L ABORATORIO DE M ATEMÁTICA V
Pág 1 de 6
UNEFM
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO”
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMATICA UNIDAD CURRICULAR MATEMATICA V lapso I-2016 Profesores: Ing. Profesores: Ing. Hemmy Guzmán, Ing. José Ollarves, Lic. José Salcedo, Ing. Pedro Pérez, Ing. Yohana Donquis, Ing. Neptalí Franco (Coordinador)
PRACTICA No. 3
INTEGRACION NUMERICA En esta práctica vamos a continuar aplicando los conocimientos adquiridos en la práctica anterior "Programación básica en SCILAB". Se aplicarán también los métodos de Simpson 1/3 y Romberg, para la resolución de problemas de aplicación, relacionados con la integración definida. Método de Simpson 1/3 1.-¿Cómo codificar el método de Simpson 1/3?. Dada una función f y y un intervalo [ a, b], el método de Simpson 1/3 aplica la siguiente regla para aproximar el valor de integrales definidas:
/ /− () ≈ ℎ (( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4∑( 4∑ 2 ∑ ( ) − 3 = =
Para codificar el método, usaremos primeramente órdenes básicas en consola, que permitan aplicar el método para resolver el problema de aplicación que se plantea: Problema de aplicación: Una de las invenciones más importantes del siglo XIX fue el motor de combustión interna, que genera energía mecánica quemando combustible en una cámara. La introducción de este motor llevó casi de inmediato al desarrollo del automóvil, que habría sido casi imposible con las voluminosas máquinas de vapor. En la figura, se muestra un esquema simplificado simpli ficado de un motor de combustión interna, interna , en el cual, la manivela (1) gira con una velocidad constante y acciona a través de la biela (2) al pistón (3). s La velocidad del pistón está dada por:
() −( )) /2
3
ø
Si R=2 y L=4 pulgadas, respectivamente, calcula la posición del pistón cuando la manivela ha recorrido radianes, de forma exacta y aproximada, con n=4. Calcule el error de la aproximación.
L
θ
Solución Al resolver resolver de forma forma exacta, exacta, sabiendo sabiendo que
(() ()
/ () 2 2 166 (22 ) 4√ 4 √ 3 Ajuste el número de de dígitos:
, se obtiene:
2
1 R
L ABORATORIO DE M ATEMÁTICA V
Pág 2 de 6
-->format(12)
Ingrese los extremos y calcule el tamaño de paso ( h) escribiendo en la consola: -->a=0; b=%pi/2; n=4; h=(b-a)/n h = 0.392699082
Ahora, defina los vectores x e y: -->x=a:h:b -->y=2*sin(x)+sin(2*x)./sqrt(16-(2*sin(x)).^2)
Para aplicar la regla de Simpson 1/3 en consola escriba: -->simp=h/3*(y(1)+4*sum(y(2:2:n))+2*sum(y(3:2:n-1))+y(n+1)) simp
= 2.268902694
A continuación se presentan dos versiones que pueden ser usados por el estudiante para programar el método de Simpson 1/3 en SCILAB: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5
function integ=simpson(f,a,b,n) if modulo(n,2)==0 deff ('y=f(x)','y='+f) h=(b-a)/n simpar=0 spar=0 x=a for i=1:n-1 x=x+h if modulo(i,2)==0 spar=spar+f(x) else simpar=simpar+f(x) end end integ=h/3*(f(a)+4*simpar+2*spar+f(b)) else integ='Se requiere que n sea par' end endfunction
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
function integ=gsimpson(f,a,b,n) if modulo(n,2)==0 grafica(f,a,b,'r') deff ('y=f(x)','y='+f) h=(b-a)/n simpar=0 spar=0 x=a for i=1:n-1 x=x+h if modulo(i,2)==0 spar=spar+f(x) else simpar=simpar+f(x) p=[x-h x x+h] plot2d3(p,f(p),0) parabola(p,f(p)) end end integ=h/3*(f(a)+4*simpar+2*spar+f(b)) else integ='Se requiere que n sea par' end endfunction
function parabola(x,y) c=[x(1)^2 x(1) 1; x(2)^2 x(2) 1; x(3)^2 x(3) 1]\[y(1); y(2); y(3)] x=x(1):(x(3)-x(1))/(100*ceil(x(3)-x(1))):x(3) plot(x,c(1)*x.^2+c(2)*x+c(3),'k') endfunction
Guarde en un archivo o en archivos separados y haga clic en (Ejecutar) del menú del Editor. Para ejecutar el método de Simpson 1/3 y visualizar la gráfica, escriba:
L ABORATORIO DE M ATEMÁTICA V
Pág 3 de 6
>
simp=gsimpson('2*sin(x)+sin(2*x)./sqrt(16-(2*sin(x)).^2)',0, %pi/2,4) simp = 2.268902694
Se observa que las parábolas se aproximan bastante a la curva. El error relativo porcentual de esta aproximación es:
>
vver=4-sqrt(3);er=abs((vversimp)/vver)*100 er = 0.042042464
Método de Romberg* 2.-¿En qué consiste el método de Romberg? La integración de Romberg se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del Trapecio, dando un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral. Estas formulaciones se expresan de forma general por:
− 4 , 4+−,−1,− +,−, ,−
Donde respectivamente, e
y representan las integrales más y menos exactas, la integral mejorada. El subíndice j significa el nivel de integración.
3.-¿Cómo codificar el método de Romberg? La siguiente codificación permite aplicar el método de Romberg en SCILAB Dada una función f , un intervalo [ a, b] y n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
function [rom, r]=romberg(f,a,b,n) deff ('y=f(x)','y='+f) r=zeros(n,n) h=b-a r(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2 for i=2:n suma=0 for j=1:2^(i-2) suma=suma+f(a+(2*j-1)*h/2) end r(i,1)=(r(i-1,1)+h*suma)/2 h=h/2 end for i=2:n h=4 for j=2:i r(i,j)=r(i,j-1)+(r(i,j-1)-r(i-1,j-1))/(h-1) h=h*4 end end rom=r(n,n) endfunction
L ABORATORIO DE M ATEMÁTICA V
Pág 4 de 6
Guarde el archivo y haga clic en de dígitos:
(Ejecutar) del menú del Editor. Ajuste el número
-->format(15)
Para ejecutar el método de Romberg con n=2, escriba en la consola:
>
[rom,r]=romberg('2*sin(x)+sin(2*x)./sqrt(16-(2*sin(x)).^2)', 0,%pi/2,2) r
= 1.570796326795
0.
2.106025386482
2.284435073045
rom
=
2.284435073045
>
Se obtiene un error relativo porcentual al aproximar posición del pistón de:
abs((vver-rom)/vver)*100 ans = 0.726906963735
*La integración de Romberg es el método que aplican los modelos avanzados de calculadoras científicas. 4.-¿Es más efectivo el método de Romberg en relación a los métodos de trapecio y Simpson 1/3? Para responder a la pregunta, aplique ambos métodos de trapecio y Simpson 1/3 con n = 4, 10, 20 y 100. Para Romberg utilice n=2, 3, 4 y 5. Aplicando Trapecio: -->trap=trapecio('2*sin(x)+sin(2*x)./sqrt(16-(2*sin(x)).^2)',0, %pi/2,4) trap = 2.228183367 -->er=abs((vver-trap)/vver)*100 er = 1.753382542
Continúe con las aplicaciones de los métodos de trapecio, Simpson 1/3 y Romberg para completar la siguiente tabla. Concluya al respecto. n
Trapecio
Simpson 1/3
n
Romberg
4
trap=2.228183367 er=1.753382542
simp=2.268902694 er=0.042042464
2
rom=2.284435073045 er=0.726906963735
10
trap= er=
simp= er=
3
rom= er=
20
trap= er=
simp= er=
4
rom= er=
100
trap= er=
simp= er=
5
rom= er=
L ABORATORIO DE M ATEMÁTICA V
Pág 5 de 6
Propuestos
() ∆ ∫ () 0.1321.56×10−2. 64×10− ∙°
01) La cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de un fluido se calcula
mediante
. Si la capacidad calorífica de un fluido está definida por , calcule el calor necesario para elevar
la temperatura de 1000 gramos del fluido desde -100 ºC hasta 200 ºC. Calcule la integral (a) de forma exacta y (b) de forma numérica, usando el método de Simpson 1/3. Concluya en relación a los resultados obtenidos. Resp: ΔH=42732 cal.
()() ∫ ( ) 94cos (0. 4 ) / −. . 5 2
/()
02) La cantidad de masa de un fluido que circula por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula mediante . Si la tasa de flujo ( ) está
definida por
y la concentración ( ) está definida por , calcule la masa ( ) transportada de un fluido entre 2 y 8 , utilizando el método (a) Trapecio con 20 subintervalos, b) Simpson 1/3 con 20 subintervalos, (c) Romberg con n=5. Resp: (c) M=322.3483742 mg. 03) En estadística, la probabilidad de que un valor aleatoriamente seleccionado descrito por la Distribución Normal se encuentre en [a, b] está dada por:
1 −− √ 2
0.25 [2,2] [3, 3 ] () 3740ℎ(/80 )
Con media , utilice con 20 subintervalos el = 0 y desviación estándar método (a) Trapecio, (b) Simpson 1/3, para aproximar la probabilidad de que un valor aleatoriamente seleccionado descrito por la Distribución Normal se encuentre en cada uno de los siguientes intervalos:
[, ]
Resp:(b) 0.682690032, 0.954497732, 0.997293118
04) La figura muestra en primer plano un puente, en el que se destaca el arco de la estructura de soporte. Si el arco está definido por la función , aproximar la longitud del arco, aplicando: a) Los métodos de Trapecio y Simpson 1/3 con n=30 subintervalos.
b) La integración de Romberg con n=4. Resp:(a) 271.1593269, 271.0451597 (b) 271.0435384
05) El periodo T (tiempo que tarda en completar un movimiento completo) de un péndulo de longitud L que alcanza un ángulo máximo con la vertical, está dado por:
4 / √1 sen
Donde
60°
y es la aceleración debido a la
gravedad g=9.8 m/seg2. Si la longitud del péndulo es de 1 m y aplique
L ABORATORIO DE M ATEMÁTICA V
Pág 6 de 6
a) La regla de Trapecio y Simpson 1/3 con 10 y 50 subintervalos para aproximar el periodo T del péndulo. b) Aplique el método de Romberg, con n=5. Resp:(b) 2.153972789115 06) La raíz media cuadrática de la intensidad de una corriente alterna está dada por:
, 0≤≤ − 10 ∫ () , (){ 0 , <≤
Si T =1 s, aplique (a) la regla de Simpson 1/3 compuesta para aproximar I RMC , utilizando n=6 y 12. (b) el método de Romberg, con n=5. Resp: (b) 3.925889162 07) Diseñe una función que permita integrar numéricamente una función expresada mediante una tabla de valores, es decir, debe permitir el ingreso de los valores de x y f(x) y arrojar como resultado el valor aproximado de una integral por el método de Simpson
[0, 1 0]
1/3. Utilice la función para calcular el trabajo termodinámico valores de en se presentan en la siguiente tabla:
∫
0
1.5
3
6
9
9.5
10
138
913
70
55.8
47.5
46
38
, donde los
Resp: W=2314.8667
08) Una barra sujeta a una carga axial se deformará, como se muestra en la curva esfuerzo –deformación unitaria (ver figuras a y b). El área bajo la curva que va desde un esfuerzo cero hasta el punto de ruptura, se le llama módulo de rigidez del material, el cual proporciona una medida de energía por unidad de volumen requerido para causar la ruptura del material. Como tal, es representativo de la habilidad del material para resistir una carga por impacto. Aproxima el módulo de rigidez para la curva esfuerzo –deformación de la barra que se muestra en la figura. Resp: E=11.304167 ksi 09) Los datos de la siguiente tabla dan mediciones horarias del flujo de calor (cal/cm 2h) en la superficie de un colector solar durante un período de 12 horas.
q
Hora q
6:00 am 0.1
6:45 am 1.43
7:30 am 5.32
8:15 am 5.57
9:00 am 6.29
10:00 am 7.8
11:00 am 8.81
Hora q
12:00 m 8
1:00 pm 8.57
2:00 pm 8.03
3:00 pm 7.04
4:00 pm 6.27
5:00 pm 5.46
6:00 pm 3.54
Si un panel colector de 90 cm de ancho y 1.2 m de largo tiene una eficiencia de absorción eab de 39% y el calor total absorbido lo proporciona la fórmula:
∫
, donde A es el área del panel colector y
q es
el flujo de calor.
Se desea estimar del modo más exacto posible, el calor total absorbido por el panel colector. Resp: q=326229.93 cal
