. La distancia unitaria sobre el eje a: no ne cesariamente es la misma que la del eje y. El plano en el que se encuentran los ejes de coordenadas se llama pla no de coor denadas rectangulares o simplemente, plano x, y . Todos los puntos que contiene pueden marcarse para indicar su posición. Para m arcar el punto P e n la figura 11.8(a), se trazan líneas perpendiculares al eje a: y al eje y, que pasen por el punto P. Dichas líneas cruzan los ejes en 4 y 2, respectivamente. Por lo tanto, P determina d os números, 4 y 2, enton ces se dice que las coordenad as rectangulares de P están dadas po r el par orde nado (4,2). La palabra ordenado es importante. En la figura 11.8(b), el punto corre spond iente a (4,2) no es el mismo que pa ra (2,4): (4,2) *(2,4) 3 21 " / Origen * \ i i i i i i -4 -3 -2 -1 12 3 -1 -2 -3 -
i n 4
FIGURA 11.7 Ejes de coordenadas.
b
P(a,b) i i i a r *
FIGURA 11.9 Coordenadas de P.
("f,3).
-(0,3)
(-3,0) i i i i i
"(0,0) 1 1 1 1 1 w (4,0)
. 0 , 2)
-(0, - 2) _ • (-2,-3) - *d,-4) ■ FIGURA 11.10 Coordenadas de puntos
FIGURA 11.8 Coordenadas rectangulares.
En ge neral, si P es un punto cualquiera, entonces sus coordenad as rectang ulares se determinan por un p ar ordenado d e la forma (a, b). (Vea la figura 11.9). Se llama a a la abscisa o coordenada x de P,y a b la ordenada o coordenada y de P. De esta manera, cada punto en un plano coordenado pue de asociarse exactam ente con un par ordenado (a, b) de números reales. Asimismo, es claro que cada par orde nado (ayb) de números reales puede asociarse exactamente con un punto en ese plano. Como existe una correspondencia uno a uno entre los puntos en el plano y todos los par es o rden ados de números reales, se hace referencia al pun to Pcon c oo rd en ad a x, a, y coordenada y, b , simplemente como e l punto (a , b), o como P( a , b). Adem ás, se usan las palabra s pu nto y par ordenado en forma intercambiable. En la figura 11.10 están indicadas las coorde nada s de varios puntos. Por ejemplo , el punto (1, -4 ) está localizado un a unidad a la derecha de l eje y, y cuatro unidades p or debajo del eje x. El origen es (0,0). La coorde nada x de todo punto en el eje y e s 0, y la coordenada y de todo punto sobre el eje x es 0. Los ejes coordenado s dividen al plano en cu atro regiones llamadas cuadrantes (fi gura 11.11). Por ejemplo, el cuadrante I consiste en todos los puntos (xv y x) en donde Xj > 0 y yl > 0. Los puntos sobre los ejes no están en ningún cuadrante. Con el uso de un sistema de coordenadas rectangulares, pueden representarse geométricamente ecuaciones d e d os variables. Por ejemplo, considere: y = x 2 + 2x - 3 (1) Una solución de esta ecuación es un valor de a; y uno d e y que hagan verda dera a la ecuación. Por ejemp lo, si x = 1, al sustituir en la ecuación (1) se obtiene: y = l 2 + 2(1) - 3 = 0
142
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
y Cuadrante II • ( * 2 » > 2) x 2
< 0 ,> 2 > 0
Cuadrante III • (*3> >
3)
*3 < 0, >3 < 0
Cuadrante I
•(* 1, y\) x\
>
0* y \ > 0
X
y
y
-4
5
-
-3
0
-2
-3
-1
-4
Cuadrante IV
0
-3
• (xA, yA) X4 > 0 , y 4 <
1
0
2
5
0
-
1 1 1 1
-4
Cuadrantes.
Con frecuencia sólo se dice que la intersección y es -3 y las intersecciones ,r son -3 y 1.
FIGURA 11.12
i
-2
1
2
—
• •
(a) FIGURA 11.11
•
5
- -4
(b) Graficando dey = x2 + 2 x - 3 .
Así, una solución es x = 1>y = 0. De man era similar, six = -2 entonces y = ( - 2)2 + 2(-2) - 3 = - 3 y entonces x = -2 , y = -3 , también es una solución. Al seleccionar otros valores para x,se o btienen más soluciones [vea la figura 11.12(a)]. Debe q ued ar claro que existe una cantidad infinita de soluciones para la ecuación (1). Cada solución da origen a un punto (x, y). Por ejemplo, a x = l y ; y = 01e corres po nde (1 ,0). La gráfica de y = x2 + 2x - 3 es la representación geom étrica de todas sus soluciones. En la figura 11.12(b) se han graficado los puntos correspondientes a las soluciones dadas en la tabla. Como la ecuación tiene un nú mero infinito de soluciones, parece imposible deter mi nar su gráfica con precisión. Sin embargo, sólo es de interés la forma general de la gráfica. Rjr esta razón se grafican suficientes puntos de modo que pue da inferirse su forma (las técnicas de cálculo hace que esta “ inferencia”s ea mucho más clara). Después se unen esos puntos po r medio de una curva suave siempre que las condiciones lo perm itan. Al hacer esto se obtiene la curva de la figura 11.12(c). Por supuesto, entre más punto s se marq uen, mejor será la gráfica Aq uí se supone que la gráfica se extiende de m anera indefinida ha d a arriba, lo cual se indica con la flechas. El pun to (0, -3 ) do nde la curva interseca al eje y se llama intersección y. Los puntos (-3,0) y (1,0) en donde la curva interseca al eje x se llaman las intersecciones x. En general, se tiene la definición siguiente. DEFINICIÓN
Una intersección x d e la gráfica de u na ecuación e n * y .y es el punto d ond e la gráfica interseca al eje x. Una intersección y e s el punto d onde la gráfica interseca al eje y. Para enco ntrar las intersecciones x de la gráfica de una ecuación e n x y y, primero se determina qu e y = 0 y se resuelve par a x la ecuación resultante. Para enco ntrar las intersecciones y, primero se establece q ue x = 0 y se resuelve para y. Por ejemplo, para la gráfica de y = x 2 + 2x - 3, se desea determ inar las intersecciones x. Sea y = 0, al resolver para x se obtiene: 0= x2+ 2 x - 3 0 = (x + 3)(* - 1) * = -3,1 Así, las intersecciones x son (-3, 0) y (1,0), como se vio con anterioridad. Si x = 0, entonces: y = 02+ 2(0) - 3 = -3 De modo que (0, -3) es la intersección y. Tenga en mente que par a una intersección x su coordenada y es igual a 0, mientras que p ara una intersección y su coordenada x es igual a 0. Las intersecciones son útiles porqu e indican con precisión dónde interseca la gráfica a los ejes.
Secc. 11.5 Gráficas en coordenadas rectangulares PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 1
INTERSECCIONES Y GRÁFICA Rachel ha ahorrado $7250 para su educación universitaria. Planea gas tar $600 por mes de es ta cuen ta. Es criba una ecuación que represente la situación e identifique las inter secciones con los ejes.
• EJEMPLO 1
143
Intersecciones y gráfica
D et er m in e la s in te rs ec ci on es x y y d e la gr áf ica d e y = 2 x + 3 y ha ga el b osq uej o de su gráfica.
Solución: Si y = 0, enton ces:
3 =2 * + 3 de modo que * = —-
0 Así, la intersección a; es
0). Si x = 0, entonces: y = 2 (0 ) + 3 = 3
De modo que la intersección y es (0,3). La figura 11.13 muestra u na tabla de o tros pu n tos sobre la gráfica y un bosq uejo d e ésta. AHOR A R ESUELVA EL PR OBLEMA 9
Q#
y
X
0
i ~2
1 7
y
3
0
4
i 2 2
1
-1
2
-2
5
1
7
-1
FIGURA 11.13 Gráfica de y = 2x + 3. PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 2
INTERSECCIONES Y GRÁFICA El precio de admisión a un parque de diversiones es de $24.95. Este pa go pe rm ite al client e utilizar to das las atracciones del parque tan tas veces como quiera. Escriba una ecuación que represente la relación entre el número de juegos x que el diente utiliza, y el costo de admi sión y para ese cliente. Describa la gráfica de esta ecuación e identifi que las intersecciones con los ejes. Suponga que x > 0.
EJEMPLO 2
Intersecc iones y gráfica 100
D et erm in e la s in ter se cc ione s, si la s h ay , d e la gr áf ica d e s = — , y ha ga un b o sq u ejo de la gráfica.
Solución: Para trazar la gráfica se m arcará el eje horizontal con t y el eje vertical con s (figura 11.14). Com o t no pued e ser igual a 0 (la división entre 0 no está definida), no existe intersección con el eje s. Así, la gráfica no tiene un p unto corresp ondien te a t = 0. Además, no existe intersección co n el eje l, puesto que si s = 0, entonces la ecuación
0=™
t
no tiene solución. Recuerde, la única forma en que una fracción puede ser 0 es con un numerador que valga 0. En la figura 11.14 se muestra la gráfica. En general, la gráfica de s = k it , donde k es una constante diferente de 0, corresponde a una hipérbola rec tangular.
FIGURA 11.14 Gráfica de s =
AHOR A RES UELVA EL PROBLE MA 11
----
t
.
t
5
-5
10
-1 0
20
-2 0
25
-2 5
50
-5 0
s
20
-2 0
10
-1 0
5
-5
4
-4
2
-2
144
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
• EJEMPLO 3
x = 3
Intersec ciones y gráfic a
Determine las intersecciones de la gráfica de x = 3, y bosqueje la gráfica. Intersección x
x
Solución: Puede pensarse en x = 3 como una ecuación en las variables x y y>si se es
cribe como * = 3 + 0 y. Aquí y puede tomar cualquier valor, pero x debe se r igual a 3. Ibrque x = 3 cuando y = 0, la intersección x es (3,0). No existe intersección y , puesto que a : no pu ede s er 0. (Vea la figura 11.15). La gráfica es una rec ta vertical.
-2
AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 13 X
3
3
3
y
0
3
-2
FIGURA 11.15
Gráfica de x =3.
/(*)
X m
0 0
FIGURA 11.16
1
1
4
9
1 2
1
2
3
4
Gráfica de f( x) = yfx.
M
Cada función / da lugar a una ecuación, a saber y = fi x \ la cual es un caso esp ecial de las ecuaciones que se han e stado graficando. Su gráfica consiste en todos los puntos (*,/(*))»donde x está en el dominio de /. Los ejes verticales pu ede n etiquetarse como y o/ (x ), do nd e/e s el nombre d e la función, y se denomina eje d e los valores de la ftinckm. Suele etiquetarse el eje horiz onta l con la variable independiente , pe ro tome en cuenta que los economista s etiquetan el eje vertical con la variable independiente. Observe que al graficar una función se obtiene n las “soluciones” (xyy) que hacen ver dadera la función y = /(*)• Para cada x en el dominio d e /s e tiene exactamente una y, que se consiguió al evaluar f[ x). El par resu ltante (*,/(* )) es un punto sobre la gráfica y éstos son los únicos punto s so bre la gráfica de la ec uació n y = f(x) . Una observación geométrica útil es que la gráfica de una función tiene cuando mucho un punto de intersección con alguna recta vertical en el plano. Recuerde que la ecuación de una recta vertical necesariamente es de la forma x = a, donde a es una constante. Si a no está en el dominio de la función /, entonces x = a no intersecará la gráfica de y = / ( x). Si a está en el dominio de la función / entonces x = a intersecará la gráfica de y = f(x ) en el punto (a, f(a) ) y sólo ahí. Y viceversa, si un conjun to de p un tos en el plano tiene la propiedad de que cualquier recta vertical interseca al conjunto al menos una vez, entonces el conjunto de punto s es en realidad la gráfica de una función (el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales a que presentan la pro piedad de qu e la línea x = a interseca el conjunto de punto s dado, y de qu e pa ra tal a el valor funcional correspondiente es la coorden ada y del único pun to de intersección de la línea x = a y el conjunto de pu ntos dado ). Ésta es la base de la prue ba de la recta vertical que se analizará de spués del ejemplo 7. •
EJEMPLO 4
Gráfica de la función raíz cuadrada
Haga la gráfica d e f ( x ) = yfx . Solución: La gráfica se muestra en la figura 11.16. Se marca el eje vertical como /(*).
Recuerde que f x denota la raíz cuadrada principal de x. Así, /(9) = y/9 =3, no ±3. Tampoco pueden elegirse valores negativos de x, puesto que no se desean números imaginarios para f x . Esto es, deb e tenerse x () 0. Ah ora se cons iderarán las interseccio nes. Si f (x ) = 0, entonces yfx = 0 o x = 0. Tamb ién, si x = 0, entonces f (x) = 0. Así, las intersecciones x y y son las mismas, a saber, (0,0). AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 29
P R I N C IP I OS E N P R Á C T I C A 3 GR ÁFICA DE LA FUNCIÓN VALOR A B S OL UTO B r e tt re n t ó u n a b i c i c le t a e n u n a t i e n da de alquiler condujo a una velo c i d a d c o n s t a n t e d e 1 2 m i/ h d u r a n t e 2 . 5 h o ra s a l o l a r g o d e u n a p i s ta y después regresó por el mismo cami n o . G ra f i q u e l a f u n c i ó n t i p o v a l o r a b s o l u to p a r a r e p r e s e n t a r l a d is t a n d a r e c o rr id a d e s d e e l n e g o c i o d e a l q u i le r , c o m o u n a f u n c i ó n d e l t i e m p o en el dom inio apropiado .
• EJEMPLO 5
Gráfica de la función va lor abs oluto
Grafique p = G(q) = \q[ Solución: Se usa la variable independie nte q para m arcar el eje horizontal. El eje de los
valores funcionales puede marcarse como G(q) o p (vea la figura 11.17). Note que las intersecciones q y p se ubican en el mismo punto (0,0). AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 31
DEFINICIÓN
Una raíz de una func ión /es cualquier valor de a: para el cu al/(x ) = 0.
M
Secc. 11.5
/
y = / ( * ) = a:2 -
<1 p
0
1
-1
3
-3
5
-5
0
1
1
3
3
5
5
FIGURA 11.17
145
Gráficas en coordenadas rectangulares
\ A 2 \ 1
2
x
- 3
1 1 i > r - 1 2 / \ ( - 1,0) \ / 0 , 0) —1 es una 3 es una raíz de / raíz de / FIGURA 11.18
Gráfica dep = \q\.
Raíces de una función.
ft>r ejemplo, una raíz de la función /(*) = 2x - 6 es 3 porque /(3) = 2(3) - 6 = 0 . Aquí, 3 se llama raíz real, puesto qu e es un núm ero real. Se observa que las raíces de /pueden encontrarse al establecer f (x ) = 0 y resolver para x. Así, las raíces de una función son precisamente las intersecciones a; de su gráfica, ya que es en estos puntos donde f( x) = 0. Para ilustrarlo, en la figura 11.18 se muestra la gráfica de la función de y = /(*) = x? - 2x - 3. Las intersecciones x de la gráfica son - 1 y 3. Así, -1 y 3 son raíces de /, o de manera equ iva len te,-! y 3 son las soluciones de la ecuación x 1 - 2x - 3 = 0.
T E C N O L O G Í A Para resolver la ecuación x3 = 3x - 1 con una calculadora graficadora, primero se expresa la ecuación en la forma f (x) = 0: / ( x ) = x * - 3 x + l = 0 Después se grafica / y luego se estiman las intersecciones x, ya sea con el uso de zoom y trace o p or medio de la ope ración de extracción de raíces (vea la figura 11.19). Obse r ve que se define la ventana para - 4 < x ^ 4 y - 5 < y < 5.
-5 FIGURA 11.19 Las raíces de *3 — 3x + 1 = 0son aproximada mente -1 .88,0.35 y 1.53.
La figura 11.20 muestra la gráfica de una función y = / ( x ) . El pun to (x,f(x)) implica que al número de entrada x en el eje horizontal le corresponde el nú mero de salid a/ ( x) en el eje vertical, como lo indica la flecha. Por ejemplo, a la entrad a 4 le cor resp onde la salida 3, de modo que /(4 ) = 3. A partir de la forma de la gráfica, parece razonable suponer que para cualquier valor de x existe un núm ero de salida, de modo q ue el dominio de/co nsiste en todos los números reales. Observe que el conjunto de todos los pun tos en la coord enad a y en la gráfica se compon e del conjunto de todos los números no negativos. y
FIGURA 11.20 Dominio,rango y valores de la función.
146
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Así, el rango de f e s toda y > 0. Esto muestra que puede hacerse una deducción acertada acerca del dominio y rango de una función al examinar su gráfica. En general , el dom inio consiste en todos los valores x que están incluidos en la gráfica , y el rango son todos los valores y en esa gráfica. Por ejemplo, la figura 11.16 implica qu e el dom inio y el rango de f ( x ) = y/x son todos los números no negativos. A partir de la figura 11.17 queda claro que el dominio de p = G(q) = \q\ son todos los números reales y que el rango es toda p > 0.
Rango: -1 < s <
FIGURA 11.21
funcionales.
Dominio, rango y valores
• EJEMPLO 6
Dominio, ra ngo y valores de la función
La figura 11.21 muestra la gráfica de una función F. Se supone que la gráfica se repite indefinidamente a la derech a de 4. Entonces el dominio de F es toda / > 0. El rango es - 1 < s < 1. Algunos valores que toma la función son: F(0)=0
^1 ) = 1 F( 2 ) = 0
F(3)=-l AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 5
T E C N O L O G Í A Con el uso de un a calculadora graficadora puede e stimar se el rango de una función. La gráfica de /(*) = 6x* - 8.1*3 + 1 se muestra en la figura 11.22. El punto más bajo en la grá fica corresponde al valor mínimo de /(*), y el rango está compuesto de todos los números reales mayores o iguales a este mínimo. Puede estimarse el valor mínimo pa ra y, ya sea con el uso de trace y zoom o al seleccionar la opera ción “mínimum”.
PRINCIPIOS EN PRÁCTICA 4 GR ÁFICA DE UN A FUNCIÓN DEFINIDA POR P ARTES P a ra a l e n t a r e l a h o r r o , u n a c o m p a ñ í a d e g a s c o b r a d o s ta r i f a s . L os d i e n t e s p a g a n $ 0. 5 3 p o r t e r m i a (1 m i l l ó n d e c a l o r ía s ) p a r a u n c o n sumo que va de 0 a 70 termias, y $ 0. 74 p o r c a d a t e r m i a p o r e n c i m a de 70. Grafique la función definida por partes que representa el costo mens ual de / termias de gas.
• EJEMPLO 7
-3 FIGURA 11.22 El rango de f{x) = 6x* — 8.1*3 + 1 es aproxima damente [—1.10, oo).
Gráfica de una función definida po r partes
Grafique la fun ció n definida p or partes. x s i 0 ^ * < 3 x - 1 si 3 < * < 5
Í
4 si5< * < 7 Solución: El dominio d e f e s 0 < x < 7. Se presen ta la gráfica en la figura 11.23, dond e
el pu nto qu e no está relleno significa que éste no se incluye en la gráfica. Obser ve qu e el rango de /s e compone de todos los números reales y tales que 0 < y < 4. AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 35
f(x)
x s i 0 < x < 3 x — 1 si 3 < x < 5 4 si 5 < x < 7
x
0
1
f(x )
0
1
■ — ' 2 3 2
2
4
5
6
7
3
4
4
4
FIGURA 11.23 Gráfica de una función definida por parte s
Secc. 11.5
Gráficas en coordenadas rectangulares
147
Existe una ma nera fácil de deter min ar si una curva es o no la gráfica de u na función. En la figura 1124(a) observe que la x dada está asociada con do s valores de y: y t y y T R>r lo tan to, la curva no es la gráfica de una función de x. Visto de otr a man era, se tiene la siguiente regla general llamada ¡rueba de la recta vertical. Si una recta vertical L puede dibujarse de modo que interseque a u na curva en dos p un tos al m enos, entonces la curva no es la gráfica de un a función de x Cuando no puede dibujarse dicha recta vertical, la curv a sí es la gráfica de u na función d e x. En consecuencia, las curvas de la figura 11.24 no re presenta n funciones d e a:, pero las de la figura 11.25 sí.
(b)
(a ) FIGURA 11.24
y no es una función de x.
y
FIGURA 11.25
• EJEMPLO 8
(c )
y
Funciones de x.
Una gráfica que no representa una función de x
Grafique x = 2y2. Solución: Aquí es más fácil seleccionar valores de y, y después en contrar los correspon dientes a x. En la figura 11.26 se mue stra la gráfica. Por medio de la prueba d e la recta vertical, la ecuación x = 2 y2 no define un a función de x. AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 39
Después de haber determinado si una curva es la gráfica de una función, quizá mediante la prueba de la recta vertical, existe una forma fácil de decir si la función en cuestión es uno a uno. En la figura 11.20 se observa que f( 4) = 3 y, en apariencia, también /( - 4 ) = 3. Como los valores de entrada diferentes - 4 y 4 producen la misma salida, la función no e s uno a uno. Visto de otr a man era, se tiene la siguiente regla ge ne ral, llamada la prueba de la recta horizontal. Si puede dibujarse una recta horizontal L que interseca la gráfica de una función en dos p unto s al menos, enton ces la función no es uno a uno. Cuando no se pued e dibu jar tal recta horizontal, la función es uno a uno.
X
0
2
2
8
8
18
18
y
0
i
-1
2
-2
3
-3
FIGURA 11.26 Gráfica de x = 2 y2.
148
Capítulo
11
Funciones y gráfica s
Ejercicios 11.5 En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible, indique el cuadrante al que pertenece cada punto. h (2,7),(8,-3),(-¿,-2),(0,0)
2. (-4,5 ), (3,0), (1,1), (0 ,-6 ) 3. En la figura 1127(a) se muestra la gráfica de y - /( jc ). (a) Estime /(O),/(2),/(4) y /(- 2 ). (b) ¿Cuál es el dominio de fí (c) ¿Cuál es el rango de /? (d) ¿Cuál es una raíz real de /? 4. En la figura 1127(b) se muestra la gráfica de y = /( x). (a) Estime/(O) y/(2). (b) ¿Cuál es el dominio de /? (c) ¿Cuál es el rango de /? (d) ¿Cuál es una raíz real de /?
*1L y = x4 *13. * = 0 15. y =x3 17. x = -\y\ 19. 2x + y - 2 = 0
12. y = J 14. y = 4x2 — 16 16. x = - 9 18. jc2 = y 2 20. x + y = 1
En ¡os problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango. También determine las intersecciones.
21. s = f(t ) = 4 - 1 2 23. y = h(x) =3
22. f(x) = 5 - 2 x 1 24. g(s) = -17
25. y = h( x )= x2 - 4x + l
26. y = f ( x ) = x 2 + 2 x - 8 27. /(r)=-r3
28. p = h(q) = 1 + 2q + q2 ♦29. s = f(t ) = V t ^ - 9 30. F(r) = - -
*3L /( jc) = |2r - 1| 32. v® //(«) = |m - 3| 33. F(r) = 34. y = / (* ) =
Diagrama para los problemas 3 y 4.
FIGURA 11.27
*5. En la figura 1128(a) se muestra la gráfica de y = /( r). (a) Estime/(O),/(l) y /( -l ) . (b) ¿Cuál es el dominio de /? (c) ¿Cuál es el rango de /? (d) ¿Cuál es una raíz real de /? 6. En la figura 1128(b) se muestra la gráfica de y = /(jc). (a) Estime/(O ),/(2),/(3) y/(4). (b) ¿Cuál es el dominio de /? (c) ¿Cuál es el rango de /? (d) ¿Cuál es una raíz real de /? y y
j r - 4
£« /os problemas 35 a 38, grafique cada función definida por par tes y determine su dominio y rango.
37.
g(x)
6 x2 jt + 1 4 x - 1
{
si x >3 si jc < 3 si0 5
*39. ¿Cuáles de las gráficas de la figura 1129 representan funcio nes de jc?
y
y
(b) Diagrama para los problemas 5 y 6.
FIGURA 11.28
En los problemas 7 a 20, determine las intersecciones de la gráfi ca de cada ecuación y haga su bosquejo. Con base en la gráfica, responda: ¿es y una función de x? Si es así, ¿se trata de una función uno a uno? ¿Cuál es su dominio y cuál su rango?
7. y = 2x *9. y = 3 jc -
5
8. y = x + 1 10. y = 3 - 2 jc
(c)
T
(d)
FIGURA 11.29 Diagrama para el problema 39.
Secc. 11.5
40. ¿Cuáles de las gráficas de la figura 1130 rep resentan funciones de x uno a uno?
Gráficas en coordenadas rectangulares
se aproximan los pun tos entre los datos dados. El resultado se Dama curva de demanda . Con base en la gráfica, determ ine la relación entre el precio de la marca X y la cantidad que será demandada (es decir, ¿qué le pasa a la cantidad deman dada a medida que el precio disminuye?). ¿Es el precio po r unidad una función de la cantidad demand ada? Cantidad demandada, q
(b )
(a )
Precio por unidad, p
5
$20
10 20
10
5 4
25
— ■ /
,
45. Inventario Haga un bosquejo de la gráfica de
(d)
(c )
FIGURA 11.30 Diagrama para el problema 40. 4L Pagos de una deuda Tara tiene cargos po r $2400 en sus taijetas de crédito. Planea liquidarlas por medio de pagos mensua les de $275. Escriba una ecuación que represente el monto de su deuda, excluyendo los cargos financieros, después de hab er hecho x pagos, e identifiq ue las interseccion es con los ejes. 42. Determinación de precios Para alentar un flujo constante de clientes, un restau rante varía el precio de cierto platillo a lo largo del día. De 6:00 p.m. a 8:00 p.m. los clientes p agan el precio com pleto. En el almuerzo, d e 10:30 ajn. h asta las 2:30 pim., pag an la mitad del precio. D e 2:30 p.m. hasta las 4:30 pjn ., los clientes obtienen un dólar de ah orro del precio del almuer zo. De 43 0 p.m. hasta las 6:00 p.m. obtie nen $5.00 de aho rro con respecto al precio d e la cena. De 8:00 p.m. hasta el cieñ e, a las 10:00 p.m., se conc ede a los clientes $5.00 de aho rro con respecto al precio de la cena. Gra fiqu e la funció n definida por partes p ara rep res entar el costo del platillo a lo largo del día para un precio de cena de $18. 43. Programa de oferta De acuerdo con el siguiente programa de o ferta (vea el ejemplo 6 de la sección 11.1), grafique cada pareja cantidad-precio; seleccione el eje ho rizontal para las cantidades posibles. Aproxime los punto s entre los datos por medio de u na curva suave. El resultado es la curva d e oferta. Co n base en la gráfica, deter min e la relación entre el precio y la oferta (es decir, ¿qué le pasa a la cantidad ofrecida a medida que se incrementa el precio?). ¿Es el precio por unidad una función de la cantidad ofrecida? Cantidad ofrecida por semana, q
Precio por unidad, p
30
$10
100
20
150 190
30 40 50
210 44. Programa de demand a
149
La tabla siguiente se conoce como pro gra ma d e dem and a. Indica la cantidad de la marca X que los consumidores deman dan (esto es, compran) cada semana a cierto precio (en dólares) p or unidad. Grafique cada par precio-can tidad; seleccio ne el eje vertical p ara los precios p o sibles, y una los pun tos con un a curva suave. De esta m anera,
( -IOOjc + 1000 siO ^ x < 7 y = / ( * ) = { -IOOjc + 1700 si7 ^ x < 14 < 21 l -100.t + 2400 si 14
Un a función como ésta pod ría describir el inventario y de una compañía en el tiempo x. 46. Psicología En un exp erime nto psicológico sobre información visual, un sujeto observó b revemente un pa trón d e letras y después se le pidió que reco rdara tantas letras como le fuese posible. El p roced imien to s e re pitió varias veces Sup on ga q ue y es el número promedio d e letras recordadas de patrone s con x letras. La gráfica de los resultados se ajusta aproximadamen te a la g ráfica de x si 0 —x —4 \ x + 2 s i 4 < * < 5
{
4.5
si5<*<12
Grafique esta función.6 En los problem as 47 a 50, utilice una calculadora graficadora para determinar todas las raíces reales de la ecuación dada. R edo nde e las respuestas a dos decimales.
g¡47. 5*3+7* = 3 | | 4 8 . x2(x - 3 ) = 2X4 - 1 1 49. (9jc + 3.1)2 = 7.4 — 4x 2 50. (x —2)3 = x 2 - 3 En los prob lemas 51 a 54, utilice una calculadora graficadora para determinar todas las raíces reales de la funci ón dada. Re don dee las respuestas a dos decimales.
5L f ( x ) = x 3 + 5x + 7 52. f ( x ) = 2 x4 - 1.5*3 + 2 53. g(.r) = xA —\.lx 2 + 2x 54. g(x) = \/ 3 xs —4x2 + 1 En los prob lemas 55 a 57, utilice una calculadora graficadora para determinar (a) el valor máxim o de f( x) y (b) el valor mínimo de / ( x) para los valores ind ica dos de x. Redon de e las respuestas a dos decimales.
55. /(* )= jc4 - 4 . U 3 +jc2 + 10 1 < 4 6Adaptado de G R. Loftus y E. F. Loftus. Human Memory: The Processing o f Information (Nueva York: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., distri buido po r Halsted Press, División de John Wiley & Sons, Inc., 1976).
150
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
156. f{ x) = x( 2.1 x2 - 3 ? - x * + 1
i 57- f(x) =
*3 + l.l 60. De la gráfica de /( * ) = 3 g + ^2/3’encuentre (a) el ran8° d e /
3
- x- 5 58. A partir de la gráfica de f(x ) = V lx 3 + l. lx 2 + 4, encuentre
(a) el rango y (b) las intersecciones Redo ndee los valores a dos lugares decimales. 59. Con base en la gráfica de /(x ) = 1 - 4x 3 - ^e nc ue ntre (a) el valor máximo de /(* ), (b) el rango de / y (c) las raíces reales de /. Re don dee los valores a dos lugares decimales. OBJETIVO Estudiar la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen, y aplicarla en el trazado de curvas.
11.6
y (b) las intersecciones, (c) ¿/tiene raíces reales? Redondee los valores a dos lug ares decimales. 6 h Grafique f ( x ) =
2 para 2 < x < 5. Determine (a) el
valor máximo de /( *), (b ) el valor mínimo de /(* ), (c) el rango d e / y (d) todas las intersecciones. Redond ee los valores a dos decimales.
Simetría
Examinar el comportamiento gráfico de las ecuaciones es parte fundamental de las matemáticas. En esta sección se analizarán varias ecuaciones para determinar si sus gráficas tienen simetría. El cálculo es de gran utilidad en la graficación, pues ayud a a determinar la forma de la gráfica. Proporciona técnicas muy poderosas pa ra estable cer si una curva “ondula ” o no entre los puntos. Considere la gráfica de y = A^de la figura 11.31. La parte q ue se ubica a la izqu ier da del eje y es la reflexión sobre dicho eje de la parte de la derecha d el mismo eje, y viceversa. Con m ayo r precisión, si (a, b) es cualquier punto sobre la gráfica, entonces el punto ( - a , b) tamb ién debe pe rtenec er a la gráfica. Se dice que esta gráfica es simétrica con respecto a l eje y. DEFINICIÓN
Una gráfica es simétrica con respecto a l eje y, si y sólo si ( - a , b) está en la gráfica cuando (a, b) lo está. Simetría con respecto al eje y. FIGURA 11.31
•
EJEMPLO 1 Simetría con respec to al eje y
Utilice la definición anterior para d emostrar que la gráfica de y = x 2 es simétrica con respecto al eje y.
Solución: Suponga que (a, b) es cualquier punto de la gráfica de y = x 2. Entonces: b = a2
Debe mostrarse que las coordenadas de ( - a , b) satisfacen y = x 2. Pero ( - a ) 2 = a2 = b
muestra que esto es cierto. Así se h a prob ad o con álgebra simple lo que la imagen de la gráfica permitía suponer: la gráfica de y = x 2 es simétrica con respecto al eje y. AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 7
FIGURA 11.32 Simetría con respecto al eje x.
Cuando se prue ba la simetría en el ejemplo 1, (a, b) pudo haberse utilizado cualquier punto sobre la g ráfica Por conveniencia, de aquí en adelante se escribirá (. x>y) para hacer referencia a cualquier punto e n la gráfica Esto significa que una gráfica es simétrica con respecto al eje y, si al reemp lazar x p or —x en su ecuación, resulta una ecuación equivalente. Se muestra otro tipo de simetría m ediante la gráfica de x = y 2 en la figura 11.32. Aquí la parte de la gráfica que se localiza debajo del eje x es la reflexión respecto al eje x, de la parte que se encuen tra po r arriba de éste, y viceversa Si el punto (x,_y) pertenece a la gráfica, entonces (x, -y ) también pertenece a ella Se dice que es simétrica con respecto al eje x. DEFINICIÓN
Un a gráfica es simétrica con respecto a! eje x, si y sólo si (x, -y ) pertenece a la grá fica cuand o (x, y) perten ece a ella.
Secc.11.6
y
Simetría
151
Así, la gráfica de una ecuación en * y y tendrá simetría con respecto al eje x, si al re emplazar y por - y resulta una ecuación equivalente. Por ejemplo, al aplicar esta prueba a la gráfica de x = y2, se observa que ( - y ) 2 = x si y sólo si y2 = x, simplemente porqu e ( - y ) 2 = y2. Por lo tan to, la gráfica es simétrica con resp ecto al eje x Se ilustra un tercer tipo de simetría, simetría con respecto al origen , mediante la gráfica de y = x* (figura 11.33). Siempre que el punto ( x, y) pertenezca a la gráfica, (- x, —y) también pertenecerá a ella. DEFINICIÓN
FIGURA 11.33 Simetría con respec to al origen.
Una gráfica es simétrica con respecto a l origen si y sólo si (-*, -y) pertenece a la gráfica cuando ( x>y) pertenece a ella. Así, la gráfica de una ecuación en x y y tendrá simetría con respecto al origen si al reemplazar x por - x y y po r —y, resulta u na ecuación equivalente. Po r ejemplo, si se aplica esta prue ba a la gráfica de y = x*,que se mostró en la figura 11.33, se obtiene: - y = ( -* ) 3 —y = - x 3 y = x? donde las tres ecuaciones son equivalentes, en particular la primera y la última. De acuerdo con e sto, la gráfica es simétrica con respecto al origen. En la tabla 11.1 se resumen las pruebas pa ra la simetría. Cuando se sabe qu e una gráfica tiene simetría, puede hacerse su bosquejo con m enos puntos de los que, de otra manera, serían necesarios. TABL A 11.1
Pruebas para la simetría
Simetría con respecto al eje x Simetría con respecto al eje y Simetría con respecto al origen • EJEMPLO 2
Reemplace y por - y en la ecuación dada. Es ¿métrica si se obtiene una ecuación equivalente. Reemplace x por -x en la ecuación dada. Es simétrica si se obtiene una ecuación equivalente. Reemplace x por -x y y por -y en la ecuación dada. Es simétrica si se obtiene una ecuación equivalente.
Graficación con intersecciones y sime tría
Pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen de y = - . D espués determine las intersecciones y haga e l bosque jo d e la gráfica. Solución:
Sim etría
Con respecto al eje x: al reemplazar y por - y en y = 1 /x, se obtiene: 1 1 —y = - est oes y = — x x que no es equivalente a la ecuación dada. Por lo tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x. Con respecto al eje y: al reemplazar x por —x en y = 1/x,se obtiene: 1 1 y = — esto es y = — -x x que no es equivalente a la ecuación dada. De este m odo la gráfica no es simétrica con respecto al eje y. Con respecto al origen: al reemplazar x por —x y y por - y e n y = 1 /x,se obtiene: 1 1 —y = — esto es y = -x x que es equivalente a la ecuación dada. En consecuencia, la gráfica sí es simétrica con respecto al origen.
152
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
Intersecciones Como x no pued e ser 0, la gráfica no tiene intersecciones con el eje y. Si y es 0, entonces 0 = 1/x,p ero esta ecuación no tiene solución. Por lo tanto, no existen intersecciones con el eje x. Análisi s Como no existen intersecciones, la gráfica no pued e intersecar a ninguno de los ejes. Si x > 0, sólo se obtienen pun tos en el prime r cuadrante. E n la figura 11.34 se muestra una parte de la gráfica en el cuadra nte I. Por simetría, esa parte se refleja con respecto al origen par a obte ner la gráfica completa. AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 9
• EJEMPLO 3
Grafica ción con intersecciones y sim etría
Pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen de y = f (x ) = 1 - x4. Después encuentre las intersecciones y haga el bosquejo de la gráfica. Solución: X
4i
2i
1
y
4
2
1
FIGURA 11.34
Gráfica de y
2 i 2 =
4
i 4 \
Simetría
Con el eje x: al reemplaza r y por —y en y = 1 - A^,se obtien e: - y = 1 - x4 esto es y = - 1 + x4
que no es equivalente a la ecuación dada. Por lo tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x Con el eje y: al reemp lazar x por - x en y = 1 - x*,se obtiene: y = l - ( - x ) A estoes y = 1 - x4 que es equiva lente a la ecuación dada. P or ende, la gráfica sí es simétrica con respecto al eje y. Con el origen: al reemplazar x por - x y y por - y en y = 1 - jé4, se obtiene: - y = 1 - ( - x ) A esto es - y = 1 - x4 esto es y = - 1 + x4 que no es equivalente a la ecuación dada. Así, la gráfica no es simétrica con respecto al origen. Intersecciones Para examinar las intersecciones con el eje x se establece que y = 0 en v = 1 - x4. Entonces l - x 4= 0 ( l - x 2) ( l + x 2) = 0 ( l - x ) ( l + x ) ( l + x 2) = 0 X = 1
o
x = —1
Ib r tanto, las intersecciones j t son (1,0) y (-1,0). Para examinar las intersecciones y , se determina qu e x = 0. Entonces y = 1, por lo que (0,1) es la única intersección y. Análisi s Si se grafican las interseccione s y algunos pu nto s ( x>y) a la derecha del eje y> puede hacerse el bosquejo de la gráfica completa mediante la simetría con respecto al eje y (figura 11.35). AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 19
X y 0 i
y =f ( x ) = l - x i
15 16
2i 3 4
256
1
0
3 2
Intersección y
>7?
Intersección x
Intersección x
65 16
El eje y es de simetría FIGURA 11.35
Gráfica de y = 1 — x \
Secc.11.6
L a ú n i c a fun ció n c u ya g r á f i c a e s s i m é t ri c a c o n r e s p e c t o a l e j e x e s l a función constante 0.
Simetría
153
La función constante /( x) = 0, para toda x, puede identificarse fácilmente como simétrica con respecto al eje x. En el ejemplo 3 se mostró qu e la gráfica de y = / ( x) = 1 - x4 no tiene simetría respecto al eje x. Para cualquier Junción /, suponga que la grá fica de y = f (x ) tiene simetría con el eje x. De acuerdo con la definición, esto significa que también se tiene que —y = / ( x). Lo anterior indica que para u na x arbitraria en el dominio de /se tiene f( x) = y y f(x ) = - y . Puesto que p ara una función cada valor de x determina un solo valor de y>se debe tener que y = -y> y esto implica y = 0. Como x es arbitraria, se sigue que si la gráfica de una fun ción es simétrica con respecto al eje x, entonces la función debe ser la constante 0. • EJEMPLO 4
Graficación con intersecciones y sime tría
Exam ine la gráfica 4x2 + 9 y2 = 36, par a las intersecciones y simetrías Haga el bosquejo de la gráfica. Solución:
Inters ecciones Si y = 0, entonces 4x2 = 36, de esta m anera x = ±3. Por lo tanto, las in tersecciones con el eje x son (3,0) y (-3 ,0) . Si x = 0, entonces 9 f = 36 y de esta m anera, y = ±2. Po r lo tanto, las intersecciones con e l eje y son (0,2) y (0, -2). Simetría Con el eje x: al reemplazar y por - y en 4x2 + 9y2 = 36, se obtie ne: 4x2 + 9 ( - y ) 2 = 36 esto es 4*2 + 9y2 = 36 como se obtien e la ecuación original, puede afirmarse que existe simetría con respecto al eje x. Con el eje y: al reemplazar x por —x en 4x2 + 9y2 = 36, se obtien e: 4( - x ) 2 + 9 y 2 = 36 esto es 4x2 + 9_y2 = 36 de nuevo se obtiene la ecuación original, de modo que también existe simetría con respecto al eje y. Con el origen: al reemp lazar x por —x y y por - y en 4r* + 9y2 = 36, se obtiene: 4 (-* )2 + 9( -y )2 = 36 esto es 4x2 + 9y 2 = 36 como ésta es la ecuación original, la gráfica tambié n es simétrica con respecto al origen. Anál is is En la figura 11.36 se grafican las intersecciones y algunos pun tos en el primer cuadrante. Desp ués los puntos se unen po r medio de un a curva suave. Los puntos del cuarto cuadrante se obtienen por simetría con respecto al eje x. Después, por simetría con respecto al eje y , se determin a toda la gráfica. Existen otras formas de graficar la ecuación mediante la simetría. Por ejemplo, después de graficar las intersecciones y algunos puntos e n el prim er cuadran te, por simetría con respecto al origen puede ob te nerse el t ercer cuadrante. Por simetría con respecto al eje x (o al eje .y) pued e ob tene rse la gráfica com pleta. AHOR A RES UELVA EL P ROBL EMA 23 E s te h e c h o p u e d e a y u d a r a a h o r r a r t i e m p o d u r a n t e la v e r if i c a c i ó n de las simetrías.
# #
En el ejemplo 4 la gráfica es simétrica con respecto al eje x , al eje y y al origen. Puede m ostrarse que p ara cualqu ier gráfica, si existen dos de los tres tipos de simetría, entonces el tipo restante también debe existir. X
y
±3
0
0
±2
1
4V2 3
2
2V5 3
1 2
+ *
"3 \
VÜ 3
FIGURA 11.36 Gráfica de 4x2+
/ —2
1 8 1
X
^^-^ Sim etría con respecto, al eje x, al eje y y al origen.
9 f = 36.
154
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
• EJEMPLO 5
Simetría con respecto a la recta y — x
DEFINICIÓN
Una gráfica es simétrica con respecto a la recta y = x, si y sólo si (b, a) está en la gráfica cuando (a, b) lo está.
Otra forma de establecer la definición es decir que al intercambiar los papeles de a: y y en la ecuación dada se obtien e una ecuación equivalente. Use la definición anterior para mostrar que x2 + y2 = 1 es simétrica con respecto a la línea y = x. Solución: Al intercamb iar los papeles de x y y se obtiene y 2 + x 2 = 1, lo cual es equiv a lente a x2 + y 2 = 1. Así que x2 + y 2 = 1 es simétrica con respecto a y = x.
El punto con coordenadas (bya) es la reflexión sobre (imagen especular en) la línea y = x del punto (a, b). Si /e s una función uno a uno, b = fia) si y sólo si a = f ~ l(b). Así que la gráfica de f~l es la reflexión (imagen especular) en la línea y = x de la gráfica de /. Es interesante notar que p ara cualquier función /p u ed e obten erse la reflexión de la gráfica de /. Sin embargo, la imagen resu ltante pued e no ser la gráfica de una función. Para que esta imagen reflejada sea la gráfica de una función, debe pasar la prueba de la recta vertical. No obstan te, las rectas verticales y horizontales son reflejos, una d e la otra, sobre la línea y = x, y se observa que para que la imagen reflejada de la gráfica de /pa se la prueba de la recta vertical, la gráfica de /de b e pasar la prueba de la línea horizontal. Ocurre esto último precisam ente si f e s uno a uno, que a su vez sucede si y sólo si /ti en e u na inversa. • EJEMPLO 6
Simetría y funciones inversas
Bosqueje la gráfica de g(jr) = 2x + 1 y su inversa en el mism o plano. Solución: La gráfica de g es la línea recta con pendiente 2 e intersección de y. Esta línea,
la recta y = x ,y el reflejo de y = 2x + 1 en y = xse muestran en la figura 11.37. AHOR A RES UELVA EL P ROBLE MA 27
y
FIGURA 11.37
Gráfica de y = g(x ) y y = g ' (x ).
H
Secc. 11.7
Ejercicios 11.6 En los problemas 1 a 16, determine las intersecciones con el eje x y con el eje y de las gráficas de las ecuaciones. También pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y, al origen ya la línea y —x. No haga el bosquejo de las gráficas. h y = 5x
2. y = /(x) = x2 - 4
3. Ix2 + y V = 8 - y
4. x = y 3 6. y = 5 7
5. lóx2 - 9 / = 25 *7. x — —2 *9.
x
=
-y-4
8. y = |2x| - 2 10. y = \/x2 — 25
1L x —4y —y2 +21 =0 12. x2 + xy + y3 = 0 ,/ x x3 ~ 2x2 + x u - y = f (*>— ¿ + 1 14. x1 + xy + y2 = 0 3 15. y = r3 + 8
16. y =
OBJETIVO
Familiarizarse con las formas de las gráficas de seis funciones básicas y considerar la traslación la reflexión, yel alargamiento y contracción verticales de la gráfica de una función.
x4 x + y
11.7
Traslaciones y reflexiones
155
En los problemas 17 a 24, determine las intersecciones con el eje x y con el eje y de las gráficas de las ecuaciones. También, pruebe la simetría con respecto al ejex, al eje y, al origen y ala línea y = x. Después haga el bosquejo de las gráficas.
17. 3x + y2 = 9 * 1 9 . y = /(x ) = x3 - 4x 2L |x| - | y| = 0 *23. 9 X 2 + 4>¿ = 25
18. x - 1 = y4 + y2 20. 3y = 5x —x3 22. x2 +y 2 = 16 24. x2 - y 2 = 4
25. Pruebe que la gráfica de y = /(x) = 5 - 1.96x2- t t x4 es simé trica con respecto al eje y, y después grafique la función. (a) Haga uso de la simetría en donde sea posible para encon trar todas las intersecciones Determine (b) el valor máximo de /(x ), y (c) el rango de f Redondee todos los valores a dos lugares decimales. 1 2 6 . Pruebe que la gráfica de y = /(x) = 2x* - 7X2 + 5 es simétrica con respecto al eje y, y después grafique la función. Determi ne todas las raíces reales de f Redondee sus respuestas a dos lugares decimales. *27. Bosqueje la gráfica de /(x) = -3 x + 2 y su inversa en el mismo plano.
Tras laciones y reflexione s
Hasta ahora, el enfoque de este texto en relación con las gráficas se ha basado en la graficación de pu ntos y e n el uso de cualquier posible simetría. Pero esta técnica no es necesariamente la ruta predilecta. Más adelante se analizarán gráficas con otras técni cas. Sin embargo, algunas funciones y las gráficas a las que están asociadas aparecen con tanta frecuencia, que resulta útil memorizarlas. En la figura 11.38 se muestran seis de tales funciones.
FIGURA 11.38 Funciones utilizadas con frecuencia.
156
Ca pítu lo 11
Funciones y gráficas
y
f ig u r a
11.39
A veces, al modificar una función mediante una manipulación algebraica, puede obtenerse la gráfica de la nueva función a partir de la gráfica de la función original, mediante una manipulación geométrica. Por ejemplo, puede utilizarse la gráfica de /( x) = x 2 para graficar y = x 2 + 2. Observe que y = / ( x) + 2. Por lo tanto, para cada x , la ordenad a correspond iente pa ra la gráfica de y = x 2 + 2 es 2 unidades mayor que la ordenada para la gráfica de /( x) = x2. Esto significa que la gráfica de y = x2 + 2 es simplem ente la gráfica de f(x ) = x2 desplazada o trasladada 2 unidades hacia arriba (vea la figura 11.39). Se dice que la gráfica de y = x 2 + 2 es una transformación de la gráfica de /( x) = x 2. La tabla 11.2 presenta una lista de los tipos básicos de transformaciones.
Gráfica d e ,
=
*> + 2.
TABL A 11.2 Transformaciones, c > 0
Cómo transformar la gráfica de y = f(x) para obtener la gráfica de la ecuación
Ecuación y = f (*) + c y = f (x) ~ c y = f ( x - c ) y = f ( x + c) y = -/<*) y = /(-* ) y = cf(x ) c > l y = cf( x) c
1
Desplazar c unidades hacia arriba Desplazar c unidades hacia abajo Desplazar c unidades hacia la derecha Desplazar c unidades hacia la izquierda Reflejar con respecto al eje* Reflejar con respecto al eje>» Alargar verticalmente alejándose del eje x por un factor c Contraer verticalmente hacia el eje x por un factor c
• EJEMPLO 1 Traslación ho rizon tal
Haga el bosquejo d e la gráfica d e y = (x - l)3.
Solución: Se observa que ( x - l) 3 es x3 en donde x ha sido reemplazada po r x - 1. Por to tanto, si/( x) = x3,entonces y = ( x - l)3 = /(* - l),que tiene la forma /(* - c), donde c = 1. De la tabla 11.2, la gráfica de y = (x - l) 3es la gráfica de/ (* ) = x3desplazada una unidad a la derec ha (vea la figura 11.40). AHOR A R ES UELVA EL PR OBLEMA 3
y
FIGURA 11.40 Gráfica de y = (x - l)3.
# #
Secc11.8
Repaso
157
\ comprima FIGURA 11.41 Para graficar y = — y = y/x y refleje el resultado con respecto al eje x. •
EJEMPLO 2
Contracción y reflexión
Bos queje la gráfica de y =
y/x.
Solución: Este problem a puede resolverse en dos pasos. Primero, observe qu e \ V x e s V x
multiplicada po r Así, si f ( x ) = y/x ,entonces \ \ f x = \ /(* ), que tiene la forma cf(x), donde c = De modo que la gráfica de y = \ Vx es la gráfica de / comprimida vertical mente hacia el eje x por un factor de \ (transfo rmació n 8, tabla 11.2; vea la figura 11.41). Segundo, el signo menos e n y = - \ y/x provoca una reflexión en la gráfica de y = \ \ f x con respecto al eje x (transfo rmació n 5, tabla 11.2; vea la figura 11.41). AHOR A R ESUELVA EL PR OBLEMA 5
M
Ejercicios 11.7 En los problemas 1 a 12 utilice ¡as gráficas de las funciones de la figura 11.38y las técnicas de transformación para graficar lasfunciones dadas. 2. y = -x 2 L y = x* - 1 1 4. y = y/x+ 2 3‘ 6. y - |x|- 2 y ~ T x 7. y = \ x + l \ - 2 8. y = - \ V x 9. y = 1 —(x —l ) 2
10. y = ( * - l ) 2 + l
11* y= y /= x
15. y = f ( - x ) - 5 16. y = f(3x) 17. Grafique la función y = j/ x + k para k =0,1,2,3,-1, -2 y -3. Observe las traslaciones verticales comparadas con la primera gráfica. 18. Grafique la función y = y/x + k para * «0 ,1 , 2 , 3 , —1, -2 , para k - 0,1, 2 , 3 , -1, - 2 y -3 . Observe las traslaciones hori zontales comparadas con la primera gráfica. 19. Grafique la función y = ky/x para k — 1,2, j y 3. Observe la contracción y el alargamiento verticales comparados con la primera gráfica. Grafique la función para k = - 2 Observe que la gráfica es la misma que la que se obtiene por medio de un alargamiento, en un factor de 2, de la reflexión de y = y/x con respecto al eje*.
En los problemas 13 a 16, describa qué debe hacerse a la gráfica de y = f(x) para obtener la gráfica de la ecuación dada. 13. y = —2f (x + 3) + 2 14. y = f ( x + 3 ) - 4
11.8 Repaso Términos y símbolos importantes Sección 11.1
Funciones
función dominio rango variable independiente variable dependiente valor funcional,/(x) A-f ■ — f( x-----+ h )~ f (x ) • * A cociente de diferencia, h función de demanda función de oferta Sección 11.2
Ejemplos
Ej.2,p.78 Ej.3,p.79 Ej. 4, p. 79 Ej. 5, Ej. 6, p. 80
Funciones especiales
función constante función racional valor absoluto, |x|
función polinomial (lineal y cuadrática) función definida por partes factorial, r!
Ej. 1, Ej. 2, pp. 82 y 83 Ej. 3, Ej. 4, p. 83 Ej. 5, Ej. 6, p. 84
158
Ca pítu lo 11
Sección 11.3
Funciones y gráficas
Combinacion es de ftinciones
Ej. l,Ej.2,pp. 87 y 88
f + g f ~ g fg f/ g función com puesta,/0 g Sección 11.4
Funciones inversas
función inversa,/-1 Sección 11.5
función uno a uno
Ej. l,p. 92
Gráficas en coordenadas rectangulares
sistema de coordenadas rectangulares ejes de coordenadas origen plano x>y par ordenado (*, y) coordenadas de un punto cuadrante gráfica de una ecuación intersección x intersección y gráfica de una función eje de valores de la función raíces de una función prueba de la recta vertical prueba de la recta horizontal Sección 11.6
Simetría
simetría con respecto al eje x simetría con respecto al eje y simetría con respecto al origen simetría con respecto a y = x Sección 11.7
Ej. l,p. 96 Ej. 4, p. 97 Ej. 8, p. 100 Ej. l,p. 103 Ej. 6, p. 107
Traslaciones y reflexiones
Ej.l,p. 109 Ej.2,p. 110
traslaciones horizontales y verticales alargamiento y reflexión Resumen
Una función / es una regla de correspondencia que asigna exacta mente un número de salida f( x) a cada número de entrada x. Por lo general, una función se especifica por medio de una ecuación que hdica lo que debe hacerse a una entrada x para obtener /( x). Para conseguir un valor particular f( á) de la función, se reemplaza cada x en la ecuación por a. El dominio de una función consiste en todos los números de entrada y el rango consiste en todos los números de salida. A menos que se especifique lo contrario, el dominio de / consiste en todos los números reales x para los cuales /( x) también es un número real. Algunos tipos especiales de funciones son las constantes, las poKnomiales y las racionales. Una fundón que está definida por más de una expresión se denomina función definida por partes. Una función tiene una inversa si y sólo si es uno a uno. En economía, las funciones de oferta (o demanda) indican una correspondencia entre el precio p de un producto y el número de unidades q del producto que los productores (o consumidores) ofre cerán (o comprarán) a ese precio. Dos funciones / y g pueden combinarse para formar una suma, diferencia, producto, cociente o composición como sigue: ( f + g ) ( * ) = f (x ) + g(x) (f~g)(x)= f(x)-g(x) ( fg )( x ) = f( x)g(x)
La gráfica de una función /e s la gráfica de la ecuación y = /( x) y consiste en todos los puntos (*,/(*)) tales que x está en el dominio de /. Las raíces de /so n los valores de x para los cuales /( x) = 0. Con base en la gráfica de una función es fácil determinar su dominio y rango. Para verificar que una gráfica representa una función se utiliza la prueba de la recta vertical. Una recta vertical no puede cortar la gráfica de una función en más de un punto. Para verificar que una función es uno a uno, se utiliza la prueba de la recta horizontal. Una recta horizontal no puede cortar la gráfi ca de una función uno a uno en más de un punto. Cuando la función pasa la prueba de la recta horizontal, la gráfica de la inversa puede obtenerse al reflejar la gráfica original en la línea y = x. Cuando la gráfica de una ecuación tiene simetría, el efecto de reflexión (imagen especular) permite bosquejar la gráfica con me nos puntos que los que serían necesarios de otro modo. Las pruebas para simetría son las siguientes: Simetría con respecto al eje x Simetría con respecto al eje y Simetría con respecto al origen
g ) () g(x) (f°g)(x)=f(g(x))
Un sistema de coordenadas rectangulares permite representar de manera geométrica ecuaciones con dos variables,en particular aque llas que surgen de funciones. La gráfica de una ecuación en x y y con siste en todos los puntos (x, y) que corresponden a las soluciones de la ecuación. Se grafica un número suficiente de puntos y se conectan (donde sea apropiado), de modo que la forma básica de la gráfica sea evidente. Los puntos donde la gráfica interseca al eje x y al eje y se denominan intersección x e intersección y, respectivamente. Una intersección x se encuentra al determinar y igual a 0 y resolver para x\ una intersección y se encuentra al determinar x igual a 0 y resolver para y.
Simetría con respecto a y = x
Reemplace y por - y en la ecua ción dada. Es simétrica si se ob tiene una ecuación equivalente. Reemplace x por - x en la ecua ción dada. Es simétrica si se ob tiene una ecuación equivalente. Reemplace x por - x y y por - y en la ecuación dada. Es simétrica si se obtiene una ecuación equi valente. Intercambie x y y en la ecuación dada. Es simétrica si se obtiene una ecuación equivalente.
Algunas veces la gráfica de una función puede obtenerse a par tir de una función conocida, por medio de un desplazamiento verti cal hacia arriba o hacia abajo, un desplazamiento horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, una reflexión con respecto al eje x o al eje y ,o bien un alargamiento o una contracción vertical en dirección del eje x. Tales transformaciones están indicadas en la tabla 11.2 de la sección 11.7.
Secc11.8
Repaso
159
Problemas de repaso Se sugiere utilizarlos problemas cuyo número se muestra en color azul, com o exam en d e práctica del capitulo.
20. Si /(x ) = - x2 y g(x) = 3x - 2, determin e lo siguiente:
(a) ( / + *)(*) (b) ( f ~ g ) ( x ) (c) (/-g)(-3)
Proporcione el dominio de cada junción de los problemas 1 a 6. x
» - / « = ,— fa + 5
2. g(x) = x 4 + 51* - II 3. F(t) = 7t +4t2
(e)
4. G( x) = 18
(O £(2)
g (g) ( / ° g ) W 6. H( s) =
/s —5
0*) (g°f)(x)
En los problem as 7 a 14, encuentre los valores de la funció n para la func ión dada.
7. f ( x ) = 3 ^ - 4* + 7; /(O), /(-3 ), /(5), /(»)
(i) (g°/)(-4) £w /os prob lem as 21 a 24, enc uentre ( f ° g)(x) y (g ° /)(x) . 2 L f ( x ) = i , g (x )= x + 1
8. h(x) = 7; h(4),h ( ¡L \ /:( 156), h(x + 4)
^
9. G(í) = \fx - - 5 \ G( 3), G(19), G(r + 1), G(x3)
23. /(x) = y / T T 2, g(x) = X3 24. /(x ) = 2, g(x) =3
10. F(jf) =
F (- l) , F(0), F(5), F(x + 3)
ii* M«) =
a (5),*(-4).*W,M«-4)
12- H(s ) =
H ( - 2), i/(7 ), w Q j . H í x 2)
-3
si jc < 1
13. /(x) _ { 4 +.x2 si jc > 1 /(4), / ( —2), /(O), -4 + 1
{
/( l) si -1 <
/ ( 4 ) , / ( 0 ) , / ( i ) , / ( 5 ) , / ( 6 )
£« /os pr ob lem as 15 a 18 encu entre (a) f( x + h ) y (b) f ( x + h) — f\x) ^ simp UfiqUe sus respuestas, h 15. f ( x ) = 3 — 7x 16. /( x ) = 1\ x 2 + 4 17. /( x ) = 4 x 2 + 2 x - 5 7 18. /(x ) = x + 1 19. Si /(x ) —3x - 1 y g(x) = 2x + 3, enc uen tre lo siguiente:
(a) ( / + g)(*) (b) ( / + *)(4) (c) (f~g)(.x)
(f) (g) ( f ° g ) ( x )
00 ( f o g X 5 ) 0) (g ° f ) (x )
/w =
= v*
/os prob lem as 25 y 26, en cuentre las intersecciones de la gráfica de cada ecuació n y pr ueb e la simetría con respecto al eje x, a l eje y, al origen y a x = y. No haga un bo squejo de las gráficas. 25. y = 3x—x3 xV =4 26. x2 + y2 + 1 En los prob lemas 27 y 28, encuentre las intersecciones con el eje x y co n el eje y de la gráfica de cada ecuación. Tam bién exa mine la simetría con respecto al ejex, al eje y y al origen. D espués haga un bosqu ejo de las gráficas. 27. y = 9 - x 2 28. y = 3 x - 7 En los problem as 29 a 32, trace la gráfica de cada fun ción y pro por cione su do min io y rango. También determine las intersecciones. 29. G(u) = y /ü T 4 30. f ( x ) = |x| +1 y = g (t ) =
32. h(u) = y/=5ü 33. Grafique la siguiente función definida po r partes y proporcio ne su dominio y rango: tí \ í 2 s i x ^< 0 y = f (x ) = 1 2 - X Si x > 0 34. Utilice la gráfica de f ( x ) = y/ x para hacer un bosquejo d e la gráfica de y = y / x - 2 - 1. 35. Utilice la gráfica de f (x) = x2para hacer un bosquejo de la
1 ,
gráfica de y = - - j r + 2. 36. Ecuación de tendencia Las ventas anuales proyectadas (en dólares) de un pro ducto n uevo están dadas po r la ecuación S = 150 000 + 3000/,don de t es el tiempo en años, contados a partir de 2001. Tal ecu ación se deno mina ecuación de tenden cia. E ncuentre las ventas anuales proyectadas pa ra 2006. ¿Es S una función de /?
160
Ca pí tul o 11
Funciones y gráficas
37. En la figura 11.42, ¿cuáles gráficas representan funciones de *?
40. Encuentre todas las raíces reales de la ecuación x4 - 4 x 3 = ( 2 x - l f
Redondee sus respuestas a dos decimales. 41. Encuentre todas las raíces reales de: /(*) = ¿(ZU2 - 3Y - x3+ 1 Redondee sus respuestas a dos decimales. 42. Determine el rango de: (a )
(c )
FIGURA 11.42 Diagrama para el problema 37.
38. Si/(*) = (a2 - x + 7)3,encuentre (a)/( 2) y (b )/( l.l). Redon dee sus respuestas a dos decimales. 39. Encuentre todas las raíces reales de la ecuación 5x3- l x 2 = 4 x - 2 Redondee sus respuestas a dos decimales.
f( v _ J -2 .5 * -4 si jc < 0 n x ) | 6 + 4.1* -jc 2 si* 2=0
43. Con base en la gráfica de /(* ) = -* 3+ 0.04* + 7, encuentre (a) el rango y (b) las intersecciones. Redondee los valores a dos decimales. ____ 44. Con base en la gráfica de /(* ) = y/x + 5(*2 - 4), encuentre (a) el valor mínimo de /(* ), (b) el rango de f y (c) todas las raíces reales de f Redondee los valores a dos decimales. 45. Grafique y = /(*) = x2 + **,donde k = 0,1 ,2,3 y 4. ¿Para cuáles valores de k la gráfica tiene (a) simetría con respecto al eje y , (b) simetría con respecto al origen?
A (12í .
APLICACIONES DIVERSAS
12.1
Definición intuitiva de límite
12.2
División sintética
Evaluación de fracciones simples que se utilizarán en los límites de funciones.
12.1
Defin ición intu itiva de límite
Decimos que el límite es el valor aproximado de una expresión cuando no s acercamos a un cierto valor (núm ero real). p (x ) Si tenemos una expresión de la forma Q ' ^ y Que existe para tod o n úmero real ex cepto para el valor donde Q (x ) = 0; y si P(x) y Q(x), al ser evaluados en un número, quedan de la forma - , el resultado indica que la expresión no está definida para ese va lor. Sin embargo, utilizando el concepto d e límite podemos en contra r un v alor cercano a la expresión cuando nos aproximamos a ese valor. A continuación mencionaremo s los casos con los que podemos en frentam os al haPix) cer una evaluación en un número con expresiones del tipo algunas definidas y otras no. También veremos los procedimientos algebraicos que existen para encontrar un valor aproximado de la expresión cuando al evaluarla en un número quede de la forma: jj. Las formas que puede adop tar la expresión son: a.
= 0, donde k es una constante.
b.
# 3 (no existe), dond e k es una constante. -jj-j —(form a ind eterm inada ). Los procedimientos algebraicos que se utilizan son:
• • • •
Factorización del num erador, del denomin ador o de ambos. Racionalización del num erador o del denom inador. Simple desarrollo algebraico del numerado r, del deno min ador o de ambos. División algebraica o división sintética.
• EJEMPLO
Determina r el va lor de la expresión para el valo r indicado
4x -5 , p a r a x = 3 5x - 1
161
162
Ca pítu lo 12
Aplicaciones diversas
Solución: sustituyendo en cada x el valor indicado tenemo s que el va lor de la expresión
es:
4(3) - 5 _ 1 2 - 5 _ 7 _ 1 5(3)-1 15-1 14 2 Eso significa que cuando x = 3 la fracción tiene un valor igual a ^.Tam bién puede indi1 car que si x s e aproxima a 3 la expresión se aproxim a a • EJEMPLO
Encontrar el valor de la expresión dada para el valor indicado
x - 2 , para a : = *2-4
2
Solución: sustituyendo x = 2 tenemos que el valor de la expresión es la forma
esto
es: 2 -2 _ 0 0 22 - 4 _ 4 —4 _ 0 Lo anterior implica que la expresión tiene una forma indeterminada en x = 2, pero podemo s factorizar el num erad or y den om inador de tal manera q ue par a x ^ 2 o para valores muy cercano s a 2, la expr esión sí esté definida: x - 2 _ x-2 _ 1 x2 —4 ( x + 2 ) ( x - 2 ) x + 2 ' x
Jbr tanto, si evaluamos la expresión en x = 2 tenemos que: 1 = 2o x + 2’
1 2+2
1 4
x - 2 1 Concluimos así que ^ 4 se aproxima a - para valores muy cercanos a 2. • EJEMPLO
Encontrar el valo r de la expresión dada para el valor indicado
3 -V x p p a r a x = 9 Solución: si evaluam os la expresió n dada nos que da de la forma ¡ -jj-j.esto es:
3 -V 9 _ 3 -3 _ 0 9_ 9 9 -9 0 Ello indica que e n x = 9 la expresión tiene una forma indeterminada, mientras que para valores muy cercanos a 9 existen dos alternativas para ob tene r el valor aproximado. Alte rn a ti va I
Factorizar el num erador y denominado r: 3 -V x 3 -V * 9- * (3 - Vx )(3 + V x ) Luego, evalu ar x = 9 en la última expresión: 1 ' x =9 3+Vx'
3 + Vx
■,x * 9
1 =1 3 +V 9 6’
concluyendo así que para valores muy cercanos a 9 el valor de la expresión dada es aproximadamente 6
Se cc 12.2
División sintética
163
Alte rn a tiva II
Si no se ap recia si la expresión es o no factorizable, existe la posibilidad de ra cionaliza r, es decir, de multiplicar por el conjugad o: 3-Vx 9 —x
3 - V x 3+ Vx _ 9 —x (9 —jc)(3 + V x ) 9 —x ' 3 + V x 1 Luego, evaluando x = 9 en esta última expresión, que da
_ 1 3 + V x ', X ~ 9
1 3 + V x ’X
1 1 3+V 9- 6
___ ___
R>r ambas alternativas se concluye que el valor de la expresión d ada es aproximada1 mente 7 . 6 •
EJEMPLO
Encontrar el valor de la expresión dada para el valo r indicado
(x + h)2 - x 2 , n i------- f ------- .para h = 0 h Solución: evaluando h = 0 en la expresión nos queda de la forma ^ j, e s to es:
(x + O)2 - x2 _ x2 - x2 _ 0
0
0
0
Por lo tanto, concluimos que la expresión tiene una forma indeterm inada en h = 0,pero podem os d esarrolla r el num erad or y ver qu é pasa cuando h se aproxima a cero, esto es: (x + h)2 - x2 _ *2 + 2xh + h2 - *2 _ 2xh + h2 _ h(2x + h) = 2x + h h h h h
Sustituyendo h = Oen la última expresión: 2 x + h\
h = 0
2x + 0 = 2x
12.2
Divis ió n s intética
La división sintética es una forma abreviad a de la división larga ya que se trabaja sólo con los coeficientes de las variables. • EJEMPLO
Encontrar el va lor de la expresión dada para el valor indicado
x3 —x 2 —x + 10 x 2 + 3x + 2
=
-2
Solución: evaluando la expresión en x = - 2 tenemos que el resultado es de la forma
así que la expresión tiene una form a indeterminad a en x = —2, per o p ara valore s muy cercanos a - 2 podemos aproxima mos a un resultado a través de la factorización. El nu merador será factorizado a través de división sintética porque es la maner a más sencilla de factorizar polinomios de grado ^ a dos. Para efe ctuar la división sintética dam os por hecho que x = - 2 es una raíz del polinomio puesto que la evaluación en este número dio como resu ltado cero. Rasos para efectuar la división sintética
a. Se colocan los coeficientes numéricos del polinomio de mayor a menor con res pecto a la potencia de la variable (su grado), en línea (del lado izquierdo). Si n o aparece alguna potencia, en su lugar se coloca un cero.
164
Ca pítu lo 12
Aplicaciones diversas
b. Del otro lado d e los coeficientes (lado derec ho) se coloca la posible raíz del polino
mio. c. Se baja el primer coeficiente para emp ezar a formar el tercer renglón. Esta canti dad se multiplica por la posible raíz y el resultado se coloca deba jo d el siguiente coeficiente par a em pezar a formar el segundo renglón. d. Se efectúa la suma o resta indicada en el primer y segundo renglones y se repite el paso c hasta terminar con el último coeficiente. c. La cantidad que es tá a la derecha es una raíz del polinomio si y sólo si el último coeficiente del tercer renglón (llamado residuo) es cero. d. Los números que quedan en el tercer renglón son los coeficientes del polinomio llamado cociente, acomodados en o rden desc endente con respecto a la potenc ia de la variable. Tómese en cuenta que el grado del cociente es uno menos que e l orden del polinomio original. Representación de los pasos a nteriores
a b c d ..........
raíz (r)
coeficientes del polinomio E l <----- Residuo a
Coeficiente La factorización del polinomio, de acuerdo con la te oría de ecuaciones, qued aría exp re sada por el producto de: (x - r) (cociente). Esto es: 1
-1 -2 1 - 3
-1 +10 1-2 6 - 1 0 5 ta
La factorización del polinomio es: x 3 - x 2 - x + 1 0 = (x + 2) (x2 - 3x + 5)
Mientras que la factorización de: x 2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1). Por lo tanto: x3 - x 2 - x + 10 _ (x + 2)(jt2 - 3 * + 5) x2 + 3x + 2 (x + 2)(x + 1)
x 2 —3x + 5 x + 1
Evaluando esta última expresión e n x = -2 , tenemos que: x* - 3x + 5 _ x + l ’X
( —2)2 —3(—2) + 5 (-2 ) + 1
4 + 6+5 -1
Se concluye así que cuan do x se aproxima a - 2 la expresión toma un valor aproximado de-15.
Ejercidos
Ejercicios 12.1 I. Evaluar las siguientes expresiones racionales para el valor
0
hdic ado. Si la expresión qued a de la form a —, aplicar algún método algebraico para dar una aproxim ación para valores muy cercanos al indicado.
x2 + x - 2
8- , _ ^ , y x = 1
* 3* + 2 —81 x 9. x2 —— ; = 9 v* - 3 -----
10
x2 ~ 6x
1
x! -1 x + 6' X ~ 6
2- 7 z r ^ = i
1L 1 ^ 2 " ^ = 2
3
4x2 —36 . V TT Á -vS. . 4. ------- -------- ¡A = 0 c A2 - 1 6 ,
s.
„
T* = 4
j ^ + 2a3’0 = ®
7. £ ± * 2 z » * . 0 h
^ ~ 1—. 1 — 9
3 —V 7 ’
i z * E Z = v s f.o
'
n
(2 + 3/ + 2 ’
= -,
14 ^ - 3 ^ + * + 3
*+3
2J 3 - 5-t2 - 2c - 3 4X3 —13*2 + 4x —3’*
_3
165
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Introducción
En algunos temas de cálculo es necesario evaluar todo tipo de expresiones en un cierto valor. En esta sección se realizarán evaluaciones que consisten en sustituir el valor dado en la variable involucrada y efectuar las operaciones indicadas. Es indispensable conocer la notación con la que se va a trabajar, es decir, cuando una expresión depende de una variable se dice que la expresión está en función de esa variable. Por ejemplo, si la expresión depende de x entonces recibe el nombre de f ( x ) , aunqu e a la función puede llamársele de m uchas formas: g(x), h ( * ) , w ( a : ), etcéte ra. Cuando la expresión depend a de otra variable su notación s e r á /( ), g ( ), h ( ), etcé tera, y dentro del paréntesis estar á la variable involucrada. También pue de o currir que la expresión dep enda de más de una variable y, en tal caso, tendría como notación esp e cial: / (xv x2>£ 3,... xk\ donde cada x v x2, x y ... x „ represen ta a cada una de las variables. • EJEMPLO
Evaluar la expres ión dada en los valores que se indican
f (x) = 3* + 2
Evaluar en a. x = 0 b. x = 1 1 d. x = h e. x = V 2 t x = - V 2 Solución: to único que tenem os que hacer es sustituir los valores indicados en cada x que encontrem os en la expresión. a . / ( O ) = 3 ( 0 ) + 2 = 0 + 2 = 2 =>
/( 0 ) = 2
b. / ( I ) = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5 =>
/ ( 1) = 5
d. f ( h ) = 3(h) + 2 = 3/i + 2
f ( h ) = 3 h + 2
=>
e. /(V 2 ) = 3(V 2) + 2 = 3 \/2 + 2
=>
l / ( —V 2 ) = 3 ( —V 2 ) + 2 = —3 V 2 + 2 => • EJEMPLO
/ ( V 2 ) = 3V 2 + 2 / ( —V 2 )= - 3V 2 + 2
Evaluar la expres ión dada en los valores que se indican
g (y) = y 2 - 3 y + l
16 7
168
Ca pítul o 13
Evaluación de expresiones algebraicas
Evaluar en: a. y = -1 b. y = 0 2 d. y = x + h e. y = h 2 f. y = - V i Solución:
a. g ( - l ) = ( - l ) 2 - 3 ( —l ) + l = l + 3 + l = 5
=>
g (- l) = 5
b. g(0) = (0)2 - 3 ( 0 ) + l = 0 + 0 + l = l
=f
g (0) = 1
4 . 31 —— + 3 = — 9 9 d. g(* + h ) = (x + h f - 3 ( x + h) + \ = x 2 + 2 x h + h 2 - 3 x - 3 h + \ g (x + h) = x2 + 2xh + hi2 ~ 3 x - 3 h +1
=• e. g (ft2) = (h2)2 - 3(h2) + 1 = hA- 3h2 + 1
f. g ( - V 2 ) = ( - V 2 f - 3 ( - V 2 ) + l = 2 + 3V 2 + l
• EJEMPLO Dete rminar
g (h2) = ft4 - 3h2 + 1
=»
=* g ( - V 2 ) = 3 V 2 + 3
+ ^ — Í S í L . ¿onde /, / q h
a* / ( * ) = 4a? - 5* + 7 b. / ( x) = V x Solución: para determinar lo solicitado se puede empezar por obtener f ( x + h)\ luego, como f{ x) se conoce, se continúa con las operaciones indicadas. Entonces: a. f ( x + h) = 4 (x + h)2 - 5 (* + h) + 7;/(*) = 4x2 - 5x + 7. De aquí que: f ( x + h) - / ( x) _ A(x + h )2 - 5(x + h) + 7 - (4y2 - 5* + 7) /i /í
= Ajx2 + 2jtó + ft2) - 5* - 5h + 7 - Ax2 + 5* - 7) h Ax2 + 8xh + 4ft2 - 5* - 5h + 7 - 4x2 + 5* - 7) h Ahí2 + 8xh —5 h h(Ah + 8x - 5) „ . „ L = Ah + 8x - 5 = -----------------------= —1 h h
Se concluye que s i / (*) = Ax2 - 5x + 7
=>
^ h
b. S i/ (* ) = V i, los cálculos son semejantes, esto es: / ( * + h) = V x T h
y
/(* ) = Vx,
po r lo tanto:
f ( x + h ) - / ( x) _ V x T h - V x
= 4h + 8x - 5
Ejercicios
169
Al racionalizar el nume rador e n la última expresión, multiplicando po r el conjugado en el num erador (arriba) y en el denominad or(abajo), tenemos que:
V x T h -V x h
Se concluye que sif(x) = Vx
Ejercicios 13.1 I. Evaluar las siguientes expresiones en el valor indicado, t S i/O ) = x* - l,halIe/(0),/(l),/(V^ )y/(-2). + *, halle g (0), g (l),g (V2 )y g (-2).
2. Sig (*) =
3. Si h Cv) = Vy + 1, halle h (0), h (3 \ h ( - l ) y h (-5). 4. Si w (x) = V2x +4, halle w (0), w (4), w 5. Si/(*) =
X2 + 1
w ( - i) .
halle /(O ),/(l),/( V 5) y /(-1 ).
6. Si/(x) = 3x* —x, halle /(a ),/ (a + O ./ía 2) , / ^ ) y/ (- « ). 7. Si/( x) = Ix3 —x2, halle / (¿>),/ (b + l ) , / W f ^ ) , / ( - b ) . 8. Si g (x) = x3 —1,halle g( -l) ,g (l) ,g (a ),g (|) . X2-4 X?¿2 9. Si/( * ) = * 2 , h all e/( 2) y/ (—7). 4 , x=2 10. Si/(x ) = { _ ^ + Zr; * < | >h alle/( l),/(0) ,/(V 2x ) y / ( —2). flO 11. Si/(x ) = 0 10
x< 0
1Z Encuentre
^ -— Z ü ;d o n d e A^ 0 es una constante y:
x> 0
x = 0,halle/(l),/(0),/V2 r)y/(-2).
h
a. /(x ) = x2 b. /( x ) = x2 + 3x —7 c. /(x)=x3
13. Encuentre - -V+ ^ - d o n d e A^ 0 es una constante y:
h
a. /(x) = 3x - 2 b. /( x ) = 2X2 - 3x + 4 c. /(x ) = 2Vx
V x + h - V x Vx +h + V x h Vx + h + V x (V¡FTh)2 - (V¿)2 x +h -x h(Vx + h + Vx) h{Vx + h + V*) h
1
h(Vx + h + Vx)
Vx + h + V x
-»
/ (* + — /(*) = h V x + h + V x
(f 4 i A
..........
...........
EL ÁLGEBRA Y SU CONEXIÓN CON EL CÁLCULO 14.1
Racionalización
Introducción
14.2
Simplificación de expresiones que son respuestas para problemas de cálculo
En cálculo, un problema se resuelve siguiendo una serie de pasos, la mayor parte de ellos sólo algebraicos. Por tal motivo, en esta sección realiza remo s simplificaciones alge braicas pero con ejercicios que signifiquen u na aplicación d irecta al cálculo.
14.1
Racionalización
En el tem a de radicales aplicamos la racionalización, generalm ente en el deno m i nador. Ah ora racionalizaremos el numerado r o el denom inador de acuerdo con la localización del radical en la expresión algebraica. •
E JE MP L O
V4 + x - 2 Racionalice el nume rad or e n -----------------. x • Primero analice que pa ra eliminar el radical del numera dor debe multiplicar por su factor conjugado (es un binomio igual pero con signo diferente): V 4 + x + 2. • Se puede eliminar el radical en el num erador multiplicando el numerador y el de nominador de la expresión fraccionaria dada p or V 4 + x + 2. • Se efectúan las operaciones en el numerador mientras que en el denom inado r sólo se dejan indicadas.
V i n - 2 _ V 4+7 -2 V4+I+2 _ {VÁ TIf-22 x( V 4 T I + 2 ) V4 + x + 2 x x 4 + x - 4 1 *(V4 + x + 2) V4 + x + 2 x(V4 + x + 2) • EJEMPLO
Racionalice el deno min ador en
36 - t
6-vr Como en e l ejemplo anterior, para eliminar el radical del denom inador hay qu e multi plicar por su factor conjugado: 6 - V 7 Es posible eliminar el radical en el deno minad or multiplicando numerad or y deno minador de la expresión fraccionaria dada p or 6 -V iT Se efectúan las operaciones en el deno mina dor mientras que en el nu me rador sólo se dej an indicadas. 36 - t
6 -V t
36 - l
6 +Vi 6 -V t' 6 +Vt
(36 - t) (6 + V p
62 - ( V t f
(36 - l) (6 + VT] 36- t
r+
f'
171
172
Ca pítul o 14
El álgebra y su conexión con el cálculo
Ejercicios 14.1 L
9/2 6. , + 2 - 2V7TT
Vx-3 * —9
V7+9-3 7. -------------*
* Z V7 + x - V7
*
*
V«+4-3 u- 5
8* v T T T - 1
25-t 5-Vt
9.
V Vy2 + y + 1 - V y + 1
V x T s - 2
x + 1
10- 2 - V 4 ^
14.2
Simplificación de expresiones que son re s p u e s ta s p a ra p r o b le m a s d e c á l c u lo
También es posible hallar expresiones algebraicas que son un a respuesta p ara algunos problem as de cálculo, pero éstas de be n es tar simplificadas y p ara ello hay que sabe r aplicar la simplificación alg ebraica. •
E JE MP L O
Simplifique completamente la siguiente expresión algebraica que constituye una res puesta p ara un p roblem a d e cálculo. (3x2 + 4* - 1 ) (4) (2* - 3)3 (2) + (2* - 3)4 ( 6x + 4) v ^ Primer término Segundo término
Para empezar se debe orde nar la expresión de la siguiente manera: • En el prim er término se multiplica el 4 por el 2 y el resultado se escribe al principio; en el segundo término se factoriza 6x + 4 y el total se acomoda al comienzo del segundo término. 8(3*2 + 4x - 1) (2x - 3)3 + 2(3* + 2) (2* - 3)4 • Enseguida se obtiene el factor común, que es la expresión que se repite en tod os los términos, y en e ste ejemplo es: 2(2* - 3)3 = 2(2* - 3)3[4(3jc2 + 4x - 1) + (3x + 2) (2t - 3)] • Finalmente se efectúan las operaciones que están dentro de los corchetes y se sim plifica po r co mpleto. = 2(2* - 3)3 (12*2 + 16* - 4 + ó*2 - 5* - 6) = 2(2* - 3)3 (18*2 + 11* - 10) = 2(2* - 3)3 (9* + 10) (2* - 1) • EJEMPLO
Simplifique completamente la siguiente expresión algebraica que constituye una res puesta p ara un p roblem a d e cálculo.
(12* - l f (2) (x2 - 1) (2x) + (x2- 1)2( | ) (12* - I)"? (12)
Ejercicios
173
Primero se ordena la expresión. = 4x(12x - 1)3 (x2 - 1 ) + 4 (1 2 * - 1 ) 3 (x2 - l ) 2
• Luego se obtiene el factor común.
= 4x(12x - l p (jf2 - 1) ¡x( 12x - l ) + (x2 - 1)] • Finalmente se realizan las ope racio nes y se simplifica. = 4x(12x - 1 p (x2 - 1) (12X2 - x + x2 - 1) = 4x(12x - l f i (x2 - 1) (13X2 - x - 1 ) 4x(x2 ~ 1) (13*? - * - 1)
(12* - 1)^ EJEMPLO
Simplifique completamente la siguiente expresión algebraica que constituye una res puesta pa ra un p roblem a de cálculo. 1 / 2x - 1 H 2 \4x + l )
4(x + 1) (2) - ( 2 x - x ) (4)' (4* + l)2
• Se sepa ran los expon entes del numerado r y del denomina dor de la expresión ra cional que es tá elevada al —y , y se realizan las operaciones que aparecen entre corchetes. Multiplicar los número s 1 (2* - 1) 2 (8* + 2 - 8* + 4) (4* + 1) 2 ( 4x + l) 2
(2x - 1) 2 (6)
1
2 (4x + 1) 2 (4x + l ) 2 Sumar los expon entes
• Se efectúan las operacion es correspondien tes sin deja r exponen tes negativos en el resultado. (2x - l) 2 (4x + l ) 2
Ejercicios 14.2 + 2 y
+ 3 ) 3 ( 2 ) + (2x + 3 ) 4 ( 3 )
+ 2 f ( 3 )
L
(3*
2.
(*2 - 3)4 (5) ( 3 * 2 - i y ( 6 r ) + ( 3 * 2 -
3.
(5 * - l ) 2 ( - 3 ) ( 1 - 4 a : ) “4 ( —4 ) + ( 1 - 4 x ) " 3 ( 2 ) (5 * - 1 ) (5 )
4.
( * 2 - 1 )< ( - 2 ) (3 - I x 1) - * ( - 4 * ) + ( 3 - 2 x 2) - 2( 4 ) (.x 2 -
5.
( 3* -
2 f
(4)(2*
(3*
1 ) 5 ( 4 ) (* 2 - 3 ) 3 2 ( 2 * )
( 4 * + 1 P ( 4 ) + ( 4 + * )5 ( 3 ) ( 3 * - i y ( 3 )
l ) 3 ( 2 *)
174
Ca pítul o 14
El álgebra y su conexión con el cálculo
(4*2- 1) ( i ) - (3x2 - 2 P (fa) - (3x2 - 1>’ (Sx) "
(4x> - 1)2
7. (í 2 - 1 ) 5 ( ! ) ( 1 - 2 x2)'5(-4 i )+ (1
(.v2- l p (2*)
(4* + 5)2 (■-6x) - (7 - 3X2) (! ) (4r + S P (4) [(4* + 5 ) f 9. 12(^ - 4)5(3x + 5Y + 10*(3í + 5)4 (x2 - 4)1 10. l 2 ( x z i ) a \ o + Q - o - m
\ x + 2 ) [
„
(x+2y
J
V M **1 - 3\-'i (** + 2>(16*> ~ (B*2 ~ 3) (x2 + 2)2 \ 2 / \ *2 + 2 /
12. 6(5x* + 2) (! ) (xt + S P (4.x3) + (x* + 5)* (6) (lOx)
13. (3* + 2 f (4) (2x + 3 y (2) + (2x + 3)4 (3) (3* + 2 f (3) 14. (x2- 3)4(5) (3x2- l)4 (6x) + (3x - l)5 (4) (x2- 3)3(2x) 15. (Sx - l)2 (- 3 ) (1 - 4x)-* ( —4) + (1 - 4*)-’ (2) (5* - 1) (5)
