Pratique du BAEL 91 Cours avec exercices corriges

e, infini et — = 0 pièce infinie J ' ^

= distance du centre de courbu red el a barre à la paroi la plus voisine, 1

^ J j g j _ e . l 3 5 * = ^L VK|_

L*

'

S

_L O ™

v-1

V~ ^

avec * m ~~ nombre de lits c D'où:

n|ir

©1jf v_y "

e

^^ cimnltatipmpnt 4 . / i-c c][)

fe

r > 0 20 <ï>

.•

$ ?

r

X 1< D - /

^su

1+

d)

1.

y

-j

fcj

^

c ° r 2

1 AL* '^i '

f

-^

^

^(DÏ JJj

À , 0 > - 3 0 3 2 — 176 ' ' 2 ' A,! O ~ 7 6 c m - 2 3 8

er

équation du 1 degré en r : 4 , r fcj - 0,20 . O . — TSU 1 + ° v > 0,20 .

O 2

TSU

1 +° Cr

S

V

\[/ = e^ 4

li R

ol

2-y Tsu '

/
3 2 500 ~ 4 •2,84- 14 ° Cm

\j/ = e ' ~4~ = 2,566

iir' —

,.,»

|i

V

'

^ 01 A

0,4

d'où:

f l + - l \t

l

/s

!

qui donne :

0,20 . 0

0 fe " 4 -Tsu

erj

<

> en —

141-3,2(5,5.3,916 + 2,38)

/ = 25,1 cm => retenu / = 25 cm

=/

CHAPITRE 4

TRACTION SIMPLE - TIRANTS

Û''f1 I. RAPPELS DE COURS 1. INTRODUCTION Une pièce en béton armé est sollicitée en traction simple lorsque les forces agissant à gauche d'une section droite S se réduisent au centre de gravité de la section à une force unique N (effort normal) perpendiculaire à X et dirigée vers la gauche. Le béton tendu étant négligé, le centre de gravité de la section droite doit être confondu avec celui de la section des armatures.

4

(X)

ï. DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES 2

-l- ÉNONCÉ DU PROBLÈME Données : B=aire de béton, N u =effort de traction à l'E.L.U., Nser=effort de traction à l'E.L.S. Inconnue : À=section d'aciers.

32. Section des armatures

2.2. CAS OÙ LA FISSURATION EST PEU PRÉJUDICIABLE Dans le cas où les aciers sont de la classe Fe E 500, le dimensionnement se fait à l'E.L U (le calcul à l'E.L.S. est inutile). Fissuration peu préjudiciable : cas des pièces situées à l'intérieur des constructions et non exposées à des condensations. En traction simple, la section est uniformément tendue. En négligeant le béton tendu, les aciers équilibrent intégralement l'effort de traction N avec un allongement unitaire maximal de 10/1 000. Le diagramme de calcul os = g(es, fed) donne pour les aciers :

N ser *ser

6mm si fissuration préjudiciable 4> 2 8mm si fissuration très préjudiciable

II faut en outre Aser > A^,, (voir paragraphe 5).

3. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES 3.1. DONNÉES A=(m-p)/'7/ =section utile d'aciers,

D'où la section d'armatures :

m=nombre total de barres, p=nombre de coupures par longueur de scellement droit, B=section de béton, N u =effort de traction à l'E.L.U., de traction à l'E.L.S..

II faut en outre Au > A^,, (voir paragraphe 5).

2.3. CAS OÙ LA FISSURATION EST PRÉJUDICIABLE OU TRÈS PRÉJUDICIABLE Dans le cas où les aciers sont de la classe Fe E 500, le dimensionnement se fait à l'E.L.S. (le calcul à l'E.L.U. est inutile). >'/j^H

2.3.1. Contraintes limites des aciers tendus Fissuration préjudiciable: cas des pièces exposées aux intempéries ou à des condensations : limitation de la contrainte des aciers tendus. • ronds lisses : os = ^r 3 fe

Avant tout calcul, il faut s'assurer que A > Amin (voir paragraphe 5). 3.2. VÉRIFICATION Sans objet si la fissuration est peu préjudiciable. AuxE.L.S. : o s = — < os

4. DÉTERMINATION DU COFFRAGE

fô,5f • barres HA : o~ = Max < [

Fissuration très préjudiciable : cas des pièces placées en milieu agressif ou des éléments devant assurer une étanchéité : limitation de la contrainte des aciers tendus. • ronds lisses : a = 0,8 — 3 ef s

• barres HA : o = Max <

La section A d'aciers tendus est déterminée comme indiqué au paragraphe 2. La section B de béton est obtenue en satisfaisant : 1) la condition de non-fragilité (cf. paragraphe 5), 2) le bon enrobage des aciers, 3) les conditions de jonction par recouvrement des barres réalisant la section A d'aciers.

CONDITION DE NON-FRAGILITÉ La sollicitation fissurant le béton ne doit pas entraîner le dépassement de la limite d'élastiClte f e dans les aciers :

Bf

t28

m.Vfe L*

X.

m.À.fg

h nn B H

*t

6. ARMATURES TRANSVERSALES 6.1. EN ZONE DE RECOUVREMENT

i

6.1.1. Contrainte limite d'adhérence Voir paragraphe 3.2. chapitre 3 « ASSOCIATION ACIER-BÉTON ».

Du fait de la transmission à 45°, l'effort transversal et l'effort longitudinal sont égaux, il faut donc que la somme des sections ZA, rencontrées sur la longueur ls soit telle que : Z(At.fet) = m.A.fe

7su=°'6-f-ftj

: ronds lisses, : barres HA courantes.

avec:

6.1.2. Longueur de scellement droit Voir paragraphe 3.4. chapitre 3 « ASSOCIATION ACIER-BÉTON ».

m.À. f

Or sur la longueur /s, on a :

;

,

6.1.3. Armatures transversales St

On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression des « bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres.

D'où, pour m barres de même diamètre en recouvrement de part et d'autre d'un même plan : A

s

/'=*.A

.-V5' tCette transmission n'est donc effective que sur la longueur : /s = /,.- c Pour des barres rectilignes : l r =l s +c

si c > 5 .

lr-ls

si

tI / f _ s et ~

Par conséquent :

c < 5 .<

Considérons m barres de même diamètre se recouvrant avec m autres barres de part d'autre d'un même plan P. '

Les armatures transversales ainsi déterminées doivent être distribuées sur toute la longueur 'r(et non ls seulement ; nous n'avons /r = /s que si c < 5O).

6.2. EN ZONE COURANTE

2

s

t*

SOLLICITATIONS La fissuration étant préjudiciable, les calculs sont conduits à l'E.L.S.

a

N s e r =N G +N Q

N ser =100 + 40=140kN

N ser =0,140MN

a = plus petite dimension transversale de la pièce.

3. CONDITION DE NON-FRAGILITÉ

II. EXERCICE : TIRANT - FISSURATION PREJUDICIABLE

A > 2 0 . 20 —=1,68 cm2

A . f e > B . f,128

500

— ÉNONCÉ —

20 cm

20 cm

A > 1,68 cm

•Sollicitations de traction: N G =100kN HQ=40kH •Fissuration préjudiciable. •Matériaux: -Béton: f c 2 8 = 2 5 M P a , -Aciers: Fe E 500 HA.

• On se propose : 1) de déterminer les armatures longitudinales, 2) de calculer les armatures transversales.

4. ARMATURES LONGITUDINALES 4.1. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE 0,140

Ns

— CORRIGE —

A = 5,60 cm2

Non-fragilité :

A>A m i n

Conclusion :

fissuration I préjudiciable j

5,60 cm2 > 1,68 cm2 O.K. <ï> > 6 mm

=> 4 $14 HA A = 4 1,54 = 6,16 cm2

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX 5. ARMATURES TRANSVERSALES fcg = 0,6 + 0,06.fc28 (MPa)

f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

s

-l. ZONE DE RECOUVREMENTS

1.2. ACIERS fissuration préjudiciable

_M

K

°'5 fe

(MPa)

-~ M

X

/ °'5 ' 50° = 25° MPa \ 1 10 ^1,6.2,10 = 202 MPa

=> ô" = 250 MPa

2 m

A , = 5 , 6 0 cm2

4.2. RETENU Résistance :

1.1. BETON

4

'6

^

Sur lr = /s, on va coudre le plan I-I.

*

a) Longueur de recouvrement tsu = 0,6.V|/s2.ft28

;

TSU = 0,6 . 1,52. 2,1 = 2,84 MPa

CHAPITRE 5

1 : ronds lisses. 1,5 : barres HA.

COMPRESSION SIMPLE

O

b) Armatures transversales A

Pour un brin
1 , 7 t . 1,4.2,84 500

1 cm /cm 40,03

s t = 40,03. A,

d'où :

s, = 40,03. 0,5 =20 cm

cadres (B 8 HA : s, = 20 cm

5.2. ZONE COURANTE s.= a

cadres O 8 HA : st = 20 cm

I. RAPPELS DE COURS 1. HYPOTHESES On considère conventionnellement comme soumis à une « COMPRESSION CENTREE » tout poteau sollicité : 1) par un effort normal de compression N, 2) par des moments n'intervenant pas dans les calculs de stabilité et de résistance des éléments qui lui sont liés lorsque les excentricités sont faibles (point d'application de l'effort normal à l'intérieur d'une zone déduite du noyau central par une homothétie de rapport 1/2). Dans un poteau sollicité en « compression centrée » le centre de gravité du béton et celui des armatures sont confondus.

2. ÉLANCEMENT 2.1. LONGUEURS DE FLAMBEMENT lf

6. SCHÉMA DE FERRAILLAGE 1*14 HA

- E1ETATIOH 62 cm ,, 62 o

\ ^/

) . 1

14>14HA

-Jf- cadres <î> 8 HA st = 20 c» 7^ Vl-^14 H*

•>!/

V

\

jx

f-4 '

.

\ \24>14 HA

X, il,

si/ -71 4> 14 HA

s '

)S

1

'77777

ù

•77777-

cadres 4>8 HA s t -20cm cadres4> 3 HA s . = 20 cm

cadres 8 HA s^-2 ) C K

^~J =

2.1n

encas trement dans la fondation; sinon ln

2.2. ÉLANCEMENT

COUPE À A

2.2.1. Cas général

V

avec : 0

1=

- = rayon de giration de la section transversale r>

=barre prise en compte

I = moment d'inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de flambement, B = aire de la section transversale.

4)=barre non prise en compte

Le plan de flambement mentionné plus loin est celui pour lequel À = ^maxSi A, > 35, seuls sont à prendre en compte les aciers augmentant le plus efficacement la rigidité dans le plan de flambement (pochées en noir sur la figure ci-dessous).

2.2.2. Cas particuliers a) Section rectangulaire

Plan de flambement II faut normalement envisager les deux possibilités : flambement dans le plan parallèle au petit côté et flambement dans le plan parallèle au grand côté. En désignant par /fa et /^ les longueurs de flambement correspondant aux liaisons d'extrémité dans les sens a (parallèle à la dimension a) et b (parallèle à la dimension b), on retiendra :

•

0

0

J B=ba ; X

.S&L • 12

B=ba

W>

a

0

•

*

•

o

•

bll, l.a

; ! = -£=> V12 3.2. FORCE PORTANTE

b) Section circulaire

I=~

64

4.1*

À l'état-limite ultime, le raccourcissement du béton sous compression centrée est limité à 2/1 000. Le diagramme des déformations correspond à la verticale du pivot C (voir paragraphes 3.3.3. et 4.3. chapitre 2 « BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), d'où : y fi j. j. uiiy cjiitîii L

B=-

I^dLJL

(B)'v

X

/—s

^^^ XXJ1 •

f

bu O

i

se 2

f

3. ARMATURES LONGITUDINALES 3.1. INTRODUCTION - HYPOTHÈSES Toute barre longitudinale de diamètre ^ non maintenue par des armatures transversales telles que s,< 15.O, n'est pas prise en compte dans les calculs de résistance.

y

9

f

^ï^l'vl

0 Section

O^^•O& 0

/

\—ifj5*

2îi.

Déf ormat ions

Contraintes

L'effort normal limite théorique est : N u iim,th=B.f bu -"-

Les aciers doivent équilibrer : rt

k'|3-Nu-Nb 0,85

L'effort normal résistant est obtenu par correction de la formule théorique avec : - Br = section réduite de béton pour tenir compte de la sensibilité aux défauts d'exécution notamment pour les poteaux de faible section transversale, - 07(0,9.0,85) = facteur majorateur de la part de l'effort limite théorique relative au béton pour tenir compte de la maturité de ce dernier à l'âge de sa mise en charge, - a = facteur réducteur affectant Nulim th qui tient compte des effets du second ordre q ue l'on a négligés, - °sc2 = 4d - fe/Ys Par simplification de calcul. D'où la condition à respecter : B

r - f c 2 8 . . fe A.

y

Yh

3.3.2. Sections extrêmes B = aire de la section de béton. On doit vérifier : À

À min =Max.

'0,2 B

100

1+0,2.— 35 i

siA,<50

0,85.

si 50 < A, < 70

1500

de périmètre

+0,85.À.fed

max

avec : Br = section réduite obtenue en retirant 1 cm d'épaisseur de béton sur toute la périphérie du poteau,

0,85 a

min 1 A <. 2 L4cm /m

avec 9=1 dans le cas des poteaux et f^, cette formule s'écrit : u bu

0,85

D'où leur section :

0,9. v En réintroduisant £ = 0,85

B •£bu 0,9

-"sc2

Si A > Amax (en dehors des zones de recouvrement), il faut augmenter le coffrage. 3.3.3. Dispositions constructives Sur chaque face, on doit vérifier :

<

±-*-+

1,10 si plus de la moitié des charges est appliquée à j < 90 jours, 1,20 et } si la majeure partie des charges est fc2g à remplacer par f cj j appliquée avant 28 jours,

40cni c!Min< 1 < a+lOcm a=plus petite dimension t ransversa1e

4- ARMATURES TRANSVERSALES Les armatures transversales doivent maintenir : 1) toutes les barres prises en compte dans les calculs de résistance, 2) les barres de diamètre > 20 mm, même celles non prises en compte.

1 dans les autres cas.

3.3. ARMATURES LONGITUDINALES 3.3.1. Armatures calculées Le béton équilibre :

4

B r .f b u 0,9

-l- DIAMÈTRE

[. EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

4.2. EN ZONE COURANTE C'est-à-dire hors recouvrements :

—

— ÉNONCÉ —

< — pour À_>Â m i n

1min <— a=plus petite dimension transversale a+lOcm dans le plan de flambement 40cm

COUPE A À

r

4.3. EN ZONE DE RECOUVREMENT 4.3.1. Longueur de recouvrement f 0,6.1S

lr= ,

'

1s

^20 cm

20 cm

lQ=2,50m 60 cm

<— cas courants, <— pièces soumises à des chocs.

• Sollicitations : Nu = 1 200 kN de durée > 24 heures. • Moins de la moitié des charges agit avant 90 jours.

4.3.2. Armatures transversales Dans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement :

• Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • Longueur de flambement : lf = 10 = 2,50 m.

> 3 nappes au moins sur

• Enrobage des armatures : 3 cm. Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2<|> environ) des extrémités des barres arrêtées par rapport aux nappes extrêmes. Remarque : si lr est trop grand (ce qui est le cas lorsque /r = /s et non 0,6/s), on peut avoir un espacement s't > s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir 4 nappes et non 3 sur lr

5. COFFRAGE

• On se propose : 1) de déterminer les armatures longitudinales, 2) de déterminer les armatures transversales.

— CORRIGE —

!

La formule de l'effort normal ultime limite donne : k

_ x

'P'Nu

i

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

bu

1-1. BÉTON On peut adopter par exemple : A/Br = 1

£=0,85.

^28 '•ni

1.1,5

— f

bu 0,9

[

100

ed

Remarque : on peut chercher à atteindre À = 35 pour que toutes les armatures participent à la résistance. Dans ce cas : (3 - 1,20.

1 2

- - ACIERS fed=-

Ys

— = 435MPa 1,15

în.-'vtV.-xO

EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

4.2. EN ZONE COURANTE C'est-à-dire hors recouvrements :

— ÉNONCÉ —

150, . 1min < — a=plus petite dimension transversale a+lOcm dans le plan de flambement 40cm

COUPE À À

r

4.3. EN ZONE DE RECOUVREMENT 4.3.1. Longueur de recouvrement

lr= .

JO,6.1S

<— cas courants.

[

<— pièces soumises à des chocs.

1s

cm 20 c»n

I0=2,50m 60 cm

• Sollicitations : Nu = 1 200 kN de durée > 24 heures. • Moins de la moitié des charges agit avant 90 jours. 4.3.2. Armatures transversales

• Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • Longueur de flambement : lf = 10 = 2,50 m.

Dans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement :

> 3 nappes au moins sur l r

• Enrobage des armatures : 3 cm. Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2<|) environ) des extrémités des barres arrêtées par rapport aux nappes extrêmes. Remarque : si /r est trop grand (ce qui est le cas lorsque 1T - ls et non 0,6/s), on peut avoir un espacement s't > s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir 4 nappes et non 3 sur /r.

• On se propose : 1) de déterminer les armatures longitudinales, 2) de déterminer les armatures transversales.

5. COFFRAGE

— CORRIGE —

La formule de l'effort normal ultime limite donne : k.p.Nu

B >

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

bu

1-1. BÉTON On peut adopter par exemple : A/Br = 1

f

bu = °'85 •

~

f

bu - 0,85 .

l 2

0,9

100

- - ACIERS e

Remarque : on peut chercher à atteindre X. = 35 pour que toutes les armatures participent à la résistance. Dans ce cas : (3 = 1,20.

Ys

1,15

= 14,2 MPa

2. ARMATURES LONGITUDINALES

A RMATURES

2.1. SECTION CALCULÉE

CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

Élancement pour une section rectangulaire : ,

TRANSVERSALES EN ZONE COURANTE

Armature minimale => on peut se contenter d'un cadre général :

If fÏ2

= 43,30 20

Coefficient P : X<50=>P=1+0,2 Le béton équilibre : -12 = 4 mm < <ï>t < 12 mm

(0,60 - 0,02) (0,20 - 0,02) 14,2 0,9

B

N ^ Nb~ 0,9

=> 1 cadre 4> 6 HA Pour 3 cm d'enrobage :

N b =l,65MN

3 + 0,6 + — = 4,2 cm 2

Les aciers doivent équilibrer : k.p.Nu-Nb N =0,85

k = 1 car moins de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours, N =

60 - 2 . 4,2 =» c = - = 25,8 cm 2 c ' = 20-2.4,2 =11,6 cm

= - 0,09 MN

d'où: Ns < 0 => Le béton est surabondant ; il suffit de prévoir la section minimale.

u = 2(a + b) = périmètre (m)

u = 2(0,60 + 0,20) = 1,60 m

B = a.b = aire béton (cm2)

B = 60 . 20 = 1 200 cm2

Max Amin --Max' \

A

s t < Min ( 40cm + 10cm

2/

14 cm / m depérimètre

0,2-?100

(40i i cm (a + 10 cm

c = 25,8 cm (40 cm < 30 cm = Mm c' = ll,6cm \20+10cm

3.2. ESPACEMENT

2.2. ARMATURES MINIMALES

/

c et c < Mm

U. 1,60 = 6,40 cm2 1 ^rvn . = Max o,2 0 = 2,40 cm \ 100

{

sans objet car A = 40cm 20 +10 = 30 cm

=> cadres 6 HA s, = 30 cm

g

/

A = A min =6,40cm

4

ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE DE RECOUVREMENT

2

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section. 2

soit : 6 O 12 HA : A = 6 . 1,13 = 6,78 cm TJ

6,78 cm2 < 60 cm 2 = 5

i 100

O.K.

Longueur de recouvrement : barres HA Fe E500 => /s = 44 <ï> aciers comprimés => /r = 0,6 /s

12 HA : /s = 44 . 1,2 = 53 cm lr = 0,6 . 53 = 31,8 cm

Nappes sur recouvrements :

• 3 nappes au moins

3 Cadres <£> 6 HA

, 31,8-2.2.1,2 s,- —^— -=13,5 «13 cm

• On demande : 1) de vérifier la section minimale d'armatures, 2) de calculer la force portante limite du poteau, 3) de déterminer les armatures transversales.

soit s't = 13 cm < st en zone courante.

— CORRIGÉ — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

5. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

1.1. BÉTON £'bu= 0 , 8 5 .

COUPE AA 2<1>12 HA

2 * 12 HA

x

2 12 HA

cadre <1> 6 HA

60cm

'c28

£=0,85.

25 = 14,2 MPa 1.1,5

x

20 I

6 <î> 12 HA

1.2. ACIERS CAfl

- - = 435 MPa 1,15

cadres § 6 HA s , = 3 0 cm

,13cm 31cm

3 cadres 6 HA

"l3cm

c, t 12 HA

2 5 cm

12. SECTION MINIMALE D'ARMATURES u = 2(a + b) = périmètre (m) B = a.b = aire béton (cm2)

4cm /m de périmètre B

0,2

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

u = 2.2.0,30 = 1,20 m B = 30.30 = 900 cm? 1 4 . 1,20 = 4,80 cm

100

=> A = 4 . 2,01 = 8,04 cm2 > Amin = 4,80 cm2

— ENONCE — 4 <£»16 HA

30 cm

30 cm

A >< Amax = 5 • Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • Longueur de flambement : lf = 2,80 m • Moins de la moitié des charges appliquées avant 90 jours. • Charges de durée d'application supérieure à 24 heures.

B

Toô

C 900 2 A ma x = 5 — = 45 cm

=> A = 8,04 cm2 < Amax = 45,00 cm2 O.K.

3- FORCE PORTANTE Le béton équilibre :

B r =(a-2cm)(b-2cm)

Les aciers équilibrent : _ k.p.Nu-Nb • î ~ 0.85 D'où la force portante :

ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE DE RECOUVREMENT On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section Longueur de recouvrement : barres HA Fe E 500 => /s = 44 O

section | . _ /f "(\2 i —r Ai ^ — rectangulaire | a

aciers comprimés => /r = 0,6 /s

30

A,<50

p= 1+0,2

N =

/r = 0,6 . 70 = 42 cm

Nappes sur recouvrements :

32,33 = 1,171 35

k = 1 car moins de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours, k.p.Nu = Nb + 0,85A.fed

/s = 44 . 1,6 = 70 cm

1,237+0,85.8,04.10 1.1,171

4

3 nappes au moins sur lr-44

42-2.2.1,6

=17,8 cm

< s, en zone courante.

soit

.435

'

3 CadrCS <ï> 6 HA

>Nu=1310kN

IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU GRANDE DIMENSION IMPOSÉE

4. ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE COURANTE 4.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

5T 1 cadre

— ÉNONCÉ —

~* 30 cm

.•

"' : ' • > -

11,00m

•

^ t Ùf70)) 1 , 4 0 m

• 30 cm (b)

1 cadre pour tenir les 4 barres :

5, 40m

> t > - 16 = 5,3 mm t

= 6 mm

> < 12 mm

•& 0

ÇjDT '

}

• Actions sous plancher niveau 1 1,00 .ni :* - permanentes : NG = 2 355 kN - variables : NQ = 534 kN : - plus de la moitié des charges appliquée avant 90 jours. «Matériaux : - i - béton :fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA, - enrobage des armatures = 3 cm.

4.2. ESPACEMENT /min

s, < M i n / 4 0 c m 1 a+ 10cm

si A > A .

{

15. 1,6 = 24cm carA>A m i n 40cm 30+10 = 40 cm

=> cadres 6 HA s, = 24 cm

;

- s.

• On se propose : 1) de dimensionner le poteau, 2) de calculer les armatures longitudinales et transversales.

— CORRIGÉ — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

Sollicitation agissante corrigée : î *'!> " " * '^m ;.-.; k P Nu • ; "lk = 1.10 car plus de la moitié des charges est i'.: '•''• appliquée avant 90 jours. ' • •• •• ; : • ' k . p . Nu =1,10. 1,125. 3,98 = 4,93 MN

1.1. BÉTON

Conclusion f,=0,85. 'bu

Nb = 7,30 MN > 4,93 MN = k . p . Nu =3 b = est la grande dimension du poteau. ,,- ov i.l.

Nb x k . p . Nu

i

c28

bu

3. DIMENSIONNEMENT DANS L'HYPOTHÈSE OÙ b = 70 cm > a

1.2. ACIERS

• '•;••'

Équation donnant a :

> •'•« ^

C-S-Bi

fed=-

Ys

x=-

2. SOLLICITATION À L' ÉTAT-LIMITE ULTIME N u = 1,35 . N 0 + 1,5 . NQ

Nu = 1,35 . 2 355 + 1,5 . 534 Nu = 3 980,25 kN = 3,98 MN

B. ^°' M ' 9 L= 0.2248. P 435 -0,85 Tôo 0,9

"!+"'85^ soit avec : Br = (a - 0,02)(b - 0,02) m2 :

3. COFFRAGE 3.1. DIMENSION IMPOSÉE Épaisseur de la poutre du plancher

a

=b^Ô2

+0

'°

0,2248 . p + 0,02 = 0,33 . P + 0,02 ' 0,70 - 0,02

2

b = 0,70 m L,V

3.2. INTRODUCTION Si l'on adoptait un poteau carré de 0,70 m de côté, la charge qu'il pourrait supporter, sans armatures, serait :

En partant de A = 35, nous avons a =

a (m)

0,56 0,415 0,468 0,443 0,453 0,449

Longueur de flambement : en supposant le poteau plus raide que les poutres du plancher : k=lo Élancement :

l{= 11,00 -5,40 = 5,60 m

À=-

A-

560/12 7Q -27,7

Coefficient P : A<50=>p=l+0,2

Retenu :

H..*«(^)°-M

i^-

'f'f d'où le tableau de calcul par approxima= -rp-,

lions successives (mais voir remarque ci-après) :

N b = a68^ = 7,,OMN

section | carrée J

^

.

-î

5,60 /Ï2" a = 0,33 . p + 0,02 P=l+0,2 ,35j a 0,415 ,196 34,64 0,468 ,357 46,75 0,443 ,281 41,45 0,453 ,313 43,79 0,449 ,299 42,82 0,451 ,305 43,20

Remarque : le dimensionnement que nous venons d'effectuer repose sur la formule du § « des rappels de cours établie pour un pourcentage d'armatures A/Br = 1 %. En adoptant u pourcentage d'armatures plus faible, on aboutit à une section de béton plus grande t meilleure solution est celle conduisant au coût minimal de l'élément.

4. ARMATURES LONGITUDINALES

4 3.

SECTIONS EXTRÊMES H

Î

= 3 980,25 kN = 44,65 kN

4 cm / m de périmètre

. 2 (0,70 + 0,45) = 9,2 cm

022 — °' 100

A

-S-100

A

^ A < Am

4.1. EFFORT NORMAL ULTIME Charges sur plancher niveau 11,00 m : Poids propre poteau : 1,35(25 kN/m3. 0,70 . 0,45 . 4,20)

,,.

2

A max =

100

= 157,5 cm

Arain = 9,20 cm2 < A = 30,71 cm2 < An = 157,5 cm2

4.4. RETENU

4 . 4,91 = 19,64 cm2

Nu = 4 024,90 kN • Nu = 4,02 MN

4 . 3,14 =12,56cm 2 30,7 I c m 2 < A = 32,20 cm*

4.2. SECTION RÉSISTANTE Élancement : section

\ ltfÎ2 !=>A, = rectangulaire | a

A, =

560 /Ï2~ r^—=43,11 45

5. ARMATURES TRANSVERSALES 5.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

Coefficient (3 :

= 1+0,2

35

P= 1+0,2

43,11 35

= 1,303=1,30

K > 35 => on ne prend en compte que les aciers longitudinaux augmentant le plus efficacement la rigidité dans le plan de flambement, donc toutes les armatures puisqu'il n'y a pas de barres intermédiaires sur les petits côtés :

Le béton équilibre :

NK = -^ 0,9

g

(0,70 - 0,02) (0,45 - 0,02). 14,2 0,9

•

'

a = 4 5 cm

c'

• 1°

Nb = 4,613 MN Les aciers équilibrent : k.p.Nu-Nb 0,85

«J

•

•

•

. c L e , b = 7 0 c m > l , 1 .a=50cir

k = 1,10 car plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours. 1,10. 1,30.4,02-4,613 -= 1,336 MN Q85

D'où leur section :

A=

N, 'ed

1,336 4 A = —-— 10 =30,71 cm 2 435

<12mm [40cm c et c < Mm < 1 a+ 10cm

è Y

= 10 mm

< 12 mm t~

cetc'<40cm = Mm

(40cm

•3J

Suivant b pour 3 cm d'enrobage avec 2 <|> 25 + 2 <)> 20 : 70 - 2 . 5,62 5,62 cm = 19,6 cm

V

5,62

>2,5^ t =2,5 0,88

SCHÉMA DE FERRAILLAGE -

KLHVA11UN

-

-f

] -flO cm -f

•-LStî^

f

'\

• c- 19 cm < 40 cm

Ljn~"2~--2~J-2~'

I

Suivant a pour 3 cm d'enrobage avec 2 25 :

X

5,62 cm => c' = 45 - 2 . 5,62 = 33,8 cm c' = 33 cm < 40 cm

3.1,0 3 cm

2 cadres <^10 HA tous les 30 cm

^

2 25 HA 2 . 2 ^ 2 0 HÀ

5.2. ESPACEMENT EN ZONE COURANTE

15. è, , si A > A . T /mm

.-JS*

^'

[3,0-0,5-1,25]^-

2 ^ > 2 5 HA

| 15 . 2 = 30 cm s t < Min / 4 0 c m 145 + 10 = 55 cm

st
5,60 m •*

4,5 ' r13

3 . 2 cadres 10 HA

22

4 *

5.3. ZONES DE RECOUVREMENT

22 ~--s Su^" ls- -i

Longueurs de recouvrement :

aciers

^

comprimés

<|> 25 HA: /s = 44.2,5= 110cm < l > 2 0 H A : / s = 4 4 . 2 , 0 = 88cm

•*

"1

~~^..

4,5 ' 10 cm 1

/

j 1

1

1

0 25 HA : /r = 0,6 . 110 = 66 cm (|)20HA: / r = 0,6. 88 = 53 cm

=> / r = 0,6 . / s

66 cm

53 cm

2 . 2 £ 20 HA

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section

barres HA Fe E 500 => /s = 44 <|>

'

t f\

cadre ()) 10 HA s t =30cm

'^A.

F

COUPE TRANSVERSALE 4
Nappés sur recouvrements :

HA

recouvrement des <|> 20 : 3(2cadres<)>10HA):s' t = soit :

: o

s, en zone courante

r

> 3 nappes => recouvrement des <|> 25 : I sur l r -4^i 4 ( 25) > /r (<)) 20) => On conserve le même espaj cément que pour les <|) 20 : soit : s' t =22cm

V V

' ' = 22,5 cm

d

V

V c1

Ç3

a=45cm 2 cadres 10 HÀ

»

p

O,

b=70cm

•

CHAPITRE 6

FLEXION SIMPLE

I. RAPPELS DE COURS 1. INTRODUCTION Une poutre à plan moyen est sollicitée en FLEXION PLANE SIMPLE lorsque l'ensemble des forces ou couples appliqués à gauche d'une section droite S est réductible, au centre de gravité G de E, à : - un couple M d'axe perpendiculaire au plan moyen (ou MOMENT FLÉCHISSANT), - une force V située dans le plan de I, et dans le plan moyen (ou EFFORT TRANCHANT).

•V

(£) Les effets du moment fléchissant M et ceux de l'effort tranchant V sont étudiés séparément. Le présent chapitre est consacré à l'étude des effets du moment fléchissant M. Pour l'étude de l'effort tranchant V, se reporter au chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ». 2

- SECTION RECTANGULAIRE - FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE

2

-l- SECTION SANS ACIERS COMPRIMÉS

*•!•!. Dimensionnement à l'E.L.U. On démontre que lorsque le pivot est A ou B (cf. paragraphes 3.3.3 et 4.3. chapitre 2 « BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), le diagramme de contraintes parabole-rectangle est équipent à un diagramme de contraintes rectangulaire :

- de hauteur 0,8.yu, - de largeur f bu .

En pratique, à condition que (ibu soit au plus égal à la valeur limite (ilu définie au paragraphe 2.1.3. ci-après, on peut retenir : bu

f

--ad

H'iMy, O.Sy

avec : z b = d [l - 0,6. jij si ^ < 0,275 (cf. § 2.3.1.) ou sinon. déformations

diagrammes contraintes parabole ^ rectan _ rectangle^ gulaire

Équations d'équilibre : Fbc = 0,8.b0.yu.fbu z b =(d-0,4.y u ) Mu = Fbc.zb =* Mu = 0,8.b0.yu.fbu(d - 0,4.yu)

forces

21.2. Dimensionnement à FE.L.S. par compression du béton Hypothèses :

-, .

M.

on obtient :

bu

Yu

et OL--T

=0,8.a(l-0,4.a) et Au =

Mu J-*u,, ~~

-i

bc

1

et par résolution de cette équation du deuxième degré en a : a =1,25 ( 1 - ^ / 1 - 2 . ^ ' Méthode de calcul :

N d

n = 15

"ser

Déformations

_y^ Ct OC —,

ot=l,25 1 - . / 1 - 2 . U ,

A

b £ bc = a bc

V,

M,,

, -^

La distribution des contraintes dans la zone comprimée est triangulaire. La contrainte maximale de compression du béton est limitée à : I

E

En posant :

;

Contraintes 0=E

S

b-

Forces

s

Équations d'équilibre :

F b c = - . b 0 . yi .o bc 2

a < 0,259 => Pivot A =* es = 10/1 000 a > 0,259 => Pivot B => ebc = 3,5/1 000 1-a =^ £ s- e bc--^-

M s e r = F b c - Zbl = - •

- CTbc d- —

3

Connaissant Mser, on pourrait tirer y, de cette équation, ce qui permettrait de calculer : d(l-0,4.a) => A u =

O s = 15 .
d-yi

yi

puis

Aser =

Ainsi, lorsque iibu < |^,u, on est assuré que :

Mser

1) la contrainte limite de compression du béton en service (0,6 fc28) n'est pas atteinte,

Mais en pratique, la considération du « moment limite ultime » rend inutile le calcul de Aser, comme on va le voir ci-après.

La valeur numérique du moment réduit limite (i/u = M7u/b0.d2 f bu dépend des paramètres f e , - et 0y et ne résulte pas d'un calcul simple. Il existe des tables donnant les valeurs pré0 cises de n,/u. On dispose également de formules approchées (cf. paragraphe 2.3.2.).

2.1.3. Notion de moment limite En principe, il faudrait retenir :

2) la contrainte des aciers tendus est égale à la résistance de calcul (fed).

A

TABLEAU DES MOMENTS REDUITS l

Mais, en pratique, les calculs montrent que l'on a Au > Aser tant que le moment agissant ultime reste inférieur à une certaine limite Mlu (soit (ilu en valeur réduite), obtenue pour Au = Aser et qui dépend de :

•=^fc28(MPa) ^^"^-^. Béton Aciers ^-*. ' Fe E 215

Mser - 0 = facteur de durée d'application des charges. La valeur numérique de n;u est elle-même bornée à la valeur [isl pour laquelle l'allongement de l'acier tendu atteint (dans le cas du diagramme bilinéaire de l'acier visé par les Règles BAEL) esl - fed/Es, car pour es < esl, on aurait os < fed et l'acier tendu serait mal utilisé à l'E.L.U. Pour obtenir cette borne, il suffit de calculer : \isl = 0,8as/ ( 1 - 0,4as,), avec :

EV • hc 'bc

3,5 /1 000 3,571000+ f e d /E

Fe E 400

re t bUU TS 500

6

0,85

0,90

1,00

y

20

25

30

20

25

30

20

25

30

1,35 1,40 1,45 1,50

2763 2909 3057 3207

2960 3110 3262 3416

3106 3259 3413 3569

2940 3097 3256 3417

3149 3311 3474 3640

3304 3468 3634 3802

3303 3483 3666 3854

3538 3723 3912 4106

3710 3899 4091 4288

1,35 1,40 1,45 1,50

2139 2265 2393 2523

2372 2506 2643 2782

2557 2697 2839 2984

2275 2410 2548 2688

2524 2668 2815 2964

2721 2554 2871 2708 3024 2865 3180 3025

2835 2999 3168 3340

3056 3229 3404 3584

1,35 1,40 1,45 1,50

1903 2019 2138 2258

2139 2265 2393 2523

2330 2463 2598 2735

2024 2148 2275 2404

2275 2410 2548 2688

2479 2621 2767 2914

2554 2708 2865 3025

2784 2947 3113 3283

2270 2412 2556 2704

TABLEAU DES MOMENTS REDUITS 10

\fc28(MPa) ^^^Béton Aciers ^^^^

0,259.d

Fe E 215

10 X. Fe E 400

ce qui conduit aux valeurs suivantes :

ACIERS

<*sl

Fe E 215

0,789

0,85

6

y

40

50

60

40

50

1,35 1,40 1,45 1,50

3307 3462 3619 3777

3439 3595 3752 3910

3531 3687 3844 4002

3517 3683 3851 4021

3655 3822 3991 4161

1,35 1.40 1,45 1,50

2829 2977 3126 3277

3020 3171 3324 3479

3160 3010 3213 3361 3382 3608 3774 3313 3169 3375 3526 3564 3795 3469 3329 3539 3692 3749 l!ii 3625 3492 3706 3861 1111

1,35 1,40 1,45 1,50

2620 2762 2906 3053

2829 2977 3125 3277

2986 3137 3289 3444

^sl 0,4321

Fe E 500 TL 500

Fe E 400

0,668

0,3916

Fe E 500

0,617

0,3717

1,00

0,90

Les valeurs grisées correspondent à (j,/u = iis/.

2788 2940 3095 3253

3010 3169 3329 3492

60

40

50

60

3752 3946 4098 4204 3919 4137 4290 4087 4258

jjijiii nenaiii mm

3134 3339 3503 3669

3132 3382 3569 3307 3564 3485 1 111 •;•••>• :;:[*!*;;H!h

iiinii Illl

2.1.4. Conclusion

. 2.1. Hypothèses

Si |ibu < H/u on a A = Au calculé à l'état-limite ultime comme indiqué au paragraphe 2.1.] avec : as = fed, le calcul de es étant alors inutile.

.. î . ••; • •

VMI- "fwu::*

La section est considérée comme résultant de la superposition de deux sections fictives ® et © : d'=5'.d

- ou changer les dimensions de la section, - ou bien augmenter la résistance du béton lorsque c'est possible, - ou enfin prévoir des aciers comprimés calculés suivant les indications du paragraphe 2.2 ci-après.

À'

d-d1

d À

On peut retenir en première approximation, pour fc28 = 25 MPa, et en remarquant que

, bo

pour f c28 et y donnés |J,,U est sensiblement proportionnel à 0 :

• ' S 1 .'

Fe E 400 ^ 0 , 3 0 . 0 Fe E 500 ^ = 0 , 2 7 5 . 0

Section(2)

Section

et, quel que soit y = Mu/Mser :

10.'

A'.cf scu (d-d') à OU 5, ! À 2 .cr su (d-d')

*u

= 0,186=0,8.Q,259.(l-0,4.0,259)
2.2. SECTION AVEC ACIERS COMPRIMÉS

1) Lorsqu'à l'E.L.U., Mu = M /u (et donc, à l'E.L.S. Mser = M /ser = —-), la section

Des aciers comprimés ne sont strictement requis que, lorsqu'à l'E.L.U., M u > M lu (ou, M (u M. àl'E.L.S. M s e r >M ; s e r = avec y= M~

A! d'acier tendu nécessaire à l'équilibre de la section (D peut, indifféremment, être calculée par l'une ou l'autre des deux formules :

Mais il peut exister, dans la zone comprimée sous l'effet du moment agissant, des aciers capables de jouer le rôle d'aciers comprimés : par exemple sur un appui de poutre continue, des aciers inférieurs équilibrant des moments positifs en travée, mais prolongés jusqu'aux appuis. Aciers supérieurs tendus : À

A

[1]

' = Ï^T W • ed 1

ou

A,=Z

-COUPE BB-

Mfser

[2]

l/- a s,ser

A

avec : >•> -..'•

z b/ =d [1-0,4 a,] et

a, = 1,25 [1-

1-a,

a

Aciers inférieurs comprimés : À '

Z, ; =d

,1- u

^"

Ct

°s,ser =

15

°bc

a,

a u pouvant être lui-même obtenu par résolution de l'équation du second degré : II faut dans ce cas, prendre garde que si la profondeur d'ancrage disponible pour ces aciers, /a, est inférieure à leur longueur d'ancrage, soit 0,6 /s, la section à introduire dans les calculs doit être réduite dans le rapport /a/0,6 ls (cf. remarque du § 3.4., chapitre « ASSOCIATION ACIER-BÉTON »).

a,

1-

M / scr

^u

En identifiant [1] et [2], on voit immédiatement que :

Quels que soient fe, fc28 et 67, on a toujours oscu = fed lorsque S' < 0,10, ce qui est généraleme nt le cas.

Wl,{\ HT!-... ' V

[3]

2) Lorsqu'à l'E.L.U., Mu > M/u (et donc, à l'E.L.S. M ser >M, ser =

h\ Dimensionnement à VE.L.S. Compte tenu de la remarque 2 au § 2.2.1, la section A'ser nécessaire doit être telle que :

M/ u ,

), et que la section

A'ser • Osc,ser (d -

d>

> = Mser ~ M;Ser

[5]

d'aciers comprimés n'est pas imposée, la section rectangulaire ®, sans aciers comprimés, ne peut équilibrer au plus que M;U (ou, ce qui revient au même, au plus que M;S ) et la section A[ d'aciers tendus nécessaire à son équilibre est donnée soit par la relation [1], soit par la relation [2].

avec CJ scser contrainte des aciers comprimés à l'E.L.S., déterminée par le diagramme « figé » des contraintes :

La section d'aciers comprimés est déterminée pour équilibrer l'excédent de moment, et donc soit Mu - M,u, soit Mser - M/ser.

1« — a~=15*Jbc

^

u (X

an

3

bc

sc,ser n

1.'

Comme pour la section © la situation est « figée », puisque : - à l'E.L.U., a, constant et ebc = 3,5/1 000 conduisent à un diagramme de déformations invariable, - à l'E.L.S., et]/ constant et la contrainte maximale du béton plafonnée à abc = 0,6 . fc28

Pour oci;, voir remarque 1 au § 2.2.1. c) Conclusion Finalement, la section d'aciers comprimés à retenir est :

conduisent à un diagramme des contraintes invariable, dans un cas comme dans l'autre, la contrainte des aciers comprimés est invariable, et la section A ' nécessaire pour ces aciers est donc proportionnelle à Mu - M/u (ou, ce qui est équivalent, à Mser - M;ser). Il en est de même pour la section A2 d'aciers tendus qui lui fait équilibre dans la section fictive @.

I A' A' = Max < u A

en posant o

a) Dimensionnement à l'E.L.U.

= Min <

a Ya sc,ser ' HT. sp.r

f.

» Min / ' , on évite le double calcul de A'u et A'ser et 1^ Y'' - o sc,ser s

il ne subsiste plus qu'une valeur unique :

Compte tenu de la remarque 2 ci-avant, la section A'u nécessaire doit être telle que : A;,.a s c u (d-d') = M u -M ; u

M

[4]

A

avec oscu contrainte des aciers comprimés à l'E.L.U., déterminée par le diagramme de calcul des aciers, à partir de leur raccourcissement escu :

, s ,_ Œ

~ d

u- M /u

~ ( d -d')a sce

La valeur approchée donnée en 2.3.3. pour asce évite tout calcul fastidieux de aH puis de

r^

ï-«W

et,

•2.3. Calcul des aciers tendus a

' Cas où la section A ' des aciers comprimés n 'est pas imposée

Pour a,, voir remarque 1 au § 2.2.1.

[6]

que l'on peut retenir comme valeur strictement requise.

6'

3,5 1000

set

ser

En multipliant haut et bas le second terme de la dernière expression par le coefficient y et

On ignore a priori si la section cherchée résulte d'un calcul à l'E.L.U. ou d'un calcul à TE.L.S.

"

(d-d')o scu (d-d')a sC]Ser

2.2.2. Calcul des aciers comprimés dans le cas où ceux-ci ne sont pas imposés

e sc =

= Max

La section A' strictement nécessaire est déterminée par la relation [6].

L'équilibre des forces de la section (D exige de prévoir une section d'aciers tendus A2 telle que :

aboutit à la valeur unique : A

- à l'E.L.U. : A2 . fed = A'u . Oscu

Z

-l-o., - à FE.L.S. : A 2 . as,ser = A'ser. a^ avec : osser = 15 obc (pour au, voir remarque a, au §2.2.1.). La section d'aciers tendus à retenir, A = Aj + A2, est donc égale à la plus grande des deux sections Au et Aser déduites des équations d'équilibre des forces :

??*-.: V:.

la ., A« n .f ef r i = — +A ' ascu z w

i

M,u

_

A c _ r .a

=

M,,/ser

, .

j. A '

CT sce

[7]

ase

b/-fed

La valeur approchée donnée en 2.3.4. pour ase évite d'avoir à calculer y • as „„. Remarques : 1) L'anomalie consistant à avoir des contraintes différentes (fed et ose) aux dénominateurs des deux termes donnant A n'est qu'apparente : l'expression [7] a bien été obtenue à partir des équations d'équilibre des forces. 2) Compte tenu de la relation [3] ci-avant, on peut écrire : 1

+ A' .o

soit respectivement : Pour des aciers Fe E 500, le rapport — peut varier, selon les valeurs de Y. 0,çJ,4Ç ^«2» ^ i i

Au =

.

ser =

/ ser

^~ s,ser 11

.,

+A

-^~ s,ser

I/u

M, u Mu-M/u ^+ (d-d')f ed M

ser-M / s e r

Y-O sc , ser

'

J

• .=

'•'

, ? - ,rfAjr J', tCÏBi

M/u

Mu-M;u

fed ' (d-d')ascse scse / y-o sser sser

z b; .f ed ' (d-d')y.o s

-G

sc,ser

D'où, en posant :

b/ •

b) Cas où la section des aciers comprimés est imposée Soit Aî.ée) cette section. La section A' à introduire dans les calculs n'est pas nécessairement égale à A'réel. Il faut en effet s'assurer tout d'abord que la longueur d'ancrage /a des aciers comprimés, de part et d'autre de la section droite où agit le moment Mu est au moins égale à 0,6 . Zs (cf. note au début du § 2.2.), c'est-à-dire prendre : A' = Min

AL ,

i* •4* ••J !

ed

peut néanmoins être retenue pour une estimation rapide de la section d'aciers tendus.

Compte tenu de [4] et [5], les deux derniers termes des deux relations donnant Au et Aser permettent d'écrire :

zbl • Jfed

'

a

Y' - 0s

L

''"

Il en résulte que l'on commet une approximation en général par léger défaut sur le terme a M /u A' en prenant dans tous les cas ase = fed, mais que la valeur A = + A'

sc,ser

Compte tenu de [1] et [2], les deux premiers termes des deux relations donnant Au et Aser étant identiques : oscu A,,= ^+ A

u

. * -

(entre 25 et 35 MPa) de 1,02 à 0,95.

^- + A' u y^

réd

O,6./s

:

avec les conditions supplémentaires : " A' > —-——

.

,

, j

" ,.

sinon, on se trouve ramené au cas a) où la section des aciers compri-

mes n'est pas imposée, 0,4 . M u * A' < à l'E.L.U., sinon, il faut modifier le coffrage (bQ et/ou d). On procède alors de la façon suivante : ~ on calcule : M ul = Mu - A' . osce (d - d'),

la section d'aciers tendus A] qui doit équilibrer M ul est déterminée en calculant :

2 3.2. Moment réduit limite u/u

M.,i i l

;

En supposant que pour les valeurs courantes de fc2g, la variation de (i/u est linéaire relativement aux trois quantités : —, f e et 9y, on pose : 9

puis z b = d f 1 - 0,6 . ji J si |ibu < 0,275 (cf. § 2.3.1.) ou ° l z b = d[l-0,4.o| et enfin : A

_

ul

' - ^,

Sltl0]

On obtient pour Fe E 500 : fc28 = 25 MPa '

asce

A . 1,5 + B . 25 + C . 500 = 0,3025

9=1

A' f 1i t\ Z b ' fed °se

Y-1,5

c) Cas des sections à armatures symétriques Voir annexe 1 en fin d'ouvrage et diagrammes d'interaction du § 5 au chapitre « FLEXION COMPOSÉE ».

A . 1,45 + B . 25 + C . 500 = 0,2865

9 =1

2.3. FORMULES APPROCHÉES POUR L'E.L.U.

f

c28 =

l

m,u=H/ u .•

- 74'-'

• ' •<«" .»

.30:1 .u»t

,•. ?. &>!

• -! <:Hl/I

:.i;;V',i!'-.n

30 MPa

A. 1,5 + B . 3 0 + C . 500 = 0,3283

9=1

2.3.1. Bras de levier zb à l'E.L.U. La courbe z,/d = f(u.bu) est peu concave et sa concavité est tournée vers le bas. On peut la remplacer par une corde, ce qui va dans le sens de la sécurité. Cette corde peut être définie par deux points : zb = d quand |ibu=0,

, ' &«••-

y = 1,45

y=l,5 système linéaire admettant pour solution : A = 0,3220 B = 0,0051 C = -0,000613 d'où une formule approchée pour Fe E 500 et fc28 < 30 MPa : C.500 = - 6,13.10 ~4.500 = - 0,3065 10 4 fi lu = 3 2 2 0 . & y +5ll^--3100

'$••

(MPa)

Pour Fe E 400 et fc28 < 30 MPa un calcul du même type conduit à : -LU

En adoptant u,,u ~ 0,275 qui correspond sensiblement à f e = 500 MPa, fc28 = 25 MPa, 6 = 1 et y » 1,4, on trouve : zw=0,835d d'où l'équation de la droite cherchée : z, d

'

= 3440.^

8 (MPa)

-3 050

Si f

c28 > 30 MPa, il faut utiliser les valeurs tirées du tableau du paragraphe 2.1.3. Qtt,^»

formule approchée ci-après car la variation de \Lla n'est plus linéaire en 9y et M-,... = l-0,6ji. 0,275

Par conséquent on peut adopter comme valeur approchée par léger défaut :

9

V28

9

f, *c28

En remarquant que le rapport - - varie de façon sensiblement linéaire en fonction de . , ^/u

on peut établir une formule approchée pour |0.,u dont le domaine de validité vis-à-vis de fc28 e st plus étendu que celui des formules précédentes et qui est de la forme :

= ac

On en déduit pour 0 = 1 :

*c28

+

e

b =>

''

oc,

On obtient ainsi la formule approchée suivante, valable pour les aciers Fe E 500 et quel qUe soit fc28 < 60 MPa : *e28

avec pour valeur de la constante A : A = a.f c28 +p En adoptant une valeur moyenne de A pour y compris entre 1,35 et 1,50, on trouve dans le cas des aciers Fe E 500 : 9 Y f - pour fc28 = 25 MPa : — = 740 a,

150-75. 0.7+1,75 (2,5-0.7)-ir y 2.3.3. Contrainte équivalente des aciers comprimés à l'ELU Dans les cas courants (aciers Fe E 400 ou Fe E 500) la quantité 9.7.fc28/a, est sensiblement constante pour fc28 donné : Fe3 E 400

9-yi c28 0!

f

1

7=1,35 1,40 6= 0 . 85 1,45 1,50 écart (%)

0=0,90

30

6 5 8 , 2 9 719,82 667,29 730,73 675,84 6 8 4 , 2 4 ï?mmï

35

lisiii wmï&zï

4,3

y=i 35

6 5 4 31

1,40 1,45 !.. 50

662,80 670,92

715,31 725,79

678.96

4,8

WMM

wmm msmm ï&pip^&p;;; m$$M& !;;$ij?;iiijÊ;;j

25

30

745,52 754,18 762,75 771,23

807,33 817,92 828,37 838,64

868,96 881,58 893,97 905,73

3,4

3,8

4,2

741,56 749,78 757,64 765,49

802,61 812,92 822,41 832,19

863,80 875,85 887,37 898,74

4,6

3,2

3,7

4,0

645,68

705,69

m&Mï

1,40

653,39

714,68

732,52 739,78

792,23 801,16

852,27 862,77

1,45

6 6 0 , 3 6 i;i;?;?;?;>ii?ii; 667,12 &?!$$£

• • ••lii:

7 4 6 . . 87

809,85

872,95

753,76

817,96

882,49

4,0

2,9

3,2

3,5

7=1,35

1,50

écart ( X )

3,3

3,6

mmm

= 870

a . 25 + p = 740 a . 35 + P = 870

35

4,2

3,8

«1

ce qui conduit à :

Fe E 500

mmm mmm M$M£

3 .. 9

écart (y,)

9=1,00

c28=25

- pour fc28 = 35 MPa :

Dans ce tableau : - l'écart est mesuré entre les valeurs extrêmes pour fc28 et 0 donnés lorsque 7 varie ; - les cases grisées correspondent à 7 asc > fed.

système linéaire admettant pour solution :

a =13 p = 415 Le facteur correcteur à appliquer à 9.y.fc28/a1 pour tenir compte de la durée d'application des charges peut être pris égal à : k=l,02 si 0 = 0,9 k=l,04 si 9 = 0,85

d'où : 9 . 7 . f c 2 8 - ô ' ( 1 3 . f c 28

pour Fe E 500

avec : l,00sie=l = { 1,02 si 0 = 0,9

1,04 si 0 = 0,85

'9.7.f c 2 8 -0,9ô'(13.f c 2 8 +415)K

pour Fe E 400

avec : r

l,00si0=l

SECTION RECTANGULAIRE - FISSURATION PRÉJUDICIABLE 0U TRÈS PRÉJUDICIABLE

1,02 si 0 = 0,9 1,04 si 0 = 0,85

3.1. ÉTATS-LIMITES D'OUVERTURE DES FISSURES

3

En plus de la limite imposée à la contrainte maximale du béton comprimé, on limite la contrainte de traction des aciers à l'E.L.S. aux valeurs suivantes :

2.3.4. Contrainte équivalente des aciers tendus A2

:

• Nous avons établi au § 2.3.3. que, pour des aciers Fe E 500 et fc28 < 35 MPa :

ronds lisses : o^=— tf * Fissuration préjudiciable :

a

CO,5.£ F

| = 9. Y .f c 2 8 -ô'[13.fc28 c

ed

'ï?.£ t j (HPa)

.2,

ronds lisses

En posant k = — il vient a.

* Fissuration très préjudiciable : barres HA :

13.f c 2 8 +415 sce

g y

(MPa)

c

I

• I • c28

Comme 3.2. NOTION DE MOMENT RÉSISTANT BÉTON : Mrb ' s,ser =

9 . Y . f cr 28 a,

nous pouvons retenir : 13.f c28 + 415 1

c28

9 . Y - f c28

'bc

K-l

.A.Njil

soit : f(13.f c 2 8 +415)K-9.y.f c ;

r

avec :

l,00si0=l

= <( 1,02 si 0 = 0,9 11,04 si 0 = 0,85

De la même manière, pour les aciers Fe E 400 et fc28 < 35 MPa, on peut établir que 0,9(13.fc28 + 415)K-9. Y .f cc28

Déformations

avec :

MOMENT RÉSISTANT BÉTON =jnoment pour lequel on atteint l'état-limite de service

riable et égale à sa valeur à l'état-limite d'ouverture des fissures : as On a donc pour n = 15 : a, = d, =

'bc

15.a.bc +as

K = { 1,02 si 6 = 0,9 , 1,04 si 0 = 0,85

Efforts

par compression du béton (abc = abc ) lorsque la contrainte de l'acier tendu os est inva-

15. '1,00 si 0 = 1

Contraintes

=

. b o. yi - obc

La représentation graphique de zb/d = f(|0,s) est la suivante :

d' \ \ 0,95 \ \ \ \ \ \ 0,89 \ \ \

M rb = F bc . z b = -= . b0 . yi . a bc . d • D'où le moment résistant béton réduit :

M,

0,85

!

\

0,83

i Les équations pour le calcul des armatures tendues sont :

^^^^

Pour une estimation rapide de Aser, à défaut d'une évaluation plus précise (cf. organigramme du § 8.3.), on peut utiliser une valeur approchée par défaut de zb qui conduit à une section Aser par excès (pouvant atteindre, dans les limites du graphique ci-dessus, 10 % en moyenne) :

(relation dans les triangles semblables)

15

-°*

15 .a.bc +os On en déduit : M

1

ser

"ser ^•^

3.3.2. Cas où Mser > Mrb

=-!.

"30

ser

0 , 0 0 1 0 , 0 0 5 0 , 0 1 0 0,015 0 , 0 2 0 0,025 »"«'b0~d2B£

avec :

1-a

^\

\

'bc

a

V

0,81 0,80

On a a bc < a bc avec a s = a s d'où A' = 0.

.-. -! • :uQ

\

3.3. CALCUL DES ARMATURES 3.3.1. Cas où Mser < Mrb

£-, rH'i'<.'!j\?, (4

\

1 - OC; -i

"

b0d2as

Onao b c > a^ d'où i l faut d e s aciers comprimés A'.

a,2(l-ai/3) 30 1-cc,

• ' . . • ' <

On décompose la section réelle en deux sections fictives (voir paragraphe 2.2.1.) : - une section fictive ©, de largeur b0, sans aciers comprimés, - une section fictive ©, sans béton, munie de la section A' d'aciers comprimés.

• et] par résolution de cette équation du troisième degré en OC[ a

) Section A ' d'aciers comprimés La section fictive © équilibrant Mrb, on a :

15. ÔT. oc,1 =

15.07+0^ bc s

4. COFFRAGE DES SECTIONS RECTANGULAIRES

a. -5' a sc = 15.07.bc „

Indépendamment d'autres conditions (relatives à la contrainte tangente, à la flèche, etc.), il est obtenu en se fixant comme condition de ne pas avoir d'aciers comprimés.

a.

J

bc

n=15

4.1. FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE 1-, b

Mser- Mrb

A'=-

MU

H^ JL s

0 .d

*lu' f bu

dans la section ® avec A'

( d - d ' ) . a se

4.2. FISSURATION PRÉJUDICIABLE OU TRÈS PRÉJUDICIABLE b) Section Aser d'aciers tendus

M

f U

Dans la section fictive © sans aciers comprimés : 2

Aj =

lu

bg.d .> Max< S

M z

' j*; '.?« mo'i

•

*_ avec z b = d 1, - — b-as

' bu ser

M

••', ••••••.•ii!j';.'j !M)q

, ;

.

''rb.V

Dans la section fictive @ avec aciers comprimés : 4.3. REMARQUE

0

A' . ^=r * A =A

Pour déterminer la seconde inconnue du problème, une règle de bonne construction consiste à prendre : _

D'où au total : -LU

ser d.(l_

• ::, ,; , :ï.i.,a •'' ••.);••. i'if.'u/;; •••;/ ,.'àui » . ^ »,' 5r *s/ï ***** ^

, i

Q,3.d<.b0<.0,5.d

*^ ^^

+A ^5?

±j

5. SECTIONS EN T 5.1. LARGEUR DE TABLE À PRENDRE EN COMPTE

3.4. CONCLUSION En cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable, Aser étant la section calculée au § 3.3. la section des armatures longitudinales tendues est obtenue comme suit : fissuration préjudiciable : [FeESOO : A = A ser {Fe E 400 : A = Max[A „ A ser] \C> > 6 mm dans tous les cas fissuration très préjudiciable : IA = A ser quel que soit f e \ > 8 mm

II faut considérer : I I I I

I I

ii i r h/io

r~__Arc_tg_ 2 / 3 .

_

I I

lt

De plus, on ne doit pas attribuer la même zone de table à deux nervures parallèles differentes. D'où en travée :

p'où

&

b b °= M ' < —~ =— Min

)

U

5 2.2. Calcul des armatures pour une section soumise à un moment positif

f T

a)CasoùMu
• „*; La zone comprimée a une forme rectangulaire de largeur b. ; Mous sommes donc ramenés au calcul d'une section rectangulaire de largeur b (et non plus b0). Le calcul des armatures s'effectue donc par la méthode exposée au paragraphe 2.1.1. à

lt - entre nus des nervures de poutres, /; = portée de la travée considérée. 5.2. DIMENSIONNEMENT À L'E.L.U. Pour les aciers Fe E 500, le dimensionnement est fait à l'E.L.U. lorsque la fissuration est peu préjudiciable. Dans le cas d'une section soumise à un moment positif, comme la table est le plus souvent surabondante vis-à-vis de la compression, on n'a généralement nul besoin d'aciers comprimés. Nous ne nous intéresserons donc qu'aux sections en T sans aciers comprimés. 5.2.1. Moment de référence Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T.

partir de : Vto = -

b) Cas où Mu > Mfu II ne faudrait pas conclure qu'il faut des aciers comprimés. Cela signifie seulement que la zone comprimée a une forme de T : non seulement la table est comprimée sur toute sa hauteur, mais une partie de la nervure l'est également. On opère par décomposition de la section réelle en deux sections fictives : * f

Il ne doit pas être confondu avec le moment limite ultime défini en 2.1.3. page 116. Il n'a évidemment aucune signification pour une section en T soumise à un moment négatif, puisqu'alors la largeur de la zone comprimée est égale à la largeur b0 de la nervure. Dans ce dernier cas, la notion de moment limite ultime reprend tout son sens.

f

L

»x

bu M

d

llf r*

-

u

Section fictive ® :

M

ul+

Fbc2 - (b - b0).h0.fbu = A2.fed Zb2=d-

ho 2

Section

Contraintes

Efforts

Moment équilibré par la seule table soumise sur toute sa hauteur à la contrainte uniforme fbu: Fbc = b.h0.fbu

MTu = Fbc.zb

M u2 = Fcb2 . Zb2 = (b - b0) . h0 d Section fictive © : t b-b IU,=MU-MU2=MU-MTU.-V

- . f bu = MTu .

b-b0

M ul

,2

f

0 • ° • rbu

> a=1,25. (1-71-2. ^ bu ; >zbl=d(l-0,4.
ou formule approchée pour z b l si [Lba < 0,275 (cf. paragraphe 2.3.1.)

A,= Z

bl • fed

Total :

e 3.1. Moment de référence Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T. Il ne doit pas être confondu avec le moment résistant béton défini en 3.2. page 129. Il n'a évidemment aucune signification pour une section en T soumise à un moment négatif, puisqu'alors la largeur de la zone comprimée est égale à la largeur b0 de la nervure. Dans ce dernier cas, la notion de moment résistant béton reprend tout son sens.

b-b

Au=-

À.N.

bl f ed

Pour la section fictive ©, rectangulaire, dans le cas où ^bu > n/u, on serait tenté de prévoir des aciers comprimés afin de ne pas atteindre obc = 0,6 . fc2g sur la fibre de béton la plus comprimée. Mais comme la table de la section réelle est capable d'équilibrer un effort de compression largement supérieur à celui correspondant aux aciers comprimés que l'on disposerait dans la section ©, il est inutile de prévoir de telles armatures.

Moment équilibré par la seule table entièrement comprimée pour atteindre as dans les

M

A'=(d-d')o

et A =

Miser = - • b . tl0 . Obc .

b • fed

oc-ô'

ho

D'où:

o

d

- + A' z

ed

d'

5.3. DIMENSIONNEMENT À L'E.L.S. Le dimensionnement est fait à l'E.L.S. lorsque la fissuration est : - préjudiciable - ou très préjudiciable.

d- "

15 d-ho

l

ed

S

M - ° "Tser 30

a=l,25[l-N/l-2.n,/J z b = d[l-0,4.a] 3,5

as

avec

avec :

=

11

aciers tendus :

En revanche, il y a lieu de mettre des aciers comprimés dans la section fictive © si [iba > |is, pour bien utiliser les aciers tendus à l'E.L.U. (as = fed comme vu au § 2.1.3.). Dans ce cas, les calculs sont conduits avec : • le moment limite Ms/ (au lieu de M,u), • la contrainte ascu (et non osce) pour les aciers comprimés, • la contrainte fed (et non ase) pour les aciers tendus, d'où :

h

° ~

bh

2

Cette valeur est environ huit à quinze fois plus faible que MTu. On a donc, le plus souvent : Mser > MTser, même lorsque Mu < MTu.

*ed

si e scu < E— S 3

- -2. Calcul de A s r La zone comprimée a une forme rectangulaire. Considérer la section rectangulaire de la rgeur b. À défaut de la valeur exacte du bras de levier z bl , il convient, pour un calcul a

Pproché, de prendre ici : z.bl, = d - — a

b) Cas où Mser > MTser

Armature équilibrant ce moment sous une contrainte égale à f e :

•••« ;> ; r

• La zone comprimée a une forme de T. Non seulement la table est comprimée sur toute sa ' hauteur, mais une partie de la nervure l'est également. Le calcul exact exige des itérations (équilibre du moment de service à partir d'un diagramme des contraintes défini par O s pOUr

°s h o les aciers tendus et abc compris entre ^ • , _ ,

Mf \ Zb-fe

= 0,9 . d )

_ et obc pour le béton le plus comprimé).

1 ftj . bo . h A = -. 6 0,9 . d . d = 0,9 . h

1

=> A =

ftj . bo. d

6 . 0,9

Pourcentage minimal d'armatures :

Le bras de levier est donné par des expressions approchées :

ou

Àmin

z bl = 0,99. d-0,4. h 0 hn

Plancher des bâtiments,

zbl=0,93.d

Ouvrages d'art.

ftj fe

• •>? * ' >

Attention, cette formule ne s'applique pas aux sections en T, qu'elles soient soumises à des moments positifs ou négatifs, et qu'elles aient été calculées comme des sections rectangulaires de largeur b0 (ou b suivant le signe de moment) ou décomposées en sections fictives.

D'où:

avec :

- n --

Remarque : la vérification A > Amin ne s'impose : - à l'E.L.U. que si jibu < 0,03 - à l'E.L.S. que si m < 0,0018.

fissuration préjudiciable: _> 6mm fissuration très préjudiciable: $2 8mm

6.2. CAS DES SECTIONS EN T 6.2.1. Caractéristiques géométriques et mécaniques d'une section en T, non armée e tn o n fissurée . . » . , .

6. POURCENTAGE MINIMAL D'ARMATURES

1\

y1

L^

La sollicitation provoquant la fissuration du béton (at = f t2 g) de la section supposée non armée et non fissurée doit entraîner dans les aciers tendus de la section réelle une contrainte au plus égale à fe.

«

h

6.1. CAS DES SECTIONS RECTANGULAIRES

.

,f

v

(§TJ-' v

7

Position du centre de gravité :

Contrainte de traction du béton dans la section supposée non armée et non fissurée :

^

~

(b-b 0 ).ho]

v = h-v' Moment d'inertie :

À.N

h_

I = b0 . - + (b - b 0 ). — - [b0 . h + (b - b 0 ). h0] v,2

2

>2

^Mf^^M ^^i I b0 . h2 6

^

h2

if

-2. Section en T soumise à un moment positif ' Sollicitation de fissuration Mf. v c = t ï = f tj =>

È

• Section minimale d'armatures En prenant: zb = 0,9 d = 0,81 h Mf A On a: ^min —

L'équation d'équilibre des forces s'écrit : soit :

Les contraintes as et osc valent : min

0,81. h.v

o = 1 5 . a bc

6.2.3. Section en T soumise à un moment négatif Dans le cas où M < 0, la formule du paragraphe 6.1. ne convient pas, même si, pour les cal. culs en section fissurée, la zone de béton comprimée ayant comme largeur réelle celle de la nervure, la section en T est assimilée à une section rectangulaire de largeur b0. La sollicitation de fissuration est :

M

y

i

ft,

b. 0,97- 0,04 - pour les sections en T.

7. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES À L'E.L.S. 7.1. POSITION DE L'AXE NEUTRE 7.1.1. Section rectangulaire Considérons une section rectangulaire b0.d :

A

:d

Yi

2

^^ +15.A'(y 1 -d')=15.A(d-y 1 )

0,81-n.v'"fe

1°^

d-y,

D'où en éliminant obc, on obtient l'équation :

f= ytiv4

6.2.4. Remarques • Le plus fréquemment, la vérification est faite pour j > 28 jours. Il convient alors de remplacer f t j par ft28 dans les formules précédentes. • Une valeur plus précise de Amjn est obtenue en prenant : zb = 0,95 d = 0,85 h pour les sections rectangulaires

-1

J\

- = 15 . A. a.bc

L

et la section minimale d'armatures est donnée par :

d

'

-

f

r_-_-_-j

y.-d' et o,_= 15 . o bc

Yi L'équation d'équilibre des forces s'écrit alors :

r

rtmin

d-y,

r

bc'

qui traduit l'égalité des moments statiques par rapport à l'axe neutre de la zone comprimée d'une part et des aciers tendus de l'autre ou, si l'on préfère, que l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section homogène réduite. Pour cette raison, l'équation précédente est appelée « ÉQUATION DES MOMENTS STATIQUES ». '.1.2. Section en T Pour une section en T dont l'axe neutre tombe dans la nervure, yl est racine de l'équation des moments statiques avec n = 15 : bn.

Soit une équation du second degré en y, (y 2 - Sy j + P = 0) avec : P = Yi-V' i < 0 => deux racines y, et y' l de signes contraires, f"(Yi) = b0 > 0 => concavité vers les f(yi) > 0. D'où, pour une section en T, on commence Par regarder si elle se comporte ou non comme une section rectangulaire de largeur b (équation des moments statiques de la section rectangulaire avec b0 = b) : f(ho) < 0 => ho < y t et l'axe neutre tombe dans la nervure => comportement en section en T, h0 > y j et l'axe neutre tombe *(no) > 0 dans la table => comportement en section rectangulaire de largeur b.

f(hQ)<0

f(hQ)>0

II

II

y

V l

Section Section en T rectangulaire bd

7.2. CALCUL DES CONTRAINTES "*'

7.2.1. Cas des sections en T avec f(h0) < 0

"i "

1

1

h0 < y, et section en T. L'axe neutre est défini par :

b À

r r'

'

p0UR

LE DIMENSIONNEMENfT DES ARMATURES

g.l. SECTION

jf '/J-

RECTANGULAIRE - DIMENSIONNEMENT À L'E.L.U. 'Sollicitations :

~

bc

±

' '

b

1

À

/

n-15

+ TM ^ub

hn^ 4- n ( A -1Yl \/, UQ) hn UQ+ n\s\ + AA ' )\yi

h-. lu

A J i•+•_nA A > dJ ' = 0 rv —l.~\ bol ^ i .(•. nAd

9 ^

L

Le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre (zone comprimée considérée comme différence de rectangles ayant tous un côté commun avec l'axe neutre) vaut : j . • ,

K-

ser

i\ _ ciscOsc= G ~ n

—

'


lu ^Iu- b 0 d f bu 1

a=1.25[1-\/1-2./tbu]

a Fe E 500 ( 9.ï.fc28-Ô'(13 fc28 ) "=;rp=S ( 9.-y.fc28-0,9.6'(13.fc28+415)K <348 M P a F e E 4 0 0 1 U-M| U (d-dK ce 1 3.=125[1-VTT^" A, _ u

~CTssifissurationpréjudiciable ou très préjudiciable.

M

I ZbpdII-D.4.0.,]

7.2.2. Cas des sections en T avec f(h0) > 0 h0 > y, et section rectangulaire de largeur b. Faire b0 = b dans les formules ci-après

A

0 « Vi

2— + n(A + A ) y i -n(Ad + A'd') =0

\/orifior A > A

c

l(

^^

3 1 00

FeESOO

£c2a

30 50

FeE400

•>

DO Vi

Ii = —=— + nA' (yt -d^ + nAfd-y!) 2

f 3440.0y +49.

h

e

(1)ousif c 2 8 S 30 MPa : t^^^OCV+Sl

lA=jAul

—0 93

f

fw

Dans ce cas les valeurs de y, et de I, sont données par les relations :

b l -°. 6 -/'bul zb=d[1-0.4.o] V ' h M „ u " U "Ved J~~~^ f 3 as de ;£ nn^\ > vérification de SÇbu u.uj^j [A mm

f t -,Q

lA' "sce ^bl ed U W i^ M|u

U

z =d 1

Tjvérifier Arnin

1

7.2.3. Cas des sections rectangulaires 2

Méthode exacte

+415 K 435 MF

OKC = K . y, < Ohr

rr / , ,\ n . K(yi-d') 15 . K ( y i - d ' ) n K(d vi) \ is \Ï(A \

i ..

'

n ^>-jj\ "i ^n 0 ?^> ^ L..

M

M v

-',

~M 8 er

\^J^A'=0 >JA'^0

D'où les contraintes en posant :

^ «,

ea 7S f -(-.-n R4fi nfi f

M ^ ^bu=bh dj ff O' bu l P\u tiré des tableaux du §2.1.3.

2

•^

o| T

;

fc28 f f n n^ b^,., b'

—.'

,_Mu

Vn

A

: ,.-, . ....

' .;••;•' ,

'Matériaux : ^

-

M ser .

d

°

... >

{

5

fi

TION EN T - DIMENSIONNEMENT A L'E. L.U. b y

V

jf

/M.)! i( 'Sollicitations : ; M u. " Mser

8

3. SECTION RECTANGULAIRE - DIMENSIONNEMENT À L'E.L.S. • ",.

d^S'df

• a '--'*, * '

'Sollicitation :

A

'

'Matériaux : 'Matériaux :

-à.

-û-

f

V

f

Q Qr

bU

c28

e

_^ -^b' ed ys '

b

J. o J.

s

15.ÔT" bc

—

bc=3'5%°.

I

f+oQ— ^n izo 0 •6+0 '06 •f c2o'

- _L rti . i

Mu

d2(J

bc

M

'~ ser 1

- 5' h

zb-d-oy

< A'=0 M

\

r

U

Rei-tion \ u Tu^ g ion ^\ ec rectangulaire ^~~^ en T b-u-d "X"

Appliquer l'organigramme du paragraphe 8.1. avec : bn=b M A u ~"

"

z

"'u1 '"u "Tu-^

Méthode exacte

^A

b f ed

u

1

N

u1 zb.f d

b

h

|

ser- M rb (d — d') (7SC

Méthode simplifiée

I Abaque ou ... tableaux

Appliquer l'organigramme du paragraphe 8.1. avec : Mu=Mu1 M

A ser

Mser b?.d^.gs

I

' 40/i,+1 r s

_ io j —

Zbï = d(1-^-) Mrb

«se

f

^~ o' O' bu f , M ser ser~ z^in

^ 0)hQ B=b0.h+(b-b

^ b0.h2+(b-b0)h2D V

2.B

Pas de vérification de A m j n

v=h-v' q

A

.A

u

3

-

'"""

I

0,81. h. v

f

t28

fe

Vérifier A ser > A m j n =0,23-p-bg.d

i .,• P :•"..•
8.4. SECTION EN T - DIMENSIONNEMENT A L'E.L.S.

II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE .. SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMÉS — ÉNONCÉ —

^Sollicitation : M•--et

r

'Matériaux :

V' *s. fl28=0.6«].Q6.fc28.

Vl

-as d-ib 3 1 ser

30

(d-h0)

1 = 6, 85m

A

j^

' ±

COUPE ÀÀ 3cm ->'•

55cm

2 bh *-*0

60cm

, 18cm • Actions uniformément réparties de durée d'application supérieure à 24 heures : - permanentes : g, = 5,30 kN/m (hors poids propre),

Section en Tl>

rectangulaire b x d n

n _CO,99.d-0,4.h 0 ou d— Q bâtiments ponts i A

Appliquer l'organigramme du paragraphe 8.3. avec : b[)=b

q = 22 kN/m.

• Fissuration peu préjudiciable. • Matériaux :

et comparer A s e r à ci-après

_Mser Ser zb1.ôi

- variables :

- béton : f c28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

1

• On se propose :

B=b0.h+(b-b0)h0

1) de déterminer le ferraillage de la section médiane,

^ b0.h2+(b-b0)hg

2) de calculer les contraintes à l'état-limite de service.

2.B v=h-v'

t28~

— CORRIGE — • CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX l. BÉTON

9. VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIRE DONT ON CONNAÎT LES ARMATURES

L

f bu = 0,85.

c28

Voir annexe 2 en fin d'ouvrage, page 433. obc = 0,6 . f c28

f

bu =

25

= 14,2 MPa

= 0 , 6 . 2 5 = 15 MPa

1.2. ACIERS

g:

;i

•'$

4d =

Ys

son 3 1,15^

104ii/u= 3 220.0Y+ 51.

- 3 100 10*^ = 3 220 . 1 . 1,46 + 51 . -y- - 3 100 6 10*^=2876,2 (MPa) [ila= 0,288

= 435 MPa

2. SOLLICITATIONS DE FLEXION 2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME DE RÉSISTANCE Actions au ml : 03 = poids volumique du béton armé g = g, + C3.b0.h Pu =l,35.g+l,5.q

4. CALCUL DES ARMATURES TENDUES ET DES ARMATURES COMPRIMÉES ÉVENTUELLES

05 = 25 kN/m3

4.1. NÉCESSITÉ D'ACIERS COMPRIMÉS

g = 5,30 + 25 . 0,18 . 0,60 = 8 kN/m p u = 1,35. 8+ 1,5. 22 pu = 43,80 kN/m

bu

M,.

0,2569

.2

0,18. 0,55 . 14,2

b 0 . d .ff b u

u

mu = 0,332 >n ;u = 0,288 =» II faut des aciers comprimés si on ne peut pas changer b0, d ou fc28.

Moment fléchissant maximal :

/2

Mu = 43,80 .

Mu = Pu . -

= 0,332

6,85

Mu = 256,90 mkN 4.2. CALCUL DES ACIERS COMPRIMÉS 2.2. ÉTAT-LIMITE DE COMPRESSION DU BÉTON EN SERVICE Actions au ml :

Contrainte des aciers comprimés :

Fe E 500 et 6 = 1 => p ser =8,00 + 22 p ser = 30,00 kN/m

0Sce = 9 . y . f c 2 8 - 5 ' ( 1 3 . f c 2 8 + 4 1 5 ) K

Momentfléchissantmaximal : l2

Mser = pser . —

8

6,85

= 9.1,46.25-^(13.25+415).l

Mser =175,96 mkN

osce= 288,1 = 288 MPa < 435 MPa O.K.

MSer = 30,00 .

Aciers comprimés :

23. COEFFICIENT y

M,, Y= Mser

M, u = 0,288. 0,18. 0,552. 14,2

256,90 y=-=1,46 175,96

M,u = 0,223 mMN

1

-d ) . Os

3. MOMENT LIMITE ULTIME Par la formule approchée valable pour Fe E 500 et fc28 < 30 MPa :

., 0,2569-0,223 1rt4 2 A =- 10 = 2,26 cm (0,55 - 0,03) 288 Retenons 2 O 12 HA :

A' = 2 .1,13 = 2,26 cm2

4.3. CALCUL DES ACIERS TENDUS

••'"'•'!

Dans la section fictive ® avec aciers comprimés :

l •' '

5 CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S. 5

ase = (13.f c28 + 415)K-9.y.f c 2 8 oœ = (13 . 25+ 415) 1-9 . 1,46. 25 Ose = 411 MPa < 435 MPa O.K.

j. POSITION DE L'AXE NEUTRE Pour éviter les risques d'erreurs dues à un nombre élevé de décimales, on commence par exprimer les longueurs en cm et les aires d'aciers en cm2.

Dans la section fictive ® sans aciers comprimés : • < 0,275 => Méthode

d'

• a;=l,25(l-x/l-2.|i/u)

a, = 1,25(1-VI-2.0,288)

zbl = d(l - 0,4.0,)

a, = 0,436 zw = 0,55(1 - 0,4 . 0,436) z b; =0,454m

A=

z•7

0,223 . 104 , „ ^ 288 2 A= 0,454.435 +2 ' 26 4lT =12 ' 87cm

f

w t ed

CT

bc

|^bu = 0,288 > 0,275 => Formules exactes

\

y Q

À b

o

°'

K-V

/CT=^ /

b

°

l là

~

d=55cm

'

'

~~A

h'=2'.2ècm. n=15

~°J7 s /n

- + n (A + A') yi - n (Ad + A' d ' ) = 0

I T --'

"V-V-

£S *0

En adoptant la formule approchée : M,.. /u A= + A' —— , on aurait trouvé Z

- yi + 15 (12,96 + 2,26) yi - 15 (12,96 . 55 + 2,26 . 3) = 0 9,00 . y; + 228,30 . y, - 10 793,70 = 0

bl ' *ed

A = 12,79 cm2 (mais l'écart peut être plus important).

A = 663,85 yi=

4.4. CONCLUSION En prenant trois files verticales : 2 cD 25 HA + 1 4) 20 HA : A = 2 . 4,91 + 3,14 = 12,96 cm2

2^12 HA ^ 3cm

- 228,30 + 663,85 = 2 . 9,00

cm f*c*-.

5.2. MOMENT D'INERTIE Ii = b0 — + n A ' ( y i - d ' ) + n A ( d - y i ) I 1 = 18 24'20 + 15 . 2,26 (24,20-3) 2 + 15 . 12,96(55 - 24,20):

3

60cm

I, = 284 687 cm4

J5cm l4>20 HA 22S HA £

18cm

4.5. SECTION MINIMALE D'ARMATURES (ibu >< 0,03 |abu = 0,288 > 0,03 A > A^ sans qu'il soit nécessaire de calculer

. CONTRAINTES K=M<" II °bc =

a s =n.K(d-y,) o s c =n.K( y i -d')

K=

°'175% = 61,81 MN/m3 , - , , 8 284687 .10~ "J "

abc = 61,81 . 0,2420 = 14,96 3 -i-l obc = 14,96 MPa < 15 MPa O.K. os = 15 . 61,81(0,55 - 0,242) = 286 MPa a sc = 15 . 61,81(0,242 - 0,03) = 197 MPa

Nota : on remarque que y osc = 1,46 x 197 = 288 MPa = osce = 288 MPa obtenu par la formule approchée.

III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE SECTION A TABLE DE COMPRESSION —-.

j 2. ACIERS fissuration 1 pj-éjudiciable/

a =

[0,5f e | . f t j (MPa)

— ÉNONCÉ —

— _ M (0,5.500 =250 MPa ° s ~ 3X \110V 1,6. 2,10 =202MPa ô~ = 250 MPa

VUE EH PLÀH î

<

f*riiTT>ir A L-UUft A_ À

n -,' 30cm

k

(V cm ™ ^^^/

A™ f~

10,00m

k I I

2,44m 1 1

22 cm

22 cm

•f A

2 , 4 4m

n n

l'flBcm

I I
'.

^r

3Ûcm

_

2,44m

^_,

22

cm

i '1 T 22 cm

u

2. SOLLICn SOLLICITATION DE FLEXION DANS LES POUTRELLES

~5~^

n

85 cm

2,66m

22

cm

L

• Actions uniformément réparties de durée d'application supérieure à 24 heures : - variables : q = 10 kN/m2. • Fissuration préjudiciable.

s

•/•*

• Enrobage = 3 cm. • Matériaux : - béton : f c28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA, - grosseur du granulat : cg = 2,5 cm.

2.1. ACTIONS Poids propre Poids propre

25 kN/m3. 0,15 . 2,66 = 9,98 kN/m 25 kN/m3. 0,70 . 0,22 = 3,85 kN/m g = 13,83 kN/m

:"/\?

- On se propose : 1) de déterminer les armatures en travée dans les poutrelles, 2) de calculer les contraintes à l'état-limite de service.

2.2. ACTIONS VARIABLES 10 kN/m 2 . 2,66 = 26,6 kN/m = q 2.3. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE Charge :

— CORRIGÉ — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX 1.1. BÉTON

Pser=g + q

Moment fléchissant maximal : Mser = Pser . -

',•28

^ = 0,85.^ =14,2 MPa

Obc =0,6.f c2 8

ôb^ = 0,6 . 25 = 15 MPa

f t28 =0,6 + 0,06.fc28(MPa)

ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2, 10 MPa

pser= 13,83+ 26,6 pser= 40,43 kN/m = 40,43 . 10,00 M ser = 505,38 mkN = 0,505 mMN

3. ARMATURES

, , pourcentage minimal d'armatures

3.1. LARGEUR DE TABLE À PRENDRE EN COMPTE

Arc tg 2X3

f

,

—t

b=2,22m

À.N.

b-b 0 =2,00m h = 0 , 85m h g = 0 , 15m

k-C - - t

B = b0 . h + (b - b0) h0

/ = portée des poutrelles

b-bo

...

— = Mm

10

h

2.B

10

3

=^ = 1,22m 2

2

b = 2.1,00+ 0,22 = 2,22 m I lin

3.2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE A L'E.L.S.

m

v = 0,85 -0,209 = 0,641 m

= h-v' ^° = Min'

2,00^15!= 2 . 0,487

v =

/t = entre nus des nervures

b

B = 0,22 . 0,85 + 2,00 . 0,15 = 0,487 m2

't28

0,81. h . v ' f.

3

I = o,22 °-^5_ + 2,00 ^- - 0,487 . 0,2092 3 3 I = 0,0260 m4 0,0260 ^rlO 4 >1 min 0,81.0,85.0,641 '500 Amin = 2,47 cm2 < A = 27,60 cm2 O.K.

a) Moment de référence Remarque : avec M Tser

250 2,22.0,15" 30 ' 0,80-0,15

0,97-0,04T

MTser= 0,480 mMN b) Armatures à l'E.L.S. Type de section à considérer : MserxMTser

Armatures : zbl = 0,99d - 0,4h0

0,22 0,97-0,04 — 2,22

et d = 0,9 h

zb = 0,869 h (au lieu de 0,81 h) on peut obtenir une valeur plus précise pour Amin :

Mser= 0,505 mMN > MTser= 0,480 mMN => la zone comprimée a une forme de T et l'A.N. tombe dans la nervure zb, = 0,99 . 0,80 - 0,4 . 0,15 = 0,732 m

M,

0,505 . 104

c

) Retenu A = 27,60 cm2

A

Retenons deux files verticales Pas plus de deux barres superposées dans chaque file verticale. Lit 1: 2 <ï> 25 HA => 2 . 4,91 = 9,82 cm2 Lit 2 : 2 25 HA =» 2 . 4,91 = 9,82 cm2 Lit 3 : 2 4) 25 HA => 2 . 4,91 = 9j2_cn^

A = 29,46 cm2

3.3. CONCLUSION - ARMATURES À RETENIR a) Section calculée A=A

A = 27,60 cm2

c = Max < <ï> 11 cm

( e = 3 cm c = 3 cm = Max ( 2,5 cm 1 cm

<"• "•'•• ,

Fissuration \ - j • ui / =* O > 6 m m préjudiciable 1

''•^ 6 mm O.K.

-*'"

}

•

(•

>

K b

~~^2 5 g

.. ..525. _ m ^'2 5 X^i

=

.,

,t..

ffi

x

m''

: .

1 s' m

^__J £f

4

'.i

1

n' ' 3

L,* 5 1T

'

|K li • •

'

H5

22 7

[(b b ) h % n A d l 0

II 75

2

oyi

fcK. 1 f

5,25 +7,75 + 12,75 _ g 5g 3 d = h - x = 85 - 8,58 = 76,42 cm

*

- 200 152 + 15 2946 7 6 4 2 - 0

'

Ilyi 2 + 3 441,90^- 56 270,00 = 0

;,

. -

2

. ,•, •". ••-'- -••..VA.trj

A - 3 784 52 •**>• ' ....i -3 441,90 + 3 784,52 _ 1 5 5 ? y ' 2.11 '

^ ' 'A *

4.2. MOMENT D'INERTIE . ' ^ ^

4. CALCUL DES CONTRAINTES A L'E.L.S.

^P

4.1. POSITION DE L'AXE NEUTRE

'

• . . ' : ' : fîK-m'HJ -

,.yi , u , ( y i ~ h o ) 3 ri,— hb 3 -(b f h bh 0 )\ ii 3

iT, _T>O ^

15,573

3

... nA(d - y,)2

... 15 . 29,46 (76,42 - 15,57)2

(15,57-15) onn '' m .00 i \,a 3

3

^^*_

4

b 1 '

11 d

1 :

I 1= 1915 538 cm

b = 2,22m :,

K

°bc

K

i1 _ ^ _LK 0

SSr ~ £>° - -~ Tix

S ^ /X ri /N£ i ç KK^ "^ * /

À.N."

KK-

b

7A 40 cm dH— 76,42

u

°

2

yl

fiT» \

L

bo^n

f/K \ _

r

KMï

L h

- o0

,2

.

11

2

n

l n A 1 Vi

/K

^ AU

Mser

l- - —-— K

]

°

J

lUh

2 b

[

1

2

4.3. CONTRAINTES

A - ?Q 46 cm2 n = is 15

n= 1 5

/n

}f Jy

h~\

h0

' 1 915 538 . 10~8

1ft^\/IXT/m 3

26,36 MN/m

.i 0^= 26,36 . 0,1557 = 4,1 MPa < 15 MPa O.K.

os = n.K(d -y,)

os = 1 5 . 26,36 (0,7642 - 0, 1 557) = 240 os = 240 MPa < 250 MPa = ÔJ O.K.

Remarque : z_

1 S2 + 1 S

°'505

_Lr»AH

2

222

K

T^

obc = K.y,

n\H^^O

f ^*- h0^ ^—

.',>«

h 0 =15cm

-^"^~—'

''

,

b0 = 0,22m

u

1 y-i V

; ,«

70 Hu 4fi • ' ^"'

1S

1J

. ^ 1 S • *3'»'HJ 7Q 4fi . /«>•»*• 7n 4/

1J

f(ho) = -2166,50cm 3 <0 => A.N. dans la nervure.

H H

, • , »• j Mœr _ o,505. 10 4 _ Q 7 1 4 m

A . a s 29,46.240

(d

ho^o^^

2

IV. EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE - SECTION RECTANGULAIRE

2.

SOLLICITATION DE FLEXION À L'E.L.S.

f Actions au ml : T 03 = poids volumique du béton arme g = g; + O3.b0.h

— ÉNONCÉ — COUPE ÀÀ

03 = 25 kN/m3 g = 24,75 + 25 . 0,30 . 0,70 = 30 kN/m p ser =30 + 20 = 50kN/m

Moment fléchissant maximal : ,2

1=6,00m

i 4 cm

l

70cm

M s e r =50.

Mser = Pser - -

6,00

Mser= 225 mkN = 0,225 mMN , 30cm I Actions uniformément réparties : - permanentes : g[ = 24,75 kN/m (hors poids propre), - variables : q = 20 kN/m.

3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.S. 3.1. MOMENT RÉSISTANT BÉTON RÉDUIT

l Fissuration très préjudiciable. I Matériaux: - béton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA. CX£

l On se propose de calculer les armatures.

T =

— CORRIGÉ —

0,218

3.2. NÉCESSITÉ D'ACIERS COMPRIMÉS

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

ser

0,225 -0,122 0,30 . 0,642. 15

1.1. BETON abc = 0,6 . fC28 f,28 = 0,6 + 0,06.fc2g (MPa)

|J.ser= 0,122 < 0,218 = u r h =>A'=0

abc = 0,6 . 25 = 15 MPa f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

3-3. CALCUL DES ACIERS TENDUS

1.2. ACIERS fissuration \ très V==>^= préjudiciable)

cr 0.4.f

0

m

0 , 4 . 5 0 0 = 2 0 0 MPa as = Max

I ' 8 8B\fl,6.2,10=161 \

M

MPa

A „„ =

(MPa)

ô" = 200 MPa

Remarque : en adoptant la formule de la méthode simplifiée du § 8.3. page 145, on trouve Hs = 0,00916, z bl = 0,857 d = 0,549 m et Aser = 20,50 cm2 (meilleure approximation).

3.4. CONCLUSION

A

;JyT7

En prenant trois files verticales Fissurationtrèsï préjudiciable f

y EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PREJUDICIABLE - SECTION EN T (Mu >

Prenons Omm. = 20 mm > 8 mm lit 1: 2 O 25 HA + 1 O 20 HA :

- ÉNONCÉ l On considère la section en T d'une poutre représentée ci-dessous :

2 . 4,91+3,14= 12,96 crtf lit 2 : 3 O 20 HA :

0,60m

3.3,14 = 9,42an2

0,05

m

A = 22,38 crn2 M

0,225 s

iis><0,0018

0,30 . 0,64^. 200

1,10 m 0, 60 m

= 0,00916

, = 0,00916 > 0,0018 > A > Amin sans qu'il soit nécessaire de calculer Amin

0,15 m '

• Sollicitations sous charges de durée d'application supérieure à 24 heures : Cas de charge n° 1 : • MG = 0,229 mMN, • MQ = 0,229 mMN.

70

818

HÀ

i

l

Cas de charge n° 2 : • MG = 0,275 mMN, • MQ = 0,275 mMN.

cm

h fr h | 4 ^ 2 0 HA

30 cm

<

• Matériaux : béton : fc28 = 30 MPa, aciers : Fe E 500 HA. • Fissuration peu préjudiciable. • On se propose pour chacun des deux cas de charge : 1)

de déterminer la section d'armatures longitudinales à prévoir dans la poutre,

2)

de calculer les contraintes à l'E.L.S.

•Tf'V?i

- CORRIGÉ -

Z

1. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX 1.1. BETON fas = 0,6 + 0,06 . fc28

ft28 = 0,6 + 0,06 . 30 = 2,40 MPa

f bu =0,85-^

iL = 0,85

• \:28

z b = 0,55-^ = 0,50 m

b =d ~ T Z

>:if)

'••><„ \>1-C,

MTu = F b c .z b

MTu = 1,02 . 0,50 = 0,510 mMN

Mu >< MTu

Mu = 0,653 mMN > 0,510 mMN = MTu => La zone comprimée a une forme de T et l'A.N. tombe dans la nervure.

30 = 17 MPa 1 .1,5 2.3.2. Armatures

a,bc =0,6. 30 = 18MPa

Nous décomposons de la section réelle en deux sections fictives : 1.2. ACIERS :

500

•*

' "L d - • •-•

LhO

i

r"N." A • — ©fl Mu

= Mul+

2.1. SOLLICITATIONS DE FLEXION

SECTION® SECTION® •• )

2.1.1. État-limite ultime Mu = 1,35. M g +1,5 MQ

M u = 1,35. 0,229+1,5. 0,229 = 0,653 mMN '

a) Section fictive ®

''Â ••«* '

Moment équilibré :

2.1.2. État-limite de service Mser = Mg + MQ

•€

^- F bc2 — ) A2

h

b^

2. CAS DE CHARGE N° 1

111

Mul=Mu-MTu- ^

M ul =

- 0,510 ^^5= 0,271 tnMN 0,60

Mser = 0,229 + 0,229 = 0,458 mMN Moment réduit correspondant :

2.2. COEFFICIENT y

0,271

M», bu

11

2

= 0,351

0,15.0,55.17

b0.d .fbu

Y= M,

") Nécessité d'aciers comprimés • Par la formule approchée valable pour Fe E 500 et fc28 S 30 MPa :

2.3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.U.

1044 .n / u = 3220.0y+51 --

-3100

1044 . ^ /u = 3 220 . 1 . 1,425 + 51

2.3.1. Type de section Section en T avec M > 0 Fbc = b . ho . f bu

(MPa)

> Calcul en section en T : ^ = 0,60 . 0,10 . 17 = 1,020 MN

I

104 . (X/u = 3 019 Jifa = 0,302

-3 100

bu X

= 0,351 > 0,302 = |

M-/U

M.

=> II faudrait des aciers comprimés si ]a section réelle était rectangulaire. Dans la section réelle, les deux ailes de la table sont capables d'équilibrer un effort de compression :

Z

0,271.10*

f

b ' ed

I Calcul des aciers tendus dans la section fictive © Fbc = (b - b0) h0 . f bu

Fbe = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN 4

l

bn

Fbc = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN En équivalent aciers avec ici (Fe E 500 et 9=1):

e) Section totale d'aciers tendus

= 9 . Y - fc28 -8* (13 - fc28 + 415) K < fed

bc

A = 14,66 + 17,59 = 32,25 cm2

A = A! + A2

CTsce = 9 . 1,425 . 30 - ~ (13 . 30 + 415) 1 55 = 312MPa

Armatures tendues (inférieures) retenues :

asce = 312 MPa < 435 MPa O.K.

logés dans un talon à la base de la nervure.

7 25 HA : A = 7 . 4,91 = 34,37 cm?

les deux ailes jouent le même rôle qu'une section d'aciers comprimés placés dans la section rectangulaire de largeur b0 à 5 cm de sa fibre supérieure : "-^

= 17,59 cm

ed

2.4. CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S. Calculons les contraintes pour la valeur théorique de A (les contraintes réelles seront inférieures aux valeurs trouvées).

A = 3 1 2 .10 =24,52 cm

^. i^ '.

2.4.1. Position de l'axe neutre Cette section est très largement supérieure à celle qui serait nécessaire pour équilibrer M ul - M,u : A,_

M

ui-M/u (d-d')o sce

A

x '

= 2,44 cm2

r

]

obc

ihlslihisiiyîxy^sig-iiSiïii

lu

wmïïjmm d

0,271 -0,302. 0,15. 0,552. 17 1A 4 10 (0,55-0,05)312

b

J^o

Â7N."^ à

~7

b = 0,60m b 0 -0,15m

\\^ v.-y

d 055m

^-^—7-— /

h0 = 0,10m A = 32,25 cm2

Vn

M

On continue donc le calcul, sans prévoir d'aciers comprimés et en remarquant que : l-ibu x m,

f

n=15

2

Hb,, = 0,35 1 < 0,37 1 7 = ^

ffv\_

,

,2

O yi

' + r < b h }h + n ( A + A')lv, - (b-b n ) — + n ( A . d + A'd')

et donc que as = fed. c) Calcul des aciers tendus dans la section fictive ®

!

^ bu >< 0,275 => Méthode

(ibu = 0,35 1 > 0,275 => Formules exactes

=» a = l , 2 5 [ l - x / l - 2 . ^ b u j

oc =1,25 [1-^1 - 2 . 0,351] = 0,568

=> zb = d [ l - 0 , 4 . a ]

zb = 0,55 [1-0,4. 0,568] =0,425 m

f/u \

b.h2

j-n l'A 4- A ' ï h

n i'A d + A ' d ' 1 > < 0

f(h )- 6 ° 102 + 15 3225 10-15.32,25.55 :

\\

II

l>15.'

f(ho) = -18769cm3<0 => A.N. dans la nervure

f (v \ 1

lyj.» -

bn-yf 2

•K

l fVh

|>

1UK "

'» h _LfVi A 1 i7 +r ïlA

l \

h 2°

i j ~ b0) -=- + nAd

3 1.2. Etat-limite de service Mser = MG + MQ

'

, ; Mje,. - 0,275 +0,275 - 0,530 mMrS "./•

2 32 251 jv1] 2 ^v1 + lT45 ' 1 0 + 1 5 ' -"^•'•'—'J

fi \yi) Cv i — un

J -t-1< '^TTi . 03 «=Q ^45 ^ T U . j^,zo

3-2.

... >,

COEFFICIENT y

1

'

-->• î - . q ù ' >

:

M

0 784 U

2

7,5 y + 933,75 y{ - 28 856,25 = 0

'-M s e r

'

Y

'

-no 5

0,550 - M - 5

A=1318,17 2 V

>1

—

-933,75 +1318,17 275

3.3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.U.

„,

^^ fil f-.m — /J,OJ cm

3.3.1. Type de section Section en T avec M > 0 MTu = F b c .z b M u xM T u

2.4.2. Moment d'inertie Ii j - bu Yyl

(b b"o*) ( y i -Th ° ) +nA^a , P A rri ^° xI

25 633 /15 ( 2 5 ' 6,, 3 - 1 0• ) 3+,H — rPD « — 25,63) -rr^ i -60 °u 'T T-J 13 . -52,2;»

4 I,=696731cm 1

'

i , :' j.

y* vyjj

Nous décomposons de la section réelle en deux sections fictives : •

-

.

'

•

•

-!

,

,-

b

j, 1

'

K- T

K ~~

M

CT

bc = K ' yi > < °bc

0458

'

Hii

m o ~fi57AMM/ "J> '^ MIN/m

d

696 731. 10"8

À.N.

À ]

"O

1 >| n

!|!li|! TT

S

t ,..

ililil^Hlftl^Hi^

>•

il

"

| hn

-,

S

3,

bj|

u

M

=

ul+

s

M

h0/?

f^ -r

.

-K

.

f- F

— °-B[yu— y T —' *• . bel ^bl z b2 <-^S^

=?*

n

LO *= td sissigiSjNiiJiijgibl i"0 vU ;^ ~*/^\ Si ZTs F, „ L r f =J RO ^ / ^—^ àl ^-^ 2 / ^

obc = 16,8 MPa < 18 MPa O.K. as = n . K (d — yO

b b

J,

1

hh!:!:S!^!>!^$!@$!^h!Mi:i:

3

°bc - 65,74 . 0,2563

^ ;s ^ }{

• ;i! .

2.43. Contraintes M^er SCT

=> Calcul en section en T : MTu = 0,510 mMN (cf. §2.3.1.) Mu = 0,784 mMN > 0,5 10 mMN = MTu => La zone comprimée a une forme de T et l'A.N. tombe dans la nervure.

3.3.2. Armatures

i

'

'

P)

n

Aj HL bc2

F

s

fed

u2

as = 15 . 65,74 (0,55 - 0,2563) = 290 MPa SECTION® SECTION©

Remarnne .• rvciuoiquc


C7

790 _

fl ^s _ U,3b

ÇQ . lfe =?^ ^ o —n U,jb

o) Section fictive ® Moment équilibré : \n M

\n

ul-Mu

M

M

Tu

3. CAS DE CHARGE N° 2

~b° b

M

M

ul

07R4 0 11 510 °'60"0'15 -Q /(Q'' mMN

U /B4

'

"'- "

0,60

!"-""«

Moment réduit correspondant :

3.1. SOLLICITATIONS DE FLEXION

M

3.1.1. État-limite ultime Mu = 1,35 . MG + 1,5. MQ

b

Mu = 1,35 . 0,275 + 1,5 . 0,275 = 0,784 mMN

^

bu

ui 2

b0.d .fbu

0,402 rbu

_Q501 2

0,15.0,55 .17

u

Remarque :

- /ï~- 2 • 0,37Ï7J = 0,617

=» a =1,25 1 - . / 1 - 2 . L J ,

^bu ><^c =0'8 • «d -0,4. oOpoura = ^ = 1

^bu = 0,521 > 0,48 = 0,8 (1 - 0,4) = ^

=> La section rectangulaire ©, si elle était isolée, serait entièrement comprimée Comme nous allons mettre des aciers comprimés pour limiter à Msi le moment qu'elle équilibre, cela n'a pas d'importance.

(

ta = 0,521 > 0,3717 =

sc

,-3. „ , „ _-3 435 => e SC = 2,98. 10" 3 >2,18. 10~3 = 2.10° oscu = 435 MPa

b) Nécessité d'aciers comprimés Hbu X

m 1000. 0,617

a

Nous devons donc prévoir des aciers comprimés dans la section rectangulaire ® pour que la contrainte des aciers tendus puisse atteindre fed (c'est-à-dire pour que l'acier soit « bien utilisé »).

> Remarque : •£ Ce serait une erreur de prendre osce comme contrainte des aciers comprimés puisque le problème n'a rien à voir avec l'obligation de limiter à 0,6 . f c2 g la contrainte de compression du béton en service. Seul l'acier est en cause dans le cas présent. • Aciers comprimés : Ms, = 0,3717 . 0,15 . 0,552 . 17 = 0,287 mMN

Ms, = |is,. b0 . d2 . f bu M

m-M s ; A =

(d-d')a s c u

c) Calcul des aciers comprimés dans la section fictive Œ> La section rectangulaire de la décomposition précédente comportant des armatures comprimées, elle est à nouveau décomposée comme indiqué ci-dessous :

Mu2 = Mul - Ms, x 0,4 . Mul

' = 5'.d

A

1

À'

d

d-d1

2 4
Mu2 = 0,402 - 0,287 Mu2 = 0,115mMN 0,4 M ul = 0,4 . 0,402 = 0,161 mMN Mu2 = 0,115 mMN < 0,161 mMN O.K.

d) Calcul des aciers tendus dans la section fictive ® ^bu = ^s/>< 0,275 => Méthode u.bu = 0,3717 > 0,275 => Formules exactes

À b

0,402-0,287 (0,55-0,05) 435

=> cc s; = 1,25 1 1 - ^ 1 - 2 . ^

o 1

, = d[l-0,4.cc s; ] Section(T)

MU

MSI

as;- 0,617 (cf. § 3.3.2.C.) zb = 0,55 [1-0,4. 0,617] =0,414 m

Section(2)

M s/

(À'. Oscu(d-d') < ou ( A•22-. Wd-d1)

A

= Z

0,287 . 104

+A.°«

f

b • ed

r

^ 435

f

ed

e

Mu = M ul

rtu = M ul = 0,402 mMN

l Calcul des aciers tendus dans la section fictive ®

• Contrainte des aciers comprimés :

Fbc = (b - bo) h0 . f bu

Le rôle des aciers comprimés est de « bloquer » l'axe neutre à la hauteur correspondant à lia = 0,3717.

A2 =

r F, bc

Fbc = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN 4

= 17,59 cm

-1111,65 + 1508,63

f) Section totale d'aciers tendus A = A, + A2

A = 21,23 + 17,59 = 38,82 cm Armatures comprimées (supérieures) : 5 <|> 12 HA : A' = 5 . 1,13 = 5,65 cm

3.4.2. Moment d'inertie

2

=

>! b '-L - (b - b0) (3^_h°)- + nA(d - y,) 2 + nA'(y, - d') 3

=

60

Armatures tendues (inférieures) : 8 <|> 25 HA : A = 8 . 4,91 = 39,28 cm2 logés dans un talon à la base de la nervure. 3.4. CALCUL DES CONTRAINTES A L'E.L.S.

- 45(26'47~1Q) + 15 . 38,82 (55 - 26,47)2 + 15 . 5,29(26,47 - 5)2

= 814462cm 4 3.4.3. Contraintes

Calculons les contraintes pour la valeur théorique de A (les contraintes réelles seront inférieures aux valeurs trouvées).

K=

K=

d

d

OY

1

a

b n *~^

ï % \)

bc

'-|0

2

u rO

^

VH *£ K -/

L_i_ L

X

b =0,60 m b0=0,lf 5 m d =i).t>tj m j. nr,< ) m d =o,0' ho=0,10m A - ^s so crn2 A' = 5,29 cm2

bc

•/ nS

.

%

~7 ~~ X °s/ri

À

n =15 u \ i

= 67,53 MN/rn

814462. 10

bc

••:-r ;::-*•:;•::•.•. é-Tu — \ ,.:.!::.•!.:.:

0,550

o = 67,53. 0,2647 = 17,9 MPa< 18 MPa O.K.

3.4.1. Position de l'axe neutre b À1

„ = 26,47cm

2

/"AiA'\l

/K

K \

i

/A

^liA'^'\

2

m, nCA j_A'\U A A'^'\^^-n f(h „)'v = -~ _+i _ n (A + A' ) h0 -«n/ (A . ,4d +i A'd' ) >< 0

f(h 0 ) = — 102+ 15(38,82 + 5,29) 10 - 15(38,82 . 55 + 5,29 . 5) f(h 0 )= -22807cm < 0 => A.N. dans la nervure ~ y,2 + [45 . 10 + 15(38,82 + 5,29)] y; 10Z 45 -^- + 15(38,82 . 55 + 5,29 . 5)

7,5 y, + 1 111,65 y, - 34 673,25 = 0 A=1508,63 2

os = n . K ( d - y , )

os = 15 . 67,53 (0,55 - 0,2647) = 289 MPa


CT

a Remarque : --

=15. 67,53 (0,2647 -0,05) = 217 MPa

SC

a s

fe

289 = 0,58 => o =0,58.f e 500

CHAPITRE 7

EFFORT TRANCHANT

I. RAPPELS DE COURS 1. DÉFINITION Dans une section droite £, l'effort tranchant est la somme des composantes des forces appliquées à gauche de cette section : - perpendiculaires à la ligne moyenne, - et contenues dans le plan moyen. Dans une section d'abscisse x, l'effort tranchant est égal à la dérivée du moment fléchissant. 2. CONTRAINTES ENGENDRÉES PAR L'EFFORT TRANCHANT 2.1. EXPRESSIONS GÉNÉRALES DÉDUITES DES CALCULS ÉLASTIQUES 2.1.1. Effort de glissement E.L.U.

À.N.

CHAPITRE 7

EFFORT TRANCHANT

I. RAPPELS DE COURS 1. DÉFINITION Dans une section droite Z, l'effort tranchant est la somme des composantes des forces appliquées à gauche de cette section : - perpendiculaires à la ligne moyenne, - et contenues dans le plan moyen. Dans une section d'abscisse x, l'effort tranchant est égal à la dérivée du moment fléchissant. 2. CONTRAINTES ENGENDRÉES PAR L'EFFORT TRANCHANT 2.1. EXPRESSIONS GÉNÉRALES DÉDUITES DES CALCULS ÉLASTIQUES 2.1.1. Effort de glissement

Contrainte normale à l'E.L.S. à la distance Ç de l'axe neutre : M <*&,= — •*,

il vient :

I, = moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section réduite homogène (bét0 comprimé seul et aire des armatures multipliées par 15).

soit :

T . u . d x = dFB

T _

v In

s t*

'} • '

U

V ;\

'

-

.

Résultante des forces élastiques agissant sur l'aire homogène B idéalement découpée dans la section droite :

M

M

B SB = moment statique par rapport à l'axe neutre de l'aire homogène B. On appelle EFFORT DE GLISSEMENT PAR UNITÉ DE LONGUEUR DE POUTRE la quantité :

.-. ij..<:,')M>i't

. Bras de levier du couple des forces élastiques En prenant la zone comprimée homogène de la section comme aire B (Fbsc = résultante des compressions sur cette zone) : , •-, T M _M s ;= • î»! II

FB =

M

M = z . Fbsc S B = Si

Fbsc - — \

z

Or: D'où par identification :

D'où: Sj = moment statique par rapport à l'axe neutre de la zone comprimée homogène de la section. 2.1.2. Contraintes tangentes Sous l'effet de g, le prisme Bdx a tendance à se déplacer par rapport à la poutre, le long d'une surface de glissement dont la trace sur le plan de la section a pour longueur u. L'équilibre du prisme de base B et de longueur dx est assuré par des CONTRAINTES TANGENTES qui se développent sur la surface de glissement du prisme Bdx par rapport à la poutre. En posant : T = valeur supposée constante de la contrainte tangente en tout point de la surface de glissement, u = longueur de la trace de la surface de glissement sur le plan de section,

rr

Si l'aire B considérée précédemment est délimitée par une parallèle à l'axe neutre, on a sur le plan correspondant : V V SB g = — . S B = — .II z S,

V Sous l'axe neutre SB = S, (béton tendu négligé) et g = — = Cste . z

2-1.4. Application - Contraintes dans le plan de la section droite s Plan moyen

„ N

u=périmètre de B Trace de la surface de glissement : ÀDC=u

• En considérant la zone comprimée homogène de la section située au dessus du plan . trace MM' = bç, perpendiculaire au plan moyen, à la cote Ç au dessus de l'axe neutre, on - un effort de glissement :

. = b0 = Cste DÇnun

d'où : 'o • '

en désignant par S^ le moment statique par rapport à l'axe neutre de l'aire MBM' rendu homogène.

on encore, puisque z = 0,9 . d :

- une contrainte tangente

0,9.b0.d

2.2. EFFET DES CONTRAINTES TANGENTES X--K-J - Au dessous de l'axe neutre, un prisme de base carrée ABCD : < '•< f?'s'fî - de côté AB = dx, parallèle à la ligne moyenne, ;•*,.' ••;":)! < - de hauteur b0, .1 *:>i est soumis, dans le plan des quatre faces, uniquement à des efforts de glissement g . dx (cf. béton tendu négligé, donc pas de contraintes normales).

• Comme z = —-, il vient : O i

V.

V

^li;

' z ' S,

v s, E

"

. ij

yiiiiiiUUUiiiUiUUUiUi, • En vertu du théorème de Cauchy (RdM) la contrainte tangente en tout point P du plan de trace MM' s'exerce à la fois : - dans ce plan, - et dans le plan de la section droite.

g dxi kg.dx

g . dx

• Au dessous de l'axe neutre, comme on néglige le béton tendu, on a : Sjç = Sl quel que soit 2;

at.b0.d dx g.dx

d'où, entre l'axe neutre et les armatures tendues :

/D

, = — = Cste g dxV'T

V

1

g.dx

dx

• Sur l'élément plan de trace BD, d'aire b 0 . dx
- un effort de traction : g - dx Jï., - donc une contrainte de traction : o

=

' A.H.

g-dx^2^g^ V b 0 . d x y ï b0 b 0 . z

.; ;,

Tfe

• De la même manière, l'élément plan de trace AC est soumis à une contrainte de compression :

1 • Conséquences au voisinage des appuis :

Pour tenir compte de la transmission directe des charges aux appuis, les efforts tranchants sont calculés comme indiqué ci-dessous : - pour le calcul des armatures d'âme, - pour la vérification de la compression des bielles.

uuuuuuuuuuuuuumu 1) V élevé => ib élevé => ot élevé => risque de fissuration à 45°, 2) risque d'écrasement du béton suivant les « BIELLES » de béton à 45°, découpées par les fissures et soumises à une contrainte de compression ac = xb. ; t • II faut donc : 1) limiter Tb pour limiter la compression des bielles, 2) coudre les fissures obliques par des armatures dites ARMATURES D'ÂME.

a) Charges uniformes Pour l'évaluation de l'effort tranchant au voisinage d'un appui et le tracé de la ligne représentative correspondante : _ on admet que l'intensité de la charge répartie varie de 0 à pu sur une longueur égale à —^-~ à partir du nu d'appui, - on néglige les charges réparties agissant à moins de — du nu d'appui.

• Lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion précédente (at = oc = xh) n'est plus valable. Il y a REDISTRIBUTION DES EFFORTS entre : - les armatures d'âme tendues d'une part, - les bielles de béton comprimé d'autre part.

A 3 ' i-rt"!^

A

lr p

u

2.3.1. Contrainte tangente conventionnelle

V b0.z

V

u

z. u

z « 0,9 . d

V X

./ B A.E. V^ (

K

" ,.tk.-,.

0,9 . b ( ) . d

SIMPLIFICATION

SIMPLIFICATION

vv umax X.

b

M'vi'vvvi'vvvi

A^

n

Pour u = b 0 = épaisseur minimale de l'âme sous l'axe neutre, la contrainte tangente te vaut : t =

u

\l 5J '

2.3. PRESCRIPTIONS RÉGLEMENTAIRES

D'après ce qui précède, on a :

p

'

V n

u°

On considère à l'E.L.U. la contrainte tangente conventionnelle : ÀL

b. 2

avec : b 0 = épaisseur minimale de l'âme, d = hauteur utile, Vu = effort tranchant ultime à prendre en compte à l'E.L.U., V u = 1,35.VG+ 1,5.VQ en général.

'

•

•'if" nt.l

2.3.2. Effort tranchant à prendre en compte au voisinage des appuis L'expérience montre que lorsqu'une charge est voisine d'un appui, elle est transmise à dernier directement par mise en compression d'une bielle partant du nu d'appui sans en traction les armatures d'âme (phénomène de « transmission directe »).

BAFT .• => -^ U n ,-< X v <•S "ici-,

3{ 3_ 2.h

IQ 2

ul

h 1 3h 1 P u 2 h Pj 2Pu2 2 h 2 ~ 2

l

A

1

J 3h _^__l ^_I x x u ~T~ • ^x' ~^> ^2 PU~T T Pu u ~ 2 2 3 2 3h

* «/ ,= —u -p u x <- : V(x)

Pu [9h2 3h\ 4 Pu 9h\.. 2 3h 4

*-!»

SIMPLIFICATION

FISSURATION

D'où il revient au même et il est plus simple de considérer l'effort tranchant V „ Han 5 . hh ^ section d'abscisse X = 5h/6 et de le supposer constant entre x = 0 et x = 5 6 ' V.

T

u0^llm

^0 2 fc] \ ' yb Min
Peu préjudiciable

'

f

i n 1r

Préjudiciable ou très préjudiciable

J cj

Min< ^ 4MPa

b

Les armatures d'âme droites peuvent être associées à des barres relevées (cf. § 4.3.). 3.2.2. Armatures d'âme inclinées à 45° II s'agit de cadres ou d'étriers contenus dans des plans faisant un angle de 45° avec la fibre moyenne de la poutre.

b) Charges concentrées II convient de réduire la valeur de l'effort tranchant développé par toute charge concentrée au voisinage du nu d'appui en prenant pour valeur de cette charge : y . h 0 .Q, si a<-s2.a 3.h

7MPa Dans ce cas, les barres relevées sont exclues (voir § 4.3.).

si -fe-i

Ces valeurs de Qu ne sont à prendre en compte que pour la vérification de la compression des bielles et pour le calcul des armatures d'âme. Les valeurs des réactions d'appuis demeurent celles fournies par la Résistance des Matériaux, sans réduction des charges pour tenir compte de la transmission directe.

3.2.3. Armatures d'âme inclinées à 45° < a < 90° (cas rare) a étant exprimé en degrés. Par interpolation linéaire entre les valeurs limites correspondant à a = 45° et à a = 90°. FISSURATION

7

u0^lim

/ t\{U,31 / n ? j Un, Un? /

3. VÉRIFICATION DU BÉTON

j

Peu préjudiciable

fy dH

J

i ff.c~i J

in

) (9-2-f)MPa

3.1. FLEXION COMPOSÉE AVEC COMPRESSION Lorsque toutes les sections sont entièrement comprimées : '0,06.l£i si 7-u<.Min 1,5MPa

l

Préjudiciable ou très préjudiciable

•Pas de vérification et armatures transversales calculées comme pour les poteaux

3.2. AUTRES CAS 3.2.1. Armatures d'âme droites II s'agit des armatures contenues dans des plans perpendiculaires à la fibre moyenne des poutres.

4

45

( < n jy19u -nli: 1?45 J°^\7c^ uu, f

45

CALCUL DES ARMATURES D'ÂME

4

-l. EFFORT TRANCHANT À PRENDRE EN COMPTE Au voisinage des appuis, on tient compte de la transmission directe des charges aux appuis comme pour la vérification du béton.

1 4.2. DÉTERMINATION DES ARMATURES D'ÂME 4.2.1. Théorie du treillis de Morsch Une poutre de section constante, dont l'âme est fissurée à 45°, peut être assimilée à une poutre triangulée définie comme suit : • membrure tendue = armatures longitudinales tendues, • membrure comprimée = zone comprimée de la poutre (béton et armatures longitudinales comprimées éventuelles), • hauteur = distance entre les résultantes des efforts normaux dans les deux membrures (bras de levier z » 0,9 . d), • éléments comprimés = bielles de béton inclinées à 45° sur la ligne moyenne, • éléments tendus = armatures d'âme : - inclinées d'un angle a sur la ligne moyenne, - section At par nappe, - espacement s, mesuré parallèlement à la ligne moyenne.

D'où pour équilibrer un effort tranchant V quelconque :

A, s.

z (sin a + cos a)

Dans une poutre où les armatures d'âme (c'est-à-dire A,, st et a) sont fixées, la théorie de Morsch conduit donc à une proportionnalité entre ast et V (ou Tb). La comparaison entre la théorie et les résultats des essais conduit à réduire la valeur de V (ou de Tb), l'écart tbf sur ib provient du fait que pour les faibles valeurs de Tb la poutre n'est pas encore fissurée et que le treillis ne s'est pas encore formé.

rHEORIE / J ESSAIS

bsc

^bred^bréel

En se plaçant à l'E.L.U., nous avons :

V =V 4.2.2. Formules générales F,bc +Fse

b0.z

0,9.b 0 .d 0,9

et

^

et l'équation s'écrit :

A, fet b0s, Ys z(l+cotgd!)

Pour coudre la fissure, nous avons

z(l + cotgoc) : - armatures de section At.

Elles peuvent équilibrer un effort vertical : +cotga) V„ = A f . a st . sin a = z —o (sin a + cos a) . stv S

0,9 (sin a + cos a)

(1)

Pour une contrainte tangente conventionnelle diminuée de 0,3 . k . f tj (valeur prudente adoptée par les Règles BAEL), la condition à satisfaire s'écrit :

*ts

V t

f

et

's

avec : f t j bornée supérieurement à 3,3 MPa,

7-u-0,3.k.ftn 0, 9(sinû! +cosCd)

/ 0 si reprise de bétonnage sans indentations, 0 si fissuration très préjudiciable, 1 si surface de reprise à indentations de saillie > 5 mm, 1 en flexion simple, N

4.2.6. Poutres en T à nervure épaisse

u

1 + 3 ——-— en flexion composée avec compression, B . f ,c28 N, 1-10

B . f ,c28

en flexion composée avec traction,

Tu = contrainte tangente conventionnelle tenant compte de la transmission directe des charges au voisinage d'un appui. 4.2.3. Diamètre des armatures d'âme


b0>h

Le pourcentage minimal et l'espacement maximal peuvent ne pas être respectés dans la zone qui n'est pas grisée. 4.3. BARRES RELEVÉES À 45°

Min

*1 h 35

Une part 0Vu0 de l'effort tranchant au voisinage d'un appui avec 0 < 1/2 peut être équilibrée par des barres de la membrure tendue relevées à 45° et ancrées sur appuis. Le complément (1-0) Vu0 est toujours équilibré par des armatures d'âme droites (a = 90°, voir figure page suivante).

10

4.2.4. Pourcentage minimal des armatures d'âme

b

*t s

o- t

£et->0,4MPa

4.2.5. Espacement maximal

On pose : A r = section d'une nappe de barres relevées, A t = section d'une nappe d'armatures d'âme, sr, st = espacements respectifs de ces nappes parallèlement à la ligne moyenne. 3.1. Vérification du béton Si la fissuration est peu préjudiciable :

s t l Min ^ 40cm 15.

,-^m.r£ (0,2;

si A'X 0 réalisé avec des aciers 1min de diamètre <%>\.

30<

<. \5MPa

Si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable : V. T

=•

'0,15^

5.2. NOTATIONS 10 = distance du nu d'appui à la section où l'effort tranchant Vu(x) s'annule. Pour des travées complètement chargées, on a :

4.3.2. Armatures Armatures d'âme droites : r - 0 , 3 . k . f tj 0,9

Poutre sur 2 appuis simples

Armatures relevées : A a

r

rf

e

>

a

7 . . - 0 , 3 . k . tf t H u

0,9

3

II faut en outre vérifier : - le pourcentage minimal d'armatures (cf. paragraphe 4.2.4.), - l'espacement maximal (cf. paragraphe 4.2.5.). Les barres relevées doivent être conservées jusqu'à l'abscisse xr où l'équilibre peut à nouveau être assuré par les seules armatures d'âme droites : Part de Vu à équilibrer par des barres relevées

' ; ^ïOKTaW! ,*' ' Pour tenir compte : '' ' '• - de la réduction d'effort tranchant pour transmission directe des charges aux appuis, - de la réduction de tu pour les poutres coulées sans reprise ou avec une reprise spécialement traitée (voir page 184), on considère la longueur l'0 suivante :


II n'est pas de bonne construction de prévoir une seule nappe de barres relevées traversant la section du nu d'appui.

5. RÉPARTITION DES ARMATURES D'ÂME (MÉTHODE CAQUOT) 5.1. HYPOTHÈSES Méthode applicable uniquement aux poutres de section constante supportant des charges uniformément réparties.

On a: /n-

\

_Vuo-0,3.k.ftj.b0.d

5 .h

VUO

V

avec :

T

uO

Vumax - pu . 5 . h/6

uO -"

b0.d

b0.d

5 h ^£.)(1

0,3.k.:

5) Présentation des calculs : s,.t

s

to

stl

s

2

nombre de répétitions

5. h

i•

5

+

'h

71A, u

° ^to m

nombre arrondi

1) répartition sur 5.h/6 avec l'espacement initial st0 calculé pour Vu0,

l

1) L'écartement initial st0 est calculé suivant les indications du paragraphe 4 pour l'effort tranchant Vu0, 2) L'écartement de départ des armatures d'âme (stl < st0) est choisi dans la suite :

/

to

ïio = nii2~ro.i

l l

\ t0 2

St

2

s

° 1n nljtl

t o l, n

2

lBtlln2°t2

5.4.1. Rappels de Résistance des Matériaux La ligne enveloppe de l'effort tranchant dans une travée de poutre continue soumise à la seule action de charges réparties (hypothèse de la méthode Caquot) a l'allure suivante :

7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35 et 40 cm 3) Depuis l'abscisse st0/2, on répète les espacements successifs sti + [> sti (de la suite) avec un nombre de répétitions :

5 .h er -pour le 1 espacement 6. s^

'

5.4. CAS DES TRAVEES CONTINUES

5.3. MÉTHODE CAQUOT

/'nH

5 h

6s

m2

n =m

nombre de répétitions S

2) au-delà de la section à 5.h/6, répartition suivant la règle de Caquot avec un nombre de répétitions égal à /'0 (en mètres).

) /

0

!• ,

La répartition des armatures d'âme s'effectue donc de la manière suivante :

\

L

nombre

VaK-pu5-h/6 b 0 .d

\

12

© v!V

avec l'0 en mètres

/' 0 pour les espacements suivants m

4) Si le nombre de répétitions n'est pas entier, le nombre de répétitions totalisé depuis l'origine est arrondi à l'entier le plus voisin. On pose pour tout appui j : M

V,

V= VV v J i

ï

Max

5.4.2. Répartition des armatures d'âme

L'équilibre des moments en B donne :

Pour l'étude de l'effort tranchant, on s'intéresse aux valeurs absolues de ce dernier déterminées à partir de la ligne enveloppe : Corde Corde

V

umax- z = FsO-z => FSÛ = Vun

-A

Comme :

il vient :

fe

avec : y s = 1

'Y, i. 15.V f

umaK

e

Cette section doit être ancrée au-delà du nu d'appui pour Vumax (et non pour Vu0 réduit). 6.2. ÉQUILIBRE DE LA BIELLE DE BÉTON SUR APPUI SIMPLE D'ABOUT 6.2.1. Vérification du béton

,^T

v

m= v m= Vm = valeur absolue minimale de l'ordonnée de la ligne enveloppe de l'effort tranchant. Par simplification, on remplace cette ligne théorique par une ligne enveloppe simplifiée constituée par les cordes : M

- reliant Vj à V^ pour la partie gauche de la travée, - reliant Vî_ à

M

vi +

pour la partie droite de la travée.

2. yumax

On définit ainsi les deux longueurs lg et ld.

a

On peut alors appliquer la méthode de répartition de Caquot en considérant les poutres fictives : - de portée 2 . lg associée à l'appui i, - de portée 2. ld associée à l'appui i + 1, On fait la répartition en partant des deux extrémités de la travée continue.

°J2

6.2.2. Bielle à prendre en compte ) Poutre solidaire d'un poteau

Pour le f onct ionnement en treillis de la poutre

A

F

sO

f orces de droite"

y b = 1,5 en général

Le coefficient 0,8 tient compte du fait qu'à l'appui, l'inclinaison des bielles n'est pas exactement 45° et que leur compression peut ne pas être uniforme.

a TU

b 0 .a

bc=

6. ZONES D'APPLICATION DES EFFORTS 6.1. ARMATURE INFÉRIEURE TENDUE SUR APPUI D'ABOUT

•'/. .Le

i

L2cm

b) Poutre à nervure rectangulaire sur appareil d'appui d'où leur section est donnée par : ed

et par suite :

A > 0 < = > F S > 0 < = > Vumax -

M,,

- > 0 <=> Mu < V umax . z

D'où avec une valeur approchée z du bras de levier égale à 0,9.d : si

MU < 0 , 9 . d .

umax

c) Poutre à talon sur appareil d'appui À

MU 0,9.d

fed

COUPE À À

avec un ancrage au-delà du nu d'appui pour TTv umax

/

/45*

\

/ I

MU

0,9. d

Nota : même si l'on trouve A < 0, il n'est pas de bonne construction de ne prévoir aucune armature inférieure traversant le nu d'appui. Les bielles de béton doivent vérifier, de part et d'autre de l'appui :

b 0 .a

6.3. ARMATURE INFÉRIEURE TENDUE SUR APPUI INTERMÉDIAIRE

Iv.

, =1,5 en général

\umas 7. JONCTION HOURDIS - NERVURE 7.1. RÈGLE DES COUTURES v

7 umax

Les aciers inférieurs doivent équilibrer : M, = Vumax - - avec Mu en valeur absolue F s = A . ted

z

Tout plan P soumis à un effort de glissement ultime gu par unité de longueur doit être traversé par des « ARMATURES DE COUTURE » : • inclinées en sens inverse de la fissuration probable, • totalement ancrées de part et d'autre de ce plan. Considérons, dans le plan P à coudre, un élément plan : • de longueur dx, • de largeur b0, • soumis à un effort de glissement gu par unité de longueur, • soumis à une contrainte normale uniforme au (> 0 pour une compression).

Il est sollicité par : • une force g u . dx dans le plan P, • une force Ou . b0 . dx normale au plan P.

2) que la contrainte de compression dans les bielles de section

b n . dx

vaut :

V2 a+

dF

bc

Ces efforts doivent être équilibrés par : • une force de compression dFbc, inclinée à 45° sur P (compression des bielles de béton) • une force de traction dFs, inclinée d'un angle a sur P (traction des armatures de couture)

bc

a u .b 0 .dx

sin a + cos a

Le plus souvent, on choisit a = 90° : A

a u .b Q .dx

b0.dx

° ' C°S

t

f

«_

st y s

u

°

u

et si au = 0 : A

f

expressions habituelles de la RÈGLE DES COUTURES. On peut donc retenir ce résultat simple : « la force développée par unité de longueur par les aciers de couture doit équilibrer le glissement longitudinal ultime par unité de longueur ». Par projection des forces sur P et sur la normale à P, il vient : 7.2. VÉRIFICATION DU BÉTON

l2__ [1]

H'

\/2~ [2] d

On en déduit puisque gu = iu . b0 :

/2~(t .sina + a .cosa)b n .dx sin a + cos a

II en résulte : 1) que les armatures de couture doivent équilibrer par unité de longueur du plan P, un effort : =

dx

=

s, ' Y s

° sin a+cosa

À.N. •b

sin a + cos a

[1]. sin a + [2]. cos a => dFbc =

^ho

H

,VA.N

À

(t - o ) b0 . dx s

1 „

A, fet -. —(sina + cosa)=T -a . », r

o,

bl

L'effort de glissement sur le plan HH' (variation d'effort normal par unité de longueur) correspondant à la saillie b[ du hourdis (en pratique, dalle ou table de compression) vaut : V,, giu = — . b, Ii

/

ho

\ = moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section homogène réduite. Or le moment statique S, de la partie comprimée de la section en T est tel que : S i > b . h0 puisque l'axe neutre est dans la nervure.

On en déduit :

S

-

<

2

D'où:

VU

b,

Il

'b

i

b

Vu b, I, — . — car z = — z b S[

D'où la contrainte tangente sur le plan HH' à la jonction nervure-saillie :

Nota : en général As et A; sont les armatures d'une dalle fléchie localement entre deux nervures parallèles. On admet qu'elles peuvent simultanément jouer le rôle d'armatures de couture et n'ont donc à être complétées que si l'inégalité précédente n'est pas vérifiée (voir couture remarque page 204).

g. POUTRES À TALON II s'agit de poutres en T dont l'âme est élargie au niveau des armatures tendues. ,

T

élu

=-

soit :

z.h0" b


donné au paragraphe 3.2.1.

z = 0,9 . d

7.3. ACIERS DE COUTURE

As et Aj étant les aciers supérieurs et inférieurs de la dalle espacés de st et ancrés totalement de part et d'autre des sections de jonction HH', ils équilibrent par unité de longueur un effort : As + Ai

s

'

fe

. — avec y~ = 1,15 Ys

Cet effort devant être au moins égal à l'effort de glissement ultime sur le plan HH' :

Notations : Aj = section des barres longitudinales situées dans une saillie du talon, A = section de l'ensemble des barres longitudinales situées dans le talon, Ac = section d'une nappe d'aciers de couture (cadres de talon), sc = équidistance de ces nappes. L'effort de glissement par unité de longueur du plan TT" vaut : V u ,, Vu SB II

As + Ai

st

fe Vu bl . — > glu = . -r-

v

z

b

il faut donc :

s

t

i fre 2> ! i , i b15 _ ï ï . e

z=0,9.d

avec : S B =15A 1 (d-y 1 ) S,= 15A(d-y,)

= moment statique par rapport à l'axe neutre d'une saillie du talon, = moment statique des aciers tendus par rapport au même axe = moment statique de l'aire homogène comprimée, d'après l'équation des moments statiques (cf. 7.1, chapitre 6 « FLEXION SIMPLE »).

Soit: Vu A, — •—

z

A

:

Vu ^ 0,9 d

A

D'après la règle des coutures, les armatures de couture sont obtenues en écrivant q Ue l'effort unitaire équilibré par les aciers de couture est au moins égal à l'effort de glissement ultime sur le plan TT' : A, £,, V,, Ai î '. -'••

sc

y,

" 0,9 d

A

— CORRIGE — 1. EFFORT TRANCHANT j.l. EFFORT TRANCHANT MAXIMAL

soit, si l'on adopte pour les armatures de couture le même espacement que pour les armatures d'âme (sc = st) : _ . 0,9d A

y s =l,15 en général

v V umax =

Pu

l 2 EFFORT TRANCHANT RÉDUIT (TRANSMISSION DIRECTE DES CHARGES AUX APPUIS) Charges uniformément réparties : ''uO — Vumax

II. EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT — ÉNONCÉ — q=26,6kN/m Pu=58,57kN/m

2. VÉRIFICATION DU BÉTON 2.1. CONTRAINTE TANGENTE CONVENTIONNELLE

V,

COUPE ÀÀ 2,22m

i-»

VUO = 292,9 - 58,57 l^*± = 250 kN 6

pu

b0. d

j^lBcm

•iï. ; * .'..r.

rvvVT TV V TVT V v T V ' V V V ' T w ' V V V V T T VT^

1=10, 00m

—I

2. VÉRIFICATION 85cm

5cm >E—

Fissuration \ préjudiciable j

en travée J 22 j 7f

5iir

(4MPa.

, 4 MPa

Tu0 = 1,43 MPa < 2,5 MPa = t^ O.K.

• Exercice « fissuration préjudiciable - section à table de compression » traité au chapitre « FLEXION SIMPLE ». • Fissuration préjudiciable. Pas de reprise de bétonnage. • Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, ft28 = 2,10 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • On se propose : 1) de calculer les armatures d'âme, 2) de vérifier les abouts de la poutrelle lorsque la poutre est solidaire d'un poteau de 30 cm de largeur mesurée parallèlement à sa portée et la jonction hourdis-nervure.

=» ARMATURES D'ÂME DROITES

3. ARMATURES D'ÂME 3

-l. ARMATURES CALCULÉES f

et

b 0 . s, ' y

-0,3. k . L 0,9 (sin a + cos a)

4. ESPACEMENT MAXIMAL

avec : a = inclinaison des At,

s.«=22cm<40cm= st O.K.

T uO = 1,43 MPa

b0. d

{

10,9 . 80 = 72 cm s t <40cm = Min< 40cm \*carA'=0

(0,9. d St
At droites => a = 90° => sin a + cos a = 1 FeE500=>f e t =500MPa,y s = 1,15

0 si reprise sans indentations, 0 si fissuration très préjudiciable, 1 sinon en flexion simple.

- pas de reprise, \ - fissuration préjudiciable, > => k = 1 - flexion simple. I

ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa

RÉPARTITION DES ARMATURES D'ÂME 4.t Kbi-AM i Espacement n p

— ^

22(1,43-0,3.2,1) 0.9

1

=

500

initial stl

22,23

3

I

"1 — - u •

3.2. POURCENTAGE MINIMAL

At 22 . 0,4 1 2 —>— = — — cm /cm 500 56,82 st A, = st

^ 22,23

56,82

.dans , ,la,smte - ,

. , - , . . des espacements de Caquot 5.0,85^,

r.-K,-^-* -^ uO

rm , cm/cm

1,15

-^— fet > 0,4 MPa b 0 . st

to

= 2Q cm

Nombre de répétitions :

f,28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K. At

s

pour le 1er espacement 6s t 0

H! = /' 0 pour les suivants

n» = 2,40 +

0,3.1.2,1^ ~ -

:

5_^0,8^ =

6 . 0,22

HJ = 2,40 pour i > 1

4.1. TABLEAU DES ESPACEMENTS

O.K.

l s to

3.3. DIAMÈTRE DES ARMATURES D'ÂME

/! Ot < Min / h/35

(25 mm *t < 22 mm = Min / 850/35 = 24,3

|bo/10

|220/10 = 22 => prenons
nombre de répétitions

, 1 cadre8HA o

o

18__8J A, = 2. 0,50=1,00 cm2 => s,0= 1,00 . 22,23 = 22,23 cm retenons : 1 cadre 8 HA sto = 22 cm

i

Nota : le nombre de répétitions 3 ne convient pas car il ne permet pas d'atteindre le milieu de la portée avec des espacements de 40 cm. ^ II manque pour arriver à mi-portée : 500 - 490 = 10 cm. Retenons sans mettre un cours d'armatures d'âme à mi-portée : 10 + 6x20 + 2x25 + 4x35 + 4x40

4.2. VÉRIFICATION DE st À 1/2

4 3. RETENU

a) Effort tranchant Compte tenu de la forme de la ligne d'influence de V :

Q

1

l cadre ( 8 H À \

/

\

\ 10 6 . 2 0

} V q = ±q u .I.fl.l) = ±^ 2 \2 2l 8

fej Armatures d'âme calculées V I = u

bQ.d

yu = ± 1,5 .26,6 .B°° = ± 49 9 kN 8

49,9. 10 3 = 0,28 MPa " 0,22.0,80

t =

^22(0,28-0,3. 1.2,10) b

o •s t Y

4.35

4.40

0,9 (sin a + cos a)

5.1. ARMATURES INFÉRIEURES TENDUES SUR APPUI D'ABOUT

A=

f,,

50,82


0 293 4 2 A = - - . 10 = 6,74 cm 435

Comme on avait deux files de 3 <& 25 HA en travée, on garde : 2 O 25 HA inférieurs sur appui : A = 2 .4,91 = 9,82 cm^ ancrés au-delà du nu d'appui pour : A réel

st

Fe E 500 =* /s = 44O (voir exercice chapitre « TRACTION SIMPLE » § 5.1.a)

/ = -^l_ /, = 0,69. / s 2 . 4,91 / = 0,69 . 44 . 2,5 = 75,9 cm / = 75,9 cm > 30 cm de largeur d'appui => Crochet.

=> s, = 40 cm à 112 convient. 5.2. VÉRIFICATION DU BÉTON DE LA BIELLE D'ABOUT

c) Pourcentage minimal

A, b 0 . s,

fet > 0,4 MPa

A, «t st

Largeur d'appui : 30 cm Enrobage : e = 3 cm

> 2 2 ' °'4 =0,018 cm 2 /cm 00

At _ 2 . 0,50 40

= 0,025 > 0,018 O.K.

d) Espacement maximal

s, = Min j ' \40cm

20

5. VÉRIFICATIONS D'ABOUT

Charges permanentes } Vg - 0 Charges variables

2.25

c t = Max { e 1 cm

(25 mm c t = 3 cm = Max < 3 cm [ 1 cm b 0 =22cm a = 30 - 2 - 3 = 25 cm

s t = 40 cm (cf. paragraphe 3.4.)

st = 40 cm = st O.K.

On doit vérifier :

III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE - ARMATURES D'ÂME INCLINÉES

=

bc

b0 . a

— ENONCE — abc = 10,7 MPa < 13,3 MPa = 0,8 — Q K 1,5 '•

COUPE ÀÀ 3,00m

5.3. ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES TENDUES Voir exercice « Ancrage total » au chapitre 3 « Association acier - béton » pour la méthode de calcul.

2,05m

fa jriJnU iii iUiUiUUJUUU U-j.g 1 = 12, 00m

6. LIAISON HOURDIS-NERVURE

I—»A

L

8888888 7 files 75cm

6.1. VÉRIFICATION DU BÉTON

À'=0

bi =

b-b0

2,22 - 0,22

2

2

umax Tu =

7 . Il h0 L

:

= 1,00 m

0,293 1,00 = 1,22 MPa 0,9.0,80.0,15 ' 2,22

1

h U

'

T u =-

< t,. llm

z = 0,9 . d T = 1,22 MPa < 2,5 MPa = ilim O.K (cf. 2.2.)

• Action variable : Q = 3,525 MN.

fe

/*' •' '>

• • • • - . • ">' f-

• Fissuration préjudiciable. Reprise de bétonnage sans indentations. • Matériaux : • béton : fc2g =25 MPa, ft28 = 2,10 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • On se propose, au voisinage de l'appui A :

6.2. ARMATURES DE COUTURE

1) de vérifier le béton des bielles, i St

— . te > 1,1J .

Vu b i Z

. -r

b

As + Ai 1,15.0,293 1,00 st - 500 . 0,9 . 0,80 ' 2,22

z = 0,9.d

A S + A;

1

d'où pour s, = 1,00 m : A s + A, = ^ =4,22 cm2 => As + Aj > 4,22 cm2/m Remarque : si la condition n'est pas vérifée par les armatures existantes de la dalle, on peut, au lieu de rajouter des armatures, réduire proportionnellement la largeur b et reprendre le calcul des aciers longitudinaux (dont la section augmente, mais faiblement).

2) de calculer à titre indicatif les armatures d'âme inclinées d'un angle a de telle sorte que

A, leur volume relatif p = soit minimal, ' b 0 .s t sinoc 3) de calculer les armatures d'âme inclinées d'un angle a = 45°, 4) de déterminer les armatures d'âme droites et les armatures horizontales associées réparties sur la hauteur de l'âme.

2 2.

— CORRIGÉ —

VÉRIFICATION Fissuration 1 préjudiciable J

1. EFFORT TRANCHANT

0,15^ = 2,!

T

,,m = Min

^4MPa

1.1. EFFORT TRANCHANT MAXIMAL 05 = poids volumique du béton armé g = O5.b0.h ,

Pu=U5.g Q U =1,5.Q Pu- l

l- a

Tu0 = 2,95 MPa > 2,5 MPa = Tlim => Armatures d'âme inclinées

< T Hm

05 = 25 kN/m3 g = 25.10-3. 2,05 . 0,75 = 0,0384 MN/m p u = 1,35 . 0,0384 = 0,0518 MN/m Qu = 1 , 5 . 3,525 = 5,288 MN

de 45° < oc < 90°

3. MINIMUM D'ARMATURES D'ÂME INCLINÉES 2

5,288 11 - —I = 4,277 MN 12/

0,311

3,966

3.1. INTRODUCTION Volume relatif d'armatures d'âme inclinées : p

1.2. EFFORT TRANCHANT RÉDUIT (TRANSMISSION DIRECTE DES CHARGES AUX APPUIS) Charges uniformément réparties : Vu0 (p u) = 0,311 - 0,0518 ±^± = 0,223 MN

A,

\-<>,3.k.f t j

=

1

=

bQ.stsina

0,9 . fed (sin a + cos a) sin a

Ce volume relatif est minimal pour : f(cc) = (sinoc + cosoc)sina maximal d'où : f (a)= 2sina cosoc + cos2 a - sin2 a = sin2a + cos2a = 0

n

TC -

Charge concentrée :

n

- + k.-

h _ 3h — < a< 2 2

^^ = 1,025 m < a = 3 m < 3,075 m = ^^ 2 2

k = 0 =^ a = - — < 0 < 45° donc inacceptable,

V UO (Q) = — V U (Q) 3h

9 ^ 00 Vu0 (Q) = ^L^^L 3,966 = 3,869 MN 3 . 2,05

k = 1 => a = -
o

371

77l

Total : V u o=V u 0 (p u ) + V u0 (Q

V u0 = 0,223 + 3,869 = 4,092 MN

k = 2 =^ a = - r = 157,5° > 90° donc inacceptable. 8 L'extremum est donc obtenu pour a = 67,5° et on a : o>

2. VÉRIFICATION DU BÉTON

f'(a)

2.1. CONTRAINTE TANGENTE CONVENTIONNELLE

f (a)

d = 0,9.h

67,5*

1,207

d = 0,9 . 2,05 = 1,845 = 1,85 m

' uO

b0. d

451

T .. =

4,092 = 2,95 MPa 0,75 . 1,85

Par conséquent :

[pr ]

<=* a = 67,5°.

t min

90*

3.2. VÉRIFICATION DU BETON

d'où pour 7 files d'armatures longitudinales :

. = Min

.'V

Thm =Min

hm

.

MPa = 5,5

10-3— MPa 45 /

o

Tu0 = 2,95 MPa < 3,5 MPa = Tlim O.K.

V) > < Tlim

3.3. ARMATURES D'AME

A, fet b0 . s, ' y

0

fa

g S

o G

S

A t = 8 . 1,13 =9,04 cm2 =*s t = 9,04. 2,31=20,88 cm retenons : 3 cadres + 1 étrier O 12 HA sto = 20 cm

V°'3-k'ftj 0,9 (sin a + cos a)

avec : oc = inclinaison des At,

At inclinées => a = 67,5° Fe E 500 => fet = 500 MPa, ys = 1,15

UO

«o

0

3 cadres+1 étrier O12HA

3.6. ESPACEMENT MAXIMAL

[0,9d s, = Min / 4 0 c m 15
TU() = 2,95 MPa

b0. d

^ 0 si reprise sans indentations, k = <( 0 si fissuration très préjudiciable, 1 sinon en flexion simple.

- reprise non traitée, - fissuration préjudiciable, } =» k = 0 - flexion simple.

ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa

ft28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K. 75 . 2,95

V

-TTT cm2/cm

(sin 67,5+cos 67,5)

<0,9. 185 = 166 cm s t < 40 cm = Min { 40 cm

sto = 20cm<40cm = st O.K. 3.7. RETENU

• / - *. 3 cadres + 1 étrier O 112 HA inclinés de : = 67,5°: s,o =20 cm

4. CADRES ET/OU ÉTRIERS INCLINÉS DE a = 45e 4.1. VÉRIFICATION DU BÉTON

3.4. POURCENTAGE MINIMAL

' A

- f > 0,4 MPa b 0 . s t etet

t

75.0,4

1

-

f• 0,21 —

v 7MPa

A, 1 1 —= ->— —O.K. s, 2,31 16,67

I o 27 — = 4 5 T..lim =4,5 MPa = Min { 1,5

7 MPa

Tu0 = 2,95 MPa < 4,5 MPa = ilim O.K. 4

-2. ARMATURES D'ÂME

3.5. DIAMÈTRE DES At

, < Min /h/35

|b0/10

[32 mm <ï>t < 32 mm = Min h 050/35 = 58,6

J750/10 = 75 => prenons , = 12 mm (> O/3 = 32/3 = 10,7 mm)

A, fet o-st Y

\-°'3-k-ftJ 0,9 (sin a + cos a)

avec : a = inclinaison des At, f

et> Y,,

At inclinées => a = 45° Fe E 500 => f e t = 500 MPa, y s =l,15

VUQ

4.5. ESPACEMENT MAXIMAL

= 2,95 MPa

b0 . d

f 0 si reprise sans indentations, , r.. k = < 0 si fissuration très préjudiciable, ir 1 1 sinon en flexion simple.

- reprise non traitée, - fissuration préjudiciable, } => k = 0 - flexion simple.

ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa

ft28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

..v

[0,9d st = Min / 40 cm (!5
(0,9. 185 = 166 cm s t < 40 cm = Min < 40 cm

U

sto = 22 cm < 40 cm = st O.K. RETENU 3 cadres + 1 étrier 12 HA inclinés de

A. 75 .2,95 s.~~~ „ 500 , '' 0,9fy^(sin45+cos45)

a = 45° : sto = 22 cm

1,1 J

5. ARMATURES D'ÂME DROITES ET ARMATURES PARALLÈLES À LA LIGNE MOYENNE 4.3. POURCENTAGE MINIMAL

5.1. INTRODUCTION A

A

— f , > 0,4 MPa b 0 . s t ei

t

75.0,4

1

c

^- l > * O.K. s, 2,5 16,67 4.4. DIAMÈTRE DES A,

32 mm <ï>t < 32 mm = Min (x 2 050/35 = 58,6 J750/10 = 75


En réalisant les armatures d'effort tranchant au moyen : - d'armatures d'âme droites d'une part, - d'armatures parallèles à l'axe de la poutre, réparties sur la hauteur de l'âme et dont le pourcentage soit au moins égal à celui des armatures d'âme droites d'autre part, la contrainte tangente limite peut être prise égale à celle correspondant à des armatures d'âme inclinées à a = 45°. 5.2. VÉRIFICATION DU BÉTON 0,27^

prenons <ï>t = 12 mm (>
7 MPa

_25_

\ra = 4,5 MPa = Min \ ' Û" JMPa TUO = 2,95 MPa < 4,5 MPa = ^O.K.

uO

d'où pour 7 files d'armatures longitudinales : 5.3. ARMATURES D'ÂME DROÏTES

V 3 cadres+1 étrie^ 012HÀ

' o

a) Calcul

0

0

3 ,? §

k

s

A,= 8. 1,13 = 9,04 cm2 => s, = 9,04 . 2,50= 22,60 cm retenons : 3 cadres + 1 étrier 4) 12 HA sto = 22 cm

T 3 k \ fe, u-°' - ^ b o •s t Ys 0,9 (sin a + cos a)

avec : oc = inclinaison des At, f

et. Y.. 'un

b0.d

At droites => a = 90° => sina + cosa = 1 Fe E 500 => fet = 500 MPa, JB = 1,15 T uOn = 2,95 MPa

• ^

' 0 si reprise sans indentations, k = { 0 si fissuration très préjudiciable, 1 sinon en flexion simple.

- reprise non traitée, -fissurationpréjudiciable, - flexion simple.

ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa

f t28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K. A,

b) Pourcentage minimal A. - f > 0,4 MPa r\ b 0 .so t et

e)

3 cadres + 1 étrier 12 HA verticaux sto = 16 cm

k =0

5.4. ARMATURES HORIZONTALES ASSOCIÉES

75 .2,95 1 cirr/cm 500 1,77 0.9 1,15

a)

Calcul z

V

>— s.

A, 1 1 -= >O.K. s, 1,77 16,67

1,77

c) Diamètre des At

pour des armatures horizontales le long des faces externes des cadres

[32mm E>t < 32 mm = Min / 2 050/35 = 58,6 mm (750/10 = 75 mm

<ï>, < Min /h/35

lbo/10

020HÀ s h -?• 20HÀ / • s h -?•

d'où pour 7 files d'armatures longitudinales :

V 0

0

8

8 8

4> %

f 2

A,= 8. 1,13 = 9,04 cm =>s t =9,04. 1,77= 16,00cm retenons : 3 cadres + 1 étrier 12 HA s,() = 16 cm

d) Espacement maximal (0,9d s~, = Min / 40 cm |

4 x 8 < 5 2 0 H A s, =

E\

Ë £ 3

::==:

O

O

8 8,

3 cadres+1 étrier O12HÀ

O

= 94,07 cm2 0,9. 185

= 20 cm

ZA h = 4. 8. 3,14 =100,48 cm2.

• prenons <5t = 12 mm (> Oj/3 = 32/3 = 10,7 mm)

'

2/

!

--Û7 c m / c m

ZAh = Somme des brins composant les armatures horizontales associées des deux faces sur la hauteur de l'âme, z = 0,9d = hauteur du treillis de Môrsch.

- t . 75 . 0,4 1 : cm "/cm 500 16,67

cl

Retenu

A

* -_

•i> a

3 cadres + 1 étrier O12HÀ

b) Répartition des armatures horizontales associées On arrêtera le double système d'armatures à l'abscisse x, depuis le nu d'appui, où : T u =T Um (a = 90°) d'où:

Vu = 2,5 . 0,75 . 1,85 = 3,469 MN

Vu= T hm . .b 0 .d

• Diagramme de l'effort tranchant : [0,9. 185 = 166 cm s t < 40 cm = Min { 40 cm

- pour 0 < x < a - e v

u = Vumax - 1,35 g x

x

= 0 : Vu = 4,277 MN (cf. § 1.1.)

x = a : Vu = 4,277 - 0,0518 . 3,00 = 4,122 MN sto = 16 cm < 40 cm = st O.K.

pour a + e < x < / Vu = Vumax - 1,35 g x - 1,5 Q x = a : Vu = 4,277 - 0,0518 . 3,00 - 5,288 = - 1,166 I\

-1/2

= V

COUPE AA

x = / : Vu = 4,277 - 0,0518 . 12,00 - 5,288 = - 1,633

4,277

x

4,122

': .1:

3,469^7

• 2 05m

020HÀ s h = 2 0 cm

02QHÀ s h = 20 cm

-1,633

-

.

• o^t o

• Les armatures d'accompagnement doivent donc régner jusqu'à la section d'abscisse a = 3,00 m depuis l'appui de gauche, avec, compte tenu de leur ancrage, une longueur : a + /. = 3,00 + 44 . 0,02 = 3,88 m a + L - a + 44O

3 cadres+1 étrier 12HÀ

o

§_ 8 a $, 37, 5cm

5.5. SCHEMA DE FERRAILLAGE D'EFFORT TRANCHANT

6. REMARQUE

-ELEVATIOH-

En rapportant le volume des armatures d'âme au volume de béton associé :

/\

pour a = 67,5° 3 cadres + 1 étrier

le


4 4 * (ou ancrage courbe)

II.

pour a = 45°

pour a = 90°

b0.st.sina

75 . 2,31 . sin67,5

b0.st.sina

75 . 2,50 . sin 45

b0.st

b0.z

2A b0.s,

160,06 132,58 I

75.1,77

66,38

sh = 2 0 cm

Donc :

3,00 m

- la solution a = 67,5° est la plus économique (mais la plus compliquée et sa mise en place est peu réaliste), - la solution a = 90° + armatures associées est la moins économique de beaucoup. Contrairement à une opinion assez répandue (la longueur sur laquelle la dépense nécessaire avec cette dernière solution est courte), cet exemple montre que, dans certains cas, une part importante de la portée de la poutre peut être affectée.

CHAPITRE 8

FLEXION COMPOSEE

I. RAPPELS DE COURS 1. GÉNÉRALITÉS - INTRODUCTION 1.1. GÉNÉRALITÉS On désigne par (sollicitations fournies par les calculs de Résistance des Matériaux) : • MGo le moment de flexion (ultime ou de service) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul (de signe quelconque), • N l'effort normal (ultime ou de service) ; par convention : - positif pour une compression, - négatif pour une traction. Le système (MGo, N) est équivalent à une force unique équipollente à N et appliquée en un point C (centre de pression) contenu dans le plan moyen. La distance G0 C est appelée excentricité de la force extérieure (équipollente à l'effort normal N et passant par C) par rapport à G0.

e

o

("Cj=centre de pression

En flexion composée, sollicitation vectorielle, la valeur du moment de flexion dépend du point où l'on effectue la réduction des forces (centre de gravité G0 du béton seul On centre de gravité A des armatures tendues). En flexion composée, la première chose à faire est de rechercher la position du centre ri MG pression en calculant e 0 = —-p.

M

uG0 = Nu (ei + 62) = Nu eo

avec:

Le signe de MG fournit la position des aciers tendus :

a= I%i.Q

ou :

V

M j et M j étant évalués sans les coefficients y (ce sont des moments de service), e a n'intervient pas.

2. SECTIONS PARTIELLEMENT TENDUES

1.2. PRISE EN COMPTE FORFAITAIRE DES EFFETS DU SECOND ORDRE EN FLEXION-COMPRESSION À L'E.L.U. /f = longueur de flambement de la pièce (voir paragraphe 2.1. chapitre 5 « COMPRESSION SIMPLE », h = hauteur de la section droite dans le plan de flexion,

2.1. DOMAINE D'APPLICATION

2.1.1. À l'E.L.S. On pose :

/ = longueur libre de la pièce,

eOser = Nser

e a = Max J

= excentricité additionnelle,

250 e j = —^—77

Sy.N,

H e, = excentricité du 1 ordre à l'E.L.U.

1.2.1. Cas où //h > Max[15 ; 20.6 Vérifier la pièce à l'état-limite ultime de stabilité de forme (voir chapitre 1 1 « FLAMBEMENT »)• 1.2.2. Cas où Vh < Max[15 ; 20 Faire le calcul en flexion composée pour les sollicitations ultimes :

La section est partiellement tendue si : <,; a) Nser étant une compression (Nser > 0) => pour une section rectangulaire sans aciers-comprimés, il faut yl < h , d'où : M s e r A S M serlim = ~ a b c b 0 h d-- =

. - 1 -- .- b 0 d 2 a b c

avec Mser A = moment fléchissant de service par rapport aux aciers tendus (même signe que M serG ). La nappe d'aciers n'est effectivement tendue que si la position de l'axe neutre est telle que y] < d. Soit, en faisant oc, = — = 1 dans l'expression de la page 130 (os = 0) :

A

= 0,333

b) Nser étant une traction (Nser< 0) => C est à l'extérieur des traces des armatures.

' >—>

2.1.2. A PE.L.U. La section est partiellement tendue si :

^

a) Nu étant une compression (dans ce cas : Nu > 0 et e0 = el + e2 ^ e0ser avec yu < h) :

£

V

ï"~^'

\

À.H

A I l o n g e m e n t i Raccourcissement f

e

\ "1

\

8.y u

o z

b

B

4

0,

'-S F / / sc/ F bc / f

e

..

B

bu

A

/

/

v ^

\ r

F

\ \

$n prenant les moments par rapport aux aciers tendus, les équations d'équilibre s'.àxivejit : | |MA = N . e A = F s c . z s + F b c . z b f ' "| l V[ _ LC _i_ C _ p j-1^ ~~ bc ' L SC A S

pour une section rectangulaire, en l'absence d'aciers comprimés avec y u = h

0,8.b0.h.fb; = d -0,4.h b

"'

soit en tenant compte des sections A et A' d'armatures : (MA = N . eA = A' o sc . Zs + F b c . zb

bc =

M

BC = Fbc •z b

soit, en considérant les moments par rapport aux aciers tendus : = 0,8.

•-. ., _. '»

d\

1-0,4.

d/

b0.

N

A +— N = Fhr + A' . OoC - A . as <=> Fbc + A' 0SC - A

Les équations d'équilibre de la même section soumise en flexion simple au moment MA et aux mêmes déformations (donc aux mêmes contraintes et de même axe neutre) et munie des sections d'armatures A et A ' s'écrivent : |MA = A' asc . Z, + Fbc . z,,

MBC

d'où:

' . a s c -A .

=0,8.JLi-o,4.JL

b0 . d . f bu

d'où par identification, il vient :

et la section est partiellement tendue tant que yu < h c'est-à-dire tant que : À .-A

avec : MuA = moment fléchissant ultime par rapport aux aciers tendus (même signe que MuGo). La nappe d'aciers n'est effectivement tendue que si : y u < d => ^ b u <^ B o = 0,8(1 -0,4) = 0,480 b) Nu étant une traction (Nu < 0) => C est à l'extérieur des traces des armatures (dans ce cas :

H

2.2.2. Technique du calcul • Calculer le moment MA (MuA ou MserA) par rapport aux aciers tendus, => en déduire par le calcul en flexion simple les sections A et A ' des armatures, => revenir à la flexion composée avec les sections d'aciers : /A' = A'

M

JGO

eoser à moins que les MjGo et les N; ne proviennent d'une action unique

^Yi -^i

auquel cas e0 = e0ser).

2.2. CALCUL DES ARMATURES 2.2.1. Méthode de calcul On se place dans le cas où l'une au moins des nappes d'armatures est tendue :

où : N (Nu ou Nser) en valeur algébrique, as à l'état-limite déterminant pour le calcul de A. 2.2.3. Remarques N est une compression (N > 0) => diminution de la section d'aciers tendus trouvée en flexion simple. augmentation de cette section. N est une traction (N < 0)

2.2.4. Positions relatives de A, G0 et C MGr >0 0

Faire bien attention que c'est le moment MA (MuA ou MserA) qui est à comparer au moment limite (Mlu ou Mrb) et non le moment MGo. pans le cas où A' préexiste, la méthode de calcul exposée au paragraphe 2.2.2. s'applique : 1) en prenant à l'E.L.U. :

MG N>0

MBO = 0 , 4 8 . b 0 . d 2 . f b u + A ' . f e d ( d - d ' ) 2) en prenant à l'E.L.S. :

"G,

M ser.hm , = 0,333. b0n . d .abc + A ' . < jse (d — d ' ) avec a se =15.o, — ' bc

H<0

3) en vérifiant que : A'calculé < A'réel 2.2.6. Section en T à l'E.L.U.

Si N est une compression ; C est à l'opposé de A (centre de gravité des aciers tendus) par rapport à G0. Si N est une traction ; C et A sont du même côté par rapport à G0. 2.2.5. Cas des sections rectangulaires Moment au centre de gravité des aciers tendus (en valeur absolue) :

On suppose que le signe du moment MuA est tel que la table est comprimée. a) Cas où MuA < MTu

La zone comprimée a une forme rectangulaire. Donc calcul en section rectangulaire de largeur b soumise à (MuA, Nu). tyCasoùMuA>MTu La zone comprimée a une forme de T. On opère par décomposition de la section :

-f d

À.N.

b-br

S

bc f bu

-©

f

•bl

Les équations d'équilibre s'écrivent : MA = M(

|MuA = F bcl . Zbi +F b c 2 . \ N u = F b c l + F b c 2 -F s

^N avec son signe Comme la sollicitation de flexion composée est une sollicitation vectorielle, et que les coefficients de pondération des actions ne sont pas nécessairement les mêmes pour le moment et pour l'effort normal, il n'est pas possible de savoir de façon simple, a priori, s'il faut, ou non, prévoir des aciers comprimés. Des tableaux qui donnent les moments limites ultimes réduits pour des aciers Fe E 500 et fc28 < 35 MPa figurent dans l'annexe 3 en fin d'ouvrage. Nécessité d'aciers comprimés : • à l'E.L.U. : MuA < Mlu => A' = 0 • à l'E.L.S. : M^ serA A < Mrb rh => A' = 0

etzbl=d-0,4.yu h

avec

donc

/M uA = 0,8 . b0 . yu . f bu (d - 0,4 . yu) + (b - b0) h0 . f bu d - ^ ( \ 2l NU = 0,8 . b0 . yu . f bu + (b - b0) h0 . f bu - A . as

bc2 bcl

/ M uu RR = M uu AA - ( b - b o ) h 0 . f b u ( d - ^ )

int • et en posant

~u 7F"~7

©8

\NuR=Nu-(b-b0)h0.fbu ' MUR = °'8 •b° ' Yu ' fbu ^ ~ °'4 ' |NuR = 0,8 . b 0 . y u . f b u - A . os

il vient •

soit les équations d'équilibre d'une section rectangulaire b0 d soumise à MuR et N'uRDonc calcul en section rectangulaire b0 d soumise à :

cas où Nf < 0 Nf N f . e 0 . v

cas où Nf > 0 Nf N f . e 0 . v •

NuR=Nu-(b-b0)hQ.fbu Il faut prendre garde de bien retrancher de A la quantité NuR/os (NuR en valeur algébrique) et non pas Nu/as.

avec : Nf>0 e0 > 0 (même signe que Nser)

avec : Nf<0 e0 < 0 (même signe que Nser)

D'où: Nf N f . e 0 . v

2.3. SECTION MINIMALE D'ARMATURES

=

La sollicitation provoquant la fissuration du béton (ot = ftj) de la section supposée non armée et non fissurée doit entraîner dans les aciers tendus de la section réelle une contrainte au plus égale à fe.

1 '< B(M serG ,

Nf =

B.e0.v-I

M

Nf-e

P = B . v . v'-=rendement de la section

N

f

p.v* o-P-

1/'

tj

Le diagramme des contraintes est supposé linéaire. Le point de passage de la résultante des contraintes normales est supposé identique à celui de la sollicitation de service la plus défavorable.

Caractéristiques géométriques de la section non fissurée et non armée : b

h

1

1- „

P— !>'

OY

B=b0.h+(b-bQ)h0 bD.h2+(b-b0)h20

T. ÏT

2.B v=h-v'

7

Nf.e0.v

>C

- at p . v' (limite

c

supérieure du noyau central). D'où les cas à considérer :

2.3.1. Cas des sections en T

.,

Nf en remarquant que o t - —

ÛJ

Les excentricités e0 et eA ont le même signe que Nser (et que Nf), ce signe a été précisé en 1.1. page 217. Nous avons, lorsque MGo > 0 :

1) cas où e0 > 0 (Nser est une compression) : a) si 0 < e0 < p . v', la section est entièrement comprimée : la condition de non fragilité n'intervient pas et il faut prévoir, pour la section totale des armatures, la valeur minimale requise pour les pièces comprimées (cf. § 4.3), b) si e0 > p . v', la section est partiellement tendue et on détermine Amin en écrivant que pour Nf excentré de e0, la contrainte des aciers tendus atteint la limite d'élasticité, soit : A_ : _ =

N f .e A N

zh=0,9.d

N

Nf e 0 - v ' + 0 , l . d 0,9. d

Çj

e 0 -v'+0,l .d fe 0,9 . d

avec e0 de même signe que Nser.

B . e0 . v - 1

Amin est positif et n'a donc de sens que si eA > zb ou e0 > v' - 0,1 d. Dans le cas contraire, on pourrait, théoriquement, prendre Amin = 0.

h

. .

0

e0-0,5.h+0,l.d

soit en admettant que d = 0,9 . h :

2) cas où e0 < 0 (Nser est une traction) : a) si e0 < - (d - v'), la section est partiellement tendue : on se ramène donc au cas l.b cidessus avec e0 < 0,

e0n 0,23

b) si - (d - v') < e0 < 0, la section est entièrement tendue : il faut prévoir deux nappes d'armatures tendues. On applique les formules du § 3.3. e f t -0,45.d

Sous moment négatif, il suffit d'intervertir v et v' dans les formules précédentes, tout en conservant la convention : l'excentricité e0 a le même signe que Nser. I

2.3.2. Cas des sections rectangulaires

v

h

À . H.

_

À H - — —7

1=

si e0 tend vers l'infini, Amin —> 0,23 —- . b0 . d e

et on retrouve la section minimale en flexion simple (cf. paragraphe 6.1. chapitre 6 « Flexion simple »).

3

V

avec eo de même signe que NSI

Remarque : dans le cas de la flexion simple (N = 0) :

Caractéristiques géométriques de la section non fissurée et non armée : B = b0 . h h v =v =— 2

6.0,9

12

2.4. CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S.

, bo

2.4.1. Cas de la section en T

12 P=

B . v . v'

<£ 8-

Section minimale d'armatures : Les formules établies pour les sections en T partiellement tendues, s'écrivent : 1 h 3 '2

p.v

1 ri ii . N .

À

1 7

°

3'2

d'où : A

min

i

c '

e0-v'+0,l.d 0,9. d

fy e 0 - 0 , 5 . h + 0 , l . d 6

e -~

°

f

e

0,9. d

5

..__

c

^HV, Jl

f.

'

vc ^

;z à

_n

-d')

n-15

K= ^ser/AH II

On pose : yi = distance, toujours positive, de la fibre la plus comprimée de la section à l'axe neutre, yc = distance du centre de pression C à l'axe neutre, de même signe que N ser , eA = distance du centre de gravité des aciers tendus au centre de pression C, de même signe queN ser ,

c = distance de la fibre la plus comprimée de la section au centre de pression C : c = d - eA : si Nser > 0 et eA > d, on a c < 0 (C est à l'extérieur de la section), si Nser > 0 et eA < d, on a c> 0 (C est à l'intérieur de la section), si Nser < 0, on a toujours c> 0 (C est à l'intérieur ou à l'extérieur de la section),

La résolution de cette équation donne yc : > yc

sinon voir §2.4.2. avec b Q =b (section rectangulaire de largeur b)

==>

II faut vérifier que la section comporte bien une nappe d'aciers tendus, c'est-à-dire : y t = yc + c < d Moment d'inertie by 3

(b-b n )( y i -h Q ) 3 -+nA' (y^d 1 ) 2 +nA(d-y 1 )' i

Calcul des contraintes En écrivant que le moment des forces internes par rapport à l'axe neutre vaut :

,•,„.

Mser/AN = Nser • Yc

il vient :

Les contraintes valent alors : Dans tous les cas : y, = yc + c

a

Position de l'axe neutre

as=n.K(d-yn) jllTg" si la fissuration est préjudiciable ou très préjudicia-

Section

b.y, J l

1

bc~^ • yl —abc dans tous les cas

H/K

Z

2

Vl

b yy D

/C

' l

2

3

à déduire --^-(b-bnJCy.-h,,)2 À À

1

1

Vl

M/C +c ho(y TT c+c) lr L r c3

i /

-c °

.,2 y

b-bQ

" h °,h c 3 0 e

2

(yc

blé

^T

+c+2h n |c h j 2 y c

o

3

1

n.À'CVj^-d )

d'-c

n . À (y c +c-d')(d'-c)

-n.A(d- Vl )

d-c

n . À (y c +c-d) (d-c)

N ^1 K

y-

2.4.2. Cas de la section rectangulaire Pour b = b0, les équations précédentes s'écrivent Position de l'axe neutre

?=3 +p.y c +q=0 p-

o 2 , 6nA' , , , b

Z2= M / c =0

q •

, 3

En écrivant £2 - M/c = 0, on obtient l'équation du troisième degré en yc

vc3 +p-y c +q=o -, b

2,^/b

p -3 b c^+JC b

o

o

-, b _ 3 , 0 , b *• K b

o

D

o

1 \ / _C nu j\ 2 +, G,n A '(a / j , c)+ , 6nÀ , , c), 1K (a n b b,

o

^, m u ^3

6nÀ

o

' / j i-

o

Ljyx

2

6nÀ

b,

o

/-• ^ u c^ j

,

b

o

6nÀ' , , , b (

6nA , ,

,2

' o

,

o

6nA , , b

o

)2

Il faut vérifier que la section comporte bien une nappe d'aciers tendus, c'est-à-dire Y! = yc + c < d Moment d'inertie »nVi II- ° 1 +nA'(y 1 -d l

Calcul des contraintes T ,_

M

K— •

serXAH

3 3. SECTION

MINIMALE

Lorsque MGo > 0, nous avons (cf. § 2.3.1) :

— >

N

B

-Mj

f=i Î . e

0.v-l

C'bc3^ • yl — ^bc dans tous les cas a =n . K(d—y-i) i'ôg' si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciaasc=n.K(y1-d1) blé

P V

' '

ï»-1*

e0-p.v

= rendement de la section — pour une section rectangulaire

'. v.v

\3

détermine Amin en écrivant que pour Nf excentré de e0 ser, la contrainte des aciers tendus atteint la limite d'élasticité. D'où les conditions à vérifier : N

3. SECTIONS ENTIÈREMENT TENDUES 3.1. DOMAINE D'APPLICATION

f

C

A2

N f . e A1

À l'E.L.U. comme à l'E.L.S. la section est entièrement tendue si : |N est une traction (N < 0), \C tombe entre les armatures. 3.2. CALCUL DES ARMATURES

Sous moment négatif, il suffit d'intervertir v et v' d'une part puis AI, CAI et A2, eA2 d'autre part dans les formules précédentes, tout en conservant la convention : e0 < 0 lorsque Nser est une traction. On remarquera que A2 est la section la plus tendue dans tous les cas. Remarque : dans le cas de la traction simple : 0 N B . f

si

et A

f. + A m i n 2 ^ B -+

et on retrouve la section minimale en traction simple (cf. § 5. Chapitre 5 « TRACTION SIMPLE »).

4. SECTIONS ENTIÈREMENT COMPRIMÉES L'équilibre des moments par rapport aux. armatures donne : A 1-

A_-

H e

o Àl 3

2 (/ S

' A2

+e

À2 )a sl

N . eAl ,. Al + e A2 )a s2

Solution économique : avoir le centre de gravité des armatures en C, d'où : calcul à l'E.L.U. : Pivot A => asl = as2 s2 = f e . calcul à l'E.L.S. :

4.1. DOMAINE D'APPLICATION La section est entièrement comprimée si, la section A' des armatures les plus comprimées étant supposée connue (en cas contraire, faire A' = 0 dans les formules qui suivent), on vérifie les conditions ci-après. 4.1.1. À TE.L.S. N ser est une compression (N ser > 0), 1

h

1 h 3 d

! - — . — b n d a. M ser A - A ' c r ( d - d ' ) > — . — H i ^ H

2 d

as[ = a s2 = as

h-d'

avec a = 15 a bc

pour une section rectangulaire

4.1.2. À l'E.L.U. ' N u est une compression (Nu > 0),

4

3. SECTION MINIMALE

Ucm^/m de périmètre M

UA - A'fed (d - d') > M BC = 0,8 - 1 - 0,4 - b0 d2 f bu

B = aire de la section de béton seul.

pour une section rectangulaire

'"•^

4.2. CALCUL DES ARMATURES

R DIAGRAMMES D'INTERACTION

4.2.1. Dimensionnement à l'E.L.U. Calcul manuel au pivot C compliqué, on utilise des abaques (diagrammes d'interaction} voir paragraphe 5. Voir aussi chapitre 1 1 « FLAMBEMENT ». 4.2.2. Dimensionnement à l'E.L.S.

-£L -f-4—4 d;

sel

Les diagrammes d'interaction moment-effort normal sont des abaques permettant un dimensionnement ou une vérification rapides de sections droites dont la forme et la distribution des armatures sont fixées à l'avance. Les diagrammes d'interaction sont établis uniquement pour l'état-limite ultime (rien n'empêche d'en établir à l'E.L.S. sur le même principe). *5.1. ÉQUATIONS

.JS3 n=15

On désigne par : MSerG = Nser-eG A! et A2

= moment au centre de gravité G de la section homogène, = sections d'aciers comprimés (fixées en satisfaisant le pourcentage minimal en compression simple du paragraphe 4.3.). Les caractéristiques géométriques de la section homogène sont : B0 = B + 15(A 1 +A 2 ), Io = moment d'inertie de la section B0 par rapport à G. On obtient la contrainte maximale du béton : .V

<0

bc

Pour le dimensionnement, il faut se fixer a priori A l t A2 et chercher par tâtonnements : M serG 1) à ce que C reste dans le noyau central [
BETON DEFORMATIONS

ACIERS

CONTRAINTES

Section quelconque à plan moyen, munie d'armatures respectant la symétrie : G0 - centre de gravité de la section de béton seul, G0y = axe situé dans le plan de symétrie, G0x = axe normal au plan de symétrie, dj = distance de l'axe G0x à l'armature de section Aj, comptée positivement dans le sens ascendant, An = armature la plus éloignée de la fibre la plus comprimée, B = aire de la section de béton seul, v' et v = distances de G0x aux fibres extrêmes, respectivement comprimée et tendue, de la section. Dans le cas d'une flexion de sens déterminé (comprimant par exemple la fibre supérieure de la section) et pour une valeur de y, fixant la position de l'axe neutre, prise arbitrairement, on a : 1) un diagramme des déformations passant par le pivot associé à y : y < 0,259(v' - dn)

=> Pivot A,

5.2. DISCUSSION

0,259(v' - dn) < y < h => Pivot B,

y>h

Pivot C,

avec : ecç = raccourcissement de la fibre de béton à la profondeur £, esj = déformation de l'armature Aj,

, . - , ., ^

.

5.2.1- Cas où y est égal à moins l'infini ; Le diagramme des déformations est constitué par la verticale du pivot A. On est donc en TRACTION SIMPLE. Le point correspondant de la courbe d'interaction est le point PT défini par :

2) un diagramme des contraintes dans le béton et dans l'acier, avec les conventions d signes précisées sur la figure ci-avant, donnant les contraintes :

11

M 1 (-oo)=M T =ZAj .a s j .dj

acç pour la fibre de béton à la profondeur J;, asj pour l'armature AJ.

1

La résultante et le moment résultant en G0 des forces internes sont obtenus par les relations •

_.-,.

*

.d

i|V

..,,.•.„:.!

n N 1 ( - o o ) = N T = Z A j .asj — f e d S À j

On remarque que :

n ..•;.. M^(-OO)=MT=O = = >!] Aj .dj=0 ==>GQ=centre de gravité des 1 armatures Aj.

•
Dans le repère orthonormé plan (OM, ON), le point P, de coordonnées M,(y) et N t (y) décrit, lorsque y varie de - °° à + °°, un arc de courbe généralement convexe (F,), appelé : COURBE D'INTERACTION.

j_«

• > .r

5.2.2. Cas où y est égal à plus l'infini Le diagramme des déformations est constitué par la verticale du pivot C. On est donc en COMPRESSION SIMPLE. os , = E . es . = 2 . 105 . 2 . 1(T3 = 400 MPa j j La contrainte
V = 2/1 000

N

COMPRESSION

soit

•

Le point correspondant de la courbe d'interaction est le point Pc défini par : n n .d) .d j (ou H C = B - f b u + f e d Ï A - j (ou N c = B . f b u + 4 0 0 l A - j ) On remarque que :

n M-L( + OO)=M£=O ==>2 Aj .dj=0 ==>GQ=centre de gravité des 1 armatures Aj. 5.2.3. Cas où Nj = 0 Pour une certaine position de l'axe neutre, définie par yF], le point P! occupe sur TRACTION

position PF1 définie par :

•,.£ la

|M,(y F 1 )=M F 1

v=

|Ni(yF,) = 0 On est alors en FLEXION SIMPLE correspondant au sens de flexion considéré.

B . f 'bu ,

: effort normal réduit

B = aire totale de la section de béton seul MiG |0. = :jr— —^— : moment fléchissant réduit en G0

5.2.4. Cas de la flexion inverse

" • " ' *bu

En changeant le sens des moments, on décrit l'arc de courbe (F2) limité par les points P PPour une certaine position de l'axe neutre définie par yF2, le point représentatif occupe sur (F2) la position PF2 définie par (bras de levier v - ^ au lieu de v' - £) : M2 (yF2) = MF2 de sens contraire à MF1

N2(yF2) = o

h = hauteur totale de la section dans le plan de flexion

SA. -f,led

: pourcentage mécanique d'armatures. B.fL Pour une position fixée des armatures à l'intérieur de la section, si l'on fait varier p - par pas de 0,1 par exemple (p = 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3...) - on obtient dans le repère orthonormé réduit (u,v) un réseau de courbes Cp (C0 ; C t ; C2 ; C3...) appelé DIAGRAMME D'INTERACTION. P=

5.5. PROPRIÉTÉS DES DIAGRAMMES D'INTERACTION 5.3. COURBE D'INTERACTION L'ensemble des deux courbes, (F,) et (F2), constitue un contour continu et fermé (Cp) appelé : COURBE D'INTERACTION. Si la section présente un centre de symétrie : - les points PT et Pc sont situés sur l'axe ON, - les deux courbes (F^ et (F2) sont symétriques par rapport à cet axe. Le contour fermé (Cp) constitue la frontière du « DOMAINE DE SÉCURITÉ » de la sec-

Les valeurs de p sont uniformément réparties (intervalle constant entre deux valeurs successives) suivant les droites « rayonnantes » correspondant à y = Cste (c'est-à-dire à un couple donné de déformations ebc, esn constant). Il convient donc de conduire les interpolations dans les directions de ces droites. Pour la section sans armatures on a : fMT = -fcd.ZAj.dj = 0

PT = AJ = 0 quel que soit j

tion étudiée, munie de ses armatures de section totale ZAj. Le point représentatif de la sollicitation ultime agissante (de coordonnées MuGo, Nu) doit se trouver à l'intérieur ou sur la frontière du domaine de sécurité. Si la section ne comporte aucune armature : M

T=0 NT = 0

=

A; = 0 quel que soit j => /

Pc = <

n=o v =0 > n= 0

(M c = fed.:

> v= l

Pour une section donnée, avec une position des armatures fixée, les diagrammes d'interaction sont établis, par ordinateur, en faisant varier proportionnellement toutes les sections AJ des armatures. Z k . AJ = k Z AJ j j d'où les coordonnées des points PT et Pc vérifient :

|

|Nc = B . f b u

En faisant varier y, on obtient le contour (C0) définissant le domaine de sécurité « lenticulaire » de la section sans armatures. En fait, un pourcentage minimal d'armatures est toujours exigé.

- pour PT : f ^ZArdj Bhf bu j

*ed

5.4. TRACÉ DES DIAGRAMMES D'INTERACTION Pour une section donnée (béton, armatures, position des aciers) on définit à partir des efforts internes N; et MjG calculés en 5.1. les quantités sans dimensions :

Bf bu

M v

h£A.

^k

,'i/, .a.e

j

d'où le point PT se déplace sur une droite (AT) passant par le point PTO de coordonnées (0, 0) et de pente k.

N u et MuGo (MuGo = N U (CI + e2) si Nu est une compression, comme indiqué au paragraphe 1.2.),

- pour Pc :

b0 et h. v=

Mode opératoire : 1) Calculer les quantités réduites d'entrée dans les diagrammes :

j_

Bfbu

Bfh,

y

"T

d'où: . V—

j . dj . = k et le point Pc se déplace sur une droite (Aç.) passant par le point P

II z.. » ;

de coordonnées (0,1) et de pente k.

*u

•:-'!tl

b

O-h'fbu

h

>

"uGr

2) Déterminer, sur le diagramme d'interaction, par interpolation suivant les droites « rayonnantes » correspondant à y = Cste, le pourcentage mécanique d'armatures p : W

5.6. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DES ARMATURES POUR LES SECTIONS RECTANGULAIRES Données : Â

f bu = 0,85.

c28

9.1,5

(s

et e_ snn ) constants

tfOt'Di

3) Calculer les armatures : P =-

= =>

5.7. APPLICATION À LA VÉRIFICATION DES SECTIONS RECTANGULAIRES Données : y t

f b u =0,85-^11 et f e d = ^ 0.1,5 !siN

est une compression)

>x

b0eth

Mode opératoire : 1) Calculer les quantités réduites d'entrée dans les diagrammes : V =i

n= -

p =] 2) Vérifier sur le diagramme d'interaction que le point de coordonnées ((i, v) se trouve a l'intérieur ou sur la courbe (Cp) correspondant au pourcentage mécanique d'armatures p calculé :

à

5.8. EXEMPLES DE DIAGRAMMES D'INTERACTION Section rectangulaire à armatures symétriques W -,

h

Il

/"vrv '\9 J

: ,'¥ f - pi*

i !><• m

= 0,10 f e = 500MPa

i i

Aa

"

1

/

^?k\

\K\\K i

T

n

i

r

•sg (-.

\\H\\X

2

2ZFZ

£X

ta

i

\X\\A\ Xi\l \\XXKAf\W ça

.//f/i///i7 O

LïTi) i) )! )n n «

(1) Extrait du « CEB/FIP Manual on Bending and Compression », 1982, Construction Press, Ed.

II. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

1.2. ACIERS a) Résistance de calcul

500 = 435 MPa 1,15

— ÉNONCÉ — b) Contrainte limite à l'E.L.S. >

¥

Nu

1

MM G

r^

0

^1 '

• Sollicitations ramenées au centre de gravité du béton seul : 1 Q = 6, O 0 m - permanentes : Ng = 85 kN, Mg = 90 mkN - variables de durée d'application supérieure à 24 heures : Nq = 75 kN, Mq = 80 mkN, avec \|/2 = 0.

COUPE AA 22cm

pas de limitation de as en service

2. SOLLICITATIONS EN PIED DE POTEAU 2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME

• Fissuration peu préjudiciable. • Matériaux : - béton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

fissuration peu préjudiciable

'

a) Sollicitations de calcul EYj MjGo = 1,35 . 90 + 1,5 . 80 = 241,5 mkN YiN; = 1,35 . 85 + 1,5 . 75 = 227,25 kN

£YjMjGo = 1,35 M g + 1,5 Mq EYiNj=l,35Ng+l,5Nq

55cm

ea = Max

l2cm 1//250

ea = 2,4 cm = Max

|2 cm 1600/250 = 2,4 cm

l On se propose de calculer les armatures en pied de poteau.

ei=-

Ni

- + ea

b) Sollicitations ultimes corrigées pour flambement

— CORRIGE —

Puisque Nu > 0 est une compression. Élancement géométrique :

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

poteau encastré dans un massif de fondation :

1.1. BÉTON

/f=0,7./0

a) Résistance de calcul

fbu = 0,85.

^28

£=0,85.

25

1.1,5

Type de calcul :

= 14,2 MPa

b) Résistance à la traction f t28 =0,6 + 0,06fc28

lf= 0,7. 6 = 4,20 m

ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

pièce chargée ^ de façon excentrée

lt — >< Max

15

15 20

T

4,20 = 7,64< 15
Y

Calcul en flexion composée en tenant compte, de façon forfaitaire, de l'excentricité du second ordre.

Excentricité du second ordre :

3. ARMATURES M , = 9 0 + 80=170mkN

oc =

M,

Q. i >2

«=

3.1. INTRODUCTION Moment réduit de référence à l'E.L.U. :

= 0,529

Allongement .Raccourcissement b»

3 .4 20

(2+ 0,529. 2) = 0,i

IU . U,D3

^ «

avec : cp = 2 Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée: Nu = 227,25 kN M

M u G =227,25(1,087 + 0,029)

U Gn = N u ( e 1 + e 2 )

= 253,61 mkN e 0 = 1,087+ 0,029 =1,116 m

= e,+e2

Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus : M,3

0

Moment réduit agissant

3

0

=

. b

e =

Mu A

+ 0,50-^ = 1,341 m 2 = 227,25 . 1,341 = 304,74 mkN

O'd

bu

f

'fbu

304,74.10-_ 0,22 . 0,502 . 14,2

Conclusion : = 0,390 <^ B C = 0,4928 Section partiellement tendue.

2.2. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE 3.2. CALCUL DES ACIERS EN FLEXION SIMPLE

ser = N g + N q

M serGn = M s + M Q

a) Nécessité d'aciers comprimés

M serGn C

0ser

Moment réduit limite :

jy

M uA Y

On remarque que e0 à l'E.L.U. ï e0ser à l'E.L.S. Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

h\

M serA

v = "M

304,74 , ._. = 1 479 206,08 '

227 25 ZZ/,Z3

0,55

e A = 1,063 + 0,50-~ = 1,288 m M serA

M M

. 1,288 = 206,08 mkN

N.sei

v =:

N,

"N

160

'

227,25. 10'3

= 0,15 " ~ 0,22 . 0,50 . 14,2

V

Les tableaux de l'annexe 3 donnent les valeurs de 104 |tilu, pour Fe E 500, fc28 < 35 MPa et 0=1 :

YN = MO 1,45 1,42

YM=M5

1,50

2938 2900 2923

3 140 3 104 3 126

1,48

c)

Section A d'aciers tendus Dans la section fictive © sans aciers comprimés : bu - ^/u > < °>275 => Méthode

|ibu = 0,305 > 0,275 => Formules exactes a = 1,25 [l - ^1-2.0,305] a = 0,469

3045

soit : p.lu = 0,305 (à comparer à p.lu = 0,294 si on négligeait l'effet de l'effort normal).

= d(l-0,4.ot) (13.f c28 + 415)K-9.y M .f c 2 8

Nécessité d'aciers comprimés A' |ibu= 0,390 >^ ; u = 0,305 => A' nécessaires. b) Section A ' d'aciers comprimés

=> A = -

z b = 0,50 (1-0,4. 0,469) z b =0,406m ose = (13 . 25 + 415) 1 - 9 . 1,479 . 25 ase= 407 MPa ase = 407 MPa < 435 MPa O.K.

-+A'

:

0,238.104 0,406.435

259

d'=Ô'd d=50cm

©

©

d-d1

3.3. ARMATURES EN FLEXION COMPOSÉE

d'=5cm

A' = 5,72 cm

b 0 =22cm

A = 17,12 - ^^- 104 = 11,54 cm2 407

En prenant 3 files verticales : Section (

=> Aciers comprimés :

Section(g)

3 0 16 HA : A' = 3 . 2,01 = 6,03 cm2

Contrainte asce des aciers comprimés :

=> Aciers tendus : lit 1: 3 <ï) 16 HA : 3 . 2,01 = 6,03 cm2 lit 2 : 3 $ 16 HA : 3 . 2,01 = 6,03 cm2

Fe E 500 =>

(MPa)

. fc28 -ô'(l3.f c 2 g + 415)K (MPa) (MPa)

A = 12,06 cm2

o s c e =9. 1,479.25- — (13 . 2 5 + 4 1 5 ) . 50 osce= 258,8 = 259 MPa Aciers comprimés : MIu=mu.b0.d2.fbu MuA-M,u A' =

(d-d'). a

Mlu = 0,305 . 0,22 . 0,502 . 14,2 = 0,238 A

0,3047 - 0,238 M ï =(0,50-0,05). 259 10 =5'72cm

Section minimale : L'excentricité e0 à l'E.L.S. ayant même signe que Nser : e0 = e0ser = 1,063 m eu0 >< p " . v'

e0 m > 0,091 m = -Q . —— n = 1,063 ' ' 9 = 'p . v'

=> La section est partiellement tendue

e 0 -0,45.d

III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION SECTION ENTIÈREMENT TENDUE

^22 50 L063-0.45 .0.50 z i >063 - 0,185 . 0,50 A

= °'92 Cm2 < 12'06 Cm

— ÉNONCÉ — -

3.4. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

16HA V V V

60cm

3
55 cm

• Fissuration peu préjudiciable.

d2 = 5cm;

• • •

m Sollicitations ramenées au centre de gravité du béton seul : - permanentes : Ng = - 200 kN, Mg = 20 mkN, ~ variables de durée d'application supérieure à 24 i XT f^r\r\ I_XT » x ^f\ - I_XT heures :. N q = - 200 kN, Mq = 20 mkN

30cm

16HA

• Matériaux : - béton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

22cm I On se propose de calculer les armatures.

— CORRIGE — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX 1.1. BÉTON a) Résistance de calcul f hll = 0,85.

") Résistance à la traction f t28 = 0,6 + 0,06fc28

£'bu= 0 , 8 5 .

1.1,5

= 14,2 MPa v.lH/ A.t

f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

1-2. ACIERS a

) Résistance de calcul

500 f e d = - - = 435 MPa 1,15 b

> Contrainte limite à l'E.L.S. fissuration peu préjudiciable

pas de limitation de as en service

2. SOLLICITATIONS ULTIMES

3.4. SECTION MINIMALE M

MuG=l,35.20+l,5.20=

Nu = 1,35 Ng + 1,5 Nq M

UG

u

= - 1,35. 200- 1,5. 57 = -0,10 m -570

serG =20 + 20=40mkN

Nser = - 200 - 200 = - 400 kN

= -570kN M serGo XT

= e Oser

en =

40

° -400

= -0,10m

- '

0u

'!-:

Centre de pression entre les armatures avecNu<0

1 Section / entièrement (tendue

-0,30

Nff =

P V

' , B . ^ g8 e0-p.v' ^

0,30.0,60.2,10=-0,189MN N f =-0,10--0,30 A,-W.m>>..,3Œ'-!y|i£.0«at

3. ARMATURES V A,xA „ 2, =^-/ e 2 ^ ^ ^ m i. n

3.1. INTRODUCTION

\f +e Ve Al +e A2- )I e

fissuration peu préjudiciable}

Calcul à 1'E.L.U. 3.5. SCHÉMA DE FERRAILLAGE En prenant trois files verticales :

3.2. EXCENTRICITÉS h

,

,

0,60 e A1 = -^- - 0,05 + 0,10 = 0,35 m 2 0u

A2.9.,7«B'>MSa.'.^^.o'OE:

=> Aciers tendus inférieurs : 3 O 20 HA : A 2 = 3.3,14 = 9,42 cm2 => Aciers tendus supérieurs : •'..'! 3 <ï> 14 HA: A! = 3.1,54 = 4,62 cm2 ^

-0,05 -0,10 = 0,15 m 0

0

0

60cm

3.3. ARMATURES Nappe supérieure : A,=

"Al

0,570.0,15 I n 4 , 0 0,50.435 10 =3 ' 93cm

Nappe inférieure : A 2

Total :

A , + A 2 = 13,10ciri

30cm

IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

2. SOLLICITATIONS

2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME Au centre de gravité du béton seul :

— ÉNONCÉ —

5 0 cm

• Sollicitations ramenées au centre de gravité du béton seul : - permanentes : Ng = - 200 kN, Mg = 80 mkN, - variables de durée d'application supérieure à 24 heures : Nq = - 160 kN, Mq = 60 mkN.

M u G o = 1,35 M g +1,5 M q

M u G =1,35. 80+1,5. 60 =198 mkN

N, = 1,35 N + 1,5 Na

N,,=-1,35. 200-1,5. 160=-510 kN 198 = -0,388 m e °"~-510

Mu G n Cn.. Ou =

N

Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

• Fissuration peu préjudiciable.

50cm

, >v r- =

MGr

- Matériaux : - béton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

0

• On se propose de calculer les armatures longitudinales. e^ = 0,388-0,45+^- = 0,188 m

e. =

M u A = 510. 0,188 = 96 mkN

— CORRIGE —

2.2. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE Au centre de gravité du béton seul :

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

M serG, = M

1.1. BÉTON

M serG,

= 80+ 60 =140 mkN

N

a) Résistance de calcul f bu

= 0,85 . -^-

b) Résistance à la traction f t28 =0,6 + 0,06fc2g

M

ser = - 200 - 160 = - 360 kN 140 "Oser ' 360

serG

fbu = 0,85 . ^^ = 14,2 MPa 1. 1,5

' Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

_(

ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

3

Oser

I e1

h 2

e. =0,389-0,45 + A — vy,^u^

v/,-r^/

i

0,50 -

= 360. 0,189 = 68 mkN

1.2. ACIERS a) Résistance de calcul

1,15

3- ARMATURES 3

b) Contrainte limite à l'E.L.S. fissuration peu préjudiciable j

= 0,189m

pas de limitation de o en service

-l. INTRODUCTION A l'état-limite ultime N u < 0 (traction)

N,, = - 510 kN => Traction

h 'Ou

~

= 0,388 m > -^- - 0,05 = 0,20 m

Section A d'aciers tendus Hbu > < 0,275 => Méthode

Le centre de pression est à l'extérieur des armatures. Section partiellement tendue.

|^bu = 0,067 < 0,275 => Formules simplifiées z b = 0,45 (1-0,6. 0,067) z b =0,432m

M.,

A= Z

3.2. CALCUL EN FLEXION SIMPLE

A=

f

b- ed

0,096 . 10* 0,432. 435

a) Nécessité d'aciers comprimés Moment réduit limite : M uA 'M M serA

3.3. ARMATURES EN FLEXION COMPOSEE N

u

A = A - ^ (avecN u <0)

A = 5,11

En prenant quatre files verticales :

ser

N..

=> Aciers tendus inférieurs : lit 1: 4
0,510 v u == 0,16 0,50 . 0,45 . 14,2

Les tableaux de l'annexe 3 donnent les valeurs de 104 |ilu, pour Fe E 500, fc28 < 35 MPa et 6=1 : vu = 0,15

YM = MO

1,45

Y N =!' 4 0 1,45 1,42

2735 2694

2938 2900 2923

2760

1,45

1,41

2991 2927 2965

2774

2719

vu = 0,20 Y M =1-40 YN=MO 1,45 1,42 v u =0,16

2757 2680 2726

1,41

A = 17,08 cm2

Section minimale e0 à l'E.L.S. ayant même signe que Nser : e0 = e0ser= - 0,389 m e0 >< _ (d - v') f™

e0 = - 0,389 m < - 0,20 m = - (0,45 - 0,25) e n - 0,45 d

3.4. SCHÉMA DU FERRAILLAGE

> 10 Viu = 2 760+ (2 774-2 760) ^ = 2 763 50cm

soit : (Alu = 0,276 Nécessité d'aciers comprimés A' : M.u A

\> 0

1

= 0,067

\f 0

\f 0

f—

0,50. 0,45 . 14,2

= 0,067 <^ ;u = 0,276 A' non nécessaires.

50cm

V 0

CHAPITRE 9

EPURES DE REPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'AME

Ce chapitre ne comporte pas d'exercices. Seul un rappel de cours est présenté.

I. RAPPELS DE COURS [1. INTRODUCTION En pratique : - on trace les courbes enveloppes du moment fléchissant M et de l'effort tranchant V, - on détermine les armatures longitudinales nécessaires dans les sections de moment extrême (en travée et sur appuis), - on calcule les armatures d'âme correspondant aux efforts tranchants en certaines sections (au voisinage des appuis et de part et d'autre des points d'application des charges concentrées). On proportionne ensuite, en chaque section de la poutre, les armatures longitudinales et les armatures d'âme aux efforts qui s'y développent au moyen d'ÉPURES DE RÉPARTITION. 2

- RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES

2

-i. MOMENT MAXIMAL ADMISSIBLE D'UN GROUPE DE BARRES LONGITUDINALES C'est le moment maximal que peut équilibrer un groupe de i barres tendues :

- de section totale A; =

1°) Mi = Aj. O s . zb est, pour A; et zb constants, proportionnel à os,

Ak , k =1

2°) os varie linéairement de 0 à sa valeur maximale sur la longueur d'ancrage /a.

- pour une hauteur utile dj. Deux cas peuvent se présenter.

On a :

2.1.1. État-limite ultime On suppose que la valeur du bras de levier zb trouvée lors du calcul de la section d'armatures équilibrant le moment maximal (sur appui ou en travée) est constante sur la longueur de la poutre (cette simplification va dans le sens de la sécurité). On a donc :

,

....

;

^=Ai-fed.z0 z0

\

'

/a = 4 pour des ancrages droits, L = 0,4 . L pour les ancrages courbes des barres HA, ! avec crochets normaux / a = 0,6 . /s pour les ancrages courbes des ronds lisses.

2.3. DIAGRAMME DES MOMENTS ADMISSIBLES , ,

t

valeur utilisée pour le calcul de A max dans la section de moment extrême considérée (en travée ou sur appuis).

Dans une poutre de hauteur constante, le DIAGRAMME DU MOMENT ADMISSIBLE d'un groupe de barres arrêtées se compose donc : - d'un segment de droite parallèle à l'axe de la poutre, - de deux segments inclinés, aux extrémités du groupe de barres, de longueur /a en projec-

Dans le cas de plusieurs groupes de barres :

tion sur l'axe de la poutre.

Mu = Z Mui i

i

'*•'

ANCRAGE DROIT

ANCRAGE PAR CROCHET NORMAL

2.1.2. État-limite de service De même que pour l'état-limite ultime :

I z j = d; 11

J valeur utilisée pour le calcul de A t

x dans

la section de moment extrême

Ligne de référence

considérée (en travée ou sur appuis). Dans le cas de plusieurs groupes de barres : M s e r =ZM S (

H.À.

0 , 6 .1s: ronds 1 isses 2.2. ARRÊT DES BARRES

fed à 1 ' E . L . U .

à l'E.L.S.

avec les zh correspondants

Lorsque l'on arrête dans une même section les i barres d'un groupe (supposées de même diamètre), leur moment maximal admissible décroît linéairement de M; (Mui ou Mseri) à 0 sur la longueur d'ancrage de ces barres. Il suffît de remarquer que :

Pour deux groupes de barres arrêtées successivement en B et D en partant du point de moment extrême, le diagramme des moments admissibles peut être de l'un des deux types I ou II ci-dessous suivant que la distance BD est supérieure ou inférieure à la longueur d'ancrage /a du groupe de barres arrêtées en D :

4. RÈGLE DU DÉCALAGE par suite de la fissuration oblique, l'effort de traction supporté par une armature dans une section A d'abscisse x correspond au moment dans une section B d'abscisse x + a;. Ce résultat est évident pour un treillis simple :

(S)

*

DB2la

7"x+a,

DB
DIAGRAMME DE TYPE I

DIAGRAMME DE TYPE II

Pour le segment C1BI, il suffit de remarquer que la part de moment admissible des barres A3 à rajouter au moment admissible des barres A2 vaut :

AM = M 3 . — /a3

cette quantité variant linéairement en fonction de l'abscisse x depuis le point Bj. Propriété importante pour les diagrammes du type II :

M

MB = M (x + a,) = F s . z

(

différent de

M (x)

Dans un treillis multiple de Môrsch, le point A appartient à plusieurs treillis à la fois. Un calcul plus complexe montre que le « décalage » qui dépend à la fois : - de l'inclinaison a des armatures d'âme et - de l'inclinaison réelle 0 des bielles de béton, est compris entre z et z/2.

Si B étant fixe, D se rapproche de B, la droite BlCl se déplace parallèlement à elle-même (triangles semblables multiples dont B est centre de similitude).

®

©

Par sécurité, on adopte : a/ = z, c'est-à-dire, comme z = 0,9d ~ 0,8h :

h = hauteur totale de la poutre. Il en résulte que le diagramme des moments admissibles des armatures longitudinales d'une travée doit envelopper non pas la courbe enveloppe des moments : (C), mais la courbe (C') obtenue en décalant de 0,8.h tous les points de (C) parallèlement à l'axe de la poutre dans le sens le plus défavorable.

V

2 5.2. Arrêt des armatures inférieures Suivant la position des segments inclinés du diagramme des moments admissibles M par rapport à la courbe enveloppe décalée, il y a trois cas possibles : Arrêt des

Arrêt théorique

Arrêt théorique

LIGNE DE I REFERENCE

(C1) Cas© _ Diagramme M de type I

Cas (2)

Cas (3)

Diagrammes M de type II

0,8.h|0,8.h 5.3. Arrêt des armatures supérieures 2.5. ÉPURE D'ARRÊT DES ARMATURES LONGITUDINALES

Suivant la position des segments inclinés du diagramme des moments admissibles M par rapport à la courbe enveloppe décalée, il y a deux cas possibles :

2.5.1. Principes Arrêter toujours les armatures par groupes symétriques par rapport au plan moyen. Pour les armatures inférieures : - commencer par celles de la nappe la plus haute, - dans chaque nappe arrêter d'abord les barres les plus proches du plan moyen.

ou

des q'barres

q'barres

(f)

Cas© _ Diagramme M de type I

(3)

Pour les armatures supérieures : mêmes règles que ci-dessus, en commençant par nappes les plus basses.

Cas (D Diagramme M de type II

'.4. Remarques L'épure se construit toujours en partant du moment maximal (positif ou négatif).

Pour les cas 1, correspondant au diagramme de type I, les arrêts sont toujours sur la courbe enveloppe décalée (C'). Pour les cas 2 ou 3, on se sert de la propriété des diagrammes de type II pour envelopper au mieux la courbe enveloppe décalée (C') et optimiser les longueurs des barres.

Dans une poutre de hauteur variable : _ porter en ordonnée les sections d'aciers calculées en quelques points en tenant compte de la variation de z, - le décalage de 0,8. h, variable le long de la poutre, est appliqué à la courbe des sections d'aciers.

2.5.5. Exemple de diagramme de type I

3. RÉPARTITION DES ARMATURES D'ÂME Armatures supérieures ) [

t

n'barres P'barres 'barres

j-_j_JVt2' L -Ï-—i

n+p

3.1. CAS DES POUTRES DE SECTION CONSTANTE SOUMISES À DES CHARGES UNIFORMES Voir paragraphe 5, chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ». 3.2. CAS GÉNÉRAL II s'agit de poutres : - supportant des charges concentrées, - et/ou de hauteur variable. Méthode : 1°) calculer les espacements pour un tracé d'armatures d'âme donné : - initial (au voisinage des appuis) et correspondant à l'effort tranchant réduit Vu0 dans la 5h section à — du nu d'appui : 0,9A t (sina + cosa) fet

n+p+q Armatures j inférieures)

s,

y

0,9 (sin a + cos a)

h - 0 3kf 1 D (T 0 ( uO U ' : S K t tjJ

v 's

- intermédiaires, immédiatement à gauche et à droite des sections où agissent les charges concentrées, ;

2°) tracer la courbe (E) représentative de st(x), 2.5.6. Remarques complémentaires Sur appuis, conserver et ancrer une section d'aciers inférieurs suffisante pour équilibrer : * Vumax pour un appui simple d'extrémité (cf. paragraphe 6.1. chapitre 7 «EFFORT TRANCHANT »), M * V umax - - pour un appui intermédiaire (cf. paragraphe 6.3. chapitre 7 « EFFOR' z TRANCHANT »).

3°) choisir stl < s,0 (entier > 7 cm), 4°) placer la première nappe d'A t à s tl /2 du nu d'appui et répéter stl un nombre entier de fois jusqu'à ce qu'il soit possible de passer à un espacement (entier) supérieur, et ainsi de suite, en enveloppant par dessous la courbe (E), 5°) arrêter le processus pour l'espacement stM immédiatement inférieur à : ^ • fet

0,4 . b0

Les barres d'angle (5 ou 4, schémas page 264) ne sont donc généralement pas arrêtées. Même lorsque l'épure d'arrêt des armatures supérieures n'exige plus de barres, prévoir des barres de montage pour tenir les armatures d'âme.

s, = Min ( 40cm si A' non nul

wmwwuwij

CHAPITRE 10

Âr~

TORSION entiers

I. RAPPELS DE COURS 1. INTRODUCTION 6°) lorsque s, > st, diminuer At par :

1.1. DÉFINITION

- changement de tracé, - ou diminution de t, d'où une nouvelle courbe (E') que l'on peut envelopper à nouveau par dessous au moyen des étapes 4°) et 5°). On a alors deux possibilités :

Une poutre à plan moyen est sollicitée en TORSION lorsque la résultante des forces appliquées n'est pas contenue dans le plan moyen, mais dans un plan parallèle à celui-ci. La torsion pure se rencontre rarement en béton armé, le plus souvent, la torsion est accompagnée d'une flexion.

- soit adopter le nouveau tracé At et recommencer dès le début si st0 > 1 cm, en enveloppant (E') par dessous, - soit continuer en enveloppant (E') au-delà de la section où l'on a réduit A,.

~

S'arranger pour que s( soit toujours croissant de s tl às t avec des hauteurs de marches (sti + i - sti) toujours plus grandes. En particulier, lorsque l'on change de tracé pour At, évi !-2. TORSION D'ÉQUILIBRE ET TORSION DE COMPATIBILITÉ

ter de retomber à sti + , < sti pour ne pas compliquer le ferraillage.

V DECONSEILLE

Si quel que soit l'état de déformation et de fissuration de la pièce sollicitée en torsion, le couple de torsion reste invariable, la résistance doit être assurée par un ferraillage approprié. On dit alors que l'on se trouve dans le cas de la TORSION D'ÉQUILIBRE. Exemple : poutre encastrée à ses deux extrémités supportant un auvent : I I Le moment de flexion à ~l Sport l'encastrement de l'auvent dans la poutre produit un couple de torsion dans cette dernière.

Si au contraire, le couple de torsion diminue lorsque la déformation et/ou la fissuration de 1 pièce sollicitée en torsion augmentent, il doit être tenu compte de l'effet de la torsion dans 1 calcul des éléments auxquels la pièce est liée, mais non dans le calcul de la pièce elle-mêm * On dit alors que l'on se trouve dans le cas de la TORSION DE COMPATIBILITÉ. Exemple : dalle encastrée dans deux poutres parallèles :

Un couple de torsion T appliqué à l'extrémité libre d'une barre encastrée produit une distorsion y des génératrices de la barre. Les contraintes développées par le couple de torsion T sont donc des contraintes de cisaillement (t). î=-G.Y G = module d'élasticité transversal du matériau constitutif de la barre. 2.2. TORSION DES TUBES MINCES 2.2.1. Flux du vecteur contrainte Considérons l'élément ABCD de longueur dx découpé dans l'épaisseur du profil.

Le moment d'encastrement de la dalle dans les poutres produit un couple de torsion dans ces dernières : -^-<(M A ou M B ) < 0 Si les poutres se fissurent par torsion, leur raideur diminue (dans un rapport de 10 à 1 en\| ron) et : MA et MB -» 0 Les contraintes tangentes sur deux facettes orthogonales étant égales, on a : T'i = Tj etT' 2 = T2

2. RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 2.1. CONTRAINTES ENGENDRÉES PAR UN COUPLE DE TORSION

La projection des forces élastiques suivant Ox donne, en l'absence de toute contrainte normale : ,B ,D J 71dxdy = Q C

f >

soit, en admettant que les contraintes de cisaillement T sont constantes dans l'épaisseur e du tube mince : t . T 2 .e 2 -T,.ei = 0 et comme les points A, B et C, D ont été choisis arbitrairement :

2.2.2. Valeur de la contrainte tangente

où: Tu = couple de torsion à l' état-limite ultime, b0 = épaisseur de la paroi au point considéré qui est égale, selon les Règles B AEL à :

DO = Min

(épaisseur réelle (a/6

a = diamètre du plus grand cercle inscriptible dans le contour extérieur de la section, Q, = aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois. 3.2. CAS DES SECTIONS PLEINES F étant le contour tracé à mi-épaisseur de la paroi du tube mince, l'équilibre de la section droite s'écrit (moments en un point O en principe quelconque, en pratique centre de gravité de la section droite) :

soit en remarquant que r . dy = 2 dQ où dQ représente l'aire du triangle hachuré sur la figure :

L

L'expérience montre que pour une pièce à profil plein de forme convexe, la zone centrale n'apporte aucune contribution à la résistance à la torsion et qu'elle peut donc être négligée. On se ramène au cas précédent en remplaçant la section réelle par une section creuse équivalente d'épaisseur :

a = diamètre du plus grand cercle inscriptible dans le contour extérieur de la section.

b

0 =i —x-x-4-

'(D où Q est l'aire délimitée par la courbe F, il vient :

— X-—-J-

1

Si Cj = Cste = b0, on a : =

3.3. JUSTIFICATION DU BÉTON 3. VÉRIFICATION DU BÉTON 3.1. CAS DES SECTIONS CREUSES La contrainte tangente ultime, pour des sections de forme convexe, a pour expression :

En désignant par : îuV = contrainte tangente due à l'effort tranchant Vu,

vu

T UV = — pour une section pleine de largeur minimale b, DQ

vu

t uV.. — — - pour une section creuse d'épaisseur réelle de paroi b n (2b0)d l TuT = contrainte tangente due au couple de torsion Tu,

on doit vérifier : sections creuses,

.D

0st

fed (sin90*+cos90*)=ni A4t

£

3d

-t^

{"m : sections pleines. avec pour des armatures d'âme droites (les seules à utiliser en torsion) : FISSURATION

7

Préjudiciable

ou très préjudiciable

\ Min< { SMPa

Î

0.15'

2.bQ.Q At = Somme des brins d'armatures transversales contenus dans l'épaisseur b0. Les armatures ainsi déterminées (constituées obligatoirement de cadres fermés) sont à rajouter et à combiner avec celles équilibrant l'effort tranchant.

lxm

( n 9.Ecj Peu préjudiciable

TU 2.Q

*cj 'h

Nota : At a une signification différente dans le chapitre effort tranchant et dans le chapitre torsion. 4.1.2. Pourcentage minimal Comme pour l'effort tranchant et pour l'ensemble des armatures transversales (torsion + effort tranchant) :

4MPa

b..

Nota : l'attention est attirée sur le fait que b0 n'a pas la même signification dans le calcul de i, uV et dans celui de TuT (voir exercice).

b = largeur de la section pour une section pleine, b = 2b0 pour une section creuse d'épaisseur de parois b0.

4. ARMATURES Les armatures pour la torsion se composent d'un double système : - armatures transversales droites, - armatures longitudinales. Elles ne sont nécessaires que dans les éléments où le couple de torsion ne diminue pas du fait de la fissuration du béton (cas de la torsion d'équilibre).

1.1.3. Espacement maximal Comme pour l'effort tranchant : 0,9.d Min

40cm 1min

4.1. ARMATURES TRANSVERSALES

si A'x0 réalisé avec des aciers de diamètre <$>',.

4.1.1. Calcul des armatures En appliquant la règle des coutures aux plans perpendiculaires aux parois (voir paragraphe 7.1. chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ») :

4.2. ARMATURES LONGITUDINALES 4.2.1. Calcul des armatures En appliquant la règle des coutures au plan de la section droite de la pièce (voir paragraphe 7.1. chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ») :

ZÀ,

II. EXERCICE : AUVENT

ed

À

2 lf u

T

.„ U ea

— ENONCE —

2 . fi -ELEVATIOH-

avec : ZAj = section totale d'aciers longitudinaux à répartir sur le pourtour du contour d'aire Q u = périmètre de l'aire £X

-COUPE AA2%(négligé)

Dans le cas où les sollicitations de torsion et de flexion sont concomitantes : • la section des aciers longitudinaux de torsion situés dans la zone tendue par la flexion s'ajoute à celle des aciers tendus de flexion, • la section des aciers longitudinaux de torsion situés dans la zone comprimée par la flexion vient en déduction de celle des aciers comprimés éventuels (le signe du résultat n'a aucune importance). Il faut au moins une barre dans chaque angle. 4.2.2. Pourcentage minimal

Zài b 0 .u

f

e20,4MPa

b0 = épaisseur de paroi utilisée dans le calcul de TuT. • Actions variables de durée d'application supérieure à 24 heures : • q = 1 kN/m2 en projection verticale. • Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, • aciers : Fe E 500 HA, • Fissuration peu préjudiciable. • Pas de reprise de bétonnage dans la poutre 72 x 36 cm2. • On se propose : 1) d'évaluer les sollicitations extrêmes dans la poutre 72 x 36 cm2, 2) de faire la vérification du béton, 3) de calculer les armatures longitudinales, 4) de déterminer les armatures transversales.

- CORRIGÉ -

j.3. EFFORT TRANCHANT II est maximal sur appuis :

1. SOLLICITATIONS DANS LA POUTRE D'APPUI DE L'AUVENT

V..=

1.1. DESCENTE DE CHARGES

Pu

V = 29,3

=

En négligeant la pente de l'extrados de l'auvent, et en prenant les moments au centre de gravité de la poutre 72 x 36 cm2, on obtient pour une bande d'auvent de largeur unité :

q

1.4. COUPLE DE TORSION a)

I I I I I I I I I I I I

Couple de torsion réparti m tu = l,35t g +l,5t q

1=3,60m h=0,72m

m tu = 1,35 . 19,23 + 1,5 . 7,13 = 36,66 mkN/m

b) Couple de torsion La poutre soumise à un couple uniforme de torsion est considérée comme encastrée dans

b=0,36m

les poteaux. hrj = 0 , 0 8 m hi=0,16m

ELEMENT

( T) w

x/0 (m)

p(kNXm)

px ( mkH/m )

7^ n ns i fin- 7 ?n 3,60 0 , 3 6 .

(vf^ ?)

25 1 0 08 3 60-3 60

©

25.0,72.0,36=

Total permanent

3,60 0,36 3 ' 2

6,48

1

'3B

0

14,26

4 0

g=17,28

-T,u

Q7

Par analogie avec l'effort tranchant le couple de torsion maximal est obtenu sur appui :

tg=19,23 m

Total variable

1 (3 60+0 36)-q~3 96

3,96

0,36,

2

= 73,32 mkN

2^

2. VÉRIFICATION DU BÉTON p u = 1,35 . 17,3 + 1,5 . 3,96 = 29,3 kN/m

La poutre étant encastrée dans les poteaux, on obtient aux encastrements un (maximal en valeur absolue) : 2

M =- P u - * ' 12

= 36,66.

H O tq _ •-}7,1J

1.2. MOMENT FLÉCHISSANT

p u = 1,35g + l,5q

tu • 2

2.1. CONTRAINTE TANGENTE DUE À L'EFFORT TRANCHANT V T .,=

->

M u = - 29,3

= - 39,07 mkN

V u = Vu0 (pas de transmission directe de charges aux appuis) b = largeur de la section.

2.2. CONTRAINTE TANGENTE DUE AU COUPLE DE TORSION

3. ARMATURES LONGITUDINALES 3 1. ARMATURES LONGITUDINALES POUR LA FLEXION

uT

2 h z •D0''

fc2«

f^u h ,,=0,85

f.=0,85-

b0 = épaisseur de la paroi de la section creuse équivalente avec : Tumax = couple de torsion T uma x= 0,0733 mMN (E.L.U.), a = diamètre du plus grand cercle ,, ,,. lb=0,36m a = b = 36 cm = Mm < mscnptible dans le contour exteneur, I h = 0,72 m

M,,

25 = 14,2 MPa 1 . 1,5 0,0391

0,36.0,65^.14,2

b 0 - d -f b u

.,,k

= 0,018 '

:

'

=>A'=0 (j,bu= 0,018 < 0,275 => Formules simplifiées z b = 0,65 (1 - 0,6 . 0,018) = 0,643 m

|Xbu > < 0,275 => Méthode z b =d(l-0,6|a bu )

SOI

= (h - b0)(b - b0) aire grisée.

= (72 - 6)(36 - 6) = 1 980 cm2

4

A-Ô&' -""-' ~

M

A= Z

r

4V1

1

b'fed

f

f t28 = 0,6 +0,06. fc28

= 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

A min. = 0,23-

M

Retenu : A = 2,26 cm2.

•.'•M ;,,£.*

3.2. ARMATURES LONGITUDINALES POUR LA TORSION Calcul : LJSfc^JTt

tv

—T

1

0,0733 ~u~ "2.0,1980.435

SA,

?

u

ed

2 .O

^=8,17 cm2 Compte tenu des aciers deflexion: tj ZA, + A = 8,17 + 2,26 = 10,43 cm2 7 0> 14 HA

u = périmètre de ii 2.3. VÉRIFICATION DU BÉTON On doit respecter :

/0,20 — = 3,33 tiim = Min { 1,5 MPa

section pleine } => T£ = T^v + 1

^ = o,252 + 3,
iu = 3,10 MPa < 3,33 MPa = t,im O.K.

23:50cm2/cm

2 [0,36-0,06+ 0,72-0,06] 102 : 23^50

£A = armatures longitudinales

0,20 -^ fissuration peu \ '• j- • i-i f =* Tlim =Mm Yb préjudiciable / 5 MPa

102=

Pourcentage minimal : EA

b0.u

f > 0,4 MPa

u

1

î_ > 0 40 — =—— cm2/cniO.K. 23,50 500 208,33

4. ARMATURES TRANSVERSALES

d'où la coupe sur appui :

4.1. ARMATURES D'ÂME POUR L'EFFORT TRANCHANT

\ _

Calculées: b

- s t ïs

•

0,9 (sin a + cos a)

l J

a = inclinaison des A,

a = 90°

tu si reprise non traitée, k = \ 0 si fissuration très préjudiciable, 11 sinon en flexion simple.

k = 1 (pas de reprise de bétonnage)

A

t

st

36 . 0,4 500

1 cm2,/cm 34,72

Espacement maximal :

/0,9 . d st
T11 1

2.Q

,_ /0,9 . 65 = 58,5 cm st =40 cm = Min i cm

At s,

23,50

cm /cm/ paroi bn

(voir paragraphe 3.2.) Retenu :

Pourcentage minimal :

A, . f et > 0,4 MPa b . s,

^ = -L- cm'/cm > 0.4 • 36 = __L cm2/cm Q K s t 8,78 500 34,7

4.4. RÉPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES

4.2. ARMATURES TRANSVERSALES POUR LA TORSION Calcul : ed

7014HÀ 36cm

xu = 0,25 MPa < 0,63 MPa = 0,3.1.2,1 => % minimal.

—- . fet > 0,4 MPa t>os t

72cm cadres 0 8 HA s t =Var

•

2 23,50

1 cm /cm 11,75

1 . 1 34,72 11,75

8,78

cm2/cm

=> Pour les 7 $ 14 HA longitudinaux : 1 cadre
to

8

2

nombre théorique de répétitions nombre cumulé nombre arrondi nombre de répétitions x (cm)

Le cumul des deux systèmes d'armatures transversales donne :

stl = 8 cm s

(cm)

4.3. ARMATURES TRANSVERSALES

At s,

Espacement de départ : s ti - sto Répartition : espacement

pour deux parois :

A, st

Compte tenu du fait que le diagramme du moment de torsion est identique au diagramme de l'effort tranchant d'une poutre encastrée aux deux extrémités et uniformément chargée, on appliquera la méthode Caquot. Ici, du fait de la concomitance du moment de torsion, il n'y a ni terme de réduction ni transmission directe de charges aux appuis. Nombre théorique de répétitions :

4

9 10

11 13

16 20

25

2 •2

2

2

2

2

2

2

2

4

(,

8

10

12

14

16

2

4

(,

8

10

12

14

16

2

2

2

2

2

2

2

y 0 9_200-178

17 S

222

20 38 58

80 106 138

25

=> restent à mi-portée : 200 - 178 = 22 cm =>4 + 2x8 + 2x9 + 2xlO + 2xll + 2xl3 + 2xl6 + 2 avec un cours d'A, à mi-portée. Nota : pour st = 25 cm le nombre de répétitions 2 ne convient pas car il ne permet pas d'atteindre le milieu de la portée avec cet espacement.

CHAPITRE 11

FLAMBEMENT

I. RAPPELS DE COURS Le flambement est un phénomène d'instabilité de forme qui peut survenir dans les éléments comprimés (de façon excentrée ou non) des structures, lorsque ces éléments sont « élancés », par suite de l'influence défavorable des déformations sur les sollicitations.

1. EXCENTRICITES L'excentricité de la force extérieure par rapport au centre de gravité de la section de béton seul est la somme de trois termes. 1.1. EXCENTRICITÉ STRUCTURALE Due aux dispositions de la construction, donc connue et évaluée forfaitairement : GQ

e 0 = —rr- (G0 = centre de gravité de la section de béton seul). 1.2. EXCENTRICITÉ ADDITIONNELLE Provenant des défauts d'exécution, donc inconnue ; elle est évaluée forfaitairement. 1.2.1. Cas des éléments isolés , e_ = AMax

!2Cm

25 / = longueur de la pièce.

1.2.2. Cas des ossatures

Sollicitations en pied de poteau avant déformation (premier ordre) :

Excentricité résultant d'une inclinaison initiale d'ensemble : • 0=

(N = P

100 rd pour les ossatures à un niveau,

-- P [eo + ej + H . 2 M! H / — =eo + ea + -.N P 2

1

200 rd pour les ossatures à plusieurs niveaux,

1 /

\

/ / /

/

/

/

/ / -Id 7~77

r~ -

1

/

77-?

T77

f

1 t

1 -ie

-je

Y* S7-;

J JJ

/

/

/

/

J

„ —,

Sollicitations du second ordre dues à la déformation : /N = P U2=P.f M 62= —2 = f N er e Sollicitations totales (1 et 2 ordres) : (N = P M = M! + M2 = P [CQ + ea + f] + H . 2

1.3. FLÈCHE f DUE À LA FLEXION

M H / e = — =eo + ea + — .-+ N P 2

Pour une potence verticale soumise à l'action : - d'une force verticale P d'excentricité structurale e0 en tête, - d'une force horizontale H en tête,

f

t

62

2. ETAT-LIMITE ULTIME DE STABILITÉ DE FORME 2.1. JUSTIFICATION La justification de la stabilité de forme consiste à démontrer qu'il existe, dans toute section de l'élément, un état de contraintes qui équilibre les sollicitations de calcul, y compris celles du second ordre, et qui soit compatible avec la déformabilité et la résistance de calcul des matériaux. 2.2. MÉTHODES DE CALCUL On dispose des trois méthodes suivantes.

charges déformations

1°) Démontrer qu'il existe un état d'équilibre, en le déterminant de façon précise, par un calcul itératif dans chaque section du poteau (procédé utilisable seulement sur ordinateurs), moments

le moment du second ordre résulte du supplément d'excentricité provenant de l'apparition de la flèche f.

2°) Comparer les sollicitations de calcul à des sollicitations d'état-limite ultime de stabilité de forme données par des tables ou abaques : - tables de MM. Faessel, Robinson et Morisset, - abaques de M. Capra, etc.

3°) Démontrer qu'il existe un état d'équilibre, sans chercher à le déterminer de façon précise Cette méthode est appelée « méthode de l'équilibre » et se présente sous deux aspects : - méthode des déformations internes, - méthode des rigidités.

Toutes ces conditions doivent être satisfaites simultanément. 3.2. HYPOTHÈSES COMPLÉMENTAIRES 3.2.1. Hypothèses mécaniques Les sections droites restent planes.

3. ÉQUATIONS DU PROBLÈME

Il n'y a pas de glissement relatif entre l'acier et le béton.

3.1. DOMAINE D'APPLICATION 3.1.1. Introduction

On néglige le béton tendu. Les armatures sont caractérisées par leur diagramme contraintes-déformations de calcul

Tout poteau « isolé », de longueur /, avec des liaisons quelconques à ses deux extrémiti peut être étudié : - soit comme un poteau de longueur /f articulé à ses deux extrémités, f - soit comme un mât de hauteur — , /f étant la longueur de flambement du poteau considéré. 3.1.2. Hypothèses Poteaux : - de section constante (béton et armatures). - dont la ligne moyenne est symétrique par rapport à la section médiane. - articulés à leurs deux extrémités ou en console (mâts).

s///////

(Y,= L15).

edf—

4^* 7*s

0

Prise en compte du fluage en effectuant sur le diagramme parabole-rectangle une affinité parallèle à l'axe ebc, de rapport (1 + acp) avec : cp, coefficient de fluage : cp = 2

a=

M,

- chargés de façon excentrée et d'élancement géométrique tel que : (15 Charges i ns t an t anées ( a = 0 )

h = hauteur de la section droite dans le plan de flambement, celui pour lequel /f a été calculé Sinon, voir calcul en flexion composée avec prise en compte de façon forfaitaire des défor mations du second ordre. - sollicités, en plus de l'effort normal de compression, par des moments dont l'existence est prise en compte dans la justification de la stabilité et de la résistance des éléments qui lui sont liés et qui conduisent à des excentricités non négligeables de l'effort normal (poteaux de bâtiment non intégrés au contreventement). - soumis à un effort normal constant. - soumis à un moment du premier ordre de signe constant dont la valeur maximale se pr°" duit dans la section à //2 du sommet,

Charges de longue durée

Diagramme transformé charges quelconques

(0< a bc

;

3.2.2. Hypothèse géométrique supplémentaire Cas général : on se donne la déformée du poteau de façon arbitraire mais raisonnable.

Cas de base : on assimile la déformée à : - un quart d'onde de sinusoïde pour un poteau en console, - une demi-onde de sinusoïde pour un poteau bi-articulé. /.

1 _n~ 7i x — = - f —^ sin —; r 'f soit, en pied du poteau et en valeur absolue : 1

2 rc

'-44

L'excentricité « externe » ou excentricité de l'effort normal Nudans la section la plus sollicitée (en pied de poteau) vaut donc :

S/M-///

/2

**

T

I

J4

1

...

,

., ,:•

•:,,

-•

71

avec e, défini au § 1.2 chapitre « FLEXION COMPOSÉE » page 218. D'où sa représentation dans le repère (e, 1) : r 3.3. EXCENTRICITÉ « EXTERNE » Pour un poteau encastré en pied et libre en tête (mât) :

|P Jr 0

^y

If

T

ns

3.4. EXCENTRICITÉ « INTERNE » Dans la section la plus sollicitée, tout état de déformation défini par sa courbure 1/r et une déformation relative e en un point particulier de la section, conduit aux équations de compatibilité et d'équilibre (moments rapportés au centre de gravité G0 du béton seul) :

1er ordre

Chargement

Déformations

Dans le repère Oxy lié à l'extrémité libre du poteau, la déformée a pour équation :

= f . sin -y'f f = flèche maximale en tête. La courbure est donnée par la relation : r

d + y' 2 ) 3/2

Contraintes

>£+ *

71X

r

,*,?.

Total en pied

<\

>a+

"bc

1 position d'équilibre 2 positions

H

int

M,

lnt

.e i n t Hu c=Charge critique de calcul

D'après les diagrammes contraintes-déformations de l'acier et du béton, les contraintes sont fonction des déformations relatives, donc de la courbure 1/r d'après les relations de compatibilité. D'où, en éliminant les contraintes, puis les déformations, on obtient la relation :

0

•—7*i3 Pas d'équilibre

(2)

Cette relation se traduit, dans le plan (e, 1/r) par : II suffit de remarquer que si, en Ej, on écarte le poteau de sa position d'équilibre par mentation de la courbure 1/r :

N 1
'int -esst.U

3.5. ÉTUDE DE L'ÉQUILIBRE Dans le plan (e, 1/r) : - la relation géométrique (1) est représentée par une droite, - la relation mécanique (2) est représentée par un réseau de courbes correspondant a N int =Cste. D'où, ces deux types de courbes peuvent : - n'avoir aucun point commun => il n'y a pas d'équilibre possible, - avoir au moins un point commun => il y a une position d'équilibre qui peut être stable ou instable. La charge critique de calcul Nu c correspond à celle des courbes Nint qui est la tangente à la droite eext = el + f.

eim croît plus vite que eejtf d'où : la réaction du poteau à la déformation complémentaire tend à le ramener à la position d'équilibre E[ qui est par conséquent une position d'équilibre stable ; c'est l'inverse qui se produit au point E2 qui caractérise un équilibre instable.

4. MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE MÉTHODE DES DÉFORMATIONS INTERNES 4.1. MÉTHODE GÉNÉRALE Pour les poteaux dont la section a une forme quelconque, la stabilité est assurée, si l'on peut trouver dans chaque section, compte tenu de la déformée que l'on s'est donnée, un

état de déformations tel que l'on ait simultanément :

4.3. REMARQUE La méthode de l'équilibre présente des avantages et des inconvénients.

XntM/r)>N e x t I

./ï

(E 1/r)

- '

M

>n<( £ ' 1 / r )

4.3.1. Avantages

= ^UM^ e <

Elle est valable quelle que soit la forme de la section. Elle ne nécessite pas l'utilisation de tables.

avec : Next = effort normal dû aux actions appliquées à la structure, Nmt (e> l/r) [ sollicitations internes, intégrales des contraintes développées parla Mint (e, 1/r) ( ~ déformation.

4.3.2. Inconvénients Le calcul est long car itératif, en particulier dans le cas où l'effort normal de calcul est proche de l'effort normal critique (réduction de l'aire grisée sur le diagramme d'où : la courbure d'équilibre est plus difficile à trouver. Il faut partir d'une valeur de 1/r fixée a priori et progresser avec un pas de variation très faible).

4.2. MÉTHODE SIMPLIFIÉE Dans le cas des poteaux articulés aux deux extrémités ou des mâts, l'étude de l'équilibre consiste à rechercher un point situé à l'intérieur de la zone grisée dans le plan (e, 1/r) pour la section la plus sollicitée (à mi-hauteur du poteau bi-articulé ou à l'encastrement du mât), c'est-à-dire, à vérifier simultanément :

4.4. CAS DES SECTIONS RECTANGULAIRES À DEUX NAPPES D'ARMATURES 1°) On se donne, dans la section la plus sollicitée, un diagramme de déformations défini par : 2 £

N int (e,l/r) avec : M int ,N ext et Nint définis en 4.1., /f = longueur de flambement de la pièce,

bc

1 000 '

+ owp)

7C2'r 2°) D'après l'hypothèse de la déformation plane :

d'=Ô'd

tzf----

F /SC

bc

i.N.

' = d. y-d'

asc par le diagramme de calcul,

3°) On en déduit la valeur de l'effort normal interne :

soit :

7°) On cherche à réaliser, puisque Nint > Next : Nint = VboYfbu + A>CTsc -

avec : \|/ = — puisque l'on utilise la seule partie parabolique du diagramme o - e du béton. 4°) Si Nint « Next, on réduit es en gardant

e,bc +e s

7" et on recommence les étapes 2°) et 3°) (avec \\f = 2/3 et Fs = A.Es.es) jusqu'à ce que N^ > Next mais avec Nint - Next. f 5°) Si Njnt » Next, on réduit ebc en gardant e s = e si = ^ pour l'armature tendue et on refait r,

d~

S'il en est ainsi, l'équilibre du poteau est assuré. 8°) S'il n'en est pas ainsi (eint < eext) il faut explorer d'autres couples (1/r, e^) ou (1/r, es) : 8.1.) Si el est faible et /f élevé (sans qu'il soit possible de quantifier les valeurs limites), on peut partir de :

les calculs des étapes 2°) et 3°) jusqu'à ce que Nint > Next mais avec Nint = Next, en prenant cette fois : ,v e croissant jusqu a 1 +OMp T](6-T1)

sG =

12 8-t,

en prenant ôo = 3/8 et \\i - 2/3, 8.2.) Si ej est élevé et /f faible, on peut partir de :

4(6-n) efec croissant jusqu'à y^ (1 + acp)

6°) On calcule le moment Mint des forces Fbc, Fsc et Fs au centre de gravité du béton seul. D'où l'on obtient l'excentricité interne : Mint

avec : - pour l'étape 4 :

en prenant : 3 =m 10 .

Ebc

+acp

V=l-

-pour l'étape 5 :

10

0

_ - 'i ^ 'i • 2îi(3îi-2)

5. UTILISATION DES TABLES DE FAESSEL - ROBINSON - MORISSET

100

5.1. HYPOTHÈSES

= 100 — = cent fois la flèche ultime relative f c correspondant à Nu c (colonnes 4,

6, 8, 10, 12 et 14) :

100^

Les tables s'appliquent aux poteaux bi-articulés ou aux mâts dont les sections sont de forme :

Cl

EXTRAIT DES TABLES

»

(~ CERCLE) 5.2. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES TABLES EO = excentricité relative du premier ordre : ELG - élancement géométrique : ALPHA = distances relatives entre nappes d'aciers :

ELG = h ALPHA =

SIGE - résistance de calcul de l'acier en bars (= 0,1 MPa) :

SIGE = — = £ed

PIMEC = pourcentage mécanique d'armatures :

PIMEC =

i

A.f e d B.fbu

1 000 NU B . SIGJ - 1 000 v u mille fois la charge critique de flambement relative (colonnes 3, 5, 7.

9,11 et 13): 1 000 v = 1 000

N u ,c

B.fbu

0,30 30

VALEURS DE (1000»NU)/(B*SIGJ) ET DE 100*(E-EO )/EO ALPHA

G ,60

0 ,60

0 ,75

0 75

0, 90

0,90

EPSU

0, 002

0, 006

0.. 002

0 006

0, 002

0,006

SIGE 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000

PIMEC 0,0 0,025 0,050 0,075 0,100 0,150 0,200 0,300 0,600 1,000

4000 0,0 4000 0,025 4000 0,050 4000 0,075 4000 0,100 4000 0,150 4000 0,200 4000 0,300 4000 0,600 4000 1,000

EPSU = raccourcissement du béton correspondant à la résistance réduite en flexion - fbu • avec : - pour cp = 0 (courte durée) EPSU = 2/1 000 - pour 9 = 2 (longue durée) EPSU = 6/1 000

ELG

EO

SECTION RECTANGULAIRE-FLAMBEMENT DANS UN PLAN MEDIAN

sooo 0,0 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000

0,025 0,050 0,075 0,100 0,150 0,200 0,300 0,600 1,000

57

79 101 123 143 177 206 257 398 540

22 34 56 :il

96 107 111 128

22 73 31

90 107

45

123

87 108 121 133 155 192

57 70 83 97 110

129 133 155 142 203 155

149 312 125 132 448 115

57

152 177 220 325 456

19 22 43 95 65 107 8 3 116 99 123

62

117 146 172 217 256 108 327 118 493 101 683 90

19 52 30

103 125 164 195

247 379 554

22

85 98 106 112 123 133 148 93 79

22

F7

22

19

22

80 102 124 147 185 219 278 432 609

35

44 66 89 107 142 173 228 359 521

69 117 127 133 145 154 153 128 118

19

22

33

39

49 63 7fc 9e

54 145 161 169 132 195 213 246 367

135 35 157 111 195 124 285 145 391 1S8

22 40 54 79 90 101

37 73 5b 128 72 138 86 145 111 158 134 169 176 183 284 191 408 172

19

22 29 51 S3

3,7 JE

119 155 253

234

!37 75

94 111

44

59 85 105 118 141 153 134 22 2,2 45 50 60

128 162 92 192 108 243 120 374 179 536 180

19 39

22 52 59 136 78 146 95 153

125 153 204 333 483

167 177 192 173 160

57 98 138

22

44 76

174 82 206 66 262 94 313 101 392 89 580 74 801 67

19

22

62 78 96 91 127 100 152 106

194 230 291 442 642

118 129 146 101 158

57 88 118 148 174 224 268 346 533 745

22 38 59 84 83 113 120 132 112 99

19 52 82 109 133 177 212 271 427 622

22 67 105 118 124 135 145 138 93 86

57 82 106 130

22 35 5C

19 45 72 95 117 155 193 254 407 592

22 74 127 136 143 155 164 153 129 117

153 194 234 302 477 678

69 89 90 136 152 153 134

5.4. UTILISATION DES TABLES

Le diagramme charge-raccourcissement du béton n'étant pas linéaire, une interpolation linéaire va dans le sens de l'insécurité. v.u /N

5.4.1. Dimensionnement des armatures E0 = h

ELG = h

ALPHA =

PIMEC =

A . fed. B . f hu

A = PIMEC

*u<*>

R f*

"u< 6 H

ed

l

1

—

4-

b%*

2%. 1 000 v = 1000

N

Par conséquent, on interpolera paraboliquement pour les valeurs de la charge ultime Nn, ou

-D . L

hu

ce qui revient au même pour les valeurs de v u : Ae = K(Avu)2 On a donc :

5.4.2. Vérification au flamhcinent

E0 = ~ h

v u (6)-v u (2)

6-2

soit :

ELG = -f h

ALPHA = ~ h

' - ' ',H/F!

1000 e en millièmes

A.f. PIMEC = : ed B . f •i™ ,

Or, pour tenir compte de l'importance relative des charges de longue durée d'application, on a : /

E=

5.5. INTERPOLATIONS a=

5.5.1. Interpolations sur NU et PIMEC Les tables et abaques ont été établis pour deux valeurs de l'abscisse e du sommet du diagramme contraintes-déformations du béton : e = 2/1 000 pour des charges instantanées, e = 6/1 000 pour des charges de longue durée d'application. On doit donc interpoler entre ces deux cas lorsque les charges appliquées n'ont pas toutes la même durée d'application.

1000

(l + cxcp)

M\

MT^

>= 2

on obtient ainsi : a(p)-2_a(p_ 4 ' 2 "

D'où les formules d'interpolation deviennent (en posant pour simplifier l'écrit^ PIMEC = m ) :

6

2 MÂT DE SECTION CONSTANTE CHARGÉ À PLUSIEURS NIVEAUX

(s)= w(2) + [ tzr(6 )- w( 2 ) ]

p

Pour les flèches, on interpolera linéairement.

i

I"

: P"

if T

5.5.2. Interpolation simultanée sur SIGE et PIMEC Pour les poteaux assez élancés et chargés avec des excentricités modérées, la charge ultime est indépendante de la limite d'élasticité de l'acier tant que celle-ci n'est pas trop faible.

n

Comparons les valeurs de vu obtenues pour deux valeurs f edl et fed2 de SIGE et des valeurs fed2

H-

de PIMEC valant respectivement 03, et 032 = 03 ^ . — :

EO = 0,30 ] ELG = 30 1 ALPHA = 0,75 / ^ EPSU = 0,002 j

<

=*vu = 0,217

SIGE = 4 000 0 PTMFC A LL\l.L-j\^^. — —0 \J) 1 1 JS "

modèle (cas de base)

Poteau réel

SIGE = 3 000 } PIMEC1=0,15/

1 f\f\r\

—0 °

J

écart 1 %

Sollicitations dans la section d'encastrement du poteau réel :

=*vu = 0,219

~~ « j^

Par conséquent, il est inutile dans ce cas de prendre en compte la valeur vraie de la contrainte de calcul de l'acier. Il suffit de considérer la valeur ronde la plus proche.

7l. X,

.fU - s i n — -

6. CORRECTIONS DIVERSES 6.1. INTRODUCTION Dans un certain nombre de problèmes, on peut se rapporter au cas de base (poteau en console) et n'étudier l'équilibre que dans une seule section en se conformant au principe suivant. Les deux sections les plus sollicitées (cas de base et cas réel) sont soumises : 1) au même effort normal N, 2) au même moment du premier ordre Mj, 3) au même moment du second ordre pour une même courbure, à condition que le poteau ait une section constante (béton et armatures). En écrivant ces différentes conditions, on arrive aux résultats ci-après.

Sollicitations dans la section d'encastrement du modèle :

r i

M'=M'1+P'.f=M'1+P'.^.71

Par identification, le modèle est parfaitement défini par :

Sollicitations dans la section d'encastrement du modèle : r

P'

N'=P'' M'=M',+P'.f=M',+P'.^.i 71

Par identification, le modèle est parfaitement défini par : P ' = P+

6.3. MAT-EFFET DU POIDS PROPRE

gif

lf=lf. /l-

6.4. PILE DE CONTREVENTEMENT Une pile de contreventement est une console encastrée en pied et liée en tête par un élément considéré comme indéformable à n poteaux sans stabilité propre, tous de même raideur.

modèle (cas de base) Sollicitations dans la section d'encastrement du poteau réel :

N=P+1

gds ,2

Pile réelle

modèle (cas de base)

Du fait de la traverse, les déplacements en tête des poteaux sont tous égaux : f; = f quel que soit i.

L'effort horizontal en tête de chaque poteau vaut : Poteau réel

j ,rr ,.• .,> .,;

Remarque pans le moment du premier ordre interviennent : 1) l'excentricité additionnelle due à l'inclinaison accidentelle de 1/100 rd, 2) les déplacements horizontaux A; en tête de chaque poteau dus au retrait et aux variations de température dans la traverse, 'où, avec les indices L et C pour les charges de longue et de courte durée d'application : \

/

f

p L + z p L / 2f 100i

T

1 'J '

-77l

c M =

D'où le moment partiel du second ordre :

Puis le moment total du 2e ordre au pied de la pile :

C

n

C \ /f

Z^ TJ P ++ EP r

. ;

2

^ . A,

-.T •;'^'.lî*:

1 100

6.5. POTEAUX ARTICULÉS SOUMIS À DES MOMENTS DIFFÉRENTS À LEURS DEUX EXTRÉMITÉS

IF

G*1

M2 = f

Sollicitations en pied de la pile de contreventement : N=P n

M =M,+f l\ K

Sollicitations dans la section d'encastrement du modèle : fN'=P'

/ M'=M'1+P'.f=M',+P'.^.7i r Par identification, le modèle est parfaitement défini par : P'-P

M', et M", = moments appliqués aux deux extrémités, pouvant différer en signe, mais tels que : I M"i I > I M'j I : Considérer un moment constant sur la longueur /f : M! = 0,4 M ' j + 0,6 M"! avec M' et M" en valeur algébrique. Faire les vérifications suivantes : 1) état-limite ultime de stabilité de forme du mât de hauteur 1/2 soumis à M! et Nu = P, 2) vérifier la résistance de la section du poteau réel la plus sollicitée (soumise à M"i et I: N U =P). 7. UTILISATION DES ABAQUES DE CAPRA 7

-l. DOMAINE D'APPLICATION Sections rectangulaires à deux nappes d'armatures symétriques :

(charges de courte durée)

G y

À 2 À 2

cf b

o

7.2. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES ABAQUES e,, = raccourcissement ultime du béton : e,, = 2/1 000 : charges de courte durée, £„ = 6/1 000 : charges de longue durée. — = excentricité relative du 1er ordre, excentricité additionnelle incluse dans e0 (e^ avec h les notations du présent ouvrage) h = hauteur de la section dans le plan de flambement (h peut désigner la plus petite dimension), v =-

," , = effort normal réduit.

— = élancement géométrique, h 7.3. RÉSULTATS H,, b

O«bu

^ed_ b hf

o bu yT

Mul+M u 2 >

b

O h 2 f bu

A.fed

p =—

- = pourcentage mécanique d'armatures, • 4u B = b0.h, Mu,+Mu2 — —^— : - moment total réduit (1er et 2e ordre) à l'E.L.U. au centre de gravité du V h - f bu béton seul. B

7.4. EXEMPLE D'ABAQUES Les abaques ci-après sont applicables aux sections rectangulaires symétriques pour les" quelles c/h = 0,1 25.

(charges de longue durée)

i

i

IL EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE PAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DURÉE) — ÉNONCE — •u

-COUPE AA-

À?

40cm 1=6,00m 40cm

• Sollicitations de longue durée d'application uniquement (durée d'application supérieure à 24 heures) : •P U = 0,54MN, • e0 = 0,096 m. • Matériaux: • béton : f c28 = 25 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • On se propose de déterminer les armatures du poteau.

/YMW/WSi/t ^ ^^\ — CORRIGE — 1. NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT 1.1. LONGUEUR DE FLAMBEMENT

mât=>/f=2./

/ f = 2. 6,00 =12,00 m

1.2. EXCENTRICITÉ DU 1er ORDRE

Pour un poteau chargé de façon excentrée : [2cm ;_ e a = Max/_/_ ' ". ' (250

Résistance de calcul des armatures : fe SIGE = f.edH = -

[2cm e a = 2,4 cm = Max / 600 _

,?'? '

< 4 I Ci//-? ', ' ** * .

son SIGE = y^- = 435 MPa = 4 350 bars

Effort normal relatif :

25

f bu = 0,85.^-

Excentricité additionnelle : ea = 2,4 cm

C

a

lOOOv =1000

Excentricité structurale : e0 = 9,6 cm

B . £bu

lOOOv =1000

= 14,2 MPa

0,54 = 238 0,40 . 0,40 . 14,2

er

Excentricité du 1 ordre :

=e!= 12,00cm

2.2. ARMATURES SORTIES DES TABLES EO 0,30

Les tables donnent : 13. NECESSITE DU CALCUL AU FLAMBEMENT 15

12

0,40 =

"i 20^ =

SIGE PIMEC

VÉRIFICATION AU FLAMBEMENT IMPOSÉE.

2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE

0,75 0,006

ALPHA EPSU

15

ELG 30

4000 4000

0,30 0,60

<- 228 153 <- 359 128

5000 5000

0,30 0,60

<- 204 192 <- 333 178

4000 5000

0,323 <- 238 0,379 <- 238

Par interpolation linéaire sur 1 000 vu :

2.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES TABLES Excentricité relative du 1er ordre :

Par interpolation linéaire sur SIGE entre 4 000 et 5 000 : 4350

0,343 <- 238

D'où le pourcentage mécanique d'armatures :

Elancement géométrique :

Am

PIMEC = 0,343 ELG = -f h

Puis les aciers : PIMEC =

Distance relative entre nappes d'armatures :

B . f ,bu

ALPHA = ~

A = PIMEC .

B . f ,bu 'ed

Raccourcissement ultime du béton : EPSU

A = 17,91 cm2 Charges de longue durée} EPSU = 0,006

=> 4 O 25 HA : A = 4 . 4,91 = 19,64 cm2

III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE ET PAR LES TABLES — ÉNONCÉ —

— CORRIGÉ — NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT j.l. LONGUEUR DE FLAMBEMENT poteau bi-articulé} => / f = /

/ f = 12,00 m

u

j.2. EXCENTRICITÉ DU 1er ORDRE -COUPE AA5<£25HA 5025HA

Pour un poteau chargé de façon excentrée '2cm

\7

250

: 2 cm

e a = 4,8 cm = Max l 1200 = 4,8 1 250

1= 1 2 , 0 0 m 40cm

Excentricité additionnelle : ea Excentricité structurale : e0 Excentricité du 1er ordre :

J,30cm| 40cm

e = 4 , 8 cm e 0 =7,2cm a=e!=

3. NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT

NU

• Sollicitations de durée d'application supérieure à 24 heures :

/,

NG = 298 kN NQ = 298 kN

h

15 >< Max

15

12

40

excentrées de e0 = 7,2 cm

VÉRIFICATION AU FLAMBEMENT IMPOSÉE

poids propre négligé, ¥2;= 0 pour les valeurs quasi permanentes de Q. • Matériaux : béton : fc28 = 25 MPa, aciers : Fe E 500 HA. • On se propose de vérifier F état-limite ultime de stabilité de forme : 1) en utilisant la méthode de l'équilibre, 2) en utilisant les tables de Faessel.

12,00cm

2. MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE 2-1. PREMIÈRE ITÉRATION a

) Déformations de départ Pour les aciers :

fled~-.^ — Ts 435

200 000

= 2,18/1000

Pour le béton :

c) Effort normal interne

(p = coefficient de fluage

9 =2

' • l

Béton comprimé :

. , ^.'Ç^vi? J

'':'•: YÏ'Ir

Fbc = -. 0,40.0,2265.14,2= N G .e 0

a=

=

G + Qj

2

puisque ebc =

2

0,8577 MN

+ acp)

Aciers comprimés :

298

F K = 5 .4,91 . 10-4. 435 =

F

sc =AXc

+0,5. 2) = 4/1 000

Contrainte des aciers comprimés d1

Aciers tendus : -F = -A.OS

/:

1,0679 MN

-Fs = -5.4,91 .10- 4 .435=* '-'>-.1,0679 MN

Effort normal interne : r r r N =Fv +F ^mt" bc^ sc -F s

N int =

Effort normal externe : N e x t =l,35N G +l,5N Q

Next = 1,35 . 0,298 + 1,5 . 0,298 = 0,849 MN

.'

. - .>i*'ï:

0,8577 MN •xi

N int = 0,8577 MN > 0,849 MN = Next O.K.

A.H.

d) Moment fléchissant interne

i'~'v:ix3

.'=Ô'd y =d

bc

y = (0,40-0,05)

e.bc +es

h_ t

1000 = 0,2265 m 2,18 + 1 000 TÔÔÔ

À N d ,

;

bc

i! iiiii Hplfflii! A

7

y-d' e se =e bc u ^ y

4 '

0,2265-0,05 0,2265

[

b

o

Béton comprimé :

osc par le diagramme de calcul des aciers

(h fedJ

= 0,09869 mMN 8

o = f Puisque ebc =

a(p)

Aciers comprimés :

esc > esl => asc = fed = 435 MPa

M s c =F s c ( h -- d '

Mse = 1,0679 (°^- - 0,05 = 0,1602 mMN \ 2 I

Aciers tendus :

),r- -.ins ;•

Ms = i ,067910,40 - 0,05 - —, 2 } = 0,1602mMN Total :

3. TABLES DE FAESSEL 3.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES TABLES Excentricité relative du 1er ordre : e,

EO-^-030 ~ ~ '

M int = 0,4191 mMN Élancement géométrique :

e) Excentricité interne

Distance relative entre nappes d'armatures :

.f) Excentricité externe Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : 1 ebc + es 7 = ~d~

1 4,00 + 2,18 _ 3 ' , 10 =0 0177 ?= 035 ' m f=

Excentricité externe : eext^ej + f

12,00'

0,0177 =0,2582 m

ALPHA = h Raccourcissement ultime du béton : Charges <

( courte durée longue durée

r-./.t-T/O'lT»,;. -•'•„>!

EPSU = 0,002 EPSU = 0,006

Résistance de calcul des armatures : f

e ext = 0,120 + 0,2582 = 0,3782 m

SIGE =

= 435 MPa = 4 350 bars

g) Conclusion L'équilibre est assuré si :

Pourcentage mécanique d'armatures : PIMEC =

A . f cd

B . f ,bu

2.5.4,91.10" .435 ™,T^ PIMEC= 0,40. 0,40. !4,2

3.2.ARMATURES SORTIES DES TABLES EO 0,30

Les tables donnent :

0,75 0,002

ALPHA EPSU

ELG 30 0,75 0,006

SIGE PIMEC (N i n t >N e x t leint>eext

( Nint = 0,858 MN > Next = 0,849 MN \ O.K. eint = 0,489m>e ext = 0, => La stabilité du poteau est assurée.

4000 4000

0,60-> 1,00->

432 153 609 134

359 128 521 118

5000 5000

0,60-> 1,00-»

374 179 536 180

333 178 483 160

Par interpolation linéaire sur SIGE :

• Sollicitations de durée d'application supérieure à 24 heures : 4350 0,600^ 4350 l,000->

412 162 583 150

350 146 508 133

4350 0,940->

557 152

484

Par interpolation linéaire sur PIMEC : 135

1 000 YU = 557 + [484 - 557] ^ÔJ = 505

Effort normal relatif : 1

f h ,,=0,85

c28

f bn = 0,85 flOOOv) niJÔ(r B - f bU

N

3.3. CONCLUSION N u c xN u = Next

= 14,2 MPa

505 N

.

,

uc-

Nuc = 1,147 MN > 0,849 MN = Nu => LA STABILITÉ AU FLAMBEMENT EST VÉRIFIÉE.

poids propre négligeable. • Matériaux : béton : fc28 = 25 MPa, aciers : Fe E 400 HA. • On se propose pour la combinaison d'actions : 1,35 G + 1,5 Q + W : 1) de déterminer les armatures du poteau par les abaques de Capra, 2) de calculer la flèche ultime du poteau.

IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE PAR LES ABAQUES DE CAPRA — ÉNONCÉ —

L-- 4 cm

30cm

= 2.3,00 = 6,00 m

!2 cm e a = 2,0 cm = Max / 300 _ [250 '

'15

— >
F

>t£

, = 0,13 + 0,02 = 0,15 m

À/2

40cm

J (ii'ïiV

1.2. NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT W. ; 33,8 . 3,00 = 0,130 m e ° 1,35.383 + 1,5.175 1,35 N G +1,5 NQ

-COUPE AAÀ/2

1=3,00m

; "j'jculaia'jJî'

1. NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT

Pour un poteau chargé de façon excentrée : 12 cm e a = Max / / (250

i

.-. JiOTJfiM

- CORRIGÉ 1.1. LONGUEUR DE FLAMBEMENT mât=> l f = 2 . l

4 cm ,4

,

W = 1,2 . 28,2 = 33,8 kN (pour un vent normal : 28,2 kN donné par les Règles NV),

Par interpolation parabolique sur EPSU (voir § 2.1 .a pour a) : vu = vu (2) + [vu (6) - vu (2)1 /ce"

N G =383kN, N Q =175kN, xf2 = 0,4,

20

VÉRIFICATION AU FLAMBEMENT IMPOSÉE.

2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE

'<••

On obtient : su=2X.

su= 6%.

p

0,60

0,77

^G

0,330

0,385

2.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE POUR LES ABAQUES Élancement géométrique :

6.00 = 20 0,30 Raccourcissement ultime du béton : 3. ARMATURES eu

2/1 000: courte durée 6/1 000 : longue durée

Obtenues par interpolation parabolique :

Résistance de calcul des armatures : M, =0+0,77 . 33,8 . 3,00 = 78,08 mkN

400

* 1,15 Effort normal relatif : c28 f

°-'" r b Nu = 1,35. N G +1,5. NQ

v=

i> i


1

Nu = 1,35. 383+ 1,5. 175 = 780 kN

N

\Koi-Q

bu = °.85 y^^ 14,2 MPa

D'où le pourcentage mécanique d'aciers :

0,780 = 0,458 0,40 . 0,30 . 14,2

B . f ,hu

a

h

h

= 0,6+ (0,77-0,6)^/0 =0,60

o • • bu

Excentricité relative du 1er ordre : e

A. ±ed u "' f b h f

A = 0,6 . 30 .40 . -^ = 29,38 cm2

o 0,15 soit—^— = 14,69 cm /face 3 <ï> 20 HA + 3
2.2. VALEURS EXTRAITES DES ABAQUES

A = 3 . 3,14 + 3 .2,01 = 15,45 cmVface J = A = 0,133 «0,125 2.4. FLÈCHE ULTIME Calcul fait à titre indicatif. Moment total (l er + 2e ordre) : Mul+Mu2 'b0-h2.fbu = HG

)-Ji G (2)]a

h [0,385-0,330] 0 = 0,330 ' M ul + M u2 = 0,330 . 0,40 . 0,30*. 14,2

= 0,169 mMN

2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE

On obtient : su=2Z.

£ u =6^

p

0,60

0,77

^G

0,330

0,385

2.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE POUR LES ABAQUES Élancement géométrique : l

6,00 0,30

j

Raccourcissement ultime du béton :

2.3. ARMATURES _{ 2/1 000: courte durée E " ~ \ 6/1 000 : longue durée

eu

Obtenues par interpolation parabolique : =0

Résistance de calcul des armatures :

M, = 0 + 0,77 . 33,8 . 3,00 = 78,08 mkN

400 U5

fed= = 3 4 8 M P a

Effort normal relatif :

cc =

oc = -

f bu = 0,85^-

L = 0.85^ = 14,2 MPa

Nu = 1,35. N G +1,5. NQ

N u = 1,35. 383+ 1,5. 175 = 780 kN

N..

'

B.fbu

Excentricité relative du 1er ordre : e n / e,

0,780 0,40. 0,30. 14,2=°'45

D'où le pourcentage mécanique d'aciers

A . L,

A. t ~ = 0,6 + (0,77 - 0,6) v/Ô = 0,60 b o •h • bu A = 0,6.3

0,1

h ~0,30

= 0,500

n

14,2 = 29,38 cm" ' 348

. 29,38 = 14,69 cr / 3 O 20 HA + 3 0> 16 HA/face :

2.2. VALEURS EXTRAITES DES ABAQUES

A = 3 .3,14 + 3 . 2,01 = 15,45 cm^/face

£ = 4 = 0,133-0.125 U. FLÈCHE ULTIME Calcul fait à titre indicatif. Moment total (l er + 2e ordre) : Mul+Mu2 HG = 0,330 + [0,385 - 0,330] 0 = 0,330 => M ul + Mu2 = 0,330 . 0,40 . 0,302. 14,2 = 0,169mMN

Moment du 2e ordre : M ui = N u (e 0 +e a )=>M u2 Flèche ultime :

M

•

u2=N u .t; ; .

M

UI = 0,780. 0,15 = 0,117 mMN MU2 = 0,169-0,117 = 0,052 mMN f u

M.

= ^i_

0,052 Nu -078Ô =0'067in

CHAPITRE 12

POUTRES CONTINUES PLANCHERS

I. RAPPELS DE COURS Les rappels de cours sont présentés ici en quatre parties : - A : Poutres continues-Rappels-Adaptation, - B : Planchers-Méthode forfaitaire - C : Planchers-Méthode Caquot, - D : Poutres continues-Dimensionnement.

A. POUTRES CONTINUES - RAPPELS - ADAPTATION 1. RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Pour une travée quelconque Gj_ i - Gj d'une poutre continue, soumise à l'action d'un système quelconque de charges

Travée réelle continue: M(x) ,V(x)

Travée de référence (isostatique soumise aux mêmes charges):

Moment du 2e ordre : M ui = Nu(e0 + ea) => Mu2

M»i = 0,780. 0,15 = 0,117 mMN M U2 = 0,169-0,117 = 0,052 mMN

CHAPITRE 12

POUTRES CONTINUES PLANCHERS

I. RAPPELS DE COURS Les rappels de cours sont présentés ici en quatre parties : - A : Poutres continues-Rappels-Adaptation, - B : Planchers-Méthode forfaitaire - C : Planchers-Méthode Caquot, - D : Poutres continues-Dimensionnement.

A. POUTRES CONTINUES - RAPPELS - ADAPTATION 1. RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Pour une travée quelconque GI^ i - Gj d'une poutre continue, soumise à l'action d'un système quelconque de charges

Travée réelle continue : M(x) ,V(x)

Travée de référence (isostatique soumise aux mêmes charges):

^

et

-£r-

On commence par déterminer les moments sur appuis :

--, - - - 1 -i

3EI . si I.=Cste

autant d'équations que d'appuis intermédiaires

Ij = moment d'inertie de la travée / j (o '.

*Pour la même poutre encastrée, munie d'une section ÀQ d'armatures inf érieures,après fissuration,on retrouve une poutre sur deux appuis simples et la charge de rupture Pu conduit,pour Ag,à un moment de rupture:

et œ". = rotations sur l'appui Gj des travées de référence encadrant cet appui

> On obtient ensuite les moments et efforts tranchants dans la travée continue :

Pour un cas de charge donné (en tenant compte de la discontinuité due aux charges concentrées) trées) le le moment moment maximal maximal en travée est obtenu en écrivant : -

d'où :

,, l ) \ ŒV1 V(x 0 = —= 0 dx

jç-—

—V

ifc*

ItjL^l'U'llI

XQ = abscisse du point où M = Mn

Mu =

Ç

*Pour la même poutre encastrée, munie d'une section ÀQ d'armatures super i eures,après fissuration,on obtient deux consoles nez à nez et la charge de rupture PU conduit. pour A g , à un moment de rupture : M __Pui.Jui U- 2 - 2 - 4

Par conséquent, la charge de rupture, qui est identique pour les trois poutres, ne dépend que de la section d'aciers A0 correspondant au fonctionnement isostatique (sur deux appuis simples), indépendamment de la position de ces aciers.

Pour des charges uniformes :

D'une manière plus générale, on est assuré d'avoir une marge permettant un transfert partiel de moment des appuis vers la travée, ou réciproquement, sans que ce transfert compromette la sécurité vis-à-vis de la rupture en adoptant :

2. ESSAIS DE POUTRES EN BÉTON ARMÉ 2.1. PHÉNOMÈNE D'ADAPTATION DES POUTRES EN BÉTON ARMÉ «Pour la poutre isostatique sur deux^appuis simpies,soumise à l'action d'une charge concentrée variable P croissante placée à mi-portée,si AQ est la section d'aciers en travée conduite jusqu'aux appuis, à la rupture : P=PU

= = > Mu.-5ii

-> À o

Si l'on multiplie cette inégalité par zb.os, il vient puisque l'on a M = A.zb.os : M w + Me Mt + -- - -- > M0

Dans la phase des grands allongements, la partie principale de la flèche a pour origine le, rotations importantes des sections où se produira la rupture :

3.1.2. Poutres reposant sur un massif ou un mur en maçonnerie

A.R

® , 2.2. CONCLUSION Une poutre en béton armé se comporte comme elle a été calculée. La fissuration des sections les moins armées permet une distribution des moments qui diffère de la distribution théorique. C'est ce que l'on appelle le PHÉNOMÈNE D'ADAPTATION ENTRE SECTIONS.

7b ° l

—1 2b 3

K

L=distance entre nus d'appuis C'j-, =contrainte admissible la maçonnerie

sur

f

m

I.

D--i-h R ù

h 7T~ ff

-2 O-b-°b (

2.R

b0=Mln|boi (bn f

>b

"bO^

/ = L + 2 - = portée mesurée entre points d'application des résultantes des réactions d'appui. 3 3.1.3. Autres cas

Il est possible d'appliquer aux planchers en béton armé des méthodes de calcul différentes des méthodes de continuité théoriques et de limiter l'influence des charges aux travées voisines de celle que l'on étudie. *En ce qui concerne la fissuration et la tenue dans le temps : - sous l'action des charges variables susceptibles de variations rapides, les éléments de construction dont les dimensions et les armatures sont déterminées pour équilibrer des efforts voisins de ceux auxquels conduisent les calculs élastiques se fissurent moins et ont une meilleure tenue dans le temps que les éléments calculés en prenant en compte des moments de continuité notamment plus faibles que ceux correspondant aux calculs en continuité théorique, - cette constatation n'apparaît avec netteté que dans les planchers où les charges variables sont notablement plus importantes que les charges permanentes.

/ = portée mesurée entre nus d'appui. 3.2. MOMENTS SUR APPUIS Les armatures équilibrant les moments sur appuis sont dites « armatures en chapeau » ou plus simplement « chapeaux ».

D'où les deux méthodes simplifiées de calcul des poutres continues de planchers : - la MÉTHODE FORFAITAIRE pour les éléments supportant des charges d'exploitation modérées,

3.2.1. Hypothèses Les sollicitations sont évaluées par les méthodes classiques de la Résistance des Matériaux : - calculs en portiques, - calculs en poutres continues, etc.

- la MÉTHODE CAQUOT pour les éléments supportant des charges d'exploitation élevées.

3.2.2. Moment d'encastrement sur appui à l'état-limite ultime On doit prendre à l'E.L.U. :

3. PORTÉES DES POUTRES ET PORTIQUES

*•

3.1. PORTÉES À PRENDRE EN COMPTE 3.1.1. Poutres sur appareils d'appuis i: : V ::

::

JHViX --.

Travée réelle

/i = portée mesurée entre points d'application des résultantes des réactions d'appui des appareils d'appuis).

H-

11"

té ••#•? ïns-•*•-.

Travée bi—encastrée soumise aux mêmes charges p=charge au 2 , m'de dalle.

M" M uw =Max

M'" On définit des charges uniformément réparties équivalentes sur les travées des poutres :

4. POUTRES DE PLANCHERS

pv

4.1. ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DES PLANCHERS

pM

Les éléments constitutifs des planchers sont : - les POTEAUX = éléments porteurs verticaux, - les DALLES = plaques planes de faible épaisseur par rapport à leurs dimensions en plan, - les POUTRES dont les nervures, en saillie sous les dalles, constituent les « retombées ». Nervures

produisant le même effort tranchant sur appui de la poutre de référence que la charge apportée par la dalle, produisant le même moment fléchissant à mi-travée de la poutre de référence que la charge apportée par la dalle.

Pour un panneau de dalle, les expressions de pv et pM sont les suivantes : ^^ELEMENT CHÀRGE^^^^ p

P

v

p P M

TRAPEZE

TRIANGLE

M a, P-1 (1 2 > 2 K

p.lx

a2 P IK n ï ' (1 - 3} 2

4 p.lx

3

Remarque 1 : les formules des charges en trapèze deviennent celles des charges en triangle pour a = 1. Remarque 2 : pour deux panneaux, de part et d'autre de la poutre considérée, les charges réparties déterminées précédemment pour chacun des panneaux contigus s'additionnent. b) Démonstration pour les charges trapézoïdales 4.2. TRANSMISSION DES CHARGES DES DALLES AUX POUTRES 4.2.1. Méthode des lignes de rupture a) Méthode Les lignes de rupture d'un panneau de dalle encastré sur son contour (lignes où se concentrent les déformations au cours d'un chargement, assimilables à des lignes droites) se composent de tronçons : - formant un angle de 45° avec les rives du panneau, - ou parallèles à son grand côté.

\1/ \i/ \i/ \i/ \|/ s]

^^^^^^^^^^^^^^^^^y^^^^^^^^^^j^^ ( B J

>l

2

p>

Remarque : Pour une poutre de portée L = n . /x supportant n charges triangulaires :

x 'T

r

r

M

4L '

• *

4.2.2. Méthode de Pigeaud

2

I ,- ^

v

Pour une dalle appuyée sur ses quatre côtés, en supposant que la dalle ne se fissure pas, le calcul élastique donne (par égalisation des flèches au centre pour deux bandes unitaires de dalle fléchissant dans deux sens perpendiculaires) les efforts tranchants unitaires sur chaque côté.

l (l

, = VA.|-P'lV

P7~T'

= F.^.[(2-a)-(l-2 a + oc -

3-2i :

®

'.-v? ^

c) Démonstration pour les charges triangulaires et des poutres de portée lx

p= charge au m 2 de dalle.

P'-i

1+a4 a4 1+a4

tj y^\lxsL-\LsL'J,-\.

s

-=-<.!

4.2.3. Choix de la méthode La méthode Pigeaud correspond à un comportement de la dalle beaucoup plus théorique que réel. C'est pourquoi on lui préfère le plus souvent la méthode des lignes de rupture. l

-n,

VA=-VR=:

2

B. PLANCHERS-

=^=P^

4

l* 4 '2

FORFAITAIRE

1. DOMAINE DE VALIDITÉ M0=^±-L.P>±.±=P'1> 4 2 2 2 6

_ l ] = P ^ = p / x l] 3l 12 3 '8 PM

La méthode forfaitaire de calcul des planchers à charge d'exploitation modérée s'applique dans les cas où : 1) les charges d'exploitation sont modérées c'est-à-dire où : qB = somme des charges variables, : g = somme des charges permanentes,

vérifient :

Bien entendu, l'adaptation entre sections ne peut se faire sans fissuration du béton. Il faut donc s'assurer que celle-ci n'est pas gênante.

ou

2) la fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons, 3) les éléments de plancher ont une même inertie dans les différentes travées, 4) les portées vérifient :

0,8 <—!-< 1,25 li-i

îf,

3. MOMENTS FLÉCHISSANTS 3.1. CONDITION À SATISFAIRE M0 = moment maximal dans la travée de référence (isostatique, soumise aux mêmes charges et de même portée que la travée étudiée), Mw et Me = valeurs absolues des moments respectivement sur l'appui de gauche et sur l'appui de droite de la travée continue, Mt = moment maximal dans la travée continue, C

0,8<-^-< 1,25 li+i Dans le cas où l'une au moins des hypothèses 2) à 4) ci-dessus n'est pas vérifiée, se reporter au paragraphe 5.

1B

avec, pour la travée considérée : qB — somme des charges variables, g — somme des charges permanentes, on doit avoir : ((l+0,3.û!)M0

2. PRINCIPE DE LA MÉTHODE - ADAPTATION

1,05.M0

Les essais des poutres en béton armé (cf. paragraphe 2.1. partie A « POUTRES CONTINUES RAPPELS - ADAPTATION ») montrent que les rigidités aux encastrements étant généralement inconnues, si l'on prend : À

3.2. VALEURS MINIMALES DES MOMENTS Mt, Me ET Mw On doit respecter les valeurs minimales ci-dessous.

*t +

3.2.1. Cas d'une poutre à deux travées |M a U

c'est-à-dire si l'on choisit a priori des valeurs des moments telles que : Mw + Me M t + —^—^ k - M o ( k > 1 ) la résistance de la poutre sera assurée. Le principe de la méthode forfaitaire consiste donc à choisir arbitrairement, mais entre certaines limites, les valeurs des moments sur appuis et en travée en autorisant des transferts de moment entre les sections sur appuis et en travée (et réciproquement), k étant fixé e° fonction du rapport entre les charges variables et permanentes.

0

0,6.M01 1,2+0,3. 2

nt2

0 1,2+0,3.a 2

01

02

3.2.2. Cas d'une poutre à plus de deux travées |M a |2

0,5.M01

0

1,2+0,3.0! Appui de rive

M

0,4.M02 1,0+0,3.01

01

Appui voisin de rive

1,0+0,3.01 a

02

Appui intermédiaire

M

03

B

0i

w

oi

3.2.3. Remarque Dans le cas où l'appui de rive est solidaire d'un poteau ou d'une poutre, il convie poser sur cet appui des aciers supérieurs pour équilibrer un moment au moins égal" C ^'S~ Mal = -0,15M 01 (ouM 0n ). 33. MODE OPÉRATOIRE Si on se fixe le moment en travée (en respectant les valeurs minimales du paragraph on obtient les moments sur appuis en appliquant la condition à satisfaire pour les mo ents *-• du paragraphe 3.1. : - soit en se donnant un des moments sur appui, • '••" •H», - soit en les prenant égaux. , >!, Si on prend sur appuis Me et Mw (en respectant les valeurs minimales du paragraphe 3 2 ï la condition à satisfaire pour les moments donne Mt. ' Le moment pris en compte sur l'appui de gauche d'une travée est égal à celui pris compte sur l'appui de droite de la travée précédente. 3.4. ARRÊT DES BARRES Par la courbe enveloppe des moments. Forfaitairement si qB < g et si les charges sont uniformément réparties : 1' . . 1 '

->À t /2

EFFORTS TRANCHANTS j REMARQUE PRÉLIMINAIRE Efforts tranchants dans une travée de rive : . r.-.; ':
V-

->,

\i •• s

•' .";•/ ?«KJ.I

'0= valeur absolue de l'effort tranchant sur appui 1 ou 2 dans la travée de référence, M 2 -Mi )•/««;'"' Y 0 -r

M2<0|

M 2 -M!

<0

ir

= -V 0


/ M2 -M!

V2 :> V0

/

(;j^

. . ! • ' • • • * au;.' - Vo^îfîOi', •-/'••ilTMM ••

Donc l'effort tranchant réel est : '•"''• - supérieur en valeur absolue à l'effort tranchant isostatique sur l'appui continu dans la travée de rive, ' '"f; /•', . - au plus égal à V0 ailleurs. ' • • • : • • ' •.-. • ' i ;'-':à .£ 4.2. CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS Calculs en faisant abstraction de la continuité.

avec : /y = Max [/; • Travées de rive : /' = Max

ou / ' = Max

• Travées intermédiaires :

Sauf sur l'appui voisin de rive où : - soit on tient compte des moments de continuité évalués, - soit on majore forfaitairement les efforts tranchants de la poutre de référence : '.''_ • de 15 % pour les poutres à deux travées, >>-, j. • de 10 % pour les poutres à plus de deux travées. *' '"'

r=M«p-;/. [5 ' • Dans toutes les travées, quelle qu'en soit la nature : / " = Max — ;

* = seulement si crochets d'extrémité pour ces barres, Aa, At = armatures calculées respectivement sur appui et en travée.

-1,10.%

5. MÉTHODE CAQUOT « MINORÉE » Dans le cas où l'une des hypothèses 2, 3 ou 4 énoncées au paragraphe 1 de ce sous-chan' ne serait pas vérifiée : appliquer la méthode Caquot pour les planchers à charge d'explo'i tion élevée (qB > 2.g) en multipliant la part des moments sur appui provenant des seul charges permanentes par un coefficient compris entre 1 et 2/3.

On retient : /'i = /i pour les travées de rive sans porte-à-faux (sinon voir § 4), /'; - 0,8 /; pour les travées intermédiaires. 2.1.1. Cas des charges réparties a) Cas général On considère les deux travées fictives de portées /' w (pour celle de gauche) et l'e (pour celle de droite) détachées de part et d'autre de l'appui considéré.

C. PLANCHERS - MÉTHODE CAQUOT 1. DOMAINE DE VALIDITÉ

| * i. >, i

La méthode de calcul des planchers à charge d'exploitation relativement élevée, due à A Caquot, s'applique dans les cas où : - les charges d'exploitation sont susceptibles de variations rapides dans le temps et en position (charges mobiles,...) et où : qB = somme des charges variables, g = somme des charges permanentes,

1'

vérifient:

6ËU-

Mi

M

i+l

Ml 1+

-

' w

[3ËU

+

Pw/'3w

/'e

' e

3Ëi;J-

1Vli

"6Ëï;-

mi+1=

*•

2 .

/ w

P"Jw

/ e ,._ + — • Mi

4

...

d'où : Travées

.,2 PW « <• w

/« '—

;./'e

Iw

Pe-/ e

/ w ' AW

' /'w/Iw + /'e/Ie

4

/^ ' le

/'e/Ie

' rw/iw+re/ie

> Appui de rive

Pe./'e

-24^Û-24Ëi;

soit après simplification par 6E et en tenant compte de ce que Mj _ { = M; + { = 0 sur les appuis G'i_! et G ' i + j :

2. ÉVALUATION DES MOMENTS 2.1. PRINCIPE DE LA MÉTHODE - MOMENTS SUR APPUIS

lé

Le théorème des trois moments appliqué à l'appui Gj s'écrit : /'

oui a .nt2 (q B > 5 kN/m - les poutres sont associées à une dalle générale (sections en T en travée).

w

Iv

réelles Appui continu

ce qui s'écrit :

en posant :

8,5 Travées

t

8,5

et D = K W + K E

fictives Iw etIe =moments d'inertie de la section de béton seul

Le coefficient 8,5 au lieu de 8 dans l'expression des moments de référence M' trad I l'effet de variation des inerties des sections de béton fissurées le long des travées. 1

IÀ.H.

A.H.

Le théorème des trois moments appliqué à l'appui Gj s'écrit :

6 EL

À.H.

En travée

A.N.

.

i_,+

w

3 EIW

' e

3

31e • /'e

soit après simplification par 6E et en tenant compte de ce que Mj _ = M, + i = 0 sur les appuis G';.! etG' i + 1 : 2.

Sur appui

P.-''

2--

.M;=-

~^ ^travée ^ ^appui

d'où: b) Cas particulier oui = Cste Si les travées ont le même moment d'inertie I (section non fissurée) :

f'e

ce qui s'écrit dans le cas général de charges concentrées dans les deux travées encadrant l'appui considéré :

D

/' w + /'e

de)

et l'on obtient :

2.1.2. Cas des charges concentrées a) Cas général

en posant : »

On considère les deux travées fictives de portées /' w (pour celle de gauche) et /'e (pour cellf de droite) détachées de part et d'autre de l'appui considéré et soumises à l'action d'un* charge concentrée Pe d'abscisse ae comptée depuis l'appui central.

a 1 2 , 1 2 5 1-

[^=Ikw.Pw.i;

i;»

i;' ' e

et M é = I k e . P e . l é et D=K w + K e

Iw et Ie =moments d'inertie de la section de béton seul 1-1

dv>

Le coefficient 2,125 au lieu de 2 dans l'expression des coefficients kw et kg traduit l'effet de variation des inerties des sections de béton fissurées le long des travées.

b) Cas particulier oui = Cste

l,35.G+l,5.Qj

Si les travées ont même moment d'inertie I (section non fissurée) :

1,35. G

Jn ' T l T T l f

L

K-«/ — •

1r

r r

in y

1

^

r

r

r

m i • ~m i jj W i

L

*

r

¥ T \

1 , 35 . G

4im w y vinrf àL

H rf

tmax

•;• -H-i

J-i

D

U,35.G+1,5.QB

( f

D = I. ' w• ' e

ou 6+1,5.Q B

|1,35.G ou G

"T

et l'on obtient :

Tjjjrjjnhrj

Jl,35.G+l,5:QB ou 6+1.5.Q B T

T

? T

T

T'

irvv T ^ T V l r T

* M tmin Mi — • r

D'où la courbe enveloppe des moments pour des charges réparties, les cas de charge à considérer étant les mêmes et conduisant à des courbes analogues, mais à points anguleux, pour des charges concentrées :

2.1.3. Cas général Lorsqu'agissent simultanément des charges réparties et des charges concentrées, on superpose les résultats précédents.

•'• • .

wmax

2.2. MOMENTS EN TRAVEE

••

•!•,- ^ïiMO.Îl

emaK

Les valeurs des moments sur appuis sont obtenues comme indiqué ci-dessus au paragraphe 2.1. : Ligne de fermeture

Les moments en travée sont calculés en considérant les travées réelles (de portée / et non /') chargées ou non suivant le cas et soumises aux moments sur appuis obtenus précédemment. Comme, dans l'évaluation des moments sur appuis, on ne considère que les deux travée adjacentes à l'appui étudié, les cas de charge à envisager pour l'E.L.U. sont les suivants :

1,35.6+1,5.QB Tr

ir

1,35.6+1,5.QB

1, 3 5 . 6 + 1 , 5 . Q B

T. T I. 4. 4. 4. 4.

ir

max

xi

T

+M

x

-77

max 3

- EFFORTS TRANCHANTS Les efforts tranchants sont calculés en tenant compte des moments sur appuis évalués par la méthode Caquot.

D'après l'allure de la ligne d'influence de l'effort tranchant en travée pour la poutre isostatique de référence associée à la travée considérée, on voit que pour un extremum de signe

3.1. EFFORTS TRANCHANTS EXTRÊMES SUR APPUIS

+

4+1 1 , 3 B . G + 1 , 5 . QB

donné ( Vmax ou Vmax ), la zone à charger est la même que pour la travée continue.

1,35.G+1,5.QB

1,:

~\

mm

1,35.(

iii Ni

— — Travée continue Travée de référence

VL =

avec : V0w et V0e = efforts tranchants sur appui Gi des travées de référence en valeur algébrique, MJ _b Mj et MJ + j = moments sur appuis avec leurs signes.

D'où le mode opératoire obtenu en dissociant les parts isostatique (d(J/dx) et hyperstatique (AM//j) de l'effort tranchant. 1) On commence par tracer la ligne enveloppe de l'effort tranchant dans la travée de référence de portée lt. 2) On fait subir à la partie positive une translation de valeur algébrique :

3.2. EFFORTS TRANCHANTS EN TRAVÉE

-

3.2.1. Cas des charges réparties D'après l'allure de la ligne d'influence de l'effort tranchant en travée, on a, en se limitant à la travée considérée et aux deux travées adjacentes (nécessaires pour le calcul des moments sur appuis, donc de AM/0 :

avec Me et Mw obtenus en considérant le cas de charge : 1,3S.G+1,5.QB

I

' r

lr

1,35.G+1,5.QB ir

Tr

TF

TT

If

w

ï

.G

1

'» ,£,£.^ :;,:,',y.'l ,-•;<••

Me<0

Mw<0

1 , 3 5 . G + 1 , 5 . QB

1,35.G+1,5.QB |~j

1,35. G \ ^

|

\

'j

3) On fait subir à la partie négative une translation de valeur algébrique : 1

.- 3 ^'. G .

AMm

Me - M w

/i

'i

• i ' y y i n M ' i ' ir i nr T

avec Me et Mw obtenus en considérant le cas de charge : 1,35.G+1,5.QR

1,35.G+1,5.QB

i

iririr

35.G

)

j

^

j

1.35 G

VTTVl'l'i'inr

1,35.G+1,5.Q B

1,35.G

l,35.G+l,5.Qj 1. | | .1 .1.

i Mw<0

Me<0

l'ît-' J

.i.

4) On en déduit la ligne enveloppe de l'effort tranchant dans la travée continue en s" ressant à sa valeur absolue et en remplaçant les arcs de courbe par leurs cordes (sens ^ e a sécurité) : '

4. TRAVÉES DE RIVE AVEC CONSOLE 4.1. THÉORIE

*

M

Dans le cas où la travée de gauche (Z wl ) adjacente au premier appui est une console : 1

••• ••<•»»•"!» . V '"S.

—

Travée de référence Travée continue

-

' ,'-. .

wl

©

1

el= 1 w2

(D

1

e2 = 1 w3

CD

^3

_v

Ligne enveloppe pour la répartition des armatures d'âme

Remarque 1 : en principe, il faudrait tenir compte des chargements partiels de la travée / pour le terme hyperstatique AM//t, mais la méthode donnée va dans le sens de la sécurité. Remarque 2 : pour une charge répartie qu d'étendue variable, au milieu d'une travée isostatique : Vu = ±

~y (voir paragraphe 4.2.a) de l'exercice « Poutre - effort tranchant » du chapitre 7

« EFFORT TRANCHANT ».

En appliquant le théorème des trois moments à l'appui 2 encadré par les travées fictives de portées /' w2 et /' e2 : M W2

b w 2 . M w ] + (cw2 +a e 2J • M W 2 + b e 2 . 0 = 0

Mwi

, d'où, en posant K = lll' :

"> ,e,L*

3.2.2. Cas des charges concentrées Considérer pour Vmax toutes les sections d'abscisses a; ± e (a; = abscisse des charges concentrées qu'elles soient variables ou permanentes) en envisageant le cas de charge le plus défavorable pour l'effet recherché dans une section donnée, c'est-à-dire en chargeant successivement les zones correspondant aux parties positives ou négatives de la ligne d'influence de l'effort tranchant relative à la section considérée.

i-'it'M

K w2

6EI W2 2'

G, Q

3EI w2

3 El c2

1

K e2

1

2 ' K w2

K w2 + Ke2

Soit en prenant 2,125 au lieu de 2 pour tenir compte de la variation d'inertie des sections fissurées le long des travées de la poutre :

Mw 2

1 2,125

K

e2

Kw2

M

H

ce qui s'écrit dans le cas où Iw = Ie -1 : AH,

Mw

<-

1 1 * 2,125 I w 2 -

fi^ 2

Mwl1

Dans le cas où la travée de droite (/en) adjacente au dernier appui est une console il vient H la même manière : K

ou :

Me(n-l) =

w(n-l) - -

1.1. DISPENSE DE VÉRIFICATION DE LA FLÈCHE Pour les poutres de plancher vérifier :

-à -> -16 Jl J

.M f

2,125

Mn=moment de la travée de référence,

1

10

;'j

1

"Tt

4.2. MÉTHODE DE CALCUL

avec :

Mt=moment maximal en travée,

À

À=section d'aciers tendus en travée.

4.2.1. Cas où l'appui 3 est continu Sinon vérifier l'état-limite de déformation (voir Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés).

Le moment sur appui 2 est donné par la formule : M 2 =M 2 c -

1

I •

2,125

M

wl

avec:

1.2. LIMITATION DES FLÈCHES i,

^ w2 = '•v/2 > l e2 = 0>8./e2 ,

' ; M2c = moment dû aux charges agissant sur les travées encadrant l'appui 2, '' M wl = moment apporté par la console (avec son signe) sur l'appui 1. \ >• 4.2.2. Cas où l'appui 3 est un appui de rive

En Résistance des Matériaux, pour une travée isostatique sur deux appuis simples uniformément chargée :

'ÎOHTH... ..

'

7$; EI\

Même formule qu'au paragraphe 4.2.1. avec : ' w2 = 'w2 ' ' e2 = 'e2 •

_

4.2.3. Cas où l'appui 3 est un appui de rive avec console

, ,..«••/w.oiî

"!•• ; r •

ifiOirUOl

• • .-v} A»iS

Même cas qu'au paragraphe 4.2.2. si en partant des deux extrémités de la poutre on obtient I M

w2 = Me2-

Sinon appliquer les formules de la Résistance des Matériaux pour retrouver le mer moment M2 sur appui 2 en partant des deux extrémités de la poutre. 4.2.4. Remarque Les formules établies pour l'appui 1 avec console / wl se transposent au cas de l'appui n avec console /en : - en remplaçant les indices 1 et 2 par n et n - 1 respectivement, - en permutant les indices e et w.

384 . El En béton armé, le calcul de la flèche est beaucoup plus complexe, compte tenu de la fissuration du béton. Ce calcul n'est pas traité dans le présent ouvrage (voir Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés). Limitation des flèches pour les planchers : f<

D. POUTRES CONTINUES - DIMENSIONNEMENT 1. CONDITIONS DE DÉFORMATION

©

f<0,5cm +

f<

si / < 5,00m

500

250

1000

si /> 5,00m pour les consoles avec / < 2,00m

2. RÉSISTANCE À LA FLEXION

VÉRIFICATION À L'EFFORT TRANCHANT

2.1. SECTIONS CRITIQUES

La poutre étant dimensionnée en flexion, il faut vérifier :

b 0 .d

À.H. À.H.

la valeur de Tlim étant celle donnée au paragraphe 3.2. du chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ».

En travée

Sur appui

- soit incliner les armatures d'âme (ce qui revient à augmenter tlim).

Mrb ,

M

Tser

M

SiT u0 >T lim onpeut: - soit augmenter le coffrage (b0 et/ou d), - soit augmenter la résistance caractéristique fc2g du béton à utiliser,

Tu

M

»

lu

d'où la section critique est SUR APPUI.

II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER MÉTHODE FORFAITAIRE

2.2. MÉTHODE DE DIMENSIONNEMENT II convient donc :

— ÉNONCÉ —

1) de calculer les moments sur appui (formules de la Résistance des Matériaux, méthode forfaitaire ou méthode Caquot), 2) de vérifier sur appui :

11

1 i —•

1

11

:IJ .I.î

- si la fissuration est peu préjudiciable :

7-ifl»

(fit V£f +2cm

bg.d 2 ~, "lu-u bu M

11

;

11

f

- si lafissurationest préjudiciable ou très préjudiciable


i.m&ifhiyi.

i

b n .d

> Max f L

1

11

11

, à .1.1 1

'

Mu

Al

•'•'* ";u

.

3) de déterminer b0 et d en tenant compte des dispositions constructives qui fournissent la seconde équation de coffrage :

7,50m

11

'

'

•

1

11

1

?

2,30m 2,30m ,2,30m L2,30m

0, 3 d i b0 1 0 , 5 d

9,20»

9 20m

'

9,20m

'-

'

l'"1

V

- Caractéristiques des matériaux : - béton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

2. DIMENSIONNEMENT DU PLANCHER

- Caractéristiques géométriques : - hourdis : épaisseur 10 cm, - chape de 2 cm, - poteaux tous carrés 30 x 30 cm2, - retombée maximale admise : 50 cm.

a) Actions permanentes Poids propre dalle : Chape de 2 cm :

- Actions variables de durée d'application supérieure à 24 heures : - charge d'exploitation : q = 2,5 kN/m2.

h) Actions variables Charges d'exploitation :

• Fissuration peu préjudiciable. Reprise de bétonnage sans indentations pour les poutres et poutrelles.

2.2. MÉTHODE DE CALCUL UTILISEE

2.1. ACTIONS AU M2 DE DALLE 25 kN/m3. 0,10 = 2,5 kN/m2 20 kN/m3. 0,02 = 0,4 kN/m2 g = 2,9 kN/m2

Total :

• On se propose : 1) de dimensionner les poutrelles, 2) de dimensionner les poutres, 3) de déterminer le ferraillage des poutrelles.

q = 2,5 kN/m2

Charges : g = somme charges permanentes, q = somme charges variables,

g

— CORRIGE — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX 1.1. BÉTON

Inertie des travées : Portées :

/. 0,8
Résistance de calcul

q = 2,5 kN/m2 < 5 kN/m2 ne compromettant pas la tenue des cloisons ni celle des revêtements, I = Cste dans toutes les travées, travées toutes égales : poutres : 9,20 m poutrelles : 7,50 m

< 1,25 On appliquera la MÉTHODE FORFAITAIRE DE CALCUL DES PLANCHERS. 0,8 <

Contrainte limite à l'E.L.S. = 0,6.25 = 1.2. ACIERS

2.3. DIMENSIONNEMENT DES POUTRELLES L'équarrissage des poutres et poutrelles n'étant pas connu à ce stade de l'étude, nous raisonnerons à partir des portées entre axes (et non entre nus d'appuis).

Résistance de calcul

a) Charge au ml de poutrelle Transmission des charges des panneaux de dalle aux poutrelles :

Contrainte limite à l'E.L.S. fissuration peu préjudiciable

q > < 5 kN/m2 Fissuration :

=> pas de limitation de as en service.

=> Les panneaux de dalle portent dans le sens de leur petite portée. => Les charges sont transmises directement des panneaux de dalle aux poutrelles. Charge sur poutrelle à l'E.L.U. : pu=(l,35g+l,5q)/x pu = (1,35 . 2,9 + 1,5 . 2,5) 2,30 = 17,63 kN/m b) Résistance à la flexion Moment dans la travée de référence :

retombée : 37,9 - 10 = 27,9 < 50 cm O.K. => POUTRELLES 14 x 40 cm2 c)

Résistance à l'effort tranchant Effort tranchant : - poutre de référence : V^ = 17,63.^^ = 66,1 I k N

*0u = Pu ' ~2

.2

- poutre continue : 1,10V,Ou

Moments sur appui : - section sur appui = section critique, - par la méthode forfaitaire : |M a li 0

0,5MQ

Mau = -0,5M 0u Dimensionnement : - pour ne pas mettre d'aciers comprimés : Mau < Mlu

Y

= = ~

~

M"

P =

~

"

=

~

-1,10V,Ou

0,5M0 Mau = -0,5. 123,96 = -61,98 mkN

= 0,0671MN V uO

, = 7,67kN/m • 1,35 . 2,9 + 1,5 . 2,5 = 1,419 Y=2,9 + 2,5

M

&

+ 51 — -3100 0e (MPa)

25

4

10 |i lu =3220. 1. 1,419 + 51 . — -3100 1 = 2744=>n, u =0,274

0,20^ fissuration peu J'bh préjudiciable / ^ T H m - M i n \ v 5MPa

0,0671 = 1,37 MPa 0,14.0,35

= 3,33 MPa = Min

I 0,2011=^3- '• l5MPa

, .,w:,q

Vérification : 0=

d) Flexibilité h 1

0,3d
1,37 MPa < t|im= 3,33 MPa O.K.

7 50 h > - " = 0,469 = 47 cm > 40 cm 16

trouvés en résistance (voir b). 47 - 10 = 37 cm < 50 cm de retombée admissible.

d'où pour b 0 = 0,4. 0,9 h: ^L

=

Contrainte tangente limite :

FeE500etf c 2 8 <30MPa

hS

T

b0 . d

- moment réduit limite approché :

- dimensionnement : M...

Contrainte tangente conventionnelle réduite : Vu0 = 0,073 - 17,63 -W~3 -^ -0,40

1,35. g + 1,5. q

fc28

Vu =1,10. 66,11= 72,72 kN

V u = 1,10Viill

61,98. 10

h>

V

-3

J

0,4 . 0,9 . 0,274 . 14,2

b0 = 0,36. 0,379 = 0,136 m

= 0,379 m

e) Retenu h = 45 cm compte tenu du fait que / est la portée entre nus et non entre axes et du fait que l'on a négligé le poids propre de la retombée : POUTRELLES 14 x 45 cm2

b 0 = 0,36. 0,686 = 0,247 m or retombée maxi = 50 cm > h - 10 = 59 cm => h = 60 cm et poteaux 30 x 30 cm2 => b0 = 30 cm => retenu poutres 30 x 60 cm2.

2.4. DIMENSIONNEMENT DES POUTRES .,-• 'fi'. ' ',',',.•:.

Dalle

Poutrelle

.

j

ilsitq ''1

:••;•-.

- , r i " -••-lï.ll i".

i ~*W~ "If —Hf —Ijf —If" ^•••••••••••••••••^•"•"••••••••w"-""^ |

9,20m

cj Résistance à l'effort tranchant

\ Poutre

i,

9, 20m

1

Calcul de Vu :

9,20m

P u = 0,159 MN

H

>

U f

P

>,

6,073 . 10

P

. 0,30. 0,60. „

Vu = 0,266 MN V u = 1,10. 0,266 = 0,293 MN

V^UOVou a j Charges transmises par les poutrelles aux poutres Contrainte tangente conventionnelle :

Charges concentrées : gn = poids propre retombée

(1)

PD = 1,10. 2[YO,,* 1,35g.41

Vu0 = 0,293 - - . 6,075 . 10" 3 . 0,60 = 0,290 MN

Pu = 1,10. 2 66,11 + 1,35 . 25 .0,14 .0,35 .7,50 v

T

= 159,085 kN 1,10 car on s'intéresse à la poutre constituant le premier appui intermédiaire des poutrelles, 2 car la poutre sert d'appui à deux travées de poutrelles.

uO

ul)

Tu

°

b0. d

Contrainte tangente limite : f

I

25 0,20 . 3,33 , UMpa

cj

fissuration peu \ ,,. I ^.20 — préjudiciable H T H m -Mm yb

b) Résistance à la flexion

51

Moment dans la travée de référence à l'E.L.U. :

M -3 • -Pu =P lvl u Ou ' 2 "2 '4 '2

0,30 . 0,55

,=0,159. ^ = 0,731 mMN

Moment sur appui (section critique d'une poutre continue) : Mau = - 0,5 M0u Mau = - 0,5 . 0,73 1 = - 0,366 mMN

Vérification :

Tu0 = 1,76 MPa < tlim = 3,33 MPa O.K.

d) Flexibilité

9,20 - 2

Dimensionnement :

h

En prenant y= l,419>y réel = = - par sécurité puisqu'on a rajouté le poids propre de

1

7 ><: T6

h>

16

0,30 - = 0,56 m < 0,60 m O.K.

"

e) Retenu

nervure et qu'on a négligé celui de la poutre : 3

h >0,4.0,9 J .n"lu - fob

h>

366

= 0,686 m °' 0,4 . 0,9 J . 0,274 . 14,2 Ne pas confondre V0u (isostatique) et V u0 (réduit).

POUTRES 30 x 60 cm2.

2.5. CONCLUSION En adoptant les mêmes dimensions pour les poutres et poutrelles de rive qui sont chargées que les poutres et poutrelles intermédiaires, on retient pour les retombées • 30^50 +2 1*3

.35

14, E 35

,35

•:

14: .35

1

9,20m

1 J

14;

3S

0,30 2

35

30 K 50 9,20m

qv^i-fj-^ 14: .35

: J

14: [35

9,20m

À prendre en compte : 2 panneaux de dalle : sur poutrelle :

7,50m

1 J,

.2,5.

q v = i-

0,30

.2,5.

2,16

= 2,619 kN/m

2 panneaux de dalle : sur poutrelle :

5,238 kN/m 0,350 kN/m q M = 5,588 kN/m 4,590 kN/m 0,350 kN/m

2.2,295 = 2,5 kN/m 2 . 0,14 =

qv = 4,940 kN/m

total pour V :

a) Charges permanentes

= 2,295 kN/m

2.2,619 = 2,5 kN/m 2 . 0,14 =

total pour M :

3. ACTIONS ET SOLLICITATIONS DANS LES POUTRELLES 3.1. ACTIONS (CHARGES) Caractéristiques des panneaux de dalle : poutrelles 14x45 poutres 30 x 60

2\

7,50m

14; ;35

QY 50

14; £

[

143 ;35

14: ;35

»: ;35

[

1

14, t 35 °n 50

g v = 6,955 kN/m

\ Charges variables Apportées par un panneau de dalle :

7,50m 1*3

5,324 kN/m 0,406 kN/m 1,225 kN/m

2 . 2,662 = ,
total pour V : '•' '"''

—c

fo)

2 panneaux de dalle : sur poutrelle : retombée de poutrelle :

3.2. SOLLICITATIONS a) Remarque Pour la méthode forfaitaire, les sollicitations hyperstatiques sont déduites des sollicitations isostatiques au moyen de coefficients de réduction. On ne calculera que les sollicitations à l'E.L.U., celles à l'E.L.S. s'en déduisant en multipliant les précédentes par 1/y avec :

= > / x = 2,30 -0,14 = 2,16 m => ly = 7,50 -0,30 = 7,20 m

«-w-w Apportées par un panneau de dalle :

Y= Y

«lI .g/ * gM = f, |l- — —

3,038 kN/

1,35 . g M + 1,5 . q M gM + q M

! 35 . 7 707 + 1 5 . 5,588 = 1413 7,707 + 5,558

v=— T

(valable uniquement pour les moments, l'effort tranchant étant étudié à l'E.L.U.). b) Sollicitations dans la travée de référence

g'x

À prendre en compte : 2 panneaux de dalle : sur poutrelle : retombée de poutrelle total pour M :

= 2,662 kN/m

PMU= L35 g M +1,5 QM

r 6,076 kN/m 0,406 kN/m 1,225 kN/m

2 . 3,038 = 2,9 kN/m2. 0,14 = 25 kN/irP. 0,14. 0,35 = gM =

7,707 kN/m

p vu = l,35g v +l,5q v *0u =

p Mu = 1,35. 7,707 + 1,5 . 5,588 = 18,786 kN/m M 0 u = 18,786.

7,20

= 121,73 mkN

pvu = 1,35 . 6,955 + 1,5 . 4,940 = 16,8 kN/m

Vn,, = 16,8

7,20

= 60,48 kN

c) Moments sur appuis

soit avec Mw = 0,15 M0 et Me = 0,5 M0 :

On prend les moments minimaux suivants (poutre à plus de deux travées) : 0.5M0

Q,5M0

M

0,15M n

[(0,675+ 0,3 a) M 0 '^ M a X \0,725 M 0

0,675 + 0,3 . 0,42 = 0,801 > 0,725 => Mm > 0,801 . 0,122 = 0,098 mMN

u

= - 0,15

MAu = MDu = - 0,15 . 0,122 = - 0,018 u = - 0,5. 0,122 =-0,061

d) Moment en travée courante

Moment minimal réglementaire :

Mt>

1,2+ 0,3 a

0,801 s '

.M 0

2

retenons : Mtu = 0,098 mMN

5,588 a= 7JÔT+T588=0'420 f) Efforts tranchants

Moment calculé :

En faisant abstraction de la continuité : I

(l+0,3
a,' t.-L-t»?:, ,;>•'> ; - <&•>.

V

, Ou i;Gf

soit avec Mw = Me = 0,5 M0 : f(0,5 + 0,3a)M 0 0,55 M n

• -\\.u, rt \)»V'-

-1,10V.Ou Soit:

Moment minimal réglementaire : on doit avoir :

® (I 1,2+0,30! „ r

*T

0,5 + 0,3 . 0,42 = 0,626 > 0,55 "'" => Mtu > 0,626 . 0,122 = 0,076 mMN

M0

M t i<

©1,2+0,30!<§>

VAu = 0,061 MN

I VBgu I = 1,10 . 0,061 = 0,067 MN VBdu = 0,067 MN

IVBgul=UOV0u VBdu=l,10V0u 3.3. SOLLICITATIONS RETENUES

- M0

1+0. 30! w M 2 0

-0,061 ©

0,098

(g)

0,j076 (C)

d'où dans la travée centrale :

Mt>

=0,663 O.K.

Conclusion :

qM

M, > Max

'

1+0,3 a

Conclusion : retenons : Mm = 0,076 mMN

0,061

0,067

e) Moment en travée de rive Sfà

^

Moment calculé :

-0,067

(1+0,3 a)M

4. POUTRELLES - ARMATURES LONGITUDINALES :

4.1. SUR APPUIS INTERMÉDIAIRES

I = 0,0025 m4

a) Nécessité d'aciers comprimés Moment réduit agissant :

1

M,,

0,061

I

0,81 h v'

Ït28

fe

- = 0,192 0,14 . 0,402 . 14,2

b0.d2.fbu Moment réduit limite : Fe E 500 et fc2g < 30 MPa =>

Nécessité d'aciers comprimés :

Hta = 0,192 < 0,2725 = jiln => A' = 0 b) Armatures supérieures (ibu > < 0,275 => méthode zb=d(l-0,6nbu) M

Hbu = 0,192 < 0,275 => formules simplifiées zb = 0,40 ( 1 - 0,6 . 0,192) = 0,354 m A u =-006L_io 4 6cm 2 0,354 . 435

10

~

min

_

1 0,0025 2,1 1ft4 • • 1" 0,81 . 0,45 0,103 500 = 2,80 cm2 < Au O.K. ' "^

d'où pour deux files verticales : litl:2O12HA:2.1,13= 2,26 cm2 l i t 2 : 2 < D 1 2 H A : 2 . 1,13= 2,26 cm2 A = 4,52 cm2

25 10«Miu = 3 220. 1.1,413+ 51. — - 3 100 = 2725 =>H-i u =0,2725

A A

Amin

y= 1,413

104^=322007+51 —-3100 0 (MPa)

y . ' v» J^mi*

0,14 . °'45 + 1,44 . ^ili- - 0,207 . 0,1032

4.2. EN TRAVÉE DE RIVE a) Largeur de table à prendre en compte M, > 0 => section en T en travée. b-b 0 = Min

b-b

= 0,72 m

b = 2 . 0,72 + 0,14 =1,58 m b) Moment de référence

À.H. s

-s

Fh_ = 1,58 . 0,10 . 14,2 = 2,244 MN Largeur de table a prendre en compte sur appui intermédiaire :

10 bf''/ bo —2—=Min//2/10

[0 ft28 = 0,6 +0,06 fc28 B = b 0 . h + (b-b 0 )h 0 v, _

b0 . h2 + (b - b0) . h2, 2Tfi

z b = 0,40 -

b-b0 [7,20/10 = 0,72 m —^~ = 0,72 m = Min < 7,20/10 = 0,72 m [2,16/2=l,08m b = 2 . 0,72+ 0,14 =1,58 m ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa B = 0,14 . 0,45 + 1,44 . 0,10 = 0,207 m2 , = 0,14 .0,45 2 + 1,44 .0,10 2 = 0)l0 3 2 . 0,207

= 0,35 m

M Tu = 2,244 . 0,35 = 0,785 mMN c) Type de section M ta xM Tu

Mtu = 0,098 mMN < 0,785 mMN = MTu => Calcul en section rectangulaire bd.

d) Armatures inférieures

M,,

0,098 bU

ied

b.d2.fbu

(j,bu > < |is; (section en T) (ibu > < 0,275 => méthode zb = d(l-0,6ti bu ) M... A.. = Z

b'fed

2

*n cm A u = - 0,018 - . m* 10 = i1,07 0,386 . 435

Hbu = 0,027 < 0,3717 = m, => A' = 0 ^bu = 0,027 < 0,275 => formules simplifiées zb = 0,40 (1 - 0,6 . 0,027) = 0,394 m 0,098 4 2 A =" 0,394.435 . 10 = 5,72cm

soit deux files verticales : 2 O 10 HA : 2 . 0,79 = 1,58 cm2= A

5. ARMATURES D'ÂME En indiquant entre parenthèses les résultats pour l'appui de rive de la travée de rive.

v = 0,45-0,103 = 0,347 m

V = h - V'

5.1. VÉRIFICATION DU BÉTON min

~0,81 .h ' v ' fe

A min __J__ °'0025 AI 0,81 .0,45 ' 0,347 '500

1Q4

A^ = 0,83 cm2 < Au = 5,72 cm2 O.K. soit deux files verticales : lit 1 : 2 0> 14 HA : 2 . 1,54 = 3,08 cm2 l i t 2 : 2 < ï > 1 4 H A : 2 . 1,54= 3,08cm2

a) Contrainte tangente Charges uniformément réparties : (0,061) _ 3 5.0,45 V, 'uOn = 0,067-16,8. 10 . (0,055) = 0,061MN (0,055) (0,98) 0,061 = l,09MPa T uQ 0,14.0,40

A = 6,16 cm2

4.3. EN TRAVÉE CENTRALE Un calcul identique en tout point à celui effectué ci-dessus au paragraphe 4.2. donne pour deux files verticales ; Mu = 0,076 mMN ; b = 1,58 m ; b0 = 0,14 m et d = 0,40 m : A = 4,36 cm2 soit : Iitl:2O12HA:2.1,13=

*uO "uO

b0 . d

b) Contrainte limite 2,26cm 2

lit 2 : 2 * 12 HA ; 2 . 1,13

2,1

(0,20 § = 3,33

fissuration peu 1 préjudiciable j

, 5 MPa

A = 4,52 cm 2 1

Tlim= 3,33 MPa

4.4. SUR APPUI DE RIVE

(0,98) Tu0 = 1,09 MPa < 3,33 MPa = TH,,, O.K. At droites

Mu = - 0,018 mMN

Armatures supérieures : Ll.u.. —

Mu 2

b0 . d . f bu ^bu>
[ibu > < 0,275 => méthode z b =d(l-0,6n b u )

'' -

0,018

,,... „ ;

c)Vérification

Moment à reprendre pour encastrement partiel sur poutres de rive: MU = -0,15.M 01

l5MPa

= 0,057

5.2. ARMATURES D'ÂME DROITES

0,14 .0,40 . 14,2

Hbu = 0,057 < 0,2725 = jilu => A' = 0 ^ibu = 0,057 < 0,275 => formules simplifiées z b = 0,40 (1 - 0,6 . 0,057) = 0,386 m

a) Calcul A

t

f

et

b0.st y

t -0,3.k.ftj u

0,9 (sin a + cas a)

avec : a = inclinaison des At,

fet, Y,, VUO b0. d

Espacement maximal At droites => a = 90° => sina + cosa = 1 Fe E 500 =» f et = 500 MPa, y, = 1,15 (0,98) T = 1,09 MPa - reprise non traitée, - fissuration peu préjudiciable, 1 => k = 0 - flexion simple. I

fgg bornée supérieurement à 3,3 MPa

f,2g = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

t - . f, > 0,4 MPa b n • s, ett

A

t

14.0,4 500

6. VÉRIFICATIONS DIVERSES 6.1. APPUI SIMPLE D'ABOUT a) Aciers inférieurs sur appui

1

2 _ cm /cm 25,64 (28,52)

b) Pourcentage minimal A

1 , cm /cm 89,29

A =—

/*'

,

2

Comme on avait deux files de 2O14HA en travée de rive, on garde : 2 14 HA inférieurs sur appui : A = 2 .1,54 = 3,08 cm2 Longueur d'ancrage droit au-delà du nu d'appui : f *ed

1,40 1 . = 4 4 $.0,45=20*

A

s s

cal A rt réel

Si l'encombrement est trop grand, prévoir un ancrage courbe équivalent. |ij Vérification du béton de la bielle d'about

c) Diamètre et espacement des A,