TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS Alejandro Roberto Silva Tapia
¿Qué es un terremoto? •
La Tie ierrra está cubie ierrta por una capa rocosa conocid ida a como lit ito osfera, con espesor hasta de 100 km la cual está fragmentada en grandes porciones llamadas placas tectónicas. La movilidad de éstas ocasiona que en los bordes, donde las placas hacen contacto, se generen esfuerzos de fric icc ción que impid ide e el desplazamie ien nto de una respecto a la otra. Si dichos esfuerzos sobrepasan la resistencia de las rocas, o se vencen las fuerzas friccionantes, ocurre una ruptura violenta y la liberación repentina de la energ en ergía ía acu acumul mulada ada..
¿Cómo se miden los terremotos? •
Se clasifican en base a su magnitud, que es el valor relacionado con la cantidad de energía liberada, hasta hace poco los científicos medían los seísmos utilizando la escala de Richter, la cual en su escala logarítmica de magnitud de un terremoto, cada número representa una intensidad diez veces mayor que la anterior.
Conceptos a considerar •
Ley de Hooke: Establece que la la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión del resorte.
•
•
Donde F es la fuerza, x la longitud y k es una constante de proporcionalidad (N/m).
Frecuencia Natural:
Un sólido alterado de su posición de descanso, tiende a vibrar a ciertas frecuencias denominadas naturales o resonantes cuando éste es excitado. Para cada frecuencia natural, el sólido adquiere una determinada forma denominada forma modal
Conceptos a considerar •
Amortiguamiento de Coulomb
Constante Mecánica de amortiguación en la que la energía es absorbida por la fricción de deslizamiento. Este es un valor constante sin importar el deslizamiento o la velocidad. •
Resonancia
La resonancia es un fenómeno que se produce cuando coincide la fuerza propia de un sistema mecánico con la frecuencia de una excitación externa.
LEY DE HOOKE
Segunda Ley de Newton •
Podemos aplicar la segunda ley de movimiento de Newton F=ma a cada piso del edificio para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Resonancia Pura •
Cuando
, consideramos el caso
=
2ω
sin ω
2ω
cos ω
Resonancia Estructural
Definición del problema •
En este Proyecto se modelara el efecto de un terremoto en un edificio de varios pisos. Durante un terremoto la tierra se mueve horizontalmente, de un modo que se considera el desplazamiento de cada piso con respecto al otro.
LEY DE HOOKE Durante un terremoto, el suelo se mueve horizontalmente de modo que cada piso se considere desplazado con respecto al suelo.
Se asume un punto fijo en el suelo, de modo que x0 = 0
Pisos del edificio
Fuerzas en el i-ésimo piso
= − (+ ) •
Donde + es el desplazamiento (cambio) del ( i+1)-ésimo piso con respecto al i+ésimo. Tambien suponemos una reacción similar entre el primer piso y el suelo, con constante de proporcionalidad
Escenario 1 •
Consideremos un edificio de tres pisos con M=5000 Kg y k=10000 kg/s 2 Aplicando la segunda ley de Newton y ley de Hooke podemos encontrar las ecuaciones diferenciales del sistema. –
•
•
•
•
•
•
•
= ( ) = = = = = =
( )
,
= 2 2 =
,
( )
,
Primer piso
, ,
Segundo piso
=
Tercer piso
= 2 =
Identificación de matrices 0 0
•
=
•
5000 = 0 0
•
0 0
0 0
0 5000 0
=
0 0 5000
0
20000 = 10000 0
10000 20000 10000
0
0 10000 20000
Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales se puede escribir en la siguiente forma matricial.
Sistema de ecuaciones •
•
Ya que la matriz M es una matriz diagonal con la masa del i-ésimo piso en el i-ésimo elemento diagonal. La matriz M tiene una inversa dada por
Por lo tanto, podemos representar la ecuación diferencial matricial como:
= −
Donde los valores propios de la matriz A revelan la estabilidad del edificio durante un terremoto
Matriz A −
− =
0 0
0 − 0
0 0 −
= − =
( )
0 4 = 2 0
2 4 2
( )
0
0 2 2
Se deben de determinan los eigenvalores de A, calculando la determinante de la matriz A: 4 2 0 2 4 2 0 2 2 = det A = 4 2 0 2 4 2
(4 ) (4 )(2 ) 4 4 4 2 = 0 10 24 8 = 0
= 0.39612 = 3.10992 = 6.49396
Frecuencias Naturales •
Los eigenvalores son fundamentales para determinar el rango de las frecuencias de un terremoto, para así evitar las frecuencias naturales del edificio. –
Si son los eigenvalores, entonces = .
•
= 0.39612 → =
•
=
•
= 3.10992 → =
•
=
•
= 6.49396 → =
•
=
→ =
0.39612
0.39612 = . → =
3.10992
3.10992 = . → =
6.49396 = .
6.49396
Periodos T •
Se determina el periodo (T) ´ para cada valor de ω: = = =
•
2 2 2
=
=
=
2 0.6294 2 1.7635 2 2.5483
= 9.98
= 3.56
= 2.46
Calculamos las frecuencias para cada nodo = = =
1 1 1
= 0.1002 = 0.2808
= 0.4055
Conclusiones escenario 1 •
Para el primer escenario se obtienen las siguientes conclusiones: •
•
Las tres frecuencias naturales están expuestas. El edificio requiere modificar propiedades mecánicas
Escenario 3 Tomando en cuenta las especificaciones del escenario 1, planteamos este escenario con una fuerza de excitación externa .
•
´´ = ()
La función =
4 2 0 ′′
4 ′′ 2 0
2 4 2 2 4 2
0 2 = cos 2 0 2 = cos 2
G= EB B = [1 0 0]T ϒ=3
Frecuencia
E = 10,000 lbs
Amplitud característica de un terremoto
4 ′′ 2 0
0 1 2 = 10,000 cos 3 0 2 0
2 4 2
Escenario 2 •
Se realizo el mismo procedimiento para un edificio de dos pisos
=
=
10000 5000
10,000 5000
10000 5000
= 2 2 = 4 2
= 2 = 2 2
= 0.7639 → = =
0.7639 =
0.7639 = .
= 5.236 → = =
→
→
5.236 =
=
5.236 = .
=
2 2
=
=
2 0.874 2 2.288
= 7.189
= 2.746
Escenario 3 λ
•
λ = 0.39612
•
λ = 3.10992
•
λ = 6.49396
4 .39612 = 2 0
2 4 .39612 2
3.603 λ = 2 0
2 3.603 2
0 2 2 .39612
Para λ1=-0.39612
0 2 1.603
Sistema de Ecuaciones 3.603 2 = 0 2 3.603 2 = 0
=
2(0.8015) 3.603
= 0.445
=
1.603 2
= 0.8015
=
1.9978 2
= .9989
2 1.603 = 0 =
Para λ2= -3.10992
2(0.55496)
= 1.2469 0.89008 1.10992 = = .55496 2
=
1.9998 2
= 0.999
=
Para λ3=-6.49396
2(2.24698) 2.49396
= =
4.49396 2
1.9979 2
= 1.802
= 2.24698
= 0.999
Escenario 3 •
Obtenemos: =
•
•
•
•
•
1.247 1.802 0.445 0.802 −. 0.555 −. 2.247 −. 1 1 1
Calculo de solución particular: 4 2 0 1 2 4 2 = 10,000 cos 3 0 0 2 2 0 = cos 3 sin 3
Sustituimos
′′
´ = 3 sin 3 3 cos 3 ´´ = 9 cos 3 9 sin 3
4 2 0 ′′
0 0 0
2 4 2
0 1 2 = 10,000cos3 0 2 0
9 4 2 10,000 9 2 4 2 = cos 3 9 2 2 9 4 2 10,000 9 2 4 2 sin 3 9 2 2
Escenario 3 •
Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones S. Ecuaciones 2:
S. Ecuaciones 2:
=
9 2 4 2 = 0
9 2 4 2 = 0
5 2 2 = 0
5 2 2 = 0
272000 889
= 4,235.09 = 1210.02
=
4 21
=
10 21
= 1
Solución general = 1.247 1.802 0.445 −. −. = 0.802 0.555 2.247 −. 1 1 1
272000
889 cos 3 4,235.09 1210.02
4
21 10 sin 3 21 1
Conclusiones •
•
Es indispensable el calculo de frecuencias naturales en el diseño de edificios de gran altura, por lo que los sistemas de ecuaciones diferenciales son indispensables para encontrar las frecuencias naturales y así predecir el comportamiento del edificio bajo varios escenarios. Los valores de rigidez y masa juegan un valor importante dentro del sistema, aunque se puede realizar en análisis con otros aspectos que influyen, como lo es la amortiguación.
¿Preguntas?
