Planos tridimensionales Publicado por matematicas1univia el 27 de marzo de 2012 en Bloque 8
Las ecuaciones con tres incógnitas no son posibles de graficar en un plano cartesiano con coordenadas (x, y):
Ya que, dónde pondríamos las coordenadas z, recordando que un sistema tres por tres maneja tres incógnitas: x, y, z Para casos como este se trabaja con un plano tridimensional
!n geometría y an"lisis matem"tico, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones !s decir cada uno de sus puntos puede ser locali#ado especificando tres n$meros dentro de un cierto rango Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad %bser&a el siguiente plano extraído de la p"gina Disfrutalasmatemáticas.com, donde se grafica en un plano tridimensional un punto
'istema cartesiano tridimensional n sistema cartesiano tridimensional est" compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes %x, %y y %#
Las coordenadas del punto ! de la figura son (x,y,#) La distancia signada x se llama abscisa, y se llama ordenada y z se llama cota Los planos coordenados di&iden al espacio en oco regiones llamadas octantes Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:
!jemplo: !l cubo de la figura tiene una arista de * unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura +u"les son las coordenadas del punto P-
!n la figura, se cumple que x . /0 y . * y # . *, por lo tanto, sus coordenadas son (/,*,*)
1'istemas 2ridimensionales1
n objeto es tridimensional si tiene tres dimensiones !s decir cada uno de sus puntos puede ser locali#ado especificando tres n$meros dentro de un cierto rango !l sistema tridimensional mas usado en física (cl"sica) es el espacio: una dimension para el anco, otra para la altura y otro para la profundidad Para representarlo basta con el grafico de
ejes cartesianos 3,Y,4 !n las im"genes se puede obser&ar el grafico con el que se representan los sistemas tridimensionales
SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL
Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes!," "z# $as coordenadas de un puntoP son %!, ", z&# $a distancia si'nadas como !, " " z se llaman abscisa, ordenada " cota respectivamente# $os planos coordenados dividen al espacio en oc(o re'iones llamadas octantes#
La regla de la mano derecha es) se orientan los dedos de la mano derec(a, e!cepto el
pul'ar, en el sentido positivo del eje * " se los envuelve o 'ira (acia el sentido positivo del eje +, levantando recto el pul'ar se tendrá el sentido positivo del eje #
-ambi.n se puede emplear la re'la de la mano izquierda, como puede verse, los dedos medio, índice " pul'ar se colocan en direcciones perpendiculares entre sí, se nombran los ejes a partir del dedo medio en orden al/ab.tico#
sta es la /orma mas usual de representar los sentidos positivos de los ejes cordenados
Sistema de coordenadas Se ha sugerido que Origen de coordenadas sea fusionado en este artículo o sección %discusin&#
Una vez que (a"as realizado la /usin de artículos, pide la /usin de (istoriales aquí#
!n geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utili#a uno o m"s n$meros (coordenadas) para determinar uní&ocamente la posición de un punto o de otro objeto geom5trico6 !l orden en que se escriben las coordenadas es significati&o y a &eces se las identifica por su posición en una tupla ordenada0 tambi5n se las puede representar con letras, como por ejemplo 7la coordenada8 x 9 !l estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geom5tricos de forma 1num5rica1 n ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para locali#ar coordenadas geogr"ficas !n física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia
Índice ;mostrar<
Ejemplos de sistemas de coordenadas;editar < Sistema de coordenadas cartesianas;editar <
Artículo principal: oordenadas cartesianas
!n un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (an"logamente en se pueden definir sistemas n8 dimensionales) !l &alor de cada una de las coordenadas de un punto ( A) es igual a la proyección ortogonal del &ector de posición de dico punto () sobre un eje determinado: ada uno de los ejes est" definido por un &ector director y por el origen de coordenadas Por ejemplo, el eje x est" definido por el origen de coordenadas (O) y un &ector () tal que: , cuyo módulo es !l &alor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del &ector de posición de dico punto sobre el eje x
Sistema de coordenadas polares;editar <
Artículo principal: oordenadas polares
!l sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un "ngulo y una distancia
Sistema de coordenadas cilíndricas;editar <
'ignificado de las coordenadas cilíndricas Artículo principal: oordenadas cilíndricas
!l sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional =esulta especialmente $til en problemas con simetría axial !ste sistema de coordenadas es una generali#ación d el sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se a>ade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos La primera coordenada es la distancia existente entre el eje 4 y el punto, la segunda es el "ngulo que forman el eje 3 y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro
Sistema de coordenadas esféricas;editar <
Artículo principal: oordenadas esf5ricas
?l igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esf5ricas se usan en espacios euclidianos tridimensionales !ste sistema de coordenadas esf5ricas est" formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los "ngulos que es necesario girar para alcan#ar la posición del punto
Coordenadas geográficas;editar < Artículo principal: oordenadas geogr"ficas
!ste tipo de coordenadas cartogr"ficas, subtipo de las coordenadas esf5ricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esf5rica @ay &arios tipos de coordenadas geogr"ficas !l sistema m"s cl"sico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos: •
AA 888 Decimal Degree (Brados Polares): ej CDE//86FE//
•
AG 888 Degree:Minute (Brados:Ginutos): ej CD:F//86F:F//
•
AG' 88 Degree:Minute:Second (Brados:Ginutos:'egundos): ej CD:F/://86F:F/://
2ambi5n se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la 2ierra, utili#ando una proyección cartogr"fica !l sistema de coordenadas cartogr"ficas proyectadas m"s abitual es el sistema de coordenadas 2G
Coordenadas curilíneas generales;editar < Artículo principal: oordenadas cur&ilíneas
n sistema de coordenadas cur&ilíneos es la forma m"s general de parametri#ar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o &ariedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente) 'i tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas cur&ilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:
Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas cur&ilíneas:
'i el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de &ariedad de =iemann se pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas cur&ilíneas en sistema de coordenadas ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esf5ricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo
Coordenadas curilíneas ortogonales;editar < Artículo principal: oordenadas ortogonales
n sistema de coordenadas cur&ilíneas se llama ortogonal cuando el tensor m5trico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal uando eso sucede mucas de las fórmulas del c"lculo &ectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudi5ndose a pro&ecar ese eco cuando existe por ejemplo simetría axial, esf5rica o de otro tipo f"cilmente representable en esas coordenadas cur&ilíneas ortogonales Las coordenadas esf5ricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas cur&ilíneas ortogonales
Cambios de coordenadas ;editar < !n la resolución de problemas físicos y matem"ticos es com$n la estrategia del cambio de coordenadas !n esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las &ariables de las que a depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equi&alente pero m"s simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad G"s formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un difeomorfismo o aplicación biyecti&a y diferenciable (con in&ersa tambi5n diferenciable) entre dos conjuntos de , aquí llamados y : !ste cambio de &ariable permite por eje mplo reescribir integrales del siguiente modo: Aonde: representa la función que pretende integrarse expresada en las &iejas y las nue&as coordenadas es el jacobiano del cambio de coordenadas es el dominio de integración expresado en las &iejas y las nue&as coordenadas Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en t5rminos de las nue&as coordenadas se usan las leyes de transformación tensorial:
Origen de coordenadas;editar <
%rigen de un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas
!l origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas !n este punto, el &alor de todas las coordenadas del sistema es nulo 'in embargo, en algun os sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esf5ricas es suficiente con establecer el radio nulo (), siendo indiferentes los &alores de latitud y longitud !n un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema se separan
Sisteas de coordenadas en el es!acio Coordenadas cartesianas" $as coordenadas son 'rupos de nmeros que describen una posicin # posicin a
lo lar'o de una línea, en una super/icie o en el espacio# 3sí en el eje de los nmeros reales, !45 se indica de la si'uiente manera)
ste tipo de sistema de coordenadas lo asociamos con el conjunto de los nmeros reales R# 6imilarmente, cuando nos propon'amos analizar un /enmeno en que se involucran dos variables %que es el caso del plano&, denotaremos el conjunto de los valores que pueden tomar ambas, como pertenecientes a subconjuntos de R2# +a en el espacio estableceremos al'o similar para R# o (a" que tener muc(a ima'inacin para deducir que se puede (ablar de espacios n9 dimensionales en que los valores de las variables de una /uncin los asociaremos con subconjuntos de Rn# $as coordenadas rectan'ulares son un sistema de cartesianas o coordenadas /ormado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el ori'en# :ecordando un tanto aspectos "a por Ustedes estudiados, en el plano las coordenadas cartesianas ! e " se denominan respectivamente abcisa " ordenada# $as ecuaciones de los ejes ! e " son respectivamente "40 " !40, rectas que se cortan en el ori'en cu"as coordenadas son, obviamente, %0,0&# $os ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los si'nos de las coordenadas alternan de positivo a ne'ativo# $as coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las pro"ecciones del se'mento entre el ori'en " el punto sobre cada uno de los ejes#
n el plano (a" otra /orma de e!presar la posicin de un punto, que son las coordenadas polares# n este sistema se indica la distancia del ori'en de coordenadas al punto, r, " el án'ulo que /orma esa recta con el eje !, θ# n la si'uiente /i'ura se muestra esto " las ecuaciones que nos permiten e!presar las ecuaciones en un sistema dado que se conozcan en el otro)
n el espacio ;, la posicin de un punto en coordenadas cartesianas, vendrá dada por un trío ordenado de nmeros que nos indicarán los valores de x, y " z , en ese orden)
$os planos de re/erencia *+ %z40& * %"40& e + %!40& dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los si'nos de las componentes cambian de positivo a ne'ativo se'n sean los valores de las tres coordenadas#
:esulta conveniente se
=uc(as de las /ormulas que Ustedes conocen del espacio R2, tienen su e!tensin en el
espacioR# 3sí por ejemplo la distancia entre dos puntos en el plano es)
o obstante debemos tener cuidado al e!tender un concepto del plano al espacio tridimensional# 3sí por ejemplo la ecuacin " 4 2! > ? nos indica en el plano una recta con pendiente 2 e intercepto con el eje " en ?# 6in embar'o, si 'ra/icamos esta ecuacin en ;, dado que no asi'namos nin'n valor de z, esta coordenada puede tomar cualquier valor " vamos a tener un plano que contiene a todas las posibles rectas con la pro"eccin " 4 2!>? en el plano %!,"& " todos los posibles valores de z en el intervalo en que consideremos que se encuentren)
Coordenadas cilíndricas $ esf%ricas
$as coordenadas cilíndricas " es/.ricas constitu"en 'eneralizaciones de las coordenadas polares en el espacio tridimensional# En el sistea de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un trio ordenado %r, θ, z&, tal que) %r, θ& es una representacin polar de la pro"eccin de P en el plano *+# z es la distancia de %r, θ& a P# r puede tomar los valores desde 0 a @# $os valores de q estarán entre 0 " 2 π#
l nombre de coordenadas cilíndricas se ori'ina del (ec(o de que la 'rá/ica r 4 c es un cilindro circular recto# $as coordenadas cilíndricas se utilizan con /recuencia en aquellos problemas reales en los que e!iste un eje de simetría# En el sistea de coordenadas esf%ricas un punto P del espacio se representa por un trío ordenado %ρ, θ, φ& donde) ρ es la distancia orientada desde (asta P, %valores de ρ ≥ 0&# θ es el mismo án'ulo que el usado en coordenadas cilíndricas, %0 ≤ θ A 2 π&# φ es el án'ulo entre el eje z " el se'mento 9 r, %0 ≤ φ ≤ π&#
:esumiendo) oordenadas)
3:-6C336 C$D;:C36 6EF:C36 %!, ", z& %r, θ, z& %ρ, θ, φ& Galores posibles) %9@ a @& 0ArA ∞,0AθA2π,9@≤z≤@ 0ArA∞,0AθA2π,0AφAπ
&órulas !ara la transforación de coordenadas
ilíndricas a cartesianas !4 r cosθ "4 r senθ z4 z
s/.ricas a cartesianas !4 ρ senφ cosθ "4 ρ senφ senθ z4 ρ cosθ
artesianas a cilíndricas r4 %!2>"2&1H2 θ4arct'%"H!&
artesianas a es/.ricas
φ4arccos%zH%!2>"2>z2&1H2&
z4 z
θ4arct'%"H!&
ρ4 %!2>"2>z2&1H2
jemplos) ;eterminar las coordenadas cilíndricas " es/.ricas del punto %2, 91, 95&) :H cilíndricas %2#2I1, 2I#?7J,95&K es/.ricas %5#?82I, 2I#?7J,1?0#7LJ&) ;eterminar las coordenadas cartesianas del punto %?#5, 112J, & en coordenadas cilíndricas)
:H %92#0, ?#0, #0& ;eterminar las coordenadas cartesianas del punto %?#7, 22J, 70J& en coordenadas es/.ricas) :H %?#0, 2#0, 2#0& 'ara el estudio inde!endiente #
Practicar los conceptos con un 'rupo de e(ercicios resueltos de un pro/esor de olombia# Ger material de la Universidad =ic(oacana de 6an icolás de Midal'o sobre coordenadas cilíndricas " esf%ricas %ota) los nombres de las coordenadas pueden ser di/erentes& # ota) $os conocimientos de tri'onometría son básicos para esta asi'natura# l que no recuerde los conceptos de las /unciones tri'onom.tricas elementales %seno, coseno, tan'ente&, debe suplir esto con estudio independiente# $es adjunto un material que creo les puede ser til sobre las funciones trigono%tricas )*sicas# $e su'iero ver una aniación sobre esto tomada del Pro"ecto ;escartes#
