Practica 4. Constante dieléctrica del papel. Oscar Hurtado González, México, D.F., C.U. Marzo 2013
Resumen. Este experimento consistió en armar dos sistemas de capacitores para poder obtener la constante dieléctrica del papel de un cuaderno escolar común y corriente. El primer sistema consistió en un capacitor cuyas placas paralelas consistían en dos placas de papel aluminio y ser variaba la “cantidad” de material dieléctrico (papel) entre éstas placas. Para este experimento se obtuvo una constante dieléctrica de k 1.67(0.09) . =
Elsegundo,consistióenarmarunsistemadecapacitoresenserie,cadaunodeellos conunpocodepapelcomomater conunpocode papelcomomaterialdieléct ialdieléctrico. rico.Paraestesistema,seobtuvoelvalor Paraestesistema,seobtuvoelvalor de k 1.70(0.02) ,paralaconstantedieléctricadelpapel. =
Introducción. La mayoría de los capacitores tienen un material no conductor o dieléctrico entre sus placas conductoras. Un tipo común de capacitor emplea tiras largas de hojas (láminas) metálicas como placas, separadas por tiras de hojas de materiales plásticos. La colocación de un dieléctrico sólido entre las placas de un capacitor tiene tres funciones. La primera es que resuelve el problema mecánico de mantener dos hojas metálicas grandes con una separación muy pequeña sin que hagan contacto. La segunda función es que un dieléctrico incrementa al máximo posible la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. La tercera función es que la capacitancia de un capacitor de dimensiones dadas es mayor cuando entre sus placas hay un material dieléctrico en vez de vacío.
La capacitancia original C 0
Q
C 0
está dada por
, (1)
=
V 0
y la capacitancia C con el dieléctrico presente es C
Q =
V
. La carga Q es la
misma en ambos casos, y V es menor que V 0 , de donde se concluye que la capacitancia C con el dieléctrico presente es mayor que C 0 . Cuando el espacio entre las placas está lleno por completo por el dieléctrico, la razón de C a C 0 (igual a la razón de
V 0
dieléctrica
a V) se denomina constante del material, K: k
=
C 0 C
(2).
⇒
k
Cd =
ε 0 A
(3)
Cuando la carga es constante, ε
0
Q
=
C 0V 0
=
=
8.85 × 10
−12
CV
F m
Desarrollo experimental. y C 0
V 0 =
C
V
El primer experimento consistió en tomar un par de placas paralelas cuadradas de papel aluminio cuyos lados median 12(0.1) cm. y después se pego un alambre de cobre en cada una de ellas con cinta de aislar, para posteriormente usar este alambre y conectarlos, mediante unos caimanes, a un capacitómetro (marca Tenmamodelo72-370).
.
En este caso, la ecuación (1) se puede expresar de la forma V
=
V 0 k
(4)
Con el dieléctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se reduce en un factor de k. La constante dieléctrica k es un número puro. Como C siempre es mayor que C 0 ,
Como se menciono, el material dieléctrico que se tomo para colocar dentro de este capacitor fueron varias hojasdepapeldeuncuaderno.
k siempre es mayor que la unidad.
Entonces,parapodermedirladistancia deseparaciónentrelasplacasdebidoal grosordelashojasdelpapel,semidió éste con un micrómetro, (marca Mitutoyo)entrespuntosdiferentesde lashojasparapoderobtenerungrosor promedio. Se midió este grosor para una hoja sola, luego para dos hojas juntas, luego para tres hojas juntas; y así sucesivamente hasta conseguir medirelgrosordediezhojasdepapel juntas.
En esta practica el objetivo será calcular la constante dieléctrica del papel bond realizando dos experimentos diferentes, o dos métodos diferentes; el primero será utilizar un par de placas paralelas formado por dos pedazos de papel aluminio de la misma área e introduciendo varias hojas de papal entre estas placas, y el segundo será utilizar muchas placas de papel aluminio para formar un capacitor en serie con una sola hoja de papel entre cada uno de los capacitores formados por las laminas de papel aluminio. Para este segundo experimento también se utiliza la ecuación 1
C eq
1 =
C 1
1 +
C 2
+ ... +
1
C n
(5)
El valor tomado para la conste será:
ε
0
Tomamosestosdatosylosordenamos en la tabla 1 (tabla que aparece mas adelanteenesteinformeenlasección deresultados). Se prosiguió a colocar las placas con unahojaentreellas,procurandoqueno quedaran“huecos”entreelpapelylas placas de papel aluminio y estuvieran lomasparalelasposibles.Estoselogro ejerciendo un poco de presión lo mas uniformemente posible sobre ambas superficies de las placas. La siguiente figuramuestraelsistemaqueselogro
armar:
de12(0.1) cm. En esta ocasión se utilizó el concepto de capacitores en serie para variar la capacitanciadeplacasparalelas.
Unavezcolocadoelpapeldentrodelas placasyhabiendoconectadoloscables al multímetro, se midió una vez la capacitancia de este capacitor con la escaladeresolucióncentésimasde nF . Despuéssepusierondoshojasentrelas placas,procurandonuevamentequelas placas quedaran lo mas paralelas posibles y que no hubiera “huecos”. Posteriormente se midió la capacitancia de este nuevo capacitor (condoshojasentrelasplacas). Se repitió este procedimiento nuevamente pero esta vez para tres hojas de papel; luego se registro la capacitancia medida. Progresivamente serepitióesteexperimentopara4,5,6… hasta10hojas. Los datos obtenidos para las capacitancias de los diez capacitores construidosseregistraronellatabla2 (tabla que aparece mas adelante en este informe en la sección de resultados). Con estos datos posteriormente se calculo el valor de la constante dieléctricadelpapel. Para el segundo experimento se tomaron10placascuadradasdepapel aluminiocuyalongitudencadaladofue
Primero,secoloca una delashojas del cuadernoentredosplacasdealuminio generando así un capacitor cuya capacitancia se midió con el capacitómetroyseregistroenlatabla 3(tablaque,nuevamente,aparecemas adelanteenesteinformeenlasección deresultados). Despuéssecolocaotrahojadepapely luego se coloca otra placa de papel aluminioencimadelasegundahojade papel colocada, generando así dos capacitoresenserie.Lasiguientefigura muestra el diseño del sistema para estastresplacasdealuminio:
Semidiólacapacitanciasdeestosdos capacitoresenserieyseregistróenla tabla3. La idea es construir un sistema de varioscapacitoresalternandounahoja de papel, una placa de aluminio; utilizando las diez placas de papel aluminio para finalmente obtener una cantidadde9capacitoresenserie. A medida que se van agregando hojas de papel, y se van obteniendo 2,3,4,…, hasta 9 capacitores se fueron registrandorespectivamenteellatabla 3.Lasplacasenlosextremosdebenir conectadasalcapacitómetroutilizando elmismométododepegar,concintade
aislar,unpequeñoalambredecobreaestasdosplacas. Paraconstruirestesistemadecapacitoresenseriesetomanlasmismasprecauciones queenelexperimentouno,dequenoquedaran“huecos”yestuvieranlomasparalelas posibles. Resultados. El grosor promedio de las hojas se registro en la siguiente tabla:
TABLA 1 Número de Hojas Grosor promedio [mm] 3 1 0.09 (1 × 10 mm) −
2
0.18 (1 × 10
−
3
0.27 (1 × 10
−
4
0.36 (1 × 10
−
5
0.44 (1 × 10
−
6
0.53 (1 × 10
−
7
0.62 (1 × 10
−
8
0.71 (1 × 10
−
9
0.80 (1 × 10
−
10
0.89 (1 × 10
−
3 3 3 3 3 3 3 3 3
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
La incertidumbre asociada es la incertidumbre propagada tomando en cuenta la incertidumbre del micrómetro, la cual era de 1 µ m. Ya que en el primer experimento se quería medir la capacitancia en función de la distancia la cual quedaba determinada por el numero de hojas entre las placas de papel aluminio y como se menciono en el desarrollo experimental, los datos se expresan en la siguiente tabla: TABLA 2 Número de hojas
Distancia de separación[mm] “d”
1
0.09 (1 × 10
−
2
0.18 (1 × 10
−
3
0.27 (1 × 10
−
4
0.36 (1 × 10
−
5
0.44 (1 × 10
−
6
0.53 (1 × 10
−
7
0.62 (1 × 10
−
8
0.71 (1 × 10
−
9
0.80 (1 × 10
−
3 3 3 3 3 3 3 3 3
Capacitancia [nF] 2
nF )
11.11 (0.12mm)
2
nF )
5.55 (0.03mm)
2
nF )
3.70 (0.02 mm)
2
nF )
2.77 (7.69 × 10
2
nF )
2.27 (5.15 × 10
−
2
nF )
1.88 (3.55 × 10
−
2
nF )
1.61 (2.59 × 10
2
nF )
1.40 (1.98 × 10
−
2
nF )
1.25 (1.56 × 10
−
)
2.48 (5.96 × 10
−
)
1.66 (4.32 × 10
−
)
1.14 (3.28 × 10
−
)
0.84 (2.68 × 10
−
)
0.74 (2.48 × 10
−
)
0.60 (2.20 × 10
−
)
0.56 (2.12 × 10
−
)
0.46 (1.92 × 10
−
)
0.38 (1.76 × 10
−
mm mm mm mm mm mm mm mm mm
1/d[mm]
3
−
3
)
mm
3
)
mm
3
−
3
3
)
mm
)
mm
)
mm
)
mm
10
0.89 (1 × 10
3
−
)
0.36 (1.72 × 10
mm
2
−
nF )
1.12 (1.26 × 10
3
−
)
mm
Las incertidumbre asociadas a la capacitancia son del tipo B, tomando en cuenta el valor para ésta, que el instructivo del capacitómetro indicaba. Una observación es que la ultima columna, titulada “1/d” es utilizada con el fin de poder analizar linealmente los resultados y así poder obtener la constante dieléctrica del papel. La incertidumbre entre paréntesis, es la que se obtiene al propagar la incertidumbre de la distancia “d” al obtener su inverso multiplicativo. Para el segundo experimento, como se narro anteriormente, se obtuvo la siguiente tabla de valores: TABLA 3 Numero de placas de papel Numero de capacitores Capacitancia equivalente aluminio. obtenidos “N” [nF] 2 1 2.48 (6.0 × 10 2 nF ) −
3
2
1.15 (3.3 × 10
4
3
0.80 (2.6 × 10
−
5
4
0.65 (2.3 × 10
−
6
5
0.50 (2.0 × 10
−
7
6
0.45 (1.9 × 10
−
8
7
0.39 (1.8 × 10
−
9
8
0.33 (1.7 × 10
−
10
9
0.31 (1.6 × 10
−
2
nF )
2
nF )
2
nF )
2
nF )
2
nF )
2
nF )
2
nF )
2
nF )
−
La incertidumbre, aquí, es nuevamente la incertidumbre de tipo B debida a el capacitómetro.
Análisis y discusión.
Utilizando los datos de la tabla 2 se obtuvo el siguiente ajuste lineal para la capacitancia en función del inverso multiplicativo de la distancia q ue separaba las placas de aluminio (1/d).
Experimento1 3 y=0.2115x+0.2179
2.5 ) F n ( a i c n a t i c a p a C
2
1.5 1
0.5 0 0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
1/d(mm)
En base a esta grafica se necesitan hacer los siguientes comentarios. El primero de ellos es que las barras de incertidumbre son muy pequeñas y por tanto la escala de la grafica no permite que se observen, por lo que vemos que dos de los puntos, correspondientes a los valores cercanos a 4 y 6 unidades en el eje de la distancia, no están “cerca” del ajuste lineal. El segundo cometario es que la ecuación que aparece
capacitorseparadounadistanciad con unmaterialdieléctricoqueenestecaso eselpapel. Luego se utiliza la ecuación 2 pero debidoacómosegraficaronlospuntos seobtiene: C
=
k ε 0
−
k ε 0 Ad
=
1
=
k ε 0 A
,
relación que nos permite encontrar fácilmente el valor de la constante dieléctrica del papel, k, que se esta buscando: k
M 0.2115(2.8 × 10 4 )nFmm −
M =
ε 0 A
=
Ahora,¿aquecorrespondeestevalor?. La respuesta se obtiene analizando la naturalezadeesteprimerexperimento. Enesenciaelsistemautilizadodurante todo este primer experimento es un
A
LocualimplicaqueelvalordeM, correspondealacantidad: M
es la ecuación del modelo obtenido al realizar el ajuste lineal; el valor 0.2115 es el valor de la pendiente de esta recta y su incertidumbre corresponde a 2.8 × 10 4 , esdecir: =
=
d
y=0.2115x+0.2179
pendiente
kC 0
donde: M
4
−
=
0.2115(2.8 × 10 )nFmm
ε
0
=
8.85 × 10
−12
F m
y A
=
1.44 × 10
2
−
m
2
4
−
(2.41 × 10 )m
2
Porlotanto,convirtiendolasunidadesdeMaFaradiosymetros,sustituyendoestos valoresenlaecuaciónanteriorypropagandoincertidumbresobtenemosquekes: k
=
1.67(0.09)
Lacualnotieneunidadesdebidoaqueeslaconstantedieléctricadelpapel. Paraelsegundoexperimentosehizotambiénunajustelinealconlosdatosobtenidos enlatabla3. En esta ocasión no graficamos la capacitancia en función de la distancia, sino la capacitanciaenfuncióndelnumerodecapacitoresN. Antesdepresentaranalizaremoselcomosetrabajoconlaecuación(5)paraobtener dichagrafica. Enestesegundoexperimentoporcomoseconstruyo,tenemos,entotalunsistemade 9 capacitores en serie, los cuales eran todos iguales pues entre ellos había una separacióndeunahojadepapelyeláreadetodaslasplacaseralamismadentrodel intervalo de incertidumbre asociado. Con esta consideración, la ecuación (5) se convierteen: N
1 =
C eq
1
∑ C i
i
1
=
Donde N es el numero de capacitores en serie. Por lo tanto tenemos que la capacitanciaequivalentees: N
C eq
=
∑C i
i
1
=
C =
N
De esta manera la grafica de el experimento dos, esta dada por la capacitancia equivalenteenfunciónde1/N:
Experimento2 ) F n ( e t n e l a v i u q e . C
3
y=2.4155x+0.0252
2.5 2
1.5 1
0.5 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1/N
Nuevamentelaescaladelasbararasdeincertidumbreesmuypequeña,porloque apareceenlagrafica. EnestagraficalapendientecorrespondealacapacitanciaC,esdecir: M 2
=
C
=
k ε 0 A / d
Donde d correspondealvalordelgrosordeunahojadepapel,queesladistanciade separaciónentrecadaunodeloscapacitoresenserie. Porlotanto: k
=
M 2 d ε
A
0
Donde: =
A
1.44 × 10
d
=
9
−
2.412 × 10 (5.5 × 10
M 2
2
−
3
−
=
m
2
12
−
4
−
) F
(2.41 × 10 )m
2
6
−
0.09 × 10 m(1 × 10 )m
Conestoseobtieneunakde: k
=
1.70(0.02)
Dondeelnumeroentreparéntesisrepresentaelvalordela incertidumbrepropagada paralaconstantedieléctricadelpapel.
Conclusiones.
Lo primero que se observa de estos dos resultados, tanto para el primer experimento, como para el segundo, es que la constante dieléctrica del papel de las hojas de cuaderno utilizado, es mayor que la unidad, concordando así con la característica teórica de los materiales dieléctricos.
mascuidadosobrelasconsideraciones para el armado del sistema tal como asegurarse de que las placas de papel aluminio estuviesen lo mas paralelas posibles, y cuidando de que no haya espaciosentreelmaterialdieléctrico,el papel; entre las placas se pueden obtener resultados todavía mas precisos sobre la constante dieléctrica delpapel.
En ambos casos se obtuvieron dos valores muy cercanos k
=
k
=
1.67(0.09) 1.70(0.02)
Que analizando los posibles intervalos de incertidumbre ambos valores pueden estar dentro de los dos distintosintervalosobtenidos,es decir, sivemoselintervalonumeroun(1.58, 1.76),elsegundointervalo(1.68,1.72) estacompletamentecontenidoenel.El primer intervalo es un poco mas grande debido a que se manejaron muchos datos con diferentes incertidumbres para poder obtener el ajuste lineal de la primera grafica, obteniendo una pendiente cuya incertidumbre iba a ser, por tanto, considerablementegrande. En la segunda grafica, al obtener la pendiente de la grafica se utilizaron menos datos, lo cual significo un manejo de una cantidad de incertidumbres menores, obteniendo así una incertidumbre para la pendiente de la segunda grafica un pocomaspequeña. El hecho de haber obtenido estos resultados tan semejantes nos indica que si repetimos el experimento, tomandoencuentayprocurandotener
Bibliografía. 1. Física SearsUniversitaria, Zemansky-Young-Freedman, volumen II. Editorial Pearson, 2009. 2. J. Miranda, Evaluacion de la incertidumbre en Datos Experimentales (instituto de Física, UNAM, México, 2000)
