Planos Cristalograficos

PLANOS CRISTALOGRAFICOS. Es definido por tres átomos no alineados, en una red cristalina, uniendo tres nudos de una celdilla, determinados por los índices de Miller. (cristalografo ingles Hallowes Miller 1801-80) conversión universal se escogen un plano que no pase por el origen los índices de un plano cortado los ejes (no tienen por qué ser ángulos rectos los ejes coordenados) en: (1) OX, OY, OZ, en los puntos de las coordenadas: (2) m, n, p, valor de corte del plano a los ejes. (3) h, k, l, proporcionales a: (4) 1/m, 1/n, 1/p: son los más pequeños números enteros Pueden tener valor negativos pero siempre enteros. Se expresa entre paréntesis por ejemplo (001) si es negativo un numero se le pone un símbolo menos sobre el. Distancia interpretada en el sistema cúbico entre dos planos paralelos muy cercanos con los mismos índices de Miller (h, k, l) se designa d, k, h, l igual a la distancia desde el origen elegido contenido en un plano y otro plano paralelo con los mismo índices que sea cercano a él. Siendo el parámetro de la celdilla. Familias de Planos a los grupos de planos de redes equivalentes que están relacionados por la simetría del sistema cristalino, y a los índices de una familia de planos son encerrados entre llaves, por ejemplo en el cúbico los planos (100) (010) (001) desiguales pero colectivamente relacionados por la simetría del sistema se les denominan {100} a esta familia de planos. A lo largo de este plano es donde ocurren las fallas de un cristal, trayendo consecuencias practicas como la deformación o fractura de un material sometido a esfuerzo. En el sistema hexagonal, los planos reticulares están definidos de manera ligeramente diferente. Se toman cuatro ejes de referencia que pasan por el centro del hexágono de la base, tres dirigidos según las diagonales de este hexágono forman entre ellos un ángulo de 120º y el cuarto es el eje del prisma. Esta nomenclatura de cuatro índices tiene la ventaja de hacer aparecer las simetrías. La forma de obtener los índices de Miller es igual a lo explicado anteriormente solo que con un eje más. Dirección Cristalográfica Definida Por Dos Nudos De La Red. Los índices de direcciones cristalográficas corresponden a sus componentes en las direcciones de tres ejes del sistema, componentes medidos en unidades indivisibles de la malla. Todas las direcciones paralelas tienen los mismos índices de Miller de dirección [uvw]. Las direcciones cristalográficas equivalentes son las que tienen los espacios atómicos a lo largo de cada dirección igual. Por ejemplo, en un cubo, [100], [010], [001], e igual con valores negativos de la unidades la familia de índices.

Índices de Miller Los átomos en un sólido están empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden: - de corto alcance (sólidos moleculares, con enlaces fuertes- covalentes- entre átomos y más débiles– van der Waals- entre moléculas ). - de largo alcance (sólidos cristalinos) En el interior de un sólido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial, en cada punto de la cual se sitúan grupos de átomos idénticos en composición y orientación (base). La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos, característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de parámetros (a,b,c y α , β , γ). Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los índices de Miller (para planos (hkl), para direcciones [hkl]). La orientación de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los índices de Miller (hkl); un conjunto de números que cuantifican los cortes y que sólo puede usarse para identificar un plano o una superficie. El siguiente procedimiento que permite asignar índices de Miller está simplificado y sólo sirve para el sistema cúbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ).

Para ilustrar el procedimiento, consideremos la siguiente superficie /plano:

Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x, y,z. En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y, z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a, ∞, ∞. Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias. Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividiéndolas por la dimensión de la celda unidad. Por ejemplo un punto (x,y,z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c, tiene las coordenadas fraccionarias (x/a, y/b, z/c). En nuestro caso ( celda cúbica), las coordenadas fraccionarias serán: a/a, ∞/a, ∞/a, es decir 1,∞, ∞. Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias Este paso final genera los índices de Miller que, por convención, han de especificarse sin estar separados por comas. Los índices se encierran entre paréntesis () cuando se especifica una única superficie como en este ejemplo. Los recíprocos de 1 y ∞, son 1 y 0, respectivamente, lo que nos conduce a (100). Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico. Otros ejemplos: 1- La superficie (110)

cortes: a,a,∞ ; cortes fraccionarios: 1,1,∞ ; índices de Miller: (1,1,0) 2- La superficie (111)

cortes: a,a,a ; cortes fraccionarios: 1,1,1 ; índices de Miller: (1,1,1) Las superficies consideradas hasta ahora (100), (110) y (111) son las llamadas superfícies de índice bajo de un cristal cúbico (el termino bajo hace referencia a que los índices son 0 o 1). Estas superficies tienen especial importancia, pero hay un número infinito de otros planos que pueden definirse usando los índices de Miller. 3- Las superficies (210)

cortes: a/2, a,∞; cortes fraccionarios: 1/2, 1,∞ ; índices de Miller: (210) Notas adicionales: (i) en algunos casos los índices de Miller se multiplican o dividen por algún factor común para simplificarlos. Esta operación simplemente genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por dos) (ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller (ejemplo (00-1) se escribe (001) (iii) en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes pricipales, por tanto deben usarse cuatro índices de Miller (ejemplo (0001))

En el dibujo las tres superficies están relacionadas por los elementos de simetría del cristal cúbico y son totalmente equivalentes. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de simetría y equivalentes a la superficie (100), cualquier superficie que pertenezca a este conjunto de superficies de simetría equivalente puede ser descrita por la notación {100}, en la que los índices de Miller de una de las superficies están representados entre llaves. En el sistema cúbico el plano (hkl) y el vector [hkl], definido con respecto al origen, son perpendiculares. Esta característica es única del sistema cúbico y no se puede aplicar a sistemas de simetría inferior.

La distancia entre planos en el sistema cúbico viene dada por:

DIRECCIONES DE CELDAS LA CELDA UNIDAD Una celda unida es una pequeña unidad de cristal que, al repetirla, se reproduce el cristal completo. La forma de la Celda Unidad debe elegirse de forma que pueda llenarse el volumen completo del cristal al apilar celdas idénticas, es necesario especificar, para definir el cristal como un todo, solamente la naturaleza de la celda unidad, sus dimensiones, forma y constitución. La elección de la celda unidad es arbitraria hasta un cierto punto. Por ejemplo, no necesita ser siempre primitiva y además, puede tener formas diferente. Esto se aclara en la figura. Para una red oblicua en dos dimensiones se ha dibujado tres celdas primitivas, y una que no lo es. Las celdas primitivas pueden contener átomos solamente en sus vértices o pueden dibujarse desplazándolas ligeramente hasta que encierren un átomo. Tres celdas primitivas y otra que no lo es (a la derecha) para una red oblicua de dos dimensiones. La celda unidad se elige a menudo de manera que, por su forma, revele por sí mismo la simetría de la red. Esto, algunas veces, da lugar a celdas de mayor tamaño, que no son primitivas. Las celdas cúbicas convencionales están dibujadas con líneas de trazo interrumpido, mientras que las celdas primitivas romboédricas están representadas en líneas de trazo grueso, en las que aparecen los vectores fundamentales de traslación a, b y c. Las llamadas celdas de Wigner – Seitz,

también se representan en la figura siguiente y son poliedros que se construyen alrededor de cada átomo, dibujando planos bisectores perpendiculares a las líneas que unen cada átomo con sus vecinos más próximos. La importancia de la simetría en un punto de la red lo es tanto en relación con la configuración de las fuerzas que obran sobre los átomos. En los cristales, como en relación con las propiedades físicas de los mismos.

NUMERO DE PUNTOS CONTENIDOS EN UNA CELDA El número de puntos de una celda es la suma de todas las fracciones que se encuentran dentro de su volumen. Si un punto se encuentra en una cara es compartido por dos celdas, esto es un ½ de punto dentro de cada celda. Si el punto se encuentra en una esquina es compartido equitativamente por cuatro celdas que poseen un punto común, por lo tanto, cada celda contiene un octavo de dicho punto. Si el punto es interno en su totalidad a la celda, o sea, no lo comparte con ninguna, entonces la contribución del punto es la unidad.

Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o dirección que se considere. Por ello, resulta especialmente importante encontrar una forma cómoda y rápida de identificar las direcciones y planos cristalográficos. La notación empleada se denomina notación de índices de Miller.

Tal como se procede habitualmente en matemáticas, las componentes de cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P1 = (u1, v1, w1) es el punto de partida y P2 = (u2, v2, w2), el punto final, el vector que va de P1 a P2 se calculará como:

Pero frecuentemente no estaremos interesados en el módulo del vector, sino sólo en su dirección. La notación de Miller retiene únicamente este aspecto. Los índices de Miller de la dirección del vector

son los componentes de

, pero reducidos a los enteros más pequeños

posibles: h, k y l. La dirección se representaría como . Nótese que los números no van separados por comas y que los paréntesis se han sustituido por corchetes. Si un número es negativo, por ejemplo, -2, se representa como . Naturalmente, tal y como sucede con los vectores libres, bajo la designación están incluidos todas las direcciones paralelas a la considerada. La siguiente figura muestra ejemplos de direcciones en celdillas cúbicas.

Notación de Miller de algunas direcciones características de un cristal cúbico. (Se muestran dos celdillas contiguas para facilitar la visión tridimensional).

Aun cuando las direcciones estén expresadas mediante índices de Miller y no en la notación vectorial convencional, puede operarse con ellas de la forma habitual. En particular, las direcciones pueden multiplicarse escalar y vectorialmente.

La ventaja del uso de la notación de Miller reside en que con ella, y sobre todo en los sistemas cúbicos, resulta muy fácil evidenciar las simetrías del cristal. En la figura anterior se puede observar que la dirección

constituye una diagonal principal de la celdilla, como también lo

son las direcciones , y . Como puede verse, los índices son diferentes y, sin embargo, todas son diagonales principales del cubo y, en cierto sentido, son todas equivalentes. El sentido de esta equivalencia obedece, naturalmente, a razones de simetría: a lo largo de dos direcciones equivalentes en un cristal, la distribución atómica es idéntica; no sólo los átomos que se encuentran a lo largo de ella son los mismos, sino también sus distancias relativas.

Deberíamos disponer de una manera de designar colectivamente a toda una familia de direcciones equivalentes. La forma elegida es colocar entre corchetes con ángulo, cualquier miembro de la familia. Por ejemplo,

, los índices de Miller de

representa la familia de direcciones

equivalentes de «las diagonales principales del cubo». De igual modo, «las aristas del cubo».

representa a todas

ANOTACION DE PLANOS CRISTALOGRAFICOS

Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algún plano cristalográfico de átomos particular o alguna dirección cristalográfica. Una celdilla unitaria o cristal contiene planos de los átomos, y esos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma será ventajosa para identificar los varios planos que existen en un cristal. Un cristal contiene planos de los átomos, y estos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma será ventajosa para identificar los varios planos atómicos que existen en un cristal. La orientación de los planos cristalográficos de la estructura cristalina se presenta de manera similar al de las direcciones cristalográficas. También se utiliza un sistema de coordenadas de tres ejes ortogonales y la celdilla unitaria es fundamental. Una celdilla o cristal contiene planos de los átomos, y esos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma será ventajosa para identificar los varios planos atómicos que existen en un cristal. A veces es necesario referirse a los planos reticulares específicos de los átomos que se encuentran en una estructura cristalina, o puede ser interesante conocer la orientación cristalográfica de un plano o de grupos de planos en una red cristalina. Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cúbica se utiliza el sistema de notación de Miller Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como… El recíproco de las fracciones de intersección (Con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalográficos x, y y z de las tres aristas no paralelas dela celdilla unitaria cúbica. Las aristas del cubo en la celdilla unitaria representan longitudes unidad y las intersecciones de los planos reticulares se miden con base en estas longitudes unidad El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano cristalográfico cubico 1.- se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0). 2.- se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes cristalográficos x, estas intersecciones pueden ser fraccionarias. 3.- se obtiene el recíproco de las intersecciones. 4.- Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto más pequeño de números que estén en la misma proporción que las intersecciones. Este conjunto de números enteros son los índices de un plano cristalográfico y se encierran en paréntesis sin utilizar comas. La notación (h k l) e utiliza para indicar los índices de Miller en este plano un sentido general, donde h, k y l son los índices de Miller de un plano cristalino cubico para los ejes x, y y z respectivamente

GEOMETRÍA DE LOS SISTEMAS CRISTALINOS Existen muchas estructuras diferentes y es conveniente clasificarlas en grupos de acuerdo con las configuraciones de la celdilla unitaria y/o la disposición atómica. Uno de estos esquemas se basa en la geometría de la celdilla unitaria, la forma del paralelepípedo sin tener en cuenta la posición de los átomos en la celdilla. Se establece un sistema x, y y z de coordenadas cuyo origen coincide con un vértice de la celdilla; los ejes x,y y z Coinciden con las aristas del paralelepípedo que salen de este vértice, como se muestra en las figuras de la Tabla 1. La geometría de la celdilla unitaria se define en función de seis parámetros: la longitud de tres aristas a, b y c y los tres ángulos interraciales a, β, y γ Estos ángulos se denominan.. Parámetros de red de una estructura cristalina y están representados en la Tabla 1.En este aspecto hay siete diferentes combinaciones de: a,b y c y a,β yγ, que representan otros tantos sistemas cristalinos. Estos siete sistemas cristalinos son el cúbico, tetragonal, ortorrómbico, romboédrico, monoclínico y triclínico. SISTEMA CRISTALINO REDES DE VRABAIS EXAGONAL CÚBICO Triclínico Monoclínico Ortorrómbico Tetragonal Romboédrico La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos, característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitariacada una, que, a su vez viene definida por una serie de parámetros (a,b,c y a,β,γ)

DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algún plano cristalográfico particular de átomos o alguna dirección cristalográfica. Convencionalmente se ha establecido que para designar las direcciones y planos se utilicen tres índices enteros. Los valores de los índices se

determinan basándose en un sistema de coordenadas cuyo origen está situado en un vértice de la celdilla unitaria y cuyos ejes (x,y,z) coinciden con las aristas de la celdilla unitaria como lo indica la Figura 1 (b). En los sistemas cristalinos hexagonal, romboédrico y triclínico, los tres ejes no son perpendiculares entre sí, como ocurre en el familiar sistema de coordenadas ortogonales o cartesianas. Puntos, direcciones y planos en la celdilla unitaria 1.- Coordenadas de los puntos Es posible localizar ciertos puntos, como las posiciones de los átomos en la red o en la celdilla unitaria, construyendo el sistema de coordenadas dextrógiro. La distancia se mide en función del número de parámetros de red que habrá que moverse en cada una de las coordenadas x,y y z. Para pasar desde el origen hasta el punto en cuestión. Las coordenadas se expresan como tres distancias, y separando cada número concomas Cuando correlacionamos subsecuentemente varias propiedades y estructuras cristalinas será necesario identificarla dirección específica de los cristales. Esto puede hacerse relativamente simple si se usa la celdilla unitaria como base.

(a) Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unitaria. Los números se refieren a la distancia desde el origen en función de los números de parámetros de red. (b) Direcciones vectoriales de los puntos. c) Vista esquemática de la localización de los centros de los átomos en la estructura FCC de un metal. Por ejemplo, la muestra de las tres direcciones dentro de una retícula simple ortorrómbica. La dirección [1 1 1] es aquella que pasa desde el origen y a través de un punto de la distancia de la celdilla en cada una de las tres direcciones axiales. Del mismo modo, las direcciones [1 0 1] y [1 0 0] son rayos (vectores) que partiendo del origen pasan a través de los puntos 1, 0, 1 y 1, 0, 0 de las distancias de las celdillas unitarias, respectivamente. La costumbre ha establecido utilizar paréntesis cuadrados [h k l] para indicar la dirección de las celdillas (cristales). El paréntesis (h k l) indica los planos de las celdillas. No es nada que se desconozca, al menos, se estipula que una celdilla cúbica tiene vértices cuya ubicación se define en torno a un origen y a una

disposición de ejes, atribuidos a su vez a los ángulos, que le dan posición entre los planos x, y y z. La distancia se mide en términos de la cantidad de parámetros de red que hay que recorrer en cada una de las direcciones para ir del origen al punto en cuestión. Las coordenadas se escriben como las distancias, y los números se separan por coma. 2.- Direcciones en la celdilla unitaria Una dirección cristalográfica se define por una línea entre dos puntos o por un vector. Se utilizan las siguientes etapas para determinar los índices de las tres direcciones. Ciertas direcciones en la celda unitaria son de particular importancia. Los metales se deforman, por ejemplo, en aquellas direcciones a lo largo de las cuales los átomos están en contacto más estrecho. Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de Miller son números enteros que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número. Los índices de Miller: Para las direcciones son la notación abreviada de estas direcciones. El procedimiento que determina los índices de Miller para las direcciones es el siguiente: 1. En el origen de coordenadas del sistema se traza un vector de longitud conveniente. Todo vector se puede trasladar a través de la red cristalina sin alterarse, si se mantiene el paralelismo. 2. Utilizando un sistema de coordenadas dextrógiro, se determina las coordenadas de dos puntos que estén en esa dirección. 3. Restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas a las del punto final se obtiene el número de parámetros de red recorridos en la dirección de cada eje del sistema de coordenadas.

4. Se determina la longitud del vector proyección en cada uno de los tres ejes; en función de las dimensiones a, b y c de la celdilla unitaria. 5. Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para reducirlos al valor entero menor. 6. Los tres índices, sin separación, se encierran en un corchete, así: [u v w]. Los números enteros u, v y w corresponden a las proyecciones reducidas a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. Si se obtiene un signo negativo, se representa con una barra sobre el número.

Es necesario, además, tener en cuenta lo siguiente: La celdilla unitaria intercepta, y no, distancias actuales que se usan. En la retícula ortorrómbica de la figura 1(b),a≠ b ≠c

Los ejes de los cristales se usan como base de las direcciones. La dirección A [2 2 2] es idéntica a la dirección [1 1 1]. Por lo tanto, la menor combinación de enteros es la que se usa Las direcciones tales como [1 1 2] podrán también identificarse. (Esta dirección es un rayo que parte del origen a través del centro de la cara superior). La operación de simplificación genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (2 0 0) se transforma en (1 0 0) al dividir por dos). Si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller (ejemplo (0 0 -1) se escribe (0 0 1).

En los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes principales, por tanto deben usarse cuatro índices de Miller (ejemplo (0 0 0 1). Se muestran nueve planos cristalográficos dentro de los cuales los siete primeros son considerados como los más importantes de una estructura cristalina cúbica. Considérese en primer lugar el plano sombreado de la figura (11 0), que tiene las intersecciones 1, ∞, ∞para los ejes x, y y z, respectivamente. Si se toman los recíprocos de estas intersecciones para obtener los índices de Miller, serán, por tanto,1,0,0 Como estos números no son fraccionarios, los índices de Miller para este plano son (1 0 0), que se lee como plano uno-cero-cero. Considérese ahora como ejemplo el segundo plano (1 1 0). Las intersecciones en este plano son1,1,∞. Dado que los recíprocos de estos números son1, 1, 0, que no presentan fracciones, los índices de Miller de este plano (1 1 0). Finalmente, un tercer plano (1 1 1) tiene las intersecciones1,1,1, corresponde a unos índices de Miller (1 1 1). Planos cristalográficos con distintos índices de Miller Considere que el plano cúbico cristalino presentado en la figura 5 que tiene las intersecciones â…“, â…”, 1.

Los recíprocos de estas intersecciones son 3, 3/2,1. Dado que estas intersecciones no son enteros, estas intersecciones deben multiplicarse por dos para simplificar la fracción3/2. Por tanto, el recíproco de las intersecciones se convierten en 6, 3,2 y los índices de Miller son (6 3 2). Si el plano cristalino considerado pasa por el origen de tal forma que una o más de las intersecciones son cero, el plano debe ser movido a una posición equivalente en la misma celdilla unitaria y el plano debe ser paralelo al plano original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes se encuentran indicados por los mismos índices de Miller Consideraciones a tener en cuenta en los índices de Miller para las direcciones. Las direcciones son vectores, una dirección y su negativa no son idénticas. La dirección [100] es diferente a la dirección [-100]. Una dirección y su múltiplo son idénticos. La dirección [100] es idéntica a [200], Ciertos grupos de direcciones son equivalentes, tienen su índices particulares dependiendo de la forma en que se definen las coordenadas y su origen. Ej. [100] = [010] De acuerdo a lo anterior existen familias de direcciones: = [110] [-1-10] [101] [-10-1] [011] [0-1-1] [1-10] [-110] [10-1] [-101] [0-1-1] [0-11] La orientación de una superficie de un cristal plano Se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. Ciertos planos de átomos en un cristal también son significativos; por ejemplo, los metales se deforman a lo largo de aquellos planos de átomos que están empaquetados más estrechamente. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los Índices de Miller --> (H k l) como una flotación

Las direcciones en el sistema HC utiliza tres el sistema de 3 ejes. El procedimiento para determinar los índices de planos es igual que en el sistema de tres ejes, con la salvedad que requiere de 4 intersecciones, obteniendo índices de la forma (h i k l). h, i, k corresponden a las intersecciones de a1, a2 y a3. Las direcciones se indican con el sistema de 3 o 4 ejes. Conversión de tres ejes a cuatro

Determinación de los índices de Miller en la red HC Planos Planos 1. Determinar las intersecciones de los ejes. 2. Determinar los inversos de cada intersección

3. Simplificar fracciones Direcciones 1. Determinar dos puntos de la dirección 2. Restar cabeza con cola 3. Simplificar fracciones Comportamiento isotrópico y aniso trópico Material aniso trópico: Variación de las propiedades en las direcciones cristalográficas. Material isotrópico: Material que presenta las mismas propiedades en todas las direcciones cristalográficas. Ejemplo: Módulo de Young o rigidez (E) del aluminio =75.9 Gpa = 63.4 Gpa

Sitios intersticiales Son pequeños sitios (espacios vacios) entre los átomos que forman un estructura cristalina donde se pueden ubicar átomos mas pequeños. Se les conoce como sitios intersticiales. NUMERO DE COORDINACIÓN CITIO INTERSTICIAL RELACIÓN DE RADIOS 2 LINEAL 0-0.155 3 CENTRO DE TRIANGULO 0.155-0.225 4CENTRO DE TETRAEDRO 0.225-0.414 6 CENTRO DE OCTAEDRO 0.414-0.732 8 CENTRO DE CUBO 0.732-1.000

Se produce cuando se inserta un átomo en una estructura cristalina en un espacio producido por dos o mas átomos en una estructura cristalina. Los átomos intersticiales son de mayor tamaño que los sitios intersticiales, por lo cual la región cristalina vecina esta comprimida y distorsionada. Casos Especiales El procedimiento de clasificación de los cristales se completa con los siguientes casos especiales para los cuales se debe tener en cuenta: 1. Si el plano a indexar es paralelo a un eje coordenado, el punto de intersección se debe asumir en el infinito, que luego en los cálculos se interpretará cómo 0 (ver imágenes). 2. Si el plano a indexar tiene una intersección en el lado negativo de los ejes, un signo menos se pone sobre el correspondiente número de índice. Así el plano que interseca los ejes en los puntos (1 6 -2) tiene un índice de Miller (1 6 2). 3. Cuando por la simetría del cristal, es imposible distinguir entre planos equivalentes (cómo el cristal de diamante, por ejemplo). El grupo de planos equivalentes se nota entre llaves (ej. {1 0 0}). 4. No se pueden establecer índices de Miller para planos que pasan por el origen de coordenadas. El origen de coordenadas deberá ser trasladado a un punto del cristal fuera del plano a indexar. Este procedimiento es aceptable por la naturaleza equivalente de los planos paralelos. Ley de Schmidt

DEFORMACIÓN EN MONOCRISTALES El deslizamiento en un mono cristal puede producirse según varios sistemas de deslizamiento distintos. Cuál de ellos se active (y a qué tensión lo hace) cuando se aplica sobre el cristal una tensión de tracción o compresión  s  f T T R depende de la geometría del cristal y la orientación de éste con respecto al eje de carga (anisotropía). Según la Ley de Schmidt, “para un sistema de deslizamiento dado, el deslizamiento comienza cuando la tensión de cizalla dura resuelta, R, para dicho plano y dirección de deslizamiento, alcanza un cierto valor crítico denominado tensión de cizalla dura crítica,c”. Esta tensión de cizalla dura crítica depende fundamentalmente de la composición del cristal, de la presencia de defectos y de la temperatura (este valor puede ser tan bajo como 1 MPa). En ausencia de defectos, el valor de c coincide con el de la tensión de Peierls.

Para determinar la tensión de cizalla dura resuelta para un sistema de deslizamiento dado basta con conocer la orientación del plano y dirección de deslizamiento con respecto al eje de aplicación de las tensiones. Para la situación de la figura, por ejemplo, R viene dada por:

donde  es la tensión aplicada. El factor M = cos  cos  se denomina factor de Schmidt, y tiene un valor máximo igual a 0.5 debido a la relación entre los ángulos  y  puede verificarse fácilmente para el caso en que las 3 direcciones sean coplanarias ya que entonces: . Si alguno de los dos ángulos ( o ) es 90º entonces M = 0. Como la tensión crítica c no depende del sistema de deslizamiento, la activación de un sistema de deslizamiento es tanto más probable cuanto mayor sea su tensión de cizalla dura resuelta, es decir, su factor de Schmidt. Invirtiendo la ecuación anterior y particularizando para el inicio de plasticidad se obtiene:

Por tanto, la tensión de límite elástico obtenida en un ensayo uniaxial sobre un monocristal variará considerablemente según su orientación (ver figura). Esto es especialmente cierto si hay pocos sistemas de deslizamiento disponibles (p. ej. en metales HCP), ya que entonces se pueden producir grandes variaciones de orientación entre el plano de deslizamiento y el eje de carga sin que se active un nuevo sistema de deslizamiento. En cambio, en cristales FCC hay tantos sistemas de deslizamiento que sólo es posible llegar a duplicar el límite elástico por variación de la orientación del plano de deslizamiento con respecto al eje de tracción antes de que se active un nuevo sistema de deslizamiento.

El valor de la tensión crítica de cizalla dura en un cristal está determinado por la interacción mutua entre sus dislocaciones y con defectos tales como vacantes, átomos intersticiales e impurezas. De hecho, se observa un aumento en esta tensión cuando se eliminan dislocaciones del sólido, por ejemplo, mediante recocido. Discutiremos estos mecanismos de endurecimiento al estudiar la deformación en poli cristales, donde el número de mecanismos es mayor. La tensión de cizalla dura crítica de un cristal es, por tanto, mayor que la que se necesita para deslizar una dislocación aislada (tensión de Peierls), pero sustancialmente menor que la necesaria para producir deslizamiento en una red perfecta en ausencia de dislocaciones. A continuación os transcribo algunos ejemplos de problemas resueltos sobre lo que acabamos de explicar: Ejemplo 1: Considera (ver figura) una tensión de tracción aplicada en dirección [100] y el sistema de deslizamiento (111)[10¯1]—Se puede verificar haciendo el producto escalar que la dirección [10¯1] efectivamente está contenida en el plano (111)—y calcula su factor de Schmidt:

Si para este cristal, c =5 MPa, determina la tensión que necesitamos aplicar para activar ese sistema de deslizamiento:

Ejemplo 2: Estás diseñando una pieza de una turbina a partir de un mono cristal FCC. Utiliza la ley de Schmidt para determinar la tensión de cizalla dura crítica que debe tener el cristal para que la pieza exhiba una tensión de límite elástico uniaxial de 200 MPa en la dirección [331]: Calculando los factores de Schmidt correspondientes a cada sistema de deslizamiento del cristal FCC para esa dirección de aplicación de la tensión se obtiene:

Ensayos uniaxiales en mono cristales. La mayoría de estudios acerca de las propiedades mecánicas de los mono cristales se realizan sometiéndolos a ensayos de deformación uniaxial. En un ensayo uniaxial convencional, el hecho de que la muestra esté fijada por sus extremos a la cabeza de la máquina impone restricciones a la deformación de la muestra, que no puede deformarse libremente por deslizamiento uniforme. En efecto, como se ilustra en la figura, al deformarse el cristal, los planos de deslizamiento giran (y cerca de las mordazas se flexionan los escalones de deformación), tendiendo a alinearse paralelamente al eje de carga (tanto más cuanto mayor sea la deformación de la muestra). Así pues, conforme avanza la deformación, disminuye el valor del factor de Schmidt para el sistema de deslizamiento primario, de modo que ha de aplicarse una carga de tracción mayor para superar el valor de la tensión crítica de cizalla para este sistema de deslizamiento. Pero, mientras el factor de Schmidt disminuye para el sistema primario, aumenta eventualmente para otros sistemas que giren hasta formar aproximadamente 45º con el eje de carga. Cuando la tensión de cizalla dura resuelta sobre el nuevo sistema de deslizamiento es igual (aproximadamente) a la tensión de cizalla dura sobre el sistema primario original, se activará un nuevo sistema de deslizamiento (secundario), y se abandonará el primero, que tiene ahora un menor factor de Schmidt. La aparición de más de un sistema de deslizamiento durante la deformación se denomina en general deslizamiento múltiple.

Otro mecanismo de deformación plástica: el maclaje. Otro mecanismo que puede dar lugar a deformación plástica en cristales es el maclaje o maclado. El maclado (c) difiere del deslizamiento de dislocaciones (b) descrito más arriba en varios aspectos fundamentales: - En el deslizamiento, la orientación de los cristales por encima y por debajo del plano de deslizamiento es la misma antes y después del deslizamiento, mientras que en el maclado se produce una diferencia de orientación con respecto al plano de macla, como en el movimiento de dislocaciones parciales. Normalmente, el deslizamiento tiene lugar en múltiplos enteros del espaciado reticular, mientras que, en el maclado, los movimientos de los átomos son muy inferiores a una distancia reticular. - El deslizamiento se produce sobre planos aislados, relativamente muy dispersos en el cristal, pero en la zona maclada de un cristal, todos los planos atómicos intervienen en la deformación. - Las maclas se pueden producir por deformación mecánica (maclas mecánicas) o por tratamientos térmicos (maclas de recocido). - La deformación macroscópica por maclado es, en general, muy inferior a la deformación por deslizamiento. En efecto, el importante papel que juegan las maclas en la deformación plástica no se debe exclusivamente a la magnitud intrínseca de la deformación por maclado, sino a que las variaciones de orientación resultantes pueden producir la activación de nuevos sistemas de deslizamiento con una orientación favorable con respecto al eje de tensión. Es por esto que el maclado es importante fundamentalmente en cristales con pocos sistemas de deslizamiento primarios—por ejemplo, las maclas mecánicas son típicas en cristales HCP, especialmente cuando son deformados a bajas temperaturas y altas velocidades de carga, pero muy raras en metales FCC. - Cuando se forman maclas en el seno de un cristal, aparecen “dientes” en la región plástica de la curva tensión-deformación. - En cada estructura cristalina, el maclado se produce en una dirección definida sobre un plano cristalográfico específico, y se desconoce si existe una tensión crítica de cizalla para el maclado.

Difusión

Fenómeno por el cual las moléculas o iones de una sustancia se mezclan con las de alguna otra. Se debe a la perpetua agitación que anima a las moléculas de que están compuestos todos los cuerpos.

En este artículo se tratará la difusión desde el punto de vista de la mecánica de fluidos. Utilizando las siguientes ecuaciones: dq/dt = Ñ * Nc = Ñ * (kÑT) = kÑ2T Donde T es la temperatura absoluta y k es una constante. ¶Ci/¶t + Ñ * (vCi) = Ñ * (Diw * ÑCi) + Si Donde C es la concentración de masa, v es el vector velocidad, D es el coeficiente de difusión y S es el término fuente – sumidero. De estas ecuaciones se parametriza la difusión molecular de calor y de masa mediante la difusividad térmica (a = k/rcp) y el coeficiente de difusión (D ), ambos con dimensiones de L2/t. De estas estructuras dimensionales se nota que la difusión pura es un proceso de transporte que consume mucho tiempo, debido a que puede inferir que la escala de longitud para difusión en un periodo de tiempo dado, To, es proporcional a (D To)1/2 mientras que la correspondiente escala temporal de difusión para una distancia L o es proporcional Lo2/D . Como ejemplo, el coeficiente de difusión típico para el cloro o el oxígeno en agua es del orden de 10 -5 cm/s. Por consiguiente, la escala temporal de difusión es del orden de 10 9 segundos o aproximadamente 32 años. Claramente la difusión molecular es un agente de transporte muy lento pero persistente.

DIFUSIÓN MOLECULAR PERMANENTE

Las ecuaciones de difusión para calor y masa, eliminando los términos de advección-convección, haciendo que los términos de fuente y sumidero sean cero son las siguientes:

¶T/¶t = aÑ2T = a(¶2T/¶x2 + ¶2T/¶y2 + ¶2T/z2) ¶C/¶t = D Ñ2C = D (¶2C/¶x2 + ¶2C/¶y2 + ¶2C/¶z2) Si las condiciones de transporte de calor y de masa son uniformes en un plano yz, perpendicular a la dirección x, entonces una forma unidimensional se identifica como: ¶T/¶t = µ ¶2T/¶x2

¶C/¶t = D ¶2C/¶x2 La circunstancia posible más simple es la difusión de estado permanente unidimensional en la cual todas las derivadas temporales son cero. Difusión de masa: concentración baja

Antes de proceder a la solución de la difusión unidimensional de estado permanente, es necesario recordar que una mezcla de especies de masa involucra por lo menos dos componentes y se conoce como una mezcla binaria. En los líquidos, pero no en los gases, las moléculas están muy juntas. Por consiguiente, las difusividades en los líquidos usualmente son una función de la concentración de las especie que se está difundiendo y típicamente son de 10 4 a 105 más pecunias que la de los gases. Sin embargo, debido a la mayor concentración de las especies en los líquidos, los flujos en líquidos y gases tienen una magnitud parecida.

Para dar inicio a la descripción de la difusión de masa de estado permanente se requerirán suposiciones plausibles acerca de la importancia de la advección como agente de transporte. El término de transporte de cuerpo para el flujo puede ser muy pequeño bajo una cierta variedad de circunstancias. La primera es cuando cada especie tiene una velocidad de advección finita pero los flujos son iguales y opuestos. El flujo advectivo resultante neto es cero, y éste es el caso de difusión contraria. El segundo es cuando una de las especies se supone como una sustancia en reposo, por lo que la otra especie permanece en el término de transporte de cuerpo. Esta suposición de baja concentración unida con el hecho de que una especie está en reposo, da como resultado la siguiente ecuación de flujo permanente:

NAz = - D AB ¶CA/¶z = - D AB ((CA2 – CA1)/(z2 – z1))

Consecuentemente, la difusión de baja concentración de una especie en un medio estancado da como resultado perfiles de concentración lineales con un flujo constante.

Difusión con una reacción química

Dentro de un volumen de control que contiene la mezcla pueden ocurrir diferentes reacciones químicas mientras sucede la difusión. Una reacción homogénea es una reacción que ocurre uniformemente en el volumen de control, mientras que una reacción heterogénea típicamente ocurre en una interfaz tal como la frontera sólida del volumen de control.

La ecuación de difusión unidimensional (z) de estado permanente, incluyendo un término de fuente-sumidero o reacción, es d(D AB dCA/dz)/dz + Si = 0 Para un sumidero (destrucción o remoción) con una tasa de reacción de primer orden S i = -kACA De tal manera que: D AB ¶2CA/¶z2 -kACA = 0

®

¶2CA/¶z2 – m2CA = 0

Es importante anotar aquí que el flujo ya no es constante sino que ahora varía con z. La figura 1. contiene una serie de gráficas para las siguientes condiciones que representan la difusión de oxígeno disuelto (OD) en una capa de agua, a medida que es consumido por el zooplancton durante las respiración. La concentración de OD en las superficie (z = 0) es 12mg/L, mientras que a una profundidad de 40cm el OD es 4mg/L. En el dibujo se indican los diferentes valores del término fuente kOD. Se utiliza un valor de D AB = 100cm2/s. Se nota que una tasa de respiración más fuerte incremente la curvatura de perfil y localiza la zona de máximo gradiente y máxima curvatura cerca de la superficie z1 = 0.

Concentración de OD debido a la difusión y al consumo de zooplancton. Figura 1. DIFUSIÓN TURBULENTA

La aproximación del gradiente o difusión se utiliza extensamente para describir los flujos de transporte turbulento en función de las variables medias del flujo. Otros tipos de cierre están disponibles pero, en contraste con la aproximación del gradiente de difusión, son bastante complejos y se usan primordialmente en modelos complejos de computador de flujo y transporte. Los modelos cerrados más avanzados son necesarios cuando se consideran flujos que tienen altas irregularidades geométricas, que son transitorios tanto en las cantidades medidas como en las turbulentas y que están completamente acoplados en el sentido de que el calor o la masa pueden introducir en los flujos, estratificación o gradientes de densidad fuertes, alterando el patrón de flujo y circulación. Esta colección de requerimientos para el uso de modelos cerrados turbulentos avanzados contiene descriptores para flujos geofísicos, y tales flujos y modelos de turbulencia complejos se tratan en cursos de ciencias atmosféricas, oceanografía e incluso en astrofísica.

Por todo esto, la atención se centrará en flujos de ingeniería que son razonablemente permanentes y tienen una geometría uniforme. Para estos casos, la aproximación del gradiente de difusión es un cierre excelente. El cierre más simple, la difusividad de remolino constante, se considera en primer lugar. Antes de proceder a la difusión turbulenta ,sin embargo, es útil reconsiderar el caso de la

difusión molecular. Para un caso unidimensional, considerar una masa M de partículas que estén marcadas de tal manera que sus trayectorias se puedan seguir durante el tiempo. Teniendo en cuenta la figura 2. en un tiempo igual a cero, la masa se deposita en el origen y la ecuación hará que el material se aleje del origen en todas las direcciones. La ecuación del movimiento gobernante es:

¶C/¶t = D ¶2C/¶x2

Esquema de difusión turbulenta con respecto al tiempo Figura 2. DIFUSIÓN Y DISPERSIÓN EN CANALES

Con excepción de chorros libres tales como chimeneas o de escapes de humo a la atmósfera, la mayoría de los flujos de chorro se encuentran y son afectados por fronteras. Tal es el caso d las descargas de efluentes de aguas industriales o de procesos industriales en ríos, estuarios o lagos. La presencia de fronteras originan capas límites que a su vez hacen que el campo de flujo y sus características de turbulencia sean diferentes en las tres direcciones coordenadas posibles. Por consiguiente, un posible efecto de las paredes es hacer que la turbulencia sea homogénea, pero no isotrópica, en cada una de las tres direcciones. Se puede anticipar que las difusividades de remolino serán bastante diferentes en cada una de las direcciones del canal.

Un segundo impacto posible de la pared es que el penacho no será libre de esparcirse en las tres direcciones, es decir, verticalmente, lateralmente y hacia aguas abajo. La figura 3. presenta un

esquema del proceso de difusión de un efluente que descarga en el centro de la corriente de un río. Las fronteras del penacho, intersecarán no solamente el fondo (región 1 ) sino las paredes del canal (región 2 ). En la región 3 y más adelante, el transporte todavía podrá describirse a través de modelos simples unidimensionales, pero mediante un mecanismo diferente conocido como dispersión.

(a) Vista en planta.

(b) Vista lateral

(c) Vista de la sección transversal, aguas abajo del canal

Difusión y dispersión turbulenta en una corriente para un efluente descargado centralmente.

Figura 3. Difusión vertical de remolino. A partir del esquema mostrado en la figura 3. se puede anticipar que los gradientes de momento y de transporte serán más fuertes en la dirección vertical que en la transversal. Por consiguiente, es razonable esperar que la difusión turbulenta vertical, parametrizada mediante la difusividad vertical ocurrirá más rápidamente que en la dimensión lateral.

Elder fue el primero en encontrar una expresión para la difusividad vertical de remolino, E z, basada en las condiciones exactas de capa límite para el flujo turbulento en canales. Para encontrar la difusividad de remolino, Elder supuso similaridad entre el transporte turbulento de momentum y de masa e hizo que h(z) = Ez(z). En ambos casos se nota que la difusividad varía con la distancia desde el fondo, es decir, no es constante.

Leyes de Fick Si una sustancia está en equilibrio, el movimiento de zig-zag de cada una de sus partículas se realiza con la misma probabilidad en todas direcciones. Cuando perturbamos el equilibrio (por ejemplo, si hay una diferencia de concentraciones), el movimiento de difusión se hace más probable en una dirección que en las otras. El resultado es el fenómeno de transporte. Se llama gradiente de la concentración a su variación con la distancia:

Primera ley de Fick La densidad de flujo de un determinado tipo de partículas es proporcional al gradiente de su concentración:

Donde D es el coeficiente de difusión (unidades de m2/s). Si la concentración varía también en las otras direcciones espaciales, hay un flujo en cada dirección. La expresión anterior da sólo la componente jx.

Ecuación de continuidad

Ecuación de la difusión La diferencia entre los flujos que atraviesan las dos secciones iguales S debe ser la variación del número de partículas:

Segunda ley de Fick: ecuación de la difusión Combinado la primera ley de Fick con la ecuación de continuidad:

Coeficiente de difusión Depende de la naturaleza, tamaño y forma del soluto, la viscosidad η del disolvente y la temperatura T. Para partículas esféricas de radio r, Einstein encontró que:

Distancia cuadrática media A partir de la ecuación de la difusión, mediante análisis dimensional deducimos que la distancia media L que recorre una partícula en un intervalo de tiempo t en un movimiento de difusión es:

Instituto Tecnológico de Cd. Madero. Departamento de Sistemas y Computación. Ingeniería en Sistemas Computacionales. Materia: Química Tema: Investigación de la unidad 3 Alumnos: Márquez Ávila Jordi 14070501 Rodríguez Mendoza Elías Omar 09071199 Saldaña Reyes Francisco Javier

09071310 Hora: 7:00-8:00 pm Fecha: 15-Abril-2015