Département Mathématiques et Informatique
EXERCICES CORRIGES Méthode des éléments finis
4. A. Pr. Mustapha GHILANI
2005
ENSAM B.P. 15290 EL Mansour Meknès 50500. Tél :05355467160/62, Fax : 053546 7163/64, E-mail :
[email protected]
2
Table des matières
3
TABLE DES MATIÈRES
4
M. GHILANI
Chapitre 1 Rappels Interpolation
5
6
Université Moulay Ismail ENSAM Département Math-Info
A.U. 20011-2012 4e`me Année Méthodes numériques
Fiche d’exercices N 1 Ex. 1 — Le triplet si dessous est il un élément fini ?
([a, b], P1 [x], Σ = {l∗ });
où l∗ ( p) = p(
a + b ). 2
Ex. 2 — Le triplet si dessous est il un élément fini ?
([a, b], P2 [x], Σ = {l0∗ , l1∗ , l2∗ }); où l0∗ ( p) = p(a), l1∗ ( p) = p(b) et l 2∗ ( p) = p (
a + b ). 2
Ex. 3 — Vérifier que le triplet ci-dessous est un élément fini. Il est appelé spline cubique.
([0, 1], P3 [x], Σ = {l0∗ , l1∗ , l2∗ , l3∗ }); où l0∗ ( p) = p(0), l1∗ ( p) = p(1), l2∗ ( p) = p (0) et l 3∗ ( p) = p (1). Ex. 4 — Notons (l0 , l1 ) la base de Lagrange associées à [0, 1]. Considérons l’élément fini
([0, 1], P1 [ˆx]([0, 1]), Σ = {l0∗ , l1∗ }) Soit [a, b] un intervalle de longueur non nulle. Soit φ : [0, 1] −→ [a, b] telle que : xˆ → a l0 (ˆx) + b l1 (ˆx). 1. Vérifier que φ est une bijection. 2. Vérifier que l a = l 0 ◦ φ−1 et que l b = l 1 ◦ φ−1 . 3. Vérifier que l a∗ ( p) = ˆl0∗ (ˆ p ◦ φ) de même pour l b . Ex. 5 —
Vérifier que Tˆ,
ˆi ) pour 1 ≤ i ≤ 3 Σ = {ˆl0∗ , ˆl1∗ , ˆl2∗ , ˆl∗ , ˆl∗ , ˆl∗ }) où : ˆli∗ (ˆ ˆ S P2 [ˆ x, ˆ y], ˆ p) = p( 1 2
3 2
5 2
ˆ j ) pour j ∈ {1, 3, 5} est un élément fini. Déterminer la base de Lagrange associée ˆ S et ˆl∗j (ˆ p) = p( ˆ à Σ. 2
2
M. GHILANI
Chapitre 2 Formulation variationnelle
7
8
Université Moulay Ismail ENSAM Département Math-Info
A.U. 20011-2012 4e`me Année Méthodes numériques
Ex. 6 — Ex. 7 — Fiche d’exercices N 1 Ex. 8 — (Solutions fortes de problèmes elliptiques linéaires : )
1.
a) (Equation de Laplace en 1D)
Trouver
u :
−u (x) = 0
2.
∀ x ∈ ]0, 1[
b) Résoudre cette équation avec différentes conditions aux limites classiques (Dirichlet, Neumann et mixtes). a) (Equation de Poisson en 1D)
Trouver
u :
−u (x) = x
2
∀ x ∈ ]0, 1[
b) Résoudre cette équation avec différentes conditions aux limites classiques (Dirichlet, Neumann et mixtes). c) On ajoute à l’équation précédente la condition aux limites de Dirichlet. Ecrire la fonctionnelle d’énergie associée à ce problème problème aux limites. 3. (Equation de Laplace en 2D) Soit Ω = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }.
Trouver u : ∀ x ∈ Ω y) = 0 −u(0,∆u(x, y) = 0, u(1, y) = 0, u(x, 0) = 0 et u(x, 1) = x(x − 1).
a) Quel est le type de ce problème aux limites. b) Résoudre l’E.D.P. ci dessus en utilisant la méthode de séparation de variables. 4. (Equation de Laplace en 2D) Soit Ω = {(x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ 1 }.
Trouver u : y) = 0 −u ∆u(x, = 1.
∀ x ∈ Ω
|∂ Ω
a) Résoudre l’E.D.P. ci dessus en utilisant les coordonnées polaires. Ex. 9 — On considère les ensembles suivants :
Ω = (x, y) ∈ 1
2 R
: 0 ≤ x, y ≤ 1 , Ω = (x, y) ∈ 2
2 R
: 1/4 ≤ x + y ≤ 1 , Ω = (x, y) ∈
M. GHILANI
2
2
3
2 R
:
x2 + y 2 ≤ 2
CHAPITRE 2. FORMULATION VARIATIONNELLE
9 1.
a) Paramétrer dans le sens positif les bords des différents ensembles Ω. b) Déterminer la tangente en un point (x0 , y0 ) du bord des différents ensembles Ω. c) Déterminer la normale en un point (x0 , y0 ) du bord des différents ensembles Ω. d) On considère la fonction u définie par u(x, y) = x 2 y3 . Déterminer la dérivée normale de u au point (x0 , y0 ) du bord des différents ensembles Ω.
Ex. 10 — Soit Ω ∈
d
R
avec d = 1, 2,
K(x) un
un vecteur de tenseur d’ordre d, V
d
R
et les
EDP suivantes :
−∆u(x) + k 2 u(x) = f (x)
∀ x ∈ Ω
div(K(x)∇u(x)) + V · ∇u(x) = g(x) 1.Ecrire ces deux équations en fonction des dérivées partielles
∀ x ∈ Ω ∂ ∂x
, ou
∂ ∂x
, ou
∂ ∂z
selon d.
Ex. 11 — Inégalité de Poincaré en 1D :
Soit a, b ∈
R,
soit u ∈ C 0 [a, b]
1
C ]a, b[ et u(a) = 0. Montrer qu’il existe C > 0 : u0 ≤ C |u|1
Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de
d
R
. On muni H 01 (Ω) du produit scalaire
<< u,v >>1 =< ∇ u, ∇v >. 1. Vérifier que H 01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H 01 (Ω) est convergente dans H 01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ 0 , H 1 (Ω) : On considère les fonctions suivantes :
u1 (x) = 2x2 + 3, sur Ω =] − 1, 2[, u2 (x) = tan(x), sur Ω =]0, Π2 [, u3 (x, y) = x2 + y 2 , sur Ω = ˜, si elle exsite, sur ∂ Ω D(0, 2) ; et u 4 (x, y) = tan(x)tan(y), sur Ω = D(0, Π2 ). Calculer la trace u ˜L (∂ Ω) . relative à chacune de ces fonctions ainsi que u 2
Ex. 14 — Relévement : Soit I =]a, b[, D = disque de centre 0 et de rayon 1 et de bord
C (0, 1). K = [−1, 1] × [0, 1] ∂ K = Γ1
Γ . 2
Donner des relèvement des fonctions suivantes sur leurs domaines respectifs : u(−1) = 1, u(1) = 2; uC (0,1) = 1; uΓ = 2, uΓ = 5, 1
M. GHILANI
1
10
Université Moulay Ismail ENSAM Département Math-Info
A.U. 2009-2010 4e`me Année Méthodes numériques
Fiche d’exercices Ex. 15 — Soit Ω ∈
d
R
avec d = 1, 2, 3,
K(x) un
tenseur d’ordre d, V un vecteur de
d
R
et les
EDP suivantes :
−∆u(x) + k 2 u(x) = f (x)
∀ x ∈ Ω
div(K(x)∇u(x)) + V · ∇u(x) = g(x) 1.Ecrire ces deux équations en fonction des dérivées partielles
∀ x ∈ Ω ∂ ∂x
, ou
∂ ∂x
, ou
∂ ∂z
selon d.
2.Déterminer la fonctionnelle d’énergie associée à la première équation. Que vérifie sa solution. Ex. 16 — Inégalité de Poincaré en 1D :
Soit a, b ∈ R, soit u ∈ C 0 [a, b] Montrer que
1
C ]a, b[ et u(a) = 0 u0 ≤ C (]a, b[)|u|1
Ex. 17 — Soit Ω un domaine régulier de
H 01 (Ω) muni
d
. En utilisant l’inégalité de Poincaré vérifier que du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇ u, ∇v > est un espace d’Hilbert. R
Ex. 18 — Traces :
Calculer la trace sur ∂ Ω des fonctions et des domaines suivants : u1 (x) = 2x2 + 3, u2 (x) = tan(x), u3 (x, y) = x 2 + y 2 , u4 (x, y) = tan(x)tan(y),
Ω =] − 1, 2[ Ω =]0, Π2 [ Ω = D(0, 2) Ω = D(0, Π2 )
Ex. 19 — Relévement :
Soit I =]a, b[, D = disque de centre 0 et de rayon 1 et de bord C (0, 1). K = [−1, 1] × [0, 1] ∂K = Γ1 Γ2 .
Donner des relèvement des fonctions suivantes sur leurs domaines respectifs : u(−1) = 1, u(1) = 2 uC (0,1) = Π, uΓ = 2, uΓ = 5, 1
1
M. GHILANI
CHAPITRE 2. FORMULATION VARIATIONNELLE
11
Ex. 20 — Vérifier que si a est une forme bilinéaire symétrique et coercive sur un espace
d’Hilbert H alors a définie un produit scalaire sur H × H . Ex. 21 — Soit V un espace d’Hilbert et V h un sous espace de V . a une forme bilinéaire et L
une forme linéaire et u et u h vérifient : a(u, v) = L(v) a(uh, v) = L(v)
∀v ∈ V et ∀v ∈ V h
Vérifier que : a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − v)
∀v ∈ V h
Ex. 22 — Soit a une forme bilinéaire symetrique sur H × H et L une forme linéaire sur H .
On note par E (u) = 12 a(u, u) − L(u). 1.Vérifier que L est différentiable sur H et sa différentielle est L, 2.Vérifier que a(u, u) est différentiable et sa différentielle au point u est égal à 2a(u, .), 3.En déduire que E est différentiable et sa différentielle au point u est a(u, .) − L(.).
M. GHILANI
