Práctica 2. Análisis Nodal de Circuitos

08/Octubre/2010

Instituto Tecnológico de Morelia

José María Morelos y Pavón Equipo: 09120782 Ramos Albarrán Fernando Fernando 09120762 Estrada Calderón José Antonio 08121071 Zúñiga Salinas David David 08121065 Fuentes Martínez Bonifacio Iván Asesor: M.C. J. Luis Lemus D.

[PRÁCTICA #2: ANÁLISIS NODAL DE CIRCUITOS] División de Estudios Profesionales: Ingeniería Eléctrica

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OBJETIVO: Identificar como aplicar las Leyes de Kirchhoff (LCK y LVK) y la Ley de Ohm para generar un sistema de ecuaciones linealmente independientes, de tal forma que al resolver dicho sistema encontremos el voltaje en los nodos de un circuito.

INTRODUCCIÓN: Para el análisis de nodos, es conveniente del uso de algunas técnicas de análisis de circuitos, que facilitan la interpretación y su visualización para la solución de ellos, esto, mediante la obtención de un conjunto de ecuaciones simultáneas linealmente independientes. Debemos de tener en cuenta que estos métodos se basan en la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, que enseguida se menciona a grandes rasgos sus fundamentos. Ley de Ohm

La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre las terminales de un resistor es directamente proporcional a la corriente que fluye por dicho elemento. Esto es:

 Ohm definió la constante de proporcionalidad como la resistencia R, ya que este es un elemento pasivo que no depende ni del voltaje ni de la corriente y siempre mantiene una proporción entre ambos.



Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK)

Establece que la suma de corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero, o podría enunciarse como la sumatoria de las corrientes que entran a un nodo es igual a la sumatoria de las corrientes que salen del mismo nodo.

        

∑   









Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK)

Puede enunciarse como la suma de los voltajes en una trayectoria cerrada es igual a cero, o de manera similar como la suma de elevaciones de voltaje es igual a la suma de caídas.

        De manera similar         Potencial de una fuente.

Para determinar la diferencia de potencial en una fuente conociendo el valor del pote ncial en sus terminales podemos aplicar la siguiente e xpresión:

    

Análisis Nodal.

El análisis nodal es el procedimiento mediante el cual se utilizan las tensiones de nodos como variables. Generalizando un procedimiento para aplicar este análisis correctamente, pueden aplicarse los siguientes: 1. Seleccionar un nodo como el nodo de referencia. Asigne las tensiones (Variables) a los n-1 nodos restantes. Ya que la refere ncia no se analiza. 2. Aplicar la LCK a cada uno de los n-1 nodos. Y con la ley de Ohm expresar las corrientes en términos de la tensión sobre resistencias. 3. Resolver las ecuaciones simultáneas obtenidas, para encontrar las tensiones de los nodos. Es importante tener en cuenta que cuando se aplica una diferencia de potencial a una resistencia fluye una corriente a través de ella, que por convención pasiva de signos la corriente siempre debe de fluir de un potencial mayor a un potencial menor. Y cuando se dice que una corriente va en sentido opuesto, dicha corriente es negativa. Supernodo

Un supernodo se genera cuando tenemos conectada una o más fuentes de tensión









que está(n) conectada(s) a los nodos de no referencia. Se aplica la LCK, por comodidad se indican las corrientes saliendo para igualar la ecuación a cero. Cuando salen las corrientes por convención pasiva de signos, la corriente sale de uno de los nodos que conforman el supernodo y se dirige a otro que puede ser de referencia o de no referencia refere ncia y esto se indica de la siguiente forma.

     Por ejemplo esta corriente indica que sale del nodo 2, y este nodo puede pertenecer a un supernodo, el segundo subíndice subíndice 1 indica que se dirige hacia ese nodo. Cuando se dirija al nodo nodo de referencia se indica como:

       Ya que el nodo de referencia tiene un potencial nulo, y en donde R es el elemento entre los dos nodos. Notamos que las corrientes que salen del supernodo o del nodo a analizar, se expresan en términos de tensiones entre resistencias (se aplica ley de Ohm). Y se obtienen una serie de ecuaciones linealmente independientes donde las variables están dadas en términos de las tensiones los nodos. El número de ecuaciones resultantes es el número de nodos n-1 ya que el nodo de referencia no se analiza. EL supernodo genera más ecuaciones conocidas como “Ecuaciones condicionantes”, donde el número de ecuaciones condicionantes es igual al número de fuentes que contiene el supernodo. Una ecuación condicionante se obtiene al imaginarse conectar la fuente que se puso en corto y se analiza la fuente, sus extremos son potenciales y su diferencia debe dar el valor de la fuente. Cuando se tiene una fuente dependiente o controlada, el análisis es más complejo, pues se tiene que analizar la variable de control.

DESARROLLO: Se diseñó un circuito eléctrico el cual se analizó teóricamente por medio del método de análisis de nodos, en el que se encuentran diversas fuentes, como fuentes de corriente y de voltaje, además de resistencias conectadas a estas, después se analizó el circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados simulados y compararlos posteriormente posteriormente con los

valores teóricos

obtenidos. Por último se evaluaron los respectivos porcentajes de error.

Análisis Teórico Hallar el voltaje

      y  (Voltaje en los nodos) del siguiente circuito, valiéndose del

método de análisis de nodos.









Nodo

 :

Analizando la fuente de voltaje de 6V, podemos encontrar el valor del nodo referencia

. El voltaje de la

   y la diferencia de potenciales, es la terminal positiva menos la terminal

negativa, y esto nos da el voltaje de la fuente igual a 6V.

Así obtenemos que:

     Supernodo ( ,  ,  ):

  

  

Ahora como tenemos dos fuentes de voltaje que tienen un nodo en común (La fuente de 10V y la

”), podemos analizarlas como un supernodo, imaginando que

fuente controlada por corriente “

en el circuito original las fuentes se ponen en corto, entonces tendriamos el supernodo como lo muestra la figura siguiente:









De este supernodo salen las corrientes

    e , por comodidad indicamos todas las

corrientes saliendo del supernodo, para que al momento de aplicar LCK igualemos la ecuación a 0, ya que todas las corrientes que salen de un nodo deben ser cero de acuerdo a dicha ley. Lo mismo se aplica para un supernodo. El primer subíndice de las corrientes indica que sale de tal nodo y el segundo indica hacia cual se dirige dicha corriente, por ejemplo la corriente

 va del nodo al

. La corriente  va del nodo  al nodo de referencia  y como este último nodo tiene un potencial nulo, no se indica ya que el único potencial involucrado es  .

nodo

Ahora aplicamos LCK, para obtener la siguiente ecuación.

           Y aplicamos la ley de Ohm para expresar las corrientes, como las diferencias de los potenciales de los nodos que salen y a los cuales se dirigen las corrientes, sobre el elemento resistivo que se encuentra entre los nodos.

(  )  (  )  (  )  ()  (  )   Tomando en cuenta que    y reacomodando términos obtenemos la siguiente ecuación.    (   )       (    )              Resolviendo las fracciones

y multiplicando multiplicando por 210 para eliminar fracciones, fracciones, obtenemos la

primera ecuación del análisis nodal.

                         Condiciones del supernodo ( ,  ,  ):

(1)











De esta primera condición obtenemos la segunda ecuación del análisis nodal.

    

(2)

Ahora analizamos la segunda condición del supernodo.

     Donde  es la corriente que circula por   , sale del nodo  y se dirige al nodo  .             Sustituimos  en la segunda ecuación condicionante y obtenemos la tercera ecuación del análisis nodal.

         

(3)

, ):

Supernodo (

Poniendo en corto la fuente de voltaje controlada por voltaje supernodo de la siguiente forma.

” obtenemos un segundo









Prosedemos a aplicar ley de Ohm y agrupar términos, para obtener la cuarta ecuación del análisis nodal.

(  )  (  )  (  )       (  )                                   Multiplicando por 140 para eliminar las fracciones nos queda.

       Condiciones del supernodo ( ,  ):

(4)

Imaginemos conectar la fuente de voltaje, para obtener la ecuación de condición del supernodo

     Observemos que  es el voltaje de la re sistencia  por la cual pasa una corriente de   y tiene un valor de        Pero  es la corriente que va del nodo al nodo  . Y además pasa por el resistor  que tiene un valor de 7, por lo cual:









     (    )          (   )                   Multiplicamos por 7 y ya tenemos las quinta ecuación del análisis nodal.

      Nodo de referencia

(5)

 y/o nodo :

La sexta ecuación para completar el sistema la podemos obtener analizando en este caso el nodo de refrencia

 o analizando el nodo  en ambos casos obtenemos una ecuación diferente; sin

embargo la solución para el voltaje en los nodos sigue siendo la misma (mas adelante está la

comprobación en MatLab). Las corrientes que entran y salen en los dos nodos pueden ser expresadas en terminos de voltajes entre resistencias (Aplicando Ley de Ohm). Para el nodo de referencia

, Aplicando LCK tenemos que:     

 e , habiamos dicho que eran:         

Los valores de

   

Entonces sustituimos esos valores en la ecuación, reacomodamos y multiplicamos por 14. Y









     Con ley de Ohm se tiene que:

 (  )         (        (  )                                                

(6.1)

Para completar el sistema de 6 ecuaciones y hallar el voltaje de los nodos puede utilizarse la ecuación 6 o la 6.1. En este caso ocupamos la ecuación 6 por contener una variable menos.

Solución: Las ecuaciones obtenidas por el analisis de nodos son las siguientes:

      (2)      (3)     (4)        (5)       (6)        (1)

Para solucionar este sistema de ecuaciones lo haremos por sustitución, ya tenemos dos ecuaciones con solo dos variables, la 2 y la 3, despejamos

 y  respectivamente.









                 (     )         ( )                                   Sustituimos  y  en la ecuación (5), para despejar  . Si observamos, estamos haciendo esto para obtener  y al final a todas las ecuaciones, con solo sustituir el valor de , obtendremos

los demas valores.

 )   ( (       )( )(                        (    )                  











 )        (                                      Sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos el valor de                                                         )   ( 









Comprobando el sistema de 6 ecuaciones en MatLab, primero tenemos la matr iz con la ecuación (6):

      .             [  

      

     

              ]    [] [  ]









Analizando el nodo

 :

Ya que conocemos el valor del nodo

, podemos inspeccionar el nodo .









     Por lo tanto los valores de los nodos en el circuito son los siguientes

                  

                Análisis con PSpice









**** INCLUDING Practica02.net **** * Schematics Netlist * V_V2 0 N7 6V H_H1 N4 N5 VH_H1 4 VH_H1 N7 N7_ 0V R_R2 N5 N2 0.005k R_R1 N1 N2 0.007k R_R3 N6 N3 0.004k E_E1 N2 N3 N6 N8 3

V_V1 F_F1 VF_F1 R_R5 R_R6 R_R4 R_R7

N1_ N4 10V N8 0 VF_F1 2 N1_ N1 0V N7_ N4 0.001k 0 N5 0.002k N5 N6 0.003k N8 N6 0.006k

**** RESUMING Practica02.cir **** .INC "Practica02.als" **** INCLUDING Practica02.als **** * Schematics Aliases * .ALIASES V_V2 H_H1 VH_H1 R_R2 R_R1 R_R3 E_E1

V2(+=0 -=N7 ) H1(3=N4 4=N5 ) H1(1=N7 2=N7_ ) R2(1=N5 2=N2 ) R1(1=N1 2=N2 ) R3(1=N6 2=N3 ) E1(3=N2 4=N3 1=N6 2=N8 )

V_V1 F_F1 VF_F1 R_R5 R_R6 R_R4 R_R7

V1(+=N1_ -=N4 ) F1(3=N8 4=0 ) F1(1=N1_ 2=N1 ) R5(1=N7_ 2=N4 ) R6(1=0 2=N5 ) R4(1=N5 2=N6 ) R7(1=N8 2=N6 )











VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V2 -6.706E-01 VH_H1 -6.706E-01 V_V1 -3.264E-01 VF_F1 3.264E-01 TOTAL POWER DISSIPATION 7.29E+00 WATTS **** 10/07/10 21:33:28 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\Practica02.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ******************************************************************************









           Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores experimentales. Los valores exactos corresponden a los valores obtenidos mediante el análisis teórico .

Vn1

Vn2

Vn3

Vn4

                            

                            









REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: I.

Manual de Prácticas de Laboratorio de Circuitos Eléctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.

II.

Circuitos Eléctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.

III.

Fundamentos De Circuitos Eléctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. O. Sadiku; 3ra. Edición; McGraw Hill

Práctica 2. Análisis Nodal de Circuitos

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