Planeacion Opt y Admon de Cadenas de Abast Sep 2009 (1)

PLANEACIÓN, OPTIMIZACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO 100

Inventario máximo proyectado en tiempo real

Ocurrencia de faltante

90

Demanda (Unidades)

80 70 60 50 40 30 20

Demanda

Pronóstico

Inv. Máximo

10 0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

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29

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37

39

Semanas

PUNTOS DE VENTA

1

PROVEEDORES O PLANTA

CENTRO DE DISTRIBUCIÓN

2 3 N

D E M A N D A E X T E R N A

Carlos Julio Vidal Holguín

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística

Universidad del Valle

PLANEACIÓN, OPTIMIZACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO

Carlos Julio Vidal Holguín

Universidad del Valle

Facultad de Ingeniería

TÍTULO:

PLANEACIÓN, OPTIMIZACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO

EDITOR: Programa Editorial – Universidad del Valle  Copyright 2009 ISBN:

DIAGRAMACIÓN:

ILUSTRACIÓN CARÁTULA: Carlos Julio Vidal Holguín IMPRESIÓN:

Santiago de Cali, COLOMBIA Septiembre de 2009

DEDICATORIA Ante todo, a Dios.

Para Caroline, Pablo Andrés y José Alejandro, por su paciencia, comprensión y amor.

Para todos mis familiares y amigos y para todas las personas que de una u otra forma colaboraron con la realización de este texto.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Contenido

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Contenido PREFACIO ............................................................................................................................................................ xi

1. INTRODUCCIÓN A LA PLANEACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO ............................................................................................................................................. 1 1.1 INTRODUCCIÓN A LA LOGÍSTICA Y LAS CADENAS DE ABASTECIMIENTO ............................. 1 1.2 IMPORTANCIA Y NATURALEZA DE LA LOGÍSTICA Y SCM ........................................................... 8 1.3 EL AJUSTE ESTRATÉGICO DE LA CADENA DE SUMINISTRO ...................................................... 12 Lecturas adicionales Capítulo 1 .............................................................................................................................. 14

2. LOS PRINCIPALES ELEMENTOS DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO.................................. 15 2.1 LOS PRODUCTOS EN LA CADENA DE ABASTECIMIENTO............................................................ 15 2.2 LOS CONSUMIDORES O CLIENTES .................................................................................................... 17 2.3 LOS PROVEEDORES ............................................................................................................................... 18 2.4 LAS PLANTAS DE PRODUCCIÓN ........................................................................................................ 19 2.5 LOS CENTROS DE DISTRIBUCIÓN Y DISTRIBUIDORES MAYORISTAS ...................................... 19 2.6 LOS DETALLISTAS, MINORISTAS O RETAILERS .............................................................................. 20 2.7 LOS OPERADORES LOGÍSTICOS ......................................................................................................... 20 2.8 LOS SISTEMAS O MODOS DE TRANSPORTE .................................................................................... 20 2.9 LOS SISTEMAS DE INFORMACIÓN ..................................................................................................... 20 2.10 LA LOGÍSTICA REVERSIVA Y LA LOGÍSTICA VERDE ............................................................... 21 2.11 OTROS ELEMENTOS DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO .................................................. 21 2.12 LAS DIRECTRICES O CONDUCTORES DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO ................... 21 2.13 LOS INDICADORES DE EFICIENCIA DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO Y LOGÍSTICA 23 Lecturas adicionales Capítulo 2 .............................................................................................................................. 25

3. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS ...................................................................... 26 3.1 MOTIVACIÓN, NATURALEZA E IMPORTANCIA DE LOS INVENTARIOS ................................... 26 3.2 LA GRAN PREGUNTA: ¿QUÉ NIVEL DE INVENTARIOS MANTENER Y EN DÓNDE? ............... 29 3.3 ÍTEMS INDIVIDUALES O ―STOCK KEEPING UNITS‖ (SKU) ............................................................. 34 Clasificación ABC .................................................................................................................................................. 34 Aspectos adicionales sobre la clasificación ABC ................................................................................................... 37 Control de inventarios de repuestos y partes para mantenimiento ........................................................................ 41 3.4 ASPECTOS QUE INFLUYEN EN EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE ADMINISTRACIÓN DE INVENTARIOS ..................................................................................................................................................... 42 El ciclo de vida de los productos ............................................................................................................................ 43 La naturaleza del proceso productivo ..................................................................................................................... 43 La ubicación del producto dentro de la matriz producto-proceso........................................................................... 44 Los aspectos administrativos y de gestión de los inventarios ................................................................................. 45 Las técnicas cuantitativas para el control de inventarios ........................................................................................ 48 Ejercicios 3.1 .......................................................................................................................................................... 49 3.5 LA DIVERSIDAD DE ÍTEMS Y EL MARCO DE REFERENCIA PARA LAS DECISIONES DE INVENTARIOS ..................................................................................................................................................... 52 3.6 CLASIFICACIÓN FUNCIONAL DE LOS INVENTARIOS ................................................................... 55

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Inventario cíclico .................................................................................................................................................... 55 Inventario de seguridad .......................................................................................................................................... 55 Inventario de anticipación o estacional .................................................................................................................. 55 Inventario en tránsito (o en proceso) ...................................................................................................................... 56 3.7 FACTORES DE IMPORTANCIA PARA LA TOMA DE DECISIONES EN INVENTARIOS .............. 56 3.7.1 Factores de costo .................................................................................................................................... 56 El valor unitario del ítem, v .................................................................................................................................... 56 La tasa o rata del costo de llevar o mantener el inventario, r .................................................................................. 57 El costo de ordenamiento o de alistamiento, A ...................................................................................................... 59 El costo de bajo o de faltante de inventario, B ....................................................................................................... 60 3.7.2 Factores relacionados con los tiempos de reposición y con la demanda ................................................ 61 Tiempo de reposición (Lead Time), L .................................................................................................................... 61 Tipo y patrón de demanda, D ................................................................................................................................. 62 Ejercicios 3.2 .......................................................................................................................................................... 64 Lecturas adicionales Capítulo 3 .............................................................................................................................. 68

4. PRONÓSTICOS DE DEMANDA ................................................................................................................... 69 4.1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 69 4.2 NATURALEZA DE LOS SISTEMAS DE PRONÓSTICOS .................................................................... 69 4.2.1 Pasos fundamentales y ambiente general de un sistema de pronósticos ................................................. 70 4.2.2 La importancia de la medición de la demanda no servida ...................................................................... 72 4.2.3 Elementos de tiempo en un sistema de pronósticos ................................................................................ 74 4.2.4 Características del proceso que se pronostica y recursos de computación ............................................. 75 4.2.5 Causas de imprecisión en los sistemas de pronósticos ........................................................................... 76 4.2.6 Indicadores de eficiencia de un sistema de pronósticos .......................................................................... 79 4.2.7 El sistema de pronósticos y la clasificación ABC .................................................................................. 83 4.3 ANÁLISIS DE DATOS HISTÓRICOS Y PATRONES DE DEMANDA ................................................ 84 Selección del sistema de pronósticos y simulación de pronósticos ........................................................................ 86 Ejercicios 4.1. ......................................................................................................................................................... 87 4.4 SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE PROMEDIO MÓVIL ...................................................................... 88 Estimación de la desviación estándar de los errores del pronóstico ....................................................................... 93 Ejercicios 4.2. ......................................................................................................................................................... 94 4.5 SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL SIMPLE ............................................................................................. 96 Selección de la constante de suavización  ............................................................................................................ 98 Inicialización de la suavización exponencial simple .............................................................................................. 98 Ejercicios 4.3. ....................................................................................................................................................... 103 4.6 SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DOBLE ............................................................................................ 106 Inicialización de la suavización exponencial doble .............................................................................................. 109 Ejercicios 4.4. ....................................................................................................................................................... 117 4.7 SISTEMAS DE PRONÓSTICOS PARA DEMANDA ESTACIONAL.................................................. 120 4.8 SISTEMAS DE PRONÓSTICOS PARA ÍTEMS CON DEMANDA ERRÁTICA, ÍTEMS NUEVOS Y OTROS TEMAS RELACIONADOS .................................................................................................................. 132 4.8.1 Demanda Errática ................................................................................................................................. 132 4.8.2 Pronósticos de demanda de ítems nuevos ............................................................................................. 137 4.8.3 Combinaciones de pronósticos ............................................................................................................. 138 Ejercicios 4.5. ....................................................................................................................................................... 139 4.9 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INVENTARIOS DE SEGURIDAD.......................................... 143 4.10 ERRORES SUAVIZADOS Y SEÑALES DE RASTREO ...................................................................... 150 4.10.1 Errores suavizados ................................................................................................................................ 150 4.10.2 Señales de rastreo ................................................................................................................................. 152 4.10.3 Identificación de datos atípicos de demanda (outliers)......................................................................... 153 Ejercicios 4.6. ....................................................................................................................................................... 157 Lecturas adicionales Capítulo 4 ............................................................................................................................ 162


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5. SISTEMAS DE CONTROL .......................................................................................................................... 163 DE INVENTARIOS ............................................................................................................................................. 163 5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 163 5.2 CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA CONSTANTE ......................................................... 164 El concepto del Costo Total Relevante (CTR) ..................................................................................................... 165 Gráficos y notación .............................................................................................................................................. 165 Derivación del tamaño óptimo de pedido ............................................................................................................. 166 Ejercicios 5.1 ........................................................................................................................................................ 169 5.3 TAMAÑO DE LOTE ECONÓMICO CON DESCUENTOS POR CANTIDADES DE COMPRA O PRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 172 5.4 TAMAÑO DE LOTE ÓPTIMO DE PRODUCCIÓN (EPQ) .................................................................. 178 Ejercicios 5.2 ........................................................................................................................................................ 180 5.5 CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA CONOCIDA VARIABLE CON EL TIEMPO ........ 182 5.5.1 La complejidad cuando la demanda es variable ................................................................................... 182 5.5.2 Supuestos básicos ................................................................................................................................. 183 5.5.3 Uso de la cantidad económica de pedido (EOQ) .................................................................................. 186 5.5.4 Otras variaciones del EOQ ................................................................................................................... 188 Utilizando el valor exacto dado por el EOQ ......................................................................................................... 188 Redondeando el EOQ a un número entero de períodos ........................................................................................ 188 5.5.5 Un modelo de programación matemática entera-mixta (Método exacto) ............................................. 190 Ejercicios 5.3 ........................................................................................................................................................ 194 Ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda determinística ........................................................................ 196 5.6 INTRODUCCIÓN A LA DEMANDA PROBABILÍSTICA ................................................................... 200 5.7 DEFINICIONES BÁSICAS ..................................................................................................................... 200 5.7.1 Definiciones acerca del nivel de inventario .......................................................................................... 200 5.7.2 Órdenes pendientes o ventas perdidas .................................................................................................. 201 5.7.3 Preguntas básicas para el control de inventarios................................................................................... 201 5.8 FORMAS DE REVISIÓN DEL NIVEL DE INVENTARIO .................................................................. 202 5.9 TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL .................................................................................................. 203 5.9.1 Sistema continuo (s, Q) ........................................................................................................................ 203 5.9.2 Sistema continuo (s, S) ......................................................................................................................... 204 5.9.3. Sistema periódico (R, S) ....................................................................................................................... 204 5.9.4 Sistema (R, s, S) .................................................................................................................................... 205 5.10 CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE INVENTARIOS DE SEGURIDAD PARA ÍTEMS INDIVIDUALES.................................................................................................................................................. 205 5.10.1 Inventario de seguridad basado en factores constantes ......................................................................... 206 5.10.2 Inventario de seguridad basado en el servicio al cliente ....................................................................... 207 5.11 EL SISTEMA DE CONTROL CONTINUO (s, Q) ................................................................................. 208 5.11.1 Supuestos básicos y notación ............................................................................................................... 209 5.11.2 Metodología general para determinar el punto de reorden s ................................................................. 211 5.11.3 Regla de decisión para un nivel de servicio P2 especificado ................................................................ 213 Faltantes convertidos totalmente en órdenes pendientes ...................................................................................... 214 Faltantes convertidos totalmente en ventas perdidas ............................................................................................ 214 5.11.4 Regla de decisión para una fracción especificada P1 de no-ocurrencia de faltantes por ciclo de reposición ............................................................................................................................................................. 215 Ecuaciones para calcular el Costo Total Relevante (CTR) ................................................................................... 215 Ejercicios 5.4 ........................................................................................................................................................ 220 5.12 EL SISTEMA DE CONTROL PERIÓDICO (R, S) ................................................................................. 222 5.13 TIEMPO DE REPOSICIÓN ALEATORIO ............................................................................................. 226 Ejercicios 5.5 ........................................................................................................................................................ 229 5.14 CONTROL DE ÍTEMS PERECEDEROS Y ESTACIONALES ......................................................... 232 5.14.1 El problema del vendedor de periódicos para un solo ítem no-restringido (caso discreto) .................. 232 5.14.2 El problema del vendedor de periódicos para un solo ítem no-restringido con demanda normal ........ 237 5.14.3 Doble marginalización y contratos de suministro en la cadena de abastecimiento............................... 241 Contrato de devolución......................................................................................................................................... 242 Ejercicios 5.6 ........................................................................................................................................................ 245

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Ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda probabilística......................................................................... 249 Lecturas adicionales Capítulo 5 ............................................................................................................................ 254

6. CONTROL CONJUNTO Y CONTROL DE INVENTARIOS EN CADENAS DE ABASTECIMIENTO .............................................................................................................................................................................. 256 6.1 GENERALIDADES SOBRE CONTROL CONJUNTO ......................................................................... 256 6.2 REABASTECIMIENTO CONJUNTO .................................................................................................... 257 6.2.1 Un sistema periódico de reabastecimiento conjunto ............................................................................. 257 6.2.2 Un sistema min-max de reabastecimiento conjunto .............................................................................. 260 6.3 CURVAS DE INTERCAMBIO PROBABILÍSTICAS ........................................................................... 261 Ejercicios 6.1 ........................................................................................................................................................ 267 6.4 INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE INVENTARIOS EN CADENAS DE ABASTECIMIENTO.... 268 6.5 MODELOS DE DEMANDA CONSTANTE........................................................................................... 269 6.6 LA COMPLEJIDAD DE LA DEMANDA ALEATORIA ...................................................................... 275 Control de inventarios en sistemas con una bodega y N puntos de venta ............................................................ 278 6.7 UN SISTEMA DE CONTROL TIPO PUSH ........................................................................................... 286 6.8 EL IMPACTO DE LA CONSOLIDACIÓN DE INVENTARIOS .......................................................... 289 6.9 OTROS SISTEMAS DE CONTROL DE INVENTARIOS ..................................................................... 292 Simulación de inventarios .................................................................................................................................... 293 Ejercicios 6.2 ........................................................................................................................................................ 294 Lecturas adicionales Capítulo 6 ............................................................................................................................ 299

7. SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO: INTRODUCCIÓN Y OPERACIONES ................................. 301 7.1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO ...................................................... 301 7.1.1. Misiones de un centro de distribución ........................................................................................................ 304 7.1.2. Unitarización de carga o definición de carga unitaria, manejo de materiales e identificación de productos .............................................................................................................................................................................. 307 7.2 OPERACIONES DENTRO DE UN CENTRO DE DISTRIBUCIÓN .................................................... 310 7.2.1. Operaciones de recepción y despacho ........................................................................................................ 312 7.2.2. Operaciones de almacenamiento ................................................................................................................ 313 7.2.3. Operaciones de recolección de órdenes o de picking.................................................................................. 317 Lecturas adicionales Capítulo 7 ............................................................................................................................ 331

8. TÉCNICAS CUANTITATIVAS EN SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO ....................................... 332 8.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 332 8.2 DISEÑO DEL TAMAÑO DEL CENTRO DE DISTRIBUCIÓN ........................................................... 333 8.3 CONFIGURACIÓN INTERNA DE UN CD ........................................................................................... 337 8.4 DISEÑO DE PUERTAS DE CARGUE Y DESCARGUE (MUELLES) ................................................ 341 8.5 LOCALIZACIÓN DE PRODUCTOS DENTRO DE UN CD ................................................................. 342 Ejercicios 8.1 ........................................................................................................................................................ 347 Lecturas adicionales Capítulo 8 ............................................................................................................................ 350

9. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE TRANSPORTE DE CARGA .............................................. 351 9.1 GENERALIDADES E IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE TRANSPORTE DE CARGA ........ 351 9.2 TIPOS DE SISTEMAS DE TRANSPORTE............................................................................................ 353 9.3 LOS DIVERSOS MODOS DE TRANSPORTE ...................................................................................... 359 9.3.1. Modo de transporte terrestre por carretera .................................................................................................. 363 9.3.2. Modo de transporte férreo o por ferrocarril ................................................................................................ 372


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9.3.3. Modo de transporte marítimo ..................................................................................................................... 374 9.3.4. Modo fluvial de transporte ......................................................................................................................... 378 9.3.5. Modo aéreo ................................................................................................................................................. 379 9.4 PRINCIPALES INDICADORES DE EFICIENCIA EN TRANSPORTE ............................................... 381 9.4.1. Principales tasas en transporte .................................................................................................................... 382 9.4.2. Indicadores financieros en transporte ......................................................................................................... 382 9.4.3. Indicadores de productividad en transporte ................................................................................................ 386 9.4.4. Indicadores de tiempo ................................................................................................................................. 387 9.4.5. Indicadores de calidad ................................................................................................................................ 388 9.4.6. Otros indicadores de transporte .................................................................................................................. 389 9.5 FUTURO Y MEGATENDENCIAS EN TRANSPORTE ........................................................................ 390 Lecturas adicionales Capítulo 9 ............................................................................................................................ 391

10. MODELOS CUANTITATIVOS EN SISTEMAS DE TRANSPORTE DE CARGA ............................ 392 10.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 392 10.2 LA SELECCIÓN DEL MODO DE TRANSPORTE ........................................................................... 392 Ejercicios 10.1 ...................................................................................................................................................... 397 10.3 LA SELECCIÓN DEL TRANSPORTADOR ...................................................................................... 398 10.4 EL PROBLEMA DEL RUTEO DE VEHÍCULOS .............................................................................. 407 10.4.1. El problema de la ruta más corta .............................................................................................................. 408 10.4.2. El problema del viajero de negocios ......................................................................................................... 414 10.4.3. El problema del ruteo de vehículos (VRP) ....................................................................................... 420 Ejercicios 10.2 ...................................................................................................................................................... 438 Lecturas adicionales Capítulo 10 ...................................................................................................................... 440

11.

INTRODUCCIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO REGIONALES 441 11.1 ELEMENTOS BÁSICOS PARA LA PLANEACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO (CA) .................................................................................................................................. 441 11.2 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE LOCALIZACIÓN ....................................................... 448 11.3 OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO REGIONALES ....................................... 451 11.3.1 Modelos de localización continua ........................................................................................................ 451 11.3.2 Modelos de localización discreta .......................................................................................................... 464 El modelo matemático paso a paso....................................................................................................................... 469 • Función objetivo: .......................................................................................................................................... 470 • Restricciones: ............................................................................................................................................... 470  Capacidad de proveedores: ........................................................................................................................... 470  Capacidad de bodegas (ilimitada para decidir capacidad): ........................................................................... 471  Satisfacción de demanda de cada cliente: ..................................................................................................... 471  Balance de productos en bodegas: ................................................................................................................ 472  Número de bodegas a abrir: .......................................................................................................................... 473  Restricciones obvias: .................................................................................................................................... 474 11.3.3. Programas especializados de solución .................................................................................................. 477 Ejercicios 11.1 ...................................................................................................................................................... 494 Lecturas adicionales Capítulo 11 .......................................................................................................................... 497

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12. OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES Y TEMAS AVANZADOS ..................................................................................................................................................... 498 12.1 ELEMENTOS BÁSICOS PARA LA PLANEACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES ..................................................................................................... 498 12.2 INFORMACIÓN NECESARIA PARA OPTIMIZAR CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES ......................................................................................................................................... 500 Ejercicios 12.1 ...................................................................................................................................................... 521 12.3 EL PROBLEMA DE LOS PRECIOS DE TRANSFERENCIA EN CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES ..................................................................................................... 527 12.3.1 Introducción al tema ............................................................................................................................. 527 12.3.2 Definición del problema de precios de transferencia ............................................................................ 528 12.3.3 Un caso más general de precios de transferencia .................................................................................. 532 12.3.4 La consideración explícita de los costos de transporte ......................................................................... 537 12.4 FORMULACIÓN DE MODELOS REALES Y DESCRIPCIÓN DE ALGUNOS CASOS APLICADOS ....................................................................................................................................................... 541 12.4.1 Un modelo de optimización de una cadena global con precios de transferencia y asignación de costos de transporte (tema opcional) ............................................................................................................................... 541 12.4.2 Aplicación real No. 1: Determinando la mejor localización de una nueva planta manufacturera en la Región Andina ...................................................................................................................................................... 569 12.4.3 Aplicación real No. 2: Determinando la mejor localización de un nuevo almacén en Centro América576 Ejercicios 12.2 ...................................................................................................................................................... 578 Lecturas adicionales Capítulo 12 .......................................................................................................................... 586

APÉNDICE A: La Distribución Normal ......................................................................................................... 587 La distribución normal unitaria y sus propiedades ............................................................................................... 587 Funciones en Excel™ para la distribución normal ............................................................................................... 588 Tablas de las principales funciones de la distribución normal unitaria ................................................................ 589 APÉNDICE B: Resumen sobre pronósticos de demanda independiente ...................................................... 598 APÉNDICE C: Páginas web de interés en logística y cadenas de abastecimiento ........................................ 605

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................ 608

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Prefacio

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PREFACIO Motivación y objetivos Este texto se ha ideado como una herramienta básica para cursos de Logística Industrial a nivel de pregrado y de Sistemas de Transporte y Redes de Abastecimiento a nivel de postgrado y para temas selectos en cursos de Investigación de Operaciones. El texto brinda una introducción a las principales técnicas cualitativas y cuantitativas para la planeación, administración y optimización de cadenas de abastecimiento. Se ha escrito con base en la más actualizada bibliografía relacionada con el tema y con base en las experiencias propias del autor en este campo. Se han consultado los principales textos clásicos de Logística y de Cadenas de Abastecimiento específicamente y muchos artículos científicos actualizados a la fecha. De algunos de ellos se han adaptado y extractado varios conceptos, en todos los casos citando la fuente original en forma detallada. Actualmente, los tópicos sobre cadenas de abastecimiento son demasiado amplios como para que se ajusten a un solo texto de longitud limitada. Por ejemplo, el transporte, el almacenamiento, los inventarios y el diseño de cadenas de abastecimiento han llegado a tal grado de desarrollo que pueden ser objeto de profundización y dan cabida a un libro completo cada uno. No pretendemos, por lo tanto, ser exhaustivos en tema alguno: Este texto cubre los aspectos fundamentales de cada uno de los temas que presenta. Se hace especial énfasis en los modelos matemáticos y en las técnicas cuantitativas relacionadas con cada uno de los tópicos y se privilegia el diseño y la aplicación de hojas electrónicas como una herramienta de optimización. En gestión y control de inventarios, se destaca fundamentalmente el tema de pronósticos de demanda independiente. Se hace énfasis igualmente en la necesidad de considerar la variabilidad de la demanda y de los tiempos de reposición en cualquier sistema de control adecuado, aspecto que se ignora en la gran mayoría de las empresas de nuestro medio y muchas veces a nivel internacional. Igualmente, se resalta la importancia de los temas de administración de inventarios, del papel de las tecnologías de información en la cadena de abastecimiento y de la interrelación entre los componentes de la misma, como elementos primordiales para el manejo integral de los inventarios en cualquier organización. El tema de almacenamiento se fundamenta en los principios básicos que deben seguir cada una de las operaciones en un centro de distribución (CD). Se brindan igualmente varias técnicas cuantitativas para el diseño y operación de dichos sistemas. Con respecto de los sistemas de transporte, se presentan los conceptos básicos y las características de cada modo, con énfasis en la situación actual de Colombia. Además, se privilegian los modelos matemáticos para la solución de los problemas de selección de modo y transportador, diseño de redes y el problema de ruteo de vehículos. Finalmente, en relación con el tema de optimización de cadenas de abastecimiento, se presentan los modelos matemáticos en forma gradual, desde las aplicaciones más simples a nivel regional hasta los modelos más complejos a nivel global, los cuales consideran aspectos complicantes como la determinación de precios de transferencia óptimos.


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Nivel matemático y uso del computador Cualquier estudiante que haya tomado al menos un curso básico de investigación de operaciones o de optimización (programación lineal y modelos de redes), probabilidad y estadística y de cálculo está en capacidad de asimilar todos los temas de este texto. El tratamiento matemático se limita al meramente necesario para la comprensión y fundamento de cada tema; se prefiere destacar la utilización de cada concepto y sus posibilidades de aplicación real. Se requiere por otra parte un cierto grado de manejo de hojas electrónicas para el máximo aprovechamiento de todos los temas.

Contenido Este texto presenta inicialmente en los Capítulos 1 y 2 una introducción general al tema de cadenas de abastecimiento y logística. En estos capítulos se dan las definiciones básicas, se resalta la importancia que tiene la cadena de abastecimiento y la logística, se describen los principales elementos de la cadena y se aborda el tema de indicadores de desempeño para toda la cadena. En los Capítulos 3 a 6 se trata el tema de pronósticos de demanda y gestión y control de inventarios. El Capítulo 3 contiene la introducción a los temas de inventarios y se da el fundamento sobre los elementos más importantes a considerar para un correcto control. En el Capítulo 4 se presenta un amplio contenido sobre pronósticos de demanda, aspecto fundamental e ineludible para el correcto control de los inventarios. Se incluyen aquí detalles sobre métodos auto-adaptivos, pronósticos de demanda errática, pronósticos combinados y pronósticos de ítems nuevos, los cuales no son muy tratados en los textos tradicionales de logística y cadenas de abastecimiento. Se incluye igualmente la introducción para el cálculo de inventarios de seguridad y los temas de errores suavizados y señales de rastreo. En el Apéndice B se presenta un resumen sobre este capítulo, el cual puede ser utilizado como una rápida referencia hacia todos los temas de pronósticos de demanda. El Capítulo 5 se concentra en los temas de control de inventarios con todos los posibles casos de demanda, a saber: Demanda constante, demanda determinística variable con el tiempo, demanda probabilística y demanda probabilística con tiempos de reposición aleatorios. Se presentan aquí los principales sistemas de control continuo y periódico. Es en este capítulo donde se explica la íntima relación que existe entre el sistema de pronósticos y el sistema de control, enmarcados dentro del sistema administrativo y de información de la empresa, aspecto que muchas veces no se reconoce en nuestro medio. Se incluye finalmente en este capítulo las bases para el control de inventarios de ítems perecederos y de moda y una introducción al tema de los contratos de aprovisionamiento en la cadena de abastecimiento. En el Capítulo 6, se describen los principales métodos de control conjunto de ítems, incluyendo el tema de reabastecimiento conjunto y de curvas de intercambio probabilísticas. Aquí se ilustra el hecho que se puede llegar a mejorar el nivel de servicio con menor inversión de capital en inventarios. La parte final de este capítulo se dedica a los principales aspectos sobre control de inventarios en la cadena de abastecimiento, destacándose su gran complejidad, incluso si la demanda fuese constante. Se da aquí un especial tratamiento al problema de control de inventarios en cadenas de abastecimiento con una bodega y N puntos de venta, con base en casos reales en los que el autor ha participado. Se incluye finalmente un


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análisis sobre consolidación de inventarios y una introducción a la simulación de sistemas de inventario. Los Capítulos 7 y 8 contienen los fundamentos de los sistemas de almacenamiento. En el Capítulo 7 se introduce el tema y se presentan las principales operaciones que pueden ocurrir al interior de un CD o bodega. Se describen los principales principios y sugerencias que deberían gobernar cada una de las operaciones, como son recepción y despacho, almacenamiento propiamente dicho y recolección de órdenes (picking), entre otros. El Capítulo 8 se dedica a técnicas cuantitativas seleccionadas para la planeación y operación de los sistemas de almacenamiento. Se incluyen el diseño del tamaño del CD, la configuración interna de un CD, el cálculo del número de muelles y la localización de productos dentro del CD. Los Capítulos 9 y 10 se dedican a los sistemas de transporte de carga. En el Capítulo 9 se da una introducción general al tema, incluyendo el transporte internacional de carga. Se presentan aquí las principales características de todos los modos de transporte y los indicadores de eficiencia en transporte. El Capítulo 10 se concentra en las técnicas cuantitativas para la planeación del transporte, incluyendo la selección del modo, la selección de transportadores mediante técnicas multi-criterio, el diseño de redes y el problema del ruteo de vehículos. Los Capítulos 11 y 12 se dedican a los modelos matemáticos para el diseño y la optimización de cadenas de abastecimiento. Aquí se integran la mayoría de los conceptos tratados anteriormente. El Capítulo 11 inicia con las bases y los modelos más simples, todos a nivel regional y el Capítulo 12 se concentra en la optimización de cadenas de abastecimiento internacionales, incluyendo temas complejos como los precios de transferencia, el cual es muy escasamente tratado en los textos de logística. En este capítulo se destacan y describen las aplicaciones reales, se explican los programas y el software que se puede utilizar libremente por Internet para resolver problemas reales y se dan las más actualizadas referencias de profundización. De cada uno de los temas anteriores, se ha diseñado un número adecuado de ejemplos resueltos y de ejercicios propuestos para el desarrollo por parte de los estudiantes, extractados en buena parte de las experiencias propias del autor en el área. Varios capítulos contienen al final ejercicios adicionales y de repaso, algunos con un grado de dificultad mayor que el promedio y otros en forma de caso de estudio. Todos los capítulos contienen un listado de lecturas adicionales comentadas, las cuales están disponibles para consulta y profundización por parte de los estudiantes. La bibliografía general al final del documento está comentada en gran parte y contiene algunas referencias adicionales de consulta. Se hace referencia a páginas web clave que contienen información adicional confiable sobre la mayoría de los temas tratados en el texto.

Uso del inglés Por dos motivos principales, a lo largo del texto se resaltan y definen los más importantes términos en inglés relacionados con cada tema. Primero, en nuestro medio se utilizan muchos de estos términos en el lenguaje tradicional de las personas que trabajamos en el área de logística y de gestión y optimización de la cadena de abastecimiento. Por ejemplo, los términos Lead Time y SKU son de uso común, aunque en el texto nos refiramos a ellos principalmente como ‗tiempo de reposición‘ e ‗ítem‘, respectivamente. Segundo, una gran

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parte de la bibliografía disponible y la gran mayoría de los artículos científicos están escritos en inglés y, por lo tanto, es recomendable que el estudiante se familiarice con los principales términos logísticos en este idioma. Es así como por ejemplo el término Economic Order Quantity (EOQ), es decir, el ‗tamaño económico de pedido‘, es universalmente conocido por todas las personas que se desempeñan en esta área y por ello se prefirió en este caso conservarlo, en lugar de definir otro término en español que pudiera causar confusión.

Agradecimientos Se agradece sinceramente a todas las personas que han contribuido de una u otra forma con la realización de este texto, especialmente a aquéllos profesores y estudiantes a quienes les he dirigido su proyecto de grado de pregrado o postgrado en temas relacionados con los del texto. Igualmente, mis mayores agradecimientos para las empresas con las que hemos desarrollado proyectos en el área de gestión y control de inventarios por su invaluable aporte para las experiencias adquiridas por el autor en esta área, las cuales se han podido transmitir por medio de artículos científicos, mediante la labor docente en el aula de clase, a través de la dirección y asesoría de proyectos de grado y ahora, en su gran mayoría, se encuentran plasmadas en este texto. A todos los lectores les agradezco cualquier sugerencia u observación de cualquier tipo y la identificación de posibles errores a lo largo de esta publicación para mejorarla y actualizarla en ediciones posteriores.

Carlos Julio Vidal Holguín, Ph.D. Septiembre de 2009 [email protected]

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 1: Introducción a la planeación y administración de cadenas de abastecimiento

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1. INTRODUCCIÓN A LA PLANEACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO Esta primera parte del texto (Capítulos 1 y 2) presenta la introducción a las cadenas de abastecimiento y la logística. Se dan las definiciones fundamentales y las principales características de estos sistemas, tales como la importancia y los objetivos de la logística y de las cadenas de abastecimiento; los principales elementos de una cadena de abastecimiento y la descripción de las estrategias de planeación, optimización y administración en logística y cadenas de suministro. Específicamente, este capítulo contiene, entre otros temas posibles, los siguientes:  Definición de logística y de administración de la cadena de abastecimiento.  Los diferentes flujos en una cadena de suministro: Flujos de productos, flujo de información y flujo de dinero.  Importancia de la logística a nivel internacional y nacional.  La importancia y naturaleza de la logística y las cadenas de abastecimiento  Los niveles de planeación en la cadena de abastecimiento.  El concepto del ajuste estratégico de la cadena de suministro.

1.1

INTRODUCCIÓN A LA LOGÍSTICA Y LAS CADENAS DE ABASTECIMIENTO

Cada día, los temas de logística y de cadenas de abastecimiento adquieren mayor importancia para todas las empresas, las diversas regiones y para el país entero. Una cadena de abastecimiento o de suministro (utilizaremos estos dos términos como sinónimos) se puede entender como el conjunto de todas actividades y operaciones necesarias para satisfacer las necesidades de los clientes, tanto en sistemas de servicio como en sistemas comerciales o productivos. Una de las organizaciones más importantes a nivel mundial sobre administración de cadenas de abastecimiento, el Council of Supply Chain Management Professionals (CSCMP), presentó inicialmente en Chicago en 2003 la siguiente definición de Administración de la Cadena de Abastecimiento (Supply Chain Management ó SCM), y a la cual, por comodidad, seguiremos llamando SCM: ―La administración de la cadena de suministro (Supply Chain Management ó SCM) comprende la planeación y administración de todas las actividades de adquisiciones y compras, conversión, y de administración de Logística. Incluye también la coordinación y colaboración entre canales, los cuales

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pueden ser proveedores, intermediarios, proveedores de logística y clientes. En esencia, SCM integra las actividades de suministro y demanda dentro de y entre las compañías. SCM es una función integradora con responsabilidades primarias para ligar funciones mayores y procesos de negocios dentro de y entre las compañías hacia un modelo de negocios cohesivo y de alto desempeño. SCM incluye todas las actividades de administración de logística mencionadas arriba, al igual que las operaciones de manufactura, y lidera la coordinación de los procesos y actividades con y a lo largo de mercadeo, ventas, diseño de productos, finanzas y tecnología de información.‖

Esta definición puede encontrarse públicamente en http://cscmp.org/digital/glossary/glossary.asp. En ella, primero debe notarse que se utilizan las palabras ‗planeación‘ y ‗administración‘ y como tal siempre debemos considerar ambas funciones como primordiales dentro de la cadena de abastecimiento. No basta con planear bien si no se hace buena gestión de la cadena; tampoco es satisfactorio hacer una gran gestión sin una correcta planeación de la cadena de suministro. Ambos conceptos se tendrán en cuenta en este texto, obviamente con mayor énfasis hacia uno u otro, dependiendo del tema en particular. Por otra parte, nótese que la definición incluye las operaciones de conversión (producción o manufactura) y las de logística. Yo pienso que actualmente es muy difícil separar estas dos funciones, ya que las dos se influencian recíprocamente. La definición incluye también la coordinación y colaboración entre todos los canales o actores de la cadena, como son los proveedores, operadores logísticos, intermediarios y clientes. Es decir, que integra todas las funciones de estos elementos dentro de la cadena y además lo hace en relación con todas las funciones de logística, manufactura, mercadeo y ventas, diseño de productos, finanzas y tecnología de información. Dado que la administración de logística, de acuerdo con la definición anterior, es una parte fundamental de SCM, conviene dar también su definición con base en el CSCMP (Igualmente traducida de http://cscmp.org/digital/glossary/glossary.asp ): ―La administración de Logística es aquélla parte de SCM que planea, implementa y controla eficiente y efectivamente el flujo normal y en reversa y el almacenamiento de bienes, servicios y su información relacionada, entre el punto de origen y el punto de consumo con el objeto de satisfacer los requerimientos del cliente. Las actividades de logística típicamente incluyen la administración del transporte de entrada y salida, la gestión de flota, almacenamiento, manejo de materiales, satisfacción de órdenes, diseño de redes, gestión de inventarios, planeación de suministro y demanda y la administración de operadores y terceros que proveen servicios de logística. Hasta cierto punto, la logística incluye el aprovisionamiento, la planeación y programación de producción, el ensamble y las operaciones de empaque y el servicio al cliente. La logística está relacionada con todos los niveles de planeación y ejecución estratégica, operacional y táctica. La administración de logística es una función integradora que coordina y optimiza todas las actividades de logística y las integra con otras funciones, incluyendo mercadeo, ventas, manufactura, finanzas y tecnologías de información. ‖

Una cadena de abastecimiento típica se muestra en la Figura 1.1. Inicialmente, tenemos a los proveedores de materias primas, componentes, subensambles, insumos, etc., quienes, a través de un sistema de transporte, envían estos productos al sistema de manufactura de la empresa, constituído por plantas manufactureras. Los productos que salen de estas plantas son enviados por el sistema de transporte al sistema de distribución, para finalmente llegar donde los clientes. Tanto el sistema de producción como el sistema de distribución pueden comprender varias etapas, especialmente el último donde se pueden identificar centros de distribución, bodegas, distribuidores mayoristas y distribuidores minoristas, entre otros, hasta llegar a los puntos de venta o detallistas y así al consumidor final.


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Una parte fundamental de la cadena de abastecimiento es la relacionada con la logística de reversa, inversa o reversiva (sinónimos). Estas actividades comprenden todo lo relacionado con la recolección de productos defectuosos, con errores de despacho, dañados o devueltos por el cliente por cualquier motivo y también el flujo inverso de productos y empaques que han cumplido su ciclo de vida y que podrían ser utilizados de nuevo en alguna parte de la cadena de suministro (operaciones de reciclaje o reciclado de productos, empaques y recipientes). La logística reversiva ha transformado las cadenas de abastecimiento en cadenas de ciclo cerrado, lo que se conoce como closed-loop supply chains.

Flujo de información y productos Flujo de dinero País 1

P R O V E E D O R E S

País 3

País 2 PLANTAS

DISTRIBUCIÓN

C L I E N T E S

Logística reversiva

Figura 1.1. Una cadena de abastecimiento típica En una cadena de suministro se identifican tres flujos principales:  El flujo de productos  El flujo de información  El flujo de dinero El flujo de productos ocurre en ambas direcciones y se compone de todas las materias primas, componentes, subensambles, productos terminados y los productos y empaques de flujo en reversa. El flujo de información es fundamental en la cadena y comprende toda la información necesaria para planear y ejecutar todas las operaciones y actividades dentro de la cadena. Este flujo ocurre también en ambos sentidos. Por ejemplo, una planta puede estar interesada en conocer el estado del inventario de cierto producto en el centro de distribución (CD) para poder programar la producción convenientemente. A su vez, el CD puede necesitar información de la planta sobre las fechas de despacho de ciertos productos que ya han sido solicitados. El flujo de dinero generalmente ocurre de derecha a izquierda en la cadena, ya

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que es mediante el cliente donde se recupera todo lo invertido hasta allí para lograr que el producto le llegue a satisfacción desde todo punto de vista. Una cadena de abastecimiento exitosa logra hacer que el cliente esté dispuesto a pagar un poco más por el producto que lo que se invirtió en llevarlo hasta sus manos. Otro aspecto fundamental en cualquier cadena de suministro es el hecho que puede estar limitada a un solo país (cadena de abastecimiento regional) o puede tener operaciones en varios países (cadena de abastecimiento internacional o global). Actualmente, es difícil encontrar una cadena que sea puramente regional porque al menos importa algunos insumos o porque exporta parte de los productos que produce. En un país específico, una cadena global puede tener operaciones de aprovisionamiento, producción, distribución y/o ventas o una combinación de éstas. Por ejemplo, algunos laboratorios farmacéuticos tienen plantas productoras y distribución en Colombia, mientras que otros sólo realizan distribución de productos importados de otros países dado que no hay producción en Colombia. Una cadena de abastecimiento no necesariamente comprende todas las etapas que se muestran en la Figura 1.1. Por ejemplo, una cadena comercial no tiene plantas productoras, sino que se abastece de múltiples productores, quienes, por supuesto, sí pueden tener plantas y a su vez se abastecen de otros proveedores de materias primas, constituyéndose así otra cadena de suministro ligada a la primera. Existen cadenas que no tienen bodegas o sistemas de almacenamiento de productos terminados, sino que despachan directamente sus productos desde sus plantas a los clientes. Dell Computer es un ejemplo de este tipo de cadenas, pues una persona puede ingresar a su página (www.dell.com), armar un computador, pagarlo y recibirlo en la puerta de su casa, enviado directamente desde las plantas de la empresa a través de sistemas de transporte de paqueteo. Otras cadenas pueden comprender varias etapas de producción, como por ejemplo, en el caso del papel higiénico, donde primero se producen grandes rollos o bobinas de papel en grandes plantas (molinos de papel) y posteriormente estos rollos se envían a plantas convertidoras donde se les da la forma final como producto terminado. Las plantas convertidoras pueden estar ubicadas dentro del mismo molino de papel o pueden localizarse incluso en otros países a donde se exportan las bobinas. Los sistemas de servicio, como las cooperativas, los bancos y los hospitales también tienen estructuras de cadena de abastecimiento que incluso puede llegar a ser tanto o más complicadas que las de organizaciones manufactureras. Por ejemplo, podemos hablar de la logística de manejo de los cajeros electrónicos de un banco, donde el proveedor principal de dinero y otros elementos puede ser el Banco de La República; las instalaciones son los bancos propiamente dichos, quienes a través de un sistema de transporte de vehículos de valores surten de dinero a los detallistas (cajeros electrónicos), donde finalmente el cliente ‗adquiere‘ el dinero. O los diversos procesos que se dan en un hospital, donde son fundamentales las actividades relacionadas con inventarios de medicamentos e insumos de todo tipo y donde, por ejemplo, las operaciones del manejo de los donantes, producción, almacenamiento y gestión y control de los inventarios de los productos de la sangre son unos de los problemas más complejos que podemos encontrar en logística [para una descripción muy interesante sobre el problema de los bancos de sangre puede consultarse a Ballou (2004, pp. 412-423)]. La dinámica actual de las cadenas de abastecimiento hace que existan verdaderas ‗redes de abastecimiento‘ en lugar de simples cadenas. Por ejemplo, la Figura 1.2 muestra una posible red de suministro de un fabricante de detergentes. Este productor puede tener relación con múltiples cadenas de suministro, como pueden ser fabricantes de productos químicos, fabricantes de empaques, etc., quienes a su vez tienen sus propias cadenas y así sucesivamente hasta llegar inclusive a las cadenas primarias de recursos naturales, como la industria


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maderera. En nuestro medio, el ejemplo clásico lo tenemos en los ingenios azucareros. Un ingenio es una cadena de abastecimiento que interactúa con múltiples cadenas de productores de dulces, gaseosas, productos químicos, alcohol carburante, etc. Un análisis integrado de este tipo de cadenas es un apasionante tema de logística. UN CLIENTE QUIERE COMPRAR UNA BOLSA DE DETERGENTE Y VA AL SUPERMERCADO

Productor de detergentes

Centro de distribución

Supermercado

Productor de plásticos

Fabricante de empaques

Productor de químicos

Productor de químicos

Fabricante de papel

Industria maderera

Figura 1.2. Una red de abastecimiento (la cadena de suministro del productor de detergentes está íntimamente ligada con otras cadenas de abastecimiento) Una definición clásica de logística la da Ballou (2004, p. 6) al afirmar que la misión de la logística es proveer los productos o servicios correctos, en el lugar correcto, en el momento adecuado, en la condición deseada, contribuyendo simultáneamente con la máxima utilidad para la empresa. Obsérvese primero que, en contraste con la definición del CSCMP, no se habla aquí de los requerimientos del cliente. Sin embargo, es fácil suponer que si se satisfacen los requerimientos del cliente adecuadamente, se producirá la máxima utilidad para la empresa. Tal vez lo contrario puede no ser cierto en algunos casos. La definición de Ballou apunta a que la logística debe ser completa: nada puede fallar. Si llegamos con el producto errado al lugar correcto en el instante adecuado, la logística no ha cumplido la misión. Igualmente, si llegamos con el producto adecuado al lugar correcto, pero tarde, tampoco habremos cumplido. Fallaremos también si llegamos con el producto correcto en el instante adecuado pero en el lugar errado, o si estamos en el lugar correcto, en el instante adecuado con el producto solicitado, pero dañado por causa del transporte. Desde este punto de vista, la logística tiene que ser exhaustiva y completa: nada puede fallar. Así, podemos decir que la logística añade valor medido en tiempo y lugar: No es lo mismo tener el producto en Hong Kong que tenerlo en Cali, ni es lo mismo tenerlo en Cali hoy a las 8 am que mañana a las 6 pm. Con base en todo lo anterior, la Figura 1.3 muestra un resumen sobre los aspectos principales de la logística: La localización, las redes y el transporte, los inventarios, el almacenamiento, los suministros. Todos estos componentes están orientados a satisfacer el

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servicio al cliente y, como la figura lo sugiere, todos están interconectados de tal forma que cualquier decisión que se tome en uno de ellos puede afectar a los demás y viceversa. Así, es primordial en todo momento tener una visión integral de la logística y de la cadena de abastecimiento. Podemos concluir entonces, de la Figura 1.4, que en logística se necesita tener una planeación integral de todos los componentes o procesos que la conforman, para generar la estrategia de logística, a través de cuatro elementos fundamentales: Los procesos propiamente dichos, los indicadores de desempeño, la infraestructura y la organización. Servicio al Cliente

Almacenamiento

Localización, Redes y Transporte

Inventarios

Suministros

Figura 1.3. La integralidad de la logística

4 Elementos

5 Procesos 1 Estrategia

Figura 1.4. La planeación integral en logística Los procesos de logística y SCM son la principal razón de ser de este texto y por ello el resto del mismo se dedica a estudiar con cierto detalle la mayoría de ellos. Los indicadores de desempeño son un elemento fundamental para poder medir lo que se hace en logística y poder


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tomar las decisiones correspondientes en cada proceso. Profundizaremos en este último tema en el Capítulo 2. La infraestructura, compuesta por todos los elementos donde se desenvuelve la logística, tales como carreteras, puertos, aeropuertos, instalaciones (plantas, centros de distribución, bodegas, etc.), flotas de transporte, equipos de toda índole, sistemas de información, etc., es fundamental para el desarrollo de cualquiera de las actividades de la logística. Y la organización en logística es la forma como las empresas y los gobiernos se estructuran para poder llevar a cabo las actividades en las diversas cadenas de abastecimiento. Todos los elementos anteriores deben conformar un cuerpo sólido y consistente para que las operaciones de la cadena de abastecimiento y de la logística cumplan con sus objetivos. De acuerdo con Bowersox et al. (2007, pp. 254-255), una técnica que puede ser de mucha ayuda para el correcto diseño, planeación, administración y control de una cadena de abastecimiento y de las actividades de logística es el Enfoque de Sistemas. Esta es una metodología analítica que busca la total integración de todos los componentes de un sistema y su entorno, esencial para lograr los objetivos propuestos. En el caso que nos ocupa, trata de integrar todas las funciones de la cadena de abastecimiento y de logística, o sea procesamiento de órdenes, suministros, inventarios, transporte, almacenamiento, manejo de materiales y empaque, diseño de redes, manejo de órdenes y servicio al cliente, entre todos los participantes de la cadena. De esta forma, la técnica del enfoque de sistemas busca sinergias entre los componentes para producir un mejor efecto de conjunto que el que se puede generar con cada uno de los componentes aisladamente. Incluso, en algunas ocasiones, algunos componentes del sistema se sacrifican para mejorar los resultados del mismo en forma integrada. El enfoque de sistemas utiliza frecuentemente modelos como herramientas de ayuda para la toma de decisiones. Un modelo, como abstracción de la realidad, debe involucrar los elementos fundamentales de un sistema para que tenga validez y pueda ser utilizado. De esta forma, un modelo debe agregar valor al proceso decisorio y ser capaz de producir los resultados y las soluciones deseadas en tiempos razonables con relación a la decisión que está por tomarse. Por ejemplo, si para diseñar las rutas de los camiones que van a salir de un centro de distribución utilizamos algún modelo matemático de ruteo que tarde varias horas en encontrar buenas soluciones, dicho modelo sería inútil porque los camiones tienen que salir en unos minutos. En contraste, si usamos modelos para el diseño de redes y optimización de cadenas de abastecimiento completas, para estas decisiones estratégicas los tiempos de solución de los modelos pueden ser mayores, ya que la implementación de las soluciones tiene plazos mucho más largos. Dentro de los modelos que estudiaremos en este texto, están los de optimización de cadenas de abastecimiento. Generalmente, son modelos de programación matemática, lineal, no-lineal, entera-mixta o algunos más especializados, que reflejan los problemas de diseño de la cadena de abastecimiento y producen soluciones para la localización de plantas y centros de distribución y los flujos de materias primas y productos correspondientes. La aplicación de este tipo de modelos es muy útil para el diseño de las cadenas y cada vez tiende a tener más acogida. Shapiro (2004, p. 1), por ejemplo, expresa que ―los modelos de optimización son herramientas necesarias y deseables para identificar decisiones efectivas en la cadena de abastecimiento. Son las únicas herramientas capaces de analizar las complejas interacciones de las decisiones tomadas a lo largo de la cadena de abastecimiento de la compañía de una forma holística.‖

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De la definición de Shapiro llama la atención dos cosas. La primera es que habla de ‗herramientas necesarias‘ para la toma de decisiones en la cadena de abastecimiento. La segunda es que el profesor Shapiro pertenece a la Escuela de Administración del MIT y no a una escuela de ingeniería! Nosotros, los ingenieros, estamos por lo tanto llamados a hacer un mayor uso y extender las aplicaciones de los modelos matemáticos de optimización.

1.2

IMPORTANCIA Y NATURALEZA DE LA LOGÍSTICA Y SCM

La logística y SCM son fundamentales para la economía y la competitividad de un país. Por ejemplo, de acuerdo con Wilson (2008), los costos totales de logística han representado entre un 9.5% y un 10.1% del PNB de Estados Unidos entre 2005 y 2007. En 2008, según Wilson (2009), estos costos decrecieron al 9.4% del PNB. Indudablemente, esto representa una cantidad inmensa de dinero. En países como Colombia y Brasil, esta cifra puede ser superior porcentualmente y podría ubicarse entre un 15% y un 20% del PNB [Bowersox et al. (2007)]. De acuerdo con Ballou (2004, p. 14), los costos totales de logística pueden variar entre un 4% a más de un 30% de las ventas para organizaciones de diferentes sectores, convirtiéndose en el segundo costo más importante después del costo de los productos vendidos (compra ó producción). Dentro de los costos de logística, el transporte ocupa el primer lugar, ya que puede representar entre un tercio y dos tercios de los costos totales de logística. En Estados Unidos, por ejemplo, en 2008 los costos de transporte representaron el 65.6% de los costos totales de logística [Wilson (2009)]. La Figura 1.5 ilustra los costos totales de logística y los costos de transporte en Estados Unidos entre 1980 y 2005. La tendencia creciente de ambos costos a lo largo del tiempo son un medidor de su importancia para la economía y competitividad del país.

COSTOS TOTALES DE LOGÍSTICA Y COSTOS DE TRANSPORTE (USA) Costos de Transporte

Costos Totales de Logística

COSTOS (Billones de Dólares)

1600

1400 1200 1000

800 600 400 200

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

0

Figura 1.5. Costos totales de logística y costos de transporte en Estados Unidos (1980-2008) [Fuente: Desarrollada con base en los datos de Wilson (2008, 2009)]


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La Figura 1.6 muestra la relación entre los costos de mantenimiento del inventario y los costos totales de logística en Estados Unidos, entre 1985 y 2008. Es interesante la tendencia decreciente que presentan estos costos como porcentaje de los costos totales de logística, lo que puede evidenciar un mejor manejo y control de los inventarios y un avance en tecnologías de información y planeación de inventarios, simultáneamente con un aumento de la participación de los costos de transporte a lo largo de la historia.

COSTOS DE MANTENIMIENTO DEL INVENTARIO / COSTOS TOTALES DE LOGÍSTICA (USA) 50% 45%

PORCENTAJE

40% 35% 30% 25%

20% 15% 10% 5%

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

1995

1994

1993

1992

1991

1990

1989

1988

1987

1986

1985

0%

Figura 1.6. Costos de mantenimiento del inventario en relación con los costos totales de logística en Estados Unidos (1985-2008) [Fuente: Desarrollada con base en los datos de Wilson (2008, 2009)]

Figura 1.7. Relación de la logística con las funciones de mercadeo y producción

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La logística también ha cobrado una gran importancia en los últimos años, especialmente en los países de América Latina, debido cada vez a su mayor interrelación e influencia sobre otros departamentos de las empresas, como mercadeo y producción. Podemos decir que la logística tiene ciertas actividades propias que la caracterizan y otras que comparte estrechamente con los departamentos mencionados. La Figura 1.7 ilustra estos conceptos. La logística se relaciona con producción a través de la influencia que tiene sobre el diseño y desarrollo de productos. Actualmente, los productos no sólo se diseñan para que puedan ser producidos eficientemente en una planta, sino también para que puedan ser eficientemente almacenados, transportados y controlado su inventario. Existe el principio de postposición de forma, bajo el cual la forma final (‗clientelización‘ del producto ó product customization) sólo se da cuando ya se tiene alguna información adicional de la demanda y se prefiere producir y mantener en inventario un producto básico estándar que luego se adapta a las condiciones de la demanda. Varios ejemplos de estos serán estudiados en los próximos capítulos. En cuanto a la localización de plantas, evidentemente la logística tiene que relacionarse estrechamente con las actividades de producción, ya que lo que ocurre al interior de las plantas influye significativamente en las decisiones estratégicas para localizarlas. Por ejemplo, en un modelo de optimización para localizar una nueva planta manufacturera, deben considerarse las fórmulas de materiales (BOM ó Bill of Materials) y los diferentes proveedores, pues estos, además de la relación con el sistema de distribución de la empresa, pueden influir notablemente en la localización óptima de la planta. La relación entre las actividades de compras y logística es muy estrecha, por ejemplo, a través de las políticas de pedido, de control de inventarios y de operaciones en los centros de distribución. En una cadena comercial, por ejemplo, las actividades de compra deben desarrollarse en estrecha relación con la capacidad y programación que el CD de la empresa tenga para recibir los pedidos que se hagan. En cuanto a la relación de la logística con mercadeo, es indudable que el servicio al cliente forma parte fundamental de las dos actividades. Igualmente, los precios de los productos se ven afectados por los costos totales de logística, especialmente por los costos de transporte. Por otra parte, el diseño de los empaques es una de las más apasionantes ramas que tiene el mercadeo y la logística. Un empaque no sólo sirve para promover la venta del producto y protegerlo, sino también que puede estar diseñado para facilidad de almacenamiento, manejo, transporte y reciclaje (logística inversa). Por ejemplo, un buen diseño de empaque puede aumentar la eficiencia de los sistemas de transporte al aumentar la densidad del producto a transportar. Finalmente, la logística y mercadeo se relacionan a través del énfasis en la localización de CDs, de tal forma que se pueda suministrar el mejor y más rápido servicio al cliente a costos razonables. Otros aspectos que marcan la importancia de la logística y de SCM en la época actual son la proliferación de los tratados de libre comercio entre los países, la oportunidad que representan para la comunidad profesional y académica de un país y el hecho que la logística y SCM sean aplicables prácticamente a cualquier cadena de suministro comercial, productiva o de servicios. En Colombia, por ejemplo, con la posibilidad de tener múltiples tratados de libre comercio, las operaciones de comercio exterior se van a incrementar notablemente en los próximos años. El país se está preparando para estos retos a través de obras de infraestructura en todos los modos de transporte, simplificación de regulaciones, capacitación de recursos humanos y formación de alto nivel, emisión de políticas nacionales (como la Política Nacional


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de Logística y la de transporte de carga por carretera) y el aumento del presupuesto para investigación, entre otras posibles estrategias. Naturaleza de la logística y SCM La logística y SCM se caracterizan por algunos aspectos clave, a saber:  Son integradas  En general, están relacionadas con los ambientes internacionales o globales  Tienen estrecha relación con las comunicaciones y los computadores (Internet, Sistemas avanzados de información y de planeación, GPS, EDI, RFID, etc.)  Presentan inversiones altamente justificadas (Exhaustivo análisis financiero)  Sufren cambios radicales frecuentes (Outsourcing, Proveedores de Logística, Comercio Electrónico, Sistemas automáticos de identificación como RFID)  Requieren de personas altamente calificadas  Tienen estrecha relación con las funciones de mercadeo y producción de la empresa Existen en logística y SCM tres niveles de decisión: estratégico, táctico o de planeación y operacional, los cuales se caracterizan por lo siguiente:  Nivel estratégico  Decisiones fundamentales para la empresa. NO se admiten errores.  Datos agregados y estimados acumulados.  Horizonte de tiempo largo (1 año ó más).  Ejemplo: Localización de una nueva planta o centro de distribución (CD) en uno o varios países.  Aplicación de grandes modelos estratégicos de localización de plantas y CD.  Nivel táctico  Decisiones fundamentales para la empresa. En general se pueden corregir errores más fácilmente que en el nivel estratégico.  Datos con un menor grado de agregación que el estratégico.  Horizonte de tiempo medio ó corto (6 meses ó menos).  Ejemplo: Definición del sistema de gestión y control de inventarios en un CD; selección de transportistas.  Aplicación de modelos especializados (Control de inventarios, selección de modo y transportador).  Nivel operacional  Decisiones del ‗día a día‘. Los errores, aunque inaceptables, se pueden corregir sin gran impacto.  Datos con el más alto grado de precisión posible.  Horizontes de tiempo muy cortos (1 día, horas, minutos).  Ejemplo: Tamaño de lote a ordenar del ítem X, ruta específica de los camiones que salen del CD en 1 hora.

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

Aplicación de modelos operacionales especializados (Pronósticos, tamaño de lote, ruteo de vehículos, scheduling).

Aunque estos tres niveles se interrelacionan, a menudo no es conveniente confundirlos. Por ejemplo, si se está analizando la mejor forma de localizar un CD en un conjunto de países, poco importa en primera instancia las rutas que en un país determinado van a seguir los camiones desde el CD. Se han hecho esfuerzos por modelar estas situaciones en forma integrada en un solo modelo, pero aún falta mucho por investigar en esta área.

1.3

EL AJUSTE ESTRATÉGICO DE LA CADENA DE SUMINISTRO

Chopra y Meindl (2008, pp. 22-43) discuten un aspecto muy interesante: el concepto del ajuste estratégico de la cadena de abastecimiento. Simplemente, lo que ellos mencionan es que el diseño de la cadena de abastecimiento y la estrategia competitiva de la empresa deben tener los mismos objetivos o que sus objetivos estén alineados. La estrategia competitiva de una empresa consiste en el conjunto de necesidades del cliente que ella desea satisfacer a través de sus productos o servicios. Tradicionalmente, la estrategia de una empresa se planea a través del costo, calidad, innovación del producto, nivel de servicio al cliente (variedad, disponibilidad y rapidez) o una combinación de dos o más de los anteriores elementos. Podemos decir que actualmente es muy difícil competir con calidad y costo porque los productos a nivel mundial son muy uniformes en cuanto a estas características. Así, queda la opción de idear y producir productos innovadores y también de mejorar el nivel de servicio al cliente, con lo cual el diseño de la cadena de abastecimiento y la logística pueden contribuir significativamente. Por ejemplo, si una estrategia de competencia es prometer la entrega de productos al día siguiente de obtener el pedido de parte del cliente, evidentemente debe existir suficiente disponibilidad del producto y éste debe ser transportado por los modos de transporte más rápidos. Si la cadena no se ha diseñado de esta forma, entonces la capacidad competitiva planteada no podrá cumplirse. En general, las cadenas de abastecimiento pueden privilegiar dos características fundamentales: La eficiencia para producir el costo más bajo posible o la rapidez, velocidad o respuesta de la cadena. Dos empresas pueden estar ofreciendo el mismo producto, pero cada una puede hacerlo con diferentes estrategias competitivas, y tal vez dirigido a diferentes segmentos de clientes. Por ejemplo, si usted hoy se levanta y se da cuenta que no tiene leche para el desayuno, probablemente irá caminando a la tienda de barrio o rapitienda de la esquina de su casa y comprará el producto sin importarle mucho en ese instante la variedad y el precio. Esa tienda de barrio le resuelve su problema de inmediato, a través de un inventario posiblemente limitado, pero oportuno. En contraste, si usted se dio cuenta que la leche se le acabó y es sábado a las 12 del día, probablemente usted irá a un supermercado más grande a comprar la leche, entre otras posibles provisiones, mirará la variedad de los productos y muy probablemente se fijará en el precio para tomar su decisión de compra. La estrategia competitiva del supermercado está entonces basada en la variedad de productos y presentaciones del mismo y en precios más bajos. Cada una de las dos cadenas arriba mencionadas deberá haber sido diseñada con base en su propia estrategia competitiva.


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Uno de los elementos más importantes que influyen en el ajuste estratégico es la variabilidad de la demanda del producto que la cadena ‗siente‘. Chopra y Meindl le denominan ‗incertidumbre de la demanda implicada‘. Por ejemplo, muy probablemente el supermercado del ejemplo anterior enfrentará una demanda de leche con menor variabilidad, dado su volumen de ventas, pero la tienda de barrio, que responde en gran parte a las ‗órdenes de emergencia‘ de sus clientes, sentirá una mayor variabilidad de la demanda de la misma leche. En general, entre mayor sea la incertidumbre de la demanda implicada, es más difícil pronosticarla, controlar el inventario y lograr el ajuste estratégico de la cadena de abastecimiento. Desafortunadamente, todas las necesidades y exigencias actuales de los clientes hacen que la incertidumbre de la demanda implicada siempre se incremente y que así sea más difícil cada día responder a dichas necesidades a través de la cadena de abastecimiento. Por ejemplo, necesidades del cliente como aumento del rango de las cantidades solicitadas, disminución del tiempo de entrega o reposición, incremento de la variedad de productos, incremento del número de canales por los cuales se puede adquirir el producto, incremento de la tasa de innovación del producto e incremento del nivel de servicio requerido, todos, hacen aumentar la incertidumbre de la demanda implicada. La Figura 1.8 muestra la forma de lograr el ajuste estratégico. El eje vertical representa los extremos de una cadena de suministro con alto nivel de respuesta (arriba) y una que privilegia los costos (abajo). El eje horizontal representa la incertidumbre de la demanda implicada del producto. La regla general es que, si la incertidumbre de la demanda implicada es alta, entonces el ajuste estratégico se podrá lograr a través de una alta respuesta, por ejemplo con flexibilidad de producción y sistemas de transporte altamente responsivos. Por el contrario, si la incertidumbre de la demanda implicada del producto es baja, entonces se puede privilegiar la eficiencia y el bajo costo con un nivel de respuesta aceptable para lograr el ajuste estratégico. Existen muchas cadenas, por supuesto, que tienen productos de baja y alta incertidumbre implicada de la demanda y, por lo tanto, tienen diseños híbridos de la cadena de abastecimiento. Cadena de suministro con alto nivel de respuesta

Espectro del nivel de respuesta

?

Cadena de suministro altamente eficiente Demanda poco incierta

Espectro de la Demanda incertidumbre muy incierta implicada

Figura 1.8. El ajuste estratégico de la cadena de abastecimiento [Fuente: Chopra y Meindl (2008, p. 32)]

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Finalmente, debe mencionarse que para lograr el ajuste estratégico, todos los elementos específicos que componen la cadena de abastecimiento y los de su entorno deben tener las funciones y capacidades que soporten la estrategia competitiva de la empresa. Dentro de estos elementos están el diseño y desarrollo de productos, las tecnologías de información y comunicaciones, los elementos financieros, los recursos humanos y, por supuesto, la cadena de abastecimiento propiamente dicha con todos sus componentes, como son compras, manufactura, inventarios y almacenamiento, transporte, distribución y servicio al cliente. Un par de conclusiones muy importantes que Chopra y Meindl (2008, p. 35) mencionan es que (1) No puede existir una estrategia de cadena de suministro correcta independiente de la estrategia competitiva de la empresa y (2) Existe al menos una estrategia de diseño y administración de la cadena de abastecimiento correcta para la estrategia competitiva de la empresa. El arte y ciencia de esta segunda proposición consiste entonces en encontrar e implementar dicha estrategia.

Lecturas adicionales Capítulo 1 1. 2. 3.

Chopra y Meindl (2008): Capítulos 1 y 2 (pp. 3-43) (Son dos capítulos muy detallados que amplían todo lo escrito anteriormente). Bowersox et al. (2007): Capítulos 1 y 2 (pp. 2-43). Ballou (2004): Capítulos 1 y 2 (pp. 1-61).

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 2: Los principales elementos de la cadena de abastecimiento

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2. LOS PRINCIPALES ELEMENTOS DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO Una vez expuestas las ideas básicas sobre logística y cadena de abastecimiento y habiendo descrito las características del ajuste estratégico, pasamos entonces a describir los elementos básicos de una cadena y sus principales características. Dentro de estos elementos encontramos los siguientes:            

2.1

Los productos (en transformación, en transporte, en almacenamiento) Los consumidores o clientes Los proveedores Las plantas de producción Los centros de distribución Los distribuidores mayoristas Los detallistas o minoristas (retailers) Los operadores logísticos Los sistemas o modos de transporte Los sistemas de información La logística reversiva y la logística verde Otros posibles, principalmente relacionados con logística internacional (Sociedades Intermediarias Aduaneras (SIAs), operadores de puertos, policía anti-narcóticos, autoridades agrícolas, autoridades aduaneras y de impuestos como la DIAN en Colombia, etc.)

LOS PRODUCTOS EN LA CADENA DE ABASTECIMIENTO

Los productos en la cadena de abastecimiento se pueden clasificar de varias formas. La más conocida tiene que ver con el nivel de consumo de los clientes. Así, podemos tener la siguiente clasificación y características principales: •

•

PRODUCTOS DE CONSUMO MASIVO – Puntos de venta múltiples – Alto grado de substitubilidad – Ejemplos: Alimentos, elementos de aseo personal, gaseosas – Características de distribución: Altos costos y amplia distribución en muchos puntos PRODUCTOS DE CONSUMO MEDIO – Puntos de venta más reducidos – Mayor diferenciación entre productos de diversas marcas


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– –

•

Ejemplos: Muebles, electrodomésticos, automóviles Características de distribución: Puntos de distribución reducidos y costos medios de distribución PRODUCTOS ESPECIALIZADOS – Lugares especializados de ventas y gran diferenciación de marcas – Ejemplos: Instrumentos musicales, carros de lujo

Evidentemente, el diseño de la cadena de abastecimiento y de las operaciones de logística varía de acuerdo con el tipo de producto. Por ejemplo, en cuanto a las características de distribución, los productos de consumo masivo presentan los mayores costos, ya que están diseminados por amplias zonas geográficas, ciudades y poblaciones. Los productos de consumo medio tienen una distribución menos extendida y los productos especializados y/o de alto costo se distribuyen en lugares muy especiales. Otro aspecto que puede afectar el diseño de la cadena es el punto del ciclo de vida donde se encuentre el producto (Figura 3.2 y Tabla 2.1). Por ejemplo, si un producto se encuentra en su fase de lanzamiento al mercado y de crecimiento, probablemente estará almacenado en ciertos lugares clave de la cadena y con un inventario disponible suficiente que le permita su desarrollo. Una vez el producto llegue a su fase de madurez, aumentará su disponibilidad geográfica y se podrá racionalizar su nivel de inventarios en cada lugar. Cuando el producto se encuentra en su etapa de declive, se vuelve entonces importante mantenerlo en ciertos lugares de la cadena, pero con un inventario que no vaya a implicar excesos por obsolescencia. Es importante notar que para productos con muy corto ciclo de vida, el diseño de la cadena y las operaciones de logística se vuelven muy complejos, ya que es prácticamente imposible realizar pronósticos certeros de demanda y todo el diseño de la cadena debe privilegiar la flexibilidad y el nivel de respuesta de la cadena. En otras palabras, la incertidumbre de la demanda implicada de los productos con corto ciclo de vida es muy alta. Tabla 2.1. Características de disponibilidad del producto y de distribución de acuerdo con cada etapa del ciclo de vida de un producto ETAPA DISPONIBILIDAD CARACTERÍSTICAS DE DISTRIBUCIÓN Introducción Limitada  Pocos puntos de venta  Distribución centralizada Crecimiento

Aumenta

 Puntos de venta aumentan significativamente  Cantidades disponibles más importantes que el costo

Madurez

Se estabiliza

 Volumen de ventas estable  Muchos puntos de venta y distribución  Oportunidades de optimización

Descenso

Disminuye

 Se disminuyen los puntos de venta y los canales de distribución  La distribución se centraliza


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Otras características importantes respecto de un producto están relacionadas con los siguientes aspectos [Ballou (2004, pp. 72-76)]:    

Relación peso/volumen Relación valor/peso Grado de substitubilidad Características del riesgo

En cuanto a la relación peso/volumen o densidad del producto, encontramos que entre mayor sea ésta, los costos de transporte y de almacenamiento en la cadena se reducen. Es por esto que se mencionó anteriormente que uno de los objetivos del empaque del producto es el de aumentar la densidad de los productos a almacenar o a transportar. Ahora, cuando la relación valor/peso de un producto aumenta (disminuye), generalmente los costos de transporte disminuyen (aumentan) y los costos de almacenamiento aumentan (disminuyen). El ejemplo clásico es que si estamos transportando carbón, con una relación valor/peso muy baja, su costo de transporte es alto, pero se puede almacenar fácilmente y de forma económica. Por el contrario, si estamos transportando joyas con una relación valor/peso alta, el costo de transporte con respecto del valor del producto es bajo, pero los costos de almacenamiento pueden ser altos, especialmente por los seguros y costos de mantenimiento del inventario. El grado de substitubilidad de un producto es la medida en que dicho producto puede ser sustituido por otro y así cumplir con los requerimientos del cliente. Dado un grado de substitubilidad de un producto y un nivel de disponibilidad fijo del mismo, encontramos que a medida que las capacidades de transporte mejoran, el costo de ventas perdidas disminuye, pero el costo de transporte aumenta. Esto genera curvas con cierta región óptima de donde debería seleccionarse el modo de transporte más conveniente. Algo semejante ocurre cuando tenemos un grado de substitubilidad del producto y una característica de transporte definida. En este caso, encontramos que a medida que la disponibilidad del producto aumenta, el costo de ventas perdidas disminuye, pero el costo de mantenimiento del inventario aumenta. Aquí también se generan curvas con ciertas regiones óptimas que indican los niveles de inventario más adecuados. Finalmente, es bien sabido que entre mayor nivel de riesgo tenga un producto, como por ejemplo, productos perecederos, productos inflamables o explosivos o productos de mucho valor, tanto los costos de transporte como de mantenimiento del inventario y almacenamiento aumentan. En estos casos es difícil evitar estos costos y deben proveerse las operaciones necesarias de logística para garantizar la seguridad de los productos y de toda la cadena y su entorno.

2.2

LOS CONSUMIDORES O CLIENTES

Los clientes son la razón de ser de la cadena de abastecimiento. Recordemos que todo lo que hagamos en la cadena tiene como objeto satisfacer sus requerimientos. Un cliente puede diferir de otro por: •

CARACTERÍSTICAS BÁSICAS:


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•

•

– Localización – Naturaleza de la demanda – Nivel de servicio requerido RESTRICCIONES DE ABASTECIMIENTO: – Ninguna restricción – Abastecimiento exclusivo por CD – Abastecimiento exclusivo por producto RESTRICCIONES DE SERVICIO: – Máximo tiempo y/o distancia para ser servido

Las características básicas arriba mencionadas diferencian a los clientes en forma clara. Las restricciones de abastecimiento son un poco más técnicas y tiene que ver con la aceptación o no del cliente para ser servido por varios orígenes o CDs. En ocasiones, el cliente exige que sea atendido por un solo CD (single sourcing). Esto complica el diseño de la cadena y los modelos matemáticos de optimización de cadenas de abastecimiento. Una restricción menos fuerte en estos casos es limitar el abastecimiento por CD, pero por producto. Es decir, que productos diferentes pueden ser enviados desde diferentes CDs, pero cada producto deber ser enviado desde un CD solamente. Finalmente, las restricciones de servicio con respecto del máximo tiempo o distancia para servir a un cliente muchas veces hacen que los CDs se localicen lo más cerca posible de las zonas de consumo y limitan la asignación de clientes a CDs. No vamos a concentrarnos en esta sección en aspectos de servicio al cliente que están más relacionados con mercadeo, como puede ser el servicio al cliente antes, durante y después de la venta. Desde el punto de vista logístico, se ha encontrado que los dos aspectos más importantes para el cliente son la disponibilidad del producto y el ciclo de la orden del cliente. En cuanto al primer factor, se responde con niveles de inventario, precisión de las órdenes y órdenes despachadas completas. Para el segundo, es decir, el tiempo que transcurre entre la recepción de la orden del cliente y la entrega a satisfacción, entra en juego toda la cadena de abastecimiento y los sistemas de información relacionados.

2.3

LOS PROVEEDORES

Como proveedores consideramos a las empresas o personas que suministran materias primas y componentes e insumos a las plantas manufactureras de una cadena de abastecimiento industrial, o a las empresas o personas que suministran productos terminados a una cadena de abastecimiento comercial. Los proveedores pueden diferir por:        

Localización Costos fijos de contratación Costo Calidad y servicio Confiabilidad Políticas de Justo a Tiempo (Just in Time JIT) Grado de integración con la empresa Flexibilidad


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 Transacciones por Internet La selección de proveedores es muy importante para cumplir con los objetivos de la cadena, ya que una buena selección de proveedores permite:     

El mejoramiento de la calidad al disminuir la variabilidad de las materias primas El mejoramiento del servicio al cliente El incremento de la productividad La reducción de inventarios y ciclos de las órdenes La reducción del número de proveedores y la aproximación a JIT

Entre algunos puntos que se mencionan para la correcta selección de proveedores, se pueden citar los siguientes:  El prestigio del proveedor y certificación bajo normas internacionales.  La eliminación de inspecciones innecesarias al comprobarse la baja variabilidad de la calidad.  Pactar diferentes aspectos, tales como parámetros críticos de control de procesos, especificaciones, programas de entrenamiento, visitas, etc.  La elaboración de un programa para ser aprobado por ambas partes.  El establecimiento de políticas de mejoramiento continuo.

2.4

LAS PLANTAS DE PRODUCCIÓN

Las plantas de producción son los lugares donde se realiza la conversión mencionada en la definición de SCM del CSCMP. Su objeto propio de estudio no está dentro del alcance de este texto, pero algunas de sus características básicas deben considerarse para la optimización de cadenas de abastecimiento (Capítulos 11 y 12). Dentro de estas características están la capacidad de producción, las fórmulas de materiales, la determinación de los proveedores que pueden suplir a cada planta y la identificación de los productos que pueden ser producidos en cada planta. Existen también otras características importantes para el diseño como son las curvas de aprendizaje que definen el progreso de la capacidad real disponible en cada planta y las pérdidas de producto por eficiencias de máquinas y porcentaje de productos defectuosos.

2.5

LOS CENTROS DE DISTRIBUCIÓN Y DISTRIBUIDORES MAYORISTAS

Los centros de distribución son los lugares donde se almacenan los productos (Capítulos 7 y 8) y donde principalmente se aplican las técnicas de control y gestión de inventarios (Capítulos 3, 4, 5 y 6). Dentro de esta categoría están los distribuidores mayoristas, quienes cumplen un papel fundamental dentro de la cadena de abastecimiento al ser los encargados en muchas ocasiones de realizar la distribución final del producto en amplias zonas geográficas y hasta los lugares más recónditos.

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2.6


LOS DETALLISTAS, MINORISTAS O RETAILERS

Los detallistas, minoristas o retailers son las instalaciones donde el cliente acude para adquirir los productos. Pueden ser o no propiedad de la cadena de abastecimiento productora o comercial. Se caracterizan por ser los lugares donde se puede recoger la información sobre la demanda real del cliente y el nivel de servicio que se está brindando a través de la cadena de abastecimiento. Cuando los minoristas son de propiedad de la misma cadena, se generan los problemas de localización de nuevas instalaciones. La forma como estos problemas se tratan es diferente a los problemas de localización de plantas y centros de distribución, pues el principal énfasis en éstos es el aspecto económico, mientras que el aspecto básico para localizar un nuevo minorista es la penetración que se busca en el mercado local.

2.7

LOS OPERADORES LOGÍSTICOS

Los operadores logísticos o Third Party Logistics (3PLs) son organizaciones externas que prestan diversos servicios de logística a muchos clientes, tales como almacenamiento, control físico de inventarios y transporte, entre otros posibles. Actualmente, los operadores logísticos son de mucha importancia para las cadenas de abastecimiento, ya que su tendencia es la de ceder cada vez más las operaciones logísticas a terceros para facilitar que la empresa se dedique a sus capacidades o competencias básicas, como son las de producir (o comprar) y vender productos. Otro término que se está utilizando actualmente es el de Fourth Party Logistics ó 4PL, el cual es un operador logístico que brinda los mismos servicios que un 3PL, pero con adición de servicios especializados, como pueden ser el control real de los inventarios y el análisis y rediseño de la cadena de abastecimiento de las empresas, entre otros posibles. Estos tópicos se amplían en la Sección 9.2.

2.8

LOS SISTEMAS O MODOS DE TRANSPORTE

Los sistemas o modos de transporte son un elemento fundamental de la cadena de abastecimiento y por ello se tratan de manera especial en los Capítulos 9 y 10 de este texto. Es importante notar que aquí también estudiamos el diseño de redes de transporte y el diseño y optimización de la cadena de abastecimiento en forma integral. Estos temas son el objeto de los Capítulos 11 y 12 de este texto.

2.9

LOS SISTEMAS DE INFORMACIÓN

Los sistemas de información de la cadena de abastecimiento son el principal elemento de la cadena para muchos autores [Chopra y Meindl (2008, pp. 482-496)]. En esto estamos de acuerdo ya que si no existe información veraz, precisa, actualizada y a tiempo, los procesos de


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diseño, planeación, operación y administración de la cadena de abastecimiento serían imposibles de llevar a cabo. Existen múltiples sistemas de información integrados, tales como SAP y ORACLE, denominados ERPs (Enterprise Resource Planning), los cuales suministran e integran la información de toda la cadena de abastecimiento, a través de módulos clave, como pueden ser los de compras y proveedores, finanzas y contabilidad, recursos humanos, planeación de producción, planeación y operación de transporte (Transportation Management Systems TMS), sistemas de administración de bodegas (Warehouse Management Systems WMS), módulos de pronósticos e inventarios, módulo de administración de las relaciones con el cliente (Customer Relationship Management CRM), entre otros posibles. No es el objeto de este texto presentar una discusión detallada de este tema, ya que se considera como un tópico de soporte para otros temas especializados de logística.

2.10

LA LOGÍSTICA REVERSIVA Y LA LOGÍSTICA VERDE

Este tema ya se introdujo en el capítulo anterior. Es importante mencionar que es un tópico de amplia investigación actual, del cual incluso se han escrito libros completos. Por ejemplo, puede consultarse a diversos autores presentados por Sarkis (2006, editor), a Pokharel y Mutha (2009) para una revisión de literatura muy completa y a Srivastava (2008) quien presenta un marco conceptual integrado para logística reversiva, el cual combina modelos descriptivos y técnicas de optimización.

2.11

OTROS ELEMENTOS DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO

Es difícil decir que una lista de elementos de la cadena de abastecimiento es exhaustiva, porque siempre habrá elementos nuevos o que no se hayan considerado. En logística internacional, por ejemplo, hay muchos componentes que interactúan con los demás elementos de la cadena. Por ejemplo, para exportar eficientemente por el puerto de Buenaventura, debe contactarse a una Sociedad de Intermediación Aduanera o SIA y al operador del puerto, entre otros posibles intermediarios. Por otra parte, el proceso de exportación se relaciona también con otros entes de la cadena, como las autoridades locales de anti-narcóticos, el ICA y la DIAN.

2.12

LAS DIRECTRICES O CONDUCTORES DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO

Chopra y Meindl (2008, pp. 44-45) definen los siguientes elementos de la cadena como las DIRECTRICES de la misma:  Las instalaciones  Los inventarios  Los sistemas de transporte

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 La información  El aprovisionamiento (procurement)  La fijación de precios (revenue management) Nótese que estos elementos son semejantes a los mostrados en las Figuras 1.3 y 1.4. En realidad, cualquier cadena de abastecimiento funciona en torno a estas directrices y es con base en su información y en sus indicadores de desempeño que se toman las principales decisiones en la cadena. La Figura 2.1 relaciona las principales directrices de la cadena con el concepto de ajuste estratégico introducido en el capítulo anterior. De esta forma, la estructura de la cadena de abastecimiento siempre se mueve entre los extremos de la eficiencia (énfasis en costo) y el nivel de respuesta y esto se ve reflejado en las características de cada una de las directrices de la cadena. Estrategia competitiva

Estrategia de la cadena de abastecimiento Nivel de Respuesta

Eficiencia Estructura de la cadena de suministro

Inventarios

Transporte

Instalaciones

Información

Figura 2.1. El ajuste estratégico y las directrices de la cadena de abastecimiento [Fuente: Adaptada de Chopra y Meindl (2008, p. 47)]

Estrategia competitiva: Detallista confiable de un gran variedad de productos de consumo masivo a bajo costo

Estrategia de la cadena: Se enfatiza la eficiencia, con un nivel de respuesta aceptable

Inventarios: Transporte: Instalaciones: Información: •Bajos niveles •Flota propia • CDs centrales • Alta inversión •Crossdocking •Eficiencia • Red de tiendas • Demanda real •Eficiencia •Respuesta • Eficiencia • Respuesta Figura 2.2. Ejemplo de las propiedades de las directrices de la cadena de abastecimiento para producir el ajuste estratégico (caso de Wal-Mart) [Fuente: Diseñada con base en la información de Chopra y Meindl (2008, pp. 47-48)]


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Como ejemplo, Chopra y Meindl (2008, pp. 47-48) presentan las principales características de la cadena de abastecimiento de Wal-Mart en Estados Unidos. La Figura 2.2 ilustra dichas propiedades. La estrategia competitiva de la empresa es proveer una gran variedad de productos de consumo masivo a costo razonable; por lo tanto, el diseño de la cadena privilegia la eficiencia en costo, sin descuidar el nivel de respuesta. Esto se logra mediante las características de cada una de las directrices de la cadena mostradas en la Figura 2.2. Es muy importante observar que cada una de las directrices de la cadena de abastecimiento debe tener una forma mediante la cual se mida su desempeño. Esto genera los conocidos indicadores de desempeño o de eficiencia de la cadena.

2.13

LOS INDICADORES DE EFICIENCIA DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO Y LOGÍSTICA

La medición del desempeño es el uso de evidencia estadística para determinar el progreso hacia determinados objetivos organizacionales específicos. Puede incluir la evidencia del hecho real, así como la apreciación del consumidor a través de encuestas. En el caso del transporte, por ejemplo, la medición del desempeño se inicia con la definición de los servicios a que la organización se compromete, y continúa con la recolección de la información en la fuente de qué tan bien se están cumpliendo dichos ofrecimientos. Los objetivos de un indicador de desempeño son los siguientes:  Suministrar a la administración herramientas para tomar decisiones eficiente y efectivamente.  Medir el grado de competitividad de la empresa regional e internacionalmente y establecer las correspondientes comparaciones (benchmarking).  Identificar problemas operativos y establecer estrategias de solución de los mismos.  Mejorar la utilización de los recursos disponibles de todo tipo, con el consecuente aumento de la productividad. Un buen indicador de desempeño debe tener las siguientes características:  Es aceptado y significativo para el usuario.  Informa acerca del grado de cumplimiento de los objetivos.  Es simple, económico de obtener, entendible, lógico, reproducible y definido sin ambigüedades.  Muestra tendencias.  Puede considerar simultáneamente diferentes variables.  Facilita la rápida revisión de la información.  Mejora la comunicación intra e inter-compañía.  Facilita el análisis de perspectivas administrativas de largo plazo y estimula cambios al interior de la compañía.  Facilita la adecuada planeación estratégica.  Provee de información precisa, a tiempo y actualizada.


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 Facilita la realización de pronósticos de toda índole. En la mayoría de las ocasiones, un solo indicador no es suficiente para proveer la información necesaria para la toma de decisiones. Por este motivo, hablamos de un conjunto de indicadores básicos, el cual debería:  Comprender un conjunto balanceado de un número limitado pero ‗vital‘ de medidores.  Producir reportes actualizados y útiles a costo razonable.  Proveer de información que puede ser compartida, entendida y utilizada por la organización.  Soportar los valores de la organización y las relaciones que ésta tiene con sus clientes, proveedores y accionistas. Para definir un buen indicador de eficiencia deben determinarse ciertas características del mismo, a saber:  Una meta u objetivo específico.  Los requerimientos de datos, tales como la población donde se va a medir el indicador, la frecuencia de medida y las fuentes de información (datos cualitativos o cuantitativos).  La metodología de cálculo, incluyendo las ecuaciones requeridas y la definición precisa de los términos claves.  Los reportes donde los datos aparecerán y la representación gráfica que se utilizará eventualmente para mostrar dichos datos.  Cualquier otro aspecto relevante para el indicador. Indicadores de desempeño en Logística Procesamiento de Pedidos

Planeación de Inventarios

Suministros

Transporte y Distribución

Almacenamiento

Desempeño total en Logística

% Error Entrada % Error de status % Error facturación

Nivel de servicio (Fill Rate) Exactitud del pronóstico

% de órdenes de compra perfectas Calidad en manufactura

% entregas a tiempo % sin daños

% de exactitud en preparación % de exactitud en inventarios

Porcentaje de pedidos perfectos

Tiempo de entrada del pedido Tiempo de proceso del pedido

Lead Times Horizonte del pronóstico

Ciclo de la orden de compra Ciclo de producción (LT)

Tiempo de tránsito Tiempo de cargue y descargue

Ciclo de la orden en almacén Tiempo de puerta a stock

Ciclo total del pedido Ciclo de Logística

Pedidos de clientes por hora.hombre

Rotación de inventarios SKU/empleado

Órdenes de compra/hr.hombre Utilización de la planta

Utilización de la flota

Unidades por hora.hombre Densidad del almacenaje

Pedidos perfectos por empleado Rotación de activos de Logística

Costos de procesamiento de pedidos

Costos de planeación de inventarios

Costos de suministro

Costos de transporte y distribución

Costos de operación del centro de distribución

Costo total de Logística Valor agregado de Logística

Figura 2.3. Ejemplo de las propiedades de las directrices de la cadena de abastecimiento para producir el ajuste estratégico (caso de Wal-Mart) [Fuente: Con base en presentaciones de cursos facilitada por María Fernanda Rey]


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En los capítulos siguientes se estudian la mayoría de las directrices de la cadena de suministro y, en cada caso, los indicadores de desempeño son fundamentales. A manera de introducción y resumen, la Figura 2.3 resume algunos de los principales indicadores en logística. A medida que avancemos, cada uno de los indicadores mostrados en la figura será abordado y estudiado. Los Capítulos 3 al 6 presentan una introducción general a los sistemas de pronósticos y control y gestión de inventarios. Se hace especial énfasis en los sistemas de pronósticos y en el control de sistemas de inventarios con una bodega y N puntos de venta, punto de gran investigación actual. En los Capítulos 7 y 8 se describen las principales características y técnicas cuantitativas de los sistemas de almacenamiento. Por su parte, los Capítulos 9 y 10 presentan los sistemas de transporte, inicialmente con la descripción básica de sus características y modos de transporte y posteriormente varias técnicas cuantitativas para el diseño de sistemas de transporte, incluyendo el conocido problema del ruteo de vehículos (Vehicle Routing Problem VRP). Finalmente, los Capítulos 11 y 12 se dedican al diseño integrado de redes de producción y distribución, mediante la presentación de modelos de optimización de cadenas de abastecimiento regionales e internacionales. El Capítulo 12 incluye el tema de precios de transferencia en la cadena global, uno de los tópicos más interesantes y controversiales para el diseño de dichas cadenas. En cuanto a los Apéndices, el Apéndice A resume las principales propiedades y tablas de la distribución normal; el Apéndice B contiene un resumen de los sistemas de pronósticos de demanda independiente y el Apéndice C muestra algunas páginas web de interés en las áreas de logística y cadenas de abastecimiento.

Lecturas adicionales Capítulo 2 1. Chopra y Meindl (2008): Capítulos 3 (pp. 44-72). Este es un capítulo muy interesante sobre la métrica y los conductores de la cadena de abastecimiento. 2. Ballou (2004): Capítulos 3 y 4 (pp. 62-129).

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 3: Introducción a los sistemas de inventarios

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3. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS La segunda parte del texto (Capítulos 3-8) se dedica a los sistemas de inventarios y almacenamiento. Este capítulo se dedica a explicar las bases de los sistemas de inventarios. Inicialmente, se presentan los conceptos básicos relacionados con estos sistemas, como son lo referente a su naturaleza e importancia y se aborda la gran pregunta del nivel de inventarios a mantener en una cadena de abastecimiento. Posteriormente nos concentramos en los ítems, destacando la clasificación ABC y su utilidad para la gestión de inventarios. Continuamos con una descripción de los factores primordiales que influyen en el diseño de un sistema de administración y control de inventarios. Además, las decisiones que deben tomarse para la administración de un sistema de inventarios son muy complejas, no sólo por su importancia propia, sino por las interrelaciones con los otros sistemas de la organización. Se trata aquí de ofrecer una introducción para el desarrollo de modelos matemáticos, los cuales se constituyen en poderosas herramientas de ayuda para la toma de decisiones en esta área. Es así como enfatizamos primero la clasificación funcional de los inventarios y concluimos con los factores de importancia que deben considerarse para optimizar el proceso de toma de decisiones en inventarios.

3.1

MOTIVACIÓN, NATURALEZA E IMPORTANCIA DE LOS INVENTARIOS

El control de inventarios es uno de los temas más complejos y apasionantes de la Logística y de la planeación y administración de la cadena de abastecimiento (Supply Chain Management, SCM). Es muy común escuchar a los administradores, gerentes y analistas de Logística afirmar que uno de sus principales problemas a los que se deben enfrentar es la administración de los inventarios. Uno de los problemas típicos, por ejemplo, es la existencia de excesos y de faltantes de inventarios: “Siempre tenemos demasiado de lo que no se vende o consume, y muchos agotados de los productos que más rotan.” Lo interesante de este problema es que ocurre prácticamente en cualquier empresa del sector industrial, comercial o de servicios, las cuales administran, de una u otra forma, materias primas, componentes, repuestos, insumos y/ó productos terminados, productos y materias primas en proceso o en tránsito, manteniendo unidades en inventario en mayor o menor grado. Las causas fundamentales que originan la necesidad del mantenimiento de inventarios en cualquier empresa son las fluctuaciones aleatorias de la demanda y de los tiempos de reposición (conocido también con el término en inglés Lead Times). Los inventarios también surgen del desfase que existe entre la demanda de los consumidores y la producción o suministro de dichos productos. Se puede, sin embargo, atenuar estas causas mediante una o más de las siguientes estrategias:  La obtención de información precisa y en tiempo real sobre la demanda en el punto de consumo. A mayor información disponible oportunamente, la planeación será mucho


 

  



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más fácil y eficaz. En realidad, podría decirse que el problema de planeación de demanda y control de inventarios es básicamente un problema de información en la cadena de abastecimiento. La consolidación de centros de distribución y bodegas para aumentar los volúmenes de demanda por instalación, ya que más altos volúmenes de demanda conducen generalmente a menores niveles de variabilidad de la misma. La estandarización de productos para evitar el mantenimiento de inventarios de una gran diversidad de ítems que sólo difieren en aspectos menores de forma, color, condición, etc. Las características finales del producto pueden ser implementadas en el momento de recibir las órdenes de los clientes. A esta práctica se le denomina como el principio de posposición de forma del producto y ha producido grandes resultados en muchas empresas. El mejoramiento de los sistemas de pronósticos de demanda a través de técnicas estadísticas de reconocida eficacia y mediante la combinación de diversas estrategias para pronosticar. El mejoramiento de alianzas y de sistemas de comunicación con proveedores y clientes para la reducción de los tiempos de reposición. En general, esto se conoce como procesos colaborativos en la cadena de abastecimiento. La emisión de órdenes conjuntas para diversos grupos de ítems con el objeto de balancear su inventario y la consolidación de despachos desde (hacia) diversas localidades, a través de técnicas como el ‗cross-docking‘, el cual consiste en pasar directamente los productos de la sección de recepción de un centro de distribución hacia la zona de despacho en un tiempo muy limitado (una hora máximo, de acuerdo con varios autores), para así eliminar la necesidad de mantener el producto en inventario. Esto es más conocido como el principio de postposición de tiempo. La reducción de demoras y tiempos de reposición a lo largo de toda la cadena de abastecimiento, incluyendo los tiempos de tránsito en los sistemas de transporte.

Debido a que las causas que generan la necesidad de mantener inventarios no pueden ser eliminadas totalmente, la mejor alternativa es aplicar sistemas óptimos de gestión y control para responder a dichas causas. El problema en la mayoría de nuestras empresas radica en que los inventarios de seguridad y sus correspondientes puntos de reorden (o inventarios máximos) se determinan exclusivamente con base en el promedio de la demanda, ignorando su variabilidad y la variabilidad de los tiempos de reposición. Por ejemplo, para cierto ítem, se podría establecer el inventario de seguridad en ―dos semanas de inventario‖. Esto significa que, en promedio, el inventario de seguridad duraría aproximadamente dos semanas de demanda. En realidad, dicho inventario puede durar mucho menos o mucho más de dos semanas, dependiendo de la variabilidad de la demanda del ítem considerado. Es un error conceptual grave, por lo tanto, definir inventarios de seguridad y puntos de reorden (o inventarios máximos) de un ítem proporcionalmente a su demanda promedio en forma exclusiva. De aquí precisamente proviene el desbalanceo del inventario mencionado anteriormente. Cuando la variabilidad de la demanda del ítem del ejemplo del párrafo anterior es baja, dos semanas de inventario de seguridad puede ser un exceso en el que se está invirtiendo capital innecesariamente. Por el contrario, si la variabilidad de la demanda del ítem es alta, dos semanas de inventario de seguridad puede no ser suficiente y probablemente ocurrirán agotados frecuentes de dicho ítem.

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Sólo en algunas ocasiones los inventarios de seguridad y los puntos de reorden calculados solamente con base en la demanda promedio, coinciden con el valor óptimo obtenido como resultado de un análisis estadístico formal. La clave consiste entonces en liberar capital invertido en inventarios de seguridad de ítems con baja variabilidad y distribuirlo en inventarios de seguridad de ítems con alta variabilidad. El balance de esta operación es frecuentemente positivo y se puede mejorar significativamente el servicio al cliente sin invertir un peso adicional en inventarios, se puede mantener el servicio actual (si éste es adecuado) con mucho menos capital invertido, o se puede diseñar una combinación intermedia de ambos beneficios. La solución entonces a estos problemas frecuentes de desbalanceo de inventarios es la de diseñar e implementar estrategias adecuadas de control, a través de las siguientes alternativas:  Utilización de sistemas adecuados de pronósticos de demanda, que permitan estimar con precisión el patrón, el promedio y la variabilidad de la demanda de cada ítem que se mantenga en inventario. De esta forma, los inventarios de seguridad se calculan proporcionalmente a la variabilidad de la demanda, de acuerdo con el nivel de servicio deseado, y no proporcionalmente al promedio de la misma. Debe minimizarse las causas frecuentes de errores excesivos en los pronósticos, tales como la selección del modelo matemático inadecuado, la utilización de datos poco confiables y de datos de ventas en lugar de demanda, los sesgos en los pronósticos, la inclusión de datos atípicos y la selección errada del período fundamental del pronóstico. Estos temas se tratarán con mayor detalle en el Capítulo 4.  Medición adecuada de los tiempos de reposición y su variabilidad. Desafortunadamente, he encontrado en la mayoría de los casos que esto no se hace y simplemente se trabaja con un valor estándar del tiempo de reposición asumido constante y seguro, especialmente de los proveedores, cuando la realidad dista mucho de esto.  Implementación de la clasificación ABC para establecer prioridades de administración y diferenciar los sistemas de control de ítems en cada categoría. Por ejemplo, una reducción del 25% del inventario de los ítems clase A (alrededor del 20% de todos los ítems, catalogados como ‗los más importantes‘), puede causar una reducción global del 20% del valor del inventario.  Definición de los lugares más adecuados dentro de la cadena de abastecimiento donde se debe mantener inventarios y determinación de sus niveles correspondientes.  Consideración de aspectos fundamentales tales como el ciclo de vida del producto, la naturaleza del proceso productivo bajo estudio, los aspectos administrativos del control de inventarios y los aspectos financieros relacionados con inventarios, tales como los plazos de pago y sus descuentos asociados.  Generación de indicadores de eficiencia que consideren simultáneamente todas las variables de interés. Es muy común el error, por ejemplo, de solo medir el desempeño de un sistema de control de inventarios a través de la rotación del mismo y querer mejorarla incluso a costa del nivel de servicio ofrecido al cliente. Además de los puntos anteriores, debe tenerse en cuenta algunas sugerencias para reducir inventarios, sin compromiso de los niveles de servicio, tales como:


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 Concentrarse en ítems clase A y los primeros ítems clase B (los de ‗mediana importancia‘) a través de su revisión individual y continua, tamaños de orden más pequeños pero más frecuentes y la interacción con los proveedores y clientes para influir en su demanda y reducir sus tiempos de reposición.  Evitar tamaños excesivos de órdenes, incluso para ítems clase C (los ‗menos importantes‘). En este sentido, un ítem C puede estar desapareciendo del mercado y un tamaño de lote grande podría ocasionar su rápida obsolescencia, generar excesos y problemas de almacenamiento y de saturación de los sistemas de información.  Depurar periódicamente el inventario, eliminando excesos e ítems obsoletos y de muy bajo movimiento que carezcan de importancia para la organización y para los consumidores.  Controlar las compras de grandes volúmenes sin los beneficios financieros adecuados.  Controlar y rastrear continuamente: El nivel de servicio ofrecido a los consumidores a través de indicadores adecuados; el valor, rotación, cobertura y grado de obsolescencia del inventario; el porcentaje de precisión del inventario físico y la influencia del nivel de inventarios sobre indicadores financieros tales como el retorno sobre la inversión.  Racionalizar la compra inicial de ítems nuevos y hacerles un seguimiento exhaustivo. Todos los anteriores conceptos serán analizados con detalle a lo largo de los próximos capítulos, con énfasis en los sistemas de control de demanda independiente. Los sistemas de control de demanda dependiente se tratan principalmente en textos de control y administración de las operaciones en sistemas de producción, mediante técnicas como MRP (Material Requirements Planning).

3.2

LA GRAN PREGUNTA: ¿QUÉ NIVEL DE INVENTARIOS MANTENER Y EN DÓNDE?

Algunos factores por los cuales los inventarios tienen gran importancia para el funcionamiento de las organizaciones, desde el punto de vista de la gestión administrativa y de la competitividad de la empresa, son los siguientes:  Los inventarios representan el segundo sistema más importante después del transporte para muchas empresas.  Una gran proporción de los activos corrientes de las empresas está representada en inventarios.  El mantenimiento y manejo de los inventarios es costoso para las organizaciones; puede representar, junto con el sistema de almacenamiento, entre un 15 y un 30 por ciento de los costos totales de logística. Sin embargo, el mantenimiento de los inventarios puede representar ahorros por economías de escala en otros costos, como son transporte, compra y producción, incentivando la reducción de los precios de los productos.  El manejo de los inventarios tiene un impacto significativo en la gestión administrativa, ya que afecta directamente a los estados financieros de la empresa, como son el balance general y el estado de pérdidas y ganancias. Igualmente, algunos indicadores de eficiencia importantes pueden verse significativamente afectados, tales como la relación entre activos corrientes y pasivos corrientes, y el Retorno sobre la Inversión (ROI).


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Narasimhan et al. (1996, p. 94) presentan, por ejemplo, la siguiente expresión para el cálculo del ROI:

ROI 

Ventas  Costo de los productos vendidos Existencia s físicas  Cuentas por cobrar  Inventario

(3.1)

En la Ec. (3.1) se observa la influencia del nivel de inventario sobre este indicador de eficiencia, el cual es muy comúnmente utilizado por la administración. Es importante notar, sin embargo, que actualmente hay mucho debate sobre el papel del mejoramiento del inventario como un indicador del desempeño financiero global de la empresa. Cannon (2008) presenta un estudio para analizar esta correlación; el autor utiliza cuatro indicadores del desempeño global de la empresa: El ROI, el retorno sobre los activos (ROA, Return on Assets) y otros dos indicadores más complejos basados en mercadeo, los cuales, de acuerdo con el autor, miden de forma más precisa el desempeño global de la empresa que los indicadores meramente contables como el ROI y el ROA. El principal resultado de este estudio indicó que, en general, no existe relación entre el mejoramiento del inventario y el desempeño global de la empresa. En otras palabras, no siempre el efecto de la reducción de inventarios y del mejoramiento de la rotación del inventario [Ec. (3.2)] conlleva automáticamente al mejoramiento del desempeño global de la organización. Existen diversas razones por las cuales es ventajoso que una empresa mantenga inventarios de materias primas y/ó productos terminados. De acuerdo con Ballou (2004, pp. 328-330), las principales ventajas de mantener inventarios son las siguientes:  Mejoramiento del tiempo de respuesta y servicio al cliente, en el sentido de satisfacer sus órdenes directamente del inventario disponible en forma inmediata, sin producir despachos pendientes u órdenes perdidas. El nivel de respuesta es también un factor fundamental en cualquier cadena de abastecimiento, muy apreciado por los clientes actualmente, y está directamente relacionado con los niveles de inventario que se mantengan en lugares clave de la cadena. Este factor puede incluso generar aumento de ventas.  Reducción indirecta de costos de producción, de compra y/ó de transporte, a través de la producción o compra de lotes más grandes y más homogéneos, con los cuales se logran economías de escala en la cadena de suministro. Adicionalmente, puede pensarse en realizar compras de lotes mayores a bajo costo actual, en anticipación de un alza de precios en el futuro. Desde este punto de vista, el costo de llevar el inventario es dominado por los ahorros potenciales producidos por las economías de escala, los bajos precios de compra y las posibles condiciones de pago y financiación de los inventarios.  Reducción de costos de operación, al reducir el impacto de la variabilidad de los tiempos de producción y transporte.  Implementación de mecanismos para responder a factores externos o internos inesperados, tales como derrumbes en carreteras, huelgas, demoras excesivas en el envío de materiales, desastres naturales, etc.


31

De manera análoga, Ballou (2004, p. 330) plantea también algunas desventajas de mantener inventarios, tales como:  Absorción excesiva de capital sin adicionar un valor significativo al producto. Desde este punto de vista, algunos analistas consideran los inventarios como un desgaste innecesario. En nuestro medio, sin embargo, en la mayoría de las veces se hace necesario mantener inventario para responder a todas las variabilidades que se presentan frecuentemente en la cadena de abastecimiento. La clave es, por lo tanto, definir los niveles adecuados de inventario de tal forma que no se comprometa demasiado capital y simultáneamente se le responda al cliente con el nivel de servicio ofrecido.  Enmascaramiento de problemas de calidad, los cuales pueden permanecer ocultos y tardar mucho tiempo en ser corregidos. Esto puede ocurrir cuando se corren lotes muy grandes de producción y no se detectan problemas de calidad del producto a tiempo.  Dificultad para el diseño integrado de las cadenas de abastecimiento, al establecer ‗islas‘ con intereses propios que ocasionan la suboptimización del sistema como un todo. Por ejemplo, en las cadenas que tienen muchos puntos de venta, normalmente hay una pugna entre ellos por mantener inventarios para responder a sus metas de ventas y frecuentemente niegan la transferencia de productos a otro punto de venta que puede estarlos necesitando. De esta forma, no se tiene en cuenta el funcionamiento de la cadena en forma integral. ¿Qué nivel de inventarios es entonces conveniente mantener? La respuesta depende de muchos aspectos, principalmente de la naturaleza de la organización y de la evaluación que la administración haga de las ventajas y desventajas de tenerlos. El punto está obviamente en la cantidad de inventario que debe mantenerse y en su correcta administración, con el objeto de mejorar la competitividad de la organización sin sacrificar recursos innecesariamente. Una idea muy importante: Debe recordarse siempre que la disminución arbitraria de los inventarios para aumentar su rotación puede ser un gran error, que puede degenerar en un pésimo servicio al cliente y, eventualmente, en la quiebra de la organización. Por ello, la reducción de inventarios debe analizarse cuidadosamente dentro del marco del sistema bajo estudio. Históricamente, se ha dado un proceso en el que ha cambiado radicalmente el pensamiento humano y el rumbo de las organizaciones con respecto a la tenencia de inventarios:  Hace alrededor de 300 años, el tener inventarios era una medida de riqueza.  A comienzos del siglo pasado se enfatizó la liquidez de los inventarios y la rapidez de la rotación del inventario, indicador de eficiencia dado por:

Rotación del Inventario 

Ventas al cos to periódicas ($ / período ) Inventario Promedio durante el período ($)

(3.2)

Es muy importante notar la inconveniencia de utilizar este indicador en forma aislada, ignorando el nivel de servicio a los clientes y los indicadores financieros de los

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inventarios. Por ejemplo, podría pensarse en bajar los niveles de inventario al mínimo para tratar de aumentar su rotación (en número de veces/período) y posiblemente pudiera lograrse. Pero, con altísima probabilidad los niveles de servicio se verían tan afectados que habría que reconsiderar dicha decisión. Algunos administradores, en su afán de aumentar la rotación de inventarios, han tratado de reducirlos a cero, con resultados desastrosos. Ejemplo 3.1. (Rotación del inventario) Una empresa comercial presenta ventas al costo en un mes determinado por $15 millones. El primer día del mes el valor del inventario era de $10 millones y el último día contable de dicho mes el inventario fue de $4 millones. Calcular la rotación del inventario en número de veces por mes y también en días, asumiendo que 1 mes = 30 días. De acuerdo con la Ec. (3.2) debemos primero calcular el inventario promedio durante el mes en cuestión. La forma más común de calcular el inventario promedio es la siguiente: Inventario Promedio 

Inventario inicial (Al costo)  Inventario final (A l costo) 2

(3.3)

Posteriormente se estudiará una forma más general y precisa de calcular el inventario promedio. El cálculo aquí viene dado por: Inventario Promedio = ($10 millones + $4 millones)/2 = $7 millones Por lo tanto, la rotación del inventario de acuerdo con la Ec. (3.2) sería: Rotación = ($15 millones/mes)/($7 millones) = 2.14 veces por mes. Esta cifra se interpreta como las veces que rota el inventario durante el período en cuestión. En otras palabras, la estantería donde están los productos, en promedio, es renovada 2.14 veces por mes. El cálculo de la rotación en unidades de tiempo (especialmente dada en días) también es una práctica común. Se le conoce también como días de inventario a la mano. Para calcularla se toma el inverso de la Ec. (3.2) y se multiplica por el número de días que hay en el período de referencia. En este caso se tendría: Días de inventario a la mano (en promedio) = [($7 millones)/($15 millones/mes)][30 días/mes] = 14 días. Es decir que el inventario se renueva en promedio cada 14 días o también que cada ciclo de renovación del inventario tarda 14 días en promedio.


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 Actualmente, los inventarios son vistos principalmente como un riesgo potencial mayor. Han aparecido aspectos tales como el riesgo de obsolescencia tecnológica, que hacen a los inventarios cada vez de más cuidado, al presentarse productos con ciclo de vida mucho más cortos, como por ejemplo el caso de teléfonos móviles o de computadores en general. Lo que se trata de hacer, sin embargo, es un equilibrio entre tener y no tener inventarios. El arte del manejo adecuado de los inventarios radica en descubrir su nivel óptimo de acuerdo a cada caso en particular, dependiente del sector productivo, las características propias de la empresa y su localización, su estrategia competitiva y el mercado, entre otros.  En la globalización actual de la economía, la administración de inventarios, la planeación de la producción, y la estrategia corporativa están íntimamente ligadas. Esto se conoce como el ajuste estratégico que debe lograrse entre las capacidades competitivas de la empresa y su correspondiente cadena de abastecimiento. Por ejemplo, la diferencia entre la variedad y los niveles de inventario entre una rapitienda y un supermercado grande radica en que en la primera los clientes buscan un servicio muy rápido, generalmente ocasional y están dispuestos a pagar un poco más por los productos. Por el contrario, en un supermercado grande, los clientes disponen de más tiempo, buscan mayor variedad de productos y se detienen a mirar la variedad de productos y sus precios más cuidadosamente. Ambos negocios son similares, pero sus estrategias competitivas están satisfaciendo diferentes necesidades de sus clientes y, por lo tanto, sus políticas de inventarios y precios serán diferentes. Otra pregunta muy importante es ¿Dónde mantener los inventarios? Una primera aproximación para dar respuesta a esta pregunta es que hay que distinguir entre los diferentes tipos de inventarios, a saber:    

Materias primas y componentes Productos terminados Inventario en proceso (WIP = Work in Process) Inventario en tránsito o en el sistema de distribución

Dependiendo del sector productivo, la concentración de estos tipos de inventarios puede variar significativamente. Por ejemplo, un fabricante de computadores bajo pedido por Internet puede tener un gran porcentaje de sus inventarios como materias primas y componentes, cierto porcentaje como inventario en proceso y en tránsito y muy bajo inventario de productos terminados. Por el contrario, un fabricante de productos de consumo masivo, en general, tiene la mayoría de sus inventarios como productos terminados en el sistema de distribución. El control de estos inventarios depende de su tipo y de la concentración en los diversos lugares. Se genera también aquí la pregunta acerca del lugar donde debe mantenerse un tipo de inventario específico, como por ejemplo el de productos terminados, dentro de la cadena de suministro. Por ejemplo, una pregunta muy difícil de responder para un comerciante de productos de consumo masivo que posea un centro de distribución y varios puntos de venta es la de cuánto inventario de cada ítem mantener en cada lugar de la cadena. En el Capítulo 8 se abordarán estos interrogantes.


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3.3

ÍTEMS INDIVIDUALES O “STOCK KEEPING UNITS” (SKU)

Las decisiones sobre inventarios se basan en última instancia en ítems individuales. El término en inglés Stock Keeping Unit (SKU) para designar una unidad en inventario se utiliza ampliamente, inclusive en nuestro medio. Un SKU es un ítem individual que se puede diferenciar claramente de otro, o sea que tiene diferentes códigos en el sistema de información asociado o, incluso, que aún teniendo el mismo código, se localiza en regiones geográficas diferentes. En algunas ocasiones pueden existir SKUs con diferencias en detalles muy pequeños, por ejemplo en su color. En otras ocasiones, dependiendo de los objetivos que se persigan, la clasificación puede ser más agregada y un SKU puede representar familias de artículos semejantes aunque de diferente color, por ejemplo. Existe una propiedad estadística universalmente conocida como el Principio de Pareto, la cual, para el caso de inventarios que nos ocupa, se expresa así: ―Alrededor del 20% de los SKUs corresponden aproximadamente al 80% de las ventas anuales de la empresa.‖ Esta característica es supremamente importante, ya que el nivel de inventario de todos los ítems no debe ser controlado de la misma forma. Esto corresponde a la conocida clasificación ABC, la cual se estudia a continuación. Clasificación ABC Una forma de realizar la clasificación ABC es con base en el producto Divi, el cual mide el valor anual de las ventas (o la demanda) de cada ítem i, donde: Di = vi =

Demanda anual del ítem i [unidades/año] Valor unitario del ítem i [$/unidad]

Para definir cuáles ítems deben formar parte de cada clase (A, B ó C), se escoge un porcentaje de mayor a menor, de acuerdo al orden secuencial dado por la mayor utilización de los ítems. Usualmente, los ítems clase A constituyen del 10 al 20% de los primeros ítems dentro de la clasificación, contando por el 60% al 80% del valor total de las ventas anuales; los ítems clase B constituyen entre un 20 y un 40% del total de ítems, contando por entre el 20% al 30% restante del valor anual; y los ítems clase C, usualmente los más numerosos, constituyen el resto, contando por una pequeña parte del total de la inversión en inventario, la cual usualmente no pasa del 10% del total de ventas de la empresa. Algunos autores difieren en la proporción de ítems clase B y C, como por ejemplo Wild (1997, p. 31), quien recomienda una distribución alrededor de los siguientes valores: Ítems Clase A = 10% del total de ítems, con alrededor del 65% del total de ventas; Ítems Clase B = 20% del total de ítems, con alrededor del 25% del total de ventas; Ítems Clase C = 70% del total de ítems, con alrededor del 10% del total de ventas. La decisión final sobre estos porcentajes depende de cada caso en particular y de las capacidades de computación que se tengan para el control de cada tipo de ítem. Por ejemplo, en el caso de productos de consumo masivo es común tener los límites para definir la clasificación de ítems clase A, B y C en el 70%, 90% y 100% del total anual de ventas,


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respectivamente. La Figura 3.1 muestra este comportamiento para un caso real de una organización comercial de medicamentos que maneja alrededor de 8,000 ítems. % del total de ventas anuales

Total Cadena: Ítems A: 15% Ítems B: 18% Ítems C: 65% Ítems N: 2%

100 80 60 40

N

20

% del total de items

0

A B

C

20 40 60 80 100 % del porcentaje de ventas 0 Figura 3.1. Comportamiento anuales con respecto del porcentaje de ítem: La Clasificación ABC

Pueden existir, además, otras clasificaciones que incluyen, por ejemplo, ítems ‗superimportantes‘ tipo AA (ó AAA), ítems nuevos tipo N (Figura 3.1), y, en algunas ocasiones cuando el número de ítems clase C es muy grande, es conveniente definir un tipo D, para aquellos ítems de muy bajo volumen anual e ítems que están desapareciendo o que ya no deberían estar activos en el sistema de información de la empresa. Tabla 3.1a.

Información básica para determinar la clasificación ABC del Ejemplo 3.2 Ítem Código D047 D123 D709 D768 E010 E150 E456 F440 F589 F654 F876 F897 G006 G021 G567 G590 G777 H108 H335 H643 Total

Demanda (U/año)

Valor ($/U)

Volumen ($/año)

Volumen anual (%)

597 855 3,960 2,640 33 2,350 546 1,115 47 135 116 855 57 1,650 2,508 960 19 3,300 34 5,550 91 3,100 5,322 225 230 1,540 3,547 95 1,064 2,425 8,217 125 65 1,235 910 1,235 5 1,605,000 60 1,400

510,435 10,454,400 77,550 608,790 6,345 99,180 94,050 2,407,680 62,700 188,700 282,100 1,197,450 354,200 336,965 2,580,200 1,027,125 80,275 1,123,850 8,025,000 84,000

1.72% 35.32% 0.26% 2.06% 0.02% 0.34% 0.32% 8.13% 0.21% 0.64% 0.95% 4.05% 1.20% 1.14% 8.72% 3.47% 0.27% 3.80% 27.11% 0.28%

29,600,995

100.0%


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Ejemplo 3.2. (Clasificación ABC) La Tabla 3.1a muestra un conjunto de 20 ítems, con sus correspondientes consumo anual, valor unitario, volumen anual en unidades monetarias (o sea el producto entre la demanda anual y el valor unitario) y el porcentaje del volumen anual en $ de cada ítem. Con base en esta información, se requiere determinar una posible clasificación ABC para estos ítems. En la Tabla 3.1b se presenta la misma información de la Tabla 3.1a, pero ordenada en forma descendente por volumen anual en pesos (o en porcentaje). Con base en esta tabla se determina la clasificación ABC de estos 20 ítems. En este caso se selecciona la siguiente clasificación, dentro de otras posibles: El 10% de los ítems (2 ítems) son clase A, representando el 62.43% del volumen anual; el 20% de los ítems (4 ítems) son clase B, representando el 24.69% del volumen anual y el 70% restante (14 ítems) son clase C, representando sólo el 12.88% restante del volumen anual. Nótese que los ítems A y B cuentan por casi el 90% del volumen total anual y por ello su control podría ser más importante que el control de los ítems clase C. Obsérvese igualmente que un ítem clase A (el D123) tiene un volumen considerable en unidades y un valor unitario de mediana magnitud, mientras que el otro ítem clase A (el H335) presenta un volumen muy bajo en unidades, pero un valor unitario muy alto. El ítem D123 podría corresponder, por ejemplo, a cierto abarrote en un gran almacén, mientras que el ítem H335 podría ser un cierto electrodoméstico en el mismo almacén. Este doble origen que pueden presentar los ítems clase A hace que sus métodos de control puedan ser diferentes, a pesar de ser de la misma clase. Tabla 3.1b. Ítem Ítem Código No. D123 1 H335 2 G567 3 F440 4 F897 5 H108 6 G590 7 D768 8 D047 9 G006 10 G021 11 F876 12 F654 13 E150 14 E456 15 H643 16 G777 17 D709 18 F589 19 E010 20 Total

Ejemplo de clasificación ABC de acuerdo al valor anual de los 20 ítems (Ejemplo 3.2) Demanda Valor Volumen (U/año) ($/U) ($/año) 3,960 2,640 10,454,400 5 1,605,000 8,025,000 1,064 2,425 2,580,200 2,508 960 2,407,680 5,322 225 1,197,450 910 1,235 1,123,850 8,217 125 1,027,125 546 1,115 608,790 597 855 510,435 230 1,540 354,200 3,547 95 336,965 91 3,100 282,100 34 5,550 188,700 116 855 99,180 57 1,650 94,050 60 1,400 84,000 65 1,235 80,275 33 2,350 77,550 19 3,300 62,700 47 135 6,345

Volumen anual (%) 35.32% 27.11% 8.72% 8.13% 4.05% 3.80% 3.47% 2.06% 1.72% 1.20% 1.14% 0.95% 0.64% 0.34% 0.32% 0.28% 0.27% 0.26% 0.21% 0.02%

29,600,995

100.0%

Vol. Acumulado Clasificación (%) (A, B, C) 35.32% 62.43% 71.14% 79.28% 83.32% 87.12% 90.59% 92.65% 94.37% 95.57% 96.71% 97.66% 98.30% 98.63% 98.95% 99.23% 99.50% 99.77% 99.98% 100.00%

A

B

C


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Aspectos adicionales sobre la clasificación ABC Una pregunta que siempre surge de la exposición de este tema es la siguiente: ¿Por qué no se hace la clasificación ABC con base en la utilidad neta o margen de cada ítem en lugar del volumen de demanda anual? La respuesta es que no hay ningún problema en hacerlo de esta forma, encontrando la utilidad neta anual que cada ítem produce. Sin embargo, es lógico pensar que si una organización basa el 80% de sus negocios en los ítems clase A, sean éstos precisamente los que produzcan la mayor utilidad neta (diferenciar de utilidad unitaria por ítem) y por lo tanto la dos clasificaciones deberían ser muy semejantes, tal como lo hemos podido comprobar empíricamente con algunos estudiantes en algunos casos reales estudiados Gutiérrez (2006), por ejemplo, realiza la clasificación ABC en una empresa del sector de alimentos y encuentra que dicha clasificación no difiere significativamente si se considera el volumen anual de ventas ó el margen anual de los productos. Por otra parte, la definición de un ítem como clase A no depende necesariamente de su volumen anual de ventas en $, sino que puede determinarse a partir de otros aspectos por los cuales sea conveniente incluirlo en dicha categoría. Por ejemplo, existen ítems complementarios de bajo valor que son muy importantes en el momento de servir al cliente. Como ilustración, un cliente que llega a una droguería a comprar un medicamento inyectable muy costoso (clase A) estaría muy descontento si en dicha droguería no encuentra la jeringa para su aplicación (ítem clase C por valor). Las jeringas, por lo tanto, deberían también clasificarse como ítems clase A, ya que son un complemento fundamental de otros ítems de gran valor. Igual cosa ocurre con los medicamentos que son consumidos por una gran cantidad de personas, como es el caso de los suministrados por las Entidades Proveedoras de Salud (EPS). Otro aspecto clave es que se debe ser cuidadoso con los ítems clase C, ya que es probable que ellos, como son muchos, tengan diferentes connotaciones dentro de la organización. Por ejemplo, los últimos ítems clase C generalmente tienen un consumo muy bajo y es probable que deban ser removidos del sistema, después de realizar un análisis que suele ser individual. Igualmente, se puede diferenciar entre ítems clase C con demanda estable pero de muy bajo valor, para los cuales puede funcionar un sistema sencillo de pronósticos como el promedio móvil simple (Sección 4.4 del Capítulo 4), y los ítems clase C de muy bajo consumo, con demanda altamente errática para los cuales es posible considerar su consolidación en puntos clave de la cadena. Huiskonen et al. (2005) presentan un artículo muy interesante donde definen dos tipos de ítems clase C: Los que son vendidos a los clientes más importantes y aquéllos que son vendidos junto con ítems clase A par completar una orden. De esta forma, los autores realizan una categorización cruzando los anteriores criterios de servicio con los criterios normales como el volumen de la demanda y así, a través de un ejemplo, clasifican los ítems clase C en tres grupos: (1) Ítems de servicio con disponibilidad local; (2) Ítems de respuesta baja con políticas de consolidación y (3) Ítems ―no importantes‖, los cuales son los candidatos para ser eliminados del inventario y del sistema, convirtiéndose esta última en una herramienta de depuración del inventario. Debe considerarse también el hecho de que un mismo ítem puede tener clasificaciones diferentes de acuerdo con la localización dentro de la cadena de suministro. Por ejemplo, un producto importado costoso puede ser clase A en un supermercado ubicado en una zona de

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estrato 6, mientras que el mismo producto podría ser B ó C en una zona de estrato 4. Este aspecto constituye una complejidad más del análisis ABC. En el caso de materias primas, la clasificación ABC debe analizarse a fondo, pues, aunque el consumo anual en $ del material es importante, pueden existir otros factores más importantes para definir la clasificación del ítem, tales como la rotación del ítem y su criticidad, o sea la dificultad de consecución del ítem, en lo relacionado con el tiempo de reposición y su variabilidad, las características del proceso de producción donde se utiliza el ítem y la facilidad de reacción ante la escasez o la volatilidad de la demanda del ítem. Por ejemplo, en la industria cervecera, el lúpulo es una materia prima importada primordial no conseguible localmente con un largo tiempo de reposición, la cual necesariamente debe clasificarse como A. Por el contrario, un cartón de empaque de cervezas podría no ser una materia prima clase A si se consiguen localmente varios proveedores que suministren el empaque con cortos tiempos de reposición y con la calidad adecuada. Existen en la literatura otros conceptos para realizar la clasificación ABC de ítems. Chen et al. (2008) introducen una metodología para realizar la clasificación ABC teniendo en cuenta otros factores, tales como el tiempo de reposición y la criticidad del ítem. Los autores desarrollan un modelo de programación cuadrática para calcular los pesos respectivos. Chu et al. (2008) presentan una combinación del análisis ABC tradicional con lógica difusa denominado ―Análisis ABC-Clasificación Difusa‖, el cual, de acuerdo con los autores, muestra un alto grado de precisión. Ng (2007) propone un modelo simple para la clasificación de ítems multi-criterio, el cual convierte todos los criterios de clasificación en un indicador escalar. Ramanatham (2006) diseña un sistema de clasificación simple, utilizando un modelo sencillo de programación lineal y Zhou y Fan (2007) complementan su modelo corrigiendo una posible debilidad del modelo original. La clasificación ABC y el control de ítems clase A Dado que los ítems clase A son generalmente aquellos cuyo producto Dv es mayor que todos los demás ítems, debe prestarse especial atención en su control. El utilizar el mismo tipo de control para ítems clase A y B se justifica cuando el ahorro logrado en costos de ordenamiento, de llevar el inventario y de faltantes, supera al costo adicional de tener un sistema de control más complejo. Este costo del sistema de control está representado en el costo de recolección de datos, procesamiento de la información, manejo de modelos matemáticos más complejos, generación de reportes especializados, etc. El producto Dv puede ser alto para un ítem clase A debido a un alto valor de la demanda D, o a un alto valor unitario del ítem v, o a ambos. Generalmente, el sistema de control de un ítem clase A con alta demanda y bajo valor unitario no es igual al sistema de control de otro ítem clase A con muy baja demanda, pero costo unitario alto. Los ítems clase A deben concentrar la atención personalizada de la administración, con el apoyo de modelos matemáticos especializados, los cuales se constituyen en una poderosa herramienta de ayuda para la toma de decisiones. Los siguientes puntos son sugerencias generales para el control del inventario de este tipo de ítems:  Los registros de inventario deben hacerse continuamente basados en las transacciones que vayan ocurriendo. Como generalmente el número de ítems clase A no es muy grande, el control no necesariamente debe hacerse en forma computarizada, pudiéndose


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utilizar sistemas manuales basados en hojas electrónicas. Esto constituye una ventaja, por ejemplo, en las pequeñas y medianas empresas. Todas las transacciones de ítems clase A deben ser cuidadosamente revisadas por la administración en forma frecuente. La demanda debe ser cuidadosamente analizada y, aunque debe basarse en un sistema adecuado de pronósticos, debe tener la influencia personal de la administración, dependiendo del caso particular. Por ejemplo, pueden existir ítems clase A tan especiales que la administración directamente influya en su demanda futura con base en las conversaciones personales con los clientes. Para ítems clase A muy costosos y de muy lento movimiento (demanda errática), el pronóstico de la rata de demanda suele ser muy difícil o virtualmente imposible de obtener. Por ello, frecuentemente no se diseña para ellos un sistema de control especial. Este es el caso de los repuestos costosos de máquinas de producción, los cuales son muy bien conocidos por los ingenieros encargados de dirigir el mantenimiento correctivo y preventivo. Si el ítem es de relativa fácil consecución y el daño de la máquina es de tal naturaleza que se dispone de cierto tiempo para obtenerlo, no debería entonces tenerse inventario del ítem. Si, por el contrario, la falta del ítem pudiese ocasionar una parada grave y prolongada en la producción, entonces sí debería considerarse el mantenimiento de cierto inventario del repuesto. Bajo estas condiciones, normalmente los tamaños de órdenes son Q = 1 y la disyuntiva está en mantener o no el ítem en inventario. Si el ítem no se mantiene en inventario, entonces debe tenerse muy claro el procedimiento de emergencia a seguir cuando es solicitado para poder cumplirle al cliente. Si se decide mantener al ítem en inventario, el sistema de control es normalmente ordenar una unidad del ítem tan pronto como la unidad en inventario sea consumida. Un ejemplo de este tipo de ítems se presenta en los almacenes de los acueductos, donde hay bombas especializadas muy costosas (del orden de $200 millones cada una), de las cuales se mantiene una unidad en inventario, ya que cualquier eventualidad dejaría sin agua a gran parte de una ciudad por mucho tiempo. Una vez se necesite utilizar la bomba, se ordena de nuevo otra para reponerla y almacenarla de nuevo. Silver et al. (1998, pp. 318-325) discuten el control de inventarios de ítems clase A de lento movimiento, cuando no es conveniente asumir normalidad de la demanda, sino que la distribución más adecuada es la de Poisson. Para ítems de movimiento lento, pero de valor unitario muy alto, debe prestarse especial énfasis en su aprovisionamiento inicial, ya que un exceso podría resultar muy costoso. Debe existir una estrecha relación con los proveedores de ítems clase A para tratar de reducir los tiempos de entrega y su variabilidad. Deben revisarse los parámetros de decisión frecuentemente. Los tamaños de pedido Q deben determinarse mediante las mejores técnicas disponibles. Por ejemplo, en vez de asumir que Q está predeterminada, deben aplicarse métodos que optimicen esta decisión en conjunto con la determinación del punto de reorden s.

Para los ítems clase A es mucho más conveniente afrontar la posibilidad de agotados que tratar de establecer niveles de servicio determinados. En otras palabras, como para estos ítems la administración controla directamente sus transacciones, pueden establecerse pedidos frecuentes y acciones confiables de emergencia, tendientes a evitar o a aliviar una ruptura de

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inventario inminente. El arte de la administración consiste aquí en comparar los costos de tales acciones con respecto de los costos de mantener inventarios de seguridad. La clasificación ABC y el control de ítems clase C Aunque de acuerdo con la clasificación ABC los ítems clase C son los ‗menos importantes‘, esto no significa que su control pueda descuidarse o dejarse al azar. Debe recordarse que ellos representan el mayor número de ítems y, por lo tanto, lo que se busca es simplificar lo más posible su control y administración. Aunque los ítems clase C representan el menor valor Dv de todos los ítems, pueden eventualmente convertirse en ítems mucho más importantes, inclusive algunos en ítems clase A. Algunas razones para explicar esto pueden ser que los ítems clase C sean:  Ítems claves para alguna parte del proceso productivo, que aunque tengan un bajo valor Dv, pueden llegar a tener muy alto costo en caso de faltante.  Ítems importantes para uno o más clientes claves de la organización, como por ejemplo los medicamentos de EPS en una cadena de droguerías. A un cliente de una droguería le tiene sin cuidado sin un ítem es A, B ó C; lo que le interesa es que se le preste el servicio y que el medicamento esté disponible. Por lo tanto, como los ítems clase C son muchos, hay probabilidad de que si no se tratan adecuadamente se generen agotados que afecten toda la cadena y la imagen de la empresa.  Ítems poco costosos, pero pertenecientes a ensambles o subensambles clase A.  Ítems que pueden ser complementarios con otros debido a su naturaleza. Por ejemplo, una jeringa ayudará a la venta de una ampolla costosa en una droguería, así la primera sea un ítem de muy bajo costo.  Ítems que originalmente han sido clasificados como C, pero que maduran durante su ciclo de vida y llegan a convertirse en ítems clase A. Por esta razón, la clasificación ABC debe revisarse periódicamente. Por otra parte, la clasificación ABC puede utilizarse como una fuente de identificación de ítems de movimiento nulo o muy bajo, los cuales son candidatos para ser retirados de circulación. Estos ítems se identifican fácilmente en las últimas filas de la clasificación C y, sorprendentemente, en la mayoría de los casos, constituyen un gran número de los ítems manejados por la organización. Una parte fundamental de cualquier sistema de control de inventarios es la eliminación adecuada de excesos de inventarios obsoletos o de muy lento movimiento. Los excesos pueden ser creados por una orden de tamaño exagerado en cualquier etapa de la vida de un producto, por una baja inesperada y consistente de la demanda de un ítem, por su obsolescencia normal debido a su propia naturaleza, o, simplemente, por la aplicación de controles inadecuados y desbalanceo de inventarios. Una vez identificados los ítems en exceso, debe buscarse inmediatamente la forma de disponer de ellos. Posibles soluciones a este problema incluyen una o más de las siguientes posibilidades:  Reacondicionamiento del ítem (rework) para su posible uso en otros propósitos. Por ejemplo, un repuesto automotor obsoleto podría rediseñarse y posiblemente, mediante


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un trabajo adicional de producción, podría actualizarse a la nueva forma, especialmente en nuestro medio. Muchas veces en las empresas que cuentan con diversos puntos de venta se observa que algunos ítems con movimiento nulo en algunos lugares, pueden aún tener un consumo aceptable en otras localidades. La transferencia de los ítems en exceso desde los primeros lugares hacia los lugares de mayor consumo resolverá un gran problema de desbalanceo de inventarios. Realización de promociones donde otros ítems de mayor consumo o más llamativos para el cliente se utilizan como ‗gancho‘ para vender los ítems obsoletos. Por ejemplo, en un supermercado donde se venden productos de diversos sabores, puede ofrecerse un sabor de movimiento muy bajo conjuntamente con otros de movimiento normal (‗Pague uno, lleve dos‘, por ejemplo). Los ítems obsoletos pueden ofrecerse con grandes descuentos. Por ejemplo, en los ítems de temporada, una vez ésta concluye, se encuentran los excesos con descuentos que pueden llegar en ocasiones hasta un 90% del valor original del ítem. Si se ha acordado con el proveedor, una de las mejores formas es la devolución a éste de los ítems en exceso que no han presentado movimiento alguno o muy bajo. Esto también puede manejarse mediante la forma de negociación de ‗mercancía en consignación‘. Este caso ocurre frecuentemente con los ítems nuevos que no tienen buena acogida en el mercado y que nunca maduran en su ciclo de vida. Los ítems en exceso pueden ser subastados. Aunque en nuestro medio esto no es muy común, esta posibilidad siempre existe. Una última posibilidad puede ser la donación del ítem si esto es permitido por la ley o su descarte definitivo atendiendo los requerimientos legales y ecológicos.

Control de inventarios de repuestos y partes para mantenimiento Los ítems clase C están muy relacionados con el tema del control de inventarios de repuestos y partes de mantenimiento, ya que muchos de éstos tienen muy bajo consumo y se pueden volver obsoletos rápidamente, especialmente cuando la empresa actualiza sus líneas de producción. Un artículo que presenta una revisión de literatura muy bien organizada sobre este tema es el de Kennedy et al. (2002). Los autores se refieren a temas como la administración de repuestos, el reemplazo de los ítems basado en su edad, los problemas de inventarios de repuestos en múltiples etapas de una cadena de abastecimiento y los problemas de obsolescencia, entre otros tópicos. Otro ejemplo interesante es el mostrado por Li y Kuo (2008), quienes desarrollan un sistema de soporte de decisiones de redes neuronales difusas (versión mejorada) para el pronóstico de demanda de repuestos automotores en un centro de distribución. En un artículo muy interesante sobre ítems de repuesto, Porras y Dekker (2008) comparan diversos métodos de control de inventarios de punto de reorden y los prueban en un caso real en un sistema productivo con 60 instalaciones entre refinerías de petróleo y plantas de productos químicos. La organización posee un centro de distribución que mantiene en inventario 43,000 ítems (de acuerdo con los autores todos estos datos corresponden al año 2000). Los ítems son clasificados en tres clases, de acuerdo con su criticidad o impacto sobre el sistema productivo. Los más críticos son aquéllos cuyos faltantes podrían causar graves


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paradas de producción y daños a las personas o al medio ambiente. Los de mediana criticidad son aquéllos ítems que pueden causar paradas de producción pero que no tienen implicaciones humanas o ecológicas. Finalmente, los ítems de menor criticidad son aquéllos cuya ausencia no tiene efectos significativos en el sistema. Un refinamiento de esta clasificación se hace dependiendo de los equipos donde el ítem es utilizado, pero para obtenerla no se utilizan técnicas cuantitativas. Los autores mejoraron la clasificación combinándola con el costo y con la naturaleza de la demanda de los ítems. Algunas conclusiones de este estudio enfatizan características importantes del control del inventario de repuestos. Específicamente, estos investigadores concluyen que:  El mantenimiento preventivo ocasiona altas demandas erráticas y por ello es necesario identificar los ítems que sufren esta situación para tener un mejor control de ellos.  Los repuestos presentan demanda bajas o muy bajas, incluso con observaciones de demanda cero por cinco años, lo que causa mucha dificultad de control.  Aunque los modelos de control predicen ciertos niveles de servicio, los niveles observados en la realidad difieren significativamente de los teóricos, incluso hasta en un 40%.  Los sistemas integrados de planificación (ERP), de los cuales los autores mencionan uno en particular, no son efectivos en el control de inventarios de repuestos, ya que solamente incluyen el nivel de servicio cíclico como medida de servicio e ignoran el fill rate, el cual es muy importante en este caso.  El problema de control puede complicarse si la demanda es no-estacionaria, o sea que sus propiedades varían a lo largo del tiempo.  La aplicación de modelos de inventarios adecuados para estos ambientes pueden generar ahorros significativos y mejorar los niveles de servicio. Los modelos probados por los autores que asumían demanda normal durante el tiempo de reposición se comportaron muy bien, logrando ahorros del 8.4% sobre el sistema que se estaba utilizando. Este resultado es muy significativo porque valida en cierta forma la utilización de la normalidad de la demanda durante el tiempo de reposición incluso en aquéllos casos en los que ésta se aleja de dicho supuesto. Lo que ocurre, de acuerdo con los autores, es que el supuesto de normalidad es más robusto en cuanto a los niveles de servicio obtenidos (fill rate) y produce puntos de reorden conservativos en comparación de otras distribuciones como la de Poisson.

3.4

ASPECTOS QUE INFLUYEN EN EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE ADMINISTRACIÓN DE INVENTARIOS

De acuerdo con Silver et al. (1998, pp. 36-44), los aspectos más importantes que influyen en el diseño de un sistema de administración de inventarios son el ciclo de vida de los productos, la naturaleza del proceso productivo y la ubicación del producto dentro de la matriz productoproceso. Otro aspecto fundamental, al cual muchos autores no le dan la importancia que merece, es todo lo relacionado con las actividades administrativas y de gestión que soportan cualquier sistema de control que se implemente. Estos aspectos administrativos combinados con las técnicas cuantitativas adecuadas son los que permiten que el control y la gestión de


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inventarios produzcan los resultados deseados. A continuación se trata cada uno de estos factores. El ciclo de vida de los productos La Figura 3.2 muestra el ciclo normal de vida de muchos productos. No es lo mismo el control del inventario de un producto cuando está en su fase de arranque o introducción al mercado, que cuando está en su fase de madurez, por ejemplo. En la fase de introducción debe garantizarse un inventario adecuado en lugares clave que responda a la demanda creciente del producto y le permita su normal desarrollo. En la fase de madurez hay oportunidades de optimización del control del inventario, dejando sólo aquellos lugares claves y racionalizando los niveles de existencias. Si el producto desaparece y no renueva su demanda, en la fase de declive se debe evitar el tamaño excesivo de las órdenes sin descuidar el nivel de servicio al cliente. En el caso de productos de corto ciclo de vida, como son por ejemplo los textos escolares cuyo ciclo de ventas puede durar máximo de 8 a 12 semanas, es fundamental establecer sistemas de control adecuados para evitar el exceso de devoluciones y a la vez garantizar el nivel de servicio requerido por los clientes. Ventas CONTINUIDAD A R R A N Q U E

CRECIMIENTO MADUREZ

DECLIVE

Tiempo Figura 3.2. Ciclo de vida de un producto

La naturaleza del proceso productivo La Tabla 3.2 muestra los diversos sistemas para planeación y control de producción y su relación con el principal énfasis que debe hacerse en el sistema de gestión y control de inventarios. Dependiendo entonces de la naturaleza del proceso productivo, el cual puede variar desde sistemas por órdenes para bajos volúmenes de fabricación hasta sistemas de alto volumen repetitivo, se requiere hacer especiales énfasis en los sistemas de inventarios. Por ejemplo, para bajos volúmenes de fabricación es fundamental la flexibilidad para responder a una gran cantidad de órdenes diferentes, mientras que para sistemas de ensamble y producción por lotes se requiere especial énfasis en el control de inventarios de materiales.


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Tabla 3.2. Tipos de sistemas para planeación y control de producción y administración de inventarios [Fuente: Adaptada de Silver y Peterson (1985), p. 31] SISTEMA

NATURALEZA DEL PROCESO PRODUCTIVO

Trabajo por órdenes (job shop)

Bajo volumen de fabricación

PRINCIPAL ÉNFASIS DEL SISTEMA DE GESTIÓN Y CONTROL DE INVENTARIOS Flexibilidad para atender una gran cantidad de órdenes diferentes. Posible concentración de inventarios en materias primas y componentes.

Tamaño óptimo de pedido (Economic Order Quantity, EOQ), punto de reorden

Sistemas no-productivos (Cadenas de suministro comerciales)

Reducción de los costos de inventario, manteniendo el nivel de servicio al cliente.

EOQ en sistemas multi-etapas, punto de reorden

Distribución; Sistemas gobernados por capacidad

Alta utilización de la capacidad disponible a costo razonable.

Material Requirements Planning (MRP)

Producción por lotes, bajo volumen, ensambles

Coordinación efectiva de materiales

Justo a Tiempo Just in Time (JIT)

Alto volumen repetitivo

Minimización de alistamientos (setups) e inventarios, con altos niveles de calidad.

La ubicación del producto dentro de la matriz producto-proceso MEZCLA DE PRODUCTOS PROCESO

Flujo discontinuo; por orden

Por orden

Bajo volumen; muchos productos

Alto volumen; algunos productos

Muy alto volumen; proceso continuo

Ind. Aeroespacial Impresora comercial

AUMENTO EN LA COMPLEJIDAD DEL SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS

Maquinaria industrial Confecciones Menos discontinuo; por lotes Drogas y químicos Flujo gobernado por el operario

Productos electrónicos

Industria automotriz Flujo gobernado por la máquina

Flujo continuo y altamente automatizado

Figura 3.3.

Productos de acero

Papel, Azúcar, Cerveza, Petróleo

La matriz producto-proceso [Fuente: Adaptada de Silver et al. (1998), p. 42]


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El diseño del sistema de gestión y control de inventarios se ve influenciado por la ubicación del producto dentro de la matriz producto-proceso ilustrada en la Figura 3.3. El nivel de complejidad del control del inventario es mayor en la zona ubicada arriba a la izquierda en la figura y va siendo ‗menos complicado‘ a medida que se avanza hacia abajo y hacia la derecha. Por ejemplo, en productos que se fabrican por orden, cuyo flujo es discontinuo, el control de inventarios es muy complejo porque prácticamente cada orden es un nuevo producto; los sistemas de transporte de materiales como correas transportadoras y elevadores están dentro de esta categoría, ya que cada proyecto de transporte de materiales es diferente. En estos casos los sistemas de control pueden privilegiar la gestión de materias primas y componentes y difícilmente existirán inventarios de productos terminados (El caso de Dell Computer es un claro ejemplo de este tipo de cadenas). En un artículo muy reciente, Gunasekaran y Ngai (2009) hacen una revisión muy completa de la literatura sobre modelación y análisis de cadenas donde existe fabricación por orden (Make-to-Order, MTO). Por el contrario, en productos de flujo continuo y altamente automatizado, el control de los inventarios de productos terminados debería ser menos complejo, como es el caso de la cerveza, el papel, la gasolina y el azúcar. En estos casos es clara la existencia de significativos inventarios de productos terminados. Los aspectos administrativos y de gestión de los inventarios Un tema que no se le da la importancia que merece y que muchas veces se ignora en los sistemas de control de inventarios es todo lo que tiene que ver con la administración o gestión de dichos sistemas. No basta con utilizar técnicas cuantitativas, en ocasiones muy elaboradas, si no se dispone de un marco administrativo robusto en la empresa. Un texto que trata de una forma muy concisa los aspectos administrativos del control de inventarios es el de Wild (1997). El resto de esta sección está basado en un muy buen artículo por Zomersdijk y de Vries (2003). Primero, los autores presentan las cuatro dimensiones básicas que caracterizan a la organización de un sistema de inventarios:  La asignación de tareas. Esta dimensión comprende el número de personas responsables de la administración de los inventarios, sus funciones específicas y su nivel jerárquico dentro de la organización. Debe tenerse especial cuidado en la concordancia entre las funciones asignadas y el nivel de autoridad de la persona.  Los procesos de toma de decisiones. Estos procesos pueden comprender desde decisiones estratégicas mayores, como por ejemplo la expansión de un centro de distribución o la consolidación del inventario en menos puntos de la cadena, hasta decisiones operacionales del día a día, como puede ser el tamaño de la orden de compra o de producción a emitirse dentro de una hora. Estas decisiones afectan al sistema integral de inventarios y por ello es también muy importante establecer sus diferentes inter-relaciones, no sólo con otras decisiones del resorte de inventarios sino con cualquier otro actor de la cadena de abastecimiento. Por ejemplo, la decisión de aumentar significativamente la producción de cierto ítem con miras a una campaña publicitaria que se avecina, puede afectar significativamente a varios proveedores de las

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materias primas para fabricar el producto a quienes no se les avise oportunamente del aumento brusco de la demanda.  Los procesos de comunicación. La información en una cadena de abastecimiento, elemento primordial para que la misma funcione y pueda existir, no tiene solo que ver con las métricas de la misma. Es decir, no basta solamente con saber, por ejemplo, el nivel de inventario de cierto producto existente en la bodega, sino que es necesario conocer el estado en el que se encuentra, si está o no comprometido con algún cliente, cuánto tardaría en estar listo para despacho, si cabe en el camión, etc. En varios proyectos en los que he trabajado, he podido identificar que muchas personas en las organizaciones pueden estar duplicando actividades, invirtiendo grandes esfuerzos en tratar de resolver un problema que otra persona en otro departamento ya resolvió, o incluso ignorando trabajos de otras personas que se complementan con sus propias funciones y que podrían simplificar la labor de ambos. En muchas ocasiones, las reuniones de trabajo periódicas para tratar temas que aíslen a las personas de las actividades del día a día, produce un gran efecto para identificar estas graves fallas de comunicación.  Las relaciones interpersonales y los aspectos de gestión humana. Ninguna empresa puede funcionar sin seres humanos, al menos hasta la fecha. El elemento más importante de cualquier organización es su recurso humano. Por ello, todo lo que tiene que ver con los aspectos humanos y sociales influencia significativamente el desempeño de cualquier operación, incluyendo por supuesto la gestión de inventarios. Algo que he observado en todos los proyectos de mejoramiento de cadenas de abastecimiento e inventarios en los que he participado, es el fenómeno de ‗resistencia al cambio‘ de las personas involucradas en dichos proyectos. Una tendencia muy humana es querer seguir haciendo las cosas como se han venido haciendo por años, así se le demuestre a la persona los beneficios que podría tener si las hace de una forma diferente, cuya conveniencia está garantizada por múltiples experiencias exitosas similares. Afortunadamente, todo ser humano es capaz de recapacitar y cambiar de actitud y, en la mayoría de los casos se dan estos cambios y la persona acepta modificar sus prácticas de trabajo y utilizar la tecnología de punta como herramienta para la toma de decisiones. A veces incluso la persona se vuelve muy dependiente de la nueva tecnología que antes rechazaba acérrimamente, lo cual tampoco es conveniente porque nadie debe ceder su deber de tomar las decisiones a ninguna herramienta tecnológica por más avanzada que ésta sea. Con base en las cuatro dimensiones anteriores, los autores del artículo diseñan un marco de referencia para resolver problemas administrativos de control de inventarios y mejorar el desempeño de los sistemas de control. La Figura 3.4 ilustra la metodología. Normalmente, se registran indicadores de eficiencia periódicos del sistema de control de inventarios, tales como costos de faltantes, niveles de servicio, imprecisión del inventario físico, entre otros. Si se observa una desviación significativa con respecto de los estándares de funcionamiento del sistema (definidos con base en metas alcanzables o por medio de estrategias de benchmarking), entonces se debe encontrar un diagnóstico de los problemas y sus causas, con base en los aspectos tradicionales de un sistema de inventarios y en sus cuatro dimensiones, descritas anteriormente. Es fundamental que en este paso haya una comprensión profunda de los problemas y sus causas y que contengan tanto elementos de las cuatro dimensiones organizacionales como los aspectos tradicionales de la teoría del control de


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inventarios (sistemas de control utilizados, tamaños de lote, caracterización de la demanda y de los tiempos de reposición, clasificación ABC, niveles de servicio especificados, precisión del inventario físico y de los registros de ventas y demandas no-satisfechas, entre otros posibles). Las cuatro dimensiones pueden sugerir diversas causas de los problemas, tales como cantidad y composición del personal asignado a la gestión de los inventarios (por ejemplo, algunos autores sugieren que un administrador no tenga a su cargo más de 300 ítems clase A, o sea los más importantes); características de la organización tanto vertical como horizontal; balance de las responsabilidades con la autoridad asignada; cantidad, calidad y ambigüedad de la información generada para el proceso de toma de decisiones; racionalidad y consistencia de las decisiones y su relación con otras áreas; naturaleza de los sistemas de reporte y de retroalimentación entre el personal, incluyendo la calidad de la comunicación y la cantidad de ‗ruido‘ de la misma y, finalmente, los aspectos relacionados con el comportamiento humano, tales como juegos de poder, políticas, desmotivación, conflictos, incertidumbre, ambigüedad, incompetencia, problemas personales, etc. Entradas y otras influencias

Desempeño

Indicadores de eficiencia

Diagnóstico Aspectos tradicionales Asignación de tareas Rediseño del sistema

Estándares y otras influencias

Procesos de toma de decisiones

Desviaciones con relación a los estándares

Sistema de control de inventarios

Estándares

Procesos de comunicación Comportamiento humano

Estándares

Figura 3.4. Marco de referencia para resolver problemas administrativos de control de inventarios [Fuente: Traducido de Zomerdijk y de Vries (2003, p. 177)]

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La metodología continúa con el establecimiento de las relaciones entre todas las causas identificadas y sus posibles consecuencias. Aquí se deben incluir otros departamentos de la organización que pueden estar afectando el sistema de control de inventarios. Por ejemplo, una mala comunicación entre el personal de mercadeo y los planeadores de demanda o compradores puede ocasionar faltantes y obsolescencia de ítems. A su vez, esto puede ser consecuencia de malas prácticas de pronósticos de ventas o del establecimiento de metas demasiado ambiciosas. La salida de este análisis es la identificación de las causas principales de los problemas (principio de pareto), a las cuales si se les corrige rápidamente puede producir resultados de mejoramiento inmediato del sistema. Esta metodología integral, de acuerdo con los autores, produce mejores resultados que la metodología tradicional que ignora las cuatro dimensiones organizacionales. Yo he podido comprobar que todo lo dicho anteriormente es correcto. Es tan importante implementar técnicas cuantitativas de pronósticos y de control de inventarios, como considerar las cuatro dimensiones organizacionales descritas, para que un sistema integrado de control y gestión de inventarios funcione satisfactoriamente. Otro artículo que puede consultarse, relacionado con aspectos organizacionales en la administración de pronósticos de ventas, es el escrito por Davis y Mentzer (2007). Las técnicas cuantitativas para el control de inventarios Es claro que el problema de control y gestión de inventarios es un problema complejo. Sin embargo, nos podemos ayudar con una serie de técnicas cuantitativas que permiten facilitar dicho control. La mayoría de las técnicas cuantitativas se basan en técnicas de optimización y modelos matemáticos, los cuales se convierten en herramientas poderosas de apoyo a la toma de decisiones en inventarios. Este texto privilegia la utilización de modelos matemáticos y el uso de hojas electrónicas para resolver la mayoría de los problemas de inventarios. Es así como el uso de herramientas como el solver de Excel™ brinda la opción de resolver un gran número de problemas cuya solución por otros métodos puede resultar muy larga y/o tediosa. Además, es innegable el espacio que ha ganado en la academia y en la industria la utilización de hojas electrónicas para prácticamente todos los niveles de planeación. Por ejemplo, como se estudiará en el Capítulo 3, tenemos una gran oportunidad de mejorar los estimados de demanda optimizando los parámetros de un sistema de pronósticos a través del uso de hojas electrónicas. Gran parte del control y la gestión de inventarios busca determinar las políticas y parámetros de control para producir el nivel de servicio deseado de la manera más económica posible. Todas las organizaciones, de una u otra forma, controlan sus inventarios. Algunas aplican, con mayor o menor intensidad, ciertas técnicas cuantitativas para este efecto. Pero siempre, la gran pregunta será, ¿estamos operando con el óptimo nivel de inventario? Es muy probable que, dentro de la complejidad que caracteriza a las cadenas de abastecimiento y a la logística, nadie pueda responder con certeza esta pregunta. Lo importante es tratar de que la brecha entre nuestras operaciones y la solución óptima sea la menor posible. Los inventarios no son malos. Lo malo es tenerlos en exceso para unos ítems y en defecto para otros (el desbalanceo de inventarios del cual ya se habló al comienzo) y dejar su control al azar o a técnicas meramente empíricas. Igualmente, el tener cero inventarios es, bajo mi punto de vista, una utopía, especialmente en nuestro medio. Este es el caso específico de la filosofía de ―Justo a Tiempo‖, o Just in Time (JIT) o sistema de producción sin inventarios.


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En este sistema total de manufactura o, más precisamente, en esta filosofía de producción, los inventarios se reducen al mínimo posible para incrementar la productividad (mediante la automatización, por ejemplo), para mejorar la calidad y reducir los ciclos de producción y, por lo tanto, el servicio al cliente. El sistema JIT es adecuado en un ambiente de alto volumen de producción y manufactura repetitiva. Las diferentes etapas de producción están íntimamente ligadas con muy pequeños inventarios en proceso. La necesidad de ensambles finales gobierna el flujo de subensambles, disparando la producción, la que a su vez afecta la cadena previa de producción, y así sucesivamente (sistema pull). Cada centro de trabajo produce solamente lo que el centro siguiente necesita para satisfacer la producción de ensambles finales. No todos los sistemas productivos son susceptibles de adoptar un sistema JIT. Para lograr la transformación a este tipo de sistema se requiere que la organización realice los pasos necesarios para adoptar los más altos niveles de calidad, disminuya los alistamientos de las líneas de producción y los tamaños de lote y seleccione y certifique adecuadamente a sus proveedores. Los beneficios de la implementación de un sistema JIT pueden ser inmensos, dentro de los cuales se encuentran la reducción de costos de mantenimiento y control de los inventarios, con el consiguiente ahorro de espacio físico; el menor capital invertido en inventarios; el incremento de la productividad con altos niveles de calidad y la reducción de los tiempos de producción. A pesar de los impresionantes resultados que ha logrado el JIT en varios países, esta filosofía no es la panacea para todas las organizaciones. Para que ella produzca los resultados esperados, se debe tener un alto volumen de producción y manufactura repetitiva; unos niveles de calidad extremadamente altos; una excelente gestión humana que permita motivar a la fuerza laboral, mejorar las relaciones de los trabajadores con la empresa y tener una mano de obra altamente calificada y una excelente relación con los proveedores. Para extender los conceptos enunciados hasta este momento, se recomienda leer a Silver (2008), quien realiza un excelente resumen sobre los principales aspectos de administración de inventarios, incluyendo algunas aplicaciones prácticas y sugerencias para investigación futura.

Ejercicios 3.1 1. Discuta la relación que existe entre las políticas de control de inventarios de una compañía (comercial o industrial) y otros aspectos de Logística, tales como el sistema de transporte y distribución. 2. Suponga que la demanda de cierto producto es determinística y se conoce con gran certeza. Bajo esta situación, alguien opina que no se necesita tener inventario alguno de este producto. ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Explique. 3. Explique por qué altos niveles de inventario pueden enmascarar problemas de calidad en un ambiente productivo.


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4. Un pequeño negocio mantiene cinco ítems en inventario, con las siguientes características: ÍTEM

1 2 3 4 5

Precio de venta ($/unidad) 15,500 2,400 38,000 950 87,500

Inventario a Enero 01 (unidades) 350 2,530 52 5,700 8

Inventario a Enero 31 (unidades) 564 565 3 5,000 4

Ventas en Enero (unidades) 750 2,585 60 700 12

Margen de utilidad del ítem* (%) 14.7 8.5 10.2 13.5 9.0

*

Expresado como el porcentaje de utilidad del ítem sobre el precio de venta

Determine la rotación del inventario de este negocio durante el mes de Enero en número de veces por mes y en días. Observe que se pide la rotación conjunta de los cinco ítems. 5. El administrador de una droguería afirma que si él quisiera, tendría una rotación aproximada de un día comprando solo lo necesario para vender en un día, reponiéndolo al día siguiente y así sucesivamente. Discuta la viabilidad de esta afirmación desde el punto de vista de la logística y su posible efecto práctico en el negocio y en el servicio al cliente. 6. Un pequeño supermercado quiere establecer una clasificación ABC para una cierta familia de productos de aseo personal. Una muestra de 20 artículos es la siguiente: Ítem No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Demanda Valor Ítem Demanda anual del ítem No. anual (u.) ($/u.) (u.) 800 2,630 11 300 350 1,760 12 400 2,000 8,950 13 1,750 1,100 8,770 14 75 4,500 10,560 15 820 100 4,390 16 200 1,000 890 17 50 2,600 450 18 520 610 7,500 19 1,650 985 900 20 130

Valor del ítem ($/u.) 260 2,760 15,200 400,000 3,000 23,550 975 17,500 17,500 7,850

a) Construya una hoja electrónica que le permita proponer una clasificación ABC para este conjunto de ítems. Tome los cortes del porcentaje acumulado del volumen Dv en 70 y 95 por ciento aproximadamente para establecer el límite entre A y B y entre B y C, respectivamente. b) ¿Qué diferencia observa entre los ítems No. 5 y No. 14, a pesar de estar en la misma clasificación? c) Usted quiere clasificar a un ítem nuevo, No. 21, del cual sólo se conoce la demanda desde hace un mes que entró al mercado. Dicha demanda fue de 65 unidades y el ítem


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tiene un valor de 6,500 $/unidad. Explique cómo lo haría y en qué clasificación quedaría dicho ítem. d) Si la empresa manejara 6,000 ítems, ¿considera usted difícil obtener la clasificación ABC de todos los ítems utilizando la misma herramienta computacional que usted diseñó? 7. Comente acerca de la validez de la clasificación ABC para una empresa a través del tiempo. ¿Qué sugeriría usted para mantener actualizada dicha clasificación? Considere también el caso de ítems nuevos, para los cuales no se conoce historia alguna. ¿Cómo cree usted que deberían tratarse para efectos de su eventual clasificación ABC? 8. Algunos autores sostienen que la clasificación ABC está perdiendo vigencia e importancia en la actualidad debido a que con el avance de los sistemas de información y de computación, todos los ítems pueden ser controlados con sistemas relativamente complejos. Discuta esta afirmación. 9. Uno de los problemas del indicador de rotación del inventario mostrado en la Ec. (1.2) es el hecho de que usted puede tener su bodega llena, aún no ha pagado el inventario y tiene una alta probabilidad de venderlo y recuperar su inversión antes de pagar a sus proveedores. Por lo tanto, realmente el capital que ha invertido en inventarios es muy bajo, pero el indicador de rotación no mostrará esto. Por ello, surge como alternativa el indicador de rotación neta del inventario, definido como [De acuerdo con Grenoble IV (1994), p. 387]:

Ventas periódicas al costo [$ / período] Inventario promedio periódico al costo (PAGADO)[$] Inv. promedio PAGADO  (Inventario Promedio)  (Cuentas  Pagar Promedio) ROTACIÓN NETA 

(3.4)

a) Analice las ventajas y desventajas de este nuevo indicador de rotación y aplíquelo en el ejemplo del literal siguiente. Interprete el significado de un valor negativo de este indicador. b) Se está negociando la compra de un producto con un plazo de pago de 40 días. El método de control utilizado sugiere comprar 1,000 unidades para dicho tiempo. Al cabo de 1 mes, se han vendido 850 unidades. Compare la rotación del inventario y la rotación neta durante ese mes, asumiendo un inventario inicial del producto = 100 unidades ya pagadas. c) Puede ocurrir que aún el indicador de rotación neta mostrado en la Ec. (1.4) no sea adecuado porque existen muchas empresas que compran grandes cantidades de inventario y lo pagan por adelantado o en corto tiempo con el objeto de obtener significativos descuentos por pronto pago, lo que hace al negocio factible económicamente y por lo tanto rentable. Proponga nuevos indicadores de gestión de inventarios para estos casos.


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3.5

LA DIVERSIDAD DE ÍTEMS Y EL MARCO DE REFERENCIA PARA LAS DECISIONES DE INVENTARIOS

Existen organizaciones comerciales que pueden llevar más de 100,000 ítems en inventario. Una industria de tamaño medio puede tener más de 10,000 tipos diferentes de materias primas, partes y productos terminados. Los ítems en inventario pueden diferir en muchos aspectos. La Tabla 3.3 muestra diversos aspectos en los que un ítem puede diferenciarse de otro. Tabla 3.3 Características para la diferenciación de ítems en inventario ASPECTO DIFERENTES CARACTERÍSTICAS Costo y apariencia física

Costo, peso, volumen, color, forma, estado físico.

Ítems perecederos

Por deterioro con el tiempo, por robos, por obsolescencia tecnológica.

Modo de almacenamiento

En contenedores, barriles, estantes, estibas, sobre el piso, en cajas de cartón, refrigerados o con condiciones controladas, artículos inflamables, etc.

Modo de empaque

Por unidad, docenas, cientos, millares, promociones, etc.

Localización geográfica

En muchas cadenas de abastecimiento, los ítems pueden diferenciarse por su localización geográfica, así se trate del mismo código.

Con respecto del proceso de demanda, los ítems también pueden diferir en cuanto a los siguientes aspectos:  Demanda por unidades, docenas, cajas, por miles, etc.  Un ítem puede ser demandado para sustituir a otro.  Un ítem puede ser complementario, en el sentido que sólo es aceptado por el cliente si otros ítems son incluidos en la orden.  Pueden existir diferencias en cuanto al modo de transporte: Recogidos por el cliente, en camiones propios, en empresas de carga contratadas, por tren, avión, barco, etc.  Pueden existir ítems que permitan ser no despachados, para incluirlos en órdenes pendientes, mientras que otros no tengan esta flexibilidad. Igualmente, la forma como se reciben los ítems puede tener una gran variabilidad. El tiempo de despacho, adicionalmente, puede ser horas, días, semanas e incluso meses, en el caso de algunos envíos internacionales o cuando se presentan órdenes pendientes. Así, las decisiones que comprenden los sistemas de producción e inventarios se ven complicadas por la gran variedad de SKUs que pueden existir, de acuerdo con las clasificaciones anteriores. El arte de la modelación matemática consiste, en parte, en la identificación de las características básicas para diferenciar SKUs, y en la agregación de los


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mismos en grupos uniformes que permitan simultáneamente reducir su cantidad y conservar dichas características, de tal forma que los modelos matemáticos que se apliquen sean manejables en la práctica. Cualquier sistema de administración de inventarios debe resolver tres preguntas fundamentales para cada ítem en particular:  ¿Con qué frecuencia debe revisarse el inventario del ítem?  ¿Cuándo debe ordenarse el ítem?  ¿Qué cantidad del ítem debe ordenarse en cada requisición? Estas preguntas enmarcan el proceso decisorio general con respecto de los inventarios y serán la clave para definir las características de los diferentes sistemas de control. Un posible marco de referencia que caracterice los procesos decisorios en inventarios puede estar definido por los siguientes aspectos:  Como en todo proceso de modelación, es necesario determinar los factores relevantes a tener en cuenta en el proceso decisorio sobre sistemas de inventarios y a eliminar aquellos aspectos que no son significativos para el sistema bajo análisis.  Cualquier decisión que se tome con respecto a un ítem en particular está enmarcada dentro del siguiente contexto:      

La relación del ítem en consideración con otros SKUs La inversión total en el inventario agregado, probablemente considerando otros ítems de la misma familia El plan maestro de la organización Los sistemas de producción/distribución de los proveedores y clientes de la empresa La cadena de abastecimiento integral de la empresa La economía regional y mundial como un todo

 Las decisiones logísticas y de la cadena de abastecimiento obedecen a un nivel jerárquico, el cual regularmente contiene:  



Decisiones estratégicas de largo plazo, como por ejemplo la definición de la localización de una nueva planta manufacturera o un centro de distribución. Decisiones tácticas de mediano plazo, como por ejemplo la selección de una empresa transportadora para el próximo semestre o la programación de la producción del próximo mes. Decisiones operacionales de corto plazo o inmediatas, como por ejemplo la ruta de los camiones para efectuar los despachos el día de mañana o la programación de los trabajos en cierta máquina para hoy.

Análogamente, las decisiones con respecto de inventarios pueden también estar enmarcadas dentro de esta clasificación:


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 



Escogencia del sistema general de control (decisión estratégica). Selección de parámetros de acuerdo con el sistema general de control escogido, tales como el nivel de servicio al cliente (decisión táctica). Aquí puede incluirse también la selección del sistema de pronósticos para cada clase o familia de ítems. Decisiones operacionales, tales como el sistema de recolección de datos, la determinación de pedidos, el reporte de resultados, la planeación de despachos de bodegas a puntos de venta y la priorización de despachos cuando no hay suficiente cantidad de los productos despachados, entre otras posibles.

 Cuando exista un gran número de SKUs, éstos deben agregarse y analizarse en grupos homogéneos más reducidos, con el objeto de disminuir el grado de complejidad del problema sin pérdida significativa de la precisión de los modelos utilizados.  Especial énfasis debe dársele al análisis de las variables más importantes, como por ejemplo los costos de alistamiento y el proceso de demanda, para el cual debe diseñarse un adecuado sistema de pronósticos. Hay errores frecuentes en el manejo de los inventarios. Uno muy común es el de utilizar el indicador de rotación del inventario de una manera uniforme a lo largo de toda una familia de ítems. Muchas veces éstos pueden ser incompatibles o de naturaleza diferente y no es recomendable su comparación directa a través del indicador mencionado. Debe tenerse muy en cuenta que el indicador de rotación de inventarios, tal como fue definido en la Ec. (3.2), y el porcentaje sobre las ventas son útiles sólo para efectos de reporte de resultados, pero nunca como herramientas de aplicación uniforme para efectos de control. Al tratar de mejorar la rotación de los inventarios de una manera forzada, reduciendo drásticamente su nivel, es muy probable que se consiga el efecto contrario, ya que se afectaría el nivel de servicio y por ende las ventas, con lo que sería muy difícil conseguir el mejoramiento buscado del indicador. Además, se produciría una pérdida de imagen grave ante los clientes que puede ser irrecuperable. Un proyecto que busque mejorar la rotación del inventario debe ser muy bien planeado y debe aplicar técnicas cuantitativas para evitar el decremento del nivel de servicio. Otros errores muy comunes en el manejo de inventarios son los siguientes:  Definir inventarios de seguridad sólo con base en los indicadores de demanda promedio, ignorando la variabilidad de la misma y, más grave aún, ignorando la variabilidad de los tiempos de reposición.  Imponer controles en categorías de inventarios que han sido definidas sólo para efectos contables.  Imponer el mismo límite de inventarios con base en un porcentaje de las ventas para todas las divisiones regionales de una organización. En resumen, el arte del control de inventarios consiste entonces en responder a las tres preguntas básicas para cada ítem en cada lugar donde es almacenado, y además:  Considerando todas las propiedades individuales de cada producto y su relación con otros ítems,


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 Realizando un análisis integral sobre los efectos que otras operaciones de la cadena de abastecimiento pueden tener sobre el sistema de control y gestión de inventarios, tales como el sistema de almacenamiento y el sistema de transporte,  Utilizando un conjunto adecuado de indicadores de gestión de inventarios,  Categorizando correctamente las decisiones dentro de su respectivo nivel jerárquico,  Realizando el agrupamiento de ítems cuando sea del caso, y  Evitando los errores frecuentes anteriormente mencionados.

3.6

CLASIFICACIÓN FUNCIONAL DE LOS INVENTARIOS

Es muy importante clasificar los inventarios desde el punto de vista funcional, ya que esto contribuye a evitar algunos de los errores frecuentes en la administración de los inventarios. Existen cuatro tipos básico de inventarios, a saber: Inventario cíclico, inventario de seguridad, inventario de anticipación o estacional e inventario en tránsito. Esta clasificación puede ser útil para abordar la toma de decisiones en inventarios. Éstos se describen a continuación. Inventario cíclico Los inventarios cíclicos resultan del hecho de producir u ordenar en lotes en vez de unidad por unidad y están directamente relacionados con la demanda promedio del ítem. La cantidad de inventario disponible en cualquier momento como resultado de dichos lotes se denomina inventario cíclico. Las principales razones para utilizar producción u órdenes por lotes son: Obtener economías de escala al evitar altos costos de alistamiento u ordenamiento, lograr descuentos por cantidad en costos de compra y/ó transporte y satisfacer restricciones tecnológicas de producción por lotes. Posteriormente se verá que el inventario cíclico depende de la frecuencia y cantidad con que se realicen los pedidos, y que esto puede determinarse estableciendo la prioridad entre el costo de ordenamiento y el costo de mantenimiento del inventario. Inventario de seguridad El inventario de seguridad es el que se conserva disponible para responder a todas las fluctuaciones aleatorias que puedan existir en el sistema. Las más importantes son la variabilidad de la demanda y la variabilidad de los tiempos de reposición. El inventario de seguridad afecta directamente el nivel del servicio al cliente, el cual puede definirse como la frecuencia con que la demanda del cliente es satisfecha del inventario disponible. El inventario de seguridad es un tema fundamental y se tratará con detalle en los Capítulos 4 y 5. Inventario de anticipación o estacional Este es el inventario acumulado con anterioridad para responder a picos de demanda. Se maneja en empresas para las cuales es más costoso satisfacer dichos picos a partir de la

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contratación adicional de personal, a la programación de horas extras y/ó a la compra a proveedores externos durante los períodos de alta demanda. También ocurre en empresas donde la naturaleza del producto así lo determina, como por ejemplo en la producción de salsa de tomate en países donde la cosecha ocurre en un tiempo relativamente corto del año, y las empresas que fabrican adornos de Navidad. Este tipo de inventario puede estar presente, finalmente, en situaciones donde se requiere construirlo con anticipación a la demanda, como es el caso de zonas climáticas extremas donde se dificulte la distribución en ciertas épocas del año, períodos de guerra, etc. Inventario en tránsito (o en proceso) Este tipo de inventario incluye productos que se encuentran en tránsito entre diversas estaciones de producción (inventario en proceso), o en los sistemas de transporte entre una instalación y otra de la cadena de abastecimiento (inventario en tránsito o pipeline inventory). El inventario en tránsito es proporcional al nivel de utilización del producto y al tiempo de transporte entre las instalaciones del sistema y se constituye en un elemento importante para la selección de los modos de transporte en una cadena de abastecimiento, especialmente internacional (Ver Sección 10.1). Algunos autores mencionan otros tipos de inventarios, como los de congestión y los de separación. El primero se refiere a los inventarios que se forman antes de un cuello de botella en un proceso productivo y se estudian principalmente en textos de producción y manufactura. El inventario de separación es un nombre que se le da a los inventarios existentes en distintos puntos de la cadena, como por ejemplo en un centro de distribución y en una bodega local. Estos inventarios permiten separar las decisiones de control entre los dos lugares y de allí proviene su nombre. A continuación se describen los factores principales a tener en cuenta a lo largo de este texto para la gestión y control de inventarios. Se utiliza una notación semejante a la de Silver et al. (1998), ya que se ha encontrado como la más adecuada porque brinda mayor claridad, la aplican una gran cantidad de investigadores en el área de inventarios y la mayoría de los nombres de las variables y sus iniciales coinciden con sus nombres en español.

3.7

FACTORES DE IMPORTANCIA DECISIONES EN INVENTARIOS

PARA

LA

TOMA

DE

3.7.1 Factores de costo

El valor unitario del ítem, v El valor unitario de cada ítem v está expresado en $/unidad, pudiendo ser la ‗unidad‘ cualquier medida adecuada de cantidad de producto, como pueden ser litros, metros cúbicos, toneladas, unidades físicas, cajas, etc. Para un comerciante (no-productor) este costo corresponde al


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precio del artículo pagado al proveedor incluyendo los fletes y costos variables relacionados. Puede depender del tamaño de pedido, de acuerdo con los descuentos por cantidad. Para productores, este valor es más difícil de determinar. Sin embargo, rara vez se utiliza el valor en libros del ítem. Se prefiere, en cambio, medir el valor real del dinero invertido en el ítem (costo variable de producción) para hacerlo apto para su utilización, bien sea como producto terminado para el consumidor final, o como componente para otro proceso dentro de la planta. Este costo es muy importante, ya que el costo de llevar el inventario depende de él. La tasa o rata del costo de llevar o mantener el inventario, r De acuerdo con Stock y Lambert (2001, pp. 187-225), el costo de mantenimiento del inventario debería incluir sólo aquéllos costos que son proporcionales al volumen de inventario que se mantiene. El costo de llevar o mantener el inventario comprende por lo tanto los costos de servicio del inventario (almacenamiento y manejo), el costo del espacio utilizado, los costos de capital y los costos de riesgo del inventario (los costos de obsolescencia, daños y filtraciones y los seguros e impuestos). Los costos de almacenamiento y manejo se refieren a los costos de operar la bodega, teniendo en cuenta la mano de obra utilizada, las actividades desarrolladas, tales como recepción, almacenamiento, inspección, recolección y despacho. Si la bodega es arrendada, estos costos podrían formar parte del costo global de espacio dado por el arrendatario y descrito a continuación o podrían ser independientes expresados en $/unidad que circula por la bodega. El costo de espacio es el reflejo del uso del volumen dentro del edificio de la bodega. Si la bodega es arrendada, estos costos se miden generalmente por unidad de peso por cada período de tiempo, por ejemplo en $/(ton  mes). Si el espacio es propio de la empresa, sus costos se determinan de acuerdo con los costos de operación asociados con dicho espacio, tales como climatización e iluminación, y costos fijos, tales como los costos del edificio y del equipo, basados en el volumen que se maneja en la bodega. Los costos de espacio no se incluyen en el cálculo de inventarios en tránsito. Los costos de capital o costos de oportunidad representan la mayor proporción de los costos de llevar el inventario. A pesar de esto, es el costo menos tangible de todos los componentes del costo de inventario, ya que en realidad representa la posible pérdida de inversión en otras actividades que la empresa podría tener, donde al menos ganaría su tasa mínima de retorno sobre la inversión. Su determinación no es fácil, ya que depende de muchos factores. Primero, los inventarios pueden tratarse de activos a corto plazo o de activos a largo plazo, dependiendo de su función. Segundo, el costo de capital puede determinarse de un rango amplio de valores que van desde las tasas de interés del mercado hasta el costo de oportunidad del capital, que puede estar representado en el promedio de las tasas mínimas de retorno de la empresa o en las inversiones más rentables a las que la empresa tiene acceso. Stock y Lambert (2001, pp. 193-217) presentan una completa discusión de estos aspectos (Ver Lecturas Adicionales al final de este capítulo). Los costos de riesgo representan los costos de obsolescencia, deterioro y depreciación del inventario. El deterioro puede deberse a condiciones naturales de los ítems en inventario, especialmente si se trata de artículos perecederos. Estos costos pueden determinarse del costo de ítems perdidos, o del costo de actualización mediante trabajo adicional para recobrar el estado normal del producto, o de reponer el producto desde otra localización.


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Los seguros e impuestos dependen del inventario disponible y por ello forman parte del costo de llevar el inventario. Los seguros se toman como prevención contra incendio, robo, daños, etc. Los impuestos se pagan dependiendo de los sistemas contables particulares de cada región y generalmente se cobran de acuerdo con los valores en libros de los inventarios. El tema de valoración de los inventarios para efectos contables no se considera en esta publicación. Tabla 3.4

Componentes del costo de mantenimiento del inventario

[Fuente: Complementada de Bowersox et al. (2007), p. 137] Componente de la tasa de Rango de valores Ejemplo Porcentaje del costo de mantenimiento total en el ejemplo del inventario r (% anual) (% anual) (%) Interés y costos de oportunidad 4.0-40.0% 30.0 83.33 Obsolescencia y depreciación 0.5-2.0 2.0 5.56 Almacenamiento y manejo 0.0-4.0 2.0 5.56 Impuestos 0.5-2.0 1.0 2.78 Seguros 0.0-2.0 1.0 2.77 TOTAL 5.0-50.0% 36.0 100.00 La Tabla 3.4 muestra un posible rango de porcentajes de los costos mencionados anteriormente y un ejemplo, al igual que el porcentaje de cada tipo de costo con respecto a la tasa total de costo de mantenimiento del inventario r. Como ilustración, tómese el 30.0 % anual de los costos de interés y de oportunidad en el ejemplo; la proporción 30.0/36.0 = 83.33%, da el porcentaje de este componente con respecto de la tasa total r del ejemplo, igual al 36.0% anual. Nótese que los costos de oportunidad y almacenamiento representan la mayor proporción del costo de mantenimiento del inventario, aunque los costos de obsolescencia pueden tomar un lugar importante, especialmente en productos de corto ciclo de vida. Esto por supuesto es una guía y en cada caso debe analizarse cuidadosamente cada componente del costo. Las unidades en las que se mide la tasa r son normalmente en un porcentaje por año [%/año], o, equivalentemente, en [$/($  año)], lo que significa el dinero que hay que pagar por cada peso invertido en inventario cada año o cada período de tiempo que se escoja para el análisis. Regularmente se utiliza el mismo costo de llevar el inventario para todos los ítems o para familias homogéneas de ítems, excepto en los casos en que las diferencias entre diversos ítems sean significativas y ameriten un cálculo independiente. El costo de mantenimiento del inventario Cm (en $) viene dado por:

Cm  Ivr donde: I  Inventario promedio anual en unidades Iv  Inventario promedio anual expresado en unidades monetarias ($) r  Tasa del costo de llevar el inventario expresada en %/año o en $/($  año)

(3.5)


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Nótese la diferencia entre la tasa del costo de mantenimiento del inventario r y el costo de mantenimiento del inventario propiamente dicho Cm. Este último se obtiene al multiplicar la tasa r por el inventario promedio en $, el cual surge del producto entre el valor del ítem v en $/unidad y su inventario promedio en unidades I . Se aclara esto porque a menudo se habla de r como el ‗costo de mantenimiento del inventario‘ y no como una tasa o rata. Otros métodos para estimar r han sido desarrollados recientemente. Por ejemplo, Berling (2008) expresa que la investigación reciente ha demostrado que no necesariamente el costo de mantenimiento del inventario varía linealmente con el nivel de inventario promedio. El autor presenta otra metodología basada en elementos microeconómicos, la cual considera el costeo basado en actividades (Costeo ABC o Activity Based Costing). En este artículo se demuestra que en algunas ocasiones el método tradicional puede sobreestimar en más del 15 por ciento la tasa del costo de mantenimiento del inventario r. El costo de ordenamiento o de alistamiento, A Cada orden para reponer el inventario tiene varios costos asociados, los cuales en general son fijos y no dependen del tamaño de la misma. Estos costos corresponden al procesamiento, transmisión, manejo y compra de la orden. Específicamente, para un comerciante (noproductor), el costo de ordenamiento puede comprender:  Costo de preparación de los formatos de las órdenes  Costos de correo (o de cualquier sistema que utilice para la transmisión de órdenes, incluyendo fax, EDI, etc.)  Costos de llamadas telefónicas relacionadas con el pedido  Costos de autorización del pedido  Costos de recepción e inspección  Costos de manejo de las facturas del proveedor  Otros costos relacionados con el procesamiento de la orden  Costo de transporte de la orden (independiente del tamaño de la misma) Para un productor este costo puede incluir los rubros relacionados con el montaje de maquinaria fija, los costos de alistamiento para preparar las máquinas para procesar la orden, la transmisión y control de la orden en la planta. En este caso se prefiere utilizar el término costo de preparación o de alistamiento (setup). Es muy importante definir cuáles costos se constituyen en costos adicionales o marginales para la preparación o procesamiento de una orden, ya sea en un sistema productivo o comercial, ya que, de acuerdo con algunos autores, son los costos marginales o incrementales los que deben incluirse en el costo de ordenamiento o preparación. En otras palabras, si el procesamiento de una orden no requiere de personal adicional, sino del mismo personal al que debe pagársele su salario independientemente de que la orden se produzca o no, sólo deberían incluirse los costos marginales para procesar la orden, como por ejemplo, el costo de papelería y copiado. Algunos costos de ordenamiento pueden depender del tamaño de la orden y, por lo tanto, su tratamiento matemático varía. Fogarty et. al. (1994, pp. 208-

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233) tratan con mayor detalle y extensión el tema de los costos de ordenamiento, al igual que Silver y Peterson (1985, pp. 72-78) y Silver et al. (1998, pp. 53-58). El costo de bajo o de faltante de inventario, B Este costo se produce cuando se recibe una orden y no hay suficiente inventario disponible para cubrirla (puede ser que el ítem esté completamente agotado o que haya bajo inventario). Generalmente se expresa como un porcentaje del valor v del ítem. Los principales tipos de costos de faltantes son los siguientes: Costo especificado (B1) por cada ocasión en la que ocurren faltantes. En este caso se asume que el costo de faltante de inventario es constante y se incurre en él solo por el hecho de ocurrir el rompimiento de inventario. No depende entonces de la magnitud ni de la duración del faltante, solo del evento de ocurrencia. Por ejemplo, esto puede suceder cuando la inminente ocurrencia de un faltante genera una serie de actividades de emergencia para evitarlo. Costo especificado (B2v) por cada unidad de faltante. Aquí se carga una fracción B2 del costo unitario del ítem debido al faltante. O sea que el costo unitario de faltante es igual a B2v, donde v es el valor unitario del ítem como se ha definido anteriormente. Este tipo de costo se utiliza, por ejemplo, cuando el faltante es cubierto mediante horas extras de producción, lo que ocasiona un sobrecosto unitario de producción. También puede ser adecuado cuando la venta se pierde totalmente y el costo es entonces la utilidad unitaria dejada de percibir más cierto valor por pérdida de imagen ante los clientes. Costo especificado (B3v) por cada unidad de faltante por unidad de tiempo. Aquí se carga una cantidad B3 por cada peso de faltante (o equivalentemente B3v por unidad de faltante) por unidad de tiempo. Este caso se aplica cuando, por ejemplo, se trata de faltantes de repuestos que pueden parar la producción de una máquina hasta que el ítem sea entregado al cliente. Nótese que esta medida del costo de faltantes tiene las mismas unidades que la tasa de costo de mantenimiento del inventario r. Cuando ocurre un faltante pueden ocurrir entonces tres posibilidades: Se genera una orden pendiente, se pierde la venta o se produce una combinación de ambas, por ejemplo cuando el cliente decide aceptar una orden pendiente parcial. Cualquiera de las tres posibilidades que ocurra, genera un costo de faltante, el cual es muy difícil de estimar debido a su naturaleza intangible. Cuando se pierde la venta totalmente, puede usarse como una primera aproximación la utilidad perdida como el costo de faltante de inventario. Cuando se genera una orden pendiente, una serie de acciones especiales deben ser emprendidas, como son órdenes adicionales, planeación urgente de producción, transporte especial, etc., lo que aumenta el costo del ítem comparado con el canal normal de distribución. Estos costos no son difíciles de medir, pero el hecho de no tener el inventario disponible puede generar mala imagen y descontento en los clientes, lo cual puede ocasionar pérdida de ventas futuras. Este factor es muy difícil o imposible de cuantificar en forma práctica. Se prefiere, por ello, utilizar valores conservativos, de tal forma que no se generen altos costos de faltantes y el control del


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inventario mantenga un nivel de servicio alto. También, en algunas ocasiones se calcula el costo de faltante implicado por cierta política de inventarios y su valor se compara con valores de referencia para determinar si está o no dentro de cierto rango admisible. 3.7.2 Factores relacionados con los tiempos de reposición y con la demanda

Tiempo de reposición (Lead Time), L El tiempo de reposición o Lead Time (término normalmente usado en nuestro medio) es el tiempo que transcurre entre el momento de expedir una orden (de compra o de producción) y el instante en que se tienen los artículos listos para ser demandados por el cliente. Este factor es clave para el control de los inventarios, ya que es precisamente durante el tiempo de reposición cuando puede ocurrir un faltante de inventario, pues se supone que aquí el nivel de inventario está relativamente bajo, ya que dio lugar a la expedición de una orden. En un ambiente no productivo, por ejemplo, el tiempo de reposición comprende generalmente las siguientes etapas:  Tiempo administrativo que transcurre entre la decisión de emitir una orden y su correspondiente preparación.  Tiempo de tránsito de la orden hasta el proveedor.  Tiempo empleado por el proveedor para procesar la orden, el cual a su vez depende de su nivel de inventario y condiciones generales de almacenamiento y producción.  Tiempo de tránsito entre el proveedor y el lugar donde es solicitada la orden.  Tiempo de recepción, inspección, ingreso al sistema y almacenamiento en el lugar donde es solicitada la orden. El tiempo de reposición tiene ciertas implicaciones teóricas complejas; es decir, no es simplemente una diferencia de fechas en una hoja electrónica. Supongamos que a un proveedor le hemos puesto una orden de compra por cinco ítems, digamos por 500, 700, 800, 850 y 900 unidades de los ítems 1 al 5, respectivamente. El proveedor promete dos días de tiempo de reposición, al cabo de los cuales efectivamente llega el camión a nuestra bodega. Sin embargo, la entrega se hace por 500, 700, 800, 400 y 0 unidades, respectivamente. Es decir que faltaron 450 unidades del ítem 4 y todas las 900 unidades pedidas del ítem 5. El proveedor se compromete a entregar las cantidades faltantes al cabo de otros tres días, aumentando a cinco días la entrega completa de los ítems 4 y 5. ¿Cuál fue entonces el tiempo de reposición de la orden de compra asociada a este proveedor? La respuesta a esta pregunta no es fácil y esto ocurre todos los días en nuestro medio. Podríamos decir entonces que lo ideal sería llevar un registro de tiempos de reposición por ítem y por proveedor y no solamente por proveedor o por orden de compra. El problema es que las empresas a menudo no llegan hasta este nivel de detalle en sus sistemas de información e incluso ni siquiera se graba la información global por proveedor, de la cual podamos extraer tiempos de reposición promedios y estimar sus desviaciones estándar. Lo que es peor es que muy probablemente, en el ejemplo, habrá rompimiento del inventario de los ítems 4 y 5, pues seguramente los cálculos de inventarios cíclicos y de seguridad se hicieron

62


con un tiempo de reposición promedio del proveedor de dos o tres días, el cual no se cumplió para todos los productos. Estas son las complejidades prácticas que toca sortear a diario y, como lo he podido comprobar, producen un efecto dramático sobre los sistemas de control de inventarios de las empresas. Algo semejante puede ocurrir cuando el proveedor es nuestra propia planta productora, aunque en este caso puede haber mejores oportunidades de control. He observado en la práctica comportamiento de proveedores altamente variables en cuanto a su tiempo de reposición, con distribuciones de frecuencia que pueden fluctuar entre los 2 y los 20 días o más, con una forma muy irregular. Evidentemente, esta situación muestra que los tiempos de reposición rara vez se pueden considerar constantes y conocidos y por lo tanto debe incluirse en los análisis alguna aproximación a este problema. La Sección 5.8 contempla los sistemas de control de inventarios considerando tiempos de reposición aleatorios. Tipo y patrón de demanda, D Consideremos primero un aspecto muy importante de la demanda, cual es su caracterización como demanda independiente, o como demanda dependiente o derivada. La demanda independiente es generada por entes externos a la empresa, como por ejemplo los clientes que compran los productos terminados que ésta manufactura. La demanda dependiente, por el contrario, como su nombre lo indica, depende de otras demandas. El ejemplo más común es la demanda de materias primas y componentes generada por una demanda independiente de productos terminados. En general, la demanda dependiente es mejor controlada por sistemas MRP (Material Requirements Planning) y otras técnicas relacionadas. Los casos de demanda dependiente se analizan principalmente en los textos de producción. Este texto se enfoca en los casos de demanda independiente, con excepción del tema de control de inventarios con demanda determinística pero variable con el tiempo, expuesto en el Capítulo 5, el cual está muy relacionado con los sistemas MRP. Para una descripción interesante sobre la relación entre la demanda independiente y la dependiente, puede consultarse a Gutiérrez (2006). Otro aspecto de fundamental importancia para el diseño de un sistema de administración de inventarios es el patrón que sigue la demanda. El patrón de demanda más simple es el de demanda constante y conocida, el cual obviamente se aparta mucho de la realidad. Su utilidad principal radica en que algunos conceptos relacionados con este tipo de demanda, como el tamaño económico de pedido (EOQ), son importantes para la comprensión y el desarrollo de casos más complejos y que, de una u otra forma, se emplea en la práctica. La demanda también puede ser variable pero conocida (o sea demanda determinística), la cual corresponde al famoso problema del tamaño dinámico de lote (lot sizing). La demanda aleatoria se presenta de acuerdo con varios patrones claramente identificables. La demanda perpetua, estable o uniforme, cuyo promedio se mantiene por largos períodos de tiempo y su fluctuación permanece dentro de rangos ‗pequeños‘. Si el promedio de demanda varía significativamente con el tiempo, se tiene un patrón de demanda con tendencia (creciente o decreciente), la cual generalmente se toma como lineal. Otro patrón de demanda ocurre cuando se esperan picos en determinadas épocas del año, como es el caso de artículos de Navidad o productos relacionados con las estaciones climáticas. Este patrón de demanda se denomina periódico o estacional. El patrón de demanda errática tiene la característica de presentar grandes variaciones a lo largo del tiempo, pasando de períodos de cero demanda a grandes picos. La diferencia de entre este patrón y el periódico o estacional es


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que en el errático los picos no son predecibles, lo que la convierte en una de las demandas más complejas de administrar. Todos estos temas se tratan en el Capítulo 5. Perpetua

Errática

Estacional

Tendencia

300

Demanda en unidades

250

200

150

100

50

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Tiempo en semanas

Figura 3.5. Diversos patrones de demanda Pueden existir patrones de demanda que varían de un período a otro, presentándose combinaciones de los patrones anteriores, como por ejemplo la demanda de cuadernos en nuestro medio. En la época previa a la entrada a los colegios y universidades se presentan picos predecibles de demanda, mientras que entre estos picos la demanda puede catalogarse como relativamente estable. La Figura 3.5 ilustra algunos patrones de demanda. Una forma práctica de determinar si una demanda es perpetua o errática constituye en calcular el coeficiente de variación de la distribución de la demanda, definido como: C.V . de la dem anda 

Desviación Estándar de la demanda Demanda Promedio

(3.6)

Si el coeficiente de variación es mayor o igual que 1 (100%), la demanda puede catalogarse como errática. En caso contrario, la demanda puede considerarse estacionaria o perpetua. Obviamente, entre menor sea el coeficiente de variación de la demanda, menor es su grado de aleatoriedad. Esto por supuesto es una regla muy general y cada caso debe analizarse en forma particular. Ejemplo 3.3. (Demanda perpetua y demanda errática) Considere los siguientes registros de demanda (en unidades) de las últimas 12 semanas para dos ítems:


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Semana

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ítem 1

54

78

120

15

33

68

102

80

45

17

60

125

Ítem 2

10

95

3

0

3

17

0

0

130

0

2

2

Si xt es la demanda observada en el período t y n es el número total de períodos de observación (en este caso 12 semanas), se puede estimar la demanda promedio y su desviación estándar para cada uno de los ítems anteriores, de acuerdo con las siguientes ecuaciones muy conocidas de la estadística: n

Demanda Promedio x 

x t 1

t

n n

Desviación Estándar σˆ 

 (x  x) t 1

2

(3.7)

t

n 1

Al aplicar las Ec. (3.7) al ejemplo, se obtienen los siguientes resultados: ÍTEM 1

Demanda Promedio 66.42

Desviación Estándar 36.61

Coeficiente de Variación 0.55

2

21.83

43.30

1.98

Se pueden entonces concluir que el ítem 1 sigue un patrón de demanda perpetua, mientras que el ítem 2 presenta un patrón de demanda errática. Esta diferencia puede generar diferentes sistemas de pronósticos y políticas de control del inventario de dichos ítems. En casos reales, es posible que se requiera un mayor número de datos para lograr estimaciones más precisas de los parámetros de la distribución de la demanda. De acuerdo con el patrón que siga la demanda, se debe escoger el sistema de pronósticos adecuado. El objetivo del Capítulo 4 es el estudio de diversos sistemas de pronósticos utilizados en el control de inventarios de ítems de demanda independiente.

Ejercicios 3.2 1. Suponga que usted ha sido llamado como asesor para diseñar sistemas de control de inventarios en un gran almacén de departamentos, o sea aquél que tiene secciones de supermercado, electrodomésticos, ropa, ferretería, droguería, papelería, etc.


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a) Trate de estimar el número de ítems que un almacén de esta naturaleza maneja normalmente en su inventario. b) Proponga posibilidades de agrupación de ítems para reducir su número y así la complejidad de los sistemas de control. c) Diferencie diferentes tipos de ítems, como por ejemplo, ítems perecederos y comente en general sobre las dificultades que un sistema de control de inventarios para este caso tendría. d) Dé algunos ejemplos sobre cuáles ítems tendrían muy probablemente demanda perpetua, errática, estacional, combinada, etc. Comente sobre las dificultades de control de cada tipo de ítem. 2. Discuta acerca de la función que desempeña el inventario de seguridad y por qué éste es a menudo no requerido en ambientes que trabajan bajo JIT. 3. Tomando casos de la vida real, dé ejemplos de inventario cíclico, de seguridad, de anticipación y en tránsito. Discuta la utilidad que tiene el definir los tipos de inventarios de acuerdo con su función. 4. Una ferretería que maneja un inventario muy uniforme en cuanto a su tamaño y manejo está tratando de determinar su costo de mantenimiento del inventario. El primer acuerdo al que se llega es que los costos de oportunidad pueden tomarse como el 18% anual, de acuerdo con las tasas promedio de colocación a las que tiene acceso la empresa. El inventario promedio que se tuvo el último año fue de alrededor de 3,800 millones de pesos. Se ha determinado que los costos de almacenamiento y manejo para el año pasado fueron los siguientes: Instalaciones (Almacén y bodega) Mano de obra (Manejo de materiales) Mantenimiento de equipo Mantenimiento de las instalaciones Personal de seguridad

$

37,000,000 57,000,000 17,500,000 20,000,000 27,500,000

Se ha reunido también la siguiente información adicional para el último año: Daños y pérdidas Impuestos pagos sobre el inventario Seguros pagos Obsolescencia y depreciación estimadas

$

33,750,000 26,550,000 42,000,000 31,000,000

A partir de los datos anteriores, proponga un valor para la tasa del costo anual de mantenimiento del inventario, r, que maneja esta empresa. 5. El inventario de cierta empresa, principalmente compuesto por partes maquinadas, consiste en 6,000 ítems valorados por el departamento de contabilidad en un promedio de 966 millones de pesos. La compañía había construido recientemente una nueva bodega a un costo de $426 millones de pesos, financiados mediante un préstamo que paga el 17.5% anual efectivo. El edificio se deprecia en línea recta a 25 años. La compañía calcula un


66

costo de capital del 10% anual. Los principales costos de operación anuales en la nueva bodega se estimaron así: Impuestos Seguro de edificios y de inventario Aire acondicionado Electricidad y agua Mano de obra Filtraciones Obsolescencia

$

13,185,000 7,360,000 28,750,000 9,578,000 58,700,000 11,500,000 11,500,000

TOTAL

$

140,573,000

Recomiende un valor para el costo de mantenimiento del inventario, r, en $/$año. [Adaptado de Silver et al. (1998), p. 69] 6. Si en el problema No. 4 los artículos de que se habla no hubiesen sido tan ―uniformes‖ en cuanto a su tamaño y manejo, ¿cómo considera usted que debería cambiarse la metodología de cálculo para la tasa del costo de mantenimiento del inventario r? 7. Lea cuidadosamente el Apéndice 5A (Medición de los costos de preparación) del texto de Fogarty et al. (1995, pp. 229-233). Discuta acerca de los tres métodos de cálculo de este costo, o sea el método agregado, el de costo estándar y el de costo marginal presentados en el Apéndice. 8. Se dispone de datos de la demanda en unidades de cuatro ítems para las últimas 24 semanas, de acuerdo con la Tabla 3.5. a) Diseñe una hoja electrónica que le permita determinar el tipo de patrón de demanda que sigue cada uno de los cuatro ítems. Calcule el coeficiente de variación de la demanda para cada uno de ellos y concluya. b) Dé ejemplos de ítems comerciales reales que pudieran seguir cada uno de los patrones de demanda identificados. ¿Qué tiene de especial el patrón de demanda del ítem 3? c) Utilizando sus conocimientos de regresión lineal simple, pronostique la tendencia de la demanda del ítem 2 para las próximas cuatro semanas. d) De acuerdo con su criterio, ordene los ítems con relación al grado de complejidad del control de inventario de cada uno. Sustente su respuesta. Tabla 3.5.

Datos de demanda para el Problema No. 8 (Ejercicios 3.2)


Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Item 1 92 74 56 62 48 79 65 73 48 56 97 35 55 56 110 95 62 77 52 82 98 64 33 87

Item 2 17 54 35 62 86 79 95 77 105 69 125 98 114 137 99 150 164 135 114 177 129 205 184 177

Item 3 17 25 42 85 26 33 52 106 36 48 74 126 52 77 99 154 67 87 115 187 88 97 115 198

67

Item 4 17 3 0 55 14 4 110 64 2 0 130 24 0 0 8 6 144 2 1 7 14 95 0 78

Demanda (u.)

9. La demanda de cierto ítem se observa gráficamente así:

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1

6

11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86

Tiempo (Semanas)

a) Dé ejemplos de ítems reales que pudieran seguir este patrón de demanda. b) ¿Cuál cree usted que podría ser un posible sistema de control del inventario de este ítem?

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Lecturas adicionales Capítulo 3 1. Chopra y Meindl (2008): Capítulo 3 (pp. 44-64) (Es un capítulo muy interesante que ubica el tema de inventarios dentro de todo el contexto de la cadena de abastecimiento). Capítulo 10 (pp. 294-296) (Presentan de forma muy concisa la estimación de los costos relacionados con el inventario cíclico). 2. Bowersox et al. (2007): Capítulo 6 (pp. 130-137) (Se trata de una buena lectura introductoria sobre los temas de inventarios). 3. Silver et al. (1998): Capítulos 1 y 2 (pp. 3-26); Capítulo 3 (pp. 27-66) (Introduce al tema de inventarios y explica con detalles adicionales el tema de costos de inventario). 4. Stock y Lambert (2001): Capítulo 5 (pp. 187-225): Impacto Financiero de los Inventarios. (Este capítulo es un excelente complemento para el tema de costos de inventario, ya que precisa los conceptos de costo de mantenimiento y su relación con la rotación del inventario). 5. Sipper y Bulfin (1998): Capítulo 6 (pp. 311-325) (Este final de capítulo presenta otra visión de la clasificación ABC y de la organización general de un sistema de control de inventarios). 6. Wild (1997): Capítulo 3 (pp. 29-51) (―Administrando el inventario”; complementa el análisis ABC, principalmente). 7. Fogarty et al. (1994): Capítulo 5 (pp. 179-233) (Este capítulo da un panorama general de administración de inventarios, incluyendo la clasificación ABC y presenta un análisis muy interesante sobre costos de inventario en general). 8. Robeson y Copacino (1994): Capítulo 9 (pp. 372-390) (Este capítulo de este Manual de Logística presenta algunos aspectos interesantes sobre medidores de desempeño en inventarios, como por ejemplo la rotación neta del inventario).

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 4: Pronósticos de demanda

69

4. PRONÓSTICOS DE DEMANDA 4.1

INTRODUCCIÓN

Prácticamente en todo proceso de decisión en cualquier tipo de organización debe pronosticarse una o más variables de interés. En una empresa del sector productivo, por ejemplo, es fundamental pronosticar los requerimientos de materiales para producir los bienes que ella manufactura; en un sistema financiero internacional es básico predecir el comportamiento del flujo de dinero y las tasas de cambio; en un sistema de servicios, como un restaurante de comidas rápidas, es muy importante pronosticar la carga de trabajo para asignar el número de personas adecuado que atenderá a los clientes en cierto período; en una empresa que comercializa productos, o sea que compra a un número de proveedores y vende el mismo producto a una población de clientes, se hace necesario pronosticar la demanda que dichos clientes van a generar. En cualquier caso, el sistema de pronósticos es un elemento clave para el cumplimiento de los objetivos de la organización y para el mejoramiento de su competitividad, ya que de no tomar las decisiones correctas, se puede caer en extremos como el deficiente servicio al cliente, el exceso de inventarios o, peor aún, ambos factores en forma simultánea cuando se presenta el desbalanceo de los inventarios. En este capítulo se presentan las principales técnicas de pronósticos de demanda independiente, la mayoría de las cuales han sido utilizadas y evaluadas por mí en casos reales. Inicialmente, se describen las principales características de cualquier sistema de pronósticos, haciendo énfasis en los factores que afectan la precisión de los mismos y en los indicadores de eficiencia del pronóstico. Seguidamente, se presentan los sistemas de pronósticos de promedio móvil y suavización exponencial simple indicados para patrones de demanda estable, perpetua o uniforme. A continuación, se explica el sistema de pronósticos de suavización exponencial doble, útil para casos de demandas con tendencia creciente o decreciente. Posteriormente, se introducen los métodos de pronósticos de demanda estacional o periódica y se incluye el método de Croston para los casos de demanda errática o intermitente. En la sección siguiente se da una introducción al tema del cálculo de inventarios de seguridad con base en la información extractada del sistema de pronósticos. El capítulo concluye presentando el tema de los errores suavizados y las señales de rastreo, de gran utilidad para el control de los sistemas de pronósticos.

4.2

NATURALEZA DE LOS SISTEMAS DE PRONÓSTICOS

El primer aspecto que debe tenerse en cuenta es que los pronósticos de demanda siempre estarán errados. Esto no es sorprendente ya que cuando se pronostica, se está anticipando lo que ocurrirá en el futuro. La clave del éxito de un sistema de gestión de inventarios es, por lo tanto, conocer a fondo los errores del pronóstico y responder a ellos en forma adecuada mediante la utilización de inventarios de seguridad. El segundo aspecto de importancia en un sistema de pronósticos es la definición del tipo de pronóstico a utilizar. Diversos autores reconocen los siguientes métodos de pronósticos:

70


 Cualitativos: Son fundamentalmente subjetivos y se utilizan ante la carencia de datos históricos. Son basados prácticamente en la experiencia del analista. Pueden ser muy importantes para el caso de pronósticos de demanda de ítems nuevos. Una extensa revisión de bibliografía y análisis sobre este tema puede encontrarse en Fildes et al. (2009) y en Lawrence et al. (2006).  Series de Tiempo: Son métodos cuantitativos estadísticos basados en datos históricos de demanda. Son fundamentales para cualquier sistema de pronósticos que se elija. En este tipo de pronósticos se asume que el comportamiento de la demanda va a ser aproximadamente igual al que se venía presentando en el tiempo, reflejado en los datos históricos disponibles.  Causales: Son métodos que asumen alta correlación entre los pronósticos de demanda y ciertos factores externos, como por ejemplo, la economía de un país, el crecimiento de la población, la demanda de otros productos que influencian la del que se está analizando, entre otros posibles.  Por analogía: Estos métodos se basan en la observación de hechos pasados similares al que se quiere pronosticar. Por ejemplo, cuando se trata de pronosticar la demanda de una promoción de un producto, se analiza lo que pasó en promociones anteriores semejantes. Lee et al. (2007) proveen un extenso análisis acerca del uso de analogías para el pronóstico de demanda.  Simulación: Son métodos que generalmente combinan estrategias de series de tiempo con pronósticos causales. En estos métodos se trata de simular el comportamiento de los clientes para inferir los niveles de demanda futuros.  Combinación de los anteriores: Tienen un gran potencial y suelen ser los más efectivos en la mayoría de los casos. A continuación se detallan otros aspectos fundamentales que caracterizan un sistema de pronósticos. 4.2.1 Pasos fundamentales y ambiente general de un sistema de pronósticos La implementación exitosa de un sistema de pronósticos requiere de ciertos pasos a considerar. Estos son:  Definir y comprender qué se desea pronosticar y para qué se van a utilizar los pronósticos. No es lo mismo la realización de pronósticos para efectos de control estadístico de la calidad de un producto que los pronósticos de demanda de un producto para efectos de planeación de compras y despachos, por ejemplo.  Establecer canales de comunicación adecuados entre todos los elementos de la cadena de abastecimiento con el objeto de tomar las decisiones en forma integral. Por ejemplo, si un pronóstico de ventas realizado por el departamento de mercadeo no se comunica a tiempo a los planeadores de demanda, a los administradores de materias primas y a la planta de producción, muy probablemente dicho pronóstico no se podrá cumplir. A veces resulta increíble, pero en la práctica muchas veces se presenta una gran


71

desinformación entre los departamentos de una misma empresa, lo que causa grandes problemas en la obtención, análisis y utilización de los pronósticos de demanda.  Analizar detalladamente cualquier factor que pueda afectar al pronóstico. Dentro de estos factores se puede mencionar la forma como el producto se va a adquirir o a producir, la segmentación de los clientes y la naturaleza del producto (consumo masivo, grado de substitubilidad, perecedero o no, etc.), entre otras posibles.  Definir un sistema adecuado de pronósticos y de medición del error del pronóstico para cada caso en particular. Por ejemplo, no es lo mismo pronosticar ítems con demanda estable e ítems con demanda errática. El resto de este capítulo se dedica principalmente a analizar este punto. La Figura 4.1 presenta el ambiente general bajo el cual un sistema de pronósticos generalmente se desenvuelve. Nótese la importancia que tienen los registros históricos de demanda, ya que permiten una mejor selección del modelo a utilizar y su ‗puesta a punto‘ para el arranque de los pronósticos, a través de métodos de simulación del pronóstico, los cuales serán explicados posteriormente. Otro aspecto básico que siempre forma parte de un sistema de pronósticos es la intervención humana basada en la experiencia, con la cual se refinan los sugeridos brindados por el sistema, especialmente para los ítems clase A (los más importantes), los cuales requieren de un seguimiento continuo por parte de la administración. Fildes et al. (2006) expresan que los pronósticos son típicamente producidos por la combinación del juicio administrativo y técnicas cuantitativas, dentro de un sistema de soporte para pronósticos. En su artículo, los autores mencionan que a menudo no se da esta integración con los consiguientes efectos negativos en la precisión del pronóstico e identifican factores para disminuir este efecto. Obsérvese dentro de este contexto la importancia de la medición y utilización de los errores de pronóstico, los cuales son la fuente de análisis para determinar la conveniencia del modelo utilizado. DATOS HISTÓRICOS

Posible modificación del modelo o sus parámetros

Selección, simulación e inicialización del modelo MODELO SUBYACENTE Demanda real observada INTERVENCIÓN HUMANA

Pronóstico estadístico PRONÓSTICO DE DEMANDA

CÁLCULO DE ERRORES DE PRONÓSTICO

Figura 4.1. Ambiente común de un sistema de pronósticos [Fuente: Adaptada de Silver et al. (1998), p. 75]


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Los errores de pronóstico son básicos principalmente por tres razones:  Proveen una forma de estimar la variabilidad de la demanda y de determinar el inventario de seguridad adecuado, lo cual es fundamental para balancear los inventarios y evitar el problema de agotados de ítems clave y de exceso de ítems menos importantes.  Permiten determinar la conveniencia del modelo de pronósticos seleccionado o de la posible actualización de sus parámetros.  Ilustran al administrador para su intervención en el pronóstico. Otro aspecto inherente a un sistema de pronósticos es el costo total del sistema escogido. Entre más sofisticado sea el sistema de pronósticos, probablemente se podrá pronosticar mejor la demanda y su variabilidad, pero a la vez esto tendrá un mayor costo al requerirse mayor esfuerzo humano y de computación. Si por el contrario se utiliza un sistema de pronósticos menos complejo, los costos de operación del sistema serán menores, pero la precisión de los pronósticos será menor, lo que puede causar pérdidas debidas a la presencia de mayores fuentes de variabilidad. Claramente, y como se muestra en la Figura 4.2, el sistema de pronósticos ideal debería operar cerca de la zona donde el costo total es mínimo y donde exista un equilibrio entre la precisión deseada del pronóstico y el costo asociado de obtenerla. El arte del analista consiste entonces en seleccionar, de acuerdo con esto y con las condiciones particulares de su organización, el mejor sistema de pronósticos.

Costo

Costo del pronóstico

Costo Total

Pérdidas debido a la incertidumbre

Óptimo

Nivel de esfuerzo para generar el pronóstico

Figura 4.2. Conflicto de costos en un sistema de pronósticos 4.2.2 La importancia de la medición de la demanda no servida Nótese que desde un comienzo se ha venido hablando de ‗pronósticos de demanda‘. Esto significa que nuestra variable de interés es la demanda de los ítems que mantenemos en inventario. Una práctica muy común es la de pronosticar las ventas y no la demanda. La


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diferencia es que cuando no ocurre una venta, sí pudo haber ocurrido una demanda, la cual no pudimos satisfacer por no tener disponible el producto o por algún otro motivo. También puede presentarse una venta parcial por no disponer de la totalidad de la cantidad demandada. Esta demanda se denominará de ahora en adelante ―demanda no servida‖ o ―demanda no satisfecha”. El impacto que esto puede tener en nuestros pronósticos es significativo y se ilustra con el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.1. (Impacto de la demanda no servida) Considere los siguientes registros de ventas de 12 semanas para un ítem en particular (se incluyen también los registros de demanda del ítem): Semana

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ventas Demanda

10 10

9 9

3 3

5 5

3 3

3 3

0 4

0 7

0 3

0 5

2 2

2 2

Un método muy sencillo de pronóstico, el cual se analizará más adelante, consiste en calcular el promedio de las ventas de las últimas 12 semanas mediante la segunda de las Ec. (3.7), y tomar este valor como el estimado de ventas para la semana siguiente, o sea la semana 13 en este caso. Este promedio es igual a 37/12 = 3.08 unidades, o sea 3 unidades aproximadamente. Sin embargo, note que de las semanas 7 a la 10 no se registraron ventas de este producto, lo cual pudo haber sido ocasionado por un agotado del producto y pudieron haber existido clientes que sí demandaron el producto, quienes no fueron satisfechos. Suponga que realmente ocurrieron las siguientes demandas para las semanas 7 a la 10: 4, 7, 3 y 5 unidades, respectivamente, como se ilustra arriba. Si se recalcula el promedio, se obtendría 56/12 = 4.67, o sea 5 unidades aproximadamente, un 67% más de lo que habíamos pronosticado anteriormente!! Por otra parte, al calcular la desviación estándar con los registros de cero ventas, se obtiene 3.40 unidades, contra una desviación estándar de 2.67 unidades al considerar la demanda no servida. El cálculo correcto podría contribuir a un ahorro del 21.5% en inventario de seguridad, si asumimos que éste se va a determinar proporcionalmente a la desviación estándar de la demanda. Este simple ejemplo ilustra el gran impacto que puede tener el hecho de no medir la demanda no servida o de medirla sin la máxima precisión posible. A pesar del impacto significativo que tiene la demanda no servida sobre los pronósticos de demanda, usualmente no es fácil determinarla. Por ejemplo, en un supermercado un cliente se acerca a una góndola y al no encontrar el producto que estaba buscando, probablemente escogerá y comprará otro producto de diferente marca, de acuerdo con su grado de substitubilidad. Esta demanda no servida del producto de la marca original, sin embargo, no queda registrada en parte alguna. Es por eso que ocasionalmente en algunos supermercados, al pagar en la caja registradora se le pregunta al cliente si hubo algún producto que estaba buscando y que no encontró y de ser así, éste se anota. Papakiriakopoulos et al. (2009) presentan técnicas para desarrollar un sistema de soporte a las decisiones para detectar automáticamente productos que no estén en la góndola. Ellos aclaran que un cliente puede no encontrar el producto porque éste en realidad esté agotado en la góndola o porque esté mal ubicado dentro del punto de venta.

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La estimación de la demanda no satisfecha de productos que se distribuyen por múltiples canales, como por ejemplo la goma de mascar, es muy compleja, ya que, por ejemplo, el canal tradicional (o sea las tiendas de barrio y las rapitiendas) es atendido por distribuidores quienes generalmente no pueden estimar la demanda no servida con precisión. En otras ocasiones, la demanda no servida puede estimarse en forma más precisa, como es el caso de las droguerías donde generalmente llegan los clientes con prescripciones de donde se puede extraer más fácilmente la información sobre medicamentos agotados y su demanda no servida. 4.2.3 Elementos de tiempo en un sistema de pronósticos Existen tres factores de tiempo que deben especificarse en cualquier sistema de pronósticos, a saber:  El período del pronóstico,  El horizonte de planeación del pronóstico, y  El intervalo del pronóstico. El período del pronóstico es la unidad básica de tiempo para la cual se realiza el pronóstico y depende de la naturaleza del proceso bajo estudio y de la forma como se registran las transacciones en la organización. Por ejemplo, en muchos sistemas es usual tomar como período de tiempo una semana, aunque si se desea llevar este pronóstico a diario, esto puede hacerse. Es muy sencillo implementar pronósticos semanales o mensuales a partir de datos diarios de demanda, pero lo contrario no es posible. Por ello, si usted piensa que eventualmente va a necesitar períodos del pronóstico más cortos, debería registrar las ventas y la demanda no servida con una base diaria, por ejemplo, así en un comienzo sólo utilice los datos agrupados en forma semanal o mensual. En algunas ocasiones, la escogencia del período del pronóstico es crucial para el buen comportamiento del sistema. Por ejemplo, usualmente las demandas diarias de productos en un supermercado dependen del día de la semana. Así, es común que en los días sábados y domingos o en los días cercanos a la fecha de pago, las ventas de un supermercado se incrementen con relación a los demás días de la semana. Por eso, al escoger un período del pronóstico igual a un día, podríamos estar induciendo alta variabilidad en los datos diarios, mientras que si agrupamos las demandas en forma semanal, por ejemplo, es posible que dichas variaciones diarias se amortigüen y así la variabilidad del pronóstico disminuya. El estudio detallado de este factor en cada caso, es por supuesto lo recomendable. Un caso real que considera las diferencias de demanda entre los días de semana puede consultarse en Zamora y Ruiz (2008). Yo participé en un proyecto de pronósticos de demanda de medicamentos donde los ítems clase C no era recomendable pronosticarlos semanalmente sino mensualmente debido a que una gran proporción presentaban demanda altamente errática, con lo que los ceros de demanda semanal se veían compensados si se consideraba el mes completo, disminuyendo así en gran parte la variabilidad de los errores del pronóstico. Wild (1997, p. 143), por ejemplo, sostiene que es mejor utilizar períodos de tiempo más pequeños, a menos que las demandas en los


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períodos se vuelvan no estandarizadas, como en algunos casos de los días viernes cuando la demanda es diferente del resto de días de la semana, lo que ocasionaría datos para el sistema de pronósticos con un pico cada vienes, en caso de escoger un día como el período base. La decisión final sobre cuál período del pronóstico utilizar depende también en gran medida de las características del sistema de información que se utilice para registrar las ventas y la demanda no servida. El horizonte de planeación del pronóstico es el número de períodos en el futuro cubiertos por el pronóstico. Por ejemplo, se puede pronosticar hoy la demanda semanal para las próximas cuatro semanas. Sin embargo, usualmente el horizonte de planeación es de un solo período, o sea la próxima semana, en este caso. El horizonte de planeación no debe ser menor que el tiempo necesario para implementar la decisión correspondiente. Si se está efectuando un pronóstico de demanda con horizonte diario, por ejemplo, esto no sería de mucha utilidad si la recepción de las órdenes tardara más de un día. El intervalo del pronóstico es la frecuencia con la que se efectúan los nuevos pronósticos, a medida que se vaya obteniendo información adicional. A menudo este intervalo coincide con el período principal del pronóstico, o sea que para nuestro ejemplo anterior, el pronóstico se actualizaría cada semana. Para la determinación del intervalo del pronóstico es importante tener en cuenta el modo en el que opera el sistema de procesamiento de datos de la organización, el cual provee la información sobre la variable que se pronostica. Si, por ejemplo, la información se actualizara diariamente, cualquier período de tiempo igual o superior a un día podría ser adecuado para escoger el intervalo de pronóstico. Se recomienda, sin embargo, en cuanto sea posible hacer coincidir al intervalo del pronóstico con su período base. 4.2.4 Características del proceso que se pronostica y recursos de computación Todo sistema de pronósticos está enfocado a predecir variables de un proceso claramente determinado. Es por lo tanto básico determinar la forma y estabilidad del proceso en cuestión. Si se sabe que el proceso es muy estable, el sistema de pronósticos debe diseñarse acordemente, lo cual conducirá a un proceso computarizado con poca intervención humana. Si, por el contrario, se observa que el proceso de demanda es muy errático, debe entonces refinarse el método de pronóstico de acuerdo con la naturaleza propia de la demanda observada y privilegiar la intervención humana basada en la experiencia. En cualquier caso, la información histórica que se posea es fundamental para determinar la naturaleza del proceso. (Figura 4.1) Otro aspecto significativo es el conflicto que existe entre la disponibilidad y calidad de los recursos de computación de la organización y el sistema de pronósticos a utilizar. Si, por ejemplo, sólo se pronostica un número bajo de variables y en forma no muy frecuente, se pueden escoger métodos de pronóstico altamente sofisticados que consumen mucho tiempo de computación, los cuales probablemente brindarán mejores resultados. Si, por el contrario, se trata de pronosticar un gran número de variables muy frecuentemente, es preferible dedicar más esfuerzo al manejo eficiente de los datos y a los procedimientos de administración del pronóstico que al método de pronóstico en sí. Algo semejante a lo anterior sucede cuando se pronostica un bajo número de ítems en comparación con los pronósticos de miles de ítems. Finalmente, un factor de primordial importancia para el éxito de un sistema de pronósticos es la voluntad de participación activa de la administración y de todo el personal involucrado.

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La credibilidad del sistema de pronósticos y su conocimiento detallado por parte de todas las personas son también factores claves para el éxito de cualquier sistema de pronósticos. 4.2.5 Causas de imprecisión en los sistemas de pronósticos Podemos considerar las siguientes causas como las principales para que un sistema de pronósticos y de control de inventarios no produzca los resultados deseados:  Utilización de datos poco confiables, desactualizados o insuficientes. La precisión de los registros del inventario físico existente es fundamental. Un error en el dato del inventario disponible (kárdex, por ejemplo), puede no considerar un ítem importante para el cual el sistema ‗cree‘ que aún tiene inventario disponible. Kang y Gershwin (2005) discuten ampliamente este punto y concluyen que la inexactitud de los inventarios físicos es uno de los grandes obstáculos para la administración de los inventarios en una cadena de abastecimiento. Además, afirman que si no se implementan algunas medidas de control del problema, tales como inventario de seguridad adicional, conteos manuales y corrección de los registros, ajustes automáticos de los registros y medidas directas utilizando tecnologías de identificación de radio frecuencia RFID (Radio Frequency IDentification), aún una pequeña fracción de inventario perdido puede interferir en el proceso de reposición y causar severas situaciones de faltantes. Por otra parte, la calidad y cantidad (tamaño de muestra) de los datos históricos de ventas y demanda no servida son fundamentales para el éxito del sistema, ya que los resultados de cualquier modelo, por sofisticado que sea, dependen de la información que se le suministre.  Utilización de datos de ventas en lugar de datos de demanda real. Aunque este caso ya ha sido comentado en la Sección 4.2.2 con relación a la distorsión de los promedios y la desviación estándar en casos de faltantes sin el adecuado registro de la demanda no servida, vale la pena comentar otro caso. Supóngase, por ejemplo, que la demanda de un ítem para las últimas tres semanas fue de 150, 120 y 85 unidades. Si hubo faltante en las primeras dos semanas y es posible administrar órdenes pendientes, esta demanda podría cubrirse totalmente en la semana 3 al recibirse el pedido. Sin embargo, el registro del sistema en cuanto a ventas sería de 0, 0 y 355 unidades para las semanas 1, 2 y 3, respectivamente. Claramente, la última situación no refleja el comportamiento real de la demanda y puede distorsionar cualquier sistema de pronósticos, ya que aunque produce el mismo promedio, afecta significativamente el cálculo de la variabilidad de la demanda (la desviación estándar medida para la muestra registrada en el primer caso es 32.53 unidades, mientras que en el segundo caso es 204.96 unidades!!). Este error de registro puede hacer aumentar el inventario de seguridad innecesariamente.  Sesgos en los pronósticos. Un problema real que afecta cualquier sistema de pronósticos, bien sea basado en técnicas estadísticas o no, es la aparición de sesgos por encima o por debajo de la demanda real. Un sesgo se caracteriza porque el pronóstico es consistentemente superior (o inferior) a la demanda real en varios períodos consecutivos; esto indica claramente que se está sobrestimando (o subestimando) la demanda. En un sistema de pronósticos bien diseñado este problema es manejable a través de técnicas de control y señales de rastreo, las cuales se estudiarán en la Sección 4.10.2. Donde


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usualmente ocurren estos problemas es en los pronósticos subjetivos, principalmente del personal de ventas de una organización, ya que se tiende a inflar artificialmente el pronóstico para tratar de disponer siempre de mercancía para la venta. Esta práctica no es la mejor y debe tratar de evitarse para el beneficio de toda la organización.  Velocidad de respuesta al cambio. Cualquier sistema real presenta variaciones aleatorias en sus variables. La demanda, aunque puede presentar uniformidad en su tendencia, siempre presentará fluctuaciones. Estas variaciones normalmente no pueden predecirse y en muchas ocasiones causan una reacción exagerada del sistema de pronósticos o de la administración del mismo. Por ejemplo, si durante dos períodos consecutivos la demanda se incrementa significativamente, esto puede deberse a un cambio real en la tendencia de la demanda, o puede ser una simple variación aleatoria ocasionada por la demanda de uno o varios clientes especiales. El reaccionar a este cambio en forma acelerada puede conllevar a una inestabilidad no deseada del sistema de pronósticos y a sesgos en el mismo. Este fenómeno se conoce también como el ‗nerviosismo‘ del sistema de pronósticos.  Comportamiento de los proveedores o de los sistemas de producción. Siempre deberá tenerse en cuenta la eficiencia y eficacia de los proveedores para el correcto manejo de un sistema de inventarios. La velocidad de entrega de los pedidos, la consistencia de los tiempos de reposición y la precisión y cumplimiento total de las órdenes son factores a analizar profundamente cuando se fijan niveles de inventarios de seguridad. Un aumento continuo y consistente de demanda, por ejemplo, puede hacer reaccionar al sistema de pronósticos utilizado, pero puede dejar en desventaja a un proveedor de baja capacidad, quien no podrá responder a dicho cambio. Por el contrario, una disminución de demanda puede hacer que un proveedor dilate su tiempo de reposición esperando a completar sus tamaños de lote mínimos, a través de su propia aplicación del principio de postposición de tiempo. Algo semejante sucede en los sistemas productivos.  Inclusión de datos atípicos de demanda en el pronóstico. Frecuentemente la demanda presenta ‗picos‘ (outliers), especialmente por encima de lo normal. Esto puede ser ocasionado por un pedido especial de un cliente, por ofertas y promociones, o por otras causas. Si estos picos de demanda son puntuales y aislados, no deberían incluirse en el sistema normal de pronósticos, ya que tienden a distorsionar futuras predicciones y la variabilidad de la demanda. Por ejemplo, suponga que la demanda de cierto ítem en una semana dada fue de 1,474 unidades. El promedio de la demanda de las 12 semanas anteriores a dicha semana fue de 102 unidades. Se trató, obviamente, de una venta especial. Si este valor se incluye en el pronóstico normal, el pronóstico y la estimación de la variabilidad de la demanda se van a ver distorsionados y muy probablemente ocasionarían excesos de inventario. En estos casos, por lo tanto, es preferible ignorar el pico de demanda y reemplazarlo, por ejemplo, por el promedio de demanda que se venía manejando. El arte de este control, por supuesto, consiste en poder identificar en forma automática los picos de demanda y en implementar las soluciones a las que haya lugar. De una u otra forma, no es recomendable tampoco borrar automáticamente todos los datos atípicos de demanda, pues en algunos casos pueden corresponder a verdaderos cambios en la tendencia de la misma. Por ello se sugiere, si es posible, analizar detenidamente cada dato atípico de demanda que se presente, especialmente de los ítems clase A.

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 Selección del período del pronóstico. La teoría sugiere seleccionar períodos de pronóstico lo más pequeños posible, ya que se espera que la variabilidad decrezca a medida que decrece el tamaño de este período. Por ejemplo, podría ser recomendable analizar pronósticos diarios en vez de los semanales. Sin embargo, el esfuerzo de computación adicional puede no ser justificado, especialmente si se cuenta con expresiones matemáticas aproximadas para inferir las variaciones semanales a partir de las variaciones diarias o viceversa. Como se mencionó anteriormente, puede ocurrir también que en un día especial, por ejemplo los sábados, se presenten pico o bajas de demanda, lo que adiciona variabilidad al sistema y entonces sería mejor tomar períodos de una semana, los cuales podrían ser más uniformes. La decisión final depende del análisis más profundo de los datos históricos disponibles.  Otros factores. Frazelle (2002, pp. 114-115) incluye otros factores como posibles fuentes de errores de los pronósticos. Ellos son: (1) La negación que frecuentemente hacen las empresas de los procesos de pronósticos por considerarlos inútiles e inexactos y la resistencia al cambio de las personas. (2) La ignorancia de ciertos factores que pueden ser significativos para realizar el pronóstico como por ejemplo la influencia que tienen algunas ocasiones especiales en la demanda de ciertos productos, tendencias económicas, el comportamiento de ciertos clientes, las demandas de otros productos que afectan la demanda estudiada. Por ejemplo, una empresa productora de llantas debería fijarse en las estadísticas de ventas de vehículos ciertos períodos de tiempo atrás. (3) La variabilidad que induce el efecto látigo (Bullwhip), o sea cuando las fluctuaciones de demanda aumentan corriente-arriba en la cadena de abastecimiento. Adicionalmente a las ya mencionadas, Frazelle incluye las siguientes estrategias para aliviar las fuentes de error de los pronósticos:  Tratar de eliminar la necesidad de pronosticar. Hay algunas situaciones en las cuales no es necesario realizar pronósticos, como por ejemplo cuando tenemos sistemas productivos por orden (claro que en este caso habría probablemente que pronosticar los componentes y materias primas); cuando se utiliza demanda dependiente como en el caso del MRP y cuando se busca eliminar o disminuir los tiempos de reposición de los proveedores.  Medir la precisión a través de los errores del pronóstico. Es fundamental medir la precisión de los errores del pronóstico para poder saber cómo está operando el sistema y además para definir verdaderos pronósticos de demanda que tengan en cuenta dichas medidas de variabilidad de la demanda. (Figura 4.1).  Tratar de medir la demanda correctamente y en el lugar adecuado. La demanda debe medirse como las ventas + la demanda no satisfecha y debe hacerse lo más cerca posible de donde ocurre. Por ejemplo, como en el caso de la droguería mencionado en la Sección 4.2.2 y en el control de inventarios de repuestos donde la demanda debería medirse al lado de la máquina que está requiriendo las piezas.  Implementar actividades colaborativas. Uno de los grandes problemas de los pronósticos es que muchas veces se realizan en forma aislada del resto de la cadena y de los otros actores de la cadena. Por ejemplo, un centro de distribución que está abasteciendo a varios puntos de venta podría tratar de pronosticar su demanda a través de los pedidos de los detallistas, en lugar de medir la demanda verdadera de los clientes.


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Esto es lo que genera precisamente el aumento de la variabilidad de la demanda corriente-arriba en la cadena, y es conocido ampliamente como el efecto látigo (Bullwhip) ya mencionado. Existen técnicas de colaboración en la cadena que tratan de aliviar este problema, tanto a nivel de la misma organización como entre firmas diferentes, como lo que puede ocurrir entre una empresa y sus proveedores externos. Las técnicas de planeación, pronósticos y reposición colaborativos (Collaborative Planning Forecasting and Replenishment, CPFR) son unas de las más conocidas.  Conseguir información de eventos especiales. Muchas veces se programan eventos especiales como campañas y promociones, las cuales necesariamente incrementan la demanda de los productos. El obtener información sobre estos eventos es esencial para mejorar su pronóstico y evitar la ocurrencia de faltantes o sobrantes. Otro ejemplo se da en el control de inventarios de repuestos con las actividades de mantenimiento preventivo, las cuales están programadas y deben ser conocidas por todas las personas encargadas del control de dichos ítems.  Implementar actividades rápidas de reacción. Cuando se presentan faltantes o sobrantes por errores excesivos del pronóstico, es muy importante diseñar estrategias de reacción tanto a la ocurrencia de faltantes como de sobrantes excesivos (Los famosos ‗planes B‘ que todos conocemos). Por ejemplo, la ausencia inminente de un componente clave en producción puede ser evitada por una orden rápida hacia el proveedor y transporte aéreo de los ítems. Equivalentemente, si se genera un exceso de productos después de una promoción, deben programarse rápidamente las devoluciones correspondientes.  Escoger el modelo adecuado de pronósticos. Como se estudiará a partir de la Sección 4.4, cada modelo de pronósticos está diseñado bajo un modelo subyacente de demanda. Por ejemplo, es un error utilizar un sistema de pronósticos de promedio móvil diseñado para demandas estables o perpetuas para el pronóstico de un ítem con demanda creciente. 4.2.6 Indicadores de eficiencia de un sistema de pronósticos Cualquier sistema de pronósticos se justifica si es útil para el proceso de toma de decisiones, como por ejemplo, niveles de inventario a mantener, determinación de las cantidades a comprar, etc. Los principales indicadores de eficiencia de un sistema de pronósticos están relacionados entonces con los siguientes aspectos:    

Precisión Costo Utilidad de los resultados Estabilidad y respuesta del sistema de pronósticos

La precisión de un pronóstico se mide con base en los errores de pronóstico, los cuales se calculan como la diferencia entre el valor real observado y su pronóstico, calculado en algún período antes, generalmente en el período anterior al observado. Obviamente, el cálculo del error de pronóstico solo puede hacerse después de conocerse el valor real observado de la

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variable que se está estimando. La expresión más común para el cálculo de este error es la siguiente:

Error del pronóstico et  xt  xˆt

(4.1)

donde:

et = xt = xˆt =

Error del pronóstico de demanda para el período t, Valor real u observación de la demanda en el período t, Pronóstico de demanda para el período t, calculado en algún período anterior, generalmente un período antes.

Por ejemplo, si se pronosticó una demanda de xˆt = 150 unidades de cierto ítem para la semana pasada y la demanda real fue de xt = 135 unidades, entonces el error de pronóstico es et  xt  xˆt  135 – 150 = 15 unidades. Nótese que el error de pronóstico definido anteriormente conserva su signo algebraico. Como se mencionó anteriormente, en general, el pronóstico se calcula en el período anterior al período que se está pronosticando; en lo que sigue, se asume esta convención a menos que se especifique lo contrario. Otros medidores de variabilidad que han demostrado ser más efectivos que el anterior, por cuanto su suma no tiende a cancelarse con signos contrarios, son los siguientes:

Error absoluto et  xt  xˆt

(4.2)

Error cuadrático et2  ( xt  xˆt )2

(4.3)

En el ejemplo anterior, el error absoluto sería igual a |15| = 15 unidades y el error cuadrático del pronóstico sería (15)2 = 225 unidades2. Una medida del error del pronóstico frecuentemente utilizada en la industria es el error absoluto porcentual (Absolute Percentage Error), definido usualmente como en la Ec. (4.4) y algunas veces como en la Ec. (4.5):

Error Porcentual APE  100 

xt  xˆt xt

(4.4)

Error Porcentual APE   100 

xt  xˆt xˆt

(4.5)

En la Ec. (4.4), el APE se define utilizando el valor absoluto del error porcentual con respecto del valor real de la demanda observada; esta es tal vez la forma más utilizada. Sin embargo, he conocido a planeadores de demanda que utilizan la Ec. (4.5), la cual hemos denominado APE′, donde se utiliza el pronóstico de la demanda como la referencia para calcular el porcentaje de desviación. Una hipótesis es que esto se hace así para evaluar qué tan certera es la persona que realiza el pronóstico en lugar de la precisión del pronóstico mismo.


81

Obsérvese finalmente que ambos indicadores tienen problemas de estabilidad numérica cuando existen valores de demanda o pronósticos cercanos o iguales a cero, especialmente en los casos de demanda intermitente. Para ilustrar, en el ejemplo dado anteriormente, estas medidas del error del pronóstico serían iguales a: APE  100 

135  150  11.11% 135

APE   100 

135  150  10.00% 150

Evidentemente, el error del pronóstico para un solo período no es muy útil. Por lo tanto, se necesita disponer de errores absolutos, cuadráticos o porcentuales para n períodos, para así obtener el promedio de esos errores sobre dichos períodos. Estos índices se denominan la desviación absoluta media (Mean Absolute Deviation, MAD), el error cuadrático medio (ECM) (en inglés Mean Square Error, MSE) y la desviación absoluta porcentual media (Mean Absolute Percentage Error, MAPE). Por ser usualmente utilizado en nuestro medio, usaremos el término en inglés MAD para la desviación absoluta media (Algunos autores utilizan el término ‗desviación media absoluta‘, pero no se considera adecuado pues la MAD es realmente un promedio de errores absolutos). La MAD se define como el promedio de los errores absolutos sobre un número determinado de períodos, de la siguiente forma, donde n es el número de períodos: n

MAD 

x t 1

 xˆt

t

(4.6)

n

El ECM se define como el promedio de los errores cuadráticos sobre un número determinado de períodos, así: n

ECM 

 x t 1

 xˆt 

2

t

(4.7)

n

Finalmente, la desviación absoluta porcentual media MAPE (Mean Absolute Percentage Error) se define mediante las Ec. (4.8) y (4.9), de acuerdo con la correspondiente definición del error porcentual dada anteriormente. Todos estos indicadores se ilustrarán posteriormente con algunos ejemplos. n

MAPE 

100   t 1

n

xt  xˆt xt

(4.8)

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n

MAPE  

100   t 1

n

xt  xˆt xˆt

(4.9)

El costo de un sistema de pronósticos se refiere al balance que debe existir entre la precisión obtenida, la cual se refleja en una menor incertidumbre y en la disminución de faltantes, y el esfuerzo invertido para lograrlo (Figura 4.2). De acuerdo con Silver et al. (1998, pp. 78-79), la utilidad de los resultados se mide principalmente con base en el grado de aceptación, credibilidad y utilización que se le dé al sistema de pronósticos. Idealmente, un sistema de pronósticos debería:  Estimar la demanda esperada en el corto plazo, pero también proveer mecanismos para estimar dicha demanda en el mediano y largo plazo para efectos de planeación agregada. Este tema corresponde a los denominados pronósticos acumulados, tema que se propone como ejercicio más adelante.  Estimar adecuadamente los errores de pronóstico.  Actualizar los pronósticos periódicamente de tal manera que cualquier corrección pueda hacerse rápidamente.  Balancear el costo de los errores de pronóstico obtenidos contra el costo de generarlos.  Permitir el juicio y la intervención humanos para refinar y modificar los pronósticos, si así se considerare necesario.  Ser robusto, o sea proveer pronósticos que no se vean afectados significativamente por factores incontrolables al sistema, tales como las variaciones aleatorias naturales del proceso bajo estudio.  Ser comprensible para la administración del sistema y todo el personal involucrado directa o indirectamente en el proceso, en la medida que no solo deben usarse sus resultados, sino comprender muy bien los mecanismos internos que lo gobiernan. Este problema ocurre cuando se utiliza indiscriminadamente software para pronósticos. De hecho, de acuerdo con Sanders y Manrodt (2003), de 240 compañías estadounidenses encuestadas, 48% utilizaban hojas electrónicas para hacer sus pronósticos, mientras que solamente el 10.8% de las mismas reportaron el uso de software comercial de pronósticos. Además, el 60% de las mismas dijeron estar insatisfechas con el comportamiento de su software de pronósticos. Las conclusiones principales de este estudio son, por una parte, que las empresas que utilizan procesos más formales de pronósticos obtienen los mejores resultados, y, por otra parte, que la más probable causa de insatisfacción con los sistemas de pronósticos es la dificultad en comprender los resultados y la dificultad de lectura de los reportes. Esto sugiere que una muy buena opción es la implementación de técnicas de pronósticos formales desarrollados con base en el sistema de información propio de la empresa. Por ello, es recomendable que en lo posible la organización genere sus propios programas y técnicas de pronósticos, o, en su defecto, evalúe detalladamente la conveniencia de una u otra alternativa. La estabilidad y respuesta del sistema de pronósticos tiene que ver con el hecho de que este no debe ser exageradamente sensible que responda aceleradamente a las variaciones aleatorias naturales del proceso bajo estudio, ni tampoco que su respuesta sea tardía o inexistente a


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cambios reales de la tendencia de la demanda. Más adelante se verá que esto se controla a través de las señales de rastreo y de la actualización de los parámetros del sistema de pronósticos escogido, como por ejemplo con el valor del número de períodos N a considerar para el cálculo del promedio móvil y con la constante de suavización  para el caso de los métodos de suavización exponencial. 4.2.7 El sistema de pronósticos y la clasificación ABC Como se estudió en el Capítulo 3, la clasificación ABC de ítems es una herramienta de gestión muy poderosa para la administración de los inventarios. El sistema de pronósticos, como herramienta fundamental para este control, debe por lo tanto estar alineado con dicha clasificación. Específicamente, los ítems clase A deberían ser examinados continua y rutinariamente por los administradores, en conjunto con técnicas relativamente complejas de pronósticos. Los ítems clase B pueden ser manejados de una forma automática, con técnicas adecuadas de pronósticos, en general no tan complejas como las aplicables a ítems clase A, y con la intervención humana solamente en casos de excepción. Para ítems clase C se pueden utilizar las técnicas más simples de pronósticos, e incluso se recomienda en ocasiones que no sean pronosticados. Se debe, sin embargo, ser cuidadoso con estos ítems ya que, aunque representan una fracción baja del porcentaje de ventas totales, pueden ocasionar problemas de manejo en los centros de distribución, de espacio de almacenamiento en puntos de venta, de saturación de los sistemas de información y otros relacionados. Tabla 4.1. Control de inventarios y sistemas de pronósticos de acuerdo con la clasificación ABC [Fuente: Diseñada parcialmente con base en Wild (1997), pp. 33, 41 y 161 ] CARACTERÍSTICAS   

Ítems clase A (los más importantes) Relativamente pocos ítems El mayor porcentaje del volumen de ventas (en $)

POLÍTICAS DE CONTROL    

  

  

Ítems clase B Ítems importantes Volumen de ventas (en $) considerable

  

Ítems clase C Muchos ítems Bajo volumen de ventas (en $), pocos movimientos o ítems de muy bajo valor unitario

    

MÉTODOS DE CONTROL

Control estricto con supervisión personal Comunicación directa con la administración y los proveedores Aproximación a JIT e inventario balanceado Cubrimiento de existencias entre 1 y 4 semanas



Control clásico de inventarios Administración por excepción Cubrimiento de existencias entre 2 y 8 semanas



Supervisión mínima Pedidos bajo orden Tamaños de orden grandes Políticas de cero o de alto inventario de seguridad Cubrimiento de existencias entre 3 y 20 semanas

 

  

 

  

Monitoreo frecuente o continuo Registros precisos Pronósticos con suavización exponencial doble Políticas basadas en el nivel de servicio al cliente

Sistema de control computarizado clásico Pronósticos con suavización exponencial simple Reporte por excepciones Sistema de control simple Promedio móvil (aceptar el pronóstico) Evitar agotados y exceso de inventario Larga frecuencia de órdenes Sistema automático

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Para ítems nuevos, debe diferenciarse el estado de desarrollo en el cual se encuentran dentro de su ciclo de vida. Específicamente, si se encuentran en su fase de crecimiento o en su fase de declive, se deben utilizar técnicas de pronósticos que respondan a estos cambios, tales como la suavización exponencial doble o el promedio móvil progresivo con un valor bajo de N, método descrito en la Sección 4.8.2. En contraste, si el ítem nuevo ya se encuentra en su etapa de equilibrio, puede bastar con técnicas menos sofisticadas, tales como suavización exponencial simple o promedio móvil. Claro está que cuando un ítem nuevo se encuentre en su etapa de equilibrio, es posible que ya haya sido reclasificado como A ó B, y ya opere el sistema normal de pronósticos que se esté utilizando para ellos. La Tabla 4.1 presenta las características del manejo de ítems clase A, B y C. Obviamente estas son sugerencias generales, ya que la decisión final depende del caso específico del sistema bajo estudio.

4.3

ANÁLISIS DE DEMANDA

DATOS

HISTÓRICOS

Y

PATRONES

DE

El análisis de los datos históricos de demanda es fundamental para la correcta selección del método de pronósticos. Existen muy diversos patrones de demanda, algunos de los cuales se presentaron en la Figura 3.5. Las Figuras 4.3 a 4.7 han sido adaptadas de casos reales e ilustran algunos de los patrones mostrados en la Figura 3.5 y combinaciones de los mismos. En ellas se han representado los datos de demanda contra tiempo y se ha dibujado la tendencia de la demanda mediante regresión lineal simple. Es muy importante para el diseño de cualquier sistema de pronósticos construir los gráficos que representan los datos históricos de demanda, ya que su sola observación permite hacerse a una idea de cuál método puede ser el más adecuado. Así, existe un método de pronósticos apropiado para cada patrón de demanda, el cual debe experimentarse y evaluarse con la utilización de datos históricos, como se ilustrará posteriormente. Debe resaltarse que en estas y otras figuras que se presentan en este capítulo, la demanda se asume discreta por cada período y, por lo tanto, las líneas que unen los marcadores de demanda se utilizan como ayuda visual solamente y no representan un proceso continuo de demanda. Demanda

Tendencia D = -0,0145t + 63,184

Demanda (unid.)

140 120 100 80 60 40 20 0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Tiempo (semanas)

Figura 4.3. Demanda perpetua, estable o uniforme


Demanda

D = 0,2481t + 34,979

140

Demanda (unid.)

Tendencia

120 100 80 60 40 20 0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Tiempo (Semanas)

Figura 4.4. Demanda con tendencia creciente

Demanda

Tendencia D = -0,5013t + 105,57

Demanda (unid.)

250 200 150 100 50 0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Tiempo (Semanas)

Figura 4.5. Demanda con tendencia decreciente

Demanda (unid.)

60 50 40 30 20 10 0 1

5

9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Tiempo (Semanas)

Figura 4.6. Demanda creciente y luego uniforme o perpetua (puede tratarse de un ítem que acaba de completar la etapa de crecimiento de su ciclo de vida)

85


Demanda (unid.)

86

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Tiempo (Semanas)

Figura 4.7. Combinación de demanda uniforme con estacional o periódica Selección del sistema de pronósticos y simulación de pronósticos Aunque la Tabla 4.1 es una buena base para la selección del sistema de pronósticos, la decisión final debe tomarse con base en información adicional del sistema bajo estudio. En primera instancia, la selección del período de pronóstico, del horizonte de planeación y del intervalo de pronóstico debe hacerse de acuerdo con el sistema bajo estudio y sus características particulares. En muchos casos de empresas comerciales, por ejemplo, un período de pronóstico de una semana es satisfactorio, ya que no es ni muy corto como para incurrir en excesivos costos de generación de los pronósticos y de actualización de parámetros de control, ni muy largo como para incurrir en pronósticos obsoletos o posiblemente con alta variabilidad. Si se requieren pronósticos de menor tiempo, por ejemplo diarios, la transformación de los pronósticos semanales a diarios (o viceversa) es relativamente sencilla y puede hacerse mediante ecuaciones sencillas deducidas empíricamente, las cuales han demostrado un buen comportamiento en la práctica. [Ver las Ec. (4.49) adelante] Cuando se dispone de datos históricos suficientes, se puede realizar lo que se denomina una simulación del pronóstico, lo cual es muy útil para escoger y aplicar el sistema de pronósticos adecuado. El método comprende generalmente cinco pasos, a saber: 1. 2. 3. 4. 5.

Inicialización del sistema Simulación del pronóstico Optimización de los parámetros del modelo utilizado Utilización del sistema de pronósticos en tiempo real Seguimiento y administración del sistema implementado

El proceso inicia tomando los datos observados en un cierto período de tiempo anterior al presente, el cual se utiliza para estimar los parámetros de inicio del modelo de pronósticos que se va a aplicar. El proceso de pronósticos se inicia entonces a partir de un cierto tiempo anterior al presente, y se simula como si se hubiera hecho en forma real, con la ventaja de que ya se dispone de datos reales de demanda, pues ésta ya ocurrió. Esto permite evaluar el comportamiento del sistema de pronósticos bajo análisis a través del cálculo de los errores de pronóstico, variando ciertos parámetros hasta obtener aquellos valores que producen los


87

menores errores. Después de realizado este proceso, se fijan los parámetros óptimos hallados y se inicia el pronóstico real propiamente dicho. Una vez se esté trabajando en tiempo real, debe hacerse un seguimiento continuo del sistema de pronósticos a través de señales de rastreo (Sección 4.10.2) y de diversas acciones administrativas que garanticen el correcto funcionamiento del sistema, tales como el aseguramiento de la calidad y actualidad de la información suministrada, la actualización periódica de los parámetros óptimos del sistema de pronósticos y la garantía de la integralidad de los programas, entre otras acciones posibles. Esta metodología permite comparar diversos métodos de pronósticos entre sí y diversos parámetros al interior de un método específico. Para cada uno de los métodos de pronósticos que se presentan en las secciones siguientes, se ilustrará este procedimiento. Como una guía, el sistema de pronósticos a escoger depende en gran parte del patrón de demanda observado a través de datos históricos. La Tabla 4.2 resume las relaciones más comunes entre el sistema de pronósticos y el patrón de demanda, aunque de nuevo, se trata de una primera aproximación a la decisión definitiva, ya que ésta siempre depende de la naturaleza del sistema bajo estudio. Tabla 4.2. Los sistemas de pronósticos y el patrón de demanda observado PATRÓN DE DEMANDA OBSERVADO

SISTEMA DE PRONÓSTICO RECOMENDADO

Perpetua, estable o uniforme

Promedio móvil o suavización exponencial simple

Con tendencia creciente o decreciente

Regresión lineal simple o suavización exponencial doble

Estacional o periódica

Modelos periódicos de Winters

Demandas altamente correlacionadas

Métodos integrados de promedios móviles auto-regresivos (ARIMA)

Errática (Por ejemplo, en ítems clase A de bajo movimiento)

Pronóstico combinado de tiempo entre la ocurrencia de demandas consecutivas y la magnitud de las transacciones individuales (Método de Croston y relacionados)

Como ayuda para la decisión final pueden consultarse las Tablas 4.1 y 4.2 y analizar profundamente los patrones de demanda de ítems representativos de cada clase, realizando experimentos de simulación de pronósticos y, obviamente, monitoreando los pronósticos a través de las técnicas que se describen en la sección siguiente.

Ejercicios 4.1. 1. Considere el conjunto de datos de demanda para cierto ítem, mostrado en la Tabla 4.3. Se presenta información para 89 semanas.


88

Tabla 4.3. Datos de demanda para el Problema No. 1 (Ejercicios 4.1) Semana Demanda Semana Demanda Semana Demanda Semana Demanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

12 11 13 17 15 14 15 17 11 16 13 23 5 7 2 19 20 18 9 6 17 21

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

9 26 6 15 10 7 14 6 3 2 12 14 19 12 1 10 21 12 13 1 15 16

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

7 13 3 2 14 11 19 10 6 9 13 13 10 8 1 1 4 17 4 13 7 15

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

9 11 8 5 13 9 21 1 1 4 12 9 14 11 6 8 11 4 2 4 9 13 5

a) Dibuje el gráfico de la demanda en unidades contra el tiempo en semanas y discuta acerca del tipo de patrón de demanda observado. b) Encuentre el promedio semanal de la demanda durante las primeras 52 semanas y utilice este único valor para pronosticar la demanda de las 37 semanas restantes. Calcule el error de pronóstico, el error absoluto, el error cuadrático, la MAD y el ECM para cada una de las últimas 37 semanas. Discuta sobre la utilidad de este método de pronóstico. 2. Suponga que un ítem clase A está presentando una demanda altamente estable prácticamente sin tendencia alguna. De acuerdo con la Tabla 4.1, debería utilizarse suavización exponencial doble para su pronóstico, ya que se trata de un ítem clase A. Por otra parte, de acuerdo con la Tabla 4.2, se podría utilizar suavización exponencial simple e incluso promedio móvil. ¿Es esto contradictorio? ¿Qué sugeriría usted? ¿De qué dependería la decisión final? 3.

4.4

Discuta acerca de métodos para medir demandas no servidas de diferentes productos, en diferentes contextos. ¿Qué estrategias, por ejemplo, podrían utilizarse para medir la demanda no servida en un supermercado, donde los clientes tienen autoservicio?

SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE PROMEDIO MÓVIL

Este sistema es uno de los más simples que existen, pero no menos útil. A través de él se van a ilustrar varios aspectos que son comunes a cualquier método para pronosticar. El promedio


89

móvil es adecuado para patrones de demanda estables o perpetuos, con poca o ninguna tendencia. El modelo subyacente para este tipo de procesos es el siguiente:

xt  b   t

(4.10)

donde:

xt

=

b

= =

t

Valor real u observación de la demanda en el período t (tal como se definió anteriormente), Una constante que representa el proceso de demanda uniforme que se lleva a cabo, 2 Una variable aleatoria normal con media cero y varianza   > 0 desconocida. Esta variable representa la parte aleatoria del proceso, imposible de pronosticar.

Lo que se trata de estimar en este caso es el parámetro b. Aunque la parte aleatoria de la demanda no puede estimarse, se responde a ella definiendo inventarios de seguridad adecuados, como se verá en la Sección 4.9 y en capítulos posteriores. El método de promedio móvil estima el valor de b por medio del cálculo del promedio de las últimas N observaciones, mediante la estadística MT, definida como: MT 

xT  xT 1  xT  2  ...  xT  N 1 N

(4.11)

El subíndice T representa el período actual, a partir del cual se calcula el promedio, devolviéndose N períodos, o sea hasta el período T – N + 1. Esta expresión no es más que el promedio simple de las últimas N observaciones de demanda, donde xT es la más reciente demanda conocida. Usualmente un valor de N = 12 es adecuado, aunque se debe probar con varios valores hasta determinar el que produzca el menor error de pronóstico sobre un período dado. El valor del promedio MT se utiliza para pronosticar la demanda del período siguiente o de cualquier período posterior, dado que la demanda es perpetua. Cuando transcurre el próximo período y se conoce su demanda, entonces el promedio móvil ‗se corre‘ un período. Por esta razón, el valor MT se puede calcular también con la siguiente ecuación, la cual puede ser más adecuada para implementar en una hoja electrónica, ya que el nuevo MT se genera a partir del anterior, MT1. M T  M T 1 

xT  xT  N N

(4.12)

Obsérvese que MT es un estimador insesgado de b, ya que su valor esperado E(MT) es:

 1  x  xT 1  xT 2  ...  xT  N 1  1  N 1 E (M T )  E T   E   xT k   ( Nb)  b N   N  k 0  N Además:

(4.13)

90


Var ( M T ) 

 N 1  N 1 Var   xT k   2 ( 2 ) 2 N  k 0  N

2 Var ( M T )   N

(4.14)

Es importante notar que el valor de N tiene un efecto doble. Primero, nótese que, para el cálculo del pronóstico de acuerdo con la Ec. (4.11), el peso que se le da a cada uno de los N datos de demanda es igual a 1/N. Es decir, que un dato de demanda reciente pesa lo mismo que uno más antiguo para el cálculo del pronóstico. Además, de acuerdo con la Ec. (4.14), la varianza del estimador MT es inversamente proporcional al valor de N. Este resultado ilustra una característica general de los sistemas de pronósticos: Existe un conflicto entre el grado de respuesta del sistema de pronósticos ante cambios de tendencia de demanda y la precisión del mismo. Por ejemplo, tómese N = 15. Así, el peso de los últimos datos de demanda sería 1/N = 1/15 y se tendría un denominador igual a 15 en la expresión de la varianza del estimador. Supóngase que se cambia ahora a un valor de N = 6; de esta forma, aumentaría el nivel de respuesta del sistema de pronósticos, pues los últimos datos de demanda tendrían un peso mayor = 1/6, pero a su vez se incrementaría la variabilidad del estimador, de acuerdo con la Ec. (4.14). El arte del diseño de un sistema de pronósticos consiste entonces en seleccionar los parámetros del sistema, en este caso el valor de N, de tal forma que se tenga un buen grado de respuesta, pero a su vez la precisión del estimador no se vea muy afectada. Ejemplo 4.2. (Simulación de pronósticos de promedio móvil) Considere el ítem mostrado en la Figura 4.3 anterior, del cual se dispone de una historia de demandas de 89 semanas. Se considera que la historia antes de la semana 40 es demasiado antigua y puede no ser recomendable tenerla en cuenta en el sistema de pronósticos. Por lo tanto, sólo se van a considerar los datos a partir de la semana 40. Las demandas de este ítem para las semanas 40-51 (12 semanas) fueron, respectivamente, 80, 79, 88, 58, 71, 85, 79, 63, 57, 50, 71 y 112 unidades, como se muestra en la Tabla 4.4. Es importante observar que la semana 51 se considera como el período T = 0. Estos valores se van a utilizar para iniciar la simulación del sistema de pronósticos a partir de la semana 52, con el promedio que se muestra sombreado M0 de 74.42 unidades, valor que se toma como el pronóstico para la semana 52 (T = 1). A partir de este punto, se toma el promedio de las 12 semanas anteriores, ‗corriendo‘ el pronóstico una semana cada vez, a medida que nuevos datos son observados. De ahí que este sistema de pronósticos se denomine de ‗promedio móvil‘. La demanda real de la semana 52 (T = 1) fue 53 unidades y por lo tanto su error de pronóstico es e1 = 53.00 – 74.42 = –21.42 unidades. El pronóstico para la semana 53 (T = 2) sería entonces el promedio de las demandas de las semanas 41-52, el cual también se puede calcular de acuerdo con la Ec. (4.12) como M1 = 74.42 + (53.00 – 80.00)/12 = 72.17 unidades. Se continúa así sucesivamente en la simulación hasta la semana 89. Obsérvese que, si asumimos que el tiempo presente es la semana 89, y que este es el último dato de demanda disponible, entonces la semana 90 sería el tiempo futuro, cuya demanda no se conoce aún, y se estaría efectuando este pronóstico en tiempo real. Una vez pase la semana 90, entonces se


91

podrá observar su demanda real y así calcular su error de pronóstico respectivo y el pronóstico en tiempo real para la semana 91, y así sucesivamente.

S

I

M

U

L

A

C

I

Ó

N

D

E

L

P

R

O

N

Ó

S

T

I

C

O

INICIALIZACIÓN

Tabla 4.4. Simulación de un sistema de pronósticos de promedio móvil (Ejemplo 4.2) Semana Per. T Demanda Pronóstico eT │e T │ eT2 APE 40 80 41 79 42 88 43 58 44 71 45 85 Promedio de estas 12 semanas = 74.42 46 79 47 63 48 57 49 50 50 71 51 0 112 52 1 53 74.42 21.42 21.42 458.67 40.41% 53 2 85 72.17 -12.83 12.83 164.69 15.10% 54 3 43 72.67 29.67 29.67 880.11 68.99% 55 4 47 68.92 21.92 21.92 480.34 46.63% 56 5 48 68.00 20.00 20.00 400.00 41.67% 57 6 73 66.08 -6.92 6.92 47.84 9.47% 58 7 23 65.08 42.08 42.08 1,771.01 182.97% 59 8 116 60.42 -55.58 55.58 3,089.51 47.92% 60 9 67 64.83 -2.17 2.17 4.69 3.23% 61 10 39 65.67 26.67 26.67 711.11 68.38% 62 11 81 64.75 -16.25 16.25 264.06 20.06% 63 12 67 65.58 -1.42 1.42 2.01 2.11% 64 13 58 61.83 3.83 3.83 14.69 6.61% 65 14 51 62.25 11.25 11.25 126.56 22.06% 66 15 52 59.42 7.42 7.42 55.01 14.26% 67 16 51 60.17 9.17 9.17 84.03 17.97% 68 17 65 60.50 -4.50 4.50 20.25 6.92% 69 18 56 61.92 5.92 5.92 35.01 10.57% 70 19 46 60.50 14.50 14.50 210.25 31.52% 71 20 75 62.42 -12.58 12.58 158.34 16.78% 72 21 47 59.00 12.00 12.00 144.00 25.53% 73 22 69 57.33 -11.67 11.67 136.11 16.91% 74 23 59 59.83 0.83 0.83 0.69 1.41% 75 24 54 58.00 4.00 4.00 16.00 7.41% 76 25 46 56.92 10.92 10.92 119.17 23.73% 77 26 44 55.92 11.92 11.92 142.01 27.08% 78 27 51 55.33 4.33 4.33 18.78 8.50% 79 28 41 55.25 14.25 14.25 203.06 34.76% 80 29 77 54.42 -22.58 22.58 510.01 29.33% 81 30 69 55.42 -13.58 13.58 184.51 19.69% 82 31 54 56.50 2.50 2.50 6.25 4.63% 83 32 76 57.17 -18.83 18.83 354.69 24.78% 84 33 88 57.25 -30.75 30.75 945.56 34.94% 85 34 55 60.67 5.67 5.67 32.11 10.30% 86 35 74 59.50 -14.50 14.50 210.25 19.59% 87 36 46 60.75 14.75 14.75 217.56 32.07% 88 37 49 60.08 11.08 11.08 122.84 22.62% 89 38 80 60.33 -19.67 19.67 386.78 24.58% 90 39 ? 63.33 ← Pronóstico en tiempo real Sumas 62.25 549.92 12,728.58 1041.50% MAD, ECM, MAPE y MAPE ′ → 14.47 334.96 27.41% Desviación estándar estimada →

18.14

18.30

APE′

28.78% 17.78% 40.83% 31.80% 29.41% 10.47% 64.66% 92.00% 3.34% 40.61% 25.10% 2.16% 6.20% 18.07% 12.48% 15.24% 7.44% 9.56% 23.97% 20.16% 20.34% 20.35% 1.39% 6.90% 19.18% 21.31% 7.83% 25.79% 41.50% 24.51% 4.42% 32.94% 53.71% 9.34% 24.37% 24.28% 18.45% 32.60% 889.27% 23.40%

92


Una pregunta obvia que surge es, ¿por qué se escogió aquí calcular el promedio móvil con las últimas N = 12 semanas? ¿Por qué no se tomó, por ejemplo N = 6 ó 10 semanas? La respuesta a este interrogante la dan los indicadores de precisión del pronóstico, como pueden ser la MAD, el ECM, la MAPE o la MAPE′, los cuales también se muestran en la base de la Tabla 4.4, calculados mediante las Ec. (4.6) a (4.9), respectivamente. Debe escogerse el valor de N, por lo tanto, que minimice un indicador especificado de precisión del pronóstico. Para hacer este ejercicio, se puede variar N, por ejemplo, desde 6 hasta 15, aunque algunos autores sugieren hacerlo entre 6 y 20. Valores inferiores a 6 pierden demasiada información histórica de demanda y pueden tornar el pronóstico demasiado ‗nervioso‘ al darle demasiado peso a los últimos datos de demanda; por el contrario, valores superiores a 20 pueden estar considerando historia de demanda muy antigua que ya no refleje la situación actual del sistema. La Tabla 4.5 muestra el resultado de este experimento para cada uno de los indicadores de precisión del pronóstico. Tabla 4.5. Valor óptimo de N para el sistema de pronósticos de promedio móvil (Ejemplo 4.2) N

MAD

ECM

MAPE

MAPE′

6

15.27

368.93

28.05%

25.37%

7

15.69

380.52

29.11%

25.95%

8

15.64

364.81

29.34%

25.50%

9

14.77

336.67

27.76%

24.06%

10

15.14

351.27

28.39%

24.62%

11

14.83

342.20

27.93%

24.04%

12

14.47

334.96

27.41%

23.40%

13

14.70

338.47

27.96%

23.67%

14

14.88

342.52

28.33%

23.85%

15

14.95

341.33

28.45%

23.95%

Como se puede observar, en este caso todos los indicadores de eficiencia mínimos producen un valor óptimo de N = 12 semanas. Esto no es así siempre, pues puede ocurrir que el N óptimo varíe de acuerdo con el indicador de precisión que se escoja como criterio de minimización. Es importante notar que se debe hacer una revisión periódica del valor óptimo de N, ya que puede variar con el tiempo. Por otra parte, he observado en la práctica que cuando se seleccionan los parámetros del pronóstico de esta forma, a la vez que se logra la máxima precisión, el nivel de respuesta que se alcanza es satisfactorio. Finalmente, en la Figura 4.8 se han representado los resultados del sistema de pronósticos de promedio móvil con N = 12. Obsérvese que lo que el sistema de pronósticos siempre trata de seguir es precisamente la tendencia de la demanda, pero es imposible pronosticar las variaciones aleatorias de ésta, representadas por la variable aleatoria  t en el modelo (4.10). Por ejemplo, la demanda de la semana 58 fue de 23 unidades, mientras que la demanda de la semana 59 fue de 116 unidades. Si alguien fuera a pronosticar la demanda de la semana 60 con base en estas observaciones, no podría nunca decir con absoluta certeza cuál podría ella ser; podría de nuevo ser tan baja como 20 unidades o tan alta como 100 unidades o ser igual a un valor intermedio. En efecto, la demanda de la semana 60 fue de 67 unidades, un valor intermedio.


Demanda

93

Pronóstico

Demanda (Unidades)

140

120 100 80 60 40

20 0 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

Semanas

Figura 4.8. Pronóstico basado en promedio móvil con N = 12 (Ejemplo 4.2) Se hace énfasis en los conceptos anteriores porque he encontrado casos de la vida real donde se le exige a los planeadores de demanda ―una cifra específica del pronóstico de demanda para el próximo mes, por ejemplo‖. Sólo Dios podría hacer esto. ¿Qué hacer entonces? Bueno, es cierto que no podemos pronosticar el valor exacto de la demanda, pero lo que sí podemos hacer, con base en los errores de los pronósticos, es acotar, con cierto grado de precisión, un límite superior de la demanda con cierto nivel de confiabilidad y así definir lo que denominaremos inventario de seguridad. Por ejemplo, para el caso mencionado anteriormente, sería válido decir que, con un nivel de certeza del 95%, la demanda de la semana 60 no va a ser superior a 95 unidades. Por lo tanto, si se mantiene esta cantidad en inventario y si el promedio de demanda está alrededor de 65 unidades (pronóstico de la semana 60 en la Tabla 4.4), las 30 unidades adicionales operarían como un inventario de seguridad. En efecto, para este caso, al ser la demanda de la semana 60 igual a 67 unidades, no se hubiera generado un agotado. La explicación del cálculo del inventario de seguridad será introducida en la Sección 4.9 y se profundizará en el Capítulo 5. Estimación de la desviación estándar de los errores del pronóstico Una cantidad fundamental para definir los inventarios de seguridad es la desviación estándar de los errores del pronóstico,  1 . La razón de utilizar esta notación con el número ‗1‘ radica en el hecho de que esta desviación estándar se estima con base en el sistema de pronósticos que utiliza un período básico (puede ser 1 día, 1 semana, 1 mes, etc.). En la Sección 4.9 se verá que la desviación estándar  1 para un período básico del pronóstico se transforma a una desviación estándar sobre el tiempo de reposición L o sobre el tiempo de reposición L + el intervalo de revisión del inventario R, mediante la aplicación de ecuaciones empíricas. La desviación estándar  1 está relacionada con la MAD, de acuerdo con el siguiente análisis. Supóngase que la variable aleatoria que representa el error del pronóstico, e, se distribuye normalmente con media  y desviación estándar  1 . Por definición la MAD es:

94


 1  e   2  1   de MAD   e   exp   2   2   1    1     1  e   2  1   de MAD  2 (e   ) exp    1 2  2   1    

Mediante la sustitución:

z

e

1

se obtiene el siguiente resultado:

MAD 

2



 1

O, equivalentemente:

1 

 2

 MAD  1.2533  MAD

(4.15)

Por otra parte, considerando la definición de la desviación estándar, es fácil concluir también que  1 se puede estimar también mediante la ecuación:

1  ECM

(4.16)

La Ec. (4.15) supone que los errores de pronóstico se distribuyen normalmente, mientras que la Ec. (4.16) no tiene supuesto alguno acerca de su distribución probabilística. Ambas estimaciones se han hecho en la última fila de la Tabla 4.4 y su proximidad es satisfactoria (18.14 y 18.30, con base en la MAD y en el ECM, respectivamente). He encontrado que la proximidad de los dos valores de la desviación estándar calculada con base en la MAD y en el ECM indica un buen comportamiento del sistema de pronósticos y sugiere la normalidad de los errores de pronóstico. Montgomery et al. (1990, p. 208) sostienen que la Ec. (4.15) es muy aproximada incluso cuando los errores del pronóstico no se distribuyen normalmente, pero otros autores recomiendan utilizar en la práctica preferiblemente la Ec. (4.16). La utilidad de la estimación de  1 será clara en la Sección 4.9 donde se introduce el tema del cálculo de inventarios de seguridad.

Ejercicios 4.2. 1. Construya la hoja electrónica del Ejemplo 4.2 y genere la Tabla 4.5.


95

2. En la Tabla 4.6 se muestran los valores de demanda de un ítem para las últimas 50 semanas. a) Con base en las primeras 12 semanas (Semana 1-12), determine el valor de arranque del pronóstico basado en el promedio móvil. Calcule el pronóstico para el resto de semanas. (Semana 13-50) Diseñe una hoja electrónica para este ejercicio. b) Para cada semana pronosticada, calcule el error del pronóstico, el error absoluto, el error cuadrático, el APE y el APE′ y estime la MAD, el ECM, la MAPE y la MAPE′. A través de las Ec. (4.15) y (4.16), estime la desviación estándar de los errores del pronóstico. Grafique la demanda y el pronóstico en forma semejante a la Figura 4.8. 3. Con los datos del ejercicio anterior, tome ahora como el primer período a pronosticar la semana 21 (cuya demanda real fue de 117 unidades). Pruebe el comportamiento del pronóstico con valores de N desde 6 hasta 20, devolviéndose el número correspondiente de semanas desde la semana 20 (inclusive) hacia atrás. Por ejemplo, para calcular el promedio de arranque con N = 6, tomaría el promedio de demanda de las semanas 20, 19, 18, 17, 16 y 15, y éste sería el pronóstico para la semana 21. Determine el N óptimo a partir del valor del ECM. Es clave la construcción de una hoja electrónica para este ejercicio. Tabla 4.6. Datos para el Problema No. 2 (Ejercicios 4.2) Semana Demanda Semana Demanda

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

92 127 117 88 114 99 122 96 84 64 117 127 92 80 105 121 99 120 50 190 117 99 128 119 113

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

72 85 105 109 96 98 109 85 103 124 114 97 89 144 94 105 113 96 125 118 97 135 147 110 103


96

4.5

SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL SIMPLE

Al observar la Ec. (4.11) se concluye que el promedio móvil le da el mismo peso de 1/N a cada una de las últimas N demandas observadas. Esta característica es una desventaja del promedio móvil en aquellos casos en los cuales se debe reaccionar rápidamente a un cambio en el patrón de demanda o, análogamente, cuando es importante la estabilidad del sistema de pronósticos. El método de suavización exponencial simple trata de corregir esta situación y se aplica también al mismo modelo definido en la Ec. (4.10). Aquí se trata de nuevo de estimar el parámetro b para posteriormente definir un inventario de seguridad adecuado que responda a las variaciones aleatorias representadas por el término  t , ya que esta parte no se puede pronosticar. La ecuación básica de la suavización exponencial aplica un peso  a la última observación de demanda y un peso (1  ) al pronóstico anterior, mediante el siguiente operador:

ST  xT  (1   )ST 1

(4.17)

donde:

ST

=

Pronóstico realizado al final del período T, o sea la estimación del parámetro b al final del período T.

ST 1 =

Pronóstico anterior, es decir, la estimación del parámetro b realizada al final del período T – 1.

xT

=

Demanda real observada al final del período actual T.



=

Constante de suavización (Inicialmente definida en el intervalo 0    1).

Nótese que la Ec. (4.17) es equivalente a la siguiente expresión:

ST  xT  ST 1  ST 1  ST 1   ( xT  ST 1 )

(4.18)

la cual tiene una interpretación muy interesante, en cuanto que la estimación actual del parámetro b, o sea ST, es igual a la estimación anterior ST1, más  veces el error del pronóstico anterior. La estadística ST puede interpretarse como un promedio ponderado de las observaciones anteriores. Para observar esto, se reemplaza ST1 en la Ec. (4.17) por su expresión equivalente, y se continúa el proceso de reemplazo, así:


97

ST  xT  (1   ) ST 1

ST  xT  (1   )xT 1  (1   ) ST  2  ST  xT   (1   ) xT 1  (1   ) 2 ST  2

ST  xT   (1   ) xT 1  (1   ) 2 xT  2  (1   ) ST 3  ST  xT   (1   ) xT 1   (1   ) 2 xT  2  (1   ) 3 ST 3 Si se siguen expandiendo los términos de la misma forma, se obtiene la siguiente ecuación general: T 1

ST    (1   ) k xT  k  (1   )T S 0

(4.19)

k 0

Nótese que a medida que se retrocede en el tiempo, los pesos aplicados a cada dato real observado disminuyen exponencialmente con una razón geométrica igual a (1  ); este es el origen del nombre de este sistema de pronósticos. Por ejemplo, si  = 0.1, el peso que se le aplica al último dato de demanda es 0.1; a la demanda anterior es 0.1 × 0.9 = 0.09; al anterior es 0.1 × (0.9)2 = 0.081 y así sucesivamente. Se puede también demostrar que la suma de estos pesos es igual a 1, y, por lo tanto, se trata de un promedio ponderado de todos los datos disponibles de demanda, desde donde se inició el pronóstico. Al igual que MT, ST es también un estimador insesgado de b, en el límite, ya que: T 1  T 1  E ( ST )  E   (1   ) k xT k  (1   )T S0     (1   ) k E ( xT k )  (1   )T S0 k 0  k 0 

Si T   , entonces: 

E ( ST )    (1   ) k E ( xT k )  b k 0

1 b 1  (1   )

Es interesante, por otra parte, calcular la varianza de ST: T 1  T 1  Var ( ST )  Var   (1   ) k xT k  (1   )T S0    2  (1   ) 2 k Var ( xT k ) k 0  k 0 


Var ( ST )   2  (1   )2 k  2   2 2 k 0

Var ( ST ) 

 2 

 2

1 1  (1   )2

98


Selección de la constante de suavización  Claramente, los resultados de los pronósticos de suavización exponencial dependen del valor de . Este valor no debe ser ni muy grande que el pronóstico responda aceleradamente a cambios aleatorios normales del proceso, ni muy pequeño, con el efecto contrario de no responder a posibles cambios reales. Aunque inicialmente lo lógico es definir  en el intervalo 0    1, la experiencia ha demostrado que valores de  entre 0.01 y 0.30 son más adecuados. Valores mayores que 0.30 producen ‗nerviosismo‘ en el sistema de pronósticos, al responder de manera acelerada a las fluctuaciones normales del proceso ya que se le da un alto peso al último dato disponible de demanda. Por el contrario, valores muy pequeños de , o sea, menores que 0.01, no responden satisfactoriamente a posibles cambios reales del proceso. Una forma eficiente de determinar el valor adecuado de  es a través de la simulación del pronóstico, semejante a la presentada en el Ejemplo 4.2. Al disponer de datos históricos se pueden tomar los valores iniciales para arrancar el proceso, y con los datos históricos restantes se evalúa el comportamiento del método para varios valores de , a través de un indicador como la MAD o el ECM. El valor de  que minimice estos indicadores será el más adecuado, si las condiciones del proceso se mantienen aproximadamente iguales a su comportamiento histórico. Obviamente, si las condiciones del proceso varían significativamente, puede ser necesario redefinir  mediante el análisis de datos históricos más recientes. Una forma muy rápida de optimizar el valor de  es utilizar el solver de Excel, ya que este programa permite optimizar el valor de una celda (en este caso la MAD, el ECM o el indicador de eficiencia seleccionado), cambiando el valor de una o más celdas (en este caso ) y teniendo en cuenta ciertas restricciones de las celdas variables (como es aquí la restricción: 0.01    0.30). Existen otras posibilidades, tales como usar diferentes valores de , dependiendo del estado en el que se encuentre el proceso. Por ejemplo, si el proceso se muestra muy estable, se podría utilizar un valor de  bajo, como 0.1. Si se observa un cambio en el proceso con tendencia creciente, se podría por ejemplo incrementar  a 0.25. Estos valores dependerán de la experiencia del analista y de su conocimiento del proceso. Existen otros métodos que cambian el valor de  automáticamente de acuerdo con los cambios del proceso, denominados métodos de pronósticos auto-controlados o auto-adaptivos (Problema No. 6 de los Ejercicios 4.6). Estos métodos, sin embargo, de acuerdo con diversos autores, no superan a los métodos tradicionales e incluso pueden producir efectos indeseados cuando los valores de  llegan a ser muy altos (> 0.6). Finalmente, cuando no se dispone de datos suficientes para iniciar el proceso o cuando existen dudas acerca de la precisión de los valores que arrancan el pronóstico, se pueden utilizar  grandes cuando se inician los pronósticos, y cuando se logre cierta estabilidad, se puede disminuir . Esto depende del conocimiento que se tenga del proceso. Inicialización de la suavización exponencial simple Si se observa la Ec. (4.19), se concluye que para que el pronóstico de suavización exponencial simple pueda iniciar, se requiere conocer el valor de S0. Si se dispone de datos históricos suficientes, este valor se puede estimar como el promedio de las demandas históricas. Si no se dispone de datos históricos, debe recurrirse a un valor subjetivo y así supervisar muy


99

cuidadosamente el pronóstico en su fase de inicio, utilizando probablemente un valor alto de la constante de suavización al comienzo del análisis. Ejemplo 4.3. (Simulación de pronósticos de suavización exponencial simple) Considere de nuevo el ítem mostrado en la Figura 4.3, el cual fue utilizado para el Ejemplo 4.2. Para iniciar el pronóstico de suavización exponencial simple y para efectos de comparación, se tomaron los datos históricos de las semanas 40-51 y se obtuvo S0 = 74.4167 unidades (redondeado a 74.42 en la Tabla 4.7), lo cual coincide con lo realizado en el Ejemplo 4.2. Este valor inicial se establece como el pronóstico de la semana 52. Obsérvese que el número del período se define como T = 0 a partir de la semana 51. Conocido el valor de la demanda de la semana 52 o sea para el período T = 1, x1 = 53.00 unidades, y tomando  = 0.15, el cual es un valor razonable de inicio recomendado por diversos analistas, se puede entonces calcular el pronóstico para la semana siguiente, o sea para la semana 53 (T = 2), como: S1 = x1 + (1  )S0 = 0.15(53.00) + 0.85(74.4167) = 71.20 Continuando de esta forma se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 4.7. Utilizando la herramienta solver de Excel, se puede optimizar , minimizando por ejemplo la celda correspondiente al ECM, variando la celda que contiene a  y restringiendo el valor de esta celda entre 0.01 y 0.3 inclusive. Así, se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 4.8. Obsérvese que la desviación estándar estimada pasa de un valor de 18.84 a un valor de 18.75, cuando se usa el valor óptimo de  = 0.1063. Esta disminución de la desviación estándar no es muy significativa en este ejemplo, pero en otros casos puede serlo y además cuando se trata de miles de ítems a manejar, pequeños cambios en estas estimaciones pueden producir grandes ahorros en inventarios de seguridad, pues estos se definen proporcionalmente a la desviación estándar de los errores del pronóstico. Si este proceso de optimización de la constante de suavización se realiza minimizando la celda que contiene a la MAD en lugar del ECM, se obtiene un ópt = 0.1454 con una desviación estándar mínima de 19.06, calculada a partir de la MAD y de 18.83, calculada a partir del ECM. En forma semejante, se puede minimizar el valor de la MAPE o de la MAPE′, de acuerdo con cada situación específica. Se sugiere al lector comprobar que si se minimizan la MAPE y la MAPE′, se obtiene un ópt = 0.2458 y 0.0591, respectivamente. La utilización de uno u otro criterio de optimización depende de las particularidades de cada caso. Es muy importante notar que, dado que las funciones que se generan aquí pueden tener múltiples mínimos locales, debe repetirse la aplicación del solver tomando diferentes valores iniciales en la celda que contiene el valor de , pues he encontrado casos en los cuales existen dos o más óptimos locales, los cuales podrían ser alcanzados por la subrutina partiendo desde diferentes puntos iniciales de dicha celda variable y, obviamente, lo que se pretende es encontrar el óptimo global dentro del rango de variación de . Tabla 4.7. Pronósticos de suavización exponencial simple Ejemplo 4.3 ( = 0.15)


100

APE′

S

I

M

U

L

A

C

I

Ó

N

D

E

L

P

R

O

N

Ó

S

T

I

C

O

INICIALIZACIÓN

Semana Per. T Demanda Pronóstico eT │e T │ eT2 APE 40 80 41 79 42 88 43 58 44 71 45 85 S 0 se estima con el promedio de demanda de 46 79 estas 12 semanas = 74.42 47 63 48 57 49 50 50 71 51 0 112 52 1 53 74.42 21.42 21.42 458.67 40.41% 53 2 85 71.20 -13.80 13.80 190.33 16.23% 54 3 43 73.27 30.27 30.27 916.49 70.40% 55 4 47 68.73 21.73 21.73 472.30 46.24% 56 5 48 65.47 17.47 17.47 305.29 36.40% 57 6 73 62.85 -10.15 10.15 102.99 13.90% 58 7 23 64.37 41.37 41.37 1,711.81 179.89% 59 8 116 58.17 -57.83 57.83 3,344.55 49.86% 60 9 67 66.84 -0.16 0.16 0.02 0.23% 61 10 39 66.87 27.87 27.87 776.53 71.45% 62 11 81 62.69 -18.31 18.31 335.39 22.61% 63 12 67 65.43 -1.57 1.57 2.45 2.34% 64 13 58 65.67 7.67 7.67 58.80 13.22% 65 14 51 64.52 13.52 13.52 182.74 26.51% 66 15 52 62.49 10.49 10.49 110.05 20.17% 67 16 51 60.92 9.92 9.92 98.34 19.44% 68 17 65 59.43 -5.57 5.57 31.03 8.57% 69 18 56 60.26 4.26 4.26 18.19 7.62% 70 19 46 59.63 13.63 13.63 185.65 29.62% 71 20 75 57.58 -17.42 17.42 303.41 23.22% 72 21 47 60.19 13.19 13.19 174.09 28.07% 73 22 69 58.22 -10.78 10.78 116.31 15.63% 74 23 59 59.83 0.83 0.83 0.69 1.41% 75 24 54 59.71 5.71 5.71 32.58 10.57% 76 25 46 58.85 12.85 12.85 165.17 27.94% 77 26 44 56.92 12.92 12.92 167.03 29.37% 78 27 51 54.99 3.99 3.99 15.88 7.81% 79 28 41 54.39 13.39 13.39 179.23 32.65% 80 29 77 52.38 -24.62 24.62 606.17 31.97% 81 30 69 56.07 -12.93 12.93 167.12 18.74% 82 31 54 58.01 4.01 4.01 16.09 7.43% 83 32 76 57.41 -18.59 18.59 345.59 24.46% 84 33 88 60.20 -27.80 27.80 772.93 31.59% 85 34 55 64.37 9.37 9.37 87.77 17.03% 86 35 74 62.96 -11.04 11.04 121.81 14.91% 87 36 46 64.62 18.62 18.62 346.66 40.48% 88 37 49 61.83 12.83 12.83 164.51 26.18% 89 38 80 59.90 -20.10 20.10 403.92 25.12% 90 39 ? 62.92 ← Pronóstico en tiempo real Sumas 76.67 577.99 13,488.60 1089.72% MAD, ECM, MAPE y MAPE ′ → 15.21 354.96 28.68% alpha = 0.15 Desviación estándar estimada → 19.06 18.84

28.78% 19.38% 41.32% 31.62% 26.69% 16.15% 64.27% 99.42% 0.24% 41.67% 29.21% 2.39% 11.68% 20.95% 16.79% 16.28% 9.37% 7.08% 22.85% 30.25% 21.92% 18.53% 1.39% 9.56% 21.84% 22.70% 7.25% 24.62% 47.00% 23.05% 6.92% 32.38% 46.18% 14.55% 17.53% 28.81% 20.75% 33.55% 934.92% 24.60%

Tabla 4.8. Pronósticos de suavización exponencial simple para el ECMópt (ópt.  0.1063)

S

I

M

U

L

A

C

I

Ó

N

D

E

L

P

R

O

N

Ó

S

T

I

C

O

INICIALIZACIÓN


alpha =

Semana 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Per. T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Demanda Pronóstico eT │e T │ eT2 APE 80 79 88 58 71 85 S 0 se estima con el promedio de demanda de 79 estas 12 semanas = 74.42 63 57 50 71 112 53 74.42 21.42 21.42 458.67 40.41% 85 72.14 -12.86 12.86 165.38 15.13% 43 73.51 30.51 30.51 930.68 70.95% 47 70.26 23.26 23.26 541.22 49.50% 48 67.79 19.79 19.79 391.69 41.23% 73 65.69 -7.31 7.31 53.48 10.02% 23 66.46 43.46 43.46 1,889.17 188.98% 116 61.84 -54.16 54.16 2,932.85 46.69% 67 67.60 0.60 0.60 0.36 0.90% 39 67.54 28.54 28.54 814.37 73.17% 81 64.50 -16.50 16.50 272.13 20.37% 67 66.26 -0.74 0.74 0.55 1.11% 58 66.34 8.34 8.34 69.49 14.37% 51 65.45 14.45 14.45 208.80 28.33% 52 63.91 11.91 11.91 141.94 22.91% 51 62.65 11.65 11.65 135.66 22.84% 65 61.41 -3.59 3.59 12.89 5.52% 56 61.79 5.79 5.79 33.54 10.34% 46 61.18 15.18 15.18 230.29 32.99% 75 59.56 -15.44 15.44 238.33 20.58% 47 61.20 14.20 14.20 201.73 30.22% 69 59.69 -9.31 9.31 86.61 13.49% 59 60.68 1.68 1.68 2.83 2.85% 54 60.50 6.50 6.50 42.30 12.04% 46 59.81 13.81 13.81 190.78 30.03% 44 58.34 14.34 14.34 205.76 32.60% 51 56.82 5.82 5.82 33.86 11.41% 41 56.20 15.20 15.20 231.06 37.07% 77 54.58 -22.42 22.42 502.44 29.11% 69 56.97 -12.03 12.03 144.78 17.44% 54 58.25 4.25 4.25 18.03 7.86% 76 57.80 -18.20 18.20 331.41 23.95% 88 59.73 -28.27 28.27 799.16 32.12% 55 62.74 7.74 7.74 59.84 14.06% 74 61.91 -12.09 12.09 146.09 16.33% 46 63.20 17.20 17.20 295.78 37.39% 49 61.37 12.37 12.37 153.02 25.24% 80 60.05 -19.95 19.95 397.80 24.93% ? 62.18 ← Pronóstico en tiempo real Sumas 115.16 580.87 13,364.80 1114.50% MAD, ECM, MAPE y MAPE ′ → 15.29 351.71 29.33%

101

APE′

28.78% 17.83% 41.50% 33.11% 29.19% 11.13% 65.40% 87.57% 0.89% 42.25% 25.57% 1.12% 12.57% 22.08% 18.64% 18.59% 5.85% 9.37% 24.81% 25.92% 23.21% 15.59% 2.77% 10.75% 23.09% 24.59% 10.24% 27.05% 41.06% 21.12% 7.29% 31.50% 47.33% 12.33% 19.52% 27.21% 20.16% 33.21% 920.19% 24.22%

0.1063 Desviación estándar estimada →

19.16

18.75

Finalmente, si se comparan los resultados de la suavización exponencial simple con los del promedio móvil para este ejemplo, se observa que los de este último método de pronósticos


102

son ligeramente mejores (comparar el ECM mínimo = 334.96 del promedio móvil con el ECM mínimo = 351.71 de la suavización exponencial simple). Este resultado no puede generalizarse, pues puede ocurrir también lo contrario. Algunos programas comerciales de pronósticos lo que hacen es buscar el método que produce los mejores resultados para cada ítem; sin embargo, he encontrado en la práctica que puede ser más ventajoso utilizar siempre el mismo sistema de pronósticos para familias de ítems (por ejemplo para los ítems clase A), debido a factores administrativos y del cálculo automático de los pronósticos. Demanda

Pronóstico

Demanda (Unidades)

140 120 100 80 60 40 20 0 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

Semanas

Figura 4.9. Pronóstico de suavización exponencial simple optimizando el ECM (ópt = 0.1063, Ejemplo 4.3) Demanda

Pronóstico

Demanda (Unidades)

140 120 100 80 60 40 20 0 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

Semanas

Figura 4.10. Pronóstico de suavización exponencial simple optimizando la MAPE (ópt = 0.2458, Ejemplo 4.3) Las Figuras 4.9 y 4.10 muestran las demandas y los pronósticos cuando se optimiza el ECM (ópt = 0.1063) y la MAPE (ópt = 0.2458), respectivamente. Obsérvese que, de nuevo, como


103

en el caso de promedio móvil, el pronóstico sigue la tendencia de la demanda, mas no es posible predecir las variaciones aleatorias de la misma. Además, nótese la diferencia entre un  relativamente bajo (ópt = 0.1063) y uno relativamente alto (ópt = 0.2458), dentro del rango de optimización de 0.01 a 0.30. Cuando  es bajo, la curva luce relativamente plana y suavizada, mientras que cuando  se incrementa, el pronóstico se vuelve mucho más responsivo ante posibles cambios, y por ellos la curva luce mucho más quebrada.

Ejercicios 4.3. 1.

Considere un ítem cuyas demandas para las semanas 1-38 se muestran en la Tabla 4.9. El valor de arranque S0 ha sido calculado tomando el promedio de las 51 semanas anteriores (no se muestran estos datos) y se ha hallado S0 = 128.9450. a) Con una constante de suavización  = 0.10, determine el pronóstico para las 38 semanas mostradas. Calcule igualmente el error del pronóstico, el error absoluto, el error cuadrático, la MAD, el ECM, la MAPE y la MAPE′, considerando las 38 semanas. Estime la desviación estándar de de los errores de pronóstico con las Ec. (4.15) y (4.16) y grafique la demanda y el pronóstico en función del tiempo (semanas). b) Repita el procedimiento anterior para varios valores de . Trate de encontrar el valor de  que minimiza la MAD, el ECM, la MAPE y la MAPE′. (Ayuda: Si maneja Excel, puede utilizar el solver para encontrar este valor; por ejemplo, el valor óptimo que produce la MAD mínima es aproximadamente ópt = 0.1264). Tabla 4.9. Datos para el Problema No. 1 (Ejercicios 4.3) Semana Demanda Semana Demanda 1 92 20 109 2 80 21 85 3 105 22 103 4 121 23 124 5 99 24 114 6 120 25 97 7 50 26 89 8 190 27 144 9 117 28 94 10 99 29 105 11 128 30 113 12 119 31 96 13 113 32 125 14 72 33 118 15 85 34 97 16 105 35 135 17 109 36 147 18 96 37 110 19 98 38 103

2. Usted dispone de 38 datos de demanda de un producto que usted manufactura en su empresa (Tabla 4.10). Tomando las primeras 20 semanas para iniciar y como criterio de optimización el ECM, diseñe un sistema de pronósticos de promedio móvil con el mejor N (Entre 6 y 15) y de suavización exponencial simple con el α óptimo, para pronosticar las

104


demandas de las semanas 21-38. De acuerdo con su criterio, escoja el mejor sistema y pronostique la demanda de la semana 39. Tabla 4.10. Datos para el Problema No. 2 (Ejercicios 4.3) Semana Demanda Semana Demanda 1 17 20 85 2 132 21 66 3 43 22 48 4 40 23 22 5 127 24 91 6 17 25 61 7 96 26 74 8 138 27 82 9 64 28 115 10 56 29 19 11 122 30 132 12 143 31 30 13 57 32 93 14 70 33 41 15 79 34 64 16 115 35 77 17 108 36 26 18 48 37 37 19 67 38 39

3.

Las varianzas de los estimadores MT y ST fueron determinadas en las secciones 4.4 y 4.5, respectivamente. Se dice que un sistema de pronósticos es equivalente a otro, si ambos estimadores del pronóstico producen la misma varianza. a) Desarrolle una expresión que permita determinar cuándo un sistema de pronósticos de promedio móvil es equivalente a un sistema de pronósticos de suavización exponencial simple. Comente acerca del resultado. b) ¿Qué valor de N en un sistema de pronósticos de promedio móvil es equivalente a un sistema de pronósticos de suavización exponencial simple con  = 0.15? ¿Y a 0.30?

4.

La Tabla 4.11 muestra los últimos 34 datos de demanda de azúcar en toneladas en una industria alimenticia que está en crecimiento. Con base en los primeros 18 datos de demanda, aplique un sistema de pronósticos de suavización exponencial simple para pronosticar la demanda de las 16 semanas restantes, optimizando la constante de suavización entre 0.01 y 0.30 con base en la MAPE. Si usted considera que este no es método adecuado de pronósticos en este caso, ¿qué sugiere para pronosticar el consumo de azúcar en esta industria? Observe los resultados y concluya.

5.

Uno de los problemas más complejos en inventarios es la determinación de inventarios de seguridad en varios lugares de una cadena de suministro. Suponga que su empresa tiene tres bodegas ubicadas en Cali, Bogotá y Medellín, atendiendo cada una cierta región del país. Se dispone de los datos mensuales de demanda de un cierto producto para el último año (Tabla 4.12). Usted tiene la opción de seguir uno de dos métodos. Primero, puede pronosticar la demanda de cada bodega en forma independiente, o, segundo, pronosticar el


105

total de la demanda para las tres bodegas y luego asignar inventarios de seguridad a cada una de las bodegas. Asuma que los inventarios de seguridad son proporcionales a la desviación estándar de los errores del pronóstico. Utilice suavización exponencial simple (con la constante de suavización óptima determinada mediante el ECM en cada caso) para tratar de determinar cuál método utilizar. Tome el promedio de los primeros seis meses para inicializar el sistema de pronósticos y simule el pronóstico para los seis meses restantes y concluya acerca de las ventajas y desventajas de uno u otro método. Comente acerca de los problemas administrativos y logísticos de manejo de cada situación. Tabla 4.11. Demanda de azúcar en toneladas para el Problema No. 4 (Ejercicios 4.3) Mes Demanda Mes Demanda (Ton.) (Ton.) 1 77.3 18 188.5 2 125.0 19 190.4 3 52.4 20 187.4 4 51.0 21 150.6 5 83.1 22 226.6 6 58.9 23 195.0 7 117.5 24 211.0 8 136.5 25 178.8 9 134.0 26 194.4 10 110.8 27 207.1 11 104.4 28 228.2 12 96.7 29 206.0 13 113.7 30 279.8 14 119.3 31 177.6 15 191.2 32 236.7 16 145.0 33 220.0 17 144.2 34 246.5

Tabla 4.12. Datos para el Problema No. 5 (en miles de unidades) (Ejercicios 4.3) MES

CALI

BOGOTÁ

MEDELLÍN

Enero

45

33

12

90

Febrero

78

33

12

123

Marzo

57

108

0

165

Abril

44

45

18

107

Mayo

67

58

18

143

Junio

53

22

13

88

Julio

90

57

4

151

Agosto

66

106

18

190

Septiembre

63

45

15

123

Octubre

33

82

7

122

Noviembre

81

62

0

143

Diciembre

57

80

12

149

734

731

129

1,594

TOTAL

6.

TOTAL

En el Ejemplo 4.3 (Tabla 4.8), de los 50 datos históricos, se tomaron las primeras 12 demandas para iniciar el sistema de pronósticos y los 38 restantes para simular el pronóstico y determinar el  óptimo. Esto se hizo para efectos de comparación con el


106

sistema de pronósticos de promedio móvil. Sin embargo, cabe la pregunta de por qué no tomar un número diferente de datos para iniciar y por lo tanto para simular los pronósticos. Por ejemplo, se pueden tomar los primeros 20 datos para iniciar el sistema y simular con los 30 datos restantes, o tomar los primeros 30 datos para inicialización y el resto para simular, y así sucesivamente. He encontrado en forma empírica que, primero, un número razonable de datos para iniciar corresponde a aproximadamente el 60% de la historia (30 datos en este caso) y segundo que, si las condiciones de la demanda no han sido muy cambiantes, entonces no hay una gran influencia de este aspecto sobre el comportamiento del sistema de pronósticos. Este ejercicio consiste entonces en simular los pronósticos cambiando el número de datos para iniciar desde 15 hasta 40 (o sea desde un 30% hasta un 80% de los datos), simulando para los restantes 35 hasta 10 datos, respectivamente. Genere una tabla resumen de resultados que contenga el número de datos con que se inicia el sistema de pronósticos, el  óptimo con base en el ECM y todas las medidas del error del pronóstico (MAD, ECM, MAPE Y MAPE′) calculadas por supuesto sobre el número de datos para los que se simula el pronóstico. Analice esta información y concluya.

4.6

SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DOBLE

El sistema de pronósticos de suavización exponencial doble tiene en cuenta la posible tendencia (creciente o decreciente) de la demanda, ya que el modelo subyacente que considera es el siguiente:

xt  b1  b2t   t

(4.20)

donde:

xt

=

b1 b2

=

t

=

=

Valor real u observación de la demanda en el período t (tal como se definió anteriormente); Una constante que representa la componente constante de la demanda; Una constante que representa la componente de tendencia de la demanda (creciente o decreciente, de acuerdo con su signo); 2 Una variable aleatoria normal con media cero y varianza   > 0 desconocida. Esta variable representa la parte aleatoria del proceso, imposible de pronosticar.

Ahora se trata de estimar los dos parámetros b1 y b2 para así poder pronosticar demandas futuras, ya que éstas presentan la componente constante, determinada por b1 y la componente de tendencia, determinada por b2. El siguiente desarrollo se ha ampliado y complementado de Montgomery et al. (1990, pp. 89-92). La primera ecuación que rige la suavización exponencial doble es:

ST  xT  (1   )ST 1

(4.21)


107

Esta ecuación es la misma utilizada en la suavización simple [Ec. (4.17)]. Si sólo se aplicara esta expresión al modelo subyacente presentado en la Ec. (4.20), se obtendría lo siguiente: T 1

E ( ST )    (1   ) k E ( xT  k )  (1   )T S0 k 0

T 1

    k b1  b2 (T  k )   T S0 , donde   1   . k 0




k 0

k 0

E ( ST )     k b1  b2T   b2  k k

Considérese aquí: 

W   k k    2 2  3 3  4  4  ... k 0

 W   2  2  3  3 4  ...  W  W     2   3   4  ...  W (1   )   (1   2   3   4  ...)  W 

Por lo tanto:

 1 

 (1   ) 2

 (1   ) 2 k 0 1  E ( ST )   (b1  b2T )  b2 1  (1   )2 

E ( ST )     k b1  b2T   b2

E ( ST )  b1  b2T 

 b  2

E ( ST )  E ( xT ) 

 b  2

Y así: (4.22)

Obsérvese, por lo tanto, que si ST se aplicara al modelo descrito en la Ec. (4.20), entonces no sería un estimador insesgado de xT, ya que su valor esperado es diferente del de la demanda. Para resolver este problema, se aplica de nuevo el operador ST a la Ec. (4.21), tomándose un nuevo operador:


108

ST2  ST  (1   )ST21

(4.23)

La Ec. (4.23) significa que se aplica de nuevo el operador al resultado de la suavización simple, utilizando la misma constante de suavización . De aquí proviene el nombre de suavización ‗doble‘. Este nuevo operador se bautiza con el nombre de ST2  para indicar que se está realizando el mismo proceso por segunda vez (no confundir con la función cuadrática; no se trata del cuadrado de ST). Un análisis semejante al realizado anteriormente para ST revela que: E ( ST2  )  E ( ST ) 

 b  2

(4.24)

 b  2

(4.25)

Despejando E(xT) de La Ec. (4.22), se obtiene: E ( xT )  E ( ST ) 

Por otra parte, de la Ec. (4.24) se obtiene:

b2 

 E(ST )  E(ST2 ) 

(4.26)

Por lo tanto, un buen estimador de b2 sería:



 bˆ2 (T )  ST  ST2 



(4.27)

Reemplazando la Ec. (4.26) en la Ec. (4.25) se obtiene:

E ( xT )  E ( ST ) 

  E ( ST )  E ( ST2 )  

E ( xT )  2E (ST )  E (ST2 ) Un buen estimador de xT es, por lo tanto:

xˆT  2ST  ST2 Nótese que:

(4.28)


109

E ( xˆT )  2 E ( ST )  E ( ST2  )

       E ( xˆT )  2 b1  b2T  b2    b1  b2T  b2  b2         E ( xˆT )  b1  b2T Este último es el valor esperado de la demanda xT, de acuerdo con la Ec. (4.20). Por lo tanto, xˆT es un estimador insesgado de xT. Para efectos de pronósticos  períodos adelante, basados en el período T, una ecuación razonable sería la siguiente: xˆT  (T )  xˆT  bˆ2 (T ) Reemplazando las Ec. (4.27) y (4.28) en esta expresión, se llega al siguiente resultado:

    2   xˆT  (T )   2  ST  1   ST 1    1 

(4.29)

Esta ecuación se utiliza en suavización exponencial doble para calcular el pronóstico de demanda  períodos adelante, basado en los valores ST y ST2  correspondientes al actual período T. Es importante mencionar que algunos autores presentan la suavización exponencial doble con dos constantes de suavización, una para la componente constante (también denominada permanente) y la otra para la pendiente de la tendencia lineal (creciente o decreciente según el caso). Hemos preferido utilizar el método propuesto por Montgomery et al. (1990) con una sola constante de suavización ya que se facilita su aplicación práctica, como he constatado en algunos proyectos de optimización de inventarios en los que he participado. Inicialización de la suavización exponencial doble Si se observan las Ec. (4.21) y (4.23), se concluye que para poder calcular los pronósticos se 2  requiere estimar valores iniciales de S0 y S 0 . Para estimar estos valores se procede de la siguiente forma. En el tiempo T el intercepto con el eje y en el origen se estimaría así:

xˆT  bˆ1 (T )  Tbˆ2 (T ) Entonces:

bˆ1 (T )  xˆT  Tbˆ2 (T ) Reemplazando las Ec. (4.27) y (4.28) en la ecuación anterior, se obtendría:

 bˆ1 (T )  2ST  ST2  T ( ST  ST2 ) 


110

Si se define el origen de coordenadas para iniciar el pronóstico como T = 0, se obtiene de la anterior expresión y de la Ec. (4.27) el siguiente sistema de ecuaciones, donde bˆ1 (0) representa el intercepto con el eje y en el origen de coordenadas desde donde se van a iniciar los pronósticos:

bˆ1 (0)  2S 0  S 02 

 bˆ2 (0)  ( S 0  S 02  ) 

cuya solución produce: 1  ˆ S 0  bˆ1 (0)   b2 (0)   

(4.30)

1  ˆ S 02   bˆ1 (0)  2 b2 (0)   

(4.31)

Es muy importante notar que en las Ec. (4.30) y (4.31) se tiene lo siguiente:

bˆ1 (0) =

Estimación del valor constante alcanzado por la demanda (corte con el eje y), determinado con base en la regresión lineal de datos históricos, referido al sistema de coordenadas desde donde se van a iniciar los pronósticos, y

bˆ2 (0) =

Estimación de la pendiente de la tendencia de la demanda (creciente o decreciente) determinada con base en los datos históricos, la cual no cambia con relación al sistema de coordenadas utilizado.

A partir de datos históricos, se obtiene una primera estimación del corte con el eje y, aˆ1 (0) , referida al tiempo cero de los datos utilizados para inicialización, y una estimación de la pendiente, bˆ2 (0) , utilizando regresión lineal simple por mínimos cuadrados. El corte inicial

aˆ1 (0) con el eje y debe trasladarse entonces al nuevo sistema de coordenadas desde donde se van a iniciar los pronósticos, mediante la siguiente ecuación:

bˆ1 (0)  aˆ1 (0)  mbˆ2 (0)

(4.32)

donde m es el número de períodos históricos utilizados para estimar los valores iniciales aˆ1 (0) y bˆ2 (0) . Los valores de bˆ1 (0) y de bˆ2 (0) así obtenidos pueden finalmente utilizarse en las Ec. 2  (4.30) y (4.31) para estimar S0 y S 0 e iniciar el sistema de pronósticos.


Demanda (Unidades)

90

Demanda

80

111

Lineal (Demanda) y = 0.4473x + 22.615

70 60 50 40

30 20 10 0 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

Semanas

Figura 4.11. Demanda creciente de un ítem para 89 semanas (Ejemplo 4.4) Tabla 4.13. Datos de demanda de las primeras 51 semanas (Ejemplo 4.4) Semana Demanda Semana Demanda 1

23

26

18

2

28

27

39

3

16

28

53

4

22

29

56

5

30

30

19

6

31

31

51

7

25

32

41

8

9

33

30

9

20

34

52

10

22

35

44

11

35

36

51

12

32

37

59

13

23

38

45

14

13

39

53

15

15

40

37

16

29

41

56

17

24

42

29

18

38

43

54

19

15

44

38

20

15

45

29

21

24

46

51

22

44

47

33

23

22

48

27

24

40

49

65

25

60

50

43

51

48

Ejemplo 4.4. (Simulación de pronósticos de suavización exponencial doble) La Figura 4.11 muestra el gráfico de demanda (unidades) contra el tiempo (semanas) de un ítem para las últimas 89 semanas. La tendencia creciente de la demanda de este ítem es una


112

clara conclusión de este gráfico. Se muestra la línea de tendencia de la demanda, con su ecuación de regresión lineal correspondiente para los 89 datos, de donde se puede concluir que el promedio de la demanda se ha venido incrementando en alrededor de 0.45 unidades / semana. La Tabla 4.13 muestra las demandas del ítem para las primeras 51 semanas, las cuales se utilizarán para la estimación inicial de los parámetros del sistema de pronósticos. 90

80

Demanda (Unidades)

70

60

50

40

30

bˆ1 (0)

20

Pendiente =bˆ2 (0)

aˆ1 (0)

10

0 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

Semanas

Figura 4.12. Regresión lineal y traslado de corte para inicialización (Ejemplo 4.4) Con base en esta información se realiza una regresión lineal simple para estimar los valores de aˆ1 (0) y de bˆ2 (0) , situando el origen de coordenadas inicialmente al comienzo de la semana 1. Esto se realiza con ayuda de las funciones internas de Excel INTERSECCION.EJE para aˆ1 (0) y PENDIENTE para bˆ2 (0) (ó ESTIMACION.LINEAL también funciona para esta última). La ecuación de regresión obtenida para los primeros 51 datos de demanda da como resultado un corte con el eje y aˆ1 (0) = 19.4565 y una pendiente bˆ2 (0) = 0.5910. La Figura 4.12 ilustra este procedimiento. Las demandas del ítem a partir de la semana 52 se muestran en la Tabla 4.14. Para iniciar el pronóstico a partir de la semana 52 (T = 1) es necesario determinar los valores iniciales S0 y S 02  . Sin embargo, debe primero calcularse bˆ1 (0) con base en el nuevo sistema de coordenadas localizado al comienzo de la semana 52. El valor de bˆ2 (0) ,calculado mediante la regresión lineal, no varía y es igual a 0.5910. Debe estimarse el corte con el eje y al comienzo de la semana 52, o sea bˆ1 (0) . Así, con base en la Ec. (4.32), para m = 51, se obtiene: bˆ1 (0)  aˆ1 (0)  mbˆ2 (0) bˆ1 (0)  19.4565  (0.5910)(51)  49.60


113

Tabla 4.14. Datos de demanda para las semanas 52-89 (Ejemplo 4.4) Semana

Demanda

Semana

Demanda

52

44

71

39

53

47

72

52

54

47

73

70

55

36

74

58

56

79

75

66

57

62

76

54

58

31

77

47

59

75

78

71

60

38

79

59

61

40

80

73

62

60

81

46

63

44

82

44

64

37

83

62

65

34

84

69

66

59

85

30

67

47

86

73

68

53

87

72

69

48

88

59

70

44

89

59

Se aplican ahora las Ec. (4.30) y (4.31) para estimar los valores de arranque mencionados (Se toma un valor inicial de  = 0.10, el cual se optimizará posteriormente):  1  0.10  S0  49.5995   (0.5910)  0.10  S0  44.2802  1  0.10  S02   49.5995  2 (0.5910)  0.10  S02   38.9608 2 

Otra forma de hallar los valores de arranque del pronóstico consiste en estimar S0 y S 0 a partir de la semana 1, o sea utilizando a aˆ1 (0) en lugar de bˆ1 (0) en las Ec. (4.30) y (4.31), y actualizándolos mediante las Ec. (4.21) y (4.23) hasta alcanzar la semana 51. Los valores así hallados pueden diferir ligeramente de los anteriores. Se sugiere al lector comprobar que se 2  obtiene S0 = 42.8903 y S 0 = 39.5120, los cuales son muy semejantes a los obtenidos anteriormente. Tomando los valores encontrados inicialmente, se puede aplicar la Ec. (4.29) para simular los pronósticos para las semanas 52-89 (38 semanas en total), cada vez utilizando un valor de  = 1. Por ejemplo, el pronóstico para la semana T = 1 se calcula de la siguiente forma:

114


 (1)     (1)  2  Pronóstico Semana 1  xˆT 1 (T )   2   ST  1   ST  1   1      2    Pronóstico Semana 1  xˆ1 (T )   2   S 0  1   S0  1   1  0.1    0.1  Pronóstico Semana 1   2  (44.2801)  1  (38.9608)  50.19 0.9    0.9  Los valores de S1, S12  para calcular el pronóstico de la semana 2 se determinan con base en las Ec. (4.21) y (4.23), una vez conocida la demanda de la semana 1, x1, así:

ST  xT  (1   ) ST 1 S1  x1  (1   ) S0

ST2   ST  (1   ) ST21 S12   S1  (1   ) S02 

S1  (0.1)(44.00)  (0.9)(44.2801)

S12   (0.1)(44.2521)  (0.9)(38.9608)

S1  44.2522

S12   39.4899

Con estos nuevos valores se determina el pronóstico de la semana 2, igual a 49.54 unidades, y se continúa así sucesivamente. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 4.15. Por limitaciones de espacio sólo se muestran el error del pronóstico, el error absoluto y el error cuadrático y sus correspondientes MAD y ECM. (Si se observan algunas diferencias menores, se deben a errores de redondeo). Se puede también optimizar el valor de  con base en el ECM, por ejemplo. Al aplicar el solver, se obtiene ópt = 0.03854, para una desviación estándar mínima de 13.39 unidades (Tabla 4.16 y Figura 4.13). Como se mencionó anteriormente para la suavización exponencial simple, en este caso también se pueden presentar múltiples mínimos locales y por ello es conveniente correr el solver iniciando con varios valores en la celda cambiante correspondiente a  .


115

Tabla 4.15. Simulación de un sistema de pronósticos de suavización exponencial doble (Ejemplo 4.4;  = 0.10) Semana

Per. T

Demanda

ST

S T [2]

Pronóstico

eT

│e T │

1

23

2

28

3

16

4

22

5

30

6

31

46

51

a 1(0) =

47

33

b 2(0) =

0.5910

48

27

b 1(0) =

49.5995

49

65

50

43

eT2

Con base en los primeros 51 datos (Tabla 3.13), se obtiene: 19.4565

(Nota: No se muestran todos los datos 1-51 por ahorro de espacio)

51

0

48

44.2802

38.9608

52

1

44

44.2522

39.4899

50.19

-6.19

6.19

38.32

53

2

47

44.5269

39.9936

49.54

-2.54

2.54

6.47

54

3

47

44.7743

40.4717

49.56

-2.56

2.56

6.57

55

4

36

43.8968

40.8142

49.55

-13.55

13.55

183.73

56

5

79

47.4071

41.4735

47.32

31.68

31.68

1,003.50

57

6

62

48.8664

42.2128

54.00

8.00

8.00

64.00

58

7

31

47.0798

42.6995

56.26

-25.26

25.26

638.03

59

8

75

49.8718

43.4167

51.95

23.05

23.05

531.45

60

9

38

48.6846

43.9435

57.04

-19.04

19.04

362.68

61

10

40

47.8162

44.3308

53.95

-13.95

13.95

194.67

62

11

60

49.0345

44.8012

51.69

8.31

8.31

69.08

63

12

44

48.5311

45.1742

53.74

-9.74

9.74

94.83

64

13

37

47.3780

45.3945

52.26

-15.26

15.26

232.90

65

14

34

46.0402

45.4591

49.58

-15.58

15.58

242.79

66

15

59

47.3362

45.6468

46.69

12.31

12.31

151.64

67

16

47

47.3026

45.8124

49.21

-2.21

2.21

4.90

68

17

53

47.8723

46.0184

48.96

4.04

4.04

16.34

69

18

48

47.8851

46.2050

49.93

-1.93

1.93

3.73

70

19

44

47.4966

46.3342

49.75

-5.75

5.75

33.08

71

20

39

46.6469

46.3655

48.79

-9.79

9.79

95.81

72

21

52

47.1822

46.4471

46.96

5.04

5.04

25.41

73

22

70

49.4640

46.7488

48.00

22.00

22.00

484.05

74

23

58

50.3176

47.1057

52.48

5.52

5.52

30.46

75

24

66

51.8858

47.5837

53.89

12.11

12.11

146.74

76

25

54

52.0972

48.0351

56.67

-2.67

2.67

7.11

77

26

47

51.5875

48.3903

56.61

-9.61

9.61

92.37

78

27

71

53.5288

48.9042

55.14

15.86

15.86

251.54

79

28

59

54.0759

49.4213

58.67

0.33

0.33

0.11

80

29

73

55.9683

50.0760

59.25

13.75

13.75

189.13

81

30

46

54.9715

50.5656

62.52

-16.52

16.52

272.75

82

31

44

53.8743

50.8965

59.87

-15.87

15.87

251.76

83

32

62

54.6869

51.2755

57.18

4.82

4.82

23.20

84

33

69

56.1182

51.7598

58.48

10.52

10.52

110.73

85

34

30

53.5064

51.9344

60.96

-30.96

30.96

958.58

86

35

73

55.4557

52.2866

55.25

17.75

17.75

314.96

87

36

72

57.1102

52.7689

58.98

13.02

13.02

169.60

88

37

59

57.2992

53.2219

61.93

-2.93

2.93

8.61

89

38

59

57.4692

53.6467

61.83

8.01

90

39

?

-2.83 2.83 61.72 ← Pronóstico en tiempo real Sumas

ALPHA_2 =

-16.63 MAD y ECM →

432.89

7,319.63

11.39

192.62

Desviación estándar estimada →

14.28

13.88

0.1000


116

Tabla 4.16. Simulación de un sistema de pronósticos de suavización exponencial doble (Ejemplo 4.4;  = ópt = 0.0385) Semana

Per. T

Demanda

ST

S T [2]

Pronóstico

eT

│e T │

1

23

2

28

3

16

4

22

5

30

6

31

46

51

a 1(0) =

47

33

b 2(0) =

0.5910

48

27

b 1(0) =

49.5995

49

65

50

43

eT2

Con base en los primeros 51 datos (Tabla 3.13), se obtiene: 19.4565

(Nota: No se muestran todos los datos 1-51 por ahorro de espacio)

51

0

48

34.8545

20.1094

52

1

44

35.2070

20.6913

50.19

-6.19

6.19

38.32

53

2

47

35.6615

21.2682

50.30

-3.30

3.30

10.92

54

3

47

36.0984

21.8398

50.63

-3.63

3.63

13.19

55

4

36

36.0946

22.3891

50.93

-14.93

14.93

222.86

56

5

79

37.7482

22.9811

50.35

28.65

28.65

820.85

57

6

62

38.6828

23.5862

53.11

8.89

8.89

79.08

58

7

31

38.3867

24.1566

54.38

-23.38

23.38

546.84

59

8

75

39.7978

24.7594

53.19

21.81

21.81

475.80

60

9

38

39.7285

25.3363

55.44

-17.44

17.44

304.12

61

10

40

39.7390

25.8914

54.70

-14.70

14.70

216.02

62

11

60

40.5198

26.4551

54.14

5.86

5.86

34.32

63

12

44

40.6539

27.0023

55.15

-11.15

11.15

124.28

64

13

37

40.5131

27.5230

54.85

-17.85

17.85

318.72

65

14

34

40.2621

28.0140

54.02

-20.02

20.02

400.96

66

15

59

40.9842

28.5139

53.00

6.00

6.00

35.99

67

16

47

41.2161

29.0034

53.95

-6.95

6.95

48.36

68

17

53

41.6702

29.4916

53.92

-0.92

0.92

0.84

69

18

48

41.9142

29.9703

54.34

-6.34

6.34

40.16

70

19

44

41.9946

30.4337

54.34

-10.34

10.34

106.85

71

20

39

41.8791

30.8748

54.02

-15.02

15.02

225.56

72

21

52

42.2692

31.3140

53.32

-1.32

1.32

1.75

73

22

70

43.3379

31.7773

53.66

16.34

16.34

266.88

74

23

58

43.9030

32.2447

55.36

2.64

2.64

6.96

75

24

66

44.7546

32.7268

56.03

9.97

9.97

99.43

76

25

54

45.1109

33.2041

57.26

-3.26

3.26

10.66

77

26

47

45.1837

33.6657

57.50

-10.50

10.50

110.15

78

27

71

46.1786

34.1480

57.16

13.84

13.84

191.45

79

28

59

46.6728

34.6307

58.69

0.31

0.31

0.10

80

29

73

47.6874

35.1339

59.20

13.80

13.80

190.51

81

30

46

47.6224

35.6152

60.74

-14.74

14.74

217.39

82

31

44

47.4828

36.0725

60.11

-16.11

16.11

259.56

83

32

62

48.0422

36.5338

59.35

2.65

2.65

7.02

84

33

69

48.8499

37.0085

60.01

8.99

8.99

80.78

85

34

30

48.1235

37.4369

61.17

-31.17

31.17

971.32

86

35

73

49.0822

37.8857

59.24

13.76

13.76

189.38

87

36

72

49.9654

38.3512

60.73

11.27

11.27

127.07

88

37

59

50.3136

38.8122

62.05

-3.05

3.05

9.27

89

38

59

50.6484

39.2684

62.28

10.73

90

39

?

-3.28 3.28 62.48 ← Pronóstico en tiempo real Sumas

ALPHA_2 =

-90.81 MAD y ECM →

420.37

6,814.45

11.06

179.33

Desviación estándar estimada →

13.86

13.39

0.0385


117

90

Demanda (Unidades)

80

Demanda

Pronóstico

70 60 50 40 30 20 10 0 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

Semanas

Figura 4.13. Pronóstico de suavización exponencial doble con ópt = 0.03854 (Ejemplo 4.4) Las técnicas de suavización exponencial comprenden muchos más métodos diversos que los presentados en este texto. Una excelente revisión del tema es presentada por Gardner Jr. (2006). A pesar de que la suavización exponencial simple es un método de pronóstico que lleva muchos años de haber sido propuesto, aún encontramos investigación reciente relacionada con él. Snyder y Koehler (2009) incorporan una señal de rastreo (Sección 4.10.2) automática a las ecuaciones de la suavización exponencial simple y consiguen un modelo incluso, de acuerdo con los autores, más consistente que la suavización exponencial doble. Es importante también anotar que existen técnicas de pronósticos basadas en regresión directa sobre el conjunto de datos. Entre las más conocidas están la regresión lineal simple (Problema No. 4, Ejercicios 4.4), la regresión polinomial (cuadrática, cúbica, etc.), el ajuste exponencial (función exponencial), el ajuste logarítmico (función logarítmica) y la regresión de combinación de funciones trigonométricas para demandas estacionales. Estos métodos requieren la determinación de los parámetros de regresión con base en mínimos cuadrados a través de fórmulas en algunos casos complicadas, lo que limita su aplicación práctica. Sin embargo, algunos ERP (como Oracle, por ejemplo) traen módulos de pronósticos que incluyen técnicas de regresión y pueden determinar en forma automática los parámetros del modelo. Otras técnicas de regresión más sofisticadas son las de regresión lineal múltiple, las cuales pueden considerar varias variables independientes que probablemente influyen en la demanda de un producto. Por ejemplo, la demanda diaria de cerveza en un supermercado puede estar influenciada por la temperatura ambiente de cada día y por el precio de venta. Podría pensarse en construir un modelo de regresión lineal doble, cuya variable de respuesta es la demanda diaria de cerveza y las dos variables independientes serían la temperatura ambiente promedio diaria y el precio que se le fije al producto.

Ejercicios 4.4. 1.

Considere un ítem cuyos datos se muestran en la Tabla 4.17. Utilizando un sistema de pronósticos de suavización exponencial doble, resuelva los siguientes puntos:

118


a) Tomando las primeras 22 semanas para iniciar el pronóstico, pronostique la demanda para las 16 semanas restantes. Calcule además el error del pronóstico, el error absoluto y el error cuadrático para cada semana. Calcule igualmente la MAD, el ECM, la MAPE y la MAPE′. Estime la desviación estándar de los errores de pronóstico y grafique la demanda y el pronóstico vs. tiempo (semanas) y concluya. b) Con base en la MAD y en el ECM, determine el valor óptimo de la constante de suavización . Tabla 4.17. Datos Problema No. 1 (Ejercicios 4.4) Semana Demanda Semana Demanda 1 17 20 85 2 132 21 66 3 43 22 48 4 40 23 22 5 127 24 91 6 17 25 61 7 96 26 74 8 138 27 82 9 64 28 115 10 56 29 19 11 122 30 132 12 143 31 30 13 57 32 93 14 70 33 41 15 79 34 64 16 115 35 77 17 108 36 26 18 48 37 37 19 67 38 39

2.

Considere un ítem cuyos datos de demanda se muestran en la Tabla 4.18. Tabla 4.18. Datos Problema No. 2 (Ejercicios 4.4) Semana Demanda Semana Demanda 1 7 20 2 2 2 21 9 3 5 22 3 4 5 23 3 5 4 24 2 6 7 25 2 7 0 26 3 8 6 27 2 9 3 28 2 10 7 29 0 11 5 30 1 12 6 31 1 13 5 32 4 14 5 33 4 15 2 34 2 16 3 35 6 17 8 36 3 18 7 37 2 19 6 38 2


119

Los datos para el inicio del pronóstico de suavización doble no se muestran, pero se 2  conocen los valores de arranque S0 = 2.521614 y S 0 = 2.592549. Calcule el pronóstico para las 38 semanas que muestra la tabla y grafique la MAD vs.  para valores de  entre 0.00 y 0.30. Compruebe que existen dos óptimos locales en este intervalo y que la respuesta que da el solver depende del punto de partida, es decir, del valor de la celda que contiene a . Determine el óptimo global buscado. Compruebe que si la celda objetivo es ahora el ECM, entonces NO se presentan los dos óptimos locales mencionados anteriormente. 3.

Para el ítem del Ejemplo 4.4 aplique suavización exponencial simple, estimando S0 como el promedio de las demandas de las primeras 51 semanas y continuando la simulación del pronóstico con las 38 semanas restantes. Pruebe inicialmente con un valor de  = 0.01, luego encuentre el ópt entre 0.01 y 0.30 y grafique los resultados para las 38 semanas (demanda y pronóstico simple). Concluya acerca de la conveniencia de este método de pronóstico para este ítem.

4.

La demanda de cierto producto ha venido aumentando gradualmente durante los últimos ocho años, como muestra la Tabla 4.19. Tabla 4.19. Datos de demanda trimestral para el Problema No. 4 (Ejercicios 4.4) Año

Trimestre

Demanda

Año

Trimestre

Demanda

1

1

28

5

1

147

2

16

2

142

3

73

3

134

4

61

4

159

1

57

1

181

2

43

2

168

3

44

3

168

4

68

4

188

1

68

1

186

2

73

2

189

3

84

3

184

4

93

4

224

1

128

1

207

2

100

2

223

3

130

3

210

4

148

4

245

2

3

4

6

7

8

a) Grafique los datos y verifique que existe tendencia lineal creciente. Obtenga la recta de regresión de mínimos cuadrados sobre todos los datos. b) Tomando los primeros 20 datos (hasta la demanda del último trimestre del año 5) para iniciar el sistema de pronósticos, simule los siguientes métodos de pronósticos, para los 12 trimestres restantes:  

Regresión lineal simple, utilizando la recta de regresión para pronosticar los 12 trimestres restantes. Utilice siempre la misma ecuación de regresión lineal sin actualizarla. Promedio móvil con el óptimo valor de N para los primeros 20 datos (pruebe valores de N entre 6 y 12).


120

 

Suavización exponencial simple con el  óptimo con base en el ECM. Suavización exponencial doble con el  óptimo con base en el ECM.

En todos estos casos determine los errores de pronóstico, el error absoluto, el error cuadrático, y estime la MAD, el ECM, la MAPE, la MAPE′ y la desviación estándar de los errores del pronóstico, con base en los 12 trimestres simulados. Concluya acerca del mejor método de pronóstico. c) Agrupe las demandas en forma anual y repita todos los literales anteriores, tomando los cinco primeros años como base y simulando los tres años finales. Estime la desviación estándar para cada método con base en el ECM y compárela con la hallada en el literal anterior. Comente acerca de la posible relación entre las dos desviaciones estándar. 5. Reconsidere el Problema No. 4 de los Ejercicios 4.3. Tomando el mismo enunciado del problema, aplique ahora un método de pronósticos de suavización exponencial doble a los datos de la Tabla 4.11 y compare los resultados con el sistema de suavización simple. 6. Aunque el sistema de pronósticos de promedio móvil presentado en la Sección 4.4 es aplicable a un patrón de demanda perpetua o uniforme, existe un método de promedios móviles que puede ser aplicado a patrones de demanda con tendencia. Investigue este método y aplíquelo en forma adecuada al caso del Problema No. 4 de esta sección de ejercicios y compare los resultados con los demás métodos expuestos allí.

4.7

SISTEMAS DE PRONÓSTICOS PARA DEMANDA ESTACIONAL

Existen muchos productos para los cuales se presenta demanda estacional o por temporadas, como por ejemplo, adornos de Navidad, juguetes, cuadernos, flores, atún, natilla, buñuelos, entre otros. La demanda de este tipo de productos se caracteriza por presentar picos en ciertos períodos de tiempo conocidos y demanda aproximadamente uniforme en los demás períodos. Los modelos que se estudian en esta sección representan demandas puramente estacionales. Se analizará básicamente el método denominado de Holt y Winters, debido a sus autores principales, C. C. Holt (1957) y P. R. Winters (1960), ilustrado en Montgomery et al. (1990, pp. 137-145). El modelo más comúnmente utilizado en demanda estacional es el modelo multiplicativo de Winters, cuyo modelo subyacente se caracteriza mediante la siguiente expresión:

xt  (b1  b2t )ct   t

(4.33)

donde b1, b2 y t representan una constante, la tendencia y la variación aleatoria, respectivamente, tal como se ha definido para los modelos anteriores, y ct es un factor estacional multiplicativo. Nótese que este modelo es aplicable en patrones de demanda estacional cuya amplitud puede depender del nivel de la serie, o sea del tiempo. La Figura 4.14 muestra un ejemplo de este tipo de patrón. Es posible que el valor de b2 sea cercano a cero, y por lo tanto se tenga un patrón de demanda estacional sin tendencia pero posiblemente con amplitud variable con el tiempo.


121

350

Demanda (Unidades)

300 250 200 150 100 50 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Tiempo (Semanas)

Figura 4.14. Demanda estacional con tendencia y amplitud proporcional al nivel de la serie La longitud del período estacional es de L períodos y los factores estacionales ct están definidos de tal forma que: L

c t 1

t

L

(4.34)

Se denota el nivel del proceso actual sin considerar la componente estacional, usualmente denominada la componente permanente, como:

a1 (T )  b1  b2T y su correspondiente estimación como aˆ1 (T ) . Igualmente, las estimaciones de la pendiente y del factor estacional al final de cualquier período T se denotan como bˆ2 (T ) y cˆT (T ) , respectivamente. La actualización de los parámetros del modelo y de los pronósticos se realiza como sigue. Al final del período T, después de observar la demanda real xT, se realizan los siguientes cálculos. Primero, se revisa la estimación de la componente permanente como: aˆ1 (T )  



xT  (1   ) aˆ1 (T  1)  bˆ2 (T  1) cˆT (T  L)



(4.35)

donde 0    1 es una primera constante de suavización. La división de la demanda xT entre el factor cˆT (T  L) , el cual es la estimación del factor estacional para el período T calculada en la estación anterior (o sea hace L períodos), hace que los datos no incluyan la componente estacional, como es de esperarse para la estimación de la componente permanente. En otras

122


palabras, esta expresión desplaza el eje de coordenadas al final del período actual, T. En otros términos esto se conoce como la ‗desestacionalización‘ de la demanda. Segundo, se revisa la estimación de la tendencia (creciente o decreciente), a través de:

bˆ2 (T )   aˆ1 (T )  aˆ1 (T  1)  (1   )bˆ2 (T  1)

(4.36)

donde 0    1 es una segunda constante de suavización, independiente de . Es decir que en este caso no se cumple necesariamente que  = 1  . Tercero, se revisa la estimación del factor estacional para el período T: cˆT (T )  

xT  (1   )cˆT (T  L) aˆ1 (T )

(4.37)

donde 0    1 es una tercera constante de suavización independiente de  y de . Es posible que al actualizar los valores de cˆT (T ) no se cumpla la Ec. (4.34), por lo cual es conveniente normalizar estos factores al final de cada estación, obligando a que se satisfaga dicha expresión, utilizando la Ec. (4.43), presentada más adelante. Finalmente, para pronosticar la demanda en cualquier período futuro T + , se utiliza la ecuación del pronóstico:





xˆT  (T )  aˆ1 (T )  bˆ2 (T ) cˆT  (T    L)

(4.38)

Recuérdese que la notación entre paréntesis (), por ejemplo de aˆ1 (T ) representa el período en el cual se estima el valor de la variable correspondiente, en este caso a1, y no representa un producto aritmético. Al igual que en los sistemas de pronósticos anteriores, este método requiere de valores de arranque del pronóstico para aˆ1 (0) , bˆ2 (0) y cˆt (0) , para t = 1, 2, 3, ..., L. Estas estimaciones pueden hacerse utilizando datos históricos de demanda. Se supone que se tienen datos para la iniciación de los pronósticos para un total de m estaciones, cada una compuesta por L períodos. Sean x j los promedios de las observaciones de demanda durante las estaciones j = 1, 2, 3, ..., m. La estimación de la tendencia viene dada por:

x x bˆ2 (0)  m 1 (m  1) L

(4.39)

La componente permanente al comienzo del primer período se puede estimar como: aˆ1 (0)  x1 

Lˆ b2 (0) 2

(4.40)


123

Los factores estacionales son calculados para cada período t = 1, 2, ..., mL, como la razón entre la actual observación y su valor promedio ajustado estacionalmente y ajustado por la tendencia, mediante la siguiente ecuación:

cˆt 

xt , para t  1,2,..., mL xi  ( L  1) / 2  j  bˆ2 (0)

(4.41)

donde xi es el promedio para una estación correspondiente al subíndice t, y j es la posición del período t dentro de la estación. Por ejemplo, si 1  t  L, entonces i = 1, y si L + 1  t  2L, entonces i = 2, y así sucesivamente. Igualmente, cuando t = 1 y cuando t = L + 1, entonces j = 1; cuando t = 2 y cuando t = L + 2, entonces j = 2, y así sucesivamente. O sea que j = t para cualquier período t + kL, con k = 0, 1, 2, ..., m. La Ec. (4.41) dará m estimaciones del factor estacional para cada período. Por lo tanto, se sugiere calcular el promedio de ellos para obtener una sola estimación para cada período dentro de la estación. Esto se puede llevar a cabo mediante la siguiente ecuación: ct 

1 m 1  cˆt  kL , para t  1,2,..., L m k 0

(4.42)

Finalmente, los factores estacionales deben ser normalizados, de tal forma que su suma sea igual a L, mediante la siguiente expresión: cˆt (0)  ct

L L

c t 1

, para t  1,2,..., L

(4.43)

t

El procedimiento anterior estima aˆ1 (0) , bˆ2 (0) y cˆt (0) (para t = 1, 2, ..., L), asumiendo que el origen de tiempo se encuentra inmediatamente antes del período 1. Para pronosticar observaciones futuras, se requiere usualmente estimaciones iniciales de los parámetros con el período mL como el origen de tiempo, en forma análoga a como se realizó en el sistema de pronósticos de suavización exponencial doble. Una forma de hacer esto consiste en estimar la componente permanente para el período mL con la siguiente ecuación, en lugar de utilizar la Ec. (4.40): L (4.44) aˆ1 (mL)  xm  bˆ2 (0) 2 Así, se puede utilizar la expresión anterior y las Ec. (4.39) y (4.43) seguirían siendo válidas para bˆ2 (0) y cˆt (0) , respectivamente. Sin embargo, otra forma que se considera más adecuada para lograr el mismo propósito, es realizar las actualizaciones de aˆ1 (T ) , bˆ2 (T ) y cˆT (T ) , período por período, de acuerdo con las Ec. (4.35)-(4.37) hasta llegar al final del período mL, en forma análoga a como se propuso para la suavización exponencial doble. Así, el origen de tiempo puede ser redefinido para este período y, si se hace más claro, se pueden redefinir los períodos mL, mL + 1, mL + 2, ..., como

124


los nuevos períodos 0, 1, 2, ..., etc. Una práctica muy utilizada para estimar los valores iniciales de los factores estacionales es simplemente dividir cada observación de demanda entre el promedio de demanda de la estación correspondiente. Este método puede funcionar bien solo si la componente de tendencia del proceso es despreciable. De lo contrario, el sistema de pronósticos puede verse muy afectado. Ejemplo 4.5. (Método multiplicativo de Winters) Como parte de un trabajo que realicé en 1994 durante mis estudios de doctorado, la Tabla 4.20 muestra los consumos de gas natural en los Estados Unidos entre 1987 y 1992, y la Figura 4.15 presenta el gráfico correspondiente, reconociéndose fácilmente el carácter estacional de la demanda de gas, debido al aumento progresivo de su uso en los meses de invierno para efectos de calefacción. Dado que se presenta tendencia, el modelo estacional multiplicativo de Winters puede ser adecuado. Tabla 4.20. Consumo total de gas natural en los Estados Unidos entre 1987 y 1992 (En Trillones de BTU) MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

DEMANDA 1,499.2 1,316.5 1,155.5 926.0 630.5 520.3 531.6 586.2 518.8 704.2 878.4 1,276.2

MES 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

DEMANDA 1,633.2 1,462.6 1,178.1 830.0 606.5 513.7 543.4 604.8 528.0 671.3 889.7 1,244.0

MES 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

DEMANDA 1,361.0 1,416.3 1,265.7 851.3 604.8 474.6 507.3 519.8 471.4 694.9 901.3 1,482.7

MES 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

DEMANDA 1,437.5 1,167.7 1,055.7 824.7 598.9 483.2 478.1 523.3 498.1 635.5 834.6 1,304.5

MES 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

DEMANDA 1,512.9 1,192.0 1,075.6 763.0 551.9 434.0 472.3 438.8 448.2 617.9 900.7 1,194.3

MES 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

DEMANDA 1,395.3 1,194.1 1,070.8 834.4 575.9 458.3 431.0 441.8 462.6 700.9 996.6 1,344.8


125

1,800

1,600

Demanda (Trillones de BTU)

1,400

1,200

1,000

800

600

400

200

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71

Mes (1987-1992)

Figura 4.15. Demanda de gas natural en EEUU entre 1987 y 1992 (72 meses) Para realizar la simulación del pronóstico, se van a tomar los primeros cuatro años (19871990) para estimar los parámetros de arranque del pronóstico y se van a simular los dos años siguientes (1991-1992). Se identifican, por lo tanto los siguientes parámetros del modelo, y los promedios de demanda en los años 1-4: m  4 estaciones disponibles; Longitud de cada estación L  12 meses x1  878.6167 x2  892.1083 x3  879.2583

xm  x4  820.1500

Se puede entonces aplicar las Ec. (4.39) y (4.40):

x x 820.15  878.6167 bˆ2 (0)  m 1   1.62407 (m  1) L (4  1)  12 aˆ1 (0)  x1 

Lˆ 12 b2 (0)  878.6167  (1.62407)  888.3611 2 2

Se aplica ahora la Ec. (4.41), la cual producirá mL = (4)(12) = 48 valores diferentes de cˆt . Dada la semejanza de los cálculos para cada año, se ilustran los primeros 12 cálculos para el año i = 1, o sea para t = 1, 2, ..., 12.. Nótese que el valor de j representa el mes dentro del año correspondiente, variando desde 1 hasta 12. Los cálculos correspondientes son los siguientes:


126

cˆt 

xt , para t  1,2,..., mL xi  ( L  1) / 2  j  bˆ2 (0)

cˆ1 

x1 1,499.2   1.689146 ˆ x1  ( L  1) / 2  j  b2 (0) 1 878.6167  (12  1) / 2  1 (-1.62407)

1,316.5  1.486017 878.6167  (12  1) / 2  2 (-1.62407) 1,155.5 cˆ3   1.306682 878.6167  (12  1) / 2  3 (-1.62407) cˆ2 

De forma semejante se encuentran todos los mL = 48 valores para los primeros cuatro años (48 meses) de datos disponibles. La Tabla 4.21 muestra los resultados correspondientes. Tabla 4.21. Valores de cˆt para el Ejemplo 4.5 Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Valor de j Estimación 1 1.689146 2 1.486017 3 1.306682 4 1.049082 5 0.715621 6 0.591634 7 0.605602 8 0.669040 9 0.593215 10 0.806706 11 1.008139 12 1.467429 1 1.812571 2 1.626165 3 1.312218 4 0.926165 5 0.677999 6 0.575303 7 0.609674 8 0.679801 9 0.594562 10 0.757312 11 1.005538 12 1.408553

Período 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Valor de j Estimación 1 1.532329 2 1.597511 3 1.430262 4 0.963752 5 0.685952 6 0.539275 7 0.577497 8 0.592823 9 0.538621 10 0.795468 11 1.033660 12 1.703615 1 1.733845 2 1.411189 3 1.278344 4 1.000594 5 0.728070 6 0.588578 7 0.583520 8 0.639955 9 0.610349 10 0.780266 11 1.026768 12 1.608077

A continuación se aplica la Ec. (4.42) para obtener los promedios de los factores estacionales para cada período j dentro de la estación. Esto produce 12 factores estacionales para cada uno de los 12 meses del año, los cuales se obtienen promediando los resultados obtenidos en la Tabla 4.21 para cada valor de j. Por ejemplo, para t = 1, se toman todos los valores con j = 1. Así, se obtiene, por ejemplo, el primer valor aplicando:


127

1 3  cˆ112k , para t  1 4 k 0 1 1 c1  (cˆ1  cˆ13  cˆ25  cˆ37 )  (1.689146  1.812571  1.532329  1.733845) 4 4 c1  1.691972 c1 

Obsérvese que los factores cˆ1, cˆ13, cˆ25 y cˆ37 presentan el valor j = 1 en la Tabla 4.21. Repitiendo estos cálculos para los valores restantes de ct y aplicando la Ec. (4.43) para su normalización (suma = L = 12), se obtienen los resultados finales para la estimación de los factores estacionales de inicio del pronóstico, cˆt (0) , mostrados en la Tabla 4.22. Tabla 4.22. Estimación de los factores estacionales de inicio cˆt (0) para el Ejemplo 4.5. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Promedio 1.691972 1.530221 1.331877 0.984898 0.701910 0.573698 0.594073 0.645405 0.584187 0.784938 1.018526 1.546918

Normalizados 1.693578 1.531673 1.333140 0.985833 0.702576 0.574242 0.594637 0.646017 0.584741 0.785683 1.019493 1.548386

SUMAS

11.988623

12.000000

Dado que las estimaciones anteriores están referidas al comienzo del período 1, se necesita trasladarlas al origen de tiempo desde donde se van a simular los pronósticos, o sea al final del período 48 o, equivalentemente, al comienzo del período 49. Esto se logra aplicando sucesivamente las Ec. (4.35)-(4.37), las cuales se pueden implementar fácilmente en una hoja electrónica. Cuando se llegue al período 48 mediante este proceso se tendrán entonces los valores de inicio del pronóstico simulado propiamente dicho. Como se requiere conocer el valor de las tres constantes de suavización ,  y  para aplicar las Ec. (4.35)-(4.37), se utilizó el solver para producir el valor mínimo del ECM calculado para los 24 meses de simulación del pronóstico, lo cual se explica más adelante. Los valores obtenidos fueron  = 0.0434,  = 1.0000 y  = 0.7452, con un ECMmín = 3,426.20. La Tabla 4.23 ilustra los resultados obtenidos (Por simplicidad, no se muestran todas las filas de la tabla para todos los 48 períodos). Las celdas sombreadas en la base de la tabla representan la estimación de los parámetros de inicio utilizados para simular el pronóstico para los dos años 1991 y 1992, o sea para los períodos 49-72.


128

Tabla 4.23. Determinación de los valores de inicio con base en el nuevo origen de tiempo (Período 48) para el Ejemplo 4.5 MES

DEMANDA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ……… 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

1,499.2 1,316.5 1,155.5 926.0 630.5 520.3 531.6 586.2 518.8 704.2 878.4 1,276.2 1,633.2 ……… 1,482.7 1,437.5 1,167.7 1,055.7 824.7 598.9 483.2 478.1 523.3 498.1 635.5 834.6 1,304.5

a 1(T )

888.3611 886.6715 883.8781 880.4633 879.7474 879.8282 881.0430 882.7663 885.4831 888.1579 891.0693 892.5771 891.0559 892.8289 ……… 841.1922 850.3100 853.3305 851.3184 849.0314 847.2416 846.2888 843.4517 840.3240 838.9099 835.0302 829.2444 821.5100

b 2(T )

-1.6241 -1.6896 -2.7934 -3.4148 -0.7159 0.0809 1.2147 1.7234 2.7168 2.6748 2.9114 1.5078 -1.5212 1.7729 ……… 7.3531 9.1178 3.0205 -2.0121 -2.2869 -1.7899 -0.9527 -2.8371 -3.1277 -1.4141 -3.8797 -5.7858 -7.7343

c T (T ) 1.6936 1.5317 1.3331 0.9858 0.7026 0.5742 0.5946 0.6460 0.5847 0.7857 1.0195 1.5484 1.6915 1.5002 1.3177 1.0356 0.7130 0.5864 0.6003 0.6579 0.5843 0.7891 0.9931 1.4618 1.7942 ……… 1.6756 1.6717 1.4337 1.2875 0.9731 0.7046 0.5679 0.5743 0.6240 0.5872 0.7746 1.0202 1.6103

Valores de inicio calculados con las ecuaciones (3.39) a (3.43)

Valores de inicio referidos al comienzo del período 49 para la simulación de los pronósticos a partir de este período, calculados con las ecuaciones (3.35)-(3.37), utilizando:

  0.0434

  1.0000

  0.7452

Como ilustración, los cálculos de la fila correspondiente al mes 1 de la Tabla 4.23 son los siguientes (pueden existir pequeños errores de redondeo):





xT  (1   ) aˆ1 (T  1)  bˆ2 (T  1) cˆT (T  L) 1,499.2 aˆ1 (1)  (0.0434)  (0.9566)888.3611  (1.6241) 1.693578 aˆ1 (1)  886.6715 aˆ1 (T )  

bˆ2 (T )   aˆ1 (T )  aˆ1 (T  1)  (1   )bˆ2 (T  1) bˆ2 (1)  (1)886.6715  888.3611  (0)(1.6241) bˆ2 (1)  1.6896


cˆT (T )  

129

xT  (1   )cˆT (T  L) aˆ1 (T )

cˆ1 (1)  (0.7452)

1,499.2  (0.2548)(1.693578) 886.6715

cˆ1 (1)  1.6915 Tabla 4.24. Simulación de pronósticos años 1991 y 1992 (Períodos 49-72) Ejemplo 4.5. MES

DEMANDA 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

1,512.9 1,192.0 1,075.6 763.0 551.9 434.0 472.3 438.8 448.2 617.9 900.7 1,194.3 1,395.3 1,194.1 1,070.8 834.4 575.9 458.3 431.0 441.8 462.6 700.9 996.6 1,344.8

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

a 1(T )

821.5100 817.7307 814.7093 812.7173 809.5700 805.4204 799.6672 795.1469 786.8390 777.8688 770.1488 767.6514 764.1362 761.1646 760.8876 762.9569 769.9260 779.3898 790.8365 799.2271 805.9408 812.0609 820.9201 831.8959 843.3473

b 2(T )

-7.7343 -3.7793 -3.0214 -1.9920 -3.1473 -4.1496 -5.7532 -4.5203 -8.3079 -8.9702 -7.7200 -2.4974 -3.5152 -2.9715 -0.2770 2.0693 6.9691 9.4638 11.4468 8.3906 6.7137 6.1201 8.8592 10.9758 11.4513



c T (T )

Pronóstico

1.6717 1.4337 1.2875 0.9731 0.7046 0.5679 0.5743 0.6240 0.5872 0.7746 1.0202 1.6103 1.8047 1.4556 1.3143 0.9503 0.6902 0.5491 0.5890 0.5746 0.5790 0.7952 1.1343 1.5750 1.8259 1.5404 1.3808 1.0497 0.7265 0.5718 0.5519 0.5549 0.5720 0.8389 1.1818 1.5896

1,360.39 1,166.93 1,045.03 788.93 568.19 455.01 455.97 493.32 457.17 595.56 777.80 1,232.11 1,372.67 1,103.63 999.67 726.99 536.18 433.18 472.52 464.03 470.53 650.65 941.22 1,327.52

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1,560.75 1,334.35 1,211.90 933.38 654.28 521.49 509.71 518.81 541.38 803.53 1,145.50 1,559.03

Error

152.51 25.07 30.57 -25.93 -16.29 -21.01 16.33 -54.52 -8.97 22.34 122.90 -37.81 22.63 90.47 71.13 107.41 39.72 25.12 -41.52 -22.23 -7.93 50.25 55.38 17.28

3,426.20 ← ECM

Pronósticos en tiempo real para 1-12 meses adelante: (Meses 73-84)

  0.0434   1.0000   0.7452

Es muy importante notar que para el cálculo del componente estacional cˆ1 (1) se toma el coeficiente estacional correspondiente de hace L = 12 meses, o sea cˆT (T  L)  1.693578


130

(primera fila de la Tabla 4.22) y no el inmediatamente anterior, error que se comete a menudo. Esto es lógico, pues los componentes estacionales del mismo mes (por ejemplo, enero de 1989 y enero de 1990) son los que están relacionados y no los de meses diferentes (por ejemplo, diciembre de 1989 y enero de 1990). Una vez calculados los valores de inicio con base en el nuevo origen de tiempo, se puede simular el pronóstico para los dos años restantes. Los cálculos para la simulación del pronóstico son semejantes a los realizados anteriormente, con la única diferencia que los nuevos valores de inicio del pronóstico (la componente permanente, la tendencia y los factores estacionales) son las celdas sombreadas mostradas en las últimas filas de la Tabla 4.23. Se obtiene entonces la Tabla 4.24 al simular el pronóstico para los años 1991 y 1992 (Meses 4972), donde se han reproducido las últimas filas de la Tabla 4.23 para mayor claridad. Para ilustrar el cálculo del pronóstico con base en la Ec. (4.38), se muestra el cálculo del primer pronóstico, o sea aquél para el período 49:

 

 

xˆT  (T )  aˆ1 (T )  bˆ2 (T ) cˆT  (T    L) xˆ49 (48)  aˆ1 (48)  bˆ2 (48) cˆ49 (37) xˆ1 (0)  821.5100  (7.7343) 1.6717 xˆ1 (0)  1,360.39

Este corresponde, por lo tanto, al pronóstico de demanda del mes 49, realizado un período antes, o sea en el período 48. Lo importante es comprender que el factor estacional que debe utilizarse es el estimado en el mismo mes de la estación anterior. Análogamente, si se fuera a utilizar este sistema de pronósticos en tiempo real, siendo el período 73 el primer período real a pronosticar, se utilizaría entonces la información detallada en la Tabla 4.24 en las celdas sombreadas de la base de la tabla. Para pronosticar la demanda del período 73, se tendría:

 

 

xˆT  (T )  aˆ1 (T )  bˆ2 (T ) cˆT  (T    L) xˆ73 (72)  aˆ1 (72)  bˆ2 (72) cˆ73 (61) xˆ73 (72)  843.3473  (11.4513  1.8259) xˆ73 (72)  1,560.75 Las demandas de los períodos 74-84 se pronostican con base en los últimos valores disponibles de la componente permanente y de la pendiente, variando,  desde 2 hasta 12 y corriendo período a período la componente estacional. Al igual que en los sistemas de pronósticos anteriores, se muestra también en la Tabla 4.24 el ECM, calculado con base en los períodos pronosticados, o sea entre el mes 49 y el 72. Se muestran igualmente en la tabla las constantes de suavización óptimas que minimizan este ECM. Es muy importante observar que aquí el efecto de los múltiples óptimos locales es considerable y debe analizarse con cuidado. Se encontró, por ejemplo, otra solución local con  = 0.1408,  = 0.0046 y  = 0.5337, con un ECM = 3,878.55. De acuerdo con Silver et al. (1998, p. 108), el valor de  debería ser considerablemente menor que el de  para efectos de estabilidad del pronóstico. Así, este segundo óptimo relativo es más conveniente desde este


131

punto de vista y su diferencia en cuanto al ECM no es muy significativa con relación al óptimo encontrado arriba. Por lo tanto, debe probarse el solver con diversos puntos de partida en las celdas cambiantes correspondientes a las constantes de suavización para tratar de encontrar el óptimo global o un óptimo relativo adecuado. Igualmente, puede cambiarse el criterio a la minimización de la celda de la MAD, obteniéndose otros múltiples resultados. Finalmente, la Figura 4.16 muestra la demanda y los pronósticos que se obtendrían para los dos años simulados y para el año de pronóstico real. Es importante notar que el pronóstico proyectado para el año de 1993 aparece como si la tendencia decreciente no fuera a continuar y por el contrario se fuera a presentar una tendencia creciente. La razón de esto es que si se observan las demandas de los dos últimos años (1991 y 1992) a partir del mes de agosto, hubo un incremento en la misma en 1992. Esto plantea algo muy importante cuando se trata de proyecciones: Éstas son muy sensibles a los últimos datos que se tengan disponibles y por ellos deben considerarse en conjunto con otros aspectos para llegar a un pronóstico final. En efecto, ocurrió el aumento de demanda de gas natural en 1993, debido principalmente al incremento del consumo en el sector residencial. Demanda

Pronóstico

1,800

Demanda (Trillones de BTU)

1,600

1,400 1,200 1,000

800 600

400 200 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83

Mes (1987-1993)

Figura 4.16. Demanda y pronósticos Ejemplo 4.5 (Años 1987-1992 y año proyectado 1993) Existen otros métodos de pronósticos de demanda estacional, tales como el modelo aditivo y los métodos de suavización directa. El primero asume que el modelo subyacente es xt  b1  b2t  ct   t , cuyos componentes se definen exactamente como en el modelo multiplicativo. El segundo método ajusta directamente diversas funciones matemáticas, tales como combinaciones de funciones sinusoidales y cosinusoidales a los datos. Estos métodos pueden encontrarse en la literatura descrita en la bibliografía, especialmente en Montgomery et al. (1990). El método multiplicativo se considera suficiente para la mayoría de los casos, ya que por ser tan general puede manejar prácticamente cualquier caso de demanda estacional.


132

Recientes trabajos han logrado estandarizar los métodos anteriores dentro de modelos más generales. Se destaca la investigación de Gould et al. (2008), quienes proponen un nuevo método para el pronóstico de una serie de tiempo con múltiples patrones estacionales. De acuerdo con los autores, en el nuevo modelo se pueden actualizar los componentes estacionales más frecuentemente que en una estación completa, es útil para datos con baja y alta frecuencia y maneja eficientemente los casos de datos dispersos. El artículo viene acompañado de la correspondiente hoja electrónica del método propuesto (disponible en www.sciencedirect.com). Puede también consultarse a Segura y Vercher (2001) quienes aplican hojas electrónicas para optimizar el método de Winters para demanda estacional.

4.8

SISTEMAS DE PRONÓSTICOS PARA ÍTEMS CON DEMANDA ERRÁTICA, ÍTEMS NUEVOS Y OTROS TEMAS RELACIONADOS

4.8.1 Demanda Errática El control de inventarios de ítems de demanda errática y de ítems nuevos en el mercado es un problema muy complejo. A los ítems que presentan demanda errática se les puede aplicar los sistemas de pronósticos de suavización exponencial simple y doble, pero su comportamiento no supera al de otros métodos que han sido diseñados especialmente para este tipo de demandas. Croston (1972) propuso un método para pronosticar demandas erráticas, el cual ha demostrado ser hasta la fecha una muy buena alternativa. Esencialmente, el método de Croston divide los eventos de demanda intermitente en dos. Primero, se pronostica la probabilidad de que ocurra o no una demanda en el período siguiente, de acuerdo con las observaciones anteriores; equivalentemente, esto corresponde a estimar el número de períodos entre ocurrencias de demanda mayores que cero. Seguidamente, se pronostica el posible tamaño de la demanda, de acuerdo con las observaciones anteriores sin tener en cuenta las demandas iguales a cero. Considérese la siguiente notación: xt

=

Demanda observada en el período t.

yt

=

Variable binaria igual a 1 si ocurre una demanda mayor que cero en el período t; igual a cero de lo contrario.

zt  xt  yt

=

Tamaño de la demanda ocurrida en el período t.

nt

=

Número de períodos transcurridos desde la última demanda mayor que cero hasta el período t.

nˆt

=

Valor estimado de n al final del período t.

zˆt

=

Valor estimado de z al final del período t.


133

Con base en la anterior notación, al final de cada período t se verifica el valor de xt. Si xt > 0, o sea que ocurre cierta demanda positiva, entonces los estimadores se actualizan de acuerdo con las siguientes ecuaciones: nˆt  nt  (1   )nˆt 1 zˆt  xt  (1   ) zˆt 1

(4.45) (4.46)

donde  es una constante de suavización (Croston sugiere que 0.1    0.2, aunque en la práctica no hay inconveniente en probar con otros intervalos como por ejemplo 0.01    0.30 e incluso con 0    1). Si xt = 0, entonces no se actualiza ni el estimador del tamaño de la demanda ni el estimador de n, o sea que se deja nˆt  nˆt 1 y zˆt  zˆt 1 . El valor de nt sí debe actualizarse en cada período, independientemente de si ocurre o no una demanda positiva, ya que esta variable cuenta el número de períodos desde la última demanda mayor que cero hasta el final del período actual. Obsérvese que si no ocurre demanda alguna, este contador se incrementa en 1; por el contrario, si ocurre una demanda positiva, este contador reinicia su valor en 1 (Este contador no reinicia su valor en 0, puesto que el mínimo número de períodos entre demandas mayores que cero que puede ocurrir es 1, cuando ocurren dos demandas positivas consecutivas). Nótese en las Ec. (4.45) y (4.46) que se necesitan valores de inicio nˆ0 y zˆ0 . No he encontrado en la literatura referencia sobre cómo estimar estos valores. Se propone, por lo tanto, hacerlo con parte de la historia de demanda del ítem, tal como se ha realizado en las secciones anteriores. Finalmente, el pronóstico al final del período t para el período siguiente se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: xˆt 

zˆt nˆt

(4.47)

Ejemplo 4.6 (Método de Croston) Considérense los datos mostrados en la Tabla 4.25. Aplíquese el método de Croston, tomando como base para iniciar el sistema de pronósticos los primeros 20 datos de demanda.

134


Tabla 4.25. Datos de demanda errática (Ejemplo 4.6) Semana

Demanda

Semana

Demanda

1

50

26

53

2

0

27

0

3

0

28

0

4

65

29

0

5

5

30

65

6

22

31

0

7

0

32

0

8

0

33

0

9

0

34

0

10

62

35

36

11

0

36

0

12

0

37

15

13

10

38

0

14

55

39

43

15

2

40

0

16

0

41

7

17

0

42

0

18

0

43

24

19

0

44

0

20

34 0 17 0 0 70

45

56 0 0 22 0 47

21 22 23 24 25

46 47 48 49 50

La Tabla 4.26 muestra el resultado de la aplicación del método de Croston a los datos mostrados en la Tabla 4.25. Se han utilizado algunos contadores auxiliares para lograr que la hoja electrónica sea lo más automática posible y funcione para cualquier conjunto de datos de demanda errática. El único requerimiento es que el primer dato de demanda sea mayor que cero, como es lógico, pues de lo contrario no se sabría cuándo ocurrió la anterior demanda positiva antes de la semana 1. La estimación de nˆ0 y de zˆ0 (sombreados en la tabla) se hizo con base en los primeros 20 datos de demanda. Para el cálculo automático de nˆ0 se han utilizado dos contadores que llevan la cuenta de el número de períodos entre demandas positivas. Por ejemplo, como la primer demanda positiva ocurre en la semana 1 (50 unidades) y la segunda demanda positiva se observa en la semana 4 (65 unidades), han transcurrido 3 semanas entre estos sucesos. Este sería el primer valor de n a tener en cuenta para el cálculo, como muestra el contador de la segunda columna. Como la siguiente semana positiva ocurre en la semana 5 (5 unidades), se cuenta entonces 1 período entre demandas positivas, siendo este el segundo valor a considerar para la estimación del promedio del intervalo entre demandas positivas. Continuando de esta forma, se obtiene la estimación de nˆ0 como el promedio de los valores observados de n, así:


nˆ0 

135

3 11 4  3 11 5  2.375 8

Tabla 4.26. Resultados de la aplicación del método de Croston (Ejemplo 4.6) Semana Dem. x t Cálculo n 0 Cálculo n 0 (2) 1 50 1 2 0 2 0 3 0 3 0 4 65 1 3 5 5 1 1 6 22 1 1 7 0 2 0 8 0 3 0 9 0 4 0 10 62 1 4 11 0 2 0 12 0 3 0 13 10 1 3 14 55 1 1 15 2 1 1 16 0 2 0 17 0 3 0 18 0 4 0 19 0 5 0 20 34 1 5 21 0 22 17 23 0 24 0 25 70 26 53 27 0 28 0 29 0 30 65 31 0 32 0 33 0 34 0 35 36 36 0 37 15 38 0 39 43 40 0 41 7 42 0 43 24 44 0 45 56 46 0 47 0 48 22 49 0 50 47 ALPHA = 0.01 Mín Alpha 0.01 Máx Alpha 0.30

Datos para iniciar el sistema de pronósticos de Croston: Se toma el promedio de los valores de n encontrados, recordando que n nunca puede ser igual a cero. Se toma igualmente el promedio de las demandas positivas, sin considerar las demandas nulas, para el cálculo de z 0.

nˆt

zˆt

Contador n t

2.3750 2.3750 2.3713 2.3713 2.3713 2.3775 2.3638 2.3638 2.3638 2.3638 2.3801 2.3801 2.3801 2.3801 2.3801 2.4063 2.4063 2.4023 2.4023 2.3982 2.3982 2.3943 2.3943 2.3903 2.3903 2.3864 2.3864 2.3864 2.3925 2.3925 2.3886

33.8889 33.8889 33.7200 33.7200 33.7200 34.0828 34.2720 34.2720 34.2720 34.2720 34.5793 34.5793 34.5793 34.5793 34.5793 34.5935 34.5935 34.3975 34.3975 34.4835 34.4835 34.2087 34.2087 34.1066 34.1066 34.3256 34.3256 34.3256 34.2023 34.2023 34.3303

1 2 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2

Pronóstico

et

│e t │

e t2

14.2690 -14.27 14.27 203.60 14.2690 2.73 2.73 7.46 14.2203 -14.22 14.22 202.22 14.2203 -14.22 14.22 202.22 14.2203 55.78 55.78 3,111.37 14.3353 38.66 38.66 1,494.96 14.4989 -14.50 14.50 210.22 14.4989 -14.50 14.50 210.22 14.4989 -14.50 14.50 210.22 14.4989 50.50 50.50 2,550.36 14.5283 -14.53 14.53 211.07 14.5283 -14.53 14.53 211.07 14.5283 -14.53 14.53 211.07 14.5283 -14.53 14.53 211.07 14.5283 21.47 21.47 461.03 14.3761 -14.38 14.38 206.67 14.3761 0.62 0.62 0.39 14.3188 -14.32 14.32 205.03 14.3188 28.68 28.68 822.61 14.3787 -14.38 14.38 206.75 14.3787 -7.38 7.38 54.45 14.2878 -14.29 14.29 204.14 14.2878 9.71 9.71 94.33 14.2687 -14.27 14.27 203.60 14.2687 41.73 41.73 1,741.50 14.3838 -14.38 14.38 206.89 14.3838 -14.38 14.38 206.89 14.3838 7.62 7.62 58.01 14.2954 -14.30 14.30 204.36 14.2954 32.70 32.70 1,069.59 Sumas = 23.83 556.61 15,193.36 MAD ó ECM = 18.55 506.45  1 = 23.19 Desv. Est. 22.50


136

Por otra parte, el tamaño promedio de las demandas positivas se estima con base en los valores observados en las primeras 20 semanas, así: zˆ0 

50  65  5  22  62  10  55  2  34  33.8889 9

De aquí en adelante se aplican las Ec. (4.45) y (4.46) cuando ocurren demandas positivas o no se hace actualización alguna cuando las demandas son iguales a cero. Por ejemplo, en la semana 21 no ocurrió demanda alguna; por lo tanto, no se modifican los valores de de nˆ21 y de zˆ21 . Por el contrario, como en la semana 22 ocurre una demanda de 17 unidades, entonces aquí sí se actualizan estos valores, de la siguiente forma: nˆ22  0.01n22  (1  0.01)nˆ21  0.01(2)  (0.99)(2.375)  2.3713 zˆ22  0.01x22  (1  0.01) zˆ21  0.01(17)  (0.99)(33.8889)  33.7200

La Figura 4.17 muestra la demanda y el pronóstico contra el tiempo. Aparentemente, el pronóstico no luce muy aproximado a la demanda, pero debe recordarse que este pronóstico es el estadístico y no el pronóstico de demanda propiamente dicho, al cual deberá sumársele el inventario de seguridad.

Dem. xt

Pronóstico

80

70

DEMANDA Y PRONÓSTICO

60

50

40

30

20

10

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

SEMANAS

Figura 4.17. Demanda y pronóstico método de Croston (Ejemplo 4.6) A este mismo conjunto de datos se le aplicaron los sistemas de pronósticos de promedio móvil, suavización exponencial simple y suavización exponencial doble (no se muestran explícitamente; ver Problema No.7 de los Ejercicios 4.5). Para ser consistentes, en todos los casos se utilizaron los primeros 20 datos para iniciar el sistema y los 30 datos restantes para


137

simular. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 4.27. Nótese que, con base en el indicador del ECM, el método de Croston supera en precisión a los demás métodos. El ECM es el indicador más adecuado aquí porque para la demanda errática los errores de pronósticos se alejan del modelo probabilístico normal. Tabla 4.27. Comparación entre el método de Croston y otros métodos (Ejemplo 4.6) Método de Pronóstico Promedio móvil

Parámetro Óptimo

MAD

ECM

N óptimo = 16

19.00

529.65

Suavización exponencial simple

 óptimo = 0.01

18.89

509.92

Suavización exponencial doble

 óptimo = 0.0588

18.43

596.89

 óptimo = 0.01

18.55

506.45

Método de Croston

Algunas publicaciones anteriores y otras más recientes sostienen que el método de Croston ha sido mejorado y han propuesto nuevas metodologías, pero aún sigue siendo un tema de gran interés investigativo. Pueden consultarse Johnston y Boylan (1996), Syntetos y Boylan (2001, 2005), Smart (2002), Levén y Segerstedt (2004), Willemain et al. (2004) y Teunter y Sani (2009), entre otras posibles. Otros trabajos introducen nuevos métodos para el pronóstico de la demanda intermitente, como por ejemplo Lindsey y Pavur (2009) quienes presentan un método para obtener intervalos de confianza de ítems de muy baja demanda intermitente, basándose en técnicas de confiabilidad de software. 4.8.2 Pronósticos de demanda de ítems nuevos El control de inventarios y los sistemas de pronósticos de demanda de ítems nuevos es un tema de gran interés. El principal problema radica en que no se dispone de información histórica y en la mayoría de los casos las proyecciones se hacen con base en estudios de mercado, con métodos causales y/o con base en el análisis del comportamiento de la demanda de ítem semejantes que ya se encuentren en su etapa de madurez. En algunas ocasiones, las proyecciones de demanda son exageradas y la empresa puede incurrir en pérdidas por excesos de inventarios y por obsolescencia del ítem, especialmente en aquellos ítems de alta tecnología. En otros casos, las proyecciones se pueden quedar cortas y ocasionar demandas perdidas e insatisfacción de los clientes. Por ejemplo, fui testigo de la gran demanda que tuvo en Estados Unidos un conocido juguete al que se le hacía publicidad por televisión. Cuando fui a comprarlo para mi hijo mayor, el ítem estaba agotado y su tiempo de entrega era de alrededor de tres meses. En efecto, se entraba en una línea de espera hasta que nueva producción llegara. Esto de todas formas ocasionó grandes pérdidas de ventas del nuevo producto. Aunque en el Capítulo 5 se tratan los casos especiales de control de inventarios de ítems perecederos y de moda, aquí se quiere mostrar un método que ha producido un buen resultado en una aplicación real de control de inventarios de medicamentos en la que he trabajado. Cuando un laboratorio produce una sustancia nueva, su demanda es muy incierta y depende de muchos factores. Como al comienzo no hay historia disponible, entonces en cada punto de venta se debe tener disponible la cantidad suficiente de producto para que éste se pueda desarrollar y se minimicen los faltantes. Esta primera cantidad, la cual en muchos contextos

138


se denomina la ‗siembra‘ del producto, es definida por personas expertas en demandas de medicamentos, con base en información del mercado y de los sistemas de salud, entre otros. El problema, sin embargo, radica en el sistema de control del inventario una vez el ítem ha sido sembrado en cada punto de venta. Una forma de abordar este problema es ir construyendo gradualmente la historia y utilizar el método que he denominado ‗promedio móvil progresivo‘. Si asumimos que el período básico del pronóstico es una semana, el promedio móvil progresivo inicia con N = 1, o sea que el primer promedio es equivalente a la demanda experimentada en la primera semana de venta del nuevo producto. Una vez transcurre la segunda semana, entonces se toma N = 2, y así sucesivamente hasta la sexta semana, cuando N = 6. En este punto se fija el N = 6, ya que el sistema debe tener un muy buen grado de respuesta para permitir el libre desarrollo del ítem. Una vez el ítem cumple cierto número de semanas de historia, entonces se le puede trasladar de sistema de pronósticos, por ejemplo a suavización exponencial, ya que se dispone de historia suficiente. Como al comienzo el número de períodos es muy pequeño, entonces no se dispone de información suficiente para estimar la MAD o el ECM y la desviación estándar asociada. He encontrado que un buen método es asumir demandas de Poisson y por lo tanto, mientras dura la fase de crecimiento del ítem, fijar la desviación estándar igual a la raíz cuadrada del pronóstico estadístico del ítem. Esto ha funcionado adecuadamente para la mayoría de los ítems en el caso mencionado. De una u otra forma, el tema de pronósticos de demanda de ítems nuevos es un tópico de gran interés investigativo. Puede consultarse el trabajo por Rodríguez y Vidal (2009) para una revisión de literatura relacionada con este tema y una descripción de un nuevo método y su aplicación en el control de inventarios de productos de corto ciclo de vida. Un artículo reciente por Wanke (2008) reporta resultados sobre el uso de la distribución uniforme para la administración de inventarios de ítems nuevos. Puede consultarse también a Ozer (2005) para un análisis sobre los factores que influencian la toma de decisiones para la evaluación de productos nuevos. En cierta forma, las promociones también se pueden considerar como ítems nuevos, ya que un tipo de promoción puede agrupar dos o más ítems maduros en uno con un nuevo código dentro de la base de datos de la empresa. El Problema No. 5 de los Ejercicios 4.6 propone una situación para el pronóstico de las promociones. Reciente investigación también trata el tema [O‘Donnell et al. (2009)], haciendo énfasis en algoritmos genéticos para minimizar los efectos de las promociones en la cadena de abastecimiento. 4.8.3 Combinaciones de pronósticos Cuando se trata de aplicar sistemas de pronósticos en la práctica, siempre se busca obtener el mejor sistema de pronósticos para el caso dado. En algunos casos, es conveniente probar diversos sistemas para los múltiples ítems; el problema con este método es que pueden dar diferentes sistemas de pronósticos óptimos ciertos ítems o grupos de ítems, lo cual puede ser muy difícil de implementar debido a que la administración de los sistemas de pronósticos se complica. Por ejemplo, si para un ítem clase A el mejor pronóstico resulta ser el de suavización simple, pero para otro, tal vez de su misma familia, resulta ser suavización doble, entonces puede ser muy difícil hacer esta diferenciación debido principalmente a la implementación dentro del sistema de información de la empresa.


139

Por supuesto que existen desarrollos de software de pronósticos que muy probablemente pueden manejar esta diversidad. De acuerdo con Shapiro (2001, p. 261), existen varias clases software de pronósticos:  Software automático, el cual define el mejor método de pronósticos para cada ítem y calcula sus correspondientes parámetros óptimos. Obviamente, el usuario puede adoptar o no el método sugerido.  Software semi-automático, en el cual el usuario selecciona el método de pronósticos de las sugerencias del software.  Software manual, en el cual el usuario debe considerar cada método de pronósticos y darle al sistema los parámetros del mismo. A pesar de estos avances, como se mencionó al comienzo de este capítulo, en la práctica, de acuerdo con Sanders y Manrodt (2003), a pesar de que existen múltiples desarrollos de software de pronósticos, sólo el 10.8% de las empresas que ellos encuestaron reportaron estar usando algún programa para pronosticar; el 48% reportó la utilización de hojas electrónicas para pronosticar demanda y el 60% manifestó estar insatisfecho con el comportamiento del software de pronósticos. A pesar de estas estadísticas, aquéllos que utilizan software de pronósticos obtienen los mejores resultados en cuanto al error del pronóstico medido con la MAPE. He tenido la oportunidad de observar que, en grandes empresas, no se utiliza el software de pronósticos que viene con el ERP que usa la empresa e incluso ha tenido contacto con varios analistas que planean la demanda en forma básicamente manual o con el apoyo de hojas electrónicas sencillas. Igualmente, he podido probar algo que es muy sencillo y que produce muy buenos resultados. Se trata de la combinación de pronósticos. Como lo mencionan Silver et al. (1998, p. 132), combinaciones de pronósticos obtenidos con métodos sencillos producen mejores resultados que los métodos más elaborados; en general, continúan afirmando, ―métodos sofisticados no produjeron resultados más precisos que los que produjeron los métodos más simples.‖ Closs (2004, p. 6) afirma que cuando se seleccionan las técnicas de pronósticos, los analistas no deberían asumir inmediatamente que las técnicas más sofisticadas producen los mejores resultados. Una combinación de pronósticos tan sencilla como el promedio de los mismos, en general, produce mejores resultados que cada uno de los métodos en forma individual. Para ir más allá, se pueden probar combinaciones lineales convexas de los pronósticos, optimizando los factores de combinación. Este tópico se ha dejado como ejercicio en el Problema No. 5 de los Ejercicios 4.5. Puede consultarse también a Chan et al. (1999), quienes toman varios pronósticos y calculan los pesos para combinarlos utilizando programación cuadrática.

Ejercicios 4.5. 1. Los datos de demanda para cuatro años para un cierto tipo de producto de tendencia estacional se muestran en la Tabla 4.28. Construya una hoja electrónica en la cual, utilizando los datos correspondientes a los dos primeros años, inicie un modelo de Winters multiplicativo, para luego simular los dos años restantes. Calcule para estos dos últimos

140


años la MAD y el ECM y determine las mejores constantes de suavización, ,  y . Construya las correspondientes gráficas. Tabla 4.28. Datos para el Problema No. 1 (Ejercicios 4.5) Mes

Demanda

Mes

Demanda

1

150

25

244

2

145

26

236

3

201

27

290

4

235

28

358

5

190

29

310

6

407

30

689

7

475

31

774

8

633

32

959

9

789

33

1,155

10

576

34

939

11

345

35

628

12

230

36

312

13

198

37

258

14

191

38

249

15

265

39

257

16

290

40

378

17

251

41

327

18

537

42

727

19

627

43

817

20

777

44

21

1,041

45

22

760 509 304

46

986 1,295 991 663 477

23 24

47 48

2. Para el problema anterior estime los factores estacionales dividiendo cada observación entre su correspondiente promedio estacional y luego promedie los factores correspondientes a períodos semejantes. Por ejemplo, para estimar cˆ1 (0) , promedie los factores obtenidos mediante el proceso anterior para los períodos 1 y 13. Realice el resto del ejercicio en forma semejante al anterior y compare los resultados para los mismos valores de constantes de suavización. Utilice, por ejemplo,  = 0.20,  = 0.10 y  = 0.10. ¿Considera usted que es bueno estimar los factores estacionales de esta forma? 3. Una empresa productora de tapas herméticas para productos de consumo masivo utiliza un método de moldeo por inyección. El moldeo funciona mejor a una temperatura ambiente de 20º C. La planta está equipada con un horno de gas para clima frío y acondicionadores de aire para clima caliente. Por esta razón, el consumo de energía eléctrica es estacional con picos en los meses de verano y bajas en los meses de invierno. La Tabla 4.29 muestra las observaciones de consumo de energía en Kwh.


141

Tabla 4.29. Consumo de energía en KWh para el Problema No. 3 (Ejercicios 4.5) Año

Trimestre

Demanda

Año

Trimestre

Demanda

1

1

2,319

3

1

2,360

2

4,422

2

3,076

3

6,498

3

5,793

4

4,902

4

5,350

1

2,300

1

2,310

2

2,696

2

3,600

3

5,882

3

6,650

4

4,378

4

5,245

2

4

a) Tomando como base para la determinación de parámetros de cada modelo los primeros tres años, aplique suavización exponencial simple, suavización exponencial doble y el método multiplicativo de Winters para simular el pronóstico para los cuatro trimestres del año 4. Basándose en el ECM y en gráficas adecuadas, compare los resultados de los tres modelos. En cada caso optimice las constantes de suavización correspondientes. Concluya. b) Utilizando el método multiplicativo de Winters, pronostique el consumo de energía para cada trimestre del año 5. [Ampliado de Sipper y Bulfin (1998), p. 143] 4. Combinación de patrones de demanda. Una empresa productora de cuadernos ha recolectado dos años de datos de demanda semanal como muestra la Tabla 4.30. Esta demanda es una combinación de demanda perpetua con demanda estacional cuando se presentan los ingresos a los colegios y a las universidades. Proponga al menos dos métodos para realizar el pronóstico de este patrón de demanda. Implemente uno de ellos. 5. Combinación de pronósticos. Considere el ítem de los Ejemplos 4.2 y 4.3, al cual se le aplicó promedio móvil (con Nóptimo = 12) y suavización exponencial simple (con óptimo  0.1063), respectivamente. En ambos casos se tomaron los primeros 12 datos de demanda para iniciar, se pronosticaron las demandas restantes y se determinaron los parámetros óptimos con base en el ECM. Se pide lo siguiente: a) Implemente un sistema de pronósticos de suavización exponencial doble para este ítem, utilizando los primeros 12 datos de demanda para iniciarlo, para efectos de consistencia. Simule el pronóstico del resto de semana y determine la constante de suavización óptima con base en el ECM. b) Implemente ahora un sistema de combinación de pronósticos calculado a partir de los tres sistemas anteriores, o sea el promedio móvil, la suavización simple y la doble. Utilice un promedio simple para calcular el nuevo pronóstico. Halle el ECM y compare los resultados con cada uno de los sistemas de pronósticos individuales. c) Diseñe ahora una hoja electrónica que le permita calcular una combinación lineal convexa de los tres sistemas de pronósticos, de la siguiente forma:

Pron. Combinado  a1  Pron. Prom. Móvil  a2  Pron. Suav. Simple  a3  Pron. Suav. Doble; donde : 0  a1 , a2 , a3  1; a1  a2  a3  1.

142


d) Pruebe una nueva combinación donde los factores ai estén entre 1 y 1. Tabla 4.30. Demanda semanal de cuadernos para el Problema No. 4 (Ejercicios 4.5) Semana

Demanda

Semana

Demanda

1

65

2

70

3

50

4

66

5

40

6

50

7

63

8

49

9

49

10

77

11

95

12

94

13

50

14

73

15

92

16

45

17

10

18

39

19

27

20

80

21

72

22

55

23

62

24

70

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

85 43 47 48 73 23 116 67 39 81 67 58 51 52 51 65 56 46 75 47 69 59 54 85 92 100 132 138 170 175 164 162 152 123 114 98 80 77 60 42 70 81 65 66 40 62 76 55 60 90 88 56

25

89

26

105

27

122

28

148

29

165

30

182

31

180

32

167

33

155

34

123

35

114

36

98

37

90

38

73

39

35

40

80

41

79

42

88

43

58

44

71

45

85

46

79

47

63

48

57

49

50

50

71

51

112

52

53


143

6. La demanda mensual de un repuesto relativamente costoso se muestra en la Tabla 4.31. Implemente el sistema de pronósticos de suavización exponencial doble y el método de Croston estudiados en este capítulo, tomando los primeros 20 datos de demanda para iniciar los dos sistemas de pronósticos. Simule el pronóstico de los 30 datos restantes, calcule el  óptimo con base en el ECM y grafique la demanda y el pronóstico. Compare los resultados y concluya. Tabla 4.31. Demanda mensual de un repuesto para el Problema No. 6 (Ejercicios 4.5) Mes

Demanda

Mes

Demanda

1

30

26

53

2

0

27

0

3

0

28

34

4

75

29

0

5

0

30

65

6

22

31

0

7

0

32

0

8

0

33

0

9

0

34

0

10

57

35

36

11

23

36

11

12

0

37

0

13

0

38

0

14

55

39

70

15

0

40

0

16

0

41

0

17

0

42

0

18

0

43

24

19

28

44

0

20

5

45

33

21

0

46

0

22

17

47

0

23

0

48

44

24

0

49

0

25

0

50

12

7. Muestre que los resultados de la Tabla 4.27 son correctos, aplicando los tres sistemas de pronósticos (los que no se mostraron explícitamente en el texto) a los mismos datos de demanda errática del Ejemplo 4.6.

4.9

INTRODUCCIÓN SEGURIDAD

AL

CÁLCULO

DE

INVENTARIOS

DE

En esta sección se presenta una introducción al cálculo de inventarios de seguridad, tema que será tratado más a fondo en el Capítulo 5. Se ha decidido introducirlo aquí como una motivación hacia la utilidad que tienen los sistemas de pronósticos estudiados anteriormente.


144

Antes de continuar, es importante describir los dos tipos más comunes de sistemas de control de inventarios de ítems individuales, los cuales se estudiarán con mayor detalle en el Capítulo 5. En el sistema de control continuo (s, Q) se revisa el nivel de inventario efectivo continuamente y cuando éste llega a su punto de pedido o punto de reorden, s, entonces se ordena una cantidad constante Q. En el sistema de control periódico (R, S) se revisa el nivel de inventario cada R períodos de tiempo y se ordena una cantidad igual a la diferencia entre un inventario máximo, S, y el inventario efectivo en el momento de la revisión (El concepto de inventario efectivo se define en la Sección 5.7.1). El sistema periódico facilita la coordinación del control de varios ítems, aunque genera inventarios de seguridad ligeramente superiores al sistema continuo, ya que el primero debe responder a las fluctuaciones de demanda durante el tiempo de reposición de los proveedores o del sistema de producción, L, más el tiempo entre revisiones, R, mientras que para el sistema continuo los inventarios de seguridad deben responder sólo sobre el tiempo de reposición L. ¿Cómo fijar entonces inventarios de seguridad? Una forma adecuada es definirlos utilizando factores comunes considerando la variabilidad de la demanda (o de los errores del pronóstico) de acuerdo con el sistema de control escogido, de la siguiente forma:

Inventario de Seguridad IS  kˆ L [Sistema continuo ( s, Q)] Inventario de Seguridad IS  kˆ R  L [Sistema periódico ( R, S )]

(4.48)

donde: k

=

Factor de seguridad dependiente del nivel de servicio deseado.

ˆ L

=

Desviación estándar de los errores de pronóstico de la demanda total sobre un período de duración L, o sea sobre el tiempo de reposición.

ˆ R L

=

Desviación estándar de los errores de pronóstico de la demanda total sobre un período de duración R+L, o sea sobre el tiempo de reposición + el intervalo de revisión.

La importancia de la estimación de la desviación estándar de los errores del pronóstico, ˆ1 , radica en el hecho de que la desviación estándar de los errores del pronóstico sobre el tiempo de reposición, ˆ L , o sobre el tiempo de reposición más el tiempo de revisión, ˆ R L , es decir, sobre aquellos tiempos en los cuales existe el riesgo de tener agotados, se pueden estimar mediante las siguientes ecuaciones:

ˆ L  ˆ1 L , para un sistema de control continuo ( s, Q) (4.49)

ˆ R  L  ˆ1 R  L , para un sistema de control periódico ( R, S )


145

De acuerdo con Silver et al. (1998, pp. 114-116), la relación exacta entre estas ˆ L y ˆ1 y entre

ˆ R L y ˆ1 no es fácil de determinar, pero las Ec. (4.49) se aceptan ampliamente, ya que han

dado muy buenos resultados en la práctica. En uno de los proyectos en los que participé, tuve la oportunidad de medir empíricamente la relación entre ˆ1 y ˆ L para una muestra aleatoria de 164 ítems clase A, a través de una regresión lineal de mínimos cuadrados. Para estos ítems encontré que ˆ L  ˆ1L , lo cual es un resultado muy aproximado al mostrado en la primera de las Ec. (4.49). El experimento se realizó para ˆ1 diaria y ˆ L semanal, o sea para un tiempo de reposición L = 1 semana = 7 días. Es importante notar que en las Ec. (4.49) las unidades de tiempo en las que se debe expresar L (ó R + L) deben coincidir con el período de tiempo del pronóstico utilizado para calcular a ˆ1 . En otras palabras, L (ó R + L) dentro del radical representa las veces que el tiempo de reposición L (ó R + L) ‗cabe‘ en el período básico del pronóstico, y por ello lo que hay en el interior del radical es adimensional, explicándose así la consistencia de las ecuaciones. Estas expresiones son válidas para valores de L (ó R + L) no enteros y también para valores de L (ó R + L) menores que 1, como por ejemplo para pasar de una desviación estándar con base semanal a una con base diaria. Aquí debe hacerse la salvedad que no es lo mismo la desviación estándar de los errores del pronóstico de demanda que la desviación estándar de la demanda propiamente dicha. De 2 acuerdo con Montgomery et al. (1990, p. 172), la varianza del error del pronóstico ˆ1 es la 0.405

suma de las varianzas de la demanda ˆ 2 y la varianza del pronóstico. Esto se ve claramente de la definición del error del pronóstico y del hecho de que la demanda y su pronóstico son variables aleatorias independientes, al igual que las diversas demandas periódicas entre sí. 2 Así, si se tiene un estimado de la varianza de los errores del pronóstico ˆ1 , y se dispone de una relación matemática entre ˆ1 y ˆ 2 , de acuerdo con el sistema de pronósticos que se esté utilizando, se puede entonces estimar una de las dos varianzas a partir de la otra. Para la suavización exponencial simple, por ejemplo, se encontró en la Sección 4.5 que: 2

Var ( ST ) 

 2 

 2

De acuerdo con la relación existente entre las varianzas, puede escribirse (las expresiones son válidas también para los parámetros estimados):

 12   2  Var ( ST )   2 

 2 

 2

2  2 ó, equivalent emente, 2  2  2  2  1 2   12 

146


Nótese que si  es pequeño, las dos varianzas y por ende las dos desviaciones estándar son prácticamente iguales. Incluso si  toma el valor límite de 0.3, la relación muestra que ambas desviaciones estándar son cercanas:

 

2  1 2

2  0. 3 1 2    0.922 1

 

Para estimar entonces el inventario de seguridad con base en la desviación estándar de los errores del pronóstico, se pueden aplicar las siguientes ecuaciones:

Inventario de Seguridad IS  kˆ L  kˆ1 L [Sistema continuo ( s, Q)] (4.50)

Inventario de Seguridad IS  kˆ R  L  kˆ1 R  L [Sistema periódico ( R, S )] Ahora, el criterio más simple para determinar el valor de k es el de fijar el nivel de servicio de acuerdo con la probabilidad de NO tener un agotado en cada ciclo de reposición. Bajo el supuesto de normalidad, para un nivel de servicio del 95.0%, k debe fijarse en 1.65 (Este valor se obtiene de las tablas de la distribución normal unitaria mostradas en el Apéndice A, para un valor de pz(k) = 1 – 0.95 = 0.05. Este tema se tratará en detalle en el Capítulo 5). Para un nivel de servicio del 97.5%, k se fija en 1.96, y para un nivel de servicio del 99.0%, k = 2.33. Otros criterios para definir el valor adecuado de k serán estudiados ampliamente en el Capítulo 5. Los valores de k dados anteriormente surgen de la teoría estadística de los intervalos de confianza. Aquí estamos definiendo en realidad un intervalo de confianza superior o de un solo lado, ya que estamos más interesados en el hecho de que no haya faltantes, o sea en estimar la demanda máxima, que lo que estamos en estimar una demanda mínima. En este caso, si el promedio de demanda es d, podría decirse que la demanda máxima durante el tiempo de reposición no será superior a (d  L)  kˆ1 L ó a [d  ( R  L)]  kσˆ1 R  L durante el tiempo de reposición + el intervalo de revisión, según sea el sistema de control que se esté utilizando, con un nivel de confianza indicado por el valor de k, de acuerdo con lo expresado al comienzo de este párrafo. En algunas ocasiones, se puede requerir un intervalo de confianza de dos lados para la demanda, es decir, un límite inferior y uno superior. Por ejemplo, alguna vez conversé con un planeador de demanda perteneciente a una empresa industrial, quien preguntó que si podía darle una forma de estimar la demanda en forma puntual, o sea de comprometerse con un valor específico de demanda de un producto para el próximo mes. Yo le respondí que esto era imposible, pues, para una variable aleatoria continua, la probabilidad de que dicha variable tome un valor específico es igual a cero. Que lo que sí podía hacerse era comprometerse a través de un intervalo de confianza, con una demanda mínima y una máxima, con un cierto nivel de confianza o de confidencia. La anécdota es que le dije, en sentido de broma, que si el jefe le pedía una cifra específica, le contestara que lo hiciera él para ver qué tan acertado era su


147

pronóstico. Y es que en realidad en la práctica, muchas veces no se reconoce la importancia de la función de los planeadores de demanda y de quienes tienen que ver con pronósticos y sistemas de control de inventarios. Yo he tenido en ocasiones que defender el tema fuertemente, ya que muchos gerentes piensan que ―eso de pronosticar y controlar los inventarios es muy fácil y que por qué se complican tanto‖. Un intervalo de confianza de dos lados para la demanda durante el tiempo de reposición vendría dado por (d  L)  kˆ1 L , o por [d  ( R  L)]  kσˆ1 R  L durante el tiempo de reposición + el intervalo de revisión. Aquí, sin embargo, el valor de k cambia respecto del intervalo de confianza de un solo lado. Para un nivel de confianza del 90%, k = 1.65; para un nivel de confianza del 95%, k = 1.96; para un nivel de confianza del 97.5%, k = 2.24; para un nivel de confianza del 99.0%, k = 2.58, y así sucesivamente. Esto se explica porque, al haber dos lados en el intervalo de confianza, entonces el nivel de confidencia se divide entre dos. Así, por ejemplo, para un nivel total de confianza del 95%, se tiene que el 5% de riesgo se divide entre los dos extremos, quedando un 2.5% de riesgo en cada uno, con lo que el valor de k corresponde a un pz(k) = 0.025, o sea k = 1.96 (De las tablas del Apéndice A). Un texto que trata los temas de intervalos de confianza en forma excelente es el de Navidi (2006, pp. 300367). Ejemplo 4.7 (Cálculo de inventarios de seguridad) Considérese el Ejemplo 4.4 anterior, donde se aplicó un sistema de pronósticos de suavización exponencial doble. Supóngase ahora que se va a utilizar un sistema de control periódico (R, S), que el tiempo de reposición L es despreciable y que se está utilizando un intervalo de revisión R = 1 semana. En la Tabla 4.16 anterior se mostraron los resultados finales de la aplicación del sistema de pronósticos después de optimizar la constante de suavización . Los indicadores clave obtenidos fueron los siguientes:

óptimo MAD ECM

= = =

0.0385 11.06 unidades 179.33 unidades2

ˆ1

=

13.86 (Estimada a partir de la MAD, o sea calculada como

ˆ1

=

ˆ1  1.2533  MAD  1.2533 11.06  13.86 ) 13.39

(Estimada

a

partir

del

ECM,

o

sea

calculada

como

ˆ1  ECM  179.33  13.39 ) Así, aplicando la segunda de las Ec. (4.50) se puede determinar el inventario de seguridad y sumárselo al pronóstico para determinar el inventario máximo S a llevar en cada semana. Se ha seleccionado un factor de seguridad k = 1.96, correspondiente a un nivel de servicio del 97.5%, y se ha utilizado la desviación estándar estimada mediante la raíz cuadrada del ECM sobre las 38 semanas de simulación del inventario. En otras palabras, el inventario de seguridad vendría dado por:


148

IS  kˆ R  L  kˆ1 R  L [Sistema periódico ( R,S )] IS  (1.96)(13.39) 1  26.24 unidades La Tabla 4.32 y la Figura 4.18 ilustran los resultados obtenidos. Por interés de este tema y para mayor claridad, sólo se presentan los resultados para las 38 semanas simuladas y para la semana que se estaría pronosticando en tiempo real. Tabla 4.32. Cálculo de inventarios de seguridad y de inventarios máximos (Ejemplo 4.7) Inv. Máximo

Inv. Máx.  Demanda

52

1

44

50.19

-6.19

6.19

38.32

76.44

32.44

53

2

47

50.30

-3.30

3.30

10.92

76.55

29.55

54

3

47

50.63

-3.63

3.63

13.19

76.88

29.88

55

4

36

50.93

-14.93

14.93

222.86

77.18

41.18

56

5

79

50.35

28.65

28.65

820.85

76.60

-2.40

57

6

62

53.11

8.89

8.89

79.08

79.35

17.35

58

7

31

54.38

-23.38

23.38

546.84

80.63

49.63

59

8

75

53.19

21.81

21.81

475.80

79.43

4.43

60

9

38

55.44

-17.44

17.44

304.12

81.69

43.69

61

10

40

54.70

-14.70

14.70

216.02

80.94

40.94

62

11

60

54.14

5.86

5.86

34.32

80.39

20.39

63

12

44

55.15

-11.15

11.15

124.28

81.40

37.40

64

13

37

54.85

-17.85

17.85

318.72

81.10

44.10

65

14

34

54.02

-20.02

20.02

400.96

80.27

46.27

66

15

59

53.00

6.00

6.00

35.99

79.25

20.25

67

16

47

53.95

-6.95

6.95

48.36

80.20

33.20

68

17

53

53.92

-0.92

0.92

0.84

80.17

27.17

69

18

48

54.34

-6.34

6.34

40.16

80.58

32.58

70

19

44

54.34

-10.34

10.34

106.85

80.58

36.58

71

20

39

54.02

-15.02

15.02

225.56

80.27

41.27

72

21

52

53.32

-1.32

1.32

1.75

79.57

27.57

73

22

70

53.66

16.34

16.34

266.88

79.91

9.91

74

23

58

55.36

2.64

2.64

6.96

81.61

23.61

75

24

66

56.03

9.97

9.97

99.43

82.28

16.28

76

25

54

57.26

-3.26

3.26

10.66

83.51

29.51

77

26

47

57.50

-10.50

10.50

110.15

83.74

36.74

78

27

71

57.16

13.84

13.84

191.45

83.41

12.41

79

28

59

58.69

0.31

0.31

0.10

84.94

25.94

80

29

73

59.20

13.80

13.80

190.51

85.44

12.44

81

30

46

60.74

-14.74

14.74

217.39

86.99

40.99

82

31

44

60.11

-16.11

16.11

259.56

86.36

42.36

83

32

62

59.35

2.65

2.65

7.02

85.60

23.60

84

33

69

60.01

8.99

8.99

80.78

86.26

17.26

85

34

30

61.17

-31.17

31.17

971.32

87.41

57.41

86

35

73

59.24

13.76

13.76

189.38

85.49

12.49

87

36

72

60.73

11.27

11.27

127.07

86.97

14.97

88

37

59

62.05

-3.05

3.05

9.27

88.29

29.29

89

38

59

62.28

10.73

88.52

90

39

?

-3.28 3.28 62.48 ← Pronóstico en tiempo real

Semana Per. T

Demanda

Pronóstico

Sumas

eT

-90.81 MAD y ECM →

│e T │

eT 2

420.37

6,814.45

11.06

179.33

13.86

13.39

ALPHA_2 =

0.0385 Desv. estándar estimada ˆ 1 →

Valor de k =

1.96

29.52 88.73 ← Inventario máximo en tiempo real


100

Inventario máximo proyectado en tiempo real

Ocurrencia de faltante

90

149

Demanda (Unidades)

80 70 60 50 40 30 20

Demanda

Pronóstico

Inventario Máximo

10 0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

Semanas

Figura 4.18. Ilustración del cálculo de inventarios de seguridad e inventarios máximos (Ejemplo 4.7) Obsérvese que la curva del inventario máximo es ‗paralela‘ a la curva del pronóstico, ya que se encuentra desplazada 26.24 unidades (inventario de seguridad) hacia arriba. Por ejemplo, el inventario máximo para la semana 52 (período 1 simulado) se calcula de la siguiente forma:

Inventario Máximo  Pronóstico  IS  50.19  26.24  76.43 unidades Si la demanda es superior al inventario máximo en un período dado (o equivalentemente si el Inv. Máximo – Demanda < 0), entonces se genera un faltante. En este ejemplo solo se hubiera generado un faltante de 2 ó 3 unidades en la semana 56 simulada (equivalente al período 5 simulado). El nivel de servicio simulado sería entonces igual a 1 – (1/38) = 97.4%, ya que de las 38 semanas sólo en una ocurre faltante. Esto coincide plenamente con el teórico del 97.5% al utilizar k = 1.96. La Figura 4.18 se ha elaborado bajo el supuesto que R + L = 1 semana. En caso de que esto no sea así, sería necesario estandarizar los períodos de la figura a intervalos iguales a R + L para observar el comportamiento real del sistema de control. Nótese la importancia que tiene la definición del inventario de seguridad, ya que transforma el pronóstico estadístico en un verdadero pronóstico de demanda, utilizando el inventario máximo en este caso. Estos métodos se constituyen en herramientas muy poderosas, pues, aunque es imposible pronosticar el verdadero valor de la demanda, si se calculan correctamente los inventarios de seguridad y se utilizan los inventarios máximos como las cantidades a mantener cada semana, entonces se lograría cubrir la mayoría de los picos de demanda y producir el nivel de servicio deseado. Finalmente, obsérvese que la proyección del inventario máximo en tiempo real (período 39 simulado) de aproximadamente 89 unidades es un verdadero valor de control; si se mantiene este nivel de inventario, entonces la probabilidad de que NO ocurra faltante durante dicha semana sería aproximadamente del 97.5%.

150


Si estuviéramos interesados en calcular un intervalo de confianza de dos lados para la demanda de la próxima semana en tiempo real, asumiendo que mantenemos el mismo nivel de confianza del 97.5%, entonces el valor de k cambia a aquél para pz(k) = 0.025/2 = 0.0125. De las tablas del Apéndice A se obtiene k = 2.24. Así, el intervalo de confianza del 97.5% vendría dado por:

[d  ( R  L)]  kσˆ1 R  L  (62.48  1)  2.24  13.39  1  62.48  30.00 Es decir, que podríamos afirmar que la demanda en unidades de la próxima semana caería en el intervalo [32.48, 92.48] con un nivel de confianza del 97.5%. Lo realizado en el ejemplo anterior se puede replicar para cualquiera de los métodos de pronóstico estudiados hasta ahora, o sea que cuando se dispone del pronóstico estadístico y se estima la desviación estándar de los errores del pronóstico ˆ1 , se puede entonces calcular el inventario de seguridad requerido para cierto nivel de servicio especificado y definir el punto de reorden o el inventario máximo según sea el caso. Aquí el pronóstico es dinámico, en cuanto a que cambia de una semana a otra; sin embargo, el inventario de seguridad es estático, pues permanece constante a lo largo del período de simulación. Esto obliga a que deban revisarse periódicamente todos los parámetros del modelo. Una forma dinámica que puede ser más adecuada para definir inventarios de seguridad se estudiará en la sección siguiente, a través de los errores suavizados y las señales de rastreo.

4.10 ERRORES SUAVIZADOS Y SEÑALES DE RASTREO 4.10.1 Errores suavizados En la práctica puede ser más adecuado definir inventarios de seguridad de una forma dinámica, o sea estimando la desviación estándar de los errores del pronóstico período a período. En la sección anterior, esta variabilidad se ha estimado con base en la simulación del pronóstico de un cierto número de períodos. Sin embargo, es muy útil hacerlo en una forma progresiva y continua, a medida que se vaya pronosticando, ya que se tiene la estimación más reciente de la variabilidad y se necesita guardar menos datos en memoria. De hecho, Axsäter (2000, p. 82) sostiene que ―En general, es más práctico actualizar los puntos de reorden y los tamaños de lote al mismo tiempo, inmediatamente después de actualizar los pronósticos.‖ Yo he aplicado esta técnica con muy buenos resultados en la práctica. Una manera de lograr esto es a través de la suavización de los errores del pronóstico, descrita a continuación. La idea de suavización de los errores de pronóstico es simplemente aplicar el operador de suavización con una constante de suavización diferente. Para el caso del error de pronóstico del período T, denominado Q(T), esta suavización se logra mediante la expresión: Error Suavizado Q(T )  we(T )  (1  w)Q(T  1)

(4.51)


151

donde w es una constante de suavización diferente a la que se esté utilizando para los pronósticos, la cual, aunque teóricamente cumple con la condición 0 < w < 1 [Montgomery et al. (1990), p. 207], en la práctica se emplea normalmente el rango 0.01 < w < 0.10 [Silver et al. (1998), p. 112], con el valor más comúnmente utilizado de 0.10 [Axsäter (2000), p. 18], aunque algunos autores sugieren un valor único de 0.15. Dado que el valor esperado de los errores del pronóstico es cero, entonces siempre se define como valor inicial Q(0) = 0. Análogamente, la MAD puede también ser suavizada mediante la ecuación:

MAD Suavizada MAD(T )  w e(T )  (1  w)MAD(T  1)

(4.52)

Aquí la MAD inicial, MAD(0) debe estimarse bien sea a partir de datos históricos o con algunas ecuaciones derivadas en la literatura. Por ejemplo, Montgomery et al. (1990, p. 212 y p. 219) presentan las siguientes expresiones para estimar la MAD inicial para un pronóstico de suavización exponencial doble:

MAD( 0 )  0.8σˆ



c 1

(4.53)

donde:

c  1 

  (1  4  5 2 )  2 (1  3 )  2 2 2 ;   1   3 (1   )

(4.54)

En esta ecuación,  representa el número de períodos para los cuales se hace la estimación (normalmente  = 1 para lo desarrollado hasta esta parte de este capítulo). Además: m

ˆ  

(x t 1

t

 xˆt ) 2

(4.55)

m2

es simplemente la estimación de la desviación estándar de los errores del pronóstico, calculada con base en los residuos de la regresión lineal de los m datos que se toman para inicializar el pronóstico. Obsérvese la semejanza entre la Ec. (4.53) y la Ec. (4.15). Finalmente, el error cuadrático medio también puede ser suavizado, mediante la siguiente expresión:

ECM Suavizado ECMS (T )  we2 (T )  (1  w) ECMS (T  1)

(4.56)

El error cuadrático medio inicial, ECMS(0), puede ser estimado a partir de: m

ECMS (0) 

(x t 1

t

 xˆt ) 2

m2

(4.57)

152


donde xt , xˆt son respectivamente la demanda y su estimación en los primeros m períodos de la historia utilizados para la inicialización del pronóstico, o sea con aquéllos períodos con los que se realizó la regresión lineal para arrancar la suavización exponencial doble. Con los valores suavizados del ECMS(T) se puede entonces estimar la desviación estándar en cada período, como ECMS (T ) , obteniéndose así valores de inventarios de seguridad dinámicos.

4.10.2 Señales de rastreo Con base en los errores suavizados definidos anteriormente se pueden definir diversas señales de rastreo. El objetivo fundamental de una señal de rastreo es informar acerca de posibles desviaciones, sesgos y problemas del sistema de pronósticos que se está utilizando. La señal de rastreo más comúnmente utilizada y de más fácil comprensión se define como: Señal de rastreo en el per íodo T 

Q(T) MAD(T)

(4.58)

Nótese a partir de las Ec. (4.51) y (4.52), que la anterior señal de rastreo no puede ser mayor que 1 en valor absoluto. Un valor absoluto de esta señal cercano a 1 indica problemas con el pronóstico. En general, se recomienda que cuando dos o más señales de rastreo sucesivas presentan valores mayores que un valor usualmente definido en el rango (0.40 0.60), debe revisarse el sistema de pronósticos, ya que puede estar fuera de control. Una sola señal de rastreo superior al valor permisible puede no indicar un problema en el sistema de pronósticos, sino que puede deberse a un dato atípico de demanda que no representa un verdadero cambio en la tendencia de la misma. Por ello se recomienda esperar hasta que ocurran dos señales de rastreo sucesivas fuera del rango permitido. Este rango puede variar de acuerdo con la aplicación específica y puede ser muy estricto en el caso de algunos sistemas de producción (máximo 0.2) o más flexible en el caso de algunos sistemas de pronósticos de ítems comerciales (máximo 0.6). Dentro de las acciones correctivas más comunes está el recálculo de las constantes de suavización para permitir una reacción más rápida a los cambios de demanda. También, se puede utilizar un sistema de pronósticos auto-adaptivo, que lo que hace es definir la constante de suavización α igual a la señal de rastreo en cada período (Problema No. 6 de los Ejercicios 4.6). He probado estos métodos en sistemas reales, y no he encontrado evidencia de que un método auto-adaptivo sea mejor que la simple reoptimización de la constante o constantes de suavización, coincidiendo con lo expresado por Silver et al. (1998, p. 121), quienes incluso expresan que un método auto-adaptivo puede conllevar más problemas que ventajas. Sin embargo, se requieren experimentos más exhaustivos para llegar a conclusiones definitivas para cada caso específico. Un caso más crítico puede ser la necesidad de cambiar de método de pronóstico porque las condiciones iniciales pueden haber cambiado. Por ejemplo, si se tenía un sistema de suavización simple, es posible que se necesite pasar a suavización doble por presentarse una tendencia significativa de la demanda. En cualquier caso, las señales de rastreo servirán como alerta del sistema de pronósticos utilizado.


153

Algunos autores presentan otras señales de rastreo basadas en los errores acumulados y en el ECM. Ver, por ejemplo, Montgomery et al. (1990, pp. 214-215) y Silver et al. (1998, pp. 116-117). La dificultad con estas señales de rastreo es que normalmente pueden tomar cualquier valor positivo, lo que hace que su calibración e interpretación sean más difíciles. Para efectos prácticos, es suficiente con la señal de rastreo basada en el error y la MAD suavizados, descrita anteriormente. 4.10.3 Identificación de datos atípicos de demanda (outliers) Un tema final que debe llamar la atención es el hecho de la identificación de datos atípicos (outliers), tanto para la fase de inicio del pronóstico, como para su fase normal de aplicación. En el primer caso, un dato atípico puede causar un comportamiento no deseado en las primeras etapas del pronóstico. Una forma de controlar esto es identificar los datos atípicos y reemplazarlos por ejemplo por promedios adecuados o incluso eliminarlos. En la fase de inicialización del pronóstico se pueden identificar datos atípicos por medio de la estimación del promedio y la desviación estándar de la demanda en forma directa con base en los datos de demanda disponibles. Se puede, por ejemplo, declarar la presencia de un dato atípico cuando un dato de demanda supera al promedio  2.5 veces la desviación estándar. Si esto ocurre, entonces se procede a eliminar el dato y tomar, por ejemplo, el promedio del resto de datos para su reemplazo. Cuando se presentan datos atípicos dentro del proceso normal del pronóstico, entonces se pueden utilizar valores más adecuados de control. Montgomery et al. (1990, p. 222), sugieren calcular la expresión: e(T ) MAD (T )

(4.59)

y declarar la presencia de un dato atípico cuando ésta supere el valor de 5 ó 6, aproximadamente. Sin embargo, no es conveniente eliminar el dato atípico automáticamente, pues puede representar un cambio real en el nivel de la demanda. Es preferible analizar más a fondo la situación específica para determinar la existencia de uno u otro. Ejemplo 4.8. (Errores suavizados, señales de rastreo y datos atípicos) Reconsidere el Ejemplo 4.4 sobre suavización exponencial doble. Se pretende implementar un sistema de errores suavizados para el cálculo dinámico del inventario de seguridad y de los inventarios máximos ilustrados en el Ejemplo 4.7, al igual que mostrar las señales de rastreo para la etapa de simulación del pronóstico de acuerdo con la Ec. (4.58) y los valores que identifican datos atípicos de demanda con base en la Ec. (4.59). Para iniciar los errores suavizados se requiere calcular los residuos de la regresión lineal que se utiliza para iniciar el sistema de pronósticos. Se toman entonces los primeros 51 datos de demanda para realizar esta regresión. Como se menciona en el Ejemplo 4.4, se obtiene un corte con el eje y aˆ1 (0) = 19.4565 y una pendiente bˆ2 (0) = 0.5910. Con esta recta de regresión se calcula la demanda estimada. Por ejemplo, la demanda estimada por regresión para la semana 1 (T = 1), se calcula de la siguiente forma:

154


Demanda estimada por regresión lineal (T  1)  aˆ1 (0)  Tbˆ2 (0)  19.4565  (1)(0.5910)  20.05 unidades Tabla 4.33. Cálculo de los residuos de regresión lineal para iniciar los valores de los errores suavizados (Ejemplo 4.8) Semana

Demanda x t

1

23

2

28

3

16

4

22

5

30

6

31

7

25

8

9

9

20

10

22

11

35

12

32

13

23

14

13

15

15

16

29

17

24

18

38

19

15

20

15

21

24

22

44

23

22

24

40

25

60

26

18

27

39

28

53

29

56

30

19

31

51

32

41

33

30

34

52

35

44

36

51

37

59

38

45

39

53

40

37

41

56

42

29

43

54

44

38

45

29

46

51

47

33

48

27

49

65

50

43

51

48

Dem. (Regresión) xˆ t 20.05 20.64 21.23 21.82 22.41 23.00 23.59 24.18 24.78 25.37 25.96 26.55 27.14 27.73 28.32 28.91 29.50 30.10 30.69 31.28 31.87 32.46 33.05 33.64 34.23 34.82 35.41 36.01 36.60 37.19 37.78 38.37 38.96 39.55 40.14 40.73 41.32 41.92 42.51 43.10 43.69 44.28 44.87 45.46 46.05 46.64 47.24 47.83 48.42 49.01 49.60

Residuos 2.95 7.36 -5.23 0.18 7.59 8.00 1.41 -15.18 -4.78 -3.37 9.04 5.45 -4.14 -14.73 -13.32 0.09 -5.50 7.90 -15.69 -16.28 -7.87 11.54 -11.05 6.36 25.77 -16.82 3.59 16.99 19.40 -18.19 13.22 2.63 -8.96 12.45 3.86 10.27 17.68 3.08 10.49 -6.10 12.31 -15.28 9.13 -7.46 -17.05 4.36 -14.24 -20.83 16.58 -6.01 -1.60


155

De manera semejante se calcula el resto de las demandas estimadas por regresión, simplemente variando el valor de T. Para el cálculo del residuo se toma la diferencia entre la demanda real observada y la pronosticada por la regresión. Para T = 1, por ejemplo, este residuo sería igual a 23.00 – 20.05 = 2.95 unidades. La Tabla 4.33 muestra el cálculo completo de los residuos. Con base en estos residuos se puede entonces calcular los valores de MAD(0) y ECMS(0) (Recuérdese que Q(0) = 0), aplicando las Ec. (4.53)-(4.57), en la siguiente forma: 51

 (x

MAD (0)  0.8 

t 1

t

 xˆt ) 2

51  2

 1

  (1  4  5 2 )  2 (1  3 )  2 2  3 (1   )

MAD (0)  9.59 unidades 51

ECMS (0) 

(x t 1

t

 xˆt ) 2

51  2

 136.92 unidades 2

donde se ha reemplazado el valor de α = 0.0385 y  = 1 – α = 0.9615. El cálculo de las sumatorias se facilita mediante la función interna SUMA.CUADRADOS de Excel™. Habiendo calculado los valores iniciales, se puede entonces suavizar el error a partir del primer período en el que se simula el pronóstico. Esto se hace mediante las Ec. (4.51), (4.52) y (4.56). Por ejemplo, los errores suavizados para la semana 52, o sea para el primer período (T = 1) al que se le calcula el pronóstico, se determinan de la siguiente forma (Se ha tomado w = 0.10): Error Suavizado : Q(1)  we(1)  (1  w)Q(0)  (0.10)(6.19)  (0.90)(0)  0.62

MAD Suavizada : MAD(1)  w e(1)  (1  w)MAD(0)  (0.10)(6.19)  (0.90)(9.59)  9.25 ECM Suavizado : ECMS (1)  we 2 (1)  (1  w) ECMS (0)  (0.10)(6.19)2  (0.90)(136.92)  127.06 La Tabla 4.34 ilustra estos resultados para todos los períodos simulados. A partir del ECMS(T) para cada período T se puede estimar la desviación estándar de los errores del pronóstico de una manera dinámica. Debe tenerse cuidado, sin embargo, de utilizar el valor correcto de acuerdo con la simulación. Si se va a estimar la desviación estándar y por ende el inventario máximo S para el período T, entonces debe tomarse el ECMS(T – 1). La razón de esto es que como se está realmente pronosticando el inventario a mantener en el período siguiente para producir el nivel de servicio deseado, entonces no se conoce aún la demanda del período siguiente ni el error de su pronóstico. Por ello, la estimación de S se realiza con base en el error suavizado del período anterior. Por ejemplo, el inventario máximo para la semana 52, o sea para T = 1, asumiendo un nivel de servicio del 97.5%, o sea k = 1.96, y asumiendo que para este ejemplo R + L = 1 semana, al igual que en el Ejemplo 4.7, se calcula de la siguiente forma:


156

Inventario Máximo (T  1)  Pronóstico (T  1)  SS (T  1)  Pronóstico (T  1)  kˆ1 R  L  Pronóstico (T  1)  k ECMS (0) R  L  50.19  1.96 136.92 1  73.13 unidades Tabla 4.34. Errores suavizados, inventario máximo dinámico, señales de rastreo y control de datos atípicos (Ejemplo 4.8) Semana Per. T 1

Demanda

Pron.

23

Error eT

51

0

48

52

1

44

50.19

-6.19

53

2

47

50.30

-3.30

54

3

47

50.63

-3.63

55

4

36

50.93

-14.93

56

5

79

50.35

28.65

57

6

62

53.11

8.89

58

7

31

54.38

-23.38

59

8

75

53.19

21.81

60

9

38

55.44

-17.44

61

10

40

54.70

-14.70

62

11

60

54.14

5.86

63

12

44

55.15

-11.15

64

13

37

54.85

-17.85

65

14

34

54.02

-20.02

66

15

59

53.00

6.00

67

16

47

53.95

-6.95

68

17

53

53.92

-0.92

69

18

48

54.34

-6.34

70

19

44

54.34

-10.34

71

20

39

54.02

-15.02

72

21

52

53.32

-1.32

73

22

70

53.66

16.34

74

23

58

55.36

2.64

75

24

66

56.03

9.97

76

25

54

57.26

-3.26

77

26

47

57.50

-10.50

78

27

71

57.16

13.84

79

28

59

58.69

0.31

80

29

73

59.20

13.80

81

30

46

60.74

-14.74

82

31

44

60.11

-16.11

83

32

62

59.35

2.65

84

33

69

60.01

8.99

85

34

30

61.17

-31.17

86

35

73

59.24

13.76

87

36

72

60.73

11.27

88

37

59

62.05

-3.05

89

38

59

62.28

-3.28

90

39

?

62.48 ALPHA = 0.0385

k=

1.96

Inv. Máx. basado Error Suav. MAD Suav. ECM Suav. Señal rastreo Outliers Q (T ) MAD (T ) Q (T )/MAD (T ) │e T /MAD (T )│ en ECMS (T ) ECMS(T) 0.00 9.59 136.92 73.13 -0.62 9.25 127.06 0.07 0.67 72.40 -0.89 8.66 115.45 0.10 0.38 71.69 -1.16 8.15 105.22 0.14 0.45 71.03 -2.54 8.83 116.99 0.29 1.69 71.55 0.58 10.81 187.37 0.05 2.65 79.94 1.41 10.62 176.55 0.13 0.84 80.43 -1.07 11.90 213.57 0.09 1.97 81.83 1.22 12.89 239.80 0.09 1.69 85.79 -0.65 13.34 246.23 0.05 1.31 85.45 -2.05 13.48 243.21 0.15 1.09 84.71 -1.26 12.72 222.32 0.10 0.46 84.37 -2.25 12.56 212.52 0.18 0.89 83.43 -3.81 13.09 223.14 0.29 1.36 83.30 -5.43 13.78 240.92 0.39 1.45 83.42 -4.29 13.00 220.42 0.33 0.46 83.05 -4.55 12.40 203.22 0.37 0.56 81.86 -4.19 11.25 182.98 0.37 0.08 80.85 -4.41 10.76 168.70 0.41 0.59 79.79 -5.00 10.72 162.51 0.47 0.96 79.01 -6.00 11.15 168.82 0.54 1.35 78.79 -5.53 10.17 152.11 0.54 0.13 77.84 -3.35 10.78 163.59 0.31 1.52 80.43 -2.75 9.97 147.93 0.28 0.26 79.87 -1.48 9.97 143.08 0.15 1.00 80.71 -1.65 9.30 129.83 0.18 0.35 79.83 -2.54 9.42 127.87 0.27 1.11 79.33 -0.90 9.86 134.22 0.09 1.40 81.40 -0.78 8.90 120.81 0.09 0.03 80.74 0.68 9.39 127.78 0.07 1.47 82.90 -0.86 9.93 136.74 0.09 1.48 83.03 -2.39 10.55 149.02 0.23 1.53 83.28 -1.88 9.76 134.82 0.19 0.27 82.77 -0.80 9.68 129.42 0.08 0.93 83.46 -3.83 11.83 213.61 0.32 2.63 87.88 -2.07 12.02 211.19 0.17 1.14 89.21 -0.74 11.95 202.77 0.06 0.94 89.96 -0.97 11.06 183.42 0.09 0.28 88.82 -1.20 10.28 166.16 0.12 0.32 87.75 ← Inventario Máximo proyectado en tiempo real BETA =

Valor de w =

0.9615 0.1

Igualmente, a partir del error y la MAD suavizados, se determina la señal de rastreo para cada semana, de acuerdo con la Ec. (4.58). Los resultados obtenidos revelan que el sistema de pronósticos utilizado siempre hubiera estado bajo control, ya que ninguna señal de rastreo supera en valor absoluto a 0.60. Finalmente, se muestra también en la Tabla 4.34 el cálculo para el control de datos atípicos de demanda con base en la Ec. (4.59), el cual sugiere que ningún dato se puede declarar como atípico, pues todos los valores son menores que 5.


157

La Figura 4.19 muestra la demanda y el pronóstico y compara los dos cálculos del inventario máximo, uno con base en el valor constante de la desviación estándar (Ejemplo 4.7) y el otro en forma dinámica con base en el ECMS(T). De este ejemplo no es clara la conclusión sobre la utilidad de determinar los inventarios máximos en forma dinámica, pero en la práctica es más sencillo hacerlo así por ahorro de cálculos. Además, intuitivamente se sabe que es mejor mantener actualizada la estimación de la variabilidad de los errores del pronóstico. Demanda

Pronóstico

Inv. Máximo (ECMS)

Inv. Máximo

100 90

Demanda (Unidades)

80 70 60 50 40 30 20 10 0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

Semanas

Figura 4.19. Gráfico de demanda, pronóstico, inventario máximo con variabilidad constante e inventario máximo dinámico con base en el ECMS (T) (Ejemplo 4.8) Nota importante: En el Apéndice B se hace un resumen de este capítulo, el cual puede ser muy útil como referencia rápida de los temas aquí tratados.

Ejercicios 4.6. 1. En los literales siguientes se pide retomar el ejemplo correspondiente, diseñar una hoja electrónica para reproducirlo y realizar una nueva figura semejante a la que se menciona, pero incluyendo la curva del inventario máximo. Asuma k = 1.96 para un 97.5% de nivel de servicio y considere un sistema periódico con R + L = 1 período (generalmente 1 semana). En todos los casos estime σ1 con base en el ECM, utilizando los valores óptimos de N, de , ó de ,  y , según sea el caso. a) b) c) d)

Promedio móvil: Ejemplo 4.2, Figura 4.8. Suavización exponencial simple: Ejemplo 4.3, Figura 4.10. Suavización exponencial doble: Ejemplo 4.4, Figura 4.13. Método multiplicativo de Winters: Ejemplo 4.5, Figura 4.16.

158


e) Método de Croston: Ejemplo 4.6, Figura 4.17. 2. Diseñe una hoja electrónica que le permita desarrollar el Ejemplo 4.8 completamente. Realice los siguientes experimentos (cada uno en forma independiente) y concluya: a) Suponga que las demandas de las últimas semanas 80-89 aumentan al doble. Observe el comportamiento de las señales de rastreo y del pronóstico para estas semanas y proponga soluciones al problema del sesgo. b) Repita el literal anterior, pero asumiendo que las demandas de las semanas 80-89 disminuyen a la mitad. c) Suponga que la demanda en la semana 25 no fue de 60 unidades, sino de 1,000 unidades, constituyéndose claramente en un dato atípico. Observe el comportamiento del inventario de seguridad para este caso. Reoptimice la constante de suavización y observe de nuevo el comportamiento. ¿Resuelve esto el problema? ¿Cuál cree entonces que debe ser la solución para esta situación? d) Implemente en la hoja electrónica el control de datos atípicos planteado en la Ec. (4.59). Suponga que la demanda en la semana 80 fue de 850 unidades en lugar de 73 unidades. ¿Se identifica un dato atípico aquí? Observe el comportamiento del inventario máximo, incluso después de reoptimizar la constante de suavización. ¿Cuál cree entonces que debe ser la solución a este problema? 3. Pronósticos acumulados. El pronóstico acumulado para L períodos adelante viene dado por: L

Xˆ L (T )   xˆT  (T )  1

(4.60)

Suponga que se está utilizando un sistema de pronósticos de suavización exponencial doble, con lo cual cada xˆT  (T ) puede ser calculado con base en la Ec. (4.29). De acuerdo con Montgomery et al. (1990, p. 212), la desviación estándar de este pronóstico acumulado,  L , se puede estimar con base en la siguiente ecuación:

ˆ L  1.25MAD (T )

pL c1

(4.61)

donde c1 viene dado por la Ec. (4.54) para  = 1, y pL viene dado por:

pL  L 

L2  5(1  2   2 )  4 L(1   2 )   2 L2 ;   1   3 2(1   )

(4.62)

a) Muestre que en la anterior expresión, cuando L = 1, o sea cuando se está pronosticando solo para el período siguiente, pL = c1 y, por lo tanto, ˆ L se reduce a ˆ1  1.25MAD(T ) , el cual es el resultado conocido anteriormente en la Ec. (4.15). b) Muestre que en la anterior ecuación, cuando se está pronosticando un proceso muy estable, o sea cuando  tiende a cero, la estimación de la desviación estándar sobre L


159

períodos se reduce a ˆ L  1.25MAD(T ) L  ˆ1 L , el cual es el resultado conocido anteriormente en la primera parte de la Ec. (4.49). c) Con base en las expresiones anteriores, considere de nuevo los datos del ítem del Ejemplo 4.8. Suponga que usted ha sido llamado para pronosticar la demanda de este producto para las próximas 1, 2, 3, ..., 10, 11 y 12 semanas adelante, o sea para las semanas 90; 90 y 91; 90, 91 y 92; 90, 91, 92 y 93; y así sucesivamente hasta completar 12 semanas acumuladas (semanas 90-101). Diseñe una hoja electrónica que le permita calcular estos pronósticos y el inventario de seguridad correspondiente. Utilice siempre la constante de suavización óptima determinada con base en el ECM. ¿Qué se observa en el inventario de seguridad para pronósticos de muchas semanas adelante? (Nota: Observe que para efectos de aplicar la Ec. (4.60) a través de la Ec. (4.29), usted debería basarse en los últimos valores disponibles de S 0 y de S0[ 2 ] ). 4. Hace 12 semanas se lanzó al mercado un medicamento nuevo y se registraron las 12 demandas semanales para una cadena de droguerías. Éstas fueron, en su orden: 3, 5, 14, 16, 15, 22, 30, 28, 42, 55, 50, 72. Aplique el método propuesto de promedio móvil progresivo propuesto en la Sección 4.8.2, calculando el pronóstico progresivamente desde N = 1 hasta N = 6 y manteniendo este valor de ahí en adelante. Asuma que la demanda es de Poisson, o sea que la desviación estándar semanal es igual a la raíz cuadrada del pronóstico semanal. Tomando k = 2.33 y asumiendo que se está utilizando un sistema de control periódico con R + L = 1 semana, grafique la demanda, el pronóstico y el inventario máximo. Determine si hubo o no faltantes y comente acerca de este método. 5. Pronósticos de promociones. Uno de los dolores de cabeza más frecuentes, especialmente en la planeación de demanda de productos de consumo masivo, es el pronóstico de la demanda de ítems que están en campañas o promociones. Normalmente, es muy difícil predecir la demanda que va a ocurrir a lo largo de una promoción y el efecto que ésta tendrá sobre otros ítems semejantes que no están en la promoción y sobre la cadena como un todo, ya que las promociones frecuentemente aceleran el efecto látigo (Bullwhip). La Tabla 4.35 muestra los datos mensuales de demanda durante cuatro años de un ítem de consumo masivo. Se marcan los meses donde se realizaron campañas de promoción, donde evidentemente hubo un incremento de la demanda. a) Proponga un sistema de pronósticos para esta situación, calcule los inventarios de seguridad asumiendo un sistema de control periódico con R + L = 1 mes, determine los inventarios máximos y concluya. b) Si existieran dos tipos diferentes de promoción u otros eventos claramente diferenciables, como por ejemplo con lo que ocurre con algunos ítems de consumo masivo en los cuales, después del incremento de demanda causado por una promoción, sigue un decrecimiento significativo de la demanda en el mes siguiente, ¿cómo manejaría usted esta situación? Sólo comente sus ideas principales.


160

Tabla 4.35. Datos mensuales de demanda de un ítem con promociones para el Problema No. 5 (Ejercicios 4.6) Año

1

2

Mes

Demanda

Evento

Año

Mes

Demanda

Enero

63,595

Enero

Febrero

70,176

Febrero

61,056

Marzo

62,261

Marzo

150,817

Abril

71,328

Abril

73,580

Mayo

84,578

Mayo

52,392

Junio

70,954

Junio

74,448

Julio

73,729

Julio

106,120

Agosto

61,968

Agosto

78,000

Septiembre

73,011

Septiembre

95,745

Octubre

47,775

Octubre

88,636

Noviembre

69,596

Noviembre

86,654

Diciembre

132,492

Diciembre

139,585

3

Promoción

Enero

73,632

Enero

85,935

Febrero

57,115

Febrero

43,622

Marzo

59,252

Marzo

151,426

Abril

52,752

Abril

90,000

Mayo

77,863

Mayo

106,800

Junio

81,073

Junio

43,344

Julio

52,471

Julio

72,288

Agosto

60,769

Agosto

Septiembre

70,324

Septiembre

112,271

Octubre

99,240

Octubre

119,520

Noviembre

63,120

Noviembre

83,156

Diciembre

105,840

Diciembre

269,376

4

Promoción

Evento

33,216 Promoción

Promoción

Promoción

82,548

Promoción

6. Métodos auto-adaptivos. Considere los 50 datos de demanda diaria de un ítem de consumo masivo de gran consumo en un supermercado. La demanda del ítem sufrió un cambio de tendencia en forma relativamente rápida debido a la desaparición de otro ítem semejante que le hacía competencia (Tabla 4.36). a) Tome los primeros 20 datos de demanda (Días 1-20) para inicialización e implemente una hoja electrónica con suavización exponencial doble para simular el pronóstico de los días restantes (Días 21-50). Optimice la constante de suavización con base en el ECM para estos 30 últimos días. Recuerde que las gráficas son muy importantes en estos temas. b) Para los mismos datos y con las mismas condiciones del literal anterior, implemente un método auto-adaptivo que defina en cada período la constante de suavización  igual al valor absoluto de la señal de rastreo del período correspondiente (Ver Sección 4.10.2). Repita el cálculo del ECM del literal anterior y compare resultados. Tome los mismos valores iniciales de S 0 y de S0[ 2 ] determinados en el literal (a) anterior. Observe que pierde sentido la idea de optimización de  en este caso, pues queda definido por la señal de rastreo para cada período. c) Implemente un método auto-adaptivo que defina la constante de suavización de acuerdo con la siguiente regla: Si la señal de rastreo (Sección 4.10.2) es > 0.30, tome  = 0.30. Si la señal de rastreo es  0.30, tome  = señal de rastreo correspondiente.


161

Recalcule el ECM como en los casos anteriores, compare resultados y concluya con respecto a estos tres posibles métodos. Este método se propone para tratar de evitar el nerviosismo del pronóstico, cuando se presentan señales de rastreo grandes (mayores que 0.6). d) Finalmente, tome los tres métodos anteriores para calcular el pronóstico y calcule un promedio simple de los mismos como su nuevo pronóstico. De nuevo, calcule el ECM para los últimos 30 días y concluya respecto del mejor método de pronósticos para este caso. Tabla 4.36. Demanda diaria de un ítem de consumo masivo para el Problema No. 6 (Ejercicios 4.6) Día

Demanda

Día

Demanda

1

280

26

630

2

45

27

540

3

305

28

410

4

140

29

330

5

200

30

625

6

130

31

600

7

160

32

480

8

75

33

350

9

240

34

650

10

48

35

390

11

98

36

520

12

280

37

600

13

50

38

635

14

135

39

575

15

230

40

620

16

200

41

475

17

78

42

605

18

155

43

550

19

110

44

620

20

155

45

600

21

48

46

390

22

230

47

450

23

250

48

420

24

170

49

595

560

50

640

25

7. Intervalos de confianza de demanda. Considere el Ejemplo 4.7. Construya una hoja electrónica que le permita construir un intervalo de confianza de dos lados para la demanda en cada semana (R + L = 1 semana), especificando el nivel de servicio deseado. Recuerde que el valor de k se debe calcular teniendo en cuenta que se trata de un intervalo de confianza de dos lados. Grafique los resultados obtenidos en forma semejante a la Figura 4.18.

162


Lecturas adicionales Capítulo 4 1. Ballou (2004): Capítulo 8 (pp. 287-296) (Presenta una introducción a los pronósticos, especialmente con una tabla que resume los principales métodos, la cual complementa los temas de este capítulo). 2. Silver et al. (1998): Capítulo 4 (pp. 74-145) (Este capítulo explica muy bien el tema de pronósticos de demanda, incluyendo una bibliografía muy completa al respecto). 3. Sipper y Bulfin (1998): Capítulo 4 (pp. 96-174) (Este es un excelente capítulo sobre pronósticos, muy práctico y completo, en español). 4. Wild (1997): Capítulos 10 y 11 (pp. 147-176) (Estos capítulos describen de una manera muy simple y práctica algunos de los sistemas de pronósticos estudiados aquí). 5. Narasimhan et al. (1996): Capítulo 2 (pp. 25-65) (Este es un capítulo relativamente corto en español sobre fundamentos de pronósticos, que puede ser útil para una primera lectura preliminar en el tema). Igualmente el Capítulo 3 (pp. 66-86) presenta en forma breve aspectos adicionales de pronósticos, incluyendo algunas consideraciones de ítems de demanda errática. 6. Montgomery et al. (1990): Capítulos 1, 2, 3, 4, 6, 7 y 8 (Este es un texto clásico en pronósticos, con diversos detalles adicionales a los presentados aquí y con un tratamiento estadístico mucho más riguroso. Se recomienda como referencia de profundización en temas específicos, especialmente si desea hacerse énfasis en la componente estadística).

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 5: Sistemas de control de inventarios

163

5. SISTEMAS DE CONTROL DE INVENTARIOS 5.1

INTRODUCCIÓN

Los problemas de control de inventarios se pueden clasificar de acuerdo con las características de la demanda y de los tiempos de reposición (Lead Times). Tanto la demanda como los tiempos de reposición pueden ser determinísticos o aleatorios. La demanda se puede clasificar en: Demanda constante y conocida, demanda determinística (variable pero conocida) y demanda probabilística o aleatoria. La demanda constante y conocida no tiene mucho interés práctico pues en la vida real ella casi nunca cumple con esta condición; sin embargo, iniciar con el estudio de este tipo de demanda facilita el manejo y comprensión de casos más complejos. La demanda determinística ocupa el segundo nivel de complejidad, pues, aunque se trata de demanda variable, ésta se puede conocer con gran precisión antes de que ocurra. Esta demanda se presenta en aquellas situaciones de contratos de venta preestablecidos, repuestos para mantenimiento preventivo, planeación determinística de requerimiento de materiales (Material Requirements Planning MRP), entre otros posibles casos. Para la demanda constante y la demanda determinística se asume usualmente que los tiempos de reposición son constantes y conocidos. La demanda probabilística o aleatoria representa la situación más compleja pero también la más aproximada a la realidad. Aquí, la variable aleatoria ‗demanda‘ se asume que sigue cierta distribución probabilística y con base en ésta se deducen las expresiones para su control. En este caso, el tiempo de reposición se puede considerar constante y conocido en primera instancia y luego se puede definir como aleatorio para llegar al caso más complejo posible, el cual es el que más se aproxima a la práctica. La Figura 5.1 resume estos conceptos sobre la demanda y los tiempos de reposición.

Demanda

Determinística (Con LT constante) Demanda Constante

Demanda variable con el tiempo

Aleatoria

Con LT constante

Con LT aleatorio

Figura 5.1 Características de la demanda y de los tiempos de reposición en un sistema de control de inventarios


164

Los sistemas de control presentados en este capítulo se aplican generalmente a ítems clase B y, en algunos casos, a ítems clase A. Sin embargo, para estos últimos, las reglas de decisión pueden transformarse frecuentemente debido a la intervención humana por parte de la administración del sistema y se pueden utilizar métodos más avanzados que no se presentan en este texto. En la primera parte de este capítulo se trata el control de inventarios con demanda aproximadamente constante y conocida, lo que genera el conocido tema del tamaño económico de pedido, EOQ (―Economic Order Quantity‖). La segunda parte se dedica a la demanda variable con el tiempo, pero conocida con exactitud. Se analizan diversos métodos de solución del problema, incluyendo algunos heurísticos y algoritmos de optimización. La tercera parte revisa los conceptos de sistemas de control para demanda probabilística con tiempos de reposición constantes y también aleatorios, incluyendo algunos métodos de control para ítems perecederos y de moda.

5.2

CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA CONSTANTE

Se deriva a continuación el modelo del tamaño económico de pedido (―Economic Order Quantity‖), universalmente conocido como EOQ, el cual considera los siguientes supuestos:    

El patrón de demanda es constante y conocido con certeza. No se consideran descuentos en los precios de compra, producción y/o transporte. La cantidad de pedido no necesita ser un número entero o un múltiplo un entero. Todos los parámetros de costo son estacionarios o sea que no varían significativamente con el tiempo (se consideran bajas tasas de inflación).  El ítem se trata de forma independiente de otros ítems.  La tasa de reposición es infinita o, equivalentemente, los tiempos de reposición son iguales a cero (o a un valor constante conocido), y toda la orden completa es recibida cada vez que se ordene.  No se consideran faltantes o sea que no se generan órdenes pendientes ni ventas perdidas. A primera vista, y de acuerdo con todas las suposiciones anteriores, este modelo aparenta ser de importancia mínima para casos reales. Sin embargo, como se verá posteriormente, este caso es importante para comprender y desarrollar otros modelos de mayor complejidad. Además, la mayoría de las suposiciones se irán eliminando a medida que se estudien modelos más complejos. Recordando las tres preguntas fundamentales de los sistemas de control de inventarios mencionadas en la Sección 3.5, aquí puede decirse lo siguiente. Primero, la frecuencia de revisión del inventario es continua. Segundo, debe ordenarse cuando el nivel de inventario alcance el nivel cero, ya que la demanda es constante y conocida y el tiempo de reposición es cero (o sea que el punto de reorden o de pedido es s = 0). Si el tiempo de reposición fuera igual a una constante L > 0 pero conocida, entonces la respuesta a la segunda pregunta variaría de tal forma que se ordene cuando el nivel de inventario llegue a al punto de pedido s, el cual debe determinarse de acuerdo con los datos disponibles (Ver Problema No. 7, Literal (d) de


165

los Ejercicios 5.1). Finalmente, queda por determinarse la cantidad a pedir Q, la cual se deriva con base en el concepto del costo total relevante descrito a continuación. El concepto del Costo Total Relevante (CTR) Se utiliza el concepto del Costo Total Relevante (CTR) para diseñar la estructura de la función objetivo. Este costo puede incluir los siguientes componentes:    

Costos de compra o producción Costos de ordenamiento, preparación o alistamiento (setups); Costos de mantenimiento del inventario (holding cost); Costos de faltantes de inventario (shortage cost), convertidos en ventas perdidas u órdenes pendientes (lost sales ó backorders);  Costos de control del sistema;  Otros costos posibles (administrativos o de planeación de producción). Los dos últimos costos generalmente no son relevantes para el caso del control del inventario de ítems individuales considerados aquí. De igual manera, el costo de faltantes de inventario no será incluido en el análisis inicial, de acuerdo con las suposiciones establecidas anteriormente. Como el costo de compra es constante porque no hay descuentos, no se considera dentro de la función objetivo. Por lo tanto, el CTR comprende los costos de ordenamiento o alistamiento y los de mantenimiento del inventario. Nivel de inventario

Pendiente =  Demanda D (constante)

Q

Q/D

Tiempo

Figura 5.2. Nivel de inventario para determinar el tamaño óptimo de pedido

Gráficos y notación La situación de inventarios típica descrita en esta sección se muestra en la Figura 5.2. Considérense los siguientes parámetros, variables y funciones (definidos y explicados en la Sección 3.7):


166

Parámetros A=

El costo fijo de alistamiento u ordenamiento [$/orden]

D=

La tasa de demanda del ítem [unidades/año]

r=

El costo de mantener el inventario [%/año ó $/($ . año)]

v=

El valor unitario del ítem [$/unidad]

Variable de decisión Q=

Tamaño del pedido o de la orden [unidades]

Función objetivo CTR(Q) =

El costo total relevante en función del tamaño de pedido Q [$/año]

Derivación del tamaño óptimo de pedido Es importante primero pensar porqué se asume a priori que la mejor solución es ordenar siempre la misma cantidad Q en cada ciclo. Esto es así gracias al supuesto de que todos los parámetros son estacionarios, o sea que no varían significativamente con el tiempo. Además, dado que la demanda es determinística, asumiendo que el tiempo de reposición es igual a cero y que no se incluyen órdenes pendientes en el análisis, se concluye que lo mejor es ordenar cuando el inventario disponible alcance el nivel cero. Sólo resta entonces determinar la cantidad óptima de pedido Q* = EOQ. De la Figura 5.2 es claro que el tiempo que transcurre entre órdenes es igual a Q/D. Normalmente, se utiliza como tiempo de referencia un año. Aquí utilizaremos la notación D (mayúscula) para la demanda anual y más adelante se utilizará d (minúscula) para la demanda expresada en unidades por otra unidad de tiempo, según sea el caso. Por lo tanto, el número de pedidos que se realiza en un año es igual a D/Q y su costo anual asociado se obtiene multiplicando por el costo fijo por pedido A. Así, el costo total relevante anual en función de Q vendría dado por: CTR 

AD  Ivr  Dv Q

(5.1)

En la Ec. (5.1) se ha utilizado la Ec. (3.5) del costo de mantenimiento del inventario, Ivr . Dado que el término Dv es constante pues no se consideran descuentos, no es necesario considerarlo en la función objetivo. Por lo tanto, el costo total relevante viene dado por:

CTR 

AD  Ivr Q

(5.2)


167

En general, el inventario promedio I entre un tiempo t = t1 y un tiempo t = t2, t2 > t1, se define como:

 I 

t2

t1

I (t ) dt



t2

t1

dt

 

t2

t1

I (t ) dt

(5.3)

t2  t1

donde I(t) representa la función del inventario con respecto del tiempo. La Ec. (5.3) corresponde al área bajo la curva del inventario contra el tiempo, dividida entre el tiempo correspondiente. Recuérdese la Ec. (3.3) donde se establece que el inventario promedio es igual a la semisuma del inventario inicial y el inventario final (para un solo ítem es lo mismo considerar dichos inventarios en $ ó en unidades). Esta forma de cálculo sólo es válida cuando la función de inventario contra tiempo es lineal; si este no es el caso, pueden haber grandes diferencias entre la Ec. (3.3) y la Ec. (5.3) (Ver Problema No. 1 de los Ejercicios 5.1). Afortunadamente, en la práctica generalmente el cálculo del inventario promedio a través de la Ec. (3.3) no difiere mucho de su cálculo más preciso a través de la Ec. (5.3) y probablemente no valga la pena el esfuerzo computacional necesario para aplicar esta última expresión. Con base en el primer triángulo de la Figura 5.2, se puede calcular el inventario promedio. 2 El área del triángulo es Q / 2 D ; el tiempo transcurrido entre t1 = 0 y t2 = Q/D es igual a Q/D. Por lo tanto, se deduce fácilmente que el inventario promedio aquí es igual a Q/2. Como aquí la función de inventario contra tiempo es lineal, este resultado coincide con la semisuma de los inventarios inicial y final: (Q + 0)/2 = Q/2. Así, el costo total relevante viene dado por:

CTR 

AD Q  vr Q 2

(5.4)

CTR(Q) [$/año]

Costo Total Relevante CTR(Q) = AD/Q + Qvr/2

Costo de mantener el Inventario = Qvr/2 Costo de reposición = AD/Q

Q [unidades] *

Q =EOQ Figura 5.3.

Costo total relevante en función del tamaño de pedido

168


El término AD/Q de la Ec. (5.4) representa el costo anual de ordenamiento o reposición, bien sea de ordenamiento o de alistamiento, mientras que el término Qvr/2 es el costo anual de mantenimiento del inventario. La Figura 5.3 muestra el comportamiento de esta función de costo. Fácilmente se puede encontrar el tamaño económico de pedido EOQ derivando la función de costo con respecto de Q e igualando a cero, obteniéndose:

Q*  EOQ 

2 AD vr

(5.5)

Nota importante: Las unidades de tiempo que contienen los parámetros r y D deben ser consistentes para la correcta aplicación de la Ec. (5.5). De acuerdo con nuestra notación, D vendría expresada en unidades/año y r en % anual; si este no es el caso, deberían modificarse las unidades de tiempo de uno de ellos para que coincidan. Ejemplo 5.1 (Cantidad económica de pedido, EOQ) Un ítem tiene las siguientes características: d = 1,550 unidades/mes v = 3,500 $/unidad

r= A=

24% anual 10,000 $/orden

Determinar la cantidad óptima de pedido, EOQ. Expresar en palabras la política de control del inventario de este ítem. Recuérdese que las unidades de tiempo de la demanda y del costo de llevar el inventario deben ser consistentes. Por lo tanto, para aplicar la Ec. (5.5) se debe convertir la demanda d expresada en unidades/mes a la demanda D en unidades/año o, equivalentemente, el costo de mantenimiento del inventario r a un porcentaje mensual. Es preferible, sin embargo, hacer lo primero, ya que la demanda es constante y para no entrar en el problema técnico de la conversión de tasas de interés con diferentes unidades de tiempo. Reemplazando los valores anteriores en la Ec. (5.5) se obtiene:

EOQ 

2  10,000 $  (1,550  12 unidades/a ño) 3,500 $/unidad  0.24 $/($ . año)

EOQ  666 unidades (redondead o al entero mayor más cercano) Se pueden derivar otros valores importantes del resultado anterior: Número de órdenes por año = D/EOQ = (1,550  12)/666  28 órdenes/año Tiempo entre órdenes sucesivas = EOQ/D = 666/1,550 = 0.43 meses  13 días


169

La cantidad de pedido puede también expresarse en unidades de tiempo para el cual durará el pedido. Esto viene expresado como: TEOQ = EOQ/D = 666 unidades/1,550 unidades/mes = 0.43 meses  13 días, el cual obviamente coincide con el tiempo entre órdenes sucesivas. O sea que aproximadamente cada 13 días deben ordenarse 666 unidades del producto, para así obtener el costo total relevante mínimo. Este costo mínimo viene dado por:

CTR( EOQ) 

10,000 $  (1,550  12) u./año 666 u.  3500 $/u.  0.24 $/$ . año  666 u. 2

CTR( EOQ)  559,000 $/año 

1,200,000 1,000,000 800,000

CTR + 5% máximo

600,000 400,000 200,000 0

0,75EOQ

EOQ

1,25EOQ

180 230 280 330 380 430 480 530 580 630 680 730 780 830 880 930 980 1,030 1,080 1,130 1,180

Costo Total Relevante CTR(Q)

La Figura 5.4 muestra la gráfica a escala del costo total relevante contra el tamaño de pedido para este problema. Nótese lo plana que es la curva alrededor del óptimo. Este es un hecho muy afortunado y que es válido en general, pues significa que, para cambios significativos en el tamaño de pedido Q con respecto de su valor óptimo EOQ, el costo total relevante no cambia en la misma proporción. Por ejemplo, se puede probar que cambiando el Q en 25% del valor óptimo EOQ, el CTR(Q) sólo aumentaría en máximo un 5% con respecto del costo total relevante óptimo (Ver Problema No. 6, Ejercicios 5.1). La política de control de inventarios de este ítem sería revisar el inventario continuamente; cuando el nivel del inventario llegue a cero, entonces ordenar una cantidad igual a 666 unidades del producto.

Tamaño de pedido Q

Figura 5.4. Análisis de sensibilidad del EOQ (Ejemplo 5.1)

Ejercicios 5.1 1. Una práctica muy común para determinar el inventario promedio sobre un período dado es calcular la semisuma del inventario inicial y el inventario final [Ver Ec. (3.3)].

170


a) Establezca que supuesto básico está considerado en este cálculo y como podría diferir del inventario promedio real calculado a partir de la Ec. (5.3). b) Comente acerca de la inconveniencia de aplicar esta práctica en la Figura 5.5. Calcule el inventario promedio real en el mes de Abril. Inventario en unidades

1,000

Abril 30

Abril 29

Abril 12

Abril 02

Abril 01

Tiempo en días

Figura 5.5. Gráfico de inventario contra tiempo Problema No. 1 (Ejercicios 5.1) 2. Obtenga la Ec. (5.5) derivando CTR(Q) con respecto de Q, igualando a cero y despejando Q* = EOQ. Aplique las condiciones de suficiencia de la segunda derivada para demostrar que se trata de un punto mínimo. 3. Muestre que para el caso del EOQ desarrollado anteriormente, en la solución óptima, los dos componentes del costo, el de ordenamiento o alistamiento y el de mantenimiento del inventario, resultan ser iguales, tal como sugiere la Figura 5.3. Verifíquelo para el Ejemplo 5.1, teniendo en cuenta que, como el valor del EOQ se redondeó al entero mayor, pueden existir pequeñas diferencias. 4. Muestre que el costo total relevante óptimo viene dado por:

CTR( EOQ)  2 ADvr 5. Derive una expresión para calcular la rotación del inventario definida en la Ec. (3.2), con base en el tamaño óptimo de pedido EOQ. Comente acerca del resultado. 6. Análisis de sensibilidad. Investigue la variación del costo total relevante cuando en lugar de ordenar EOQ unidades, se ordenan: Q  (1  f ) EOQ

donde -1  f  1 es la desviación porcentual con respecto del óptimo. El porcentaje de penalización del costo, PPC, viene dado por:


PPC 

171

CTR(Q)  CTR( EOQ)  100 CTR( EOQ)

Muestre que:  f2 PPC  50  1 f

  

Grafique PPC vs. f y escriba sus conclusiones con respecto de los resultados. Verifique que lo escrito en la Figura 5.4 con respecto a la sensibilidad del EOQ es correcto. 7. Extensiones del caso básico del EOQ. En cada uno de los siguientes casos, analice las variaciones que habría que implementar al tamaño de orden óptimo, EOQ, para determinar el tamaño del lote óptimo. Encuentre el EOQ en cada caso. a) Suponga que el ítem bajo análisis tiene una vida útil de VU unidades de tiempo, debido, por ejemplo a que se trata de un artículo perecedero. ¿Cuál debería ser entonces la cantidad óptima de pedido si ésta es menor (en unidades de tiempo que dura el inventario) a VU? ¿Y si es mayor? b) Asuma que existe una limitación de capacidad (de producción o de almacenamiento, por ejemplo) con relación al tamaño de pedido máximo que puede producirse o comprarse, es decir, que Q  Qmáx). ¿Cuál sería entonces la cantidad óptima de pedido si ésta es mayor que la capacidad disponible Qmáx? Concluya también en el caso cuando existe una cantidad mínima de pedido o producción, impuesta por el proveedor o por alguna razón técnica de producción, y el EOQ resulta ser mayor que ella. Generalice para la restricción Qmín  Q  Qmáx. c) Suponga ahora que el tamaño de la orden debe ser múltiplo de un número entero mayor o igual que 1, hecho causado probablemente por las condiciones de empacado del producto. ¿Cuál sería el procedimiento adecuado para seleccionar la cantidad óptima de pedido? d) Complete la Figura 5.2 considerando un tiempo de reposición constante L > 0, conocido con certeza. ¿Cuál sería en este caso la política para el control del inventario del ítem? Escoja cuidadosamente los dos casos posibles con respecto de L y comente sobre ellos. 8. El propietario de un supermercado abre durante 52 semanas/año y tiene la política de ordenar un cierto frasco de aceite de cocina de alta rotación y demanda prácticamente constante, pidiendo en cada ocasión 4 semanas de demanda (2,000 frascos). Usted está seguro de que se puede mejorar esta política, con respecto del costo de ordenamiento + el costo de mantenimiento del inventario, aplicando un sistema de control basado en el EOQ. Se recopilan los siguientes datos acerca de este ítem: D = 500 frascos/semana (constante) v = 4,500 $/frasco

A = $10,000/pedido r = 24% anual

a) Como el propietario del supermercado insiste en que su política de pedido de 4 semanas de demanda es mejor, arguyendo que la estimación del valor de A puede no ser muy precisa, ¿cómo podría usted demostrarle que, independientemente del valor de A,


172

siempre la política del EOQ será mejor? ¿Para qué valor de A las dos políticas son equivalentes? b) Repita el literal anterior si el argumento del propietario del supermercado es con respecto a la precisión de la estimación de r. c) Si el argumento del propietario del supermercado es con respecto a ambas estimaciones, de A y de r simultáneamente, construya una gráfica de parejas de valores (A, r) que hagan las dos políticas equivalentes. Discuta sobre la probabilidad de que cada pareja de valores ocurra simultáneamente en la práctica, haciendo equivalentes a las dos políticas.

5.3

TAMAÑO DE LOTE ECONÓMICO CON DESCUENTOS POR CANTIDADES DE COMPRA O PRODUCCIÓN

En este caso se elimina uno de los supuestos establecidos anteriormente, en el sentido de que el valor unitario del artículo, v, ahora sí depende del tamaño del pedido Q. Se considera la situación en la cual se obtienen descuentos cuando la cantidad de pedido aumenta o descuento sobre todas las unidades. Pueden existir descuentos sucesivos incrementales, a medida que el tamaño del pedido se hace mayor. Considérese, por ejemplo, el caso en el cual si el tamaño del pedido es mayor que cero y menor que un valor de quiebre Q1, el valor de cada ítem es v0. Si el tamaño del pedido es de Q1 unidades o más, el valor de cada ítem es v1 = v0 (1 – d), donde d es la tasa de descuento (0 < d < 1). Simbólicamente esto se expresa como: si 0  Q  Q1 v0 v v1  v0 (1  d ) si Q1  Q

Aquí el producto Dv es fundamental para la ecuación del CTR, ya que v depende de Q. Así, el costo total relevante puede escribirse como:

CTR(Q) 

AD Qvr   Dv Q 2

(5.6)

Por lo tanto, la función del costo total relevante con respecto de Q, de acuerdo al valor del ítem v, es:

AD Qv0 r   Dv0 para 0  Q  Q1 Q 2

(5.7)

AD Qv0 (1  d )r   Dv0 (1  d ) para Q1  Q Q 2

(5.8)

CTR(Q) 

CTR(Q) 

Obsérvese que en la Ec. (5.8) se ha aplicado el descuento d tanto al costo de mantenimiento del inventario como al costo de compra. Algunos autores sostienen, como elemento de discusión, que en el costo de mantenimiento del inventario el valor del producto no debería


173

afectarse con el descuento porque de todas formas el verdadero valor del producto es v0, sólo que se está adquiriendo a un valor menor v0(1 – d). De una u otra forma, es posible analizar cada caso, aunque aquí se tomará el descuento para ambos términos. Comparando miembro a miembro los términos de las Ec. (5.7) y (5.8), se observa que la curva de Q correspondiente a la última ecuación siempre estará por debajo de la curva correspondiente a la primera ecuación, siempre y cuando d > 0. Esto es válido para sucesivos descuentos incrementales de acuerdo con la cantidad de pedido Q. El tamaño óptimo de pedido Q* para estos casos puede coincidir con uno de los EOQ calculados para cada valor de v en particular, de acuerdo con la Ec. (5.5), o corresponder a uno de los puntos de quiebre. Las Figuras 5.6a, 5.6b y 5.6c ilustran esta situación para el caso de las Ec. (5.7) y (5.8). Nótese que la cantidad óptima de pedido Q* puede corresponder al tamaño del lote económico EOQ(v0) para la curva sin descuento, al tamaño del lote económico EOQ(v1) para la curva con descuento, o al punto de quiebre Q1. Los pequeños círculos sin relleno y con relleno en las figuras muestran que la función de costo, por convención, en el punto de quiebre, es válida solamente para la curva inferior, o sea cuando aplica el descuento d. CTR(Q)

Q Q* = Q1 Figura 5.6a. El óptimo ocurre en el punto de quiebre Q1

174


CTR(Q)

Q Q* = EOQ(v0)

Q1

Figura 5.6b. El óptimo ocurre en el EOQ correspondiente al valor v0

CTR(Q)

Q Q1

Q* = EOQ(v1)

Figura 5.6c. El óptimo ocurre en el EOQ correspondiente al valor v1 Los casos mostrados en la Figura 5.6 (a, b y c) pueden ocurrir con un número mayor de puntos de quiebre de descuentos. Todo lo anterior sugiere el siguiente algoritmo para encontrar el tamaño óptimo de pedido con un número arbitrario k de puntos de quiebre de descuento por cantidades [adaptado de Narasimhan et. al (1996), p. 104]:


Paso 1:

175

Calcule el tamaño óptimo de pedido EOQ(v0) para el valor v0 (sin descuento) y EOQ(vi) para cada uno de los valores de descuento vi (i = 1, 2, ..., k): EOQ(vi ) 

2 AD para i  0, 1, 2, ..., k vi r

Paso 2:

Cada EOQ(vi) (i = 1, 2, ..., k) que caiga fuera del rango de validez del descuento correspondiente, NO lo considere en el análisis. Igualmente, descarte EOQ(v0) si EOQ(v0)  Q1. En caso contrario, calcule el correspondiente costo total relevante CTR[EOQ(v0)] y CTR[EOQ(vi)], y conserve los valores para las comparaciones del Paso 4.

Paso 3:

Calcule el costo total relevante CTR(Qi) para i = 1, 2, ..., k, o sea para cada uno de los puntos de quiebre Qi, de acuerdo con su correspondiente valor de descuento vi:

CTR(Qi )  Paso 4:

AD Qi vi r   Dvi Qi 2

Escoja el tamaño óptimo de pedido de acuerdo al costo total relevante sin descuento, al costo total relevante de los EOQ(vi) conservados en el Paso 2, y al costo total relevante de los puntos de quiebre calculados en el Paso 3. Aquel tamaño de pedido que proporcione el mínimo costo total relevante es la solución óptima del problema.

Ejemplo 5.2 (EOQ con descuentos) Considere tres ítems diferentes cuyas características se muestran en la Tabla 5.1.

ÍTEM 1 2 3

Tabla 5.1. Datos para los tres ítems del Ejemplo 5.2 D v0 A r [unidades/año] [$/unidad] [$/orden] [%/año] 14,500 400,000 6,000 36 1,500 15,000 6,000 36 139,800 68,000 6,000 36

Un sólo proveedor proporciona estos tres ítems y ofrece un descuento del 5% sobre el valor de cada ítem para tamaños de órdenes mayores o iguales que Q1 = 200 unidades para los ítems 1 y 3 y de Q1 = 1,000 unidades para el ítem 2, por ser de bajo costo y de baja demanda en comparación con los otros dos. Determinar el tamaño óptimo de pedido para cada uno de los ítems.


176

a)

Ítem 1:

Paso 1:

EOQ(v0 ) 

2(6,000)(14,500)  35 unidades (400,000)(0.36)

EOQ(v1 ) 

2(6,000)(14,500)  36 unidades (400,000  0.95)(0.36)

Paso 2: Como el tamaño de lote óptimo con descuento no es mayor o igual que Q1 = 200 unidades, entonces no se considera en el análisis. Se calcula solamente el costo total relevante correspondiente al tamaño óptimo sin descuento, utilizando la Ec. (5.7):

CTREOQ(v0 ) 

(6,000)(14,500) (35)(400,000)(0.36)   (14,500)(400,000) 35 2  5,805.01 millones $/año

Paso 3: Se calcula aquí el costo total relevante para el único punto de quiebre existente, o sea para Q1 = 200 unidades:

(6,000)(14,500) (200)(400,000  0.95)(0.36)   (14,500)(400,000  0.95) 200 2  5,524.12 millones $/año

CTR(Q1 ) 

Paso 4: El CTRmín corresponde al punto de quiebre y, por lo tanto, el tamaño óptimo de pedido es Q = Q1 = 200 unidades. El comportamiento de este ítem corresponde a la Figura 5.6a. *

b)

Ítem 2:

Paso 1:

EOQ(v0 ) 

2(6,000)(1,500)  58 unidades (15,000)(0.36)

EOQ(v1 ) 

2(6,000)(1,500)  60 unidades (15,000  0.95)(0.36)

Paso 2: Como el tamaño de lote óptimo con descuento no es mayor o igual a Q1 = 1,000 unidades, entonces no se considera en el análisis. Se calcula solamente el costo total relevante correspondiente al tamaño óptimo sin descuento, utilizando la Ec. (5.7):


177


(6,000)(1,500) (58)(15,000)(0.36)   (1,500)(15,000) 58 2  22,811,772.41 $/año

Paso 3: Se calcula aquí el costo total relevante para el único punto de quiebre existente, o sea para Q1 = 1,000 unidades: (6,000)(1,500) (1,000)(15,000  0.95)(0.36)   (1,500)(15,000  0.95) 1,000 2  23,949,000.00 $/año

CTR(Q1 ) 

Paso 4: El costo total relevante mínimo corresponde al tamaño de lote óptimo sin descuento y, por lo tanto, el tamaño óptimo de pedido es Q* = EOQ(v0) = 58 unidades. El comportamiento de este ítem corresponde a la Figura 5.6b. c)

Ítem 3:

Paso 1:

EOQ(v0 ) 

2(6,000)(139,800)  262 unidades (68,000)(0.36)

EOQ(v1 ) 

2(6,000)(139,800)  269 unidades (68,000  0.95)(0.36)

Paso 2: Como el tamaño de lote óptimo con descuento es mayor o igual que Q1 = 200 unidades, entonces debe considerarse en el análisis. El EOQ(v0) se descarta pues dio mayor que el punto de quiebre igual a 200 unidades. Se calcula entonces el costo total relevante correspondiente al EOQ(v1), utilizando la Ec. (5.8):

(6,000)(139,800) (269)(68,000  0.95)(0.36)   (139,800)(68,000  0.95) 269 2  9,037,326,148 $/año


Paso 3: Se calcula aquí el costo total relevante para el único punto de quiebre existente, o sea para Q1 = 200 unidades:


178

(6,000)(139,800) (200)(68,000  0.95)(0.36)   (139,800)(68,000  0.95) 200 2  9,037,599,600.00 $/año

CTR(Q1 ) 

Paso 4: El costo total relevante mínimo corresponde al tamaño de lote óptimo con descuento y, por lo tanto, el tamaño óptimo de pedido es Q* = EOQ(v1) = 269 unidades. El comportamiento de este ítem corresponde a la Figura 5.6c. Se puede analizar el hecho que las curvas de CTR(Q) vs. Q para descuentos sucesivos siempre caen debajo de la curva anterior, y ahorrarse algunos cálculos. Por ejemplo, para el ítem 3, dado que el EOQ(v1) = 269 unidades es mayor que el punto de quiebre de 200 unidades, es seguro que el costo total relevante del tamaño óptimo sin descuento y el costo total relevante del punto de quiebre Q1 son mayores que el costo total relevante del tamaño óptimo con descuento y, por lo tanto, no es necesario calcularlos. El ejemplo anterior corresponde al EOQ con descuentos sobre todas las unidades. Hay otro caso que considera los descuentos incrementales, el cual se deja como ejercicio (Problemas No. 8 y 9 de los ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda determinística). El tema del EOQ no deja de ser investigado. Por ejemplo, Pentico y Drake (2009) presentan una nueva metodología para modelar el EOQ con órdenes pendientes parciales. Otro tema que ha sido muy estudiado es el efecto que tiene considerar o ignorar el valor del dinero en el tiempo en la metodología tradicional del EOQ. Algunos autores han sostenido que las diferencias entre la metodología tradicional en la fórmula del EOQ y la que utiliza el Valor Presente Neto (VPN) son muy pequeñas, incluso para algunos casos extremos [Hadley (1964), Silver et al. (1998, pp. 165-167)]. Otros investigadores han encontrado casos en los que se producen diferencias significativas [Park y Son (1989), Haneveld y Teunter (1998), Sun y Queyranne (2002)]. Más recientemente, Smith y Martínez-Flores (2007) encontraron que pueden existir diferencias significativas entre la metodología tradicional y la que considera el VPN en cuanto a los costos y a las políticas de inventario. Los autores diferencian los casos en los cuales se incluyen o no se incluyen los costos de oportunidad en la tasa r y sugieren explícitamente la utilización del VPN en los casos de modelos de inventarios y producción con períodos de tiempo discretos y costos de alistamiento. En otro artículo reciente, Eksioglu (2009) analiza una extensión del problema clásico del EOQ, en el cual hay múltiples proveedores y múltiples modos de transporte disponibles. El problema incluye, por lo tanto, el instante en que debe ordenarse, la selección de modos de transporte y el tamaño de orden por cada modo seleccionado. Otra referencia interesante es la de Darwish (2008a) quien integra las decisiones de transporte y compra en modelos continuos de control de inventarios.

5.4

TAMAÑO DE LOTE ÓPTIMO DE PRODUCCIÓN (EPQ)

El supuesto eliminado en este caso es el hecho de que la reposición no se presenta instantáneamente, sino que ocurre progresivamente, de acuerdo con una rata de reposición o de producción constante, p. Esta rata puede corresponder a la rata de producción del ítem o a


179

la forma como el proveedor realiza despachos sucesivos del producto. Este tema también se conoce en la literatura como el tamaño económico de producción (Economic Production Quantity, EPQ). Obviamente, como no se consideran faltantes de inventario, la rata de reposición p debe ser mayor que la demanda D, para que el desarrollo siguiente tenga sentido. La Figura 5.7 ilustra esta situación. Lo único que cambia con respecto del caso con tasa de reposición infinita, es el inventario promedio, el cual ahora es igual a Q(1 – D/p)/2. Nivel de inventario

Pendiente = p  D

Pendiente = D

Q(1-D/p)

Q/D

Tiempo

Figura 5.7. Nivel de inventario cuando se considera tasa de reposición finita p El costo total relevante viene dado por:

CTR(Q) 

AD Q(1  D / p)vr  Q 2

(5.9)

Y el tamaño económico de pedido EPQ se obtiene igual a:

EPQ 

2 AD 1  EOQ  vr(1  D / p) 1 D / p

(5.10)

Ejemplo 5.3 (Tamaño de lote óptimo de producción EPQ) Un fabricante de productos químicos para el aseo produce sus propios envases plásticos para un cierto ítem. Los envases se utilizan en la zona de empaque a razón de 240 unidades/día. El costo de preparación de cada lote de envases es de $150,000 y su rata de producción es de 600 unidades/día. El valor de cada envase es de $15,000 y la compañía utiliza una tasa para el costo de mantenimiento del inventario del 32% anual. Determinar el tamaño óptimo de producción si el fabricante trabaja todo el año (360 días).


180

El tamaño óptimo de producción puede calcularse de acuerdo con la Ec. (5.10). Si no se tiene en cuenta la tasa de producción finita, el EOQ correspondiente sería:

EOQ 

2(150,000)(240  360)  2,323.79 unidades (15,000)(0.32)

Y aplicando el factor de corrección por tasa de reposición finita, se obtiene:

EPQ  EOQ 

1 1  (2,323.79) 1 D / p 1  240 / 600

EPQ  3,000 unidades Como el tamaño de lote es de 3,000 envases, entonces se producen durante 3,000/600 = 5 días. Durante estos 5 días, se consumen 5 × 240 = 1,200 envases de los 3,000 que se fabrican. Entonces, los 1,800 envases restantes pasan a inventario y duran 7.5 días más. Es decir que el tiempo de ciclo total es de 12.5 días que corresponden a 5 días del ciclo de producción y consumo + 7.5 días de consumo solamente. El tema del EPQ, a pesar de ser ampliamente conocido y tratado en la literatura, aún tiene mucho espacio para investigación. Por ejemplo, Pentico et al. (2009) presentan un nuevo modelo para el EPQ determinístico considerando órdenes pendientes parciales. [Véase también una nota a este artículo por Zhang (2008)]. En otra publicación, Simmons y Cheng (2008) presentan un cálculo alternativo del tamaño óptimo de producción basado en la maximización de utilidades. En su trabajo, ellos tienen en cuenta los costos de inventario y los costos de producción, determinan una rata de producción que maximiza las utilidades y, con base en dicho valor, calculan el EPQ. Mediante esta técnica, de acuerdo con los autores, se logran aumentos significativos en la utilidad. En otro trabajo, Ben-Daya et al. (2008) diseñan un modelo para el cálculo del EPQ teniendo en cuenta los efectos de los cambios en la rata de producción y eficiencia, debidos a factores que pueden deteriorar la velocidad de producción y la calidad del producto y causar paradas inesperadas. Desde este punto de vista, este modelo es más realista que el presentado en esta sección. Por otra parte, Darwish (2008b) extiende el modelo EPQ considerando que existe una relación entre el costo de alistamiento y el tamaño del lote de producción. Esta dependencia puede ocurrir en la práctica en aquéllos casos en los que hay curvas de aprendizaje (o de olvido) o cuando existe deterioro de los procesos. Este autor considera dos casos, con y sin la inclusión de faltantes, prueba que las funciones obtenidas son convexas, encuentra su solución óptima y demuestra que la relación entre el costo de alistamiento y la longitud de la corrida de producción tiene un impacto significativo sobre el tamaño óptimo de lote y el costo total relevante.

Ejercicios 5.2 1. Una compañía hace pedidos anuales por mil toneladas de cierta materia prima. El costo de mantener el inventario es del 35% anual y el precio de compra es de $1,100,000 por


181

tonelada. Los costos marginales de tramitar los documentos son de $10,500/pedido. Para pedidos de 22 toneladas o más, el precio de compra disminuye a $995,000 por tonelada; para pedidos de 45 toneladas o más, el precio es de $882,000 por tonelada. ¿Cuál es el tamaño óptimo de pedido? 2. La demanda de cierto artículo es de 10,000 unidades/año. El costo de hacer un pedido es de $1,875 y el valor de cada pieza es de $1,125. El costo de mantener el inventario es del 25%/año. Si se compran 1,750 unidades o más, se obtiene un descuento del 5% sobre el valor original de cada pieza. Para pedidos de 4,000 o más unidades, el descuento sube al 8%. Determine la cantidad óptima de pedido. 3. Una compañía minera reemplaza una pieza importante para el funcionamiento de cierto equipo. La demanda se ha estimado en un valor prácticamente constante de 40 unidades/semana. Se ofrece por parte del proveedor el siguiente esquema de descuentos: RANGO DE Q 0 < Q <300 unidades 300  Q

COSTO UNITARIO $10.0 $9.70

El costo fijo de cada reposición se estima en $25 y el costo de llevar el inventario es del 26% anual. ¿Cuál debe ser el tamaño de cada pedido? Si el proveedor está interesado en hacer que la compañía adquiera al menos 500 unidades cada vez, cuál es el máximo costo unitario que podría cobrar por una orden de 500 unidades? [Silver et al. (1998), p. 189] 4. Análisis de sensibilidad del modelo de tamaño óptimo de pedido con tasa de reposición finita. Dibuje una gráfica del factor de corrección (1 – D/p)-1/2 mostrado en la Ec. (5.10) y del porcentaje de penalización del costo si se utiliza el EOQ en lugar del EPQ, contra el valor de D/p. (semejante a como se definió en el Problema No. 6 de los Ejercicios 5.1). Comente acerca de los resultados. 5. Un productor de componentes electrónicos desea calcular el tamaño óptimo de cierto ítem que cuesta 115,000 $/unidad. El ítem se puede producir a razón de 985 unidades/mes y su tasa de consumo es de 195 unidades/mes. La tasa r de la compañía es del 32% anual y los costos de alistamiento de las máquinas son de 460,000/orden de producción. a) Determine el lote óptimo de producción. b) Si se ignora la tasa de producción, ¿cuál sería el tamaño de lote? ¿Cuánto le costaría este tamaño de lote más pequeño a la compañía, con relación al determinado en el literal anterior? c) Dibuje una gráfica de inventario contra tiempo para el caso del literal (a), determine el inventario máximo, el intervalo entre corridas de producción y el tiempo de ciclo total. 6. Usted ha creado una fábrica de empaques de cartón. Uno de sus clientes más importantes le está comprando 350 cajas/día para empacar uno de sus productos líderes del mercado. La máquina en la que usted fabrica esta caja puede producir hasta 2,500 unidades/día. Por lo tanto, usted, si quisiera, podría producir todas las necesidades de su cliente de una


182

semana en un solo día (asuma que su cliente trabaja 7 días/semana). Otro esquema de producción podría ser producir cada día las 350 cajas que necesita su cliente, pero incurriría en el costo de alistamiento de la máquina cada vez que haga la corrida de producción. Si los costos de alistamiento de la máquina son de $150,000/corrida, el costo de producción variable de cada caja es de 3,000 $/caja y su costo de mantenimiento del inventario r = 0.07% diario, ¿cuál es su programa de producción semanal ideal? 7. Deduzca una ecuación semejante a la del Problema No. 4 de los Ejercicios 5.1 para el CTR(EPQ).

5.5

CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA CONOCIDA VARIABLE CON EL TIEMPO

En las cuatro secciones anteriores se trató el caso básico del tamaño económico de pedido (EOQ) asumiendo que la demanda puede considerarse uniforme y prácticamente constante a lo largo del horizonte de planeación. En esta sección se elimina este supuesto y se permite que la demanda varíe con el tiempo, aunque continúa siendo determinística, o sea conocida con certeza. Esta situación es mucho más real, encontrándose frecuentemente en las siguientes situaciones prácticas:  En sistemas de producción de múltiples etapas, donde se calculen los requerimientos de materiales para ciertos productos de la empresa, de acuerdo con el programa maestro de producción. En estas situaciones, se llega a patrones de demanda con alto grado de certeza, pero variables con el tiempo. Aspectos adicionales de esta situación son abordados por la técnica determinística del ―Material Requirements Planning‖, MRP.  Contratos de venta o producción preestablecidos, donde se conocen con certeza las cantidades a producir y/o despachar.  Productos que tienen una demanda periódica bien establecida, o cierta demanda inducida por campañas publicitarias y de promoción. Este último caso debe analizarse con mayor detalle de acuerdo con lo expresado en el Capítulo 4.  Partes y componentes de productos que estén siendo sacados del mercado por obsolescencia o cualquier otra razón.  Repuestos y componentes cuya demanda es conocida con cierto grado de certeza, tales como las partes necesarias para efectuar mantenimiento preventivo. 5.5.1

La complejidad cuando la demanda es variable

Uno de los principales problemas cuando la demanda varía significativamente con el tiempo es el hecho de que ya no puede considerarse como óptima una cantidad constante de pedido. Dicha cantidad puede variar significativamente entre pedidos y debe ser determinada cada vez que una orden va a ser procesada. Normalmente, en este tipo de situaciones se habla de un período u horizonte de planeación determinado, el cual puede ser de un año dividido en 12 meses, o de un semestre dividido en semanas, por ejemplo. Esto depende de la naturaleza del problema específico bajo estudio.


183

En otras ocasiones, no se trata de un valor dado de demanda en cada período, sino de la variación de la rata de demanda entre período y período. En cualquier caso, debe especificarse claramente el tipo de análisis que se desea realizar. Otro factor importante es el hecho de restringir o no los pedidos a instantes determinados de tiempo, por ejemplo, al comienzo de cada semana. En otros casos, el pedido puede hacerse en cualquier instante del tiempo dentro del horizonte de planeación. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones prácticas donde se manejen múltiples ítems simultáneamente, es preferible establecer que los pedidos se puedan realizar al comienzo de cada período definido para el análisis. Finalmente, vale la pena destacar la importancia del inventario al final del horizonte de planeación. En ocasiones, este inventario debe ser cero, dado que se trata de un contrato establecido de ventas. Contrariamente, en otras situaciones, este valor puede no tener restricciones, debido a que se tomará como inventario inicial de planeación del período siguiente. Para manejar cualquiera de estos escenarios, se pueden establecer tres posibles métodos claramente diferenciados:  Utilización de la cantidad óptima de pedido (EOQ) para todos los pedidos, calculada con base en la demanda promedio durante el horizonte de planeación. Esta estrategia es útil cuando el patrón de demanda no es demasiado variable con el tiempo, ya que así se aproximaría a las situaciones descritas en las secciones anteriores.  Utilización de la solución exacta de un modelo matemático previamente establecido, tal como el algoritmo de Wagner-Whitin (1958) o de modelos de programación lineal entera-mixta. En estos casos se obtienen soluciones óptimas que consideran algunos costos relacionados con los inventarios.  Uso de métodos aproximados o heurísticos, muy útiles en la práctica debido a su simplicidad de manejo y facilidad de comprensión. 5.5.2

Supuestos básicos

Los métodos que se van a estudiar en esta sección modelan una demanda válida para las siguientes condiciones:  La rata de demanda Dj debe ser satisfecha en el período j (j = 1, 2,..., N), donde el horizonte de planeación concluye al final del período N. En general, esta demanda puede variar de un período a otro, pero se considera determinística.  Se asume que los pedidos llegan al comienzo de los períodos donde ellos son requeridos. Si existe un tiempo de reposición para la llegada de los pedidos, este se considera determinístico y sería útil para motivos de planeación de cuándo colocar el pedido, pero no se incluirá explícitamente en el análisis.  No se consideran descuentos por cantidad pedida.  Los factores de costo no varían significativamente con el tiempo. Particularmente, se asume que la tasa de inflación permanece baja.  Se considera cada ítem en forma independiente de otros ítems.


184

 No se consideran faltantes de inventario o demanda no servida, pues la demanda se conoce anticipadamente.  La cantidad solicitada en cada pedido es despachada en forma total y no es recibida por lotes o en forma gradual.  Por facilidad, se considera que el costo de mantener el inventario se carga sobre el inventario al final de cada período. Sin embargo, se puede demostrar que la consideración de utilizar el inventario promedio, o sea la semisuma del inventario inicial y el inventario final de cada período, coincide con el análisis de fin de período. Debido a estos supuestos, especialmente al segundo y sexto en el orden anterior, se concluye fácilmente que la mejor situación ocurrirá en los casos en que los pedidos llegan al comienzo de cada período donde el inventario inicial es cero. Ejemplo 5.4 (Demanda determinística variable con el tiempo) La Tabla 5.2 muestra la demanda requerida en unidades de cierto producto para 12 meses. Tabla 5.2. Demanda requerida para el caso del Ejemplo 5.4 MES Demanda

1 2 35 165

3 40

4 5 6 335 400 325

7 230

8 9 10 141 330 395

11 600

12 124

TOTAL 3,120

Se ha estimado un costo fijo de alistamiento A de $300/pedido, un costo de llevar el inventario r del 1% mensual, y el costo unitario de cada producto v es de $80/unidad. Es importante notar aquí que algunos autores frecuentemente no dan los parámetros v y r separadamente, sino que los multiplican a priori, dando el costo de mantenimiento como h = vr. En este caso, h = 80 $/unidad × 0.01 $/$.mes = 0.8 $/unidad.mes. 700 600

Demanda (u.)

500 400 300 200 100 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Mes

Figura 5.8. Patrón de demanda correspondiente al Ejemplo 5.4

12


185

La empresa ha decidido utilizar un criterio para la programación de sus órdenes, estableciendo la producción de tres meses de requerimientos cada vez que se produzca. Así, por ejemplo, y asumiendo que el inventario inicial es cero, al comienzo del mes 1 debe estar disponible una orden por 35 + 165 + 40 unidades = 240 unidades, correspondientes a las necesidades de los meses 1, 2 y 3. Calcular los costos de inventario asociados a esta política de pedidos. Primero, es interesante analizar el patrón de demanda que tiene el producto, el cual se muestra en la Figura 5.8. Para determinar el grado de dispersión de esta demanda se calcula su coeficiente de variación sobre el horizonte de planeación, así: Demanda promedio = 3,120/12 = 260 unidades Desviación estándar de la muestra = 167.82 unidades Coeficiente de variación = 167.82/260 = 0.6454 = 64.55% Aunque la demanda puede considerarse perpetua, su variación del 64.55% es considerable, y por ende presenta un patrón de demanda variable con el tiempo. Silver et al. (1998, p. 217) definen otro indicador denominado coeficiente de variabilidad VC, el cual viene dado por:

VC 

Varianza de la demanda por período Cuadrado de la demanda promedio por período

el cual escriben como: N

VC 

N  D 2j j 1

   D j   j 1  N

2

1

(5.11)

Este coeficiente se determina asumiendo que la demanda es una variable aleatoria discreta sobre el período de análisis, cada una con probabilidad igual a 1/N. Se le deja al lector como ejercicio obtener esta expresión. El cálculo en este ejemplo da:

(12)(1,120,982) 1 3,1202 VC  0.3819 VC 

Si VC < 0.2 entonces se puede utilizar un método basado en el EOQ con la demanda promedio (en este caso 260 unidades/mes) para estimar los tamaños de pedido de cada período. En caso contrario, la demanda se torna más errática y puede ser necesario utilizar otro método heurístico o un método exacto como el modelo de programación lineal enteramixta que se presentará en la Sección 5.5.5.


186

Aplicando la política de pedidos de tres meses de requerimientos, se obtiene la Tabla 5.3, donde se muestra la distribución de pedidos, requerimientos, e inventarios inicial y final para cada mes. Tabla 5.3. Comportamiento del inventario en el tiempo mediante la política de tres meses de pedido (Ejemplo 5.4) MES Inv. inicial + Pedido  Demanda = Inv. final

1 0 240 35 205

2 205  165 40

3 40  40 0

4 0 1,060 335 725

5 725  400 325

6 325  325 0

7 0 701 230 471

8 471  141 330

9 330  330 0

10 0 1,119 395 724

11 724  600 124

12 124  124 0

Total  3,120 3,120 2,944

Para calcular los costos asociados a esta política durante el horizonte de planeación, se procede como sigue: Costos totales de preparación =

4 pedidos  $300/pedido

=

$ 1,200.0

Costos de llevar el inventario =

2,944 unidmes  $80/unid  0.01 $/$mes

=

2,355.2

=

$ 3,555.2

Costos totales anuales de preparación e inventario

Otros cálculos relacionados con esta política se refieren a la rotación del inventario. Para calcularla, se determina primero el inventario promedio considerado al final de cada mes, así: Inventario promedio (convención final de mes) = 2,944/12 = 245.33 unidades. Y la rotación del inventario vendría dada por: Rotación del inv. = Demanda anual/Inv. promedio = 3,120/245.33 = 12.72 veces/año La pregunta obvia que surge es, ¿se puede mejorar este costo mediante la aplicación de una política diferente de inventarios? La respuesta es sí. Algunas estrategias para lograr esto se exponen a continuación. 5.5.3

Uso de la cantidad económica de pedido (EOQ)

Una posibilidad de mejorar la situación descrita en el Ejemplo 5.4 es la de utilizar la cantidad económica de pedido EOQ, calculada con base en la demanda promedio del horizonte de planeación. Sin embargo, como el valor de VC calculado anteriormente dio mayor que 0.2, entonces es probable que los resultados no sean muy buenos. Como la mejor situación corresponde a efectuar pedidos que satisfagan los requerimientos de un número entero de períodos (como ya se mostró anteriormente de acuerdo con los supuestos), si la cantidad EOQ no coincide con los requerimientos para un número entero de períodos, entonces se acerca al valor más próximo, bien sea por exceso o por defecto.


187

En este caso, el EOQ viene dado por:

EOQ 

2 AD vr

(5.12)

Donde: D  Demanda promedio durante el horizonte de planeación.

Los otros parámetros son los mismos definidos en el Capítulo 3. Para este caso, la demanda promedio y el EOQ vienen dados por: D

Requerimie ntos totales 3,120   260 unidades/m es Horizonte de planeación 12

EOQ 

2(300)(260)  442 unidades (80)(0.01)

La Tabla 5.4 muestra los resultados para la política del tamaño óptimo de pedido, teniendo en cuenta que se redondea a los requerimientos de un número entero de períodos. Para el primer pedido, por ejemplo, el EOQ está más cercano a 575 unidades, el requerimiento para los cuatro primeros meses, que lo que está a 240 unidades, el requerimiento para los tres primeros meses. Por esta razón, se escoge 575 como el tamaño del pedido inicial. A partir del mes 5 se repite este mismo procedimiento para determinar el tamaño de pedido. Tabla 5.4. Comportamiento del inventario en el tiempo mediante la política de pedido para períodos enteros con demanda aproximada al EOQ (Ejemplo 5.4) MES Inv. inicial + Pedido  Demanda = Inv. final

1 0 575 35 540

2 540  165 375

3 375  40 335

4 335  335 0

5 0 400 400 0

6 0 555 325 230

7 230  230 0

8 0 471 141 330

9 330  330 0

10 0 395 395 0

11 0 600 600 0

12 0 124 124 0

Total  3,120 3,120 1,810

En este caso, los costos, el inventario promedio y la rotación del inventario vienen dados por: Costos totales de preparación =


=

$ 2,100.0


1,810 unidmes  $80/unid  0.01 $/$mes

=

1,448.0

=

$ 3,548.0


Inventario promedio (convención final de mes) = 1,810/12 = 150.83 unidades. Rotación del inv. = Demanda anual/Inv. promedio = 3,120/150.83 = 20.69 veces/año


188

Como puede observarse, es muy poca la diferencia en cuanto a costos totales de esta política con relación a la de 3 meses de pedido. 5.5.4

Otras variaciones del EOQ

El EOQ se puede aplicar de otras dos formas diferentes a la presentada en la sección anterior. Primero, se puede ordenar la cantidad exacta dada por el EOQ, aunque en general no coincide con la demanda de un número entero de períodos y como consecuencia la cantidad a pedir al final deberá ajustarse para obtener un inventario cero al final del horizonte de planeación; en este caso se debe ordenar de tal forma que se evite un inventario final negativo. La segunda forma es la de convertir el EOQ a un número entero de períodos dividiéndolo por la demanda promedio y redondeando al entero más próximo, y así ordenar siempre una cantidad igual a la demanda de ese número de períodos. A continuación se ilustran estos dos métodos. Utilizando el valor exacto dado por el EOQ La Tabla 5.5 muestra el resultado de esta política de pedidos. Evidentemente, este método no supera a los anteriores en este ejemplo. Tabla 5.5. Comportamiento del inventario en el tiempo mediante la aplicación de pedidos iguales al EOQ para el Ejemplo 5.4 MES Inv. inicial + Pedido  Demanda = Inv. final

1 0 442 35 407

2 407  165 242

3 242  40 202

4 202 442 335 309

5 309 442 400 351

6 351  325 26

7 26 442 230 238

8 238  141 97

9 97 442 330 209

10 209 442 395 256

11 256 442 600 98

12 98 26 124 0

Total  3,120 3,120 2,435

Los costos, el inventario promedio y la rotación del inventario se reducen a: Costos totales de preparación =


=

$ 2,400.0


2,435 unidmes  $80/unid  0.01 $/$mes

=

1,948.0

=

$ 4,348.0


Inventario promedio (convención final de mes) = 2,435/12 = 202.92 unidades. Rotación del inv. = Demanda anual/Inv. promedio = 3,120/202.92 = 15.38 veces/año Redondeando el EOQ a un número entero de períodos Este método es una variación de los dos métodos relacionados con el EOQ expuestos anteriormente. Se conoce también con el nombre de cantidad de orden periódica. En este


189

caso, la cantidad económica de pedido, EOQ, se expresa en unidades de tiempo, de acuerdo con la siguiente ecuación:

TEOQ 

EOQ 2A  D D vr

(5.13)

El TEOQ se redondea al entero más cercano mayor que cero y cada vez se ordena la cantidad necesaria para cubrir dicho número de períodos. Si el número de períodos no es múltiplo del total de períodos del horizonte, N, entonces se ajusta la cantidad a pedir al final del mismo. En el Ejemplo 5.4, el EOQ es igual a 442 unidades; esto equivale, con respecto de la demanda promedio de 260 unidades/mes, a tener 442/260 meses = 1.7 meses  2 meses (redondeado). La Tabla 5.6 muestra el resultado de esta política de pedidos, es decir, cuando se pide siempre para dos meses de demanda. Tabla 5.6. Comportamiento del inventario en el tiempo mediante la aplicación de un número entero de períodos redondeado a partir del EOQ para el Ejemplo 5.4 (2 meses) MES Inv. inicial + Pedido  Demanda = Inv. final

1 0 200 35 165

2 165  165 0

3 0 375 40 335

4 335  335 0

5 0 725 400 325

6 325  325 0

7 0 371 230 141

8 141  141 0

9 0 725 330 395

10 395  395 0

11 0 724 600 124

12 124  124 0

Total  3,120 3,120 1,485

Aquí, los costos, el inventario promedio y la rotación del inventario son: Costos totales de preparación =


=

$ 1,800.0


1,485 unidmes  $80/unid  0.01 $/$mes

=

1,188.0

=

$ 2,988.0


Inventario promedio (convención final de mes) = 1,485/12 = 123.75 unidades. Rotación del inv. = Demanda anual/Inv. promedio = 3,120/123.75 = 25.21 veces/año Este último resultado muestra un mejoramiento significativo con respecto de los anteriores. Otra política muy conocida es la de ordenar exactamente para un período, más conocía como lote por lote (lot for lot). En este caso, el inventario final siempre será cero y se incurrirá sólo en 12 costos de ordenamiento, o sea que el costo total relevante para esta política sería de $3,600.0. La pregunta obvia que surge es, ¿cuál es la solución óptima y cómo la podemos encontrar? Wagner y Whitin (1958) diseñaron un algoritmo de programación dinámica que encuentra la solución óptima bajo el supuesto de que el inventario al final del horizonte sea preespecificado (generalmente será igual a cero como en el Ejemplo 5.4). Este método no se presenta aquí por considerarse que presenta más desventajas que ventajas, especialmente en lo que se refiere a su comprensión y aplicación práctica. Existen paquetes de software académico muy


190

conocidos, tales como el WinQSB, que contienen este algoritmo. Investigaciones recientes han resuelto la versión estocástica del algoritmo de Wagner-Whitin, considerando demanda no estacionaria probabilística, especialmente con distribución normal [Vargas (2008)]. En la sección siguiente se presenta un modelo matemático de programación entera-mixta para resolver óptimamente este problema. Su ventaja radica en que se pueden adicionar condiciones y restricciones de diversa naturaleza una vez se construye el modelo, lo que lo hace una herramienta muy poderosa de decisión. 5.5.5

Un modelo de programación matemática entera-mixta (Método exacto)

Resulta interesante formular un modelo de programación matemática entero-mixto para el problema bajo análisis. Considérense los siguientes parámetros y variables de decisión (los parámetros A, v y r ya han sido definidos anteriormente): Di =

Demanda del período i, i = 1, 2, ..., N.

Xij = Cantidad ordenada en el período i para ser utilizada para satisfacer la demanda del mes j; i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ..., N; j  i, donde N es el número de períodos considerados en el horizonte bajo análisis. Yi = 1, si se realiza un pedido en el período i, i = 1, 2, ..., N; 0, de lo contrario (variable binaria) Se va a asumir que el inventario inicial, al comienzo del período 1 es cero, lo mismo que el inventario al final del horizonte de planeación, o sea al final del período N. Bajo estos supuestos, se puede formular el siguiente modelo de programación lineal mixta:

Función objetivo:

Minimizar CTR N

=

  AYi  (vr)(1) i 1

Costos de ordenamiento + costos de almacenamiento N 1



i 1: j i 1

X ij  (vr)(2)

N 2

X

i 1: j i 2

ij

 ...  (vr)( N  2)

2

X

ij i 1: j i  N 2

 (vr)( N  1)

1

X

ij i 1: j i  N 1

Restricciones:

a)

Por satisfacción de la demanda:

X11

= D1

(j = 1: Demanda del período 1)

X12 + X22

= D2



X13 + X23 + X33

= D3

...................

................................

X1N + X2N + X3N + . . . . . . . + XNN

= DN (j = N: Demanda del período N)

b)

191


Restricciones lógicas (no se pueden tener unidades disponibles en cada período, sino se ha efectuado un pedido): Y1  1 (en el período 1 se debe hacer un pedido ya que el inv. inicial es cero).  N  X    Di Y1  1j j 1  i 1  N

 N  X    Di Y2  2j j 2  i2  N

 N  X    Di Y3  3j j 3  i 3  ............................. N

 N  X    Di YN 1  N 1, j j  N 1  i  N 1  N

N

X jN

c)

Nj

 N     Di YN  iN 

Restricciones obvias:

Xij  0 para toda i, j. Yi  {0, 1} para toda i. El primer término de la función objetivo contiene el total de los costos fijos de pedido. Si se pide en el período i, entonces la variable binaria Yi = 1 y por lo tanto el costo fijo A suma. De lo contrario, no se suma costo fijo alguno porque la variable binaria sería igual a cero. Los términos siguientes de la función objetivo representan el costo de mantenimiento del inventario. Como el modelo tiene la flexibilidad de que se puede pedir en el período i para satisfacer la demanda de cualquier período j = i, i+1, i+2, …, N, entonces el costo de mantenimiento varía dependiendo del número de períodos que va a estar guardado el inventario. Así, los términos de la función objetivo asociados a este costo se han organizado


192

en orden ascendente para aquéllas variables que representen unidades guardadas por 1, 2, 3, …, N – 1 períodos. El conjunto de restricciones (a) asegura que se va a satisfacer exactamente la demanda de cada período. El conjunto de restricciones lógicas (b) combinado con las restricciones obvias (c) asegura que si no se realiza un pedido en el período i (o sea Yi = 0), entonces todas las variables Xij (j = i, i+1, i+2, …, N) deben ser iguales a cero y viceversa. Por el contrario, si Yi = 1, o sea que se va a pedir en el período i, el modelo deja la libertad que en el período i se pueda pedir hasta la demanda total para los períodos i, i+1, i+2, …, N. Nótese que el modelo no restringe un pedido a la demanda de un número entero de períodos. A pesar de que sabemos que la solución óptima cumple con esta propiedad, no necesitamos representarla explícitamente en el modelo, pues es un resultado del mismo. La hoja electrónica que representa al modelo luce como se observa a continuación: DATOS DE ENTRADA = Costo fijo A ($/orden) = Tasa mtto. inv. r (% por per) = Valor ítem v ($/unidad) = Demanda D i (u.) = Costo mtto. h = vr ($/u.per) = VARIABLES X ij Per. 1 Per. 2 Per. 3 Per. 4 Per. 5 Per. 6 Per. 7 Per. 8 Per. 9 Per. 10 Per. 11 Per. 12 TOTAL = Variables binarias de pedido → Demanda pendiente → CTR ($/año) =

300 0.01 80 35 0.8

300

300

300

300

300

300

300

300

300

300

300

165

40

335

400

325

230

141

330

395

600

124

Per. 1 Per. 2 Per. 3 Per. 4 Per. 5 Per. 6 Per. 7 Per. 8 Per. 9 Per. 10 Per. 11 Per. 12 35 165 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 335 0 0 0 0 0 0 0 0 400 325 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 230 141 0 0 0 0 0 0 0 0 0 330 0 0 0 395 0 0 600 124 0 35 165 40 335 400 325 230 141 330 395 600 124 Per. 1 Per. 2 Per. 3 Per. 4 Per. 5 Per. 6 Per. 7 Per. 8 Per. 9 Per. 10 Per. 11 Per. 12 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 3,120 3,085 2,920 2,880 2,545 2,145 1,820 1,590 1,449 1,119 724 124

TOTAL 240 0 0 335 725 0 371 0 330 395 724 0 3,120

2,768.00 ← celda objetivo

La fórmula de la celda objetivo contiene el costo de ordenamiento y el costo de mantenimiento del inventario. En total, hay 90 celdas variables, de las cuales 12 corresponden a las variables binarias de pedido Yi y 78 a las variables asociadas al tamaño del pedido Xij. Las restricciones de demanda se garantizan adicionando al solver de Excel™ una restricción conjunta que iguala el total por columnas de las celdas cambiantes correspondientes a las variables Xij con la demanda del período respectivo. Las restricciones lógicas (b) se programan tomando la suma por filas de las celdas cambiantes Xij y haciéndola menor o igual que el producto de la demanda pendiente por satisfacer a partir del período i con la correspondiente variable binaria Yi. Hay que adicionar una última restricción al solver donde se le informa al programa que las variables de pedido Yi son binarias. Las variables del tamaño de pedido Xij se dejan como continuas mayores ó iguales que cero. Al correr el solver, se obtiene la solución óptima mostrada arriba. Para el período 1, por ejemplo, se obtuvo Y1 = 1 (se hace un pedido), X11 = 35, X12 = 165, X13 = 40 y X1j = 0 para j = 4, 5, 6, …, 12. O sea que el pedido total del período 1 se hace por 240 unidades, de las cuales 35 se consumen en el mismo período 1 en el que se piden, 165 se guardan hasta el período 2 y 40 unidades se guardan para satisfacer la demanda del período 3. Nótese que en los períodos 2


193

y 3 obviamente no se hace pedido alguno (Y2 = Y3 = 0) y se vuelve a pedir en el período 4 (Y4 = 1), pero solamente para la demanda de este mismo período (X44 = 335, X4j = 0 para j = 5, 6, 7, …, 12.). En forma análoga se interpreta el resultado de las demás variables de decisión. La solución óptima se resume en la Tabla 5.7. Estos mismos resultados se pueden encontrar mediante otros programas de interés académico, como por ejemplo el WinQSB. Tabla 5.7. Solución óptima del Ejemplo 5.4 mediante la aplicación del modelo de optimización entero-mixto MES Inv. inicial + Pedido  Demanda = Inv. final

1 0 240 35 205

2 205  165 40

3 40  40 0

4 0 335 335 0

5 0 725 400 325

6 325  325 0

7 0 371 230 141

8 141  141 0

9 0 330 330 0

10 0 395 395 0

11 0 724 600 124

12 124  124 0

Total  3,120 3,120 835

En este caso, los indicadores óptimos vienen dados por: Costos totales de preparación =


=

$ 2,100.0


835 unidmes  $80/unid  0.01 $/$mes

=

668.0

=

$ 2,768.0

Costo total relevante CTR óptimo

Inventario promedio (convención final de mes) = 835/12 = 69.58 unidades. Rotación del inv. = Demanda anual/Inv. promedio = 3,120/69.58 = 44.84 veces/año La Tabla 5.8 muestra el resumen de los resultados del Ejemplo 5.4, de acuerdo con los diversos métodos de solución de este problema, ordenados de mayor a menor resultado del costo total relevante. Se han adicionado algunos otros resultados, como por ejemplo un solo pedido al comienzo para todo el año, el cual evidentemente conduciría a la peor situación en este ejemplo. Una observación muy importante es que, dada la brecha significativa con respecto del óptimo de algunos métodos de solución, los cuales en ocasiones se utilizan en la práctica, es muy importante justificar la utilización de uno u otro método en la práctica. Tabla 5.8. Comparación de las soluciones obtenidas mediante los diversos métodos (Ejemplo 5.4) MÉTODO DE SOLUCIÓN CTR ($/año) % del óptimo Inv. Promedio Rotación Un solo pedido al comienzo del horizonte 16,620.8 500.46% 1,700.08 1.84 Pedido igual al EOQ y ajustado al final del horizonte 4,348.0 57.08% 202.92 15.38 Lote por lote (Pedido para un solo período siempre) 3,600.0 30.06% 0.00 No definida Pedido para tres meses 3,555.2 28.44% 245.33 12.72 Pedido para períodos enteros aproximado al EOQ 3,548.0 28.18% 150.83 20.69 EOQ redondeado a períodos enteros (2 meses) 2,988.0 7.95% 123.75 25.21 Mediante el modelo matemático (Solución óptima) 2,768.0 0.00% 69.58 44.84

Yo pienso que el modelo matemático puede ser muy útil, incluso en aplicaciones reales. Precisamente, este modelo es adaptado en la práctica por Gutiérrez (2006). Una vez se construye la hoja electrónica asociada al modelo, se pueden analizar diversas variaciones del


194

mismo e involucrar otro tipo de restricciones. Por ejemplo, restricciones de producción en cada período, tamaños de lote mínimo y máximo por período, capacidades, etc. (Problemas No. 15 y 16 de los ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda determinística). El tópico de demanda determinística tratado hasta aquí ha sido motivo de amplia investigación. Se le conoce también como el problema del tamaño de lote (Lot Sizing). Por ejemplo, una reciente revisión de literatura sobre el tema incluye los problemas de tamaño de lote de un solo ítem, como el tratado anteriormente; el del tamaño de lote de un solo ítem con restricciones de capacidad (el cual puede ser manejado por el modelo matemático presentado en esta sección) y el del tamaño de lote con demanda dinámica determinística para múltiples ítems [Robinson et al. (2009)]. Los autores presentan una gran diversidad de modelos matemáticos que han sido tratados en la literatura. Otra variación del modelo presentado es tratada en Dawande et al. (2009), donde se implementan dos tipos de restricciones al modelo. En el primer tipo, se impone una restricción de capacidad de almacenamiento de dos productos al final de cada período; en el segundo, ambos productos tienen un costo conjunto y costos individuales de alistamiento. Los métodos presentados anteriormente, con excepción del modelo matemático de programación lineal entera-mixta, se pueden considerar heurísticos porque no garantizan la solución óptima. Existen otros métodos heurísticos que no se presentan en este texto, tales como el de Silver-Meal y el del balanceo de períodos. [Ver Vidal (2009, Capítulo 4)]

Ejercicios 5.3 1. La demanda de cierto componente en unidades para el próximo año se ha estimado como sigue: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

32 29 40 86 11 38

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

7 39 50 78 29 80

El costo de cada componente es de $1,250, el costo de ordenamiento se ha estimado en $3,500/pedido y el costo de mantener el inventario es del 24% anual. Determine el plan de pedidos correspondiente, el CTR, el inventario promedio y la rotación, utilizando las tres reglas del EOQ y las siguientes políticas: Lote por lote, pedidos para 2 períodos y pedidos para 3 períodos. Encuentre la solución óptima y compare los resultados. 2. Considere un ítem con el siguiente patrón de demanda determinística, variable con el tiempo: SEMANA Demanda

1 80

2 60

3 180

4 80

5 0

6 0

7 180

8 130

9 10

10 110

11 80

12 230


195

Suponga que el patrón de demanda termina en la semana 12. El costo de llevar el inventario es de $115 por cada unidad por cada semana de estar en inventario. El costo fijo de pedido es de $35,000. Se considera que el inventario inicial es cero, al igual que el tiempo de reposición. Aplique los siguientes criterios para determinar los tamaños de pedidos y compare los resultados de costos totales y rotación del inventario: a) b) c) d)

Ordenando cada vez para cuatro períodos consecutivos, iniciando con la semana 1. Utilizando los tres métodos vistos relacionados con el EOQ. El modelo matemático de optimización propuesto en la Sección 5.5.5. Un solo pedido al comienzo de la semana 1 para satisfacer los requerimientos de las 12 semanas. e) Un pedido al comienzo de cada semana, igual a su demanda (Lote por lote). 3. Repita el problema anterior con el siguiente patrón de demanda para 20 períodos de un ítem que está siendo sacado del mercado.

PERÍODO 1 2 3 4 5 Demanda 850 480 304 225 145

6 100

PERÍODO Demanda

16 4

11 17

12 13

13 8

14 5

15 5

7 81

8 52

17 3

18 2

9 38

10 30

19 2

20 1

Suponga que A = $6,000/pedido, v = $28,000/unidad y r = 2% por período. Analice los resultados para este patrón de demanda. 4. Repita el Problema No. 2 para un componente que presenta demanda intermitente, de acuerdo con la siguiente información: SEMANA Demanda

1 80

2 5

3 0

4 23

5 0

6 0

7 18

8 0

9 0

10 0

11 180

12 70

Asuma que A = $5,000/pedido, v = $87,550/unidad y r = 0.75% semanal. Analice los resultados para este patrón de demanda. 5. Considere el modelo de programación lineal mixta presentado en la Sección 5.5.5. Implemente cambios en el modelo, de tal forma que se pueda tener en cuenta un inventario inicial conocido I0, en general diferente de cero, e igualmente un inventario final requerido al final del período N, el cual puede ser diferente de cero. 6. Considere el Ejemplo 5.4. Formule un modelo de programación lineal mixta semejante al presentado en la Sección 5.5.5, pero asumiendo que se trata de un ítem perecedero que no se puede tener en inventario por más de dos períodos (o sea que, por ejemplo, la variable X13 debería ser cero). Determine la nueva solución óptima del problema.

196


Ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda determinística 1. Considere el caso básico del EOQ, pero además del costo normal de mantenimiento del inventario basado en el inventario promedio, se cobra anualmente w $/m3 de espacio que ocupa cada ítem. Si h es el volumen en m3 que ocupa una unidad del ítem y se asume que hay suficiente espacio para almacenar el inventario máximo, encuentre la ecuación que correctamente determina el valor del nuevo EOQ. 2. Un panadero está controlando su inventario de harina de trigo y ha reunido los siguientes datos respecto de este ingrediente (Asuma que el panadero trabaja 52 semanas/año y que 1 semana = 7 días): Demanda semanal D Tiempo de reposición LT Costo de inventario r Precio de compra v Costo de ordenamiento A

= = = = =

42 bultos de 50 kg cada uno (constante) 3 días (constante) 27% anual 90,000 $/bulto 5,000 $/orden

a) Diseñe un método de control del inventario de este ítem basado en el EOQ y en el tiempo de reposición (recuerde que sólo se pueden comprar bultos completos de harina). Escriba claramente la política de control del inventario. Calcule los costos anuales de ordenamiento y de mantenimiento del inventario, y el costo total relevante. b) Debido a una escasez, el tiempo de reposición aumenta a 6 días. ¿Qué problema se genera respecto de la política de control diseñada en (a)? Proponga ajustes adecuados en dicha política para que funcione. 3. Usted posee una planta productora en Cali, donde fabrica bolsas de empaque biodegradables, y ha hecho un contrato con un proveedor en Pereira que le suministra la principal materia prima para las bolsas. La demanda de esta materia prima es de 300 rollos/semana. El valor de este ítem en Pereira es de $80,000/rollo. De acuerdo con el contrato, cada vez que se pide, se incurre en un costo fijo de transporte de $100,000 independiente del tamaño del envío + un costo variable de transporte de $8,000/rollo transportado. Otros costos fijos de pedido pueden ser ignorados. Si usted mantiene inventario de materia prima en su planta en Cali y su tasa r = 22.2% anual, determine el tamaño de lote económico a comprarle al proveedor (Asuma que 1 año = 52 semanas). 4. En su fábrica de carteras, usted produce un modelo que necesita un tipo especial de cremallera. La demanda constante mensual de carteras es de 180 y cada una utiliza dos cremalleras. Actualmente, usted le compra las cremalleras a un proveedor que le pone en su planta cada una en $12,000. Cada orden tiene un costo fijo de $22,500, incluyendo algunas actividades de recepción que deben hacerse. Su tasa r ha sido estimada en 2.4% mensual. A usted le están ofreciendo arrendarle una máquina muy moderna, en $2,000,000 mensuales (incluido el mantenimiento a que haya lugar) para que produzca sus propias cremalleras. La máquina puede producir hasta 500 cremalleras/mes. El costo de producción, incluyendo algunos costos indirectos relacionados, se ha estimado en 5,400 $/cremallera y el alistamiento de la máquina para cada orden es de $163,200.


197

a) Determine si usted debería o no aceptar la oferta de la máquina y el tamaño de lote óptimo de compra o de producción, según la opción escogida, al igual que el costo total relevante asociado. b) Investigue el efecto que tiene sobre el tamaño de lote de producción y sobre el costo total relevante el hecho de utilizar la máquina a una tasa de producción menor que 500 cremalleras/mes. Comente acerca de los efectos prácticos de este resultado. 5. Un fabricante de tornillos produce un ítem cuya demanda mensual es de 2,000 unidades. La compañía puede producir 120 unidades/día y hay 25 días/mes de trabajo disponibles (Asuma que 1 mes = 30 días). El alistamiento de la línea de producción cuesta $76,000 y el costo de producción se estima en $3,800/unidad. La tasa del costo de mantenimiento del inventario por mes es del 2.67%. Determine el tamaño óptimo de producción, el costo total relevante, el tiempo que tarda cada ciclo de producción y el número de veces que debe producirse por año. 6. Un comerciante calcula que el costo de ordenamiento de un ítem es de $5,000/orden. El costo de llevar el inventario es del 30% anual y la demanda anual se estima en 24,000 unidades. El valor unitario del ítem sin descuento es de $600. Un proveedor del ítem está ofreciendo el siguiente esquema de descuentos sobre todas las unidades: TAMAÑO DE LA ORDEN (Unidades) Menos de 1,000 unidades 1,000 - 1,999 unidades 2,000 - 5,999 unidades 6,000 - 11,999 unidades 12,000 unidades o más

DESCUENTO (%) 0.0 2.0 3.0 7.0 10.0

a) Determine el tamaño óptimo de pedido. b) Si el comerciante desea que su tamaño óptimo de pedido sea para 6 meses de demanda, ¿cuál descuento mínimo le debería solicitar al proveedor? 7. Asuma que todos los supuestos establecidos para el desarrollo de la fórmula del EOQ siguen siendo válidos, con la excepción de que ahora se aceptan órdenes pendientes. O sea que deliberadamente se puede hacer que el nivel de inventario tenga valores negativos antes de ordenar y cualquier orden pendiente es satisfecha con la reposición que llega. Ahora, hay por lo tanto dos variables de decisión: Q y s, donde s es el nivel debajo del inventario cero en el cual se ordena. a) Grafique esta situación en una figura similar a la Figura 5.2 y encuentre el nivel de inventario promedio y el nivel promedio de órdenes pendientes. b) Suponga que hay un costo B2v por cada unidad pendiente de ser entregada, independiente del tiempo que tarda en entregarse, donde B2 es un factor adimensional. Encuentre el valor óptimo de Q y s como función de A, D, v, r y B2. c) Repita la parte (b) pero con un costo B3v por unidad pendiente de entregar, por unidad de tiempo. Las unidades de B3 son equivalentes a las unidades de r.

198


d) ¿Usted considera útil los análisis hechos en los literales anteriores para la aplicación práctica del control de inventarios? 8. El caso del EOQ con descuentos analizado en la Sección 5.3 corresponde a la situación en la cual se obtienen descuentos sobre todas las unidades que se van a adquirir. Un caso diferente es aquél en el cual los descuentos solo operan sobre las unidades en exceso sobre los puntos de quiebre. Este caso se conoce como descuento incremental. Desarrolle un algoritmo que le permita determinar la cantidad óptima de pedido. Tenga en cuenta que aquí debe considerarse es el costo unitario promedio en cada intervalo de descuentos. (Sugerencia: Consulte, por ejemplo, la Lectura Adicional No. 1 de este capítulo) 9. Aplique el algoritmo del problema anterior para resolver el Problema No. 6 de estos ejercicios, asumiendo que los descuentos mostrados son incrementales. Esto significa que, por ejemplo, si se compran 1,500 unidades, entonces las primeras 999 cuestan 600 $/unidad, y las 501 unidades siguientes tienen un descuento del 2%, quedando su costo en 588 $/unidad. Compare los resultados. 10. Una empresa manufacturera puede producir ella misma un producto o comprarlo a proveedores locales. Si la compañía produce el ítem, incurre en un costo de alistamiento de $46,000. El valor del producto final es de $2,830/unidad, y la rata de producción es de 500 unidades/día. Si el producto es comprado a proveedores locales, su costo es de $2,900 y el costo fijo de hacer un pedido es de $6,900/orden. En cualquier caso, la empresa considera un costo de mantenimiento del inventario de 0.24 $/($∙año). La demanda aproximada del producto es de 10,000 unidades/año. a) Desde el punto de vista del costo total, compuesto por el costo de alistamiento (u ordenamiento) más el costo de mantenimiento del inventario, ¿cuál alternativa debe escoger la empresa? b) ¿Cuál es el costo máximo que los proveedores locales deberían fijar al producto para que su empresa escogiera ésta como su mejor alternativa? 11. Un producto es comprado y recibido por lotes de tamaño Q. La demanda del producto es constante, igual a 10,000 unidades/año; el costo fijo de emitir una orden es de $148,000/orden y el costo de mantenimiento del inventario es del 25% anual. Esta tasa no incluye el costo de arrendamiento del espacio en la bodega, el cual se basa en el inventario máximo, y se calcula en la forma siguiente. Si se almacenan hasta 500 unidades, se cobran $2,300 por unidad y por año. Por cada unidad almacenada en exceso de 500 unidades, se pagan $3,500 por unidad y por año. Calcule el tamaño económico de pedido. 12. Una empresa produce un producto perecedero que se deteriora almacenado. Se ha estimado que la vida útil del producto es de dos semanas. El sistema de producción es tal que se produce en lotes, de tal forma que el lote entero se completa y se adiciona al inventario de una sola vez, en forma instantánea. La demanda es constante a razón de 5,200 unidades/año; el costo de alistamiento es de $920,000/lote y el costo de mantenimiento del inventario es del 20% anual. El costo del producto es de $230,000/unidad y no se aceptan faltantes de inventario. Determine la cantidad económica de pedido, sujeta a la restricción de duración máxima del producto.


199

13. En el Problema No. 6 de los Ejercicios 5.1 se mostró que si el EOQ se multiplica por un factor (1 + f), entonces el porcentaje de incremento en los costos variables totales es igual a 50f 2/(1 + f). Muestre que se obtiene este mismo resultado si el EOQ se multiplica por un factor 1/(1 + f). 14. Un analista de inventarios es responsable del manejo de una familia de productos con cientos de ítems con un costo agregado anual de compra de $C y un costo anual variable agregado debido al costo de mantenimiento y ordenamiento del inventario de $V. Los supuestos básicos del EOQ son válidos y se está utilizando el EOQ para definir las cantidades a comprar. Recientemente, el proveedor de los ítems hizo la propuesta al analista de doblar las cantidades actuales de pedido, ofreciendo un descuento sobre todas las unidades, de tal forma que todos los ítems dentro de la familia tendrían el mismo porcentaje de descuento, el cual es sujeto a futuras negociaciones. Estudie este problema y ayude al analista a tomar la decisión proveyéndolo de una herramienta cuantitativa con relación al descuento mínimo que debería obtener para aprobar la propuesta. 15. Considere de nuevo el Ejemplo 5.4. Suponga que existen ahora diferencias entre los costos variables de producción en cada mes, debido a disponibilidad de materias primas y a otros factores. La información ahora se resume en la tabla siguiente: MES 1 2 Demanda 35 165 Costo de Producción 1.0 1.0 [$/unidad]

3 40

4 5 6 335 400 325

7 230

8 9 10 141 330 395

11 600

12 124

1.1

1.3 1.3

1.7

1.4

1.0

1.0

1.3

1.3

1.2

TOTAL 3,120

Encuentre la solución óptima de este problema mediante un modelo de programación lineal entera-mixta. (Sugerencia: Modifique el modelo desarrollado en la sección 5.5.5) 16. Formule y resuelva un modelo de programación entera-mixta similar al desarrollado en la Sección 5.5.5, con la siguiente condición adicional. Debido a un problema de presupuesto, en ninguno de los meses se puede pedir una cantidad superior a 600 unidades. Note de la solución óptima mostrada en la Tabla 5.7 que los pedidos de los meses 5 y 11 no cumplen con esta condición y, por lo tanto, esta solución no sería factible y por ende no es la óptima. ¿En qué porcentaje se incrementa el CTR óptimo bajo esta nueva condición? 17. Considere de nuevo el modelo matemático desarrollado en la Sección 5.5.5. Se pide generalizar el modelo para n ítems, de acuerdo con lo expresado en los literales siguientes. a) Suponga que existe solamente un costo de ordenamiento para cada ítem k, ak. Se incurre en este costo en cada período donde se ordene el ítem k. ¿Qué característica especial tiene este problema? b) Considere ahora que, adicionalmente al costo de ordenamiento individual ak, existe un costo de ordenamiento conjunto A0 en el que se incurre en cada período si se ordena cualquiera de los n ítems en dicho período. ¿Por qué este problema es más complejo que el correspondiente al literal (a)?


200

c) ¿Considera usted que el modelo matemático correspondiente al literal (b) adicionado con restricciones de capacidad de compra o producción de los n ítems en cada período sería un modelo útil en la práctica? Discuta acerca de la posibilidad de resolver este modelo cuando el número de ítems aumenta.

5.6

INTRODUCCIÓN A LA DEMANDA PROBABILÍSTICA

En las secciones anteriores se trató el caso de la demanda determinística. Se analizó también en cierta forma la sensibilidad de los costos totales relevantes con respecto a posibles cambios en algunos parámetros y variables, demostrándose que los sistemas analizados no son significativamente sensibles a dichos cambios. Sin embargo, dentro del costo total relevante se ignoró un elemento que es significativo en la administración de sistemas reales de inventarios. Este elemento es el costo de faltantes de inventario o stockout, como comúnmente se le conoce en inglés. A partir de esta sección se analizan los sistemas de control de inventarios cuando la demanda es probabilística. Se concentra la atención en aquellos casos en los cuales la demanda promedio permanece aproximadamente constante a lo largo del tiempo, aunque ya se demostró en el Capítulo 4 que un sistema de pronósticos bien diseñado puede cambiar dinámicamente los parámetros que fluctúen a lo largo del tiempo. Un concepto clave que se retoma en este capítulo es el de Inventario de Seguridad (Safety Stock), el cual protege contra las posibles fluctuaciones de la demanda y de los tiempos de reposición. Además, se definirá el concepto de servicio al cliente y diversas formas de tratar los costos de faltante de inventario, los cuales han demostrado ser muy difíciles de estimar. En estas secciones vamos a utilizar una notación semejante a la utilizada por Silver et al. (1998) por considerarse de uso muy frecuente a nivel local e internacional y porque la mayoría de los parámetros y de las variables coinciden con sus correspondientes nombres en español.

5.7 5.7.1

DEFINICIONES BÁSICAS Definiciones acerca del nivel de inventario

Es necesario definir claramente algunos conceptos sobre el inventario. Es tan importante el inventario físico visible en las estanterías de la bodega o del almacén, al cual llamaremos inventario a la mano, como el inventario efectivo o posición del inventario (Inventory position), el cual puede considerarse como un inventario virtual y se define como: Inventario efectivo =

Inventario a la mano + (Pedidos pendientes por llegar de los proveedores o del sistema de producción propio) – (Requisiciones pendientes de entregar o comprometidas con los clientes)


201

El inventario efectivo es un concepto fundamental para el control de inventarios, ya que es con base en él que se deben tomar las decisiones de control, tales como cuándo y cuánto pedir. Denominaremos inventario neto a la diferencia entre el inventario a la mano y las requisiciones pendientes con los clientes. Por otra parte, el inventario de seguridad es el inventario neto promedio justo antes de que llegue un pedido. Un valor positivo del inventario de seguridad permite tener unidades en inventario para responder a demandas mayores que la demanda promedio durante el tiempo efectivo que tarda en llegar un pedido, o sea durante el tiempo de reposición. El inventario de seguridad depende de las fluctuaciones de la demanda durante el tiempo de reposición, o equivalentemente, de la desviación estándar de los errores del pronóstico de la demanda total sobre el tiempo de reposición. Intuitivamente, esto se explica porque si los pronósticos fueran absolutamente seguros, entonces no habría razón para tener inventarios de seguridad, así se tuviera demanda determinística variable con el tiempo como la tratada anteriormente. 5.7.2

Órdenes pendientes o ventas perdidas

Cuando ocurre una ruptura de inventario, existen dos posibilidades extremas con respecto a lo demandado por el cliente. Primero, el cliente puede aceptar que su orden completa sea clasificada como requisición pendiente (backorder), y esperar a que sea satisfecha. Segundo, el cliente puede cancelar la orden completa y la venta total se perdería. Ambas situaciones ocasionan costos adicionales para la organización, ya que en el primer caso se incurre en gastos adicionales para cumplir con la orden urgentemente y en el segundo caso se deja de percibir la utilidad neta de la venta perdida mas otros costos intangibles como pérdida de imagen e incluso pérdida de clientes. En la práctica es más común encontrar situaciones intermedias entre los dos extremos descritos, como por ejemplo la cancelación parcial de una orden por parte del cliente. Todos los métodos desarrollados para la administración de inventarios tienen en cuenta los costos de uno u otro extremo, pero no tratan estas situaciones, debido principalmente a que la estimación de los costos de faltantes de inventario para dichos casos se torna muy difícil. Afortunadamente, si se trabaja a niveles de servicio muy altos para el cliente, la ocurrencia de faltantes de inventario no es muy común y, por lo tanto, el sistema no es muy sensible a cambios en estos costos. De hecho, en las cadenas de abastecimiento actuales es imprescindible tener niveles de servicio muy altos. 5.7.3

Preguntas básicas para el control de inventarios

Como se explicó en la Sección 3.5, hay tres preguntas claves a responder en cualquier sistema de control de inventarios:  ¿Con qué frecuencia debe revisarse el nivel de inventario?  ¿Cuándo debe ordenarse?


202

 ¿Qué cantidad debe ordenarse en cada pedido? Para el caso de demanda determinística, la primera pregunta es trivial porque si se conoce el nivel de inventario en cualquier instante, se puede determinar dicho nivel en cualquier otro instante dentro del horizonte de planeación. Recuérdese que la segunda pregunta se respondió igualmente ordenando justamente cuando el nivel de inventario es cero y, finalmente, la última pregunta fue el motivo del desarrollo de todos los métodos de las secciones anteriores, al calcular el tamaño óptimo de pedido para las diferentes situaciones. Para el caso de la demanda probabilística, estas tres preguntas son mucho más difíciles de responder. La respuesta a la primera pregunta implica altos costos de revisión frecuente del nivel de inventario, comparados con los costos de mantener inventario de seguridad para responder a la demanda durante el tiempo de reposición. Para responder la segunda pregunta debe tenerse en cuenta el equilibrio entre los costos de mantenimiento de inventario al ordenar anticipadamente y el nivel de servicio que se quiere dar al cliente. Finalmente, la respuesta a la tercera pregunta tiene en cuenta de nuevo el costo total relevante y, para algunos casos, está muy relacionada con la segunda pregunta.

5.8

FORMAS DE REVISIÓN DEL NIVEL DE INVENTARIO

La primera pregunta anterior relacionada con la frecuencia de revisión del inventario efectivo se enmarca dentro de dos sistemas básicos: La revisión continua y la revisión periódica. Lo que trata de determinarse es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos revisiones sucesivas del nivel de inventario efectivo. La Tabla 5.9 compara los dos métodos en forma general. Tabla 5.9. Comparación entre los sistemas de revisión continua y los de revisión periódica REVISIÓN CONTINUA

REVISIÓN PERIÓDICA

 Es muy difícil en la práctica coordinar diversos ítems en forma simultánea.

 Permite coordinar diversos ítems en forma simultánea, lográndose así economías de escala significativas, por ejemplo cuando se le compran al mismo proveedor.

 La carga laboral es poco predecible, ya que no se sabe exactamente el instante en que debe ordenarse.

 Se puede predecir la carga laboral con anticipación a la realización de un pedido, ya que se sabe cuándo va a ocurrir.

 La revisión es más costosa que en el sistema periódico, especialmente para ítems de alto movimiento.

 La revisión es menos costosa que en la revisión continua, ya que en general es menos frecuente.

 Para ítems de bajo movimiento, el costo de revisión es muy bajo, pero el riesgo de información sobre pérdidas y daños es mayor.

 Para ítems de bajo movimiento, el costo de revisión es muy alto, pero existe menos riesgo de falta de información sobre pérdidas y daños.

 Asumiendo un mismo nivel de servicio al cliente, este sistema requiere un menor inventario de seguridad que el sistema de revisión periódica (Protección sobre L).

 Asumiendo un mismo nivel de servicio al cliente, este sistema requiere un mayor inventario de seguridad que el sistema de revisión continua (Protección sobre R + L).


203

En la revisión continua, como su nombre lo indica, teóricamente se revisa el nivel de inventario en todo momento. Sin embargo, obviamente, esto no es posible en la práctica. Lo que se hace entonces es revisar el inventario cada vez que ocurre una transacción (despacho, recepción, demanda, etc.) y por ello también se le conoce como ‗sistema de reporte de transacciones‘. En un sistema de revisión continua es difícil coordinar en general las actividades de control y el control de varios ítems simultáneamente, pero este sistema necesita un menor inventario de seguridad que el sistema periódico, ya que la protección sólo debe hacerse sobre el tiempo de reposición L. En los sistemas de revisión periódica, el nivel del inventario se consulta cada R unidades de tiempo. Obviamente, si R  0, este sistema se convierte en uno de revisión continua. En general, este sistema permite coordinar las actividades y el control de ítems en forma simultánea, pero requiere de un mayor inventario de seguridad que el sistema continuo, ya que la protección debe garantizarse para un intervalo de tiempo igual al tiempo de reposición + el intervalo de revisión (R + L).

5.9

TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Existen diversos tipos de sistemas probabilísticos de control de inventarios. Los cuatro más comunes se describen a continuación. La notación básica que se utiliza aquí es la siguiente: s

=

Punto de reorden o de pedido, o sea el nivel de inventario efectivo para el cual debe emitirse una nueva orden.

Q

=

Cantidad a ordenar en cada pedido.

R

=

Intervalo de revisión del nivel de inventario efectivo.

S

=

Nivel máximo de inventario efectivo hasta el cual debe ordenarse.

5.9.1

Sistema continuo (s, Q)

En este sistema, cada vez que el inventario efectivo es igual o menor al punto de reorden s, se ordena una cantidad fija Q. Se denomina también el ―sistema de los dos cajones‖ (two-bin system), ya que se puede implementar físicamente teniendo dos cajones para el almacenamiento de un ítem. La demanda se satisface normalmente del primer cajón, hasta que se agota. Tan pronto sea necesario abrir el segundo cajón, el cual contiene tantas unidades como el punto de reorden s lo indique, se emite una orden por la cantidad fija Q establecida. Cuando llega la orden, el segundo cajón se llena de nuevo con las unidades equivalentes al punto de reorden s, y el resto de deposita en el primer cajón, iniciándose otro ciclo. Nótese que este sistema funciona adecuadamente siempre y cuando no exista más de un pedido de reposición pendiente en cualquier instante de tiempo. Obviamente, el sistema puede utilizarse ajustando la cantidad a pedir, Q, hasta que ésta sea considerablemente mayor que la demanda promedio durante el tiempo de reposición.


204

Las ventajas de este sistema son las siguientes:  Es muy fácil de comprender, especialmente en la forma de ‗dos cajones‘ descrita anteriormente.  La cantidad fija a ordenar Q minimiza posibles errores en el pedido y facilita la administración de los mismos. Su principal desventaja ocurre cuando algunas transacciones individuales son de considerable magnitud. Así, es posible que la cantidad a ordenar Q no incremente el inventario efectivo por encima del punto de reorden s y, así, un segundo pedido o más sean necesarios. En estos casos, sin embargo, se pueden ordenar cantidades múltiplos enteros de Q hasta que el nivel de inventario efectivo sea superior al punto de reorden s. La utilización del concepto de inventario efectivo es clave para el correcto funcionamiento de este sistema de control. 5.9.2

Sistema continuo (s, S)

En este sistema de control continuo, cada vez que el inventario efectivo cae al punto de reorden s o por debajo de él, se ordena una cantidad tal que se incremente el inventario efectivo hasta el nivel de inventario máximo S. La cantidad a ordenar depende del inventario efectivo y del nivel máximo, y, por lo tanto, puede variar entre un período y otro. Si las transacciones de demanda son siempre unitarias, entonces este método de control es exactamente igual al anterior, ya que apenas el nivel de inventario efectivo sea igual a s, entonces se ordena una cantidad constante Q = S – s. Sin embargo, en la práctica la demanda no ocurre necesariamente a niveles unitarios, y, por lo tanto, las cantidades a ordenar pueden ser variables. Este sistema se denomina usualmente un sistema min-max, ya que normalmente el nivel de inventario efectivo permanece entre un valor máximo S y un valor mínimo s, excepto por una caída de inventario temporal bajo el punto de reorden s cuando la demanda no ocurre en forma unitaria. Se puede demostrar que el mejor sistema de control (s, S) tiene costos totales de pedido, mantenimiento de inventario y faltante de inventario menores o iguales que aquéllos del mejor sistema (s, Q). Sin embargo, el esfuerzo computacional para encontrar el mejor sistema (s, S) no justifica su aplicación para ítems clase B, e incluso para no todos los ítems clase A. Por ser muy fácil de comprender y lógico intuitivamente, este método se encuentra a menudo en la práctica, pero los parámetros de control se fijan usualmente de forma arbitraria. Una desventaja potencial del sistema (s, S) es su susceptibilidad de errores debido a que los tamaños de orden son variables. 5.9.3.

Sistema periódico (R, S)

Este sistema se conoce también como el sistema del ciclo de reposición y se encuentra a menudo en organizaciones que no utilizan control sistematizado de los inventarios. Aquí, cada R unidades de tiempo se revisa el inventario efectivo, y se ordena una cantidad tal que este inventario suba al valor máximo S.


205

La principal ventaja de este método es la de permitir el control coordinado de diversos ítems relacionados entre sí, bien sea por ser proporcionados por el mismo proveedor, por compartir un mismo sistema de transporte, por ser producidos en la misma línea de manufactura, o por cualquier otra razón que permita obtener economías de escala en la adquisición o producción del pedido. Igualmente, el nivel máximo de inventario S puede ser ajustado fácilmente si el patrón de demanda tiende a cambiar con el tiempo. Su principal desventaja es que para un mismo nivel de servicio al cliente, este sistema presenta costos de mantenimiento del inventario mayores que aquéllos de los sistemas continuos, ya que el nivel de inventario de seguridad requerido es mayor. Esto se da porque entre un período de revisión y otro, no se tiene información acerca del inventario efectivo, pudiendo caer éste a niveles indeseables si no se tiene el inventario de seguridad adecuado y, por lo tanto, éste debe cubrir fluctuaciones de demanda para un tiempo igual al período de revisión R más el tiempo de reposición L (R + L). 5.9.4

Sistema (R, s, S)

Este es una combinación de los sistemas (s, S) y (R, S) y podría considerarse como un sistema híbrido. Consiste en que cada R unidades de tiempo, se revisa el inventario efectivo. Si éste es menor o igual que el punto de reorden s, entonces se emite un pedido por una cantidad tal que el inventario efectivo se recupere hasta un nivel máximo S. Si el nivel de inventario efectivo es mayor que s, no se ordena cantidad alguna hasta la próxima revisión que tendrá lugar en R unidades de tiempo. Nótese que el sistema (s, S) es un caso particular de este sistema, cuando R = 0. Análogamente, el sistema (R, S) es un caso especial de este sistema cuando s = S – 1. Se ha demostrado en varios estudios que el mejor sistema (R, s, S), bajo algunos supuestos generales con respecto del patrón de demanda y de los costos involucrados, produce un costo total relevante (ordenamiento + mantenimiento + faltante de inventario) menor que el mejor de cualquiera de los otros sistemas descritos. Sin embargo, el cálculo de los parámetros óptimos de control puede ser prohibitivo para los ítems clase B. Adicionalmente, este método es más difícil de comprender y aplicar, lo que lo hace más susceptible de errores humanos.

5.10 CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE INVENTARIOS DE SEGURIDAD PARA ÍTEMS INDIVIDUALES En la Sección 4.9 se introdujo el tema del cálculo de inventarios de seguridad; aquí se precisan los principales conceptos y se amplía el análisis. Dada la variabilidad de la demanda y de los tiempos de reposición, es imposible garantizar que todos los pedidos sean satisfechos con el inventario a la mano. Si, por ejemplo, la demanda es inusualmente alta, deben darse acciones de emergencia para satisfacerla. Si por el contrario la demanda resulta ser muy baja, se puede entonces presentar un exceso de inventario. El arte del control de inventarios consiste en balancear estos dos extremos de tal forma que se tenga el nivel de servicio adecuado al cliente, con el mínimo costo total posible. Dentro de este control, la determinación de los inventarios de seguridad es precisamente un punto fundamental. A continuación se exponen algunos métodos para este efecto.

206


5.10.1 Inventario de seguridad basado en factores constantes Este método involucra la utilización de un factor constante de tiempo para determinar el inventario de seguridad de todos los ítems. Por ejemplo, se puede decir que se va a tener siempre al menos ‗dos semanas de inventario de seguridad‘. También, se puede definir con base en un factor constante multiplicado por la demanda promedio del ítem bajo consideración. Este método tiene una grave falla conceptual al ignorar la variabilidad de la demanda del ítem respectivo. Wild (1997, p. 91), por ejemplo, indica claramente que ―Basar la variabilidad (y el inventario de seguridad) en un cálculo de cubrimiento del inventario (refiriéndose a cuando se habla de inventario en términos de tiempo con base en la demanda promedio) es una metodología común pero incorrecta. Este método produce el balance de inventario completamente errado.‖ Así, esta política puede ser adecuada para ciertos ítems, pero totalmente insatisfactoria para otros, bien sea por exceso o por escasez de inventario. En la Figura 5.9 se ilustra un ítem cuya demanda promedio es de 100 unidades/semana y su tiempo de reposición L = 1 semana. Se ha decidido definir el inventario de seguridad como ‗Una semana de inventario‘, o sea igual a 100 unidades (o, en otras palabras, igual a ‗una vez la demanda promedio‘). Por lo tanto, una vez se ordene un pedido, se tendrá un inventario igual a s = 100 unidades (promedio) + 100 unidades (inventario de seguridad) = 200 unidades para responder a la demanda de la semana siguiente, tiempo en el cual llegará el pedido solicitado. Todo parece estar bien, ya que se tiene ‗el doble del promedio‘ de la demanda en dicha semana. Sin embargo, al hacer esto, se ha ignorado por completo la variabilidad de la demanda, o sea la distribución probabilística de la demanda sobre el tiempo de reposición. Curva 2

Inventario de Seguridad = 100 unidades

Curva 1

Riesgo de Agotados (Curva 1) Curva 3

Riesgo de Agotados (Curva 3)

Demanda Promedio = 100 unid./sem

s = 200 unidades L = 1 semana

Figura 5.9. El error conceptual de definir el inventario de seguridad sólo con base en la demanda promedio o a través de un cierto cubrimiento expresado en tiempo


207

La Figura 5.9 muestra tres posibles distribuciones de la demanda durante el tiempo de reposición. Obsérvese que si la distribución de la demanda del ítem sobre el tiempo de reposición estuviera representada por la curva 1, entonces el riesgo de tener agotados, definido como la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de reposición sea mayor que s, estaría dentro de los límites normales (probablemente entre un 2% y un 5% de acuerdo con la figura). Sin embargo, si la distribución representativa fuera la curva 2, la probabilidad de tener agotados sería prácticamente igual a cero (el área de riesgo no alcanza a notarse en la figura) y se estaría incurriendo en un exceso innecesario de inventario de seguridad. Finalmente, si la distribución estuviera representada por la curva 3, el riesgo de tener agotados sobre el tiempo de reposición sería muy alto y se generarían frecuentes agotados del ítem. El problema radica en que quien define el inventario de seguridad de esta forma ignora por completo la variabilidad de la demanda del ítem y solo en algunas ocasiones ocurrirá la casualidad de ‗caer‘ en la curva 2! Lo que puede entonces hacerse es balancear los inventarios de seguridad de tal forma que el dinero invertido en excesos de inventarios de ítems con poca variabilidad pueda invertirse en inventarios de seguridad de ítems de alta variabilidad. Así se logra aumentar los niveles de servicio sin invertir un peso adicional en inventarios o incluso disminuyendo costos, como se verá en el Capítulo 6. Se sugiere al lector revisar la Sección 4.9 antes de continuar adelante. Recuérdese que el cálculo del inventario de seguridad basado en la desviación estándar de los errores del pronóstico se puede calcular así:

Inventario de Seguridad IS  kˆ L  kˆ1 L [Sistema continuo ( s, Q)] (5.14)

Inventario de Seguridad IS  kˆ R  L  kˆ1 R  L [Sistema periódico ( R, S )] Aquí es muy importante el papel que juega el sistema de pronósticos para estimar la desviación estándar de los errores del pronóstico σ1 basada en un período básico del pronóstico. Se sugiere revisar el Ejemplo 4.7 del Capítulo 4. Posteriormente, se aplicarán las Ec. (5.14) para ilustrar los cálculos necesarios para implementar los sistemas de control de inventarios continuo y periódico. 5.10.2 Inventario de seguridad basado en el servicio al cliente Las definiciones más comunes utilizadas para establecer inventarios de seguridad con respecto del nivel de servicio al cliente son las que se describen a continuación. Esta forma de definir los inventarios de seguridad es la de más fácil aplicación en la práctica. Probabilidad especificada (P1) de no tener un faltante por cada ciclo de reposición Esta definición es equivalente a la fracción de ciclos en los cuales no ocurren faltantes. El faltante de inventario ocurre cuando el inventario a la mano se reduce a cero. Como se expondrá más adelante, la especificación de un factor común P1 para diversos ítems es equivalente al uso de un factor de seguridad k común para ellos. Este nivel de servicio (o su complemento = 1 – P1 = nivel de riesgo) es precisamente el que se representa en la Figura 5.9.


208

Fracción o proporción especificada (P2) de la demanda a ser satisfecha rutinariamente del inventario a la mano (o sea cuando no se pierde la venta o no se satisface mediante una requisición pendiente) Esta es una de las definiciones de servicio al cliente que más se utiliza en la práctica, y se le conoce comúnmente como ‗fill rate‘. Algunos autores traducen este término como ‗tasa de llenado‘ o ‗tasa de surtido‘. Sin embargo, este término no se considera muy adecuado y no se utilizará en este texto. Por ello nos vamos a referir a él como nivel de servicio P2 o como fill rate simplemente. Esta forma de definir inventarios de seguridad se profundizará en la Sección 5.11.3. Se presentan a continuación los dos sistemas de control más conocidos, como son el continuo (s, Q) y el periódico (R, S). Para cada uno de ellos se definirá el inventario de seguridad con base en P1 y P2.

5.11 EL SISTEMA DE CONTROL CONTINUO (s, Q)

Nivel de inventario

Inventario neto Inventario efectivo

Q

Q Q

s Punto de reorden o de pedido

Q L2

L1

Tiempo Faltante de inventario

Figura 5.10. El sistema de control de inventario (s, Q) Recuérdese que en este sistema de revisión continua, tan pronto el inventario efectivo llega al nivel de reorden s, se emite un pedido por la cantidad Q. Gráficamente, la Figura 5.10 representa el proceso del nivel de inventario con respecto del tiempo. La cantidad de pedido Q se considera fija y determinada con anterioridad, con base en uno de los métodos expuestos en el capítulo anterior, por ejemplo con base en el EOQ utilizando la demanda promedio. Aunque en la figura se muestran diferentes tiempos de reposición (L1 y L2), en este sistema de


209

control se asume inicialmente que el tiempo de reposición es constante, conocido e igual a L. Se representa de esta forma sólo por mostrar el caso más general cuando el tiempo de reposición puede ser en sí una variable aleatoria, lo cual será estudiado más adelante. Nótese que en este sistema lo deseable es emitir un pedido cuando el inventario es aún adecuado para evitar un faltante durante el tiempo de reposición L. Si, por ejemplo, el pedido se hace cuando el nivel de inventario efectivo es exactamente igual al punto de reorden s, entonces no ocurrirá un faltante si y solo si la demanda durante el tiempo de reposición es menor o igual que el punto de reorden s. En la Figura 5.10 se ha supuesto que máximo un pedido de reposición esté pendiente en todo momento. Sin embargo, es posible que dos o más pedidos estén pendientes en un momento dado. Cada orden se emite cuando el inventario efectivo sea menor o igual que el punto de reorden s. El nivel de inventario neto no influye en la decisión de ordenar un pedido, pero es posible que un bajo nivel de inventario neto genere acciones de emergencia para acelerar uno o varios pedidos pendientes, de tal forma que se pueda evitar un faltante inminente. No necesariamente el nivel de inventario efectivo inmediatamente antes de efectuar un pedido tiene que ser igual a s. Debido al carácter discreto de las transacciones, es probable que una transacción de demanda haga bajar el nivel de inventario por debajo del punto de reposición s, momento en el cual se revisa su nivel. Supóngase que el nivel de inventario baja u unidades por debajo de s. Por lo tanto, no ocurrirá un faltante si y solo si (u + la demanda durante el tiempo de reposición) es menor o igual que s, o, equivalentemente, si la demanda durante el tiempo de reposición es menor que s – u. Para efectos del desarrollo de las secciones siguientes, se asumirá que la magnitud de u es muy pequeña, de tal forma que puede ser ignorada. Esto es equivalente a decir que el patrón de demanda del ítem no es demasiado errático. 5.11.1 Supuestos básicos y notación Los siguientes supuestos deben tenerse en cuenta en esta sección, independientemente del criterio utilizado para medir el nivel de servicio e independientemente de la distribución probabilística de la demanda durante el tiempo de reposición (o del error de los pronósticos):  Se asume que la demanda promedio varía muy poco con el tiempo, o sea que es estacionaria. Si este no es el caso, los parámetros de los métodos de control aquí descritos pueden redefinirse periódicamente y adaptarse a la nueva situación, tal como se ilustró en el Capítulo 4 con los sistemas de pronósticos, mediante, por ejemplo, la aplicación de los errores suavizados.  Los pedidos se realizan cuando el nivel de inventario efectivo es exactamente igual al punto de reorden s. Esto es equivalente a decir que la demanda ocurre en incrementos unitarios, o que la magnitud de la variable u descrita anteriormente es despreciable. En otras palabras, la demanda no es errática.  Si hay dos o más pedidos pendientes en el mismo instante de tiempo, éstos se reciben en la misma secuencia en la que fueron ordenados. El caso especial del tiempo de reposición L constante satisface este requerimiento.


210

 Los costos unitarios de faltante de inventario son tan altos que en un procedimiento práctico el nivel promedio de órdenes pendientes (para el cliente) es muy pequeño comparado con el nivel promedio del inventario a la mano. Esto es equivalente a decir que estos sistemas son adecuados para niveles de servicio altos, lo que es precisamente deseable en la práctica en las cadenas de abastecimiento actuales.  Los errores de pronóstico tienen una distribución normal sin sesgo, con una desviación estándar L sobre un tiempo de reposición igual a L. Obviamente, la desviación estándar L no se conoce con certeza, y por lo tanto, se utiliza su valor estimado σˆ L ,el cual es proporcionado por el sistema de pronósticos mediante la conocida expresión σˆ L  σˆ1 L . Se ha demostrado empíricamente y con modelos de simulación que el uso del valor estimado produce buenos resultados en la mayoría de los casos prácticos.  Se asume que el tamaño del pedido Q ha sido predeterminado y es independiente del punto de reorden s. Esto ha demostrado ser muy útil en la práctica, especialmente para el caso de los ítems clase B. Una forma de determinarlo es utilizar el EOQ. Esto significa que la única variable a determinar es el punto de reorden s. Aunque no se presenta en este texto, es importante mencionar que el tamaño de pedido Q también se puede considerar como una variable de decisión y se puede determinar su valor óptimo, especialmente para los ítems clase A [Ver Vidal (2009), Capítulo 7]. Notación D

=

Rata de demanda, en unidades/año.

Gz(k)

=

Función especial de la distribución normal unitaria N(0, 1).

=

Gz (k )   ( z  k )



k

1 z2 / 2 e dz 2

(5.15)

k

=

Factor de seguridad.

L

=

Tiempo de reposición.

pz(k)

=

Probabilidad de que la normal unitaria z ~ N(0, 1) tome un valor mayor o igual que k.

=

pz ( k )  



k

1 z2 / 2 e dz 2

Q

=

Tamaño del pedido, en unidades.

r

=

Tasa del costo de mantenimiento del inventario, en %/año.

s

=

Punto de reorden, en unidades.

IS

=

Inventario de seguridad, en unidades.


211

v

=

Valor unitario del ítem, en $/unidad.

xˆ L

=

Estimación de la demanda esperada sobre el tiempo de reposición L, en unidades.

ˆ L

=

Estimación de la desviación estándar de los errores de los pronósticos sobre el tiempo de reposición L, en unidades.

5.11.2 Metodología general para determinar el punto de reorden s La forma más comúnmente utilizada para determinar el punto de reorden s es mediante la ecuación:

s  xˆL  IS  xˆL  kˆ L  xˆL  kˆ1 L

(5.16)

donde el inventario de seguridad IS se define de acuerdo con la Ec. (5.14). La Figura 5.11 ilustra la metodología general para establecer el punto de reorden s.

Especificación del valor mínimo de k aceptable

Características principales relativas al ítem: (Q, A, v, r, etc.) SISTEMA DE PRONÓSTICOS: ˆ1  ECM , ó

Regla de decisión para determinar el factor de seguridad k

ˆ1  1.2533 * MAD dˆ  Pr onóstico Desviación estándar, ˆ L  ˆ1 L

s  xˆL  kˆ L

Pronóstico de demanda,

Ajuste manual del punto de reorden s

xˆL  dˆL

Sistema de información y de administración de la organización

Figura 5.11. Metodología general para determinar el punto de reorden s [Fuente: Complementada de Silver et al. (1998), p. 256]

En la figura se ilustran los cuatro componentes fundamentales que deben conjugarse para un correcto diseño de un sistema de control de inventarios, los cuales son: El sistema de


212

pronósticos, el sistema de control propiamente dicho, el sistema que administra y coordina los dos anteriores y el sistema de información que tenga la organización. Este último es muy importante para que un sistema de pronósticos y de control de inventarios funcione adecuadamente en la práctica. Por ejemplo, en un sistema real de una organización que maneja alrededor de 8,000 ítems en cerca de 100 puntos de venta y un centro de distribución, es clave el registro y grabación diario de las ventas por ítem por punto de venta para alimentar el sistema de pronósticos y luego el de control. Sin un adecuado sistema de información y una correcta administración del sistema, esta tarea sería imposible. Muchas veces en la práctica se desconoce la estrecha relación que existe entre estos cuatro sistemas. Algunos trabajos recientes mencionan la necesidad de incluir en la relación entre el sistema de pronósticos y el sistema de control del inventario aspectos adicionales a las medidas tradicionales del error del pronóstico [Tiacci y Saetta (2008)]. Los autores sugieren hacer una evaluación sobre la base de costos totales y nivel de servicio del sistema global de control de inventarios en la cadena de abastecimiento. Otro artículo que trata sobre la relación entre el método de Croston para demandas intermitentes y un sistema de control de inventarios es el de Teunter y Sani (2008). En este trabajo se derivan ecuaciones para calcular el valor esperado y la varianza de la demanda durante el tiempo de reposición, incluyendo las caídas por debajo del punto de reorden y las covarianzas de los errores del pronóstico. Supóngase que la función de probabilidad de la demanda x durante el tiempo de reposición es f(x). De acuerdo con varios autores, las siguientes expresiones son válidas para cualquier distribución probabilística de la demanda durante el tiempo de reposición: (a)

Inventario de seguridad IS = E(inventario neto inmediatamente antes de llegar un pedido) =





0

( s  x) f ( x)dx , donde el símbolo E representa el valor esperado de la

variable aleatoria bajo consideración. (b)

Probabilidad de que ocurra un faltante durante el tiempo de reposición: 

Pr{x  s}   f ( x)dx

(5.17)

s

(c)

Número esperado de unidades del faltante en cada ciclo de reposición: 

EUFCR   ( x  s) f ( x)dx

(5.18)

s

(d)

Inventario neto (o a la mano) promedio: I

(e)

Q Q  IS   kˆ L 2 2

Valor esperado del número de reposiciones por año =

(5.19) D/Q

(5.20)

Se enfatiza que las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier distribución probabilística de la demanda durante el tiempo de reposición (o de los errores de los


213

pronósticos). A continuación se presentan las reglas de decisión del sistema (s, Q), asumiendo que dicha distribución es normal con media x L y desviación estándar L. 5.11.3 Regla de decisión para un nivel de servicio P2 especificado Se presenta esta regla inicialmente, debido a su fácil interpretación y a su uso frecuente en la práctica. Primero, se deduce la expresión para el número esperado de unidades faltantes por cada ciclo de reposición, EUFCR. De acuerdo con la Ec. (5.18): 

EUFCR   ( x  s) f ( x)dx s

Como la distribución de la demanda se asume normal con media x L y desviación estándar L, se tiene que:

f ( x) 

1

L

 1 x  xL 2  exp   2 2  2 L 

Así,

EUFCR  



x L  k L

( x  xL  k L )

1

L

 1 x  xL 2  exp   dx 2 2  2 L  

Para transformar esta integral se necesita hacer el siguiente cambio de variable:

z

x  xL L

lo que implica:

dz 1  dx  L y así la integral se transforma a: 

EUFCR   L  ( z  k ) k

1 -z 2 / 2 e dz, 2

o, equivalentemente, de acuerdo con la Ec. (5.15):

EUFCR   LGz (k )

(5.21)

214


La deducción de la regla varía si se supone que los faltantes se convierten en completamente en órdenes pendientes, o si se supone que aquéllos se convierten totalmente en ventas perdidas. Faltantes convertidos totalmente en órdenes pendientes En este caso la fracción de la demanda que se convierte en órdenes pendientes es:

EUFCR EUFCR  Valor esperado de la demanda en cada ciclo Q

(5.22)

Por lo tanto, la fracción de la demanda satisfecha directamente del inventario a la mano es:

P2  1 

EUFCR  G (k ) 1 L z Q Q

(5.23)

Equivalentemente, debe escogerse el factor de seguridad k de tal forma que:

Gz (k ) 

Q

L

1  P2 

(5.24)

De acuerdo con Silver et al. (1998, pp. 268 y 292), la Ec. (5.24) subestima el verdadero fill rate cuando Q /  L  1 porque ella cuenta en forma doble los pedidos pendientes de un ciclo previo que no son satisfechos al comienzo del ciclo siguiente. De acuerdo con los autores, una ecuación más precisa es tomar Gz (k )  Gz (k  Q /  L )  (Q /  L )  1  P2  . Sin embargo, para efectos prácticos, la Ec. (5.24) es suficiente. Faltantes convertidos totalmente en ventas perdidas Lo único que cambia bajo este supuesto es el valor esperado de la demanda en cada ciclo. Como se asume que las demandas en exceso se pierden, este valor esperado viene dado por: Valor esperado de la demanda en cada ciclo = Q + EUFCR, Con lo cual se concluye que el factor de seguridad k debe escogerse de tal forma que: Gz (k ) 

Q  1  P2     L  P2 

(5.25)

La diferencia entre las Ec. (5.24) y (5.25) es mínima, ya que se tiene el supuesto de altos niveles de servicio, con lo cual P2  1 . Así, la regla de decisión se implementa en dos pasos:


215

Paso 1: Seleccione el factor de seguridad k de la siguiente forma (teniendo en cuenta que sea por lo menos igual al mínimo establecido por la administración):  Utilizando la Ec. (5.24) si todos los faltantes se transforman en órdenes pendientes.  Utilizando la Ec. (5.25) si todos los faltantes se convierten en ventas perdidas. Paso 2: Calcule el punto de reorden s utilizando la Ec. (5.16). 5.11.4 Regla de decisión para una fracción especificada P1 de no-ocurrencia de faltantes por ciclo de reposición La regla de decisión en este caso es muy sencilla y consiste en los siguientes pasos: Paso 1: Seleccione el factor de seguridad k de tal forma que (teniendo en cuenta que sea por lo menos igual al mínimo establecido por la administración):

pz (k )  1  P1

(5.26)

Paso 2: Calcule el punto de reorden s utilizando la Ec. (5.16). Ecuaciones para calcular el Costo Total Relevante (CTR) Como se ha expresado en los capítulos anteriores, el costo total relevante es importante para comparar diferentes políticas de control de inventarios. En este capítulo se le adiciona el componente del costo de faltantes [recordar la Ec. (4.4) del Capítulo 4]. Por consiguiente, el CTR se puede escribir de la siguiente manera: Costo Total Relevante (CTR) = Costo anual de ordenamiento + Costo anual de mantenimiento del inventario basado en el inventario promedio + Costo anual de los faltantes El costo anual de ordenamiento viene dado por la ya conocida ecuación AD/Q. En el caso de demanda probabilística, el costo anual de mantenimiento del inventario contiene el inventario cíclico promedio Q/2 y el inventario de seguridad kˆ L , cuya suma constituye el inventario promedio, y puede expresarse como:

Costo de mantenimiento del inventario  Ivr  Q / 2  kˆ L vr

(5.27)

216


El costo anual de faltantes varía dependiendo de la definición que se haga del costo de faltantes (ver Sección 3.7.1). Aquí se utilizarán dos expresiones para el costo total relevante, dependiendo del costo de faltantes que se conozca con mayor certeza y/o de la aplicación específica:

CTR1 

CTR2 

AD  Q D     kˆ L vr  B1 pz (k ) Q 2 Q 

AD  Q D     kˆ L vr  B2v ˆ LGz (k ) Q 2 Q 

(5.28)

(5.29)

El costo de faltantes contenido en la Ec. (5.28) puede explicarse de la siguiente forma. Ya que D/Q es el valor esperado del número de ciclos o de veces que se pide en un año, ( D / Q)  pz (k ) representa el valor esperado del número de ciclos en el año en los cuales se presentan faltantes, ya que pz (k ) es la probabilidad de que dichos faltantes ocurran en cada ciclo de reposición. Finalmente, al multiplicar por el costo B1 en el que se incurre por cada ocasión de faltante, ( D / Q)  pz (k )  B1 representa entonces el costo esperado de faltantes por año. La Ec. (5.28) es útil entonces para estimar el CTR anual en aquéllas situaciones en donde se puede estimar B1 y donde el costo de faltantes no depende de las unidades que queden en órdenes pendientes, de las ventas perdidas o del tiempo que tarde el faltante, sino simplemente del evento u ocurrencia de faltante. El caso más adecuado para utilizar entonces la Ec. (5.28) es cuando se prevé la ocurrencia de un faltante y se implementan acciones de emergencia con cierto costo fijo B1 para evitarlo. Es necesario tener en cuenta algunas observaciones hechas en un reciente artículo por Lau y Lau (2008) respecto de posibles imprecisiones en la Ec. (5.28), la cual es presentada por Silver et al. (1998, p. 260, pp. 295-296, pp. 325-326). De acuerdo con estos autores, esta ecuación pasa por alto los siguientes factores: (1) La probabilidad de tener más de una ocasión de faltante por cada ciclo de reposición; (2) La transformación del sistema en uno que considere ventas perdidas, ya que las órdenes pendientes han sido eliminadas por las acciones de emergencia y (3) La necesidad de manejar las caídas de inventario por debajo del punto de reorden en el caso de demandas erráticas. De todas formas, los supuestos que se enunciaron en la Sección 5.11.1 desvirtúan en cierta forma estos factores, como se muestra a continuación. El primer factor se minimiza al suponer que los niveles de servicio son altos, puesto que si la probabilidad de que ocurra una ocasión de faltante por cada ciclo es muy baja, entonces la probabilidad de que ocurran dos sucesos de estos en un mismo ciclo de reposición (considerados independientes) es aún más baja y puede despreciarse para efectos prácticos. Por ejemplo, si la probabilidad de que ocurra un faltante en cada ciclo es de 0.025, entonces la probabilidad de que ocurran dos faltantes será de (0.025)2 = 6.25 × 104, la cual es muy baja y puede ser despreciada. El segundo factor se controla porque si asumimos que las acciones de emergencia evitan la ocasión de faltante, entonces no habrá ni órdenes pendientes ni tampoco ventas perdidas. Finalmente, el tercer factor ha sido considerado en uno de los supuestos de la Sección 5.11.1; evidentemente, si en realidad la demanda es errática, el caso merece análisis adicionales.


217

El término ( D / Q)B2v ˆ LGz (k ) en la Ec. (5.29) se explica de la siguiente forma. De acuerdo con la Ec. (5.21), ˆ LGz (k ) representa el valor esperado de unidades faltantes en cada ciclo de reposición (EUFCR). Al multiplicar esta expresión por el valor esperado de ciclos/año D/Q, se obtiene entonces que ( D / Q)ˆ LGz (k ) es el valor esperado de las unidades faltante en un año. Finalmente, al multiplicar por el costo unitario de faltantes B2v , se llega al valor esperado del costo de faltantes por año. La Ec. (5.29) es adecuada en aquéllos casos en los que se puede estimar cuánto cuesta cada unidad de faltante debido a rompimientos de inventario. Por ejemplo, es útil para el caso de productos de consumo masivo altamente substituibles, para los cuales, si no están en la góndola, se pierde la venta, dejándose de percibir el margen del producto. El valor de B2, por lo tanto, puede tener un límite inferior en el porcentaje de margen del producto, ya que puede ser mucho mayor debido a la pérdida de imagen e incluso a la pérdida de clientes por faltantes frecuentes y bajo nivel de servicio. La ecuación de costo total relevante para el caso del costo de faltantes B3 (ó B3v expresado en $ por unidad de producto y por unidad de tiempo) no tiene una forma tan simple como las Ec. (5.28) y (5.29). Axsäter (2000, p. 62-65) presenta las ecuaciones para este caso. Ejemplo 5.5 [Sistema (s, Q) con P1 especificado] Se tiene la siguiente información para cierto ítem: Demanda mensual pronosticada d

=

12,000 unidades/mes

Desviación estándar de los errores del pronóstico ˆ1 (basada en pronósticos con período mensual)

=

3,100 unidades

Tiempo de reposición L Valor unitario del ítem v Costo de ordenamiento A Costo de llevar el inventario r Nivel de servicio deseado P1 Fracción estimada del costo de faltante B2

= = = = = =

1.5 meses 14,000 $/unidad 1,000,000 $/pedido 20% anual 90% 0.09

Determinar el tamaño de pedido Q con base en el tamaño óptimo de pedido, EOQ, el punto de reorden s para una política de control (s, Q) y el costo total relevante de esta política. Establecer claramente la política de control de inventario diseñada. Primero, el tamaño de pedido Q se calcula mediante la Ec. (5.5), tomando la demanda anual (Por comodidad se van a trabajar v y A en miles de $):

Q  EOQ 

2 AD 2(1,000)(12,000  12)  vr (14)(0.20)

Q  10,142 unidades

218


Para aplicar la primera de las Ec. (5.14), se estima primero la desviación estándar de los errores del pronóstico sobre el tiempo de reposición. Nótese que se utiliza el valor estimado de la desviación estándar con base en el pronóstico mensual, ˆ1 , y que el tiempo de reposición L viene expresado en meses, lo cual hace consistente la siguiente ecuación:

ˆ L  ˆ1 L  ˆ1

L meses  (3,100 unidades )  1.5  3,797 unidades 1 mes

Para determinar el factor de seguridad, k, utilizamos la Ec. (5.26), así: pz(k) = 1 – P1 = 1 – 0.90 = 0.10 De las tablas del Apéndice A, se encuentra k = 1.28. La demanda estimada durante el tiempo de reposición viene dada por: xˆL  dL  (12,000)(1.5)  18,000 unidades

El punto de reorden, de acuerdo con la Ec. (5.16), estaría dado entonces por:

s  xˆL  kˆ L  (18,000)  (1.28)(3,797)  22,861 unidades La política de control del inventario sería ordenar Q = 10,142 unidades una vez el nivel de inventario efectivo se reduzca a s = 22,861 unidades. En este ejemplo, el tamaño de pedido Q es mucho menor que el punto de reorden s y que la demanda durante el tiempo de reposición, xˆ L . Esto ocasiona que muy probablemente haya que colocar un nuevo pedido antes de recibir el pedido anterior. Se sugiere al lector analizar esta situación e interpretar entonces el significado y la utilidad del inventario efectivo para el control de inventarios. El nivel de servicio P2 logrado mediante esta política puede obtenerse mediante la Ec. (5.23), asumiendo que todos los faltantes se convierten en órdenes pendientes, y determinando Gz(k) para el factor de seguridad k = 1.28 hallado anteriormente. Del Apéndice A, se halla Gz(k) = 0.047498. Así, el nivel de servicio P2 vendría dado por:

P2  1 

ˆ LGz (k ) Q

1

(3,797)(0.047498)  0.9822. 10,142

O sea que el 98.22% de las unidades demandadas podrán ser satisfechas del inventario a la mano. El costo total relevante anual de esta política se calcula con la Ec. (5.29):


CTR2 

219

(1,000)(12,000  12) 10,142    (1.28)(3,797) (14)(0.20) 10,142  2  (12,000  12) 0.09  14(3,797)(0.047498) miles de $/año  10,142

CTR2  14,198.4  27,807.2  3,226.5 miles de $/año  45,232.1 miles de $/año Nótese que para efectos de comparación con el ejemplo que viene a continuación, se han separado los diversos tipos de costo que constituyen el CTR. Es decir, el costo anual de ordenamiento para esta política es de 14,198.4 miles de $/año; el de mantenimiento del inventario es de 27,807.2 miles de $/año y el de faltantes es de 3,226.5 miles de $/año, para el total mostrado de 45,232.1 miles de $/año. Ejemplo 5.6 [Sistema (s, Q) con P2 especificado] Considere el Ejemplo 5.5 anterior. El valor de Q = 10,142 unidades ya ha sido determinado mediante el EOQ. Asumiendo que todos los faltantes se convierten en órdenes pendientes, determinar el punto de reorden para un nivel de servicio P2 igual al 95%. Determinar igualmente el nivel de servicio P1 obtenido mediante la aplicación de esta política y su costo total relevante. Los cálculos de xˆL  18,000 unidades y de ˆ L  3,797 unidades no sufren variación. La diferencia radica en que para hallar k se requiere aplicar la Ec. (5.24):

Gz (k ) 

Q 1  P2   10,142 1  0.95  0.1336 ˆ L 3,797

Del Apéndice A, para un valor de Gz(k) = 0.1336, se obtiene un valor de k  0.74. El punto de reorden, de acuerdo con la Ec. (5.16), viene dado entonces por: s  xˆL  IS  xˆL  kˆ L  (18,000)  (0.74)(3,797)  20,810 unidades

La política de inventario (s, Q) es, por lo tanto, ordenar Q = 10,142 unidades tan pronto el nivel de inventario efectivo alcance un valor s = 20,810 unidades. Mediante esta política se logrará satisfacer los pedidos de los clientes del inventario a la mano en un 95% de las veces. Para un valor de k = 0.74, se encuentra que pz(k) = 0.2297, o sea que el nivel de servicio P1 sería de 1 – 0.2297 = 0.7703 ó 77.03%. Este valor se considera muy bajo en la práctica pues el nivel de riesgo de agotados es casi del 23%, el cual es inaceptable. Por lo tanto, se recomienda en la práctica especificar valores más altos de P2, no menores del 98%, o preferiblemente especificar valores de P1 no menores que el 95%. He trabajado en casos reales en los que se especifica un mínimo de P1 = 97.5% (o sea k = 1.96) con resultados totalmente satisfactorios. Además, al mejorar el nivel de servicio no necesariamente se incrementa el CTR, como se muestra a continuación. El costo total relevante anual de la política del Ejemplo 5.6 se calcula con la Ec. (5.29):


220

CTR2 

(1,000)(12,000  12) 10,142    (0.74)(3,797) (14)(0.20) 10,142  2  (12,000  12) 0.09  14(3,797)(0.1336) miles de $/año  10,142

CTR2  14,198.4  22,066.2  9,075.2 miles de $/año  45,339.8 miles de $/año Es muy importante observar que, a pesar de que en el Ejemplo 5.5 el nivel de servicio es superior (P1 = 90% y P2 = 98.22%), el CTR es menor que en el Ejemplo 5.6, cuyo nivel de servicio es claramente inferior (P1 = 77.03%% y P2 = 95%). El aumento en el costo de mantenimiento del inventario en el Ejemplo 5.5 (22,807.2 miles de $/año contra 22,066.2 miles de $/año en el Ejemplo 5.6) se ve compensado con la disminución en el costo de los faltantes (3,226.5 miles de $/año contra 9,075.2 miles de $/año) y el efecto neto es una disminución del CTR (45,232.1 miles de $/año contra 45,339.8 miles de $/año). Lo interesante de esta idea es entonces que es posible mejorar el nivel de servicio y a la vez disminuir el costo total relevante!! El lector debe comprobar, sin embargo, que para un nivel de servicio P2 = 0.99, el costo total relevante anual de nuevo aumenta a 46,584.3 miles de $/año. ¿Cómo podría entonces hallarse el valor óptimo del nivel de servicio para el cual el CTR tome el valor mínimo posible? Se sugiere al lector construir una hoja electrónica para responder a esta pregunta. Se sugiere también al lector repetir el Ejemplo 5.6 asumiendo que los faltantes se convierten en ventas perdidas y medir el impacto de esta consideración.

Ejercicios 5.4 1. Considere un ítem para el cual la demanda estimada en el tiempo de reposición xˆ L = 500 unidades y la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de reposición es ˆ L = 120 unidades. Para valores de la probabilidad de no-ocurrencia de un faltante, P1 = 0.85, 0.900, 0.950, 0.990, 0.995 y 0.999, determine el factor de seguridad k, el inventario de seguridad IS y el punto de reorden s. Grafique el inventario de seguridad IS contra el valor de P1 y concluya acerca de su tendencia. 2. Un ítem con la siguiente información está siendo controlado por un sistema (s, Q): D = 3,400 cajas/año r = 25%/año

A = $26,000/pedido v = $2,100/unidad

Toda la demanda durante la ocurrencia de faltantes se trata como órdenes pendientes. Se utiliza el EOQ para determinar la cantidad a pedir Q. Actualmente se aplica un sistema de pronósticos simple, cuyo costo de control es de 45,500 $/año y produce un valor estimado de la desviación estándar de los errores del pronóstico mensual ˆ1 = 157 unidades. Uno de los analistas de inventarios ha descubierto un nuevo método de pronósticos que costaría


221

controlarlo 140,000 $/año y disminuiría el valor de ˆ1 en un 55%. El ítem presenta un tiempo de reposición de 1.5 meses. Para un nivel de servicio P2 del 99% y tomando en consideración el costo total relevante incluyendo el costo de control del sistema de pronósticos, ¿es recomendable aceptar el nuevo sistema de pronósticos? ¿Por qué? ¿Por qué no es necesario conocer el costo de faltantes B2 para resolver este problema? 3. Considere un ítem con una demanda promedio que no varía significativamente con el tiempo. Suponga que las demandas en semanas consecutivas se pueden considerar como variables aleatorias normales independientes. Durante las últimas 15 semanas se han observado los siguientes valores de demanda: 87, 99, 107, 146, 155, 64, 78, 122, 78, 119, 76, 80, 60, 118 y 96 unidades. a) Estime la media y la desviación estándar de la demanda sobre un período de una semana y use estos valores para establecer el punto de reorden en un sistema de control (s, Q) para este ítem, con un tiempo de reposición L = 1.5 semanas. Utilice un valor de A = $690,000/pedido, B2 = 0.30, v = 30,000 $/unidad, r = 24% anual y D = 5,200 unidades/año, determinando Q mediante la fórmula del EOQ. b) En la realidad, los valores de demanda semanal mostrados arriba fueron generados aleatoriamente de una distribución normal con media 100 unidades y desviación estándar 30 unidades. Repita los cálculos del literal (a) con estos valores reales de los parámetros y determine el porcentaje de penalización respecto del costo total relevante anual. 4. Un proveedor de computadores por correo tiene un procesador en inventario, el cual vende a clientes alrededor de varios países. El procesador es suministrado por un proveedor japonés utilizando transporte aéreo. El ítem tiene las siguientes características: D = 3,200 unidades/año L = 1.5 semanas r = 0.15 $/($año) v = 165,000 $/unidad (transporte incluido) A = 105,000 $/pedido B2 = 0.20 = 13.8 unidades (para un período básico de una semana) ˆ 1 a) Diseñe un sistema de control (s, Q) para este ítem para un nivel de servicio P2 = 0.975. Determine el Q mediante el EOQ y calcule el costo total relevante. Asuma que los faltantes se convierten en ventas perdidas. b) Suponga que el tiempo de reposición aumenta a 3 semanas, de tal forma que el punto de reorden s resulta ser mayor que la cantidad a pedir Q. Comente acerca de lo que podría ocurrir aquí y cuáles ajustes sugeriría realizar en la política de control. 5. Suponga que una parte para autos en el inventario de un fabricante tiene las siguientes características: d = 1,250 cajas/semana L = 2.5 semanas v = 130,000 $/caja B1 = 1,150,000 $/ocasión de faltante

ˆ 1 = 475 cajas (para un período de una semana) r = 30% anual A = 92,000 $/pedido P1 = 0.975

222


Diseñe un sistema (s, Q) para este ítem de acuerdo con el nivel de servicio P1 especificado. Determine el costo total relevante y el nivel de servicio P2 obtenido. Asuma que el fabricante labora 52 semanas al año. 6. El inventario de una materia prima está siendo controlado con un sistema (s, Q). Actualmente se utiliza s = 520 ton y Q = 750 ton. La demanda mensual de la materia prima sigue una distribución normal con media 200 ton y desviación estándar 50 ton. Actualmente, el proveedor de la materia prima tiene un tiempo de reposición de dos meses. La empresa quiere conocer el impacto de reducir el tiempo de reposición del proveedor. a) Si el tiempo de reposición del proveedor se reduce en un 25%, estime su impacto sobre los niveles de servicio P1 y P2, asumiendo que se mantiene la política actual de control y que los faltantes de materia prima se convierten en órdenes pendientes. Estime igualmente el nivel de inventario promedio de la materia prima. b) Si el tiempo de reposición del proveedor se reduce en un 25% y se mantiene el tamaño de lote Q actual, recalcule el punto de reorden s para obtener el mismo nivel de servicio P2 que con la política original. Redetermine el nivel de inventario promedio de la materia prima. c) En el literal (a), asumiendo que se mantiene la política actual de control, grafique el nivel de servicio P2 y el nivel de inventario promedio que se mantiene contra la reducción del tiempo de reposición del proveedor, variando ésta desde 0% hasta un 50%. 7. Considere un sistema de inventarios de dos cajones que se lleva en una ferretería para un cierto tipo de tornillo. La demanda del tornillo sobre el tiempo de reposición, el cual es de 1 semana, tiene un valor esperado de 850 unidades y una desviación estándar de 120 unidades. Si el nivel del segundo cajón (el que contiene s unidades) se ha establecido en 1,200 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran faltantes en cada ciclo de reposición? Comente acerca del valor mínimo del tamaño de lote Q para que este sistema funcione adecuadamente y de su relación con el fill rate, asumiendo que los faltantes se convierten en ventas perdidas.

5.12 EL SISTEMA DE CONTROL PERIÓDICO (R, S) Recuérdese que en el sistema de revisión periódica, el inventario se revisa cada R unidades de tiempo y se ordena una cantidad igual a la diferencia entre un valor máximo S y el valor del inventario efectivo en el momento de la revisión. La Figura 5.12 representa el proceso del nivel de inventario con respecto del tiempo. El intervalo de revisión R se considera fijo y determinado con anterioridad, con base en el EOQ expresado en unidades de tiempo, por ejemplo. Se asume aquí también inicialmente que el tiempo de reposición L es constante, aunque en la figura se muestra una situación más general con tiempo de reposición variable. La selección del intervalo de revisión R óptimo es un problema que no ha sido investigado ampliamente aún. Silver y Robb (2008) mencionan que la selección del mejor intervalo de revisión R y su comportamiento en relación con los parámetros del modelo de control de inventarios no han sido comprendidos totalmente. Estos autores investigan con las


223

distribuciones de demanda normal y gamma y concluyen que la función de costo no es necesariamente convexa en relación con el intervalo de revisión, lo que complica el problema. Nivel de inventario

Inventario neto

S Inventario efectivo

Inventario máximo

Q2

Q1

Q3

L2

L1 R

R Tiempo

Figura 5.12. El sistema de control del inventario (R, S)

De acuerdo con Silver et al. (1998, p. 275), no es necesario el desarrollo de nuevas reglas de decisión en este caso, ya que existe una estrecha relación entre el sistema (R, S) y el sistema (s, Q). Simplemente, en todas las expresiones anteriormente presentadas, se deben hacer las siguientes sustituciones: Sistema (s, Q) s Q L

Sistema (R, S) S DR R+L

Este sistema también opera bajo ciertos supuestos, a saber:  La rata de demanda promedio varía poco en el tiempo.  La probabilidad de tener demanda igual a cero entre revisiones sucesivas del inventario es muy pequeña; por lo tanto, se asume que cada vez que se revisa el inventario, se ordena un pedido. En realidad, no hay problema en que no ocurra demanda alguna entre dos revisiones del inventario. Simplemente, no se ordena y se espera hasta la revisión siguiente. Esto ocurre muy a menudo en un sistema de control de inventarios de medicamentos que hemos implementado en una cadena de droguerías.  El tiempo de reposición se asume constante.  Los costos unitarios de faltante de inventario son tan altos que el nivel promedio de órdenes pendientes (para el cliente) es muy pequeño comparado con el nivel promedio del inventario a la mano. Esto es equivalente a decir que estos sistemas son adecuados para niveles de servicio altos, lo cual es lo deseado en la práctica.


224

 Los errores de pronóstico tienen una distribución normal sin sesgo, con una desviación estándar  R L sobre el intervalo de revisión más el tiempo de reposición, R + L. Obviamente, la desviación estándar  R L no se conoce con certeza, y por lo tanto, se utiliza su valor estimado ˆ R L , lo cual se hace a través del valor de ˆ 1 suministrado por el sistema de pronósticos, utilizando la segunda de las Ec. (4.49).  El valor de R es pre-determinado.  Los costos de control del sistema no dependen de la magnitud de S. Una observación importante radica en el hecho de que para este sistema la protección del inventario de seguridad debe darse para un período de tiempo igual a la suma del tiempo de reposición y el intervalo de revisión del inventario, o sea para el período R + L. Un soporte de esta afirmación está dado en Silver et al. (1998, pp. 276-278). Además, en muchas ocasiones es conveniente adicionar cierto porcentaje al costo de ordenamiento A, incremento ocasionado por la revisión del inventario. Por esta razón, la notación cambia de acuerdo con los siguientes parámetros:

A

=

Costo fijo de ordenamiento incrementado en el costo de revisión del inventario, en $/pedido.

R

=

Intervalo de revisión pre-especificado (o calculado con base en el EOQ), en unidades de tiempo.

S

=

Nivel máximo de inventario hasta el cual se ordena, en unidades.

xˆ R  L

=

Demanda pronosticada sobre un intervalo de tiempo igual a R + L.

ˆ R L

=

Desviación estándar estimada de los errores de pronósticos sobre un intervalo igual a R + L.

Las Ec. (5.28) y (5.29) siguen siendo válidas para calcular el costo total relevante, reemplazando a A, Q y ˆ L por A , DR y ˆ R L , respectivamente.

Ejemplo 5.7 [Sistema (R, S) con P2 especificado] Diseñar un sistema de inventarios (R, S) para el caso del Ejemplo 5.6. Toda la información dada en este ejemplo permanece igual con excepción del costo fijo de pedido A, el cual se supone que se incrementa en un 15% debido al costo adicional de revisión del inventario. Inicialmente, debe determinarse el intervalo de revisión R, a partir de la cantidad óptima de pedido, redondeado a un valor entero lógico. Por ejemplo, no sería muy práctico desde el punto de vista administrativo revisar el inventario cada 3.37 semanas, sino que debería pensarse en hacerlo cada tres (o cuatro) semanas. Así, se tiene:


EOQ R  D

R

225

2 AD vr D

2 A Dvr

(5.30)

Por lo tanto (trabajando en miles de $):

R

2(1,000  1.15)  0.07553 años  4 semanas (12,000  12)(14)(0.2)

Luego, puede tomarse R = 4 semanas = 1/13 de año. Ahora, la desviación estándar de los errores del pronóstico sobre el tiempo de reposición más el intervalo de revisión vendría dada por:

ˆ R  L  ˆ1  R  L ˆ R  L  3,100 

(5.31)

12  1.5  4,826 unidades 13

Nótese que como originalmente ˆ 1 es la desviación estándar de los errores del pronóstico mensual, entonces el tiempo R + L dentro del radical debe ser expresado en meses. Análogamente, la demanda pronosticada sobre el tiempo R + L es: xˆR  L  d  ( R  L)

(5.32)

 12  xˆR  L  (12,000 unidades/m es)    1.5 meses   29,077 unidades  13  Como el tamaño de pedido en este sistema es variable, en vez de utilizar Q es necesario utilizar DR donde dicha cantidad aparezca. Así, el valor de la función Gz(k) vendría dado por:

Gz (k ) 

Gz (k ) 

DR (1  P2 ) ˆ R L

(5.33)

(12,000 12)(1 / 13) (1  0.95)  0.1148, 4,826

de donde se obtiene k  0.83. Así, el valor máximo de inventario S vendría dado por: S  xˆ R  L  kˆ R  L

(5.34)

226


S  29,077  (0.83)(4,826)  33,083 unidades. La política de inventarios (R, S) es, por lo tanto, revisar el inventario cada R = 4 semanas y ordenar una cantidad igual a 33,083 unidades menos el inventario efectivo al momento de la revisión. Mediante este método, se conseguirá un nivel de servicio aproximado de P2 = 95%. La ecuación para calcular el costo total relevante en el sistema (R, S) se transforma a:

CTR2  CTR2 

A  DR 1    kˆ R  L vr  B2v ˆ R  LGz (k ) R  2 R 

(5.35)

1,000  1.15  (12,000  12)(1 / 13)    (0.83)(4,826) (14)(0.2) 1 / 13 2   1 0.09  14(4,826)(0.1148)  1 / 13

CTR2  14,950.00  26,723.32  9,074.93 miles de $/año CTR2  50,748.25 miles de $/año

Este costo es un 11.93% mayor que el costo total relevante de la política (s, Q) discutida en el Ejemplo 5.6. Nótese que el aumento proviene fundamentalmente del incremento en el costo de mantenimiento del inventario al aumentar el inventario cíclico y el de seguridad, ya que la cobertura debe ser sobre R + L y no simplemente sobre el tiempo de reposición L. Sin embargo, este aumento de costo debe compararse con los ahorros potenciales que pueden obtenerse al coordinar el control del inventario de diversos ítems y obtener economías de escala por tamaños de compra, lote de producción y/o transporte en un sistema de control conjunto de ítems.

5.13 TIEMPO DE REPOSICIÓN ALEATORIO En la vida real, el tiempo de reposición L rara vez puede considerarse constante o determinístico. Su grado de aleatoriedad depende de muchos aspectos, tales como la disponibilidad del proveedor o las características de la línea de producción, el modo de transporte utilizado, la infraestructura de recepción de los productos, entre otras posibles causas. Hay varias formas de considerar la variabilidad del tiempo de reposición. En la primera forma se asume que el tiempo de reposición L y la rata de demanda D son variables aleatorias independientes, caso en el cual se dispone de resultados analíticos que serán expuestos más adelante. Podríamos decir que esta es la forma más sencilla de aplicación en la práctica pues se reduce a dos fórmulas relativamente simples.


227

En el segundo método se pronostica el tiempo de reposición en forma semejante a como se hace con la demanda y de esta manera se puede obtener lo que podría denominarse un ‗tiempo de reposición máximo‘ y con él se calculan los promedios de demanda y los inventarios de seguridad. Este último método es semejante al que se emplea en la práctica cuando se consideran tiempos de reposición de seguridad, especialmente en la administración de inventarios de materias primas. Los principales sistemas de planeación de recursos (Enterprise Resource Planning, ERP) contienen módulos de MRP que permiten implementar esta posibilidad. En un tercer método, se mide la demanda real sobre cada tiempo de reposición L (o sobre cada tiempo de reposición más el intervalo de revisión del intervalo, R + L), y se utilizan los datos para estimar xL (ó xR  L ) y  L (ó  R L ) directamente. La aplicación práctica de esta metodología es compleja porque maneja períodos de tiempo aleatorios, dado que como no se sabe el valor exacto del tiempo de reposición, los sistemas de pronósticos son de período variable lo cual es muy difícil de controlar en la práctica dentro de los sistemas de información de las organizaciones. Consideremos entonces el primer caso, en el cual se asume que las variables aleatorias demanda y tiempo de reposición son independientes. Definamos entonces la siguiente notación para un sistema continuo (s, Q): d

=

Variable aleatoria que representa la rata o tasa de demanda, en unidades por unidad de tiempo.

E(d)

=

Valor esperado de la rata de demanda, en unidades por unidad de tiempo.

ˆ1

=

Desviación estándar de los errores del pronóstico (o de la demanda) referidos al mismo período de tiempo de la tasa de demanda, en unidades.

w

=

Demanda aleatoria durante el tiempo de reposición, en unidades.

E(w)

=

Valor esperado de la demanda durante el tiempo de reposición, en unidades.

ˆ w

=

Estimación de la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de reposición, en unidades.

LT

=

Tiempo de reposición aleatorio, en unidades de tiempo. (Nota: Se ha cambiado la notación del tiempo de reposición de ‗L‘ a ‗LT‘ para evitar confusiones de notación entre la desviación estándar de los errores del pronóstico durante el tiempo de reposición L y la desviación estándar del tiempo de reposición LT.)

E(LT)

=

Valor esperado del tiempo de reposición, en unidades de tiempo.

ˆ LT

=

Estimación de la desviación estándar del tiempo de reposición, en unidades de tiempo.

228


Un conocido resultado de la teoría de procesos estocásticos compuestos brinda las siguientes ecuaciones [Véase, por ejemplo, Ross (1993, pp. 98-99)]:

E(w)  E( LT )  E(d ) 2 ˆ w  E ( LT )ˆ12  E (d )2ˆ LT

(5.36) (5.37)

Todas las ecuaciones presentadas para el sistema (s, Q) son válidas cuando se considera el tiempo de reposición aleatorio, teniendo en cuenta que se debe utilizar E(w) en lugar de xˆ L y

ˆ w en lugar de ˆ L . Por ejemplo, para calcular el punto de reorden, se aplicaría la ecuación s  E (w)  kˆ w en lugar de la ecuación s  xˆL  kˆ L . Es muy importante notar que para que

la Ec. (5.37) sea consistente, ˆ1 debe estimarse a partir de un sistema de pronósticos cuya unidad de tiempo básica sea la misma que la unidad de tiempo del E (LT ) . Además, la unidad de tiempo de la rata de demanda E (d ) debe coincidir con la unidad de tiempo de ˆ LT . Por otra parte, si el tiempo de reposición es constante como en los casos anteriormente 2 analizados, entonces en la Ec. (5.37) se tendría que ˆ LT  0 , con lo que se anula el segundo término dentro del radical y se reproduce el conocido resultado de la primera de las Ec. (4.49). 2 Igualmente, en los casos en los que se puede considerar la demanda muy estable (o sea ˆ1  0), pero el tiempo de reposición mantiene su aleatoriedad, la Ec. (5.37) reduce a ˆ w  E (d )  ˆ LT . En la práctica es posible que exista cierta correlación entre la demanda y el tiempo de reposición. Por ejemplo, puede haber correlación positiva, como en el caso de alta demanda, la cual genera una alta carga para el proveedor o para la planta, quienes probablemente tardarán más tiempo en satisfacer el pedido. Puede también existir correlación negativa para bajas demandas, con las cuales el proveedor o la planta probablemente esperarán hasta acumular cierto número de pedidos y así satisfacer el tamaño de lote mínimo que les permita despachar y/o producir rentablemente. Sin embargo, la Ec. (5.37) es conservativa, o sea que, en caso de existir correlación, dicha ecuación sobreestima la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de reposición. Cada caso en particular debe ser analizado; sin embargo, si estas dos situaciones de alta o baja demanda no se presentan muy a menudo, el supuesto de independencia es razonable. Ejemplo 5.8 [Sistema (s, Q) con tiempo de reposición aleatorio] Diseñe un sistema de control de inventarios (s, Q) para el caso del Ejemplo 5.6, asumiendo que el tiempo de reposición es aleatorio con E(LT) = 1.5 meses y ˆ LT = 0.20 meses. El hecho de tener el tiempo de reposición aleatorio modifica el cálculo del valor esperado de la demanda sobre el tiempo de reposición y de su desviación estándar, de acuerdo con las Ec. (5.36) y (5.37):

E(w)  1.5 12,000  18,000 unidades


229

ˆ w  (1.5)(3,100) 2  12,0002 (0.20) 2  4,492 unidades Nótese la consistencia de las unidades del tiempo de reposición, medido en meses, con las de ˆ1 , medida a partir de un sistema de pronósticos con período mensual. Igualmente, la rata de demanda es de 12,000 unidades/mes y ˆ LT = 0.20 meses, con lo cual la ecuación es consistente. Así, lo único que debe hacerse es reemplazar a xˆ L por E(w) y a ˆ L por ˆ w y repetir los cálculos realizados en el Ejemplo 5.6. Para calcular el valor de k se aplica entonces la ecuación:

Gz (k ) 

Q 1  P2   10,142 1  0.95  0.1129 ˆ w 4,492

Del Apéndice A se obtiene k  0.84. Por lo tanto, el punto de reorden sería:

s  E(w)  kˆ w  18,000  (0.84)(4,492)  21,774 unidades Y el costo total relevante viene dado por:

CTR2 

CTR2 

AD  Q D     kˆ w vr  B2v ˆ wGz (k ) Q 2 Q 

(1,000)(12,000  12) 10,142    (0.84)(4,492) (14)(0.20) 10,142  2  (12,000  12) 0.09  14(4,492)(0.1129) miles de $/año  10,142

CTR2  14,198.4  24,764.0  9,072.8 miles de $/año  48,035.2 miles de $/año Estos resultados representan un aumento en el punto de reorden y en el costo de mantenimiento del inventario, ocasionados por el incremento del inventario de seguridad para responder a la variabilidad adicional del tiempo de reposición. De nuevo, aquí el valor especificado de P2 = 95% hace que el nivel de seguridad P1 sea sólo del 80% (correspondiente al valor de 1 – pz(k) del Apéndice A, a partir de k = 0.84), el cual es muy bajo en la práctica. Por lo tanto, como ya se ha dicho, se recomienda especificar valores más altos de P2, como por ejemplo 98-99%.

Ejercicios 5.5 1. Diseñe un sistema de control (R, S) para el ítem del Problema No. 4 de los Ejercicios 5.4, utilizando los datos dados allí. Determine el valor de R realizando un redondeo razonable

230


a partir del EOQ expresado como unidades de tiempo. Compare los valores de los costos totales relevantes obtenidos por medio de la política (s, Q) en el problema mencionado. 2. Diseñe un sistema de control (R, S) para el ítem del Problema No. 5 de los Ejercicios 5.4, utilizando los datos dados allí. Determine el valor de R por redondeo a partir del EOQ expresado como unidades de tiempo. Compare los valores de los costos totales relevantes obtenidos por medio de la política (s, Q) en el problema mencionado. Compare también el nivel de servicio P2 obtenido con ambas políticas de inventario. 3. Resuelva el problema anterior asumiendo que el tiempo de reposición L tiene un valor esperado E(LT) de 2.5 semanas y una desviación estándar ˆ LT de 0.5 semanas. Observe que aquí debe encontrar una nueva forma de las Ec. (5.36) y (5.37) que sean válidas para un sistema de control (R, S). 4. Resuelva los problemas No. 4 y No. 5 de los Ejercicios 5.1 asumiendo que el tiempo de reposición L tiene un valor esperado E(LT) de 1.5 y 2.5 semanas, respectivamente, y una desviación estándar estimada ˆ LT de 0.5 semanas para ambos casos. A diferencia del problema anterior, en este punto debe entonces diseñar los sistemas de control (s, Q), pero con el tiempo de reposición aleatorio. 5. En su empresa, usted fabrica un producto del que tiene un contrato establecido de ventas, en el cual debe entregar una cantidad constante de 1,000 unidades/semana, durante las 52 semanas del año. Alistar la línea de producción para este ítem cuesta alrededor de $100,000 y usted ha calculado el costo variable de producción del ítem en $15,000/unidad. La tasa estimada del costo de mantenimiento del inventario es del 30% anual. Su problema es que el tiempo de producción de cada lote es bastante impredecible, debido a la naturaleza del producto. Después de revisar extensas estadísticas, usted ha recolectado la siguiente información respecto de los tiempos de producción: Porcentaje de órdenes de producción Tiempo de producción (Días)

2

5

15

42

23

8

4

1

1

2

3

4

5

6

7

8

a) Diseñe un sistema de control continuo (s, Q) para este ítem si usted desea cumplirle al cliente en el 97.5% de las veces. b) Repita el literal anterior si usted, en lugar de tener la información de la tabla, sólo dispone de la siguiente información sobre el tiempo de producción en días: ―Se ha observado que el tiempo de producción es de 4.5 días  3.5 días y que es aproximadamente normal.‖ Repita de nuevo el ejercicio si en vez de decir ‗normal‘ dice ‗uniforme‘. 6. En una ferretería, una herramienta de gran rotación se ordena al proveedor cada semana. La herramienta ha tenido una demanda semanal promedio de 100 unidades y se ha estimado su desviación estándar con base semanal en 15 unidades. Se dispone de los siguientes datos adicionales: Costo de ordenamiento A = 1,000 $/orden; valor unitario del


231

ítem v = 5,000 $/unidad; tasa de costo de mantenimiento del inventario r = 30% anual; tiempo de reposición L = 1 semana; precio de venta de la herramienta p = 9,000 $/unidad. a) Diseñe un sistema de control de inventarios para este ítem si usted desea que no haya ocasiones de faltantes en el 97.5% de las veces. Calcule el costo total relevante de la política diseñada incluyendo costos de ordenamiento, de mantenimiento del inventario y de faltantes y el fill rate generado, asumiendo que los faltantes se convierten en ventas perdidas, ya que el cliente no espera al próximo despacho. b) Resuelva el literal anterior si ahora el nivel de servicio se especifica como un fill rate P2 = 0.9990. Determine el costo total relevante y el nivel de servicio P1 generado. Compare con el costo total relevante encontrado en (a) y explique el resultado. c) Para el sistema diseñado en el literal (a), a usted le plantean que el intervalo de revisión se debería disminuir de 7 a 5 días, para que ―el producto llegue más rápido‖ y que así habría ahorro en costos ¿Usted está de acuerdo con este planteamiento desde el punto de vista de costo total relevante y de aspectos administrativos? ¿Por qué? d) Le plantean la misma idea de reducir el intervalo de revisión de 7 a 5 días, pero para el caso del literal (b), o sea cuando se especifica P2 = 0.9990. ¿Estaría usted de acuerdo con implementar el cambio? ¿Qué implicaciones administrativas podría tener? e) Encuentre el nivel de servicio óptimo P2 que produce el mínimo costo total relevante. (Una hoja electrónica es de gran ayuda para resolver este problema). 7. Una compañía lleva en inventario tres tipos de alfombras muy especiales con las siguientes características: Tipo de alfombra

Tipo A Tipo B Tipo C

Demanda anual (m)

Costo ($/m)

300 200 100

23,000 18,400 13,800

Las alfombras se ordenan conjuntamente al mismo proveedor. La emisión de cada orden cuesta $46,000 y se ha estimado una tasa r = 25% anual. Se ha encontrado que la demanda de cada una de las alfombras es muy estable, al igual que el tiempo de reposición del proveedor. a) Determine el intervalo de revisión óptimo R* común para las tres alfombras, considerando los costos de ordenamiento y del inventario cíclico promedio. b) Con base en el valor de R* determinado anteriormente, estime los tamaños promedio de orden de cada alfombra. c) Analice el efecto que tiene el valor de la tasa r sobre el valor óptimo R*. d) ¿Considera usted conveniente ordenar estas tres alfombras mediante un sistema continuo (s, Q)? 8. Suponga que usted es el proveedor de la compañía de alfombras del problema anterior. A usted le cuesta $4,600,000 cada vez que alista sus máquinas para procesar una orden de la compañía. Si su tasa de costo de mantenimiento del inventario es del 37.5% anual, ¿qué tamaños de lote preferiría usted fabricar de cada tipo de alfombra? Para responder esta

232


pregunta, asuma que la compañía de alfombras es prácticamente la única que consume este tipo de alfombras y que usted calcula el precio de venta de cada tipo de alfombra adicionándole un 45% a su costo variable de producción. ¿Cómo conciliaría usted con la compañía los tamaños de lote?

5.14 CONTROL DE ÍTEMS PERECEDEROS Y ESTACIONALES Un tema clave en el control de inventarios es el control de ítems perecederos, estacionales o ‗de moda‘, ya que pueden llegar a un alto grado de obsolescencia en tiempos relativamente cortos. En otras palabras, suelen ser productos de muy corto ciclo de vida, como por ejemplo los teléfonos celulares, las calculadoras e incluso los computadores. El ejemplo clásico lo constituye el problema del vendedor de periódicos (News Vendor Problem), quien bien temprano en la mañana adquiere un cierto número de periódicos para vender a lo largo del día (o tal vez hasta las 12 m solamente). Si los periódicos se agotan antes de tiempo y no se puede satisfacer cierta demanda, se incurre en un costo por ‗bajo inventario‘ (understock), generado por la utilidad perdida al no satisfacer la demanda del inventario a la mano. Si, por el contrario, al final del día, el vendedor se queda con un cierto número de periódicos sin vender, solo puede recuperar una parte de su precio de adquisición (lo que se denomina el valor de salvamento), incurriendo en un costo por ‗exceso de inventario‘ (overstock). El problema consiste entonces en determinar el número de periódicos que el vendedor debería adquirir al comienzo del día para maximizar su utilidad total esperada. Una buena revisión de literatura sobre el tema puede encontrarse en Khouja (1999) (no se encontraron revisiones más recientes sobre este tema). Aunque no es actualizada, es muy útil para estudiar el problema clásico del vendedor de periódicos y sus principales extensiones hasta ese año. Esta misma situación se presenta en una gran variedad de ítems perecederos y estacionales, tales como diversos tipos de alimentos perecederos (leche, carne, comidas rápidas, etc.), ropa de venta estacional, flores, artículos de Navidad y artículos que se venden en otras festividades especiales, bancos de sangre y computadores, entre otros. A continuación se ilustra con un ejemplo el caso más simple, o sea aquél de un solo ítem sin considerar restricción alguna. 5.14.1 El problema del vendedor de periódicos para un solo ítem no-restringido (caso discreto) Ejemplo 5.9 (Inventario de una revista de circulación semanal) Suponga que usted es propietario de una librería y vende cierta revista de circulación semanal muy apetecida. A través de datos de demanda de las últimas 70 semanas, usted ha logrado establecer cierta distribución de frecuencias de demanda semanal de la revista, con 14 valores discretos de demanda. La correspondiente información se muestra en la Tabla 5.10 y la probabilidad acumulada de que la demanda d sea menor o igual a di se muestra en la Figura 5.13.


233

Tabla 5.10. Distribución de la demanda semanal de una revista (Ejemplo 5.9) Probabilidad de ocurrencia [pi] 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.10 0.17 0.22 0.10 0.10 0.03 0.02 0.01 0.01

Probabilidad acumulada, Pi

Demanda en unidades [di] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Probabilidad acumulada Pi de que la demanda d  di 0.01 0.03 0.07 0.15 0.24 0.34 0.51 0.73 0.83 0.93 0.96 0.98 0.99 1.00

Probabilidad de que la demanda d > di, Pd > di 0.99 0.97 0.93 0.85 0.76 0.66 0.49 0.27 0.17 0.07 0.04 0.02 0.01 0.00

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Demanda d (Unidades)

Figura 5.13. Probabilidad acumulada para el ejemplo de la revista (Ejemplos 5.9 y 5.10) Se tiene disponible la siguiente información de costos con respecto de la revista: v p s

= = =

Costo de adquisición de la revista Precio de venta de la revista Valor de salvamento de la revista

= = =

$6,500/unidad $10,500/unidad $5,700/unidad

El valor de salvamento s de la revista representa el valor que el editor de la misma está dispuesto a reconocer por cada revista devuelta por usted cada semana. Su problema fundamental es entonces, ¿cuántas revistas debería usted comprar cada semana para maximizar su utilidad neta esperada? Supóngase primero que una política es ordenar siempre el valor esperado de revistas que se venden cada semana, el cual viene dado por: 14

E(d)   di pi  13.23 revistas i 1


234

O sea que la política sería ordenar 13 revistas cada semana. Así, la probabilidad de que la demanda semanal sea igual a 13 revistas o menos es 0.51, con lo cual el nivel de servicio sería muy pobre, pues en el 49% de las ocasiones se generarían faltantes de inventario. Una forma de determinar el número óptimo de revistas a comprar cada semana es la de calcular la utilidad neta esperada U(x) en función de la cantidad ordenada cada semana, x. Obviamente, 7  x  20. La utilidad neta esperada sería entonces igual a: x

U(x)  di ( p  v)  ( x  di )(v  s) pi   x( Pd  x )( p  v)

(5.38)

i 7

La anterior expresión puede explicarse con la ayuda de la ley de la probabilidad total [Navidi (2006, p. 77)] y del concepto de valor esperado de una función de una variable aleatoria. Dado que se han ordenado x revistas, los posibles valores de la variable aleatoria d = demanda semanal de la revista se han dividido en dos conjuntos disjuntos: 7  d  x y d > x. Si 7  d  x y la demanda es igual a di, entonces se venden di revistas con una utilidad unitaria de p – v, pero al final de la semana sobran x – di revistas de las cuales se pierde v – s $/u; todo esto ocurre con una probabilidad pi. Ahora, si d > x, entonces sólo podrán venderse las x revistas que se pidieron con una utilidad unitaria de p – v y con una probabilidad de ocurrencia de Pd > x. Por ejemplo, si x = 9 revistas, se tendría la siguiente utilidad esperada, reemplazando los respectivos valores de x, p, v y s: 9

U( 9)   4,000d i  800(9  d i ) pi   36,000 Pd 9 i 7

9

  4,800d i  7,200 pi   36,000 Pd 9 i 7

 {[(4,800  7)  7,200]  0.01}  {[(4,800  8)  7,200]  0.02}  {[(4,800  9)  7,200]  0.04}  (36,000  0.93)  $35,808 Tabla 5.11. Utilidad neta esperada U(x) en función de x (Ejemplo 5.9) x [unidades]

Utilidad Esperada U(x) [$]

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

28,000.00 31,952.00 35,808.00 39,472.00 42,752.00 45,600.00 47,968.00 49,520.00 50,016.00 50,032.00 49,568.00 48,960.00 48,256.00 47,504.00


235

El desarrollo de la Ec. (5.38) para cada valor x es relativamente sencillo a través de una hoja electrónica. La Tabla 5.11 presenta los resultados de la utilidad neta esperada U(x) en función del número de revistas ordenado x. Análogamente, la Figura 5.14 muestra la gráfica de U(x) vs. x. Obsérvese que el valor óptimo ocurre cuando x = x* = 16 unidades.

60,000

Utilidad esperada ($)

50,000

40,000

30,000

20,000

10,000

0 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Cantidad ordenada x

Figura 5.14. Gráfica de utilidad neta esperada U(x) vs. cantidad ordenada x (Ejemplo 5.9) Obsérvese que si se ordenan x* = 16 revistas cada semana, el nivel de servicio óptimo P1* será del 93% (o sea la probabilidad de que la demanda sea menor ó igual que 16 revistas leída de la Tabla 5.10), mientras que el nivel de servicio P2 vendría dado por:

P2  1 Pr(d  x ) 

 (x

di  x



/ di ) pi

(5.39)

16 16 16 16  P2  (1  0.93)   (0.03)  (0.02)  (0.01)  (0.01) 17 18 19 20   P2  0.9924

Este es un fill rate P2 satisfactorio. Un análisis marginal, presentado por Chopra y Meindl (2008, p. 350), revela que el valor óptimo a ordenar, x*, depende de los costos de bajo inventario y de inventario excesivo. Sean: Ce

= Costo unitario de inventario excesivo

=

v–s

Cb

= Costo unitario de bajo inventario

=

p–v

P1*

= Nivel óptimo de servicio (probabilidad de que no haya faltante en cada ciclo)


236

Q*

= Tamaño óptimo de orden correspondiente al nivel de servicio óptimo anterior, o sea que P1* es la probabilidad de que la demanda durante el período sea menor o igual que Q*.

En el nivel de servicio óptimo, la contribución marginal de comprar una unidad adicional es cero. Si el tamaño de orden se aumenta de Q* a (Q* + 1), esto se justifica siempre y cuando la demanda sea mayor que Q*, con probabilidad (1  P1* ) y con contribución igual a (p – v). Así, el beneficio esperado de este aumento de una unidad en la compra será:

Beneficio esperado por la compra de la unidad adicional  (1  P1* )( p  v)

(5.40)

Por otra parte, si la demanda es menor que Q*, con probabilidad P1* , se incurre en un costo de (v – s). Así, este costo vendría dado por:

Costo esperado por la compra de la unidad adicional  P1* (v  s)

(5.41)

La contribución marginal en el óptimo debe ser igual a cero, o, equivalentemente, el beneficio esperado por la compra de la unidad adicional y su costo esperado respectivo, deben ser iguales. Así, igualando las Ec. (5.40) y (5.41) se obtiene:

P1*  Probabilid ad de que la demanda sea menor que Q* 

pv Cb  p  s Cb  Ce

(5.42)

O sea que para encontrar el tamaño óptimo de compra Q*, debe escogerse un valor tal que la probabilidad acumulada Pi sea igual a Cb/(Cb + Ce). Esta expresión se conoce en la literatura como el fractil crítico (critical fractile). Si no existe un valor entero de di que cumpla exactamente con esta condición, debe entonces pasarse al valor más pequeño de demanda de tal forma que Pi sea mayor que Cb/(Cb + Ce). Las demostraciones formales de estos casos pueden ser vistas en Silver et al. (1998, pp. 404-408). Ejemplo 5.10 (Continuación del Ejemplo 5.9: Análisis marginal) Considérese el Ejemplo 5.9. Se tenía que: Ce

= Costo unitario de exceso de inv. =

v–s

=

$6,500 - $5,700

Cb

= Costo unitario de bajo inventario =

p–v

=

$10,500 - $6,500 =

=

O sea que: P1*  Probabilid ad de que la demanda sea menor que Q*  P1* 

4,000  0.8333 4,000  800

pv Cb  p  s Cb  Ce

$800/u. $4,000/u.


237

En la Tabla 5.10 puede observarse que el valor de la demanda cuya probabilidad acumulada es mayor o igual a este valor es d = 16 unidades, con una probabilidad acumulada de 0.93 (Observe que d = 15 revistas no sirve pues 0.8300 < 0.8333). Por lo tanto Q* = 16 revistas, tal como se mostró en la Tabla 5.11. La anterior ecuación también puede resolverse en forma gráfica a partir de la Figura 5.13. Tal como muestra dicha figura, se marca en el eje y el valor de probabilidad acumulada de 0.8333 y se desplaza horizontalmente hasta tocar la curva, bajando hasta el eje x, encontrando un valor un poco superior a 15 unidades, o sea Q* = 16 revistas. 5.14.2 El problema del vendedor de periódicos para un solo ítem no-restringido con demanda normal La Ec. (5.42) es aplicable para cualquier distribución probabilística de demanda [Silver et al. (1998, p. 388)]. Para el caso de la distribución normal, recuérdese que P1 = 1 – pz(k). Por lo tanto:

P1*  1  pz (k * ) 

Cb Cb  Ce

(5.43)

De donde se obtiene:

pz ( k * ) 

Ce Cb  Ce

(5.44)

Con este valor de pz(k*) se determina el k*. Si la distribución de probabilidad de la demanda estacional es normal con media  y desviación estándar , entonces el tamaño óptimo de compra puede obtenerse como:

Q*  μ  k * σ

(5.45)

Otra ecuación interesante, presentada por Silver et al. (1998, p. 388 y p. 405) tiene que ver con la utilidad esperada dado un valor del tamaño de orden, Q. Dicha ecuación adaptada es la siguiente:

Q  E[U (Q)]  ( p  s)   (v  s)Q  ( p  s)Gz     

(5.46)

Igualmente, Silver et al. (1998, p. 389) presentan una forma más simplificada para calcular la utilidad neta esperada óptima, la cual adaptada viene dada por:

E[U (Q* )]  ( p  v)  ( p  s)f z (k * ) Donde f z (k * ) es la misma función de la normal definida en el Apéndice A, o sea:

(5.47)

238


f z (k * ) 

1 exp[ (k * ) 2 / 2] 2

(5.48)

Dos resultados importantes son presentados por Chopra y Meindl (2008, p. 352) para calcular los excedentes y los faltantes esperados al final de la temporada para el caso de la distribución normal de demanda. Adaptando estos resultados a nuestra nomenclatura, se obtiene:

  Q    Q  Excedentes Esperados  (Q   ) 1  pz    f z         

(5.49)

Q  Q  Faltantes Esperados  (   Q) pz    f z        

(5.50)

Ejemplo 5.11 (Problema de la revista con distribución normal de la demanda semanal) Considérese de nuevo los Ejemplos 5.9 y 5.10. Asúmase que la distribución de la demanda semanal de la revista es normal con media  = 13 revistas y desviación estándar  = 2.44 revistas (se han tomado estos valores aproximados a la media y a la desviación estándar de la variable aleatoria discreta de demanda para efectos de comparación). Los costos de exceso y de bajo inventario son los mismos definidos en el Ejemplo 5.10. Se tiene por lo tanto:

pz (k * ) 

Ce 800   0.1667 Cb  Ce 4,000  800

Del Apéndice A o de la función inversa de la normal unitaria de Excel™, se obtiene:

k *  0.9674; Gz (k * )  0.08862 Por lo tanto: Q*  13  (0.9674)(2.44)  15.36  15 ó 16 revistas

En este caso es relativamente sencillo desarrollar una hoja electrónica para implementar la Ec. (5.46) para varios valores de Q, obteniéndose la Tabla 5.12. Obsérvese que es preferible tomar Q* = 15 revistas, ya que la utilidad esperada es mayor que la que se obtiene con un tamaño de compra de 16 revistas. Esta tabla también representa un interesante análisis de sensibilidad alrededor del tamaño óptimo de compra. Por ejemplo, si se decidiera pedir Q = 17 revistas para mejorar el nivel de servicio, la utilidad neta esperada solo disminuiría aproximadamente en el 1%. Se sugiere al lector comprobar que la utilidad esperada óptima se obtiene también al aplicar la Ec. (5.47), utilizando la mayor precisión posible en la hoja electrónica para determinar el valor de k*.


239

Tabla 5.12. Utilidad neta esperada U(Q) en función de Q (Ejemplo 5.11) Q [unidades]

Utilidad Esperada U(Q) [$]

7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 15.36 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00

27,973.37 31,912.92 35,752.06 39,381.72 42,640.29 45,340.59 47,327.59 48,540.59 49,040.29 49,073.72 48,981.72 48,552.06 47,912.92 47,173.37 46,392.94

Los excedentes y faltantes esperados, aplicando las Ec. (5.49) y (5.50), respectivamente, serían los siguientes (Para Q* = 15 revistas):

  15  13   15  13  Excedentes Esperados  (15  13) 1  pz    2.44  f z    2.44   2.44   1    (2)1  pz 0.8197   2.44  exp[ (0.8197 2 / 2)] 2    2(1  0.2062)  0.6957  2.28 unidades  15  13   15  13  Faltantes Esperados  (13  15) pz    2.44  f z    2.44   2.44  1    (2) pz 0.8197   2.44  exp[ (0.8197 2 / 2)] 2    2(0.2062)  0.6957  0.28 unidades Recuérdese que los excedentes y faltantes son variables aleatorias y que se muestran sus valores esperados, es decir, que si observáramos el comportamiento del sistema por un número suficiente de semanas, en algunas ocasiones habría sobrantes y en otras ocasiones ocurrirían faltantes. Si calculáramos el promedio de los excedentes cuando ocurren y de los faltantes cuando ocurren, entonces obtendríamos los valores anteriormente mostrados. Así, los dos valores positivos obtenidos no representan contradicción alguna. De acuerdo con lo estudiado anteriormente, existen varias estrategias obvias para mejorar la rentabilidad de la cadena de abastecimiento en el caso de productos de estilo o de moda. La primera es aumentar el valor de salvamento s a través, por ejemplo, del envío del producto cuando la estación termine a otros lugares donde pueda ser demandado.

240


La segunda es implementar alternativas para disminuir el costo de bajo inventario, como por ejemplo identificar fuentes alternas de suministro durante una ocasión de faltante, incluso comprándole a los competidores. Otra alternativa interesante que se ve en algunas cadenas es la de ofrecer cupones de descuento futuro cuando ocurren faltantes. La tercera, la más obvia pero en ocasiones la más difícil, es la de disminuir la variabilidad de los errores del pronóstico de demanda. Esta última alternativa puede combinarse con tácticas como la de permitir dos o más despachos a lo largo de la estación de ventas, capturando información de demanda a medida que ocurre y utilizando tecnología y modos de transporte que permitan posponer la forma final del producto y disminuir los tiempos de reposición [Ver Rodríguez y Vidal (2009)]. Una cuarta alternativa es la de tener siempre identificado un proveedor que permita rápidos despachos, así sea a un mayor costo. Normalmente, se tienen proveedores con tiempos de reposición más largos, los cuales se utilizan normalmente para la parte más predecible de la demanda. Sin embargo, para la parte de la demanda de mayor incertidumbre o cuando un rompimiento de inventario es inminente, se puede considerar la utilización del proveedor más flexible de menor tiempo de reposición. Dentro de este contexto, el ‗proveedor‘ puede ser obviamente la propia planta de producción. Un ejemplo clásico que ilustra todas estas estrategias lo mencionan repetidamente Chopra y Meindl (2008). Se trata del caso de Benetton en el sector de las confecciones. Este sector es uno de los más complicados en cuanto al control de inventarios se refiere debido a la gran incertidumbre de la demanda en cuanto a la diversidad de modelos, texturas, colores y tallas de los ítems. Benetton subcontrata el 65% de la producción siete meses antes de la estación de ventas con plantas de muy bajo costo y con tiempos de entrega de meses; aquí se exige a los clientes (distribuidores) cifras muy precisas en cuanto a su demanda. Para el 35% restante de la producción, se les permite a los distribuidores que emitan pedidos incluso después de haberse iniciado la estación, cuando la demanda se conoce con más certeza. Esta producción se hace en una planta de propiedad de Benetton, la cual es muy flexible y brinda tiempos de reposición de semanas, utilizando transporte aéreo en la mayoría de los casos. Además, la empresa ha desarrollado una alternativa tecnológica que permite teñir las prendas después de confeccionadas, con lo que el principio de postposición de forma del producto se utiliza exitosamente disminuyendo inventarios de seguridad, a pesar de que los costos de producción se incrementan en un diez por ciento. Existen otros casos más complejos, tales como el problema del vendedor de periódicos restringido, considerando varios ítems. La restricción puede deberse a la disponibilidad de presupuesto de compra, capacidad de almacenamiento, o cualquier otra relacionada. Una referencia interesante sobre este tema puede leerse en Zhang et al. (2009). Otro problema es el del vendedor de periódicos de múltiples períodos y el análisis más profundo de ítems perecederos, considerando, por ejemplo, la degradación del ítem en períodos de tiempo constantes o la degradación del ítem en tiempo aleatorio. Silver et al. (1998, pp. 393-404) discuten estos aspectos y presentan una revisión completa de bibliografía relacionada. Rodríguez y Vidal (2009) presentan un heurístico para el control de inventarios de productos de corto ciclo de vida aplicado a un caso real de un productor de textos escolares. En estos casos más complejos de todas formas se aplican algunas de las reglas sencillas presentadas en esta sección y se complementan con técnicas de regresión.


241

5.14.3 Doble marginalización y contratos de suministro en la cadena de abastecimiento Un elemento muy importante dentro del contexto del control de inventario de ítems de estilo o de moda es definir quién o quiénes asumen el riesgo. Normalmente, hay dos actores: el proveedor o productor y el comprador o distribuidor. En algunas ocasiones, ambos pertenecen a la misma organización. En otras ocasiones, los dos pertenecen a diferentes empresas, pero el riesgo lo asume uno solo, lo cual no es justo. Por ejemplo, en algunos casos de textos escolares, el productor recibe los pedidos del distribuidor antes del comienzo de la temporada de ventas. El productor despacha los productos y prácticamente los pone en consignación al distribuidor. Esto significa que, al final de la temporada de ventas, el distribuidor puede devolver al productor cualquier exceso no vendido sin pagarlo, cancelando solamente lo vendido durante la temporada (o sea que el valor de salvamento es el 100% del valor del producto). Esto por supuesto causa que el productor asuma todo el riesgo y que el comprador no tenga problema alguno en pedir cualquier cantidad de productos, sabiendo que al final puede devolver todos los sobrantes sin detrimento alguno. Ejemplo 5.12 (Producción y distribución de textos escolares con demanda normal) Un fabricante de textos escolares produce cierto libro a un costo variable de producción de 10,000 $/u y lo transfiere a un distribuidor de la misma firma en 16,000 $/u. Este a su vez vende el texto a clientes externos en 24,000 $/u. Cualquier texto que sobre después de la temporada de ventas puede ser vendido por el distribuidor en otras localidades por 9,000 $/u. La demanda del texto en la tienda del distribuidor sigue una distribución normal durante la temporada con media 1,000 libros y desviación estándar 300 libros. Calcular el tamaño óptimo de pedido del distribuidor, su utilidad esperada, la utilidad del fabricante y la utilidad de la cadena como un todo. Para el distribuidor se tiene que p = 24,000 $/u, v = 16,000 $/u y s = 9,000 $/u. Por lo tanto, Cb = p – v = 8,000 $/u y Ce = v – s = 7,000 $/u. Aplicando la Ec. (5.44) se obtiene pz (k * )  0.4667 , de donde k* = 0.0837 y, de acuerdo con la Ec. (5.45), Q* = 1,025 unidades. Con este pedido, la utilidad esperada del distribuidor, aplicando la Ec. (5.46) resulta ser $6,211,030. Como el distribuidor pide 1,025 textos, entonces el fabricante obtiene una utilidad de 1,025 × (16,000 – 10,000) = $6,150,000. Así, si sumamos la utilidad del distribuidor y del fabricante, obtenemos la utilidad total de la cadena = $12,361,030. Si ahora, por el contrario, ambos actores de la cadena, el fabricante y el distribuidor, se reúnen y deciden pensar en forma conjunta como una cadena integrada, entonces el precio de transferencia de los textos del fabricante al distribuidor pasa a un segundo plano, pues se cancela internamente. Así, para toda la cadena, se tiene lo siguiente: Precio de venta a clientes externos = p = 24,000 $/u; costo variable de producción = v = 10,000 $/u; valor de salvamento s = 9,000 $/u. Con estos nuevos valores se obtiene Q* = 1,450 libros y la utilidad total esperada de la cadena sería de $13,418,120, o sea un 8.55% mayor que la obtenida inicialmente. Obsérvese que si esta utilidad se repartiera equitativamente entre el fabricante y el distribuidor, cada uno tendría $6,709,060, es decir, que ambos estarían ganando más que en la situación inicial! Este ejemplo debería poner a pensar a muchas cadenas en las que las decisiones se toman en forma independiente. El problema aquí radica en que inicialmente el distribuidor está

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tomando la decisión de compra en forma independiente del fabricante y ocurre lo que se denomina la doble marginalización o la optimización local en lugar de la optimización global, lograda cuando los dos se ponen de acuerdo. En realidad, la utilidad de 14,000 $/u se estaba repartiendo al comienzo, a través del precio de transferencia de 16,000 $/u, en $6,000 para el productor y $8,000 para el distribuidor. La segunda parte del ejemplo anterior asume una perfecta relación entre el fabricante y el distribuidor. Cuando esto no se da, puede haber soluciones intermedias a través de ciertos contratos de suministro. Un contrato de suministro especifica las cantidades a comprar, los precios, los tiempos de entrega y puede incluir otros aspectos como calidad y condiciones de devolución de productos. Los más importantes se mencionan a continuación. Contrato de devolución En este contrato, el fabricante ofrece al distribuidor devolverle un porcentaje del valor del producto por cualquier unidad dejada de vender por el distribuidor al final de la temporada. Esto genera confianza en el distribuidor quien tiende a pedir mayor cantidad, lo que normalmente incrementa la utilidad esperada para ambas partes y para la cadena en forma integral. Supóngase que el fabricante fija un precio de venta (o transferencia) al distribuidor de t $/u y un valor de devolución por cada unidad dejada de vender al final de la temporada de d $/u. Este último obviamente se convierte en el nuevo valor de salvamento del distribuidor. A su vez, se supone que el productor puede recuperar $sp por cada unidad retornada por el distribuidor. El precio de venta del distribuidor a clientes externos continúa siendo de p $/u y el costo unitario de producción sigue siendo v $/u. En el caso de demanda normal, para calcular la cantidad óptima de pedido del distribuidor * Q , se utilizan las Ec. (5.44) y (5.45) con Ce = t – d y Cb = p – t. Para calcular la utilidad esperada del distribuidor cuando ordena una cantidad Q (puede ser Q*), se utiliza entonces la Ec. (5.46) con s = d y v = t. Para calcular la utilidad esperada del productor, se deben tener en cuenta los excesos esperados del distribuidor, de acuerdo con la Ec. (5.49). Así, si el distribuidor ordena Q unidades, entonces la utilidad esperada del productor será:

E[U prod ]  Q(t  v)  [(d  s p )  (Valor esperado de las devoluciones )]

(5.51)

Ejemplo 5.13 (Contrato de devolución) Considere el Ejemplo 5.12. Todos los datos dados allí se mantienen, excepto que ahora el precio de transferencia t y el valor de salvamento del productor d van a ser los ofrecidos por el productor, a través de un contrato de devolución. Se van a probar varias combinaciones de estos valores. Se asume que el productor tiene la posibilidad de recuperar sp = 9,000 $/u de cualquier unidad retornada por el distribuidor (Esto es lógico, pues las oportunidades que originalmente tiene el productor de recuperar cualquier unidad no vendida al final de la temporada se las podría ceder al productor). Los resultados con varios valores de t y d se muestran en la Tabla 5.13.


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Tabla 5.13. Resultados de varias pruebas con el contrato de devolución (Ejemplo 5.13) Precio de

Valor de

transferencia t devolución d 15,000 9,000 15,000 10,000 15,000 12,000 15,000 14,000 16,000 9,000 16,000 10,000 16,000 15,000 17,000 16,500 17,000 16,000 17,000 15,000 18,000 10,000 18,000 15,000 18,000 16,000 18,000 17,000

Tamaño óptimo Excedentes Util. esperada

Util. esperada Util. Esperada

de pedido Q * esperados del distribuidor del productor total cadena 1,076 162 7,261,459 5,380,021 12,641,479 1,110 183 7,433,053 5,366,629 12,799,682 1,202 247 7,856,004 5,270,455 13,126,459 1,384 399 8,473,505 4,928,985 13,402,490 1,025 133 6,211,030 6,150,573 12,361,603 1,054 149 6,351,371 6,175,404 12,526,775 1,366 382 7,488,633 5,903,217 13,391,850 1,450 459 6,709,060 6,709,060 13,418,120 1,345 364 6,505,952 6,869,674 13,375,626 1,229 268 6,195,937 6,999,255 13,195,191 946 95 4,351,371 7,473,356 11,824,727 1,129 195 5,018,281 7,862,393 12,880,674 1,202 247 5,237,336 7,889,123 13,126,459 1,320 342 5,526,145 7,824,476 13,350,621

Existe una combinación (diseñada a manera de ilustración, pues existen muchas más que producen resultados semejantes) para la cual la utilidad total esperada del distribuidor y de toda la cadena son menores que las obtenidas inicialmente en el Ejemplo 5.12. Corresponde a la combinación t = 18,000 $/u y d = 10,000 $/u, con una utilidad esperada del distribuidor de $4,351,371 < $6,211,030 y un utilidad total cadena esperada de $11,824,727 < $12,361,030. La utilidad esperada del productor de $7,473,356 sí es mayor que la inicial del Ejemplo 5.12 de $6,150,000. Evidentemente, si estos fueran los términos del contrato, éste no sería una propuesta gana-gana y no debería ser aceptada por el distribuidor. Obsérvese que la combinación de valores t = 16,000 $/u y d = 9,000 $/u produce la misma utilidad total esperada de la cadena de $12,361,030, del distribuidor y del productor, obtenidas inicialmente en el Ejemplo 5.12 (con algunas diferencias por redondeo). Esto es lógico, pues para dichos valores se reproduce la misma situación del ejemplo mencionado. Sin embargo, el resto de combinaciones siempre produce una mayor utilidad esperada total en la cadena. Lo interesante es que hay combinaciones que producen mayor utilidad a nivel individual que las originales del Ejemplo 5.12. Por ejemplo, la combinación t = 17,000 $/u y d = $16,000 $/u produce una utilidad esperada del distribuidor de $6,505,952 > $6,211,030, del productor de $6,869,674 > $6,150,000 y por supuesto de la cadena integral de $13,375,626 > $12,361,030. Lo que esto significa es que, bajo un contrato de devolución con estas condiciones, ambas partes aumentan su utilidad esperada, en una relación indudablemente gana-gana. Un gran número de combinaciones producen resultados semejantes al anterior (incluso existe la hipótesis de que hay infinitos valores de d y t que producen una utilidad total esperada específica). Llama la atención la fila resaltada en la tabla, pues ella corresponde a la solución óptima global que se logra en el Ejemplo 5.12 cuando ambas partes actúan como una cadena totalmente integrada. Lo que esto significa es que incluso pueden encontrarse valores de d y t, a través de contratos de devolución, que producen la misma solución óptima global. La importancia de este resultado en la práctica es que, incluso teniendo dos actores de la cadena que no pertenezcan a la misma organización, se puede encontrar un contrato de devolución que reproduzca un esquema de colaboración de una cadena totalmente integrada! Por lo tanto, vale la pena buscar dichos acuerdos en la práctica.

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Otro tipo de contrato es el de utilidades compartidas, en el cual el distribuidor comparte un porcentaje de las utilidades con el productor, a cambio de que éste le dé un descuento en el precio de compra del producto. Aquí el incentivo es que el distribuidor tiende a comprar mayor cantidad y a generar una mayor utilidad, la cual, incluso después de compartir con el productor, va a ser mayor que sin el contrato. Igualmente, el productor va a ganar más dado el mayor volumen de ventas y la fracción de utilidad que el distribuidor le comparte. Un tercer tipo de contrato recibe el nombre de contrato de cantidades flexibles. De acuerdo con Simchi-Levi et al. (2003, p. 55), en este tipo de contratos el productor ofrece la devolución total del valor del producto al distribuidor, siempre y cuando las unidades retornadas no superen un valor límite previamente acordado. Las unidades retornadas por encima de dicho límite se reconocen a un valor de salvamento menor. La diferencia con el contrato de devoluciones es que en este último se concede un valor de salvamento menor que el valor de los productos sobre todas las unidades retornadas. En contraste, Chopra y Meindl (2008, p. 441) presentan otra modalidad de este tipo de contratos, en los cuales el productor permite al distribuidor cambiar las unidades pedidas después de observar la demanda. Una última opción que va más allá de un contrato es lo que se conoce como Inventario Manejado por el Proveedor (Vendor Managed Inventory, VMI). En esta opción, el fabricante o proveedor es responsable por todas las decisiones de inventario a nivel del distribuidor, incluyendo los pronósticos de demanda y las políticas de control. Esta modalidad ha tomado mucho auge actualmente y se convierte en una opción interesante tanto para el proveedor como para el distribuidor. En Colombia, por ejemplo, algunas cadenas de productos de consumo masivo mantienen altos inventarios de ciertos productos en la forma tradicional. Una forma de aliviar esto, es compartir la información con el proveedor, especialmente la de demanda, y dejar que sea éste quien maneje completamente el inventario. Así, la ventaja para el distribuidor será la liberación de capital de trabajo invertido en inventario y el transferir los problemas de pronósticos de demanda y control de inventarios al proveedor. Por su parte, el proveedor puede imponer algunas condiciones, como son las del pronto pago de las unidades vendidas en el punto de venta, lo cual a menudo tarda mucho en los sistemas tradicionales. De esta forma, los sistemas VMI se convierten en verdaderas alianzas gana-gana y en un claro ejemplo de colaboración en la cadena de abastecimiento. Algunas características y ventajas del VMI, mencionadas por diversos autores, son las siguientes:  Se requiere que la información de demanda del distribuidor sea compartida con el proveedor.  Se pueden evitar los problemas de doble marginalización ilustrados en el Ejemplo 5.12.  El fabricante o proveedor puede planear su aprovisionamiento con mucha mayor confiabilidad.  El VMI puede tener el problema de que frecuentemente el distribuidor comparte su espacio con productos de la competencia del fabricante o proveedor. Como consecuencia de esto, se pueden ignorar las posibles sustituciones de producto al pronosticar la demanda e incurrir en excesos de inventario. En estos casos, el distribuidor puede estar en mejor posición para tomar las decisiones sobre inventarios. Simchi-Levi et al. (2003, pp. 49-57) y Chopra y Meindl (2008, pp. 436-446) discuten estos temas con mayor profundidad, incluyendo otros tipos de contrato y el efecto de considerar un


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inventario inicial en el productor y un costo fijo de producción del fabricante. Otras publicaciones recientes que incluyen una revisión explicada de literatura es la de Leng y Zhu (2009) en el caso de contratos y un caso de VMI por Southard y Swenseth (2008). Arshinder y Deshmukh (2008) presentan varias perspectivas de la coordinación en la cadena de abastecimiento, incluyendo VMI, y plantean posibilidades de investigación futura en el área. En cuanto al control de ítems perecederos, se han publicado avances recientes. Algunos de éstos mencionan la ventaja de tener tecnologías de identificación de productos como el RFID (Radio Frequency IDentification) para el control de inventarios de ítems perecederos [Broekmeulen y Van Donselaar (2009)], con lo cual es mucho más fácil registrar la edad del producto en el sistema para así diseñar sistemas eficientes de control de inventarios a bajo costo y con cálculos muy sencillos. Por su parte, Van Donselaar et al. (2007) presentan lineamientos para el control de ítems perecederos en supermercados. Kanchanasuntorn y Techanitisawad (2006) investigan el efecto de las políticas de agotados de productos perecederos con vida útil constante sobre el costo total relevante, la utilidad neta, el nivel de servicio y el inventario promedio en un sistema de producción-distribución de dos etapas. Igualmente, los autores desarrollan un modelo de control de este tipo de ítems, el cual logra mejorar significativamente los indicadores de costo y utilidad. A nivel local puede consultarse el trabajo de grado por García y Zúñiga (2006), quienes presentan un sistema de control de inventarios en el área de frutas y verduras. Varios autores tratan algunos tópicos de control de inventarios de ítems especiales, tales como ítems clase A y C. Para los primeros existen métodos más sofisticados de control y métodos que optimizan tanto el nivel de servicio como el tamaño de pedido. La referencia más conocida al respecto es la de Silver et al. (1998). Vidal (2009) trata también estos temas. Otro tema de gran interés en los últimos años ha sido lo que se denomina la fijación dinámica de precios o administración de utilidades (dynamic pricing o revenue management), lo cual se hace con el objeto de incrementar la utilidad de la organización. En esta sección se ha considerado que el precio de venta del producto p es fijo. Sin embargo, son muchas las situaciones en las cuales esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, un caso muy conocido es el de las líneas aéreas, las cuales deciden dejar en reserva cierto número de sillas en cada avión hasta minutos antes de despegar, puesto que el precio al cual se puede vender el tiquete se incrementa significativamente con el tiempo antes de que el avión despegue. Por ello, a veces se observan aviones con muchas sillas vacías que se les han negado a ciertos clientes quienes no están dispuestos a pagar más de cierto valor por el tiquete, esperando a que llegue otro tipo de clientes que sí lo hace. Indudablemente, esto representa un riesgo para la empresa, pero cuando se administra adecuadamente produce incrementos en la utilidad en el largo plazo. Las técnicas de administración de utilidades también se han aplicado al caso de los hoteles, alquiler de autos y más recientemente hay intensiva investigación de la aplicación de estas técnicas a los negocios por Internet. Una excelente revisión de estos tópicos puede leerse en Agatz et al. (2008). Por su parte, Chopra y Meindl (2008, pp. 459-481) dedican igualmente un capítulo a este tema.

Ejercicios 5.6 1. Una empresa manufacturera de artículos de Navidad ha introducido un nuevo árbol al mercado a finales de octubre, esperando que la estación dure hasta alrededor del 15 de

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diciembre. Se estima una demanda normal del producto con media 100 unidades y desviación estándar 40 unidades. El valor de manufactura de cada árbol es de $350,000 y el precio de introducción será de $525,000 para lograr alcanzar el nivel de ventas estimado. Al final de la temporada se estima que cada árbol puede rematarse en $120,000 y el costo de mantener una unidad en inventario durante la estación es de $26,000. a) ¿Cuántas unidades debería manufacturar la empresa y cuál es la utilidad esperada correspondiente? b) ¿Cuáles son los niveles de servicio P1 y P2 alcanzados mediante esta política? c) La empresa ha decidido realizar un extenso estudio de mercado para este producto, de tal forma que se ha establecido su demanda para la estación como normal, con media 100 unidades y desviación estándar 15 unidades. Repita los literales (a) y (b) y estime cuánto podría pagarse por dicho estudio de mercado. 2. Una pequeña distribuidora de flores situada en Santiago de Cali está estimando cuántas docenas de rosas debería tener en inventario durante la época del Día de la Madre. Las rosas son adquiridas a $6,000/docena y son vendidas a $10,000/docena. Una vez terminan las festividades del la Madre, las rosas se pueden vender para otros efectos en $4,000/docena, ya que su vida útil y apariencia les hace perder valor. Además, se carga un costo de manejo durante el período de $500/docena. La propietaria de la floristería, basada en demandas de años anteriores, ha estimado que la demanda de rosas (en docenas) sigue aproximadamente la distribución de frecuencias observada a continuación: Demanda de rosas en docenas [di] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Frecuencia observada [pi] 0.01 0.04 0.10 0.15 0.20 0.24 0.12 0.05 0.05 0.03 0.01

a) Determine el número de docenas que la propietaria de la distribuidora debería ordenar para la temporada del Día de la Madre, de tal forma que se maximice su utilidad neta esperada, y estime el valor de ésta. b) La propietaria desea tener el mejor servicio posible ya que ello le representa clientes futuros para otras ocasiones. Por ello ha decidido establecer un nivel de servicio P1 igual al 95%. ¿Cuánto le representa este nivel de servicio con relación a la política óptima establecida en el literal anterior? c) Usted piensa que sería mejor considerar la demanda de las rosas durante la temporada mencionada siguiendo una distribución normal. Proponga valores para la media y la desviación estándar de dicha distribución normal, de tal forma que los resultados de los


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literales anteriores sean consistentes. En otras palabras, defina una distribución normal de demanda con media y desviación estándar iguales a la media y desviación estándar de la distribución discreta propuesta y repita los literales (a) y (b). {Ayuda: Recuerde que para cualquier variable aleatoria x, Var(x) = E(x2) – [E(x)]2} 3. Una confeccionista de disfraces para el Día de los Niños (octubre 31) produce un disfraz que gusta mucho y es su principal ítem. Su costo variable de producción es de 8,000 $/u. Ella le vende cada disfraz a 15,000 $/u a un almacén que es su principal distribuidor y ha encontrado que la demanda del ítem durante la temporada de ventas en el almacén sigue aproximadamente una distribución normal con media 350 y desviación estándar 140. El precio de venta en los almacenes es de 25,000 $/u. Actualmente, no hay contrato alguno entre las dos partes. Simplemente, el almacén estima su tamaño óptimo de pedido y ordena dicha cantidad. Cualquier disfraz que no venda el almacén después de la temporada, se puede vender con un descuento del 70% sobre su precio de venta original. a) Bajo las condiciones actuales, calcule el tamaño óptimo de pedido de pedido del almacén y las utilidades esperadas del almacén, de la confeccionista y de la cadena confeccionista-almacén como un todo. b) El almacén le está ofreciendo a la confeccionista el siguiente contrato. Le incrementa el precio de compra de cada disfraz en el 10%, pero, al final de la temporada, el almacén le devuelve todos los disfraces no vendidos y ella le debe reconocer al almacén $15,000 por cada disfraz devuelto. La confeccionista puede recuperar $5,600 por cada disfraz que le devuelva el almacén, vendiéndolos en ciertas tiendas de descuento. Asumiendo que el almacén bajo estas condiciones le compraría a la confeccionista la cantidad óptima que sugieran las Ec. (5.44) y (5.45), ¿debería ella aceptar la oferta que le están haciendo? c) Si el almacén le ofreciera a la confeccionista trabajar como una cadena integrada, eliminando el precio de transferencia de los disfraces y repartiendo las utilidades en partes iguales, ¿en cuánto se incrementaría la utilidad esperada de cada una de las partes? 4. Problema del vendedor de periódicos para múltiples productos con restricciones de capacidad. El dueño de un restaurante está planeando la compra de carne de res y de carne de cerdo para la temporada de fin de año (la última semana del año). Dada la gran demanda de esta época, el proveedor de carne del restaurante sólo acepta un pedido al comienzo de la temporada. Por experiencias pasadas, el dueño sabe que durante la temporada, la carne de res tiene una demanda con distribución normal con media 250 kg y desviación estándar 30 kg. La carne de res se compra a 14,000 $/kg y se vende en el restaurante a 25,000 $/kg. Si sobra de esta carne al final de la temporada, se puede utilizar en platos más económicos y venderse a $10,000 $/kg. La carne de cerdo tiene una demanda más variable durante la temporada, con una distribución normal con media 140 kg y desviación estándar 100 kg. La carne de cerdo se puede conseguir a 9,500 $/kg y se vende en el restaurante a 20,000 $/kg. Si sobra carne de cerdo al final de la temporada, se puede preparar de otras formas y venderse a 7,500 $/kg. a) Calcule el tamaño óptimo de pedido de cada uno de los dos tipos de carne y la utilidad óptima total esperada sin considerar restricción alguna.

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b) Considere ahora que los refrigeradores que tiene el restaurante solamente pueden almacenar un total de 400 kg. ¿Cuál sería ahora la cantidad óptima a comprar de cada tipo de carne y la utilidad óptima total esperada? Aplique el solver de Excel™ para resolver este literal. c) Ignore ahora la restricción de almacenamiento de los refrigeradores. Considere que el dueño del restaurante sólo dispone de $5,000,000 para invertir en las carnes al comienzo de la temporada. Con base en la hoja electrónica diseñada, calcule de nuevo los tamaños óptimos de lote y la utilidad óptima total esperada. d) Para los literales (b) y (c), en forma independiente, formule para cada uno un modelo matemático de optimización y discuta sobre la posibilidad de resolverlos como una alternativa para encontrar las cantidades óptimas a comprar en cada caso. 5. Un fabricante de sombreros vende un tipo especial durante la temporada de ferias, incluyendo la de Cali y Manizales, entre otras. Se acepta que la demanda de estos sombreros durante esta temporada se distribuye normalmente con una media de 4,000 sombreros y una desviación estándar de 1,800 sombreros. Cada sombrero se vende en $70,000 y cuesta $35,000 producirlo. Cualquier sombrero que quede en inventario después de la temporada de ferias se puede vender en $29,200 en la promoción de final de año, pero se agrega $5,800 a su costo por mantenimiento de inventario hasta la promoción. Se está estudiando la posibilidad de exportar los sombreros sobrantes a otras ferias que se realizan en los primeros meses del año en lugar de realizar la promoción de fin de año en Colombia. Cada sombrero exportado se puede vender fácilmente en $41,000 en el exterior. Los costos de envío son de $5,800 por cada sombrero vendido en el exterior. Asumiendo que el fabricante no quiere abandonar el mercado colombiano, ¿recomendaría usted la opción de exportar el sobrante de sombreros de fin de año? ¿Qué impacto tendría aceptar esta opción? ¿De ser aceptada esta opción, que número promedio de sombreros por año se estarían exportando? 6. El dueño de una carnicería debe decidir cuántos kilos de pescado congelado le pide al proveedor antes de la temporada de Semana Santa. Cada kg de pescado congelado se vende en $9,250 y su costo de compra es de $6,180. La demanda de pescado durante la temporada se puede modelar como una distribución uniforme con un valor mínimo de 75 kg y un valor máximo de 125 kg. Cualquier cantidad que quede en inventario puede ser vendida en promoción en los días siguientes a Semana Santa a la mitad del precio normal de venta. Sin embargo, el hecho de haber tenido el producto guardado hace que el pescado sobrante incurra en un costo adicional de mantenimiento del inventario del 10% sobre su costo de compra original. a) ¿Cuántos kg de pescado congelado debería ordenar el dueño de la carnicería? b) Repita el literal anterior si se asume que la demanda tiene una distribución normal con media 100 kg y desviación estándar 15 kg. Compare los resultados. [Para efectos de comparación, recuerde que la media de una variable que se distribuye uniformemente U(a, b) es (a + b)/2 y su varianza es (b – a)2/12] 7. En el Problema No. 3 anterior, repita el literal (b) si el contrato ofrecido por el almacén es el siguiente. El almacén le mantiene el precio de compra a la confeccionista en 15,000 $/u, pero le ofrece comprarle una cantidad Q = 450 disfraces. Al final de la temporada, el almacén le devuelve todos los disfraces no vendidos y ella le debe reconocer al almacén


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$10,000 por cada disfraz devuelto. La confeccionista puede recuperar $5,600 por cada disfraz que le devuelva el almacén, vendiéndolos en ciertas tiendas de descuento, ¿debería ella aceptar la oferta que le están haciendo? (Ayuda: Observe que en este caso la Ec. (5.47) no es aplicable para el almacén).

Ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda probabilística 1. El siguiente problema ha sido diseñado con base en una muestra de un caso real. Usted ha decidido mejorar el sistema de inventarios que lleva su empresa comercial a través de un análisis integral. Su empresa mantiene en inventario alrededor de 250 ítems, de los cuales usted ha escogido una muestra de 10 ítems representativos. Para iniciar su análisis usted ha recolectado datos sobre la demanda real de estos ítems en las últimas 30 semanas, los cuales se resumen en la Tabla 5.14. Tabla 5.14. Datos de demanda, tipo, valor y proveedor de 10 ítems para el Problema No. 1 (Ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda probabilística) DEMANDA, TIPO, VALOR Y PROVEEDOR PARA DIEZ ÍTEMS SELECCIONADOS:

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

P001 3,487 3,487 2,622 2,942 2,994 2,997 3,147 2,832 3,008 3,040 2,817 2,965 3,310 3,406 3,568 3,385 3,036 3,449 3,383 3,510 3,097 3,608 3,625 3,674 3,454 3,114 2,982 3,228 2,879 3,181

P002 2,324 1,942 1,431 1,833 1,818 1,973 1,751 1,771 1,484 1,424 1,749 2,342 1,792 1,660 2,224 1,815 1,659 1,897 1,712 1,649 1,647 1,327 1,426 1,605 1,507 1,560 1,494 1,650 1,769 1,577

C Ó D I G O D E L P003 P004 P005 P006 82 110 49 97 76 97 16 97 72 111 18 102 70 171 21 107 98 131 15 130 69 86 12 89 68 115 12 171 74 71 14 101 73 101 93 123 65 129 76 105 62 109 47 144 75 117 126 149 76 121 164 142 74 76 133 122 79 94 117 76 71 121 123 136 80 71 94 119 87 91 142 128 81 91 156 176 87 76 116 148 90 82 112 163 97 90 120 170 72 83 150 170 82 88 119 201 117 65 85 102 72 96 125 219 81 69 92 130 86 77 129 110 63 62 91 186 86 55 116 132

Í T E M P007 P008 16 1,521 17 1,521 12 1,154 22 978 21 1,120 26 1,221 20 1,092 27 1,573 23 1,384 34 1,149 31 1,269 12 1,116 28 1,215 18 1,285 17 1,100 23 1,370 23 1,023 31 1,448 23 1,497 13 1,448 22 1,600 19 1,598 18 1,353 24 1,750 26 1,664 16 1,625 27 1,950 13 1,882 22 2,056 21 2,314

P009 14 21 14 24 18 20 19 28 11 11 17 15 11 9 17 15 15 12 16 20 29 9 16 11 8 14 28 10 9 15

P010 12 27 14 0 17 0 13 13 0 11 1 7 0 0 1 8 3 9 3 0 19 4 17 2 21 10 0 20 0 2

Valor ($/u.) 1,500 970 850 350 575 7,575 670 890 300 285,000 Tipo A B C C C B C B C A Proveedor Prov1 Prov1 Prov1 Prov1 Prov2 Prov2 Prov2 Prov3 Prov3 Prov3

250


Usted también ha recolectado información acerca del desempeño de sus proveedores con relación a sus tiempos de reposición, utilizando datos de los últimos 20 despachos recibidos de cada uno (por simplicidad no se consideran diferentes tiempos de reposición para cada ítem). La Tabla 5.15 resume esta información. Tabla 5.15. Datos de tiempos de reposición de proveedores para el Problema No. 1 (Ejercicios adicionales y de repaso sobre demanda probabilística) DATOS DE LEAD TIMES DE LOS PROVEEDORES [días] Dato No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Prov1 5 7 3 6 10 4 2 5 4 8 4 3 11 5 4 3 5 7 12 5

Prov2 12 10 9 7 7 6 14 10 11 11 13 7 7 10 16 12 18 7 7 12

Prov3 7 7 6 5 7 7 8 6 5 9 7 5 7 7 6 5 5 7 5 8

Después de un detallado análisis sobre costos, usted ha concluido que un valor del 22% anual es adecuado para el costo de mantenimiento del inventario y que el costo general de hacer un pedido es de $18,000, independientemente del número de ítems que contenga el pedido. A través de análisis históricos, usted determinó que ha estado cumpliendo aproximadamente con el 96% de la demanda solicitada por sus clientes de su inventario disponible, pero le gustaría mejorar este nivel de servicio. El 4% restante de la demanda frecuentemente se pierde ya que sus productos son altamente substituibles. Se ha encontrado además que, en promedio, los productos clase A tienen una rentabilidad del 15% sobre su valor, los productos clase B del 12% y los productos clase C del 10%. Sin embargo, usted sospecha que el costo de faltantes calculado con base en estos datos se puede incrementar en al menos un 30% por la pérdida de imagen de su compañía ante los clientes cuando se pierde una venta. Usted debe diseñar un buen sistema de pronósticos para todos los ítems de la muestra (estos resultados se harán extensibles, por supuesto, a todos los ítems de su empresa después de su análisis). Aunque usted ha estado interactuando con sus proveedores, éstos han estado reacios a manejar órdenes demasiado pequeñas u órdenes muy frecuentes con muy pocos ítems, lo que podría ser el resultado de aplicar un sistema de control continuo. Por ello, usted ha decidido emplear un sistema de control (R, S) para todos los ítems, de tal forma que se facilite la coordinación. Sin embargo, usted piensa que el intervalo de revisión para los ítems clase A debería ser menor que el de los B, y el de éstos menor que el de los C, para facilitar la administración del sistema y tener menor inventario de seguridad.


251

Haciendo los supuestos que considere razonables y sustentándolos, diseñe un sistema de control integral de inventarios, basado en la muestra de 10 ítems que se da en las dos tablas anteriores. 2. La empresa ABC está utilizando un sistema de control (s, Q) y tiene la política de fijar los inventarios de seguridad para obtener un nivel de servicio P2 = 0.995 (asuma que todos los faltantes se convierten en órdenes pendientes). Para un ítem con patrón de demanda perpetua, la demanda promedio es de 18,000 unidades/año y se utiliza un tamaño de pedido Q = 1,500 unidades (Asuma que 1 año = 52 semanas). El proveedor del ítem presenta un tiempo de reposición constante de 3 semanas. El precio actual de compra es de $15,000/unidad y el costo de ordenamiento se ha estimado en 10,000 $/orden. Contratando un nuevo medio de transporte, el proveedor ofrece disminuir el tiempo de reposición a un valor constante de 2 semanas, bajo dos condiciones. Primero, incrementará el valor de cada ítem en un 5% y, segundo, la empresa debe aumentar los tamaños de lote a 1,750 unidades. Asumiendo que la desviación estándar semanal de los errores del pronóstico es de 180 unidades y que el costo de mantenimiento del inventario es del 24% anual, ¿debe la empresa aceptar la oferta del proveedor? ¿Por qué? ¿Depende esta decisión del valor del costo de faltantes B2 (0  B2  1). ¿Cuál es el máximo valor del producto que puede fijar el proveedor con su oferta para que la empresa pueda aceptarla? 3. Una empresa está usando un sistema de control (s, Q) para un repuesto muy importante utilizado en varias máquinas de producción. Las propiedades del ítem son las siguientes: D = 2,000 unidades/año v = $60,000/unidad xˆ L = 150 unidades P1 = 97.5%

A = $45,000/pedido r = 20% anual ˆ L = 60 unidades

Cuando un faltante está a punto de ocurrir, se genera una acción de emergencia que evita la ocurrencia del faltante. El costo de esta acción es de aproximadamente $600,000, independiente de la magnitud del faltante en unidades. La compañía utiliza el EOQ como tamaño de lote. a) Determine el EOQ y el punto de reorden s. b) ¿Cuál es el costo total relevante esperado, incluyendo costos de ordenamiento, mantenimiento del inventario y acciones de emergencia? a) Se sospecha que la política anterior puede ser mejorada mediante un incremento del tamaño de pedido utilizado. Trate de mejorar la política anterior y discuta los resultados, principalmente con respecto del nivel de servicio alcanzado. b) Discuta otras formas de mejoramiento de la política de inventarios presentada en este caso. 4. Suponga que un ítem controlado bajo un sistema (s, Q) tiene una demanda sobre el tiempo de reposición DL uniformemente distribuida entre a y b.

252


a) Determine una fórmula para el punto de reorden s, para producir un nivel de servicio especificado P1. Ilustre con a = 100, b = 200 y P1 = 0.975. b) Para una cantidad especificada Q encuentre una expresión para determinar el punto de reorden s dado un nivel de servicio P2. Ilustre para a = 100, b = 200, Q = 500 unidades, D = 1000 unidades/año y P2 = 0.990. (Sugerencia: Recuerde que las expresiones mostradas en la Sección 5.11.2 son válidas para cualquier distribución probabilística de demanda sobre el tiempo de reposición.) 5. La demanda semanal para cierto tipo de impresoras en un almacén de computadores se distribuye normalmente con una media de 250 unidades y una desviación estándar de 150 unidades. Esta impresora se controla con un sistema (s, Q), ordenando 1,000 impresoras cada vez que el inventario efectivo baja a 600 impresoras. El tiempo de reposición actual es de dos semanas. a) Determine el inventario de seguridad en unidades que está manteniendo el almacén. b) Determine los niveles de servicio P1 y P2 alcanzados mediante esta política. c) Si no está satisfecho con los niveles de servicio anteriores proponga alternativas de mejoramiento de la política actual de control. 6. En el problema anterior asuma que el tiempo de reposición se distribuye normalmente con media 2 semanas y desviación estándar 2 semanas. a) Determine el inventario de seguridad en unidades que debe mantener el almacén para lograr un nivel de servicio P2 = 99.5%. b) Construya un gráfico del inventario de seguridad requerido para lograr el nivel de servicio planteado en el literal anterior en función de la desviación estándar del tiempo de reposición, variando ésta desde 2 semanas hasta 0 semanas (LT constante), en intervalos de 0.1 semanas. Una hoja electrónica puede ser de gran ayuda para resolver este punto. Comente acerca de los resultados. 7. Cierta materia prima presenta un consumo promedio mensual de 35 toneladas, con una desviación estándar con base mensual estimada en 10 toneladas. Normalmente, el tiempo de reposición del proveedor es de 1 mes con una desviación estándar de 0.25 meses. Actualmente, el punto de reorden se ha fijado en 45 toneladas. a) Calcule la probabilidad de tener la materia prima agotada por cada ciclo de reposición. b) Si la administración sugiere aumentar el punto de pedido a 1.5 meses de demanda promedio, ¿usted estaría de acuerdo? 8. Un ítem controlado con un sistema de control continuo (s, Q) presenta un tiempo de reposición con un valor esperado de 5 semanas y una desviación estándar de 0.5 semanas. La demanda promedio del ítem es de 2,000 unidades/semana. La desviación estándar de la demanda sobre el tiempo de reposición aleatorio, σw, es igual a 1,049 unidades y se está utilizando un tamaño de pedido de 4,000 unidades. Se ha especificado un nivel de servicio P2 de 0.995 y se asume que todos los faltantes se convierten en órdenes pendientes. Usted


253

quiere investigar el efecto del cambio de diversos parámetros sobre el inventario de seguridad, sin detrimento del nivel de servicio especificado, a saber: a) Un aumento del 50% en el tamaño de pedido. b) Una disminución del 50% en el valor esperado del tiempo de reposición. c) Una disminución del 50% en la desviación estándar del tiempo de reposición. Comente acerca de los efectos prácticos de los resultados anteriores. 9. En su empresa, usted utiliza un sistema de revisión periódica (R, S) para un ítem que presenta las siguientes características (Asuma que 1 año = 52 semanas): D = 25,220 unidades/año v = $28,000/unidad LT = 2.5 semanas P1 = 96%

A = $121,000/pedido r = 24% anual ˆ1 = 100 unidades (con base semanal) B2 = 35% del valor del ítem

Usted ha determinado el intervalo de revisión R a partir de la relación EOQ/D, redondeando al valor más lógico, de acuerdo con el resultado del cálculo mencionado. Asumiendo que actualmente el inventario a la mano del ítem es de 1,154 unidades, que hay un pedido pendiente por llegar de 800 unidades y que no hay pedidos pendientes por satisfacer a los clientes, resuelva los siguientes puntos: a) Construya una hoja electrónica para resolver todo este problema. Determine el intervalo de revisión R a partir del EOQ y redondéelo al valor más lógico de acuerdo con el resultado. b) Calcule el inventario máximo S del ítem, de acuerdo con la información suministrada, estime el fill rate generado y estime el costo total relevante CTR en $/año bajo la política de control actual. c) Con la información dada, ¿es lógico que haya un pedido pendiente? ¿Por qué si o por qué no? ¿Esto es una barrera para utilizar este sistema de control? d) Con la información dada, determine el tamaño de pedido que debe hacerse (recuerde tener en cuenta el inventario efectivo del ítem). e) Manteniendo el nivel de servicio P1 actual, determine el intervalo de revisión óptimo R* que minimiza el CTR. ¿Está satisfecho con el valor obtenido en el literal (a)? f) Asuma que el nivel de servicio especificado desde un comienzo es P1 = 98% y que usted mantiene el R calculado en el literal (a). Recalcule el CTR. ¿Es sorprendente el resultado? Con base en este resultado, ¿qué es lo mejor que usted podría recomendar? 10. Para la producción de una máquina, su empresa compra un componente costoso a un proveedor internacional. Los datos que usted ha recolectado sobre este ítem son los siguientes (Asuma que 1 año = 12 meses): D = 7,500 unidades/mes v = $860,000/unidad (valor del ítem sin descuento) LT = 1 mes

A = $230,000/pedido r = 30% anual B2 = 30% del valor del ítem

254


ˆ1 = 1,875 unidades (con base mensual)

P1 = 97.5%

Para el control del inventario del ítem, usted ha escogido un sistema (s, Q). El proveedor le está ofreciendo el siguiente esquema de descuentos sobre todas las unidades: Intervalo del tamaño de pedido Q (u.) Menor ó igual que 499 Mayor ó igual que 500 y menor ó igual que 999 Mayor ó igual que 1,000 y menor ó igual que 2,999 Mayor ó igual que 3,000 y menor ó igual que 4,999 Mayor ó igual que 5,000

Descuento (%) 0.00 1.00 1.50 1.75 1.95

a) Construya una hoja electrónica para resolver este problema. Determine la mejor política (s, Q) para el control de este componente. Es decir, halle el punto de reorden s y el tamaño óptimo de pedido Q que minimice el CTR, considerando los descuentos. Recuerde incluir el costo de compra en el CTR. b) Repita el literal anterior, pero especificando un nivel de servicio P1 = 99.0%. ¿Le sorprenden los resultados? Si para usted un nivel de servicio mínimo de P1 del 97.5% es aceptable, cómo podría reducir aún más el CTR encontrado aquí?

Lecturas adicionales Capítulo 5 1. Chopra y Meindl (2008): Capítulo 10 (pp. 275-290) (Los autores presentan un excelente complemento sobre las políticas de descuentos sobre todas las unidades y descuentos incrementales y sobre promociones). Capítulo 11 (pp. 304-318 y 329-332) (En estas páginas se refuerza lo expuesto en este capítulo sobre el cálculo de los inventarios de seguridad). Capítulo 12 (pp. 346-370) (Este capítulo es excelente para consolidar conceptos sobre control de inventarios de ítems de moda o estilo). Capítulo 14 (pp. 417454) (Este capítulo es excelente para abordar el tema de aprovisionamiento en la cadena de suministro, selección de proveedores y el tema de contratos de diversa naturaleza). 2. Simchi-Levi et al. (2003): Capítulo 3 (pp. 49-63) (Es útil para el tema de contratos de aprovisionamiento). 3. Axsäter (2000): Capítulo 3 (pp. 49-90) (Esta parte de este capítulo profundiza en algunos aspectos teóricos sobre inventarios de seguridad y tiempos de reposición). 4. Silver et al. (1998): Capítulo 6 (pp. 198-231) (Esta parte profundiza todo lo estudiado en el presente capítulo). Capítulo 7 (pp. 232-311) (Este capítulo del texto principal de referencia de inventarios expone detalles adicionales de algunos aspectos, brindando una bibliografía muy completa para el estudiante que desee profundizar). Capítulos 8, 9 y 10 (pp. 315-420) (Estos capítulos presentan un tratamiento completo sobre los sistemas de control de ítems clase A, clase C y perecederos, respectivamente). 5. Sipper y Bulfin (1998): Capítulo 6 (pp. 228-311) (Este capítulo trata varios de los temas vistos aquí de una forma muy didáctica). 6. Wild (1997): Capítulos 6 y 7 (pp. 85-113) (Estos dos capítulos abordan los temas vistos aquí de una forma muy práctica, brindando otra visión muy interesante del problema. Incluye también un análisis muy completo de los tiempos de reposición y sus efectos).


255

7. Narasimhan et al. (1996): Capítulo 11 (pp. 364-386) (Esta parte de este capítulo ilustra aspectos adicionales de los tamaños de lote estudiados en la Sección 5.5, dentro del ambiente MRP).

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 6: Control conjunto y control de inventarios en cadenas de abastecimiento

256

6. CONTROL CONJUNTO Y CONTROL DE INVENTARIOS EN CADENAS DE ABASTECIMIENTO 6.1

GENERALIDADES SOBRE CONTROL CONJUNTO

Todos los métodos de control estudiados en los capítulos anteriores se refieren a un ítem en particular. Normalmente, la administración está interesada en el control conjunto de varios ítems en forma simultánea. Esto se debe al hecho de que dichos ítems pueden ser suministrados por un mismo proveedor, o comparten un mismo modo de transporte, o son producidos en las mismas máquinas o línea de producción. Existen diversas ventajas cuando se realiza control conjunto, a saber:  Ahorros en precios unitarios de compra, ya que al efectuar la coordinación se pueden lograr los tamaños de orden mínimos impuestos por el proveedor para otorgar cierto descuento. Igualmente, se pueden lograr economías de escala al utilizar medios de transporte con cierto volumen mínimo. Si el ambiente es productivo, se puede lograr ahorro en costos de alistamiento innecesarios y mayores corridas de producción para una misma familia de ítems.  Ahorro en los costos totales de ordenamiento, ya que al incluir más ítems en una orden sencilla, es posible disminuir el número anual de órdenes.  Facilidad de programación, en cuanto a recepción de materiales, inspección, etc. En efecto, muchas empresas piensan en pedidos realizados por proveedor, en lugar de considerar ítems individuales. Por otra parte, al realizar la coordinación, algunas desventajas también pueden ocurrir:  Incremento en el nivel promedio de inventario, debido a que algunos ítems pueden ser incluidos en una orden antes de que alcancen su punto de reorden. Esto puede ocurrir, por ejemplo, cuando se está utilizando un sistema (si, Si) para varios ítems, el cual se describe más adelante en la Sección 6.2.2.  Incremento en los costos de control, debido a la necesidad misma de la coordinación de varios ítems. Estos consisten específicamente en los costos de revisión, costos de computador, costos de administración y coordinación, entre otros posibles.  Reducción de flexibilidad, especialmente con respecto de los niveles de servicio de ítems individuales. Es claro que las actividades de control conjunto tienen sentido siempre y cuando las ventajas superen a las desventajas. En la práctica esto ocurre a menudo pues consciente o inconscientemente se utiliza el control conjunto. Por ejemplo, es muy común que en las cadenas de abastecimiento comerciales la función de compras se organice por proveedor y


257

tanto la revisión del inventario como las órdenes de compra se realicen periódicamente por proveedor para grupos de ítems. El reabastecimiento conjunto es nuestro primer tema de estudio, descrito a continuación.

6.2

REABASTECIMIENTO CONJUNTO

En la práctica, es muy difícil o casi imposible que las organizaciones controlen sus inventarios de ítems en forma aislada. Esto se debe a múltiples razones, entre las cuales las más importantes son los requerimientos de los tamaños de las órdenes de los proveedores, el medio de transporte utilizado y los procedimientos de compra que tiene la organización. Por estas razones, las empresas deben controlar el inventario de varios ítems en forma conjunta. El ejemplo clásico es el de aquellos ítems que son suministrados por un mismo proveedor, quien no va a aceptar una orden hoy por cantidades relativamente pequeñas de tres ítems, mañana por otras mínimas cantidades de otros dos ítems, y así sucesivamente. Para efectos prácticos, debe reunirse una orden de un tamaño adecuado para el procesamiento tanto del proveedor como de la organización. El análisis del control conjunto de inventarios no es sencillo. Los autores tratan este tema de muy diversas formas y presentan diferentes resultados de investigación. Los resultados de investigación en muchos de los temas son muy recientes y otros problemas continúan siendo investigados intensivamente. Por esta razón, es muy difícil tratar todos los temas con algún nivel de detalle. A continuación se presentan algunos resultados importantes y se comenta acerca de la existencia de otros. Afortunadamente, los sistemas de inventarios son tan complejos que normalmente la aplicación de algunas técnicas sencillas no dista mucho de lo que podría ser un análisis exacto del problema. Recuerde, muchas veces la solución más sencilla puede producir resultados extraordinarios! 6.2.1

Un sistema periódico de reabastecimiento conjunto

Ballou (2004, p. 361) presenta un método relativamente sencillo para el control periódico conjunto de varios ítems, el cual intuitivamente tiene mucho sentido. El procedimiento consiste en determinar un tiempo de revisión común para diversos ítems y ordenar cantidades diferentes para cada ítem, de acuerdo con su inventario efectivo y su inventario máximo. La definición del inventario máximo para cada ítem se realiza de acuerdo con su nivel de servicio deseado (P1 ó P2) y el costo total relevante se calcula con base, por ejemplo, en la fracción del valor del ítem por unidad, B2. Así, el método comprende primero la determinación del intervalo de revisión común, R, de acuerdo con la siguiente ecuación: n   2  A   ai  i 1   R n r  Di vi i 1

(6.1)

258


donde el único término diferente de la nomenclatura utilizada en los capítulos anteriores son los ai, los cuales corresponden a los costos fijos de incluir cada ítem i en una orden, mientras que A es el costo mayor correspondiente al costo fijo de ordenamiento común para toda la familia de ítems. Nótese la semejanza de esta ecuación con la tradicional del EOQ expresado en unidades de tiempo. En muchas ocasiones se puede considerar ai = 0, especialmente si los ítems que se van a ordenar conjuntamente son muy parecidos o uniformes. En el caso de que un ítem i requiera un tratamiento especial, por ejemplo un proceso de inspección muy complejo que no tienen los demás ítems de su misma familia o proveedor, entonces el ai de este ítem podría no ser despreciable y debería tenerse en cuenta. La Ec. (6.1), de acuerdo con su denominador, sugiere que R es bajo para aquéllos ítems cuya ∑Divi es alta y que R es alto si ∑Divi es baja. Esto coincide con la apreciación de que las órdenes de los ítems clase A generalmente son más pequeñas pero más frecuentes, mientras que las órdenes de los ítems clase C deberían ser más grandes y con un cubrimiento mayor, dado su relativo bajo costo. Una vez calculado R, se ajusta a un valor razonable para la administración. Por ejemplo, si R fuese igual a 1.4 semanas, sería difícil implementarlo exactamente en la práctica; debería entonces redondearse a 1 ó a 2 semanas, analizando las implicaciones administrativas de dicho valor. Seguidamente se determina el inventario máximo de cada ítem, de acuerdo con el nivel de servicio deseado, mediante la conocida expresión:

Si  di ( R  Li )  kiˆ R  Li

(6.2)

donde di es la demanda del ítem expresada con respecto de las unidades de tiempo correspondientes al intervalo de revisión más el tiempo de reposición (si R y Li vienen dados en años, entonces se utiliza Di en lugar de di). A menudo, igualar los niveles de servicio para todos los ítems (es decir ki = k para todo i) puede ser una buena idea y produce muy buenos resultados, como se verá más adelante. Esto no elimina, sin embargo, la posibilidad de que la administración desee dar a algunos ítems claves un nivel de servicio superior al de otros. El costo total relevante puede calcularse entonces utilizando la siguiente ecuación, donde se deja la opción de tener el costo de faltante ( B2 i vi ) discriminado por ítem (Nótese la similitud de esta ecuación con la Ec. (5.35), Capítulo 5): n

CTR2 

A   ai i 1

R

 n  n  R Di vi  1 n  r  i 1   kiˆ R  Li vi    B2 i viˆ R  Li Gz (ki ) 2   R i 1 i 1  

(6.3)

Ejemplo 6.1 (Un sistema de reabastecimiento conjunto) En la Tabla 6.1 se muestran las principales características de dos ítems que van a ser ordenados en forma conjunta. Diseñar un sistema de control de inventarios conjuntos basado en los resultados anteriores.


259

Tabla 6.1. Características de los dos ítems del Ejemplo 6.1 CARACTERÍSTICA Demanda di [unidades/día] Desv. Estándar del pronóstico 1i (referida a un día) [unidades] Tiempo de reposición Li [días] Costo de ordenamiento relativo al ítem ai [$/orden] Nivel de servicio P1i Valor unitario vi [$/unidad] Costo de faltante B2i

ÍTEM 1 100.0

ÍTEM 2 40.0

25.0 14.0

30.0 14.0

0.0 0.95 1,500.0 15%

900.0 0.98 750.0 24%

Otros datos relevantes son r = 30% anual, A = $4,000/orden conjunta y se considera un año de 365 días. Primero se estima el intervalo de revisión común, R, de acuerdo con la Ec. (6.1), teniendo en cuenta las unidades correspondientes de las demandas y del costo de mantener el inventario:

R

24,000  (0  900)  8.14 días  8 días (0.30 / 365)(100)(1,500)  (40)(750)

Como revisar el inventario cada 8 días puede ser inconveniente por los fines de semana y los días festivos, entonces se prefiere aproximar a un valor de R = 7 días, o sea una semana exacta, lo cual puede ser mucho más conveniente desde el punto de vista administrativo, pues el inventario de estos dos ítems podría ser revisado, por ejemplo, todos los días martes. Ahora, para calcular el inventario máximo de cada ítem, se determina primero:

ˆ R  L  25 7  14  114.56 unidades 1

ˆ R  L  30 7  14  137.48 unidades 2

k1  1.6449, para pz (k1 )  0.05; Gz (1.6449)  0.020893 k2  2.0537, para pz (k2 )  0.02; Gz (2.0537)  0.007343 Así, se calculan los inventarios máximos de acuerdo con la Ec. (6.2):

S1  100(7  14)  (1.6449)(114.56)  2,289 unidades S2  40(7  14)  (2.0537)(137.48)  1,123 unidades La política de control consiste entonces en revisar el inventario de ambos ítems cada 7 días (cada semana) y ordenar la diferencia entre el nivel máximo de cada ítem Si y su inventario efectivo correspondiente en el momento de la revisión. Ahora, el costo total relevante se puede calcular mediante la Ec. (6.3):


260

CTR2 

4,000  (0  900) (7 / 365)

 (7)(100)(1,500)  (40)(750)   (0.30)  (1.6449)(114.56)(1,500)  (2.0537)(137.48)(750) 2   1 (0.15)(1,500)(114.56)(0.020893)  (0.24)(750)(137.48)(0.007343)  (7 / 365)  255,500  337,325  37,556  630,381 $/año Nótese cuidadosamente la correspondencia de unidades que debe existir entre las demandas y el intervalo de revisión, y entre éste y el costo de llevar el inventario. Además, obsérvese que el costo de faltantes es significativamente menor que los otros dos debido al buen nivel de servicio que se estaría obteniendo con la política diseñada. El fill rate P2 alcanzado por cada ítem puede calcularse de la siguiente forma:

P2 (ítem 1)  1  P2 (ítem 2)  1 

ˆ R  L Gz (k1 ) 1

d1R

ˆ R  L Gz (k2 ) 2

d2 R

1

(114.56)(0.020893)  0.9966 (100)(7)

1

(137.48)(0.007343)  0.9964 (40)(7)

Evidentemente, esta es una muy buena política de control del inventario de estos dos ítems, dado los altos niveles de servicio que se especificaron desde un comienzo. Un ejercicio interesante es encontrar aquéllos niveles de servicio de los dos ítems de tal forma que se minimice el costo total relevante conjunto (Problema No. 5, Ejercicios 6.1). Una variación de esta política de control de inventarios es presentada por Silver et al. (1998, pp. 425-434) para el caso determinístico con y sin descuentos por cantidad, considerando diferentes períodos enteros para los cuales durará la reposición de cada ítem. Información adicional es presentada también por Fogarty et al. (1994, pp. 320-324). Más recientemente, Khouja y Goyal (2008) presentan una amplia revisión de literatura sobre el problema del reabastecimiento conjunto. Ellos concluyen que se ha consumido demasiado tiempo en la búsqueda de soluciones óptimas y que se ha descuidado la aplicación de estas técnicas en la vida real. En el sistema de control de inventarios de medicamentos que se menciona a lo largo de este texto, hemos aplicado este método en la función de compras, predefiniendo el valor de R por proveedor y calculando el inventario máximo Si de cada ítem de una forma semejante a la descrita anteriormente. 6.2.2 Un sistema min-max de reabastecimiento conjunto Un método relativamente sencillo para el control continuo de varios ítems en forma simultánea, muy utilizado en la práctica, puede considerarse como un sistema de control (s, S) o min-max para varios ítems, o sea un método (si, Si). Cuando el nivel de inventario de uno de los ítems en el grupo alcanza su punto de reorden si, se revisa el inventario de los demás ítems, así no hayan alcanzado su punto de reorden, y se ordena una cantidad para cada uno igual a su inventario máximo Si menos el respectivo inventario efectivo del ítem. Esto se hace para


261

completar tamaños mínimos de orden usualmente requeridos por las condiciones de los proveedores, las características del transporte, el alistamiento de máquinas, etc. Una forma de determinar si y Si para cada ítem i en la familia es la de calcular inicialmente Qi = EOQi para cada ítem o definir un valor adecuado del tamaño de pedido Qi de cada ítem, como si se fuera a utilizar un sistema (s, Q). Luego, se determina el punto de reorden de cada ítem si  (di  Li )  (ki  ˆ Li ) como en el sistema (s, Q) normal y, finalmente, se halla el inventario máximo de cada ítem Si  si  Qi . Este sistema es de fácil comprensión en la práctica y produce buenos resultados. Una variación de este método son los sistemas (Si, ci, si), en los cuales un ítem de la familia que no haya alcanzado su punto de reorden si, sólo es incluido en el pedido conjunto si su inventario efectivo es menor que otro valor límite, ci. Esto permite ahorros en costos de ordenamiento, ya que si el punto ci está cercano al punto de reorden si del ítem, entonces este está próximo a disparar otra orden. Por lo tanto, si los ítems cercanos a su punto de reorden se incluyen en la orden actual, se evitará la emisión de la orden siguiente en un tiempo cercano. La determinación adecuada de los tres parámetros de control no es sencilla y los principales autores refieren a artículos especializados en el tema. [Ver, por ejemplo, Silver y Peterson (1985), pp. 444-450]. Además, los supuestos para la determinación de dichos parámetros son normalmente muy fuertes. Una alternativa para analizar un sistema de control de esta naturaleza puede ser la utilización de la simulación discreta.

6.3

CURVAS DE INTERCAMBIO PROBABILÍSTICAS

Normalmente, la administración de un sistema de inventarios está interesada en medidas agregadas de eficiencia, constituidas por varios ítems individuales. Esta idea da más información globalizada para la toma de decisiones. Por ejemplo, es difícil en muchas ocasiones determinar valores aproximados del costo de ordenamiento A y del costo de mantenimiento del inventario r. Por lo tanto, se recurre a las denominadas curvas de intercambio determinísticas, las cuales reúnen a varios ítems individuales y pueden servir para estimar valores de A y/ó r. Considerando varios ítems, las medidas agregadas de eficiencia más comunes son las siguientes (generalmente son referidas a un año, pero puede utilizarse otra unidad de tiempo):    

Máximo costo total anual del inventario promedio Máximo costo fijo total (o número total) de reposiciones por año Máximo valor de faltantes por año Máxima demora permitida de órdenes pendientes

Las curvas de intercambio probabilísticas descritas posteriormente son más útiles que las determinísticas debido a su gran aproximación con los sistemas reales de control de inventarios [Una descripción breve de las curvas de intercambio determinísticas se encuentra en Vidal (2009)]. Asumiendo que se está utilizando un sistema de control continuo, normalidad en los errores de pronósticos y teniendo en cuenta los resultados del Capítulo 5, se pueden escribir las siguientes expresiones para n ítems:

262


n

Inventario de seguridad total en pesos IST ($) =

 k ˆ i

i 1

(6.4)

v

Li i

n

Di

Q

No. total esperado de veces/año en que ocurren faltantes NTEF =

i 1

n

Di

 Q v ˆ

Valor esperado total de unidades en faltante por año VTEF ($) =

i

i 1

n

Nivel de servicio (P2) ponderado por demanda =

i 1

Li

ˆ L Gz (ki ) 



Qi

 

i

n

D i 1

(6.5)

Gz (ki ) (6.6)

i



 D 1  i

pz (ki )

i

(6.7)

i

n

 D 1  p (k ) Nivel de servicio (P1) ponderado por demanda =

i 1

i

z

n

D i 1

i

(6.8)

i

La Ec. (6.6) merece dos comentarios. Primero, nótese que no aparece multiplicada por el costo unitario de faltantes del ítem i, B2 i . O sea que esta ecuación representa el valor real de las unidades que se espera que falten, pero no el costo de faltantes exactamente. Sin embargo, es fácil implementar este cambio en la ecuación mencionada siempre y cuando se disponga de la información suficiente para estimar el costo unitario de faltante de cada ítem. Segundo, en forma semejante al comentario que se hizo de la Ec. (5.24) en el Capítulo 5, si Q / ˆ L  1 , entonces es más exacto utilizar la siguiente ecuación en lugar de la Ec. (6.6): n

VTEF   i 1

 Di Q  viˆ Li Gz (ki )  Gz (ki  i ) Qi ˆ Li  

(6.9)

Las dos curvas de intercambio más utilizadas son las siguientes:  Inventario de seguridad total (IST) contra el número total esperado de veces/año en que ocurren faltantes (NTEF).  Inventario de seguridad total (IST) contra el valor esperado total en pesos de unidades en faltante por año (VTEF). Estas curvas se construyen dependiendo de la regla de decisión correspondiente, ya que cada una de dichas reglas genera diferentes puntos en el gráfico. El Ejemplo 6.2 ilustra una de estas curvas.


263

Ejemplo 6.2 (Curvas de intercambio probabilísticas) En la Tabla 6.2 se muestran las principales características de cuatro ítems. Se asume que la cantidad de pedido mostrada para cada ítem ha sido predeterminada y se considera constante (esta cantidad no necesariamente se basa en el EOQ). La política actual de inventarios establece que los puntos de reorden si se determinen con base en la siguiente regla: Reordenar cuando el inventario llegue a 2.5 meses de disponibilidad para cubrir la demanda, asumiéndola constante e igual al promedio Di mostrado en la Tabla 6.2. Por ejemplo, el punto de reorden del ítem 2 se calcula como s2 = (D2/12) × 2.5 = (8,500/12) × 2.5 = 1,770.83 unidades. Obsérvese que, al hacer esto para todos los ítems ignorando la variabilidad de su demanda, se está incurriendo en el error de definir inventarios de seguridad solo con base en el inventario promedio. (Ver Sección 5.10.1 del Capítulo 5) Tabla 6.2. Características de los cuatro ítems del Ejemplo 6.2 Ítem i

1 2 3 4

Demanda Di [u./año] 12,000 8,500 6,000 2,660

Valor unitario vi [$/u.] 42.0 20.5 10.0 11.2

Tiempo de reposición Li [meses] 2.0 2.0 2.0 2.0

Desviación Estándar

Li

Tamaño de pedido Qi [u.]

Punto de reorden si [u.]

[u.] 70.0 221.0 725.5 120.5

2,000 3,750 1,500 1,330

2,500 1,771 1,250 554

Utilizando las Ec. (6.4) a (6.6), tanto para cada ítem i en particular como para el conjunto de ítems, se puede calcular el inventario de seguridad anual, el número esperado de ocasiones de faltantes por año y el valor esperado del costo total de faltantes por año para cada ítem y para todos los ítems. Para ilustrar, considérese el ítem 2 cuya demanda esperada durante el tiempo de reposición viene dada por: xˆ L 2 

D2 8,500  L2   2.0  1,416.67 unidades 12 12

Como el punto de reorden para este ítem ya se tiene calculado igual a s2 = 1,770.83 unidades, entonces se puede determinar su valor de k2 implícito, así:

k2 

s2  xˆ L 2

 L2



1,770.83  1,416.67  1.6026 221

Dado este valor de k2, se puede encontrar fácilmente, de las tablas del Apéndice A o mediante las funciones internas de Excel™, los valores de pz(1.6026) = 0.05452 y Gz(1.6026) = 0.02310. Así, mediante las Ec. (6.4) a (6.6) se puede calcular lo dicho anteriormente para todos los ítems, generándose la Tabla 6.3 (Puede haber pequeñas diferencias en las cifras debido a errores de redondeo).


264

Tabla 6.3. Indicadores para cada ítem y totales para la política de inventarios actual (Ejemplo 6.2) Ítem i

ki

1 2 3 4

7.1429 1.6026 0.3446 0.9198

pz(ki)

0.00000 0.05452 0.36520 0.17884

Gz(ki)

Inventario de seguridad ISTi [$/año]

0.00000 0.02310 0.25010 0.09684

TOTAL

21,000.00 7,260.42 2,500.00 1,241.33

No. esperado de ocasiones de faltantes/año (NTEF) 0.00000 0.12357 1.46081 0.35769

Valor esperado de los faltantes [$/año] (VTEF) 0.00 237.24 7,257.94 261.40

32,001.75

1.94206

7,756.57

Nótese el desbalanceo en el nivel de servicio que se presenta, al no tener en cuenta la variabilidad de la demanda de cada ítem sobre su tiempo de reposición para determinar su punto de reorden. Por ejemplo, mientras que la probabilidad de ocurrencia de faltantes en cada ciclo de reposición del ítem 1 es prácticamente igual a cero por tener un factor k1 muy alto y un pz(k1) casi igual a cero, para los ítems 3 y 4 esta probabilidad es del 36.52% y del 17.88%, respectivamente, las cuales son demasiado altas para los niveles de servicio aceptables. (Esto coincide con la situación presentada en la Figura 5.9 del capítulo 5) Una forma de mejorar esta situación consiste en uniformizar el nivel de servicio, determinando un nuevo valor de ki y de pz(ki) (y por lo tanto del nivel de servicio P1) común para todos los ítems, suponiendo que el inventario de seguridad total anual IST se va a mantener constante, pero se va asignar de manera diferente a cada uno de los ítems. Así, el valor común k puede calcularse de la siguiente forma: 4

Valor común k 

k  i 1 4

i

 i 1

v

Li i

(6.10) v

Li i

Tabla 6.4. Indicadores para cada ítem y totales para la política de inventarios modificada mediante la uniformización del nivel de servicio entre todos los ítems (Ejemplo 6.2) Ítem i

ki

pz(ki)

Gz(ki)

Inventario de seguridad ISTi [$/año]

1 2 3 4

1.9908 1.9908 1.9908 1.9908

0.02325 0.02325 0.02325 0.02325

0.00870 0.00870 0.00870 0.00870

TOTAL

5,852.85 9,019.16 14,443.00 2,686.74

No. esperado de ocasiones de faltantes/año (NTEF) 0.13952 0.05271 0.09301 0.04651

Valor esperado de los faltantes [$/año] (VTEF) 153.52 89.37 252.56 23.49

32,001.75

0.33175

518.95

De esta manera, se conserva el valor total anual del inventario de seguridad ($). En este caso, al aplicar la Ec. (6.10) se obtiene un valor común de k = 1.9908. Para este valor de k, los valores comunes de pz(k) y Gz(k) son entonces 0.02325 y 0.00870, respectivamente. Así, se garantiza un nivel de servicio uniforme para los cuatro ítems de P1 = 1 – pz(k) = 0.977. Con estos valores se obtienen entonces los resultados mostrados en la Tabla 6.4.


265

Obsérvese como, manteniendo el mismo valor del inventario de seguridad (32,001.75 $/año), se ha logrado disminuir el número esperado de ocasiones de faltantes/año en un 82.9% y el valor esperado del costo de faltantes [$/año] en un 93.3%! Estos resultados pueden verse gráficamente mediante el desarrollo de curvas de intercambio. Se construyen las curvas de intercambio del costo total del inventario de seguridad anual IST ($/año) contra el número total de ocasiones de faltantes/año NTEF y contra el costo total del inventario de seguridad ($/año) VTEF. Estas curvas se obtienen generando diversos puntos con igualdad de nivel de servicio para los cuatro ítems, en este caso P1. Por ejemplo, la Tabla 6.4 representa un punto de la curva del IST contra el NTEF con coordenadas (0.33; 32,001.75), punto que se muestra en la Figura 6.1. El resto de puntos para dibujar la curva se obtienen entonces variando el valor de ki, el cual es el mismo para todos los ítems en cada punto de la curva. 55,000

Inventario de seguridad IST ($/año)

50,000 45,000

Punto obtenido al igualar los niveles de servicio manteniendo el actual IST (0.33 ocasiones; 32,000 $/año)

40,000 35,000

Punto actual de operación (1.94 ocasiones; 32,000 $/año)

30,000

25,000 20,000

Punto obtenido al mantener el No. actual esperado de ocasiones de faltantes/año a un menor IST (1.94 ocasiones; 17,640 $/año)

15,000 10,000 5,000

0.01 0.11 0.21 0.31 0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91 1.01 1.11 1.21 1.31 1.41 1.51 1.61 1.71 1.81 1.91 2.01 2.11 2.21 2.31 2.41 2.51 2.61 2.71 2.81 2.91 3.01 3.11 3.21 3.31 3.41 3.51 3.61 3.71 3.81

0

No. total esperado de ocasiones de faltantes por año (NTEF)

Figura 6.1. Curva de intercambio del inventario total de seguridad anual IST contra el No. total de ocasiones de faltantes por año (NTEF) (Ejemplo 6.2) En forma semejante se construye la curva de intercambio mostrada en la Figura 6.2, sólo que ahora se toma como valor de las abscisas el VTEF. El punto (518.95; 32,001.75), representado en la figura, corresponde a los cálculos realizados en la Tabla 6.4. Se recomienda al lector generar otros puntos de estas curvas, incluyendo los que se obtienen manteniendo los indicadores de NTEF y VTEF iguales al valor de la política actual de control, lográndolos con una inversión mucho menor en inventario de seguridad (puntos obtenidos mediante el desplazamiento vertical del punto de operación actual hacia las curvas de intercambio).


266

55,000

Inventario de seguridad IST ($/año)

50,000 45,000 40,000 35,000

Punto obtenido al igualar los niveles de servicio manteniendo el actual IST (519 $/año; 32,000 $/año) Punto actual de operación (7,757 $/año; 32,000 $/año)

30,000 25,000 20,000 15,000 10,000

5,000

Punto obtenido al mantener el valor total esperado de las unidades de faltantes/año a un menor IST (7,757 $/año; 12,100 $/año) 17 158 317 487 667 853 1,046 1,246 1,451 1,662 1,877 2,098 2,324 2,554 2,789 3,028 3,272 3,521 3,773 4,030 4,291 4,556 4,826 5,099 5,377 5,659 5,945 6,235 6,529 6,828 7,130 7,437 7,748 8,064 8,383 8,707 9,035 9,367 9,704

0

Valor total esperado de las unidades en faltante por año (VTEF)

Figura 6.2. Curva de intercambio del inventario total de seguridad anual IST contra el valor esperado total en pesos de unidades en faltante por año (VTEF) (Ejemplo 6.2) Es claro de ambas curvas cómo se puede mejorar significativamente los indicadores de gestión de inventarios, manteniendo la inversión anual en inventario de seguridad, reasignando dicho inventario a los cuatro ítems mediante la igualación de los factores de seguridad ki y la definición correcta del inventario de seguridad a través de la variabilidad de la demanda (o de los errores del pronóstico)  Li . Se podría también mantener el indicador de gestión del inventario actual si se considera conveniente, pero con una notable disminución en el inventario de seguridad anual total (desplazamiento vertical del punto de operación actual). También se podría obtener un punto intermedio entre ambos extremos, el cual permita mejorar los indicadores y simultáneamente disminuir el dinero comprometido en inventario de seguridad. Finalmente, al calcular los niveles de servicio ponderados por demanda, de acuerdo con las Ec. (6.7) y (6.8), se encuentra que el nivel de servicio P1 ponderado para la política actual de inventarios es de 0.8926, mientras que para la nueva política de uniformizada es de 0.9768. Al calcular el fill rate P2 ponderado por demanda, se obtiene 0.9739 para la política actual y 0.9988 para la política uniformizada. Como puede observarse, la nueva política es mucho mejor desde todo punto de vista. De manera semejante se pueden desarrollar curvas de intercambio para diferentes reglas y políticas de inventarios (P2, B1 y B2, por ejemplo), siempre igualando los niveles de servicio respectivos como se hizo con P1. Silver et al. (1998) han encontrado que la regla para P1 funciona muy bien para los dos tipos de curvas desarrollados en este ejemplo. Esto es afortunado, ya que esta curva es relativamente sencilla de desarrollar y es muy útil.


267

Ejercicios 6.1 1. Considere dos ítems con las siguientes características: Ítem i 1 2

Demanda anual Di [unid./año] 300 300

Valor unitario vi [$/unidad] 20,000 2,000

Li

xLi [unidades] 100 100

[unidades] 10 35

Suponga que el administrador del sistema ha fijado el inventario de seguridad de cada uno de los ítems igual a un mes de su demanda correspondiente. a) Cuáles son los inventarios de seguridad de cada ítem en unidades y en pesos? b) Cuál es el valor de P1 asociado con cada ítem? c) Reasigne el inventario de seguridad total (en pesos) de tal forma que ambos ítems tengan el mismo valor de P1. d) Qué reducción en inventario de seguridad total es posible si ambos ítems tienen un nivel de servicio P1 = 0.95? 2. Con ayuda de una hoja electrónica, reproduzca la curva de intercambio de inventario de seguridad total (IST) contra el valor esperado total en pesos de unidades en faltante por año (VTEF) para el Ejemplo 6.2. 3. Considere cuatro ítems con las siguientes características: Ítem i 1 2 3 4

Demanda anual Di [unid./año] 8,750 12,500 3,450 20,500

Valor unitario vi [$/unidad] 100 80 25 12

Qi [unidades] 4,000 6,250 1,000 3,400

Li [unidades] 100 275 730 600

Li [meses] 3.5 3.5 3.5 3.5

a) Suponga que la política actual es la de fijar el punto de reorden si de cada ítem i en 4 meses de demanda. Construya las curvas de intercambio de IST contra NTEF y contra VTEF, basadas en un mismo valor de P1 para todos los ítems, resaltando el punto de operación actual. Proponga una alternativa de mejoramiento de la política actual de inventarios. b) Suponga ahora que la política para fijar los puntos de reorden mencionada en el literal anterior no se va a seguir utilizando. Se ha decidido entonces asignar un inventario de seguridad total de $70,000 a los cuatro ítems. Asuma que los errores de los pronósticos están normalmente distribuidos y que se acepta un valor constante de r para los tres ítems. Igualmente, considere que factores de seguridad negativos no son aceptables. Considere las siguientes reglas: i)

Mismo valor de P1 para todos los ítems


268

ii) Mismo valor de P2 para todos los ítems Para cada una de las reglas anteriores, determine cómo asignar los $70,000 de inventario de seguridad total a los cuatro ítems, el número total esperado de faltantes/año y el valor total esperado de los faltantes por año. 4. Repita el literal (a) del problema anterior, pero construyendo las curvas de intercambio con base en el mismo valor de P2 para los cuatro ítems. 5. Construya una hoja electrónica que le permita determinar el nivel de servicio que se debe especificar de los dos ítems del Ejemplo 6.1, de tal forma que se minimice el costo total relevante conjunto CTR2. 6. Un sistema periódico de control de inventarios está siendo utilizado para tres materias primas que se compran simultáneamente al mismo proveedor. El costo de mantenimiento del inventario se ha fijado en el 36% anual y el costo común de ordenamiento en $500,000/orden. Se tienen los siguientes datos: CARACTERÍSTICA Demanda di [ton/mes] Desv. Estándar del pronóstico 1i (referida a un mes) [ton] Tiempo de reposición Li [meses] Costo de ordenamiento relativo a la materia prima ai [$/orden] Nivel de servicio P1i Valor unitario vi [$/ton] Costo de faltante B2i

M.P. 1 200

M.P. 2 50

M.P. 3 120

18 1.5

20 1.5

90 1.5

0 0.975 124,500 20%

0 0.975 275,000 15%

45,000 0.990 45,000 12%

a) Diseñe un sistema de control periódico conjunto para estos ítems, calculando el CTR anual y el fill rate P2 alcanzado por cada materia prima. Redondee el valor obtenido de R a un valor que considere razonable desde el punto de vista administrativo. b) Suponga que el intervalo de revisión se fija en dos meses. ¿Cómo cambian las respuestas para la primera parte del problema? Sugerencia: Diseñe una hoja electrónica que le permita evaluar varias políticas de inventario periódico, con respecto a varios valores del intervalo de revisión R y de los niveles de servicio P1 de cada materia prima. 7. Para los ítems del Problema No. 3, diseñe un sistema de control min-max (Sección 6.2.2), utilizando el cálculo secuencial de si y Si y asumiendo que los tamaños de orden Qi son los especificados en el problema.

6.4

INTRODUCCIÓN AL CONTROL CADENAS DE ABASTECIMIENTO

DE

INVENTARIOS

EN

Las anteriores secciones de este capítulo se dedicaron al control conjunto de ítems, pero asumiendo que se encuentran en una misma instalación, por ejemplo, en el mismo centro de


269

distribución. Un tema mucho más complejo, pero también mucho más realista, es el relacionado con el control de inventarios de ítems ubicados en varias instalaciones a lo largo de una cadena de abastecimiento. El control de inventarios en múltiples instalaciones dentro de una cadena o red de suministro es uno de los temas más complejos y apasionantes en Logística. Axsäter (2000), por ejemplo, afirma que la determinación de políticas óptimas en este tipo de sistemas es muy compleja o incluso imposible. Esto se debe a que una decisión de inventarios en un lugar de la cadena está normalmente relacionada con el inventario existente en toda la red. Estas decisiones, por lo tanto, dependen del grado de centralización de la cadena. Muchas veces lo que se hace entonces es utilizar sistemas de control simples como los vistos en los capítulos anteriores, tratando de coordinar las decisiones particulares entre los diversos lugares de la red. Uno de los problemas que se presentan en una cadena de abastecimiento es el efecto conocido como efecto látigo (bullwhip), que consiste en que por más estable que sea la demanda en un lugar ‗corriente-abajo‘ de la cadena, la demanda en un lugar ‗corriente-arriba‘ puede ser altamente errática. Por ejemplo, un lugar corriente abajo puede ser un supermercado que vende productos finales al consumidor, el cual repone su inventario de una bodega local, la cual a su vez se surte de un gran centro de distribución (CD). Por más estable que sea la demanda del consumidor final en el supermercado, las demandas inducidas en la bodega y en el CD tienen alta probabilidad de ser erráticas. Esto se puede deber a que las bodegas y centros de distribución atienden a varios puntos de venta, cuya demanda se combina y se torna errática. Posibles estrategias para manejar esta situación incluyen las siguientes:  Mejoramiento de la comunicación acerca de la demanda al final de la cadena en todos los eslabones de la misma, a través de EDI, por ejemplo.  Mantenimiento y estabilidad de precios para evitar órdenes de gran tamaño.  Rediseño del producto que permita la centralización de inventarios en ciertos lugares de la cadena para su posterior acondicionamiento al cliente en particular (Principio de postposición de forma).  Diseño del producto para reciclaje.  Consolidación de ítems costosos de lento movimiento en centros de distribución donde su variabilidad es mucho menor que en cada uno de los diversos puntos de venta en la cadena. En las secciones siguientes se tratan algunos de estos temas de control de inventarios en cadenas de abastecimiento, enfocados principalmente a sistemas de distribución. Se incluye también aquí una introducción al tema de simulación de inventarios, como otra alternativa de control en la práctica.

6.5

MODELOS DE DEMANDA CONSTANTE

Lo sorprendente del control de inventarios en cadenas de suministro es que inclusive cuando la demanda es constante, no es fácil encontrar políticas óptimas de control. Uno de los casos que se ha considerado con cierto detalle en la literatura son los sistemas en serie, como por ejemplo los sistemas de producción en que los productos parten de una materia prima y van

270


pasando en serie por un cierto número de etapas, hasta llegar a la operación final donde sale el producto terminado. Se puede observar esto también en un sistema de distribución donde una bodega o CD despacha a un punto de venta (PV), quien atiende la demanda externa de los clientes finales. (Figura 6.3)

BODEGA ó CENTRO DE DISTRIBUCIÓN (CD)

PUNTO DE VENTA (PV)


Figura 6.3 Un sistema de distribución en serie Asumiendo que la demanda externa es constante, se va a mostrar la política óptima para este caso. La notación que se va a seguir es la siguiente: D

= Demanda constante en el punto de venta, [unidades/año]

ACD = Costo fijo de ordenamiento en la bodega o centro de distribución, [$/orden] APV = Costo fijo de ordenamiento en el punto de venta, [$/orden] vCD = Valor del ítem en la bodega o centro de distribución, [$/unidad] vPV

= Valor del ítem en el punto de venta, [$/unidad]

r

= Costo de mantenimiento del inventario, [$/($ · año)]

QCD = Tamaño de la orden en la bodega o centro de distribución, [unidades] QPV = Tamaño de la orden en el punto de venta, [unidades] Las dos últimas variables en la notación anterior constituyen las variables de decisión. Se ha encontrado que los tamaños de orden en el CD deberían ser un número entero de veces los tamaños de orden en el PV. La Figura 6.4 ilustra el caso para QCD = 3QPV.

Nivel de Inventario en la bodega CD


QCD = 3QPV

271

Inventario físico real Inventario de escalón (Echelon stock)

Nivel de Inventario en el punto de venta PV

Tiempo

QPV

Tiempo

Figura 6.4. Ilustración de un sistema determinístico de distribución en serie En la Figura 6.4 se muestra una idea fundamental para el control de inventarios en cadenas de suministro, esto es el concepto de Inventario de Escalón (Echelon Stock). Este inventario se define en el escalón j como el número de unidades en el sistema que están en, o han pasado por el escalón j, pero que aún no han sido comprometidas con los consumidores externos. Por esta razón en la figura el inventario de escalón en la bodega aparece como una línea recta, pues ésta ha enviado cierta cantidad de unidades al PV, pero éstas aún no han sido vendidas. Esta idea es clave también en el control en cadenas reales donde la demanda es aleatoria. El inventario de escalón tiene el problema, sin embargo, que al calcular inventarios en ($) puede contarse múltiplemente las mismas unidades en diferentes escalones de la cadena. Este problema se resuelve manejando el concepto de valor agregado en cada escalón de la cadena. Así, para valorar el inventario en un escalón determinado solo consideramos el valor agregado del producto en el escalón correspondiente. Por ejemplo, en el sistema en serie ilustrado en la

272


  vCD , mientras que el valor a Figura 6.4, el producto en la bodega tiene un valor igual a vCD utilizar en el PV sería vPV  vPV  vCD , el cual es el valor agregado al despachar el producto hacia el PV. Esto se puede generalizar a cualquier número de escalones en serie, especialmente en el área de producción, donde en cada etapa se le agrega valor al producto. Para el caso en serie de la Figura 6.4 se muestran a continuación los resultados analíticos para el sistema de control. El costo total relevante en este caso viene dado por: CTR(QCD , QPV ) 

ACD D A D  vCD  r  PV  I PV  vPV r  I CD QCD QPV

(6.11)

 son el inventario de escalón promedio en unidades en la bodega ó CD y en el  e I PV donde I CD PV, respectivamente. Por lo tanto, la función de costo puede transformarse a: CTR(n, QPV ) 

 r APV D QPV vPV r ACD D nQPV vCD    nQPV 2 QPV 2

D  ACD  rQ   vPV  CTR(n, QPV )   APV   PV nvCD  QPV  n 2 

(6.12)

puesto que se parte del hecho de que QCD = nQPV. Dado que la Ec. (6.12) representa una función de dos variables, se pueden aplicar las condiciones necesarias para hallar los valores óptimos:

CTR(n, QPV )  D  ACD  r   2   APV   nvCD  vPV   0 QPV QPV  n  2

(6.13)

 QPV CTR(n, QPV )  D ACD rvCD   0 2 n QPV n 2

(6.14)

De la Ec. (6.13), se obtiene:

QPV

A  2 D  CD  APV   n     vPV  r nvCD

(6.15)

Y de la Ec. (6.14), se obtiene: QPV 

1 2 DACD  n rvCD

(6.16)

La solución simultánea de las Ec. (6.15) y (6.16) daría la solución óptima del problema siempre y cuando n sea un número entero mayor o igual que 1. Sin embargo, esto rara vez


273

ocurrirá. Por lo tanto, se puede hacer un análisis con valores enteros de n cercanos a la solución simultánea de las ecuaciones. La forma de encontrar el n* óptimo se basa entonces en los valores obtenidos de la función objetivo, al reemplazar n y QPV en la Ec. (6.12). El valor óptimo no entero de n se puede encontrar fácilmente con la ayuda del solver de Excel™ para resolver las ecuaciones simultáneas (6.15) y (6.16). Ejemplo 6.3 (Un sistema de dos etapas en serie con demanda constante) Una empresa compra una materia prima al por mayor, luego la divide, la reempaca y la envía a la planta de producción. Obsérvese que los escalones de la cadena no son lugares físicos reales, sino las dos etapas de producción, o sea la compra inicial y el fraccionamiento de la materia prima. El CD corresponde a la compra al por mayor y el PV está representado por el producto después de fraccionado y reempacado. Se dispone la siguiente información (los valores monetarios son dados en miles de pesos): D ACD APV  vCD

= = = =

vR

= vR  vW  $35/ton = 30% anual

r

6,000 ton/año $250 por cada orden de compra al por mayor $10 por cada proceso de división y reempacado vCD = $130/ton

Se calcula inicialmente el n óptimo no entero igualando las Ec. (6.15) y (6.16):

A  2 D  CD  APV   n   1 2 DACD   vPV   r nvCD n rvCD  250  2  6,000   10  n   1 2  6,000  250 0.30130n  35 n 0.30  130 3  106  120,000 277.35 n  39n  10.5 n Esta ecuación se puede resolver con la ayuda del solver de Excel™. La solución es n = 2.5944. Como n no es un número entero, entonces se prueba para valores enteros cercanos, obteniéndose la Tabla 6.5. En esta tabla se ha utilizado la Ec. (6.15) para determinar QPV dado n, ya que es la que produce los menores valores en la función objetivo. La solución óptima * * entera es, por lo tanto, n* = 3, QPV = 94 ton y QCD = 3× 94 = 282 ton y CTR* = 11,949.90 miles de $/año.

274


Tabla 6.5. Valores óptimos de n y QPV (Ejemplo 6.3) n 1 2 3 4 5

QPV [Ton] 251 135 94 72 59

QCD [Ton] 251 270 282 288 295

CTR(n, QPV) [Miles de $/año] 12,427.39 11,973.72 11,949.90 12,035.57 12,163.88

Así, la política de inventarios sería comprar 282 toneladas de la materia prima al por mayor; un tercio se procesa, se reempaca inmediatamente y se envía a la planta de producción. Cuando éste se agote, otro tercio se reempaca y se envía; al agotarse éste, se reempaca y envía el último tercio y cuando éste finalmente se consume, se inicia un nuevo ciclo de reposición comprando de nuevo otras 282 toneladas de la materia prima. Obviamente, un modelo de esta naturaleza funciona siempre y cuando se cumplan los supuestos originales del EOQ que se formularon en la Sección 5.2 del Capítulo 5. Entre los más destacados están el de demanda constante y el de tiempo de reposición constante y conocido. Aquí se deben considerar dos tiempos de reposición, uno entre los proveedores y el CD y el otro entre éste y la planta de producción. Dado que en la práctica es muy difícil que estos supuestos se cumplan, el método enunciado anteriormente requeriría de ajustes significativos para su correcto desempeño. En la Sección 6.6 se tratan algunos conceptos importantes sobre sistemas de control de inventarios en cadenas de abastecimiento cuando la demanda es aleatoria. Puntos de Venta PV

1

Proveedores Externos

BODEGA CD

2 3 N


Figura 6.5. Un sistema con una bodega y N puntos de venta Otro caso de demanda constante que ha sido extensivamente estudiado es el mostrado en la Figura 6.5, el cual corresponde al famoso problema de una bodega y N puntos de venta (OneWarehouse N-Retailer Problem). De acuerdo con Schwarz (1973), este caso se vuelve extremadamente complejo cuando N  3 puntos de venta, inclusive cuando la demanda externa es constante. Muchas aproximaciones a este problema se constituyen en simplificaciones que


275

aproximan el problema complejo mediante situaciones semejantes, pero más simples [Véase, por ejemplo, Axsäter (1993a, 1993b y 2000) y Cheng y Zheng (1997)]. Silver et al. (1998, pp. 482-485) dan una amplia lista de autores que han estudiado este mismo problema y otros relacionados, como el caso de sistemas de ensamble puro y sistemas arborescentes, tanto para demanda constante, como para demanda determinística variable con el tiempo. En la sección siguiente discutiremos los sistemas de control de inventarios para cadenas de abastecimiento con una bodega y N puntos de venta desde el punto de vista práctico. La discusión se basa en casos reales en los cuales he tenido la fortuna de trabajar.

6.6

LA COMPLEJIDAD DE LA DEMANDA ALEATORIA

La complejidad de los sistemas de inventarios en cadenas de suministro aumenta notablemente cuando se considera demanda aleatoria y por supuesto cuando se incluye también la variabilidad de los tiempos de reposición entre los diferentes eslabones de la cadena. Para una revisión de la literatura reciente sobre el tema puede consultarse a Gutiérrez y Vidal (2008). Los problemas y fallas comunes del control de inventarios en cadenas de abastecimiento que se presentan en la práctica radican principalmente en la aplicación directa de los métodos estudiados en los capítulos anteriores a cada lugar de la cadena en forma aislada. Entre estas fallas y complejidades se encuentran las siguientes:  La definición de factores de costo y servicio basados solamente en consideraciones particulares de cada escalón de la cadena. El nivel de servicio, por ejemplo, se define con base en el escalón siguiente y no con base en el cliente final, lo cual puede no ser conveniente, ya que un problema de servicio en un escalón corriente-arriba en la cadena produce es un efecto sobre el tiempo de reposición que experimenta el escalón corrienteabajo y posiblemente afecte indirectamente el servicio al cliente final.  Los pronósticos de demanda basados en el siguiente escalón de la cadena. Por ejemplo, en el caso de la Figura 6.5 con una bodega y N puntos de venta, el error estaría en planear los inventarios de la bodega basados en los despachos realizados a los puntos de venta. Lo correcto es que la bodega planee sus inventarios con base en la demanda externa real que se presente. Este es un factor clave de control de inventarios en cadenas de abastecimiento.  La utilización exclusivamente del tiempo de reposición del punto siguiente corrientearriba de la cadena. El verdadero tiempo de reposición puede ser muy diferente, ya que una decisión corriente-arriba puede afectar todos los tiempos de reposición de los eslabones de la cadena corriente-abajo. Por lo tanto, se puede utilizar dentro de este contexto el concepto de tiempo de reposición de escalón (echelon lead time), definido como el tiempo necesario para que el producto llegue al cliente final desde que el punto de la cadena bajo consideración emita un pedido. Por ejemplo, dependiendo de ciertas condiciones, el tiempo de reposición de escalón de un punto de venta en la Figura 6.5 podría ser la suma del tiempo de reposición del proveedor externo hacia la bodega con el tiempo de reposición de la bodega hacia el punto de venta. Esto ocurriría, por ejemplo, si la bodega no mantiene inventario del ítem solicitado. Estos conceptos se estudian más adelante en el Ejemplo 6.4.


276

 Una complicación adicional es la posibilidad de transferencias entre puntos diversos de la cadena. Por ejemplo, en el caso de la Figura 6.5, un PV podría transferir productos a otro punto donde tengan mayor consumo. Obviamente, este desbalanceo podría evitarse si se programa adecuadamente el inventario al interior de cada PV, de acuerdo con su demanda particular. El papel de la información y del tipo de control de inventarios Dos aspectos fundamentales a considerar en el diseño de un sistema de control de inventarios en cadenas de suministro son el tipo de información que se tiene y el tipo de control. La información puede ser global o local. En la primera, todo punto de la cadena conoce las características de los demás puntos, tal como la información sobre demanda del consumidor final. En la segunda, solo se dispone de información local en cada eslabón de la cadena y con ella se decide. Por otra parte, el tipo de control puede ser centralizado o descentralizado. Como su nombre lo indica, en el primer tipo de control, las decisiones se toman por un solo ente encargado de toda la cadena, quien ‗empuja‘ los niveles de inventario en toda la cadena (sistemas tipo push). El segundo tipo de control implica que las decisiones se pueden tomar en forma independiente para cada lugar de la cadena (sistemas tipo pull). La Tabla 6.6 ilustra estas ideas junto con los posibles sistemas de control a utilizar. Tabla 6.6. Sistemas de gestión de inventarios en cadenas de suministro de acuerdo con el tipo de información y control disponibles [Fuente: Adaptada de Silver et al. (1998), p. 489] Tipo de Control Centralizado Descentralizado Información

Global

 Inventario manejado por el  Planeación de requerimientos de proveedor (VMI) distribución (DRP) (en la mayoría de los casos)  Planeación de requerimientos de distribución (DRP) (en algunos  El sistema de control de casos) inventario de base  Resultados analíticos para sistemas en serie y arborescentes  Sistemas tipo push 

Local

NO TIENE SENTIDO

Sistemas de control tradicionales para demanda probabilística, utilizando tiempos de reposición aleatorios

De acuerdo con Silver et al. (1998, pp. 488-489), los sistemas centralizados con información global son frecuentemente la mejor solución, pero requieren un alto grado de coordinación en la cadena. Además, disponer de información global puede requerir considerables inversiones en sistemas de información. Los sistemas descentralizados con información global son también muy utilizados en la práctica, pues aprovechan las ventajas de los sistemas tipo pull con las ventajas de la información global. Es el caso, por ejemplo, de un sistema de una bodega y N puntos de venta (Figura 6.5), en el cual el sistema de control de inventarios en cada PV se hace de acuerdo con su información local de demanda al cliente final (tipo pull), y el control de inventarios en la


277

bodega se realiza con base en la información de la demanda externa real que está ocurriendo y no con base en los despachos hacia los puntos de venta. Este sistema se denomina un sistema de control de inventario de base. Vale la pena mencionar las bondades de un sistema de control de inventario de base (Figura 6.6). El aspecto clave es que la información de demanda del cliente final es compartida en todos los escalones de la cadena. Esto requiere, por supuesto, tener sistemas de información avanzados basados por ejemplo en EDI o en POS. Cada punto de la cadena toma decisiones de inventario basándose en la demanda real del cliente final y no en la demanda observada en el escalón siguiente corriente-abajo. Esta práctica disminuye significativamente la variabilidad del sistema, especialmente en ítems costosos de bajo movimiento. Las decisiones de inventario así planteadas pueden entonces tomarse aplicando los métodos estudiados en los capítulos anteriores. Los sistemas (s, S) y (R, S) son especialmente recomendados en este sistema de control, teniendo en cuenta que el inventario efectivo debe basarse en el inventario de escalón definido anteriormente más las órdenes pendientes por recibir, para evitar la doble consideración de inventarios de seguridad en la cadena. Sin embargo, en aquellos casos en los que los tiempos de reposición son muy variables, puede ser riesgoso utilizar el concepto del inventario de escalón en la forma tradicional.

Información global sobre la demanda P R O V E E D O R E S

BODEGA

PUNTOS DE VENTA

C L I E N T E S

Figura 6.6. Un sistema de control de inventario de base en una cadena de abastecimiento con una bodega y N puntos de venta

La Figura 6.6 muestra gráficamente un sistema de control de base para un caso real en el que he trabajado. Anteriormente, la bodega tomaba sus decisiones de control del inventario basándose en la información de los pedidos de los puntos de venta. Actualmente, cualquier decisión de compra en la bodega se toma con base en la información consolidada de la demanda real de los clientes. Los proveedores externos aún tienen que basarse en la información de los pedidos de cada centro de distribución de sus clientes, pero lo ideal sería lo mostrado en la figura, o sea que, a través de técnicas de colaboración, estos proveedores

278


pudieran tener información de la demanda real de sus clientes. Si esto se hiciera realidad, los proveedores podrían planear mucho mejor sus inventarios de materias primas y de productos terminados con lo que se beneficiarían todas la cadenas en forma integral. Finalmente, un sistema de control descentralizado y con información local se basa en la información local de cada punto de la cadena, quien toma decisiones en forma independiente. Este sistema, sin embargo, requiere también compartir información en diversos puntos de la cadena, con lo que puede asemejarse mucho al sistema anterior. Control de inventarios en sistemas con una bodega y N puntos de venta Considérese la cadena de abastecimiento con una bodega y N puntos de venta mostrada en la Figura 6.5, tema de amplio interés e investigación actual y en el cual he trabajado considerablemente. En estos sistemas, en general, en el CD se planean y realizan compras a un gran número de proveedores externos y los productos se almacenan para su posterior despacho hacia los puntos de venta. Un caso típico local puede comprender más de 200 proveedores diferentes, un gran CD, más de 100 puntos de venta diseminados a lo largo de cierta región del país y cientos de miles de clientes que demandan miles de productos diferentes, generalmente de consumo masivo. Las preguntas clave que surgen para la administración de una cadena de este tipo pueden incluir las siguientes:  ¿Cómo debe planearse la compra de cada ítem en el CD?  ¿Cómo deben planearse y realizarse los despachos desde el CD hacia cada uno de los puntos de venta?  ¿Cuáles de los miles de ítems debería mantenerse en inventario en cada uno de los diferentes puntos de venta y en el CD mismo?  ¿Qué nivel de inventario de seguridad de cada ítem debería mantenerse tanto en el CD como en cada uno de los puntos de venta?  ¿Cómo deben administrarse las transferencias de productos entre los diversos puntos de venta?  ¿De qué manera deben planearse las depuraciones de inventarios en cada uno de los puntos de venta?  ¿Cómo debe ser el manejo integral de la información a lo largo de toda la cadena?  ¿Cómo deberían coordinarse las operaciones de compra con las operaciones de recepción y almacenamiento en el CD? ¿Cómo afectan las operaciones de logística y de transporte en la cadena al control de inventarios?  ¿Cuáles indicadores de eficiencia del sistema deberían manejarse? Muchos investigadores han abordado este tema. Se destacan los trabajos iniciales realizados por Clark y Scarf (1960) en cadenas en serie y arborescentes y los de Roundy (1985, 1986) en los sistemas de una bodega y N puntos de venta. Todos estos trabajos son analizados y complementados en un excelente capítulo sobre el tema por Axsäter (2000, pp.115-169). La mayoría de los trabajos para este tipo de cadenas asumen demanda con distribución de Poisson en los puntos de venta y han sido desarrollados para productos de alto valor y lento movimiento [Por ejemplo, Forsberg (1995, 1996), Cohen et al. (1986), Graves (1996) y Axsäter (1998)]. En otros casos, en ambientes productivos con remanufactura


279

(reparación de productos), se asume también demanda de Poisson o procesos de Poisson compuestos [Sherbrooke (1968)]. Por otra parte, muchos trabajos asumen que los N detallistas son idénticos [Véase, por ejemplo, Moinzadeh (2002) y Chen y Samroengraja (2000)]. Silver et al. (1998, pp. 498-500) presentan referencias adicionales en las que se ha abordado este tema. Entre algunas excepciones que asumen demanda normal en los puntos de venta se encuentran Axsäter (2000), quien presenta un análisis exacto para un sistema serial con un solo punto de venta, el cual es una extensión del trabajo de Clark y Scarf (1960). Axsäter sostiene que la metodología utilizada puede ser extendida al caso de una bodega y N puntos de venta, como lo presentado en los artículos de Federgruen y Zipkin (1984) para el caso en que la bodega central actúa como un centro de cross-docking, y Matta y Sinha (1995) cuando la bodega central almacena inventario. Otro ejemplo que puede clasificarse dentro de esta categoría es el trabajo de Lee et al. (2000). Axsäter et al. (2002) analizan un sistema con un solo proveedor con capacidad infinita, una bodega central y varios detallistas. El objetivo es encontrar políticas que minimicen los costos de mantenimiento del inventario y de las órdenes pendientes. Özer (2003) desarrolla un heurístico para establecer políticas de inventario efectivas teniendo en cuenta información de demanda conocida con anticipación en un sistema con un solo proveedor supliendo a una bodega que surte a N puntos de venta. El autor muestra que el tener información avanzada de demanda produce niveles de inventarios y costos relacionados más bajos, lo cual convierte a esta información en sustituto para inventarios y tiempos de reposición de seguridad. Otro trabajo de importancia es el presentado por Dong y Lee (2003), el cual reconsidera el trabajo seminal de Clark y Scarf (1960) en un sistema serial multi-eslabón con procesos de demanda correlacionados en el tiempo y demuestra que es mejor invertir en la reducción de tiempos de reposición en un ambiente con este tipo de demandas. Más recientemente se han publicado investigaciones que tratan de coordinar las decisiones de inventarios en sistemas de una bodega y N puntos de venta con las operaciones de ruteo [Por ejemplo, Jung y Mathur (2007)]. Este trabajo, sin embargo, asume demanda constante en los puntos de venta, aunque luego realiza análisis de sensibilidad sobre ella. Otros desarrollos más recientes incluyen también fuertes supuestos, como el caso de Monthatipkul y Yenradee (2008), ya que, aunque suponen demanda aleatoria en los puntos de venta e incluyen faltantes, consideran idénticos a los puntos de venta, asumen un solo proveedor con capacidad infinita que abastece a la bodega y asumen tiempos de reposición constantes. Otro ejemplo es Petrovic et al. (2008) quienes consideran el control del inventario de un solo producto. La aplicación práctica de los trabajos anteriores se ve generalmente limitada por los supuestos descritos (demandas constantes o de Poisson, proveedores idénticos o un solo proveedor de capacidad ilimitada, puntos de venta idénticos, tiempos de reposición constantes, asumir que no hay faltantes y un solo producto, entre otros posibles) y en ocasiones por la necesidad de estimar el costo de faltantes por unidad monetaria y por unidad de tiempo en cada uno de los puntos de venta, para cada uno de los productos que se mantienen en inventario. Las múltiples complejidades que un sistema real de una bodega y N puntos de venta presenta, difícilmente podrían incluirse en un modelo integral de control con resultados analíticos. En concordancia, en un artículo de revisión, Gümüs y Güneri (2007) concluyen que la mayoría de los modelos de inventarios en cadenas de abastecimiento son aproximados y que raramente generalizan los hallazgos a N etapas en la cadena de suministro. Por otra parte, Simchi-Levi et al. (2005, p. 137) consideran un sistema de una bodega y N puntos de venta suponiendo que hay un solo proveedor con capacidad infinita y asumiendo que los tiempos de

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reposición desde la bodega hacia los puntos de venta son constantes. En su análisis, asumen que las demandas en los puntos de venta son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) y permiten la existencia de órdenes pendientes. Los autores afirman que, ―Como el lector comprende sin duda alguna, el análisis estocástico de los modelos de distribución es considerablemente difícil y encontrar una estrategia óptima es prácticamente imposible.‖ Mencionan la gran dificultad de tratar el problema incluso asumiendo demanda determinística en los puntos de venta. Lo que es peor, los sistemas de una bodega y N puntos de venta en la práctica pueden tener muchas más complejidades que las enunciadas hasta este punto. Entre algunas complejidades que he encontrado en estos sistemas en la práctica se incluyen las siguientes:  Los sistemas reales de una bodega y N puntos de venta se caracterizan por tener cientos de proveedores con capacidad limitada, con comportamientos diferentes y servidos por operadores logísticos con múltiples características que pueden complicar la operación, especialmente en nuestro medio. Un problema que he observado tiene que ver con el comportamiento de los proveedores en cuanto a la variabilidad de su tiempo de reposición y al incumplimiento de las cantidades de las órdenes de compra que recibe. El problema se agrava cuando en medio de las crisis económicas mundiales, los proveedores deciden cerrar plantas y limitar la distribución en muchos países, como en el caso de algunos laboratorios farmacéuticos en Colombia. Igualmente, el desempeño de los operadores logísticos que transportan los productos hacia los centros de distribución puede ser muy complejo. Por ejemplo, un operador logístico que sirve a un proveedor podría decidir unilateralmente consolidar dos o más órdenes de compra con fechas diferentes en un solo envío (aplicando erradamente el principio de postposición de tiempo), lo que obviamente podría causar agotados en el cliente del proveedor. En otras ocasiones, un mismo operador logístico sirve a varios proveedores y a veces decide esperar a consolidar órdenes de proveedores diferentes para completar un camión y hacer un solo viaje.  Se manejan cientos de miles de SKUs con diferentes patrones de demanda en cada punto de venta. Además, no todos los puntos de venta manejan siempre los mismos productos, ya que existe lo que se denomina el ‗surtido tipo‘ o la ‗vectorización‘ del punto de venta.  Los puntos de venta son diferentes entre sí y cada uno puede presentar diferentes características en cuanto a la administración del inventario. Por ejemplo, en el caso de medicamentos, no es lo mismo una droguería ubicada dentro de un supermercado que otra ubicada dentro de una clínica o que otra que sólo es droguería o que tiene el formato de una rapitienda.  En general, la demanda en los puntos de venta presenta distribuciones probabilísticas diferentes a la de Poisson, en ocasiones no se cumple la independencia de las demandas y en la mayoría de los casos ellas no siguen la misma distribución probabilística.  En algunas cadenas de abastecimiento, existen épocas del año donde se deben hacer pronósticos acumulados en adición a los pronósticos cíclicos normales. Esto puede ser causado por algunas condiciones que imponen los proveedores. Por ejemplo, en el caso de medicamentos en Colombia, muchos laboratorios farmacéuticos salen a vacaciones en diciembre, con lo cual sus clientes deben proveerse en noviembre hasta comienzos de febrero. Como se sabe, los pronósticos de demanda para largos horizontes de tiempo son más complejos y presentan mayor variabilidad.


281

 La clasificación ABC es diferenciada por bodega (total cadena) y por puntos de venta, lo que causa que un producto pueda ser A en una droguería, B en otra y C en otra. Esto en ocasiones causa confusión en las políticas de control de inventarios y en los sistemas de pronósticos.  El manejo de productos nuevos y la administración de las promociones es un tema muy complejo. En los primeros, no hay historia disponible y el sistema de pronósticos es un desafío. El manejo de las promociones, por otra parte, causa la creación de ítems con un nuevo código constituidos por ítems maduros, los cuales interfieren con la demanda normal de los ítems originales, causando distorsión en los sistemas de pronósticos (como por ejemplo en el casos de promociones ‗pague uno lleve dos‘ o cuando se consolidan en un solo paquete dos productos diferentes).  La existencia de productos con demanda errática ó intermitente, incluso a nivel agregado de demanda en el CD. Esto generalmente causa roces entre los departamentos de mercadeo y logística, ya que, en los casos más graves, el primero desea ―tener de todo, en toda parte y en todo momento‖ mientras que logística insiste en que una política así es demasiado costosa y extremadamente difícil de administrar.  Diferentes aspectos administrativos que pueden afectar a los sistemas de control de inventarios, como por ejemplo: El manejo de los despachos manuales y de emergencia y las transferencias entre puntos de venta; la precisión del inventario físico en puntos de venta y en el CD; la coordinación entre el sistema de compras y el sistema de recepción y almacenamiento en el CD; el manejo de ítems comunes con diferentes presentaciones; la consideración de unidades mínimas de despacho de algunos ítems y la forma como se contabilizan los ítems (por ejemplo, puede ocurrir que una caja de medicamentos contenga diez blísters, cada uno con diez pastillas y el conteo podría llevarse entonces de tres formas distintas: por cajas, por blísters o por pastillas y así podrían generarse tres códigos distintos para el mismo producto); la ‗canibalización‘ de la demanda, tanto por ítems relacionados como por un punto de venta con otro. Lo anterior sugiere que una muy buena opción es la implementación de técnicas de pronósticos formales combinadas con sistemas heurísticos de control de inventarios desarrollados con base en el sistema de información propio de la empresa, dentro de su mismo ambiente, y considerando las prácticas administrativas de la empresa. Algo fundamental es que la gran cantidad de decisiones administrativas y de casos especiales presentes en un sistema de esta naturaleza, hace que la implementación y el refinamiento de los modelos sean muy complejos. Cuando la información es global, el CD basa sus decisiones en la demanda real externa observada consolidada para todos los puntos de venta. Al calcular los tamaños de lote a comprar deberían por lo tanto considerarse los inventarios ya existentes en los puntos de venta, puesto que estos han ‗pasado‘ por la bodega y aún no han sido comprometidos con clientes finales (concepto de inventario de escalón). Sin embargo, como los tiempos de reposición de los proveedores hacia la bodega y las cantidades despachadas pueden ser inciertos, frecuentemente no es conveniente descontar el 100% de los inventarios existentes en los puntos de venta para responder en cierta forma a estas variabilidades. A medida que se logra estabilizar dichos tiempos de reposición o que se incluye en los sistemas de control la variabilidad de los tiempos de reposición de los proveedores, se puede entonces descontar un mayor porcentaje del inventario existente en los puntos de venta para tomar decisiones de

282


compras. Es decir, que una cosa es el concepto teórico del inventario de escalón y algo diferente es su aplicación en la práctica, como lo he podido comprobar en el caso real al que me he estado refiriendo en el área de medicamentos. Un aspecto muy importante es que, para el diseño de un sistema efectivo de administración y control de inventarios, no es necesario inicialmente considerar aspectos de costos de mantenimiento del inventario r, de ordenamiento o alistamiento A ni de faltantes B1 ó B2. Esto se debe principalmente a que sistemas de pronósticos adecuados y buenas técnicas de control implican directamente reducción de estos costos, sin necesidad de estimarlos previamente o de considerarlos dentro de la función objetivo de los modelos matemáticos. Lo que se puede hacer es tratar de estimar estos costos a posteriori con el objeto de verificar la bondad de los sistemas de control y compararlos con posibles técnicas adicionales de refinamiento, especialmente para el caso de ítems clase A. Este aspecto facilita las aplicaciones en otros sistemas sin la necesidad inicial expresa de estimar dichos costos, lo cual es muy difícil de lograr con precisión en la mayoría de los casos. Además, la mayoría de los sistemas de inventarios son muy robustos en cuanto a cambios en los parámetros mencionados. Es de resaltar la importancia que tienen los procesos de colaboración en la cadena de abastecimiento (Figura 6.6). Por ejemplo, para los proveedores, quienes a su vez tienen su propia cadena de suministro de materias primas, sería muy interesante disponer de datos de demanda real de los consumidores y así disminuir el efecto látigo, como ya se comentó anteriormente. Si esta práctica se generalizara a los clientes más importantes de cada proveedor, éste podría pronosticar su demanda con mejor precisión, evitando así faltantes de inventario que comúnmente se presentan y que causan un gran problema al romperse el inventario en el CD, ocasionando el deterioro en el servicio al cliente. Este proceso de colaboración se constituye evidentemente en una relación gana-gana si se logran superar las dificultades de confianza y confidencialidad, barreras más prominentes de este tipo de relaciones. Queda abierta la pregunta de la conveniencia de la adopción de sofisticados sistemas de información, planeación y administración de la cadena de abastecimiento. Muchas veces estos se convierten en costosos sistemas de información solamente, sin que se puedan explotar todas sus posibilidades. Específicamente, en el área de inventarios, en general estos sistemas no son utilizados adecuadamente, y sus capacidades de pronósticos y de control no son aprovechadas en todo su potencial. En muchas ocasiones, sistemas sencillos hechos en casa pueden ser la respuesta rápida, parcial o definitiva, a los serios problemas de inventarios que presentan las organizaciones locales y nacionales en general. Ante todas las anteriores complejidades, la aplicación directa de los desarrollos teóricos es cuestionable y hace que deba pensarse en métodos heurísticos y prácticos de administración de inventarios, muy posiblemente con sistemas de control y de pronósticos ‗desarrollados en casa‘. Para una descripción más detallada de ejemplos regionales exitosos de implementación real de sistemas de pronósticos y de control de inventarios en una cadena de abastecimiento con una bodega y N puntos de venta véase Zamora y Ruiz (2008), Londoño (2005) y Vidal et al. (2004). Ejemplo 6.4 (Un sistema de una bodega y cinco puntos de venta desarrollado con base en un caso real) Una empresa comercial local posee un CD que atiende a cinco puntos de venta en la ciudad. El CD se abastece de varios proveedores tanto locales como nacionales e internacionales. Se


283

va a analizar el control del inventario de un producto específico. La Tabla 6.7 muestra las demandas de este producto para las últimas 16 semanas en cada PV y la demanda consolidada que observa el CD, al igual que las estadísticas básicas de la demanda de este ítem. Tabla 6.7. Demandas de un producto en una cadena con una bodega y cinco puntos de venta (Ejemplo 6.4) Semana No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

P.V. 1 96 123 103 189 73 69 86 74 58 74 83 57 72 70 83 59

P.V. 2 20 25 27 31 30 29 26 43 52 27 52 23 27 21 21 25

P.V. 3 345 407 301 320 355 326 332 315 362 287 353 263 311 323 306 296

P.V. 4 320 105 400 110 117 140 300 101 86 86 208 172 195 363 92 405

P.V. 5 6 18 7 0 5 13 5 6 0 22 2 5 4 0 0 9

Consolidado (CD) 787 678 838 650 580 577 749 539 558 496 698 520 609 777 502 794

Promedio = Desv. Est. = Coef. de Var. =

85.56 32.59 38.09%

29.94 10.14 33.88%

325.13 34.27 10.54%

200.00 118.02 59.01%

6.38 6.45 101.15%

647.00 115.16 17.80%

El sistema de control de inventarios que se ha establecido es periódico (R, S), tanto para cada PV como para el CD con la demanda consolidada. En ambos casos se utiliza un intervalo de revisión R = 1 semana. El proveedor de este ítem ha mostrado un comportamiento aceptable, con un tiempo de reposición cuyo promedio se ha estimado en E(LTCD) = 0.5 semanas y su desviación estándar  LTCD  0.13 semanas. El tiempo de reposición del CD hacia cualquiera de los puntos de venta es muy estable, igual a 1 día, es decir, LTPV  0.143 semanas. Debido a que un faltante en el CD puede ser más grave que un faltante en algún PV, se ha establecido un nivel de servicio P1 en el CD del 99% y en cada PV del 97.5%. Se pide establecer las políticas de control en cada PV y en el CD. Primero, se va a ilustrar el cálculo de los parámetros de la política de control del PV 1. Ya sabemos que R = 1 semana y que el tiempo de reposición que observa el PV es el que brinda el CD, o sea LTPV  0.143 semanas. El factor de seguridad en cada PV es igual a k = 1.96 [para pz(k) = 1 – P1 = 0.025]. La desviación estándar semanal ˆ1 de este ítem se ha estimado a partir de la muestra de las 16 semanas en la Tabla 6.7, igual a 32.59 unidades, al igual que el promedio de la demanda semanal de este ítem igual a 85.56 unidades. En un sistema real, estos dos últimos parámetros los proveería el sistema formal de pronósticos que se esté utilizando, a través de los errores de los pronósticos. Con los datos anteriores se puede calcular entonces el inventario máximo del ítem en el PV 1, de acuerdo con la Ec. (5.34) del Capítulo 5:

284




S1  xˆR  L  kˆ R  L  d1  ( R  LTPV )  k  ˆ1 R  LTPV



S1  85.56  (1  0.143)  1.96  32.59 1  0.143





S1  97.8  68.3  166 unidades Por lo tanto, la política de control del ítem en el PV 1 será la de revisar su inventario efectivo cada semana y ordenar una cantidad igual a 166 unidades menos su inventario efectivo al momento de la revisión. Estos cálculos se pueden realizar en forma automática al igual que los despachos, lo que le da una gran autonomía al sistema. Los cálculos para el resto de puntos de venta son semejantes y los resultados se muestran en la Tabla 6.8. Es importante observar que la revisión del inventario del ítem no necesariamente debe hacerse el mismo día para todos los puntos de venta (puede por ejemplo repartirse por igual de lunes a viernes cada semana). Lo que debe hacerse es respetar los valores del inventario máximo en cada lugar. Tabla 6.8. Parámetros de control del inventario del ítem en cada punto de venta (Ejemplo 6.4) Parámetro Intervalo de revisión R (sem) = Tiempo de reposición del CD (sem) = Demanda promedio d i (u/sem) =

P.V. 1 1 0.143 85.56

P.V. 2 1 0.143 29.94

P.V. 3 1 0.143 325.13

P.V. 4 1 0.143 200.00

P.V. 5 1 0.143 6.38

Desviación estándar semanal σ i (u) = Factor de seguridad k = Inventario cíclico promedio (u) = Inventario de seguridad (u) = Inventario máximo S i (u) =

32.59 1.96 97.8 68.3 166

10.14 1.96 34.2 21.3 55

34.27 1.96 371.6 71.8 443

118.02 1.96 228.6 247.3 476

6.45 1.96 7.3 13.5 21

Los autores describen dos versiones para establecer la política de control de inventario de un ítem en el CD dentro de estas cadenas de abastecimiento. Ballou (2004, pp. 370-373) presenta un ejemplo donde para planear el inventario del almacén, mediante un sistema de control (s, Q), utiliza solamente el tiempo de reposición de su proveedor y no comenta nada adicional al respecto. Por el contrario, Simchi-Levi et al. (2003, pp. 67-68) definen el tiempo de reposición de escalón (echelon lead time) que se presentó al comienzo de esta sección y utilizan, para el cálculo del punto de reorden de un sistema (s, S) en el almacén, lo que denominan Le = tiempo de reposición entre los detallistas y la bodega mas el tiempo de reposición entre la bodega y su proveedor. Yo piense que si, para controlar el inventario en el CD, se está considerando la variabilidad de los tiempos de reposición del proveedor y se está utilizando el inventario de escalón (y dentro de éste se está incluyendo el inventario total existente en los PVs), entonces debería adoptarse la metodología de Simchi-Levi et al. (2003); además, esta política en cualquier caso es conservativa porque incrementa el inventario cíclico y el de seguridad. Si en alguna aplicación práctica, como la mencionada en los párrafos anteriores, por falta de información no se considera la variabilidad del tiempo de reposición del proveedor en los cálculos, y por ello en el inventario de escalón no se incluye el 100% del inventario en los PVs, entonces es posible incluir solamente el tiempo de reposición promedio del proveedor (y no el tiempo de reposición entre el CD y los PVs), pues de lo contrario, en el CD se estaría contabilizando doble inventario de seguridad al no descontar todas las unidades en los PVs y fuera de esto adicionar el tiempo de reposición entre el CD y los PVs. En todo caso, este es un tema que


285

merece mayor investigación. En este ejemplo se va a adoptar la metodología de Simchi-Levi et al. (2003, pp. 67-68). Para determinar el inventario máximo en el CD, es necesario recordar que el tiempo de reposición del proveedor es aleatorio y que se trata de un sistema de control periódico. Por lo tanto, es necesario adaptar las Ec. (5.36) y (5.37) del Capítulo 5 para considerar tanto la variabilidad de la demanda como la del tiempo de reposición. Así, estas ecuaciones se transforman de la siguiente manera:

E (w) periódico  R  E ( LTCD )  LTPV  E(dCD ) ˆ w

periódico



(6.17)

2 2 2 R  E( LTCD )  LTPV ˆCD  E (dCD ) ˆ LT

CD

(6.18)

Obsérvese que se está utilizando el tiempo de reposición de escalón definido por SimchiLevi et al. (2003, pp. 67-68) y que los tiempos de reposición de los PVs no afectan la varianza del tiempo de reposición de escalón porque ellos son constantes; si no lo fueran, habría que hacer algunos supuestos de independencia entre los tiempos de reposición para transformar la Ec. (6.18). Reemplazando entonces los valores dados arriba, se obtiene:

E(w) periódico  1  0.5  0.143 647.00  1,063.5 unidades ˆ w

periódico



1  0.5  0.143)115.162  647.002 0.132  169.9 unidades

El factor de seguridad para el CD es k = 2.33 para P1 = 99%. Finalmente, el inventario máximo del ítem en el CD se puede calcular como:

SCD  E (w) periódico  kˆ w periódico  1,063.5  (2.33 169.9)  1,460 unidades La política de control del inventario del ítem en el CD sería entonces revisar su inventario de escalón en el CD cada semana y ordenar una cantidad igual a 1,460 unidades menos el inventario de escalón al momento de la revisión. Se ha resaltado la palabra ‗escalón‘ en la política anterior, ya que el inventario de escalón del ítem en el CD viene dado por: Inventario de escalón del ítem en el CD = Inv. a la mano en el CD + Pedidos pendientes por recibir de parte del proveedor + Inv. a la mano en todos los PVs + Cualquier pedido en tránsito hacia los PVs – Inv. comprometido con los clientes que no haya sido aún deducido Como el intervalo de revisión es de una semana y el tiempo de reposición del proveedor difícilmente va a ser mayor que su promedio + tres veces su desviación estándar = 0.5 + (3.0 × 0.13) semanas = 0.89 semanas, entonces en este ejemplo es muy raro que ocurra el evento de que en una revisión exista un pedido pendiente por entregar de parte del proveedor. Sin embargo, si esto llegare a ocurrir, entonces el concepto del inventario de escalón lo controlaría, ya que éste consideraría el pedido que está pendiente por recibirse.

286


Como se mencionó anteriormente, dado que en muchas aplicaciones prácticas es difícil medir y registrar la variabilidad de los tiempos de reposición de los proveedores, entonces no es conveniente descontar el 100% del inventario a la mano en todos los puntos de venta, pues este inventario actúa como una protección ante la fuente de variabilidad no considerada. Nótese que es buena idea trabajar con la demanda consolidada para el CD porque, dada la variabilidad de la demanda en los puntos de venta, es extremadamente difícil que ocurran altas demandas simultáneamente en todos ellos. Por lo tanto, en una semana dada, puede que en algunos puntos de venta la demanda se incremente, pero casi con seguridad en otros puntos bajará, lográndose el equilibrio de la consolidación y permitiendo un adecuado manejo del inventario en toda la cadena.

6.7

UN SISTEMA DE CONTROL TIPO PUSH

Los sistemas tipo push se caracterizan por su información global y decisiones centralizadas. En ellos, normalmente un lugar clave de la cadena planea los inventarios y los ‗empuja‘ hacia otros lugares de la misma, pero con base en la información global. Estos sistemas han demostrado ser muy importantes en aquellos casos en los que se manufactura un producto que no puede ser almacenado en la planta y debe ser enviado de inmediato a bodegas o a puntos de venta a lo largo de la cadena de abastecimiento. Por ejemplo, en la producción de atún, una vez se procese éste en la planta, normalmente se envía hacia los diversos puntos de la cadena de distribución. Igual cosa puede suceder con las cosechas de tomate en los países del norte, pues éstas solo ocurren durante tres meses del año y toda la producción debe hacerse en esos meses para enviarse totalmente a los lugares de almacenamiento y venta. El Ejemplo 6.5 ilustra un caso de un sistema de control tipo push. Ejemplo 6.5 (Un sistema de control tipo push) Un importador distribuye electrodomésticos en Colombia desde cuatro bodegas ubicadas en Barranquilla, Bogotá, Cali y Medellín. En este mes el importador ha recibido un embarque del exterior de 10,000 computadores. Debido al largo tiempo de importación, es muy difícil balancear la demanda con el suministro, por lo que el importador despacha hacia las bodegas todos los computadores que recibe en cada embarque. Así, la asignación de los computadores a las bodegas se basa en el pronóstico mensual de demanda y en el nivel de servicio deseado en cada bodega (información global). Para el próximo mes se dispone de información mostrada en la Tabla 6.9. Basado en el pronóstico mensual y su desviación estándar, ¿cómo deben asignarse los 10,000 computadores a las bodegas? Tabla 6.9. Información para el problema del sistema push (Ejemplo 6.5) Bodega

Barranquilla Cali Bogotá Medellín TOTAL

Inventario a Pronóstico de Desviación estándar del la mano, Ii demanda mensual, pronóstico mensual, i [unidades] xi [unidades] [unidades] 53 0 193 135 381

750 1,200 2,650 1,775 6,375

75 90 165 220

Nivel de servicio requerido P1i [%] 97.5 99.0 97.5 97.5


287

Lo primero que debe hacerse el calcular los requerimientos totales en cada bodega, así:

Requerimie ntos totales de la bodega i  xi  kiˆ i donde ki se determina con base en el nivel de servicio requerido en cada bodega, P1i, pues pz(ki) = 1  P1i. Por ejemplo, los requerimientos totales de la bodega en Barranquilla serían: Requerimie ntos totales bodega B/quilla  750  (1.96)(75)  897 unidades

donde el valor de k1 ha sido leído de las tablas del Apéndice A para pz(k1) = 1  P11 = 0.025. Una vez determinados los requerimientos totales de cada bodega, se calculan los requerimientos netos, teniendo en cuenta el inventario a la mano en cada una de ellas, así:

Requerimie ntos netos bodega i  Requerimie ntos totales bodega i  I i Tomando de nuevo la bodega en Barranquilla, se tendría lo siguiente: Requerimie ntos netos bodega B/quilla  897  53  844 unidades

Una vez se calculan los requerimientos netos de cada bodega (redondeando al entero superior en caso de ser necesario), se determina si queda algún exceso por repartir, el cual se asigna proporcionalmente al pronóstico mensual de demanda de cada bodega. La Tabla 6.10 muestra los resultados de la asignación. Tabla 6.10. Resultados del sistema push (Ejemplo 6.5) Bodega

Requerim. totales [unidades]

B/quilla Cali Bogotá Medellín

897 1,410 2,974 2,207

TOTAL

7,488

Inventario a la mano [unidades]

Requerim. netos [unidades]

Asignación de excesos [unidades]

Despacho [unidades]

53 0 193 135

844 1,410 2,781 2,072

340 545 1,202 806

1,184 1,955 3,983 2,878

381

7,107

2,893

10,000

Nótese en la Tabla 6.10 que la suma de los requerimientos netos de todas las bodegas es 7,107 unidades y, por lo tanto, queda un sobrante de 10,000 – 7,107 = 2,893 computadores para repartir entre todas las bodegas. Como la suma de los pronósticos mensuales de todas las bodegas es de 6,375 computadores (Ver Tabla 6.9), entonces, por ejemplo a la bodega de Barranquilla, dado que su pronósticos mensual es de 750 computadores, se le asignarían (750/6,375)  2,893 = 340 computadores adicionales fuera de sus requerimientos netos ya calculados. De esta forma se determina como asignar el exceso a cada bodega y finalmente el despacho total a enviar a cada una (Tabla 6.10). Obsérvese que además de los requerimientos netos de cada bodega se envía a cada una un exceso de inventario de acuerdo con su nivel promedio de demanda, dado por el pronóstico.

288


Por esta razón se denominan a estos sistemas tipo push, pues el inventario, aunque realmente no se necesita aún en el lugar de la cadena, se envía anteponiéndose a demandas futuras. Puede ocurrir que, en lugar de haber un exceso de productos, haya un defecto. Esto sucede cuando los requerimientos netos totales en la cadena de abastecimiento superan a la cantidad disponible. En estos casos surge la discusión de cómo asignar lo disponible y existen varias alternativas para hacerlo. Una de ellas, tal vez la más sencilla pero que produce muy buenos resultados es la de asignar lo disponible proporcionalmente al pronóstico de cada lugar, como se hizo en el Ejemplo 6.5 con el exceso de computadores. Otra forma, entre otras posibles, puede ser satisfacer los requerimientos del lugar de la cadena que se considere más ‗importante‘ y repartir el sobrante entre los demás. Puede consultarse a Bravo et al. (2007) para un artículo relacionado con este tema en despachos con limitaciones de transporte.

1. Revisar los niveles de inventario

Si

2. Hay órdenes pendientes de proveedores listas para despacho?

5. ¿Hay algún ítem en puntos de venta por debajo de su punto de pedido?

No

Si 3. Proyectar los requerimientos de cada punto de venta

6. Proyectar los requerimientos de los puntos de venta

4. Proponer una asignación de cantidades, incluyendo el inventario de seguridad del sistema

7. Determinar la asignación de cantidades y proponer los despachos hacia los puntos de venta con ítems por debajo del punto de pedido

8. Tomar la decisión final por parte de la persona a cargo

9. ¿El inventario del sistema está por debajo de su punto de pedido?

No

Si 10. Emitir órdenes a los proveedores

Figura 6.7. Un sistema de control de inventarios tipo push [Fuente: Traducido de Silver et al. (1998), p. 501]

No


289

Dentro de otro contexto, he sugerido algunas veces este método en la creación de nuevos puntos de venta, a los cuales se le asigna cierto presupuesto limitado para surtirlos inicialmente. Como un nuevo PV se compara con otros parecidos para efectos de sembrarle su inventario inicial, entonces se tienen algunos pronósticos de referencia y con base en ellos se puede asignar el presupuesto para repartirlo entre los miles de ítems que el PV va a manejar. Silver et al. (1998, pp. 500-503) presentan la generalización del sistema push ilustrado en el Ejemplo 6.5, el cual se describe en la Figura 6.7. Obsérvese que el control de inventarios para determinar órdenes de compra a proveedores externos se toma con base en la información global del inventario del sistema.

6.8

EL IMPACTO DE LA CONSOLIDACIÓN DE INVENTARIOS

Una pregunta que surge en cualquier cadena de abastecimiento es el número de lugares donde se almacene inventario que deben tenerse. Obviamente esta decisión no depende solamente de los costos de inventario, ya que entran a jugar un papel fundamental los costos de transporte, los costos de los sistemas de información, los costos fijos de las instalaciones y el nivel de respuesta al cliente. Dentro de cierto rango, a mayor número de centros de distribución, por ejemplo, los costos de transporte se reducen y el nivel de respuesta al cliente aumenta, pero los niveles de inventario, los costos fijos de las instalaciones y los costos de información aumentan. Por el contrario, al consolidar varios centros de distribución en un número menor, los costos fijos y el nivel de inventario se disminuyen, pero los costos de transporte y el tiempo de respuesta al cliente aumentan. Por estas razones, la decisión de cuántos lugares de almacenamiento mantener en la red no depende solamente de los costos de inventario, sino también de los otros factores mencionados anteriormente. Este tema forma parte del área de optimización de cadenas de abastecimiento en cuanto a decisiones estratégicas se refiere (Ver Capítulos 11 y 12 donde se profundiza en estos temas). Una referencia introductoria a este tema es la de Croxton y Zinn (2005), quienes incluyen los costos de inventario como un elemento explícito para el diseño de redes; otra más reciente, la cual demuestra que estos tópicos están en activa investigación, es la de Üster et al. (2008). Aquí los autores integran en un modelo matemático las decisiones de localización de bodegas e inventarios en una cadena de abastecimiento con un proveedor, una bodega intermedia y múltiples detallistas. Es interesante analizar el efecto que tiene sobre los niveles de inventario de seguridad la consolidación de ítems en la cadena de abastecimiento. El Ejemplo 6.6 ilustra el posible impacto de la agregación o consolidación de inventarios en la cadena. Ejemplo 6.6 (Impacto de la agregación de inventarios en la cadena de suministro) La Tabla 6.11 muestra el comportamiento de la demanda de un ítem para las últimas 12 semanas, en tres centros de distribución diferentes donde es mantenido en inventario. La demanda de este ítem es muy estable en los tres centros de distribución, lo cual se comprueba al calcular sus respectivos coeficientes de variación en cada lugar donde es almacenado. Para analizar el efecto de la consolidación, se asume que el ítem se va a mantener en inventario en un solo CD, que el nivel de servicio en cada CD es el mismo y que los tiempos de reposición hacia cada CD son semejantes. De esta forma, el inventario de seguridad resulta

290


ser proporcional a la desviación estándar de la demanda. Así, se suman entonces las demandas semanales del ítem en los tres lugares, y se recalcula el coeficiente de variación y la desviación estándar de la demanda consolidada. Se compara entonces la suma de las desviaciones estándar individuales con la desviación estándar consolidada, lo que produce un posible ahorro en inventario de seguridad del 13.38%. Este ahorro puede ser muy bajo comparado con las desventajas que presenta la consolidación en cuanto al aumento de los costos de transporte y administración para poder atender la demanda en los CDs que no mantengan el inventario del ítem, y con respecto de la disminución del nivel de respuesta al cliente. Tabla 6.11. Demanda semanal de un ítem con demanda estable en tres centros de distribución (Ejemplo 6.6) SEMANA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL Promedio Desv. Est. Coef. Var.

C.D. 1 313 286 261 327 339 293 270 265 245 264 283 340 3,486

C.D. 2 558 539 522 515 534 543 566 511 497 515 531 591 6,422

C.D. 3 423 392 404 380 397 391 384 378 371 388 404 446 4,758

TOTAL 1,294 1,217 1,187 1,222 1,270 1,227 1,220 1,154 1,113 1,167 1,218 1,377 14,666

290.50 32.24 11.10%

535.17 26.48 4.95%

396.50 20.91 5.27%

1,222.17 68.98 5.64%

Suma de desviaciones estándar individuales: Porcentaje de ahorro en inventario de seguridad (%)

79.63 13.38%

Considérese ahora el caso del ítem mostrado en la Tabla 6.12, cuya demanda presenta un comportamiento mucho más errático que el anterior. Claramente, los efectos que se logran aquí con la consolidación son mucho más significativos, al lograr disminuir notablemente el coeficiente de variación y producir un ahorro en el inventario de seguridad del ítem del 35.41%. Si esto se replica para muchos ítems, los ahorros en inventarios de seguridad pueden ser muy importantes como para considerar la consolidación como una muy buena alternativa. Chopra y Meindl (2001, p. 198) citan los ejemplos de Dell Computer, Gateway y Amazon.com como algunas compañías líderes que han logrado ahorros millonarios en costos de inventario al agregar sus existencias en pocos lugares de la cadena de suministro.


291

Tabla 6.12. Demanda semanal de un ítem con demanda errática en tres centros de distribución (Ejemplo 6.6) SEMANA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL Promedio Desv. Est. Coef. Var.

C.D. 1 25 14 120 4 0 35 112 0 7 54 32 114 517

C.D. 2 34 76 0 234 8 0 97 140 12 49 0 77 727

C.D. 3 5 0 7 0 0 1 3 23 0 4 0 7 50

TOTAL 64 90 127 238 8 36 212 163 19 107 32 198 1,294

43.08 46.43 107.78%

60.58 70.83 116.92%

4.17 6.53 156.82%

107.83 79.97 74.16%

Suma de desviaciones estándar individuales:

123.80

Porcentaje de ahorro en inventario de seguridad (%)

35.41%

El nivel de ahorro en inventario de seguridad depende del grado de independencia de las demandas del ítem en los lugares donde se almacena. Si las demandas están perfectamente correlacionadas, no se consigue ahorro alguno, ya que la suma de las desviaciones estándar individuales sería igual a la desviación estándar de la demanda consolidada. Si, por el contrario, la demanda en regiones geográficas diferentes es independiente y de tamaño aproximado, entonces el inventario de seguridad se reduce aproximadamente de acuerdo con la raíz cuadrada del número de instalaciones que se consolidan. Esto se ve claramente al notar que la varianza de la suma de variables aleatorias independientes (representando las demandas) es igual a la suma de las varianzas individuales. En la práctica rara vez se presentan los casos extremos de independencia o correlación perfecta, y, por lo tanto se esperan ahorros intermedios entre los dos extremos. El Ejemplo 6.6 anterior ilustra estos casos. La agregación o consolidación del inventario de un producto en la cadena de abastecimiento puede con alta probabilidad disminuir los costos totales de logística siempre y cuando se cumpla al menos una de las siguientes condiciones:  El producto tiene alta incertidumbre en la demanda, como se explicó en el Ejemplo 6.6.  El producto tiene una alta relación valor/peso o valor/volumen, según sea el caso, ya que su inversión en inventario de seguridad es más costosa.  Las órdenes de los clientes en los lugares donde no se guarde el inventario son grandes, puesto que muchas órdenes pequeñas ocasionarían altos costos de transporte desde el lugar donde se consolidó el inventario.

292


Una situación semejante a la mencionada aquí ocurre cuando una empresa estandariza sus productos, aplicando el principio de postposición de forma, y espera a que la demanda ocurra para adaptarlos a las necesidades particulares de cada cliente, en lugar de mantener inventarios de una gran diversidad de productos en todos los lugares de la cadena (Problema No. 4 de los Ejercicios 6.2). Esto lo que busca básicamente son ahorros en inventarios de seguridad. Un ejemplo muy conocido de esta situación ocurrió con Hewlett Packard. En forma muy resumida, la empresa mantenía inventario de impresoras en toda Europa, cada una con especificaciones muy diferentes debido a la gran variedad de idiomas y otros aspectos. Se decidió entonces diseñar impresoras estándar que no tuvieran todas las características particulares de cada cliente, consolidarlas en una sola localización y darle la forma final a cada impresora (lo que se denomina la clientelización del producto) de acuerdo con el comportamiento de la demanda en cada lugar. Los ahorros obtenidos por esta estrategia fueron millonarios. Para mayor información al respecto se puede consultar a Lee y Billington (1992) y a Lee et al. (1993). Otro aspecto de importancia en lo que tiene que ver con la localización de inventarios en cadenas de abastecimiento está muy relacionado, en adición a la variabilidad de la demanda de los ítems, con su consumo y rotación. Como regla general, aquéllos ítems de alto consumo y rotación, deberían estar localizados lo más cerca posible del cliente final, por ejemplo en los puntos de venta. Cuando el consumo y rotación de los ítems es menor, puede ser recomendable consolidarlos en algunos centros de distribución desde donde se despachan hacia los clientes finales, como puede ser el caso del ítem de la Tabla 6.12. Si el consumo del ítem es muy esporádico, como por ejemplo en el caso de algunos repuestos de demanda altamente errática, entonces se debe ir más a la izquierda en la cadena y muy probablemente sólo lo mantenga en inventario el fabricante o proveedor del ítem e incluso podría ser un ítem de producción solo bajo pedido del que no se mantiene inventario alguno. Wanke (2009) presenta un análisis formal sobre el impacto de la consolidación de inventarios. Este estudio considera inventarios de seguridad y cíclicos y relaja los supuestos de demandas no correlacionadas, incertidumbre de los tiempos de reposición y costos relacionados con los inventarios uniformes.

6.9

OTROS SISTEMAS DE CONTROL DE INVENTARIOS

Existen otros sistemas de control conjunto y de control de inventarios en la cadena de abastecimiento en la práctica. Por ejemplo, conozco personalmente sistemas híbridos de control, en los cuales se aplica un sistema periódico (R, S), pero se incluyen también aspectos de control continuo, basados en ciertas ‗alarmas‘ que ayudan al administrador del inventario a tomar decisiones anticipadas al período de revisión, principalmente para ítems clase A. Estas alarmas pueden estar basadas, por ejemplo, en cierto porcentaje del inventario de seguridad remanente en inventario, lo cual puede indicar una ocasión inminente de faltantes. Otros métodos de control de inventarios pueden basarse en técnicas de simulación.


293

Simulación de inventarios La simulación es el arte de desarrollar modelos para imitar el funcionamiento de un sistema, a través de programas de computador especializados, con el objeto de predecir su comportamiento bajo diversas condiciones. Las ventajas de simular sistemas de inventarios son las siguientes:  Se pueden representar con gran precisión distribuciones de demanda y de tiempos de reposición que no son tratables analíticamente.  Se puede predecir el comportamiento de diversas políticas de inventarios sin necesidad de experimentar con el sistema mismo.  La simulación presenta facilidad para controlar condiciones experimentales difíciles de implementar en la realidad, como por ejemplo restricciones reales del sistema debidas a limitaciones de capital y almacenamiento.  Mediante la simulación se pueden analizar horizontes de tiempo relativamente largos en tiempos relativamente cortos. Por otra parte, la simulación también presenta desventajas que deben ser tenidas en cuenta antes de emprender un estudio. Ellas pueden ser:  Cada corrida de un modelo de simulación es una muestra aleatoria de la reacción del sistema bajo las condiciones impuestas. Por lo tanto, se requiere de múltiples corridas para poder establecer intervalos de confianza sobre las variables de interés a través del diseño experimental. En otras palabras, los modelos de simulación no optimizan, solo describen el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Por este motivo puede ser muy difícil o incluso imposible encontrar soluciones óptimas de problemas bajo un ambiente de simulación.  Normalmente, los modelos de simulación son costosos y consumen mucho tiempo para su desarrollo.  Es muy importante tener un alto nivel de confidencia de que los modelos de simulación utilizados son válidos para la toma de decisiones en el sistema bajo estudio. La validación de un modelo de simulación puede ser excesivamente consumidora de tiempo y esfuerzo. A pesar de las desventajas anteriores, los modelos de simulación son una buena alternativa para analizar sistemas de inventarios reales, especialmente cuando las condiciones del sistema sean demasiado variables o cuando muchos de los supuestos planteados en este y en los capítulos anteriores no se cumplan. El supuesto de normalidad o de Poisson, por ejemplo, permite un trabajo analítico relativamente fácil y elegante. Pero si este no se cumple, entonces pueden surgir problemas de aplicación de los métodos vistos. Hay también casos en los cuales las políticas de inventarios son tan complejas que su análisis más adecuado debe hacerse a través de modelos de simulación. Cuando se simula un sistema de inventarios se prueban varias políticas de control y se generan estadísticas e indicadores de eficiencia, tales como niveles de servicio y costo total relevante, de tal forma que se puedan evaluar las políticas simuladas y definir estadísticamente la mejor de ellas. Ballou (2004, p. 373) afirma, por ejemplo, que el control de inventarios en

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cadenas de abastecimiento es un problema tan complejo que se necesita del uso de la simulación para su análisis. Menciona la conveniencia de utilizar algunos paquetes especializados de simulación tales como SLAM, DYNAMO y SIMSCRIPT, u otros diseñados especialmente para cadenas de abastecimiento tales como LREPS (Long Range Environmental Planning Simulator) o PIPELINE MANAGER, desarrollado por Arthur Andersen & Company. En la actualidad se está dando mucha importancia a la simulación de cadenas de abastecimiento. [Ver, por ejemplo, Hicks (1999)]. Algunos paquetes académicos muy conocidos, como es el caso del WinQSB, tienen un módulo de inventarios, en el cual se puede simular los sistemas más comunes de control de inventarios. La simulación en inventarios también se ha desarrollado mediante programas escritos en lenguajes básicos, tales como C y FORTRAN. Law y Kelton (1991, pp. 75-103), por ejemplo, presentan un ejemplo de simulación de un sistema de inventarios con demanda aleatoria discreta, con tiempos entre demandas también aleatorios, con costos de ordenamiento dependientes del tamaño de la orden y con tiempos de reposición con distribución uniforme. Se considera un sistema de control (s, S), incluyendo costos de faltantes por unidad y por unidad de tiempo. Claramente, el análisis matemático de un sistema de estos es extremadamente complejo, sino imposible. A través de programas escritos en C, FORTRAN y PASCAL, se desarrolla un modelo de simulación para este problema, el cual permite evaluar diversas políticas (s, S) y ofrecer estadísticas para cada una, tales como el nivel de servicio P1 y el costo total relevante, para así determinar una ‗buena‘ política de control. Banks y Carson (1984, pp. 33-46) presentan ejemplos adicionales de simulación de sistemas periódicos y del problema del vendedor de periódicos, e incluyen un capítulo completo que resume la teoría de inventarios y resalta la importancia de la simulación en casos analíticamente no tratables. Por su parte, Chopra y Meindl (2008, pp. 381-382) presentan algunas ideas y sugerencias para la simulación de inventarios mediante el uso de hojas electrónicas. Un ejemplo de simulación de inventarios en cadenas de abastecimiento con hojas electrónicas se puede observar en Sezen y Kitapci (2007). A nivel local, un proyecto en desarrollo de simulación de un sistema de inventarios de una cadena de abastecimiento con una bodega y N puntos de venta puede consultarse en Escallón (2009).

Ejercicios 6.2 1. Considere un proceso de producción en serie en dos etapas, en el cual en la segunda etapa se realiza una operación menor que le agrega poco valor al producto. Específicamente se tiene la siguiente información: D = 2,000 unidades/año r = 24% anual

v1 = $11,500/unidad A1 = $46,000

v2 = $13,800/unidad A2 = $23,000

Los subíndices 1 y 2 se refieren a la primera y segunda etapa de producción, respectivamente. Determine los tamaños de lote Q1 y Q2 y el valor de n, de acuerdo con la metodología expuesta en la Sección 6.5. Comente acerca de los resultados. 2. Considere el Ejemplo 6.5 con todos los datos dados en la Tabla 6.9.


295

a) Si el manejo aduanero tarda una semana después que llega el pedido y el transporte hacia todas las bodegas tarda una semana más en completarse, ¿cómo deben asignarse entonces los 10,000 computadores a las cuatro bodegas? (Sugerencia: Calcule los requerimiento totales de cada bodega considerando 1.5 meses, o sea el intervalo de revisión más el tiempo de reposición). b) Suponga que después de un análisis estratégico, se decide cerrar la bodega de Barranquilla y atender sus clientes desde la bodega de Medellín. Haciendo los supuestos que considere necesario, replantee el problema y resuélvalo de nuevo, ahora con las tres bodegas. ¿Qué puede predecir del nivel total de inventario de seguridad antes y después del cierre de la bodega en Barranquilla? ¿Qué información adicional necesita para decidir si ésta es o no una buena decisión? 3. Un gran distribuidor de medicamentos tiene bodegas en varias ciudades de Colombia, desde donde distribuye localmente. Se está haciendo el análisis para un ítem que presenta demanda considerablemente variable en unas ciudades y en otras errática, para determinar si debería consolidarse en una sola bodega a nivel nacional, desde donde se atendería la demanda de todo el país. Cada unidad de este ítem cuesta $250,000 y la empresa utiliza una tasa r = 30% anual. Se asume que la demanda mensual en las diferentes ciudades se distribuye normalmente. Cada bodega se provee en forma independiente desde el mismo proveedor, mediante un sistema de control de inventarios (R, S), con R = 0.5 meses y un nivel de servicio P1 = 0.975. La información disponible es la siguiente: CIUDAD

Cali Bogotá Medellín Barranquilla Pereira Bucaramanga

DEMANDA PROMEDIO MENSUAL (u) 1,050 1,740 1,550 380 890 550

DESVIACIÓN ESTÁNDAR CON BASE MENSUAL (u) 680 1,220 990 450 750 580

TIEMPO DE REPOSICIÓN DEL PROVEEDOR (días) 3 2 3 4 4 5

Asuma que la demanda en todas las ciudades es independiente una de otra y que 1 mes = 30 días. a) ¿Cuánto inventario de seguridad en unidades está manteniendo el distribuidor actualmente? b) Si se piensa consolidar este ítem en la bodega de Bogotá y se asume que el tiempo de reposición del proveedor sigue siendo el mismo, al igual que el nivel de servicio P1 ¿cuánto inventario de seguridad en unidades será posible ahorra al tomar esta decisión? c) Discuta acerca de la información que hace falta para definir si es o no conveniente tomar la decisión de consolidación en la ciudad de Bogotá. 4. Tradicionalmente, un fabricante de ropa ha confeccionado las piezas después de que han sido teñidas a los diferentes colores en los que se venden. Se considera que se tiene ropa en cuatro colores con demandas independientes. Cada pieza se vende a $115,000, con un costo de manufactura de $46,000/pieza. Las piezas que no se venden al final de una temporada de moda, se rematan a un precio de $23,000/pieza. El proceso de manufactura

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toma 20 semanas, por lo que la empresa pronostica las demandas con 20 semanas de anticipación. La demanda de cada uno de los cuatro colores para la temporada se puede considerar independiente de las otras, con distribución normal con media 1,000 piezas y desviación estándar 500 piezas. Las decisiones de inventario se han hecho entonces 20 semanas antes de la temporada y se han guardado inventarios de seguridad independientes para cada uno de los cuatro colores. Se está estudiando la posibilidad de invertir en el proceso de producción, de tal forma que el teñido de las piezas de ropa se pueda posponer después de su confección. Esto añadiría $4,600/pieza al costo unitario de manufactura, pero permitiría pronosticar con anticipación de 20 semanas la demanda consolidada de piezas sin teñir, proceso que se realizaría una vez se conociera la demanda de cada color. Determine con base en la utilidad esperada en cada temporada si se justifica invertir en el proceso de producción. Básese en las expresiones desarrolladas en la Sección 5.14.2 del Capítulo 5. 5. Una bodega de materias primas y componentes atiende a tres plantas productoras. La bodega se provee de varios proveedores locales. Se va a analizar el control del inventario de un componente específico. Los consumos en unidades y algunas estadísticas de este componente en cada planta para las últimas 16 semanas son los siguientes: Semana No. 1 2 3 4

PLANTA 1 92 110 114 112

PLANTA 2 325 612 409 764

PLANTA 3 110 134 9 555

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

121 87 108 90 98 96 88 76 103 81 64 77

411 420 369 411 664 960 456 192 1,074 842 430 575

30 95 120 122 271 650 121 121 92 188 17 129

Promedio = Desv. Est. = Coef. de Var. =

94.81 15.88 16.75%

557.13 245.03 43.98%

172.75 179.97 104.18%

Se han estimado igualmente los siguientes parámetros relativos al componente en la bodega y en cada planta: Parámetro Costo de pedido A ($/pedido) Tiempo promedio de reposición desde el proveedor (días) Desviación estándar del tiempo de reposición del proveedor (días) Tiempo promedio de reposición desde la bodega (días) Desviación estándar del tiempo de reposición desde la bodega (días) Valor del componente ($/unidad) Nivel de servicio P 1 especificado para el componente Tasa del costo de mantenimiento del inventario (% anual)

BODEGA 100,000 15 3 490 0.995 30

PLANTA 1 25,000 1 0.00 500 0.980 30

PLANTA 2 25,000 3 0.50 530 0.980 30

PLANTA 3 25,000 2 0.25 518 0.980 30


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a) Diseñe un sistema de control de inventarios (s, Q) para la bodega y para cada planta. Asuma que el tamaño de pedido se va a calcular con base en el EOQ en cada instalación (Asuma que 1 año = 52 semanas y que 1 semana = 7 días). b) Asuma que ante un inminente faltante en la bodega se implementan alternativas de emergencia que lo evitan, las cuales cuestan $1,000,000 por cada ocasión en la que ocurre. De la misma forma, se pueden evitar faltantes en cada planta por $200,000 por cada ocasión. Calcule el costo de ordenamiento, el costo de mantenimiento del inventario, el costo de las alternativas de emergencia para evitar la ocurrencia de faltantes y el costo total relevante CTR (todo en $/año), para la bodega, para cada PV y para toda la cadena. c) Recalcule el CTR de la cadena si se especifican niveles de servicio P1 = 95% en toda la cadena. Concluya sobre la conveniencia o no de hacer esto. 6. Una empresa comercial tiene actualmente dos centros de distribución ubicados en Cali y Bogotá, desde donde distribuye a todo el país. Usted está haciendo un estudio sobre la posible consolidación de dos ítems en alguno de los CDs existentes. Se conoce la siguiente información de demanda en unidades de cada uno de los ítems en cada CD: Semana No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

CD UBICADO EN CALI Ítem 1 Ítem 2 100 18 130 148 59 75 191 132 147 27 136 144 101 350 65 102 131 33 84 187 116 98 167 161 210 150 132

CD UBICADO EN BOGOTÁ Ítem 1 Ítem 2 284 358 331 50 342 17 324 54 348 298 336 239 350 22 310 61 389 258 299 62 322 45

121 517 70 160 68

270 334 313 287 262

8 35 328 56 42

Ambos ítems se están controlando con un sistema continuo (s, Q) en cada uno de los CDs (Tome 1 año = 52 semanas y 1 semana = 7 días). Se dispone además de la siguiente información respecto de cada ítem en cada CD: Parámetro Costo de pedido A ($/pedido) Tiempo promedio de reposición desde el proveedor (días) Desviación estándar del tiempo de reposición del proveedor (días) Valor del ítem ($/unidad) Tasa de costo de faltante B 2 de cada ítem en cada CD Nivel de servicio P 1 especificado para cada ítem en cada CD Tasa del costo de mantenimiento del inventario ($/$.año)

CD UBICADO EN CALI Ítem 1 Ítem 2 25,000 25,000 7 4 2 1 1,250 2,300 0.25 0.35 0.975 0.36

0.990 0.36

CD UBICADO EN BOGOTÁ Ítem 1 Ítem 2 30,000 30,000 5 8 3 3 1,100 2,550 0.30 0.45 0.975 0.36

0.990 0.36

a) Analice la conveniencia de cada una de las siguiente opciones: (1) Consolidar en Cali el inventario del ítem 1 solamente dejando el ítem 2 en ambas ciudades; (2) Consolidar el

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ítem 2 en Cali solamente dejando el ítem 1 en ambas ciudades; (3) Consolidar ambos ítems en la ciudad de Cali, es decir, sin mantener ítem alguno en Bogotá. Base su decisión solo en el CTR2 del sistema de control de inventarios de los ítems. b) Repita el literal anterior si la ciudad donde se va a consolidar es Bogotá. c) Pruebe otras opciones de consolidación, como por ejemplo consolidar el ítem 1 en Cali solamente y el ítem 2 en Bogotá solamente, o al contrario. d) ¿Qué información falta para poder tomar una decisión definitiva respecto de la consolidación de los ítems? 7. Diseñe una hoja electrónica para simular un sistema de control de inventarios (s, Q) con tiempos de reposición aleatorios. El diseño se hará para una sola localidad (un CD) y un solo ítem con demanda aleatoria. Aunque su diseño podría incluir cualquier distribución del tiempo de reposición (LT), se pide hacerlo para la siguiente distribución discreta: LT en días 2 3 4 5 6 7 8 Suma =

Probabilidad 0.025 0.075 0.150 0.500 0.100 0.125 0.025 1.000

Algunos aspectos importantes que su diseño debería incluir son los siguientes:  Se va a utilizar revisión continua, en este caso transaccional diariamente, revisando el inventario al comienzo de cada día.  La hoja electrónica simula una demanda normal diaria con media y desviación estándar a especificar por parte del usuario. La variable aleatoria demanda durante el tiempo de reposición debe tener en cuenta tanto la variabilidad de la demanda como la del tiempo de reposición.  El inventario inicial del ítem en el CD se debe especificar en la hoja electrónica.  Se pide simular 365 días de operación.  Se asume que el tamaño de pedido Q está especificado, que va a permanecer constante a lo largo de la simulación y que no necesariamente es igual al EOQ. De todas formas, deje la opción de calcular el EOQ en la hoja electrónica.  El nivel de servicio P1 va a ser especificado por el usuario y con este valor la hoja debe calcular el factor k. Igualmente, se deben calcular el valor esperado y la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de reposición de acuerdo con las Ec. (5.36) y (5.37) del Capítulo 5, y, por ende el inventario de seguridad requerido y el punto de reorden s de la política de inventarios. Este valor es el que se compara diariamente con el inventario efectivo para determinar si debe o no realizarse un pedido por Q unidades.  Como sugerencia, la hoja debería considerar al menos las siguientes columnas:  Columna de fecha.


299

 Columna donde se simula la demanda diaria con la distribución normal que se especifique.  Columna donde se calcula la demanda diaria acumulada hasta la fecha dada.  Columnas donde se calculan día a día: El inventario a la mano, el inventario neto y el inventario efectivo. Recuerde que el inventario a la mano no puede ser negativo, mientras que el inventario neto sí. Por lo tanto, la hoja electrónica va a tener en cuenta órdenes pendientes para suplirlas cuando llegue un pedido. Una convención que puede utilizarse es que se revisa el inventario efectivo al final de cada día y si dicho inventario es menor ó igual que el punto de reorden s, entonces se genera un pedido al comienzo del día siguiente.  Se pueden utilizar columnas con variables binarias para saber si se dispara o no un pedido en una fecha dada.  Recuerde que debe utilizarse la función aleatorio() de Excel™ para generar números uniformes entre 0 y 1 y, con base en estos, proveer columnas y condicionales para generar la distribución probabilística del tiempo de reposición dada al comienzo de este ejercicio.  Una columna que calcule la fecha de recepción de cada pedido realizado y otra columna que controle los pedidos recibidos. El manejo de las variables de fecha es clave aquí.  Una columna donde se acumula el total de unidades recibidas hasta la fecha para facilitar el cálculo de los tres tipos de inventario (a la mano, neto y efectivo).  La hoja debe proveer indicadores útiles, tanto teóricos como de la simulación misma, tales como media y desviación estándar de la demanda diaria (calculada a partir de las demandas generadas en la simulación); el número de ocasiones en las que se generan pedidos pendientes (backorders); el número de unidades en backorder; el fill rate tanto teórico como simulado. Si lo desea, puede refinar la hoja, proveyendo por supuesto la información necesaria, con el cálculo tanto teórico como simulado del costo total relevante de la política de control (en $/año).  Es muy útil diseñar un gráfico que incluya el inventario neto y el inventario efectivo cada día, lo cual permite observar cada instancia de la simulación.

Lecturas adicionales Capítulo 6 1. Chopra y Meindl (2008): Capítulo 10 (pp. 264-275) (En estas páginas se aborda el problema de la agregación de múltiples productos en un solo pedido desde el punto de vista determinístico). Capítulo 10 (pp. 290-293) (Estas páginas complementan los conceptos de la administración del inventario multi-escalón con demanda determinística); Capítulo 11 (pp. 318-329, 332-335) (Estas páginas complementan el análisis sobre la consolidación de inventarios y la administración de inventarios en cadenas de abastecimiento). 2. Ballou (2004): Capítulo 9 (pp. 326-423) (Esta parte de este capítulo es muy útil para repasar los principales conceptos de control de inventarios, incluyendo algunos aspectos de control de inventario en la cadena de suministro. El capítulo presenta al final tres casos muy interesantes que integran muchos conceptos, incluyendo un caso sobre control de inventarios en bancos de sangre).

300


3. Simchi-Levi et al. (2003): Capítulo 3 (pp. 67-70) (Contiene el tema de tiempo de reposición de escalón, echelon lead time, siendo de los pocos investigadores que tratan este tópico). 4. Axsäter (2000): Capítulo 4 (pp. 91-113) (Este capítulo desarrolla algunos aspectos técnicos no estudiados aquí relacionados con la reposición coordinada de varios ítems, especialmente en ambientes de manufactura). Capítulo 5 (pp. 115-174) (En este extenso capítulo se analizan sistemas adicionales de inventarios en cadenas de abastecimiento, incluyendo un amplio análisis del MRP, con los detalles técnicos que caracterizan este investigador). 5. Silver et al. (1998): Capítulo 11 (pp. 423-470) (Este capítulo del texto principal de referencia de inventarios da detalles adicionales, principalmente en ambientes de manufactura, brindando una bibliografía muy completa para el estudiante que desee profundizar). Capítulo 12 (pp. 471-531) (Este capítulo complementa todo lo estudiado aquí, especialmente en aquellos casos de ambiente de manufactura. Da además una extensa bibliografía adicional sobre el tema). 6. Narasimhan et al. (1996): Capítulo 7 (pp. 175-207) (Este capítulo desarrolla algunos conceptos adicionales a los estudiados aquí y presenta al final un caso real muy interesante). Capítulo 8 (pp. 208-249) (Este capítulo recoge los principales aspectos de la administración de inventarios de distribución y presenta un caso real al final muy interesante en una fábrica de vidrio). 7. Fogarty et al. (1994): Capítulo 8 (pp. 315-349) (Este capítulo es una buena lectura para complementar algunos aspectos de los mencionados aquí, principalmente en lo relacionado con los cálculos de costos de inventario). Capítulo 9 (pp. 351-381) (Este capítulo representa una lectura muy interesante para complementar lo expuesto aquí, especialmente para el sistema de control de distribución, DRP). 8. Law y Kelton (1991): Capítulo 1 (pp. 1-132) (La lectura de este capítulo brinda una excelente introducción a los modelos de simulación en general. Incluye además un ejemplo específico sobre simulación de inventarios que ilustra las principales de esta técnica en esta área).

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 7: Sistemas de almacenamiento: Introducción y operaciones

301

7. SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO: INTRODUCCIÓN Y OPERACIONES Este capítulo se dedica a describir las principales características de los sistemas de almacenamiento. Se trata de un capítulo introductorio, ya que de este tema podría escribirse un libro completo [véase, por ejemplo, Tompkins et al. (1995, 1996)]. Aquí presentamos las principales características del sistema de almacenamiento, principalmente en la parte cualitativa y de gestión a través de varios principios muy conocidos, aplicables a cada una de las operaciones que pueden existir en un centro de distribución.

7.1

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO

Las primeras preguntas que muchas veces nos hacemos son, ¿Por qué debo almacenar productos? ¿En esencia, debería tener o no un centro de distribución (CD)? Y si así es, ¿Qué tipo de centro de distribución debería ser? Posibles respuestas a la primera pregunta pueden ser las siguientes. Debo almacenar para: 1. Reducir indirectamente costos de producción (compra) y transporte a través de la producción y el transporte de lotes más grandes y de las actividades de consolidación de productos, que contribuyan con el: - Mejoramiento en la eficiencia de producción y transporte - Aprovechamiento de descuentos en compra 2. Coordinar el suministro y la demanda. Por más estable que sea la demanda de un producto, siempre existirán desfases entre la producción (o compra) y la demanda. Coordinar muchos productos desde diversos orígenes (plantas, proveedores) hacia diversos destinos (detallistas, clientes) puede ser extremadamente difícil si no existe de por medio un sistema de almacenamiento. En otras ocasiones, la naturaleza misma del producto hace que sea necesario su almacenamiento, como por ejemplo: - Organizaciones con actividades productivas periódicas y demanda aproximadamente uniforme, como son el procesamiento de cosechas de tomate en países como Estados Unidos. - Organizaciones con actividades productivas uniformes, pero demanda altamente periódica, como por ejemplo las fábricas de adornos navideños.

302


3. Completar el proceso de producción, lo cual agrega valor al producto, como en el caso de productos que requieren almacenamiento durante su proceso de producción, tales como vinos y quesos y de otros productos a los cuales se les puede hacer actividades menores de ensamble, preparación, marcaje, consolidación de ofertas y promociones, entre otros posibles. En otras palabras, en una bodega se pueden realizar las actividades que se dilatan hasta conocer la demanda final del producto (principio de postposición de forma del producto). 4. Mejorar el servicio al cliente. Generalmente, la ubicación de un centro de distribución o bodega permite reducir los tiempos de respuesta al cliente, ya que hay más cercanía al mismo. Esto indudablemente puede tener un impacto positivo en las ventas. Existen, por supuesto, razones para no almacenar, como por ejemplo evitar un eslabón más en la cadena, reducir las inversiones de capital, disminuir los inventarios e incrementar la respuesta de la cadena al no haber necesidad de almacenamiento. Sin embargo, muy frecuentemente las razones para almacenar superan a sus desventajas y por ello esta operación se hace primordial para la cadena de abastecimiento. De acuerdo con Bartholdi y Hackman (2009, pp. 5-7), las anteriores razones hacen que sea necesario almacenar productos, así haya que pagar los altos costos de mano de obra, terreno, edificio, equipos de almacenamiento y manejo y sistemas de información que un sistema de almacenamiento conlleva. Sin embargo, existen varias opciones para tener sistemas de almacenamiento como se expone a continuación. Desde el punto de vista de su propiedad, un CD puede ser de varias formas. Se reconocen las siguientes:  CD propio  CD público o tercerizado  CD con edificio alquilado Un CD propio puede presentar múltiples ventajas, tales como:  Tener costos de operación/almacenamiento menores que con bodegas rentadas especialmente si hay alto grado de utilización.  Tener mayor control en general para satisfacer el nivel de servicio deseado.  Ser imprescindible cuando el producto requiere un manejo especial debido a su naturaleza.  Tener disponibilidad de espacio al que se le puede dar diferentes usos en el futuro, tal como una nueva planta manufacturera.  Permitir la inclusión de otras actividades dentro de la bodega, tales como oficinas de ventas, oficinas de compras, parque de camiones, etc. Sin embargo, un CD propio también puede presentar desventajas en cuanto a que constituye una inversión significativa de capital, puede tener costos mayores que uno público si la utilización es baja y puede ser muy difícil llevar a cabo cambios estratégicos de la cadena de abastecimiento, especialmente si la demanda sufre cambios considerables en diferentes zonas geográficas.


303

En cuanto a las bodegas rentadas, se identifican las posibles ventajas siguientes:   

Extensa variedad de tipos de bodegas, dependiendo del tipo de producto, equipo utilizado, condiciones especiales (climatizadas, de humedad controlada), del tamaño, etc. Se presentan ventajas como la no-inversión del capital, bajos costos para quien renta cuando la utilización es baja y flexibilidad de selección y localización. Muchas bodegas rentadas ofrecen servicios alternativos de valor agregado, tales como consolidación de carga, mezcla de productos, re-empacado, marcado, inspección, entre muchos otros.

Una bodega rentada, sin embargo, puede limitar el control de la organización en situaciones especiales, puede estar compartida con la competencia o puede contener productos no compatibles con los propios. Una bodega con edificio rentado y posiblemente equipo y personal propio es una solución híbrida que presenta características intermedias entre los dos extremos anteriores. Cabe la pregunta de cuál debe ser la mejor decisión a tomar en cuanto a la propiedad de un CD y al equipo a utilizar. En muchos casos, esta decisión puede depender en alto grado del porcentaje de utilización que se vaya a tener, el flujo de productos (throughput) que se vaya a manejar a través del CD y, por supuesto, los costos fijos y variables involucrados. La Figura 7.1 representa la función de costo eficiente de diferentes tipos de CD. Si consideramos un CD completamente tercerizado, entonces el costo fijo es despreciable y el costo variable (pendiente de la recta) es significativo. Si pasamos a una bodega arrendada con equipo manual, el costo fijo tiene un cierto valor, pero el costo variable disminuye con respecto del anterior. Ahora, si consideramos un CD privado con equipos como estibadoras y montacargas, obviamente el costo fijo es superior a los dos anteriores, pero si se utiliza eficientemente, el costo variable disminuye. Finalmente, un CD privado con equipo automático tiene el máximo costo fijo, pero igualmente produce el mínimo costo variable de operación. La función cóncava envolvente inferior representa la función del mínimo costo total posible en función del flujo a través de la bodega. Así, podemos encontrar puntos de quiebre f1, f2 y f3 donde uno u otro sistema produce el costo total mínimo y sería el más adecuado.

304


Bodega pública Bodega privada con estibadora Bodega privada automática Curva de costo mínimo

Bodega arrendada con equipo manual

f1

f2

f3

Flujo Anual

Figura 7.1. Función de costo de diferentes tipos de CD con base en el flujo anual que circula a través del mismo (throughput) [Fuente: Adaptada de Ballou (2004, p. 494)]

7.1.1. Misiones de un centro de distribución Un CD puede estar diseñado para ciertas funciones generales y misiones que se describen a continuación (Figura 7.2). Un CD puede simplemente mantener inventario con el objeto de balancear las diferencias entre compra (o producción) y demanda. Aquí el almacenamiento puede ocurrir por diferentes períodos. Por ejemplo, es el caso de una bodega propia que recibe sólo los productos de la propia planta. Un CD puede ser un verdadero centro de consolidación de mercancías, donde estas provengan de diversos orígenes y en el centro se realice la consolidación para su posterior despacho a otras bodegas, detallistas, puntos de venta o clientes específicos. Cuando la cadena de abastecimiento contiene varios CDs y bodegas, aquí la misión puede estar más relacionada con el nivel de servicio que se le ofrece al cliente tanto en inventario como en tiempo de respuesta. En estos casos encontramos diversos CDs diseminados por diferentes zonas geográficas, cada uno atendiendo cierto conjunto de destinos en particular. Puede haber otros CDs que manejen distribución muy específica y hagan recolección de ‗caja abierta‘. En estos casos, los CDs son especialmente diseñados para labores de recolección de órdenes (picking) y su configuración interna puede ser muy diferente a la de un CD que se utilice para almacenamiento primario. Por ejemplo, en una cadena de droguerías, la bodega de medicamentos opera de esta forma. Se hace recolección de


305

órdenes a caja abierta y se efectúan despachos diarios a múltiples puntos de venta por toda una región. Mantener inventario para balancear y

C.D .

M

C

responder a variaciones entre programas de producción y demanda.

(Almacenamiento por diferentes períodos)

Acumular

M1

y

provenientes

consolidar de

varios

productos puntos

de

manufactura de la misma empresa o de diferentes empresas, para combinar

C.D. M2

C

(cons.)

despachos a clientes comunes.

(Consolidación de carga)

M3

M1

C.D. (cons.)

C.D. (local)

Los centros de distribución pueden estar diseminados en diversas regiones para

C tener rápida respuesta a las demandas M2

de los clientes.

C.D. (local)

C

(Combinación para mejora de servicio)

C1 M

C.D .

(Distribución – caja abierta)

C2 C3

Figura 7.2. Diferentes misiones de un centro de distribución Diseño típico de un CD Existen dos diseños típicos de centros de distribución, los cuales incluso pueden coexistir: Diseño para almacenamiento (storage) y diseño para recolección de órdenes (picking). En el diseño para almacenamiento se supone que los productos van a permanecer durante

306


cierto tiempo en el CD y que su manejo no va a ser muy frecuente. Es por ello que este tipo de CD se caracteriza por:     

Tener estantes anchos y profundos. Aprovechar la altura máxima que permita el techo de la bodega y la estabilidad de la carga. Tener los pasadizos son estrechos. Asumir que el tiempo adicional para el manejo de la carga se compensa con la mayor utilización del espacio. Ser satisfactorio para bajos volúmenes de carga por una unidad de tiempo.

En contraste, un CD con diseño para recolección de órdenes (picking) presenta las siguientes propiedades:  Presenta una gran diferencia de tiempo entre la llegada de la carga (en grandes cantidades), y la recolección de bienes (picking), en cantidades mucho más pequeñas.  Puede tener diseños mixtos, con áreas semi-permanentes para almacenamiento y áreas especiales dedicadas para recolección de órdenes, de baja altura y facilidad de recolección.

Figura 7.3. Una bodega con diseño principalmente para almacenamiento


307

[Fuente: Ballou (1999, p. 251)]

Figura 7.4. Una bodega con diseño combinado de almacenamiento semi-permanente y recolección de órdenes (order picking) [Fuente: Ballou (1999, p. 251)] Pueden existir diseños mixtos, donde se tenga un área del CD dedicada a almacenamiento semi-permanente o área de reserva y otra área que se dedique a la recolección de órdenes. En este caso, cuando los productos se agotan en el área de picking, entonces se realiza la reposición desde el área de reserva. Es un problema de diseño muy importante el dimensionamiento de estas dos áreas y la determinación de los productos que deberían estar ubicados en el área de picking. Bartholdi y Hackman (2009, pp. 85-112) presentan un completo análisis y describen diversos modelos para resolver este problema. La Figura 7.3 muestra un CD con diseño para almacenamiento donde el picking se realiza en la misma bodega. En realidad, este es el caso de muchas de nuestras bodegas, ya que en la mayoría de ellas no se diferencia entre las dos zonas [Gutiérrez (2002)]. Una bodega que contiene las dos áreas se muestra en la Figura 7.4. Nótese que el picking se realiza en una zona diferente del CD y que de la zona de almacenamiento semi-permanente se realiza reposición de productos a la zona de picking. 7.1.2. Unitarización de carga o definición de carga unitaria, manejo de materiales e identificación de productos La unitarización de carga o definición de carga unitaria es un elemento muy importante para el almacenamiento. Esta consiste en el diseño de elementos que permitan el manejo y transporte de mayor cantidad de productos en un solo viaje. El principio que gobierna este diseño dice que la economía en el manejo de materiales es directamente proporcional al tamaño de la carga que se maneja. Esto se logra mediante la paletización, o sea el diseño de la estiba (ó paleta ó pallet en inglés) y el contenedor (container). El tema de

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contenedores se trata en la Sección 9.3.3, ya que está más relacionado con el sistema de transporte. Un pallet o estiba es una plataforma portable, que puede ser construida en madera, cartón corrugado, aluminio, plástico u otros materiales sobre la cual se apilan cajas o los productos para su transporte y almacenamiento (Figura 7.5).

Figura 7.5. Imagen de una estiba, paleta o pallet [Fuente: Imágenes libres de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wooden_pallet_with_glove.jpg]

El uso de estibas presenta las siguientes ventajas:  Ayuda al movimiento de los productos, ya que facilita la utilización de equipo de manejo de materiales estándar.  El incremento en la carga movida por cada viaje aumenta el volumen y peso movido por hora – hombre.  Mejora la utilización del espacio al proveer una apilación de productos más estable y permitir aumentar la altura máxima de almacenamiento. El tamaño considerado como estándar de las estibas es 40 x 48 pulgadas (correspondiente a 1 m  1.2 m). Existen otros tamaños, pero éste es el que se ha tratado de estandarizar, al menos en la Región Andina. No es el objetivo de este texto presentar extensamente el tema sobre manejo de materiales (material handling), del cual también podría escribirse un libro completo, dada la gran variedad de equipos y técnicas que existen para el manejo e identificación de productos. Tompkins et al. (1996, pp. 137-285), por ejemplo, presentan un listado completo sobre equipos para manejo de materiales, como son contenedores, estibas, cajas y canastas; equipo de transporte de materiales (conveyors), como transportadores de banda, de rodillos, de cadenas, equipos clasificadores, entre muchos otros; vehículos industriales, como estibadoras manuales y diversos montacargas; equipos automáticos, como vehículos guiados automáticamente (Automatic Guided Vehicles AGVs), sistemas automáticos de


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almacenamiento y recolección (Automatic Storage and Retrieval Systems AS/RS); grúas de diversos tipos; sistema automáticos para partes pequeñas como carruseles horizontales y verticales y diversos sistemas de identificación de productos como código de barras y sistemas de radio frecuencia. Otros autores que dedican una buena parte de sus libros a los sistemas de manejo de materiales son Heragu (1997, pp. 397-470) y Frazelle y Sojo (2007, pp. 123-197 y 247-254). Igualmente, otros autores diferencian entre el manejo de partes grandes y de partes pequeñas, como por ejemplo Tompkins et al. (1995, p. 237 y 263). Actualmente hay un tema de mucha investigación en lo que a la identificación de productos se refiere y es la identificación por radio frecuencia ó RFID (Radio Frequency IDentification). De acuerdo con Ten Hompel y Schmidt (2007, p. 214), RFID es una técnica para la grabación y transmisión de información codificada sin contacto por medio de ondas electromagnéticas. La información se transmite entre una etiqueta conocida ampliamente como tag (Figura 7.6) que lleva el producto o unidad a identificar y una lectora que puede ser fija o móvil. Las grandes ventajas del RFID es que permite transmitir la información en forma automática, sin que nadie tenga que leerla como en el caso del código de barras tradicional y además almacena mucha más información relevante que los sistemas tradicionales de identificación.

Figura 7.6. Etiquetas (tag) para la identificación de productos por radio frecuencia (RFID) [Fuente: Imágenes libres de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/RFID-Tag01.jpg y http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/EPC-RFID-TAG.jpg]

El surgimiento y desarrollo del RFID ya ha producido y va a producir toda una revolución en la logística y en la forma como se identifican los productos a lo largo de la cadena de abastecimiento. Actualmente, se utiliza ampliamente el RFID para la identificación de estibas y cajas principalmente, es decir, para unidades de carga de productos, pero su uso para la identificación de productos individuales es aún limitado. Esto se debe al alto costo que puede tener el tag frente al costo de los productos. Sin embargo, la investigación actual en esta área es muy amplia [Véase, por ejemplo, Ustundag y Tanyas (2009) y Zhou (2009), dentro de muchas otras referencias relacionadas con el tema]. Seguramente, en corto tiempo estaremos identificando productos individuales con tags de radiofrecuencia, lo que facilitará su movimiento a lo largo de toda la cadena de abastecimiento y su adquisición y pago en tiendas y supermercados, entre otras posibles ventajas.

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7.2

OPERACIONES DISTRIBUCIÓN

DENTRO

DE

UN

CENTRO

DE

Las principales operaciones que pueden ocurrir en un centro de distribución se muestran en la Figura 7.7. Reposición

Área de reserva y manejo de estibas

Transporte interno al área de reserva

Reposición

Tr. al área prim.

Manejo de cajas

Manejo de cajas abiertas (ítems individ.)

Acumulación, ordenamiento, empacado “Cross – Docking”

Recepción

Despacho

Figura 7.7. Principales operaciones en un centro de distribución [Fuente: Traducida de Tompkins et al. (1996, p. 392)]

En general, en cualquier centro de distribución o bodega pueden realizarse las siguientes operaciones principales:    

Recepción Almacenamiento Recolección de órdenes (picking) Despacho

Las actividades de recepción, como su nombre lo indica, son las de recibir productos y materiales, generalmente en estibas completas o cajas y por medios masivos, procedentes de plantas manufactureras o proveedores externos. El material que llega tiene dos posibles rutas. En la primera, se almacena en la zona de almacenamiento del CD, donde probablemente el producto permanece durante cierto tiempo. En general, pueden existir tres zonas de almacenamiento, como son la de estibas o cargas completas (área de reserva), la de cajas y la de cajas abiertas. En estas dos últimas pueden realizarse operaciones de picking, dependiendo del tipo de cliente y destino. Por ejemplo, un cliente grande podría ordenar cajas e incluso estibas completas, mientras que un destino de menor demanda puede tener órdenes de ítems individuales, los cuales deben extraerse de las cajas abiertas. Cuando en la zona de cajas se agota el producto, entonces se repone desde el área de reserva. Análogamente, cuando en la zona de cajas abiertas se agota el producto, se restituye de la zona de cajas. Una vez se hace el picking, posiblemente sea necesario hacer consolidación de órdenes, acumulación y empacado. Posteriormente, las órdenes


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consolidadas se envían a la zona de despacho, desde donde salen por los modos de transporte seleccionados hacia el detallista o hacia el cliente. La segunda ruta que puede darse desde el despacho es que las estibas completas o incluso cajas pasen directamente a la zona de despacho y sean enviadas al cliente en corto tiempo. Esta operación se conoce como cross-docking y presenta la ventaja que el producto no es almacenado, produciéndose ahorros de costos de mantenimiento del inventarios, almacenaje y, lo más importante, llegando más rápidamente al cliente. El tema de cross-docking es muy amplio y se sale del objetivo introductorio de este texto sobre el tema de almacenamiento. Para mayor información al respecto puede consultarse a Bartholdi y Hackman (2009, pp. 197-207) y a Ten Hompel y Schmidt (2007, 59-61). Una referencia especial sobre este tema la constituye Napolitano (2000), ya que presenta una guía práctica para la planeación, diseño e implementación de una operación de crossdocking. Por otra parte, hay mucha actividad investiga al respecto. Véase, por ejemplo, Boisen (2010), Bravo y Vidal (2010), Yan y Tang (2009), Ross y Jayaraman (2008) y Yu y Egbelu (2008), entre muchas otras referencias posibles, para investigaciones muy especializadas sobre centros de distribución que manejan cross-docking. Un hecho actual muy importante, crítico para los CDs, es que las tendencias actuales privilegian los siguientes aspectos:  Filosofía JIT: En vez de tener que enviar 100 unidades el día lunes para el consumo de toda la semana, se requieren 5 envíos de 20 unidades cada día.  Rápida respuesta: Envíos con un lapso de tiempo de un día, o de un día para otro. Así, es muy difícil mejorar la productividad, y todos los esfuerzos deben centrarse en la funcionalidad y capacidad del CD y el sistema de manejo de materiales.  Calidad: Hoy en día la precisión de los envíos es clave. Existen estadísticas del 99% en Estados Unidos y de errores del 1 por 10,000 en Japón.  Servicio al cliente: Se han incrementado las operaciones que agregan valor en los CD, tales como empacado especial, consolidación de partes y componentes, aplicación de etiquetas, etc.  Proliferación de gran variedad de ítems: Esto se debe a que día a día los clientes nos volvemos más exigentes y queremos disponer de un gran catálogo de productos de donde escoger.  Regulaciones estrictas de los gobiernos para protección del medio ambiente y de la seguridad de las personas. ¿Cómo han respondido las organizaciones a estos retos? (Figura 7.8) A través de incrementos de personal, automatización y planeación. Los dos primeros pueden ser costosos y en muchas ocasiones la disponibilidad de personal idóneo es escasa. La automatización conlleva altísimas inversiones de capital y, como vimos anteriormente, sólo se justifica para flujos muy altos a través del CD.

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La respuesta de planeación es entonces la más razonable y donde mayores oportunidades de mejoramiento y optimización tenemos, al menos en nuestro medio. Esto trata específicamente de aplicar técnicas de análisis y mejoramiento de procesos y de simulación y optimización.   

Personal: Muchos problemas en algunos países Equipos (automatización) Espacio

PERSONAL - Difícil de mantener - Dificultad de encontrar alta especialización - Baja disponibilidad

AUTOMATIZACIÓN - Dificultad de aplicación - Presupuestos limitados

PLANEACIÓN

SIMPLIFICACIÓN y MEJORAMIENTO DE PROCESOS. SIMULACIÓN y OPTIMIZACIÓN

Figura 7.8. Respuestas de las organizaciones a las tendencias actuales de almacenamiento 7.2.1. Operaciones de recepción y despacho En las operaciones de recepción y despacho es recomendable considerar los siguientes aspectos:  Para planeación, siempre considerar las características de los equipos de transporte y proveedores.  Involucrar siempre actividades de pre-recepción y de post-despacho, tales como: - Coordinación de horarios de recepción con proveedores (programación de recibos). - Definición de las características de la carga unitaria (estibas) a manejar y el equipo necesario para hacerlo. - Coordinación y compatibilidad entre los sistemas de información del proveedor y el CD, y del CD y el cliente. Por ejemplo, el suministro de labels adecuados para identificación del producto. - Coordinación para recuperar recipientes retornables, devoluciones, equipo de transporte devuelto, y para coordinar horarios de despacho. (Logística Reversiva).  Coordinar adecuadamente recepción y producción, producción y despacho, y recepción y despacho. Por ejemplo, la ruta normal de flujo de materiales es proveedor – recepción – almacenamiento – producción – almacenamiento en CD – despacho – cliente. Sin embargo, puede darse el caso de rutas directas recepción → producción → y/o producción → despacho, y todo esto debe ser considerado en el diseño del sistema.


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 Definir la centralización de las actividades de recepción y despacho. Esto depende del acceso existente de los medios de transporte en las instalaciones del CD, de la organización de los horarios de recepción y despacho, y de otros aspectos más particulares para cada caso. Principios para el mejoramiento de la recepción y el despacho Para las operaciones de recepción y despacho aplican los siguientes principios generales. Es necesario notar que algunos de ellos pueden no ser aplicables en algunos casos y que deben tomarse como reglas generales para la planeación de dichas operaciones.  En lo posible no reciba aquellos ítems que pueden ser despachados directamente del proveedor al cliente.  Preprocese la información de recepción (actividades de pre-recepción), con respecto a la asignación del lugar en el CD, identificación del producto, etc. Esta información puede ser capturada del proveedor vía EDI o fax antes de que llegue la mercancía.  En lo posible envíe directamente desde el área de recepción hacia el área de despacho (cross-docking). Ejemplos de casos que pueden caer en esta clasificación son estibas que contienen un solo ítem, cajas sueltas almacenadas sobre el piso, y mercancía que llega para cumplir órdenes pendientes que son esperadas urgentemente por el cliente.  Envíe materiales y productos directamente a las áreas primarias (reposición) o a las áreas de reserva. Así se pueden eliminar las actividades de apilado e inspección. El equipo adecuado para llevar a cabo estas actividades debe estar disponible.  Prepare en recepción de una vez los productos para su eventual despacho (es ahora cuando se tiene la mayoría del tiempo disponible). Esto podría incluir: - Pre-empacado en cantidades incrementales que se ofrecen con descuento - Aplicación de los labels y etiquetas adhesivas necesarias - Medición del volumen y peso de los productos para almacenamiento y transporte.  Ordene los materiales y productos recibidos de acuerdo a su zona de almacenamiento y su secuencia de procesamiento.  Combine las actividades del almacenamiento y recolección siempre que sea posible para evitar la operación de vehículos vacíos.  Seleccione unidades de manejo (estibas) que sean eficientes con respecto al costo y a la utilización del espacio. Tenga en cuenta factores como inversión inicial, costo y requerimientos de mantenimiento, facilidad del manejo, impacto en el medio ambiente, durabilidad, existencia y protección del producto (para esto último provea buenas formas de aseguramiento del producto a las estibas, y de éstas al sistema de transporte).  Trate de minimizar los documentos de trabajo en recepción y despacho, siempre y cuando esto no vaya en contraposición de la seguridad del sistema. 7.2.2. Operaciones de almacenamiento Los objetivos del almacenamiento y las funciones de un CD son ó maximizar la utilización de los recursos mientras se satisfacen los requerimientos de los clientes ó maximizar el servicio al cliente sujeto a las restricciones de recursos limitados. Los recursos, aquí se

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refieren a espacio, equipo, personal y sistemas de información. Los requerimientos de los clientes son la obtención de los productos necesarios rápidamente y en buen condición. Por lo tanto, al diseñar los sistemas de almacenamiento es deseable maximizar:     

La utilización del espacio La utilización del equipo La eficiencia del personal La accesibilidad de todos los materiales La protección de todos los materiales

Para cumplir con estos objetivos, al diseñar el sistema de almacenamiento se requiere seleccionar el equipo correcto, seleccionar y capacitar al personal adecuado, diseñar una correcta distribución de bodega, y asignar el espacio correcto a cada ítem. Algunos de estos tópicos se abordarán más adelante. Requerimientos de espacio Para planear los requerimientos de espacio del CD, se deben considerar los siguientes aspectos:  Tipo, capacidad y tamaño de las cargas unitarias que se van a utilizar  Cantidad de cargas unitarias que se planea almacenar (peso, máxima cantidad esperada, promedio y cantidad planeada)  Espacio de almacenamiento (método de almacenamiento, espacio, área total y altura de la bodega) Ejemplo 7.1 (Determinación de espacio de almacenamiento) Supongamos que se ha recolectado los siguientes datos para planear los espacios de almacenamiento de un CD: -

Flujo diario promedio = 20 cajas / día Inventario de seguridad = 5 días de inventario Lead time (orden) = 10 días Tamaño de una orden = 45 días de inventario

¿Cuál es el máximo y el número promedio de cargas unitarias (en este caso cajas) a almacenar? En este caso se procede de la siguiente forma:  Punto de reorden s = Demanda durante el tiempo de reposición + Inventario de seguridad = (10 días) (20 cajas/día) + (5 días) (20 cajas/día) = 300 cajas  Máxima cantidad a almacenar = Tamaño de una orden + Inv. de seguridad = (45 días) (20 cajas/día) + 100 cajas = 1,000 cajas


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 Cantidad promedio a ser almacenada = (1/2) (tamaño de una orden) + Inv. de Seguridad = (½  900) + 100 = 550 cajas Por lo tanto, en este caso, si la bodega se va a diseñar para la máxima cantidad a almacenar, debería acomodar hasta 1,000 cajas. Dado que el promedio es 550 cajas, puede ser posible tener un valor de diseño intermedio entre 550 y 1,000, de tal forma que la bodega sea suficiente la mayor parte del tiempo y que cuando se quede sin capacidad se pueda alquilar espacio a un tercero. Esta forma de diseño se estudiará en el Capítulo 8. El número planeado de cargas unitarias para cada material a ser almacenado puede ser determinado de acuerdo a la programación de recepción y al método de asignar espacios de almacenamiento a los diversos materiales. Si todos los materiales son recibidos conjuntamente, entonces debe planearse para las cantidades máximas; si el arribo de materiales ocurre sobre el tiempo, entonces el método de asignar materiales a los espacios de almacenamiento determinará la cantidad de cargas unitarias a almacenar. Métodos de almacenamiento Dos métodos de almacenamiento que representan dos puntos de vista extremos son: 

Almacenamiento aleatorio: Cualquier ítem puede ser almacenado en cualquier espacio disponible. Operativamente este método funciona de la siguiente manera; cuando arriba una carga para ser almacenada, se le asigna el espacio disponible más cercano. La recolección se realiza en orden FIFO (First In, First Out), de tal forma que se produzca una adecuada rotación uniforme del inventario.



Almacenamiento dedicado: Ocurre cuando un ítem es asignado a una localización específica o a un conjunto de localizaciones específicas. En algunas ocasiones, se almacena en orden secuencial de acuerdo al número de partes. Otras veces se determina su localización de acuerdo a su nivel de actividad y a su nivel de inventario. Este último se prefiere cuando existen diferencias significativas en el nivel de actividad entre los diversos ítems.

El espacio asignado a un ítem en almacenamiento dedicado debe acomodar su máximo nivel de inventario. Por lo tanto, la cantidad planeada de cargas unitarias requeridas para el este método es igual a la suma del espacio requerido para cada ítem. Con almacenamiento aleatorio, sin embargo, el espacio requerido corresponde a todos los ítems, y como estos muy probablemente no alcanzan su nivel de inventario máximo simultáneamente, el almacenamiento aleatorio requerirá generalmente menos espacio que el dedicado. Hay dos razones para que lo anterior ocurra. Primero, si ocurre un faltante para un ítem, el espacio asignado a dicho ítem continúa activo para almacenamiento dedicado. Al contrario, dicho espacio podrá ser llenado por otros ítems en el almacenamiento aleatorio. Segundo, si existen múltiples espacios para un ítem dado, entonces a medida que el nivel de inventario disminuye, espacios vacíos adicionales aparecerán como disponibles.

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Ejemplo 7.2 [Comparación de espacio requerido con almacenamiento dedicado y con almacenamiento aleatorio; tomado de Tompkins et al. (1996, p. 421-422)] Considérese el nivel de inventario para seis productos en un CD, expresados en estibas del producto, mostrados en la Tabla 7.1. Determine el espacio requerido en la bodega utilizando almacenamiento dedicado y almacenamiento aleatorio. Tabla 7.1. Datos de flujo de productos medidos en estibas para el Ejemplo 7.2 [Fuente: Tompkins et al. (1996, p. 421)]

PERÍODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 24 22 20 13 16 14 12 10 8 6 4 2

PRODUCTOS 2 3 4 5 12 2 12 11 9 8 8 10 6 6 4 9 3 4 24 8 36 2 20 7 33 8 16 6 30 6 12 5 27 4 8 4 24 2 4 3 21 8 24 2 18 6 20 1 15 4 16 24 12 2 12 23 9 8 8 22 6 6 4 21 3 4 24 20 36 2 20 19 33 8 16 18 30 6 12 17 27 4 8 16 24 2 4 15 21 8 24 14 18 6 20 13 15 4 16 12

6 12 9 6 3 24 21 18 15 12 9 6 3 24 21 13 15 12 9 6 3 24 21 18 15 SUMA

AGREGADO 73 66 51 60 105 98 83 68 53 70 55 64 97 90 70 79 105 98 83 68 77 94 79 64 1,850

Para almacenamiento aleatorio, necesitamos considerar el máximo nivel de inventario agregado que ocurre para los seis productos en todos los períodos. Para este efecto, sumamos los flujos de cada fila y escogemos el máximo, en este caso 105 estibas. Como para almacenamiento dedicado, estamos reservando el espacio para cada producto, entonces hay que buscar el flujo máximo de cada producto a lo largo de los 24 períodos (máximo por columnas) y sumar estos máximos individuales. Estos máximos se encuentran resaltados en la Tabla 7.1. Así se obtiene un espacio requerido de 140 estibas.


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Otra opción es calcular el inventario promedio = 1,850 / 24 = 77 estibas, el cual se puede aumentar en cierto valor y se puede diseñar el CD para almacenamiento combinado propio y arrendado cuando el flujo así lo requiera. Otra forma de diseño puede ser almacenamiento dedicado por calles de la bodega y, dentro de cada calle, podemos tener almacenamiento aleatorio. En este caso se produciría un valor intermedio de requerimiento de espacio entre 105 y 140 estibas. 7.2.3. Operaciones de recolección de órdenes o de picking Diversos estudios han revelado que el picking o recolección de órdenes es la operación más costosa en un CD. Varios autores han concluido que el picking puede representar alrededor del 55% de los costos totales en las actividades de una bodega (incluyendo recepción, almacenamiento y despacho). Además, las tendencias actuales, tales como JIT, han hecho que esta actividad se vuelva mucho más compleja, ya que se necesita despachar un mayor número de órdenes más frecuentemente con la máxima precisión posible y se presenta un mayor número de ítems a almacenar por las exigencias del cliente en cuanto a variedad. Las actividades de recolección de órdenes se pueden mejorar sustancialmente, en muchas ocasiones sin incurrir en gastos elevados de equipo o incrementar el personal necesario. Los principios o estrategias que se describen a continuación fueron recopiladas de Tompkins et al. (1996, pp. 435-444) y de notas de clase de Frazelle (1991), cuando tomé el curso de sistemas de distribución en Georgia Tech en 1995. 1. Eliminar y combinar operaciones donde sea posible. Las operaciones que realiza una persona al recolectar una orden pueden ser las siguientes: -

Desplazamiento hacia, desde o entre las zonas de recolección Extracción de los ítems de las zonas de almacenamiento Empinarse o agacharse para acceder a las zonas de almacenamiento Documentación de las transacciones realizadas Consolidación de ítems en órdenes Empaque de ítems Búsqueda de localizaciones de almacenamiento

Se ha encontrado que la distribución de estas actividades en cuanto al tiempo que consumen en promedio es aproximadamente la siguiente:    

Desplazamiento Extracción Búsqueda Otros

(60%) (25%) (10%) (5%)

Por lo tanto, para eliminar actividades se pueden implementar varias de las alternativas mostradas en la Tabla 7.2. Algunos de los equipos requeridos se ilustran en las siguientes figuras: Figura 7.9 (un equipo automático de almacenamiento y recolección de cargas

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pequeñas AS/RS); Figura 7.10 (un carrusel horizontal); Figura 7.11 (un carrusel vertical) y Figura 7.12 (un sistema de ayuda luminosa para la búsqueda rápida de ítems en el proceso de recolección de órdenes). Tabla 7.2. Estrategias para eliminar o reducir el tiempo de actividades de recolección de órdenes (picking) [Fuente: Tompkins et al. (1996, p. 437)] ACTIVIDAD Método de eliminación Equipo requerido Desplazamiento Mueva los artículos, no la - Sistemas automáticos de persona mini-carga (AR/RS) - Carruseles Documentación Flujo automático de - Picking asistida por comp. información - Sistemas automáticos de identificación. Acceso al lugar de Presentar los ítems a la - Carruseles verticales recolección altura de la cintura - AS/RS con persona a bordo Consolidación de Asignar una persona /orden órdenes y una orden /recorrido Búsqueda Mover ítems → persona o - Carruseles persona → ítems - AR/RS - Sistemas de ayuda luminosa o auditiva Extracción Automatizar Sistema automático Conteo de piezas Utilizar métodos rápidos de Balanzas contadoras por peso conteo instaladas en los equipos de picking

Figura 7.9. Un sistema automático de almacenamiento y recolección de ítems (AS/RS) [Fuente: Imágenes libres de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/Miniload_ASRS.jpg]


Figura 7.10. Esquema de un carrusel horizontal (El movimiento se realiza en forma horizontal y el ítem se le presenta al frente a la persona)

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Figura 7.11. Un carrusel vertical (la rotación es vertical y los ítems se le presentan a la persona a la altura de la cintura)

Figura 7.12. Un sistema luminoso para facilitar la búsqueda de ítems en la operación de recolección de órdenes (picking)


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Cuando no se pueden eliminar actividades, estas podrían combinarse o realizarse en forma simultánea, de algunas de las siguientes formas: 

Desplazamiento de ítems a la persona y extracción: En sistemas ítems → persona (carruseles, AS/RS) debe hacerse un balance entre la persona y la máquina para evitar largos tiempo de espera. En otras palabras, mientras la persona está extrayendo ítems, otra parte de la máquina puede ya estarse desplazando hacia ella. En estos sistemas se ha estimado que la distribución de tiempo es aproximadamente 65% para la extracción, 20% para la espera, 10% de búsqueda y 5% otros.



Desplazamiento y documentación (otros): En sistemas AS/RS con persona a bordo, por ejemplo, mientras se realiza el desplazamiento al lugar de recolección siguiente, la persona puede estar realizando actividades de documentación, empaque y consolidación.



Recolección y consolidación: Cuando una persona procesa varias órdenes en un ciclo, se pueden diseñar carros con divisiones para que, a la vez que se recolecta, se consolide cada orden. Si se trata de ítems pequeños, la persona que recolecta puede incluso empacar los artículos simultáneamente.

2. Asignar los ítems de mayor movimiento a las localizaciones más fácilmente accesibles en la bodega El principio de Pareto se cumple también en las bodegas: Una porción pequeña de los ítems genera la mayoría de las actividades de recolección. Así, se puede asignar las zonas más accesibles a los ítems de mayor movimiento, incluyendo principios ergonómicos para disminuir la fatiga y la posibilidad de errores o sea asignando los ítems de mayor movimiento a la altura de la cintura. Este tipo de asignación de espacio se denomina comúnmente asignación de espacio basada en actividad o ‗popularidad‘ del ítem. La actividad puede medirse de diferentes formas: -

En valor económico de los ítems En unidades de producto En unidades de carga despachadas (cajas, estibas) En actividad de recolección: número de veces que un ítem aparece en las órdenes (rotación) - Mediante el volumen de los ítems - Mediante el cálculo de índices que combinan número de veces que aparece un ítem en las órdenes y volumen del ítem (este se denomina el Cube per Order Index, COI) y se estudiará en el capítulo siguiente. La Figura 7.13 ilustra una posible disposición de ítems dentro de una bodega, de acuerdo con su rotación. Nótese que los ítems de mayor movimiento están ubicados más cerca del área de trabajo donde se consolidan las órdenes y se envían a despacho.

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Figura 7.13. Una posible forma de distribuir los ítems en una bodega de acuerdo con su rotación (número de veces que aparece el ítem en las órdenes de recogida) Para el caso de almacenamiento por estibas se puede calcular la rotación ajustada y se pueden clasificar los ítems en dos o más clases de acuerdo a esta rotación. Aquellos ítems de mayor rotación son asignables a las ‗mejores‘ áreas de la bodega y, dentro de una clase dada, se asigna el espacio en forma aleatoria (la localización abierta más cercana). Así, se logran las ventajas de asignación de espacio por actividades, reduciendo los tiempos de recolección, combinadas con la mejor utilización del espacio por asignación aleatoria dentro de cada clase. 3. Balancear las actividades de recolección a lo largo de las zonas de picking para reducir la congestión El arte de diseñar el área dedicada a recolección consiste en establecer el balance del tamaño de la zona de recolección, de tal forma que no sea ni muy pequeña que cause problemas de congestión, ni muy grande que se pierda la ventaja de reducción de tiempos por tamaño de la zona. Una buena solución para evitar la congestión es diseñar zonas de tal modo que el recorrido típico se realice en forma de herradura (Figura 7.14). 4. Asigne ítems que sean probables de ser requeridos simultáneamente (asignación con correlación a zonas cercanas entre sí En muchos casos existen ítems cuya actividad dentro de una bodega puede estar correlacionada. Por ejemplo: - Kits o conjuntos de reparación - Ítems provenientes del mismo proveedor - Ítems de un sub-ensamble


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- Ítems del mismo tamaño

Figura 7.14. Una zona de picking con flujo de herradura y con los ítems de mayor rotación en las principales calles de la bodega Al asignar localizaciones cercanas a dichos ítems se reduce el tiempo de recolección por orden, y, por lo tanto, el tiempo promedio total de recolección. La dificultad de este principio es el extenso análisis estadístico que se hace necesario para determinar la correlación de la actividad entre los ítems. 5. Analizar la posibilidad de establecer zonas separadas de almacenamiento y recolección de órdenes Una buena opción para mejorar las operaciones de picking puede ser establecer zonas separadas de almacenamiento y recolección de órdenes (Recordar la Figura 7.4). Como se dijo anteriormente, primero definir si esto es conveniente, luego determinar el tamaño de la zona de picking y finalmente definir los ítems que van a ser almacenados en ella son problemas de decisión importantes que han sido estudiados y modelados en la literatura. Por ejemplo, Hackman y Rosenblatt (1990) diseñaron un modelo para definir cuáles ítems deberían ser asignados a un sistema automático de almacenamiento y recolección AS/RS. Posteriormente, Frazelle et al. (1994) extendieron esta investigación incorporando la decisión del tamaño de la zona de picking en un modelo muy interesante de programación no-lineal, el cual considera los costos de picking y los de reposición. Debe determinarse el tamaño más adecuado del área de picking, ya que, entre más pequeña sea el área de picking, menores son los tiempos de recolección, pero mayor es la congestión y el número de reposiciones internas y personal necesario para ello. Y entre más grande sea esta área, se pierde la ventaja de tener los ítems en una zona concentrada donde los tiempos de recolección sean bajos (Figura 7.15). Obsérvese que en el caso de la Figura 7.15, cuando no existe la zona especial para picking (0% del inventario asignado a ella), entonces se hace el picking en toda la bodega,

324


incurriéndose en un alto costo de picking y por supuesto aquí no habría costo de reposición. A medida que crece el tamaño de la zona de picking (se asigna cierto porcentaje de ítems a ella), el costo de picking decrece y el costo de reposición crece. El decrecimiento del costo de picking llega hasta cierto momento, cuando ya la zona es tan grande que se pierde su ventaja. Análogamente, el crecimiento del costo de reposición deja de aumentar cuando la zona de picking se vuelve tan grande que ya la reposición que se hace es infrecuente. En el extremo, cuando el 100% de los ítems están en la zona de picking, se retorna al caso inicial del 0%, pues es como si la bodega entera fuera de picking (o de almacenamiento). El resultado de este análisis es que se debería asignar cierto porcentaje de ítems a la zona de picking de tal forma que el costo total = costo de picking + costo de reposición fuera mínimo (alrededor del 30% para el ejemplo de la Figura 7.15).

Figura 7.15. Costos de picking y de reposición en función del porcentaje del inventario que se asigna a la zona de picking [Fuente: Frazelle (1991)] Por otra parte, la determinación del tamaño del área de picking se puede hacer asignando un tiempo igual de inventario para todos los ítems en dicha área, o asignando un igual número de unidades de cada ítem, o mediante la utilización de modelos matemáticos de optimización. Se han encontrado ahorros en costos de hasta un 40% por el uso de estos modelos. 6. Analice el perfil de las órdenes y agrúpelas para reducir tiempo total de desplazamiento Cuando existen muchas órdenes con un solo ítem o con un número pequeño de ítems, el método de agrupar órdenes y asignarlas a una sola persona, usualmente incrementa la productividad en la recolección de órdenes. Obviamente, si la unidad de recolección es una


325

estiba completa, este principio no sería adecuado. Existen varias formas de que una sola persona realice la recolección de varias órdenes: 

Agrupar todas las órdenes de un solo producto, recolectar la cantidad requerida y enviarla a la zona de empaque.  Utilizar lo que se denomina ‗recolección por zonas‘, donde una persona es responsable de una zona determinada de la bodega y recoge los ítems de una o varias órdenes solo en su zona asignada. Este método permite ahorros de tiempo, ya que al reducirse el área de recolección y al especializarse la persona en su área, se reduce el tiempo de recolección de cada ítem. Sin embargo, estos ahorros deben compararse con el tiempo para consolidar las órdenes y los posibles errores que esto puede generar. Igualmente, la administración del sistema debe procurar equilibrar las cargas de los recolectores de órdenes en las diversas zonas.  Agrupar las órdenes de tal forma que se cope la capacidad del equipo recolector en cada ciclo. Parikh y Meller (2008) presentan un estudio sobre el problema de selección entre el picking por grupos o por zonas en un CD. Para facilitar la decisión del agrupamiento de órdenes se construyen gráficos o tablas de perfil de órdenes, donde se muestra la distribución de las órdenes con respecto del número de ítems que contiene cada orden (Figura 7.16 y Tabla 7.3). En estos ejemplos identificamos dos características básicas de las órdenes:  Un alto porcentaje de las órdenes se componen de pocos ítems (5 ó menos) y de productos pequeños (recipientes de 30 litros o menos en la Tabla 7.3)  Algunas órdenes se componen de pocos ítems voluminosos y posiblemente pesados. Este perfil sugiere entonces una alternativa híbrida de picking, donde se pueden consolidar el gran número de órdenes que tienen pocos ítems pequeños, en carros recolectores donde se pueden ir organizando las órdenes finales y recolección individual para órdenes de muchos ítems y de ítems voluminosos.

Porcentaje (%)

70 60 50

% de órdenes % de ítems

40 30 20 10 0 1

2

3

4 # ítems /orden

5

Figura 7.16. Gráfico de perfil de órdenes

6

7

326


Tabla 7.3. Un ejemplo de perfil de órdenes en un CD que almacena productos químicos [Fuente: Frazelle (1991)]

1 2 3 4 5 6 7

Ítems por orden 1 2-5 6 - 10 11 - 25 26 - 50 51 - 75 75 - 100 Total %

62% de las órdenes Volumen de la orden, litros 315 30 60 150 300 <=3 15 30 60 150 300 600 1400 950 300 230 190 100 30 280 670 430 370 330 200 120 1 30 45 80 170 90 80 0 5 10 20 70 85 80 0 0 0 1 10 11 20 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1681 1655 785 701 770 486 332 25 25 12 11 12 7 3

Suma de órdenes Ítems (Línea)

Orden 600 1500 20 65 35 65 25 5 2 217 3

Total 3220 2465 531 335 67 7 2 6627

% 49 37 8 5 1 0 0 100

Total 3220 8628 4248 6030 2546 441 175 25288

% 12 34 17 24 10 2 1 100

Suma de órdenes Conclusiones:  El 86% de las órdenes se componen de 5 o menos ítems;  El 62% de las órdenes son de 30 litros o menos. Alternativa Híbrida

 

Consolidar estas órdenes en estibas o en carros recolectores donde se puedan ir consolidando. Recolección individual para órdenes de muchos ítems y de ítems voluminosos. (El resto de las órdenes).

# Promedio de ítem/órden * # de órden =[(2+5)/2]*2465

=8627.5 ítem

86% de las órdenes


327

7. Secuencie las diversas localizaciones de recolección para reducir el tiempo de desplazamiento Dentro de la recolección de una orden determinada o de un grupo de órdenes, la secuenciación de la recolección puede tener un impacto sustancial en el tiempo total de recolección. La principal ventaja de la secuenciación es la reducción del tiempo de desplazamiento. Sin embargo, una desventaja potencial al no procesar las órdenes de acuerdo a la llegada de los clientes, puede ser la demora injustificada de entrega de órdenes de algunos clientes. Además, se pueden incrementar los costos de control del sistema. En sistemas automáticos, el tiempo de recolección se reduce sustancialmente aplicando las técnicas de solución del problema del viajero de negocios (Traveling Salesman Problem TSP). Este problema se analiza con mayor detalle en la Sección 10.4.2. La Figura 7.17 muestra dos posibles rutas de recolección en un sistema automático AS/RS. La ruta de la izquierda no es adecuada porque presenta muchos cruces. La ruta de la izquierda mejora la situación y reduce la distancia total recorrida por la máquina y por ende el tiempo total de recolección.

Diseño pobre

Secuenciación mejorada

Figura 7.17. Dos posibles rutas de recolección en un sistema automático de almacenamiento y recolección AS/RS En la Figura 7.18 puede apreciarse un ejemplo de secuenciación para un sistema manual de recolección en un CD. El problema se vuelve muy complejo cuando una orden puede ocupar una o más estibas, ya que el ciclo de recolección debe diseñarse para reducir la distancia y para construir una pila de carga estable y que minimice la posibilidad de daños. En estos casos también se pueden aplicar las técnicas generales del TSP y técnicas especializadas que modelan la situación más precisamente.

Figura 7.18. Ruta de recolección manual en un centro de distribución


328

8. Organice los documentos de recolección y los identificadores de ítems para minimizar el tiempo de búsqueda y los errores Las buenas prácticas que caen dentro de este principio son:     

Letras grandes y en negrillas Códigos de colores Avisos colocación a la altura de los ojos Marcación del piso Evitar colores semejantes ó números parecidos en localizaciones adyacentes

9. Diseñe los vehículos de recolección para minimizar el tiempo de consolidación y mejorar la comodidad de la persona Si se requiere consolidación de órdenes, el vehículo recolector debe contener cajones o secciones bien demarcadas para cada orden. Además, si se requiere recolectar piezas situadas a cierta altura, el vehículo debería incluir una escalera para facilitar la operación. Igualmente, el vehículo debe contener una plataforma especial para que la persona pueda escribir en los documentos de la transacción, tomar notas de faltantes, etc. A pesar de ser ésta una de las cosas más importantes para la calidad del trabajo de la persona, pocas veces se tiene en cuenta para su diseño (Frazelle, 1991). 10. Seleccione la mejor combinación de equipo para los requerimientos de recolección Dentro de los principales factores de selección de equipo, se encuentran los siguientes:          

Costos fijos Costos variables de espacio y mano de obra Calificación del personal requerido Requerimientos totales de espacio Posibilidades de reconfiguración futura del sistema Seguridad y protección de los ítems Precisión de recolección Confiabilidad general del sistema Tiempo de entrega e instalación del equipo Seguridad

Una comparación general de los dos sistemas generales dará como resultado la eliminación de muchas alternativas. Las alternativas restantes se analizan más profundamente para determinar la mejor alternativa a la mano. La evaluación final, de una u otra forma, debe estar basada en términos de factibilidad económica [Ballou (2004, pp. 522-528)]. La Tabla 7.4 puede ser de gran ayuda para la primera aproximación al problema.


329

Tabla 7.4. Principales características de los sistemas de recolección de órdenes (picking) SISTEMAS PERSONA→ÍTEMS SISTEMAS ÍTEMS→PERSONAS Bajos costos fijos Altos costos fijos Altos costos variables de labor y espacio Bajos costos variables de labor y espacio Difícil de supervisar Fácil de supervisar Requiere menor sistematización Sistematización requerida es alta Alta flexibilidad Baja flexibilidad Bajo mantenimiento Alto mantenimiento 11. En muchos sistemas es necesario utilizar combinaciones de estrategias o alternativas híbridas Básicamente, la idea aquí es tener diferentes clases de equipos y estrategias para diferentes clases de combinaciones de ítems y órdenes. Por ejemplo, para el caso mostrado en la Tabla 7.3, recordemos que se puede utilizar agrupación de órdenes para aquellos casos de pocos ítems por orden utilizando estibas, y recolección de órdenes individuales para aquellas órdenes de muchos ítems. Igualmente, para aquellas órdenes de pocos ítems pero bajo volumen, se pueden utilizar carros con dispositivos de consolidación para grupos de órdenes. Un análisis semejante debe hacerse cuando existen múltiples flujos de productos de diferente forma, como estibas completas, cajas e ítems individuales. En estos casos puede ser recomendable tener áreas separadas, con equipos diferentes y técnicas de recolección diferentes para cada tipo. Una complicación de los sistemas híbridos que no ha sido resuelta completamente, es la asignación de ítems y capacidades de almacenamiento a las diferentes áreas. 12. Si el volumen o flujo de ítems y su grado de utilización lo justifica deben considerarse sistemas automáticos de ayuda, no necesariamente extremadamente costosos Estos sistemas pueden incluir los siguientes: 

Luces indicadoras en cada localización, las cuales identifican el lugar exacto de recolección y la cantidad a recoger, y permiten información de retroalimentación, como por ejemplo, informe de faltantes y daños.  Pantallas localizadas en cada lugar de trabajo, las cuales muestran las localizaciones a visitar, el recorrido y las cantidades a recolectar. La justificación de estos sistemas vs. el costo de equipos ítem → persona está casi siempre garantizada.  Indicadores de voz electrónicos. Estos sistemas se pueden utilizar tanto para la recolección como para el almacenamiento de ítems. Los beneficios no se traducen sólo en el aumento de productividad, sino en una precisión cercana al 100%, la cual es muy importante en la mayoría de las situaciones. 13. Utilice información conocida de antemano en cuanto sea posible Las ventajas de tener información de órdenes de antemano son obvias. En muchos casos, inclusive, se puede variar el sistema de recepción de órdenes para generar esta información a priori.

330


14. En sistemas integrados (por ejemplo, un CD que despacha a múltiples puntos de venta), trate de combinar los objetivos de ambos puntos de la cadena En muchas ocasiones, las actividades de picking deben diseñarse de acuerdo a los requerimientos del lugar donde van a ser despachados los ítems. Por ejemplo, en un supermercado puede requerirse que los productos lleguen o sean recibidos aproximadamente en una disposición semejante a la que existe en el punto de venta. Así, la combinación de tiempos de picking y recepción en el supermercado podrían minimizarse. Otra situación semejante se presenta en CDs que cargan camiones para la distribución de productos de consumo masivo. El picking en estos casos debería tener en cuenta el orden y la ruta de los camiones para coordinar las actividades de recolección, transporte y distribución y para minimizar el riesgo de robos y siniestros en la ruta. Bartholdi y Hackman (2009, pp. 135-156) tratan la operación de picking de una forma más cuantitativa y presentan diversos modelos para optimización de esta operación. Igualmente discuten la conveniencia o no de utilizar modelos de optimización en picking, dependiendo de cada caso. Estos autores también se refieren a un tema relativamente nuevo que ha revolucionado las técnicas de picking. Se trata de la operación de picking por ‗bucket brigades’ o ‗brigadas de balde o de cubeta‘ [Bartholdi y Hackman (2009, pp. 157-170)]. En este sistema, cada trabajador lleva la orden hasta que se encuentra otro trabajador más adelante a quien entrega lo que haya recogido. Luego se devuelve y va a recoger más ítems. Cuando el último trabajador completa una orden, camina hacia atrás y toma la orden de su predecesor, quien camina hacia atrás y toma la orden de su predecesor y así sucesivamente, hasta que el primer trabajador inicia una nueva orden de recogida al comienzo de la línea de recolección. De acuerdo con los autores, si se siguen los protocolos adecuados, este sistema se convierte en un perfecto sistema pull, el cual ha producido aumentos de productividad en esta operación. Para finalizar, debemos decir que el tema de picking ha sido ampliamente tratado en la literatura y continúa siendo un tópico de interés investigativo. Una revisión de literatura relativamente reciente sobre picking puede encontrarse en De Koster et al. (2007) y en general sobre las operaciones en CDs en Gu et al. (2007). Todos los anteriores principios son aplicables en mayor o menor medida, dependiendo del tipo de CD que se tenga. Existen sistemas de información y planeación que aplican varios de estos principios y también modelos cuantitativos, en mayor o menor medida, para optimizar algunas operaciones al interior de un CD (como picking y localización de productos en la bodega, por ejemplo). Estos sistemas reciben el nombre de Sistemas de Administración de Bodegas ó Warehouse Management Systems (WMS). Varios proveedores de ERPs y programas avanzados de SCM incluyen en sus módulos un WMS. Por ejemplo, puede consultarse el documento de mySAP™ Supply Chain Management disponible en http://www.sap.com/usa/solutions/business-suite/scm/pdf/BWP_WM_LES.pdf y el de Oracle Warehouse Management (http://www.oracle.com/applications/retail/sc/warehouse.html), disponible en http://www.oracle.com/applications/order_mgmt/Warehouse_Management_Datashet.pdf. Otro documento que aborda el tema de selección de un WMS es el de Miesemer (2001), quien presenta la metodología completa para crear un centro de distribución de clase mundial.


331

Lecturas adicionales Capítulo 7 1. Bartholdi y Hackman (2009): Capítulos 1 al 3 (pp. 1-28). 2. Bowersox et al. (2007): Capítulos 9 y 10 sobre almacenamiento y empaque (pp. 212-252). 3. Ballou (2004): Capítulo 11 (pp. 469-500).

332

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 8: Técnicas cuantitativas en sistemas de almacenamiento

8. TÉCNICAS CUANTITATIVAS EN SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO En el capítulo anterior introdujimos las operaciones que se llevan a cabo en un centro de distribución, al igual que una serie de principios que nos ayudan a diseñar mejor dichas operaciones. En este capítulo se exponen algunas técnicas cuantitativas útiles que se utilizan para el diseño y la administración de sistemas de almacenamiento.

8.1

INTRODUCCIÓN

El sistema de almacenamiento es muy importante dentro de las cadenas de abastecimiento modernas, ya que puede representar alrededor de un 25% de los costos totales de logística sin incluir los costos de mantenimiento de los inventarios. Los costos de almacenamiento, en general, se pueden distribuir de la siguiente forma: - Mano de obra - Espacio - Energía, equipo, otros

≈ 50% ≈ 25% ≈ 25%

Por lo tanto, estas actividades deben ser cuidadosamente diseñadas y administradas, ya que pueden ocultar procesos eficientes de transporte, inventarios y flujo de información a lo largo de la cadena de abastecimiento. Los principales tipos de decisión que se deben tomar en un sistema de almacenamiento son las siguientes:        

Localización de bodegas ó centros de distribución Diseño del tamaño de un CD Configuración interna de un CD Diseño de puertos de recepción / despacho Diseño y/ó selección de equipo de manejo de materiales Localización de los productos dentro de la bodega Disposición relativa de las estibas dentro de cada bahía de almacenamiento Optimización de operaciones de recolección de órdenes

En cuanto a la localización de un CD, se ha decidido dejar este tema para el Capítulo 11, en el que se abordan los problemas de localización regional de bodegas, los cuales se extienden a la localización internacional en el Capítulo 12. Algunos de los factores básicos para decidir dónde debe estar localizado un CD son los siguientes:  Acceso a los sistemas de transporte  Proximidad a las zonas de consumo


     

8.2

333

Disponibilidad de mano de obra Costos de mano de obra Impuestos Leyes e incentivos gubernamentales Costo de la tierra Otros (ambiente JIT, facilidades, etc.)

DISEÑO DEL TAMAÑO DEL CENTRO DE DISTRIBUCIÓN

Un modelo matemático de localización, como los estudiados en los Capítulos 11 y 12, sugiere la mejor localización de un CD. Igualmente, si la demanda se ha estimado dentro de ciertos rangos, el modelo da como salida el flujo (throughput) que va a pasar por el CD. El tamaño del CD depende del inventario que vaya a almacenar y la medida que usualmente se maneja en primera instancia es el inventario promedio. En forma semejante a la rotación de inventarios reflejada en la Ec. (3.2), la rotación del inventario que un CD contiene viene dada por: Rotación de inventario en el CD 

Flujo periódico a través del CD unidades  Inventario promedio en el período unidades 

(8.1)

Las ‗unidades‘ que presenta la Ec. (8.1) pueden estar expresadas en unidades físicas, cajas, unidades de peso, estibas e incluso en $. Igualmente, el período utilizado para medir el flujo y el inventario promedio debe ser el mismo para que la ecuación sea consistente. Así, si conocemos el flujo (throughput) a través del CD y podemos estimar la rotación del inventario en el CD, tenemos una forma de estimar el inventario promedio que el CD va a almacenar. Esta última cantidad es la que se relaciona directamente con el tamaño que el CD debe tener. El tamaño de un CD es una decisión clave de tipo estratégico. Aquí se presentan dos conflictos. Si el CD se sobredimensiona en tamaño, se genera un desperdicio de espacio que puede tornar no factible al CD. Si el CD es subdimensionado, se generan altos costos de manejos de materiales, congestión y puede ser muy posible que se necesite alquilar espacio en bodegas públicas. Sin embargo, esta opción no es descartable porque se puede intencionalmente diseñar el CD para un cierto porcentaje de su inventario máximo esperado y se combinan la estrategia privada con la tercerización en los períodos que se requiera. El caso típico ocurre cuando tenemos fluctuaciones de demanda a lo largo de los meses del año, observándose demanda estacional. Por este motivo, los requerimientos de espacio en el CD varían a lo largo del año y el diseño podría proyectarse para un cierto porcentaje del máximo requerido, de tal forma que en algunos períodos se necesite arrendar espacio en bodegas públicas (Figura 8.1). En general, esta combinación de almacenamiento privado y público es útil cuando existen muchas variaciones de requerimientos de espacio a lo largo del tiempo.

334


Figura 8.1. Gráfico del espacio requerido en un CD en función del tiempo (el diseño híbrido del tamaño se puede hacer con cierto porcentaje del máximo requerido) Ejemplo 8.1 [Determinación del tamaño de un CD, Ballou (2004, pp. 503-508)] Se tienen las siguientes proyecciones de demanda para una empresa de productos químicos a lo largo del año (en lb): Ene. Feb. Mar. Abr. Mayo Jun.

66,500 328,000 1,048,500 2,141,000 2,820,000 2,395,000

Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

1,303,000 460,900 99,900 15,300 302,200 556,700

Se ha estimado una rotación de inventarios igual a 3 veces/mes. Por especificación de diseño, el 50% del espacio de la bodega a construir se utiliza para pasadizos y sólo el 70% del espacio será utilizado para responder a la posible variabilidad de la demanda. Se ha calculado un volumen específico promedio de los productos que van a ser almacenados igual a 0.5 pies3 /lb y se podrá utilizar hasta una altura de 16 pies en estantes. La bodega puede construirse (incluyendo equipo) en $30/pie2, amortizando a 20 años, y operando a 0.05 $/lb de flujo a través del CD. Los costos fijos anuales son de 3 $/pie2 de espacio total. Se puede arrendar espacio en bodega pública a razón de $0.1 $/lb por mes y con un cargo por manejo de materiales de $0.07 $/lb. El problema es determinar el tamaño en pies2 más adecuado de la bodega a construir. Para resolver este problema, a diferencia de Ballou quien lo resuelve por ensayo y error, vamos a diseñar una hoja electrónica que permita encontrar el tamaño óptimo de la bodega. Inicialmente, debemos calcular los requerimientos de espacio en la bodega para cada mes, con base en las proyecciones iniciales de demanda. Así, por cada libra almacenada en la bodega se requieren:


335

0.5 pies 3 / lb  0.03125pies 2 / lb 16 pies

De acuerdo con la rotación estimada del inventario, por cada 3 libras que pasen por la bodega, 1 libra se mantiene en promedio en inventario. Deben también tenerse en cuenta los porcentajes de utilización del espacio y el hecho de que se va a diseñar sobre el 70% de los requerimientos para responder a las fluctuaciones de demanda. Por lo tanto, el espacio requerido en pies2 en función de la demanda mensual en libras vendría dado por: Espacio requerido [pies2]  Dem. Mensual [lb]  (1/3)  (0.03125)  (1/0.5)  (1/0.7) 

Espacio requerido [pies2]  Dem. Mensual [lb]  0.0297619

A manera de ilustración, seleccionamos un tamaño tentativo de la bodega, en este caso 60,000 pies2. El costo anual de construcción de una bodega de dicho tamaño amortizado a 20 años sería = (30 $/pie2  60,000 pies2) / 20 años = 90,000 $/año. Para construir la Tabla 8.1, se determina el porcentaje del flujo total mensual manejado por la bodega propia y por la bodega arrendada. Con base en esto, se calculan los siguientes costos para cada modalidad (ver notas al pie de la Tabla 8.1): -

Costo fijo mensual Costo variable mensual (bodega propia) Costo mensual de almacenamiento (bodega rentada) Costo mensual de manejo (bodega rentada) Costo total mensual (del tamaño de bodega seleccionado) Costos totales anuales

Evidentemente, de acuerdo con la Tabla 8.1, este problema se ajusta perfectamente para que sea resuelto mediante una hoja electrónica, utilizando el solver de Excel™. La celda objetivo es el costo total anual (celda sombreada en la tabla) y la celda variable sería el tamaño de la bodega. Con base en esta hoja electrónica se encuentra que el tamaño óptimo de la bodega debería ser de aproximadamente 63,720 pies2 para un costo total anual de 913,368 $/año. Utilizando la misma hoja se puede construir la gráfica mostrada en la Figura 8.2. Es importante notar que, como en muchas ocasiones en logística, la curva alrededor del valor óptimo es bastante plana, lo que da cierta flexibilidad para la escogencia del tamaño del CD (entre 56,000 y 70,000 pies2 el costo anual óptimo varía de $920,131 a $919,120, pasando por el valor óptimo de $913,368, es decir que no varía en más del 0.74%). Obsérvese finalmente que un tamaño = 0 significa que no se va a construir un CD propio y que todas las operaciones serán tercerizadas. Análogamente, si el tamaño del CD resulta ser mayor ó igual que el máximo requerimiento mensual, entonces significa que todas las operaciones serán privadas (un tamaño mayor que el máximo ya es un desperdicio de capacidad). La hoja electrónica permite generar y analizar estas dos soluciones extremas.

336


MES Ene. Feb. Mar. Abr. Mayo Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. TOTALES a

Tabla 8.1. Costos de construcción y operación de un CD de 60,000 pies2 (Ejemplo 8.1) COSTO COSTO COSTO COSTO ÁREA FIJO VAR. ALM. MANEJO COSTO FLUJO REQ. % BOD. MENS. MENS. % BOD. MENS. MENS. MENS. 2 [lb] [pies ] PRIVADA [$] [$] RENT. [$] [$] TOTAL [$] 66,500 1,979 100 22,500a 3,325b 0 0 0 25,825 328,000 9,762 100 22,500 16,400 0 0 0 38,900 1,048,500 31,205 100 22,500 52,425 0 0 0 74,925 2,141,000 63,720 94.16c 22,500 100,800d 5.84 4,167e 8,750f 136,217 2,820,000 83,929 71.49 22,500 100,800 28.51 26,800 56,280 206,380 2,395,000 71,280 84.18 22,500 100,800 15.82 12,633 26,530 162,463 1,303,333 38,790 100 22,500 65,167 0 0 0 87,667 460,900 13,717 100 22,500 23,045 0 0 0 45,545 99,900 2,973 100 22,500 4,995 0 0 0 27,495 15,300 455 100 22,500 765 0 0 0 23,265 302,200 8,994 100 22,500 15,110 0 0 0 37,610 556,700 16,568 100 22,500 27,835 0 0 0 50,335 11,537,333 343,373 270,000 511,467 43,600 91,560 916,627

[90,000+(360,000)] /12=$22,500 66,500  0,05 = $3,325 c 60,000 / 63,720 = 0.9416 (94.16%) d 2,141,000  0.9416  0.05 = $100,800 b

e

Dada una rotación de inventarios de 3 y 5.84% de demanda manejada a través de la bodega rentada: [2,141,000  0.0584 / 3]  0.1 = $4,167 f 2,141,000  0.0584  0.07 = $8,750


337

Costo total anual en función del tamaño del CD 1,300,000

Costo total ($/año)

1,200,000 1,100,000 1,000,000

900,000 800,000 700,000 600,000

0 4,000 8,000 12,000 16,000 20,000 24,000 28,000 32,000 36,000 40,000 44,000 48,000 52,000 56,000 60,000 64,000 68,000 72,000 76,000 80,000 84,000 88,000 92,000 96,000 100,000

500,000

Tamaño del CD (pies2)

Figura 8.2. Curva de costo total anual en función del tamaño de la bodega (Ejemplo 8.1)

8.3

CONFIGURACIÓN INTERNA DE UN CD

Dado un tamaño básico de la bodega, esta puede diseñarse de diversas formas, dependiendo de cada caso en particular. A continuación se presentan algunos lineamientos generales para aproximar las dimensiones de la bodega y su configuración interna. Altura de la bodega La máxima altura de la bodega está influenciada por los siguientes factores:     

Costos de construcción Costos de manejo de materiales Características de apilamiento de la carga Consideraciones legales y de seguridad Proyecciones futuras de almacenamiento

Largo vs. Ancho (Bodegas rectangulares) El largo y ancho de la bodega dependen del equilibrio entre los costos de movimiento de los productos a través de la bodega y los costos de construcción. Igualmente, las dimensiones de la bodega se pueden ver influenciadas por la longitud necesaria para acomodar las puertas necesarias para carga /descarga. Después de que algunas decisiones acerca de la configuración general se han tomado, el paso siguiente es el diseño de las bahías de almacenamiento, estanterías y pasadizos o corredores. El problema se puede reducir a determinar:


338

  

Número de espacios de almacenamiento en cada estantería Número de estanterías a utilizar Posición relativa de las estanterías con relación a la bodega

Bassan et al. (1980), citados por Ballou (2004, pp. 516-519), presentan un modelo matemático para realizar la configuración interna de un CD. Los supuestos establecidos son los siguientes:     

El producto se recibe a través de una puerta en un lado del edificio y se despacha por otra puerta en el lado opuesto. Un ítem requiere de cuatro movimientos entre una puerta y su lugar de almacenamiento. Las puertas están localizadas en el centro del edificio. Todas las partes de la bodega tienen la misma probabilidad de ser utilizadas. Las estanterías son de doble faz, excepto aquellas ubicadas contra las paredes.

La función objetivo de estos modelos es minimizar la suma de los costos de manejo de materiales, costo anual de área y costo anual de perímetro. Para este modelo se tiene la siguiente notación (Figura 8.3): W L

= =

m h n

= = =

K a u v d

= = = = =

Ch Cs

= =

Cp

=

Ancho de una estantería de doble faz [pies] Longitud de cada espacio de almacenamiento (por ejemplo, el ancho de una estiba [pies]) Número de espacios de almacenamiento a lo largo de una estantería Número de niveles de almacenamiento en la dirección vertical Número de estanterías de doble faz; dos estanterías sencillas se consideran igual a una doble Capacidad total de la bodega en espacios de almacenamiento Ancho de un corredor [pies], asumiendo que todos tienen el mismo ancho Longitud (largo) de la bodega [pies] Ancho de la bodega [pies] Demanda anual de la bodega en unidades de almacenamiento (por ejemplo, en estibas). Se asume que un ítem de almacenamiento ocupa una unidad de espacio de almacenamiento [ítems/año] Costo de manejo de materiales, de mover un ítem una unidad de longitud [$/pie] Costo anual por unidad de área de la bodega, por ejemplo, climatización, luz, mantenimiento [$/pie2] Costo anual por unidad de longitud de paredes externas [$/pie]


339

Figura 8.3. Dos posibles configuraciones internas de un CD con forma rectangular [Fuente: Ballou (2004, p.518)]

Para la disposición (a) de la Figura 8.4, el número óptimo de espacios de almacenamiento es: m1  *

1 L

 dCh  2aCs  2C p   K ( w  a) L     2h  2(dCh  C p )  

Y el número óptimo de estanterías de doble faz es:

(8.2)


340

n1  *

 2(dCh  C p )   K ( w  a) L     2h  dCh  2aCs  2C p  

1 wa

(8.3)

Así, la mejor configuración de la bodega tendría un largo óptimo de u1* = n1* (w + a) y un ancho óptimo de v1* = 2a + m1*L. Para la disposición (b) de la Figura 8.4, los resultados óptimos son: m2  *

n2  *

1 L

 2dCh  3aCs  2C p   K ( w  a) L     dCh  2C p 2h   

1 wa

   K ( w  a) L  dCh  2C p    2h  2dCh  3aCs  2C p  

(8.4)

(8.5)

Y la mejor configuración de la bodega tendría un largo óptimo de u2* = 3a + m2*L y un ancho óptimo de v2* = n2* (w + a). Para minimizar costos entre estos dos diseños alternativos, los autores presentan la siguiente regla de decisión:   

Si d < Cp / Ch, seleccionar la configuración (a) Si d > 2Cp / Ch, seleccionar la configuración (b) Si Cp / Ch < d < 2Cp / Ch, no se puede concluir.

Ejemplo 8.2 [Configuración interna de un CD, Ballou (2004, pp. 516-519)] Supóngase que se ha escogido la configuración (b) para una bodega. Se van a manejar 400,000 estibas / año. Estas estibas requieren un espacio de 4  4  4 pies y pueden apilarse cuatro en el sentido vertical. Las estanterías tienen un ancho de 8 pies y los corredores son de 10 pies de ancho. El costo de manejo de materiales se ha estimado en $0.001 por pie, los costos anuales de espacio en $0.05 por pie2 y el costo anual por pie de perímetro es $3. La rotación en la bodega es de 8 veces por año, con una capacidad total de 50,000 espacios de almacenamiento. Encontrar los parámetros óptimos de diseño de la bodega. (Nótese que 2Cp / Ch = 6,000 < d = 400,000 y, por lo tanto, la configuración (b) es óptima bajo los supuestos del modelo) Aplicando directamente las Ec. (8.4) y (8.5), se obtiene:

m2  *

1  2(400,000)(0.001)  3(10)(0.05)  2(3)   50,000(8  10)(4)    4  (400,000)(0.001)  2(3) 2(4)  

O sea, m2* = 237 espacios de almacenamiento / estantería.


n2  *

341

   50,000(8  10)(4)  1 (400,000)(0.001)  2(3)   8  10  2(400,000)(0.001)  3(10)(0.05)  2(3)   2(4) 

Es decir que: n2* = 26 estanterías de doble faz u2* = 3(10) +237 (4) pies = 978 pies de largo v2* = 26(8+10) pies = 468 pies de ancho

8.4

DISEÑO DE PUERTAS DE CARGUE Y DESCARGUE (MUELLES)

Los factores generales a tener en cuenta para este diseño son:  Tipo de transporte a utilizar (tren, camión).  Cerramiento o no del área de recepción / despacho (por motivos de seguridad en la recepción).  Profundidad de la plataforma (se sugiere un mínimo de 12 pies  3.7 m) y 4 m si se van a utilizar estibadoras de tenedor para maniobras seguras).  Naturaleza del área de recepción (si se va a utilizar como área temporal de almacenamiento antes de chequear las órdenes o realizar la paletización, se pueden requerir hasta 40 – 50 pies (12 – 15 m) adicionales de profundidad.  Relación del nivel de la puerta y el nivel de la plataforma del tren o camión y máxima pendiente de la carga a mover. Número de puertas de cargue / descargue El número de puertas de cargue / descargue requerido puede estimarse mediante la siguiente ecuación: D * H (D / C) * H N  C*S S (8.6) donde: N D H C S

= = = = =

Número de puertas necesarias Flujo promedio diario [unidades / día] Tiempo requerido para cargar / descargar un camión [hr / camión] (promedio) Capacidad de cada camión [unidades / camión] Tiempo diario disponible para cargar / descargar camiones [hr / día]

Esta fórmula es sólo una aproximación ya que ignora la variabilidad en los camiones, en el flujo diario, o en el tiempo de cargue / descargue. Puertas adicionales deben estimarse para responder a estas variaciones y se pueden utilizar algunos modelos de teoría de colas y de simulación para este efecto.


342

Ejemplo 8.3 (Estimación del número de muelles del CD) Una bodega atiende a 250 puntos de venta en su región en una base semanal. La orden promedio es de 6,500 lb. y 4 órdenes pueden acomodarse en un camión. Le toma a dos trabajadores 2 horas para cargar un camión; los trabajadores cumplen jornadas de 8 hr diarias. La empresa asigna un número suficiente de trabajadores en este periodo. Estimar el número de puertas necesario. En una semana de 5 días hábiles, habría que atender 50 puntos de venta, o sea 50  6,500 = 325,000 lb / día (flujo). La capacidad de cada camión es 4  6,500 = 26,000 lb. Así, se puede calcular el número requerido de puertas como:

N

8.5

(325,000)(2)  3.13  4 puertas (26,000)(8)

LOCALIZACIÓN DE PRODUCTOS DENTRO DE UN CD

Las decisiones previas que se deben haber tomado para analizar la localización de productos dentro de un CD, son las siguientes:     

Configuración general del edificio Determinación de las instalaciones de recepción y despacho Localización de productos peligrosos y de riesgo de pérdida Determinación de áreas para recolección de órdenes Sistema de manejo de materiales

El problema es entonces, ¿dónde ubicar los diversos ítems dentro del CD y cómo ubicarlos posteriormente? Para responder esta pregunta, se pueden considerar algunos aspectos generales como son:  

La metodología de distribución de plantas es aplicable Los criterios en que se basa la decisión son: - Minimización de costos de manejo de materiales (distancia, tiempo) → [picking] - Maximización de utilización del espacio de la bodega - Restricciones adicionales de localización de ítems, tales como seguridad, riesgo de incendio, compatibilidad de productos, complementariedad de productos y necesidades de recolección de órdenes.

Existen diversos criterios bajo los cuales se puede definir la ubicación relativa de los ítems dentro del CD. Entre estos criterios podemos mencionar:    

Complementariedad de ítems Compatibilidad / Incompatibilidad de ítems Popularidad ó volumen de ítems Tamaño de los ítems




343

Relación volumen [unidades3] a número de requerimientos diarios del ítem

Este último indicador, ya mencionado en el capítulo anterior, se le conoce como el Cube per Order Index, COI, y puede expresarse como: COI 

Volumen promedio requerido para almacenamiento del producto Número promedio de órdenes diarias donde aparece el producto

(8.7)

De acuerdo con esta definición, si el COI es bajo, entonces los productos se ubican tan cerca como sea posible de la(s) puerta (s) de despacho. También se puede definir el COI como el inverso de la expresión (8.7), en cuyo caso el criterio es al contrario. Así, los ítems se pueden ubicar dentro del CD de acuerdo con varios criterios, como son, la popularidad (No. de veces que el ítem aparece en las órdenes), el volumen del ítem en unidades cúbicas ó el COI. Varios estudios han encontrado que si se ubican los ítems de acuerdo con el COI, se produce:    

La distancia más corta a recorrer por orden seleccionada El tiempo más bajo por viaje de recolección El tiempo más bajo por línea de ítems seleccionada El espacio mínimo total requerido

Ejemplo 8.4 (Ubicación de ítems dentro de un CD) Una bodega tiene la siguiente configuración interna. Cada una de las ocho bahías de almacenamiento mostradas puede contener hasta 40,000 pies3 de volumen de productos. Puertas de recepción

D → 40,000

Puertas de despacho Figura 8.4. Configuración interna de una bodega (posición relativa de las estanterías y de los muelles de recepción y despacho) Se van a almacenar ocho productos y se dispone de la información dada en la Tabla 8.2, en las columnas (1) a (4), correspondiente al nombre del producto, el volumen unitario del ítem, el número de órdenes anuales en las que aparece el producto para ser recogido en la bodega y

344


el inventario promedio. Se desea determinar la ubicación de los ítems dentro de las estanterías de acuerdo con el criterio del COI. Tabla 8.2. Datos y resultados del cálculo del COI (Ejemplo 8.4) PROD. VOL. No. INV. No. PROM. ESPACIO COI (1) DEL ÓRD. PROM. ÓRD. Diarias REQ. (índice) ÍTEM anuales [u./año] (5)=(3)/250* [pies3] (7) = [pies3/u.] (3) (4) (6) = (6)/(5) (2) (2)(4) A 6.0 6,750 800 27 4,800 177.8 B 4.0 15,750 16,000 63 64,000 1,015.9 C 1.0 11,250 25,120 45 25,120 558.2 D 8.0 25,500 18,600 102 148,800 1,458.8 E 3.0 17,750 12,533 71 37,599 529.6 F 5.0 3,500 3,936 14 19,680 1,405.7 G 15.0 6,250 907 25 13,605 544.2 TOTAL 86,750 77,896 313,604 * 1 año se considera con 250 días hábiles para recolección.

POS. REL. (8)

(1) (5) (4) (7) (2) (6) (3)

La columna (5) de la tabla muestra el número promedio de órdenes diarias en las que aparece el producto, asumiendo que se labora durante 250 días/año. La columna (6) es el producto de las columnas (2) y (4), es decir, el espacio promedio requerido por cada uno de los ítems. Finalmente, en la columna (7) se ha calculado el COI, como el espacio requerido por el ítem dividido entre el número promedio de órdenes diarias donde aparece para ser recogido en el CD. De acuerdo con esto, en la columna (8) se han ordenado los ítems en forma ascendente con respecto del COI, de tal forma que se puede afirmar que el ítem de mayor movimiento es el A y el de menor movimiento es el D. De esta forma, el ítem A debería estar muy cerca de las puertas de despacho y el orden vendría dado por la columna (8). Puertas de recepción D → 40,000

D → 33,600

F → 4,800 D → 35,200

D → 40,000

D →1,120 40,000 C→ B → 38,880

B → 25,120 F → 14,880

A → 4,800 E → 35,200

E → 2,400 G → 13,600 C → 24,000

Puertas de despacho Figura 8.5. Configuración sugerida de la bodega del Ejemplo 8.4 (unidades en pies3)


345

Nótese que el ítem A no es el que aparece en un mayor número de órdenes anuales (criterio de popularidad). Así, lo interesante del criterio del COI es que combina este criterio con el espacio cúbico requerido por el ítem. La configuración sugerida de los ítems dentro del CD, de acuerdo con los resultados de la columna (8) de la Tabla 8.2, se muestra en la Figura 8.5. Nótese que se respeta la capacidad de cada bahía de almacenamiento y la capacidad total del CD, y que los ítems más cercanos a las puertas de despacho son el A, G, E y C, tal como sugiere el COI. Configuración de dos etapas Recuérdese el tema del área de reserva y del área de picking discutido en el punto (5) de la Sección 7.2.3. La Figura 8.6 muestra una posible configuración de una bodega con una zona de reserva (bahías de almacenamiento 1 a 6) que es alimentada desde dos zonas de recepción 1 y 2. Desde esta zona se hace reposición a las bahías de picking 7, 8 y 9, donde se realiza esta operación y se envían los ítems a la zona de despacho. Así, surgen las siguientes preguntas:  

¿Dónde localizar cada producto dentro de la bodega? ¿Qué espacio asignársele a cada producto en la zona de reserva y en la zona de ensamble?

Zona de Recepción 1

1

2

Ruta típica

3

7

8 9 5 SECCION DE ENSAMBLE Ó RECOLECCIÓN DE ÓRDENES

5

6

4 Bahías de almac. (zona de reserva)

Zona de despacho

Zona de recepción 2

Figura 8.6. Problema de configuración de dos etapas: Zona de reserva y zona de recolección de órdenes (picking)


346

Para resolver estas preguntas, se puede formular un modelo básico de programación lineal. Los parámetros, variables de decisión y el modelo son los siguientes: Parámetros Cij M N L Gj Rj Rja

= = = = = = =

s, a

→

Costo de manejo del producto j cuando se almacena en la estantería i Número total de bahías de almacenamiento (áreas de reserva y ensamble) Número de ítems que se manejan en la bodega Número de bahías (estanterías) de almacenamiento en la zona de reserva Cantidad de producto j que se puede almacenar en una estantería Cantidad requerida de producto j a ser almacenado en la bodega Cantidad mínima de producto j a ser almacenado en el área de ensamble (―order picking‖) Super-índices utilizados para referirse al área de reserva y ensamble, respectivamente.

Variables de decisión Xij =

Cantidad de producto j a almacenar en la estantería i; j = 1, 2, … , N; i = 1, 2, … , M.

El Modelo Matemático M

Minimizar

N

Z   Cij X ij i 1 j 1

Sujeto a: 1. Capacidad de las bahías de almacenamiento ubicadas en la zona de reserva: N

X ij

G j 1

s j

1

i = 1, 2, …, L

2. Capacidad de las bahías de almacenamiento ubicadas en la zona de ensamble: N

X ij

G j 1

a j

1

i = L+1, L+2, …, M


347

3. Mínimo número de unidades de cada producto a almacenar en la zona de ensamble: M

X

i  L 1

ij

 R aj

j = 1, 2, …, N

4. Número total de unidades de cada producto a almacenar en la bodega: M

X i 1

ij

 Rj

j = 1, 2, …, N

5. Obvias: Xij ≥ 0;

i, j

La solución del modelo anterior dará entonces las cantidades de cada producto a almacenar en cada estantería, minimizando el costo total de manejo. Obviamente, estimar estos costos puede no ser sencillo y, con el objeto de aplicar este modelo, deberían analizarse cuidadosamente los parámetros obtenidos. Una referencia muy interesante que trata varios de los modelos anteriores y otros propuestos para resolver problemas de almacenamiento es la monografía de Napolitano (1999). Después de introducir la modelación en forma general, Napolitano presenta modelos estratégicos de localización de CDs (este tema se aborda en los Capítulos 11 y 12). Presenta también varios modelos para el diseño de bodegas, incluyendo diseño de la configuración interna, capacidad de almacenamiento, diseño ergonómico e introducción a los modelos de simulación. Igualmente, describe los modelos de acomodación de estibas, de productos dentro del CD, planeación de la fuerza laboral y modelos de acomodación de cajas sobre estibas.

Ejercicios 8.1 1) A company is concerned about its warehouse needs and how they can best be met. The company produces a line of spare parts for appliances. Due to the combination of production policies and demand patterns, warehousing space requirements vary considerably throughout the year. Space requirements are known with a great deal of certainty because the product line satisfies a replacement market. Growth or decline in production and sales is not anticipated in the foreseeable future. Monthly sales rates for a typical year are as shown in the next table.

348


MONTH Jan. Feb. Mar. Apr. May June July Aug. Sept. Oct. Nov. Dec.

SALES ($ MILLION) 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.25 1.25 2.25 3.00 3.50 4.00 4.50

Inventory in the warehouse turns at the rate of two times per month. A dollar‘s worth of merchandise occupies 0.1 cu. ft. of warehouse space and can be stacked 10 ft. high. The product density is $5 per lb. Given aisles, administrative space, and normal operating efficiency, only 40 percent of the total warehouse space is actually used for storage. A private warehouse can be constructed and equipped for $35 per sq. ft. and can be amortized over 20 years. The cost of operation is $0.02 per lb of throughput. Annual fixed costs amount to $10 per sq. ft. of total space. Space may also be rented for a storage charge on inventory of $0.12 per lb per month and a handling charge of $0.08 per lb of throughput.

a) Design a spreadsheet to determine the size of a private warehouse that should be constructed and/or the size of a public warehouse that should be rented. Test your spreadsheet using the example shown in class and use it to solve the above problem. b) Determine the maximum handling charge per lb of throughput that can be paid in a public warehouse so that the optimal solution to the problem be not to build a private warehouse at all. 2) A food distribution center makes deliveries to food stores on a weekly basis. On the average, 75 stores are served each day. A typical store places an order for 12,000 lb. of various products. Three store orders can be placed on a delivery truck. Trucks are loaded in 3 hours and the distribution center operates an 8-hour shift.

a) ¿How many truck doors are needed on the average? b) Assume that the number of stores served each day follows a uniform distribution U(65, 85) . Note that the average number of stores served each day is the same as in (a). Develop a spreadsheet to analyze the impact of this variability on the number of needed truck doors. 3) Suppose that a warehouse contains eight storage bays. Products enter the rear of the warehouse through a rail dock. Product is picked from the storage locations and shipped from a truck dock at the front of the building (This is a similar design as in the case of the example shown in class). Each bay can hold 2,500 sq. ft. with product stacked 10 ft. high. Ten products are maintained in the warehouse. The next table provides data that have been collected.


PRODUCT

A B C D E F G H I J

a)

REQUIRED STORAGE SPACE (SQ. FT.) 500 3,000 1,500 1,700 5,500 1,100 700 2,800 1,300 900

INDIVIDUAL PRODUCT SIZE (CU. FT.)

AVG. NO. OF DAILY ORDERS IN WHICH ITEM APPEARS

1.5 1.06 4.3 5.5 2.7 15 9.0 6.7 3.3 4.7

56 103 27 15 84 55 26 45 94 35

349

Lay out the warehouse using (1) the by–popularity method (That is, considering the average number of orders the item appears); (2) the by–cube method (considering the individual product volume); and (3) the COI method. Compare the three methods and conclude.

b) ¿To what extent are these methods appropriate when more than one item is picked on a route and when pickers are zoned so as to pick only a limited part of the product line on each order? 4) A company is a local division of a large public warehousing firm. The company has selected a particular warehouse for consideration. This warehouse has two receiving docks (R1, R2) and one shipping dock S1. There are six storage bays in which the three major products handled by the warehouse are stored. Management finds that because of order sizes, receiving locations, quantities received, and the like, different times are required to supply and distribute from a storage bay, and these service times depend on the particular product and location of the storage bay in the warehouse. There is a direct relationship between handling costs and handling times for each product and storage bay. Handling times in hours (for a three– month period) per 100 units of products are shown in the next table.

STORAGE BAY 1 2 3 4 5 6

PRODUCT 1

PRODUCT 2

PRODUCT 3

0.90 0.80 0.60 0.70 0.50 0.40

0.75 0.65 0.70 0.55 0.50 0.45

0.90 0.95 0.65 0.45 0.45 0.35

Each storage bay has a certain capacity, depending on the product. Each bay can storage 5,000; 3,000; and 6,000 units of product 1, 2, and 3, respectively. Management forecasts that it must plan storage space for at least 11,000 units of product 1; 4,000 units of product 2; and 12,000 units of product 3 over the next three months. Formulate a mathematical programming model, solve it and analyze its solution to allocate the products to the various storage bays (in the proper quantities) so as to minimize the total handling time (cost) required for all products. (Hint: Look at the mathematical programming model shown in Section 8.5).

350


Lecturas adicionales Capítulo 8 1. Bartholdi y Hackman (2009): Capítulos 10 y 11 (pp. 135-170). Presentan varios modelos muy interesantes sobre picking. 2. Ballou (2004): Capítulo 12 (pp. 501-549). 3. Napolitano (1999): Se recomienda leer toda esta monografía para una idea general sobre modelación en sistemas de almacenamiento.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 9: Introducción a los sistemas de transporte de carga

351

9. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE TRANSPORTE DE CARGA La tercera parte de este texto se concentra en los sistemas de transporte (Capítulos 9 y 10). Es importante aclarar que el énfasis del tema de transporte no es la infraestructura, como por ejemplo carreteras, puertos, aeropuertos, etc., aunque por supuesto se abordarán algunos elementos de éstos que impactan las operaciones en la cadena de abastecimiento. Esta parte se concentra en la descripción de los diversos modos de transporte; costos de transporte con énfasis en los fletes en Colombia; selección del modo de transporte y transportador; diseño de rutas; programación de vehículos e indicadores de eficiencia en transporte. El contenido de esta parte incluye, entre otros posibles, los siguientes:  Introducción a los sistemas de transporte y al transporte internacional  Indicadores de eficiencia en transporte  Los diversos modos de transporte y sus principales características, con énfasis en nuestro medio  Selección del modo de transporte  Selección de transportadores basada en análisis multi-criterio  Ruteo de vehículos  El problema de programación de vehículos

9.1

GENERALIDADES E IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE TRANSPORTE DE CARGA

Los sistemas de transporte de carga son definitivamente uno de los elementos primordiales de la cadena de abastecimiento y una de las actividades clave de la logística. Ya hemos visto en capítulos anteriores que los costos totales de logística son fundamentales para la economía de un país. Recordemos que, de acuerdo con Ballou (2004, p. 14), los costos totales de logística pueden representar entre un 4% y un 30% del volumen de las ventas de la organización. De estos costos, los de transporte pueden estar entre un tercio y dos tercios del total [Ballou (2004, p. 164)] y por ello para muchas organizaciones los costos totales de transporte se convierten en el elemento individual más importante dentro de su logística y cadena de abastecimiento. En Estados Unidos, por ejemplo, en donde se dispone de extensos estudios y estadísticas, los costos de transporte se han estabilizado en aproximadamente el 60% de los costos totales de logística. La Figura 9.1 muestra la evolución de este indicador entre 1980 y 2007. Esta figura ha sido diseñada con base en los diversos reportes del CSCMP (anteriormente el CLM) sobre el estado de la logística en los Estados Unidos. Nótese como en 2001, a raíz de los trágicos hechos del 11 de septiembre, el porcentaje del costo de transporte con respecto de los costos totales de logística se disparó, pero se había vuelto a estabilizar en los últimos años.


352

Sin embargo, en 2008 tuvo de nuevo un incremento, ubicándose en 64.9% de los costos totales de logística [(Wilson (2009)]. COSTOS DE TRANSPORTE / COSTOS TOTALES DE LOGÍSTICA (USA) 70%

PORCENTAJE

60% 50% 40%

30% 20% 10%

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

0%

Figura 9.1. Evolución de los costos de transporte con respecto de los costos totales de logística en Estados Unidos [Fuente: Diseñada con base en las estadísticas dadas en Wilson (2008, p. 30) e informes anteriores]

En América Latina los sistemas de transporte no son tan eficientes como en Estados Unidos. En nuestros países tenemos muchos problemas en común y también se nos presentan grandes desafíos en cuanto a los sistemas de transporte se refiere. Dentro de éstos encontramos los siguientes:              

Mejoramiento de la infraestructura en general (carreteras, puertos, aeropuertos, equipos, etc.) Integración con otros procesos logísticos Profesionalismo en la ejecución y planeación del transporte Automatización y tecnologia de información en ambientes de baja productividad Actualización de tecnología en general Atomización de la propiedad de las empresas de transporte y dificultad de la consolidación de contratos de largo plazo Eficiencia de carga Cubrimiento regional Entrada de competidores internacionales Transición a proveedores de Logística Multimodalismo Incremento de las expectativas del cliente Administración del riesgo en general Cumplimiento de normas y respeto por el medio ambiente


353

Los sistemas de transporte eficientes son los que permiten el acceso a materias primas de calidad y buen costo en cualquier parte del mundo y también a remotos mercados. Especialmente, el transporte internacional le permite a las organizaciones realizar importaciones y exportaciones que se constituyen en la mejor opción de sus cadenas de abastecimiento. Por ejemplo, relativamente pequeñas empresas manufactureras de adornos de navidad en Colombia han importado lanas y fibras de Turquía para la fabricación de ciertos productos. Igualmente, la exportación de flores de Colombia hacia Estados Unidos y Europa es una actividad que depende fundamentalmente del sistema de transporte aéreo utilizado, especialmente en los períodos pico de demanda. Se recomienda al lector visitar la página web http://www.proexport.gov.co/VBeContent/home.asp?language=SP&idcompany=16 para información extensa especialmente sobre las exportaciones de Colombia. Por otra parte, un sistema de transporte eficiente puede producir economías de escala, es decir, que entre mayor cantidad de productos se transporten, menor es el costo unitario del flete o costo de transporte. Muchas organizaciones hacen uso de estas economías de escala para reducir indirectamente los precios de los productos y eventualmente mejorar su competitividad. Por supuesto, que al transportar una mayor cantidad de productos, es muy probable que se incremente el nivel promedio de los inventarios y, por lo tanto, debe analizarse los ahorros en transporte por economías de escala en contraste con los incrementos de costos de mantenimiento de los inventarios.

9.2

TIPOS DE SISTEMAS DE TRANSPORTE

Transporte de carga y transporte de pasajeros Cuando hablamos de ‗transporte‘ debemos tener claro a qué exactamente nos estamos refiriendo. En primer lugar, en este texto hablamos casi exclusivamente de los sistemas de transporte de carga. Sin embargo, no debe desconocerse que los sistemas de transporte de pasajeros, especialmente a nivel urbano, afectan y son afectados por las actividades de logística de una ciudad. Es por ello que actualmente están en boga los temas de movilidad en las ciudades y la logística sostenible. Sólo del tema de movilidad urbana y de su relación con el transporte de distribución en las ciudades, se podría escribir un libro. Extensos estudios actuales abordan estos temas, los cuales serán considerados dentro del contexto de este capítulo. Por ejemplo, recientemente se llevó a cabo el 15º Encuentro Internacional de Gerentes de Logística, evento organizado por la ANDI y realizado en julio de 2009. La temática del evento giró en torno a la Política Nacional de Logística en Colombia (Documento CONPES 3547 del 27 de octubre de 2008) y al desarrollo integral de ciudades competitivas sostenibles. Dentro de este evento, Antún (2009) realizó una presentación sobre ocho posibles estrategias de logística urbana en la ciudad de México. Estas estrategias comprenden:  La reducción de inventarios mediante la consolidación de centros de distribución y un conjunto de centros de carga de pedidos (cross-docking)  Desarrollo de alternativas innovadoras para el procesamiento de pedidos y atención a clientes  Procesamiento de pedidos por lotes y limitación a la dispersión de entregas en comercio electrónico (transporte de la última milla)

354


 Desarrollo de procesos y operaciones de logística reversiva para satisfacer políticas públicas de reciclaje  Introducción de innovaciones en tecnología de información en logística  Innovación en la tecnología de vehículos de transporte de carga  Tercerización mediante operadores logísticos con flotas dedicadas  Preferencias para la utilización de centros o parques logísticos Aunque la mayoría de las anteriores alternativas están relacionadas con el transporte de carga, es evidente que interactúan con los sistemas de transporte de pasajeros de las ciudades y que, como tal y de acuerdo con nuestro Enfoque de Sistemas, debemos tenerlos en cuenta. En otros ejemplos, es interesante notar que actualmente hay soluciones para la movilidad en las zonas céntricas de las ciudades, a través de múltiples estrategias y de la peatonalización y el ingreso programado de vehículos de carga. Puede consultarse también un caso muy interesante en la ciudad de Curitiba, Brasil [Duarte, F. (2008)]. Para consultar esta y otras presentaciones realizadas en el evento mencionado y en eventos de años anteriores, puede visitarse la página http://www.andi.com.co/ en la Seccional Valle del Cauca. El tipo de transporte relacionado con la logística Dentro de la logística, existen diversos tipos de transporte, de acuerdo con el origen y el destino y los eslabones de la cadena donde se lleva a cabo. Estos tipos de transporte son: El transporte de materiales, el transporte interno o de entrada, el transporte externo o de salida y el transporte internacional. El transporte de materiales ocurre al interior de una instalación y puede ser por ejemplo entre una bodega de materia prima y una planta manufacturera contigua. Es también el transporte que ocurre al interior de un centro de distribución, como por ejemplo entre la zona de reserva y la zona de recolección de órdenes (picking). El transporte interno de materias primas es objeto de estudio del área de producción y no se profundizará aquí en él. El transporte dentro de un centro de distribución se trata en los Capítulos 7 y 8. El transporte interno, primario, de entrada (inbound transportation) ó transporte tipo I es el que ocurre entre una planta o proveedor y el centro de distribución o bodega. Es un transporte que generalmente se realiza en grandes camiones y usualmente con cargas completas. El transporte externo, de salida (outbound transportation), transporte tipo II o de distribución es el que ocurre entre las bodegas o centros de distribución y los detallistas (retaliers) y/o clientes finales. En este tipo de transporte de distribución se utilizan generalmente vehículos más pequeños con cargas diversas, los cuales llegan hasta el más pequeño cliente, como por ejemplo las tiendas de barrio del canal tradicional. Es muy importante contrastar los dos tipos de transporte anteriores, el primario y el de distribución, desde diferentes puntos de vista. La Tabla 9.1 ilustra algunos aspectos a tener en cuenta, tanto los ya mencionados como algunos adicionales.


355

Tabla 9.1. Comparación entre el transporte primario o entrando y el transporte saliendo o de distribución TRANSPORTE ENTRANDO (INBOUND) ó TIPO I Generalmente son grandes cantidades en camiones completos

TRANSPORTE SALIENDO (OUTBOUND) ó TIPO II Generalmente son cantidades moderadas en camiones pequeños

Las decisiones tienden a ser estratégicas

Las decisiones tienden a ser tácticas y operacionales

El nivel de respuesta es menos exigente

El nivel de respuesta es crítico

El personal no interactúa con los clientes

El personal se convierte en la fuerza de ventas, interactúa con los clientes y recolecta dinero

La interacción con el sistema de La interacción con el sistema de almacenamiento es menos almacenamiento es más crítica crítica

En el transporte entrando, las decisiones tienden a ser estratégicas, en el sentido que importa más la localización, por ejemplo, de la bodega para minimizar los costos totales de logística. En el transporte de distribución las decisiones tienen mucho más que ver con la parte operativa, por ejemplo con el ruteo y la programación de vehículos. Dado que el transporte de distribución es el que le llega al cliente, puede ser más crítico lo que tiene que ver con el nivel de respuesta en este caso, aunque este factor puede ser discutible. Un aspecto fundamental es el hecho que en el transporte de distribución, el operador (conductor) es quien tiene el contacto con el cliente, entrega el producto y, casi siempre, recoge el dinero en la cadena. Por este motivo, en el transporte de distribución es fundamental la formación del personal, puesto que éste es la imagen de la empresa ante el cliente. En cuanto a la interacción entre el sistema de transporte y el de almacenamiento, esta es más crítica en este último. Por ejemplo, en nuestras ciudades existen las denominadas ‗zonas rojas‘, donde hay un gran riesgo de siniestros y de robos cuando se realiza la distribución, llegándose incluso a la utilización de escoltas para poder llegar a ciertos lugares. En estos casos, es clave que el tiempo que el vehículo permanezca en la zona de riesgo sea el menor posible. Esto puede lograrse si la recolección de las órdenes se realiza en el centro de distribución y se diseña la forma adecuada de cargar el vehículo, de acuerdo con su ruta específica. De esta forma, la orden no se recoge dentro del vehículo sino que llega lista para ser entregada al cliente, ganándose un tiempo precioso que minimiza los riesgos. Existen otros posibles factores que diferencian los dos tipos de transporte, como son las diferencias entre los sistemas de información y el impacto ambiental. En el transporte de distribución, el impacto ambiental puede ser mucho mayor, ya que se trata de muchos vehículos pequeños, recorriendo calles congestionadas, parando y arrancando frecuentemente y emitiendo grandes cantidades de CO2. En el transporte primario, los vehículos son más grandes y por lo tanto son menores en número, y su recorrido tiene generalmente una gran componente rural y por carreteras, en las cuales pueden ser mucho más eficientes. Respecto de los sistemas de información, el sistema de distribución es mucho más exigente por cuanto puede llegar a requerirse de software especializado para el diseño adecuado de las rutas y de


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tecnologías de información modernas, como por ejemplo el ruteo dinámico y las técnicas de rastreo de vehículos en tiempo real. Esto por supuesto reduce las distancias totales recorridas, minimiza costos y reduce significativamente el impacto ambiental mencionado anteriormente. Cualquier modo de

EXW FCA Transporte CPT Incluyendo CIP Intermodal DAF DDU DDP Transporte Aereo FCA Transp. Ferreo FCA Transp. Marítimo FAS ó Fluvial FOB CFR CIF DES DEQ

Ex Works (… nombre del lugar) Free Carrier (… nombre del lugar ) Carriage Paid To (… nombre lugar de destino) Carriage and Insurance Paid To (… nombre lugar destino) Delivered at Frontier (… nombre lugar) Delivered Duty Unpaid (… nombre lugar destino) Delivered Duty Paid (… nombre lugar destino) Free Carrier (… nombre lugar) Free Carrier (… nombre del lugar) Free Alongside Ship (… nombre puerto despacho) Free On Board (… nombre puerto despacho) Cost and Freight (… nombre puerto destino) Cost, Insurance and Freight (… nombre puerto destino) Delivered Ex Ship (… nombre puerto destino) Delivered Ex Quay (… nombre puerto destino)

Figura 9.2. Resumen de INCOTERMS 2000 [Fuente: Con base en http://www.iccwbo.org/incoterms/wallchart/wallchart.pdf, consultada en Agosto de 2009]

El transporte internacional es el que se realiza entre varios países y proveedores globales y generalmente es transporte primario de importación o de exportación. Está enmarcado dentro de los términos de la transacción internacional que se realice, conocidos como INCOTERMS (INternational COmmercial TERMS ó Términos de Comercio Internacional). Los INCOTERMS definen las obligaciones, costos y riesgos entre el vendedor y el comprador en una transacción internacional, considerando los diversos modos de transporte disponibles. Los costos de una transacción comercial internacional pueden llegar a tener múltiples componentes, como por ejemplo:          

Empaque para exportación Transporte terrestre Cargos en puertos y terminales Cargos de intermediarios Cargos consulares Cargue en el barco o avión Flete marítimo o aéreo Seguro de la carga Aranceles de importación Otros posibles


357

Una de las mejores fuentes de información sobre los INCOTERMS puede consultarse en http://www.iccwbo.org/incoterms/id3045/index.html, página web del International Chamber of Commerce (Cámara Internacional de Comercio), que es el ente encargado de elaborar y actualizar todo lo referente con los INCOTERMS. La versión actual de los INCOTERMS es la 2000. Un resumen de éstos se muestra en la Figura 9.2. Los dos extremos de los INCOTERMS son el EXW (EX Works) y el DDP (Delivered Duty Paid). En el primero, el comprador es responsable prácticamente de todo el proceso de la transacción. Aquí el vendedor minimiza su riesgo, ya que sólo es responsable de colocar el producto en la puerta de su planta y el comprador se encarga de todo el resto. Por el contrario, en el segundo, el vendedor es responsable de todo el proceso hasta que el producto llegue a la puerta del comprador. En este caso, todos los costos, riesgos y responsabilidades están a cargo del vendedor. Un ejemplo de este último ocurre cuando se compran por Internet computadores (www.dell.com) o libros (www.amazon.com), ya que el comprador simplemente pone la orden en la página web del vendedor y éste le hace llegar el producto a la puerta de su casa. Algunos INCOTERMS intermedios muy conocidos son el FOB (Free on Board) y el CIF (Cost, Insurance and Freight), donde se especifica el lugar (Por ejemplo, FOB Miami ó CIF Buenaventura). En el FOB, el vendedor es responsable del transporte hasta el puerto de origen acordado, pero transfiere los riesgos y costos al comprador cuando el producto ha sido puesto sobre el buque en el puerto de origen. En contraste, en el CIF, el transporte y los seguros son pagados por el vendedor; el riesgo se transfiere al comprador cuando el producto está sobre el buque en el puerto de origen y los costos sólo se transfieren al comprador en el puerto de destino. Otra página que trae buena información sobre los INCOTERMS es la siguiente: http://www.proexport.gov.co/VBeContent/NewsDetail.asp?ID=1368&IDCompany=16 .

La visión del generador de carga y del transportador Otro aspecto de interés dentro del tema de transporte está relacionado con los dos puntos de vista del sistema de transporte. Primero, está la visión del generador de carga. El generador de carga es el actor de la cadena que necesita que se le transporte cierta cantidad de productos entre ciertos orígenes y ciertos destinos, como por ejemplo un productor. El transportador o transportista es quien tiene los recursos, los equipos y la capacidad de transportar dicha carga. El problema radica en que muchas veces estos dos componentes de la cadena tienen objetivos encontrados. El generador de carga utiliza los sistemas de transporte y busca minimizar el costo total de logística compuesto por los costos de transporte, almacenamiento e inventarios, instalaciones, procesamiento de órdenes y costos de nivel de servicio e información. Además, el generador considera el nivel de respuesta de la cadena y de los sistemas de transporte como parte integral de su proceso decisorio. En contraste, el transportador invierte en infraestructura y equipos de transporte y pretende maximizar el retorno neto sobre la inversión en dichos activos. En general, el transportador debe considerar las siguientes categorías de costos:  Costos relacionados con la adquisición de los vehículos (compra y alquiler de infraestructura de transporte).  Costos fijos de operación, tales como los costos de terminales, talleres y mano de obra fija.

358


 Costos que dependen de la longitud y naturaleza del viaje, tales como mano de obra, combustible, repuestos y desgaste de los vehículos  Costos que dependen del tamaño de envío, tales como cargue y descargue y cierta proporción del costo de combustible.  Algunos costos indirectos (overhead), tales como costos de planeación y programación de la red de transporte, así como las inversiones en tecnología de información. El transportador considera igualmente el nivel de respuesta que es capaz de proporcionarle a su cliente, el generador de carga. En ocasiones, el generador de carga y el transportador son la misma persona y decimos que el generador posee flota propia de transporte. Frecuentemente se puede poseer un sistema de transporte híbrido, en el cual el generador de carga transporta por sí mismo ciertos productos o bajo ciertas condiciones y terceriza el transporte de otros productos o con otras condiciones. La decisión sobre tener flota propia, transporte tercerizado o flota híbrida siempre ha estado en el corazón de la logística y en realidad forma parte de las decisiones estratégicas de la cadena de abastecimiento. Cualitativamente, se puede justificar tener transporte propio cuando se tienen altos volúmenes de carga y se requiere transportarlos en forma muy frecuente, de tal forma que la flota disponible se utilice en alto porcentaje. Igualmente, se justifica el transporte propio cuando se requiere de condiciones especiales para realizar el transporte de carga. Por ejemplo, algunos distribuidores de combustible tercerizan el transporte de gasolina para automotores, pero conservan su flota propia para productos especiales de alto riesgo como el combustible para aviones. Otra justificación del transporte propio se da cuando se desea el máximo nivel de servicio y respuesta, la máxima confiabilidad y disponibilidad del servicio en cualquier instante. Estas últimas condiciones, sin embargo, pueden obtenerse de la oferta actual de operadores logísticos, dado el alto grado de especialización que han logrado y por ello consideramos que hoy en día no son tan influyentes en la decisión. La decisión final debe tomarse, por supuesto, con base en elementos económicos, mediante el análisis de las alternativas de decisión que se tengan. En muchas ocasiones he observado en Colombia y en varios países de América Latina que se utiliza flota híbrida. Por ejemplo, un caso común es el de utilizar la flota propia para distancias cortas, muy frecuentes y que permitan tener una alta utilización de la flota disponible. En estos casos se tercerizan aquellos transportes para largas distancias y clientes con menor demanda y de menor frecuencia, los cuales resultaría muy costoso atender con la flota propia. El tercero puede hacerlo a un precio razonable debido a que consolida órdenes de otros clientes y puede así utilizar su flota eficientemente. Algunos autores, como Antún (2009), sugieren que el proceso de tercerización es irreversible y que va en aumento cada día. Por ejemplo, muestran estadísticas de que la tercerización en Brasil alcanza el 35% y en Argentina el 30%. Antún presenta como causas de tercerización las siguientes:  El aumento de facturación en ambientes de alta competencia y la necesidad de dedicarse a la razón de ser de la empresa, o sea a sus capacidades competitivas fundamentales.  La ampliación de la cobertura geográfica del mercado de las empresas y su necesidad de mantener un nivel de servicio uniforme e incluso de mejorarlo.


359

     

La reducción del ciclo de vida de los productos. La mayor variedad de productos y la segmentación del mercado. La ampliación de la oferta de productos de terceros que tienen la marca propia. La aparición de otras formas de mercadeo como las televentas y el comercio electrónico. La necesidad de tener una distribución física capilar, llegando hasta el último cliente. La opción de disponer de herramientas tecnológicas avanzadas de transporte, posiblemente injustificables para transporte propio.  La utilización de la logística como herramienta competitiva. Actualmente, la tercerización se puede dar de diversas formas. La más sencilla es la contratación de un operador logístico que realice el transporte primario y de distribución de los productos. En otras ocasiones, el operador logístico puede disponer de instalaciones de almacenamiento dedicadas, con los cuales se pueden suscribir alianzas estratégicas. Estos operadores se denominan 3PLs (Third Party Logistics) y pueden tener vehículos especializados, como por ejemplo transporte refrigerado y soluciones especializadas de distribución como plataformas de cross-docking y vehículos muy pequeños para distribución capilar. Hoy en día, se ofrecen otros servicios que agregan valor adicional, no sólo para transporte y almacenamiento, sino por ejemplo para realizar un verdadero control de inventarios e incluso el rediseño de la cadena de abastecimiento. En otras palabras, estos terceros pueden proponer soluciones para la cadena de abastecimiento en forma integral. Estos últimos se les ha dado el nombre de 4PLs (Fourth Party Logistics). Antún (2009) reporta que las empresas que han decidido tercerizar algunas de sus operaciones logísticas, entre ellas el transporte, reportan muchos beneficios, entre ellos la mejora de la rentabilidad de los activos disponibles y en la gestión del sistema logístico, la concentración de la empresa en sus capacidades fundamentales, el aprovechamiento de las capacidades de los terceros, la depuración de los costos de logística y la mejora de la productividad en general. Por este motivo, siempre es recomendable analizar la opción de tercerización del transporte y de otras actividades de la logística.

9.3

LOS DIVERSOS MODOS DE TRANSPORTE

En esta sección nos dedicamos a presentar las principales características de los diversos modos de transporte, tanto a nivel general, como las particularidades de los mismos en nuestro medio. Los principales modos de transporte son los siguientes:        

Marítimo Fluvial Aéreo Por carretera Férreo Por tubería Electrónico Multimodal (combinación de dos o más de los anteriores)

360


En general, por agua se mueve alrededor del 50% en unidades monetarias de la carga mundial y el 99% en peso. Por aire, se mueve alrededor del 21% de la carga mundial en unidades monetarias y el resto por camión, tren y tubería. Ballou (2004, p. 176) presenta algunas características de los diversos modos de transporte (Tabla 9.2). Tabla 9.2. Algunas características de los diversos modos de transporte COSTO TIEMPO VARIABILIDAD PÉRDIDAS MODO 1 = Más alto PROMEDIO ABSOLUTA Y DAÑOS 1 = Más (RELATIVA) 1 = Menores rápido 1 = La menor Tren 3 3 4 (3) 5 Camión 2 2 3 (2) 4 Océano 5 5 5 (4) 2 Tubería 4 4 2 (1) 1 Aire 1 1 1 (5) 3 Fuente: Ballou (2004), pág. 176.

El costo o flete del modo de transporte está directamente relacionado con la velocidad o con el tiempo de tránsito del modo. Por este motivo, obsérvese que las columnas de costo y de tiempo promedio son iguales. El modo tradicional más rápido es el transporte aéreo y el más lento el transporte marítimo, pero a su vez el primero presenta los fletes más altos y el segundo los más bajos. El modo de transporte electrónico (no mostrado en la tabla) lo hemos bautizado así debido a que actualmente muchas cosas se pueden comprar por Internet y se reciben de forma inmediata al descargar ciertos archivos, como por ejemplo libros, música, videos, software, entre otros posibles. Igualmente, hoy en día ya no es necesario comprar tarjetas prepago para servicios de telefonía celular, sino que se compra un código en una caja de un supermercado o incluso se recarga directamente en línea, con un tiempo de reposición prácticamente igual a cero. La Tabla 9.2 muestra también la columna de variabilidad absoluta y relativa del tiempo de tránsito de cada modo de transporte. El modo aéreo presenta el tiempo promedio de tránsito menor, al igual que la variabilidad absoluta, en contraste con el modo marítimo. Por ejemplo, un tiempo total de reposición por modo aéreo puede ser de 3 días, con una desviación absoluta de 1 día, mientras que por el modo marítimo podemos tener casos de 30 días de tiempo promedio de tránsito con 3 días de desviación absoluta. Así, la desviación absoluta es mayor en el modo marítimo. Sin embargo, si calculamos la desviación relativa con respecto del promedio, tendríamos 1 día / 3 días = 33.33% para el modo aéreo y 3 días / 30 días = 10.00% para el modo marítimo. La pregunta interesante que surge es, ¿cuál es la variabilidad que siente el cliente? La respuesta, aunque relativa, es que puede ser peor 1 día de 3 en el modo aéreo que 3 días de 30 para el modo marítimo. Los inventarios, sin embargo, como se estudió en los capítulos anteriores, se calculan con base en la variabilidad absoluta y en el tiempo promedio, con lo cual el modo aéreo es más conveniente desde este punto de vista. Con respecto a los daños en tránsito, el modo que tradicionalmente presenta la mayor incidencia es el férreo y los de menor el de tubería y el marítimo. Por otra parte, la Figura 9.3 muestra la tendencia que existe entre el valor de los fletes y la velocidad y la confiabilidad de los diversos modos de transporte. Esta figura refuerza las ideas expresadas anteriormente y muestra alguna diferenciación dentro de algunos modos. Así, el contenedor parcial es un


361

modo de transporte generalmente marítimo, en el cual se comparte un contenedor con otros clientes del transportador. Por este motivo, es un modo muy lento, debido a las actividades de documentación, cargue y descargue. El modo marítimo de que trata la figura se entiende generalmente por contenedores completos de un mismo cliente, con lo cual se simplifican las actividades mencionadas. Análogamente, el modo por camión se diferencia si se tiene un camión completo o un camión parcial, donde también se comparte el recurso de transporte con otros clientes y por ello es un modo más lento y de menor confiabilidad. ALTO

Camión completo

Aéreo

Camión parcial

PRECIO

Modo férreo Marítimo

Contenedor parcial BAJO

BAJAS

ALTAS

VELOCIDAD Y CONFIABILIDAD Figura 9.3. Variación del precio del servicio de transporte (fletes) con respecto de la velocidad y confiabilidad del servicio

Entre el modo de transporte aéreo y el modo de transporte marítimo existe una cierta competencia de pertinencia que depende de cada producto a ser transportado. La Tabla 9.3 ilustra algunos ejemplos de productos que definitivamente deben ser transportados por modo marítimo y de otros que es más conveniente su transporte por modo aéreo. Tabla 9.3. Pertinencia del modo marítimo o del modo aéreo en función del valor del producto y de su densidad

362


En la tabla se presenta en el eje vertical el valor del producto y en el eje horizontal la densidad del mismo. La esquina superior izquierda de la tabla corresponde a productos de bajo valor y baja densidad, para los cuales es indudable que su modo de transporte primordial y casi único debe ser el marítimo. Por ejemplo, granos, urea, azúcar, carbón, muebles, etc. requieren de transporte marítimo dado su alto porcentaje del costo de transporte con respecto al valor del producto (por ejemplo, en materia prima básica como carbón y arena puede llegar a ser el 50% del valor del producto). La esquina inferior derecha de la tabla ilustra productos de alto valor y alta densidad para los cuales es justificable tener transporte aéreo. Dentro de estos encontramos joyas, cosméticos, medicamentos, flores y varios productos electrónicos. Para muchos de estos productos el costo de transporte puede tan sólo alcanzar el 1% del valor del producto. El problema de decisión interesante se genera en las dos secciones restantes de la tabla. Para productos de alto valor y baja densidad, como confecciones y zapatos, muchas veces es justificable el transporte aéreo, especialmente para las primeras donde el tiempo de tránsito es crucial para cumplir con las expectativas de mercadeo de una nueva colección. Como ejemplo, Benetton utiliza transporte aéreo para las nuevas colecciones de ropa. Para productos de bajo valor y alta densidad, como pueden ser los libros y los periódicos, puede ser recomendable en algunos casos el transporte aéreo, especialmente si se trata de material impreso de alto impacto en los mercados, como algunas novelas que se lanzan a nivel mundial. De una u otra forma, lo que realmente determina el modo de transporte a utilizar es el análisis económico, el cual se presenta en la Sección 10.2. Otros aspectos importantes a considerar en los modos de transporte dependen de otros factores como la ‗facilidad de llenado‘ (stowability), la dificultad de manejo y los productos riesgosos de transportar, tales como explosivos, inflamables, químicos peligrosos, corrosivos, entre otros (HAZMAT, del inglés Hazardous Materials). La facilidad de llenado se refiere a las propiedades que tiene el producto de ocupar el volumen disponible del modo de transporte. Por ejemplo, los graneles líquidos y los sólidos como el azúcar pueden llenar completamente los recipientes donde son transportados, mientras que otros productos como los muebles dejan grandes espacios de aire debido a su geometría. Obviamente, los primeros pueden transportarse más eficientemente al utilizar mejor el recurso de volumen de los recipientes. La dificultad de manejo, como en el caso de cargas extragrandes, hace que su transporte sea mucho más difícil y costoso y en muchos casos altamente especializado. Los productos peligrosos tienen incluso sus propias regulaciones de transporte en cada país y a nivel internacional. Por ejemplo, en Colombia existe el Decreto 1609 de julio de 2002, por el cual se reglamenta el transporte el manejo y transporte terrestre automotor de mercancías peligrosas por carretera. Este decreto puede consultarse en línea en http://www.mintransporte.gov.co/Servicios/Normas/home.asp. El transporte de productos perecederos tiene también sus propias características. Generalmente hablamos de la ‗cadena de frío‘ del producto, donde se supone que en ningún momento del transporte y almacenamiento el producto puede salirse de los límites de temperatura, humedad y otras posibles condiciones para que se preserven sus condiciones de calidad. Los principales aspectos a tener en cuenta para el transporte de productos perecederos son los siguientes:  Destino del producto


        

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Valor del producto Que tan perecedero es el producto Cantidad del producto a transportarse Temperatura de almacenamiento y humedad relativa recomendadas Condiciones de la temperatura exterior en los puntos de origen y destino Tiempo en tránsito para llegar al destino por aire, tierra, o mar Tarifas de flete negociadas con los transportistas o calidad del servicio de transporte Disponibilidad del servicio Protección del producto cuando no se utilizan contenedores refrigerados y los vuelos se tardan

A continuación se presentan las características de cada uno de los modos de transporte. Aunque de ningún modo esta presentación es exhaustiva, ella muestra los principales elementos de cada modo y la situación actual del mismo en Colombia. Para esta última información nos hemos basado principalmente en el documento del Ministerio de Transporte de Colombia, Oficina Asesora de Planeación, denominado Diagnóstico del Sector Transporte 2008, publicado en diciembre de 2008. 9.3.1. Modo de transporte terrestre por carretera El transporte terrestre por carretera es ampliamente utilizado en todo el mundo, tanto para el transporte doméstico de mercancías como para el transporte internacional a través de puestos de frontera. Por ejemplo, de acuerdo con Praselj (2006), alrededor del 70% de las exportaciones de Colombia a Venezuela en volumen y el 73% en valor se realizan por vía terrestre. Características de los principales tipos de camiones en Colombia En Colombia, las características de los tipos de camiones que circulan por las carreteras y sus límites de peso están regulados por la Resolución No. 004100 del 28 de diciembre de 2004 (disponible en http://www.mintransporte.gov.co/servicios/normas/archivo/Resolucion_4100_2004.pdf ). Las Figuras 9.4 a 9.6 muestran los principales tipos de camiones que circulan por las carreteras de Colombia, con su respectiva designación y descripción. La designación de cada tipo de camión corresponde al número de ejes del mismo. Cuando el camión tiene semirremolque, entonces su designación combina el número de ejes del cabezote y el número de ejes del remolque. Por ejemplo, la denominación 2S3 (Figura 9.5) significa que el cabezote tiene dos ejes y el semirremolque tiene tres ejes. La designación de los camiones de Figura 9.6 es semejante, sólo que en este caso se trata de remolques y su denominación cambia a la letra ‗R‘. Existe otro tipo de remolques que no se muestran en este texto, denominados remolque balancín y se identifican con la letra ‗B‘, y que pueden ser apreciados en el decreto.

364


Figura 9.4. Principales tipos de camiones en Colombia (1) [Fuente: Decreto No. 004100 de Dic. 28/2004 – Ministerio de Transporte de Colombia]




Tabla 9.4. Límites del peso bruto vehicular para los camiones que circulan en Colombia [Fuente: Decreto No. 004100 de Dic. 28/2004 – Ministerio de Transporte de Colombia]

365

366


Tabla 9.4. Límites del peso bruto vehicular para los camiones que circulan en Colombia (cont.)

La capacidad o peso bruto vehicular está dada en el mismo decreto y se muestra en la Tabla 9.4. El peso bruto vehicular incluye el peso del cabezote, del remolque o semirremolque y de la carga correspondiente. Nótese que existe cierta tolerancia positiva, lo cual no se daba en las reglamentaciones anteriores. Algo importante es que actualmente se tiene límite de peso por eje, adicional al límite de peso total (Tabla 9.5). Tabla 9.5. Peso máximo por eje para los camiones que circulan en Colombia [Fuente: Decreto No. 004100 de Dic. 28/2004 – Ministerio de Transporte de Colombia]


367

Costos de transporte por carretera Los costos de transporte o fletes por carretera son muy variables y dependen de un gran número de factores. Por ejemplo, en Estados Unidos, los fletes pueden depender del origen y destino, de la cantidad transportada en peso, de su volumen o de ambos. La variación de los fletes respecto de cada uno de estos factores no es clara y puede ocurrir, por ejemplo, que el costo unitario de transporte por kg sea menor para una distancia mayor que para una distancia más corta. El problema radica en que en la mayoría de las ocasiones, cargas de diferente peso, volumen y naturaleza pueden ir en el mismo camión y no está definido cómo asignar los fletes a un envío en particular. Además, casi siempre los fletes varían en forma no-lineal con la distancia y con el tamaño del envío y las funciones que los representan no son continuas. Ballou (2004, pp. 184-212) dedica gran parte de un capítulo a explicar las características de los fletes en Estados Unidos para los diversos modos de transporte. En el caso de Colombia existe aún una situación muy particular, pues el Ministerio de Transporte fija los precios mínimos en $/ton que deben cobrar los transportadores entre cada par de ciudades principales. Esto se publica por decreto cada año y corresponde a la conocida ‗Tabla de Fletes‘. La tabla de fletes vigente, en $/ton, se muestra en la Figura 9.7. La principal crítica que se le hace a la tabla de fletes es que no está diseñada con base en el desempeño y eficiencia del transportador y, al ser un límite inferior sobre el flete, impide la libre competencia y la posibilidad de tener tarifas más bajas.


368

Tarifas por tonelada en pesos (COL $) DESTINO ORIGEN ARMENIA

ARM ENIA

-

B/ QUILLA

120,545

BOGOTA B/ M ANGA

C/ GENA

CUCUTA

DUITAM A

IBAGUE

IP IALES

M / ZALES

YOP AL

TUM ACO

64,778

88,772

B/ TURA

50,991

CALI

38,591

118,875

116,047

80,877

36,123

101,196

30,617

M / LLIN

62,818

NEIVA

50,612

P ASTO

86,952

P EREIRA P OP AYAN

26,342

53,135

S.M ARTA V/ CENCIO

123,000

85,159

187,208

108,711

139,188

102,476

152,105

154,875

37,873

115,863

134,948

144,431

178,108

132,927

110,962

157,292

172,812

138,200

163,080

28,668

159,269

170,020

191,886

B/QUILLA

131,255

-

BOGOTA

58,359

91,366

-

64,929

76,629

74,583

91,366

86,551

38,951

44,431

134,973

67,470

69,939

55,466

124,233

65,541

89,183

91,336

43,639

60,028

144,996

B/MANGA

90,541

79,727

79,882

-

120,225

113,606

89,528

46,755

76,105

81,078

168,129

91,050

96,886

101,778

157,696

89,299

131,339

77,276

100,101

110,259

172,359

B/VENTURA

55,169

155,854

102,952

123,224

-

43,875

153,740

150,847

113,375

75,745

102,224

62,886

95,775

95,938

91,355

58,853

58,290

157,004

114,737

133,694

119,789

CALI

39,458

133,706

83,134

114,100

43,875

-

133,706

141,033

100,414

60,659

80,175

53,136

75,908

76,024

69,707

44,259

39,382

141,121

101,862

121,055

117,113

C/GENA

133,694

33,741

142,975

105,446

159,912

152,334

-

121,762

137,994

134,843

176,983

127,221

106,805

152,517

171,997

127,221

166,596

40,007

165,203

172,959

191,886

CUCUTA

111,819

89,054

95,660

48,686

135,524

133,706

96,570

-

94,865

101,778

176,984

109,128

112,276

111,601

161,659

111,077

143,039

86,551

113,895

127,778

175,266

DUITAMA

82,603

91,366

41,459

62,360

98,947

94,365

101,644

94,365

-

65,683

153,059

83,343

95,217

81,142

142,262

83,343

106,590

99,074

60,432

45,560

156,401

IBAGUE

47,493

114,487

45,991

80,974

62,907

57,067

111,601

105,343

66,094

-

111,614

56,361

73,630

39,824

109,520

51,326

83,937

111,458

59,736

87,324

139,635

IPIALES

96,506

184,238

134,973

160,899

97,326

82,965

184,238

179,489

133,783

111,257

110,429

132,504

113,153

28,575

97,611

79,034

191,886

152,921

163,370

65,975

M/ZALES

40,948

109,865

79,821

92,411

56,638

51,652

107,261

113,254

88,797

56,528

110,891

-

52,139

83,660

99,138

40,948

70,172

113,361

88,199

110,878

118,789

MEDELLIN

54,676

76,532

73,172

80,208

72,098

65,652

74,923

110,671

85,151

73,630

115,487

53,502

52,139

84,947

113,932

53,750

74,025

77,321

93,512

125,164

131,992

NEIVA

66,700

135,524

63,116

101,310

81,078

69,604

135,524

131,345

84,301

41,459

117,636

74,114

84,105

-

110,175

62,326

95,515

129,852

72,565

98,184

148,050

PASTO

85,407

168,859

121,886

143,596

86,317

74,222

172,359

161,649

127,585

105,572

27,849

96,752

117,113

110,143

-

91,007

70,172

179,682

137,175

154,554

75,287

PEREIRA

35,863

116,404

76,848

91,547

54,422

42,037

113,932

122,192

88,797

57,090

106,754

37,873

58,451

77,668

91,283

-

66,562

122,442

92,068

111,386

139,840

S.MARTA

140,149

32,109

132,770

95,625

151,010

149,653

40,007

113,754

126,932

135,056

172,359

132,572

116,704

153,459

167,479

141,480

160,676

152,659

167,748

195,152

V/CENCIO

70,122

115,935

43,639

78,357

86,551

87,992

115,935

93,149

56,099

58,076

146,066

72,240

90,692

73,869

137,403

78,632

96,506

75,745

167,479

-

Figura 9.7. Tabla de fletes en Colombia 2008 [Fuente: Decreto No. 2663 de Jul. 21/2008 – Ministerio de Transporte de Colombia]

112,980

-


369

Nótese que la tabla de fletes no es simétrica. Por ejemplo, entre Cali y Bogotá el valor por tonelada es de $83,134, mientras que de Bogotá a Cali es de 74,583 $/ton. La razón de esta diferencia es que el Valle del Cauca es el primer generador de carga del país, mientras que Bogotá es el que demanda más carga. Por lo tanto, este desequilibrio hace que sea difícil para el transportador conseguir carga de retorno desde Bogotá y así se le da más flexibilidad para fijar el flete de retorno y tratar de evitar que se devuelva con el vehículo vacío. El flete de servicios de paqueteo en Colombia difiere significativamente de la tabla de fletes y por supuesto funciona en forma diferente. Por ejemplo, al cotizar el envío de 20 cajas de 50 cm  30 cm  25 cm, cada una de 50 kg de peso (total = 1 tonelada), entre Barranquilla y Cali, por un producto valorado en $1,000,000, se obtiene un flete total de $530,000, el cual difiere significativamente del valor dado en la tabla de $154,875. Obviamente, la tabla es válida para carga general y carga suelta y los servicios de paqueteo son muy especializados y por ellos su costeo es diferente. Además recuérdese que la tabla fija límites inferiores. Muy recientemente, se ha establecido que la Tabla de Fletes será reemplazada por el Índice de Costos de Transporte de Carga, conocido como ICTC. Esta nueva metodología sería implantada en octubre de 2009. Una ventaja de esta nueva metodología será que tiene en cuenta la ruta en particular, ya que la tabla de fletes es muy general. Otra ventaja muy importante será que su actualización se llevará a cabo en forma mensual y no anual como se hace hasta la fecha con la tabla de fletes (consultado en agosto de 2009 en la página web de proexport http://www.proexport.gov.co/VBeContent/NewsDetail.asp?ID=10426&IDCompany=16 ). El estado del transporte de carga por carretera en Colombia El Ministerio de Transporte de Colombia publica periódicamente varios informes en los cuales se reportan las principales estadísticas del transporte en Colombia. Los siguientes datos, información y estadísticas fueron extractados o deducidos de los informes del Ministerio de Transporte de Colombia (2005, 2006a, 2006b y 2008):  El 74% de los 16,750 Km de vías de la red primaria está pavimentado. El 50% se encuentra en buen estado, el 28% en estado regular y el 22% en mal estado. La red secundaria y terciaria tiene alrededor de 147,500 km. Hay decenas de proyectos en ejecución o planeados para el mejoramiento de la infraestructura. (Fuente: INVÍAS, 2005).  Hasta 2005, el parque automotor de carga estaba conformado por un total de 193,568 vehículos, de los cuales el 83% son pequeños (2 ejes), el 11% son 3S, el 5% son de 3 ejes y el resto son de 4 ejes ó 4S.  La proporción en 2004 fue: vehículos públicos (109.6‘ ton = 93.2%); vehículos particulares (6.6‘ ton = 5.6%) y vehículos oficiales (1.4‘ ton = 1.2%). En 2005 estos porcentajes fueron 95.7%, 3.5% y 0.8%, respectivamente, observándose el incremento de la proporción de transporte en vehículos públicos.  Hasta 2004, el 25% de la carga se movía en vehículos de 10 años o menos; el 38% en vehículos entre 10 y 20 años; el 37% de la carga en vehículos de más de 20 años de vida. En 2005, estos porcentajes variaron a 29.7% (10 años o menos), 35.5% (entre 10 y 20 años y 34.8% (20 años o más), mostrando cierta renovación del parque automotor.  Existe una altísima concentración de la propiedad de los vehículos en personas naturales. El 90% de las empresas son propietarias de un solo vehículo.

370


 Cerca del 49% de los vehículos utilizan gasolina como combustible. Sin embargo, el 97.7% del total de la carga se mueve en vehículos diesel.  En 2004, la capacidad ofrecida fue de 189.4 millones de ton y la cantidad transportada fue de 117.6 millones de ton (62% de utilización). En 2005, las toneladas movilizadas fueron 139.7 millones, para un incremento del 18.8% con respecto de 2004. La oferta en 2005 fue de 195.7 millones de toneladas, es decir, un 71.4% de utilización, la cual mejora con respecto de 2004. Hay por lo tanto sobre-oferta de vehículos, muchas dificultades para conseguir carga de retorno y sobre-concentración de entregas al final del mes.  Los camiones de 2 ejes realizaron el 48% de los viajes totales y el 45% de los viajes cargados. Los camiones articulados de 3 ejes (3S2 y 3S3) realizaron el 39.6% del total de viajes y el 42% de los viajes cargados.  El porcentaje de viajes vacíos en 2004 fue del 29.6%.  El mayor generador de carga es el Valle del Cauca (23%) y el mayor receptor de carga es Bogotá (19.8%).  En 2004, el recorrido total fue de 3,450 millones de km, de los cuales el 34% corresponde a vehículos de 2 ejes y el 33% a vehículos tipo 3S3.  Un camión sencillo consume en promedio $1,270.40 por kilómetro, y los propietarios de estos vehículos asumen en promedio $3,194,019 por costos fijos al mes; un camión rígido de tres ejes tiene un consumo promedio de $1,460.30 por km y $5,809,009 por mes, mientras que los propietarios de tractocamiones asumen en promedio un costo de consumo por $2,255.60 por km y $6,183,336 por mes de costos fijos. Estas estadísticas muestran la sobreoferta de vehículos de carga en Colombia, el alto porcentaje de vehículos obsoletos, el grado de atomización de la propiedad, lo que dificulta la implementación de alternativas de contratación a largo plazo y los problemas de regulación. Este mismo diagnóstico es común en la mayoría de los países de América Latina. En países como Venezuela, por ejemplo, existen muchos problemas del estado de las vías, aún hay déficit de unidades nuevas, restricciones de circulación y siniestros [Praselj (2006)]. Lo importante de esta situación son las posibles soluciones que se han planteado en cada uno de los países. En Venezuela, por ejemplo, de acuerdo con Praselj (2006), se han propuesto las siguientes alternativas de solución:  Mejor comprensión y documentación del problema de transporte terrestre, a través de diversas encuestas.  Plan vial nacional: Mantenimiento de vías existentes, terminación de obras inconclusas y construcción de nuevas. Incluye mejoramiento en puertos.  Alianzas transportistas/usuarios para incrementar la oferta de camiones pesados y reducir viajes vacíos (Bolsas de carga).  Mejoramiento del parque automotor de carga (Flota pesada, exención del IVA).  Redefinición de vías y horarios de circulación. Administración de los peajes.  Adiestramiento y certificación de conductores.  Utilización de otros modos de transporte. Igualmente, en Colombia se han planteado otras posibilidades como son:


371

   

La capacitación del personal y mesas de conversación gana-gana. El sistema nacional de seguridad, el cual ha demostrado ser muy eficiente. La abolición de la tabla de fletes. Facilitar contratos de transporte a largo plazo y garantizar volúmenes de carga a 3-5 años, por ejemplo, para que se pueda invertir en flota y en IT de transporte.  Hacer análisis estratégicos de origen/destino y de centros de consolidación de carga, para tratar de aliviar el problema de la carga de retorno y reducir los viajes vacíos.  La chatarrización de los vehículos obsoletos.  ¿Qué se busca?  Calidad, confiabilidad y seguridad  Disponibilidad  El costo pasa a segundo plano y se convierte en la consecuencia de lo anterior Finalmente, es importante destacar que el Consejo Nacional de Política Económica y Social publicó recientemente el documento CONPES 3489, el cual plantea la política nacional de transporte público automotor de carga. Este documento fue publicado en octubre de 2007 y contiene fundamentalmente la estructura organizacional y las políticas y estrategias del sector. Algunas estadísticas de carreteras en Latino América Una estadística interesante para los países de América Latina es el indicador de No. de habitantes / km totales de carreteras. La Figura 9.8 muestra este indicador para los países de Centro y Sur América. Es claro que Colombia está en el punto medio del indicador, con países como Argentina, Chile y Costa Rica con un mejor valor de este indicador.

< 100 Hab/Km Entre 100 y 200 Hab/Km Entre 200 y 300 Hab/Km Entre 300 y 400 Hab/Km > 400 Hab/Km Sin datos disponibles

Figura 9.8. Estadísticas de No. de habitantes / km de carreteras totales en Centro y Sur América [Fuente: Construida con base en datos del Almanaque Mundial 2004, México]

372


Mas que el anterior indicador per se, es importante diferenciar entre km de carreteras y su estado actual. Ya vimos anteriormente que, de acuerdo con INVIAS (2005), el 22% de las carreteras primarias están en mal estado y el 28% en estado regular. Algo semejante ocurre con Venezuela, donde se dice que posee una de las mejores redes viales de América Latina, pero el estado de una gran parte de las carreteras es deficiente, al igual que el de un número considerable de puentes. Otro indicador que puede ser de interés es el de km pavimentados por km2 de área del país. Praselj (2006) manifiesta que se tienen estadísticas como 32.7 km asfaltados/1,000 Km2 en Venezuela, frente a 19.2 en Ecuador, 18.2 en Mercosur y Chile, 11.9 en Colombia, 7.8 en Perú y 2.7 en Bolivia. Por otra parte, este indicador muestra que en Venezuela hay 1.2 km asfaltados/1,000 habitantes, frente a 1.0 en Mercosur y Chile, 0.4 en Ecuador, Perú y Bolivia y 0.3 en Colombia. Muy probablemente, estos indicadores en Colombia van a mejorar significativamente dado el gran número y calidad de los proyectos de infraestructura de carreteras que se encuentran en marcha en el país. Localmente, en Colombia están en marcha múltiples proyectos de infraestructura vial a lo largo del país. Por ejemplo, el corredor logístico entre Buenaventura y Bogotá es uno de los más importantes del país y actualmente está siendo construida la doble calzada BugaBuenaventura, está en estudio la vía Mulaló-Loboguerrero y existen varios proyectos de ampliación de la capacidad total del puerto, en desarrollo o bajo análisis, como por ejemplo el Puerto Industrial Aguadulce (http://www.puertoaguadulce.com/), el Complejo Portuario Industrial de Buenaventura, el del delta del Río Dagua y Puerto Solo. [Ministerio de Transporte de Colombia (2006c)] 9.3.2. Modo de transporte férreo o por ferrocarril PAÍS

M/Habitante

Argentina

0.998

Brasil

0.169

Canadá

2.031

Colombia

0.079

Costa Rica

0.222

Chile

0.552

Ecuador

0.072

El Salvador

0.091

Estados Unidos

0.834

Guatemala

0.072

Honduras

0.141

México

0.301

Panamá

0.119

Perú

0.074

Uruguay

0.608

Venezuela

0.025

Figura 9.9. Estadísticas de metros de vía férrea / habitante para varios países de América [Fuente: Construida con base en datos del Almanaque Mundial 2004, México]


373

El modo de transporte férreo en América Latina no es el más desarrollado, con excepción de Argentina, Chile y Uruguay. En Colombia, por ejemplo, está en un estado incipiente. Para tener una idea comparativa, la Figura 9.9 ilustra el indicador de metros de vía férrea por habitante, para diversos países. De esta figura es claro que en Colombia el transporte férreo tiene un largo camino por recorrer. Este es un hecho desafortunado porque el modo férreo tiene un flete muy bajo y mediante él pueden transportarse grandes cantidades de materias primas y productos con una sola unidad (locomotora). Algunas comparaciones mencionan que una sola locomotora puede llevar lo que tendrían que transportar 30 tractomulas cargadas. No es el interés de este texto presentar un análisis histórico sobre las causas de esta situación en cuanto al transporte férreo. Un buen recuento puede encontrarse en el documento del Ministerio de Transporte (2008, pp. 72-73). Nos vamos a limitar entonces a presentar algunas estadísticas publicadas en dicho documento. Los ferrocarriles ocupan el segundo lugar como modo de transporte de carga en Colombia, obviamente si se cuenta el carbón. En efecto, para 2007 la carga transportada por vía férrea fue del 25.4% de la carga total del país, contando el carbón por el 99.2% de dicho porcentaje, con 52.8 millones de toneladas. El segundo producto transportado por tren fue cemento con 0.22 millones de toneladas. Otros productos que se mueven por tren son acero, chatarra, abonos y algunos granos. En el documento se manifiesta que en la línea férrea del Pacífico, que incluye las rutas entre Buenaventura y Zaragoza y entre Zarzal y La Tebaida, se está transportando pulpa e insumos de papel, azúcar, láminas, productos e insumos químicos, cemento, algunos repuestos, chatarra, maíz, tubería y carga general en contenedores. Colombia cuenta con 3,468 km de vías férreas de trocha angosta (914 mm), de los cuales 1,991 están en concesión, 1,327 se encuentran a cargo de INVIAS y 150 km son la red privada de El Cerrejón. La trocha angosta se ha considerado como un problema para la adecuación y renovación del transporte férreo en Colombia. El Ferrocarril del Oeste por ejemplo, opera actualmente el tren de carga en el Valle del Cauca y espera tener para finales de 2009 habilitada la infraestructura para ofrecer una capacidad de carga de 100,000 toneladas/mes. Actualmente este concesionario opera las líneas Buenaventura-Cali-Zarzal-La Tebaida (Figura 9.10).

Figura 9.10. Líneas de operación del TREN DE OCCIDENTE (en operación Buenaventura – Cali – Zarzal – Cartago – La Tebaida; en rehabilitación Cartago – La Felisa) [Fuente: Ministerio de Transporte de Colombia, Diagnóstico del Sector Transporte, 2008, p. 83]

374


La línea Cartago-La Felisa está actualmente en rehabilitación por el anterior concesionario, el Tren de Occidente (http://www.trendeoccidente.com/index.php), y cuando se concluyan las obras pasarán a formar parte de la operación del actual concesionario (Tomado de el periódico El País http://www.elpais.com.co/paisonline/notas/Septiembre042009/ferrocarril.html ). El Ferrocarril del Oeste está planeando la construcción de un apartadero férreo dentro del puerto de Buenaventura para poder cargar directamente los vagones en el puerto. Existen otras líneas férreas a lo largo del país, las cuales también se encuentran en proceso de rehabilitación y están sólo operando parcialmente. Realmente, el futuro del transporte férreo en Colombia es incierto y, mientras otros países como Australia transportan por ejemplo la caña de azúcar totalmente por modo férreo, en Colombia apenas estamos considerando y analizando dicha posibilidad. 9.3.3. Modo de transporte marítimo PUERTO Shanghai Singapur Rotterdam (Holanda) Hong Kong Los Angeles (USA) Long Beach (USA) Santos (Brasil) New York (USA) Buenos Aires (Argentina) Rio Grande (Brasil) Manzanillo (México) Veracruz (México) Callao (Perú) Colón (Panamá) San Antonio (Chile) Cartagena (Colombia) Buenaventura (Colombia) Altamira (México) Haina (Rep. Dominicana) Puerto Limón (Costa Rica) Puerto Cabello (Venezuela) Balboa (Panamá) Montevideo (Uruguay) Santa Marta (Colombia) Valparaíso (Chile) Puerto Cortés (Honduras) Puerto Quetzal (Guatemala) Guayaquil (Ecuador) Kingston (Jamaica) Acajutla (El Salvador) S. Tomás de Castilla (GUA) Barranquilla (Colombia) Caldera (Costa Rica) Puerto Barrios (Guatemala) Corinto (Nicaragua) Paita (Perú) Puerto Castilla (Honduras) La Guaira (Venezuela)

TEU TOTAL 2006 TON TOTAL 2006 21,720,000 537,000,000 24,792,400 448,503,900 9,690,052 378,185,000 23,230,000 238,000,000 8,469,853 181,600,000 7,290,365 85,000,000 2,855,480 76,297,193 5,092,806 31,194,421 1,624,077 27,741,696 712,907 22,539,334 1,150,621 20,355,957 679,000 17,655,163 938,119 14,727,698 1,946,986 13,616,653 673,000 12,262,913 711,529 11,105,245 622,233 10,814,110 366,000 10,724,250 269,747 10,062,080 765,672 9,347,300 844,952 9,060,116 988,583 8,773,708 519,218 8,729,036 N/D 8,724,876 613,889 7,971,266 507,980 7,396,849 262,434 7,170,104 603,693 6,541,357 2,150,408 6,297,705 124,331 5,965,300 333,816 4,623,400 98,683 3,641,948 63,109 2,982,700 213,098 1,818,900 46,088 1,659,540 101,400 1,014,309 85,714 834,800 341,846 654,942

Figura 9.11. Estadísticas de operaciones de importación y exportación de los principales puertos del mundo [Fuente: Construida con base en CEPAL: http://websie.eclac.cl/sisgen/ConsultaIntegrada.asp?idAplicacion=15&idTema=206&idIndicador=1044 (2009) y páginas web de varios puertos (Agosto 2007)]

Mediante el modo de transporte marítimo se mueve la mayor cantidad de carga en peso en el mundo. En general, por un puerto pueden pasar varios tipos de carga, a saber: Contenedores


375

de diverso tipo, carga suelta, graneles sólidos y graneles líquidos, entre otros posibles. Podríamos decir que el movimiento portuario es uno de los principales indicadores de las operaciones de comercio exterior de un país. A manera de comparación, la Figura 9.11 muestra las estadísticas de operación de algunos de los puertos más importantes del mundo durante 2006. La operación en un puerto se puede medir en toneladas totales que pasan por el puerto, tanto de importación como de exportación, donde se combinan todos los tipos de carga. También se pueden tener estadísticas solamente del movimiento de contenedores a través del puerto (TEU). Un TEU (Twenty-foot Equivalent Unit) es una unidad de medida equivalente a un contenedor de 20 pies de largo. Así, un contenedor de 40 pies de largo simplemente va a representar 2 TEUs. Para ilustración, los principales tipos de contenedores se muestran en la Figura 9.12. TIPO DE CONTENEDOR

UTILIZACIÓN

TAMAÑO

Carga seca normal Ej:

ESTÁNDAR

Bolsas,

ESTÁNDAR HIGH

Cargas voluminosas.

CUBE 40’

Ej: Tabaco, carbón que

CARGA

PESO BRUTO TARA CAP

(m)

(m)

(m)

MÁX. (Kg)

MÁX. (Kg)

(Kg)

(m3)

20‘

5.89

2.35

2.39

28181

30480

2300

33.2

40‘

12.03

2.35

2.39

28750

32500

3750

67.7

40‘

12.03

2.35

2.7

28560

32500

3940

76.4

pallets,

cajas y tambores

Carga

LARGO ANCHO ALTO

requiere

20‘

5.44

2.27

2.27

27400

30480

3080

28.1

REFRIGERADOS

temperaturas

INTEGRALES

constantes bajo cero:

40‘

11.56

2.28

2.25

27700

32500

4800

59.3

-

40‘

11.56

2.27

2.55

29150

34000

4850

67

Carga con temperatura

20‘

5.75

2.26

2.11

21350

24000

2650

27.4

40‘

12.19

2.44

2.59

25940

27800

5540

60

20‘

5.89

2.35

2.34

28120

30480

2400

32.4

40‘

12.02

2.35

2.32

30140

32500

3850

65.7

Ej: Carnes REFRIGERADOS INTEGRALES HIGH CUBE 40’ INSULADOS PHORTOLE

o

CONAIR

a Europa. Ej: Frutas

Maquinaria Pesada,

OPEN TOP

planchas de mármol

TIPO DE CONTENEDOR

FLATRACK

controlada, con destino

TIPO

FIJO

NO

UTILIZACIÓN Productos

que

son

muy pesados o de gran de tamaño.

PLEGABLE

Ej: Maquinaria CONTENEDOR GRANELERO

DE

20’

Transporte de granos. Ej: Malta, semillas

CONTENEDOR

Productos

TANQUE DE 20’ Y

corrosivos, aceites y

40’

vinos

CONTENEDOR

Carga

PLATAFORMA DE

dimensiones.

20’ Y 40’

Maquinaria rodante

de

TAMAÑO

LARGO ANCHO ALTO

CARGA

PESO BRUTO TARA CAP

(m)

(m)

(m)

MÁX. (Kg)

MÁX. (Kg)

(Kg)

(m3)

20‘

5.94

2.35

2.35

28470

32500

4030

-

40‘

12.13

2.40

2.14

40000

45000

5000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

químicos

grandes Ej:

Figura 9.12. Principales tipos de contenedores para transporte de mercancías Existe una gran variedad de contenedores. El estándar para carga seca en general. Una modalidad de éstos son los de alto volumen (high cube), los cuales tienen una mayor altura


376

para dar cabida a cargas voluminosas, como por ejemplo tabaco y mármol. Existen contenedores refrigerados que se conectan en las terminales y en los barcos para mantener la temperatura de productos que lo requieran. Otros son especiales para el transporte de producto que necesiten ventilación. Hay contenedores que son una plancha de metal para el transporte de carga de grandes dimensiones y otros especiales para el transporte de productos químicos, aceites y vinos. La Figura 9.11 muestra las estadísticas de los puertos tanto en TEU como en toneladas, y está ordenada por esta última. Nótese, por ejemplo, que no necesariamente un puerto ocupa el mismo lugar si su flujo se le mide por toneladas que si se le mide en contenedores (observar los puertos de Shanghai, Singapur, Hong Kong y Rotterdam, los que siempre ocupan el primer lugar en el mundo). Además, hay puertos que privilegian o están diseñados preferiblemente para uno u otro tipo de carga. Por ejemplo, el puerto de Buenaventura, Colombia, mueve aproximadamente la mitad de la carga del país medida en toneladas. El puerto de Buenaventura es un puerto polivalente, o sea que maneja todos los tipos de carga mencionados anteriormente. El puerto de Cartagena, por el contrario, está diseñado para contenedores y mueve poco o nada de otros tipos de carga. Por este motivo, sus medidas en TEU y en toneladas parecen no ser consistentes. Para mayor claridad, comparar, por ejemplo, las estadísticas de los puertos de Rotterdam y Hong Kong. En Colombia, en los últimos años se ha presentado un incremento significativo del volumen portuario. La Figura 9.13 ilustra la evolución del volumen en TEU de los puertos de Barranquilla, Buenaventura y Cartagena. Barranquilla

Buenaventura

Cartagena

1,000,000

Volumen del puerto (TEU)

900,000 800,000 700,000 600,000 500,000 400,000 300,000 200,000 100,000 0 2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Figura 9.13. Volumen de los puertos de Barranquilla, Buenaventura y Cartagena para los años 2000 – 2007 [Fuente: Desarrollada con base en datos de: http://websie.eclac.cl/sisgen/ConsultaIntegrada.asp?idAplicacion=15&idTema=206&idIndicador=1044]

Nótese el crecimiento continuo y significativo del volumen de los puertos desde 2002 (Las estadísticas de 2008 aún no estaban disponibles cuando se hizo esta figura). Los datos del puerto de Santa Marta están dados en toneladas, ya que no es un puerto específico de


377

contenedores. La Figura 9.14 muestra los volúmenes en Santa Marta para 2000-2007. De acuerdo con estos datos, hubo un incremento significativo entre 2005 y 2006, estabilizándose en 2007.

Volumen del puerto (toneladas)

10,000,000 9,000,000 8,000,000 7,000,000 6,000,000 5,000,000 4,000,000 3,000,000 2,000,000 1,000,000 0

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Figura 9.14. Volumen en toneladas del puerto de Santa Marta para los años 2000 – 2007 (sin incluir carbón) [Fuente: Desarrollada con base en datos de: http://websie.eclac.cl/sisgen/ConsultaIntegrada.asp?idAplicacion=15&idTema=206&idIndicador=1044]

Los puertos son fundamentales para la competitividad de cualquier país, especialmente cuando se tiene previsto múltiples tratados de libre comercio. En Colombia hay actualmente varios proyectos de construcción y adecuación de puertos, especialmente en la zona de Buenaventura, el cual muy probablemente se consolide como la zona portuaria más importante del Pacífico suramericano. Para mayor información sobre los puertos en Colombia, puede consultarse el documento del Ministerio de Transporte (2008, pp. 122-153) y las páginas web de cada sociedad portuaria (Anexo 2). Tipos de buques para transporte marítimo Es importante dedicar algunas líneas a describir brevemente algunos tipos de barcos que se mueven todos los días por los mares del mundo. Entre los más conocidos figuran:        

Barcos petroleros Barcos para transporte de químicos Barcos para el transporte de gases, como por ejemplo para gas natural licuado Barcos para transporte refrigerado Barcos para carga general Barcos para el transporte de vehículos Barcos para el transporte de graneles sólidos Barcos portacontenedores

378


Cabe destacar dentro de estos el auge de los barcos portacontenedores, ya que en relativamente poco tiempo han aumentado significativamente su capacidad de carga, desde barcos relativamente pequeños de 1,000-1,500 TEU a barcos que actualmente pueden llevar 11,000 TEU (1,000 de ellos refrigerados), como el Emma Maersk y el Edith Maersk (Figura 9.15). Actualmente incluso existen portacontenedores de hasta cerca de 14,500 TEU como los ‗hermanos‘ de estos barcos (El Ebba Maersk). Existen hoy en día proyectos para incluso construir barcos más grandes, los cuales sólo podrían atracar en muy pocos puertos del mundo.

Figura 9.15. Imagen del Emma Maersk, un barco portacontenedores capaz de transportar con seguridad hasta 11,000 TEU [Fuente: Imágenes libres de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Edithmaersk.jpg]

9.3.4. Modo fluvial de transporte El modo fluvial de transporte está muy desarrollado en algunos países como Estados Unidos. En Colombia, podríamos decir que el transporte fluvial está estancado, pero existen proyectos de recuperación, especialmente de los ríos Magdalena y Meta. De acuerdo con el Ministerio de Transporte de Colombia (2008), en 2007 se movieron 4.2 millones de toneladas por el modo fluvial, de los cuales 1.9 millones se movieron por el Río Magdalena y 2.2 millones por la cuenca del Río Atrato. Los principales productos que se transportan por el Río Magdalena son hidrocarburos, entre Barrancabermeja y Cartagena y viceversa, y carbón. Ambos cuentan por el 91% del volumen de carga transportada. Otros productos que se mueven fluvialmente son cemento, maquinaria, ganado, productos agrícolas, entre otros de menor contribución. De acuerdo con el Ministerio de Transporte (2008, pp. 120-122), para que un sistema fluvial de transporte pueda operar eficientemente, se requiere ante todo que el mercado garantice los volúmenes de carga en uno y otro sentido, una flota fluvial adecuada, canales navegables, muelles, patios, zonas de almacenamiento, equipos de cargue y descargue apropiados, vías de acceso terrestre, comunicaciones, adicionalmente a todos los servicios complementarios. Todo esto debe tener regulaciones y organización claras y bien establecidas. Sin embargo, en la mayoría de los puertos públicos actuales no se tienen estas capacidades y recursos y mucho menos podrían funcionar como puntos de transporte intermodal. Existen también problemas de navegabilidad y del trazado de los ríos en varias zonas, al igual que información limitada sobre el estado de la vía fluvial. En conclusión, tampoco es claro el futuro de la navegación fluvial en Colombia y su aporte a la solución de los problemas logísticos del país.


379

9.3.5. Modo aéreo El modo aéreo es el más rápido y costoso de todos los modos de transporte, en cuanto a flete se refiere. En los últimos años el modo aéreo se ha incrementado, ya que se ha reconocido que, aunque el flete es alto, el impacto que tiene sobre los niveles de inventario, la confiabilidad y los daños es positivo y en muchos casos los beneficios superan a los altos costos de transporte. Una primera estadística interesante que podemos presentar es la del número de aeropuertos que existen en diversos países. La Figura 9.16 presenta estos datos. El número de aeropuertos mostrados incluye también aeropuertos secundarios en cada país, pero no incluye aeropuertos menores del Estado y de particulares. De acuerdo con el Ministerio de Transporte de Colombia (2008, p. 180), Colombia tiene 582 aeropuertos contando los últimos mencionados. En realidad, la posición de Colombia es destacable en cuanto a esta estadística se refiere. PAÍS Estados Unidos Canadá Brasil México Argentina Colombia Perú Venezuela Chile Bolivia Costa Rica Ecuador Nicaragua Panamá Belice Honduras Paraguay Guatemala Surinam El Salvador Guyana Uruguay

No. De Aeropuertos 834 301 139 83 43 43 27 24 23 14 14 14 10 10 9 8 5 2 2 1 1 1

Figura 9.16. Número de aeropuertos en varios países de América [Fuente: Construida con base en el Almanaque Mundial 2004, México]

A pesar de que el modo aéreo está incrementándose en cuanto a su utilización, aún quedan muchas opciones por investigar. Por ejemplo, de acuerdo con Praselj (2006), sólo se utiliza un 10% de la oferta de transporte aéreo de carga entre Venezuela y Colombia y un 12% en rutas Venezuela – Brasil. Esto ocurre a pesar de que la oferta mensual, por ejemplo, entre Venezuela y Colombia es de alrededor de 128 vuelos, 14,000 m3 y 2,600 toneladas. Como se estudiará en la Sección 10.1, es recomendable siempre analizar la posibilidad de utilización de transporte aéreo para ciertos productos como lo que se mostró en la Tabla 9.3.

380


El Ministerio de Transporte de Colombia (2008, p. 159) reporta que hubo una ligera disminución del 0.76% entre la carga transportada por modo aéreo en 2006 (138,242 ton) y 2007 (137,186 ton), aunque se observa un incremento sostenido desde 2002. En el transporte interno entre ciudades de Colombia, se destacan en su orden las rutas Bogotá-BarranquillaBogotá, Bogotá-Medellín-Bogotá, Bogotá-Cali-Bogotá, Bogotá-Leticia-Bogotá y BogotáCartagena-Bogotá. Estas rutas cuentan por alrededor de un 59% del total transportado. El aeropuerto de El Dorado en Bogotá mueve el 38.1% de la carga total, seguido por los aeropuertos de Barranquilla con el 10.0%, Rionegro de Medellín con el 9.7% y el Alfonso Bonilla Aragón de Palmira-Cali con un 7.1%. El transporte aéreo internacional de carga sufrió una baja de 559,833 toneladas movidas en 2006 a 511,274 toneladas en 2007, muy posiblemente debido a la desaceleración de la economía mundial. El principal destino de la carga aérea nacional es hacia Estados Unidos con un 58% del total movilizado, principalmente hacia y desde Miami. Le siguen los países de Sur América con un 19.4%, Centro América con un 9.6% y Europa con un 7.8%. El único destino que se incrementó en 2007 fue hacia Centro América y las islas del Caribe. En cuanto a la infraestructura aeroportuaria, a 2008 se estaban realizando obras de mantenimiento y mejoramiento en 21 aeropuertos, entre otras obras menores. Igualmente, en los últimos años el país ha hecho un gran esfuerzo para cumplir con las normas y estándares internacionales, al adquirir diferentes equipos de control, seguridad, navegación aérea, comunicaciones y meteorología. Por ejemplo, el cubrimiento en control de radar de nivel superior pasó de un 30% en 1999 a un 95% en 2003. Tabla 9.6. Características de algunos de los aviones utilizados actualmente para transporte aéreo [Fuente: Diseñada con base en: http://www.avianca.com/Inicio/Navegacion/AcercaAvianca/Flota+y+destino/es/NuestraFlota.htm] Tipo de avión Airbus A330-200 Airbus A320 Airbus A319 Boeing 767-300ER Boeing 767-200ER Boeing 757-200 McDonnell Douglas MD-83 Fokker-100 Fokker-50

No. de pasajeros 280 150 120 210 180 170 145 97 52

Capacidad carga (ton) 47 19 17 42 35 24 17 12 6

Alcance (km) 12,500 4,600 4,900 11,400 12,300 7,300 4,680 2,956 2,200

En lo que se refiere a algunos aviones modernos y sus características principales, estas se muestran en la Tabla 9.6. Existen otros aviones con capacidades mayores y la tendencia es a tener aviones cada vez más grandes. Por ejemplo, el Airbus A380 puede llevar 550 pasajeros y 150 ton de carga (versión de carga solamente), con una autonomía de vuelo de 14,800 km y el Boeing 747-400 tiene una capacidad de 416 pasajeros, alrededor de 124 ton de carga (para la versión de carga solamente) y una autonomía de vuelo de 13,450 km. La Figura 9.17 muestra la imagen de un Boeing 747-400.


381

Figura 9.17. Imagen del Boeing 747-400 [Fuente: Imágenes libres de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Haneda_second_teminal_and_air_plane_200603.JPG]

Existen otros modos de transporte, como las tuberías, especialmente diseñadas para el transporte de hidrocarburos a lo largo de grandes distancias (oleoductos), bien sea para líquidos o para gases. También hay ejemplos, sin embargo, de transporte de otros líquidos o de suspensiones por tubería, como por ejemplo de bauxita en Chile y de alimentos para peces por distancias cortas. En algunas ocasiones, se generan problemas de decisión sobre si se debe realizar el transporte de gasolina, por ejemplo, por medio de ductos o por modo terrestre por camión o por ambos y esto se constituye en un problema de decisión muy interesante. El modo de transporte que denominamos ‗electrónico‘ es en realidad otra forma de comprar diversos productos, como por ejemplo libros, videos, música, software, tarjetas de recarga de celulares, entre otros posibles. Sin embargo, lo podemos catalogar como modo de transporte porque antes había que esperar, por ejemplo, que el libro o el software llegaran físicamente, mientras que hoy en día podemos disponer de ellos en forma inmediata por Internet. Finalmente, otro modo de transporte que se ha investigado es el modo aéreo por dirigible, a base de helio o incluso de hidrógeno. Este tema, sin embargo, no ha tenido mucha acogida por algunas desventajas como su baja relación de volumen de carga / volumen total, su mayor vulnerabilidad a condiciones meteorológicas adversas y su baja altitud de vuelo.

9.4

PRINCIPALES TRANSPORTE

INDICADORES

DE

EFICIENCIA

Los indicadores de eficiencia en transporte se clasifican en cinco grandes categorías:  Principales tasas en transporte  Indicadores financieros

EN

382


 Indicadores de productividad  Indicadores de calidad  Indicadores de tiempo de respuesta 9.4.1. Principales tasas en transporte Las principales tasas en transporte se calculan generalmente diferenciando lo que ocurre por los diversos modos de que se utilicen. Como su nombre lo indica, son simplemente la relación entre dos cantidades y pueden ser de múltiples formas. La Tabla 9.7 muestra un ejemplo de las principales tasas con base en datos hipotéticos para una empresa que utilice modo marítimo y aéreo para transportar sus productos. Tabla 9.7. Ejemplo de principales tasas en transporte COMPORTAMIENTO ANUAL DE TASAS DE TRANSPORTE POR MODO: DETALLE

OCÉANO

AIRE

TOTAL

Total peso transportado (Lb) Total cajas transportadas Número total de envíos Fletes totales ($) Valor total productos ($)

936.000 40.100 52 122.650 6.975.000

92.900 3.510 78 80.590 813.460

1.028.900 43.610 130 203.240 7.788.460

Peso/Envío Cajas/Envío Valor/Caja Valor/Envío Flete/Envío Flete/Valor Flete/Caja Flete/Libra % de Envíos % de fletes % en peso

18.000,00 771,15 173,94 134.134,62 2.358,65 1,76% 3,06 0,13 40,00% 60,35% 90,97%

1.191,03 45,00 231,75 10.428,97 1.033,21 9,91% 22,96 0,87 60,00% 39,65% 9,03%

7.914,62 335,46 178,59 59.911,23 1.563,38 2,61% 4,66 0,20 100,00% 100,00% 100,00%

Las primeras filas de la Tabla 9.7 muestran los datos básicos necesarios para calcular las tasas. En este ejemplo conocemos el peso, el No. de cajas, el No. de envíos, los fletes totales pagados y el valor total de los productos transportados por ambos modos y el total. Por ejemplo, la tasa Flete/Libra se calcula dividiendo los fletes totales entre el total transportado en Lb e indica un promedio del flete por unidad de peso por cada modo. Una variación en estos valores entre un período y otro, por ejemplo, puede ser útil para tomar decisiones sobre el modo a utilizar o sobre la negociación de los fletes con el transportador. Las tasas mostradas no son exhaustivas y podrían existir otras de interés. Todo depende de la utilización que le vamos a dar a la tasa y debería calcularse si en realidad va a ser importante para el proceso decisorio. 9.4.2. Indicadores financieros en transporte Existen varias clases posibles de indicadores financieros en transporte. Podemos tener indicadores de costo de transporte, dentro de los cuales pueden clasificarse los siguientes:


– – – – – –

383

Costo total de transporte Costo total de fletes Costo de transporte/Ventas Costo por kilómetro o por unidad transportada (puede ser por unidad de peso) Costo por factura de fletes Costo de transporte y distribución por despacho

En esta categoría también podemos tener los indicadores de seguridad en transporte, como por ejemplo los costos de pérdidas o daños (pueden ser por modo de transporte) y los indicadores relacionados con las primas de seguros, tanto con lo que tiene que ver con su costo como con las primas recibidas. Una posibilidad es llevar el registro de los principales costos de transporte cuando se tiene flota propia, como se muestra en la Tabla 9.8. Tabla 9.8. Grupos de costos de transporte a registrar periódicamente CATEGORÍA DE COSTO

COSTO ($) Plan Real

$/Km Plan Real

Variación $ $/Km

Costos de mano de obra:  Conductores  Administración y despacho (fijos)  Incidentales Costos de equipos:  Alquiler (fijos)  Alquiler (variables)  Depreciación (fijos) Costos de operación:  Combustible  Impuestos y permisos  Mantenimiento  Seguros de vehículos, carga y conductores Administración:  Nómina (fijo)  Legales y de consultoría (fijo)  Seguros generales (fijo)  Misceláneos (fijo)

TOTALES

Ejemplo 9.1 (Cálculo del indicador de costo de transporte en $/km) Este ejemplo ha sido adaptado de Sterling (1994, pp. 212-215). Suponga que se tiene una flota hipotética de transporte propia y que hemos recopilado los datos de costos para los últimos seis meses mostrados en la Tabla 9.9.


384

Tabla 9.9. Datos de costos relacionados con el transporte de una flota hipotética para los últimos seis meses [Ejemplo 9.1] COSTO VARIABLE VALOR ($000) COSTO FIJO VALOR($000) Mano de obra variable Impuestos variables Prestaciones y otros Seguros variables Gasolina y aceite Repuestos y partes Llantas Alojamiento y viáticos Placas y costos tránsito Arriendo de equipos Suministros misceláneos Reclamos Comunicaciones Otros

121,711 9,930 9,785 252,365 96,666 34,480 41,341 15,553 44,246 13,882 6,009 1,212 8,285 20,216

Salarios fijos Impuestos fijos Seguros fijos Depreciaciones Suministros Publicidad y promoción Arrendamientos Arriendo de equipos Otros costos fijos

Costo variable total

675,681

Costo fijo total

Kilómetros recorridos Toneladas transportadas

643,505 9,663

Número de viajes Costo fijo promedio/viaje

781 $235,098/viaje

$1,050/Km $69,924/Ton

Costo fijo promedio/Km Costo fijo promedio/Ton

$285,33/Km $19,002/Ton

Costo variable/Km Costo variable/Ton

42,395 3,230 36,554 67,189 7,459 1,906 7,377 5,115 12,387

183,612

Costo Total de Transporte/Km Costo Total de Transporte/Ton

$1,335.33/Km $88,926.00/Ton

Tabla 9.10. Indicadores de costo de transporte en $/km para diferentes rangos de longitudes de viaje, considerando viajes vacíos y la corrección por utilidad que tendría un tercero [Ejemplo 9.1] 528 Km/11 viajes

RANGO (Km)

(235,098$/viaje) / (48 Km/viaje)

Promedio No. de (Km/viaje) viajes

Km totales

Variable

1,050 + 4,897.88 Costos por Kilómetro Fijo Total Incluyendo Cargado Km vacíos

0 – 99 100 – 299 300 – 499 500 – 699 700 – 899 900 – 1,099 1,100 – 1,299 Más de 1,299

48 215 398 595 783 997 1,173 1,552

11 37 68 180 182 123 115 65

528 7,960 27,064 107,050 142,568 122,564 134,877 100,894

1,050 1,050 1,050 1,050 1,050 1,050 1,050 1,050

4,897.88 1,093.48 590.70 395.12 300.25 235.80 200.42 151.48

5,947.88 2,143.48 1,640.70 1,445.12 1,350.25 1,285.80 1,250.42 1,201.48

7,625.49 2,748.05 2,103.46 1,852.72 1,731.09 1,648.46 1,603.10 1,540.36

TOTALES

824

781

643,505

1,050

285.33

1,335.33

1,711.96

5,947.88 / (1 – 0.22) Corrección adicional por utilidad = 1,711.96/ (1 – 0.075) = $1,850.77/Km


385

Como se tienen los totales de distancia recorrida en km y toneladas transportadas, podemos calcular los indicadores de costo variable por km y por tonelada, al igual que el costo fijo y el costo total por km y por tonelada. Puede ser útil comparar este indicador entre un período y otro y también entre diferentes zonas geográficas. Si se desea tener una estimación de los costos fijos por km dependiendo de la longitud de los viajes, se pueden crear diferentes rangos de longitud de los mismos. Dentro de cada rango de longitud del viaje se pueden determinar los kilómetros totales recorridos, el número total de viajes y el promedio de km/viaje. Posteriormente, se puede asignar el costo fijo promedio/viaje obtenido en la Tabla 9.9, dividiendo el costo fijo promedio/viaje entre el promedio de kilómetros/viaje de cada rango, para así obtener una asignación de costo fijo promedio/km para cada rango de longitud de viajes. La Tabla 9.10 ilustra los cálculos para este ejemplo. Una corrección adicional mostrada en la Tabla 9.10 consiste en considerar los kilómetros recorridos por la flota en condición vacía. Esto es importante hacerlo puesto que si la flota propia operara como un transportista independiente, tendría entonces que recuperar los costos totales para lograr los niveles de utilidad establecidos. Por lo tanto, el costo de transporte por operar la flota vacía debe ser absorbido por la compañía. Para considerar esta situación, se divide el costo total cargado entre uno menos el porcentaje de kilómetros en que se viaja vacío. En la tabla se ilustra el caso en el cual el porcentaje de kilómetros viajando los camiones vacíos es igual al 22%. En este caso, por ejemplo, el costo total cargado de $1,335.33/Km se corrige a 1,335.33/(1 – 0.22) = 1,711.96 $/km. Una corrección similar puede hacerse a este último factor si se va a tener en cuenta la utilidad buscada para la función de transporte, especialmente para información de costos a clientes. Por ejemplo, si se pretende tener una utilidad en la función de transporte del 7.5%, entonces el costo anterior de 1,711.96 se corregiría a 1,711.96/(1 – 0.075) = 1,850.77 $/km. Una vez se desarrollen estos indicadores es más fácil comparar los costos de la flota propia con los costos de flotas externas. Un segundo análisis que podría hacerse sería clasificar los despachos por categorías de peso, en forma semejante a como se realizó en la sección anterior para las categorías de longitud de los viajes. Este análisis provee información acerca del costo de envíos demasiado pequeños y produce estadísticas para evaluar oportunidades de consolidación de carga. La Tabla 9.11 ilustra la utilidad de los indicadores de costo de transporte expresados en $/ton con un ejemplo diferente al anterior. Se nota en esta tabla que el costo por tonelada para despachos pequeños (0 – 1,000 kg) utilizando la flota propia es considerablemente mayor que utilizando transportadores externos (1,500 vs. 882.9 $000/ton). Esto se debe a que generalmente el costo de despacho de productos para la flota propia es una función de la distancia recorrida, no del peso del envío, ya que los costos fijos deben pagarse de todas formas. Se puede también concluir de la Tabla 9.11 que alrededor del 66% del peso despachado por medio de transportadores externos está en las categorías de 5,000 kg o menos, mientras que para la flota propia este valor apenas está alrededor del 10% de los despachos en peso. Esto demuestra el grado de consolidación que se está logrando en la flota propia. Finalmente, estos análisis discriminados por zonas geográficas también son una gran ayuda para identificar posibilidades de consolidación y disminución de costos de transporte. Un análisis adicional que se podría realizar es la construcción de una tabla cruzada, tanto por distancias como por peso.


386

Tabla 9.11. Ilustración del indicador de $/ton para diversos rangos de peso despachado CATEGORÍA DEL DESPACHO POR PESO EN KILOGRAMOS DETALLE

0– 1,000

1,001 – 2,001 – 3,001 – 5,001 – 7,501 – 2,000 3,000 5,000 7,500 10,000

10,001 – 15,000

15,001 – 20,000

20,001 o más

TOTAL

Transportadores: Número de envíos

7,816

507

206

158

99

40

54

11

0

8,891

Peso enviado (Ton)

1,392

642

452

561

565

281

592

160

0

4,645

% del peso total

30.0

13.8

9.7

12.1

12.2

6.1

12.7

3.4

0.0

100.0%

Costo de fletes ($000,000)

1,229

352

216

236

242

76

118

24

0

2,493

% del costo total

49.3

14.1

8.7

9.5

9.7

3.0

4.7

1.0

0.0

100.0%

$000/Ton

882.9

548.3

477.9

420.7

428.3

270.5

199.3

150.0

--o--

536.7

Número de envíos

11

19

16

28

35

37

79

12

0

237

Peso enviado (Ton)

4

26

37

99

193

294

906

176

0

1,735

0.3

1.6

2.1

5.7

11.1

16.9

52.2

10.1

0.0

100.0%

6

14

23

43

59

63

158

24

0

390

1.5

3.6

5.9

11.0

15.1

16.2

40.5

6.2

0.0

100.0%

1,500

538.5

621.6

434.3

305.7

214.3

174.4

136.3

--o--

224.8

Flota privada:

% del peso total Costo de fletes ($000,000) % del costo total $000/Ton

9.4.3. Indicadores de productividad en transporte Los indicadores de productividad son los que miden o comparan los resultados de cierto proceso en relación con el consumo de recursos de entrada a dichos procesos. Por ejemplo, una entrada de recursos de transporte puede estar representada por los camiones disponibles y los recursos humanos. La salida sería el número de paradas visitadas en cierto conjunto de rutas. Así, un indicador de productividad en transporte puede construirse como las paradas o clientes visitados / camión para este caso. Algunos indicadores de productividad en transporte son los siguientes:  Ton.km transportadas / costo total de transporte


          

387

Paradas servidas / costo total de transporte Despachos transportados / costo total de transporte Unidades de peso / unidad de tiempo o período Densidad = Peso transportado / volumen Porcentaje de utilización del camión Cajas / estiba Estibas / unidad de tiempo o período Paradas / camión Camiones / día Paradas / año Cajas o estibas / parada

De los anteriores indicadores se destaca el indicador de peso/volumen transportado, especialmente en contenedores. En este caso, el recurso disponible es el volumen del contenedor y por lo tanto el resultado es el peso que logremos acomodar dentro del contenedor. Este muchas veces es un problema complejo que requiere de modelación matemática especializada y ya existe software comercial disponible para ello, al igual que programas que ayudan a resolver el problema de acomodación de las cajas en las estibas y a mejorar el indicador de cajas/estiba y de productos/estiba. Algunas desventajas y limitaciones de los indicadores de productividad deben ser tenidas en cuenta. Primero, algunos de estos indicadores se expresan en términos de unidades físicas y pérdidas reales debido a ineficiencias en la cadena de abastecimiento. Por este motivo, puede ser muy complejo estimar los costos futuros de logística provenientes de cambios en el sistema con los que se busque mejorar la productividad. Segundo, en muchas ocasiones los indicadores no se pueden comparar por limitación a información de otras organizaciones, lo que limita el proceso de benchmarking. Finalmente, en algunos casos, los cambios en las salidas pueden distorsionar los indicadores porque no se diferencian los elementos fijos de los variables. Así, a veces se calcula utilización y no eficiencia. Por ejemplo, si en este mes se recibieron 100 órdenes y se despacharon totalmente utilizando el recurso laboral en su totalidad, el indicador igual a órdenes despachadas/órdenes recibidas sería del 100%. Sin embargo, si se hubiesen recibido 120 órdenes, este indicador hubiera marcado 83.33%, sin haber existido disminución en la eficiencia real. 9.4.4. Indicadores de tiempo Los indicadores de tiempo más comunes, los cuales se explican por sí solos y algunos ya se formularon en capítulos anteriores, son los siguientes:  Tiempo de Tránsito (TT)  Tiempo total de ciclo, Lead Time o tiempo de reposición (LT) (incluye el anterior + tiempos de cargue, descargue + tiempo de manejo en terminales + tiempo de aduanas y documentación + tiempo de transporte doméstico + otros)  Promedio y desviación estándar del TT  Promedio y desviación estándar del LT


388

Otro tipo de indicadores de tiempo importantes relacionados con flotas de transporte terrestre por camión o por ferrocarril son los que registran en un período de tiempo dado lo que está haciendo la flota. Por ejemplo, podríamos tener un camión al que se le registra su tiempo en tránsito entregando, en tránsito retornando, el tiempo que viaja vacío, los tiempos de mantenimiento tanto programados como de emergencia, los tiempos de espera antes de descargar, los tiempos de cargue y descargue, entre otros posibles. Este perfil puede ser muy útil especialmente en actividades de ruteo de vehículos y se ha encontrado que es igualmente útil en el transporte férreo. 9.4.5. Indicadores de calidad Los indicadores de calidad más comunes son los siguientes:       

Daños en tránsito Porcentaje de rutas perfectas Tasa de ventas perdidas = Valor perdido en despachos / ventas totales Reclamaciones anuales de seguros Variación anual de las primas de seguros Seguridad (No. de días sin accidentes, kilómetros recorridos entre accidentes) Porcentaje de envíos perfectos

El indicador de envíos perfectos tiene una connotación especial, ya que también es un indicador de logística en general, pues para poder realizar un pedido perfecto se necesita que no falle ninguna actividad en la cadena, incluyendo por supuesto las operaciones de transporte. El indicador de envíos perfectos podría incluir el porcentaje de envíos:         

Capturados sin error Recogidos a tiempo Reportados correctamente Despachados sin errores de dirección Despachados a tiempo Entregados sin daños Entregados sin errores en la documentación necesaria Entregados a tiempo Facturados y cobrados dentro de las condiciones acordadas

Como un envío se declara perfecto cuando todos los anteriores se cumplen, el porcentaje de envíos perfectos se puede calcular, asumiendo independencia de cada factor, como el producto de todos los porcentajes. Por ejemplo, si asumimos que una empresa tiene un indicador del 95% para todos los factores mencionados, el indicador de pedidos perfectos sería igual a (0.95)9 = 0.63. Nótese lo exigente que es este indicador! En la práctica valores de este indicador entre 60 y 70% son comunes. A este indicador, sin embargo, se le deben hacer algunas precisiones, a saber:


389

 No siempre se puede afirmar que todos los factores son independientes. Por ejemplo, si un envío no fue recogido a tiempo, es probable que tampoco sea entregado a tiempo. El hecho de asumir independencia hace más rígido al indicador.  Para que el indicador sea comparable entre una organización y otra se requiere que ambas lo calculen de la misma forma y considerando el mismo número de factores. Si una empresa lo calcula con menos factores, evidentemente tiene mayor probabilidad de obtener valores mayores del indicador.  Se pueden llevar también subconjuntos de este indicador, considerando sólo algunos de los factores en forma simultánea al indicador original. Por ejemplo, nos puede interesar analizar los factores antes de que se realice el despacho.  En este indicador la opinión del cliente es fundamental. Es posible que obtengamos un buen valor del indicador, pero siempre será nuestro cliente quien diga la última palabra sobre el servicio que se le está prestando.  El indicador de pedidos perfectos podría refinarse dando ciertos pesos diferentes a cada uno de los factores, de acuerdo con nuestros intereses y los del cliente. Por ejemplo, puede que al cliente no le interese mucho si el envío tuvo algún error en el reporte de su estado, pero que sí sea crucial que llegue a tiempo y sin daños. 9.4.6. Otros indicadores de transporte Algunos indicadores de transporte pueden ser muy útiles para descubrir ineficiencias. Los administradores que se desempeñan en Logística y especialmente en la actividad de transporte necesitan identificar el uso ineficiente y poco efectivo de los recursos de transporte y las oportunidades para eliminar los canales inadecuados de distribución. Para realizar estos análisis, se deben proveer medidas que puedan desenmascarar dichas ineficiencias. Algunos de estos indicadores pueden ser los siguientes:  Costo por kilogramo o por tonelada transportada, especialmente diferenciados por localidad geográfica.  Costo por unidad mínima de despacho (cajas, cartones, estibas, etc.).  Utilización cúbica y en peso de los remolques.  Costos por kilogramo o por unidad por producto o clase de productos, por modo de transporte y por cliente o zona de consumo.  Oportunidades de consolidación y de eliminación de viajes vacíos (consecución de carga de retorno y redireccionamiento de rutas). Finalmente, existen indicadores típicos para transportistas o transportadores, los cuales generalmente se miden en procesos de auditoría de transporte. Stock y Lambert (2001, pp. 382-387) presentan un listado completo de los factores que se pueden considerar para evaluar a un transportador. Dentro de éstos, destacamos los siguientes:    

Historia de daños Avances sobre cambios en fletes ¿Despachos el mismo día? Despachos y recolecciones a tiempo


390

                            

9.5

Calidad de atención de reclamos Calidad de todo el personal Oferta de fletes competitivos Asistencia del personal de ventas Rastreo de despachos Cubrimiento geográfico Disponibilidad de BDD de fletes Interfases electrónicas Descuentos por pronto pago Asistencia para procesos de facturación y pagos Capacidad de renegociación Tiempo de tránsito y su variabilidad (consistencia) Información sobre demoras Seguridad Frecuencia del servicio Historia, reputación y principales clientes Condiciones financieras Limpieza de los equipos y del personal Condiciones técnicas de los equipos de transporte Habilidad para adecuarse a casos especiales Cubrimiento de seguros Relaciones interpersonales Habilidad para mantenerse actualizado en tecnología Reportes en general, incluyendo análisis estadísticos Prioridad de la empresa Indicadores Certificación Estrategias de evaluación Precisión de fletes

FUTURO Y MEGATENDENCIAS EN TRANSPORTE

Los sistemas de transporte en logística son muy dinámicos. Es tal vez el componente logístico de mayor análisis y con mayores expectativas para el futuro. Dentro de las megatendencias del transporte se podrían citar las siguientes:     

Flota / Contenedores 100% rastreables Transacciones manejadas por sitios de Internet Mayor inversión en tecnología de información y telecomunicaciones (TICs) Globalización de transportadores vía alianzas, uso compartido de equipo y alianzas no competitivas de generadores y transportadores Alianzas de generador / transportador


       

391

Tratados de libre comercio: Deregulación mundial de tarifas, límites geográficos, aranceles, etc. Logística Verde y de reversa / transporte de reversa (Estrategias para reducir las emisiones contaminantes) Estrategias para afrontar los costos del combustible Vehículos más grandes, buques más grandes, aviones más grandes Expansión y especialización del multimodalismo Proveedores de rastreo Bolsas de carga Contratos de transporte a mayor horizonte de tiempo

Muchas de estas tendencias ya las estamos viviendo actualmente. Por ejemplo, en lo que concierne a los vehículos más grandes de transporte (Sección 9.3). El rastreo de envíos, contenedores y flota es cada vez más especializado. Las alianzas no competitivas entre generadores de carga y entre generadores de carga y transportadores para incrementar la utilización de los equipos y reducir fletes se está incrementando. Por ejemplo, los dos grandes diarios en Caracas decidieron compartir el mismo equipo de transporte para llegar simultáneamente a los puntos de venta y evitar una competencia absurda para llegar primero, la cual disminuía la utilización de los camiones y aumentaba los fletes. Los aspectos de logística verde y de reducción de emisiones son el tema de todos los días, con el diseño de camiones, aviones y buques cada vez más eficientes. Las transacciones manejadas por Internet aumentan cada día. En fin, las actividades en todas estas áreas ya se iniciaron hace mucho tiempo y todo parece indicar que van a seguir incrementándose.

Lecturas adicionales Capítulo 9 1. Ministerio de Transporte de Colombia (2008, 2006a, 2006b, 2006c, 2005): Se recomienda leer todos estos estudios del ministerio. 2. Chopra y Meindl (2008): Capítulo 13 (pp. 385-413): Este capítulo combina los temas de introducción a sistemas de transporte y algunas técnicas cuantitativas. 3. Bowersox et al. (2007): Capítulos 7 y 8 (pp. 166-211) sobre infraestructura y operaciones de transporte. 4. Ballou (2004): Capítulo 6 (pp. 164-184). Se recomienda leer lo referente al tema introductorio sobre transporte, pero no la parte de costos ya que está muy aplicada a Estados Unidos.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 10: Modelos cuantitativos en sistemas de transporte de carga

392

10. MODELOS CUANTITATIVOS EN SISTEMAS DE TRANSPORTE DE CARGA 10.1

INTRODUCCIÓN

En el capítulo anterior se presentaron las principales características de los modos de transporte y los indicadores de desempeño en transporte. En este capítulo retomamos los principales conceptos para desarrollar técnicas cuantitativas relacionadas con la selección del modo de transporte, la selección del transportador basada en técnicas multi-criterio, el problema del viajero de negocios (TSP) y el problema del ruteo de vehículos. De este último tema comentamos sobre el software real que existe para encontrar buenas soluciones y acerca de una revisión de dicho software que periódicamente hace INFORMS.

10.2 LA SELECCIÓN DEL MODO DE TRANSPORTE La selección del modo de transporte es una de las principales decisiones que deben tomarse en un sistema de transporte. Esta decisión se toma fundamentalmente con base en los siguientes elementos cuantitativos que cada modo de transporte implica:  El costo total de logística  El tiempo promedio de reposición  La variabilidad del tiempo de reposición Otros posibles factores que deberían tenerse en cuenta para tomar la decisión se pueden clasificar como cualitativos. Entre estos factores se encuentran principalmente los siguientes, los cuales se pueden asociar al modo y también al transportador (ver Sección 9.4.6):        

Rastreo de despachos Flexibilidad y adaptación a cambios de programación Disponibilidad y conveniencia de equipos Seguridad Capacidad y disponibilidad del servicio Frecuencia del servicio (inmediata, diaria, semanal, etc.) Manejo de reclamos Asistencia para la resolución de problemas

Dentro de los anteriores, cabe destacar dos elementos, ya que el resto se explica por sí sólo. El rastreo de despachos es un factor fundamental para cualquier empresa actual de transporte. Es muy común hoy en día enviar algo tan pequeño como un sobre y poder entrar a la página web de la empresa para saber exactamente el estado en el que se encuentra el despacho, dónde


393

se encuentra, quién lo recibió, la prueba de entrega, etc. A nivel internacional, es mucho más importante disponer de esta información, a nivel de documentos, cajas, contenedores, etc. En general el rastreo y el seguimiento de un producto a lo largo de la cadena de abastecimiento comprenden las actividades de saber de dónde proviene dicho producto y sus componentes (tracing), así como poder consultar en cualquier instante dónde se encuentra el producto en el sistema de distribución (tracking). Los diversos modos de transporte pueden tener diferentes capacidades en cuanto a estas dos funciones, las cuales pueden influir en su selección. La flexibilidad y adaptación a cambios de programación es un tema fundamental porque actualmente las condiciones de la cadena de abastecimiento son muy cambiantes y una situación normal hoy puede tornarse especial mañana. Esto está muy relacionado con las disrupciones que puede tener la cadena de abastecimiento, causadas por ejemplo por desastres naturales, huelgas, cierres de vías, etc. Por lo tanto, el modo de transporte a escoger puede depender en parte de la situación corriente que se viva al respecto. Por ejemplo, en 2003 hubo una huelga en los puertos del oeste de Estados Unidos. La reacción inmediata de Dell Computer ante tal situación fue la de cambiar muy rápidamente del modo marítimo al modo aéreo para el transporte de las partes y componentes desde el oriente. A raíz de esta rápida decisión y a diferencia de sus competidores, la empresa pudo tener inventario de partes para producir computadores en las semanas siguientes a la huelga. Los elementos cuantitativos a tener en cuenta para la selección del modo de transporte están relacionados con los costos totales de logística. Dentro de éstos se encuentran los fletes y los costos de inventario. Es un error común escoger el modo de transporte solamente considerando sus fletes e ignorando el impacto que las características del modo escogido producen sobre los costos de inventario y por ende sobre los costos totales de logística. Por lo tanto, la decisión correcta involucra un análisis de fletes y de los inventarios necesarios a mantener para brindar el nivel de servicio al cliente deseado. Estos niveles de inventario requerido están íntimamente relacionados con el tiempo de reposición y su variabilidad, de acuerdo con cada modo de transporte. Se sugiere para este efecto considerar el inventario cíclico, el inventario de seguridad y el inventario en tránsito. El concepto de inventario en tránsito (pipeline inventory) fue definido en la Sección 3.6. Recuérdese que este tipo de inventario es el que se encuentra en los sistemas de transporte entre dos puntos de la cadena de abastecimiento. El nivel del inventario en tránsito es proporcional al tiempo de reposición del producto, ya que éste incluye el tiempo de tránsito mas los otros tiempos necesarios para que el producto llegue a su destino (como por ejemplo, tiempo de cargue, descargue, nacionalización, manejo en puertos, etc.). Por consiguiente, el inventario en tránsito depende del modo de transporte que se utilice y es por supuesto un elemento muy importante a considerar principalmente en una cadena de abastecimiento internacional. Si se utiliza transporte aéreo, por ejemplo, el tiempo de reposición es relativamente corto y, por lo tanto, serán bajos los niveles de inventario promedio, en tránsito y de seguridad necesarios para alcanzar el nivel de servicio deseado. Sin embargo, el modo aéreo se caracteriza por tener un alto flete. Por el contrario, el modo marítimo se caracteriza por un tiempo de reposición mucho mayor que el modo aéreo, pero a su vez es el modo más económico en cuanto a costo de transporte se refiere. Este conflicto de costos es el que debe resolver el analista para seleccionar el modo de transporte más conveniente desde el punto de vista económico. El Ejemplo 10.1 ilustra una posible forma de abordar el problema de selección de modo de transporte.

394


Ejemplo 10.1 [Selección del modo de transporte considerando inventario en tránsito, cíclico y de seguridad] Una empresa comercial localizada en la ciudad de Santiago de Cali importa desde China y distribuye a todo el país y a algunos países vecinos un cierto tipo de motor eléctrico muy utilizado en la producción de una gran gama de productos. Los datos del motor son los siguientes: Valor nominal de cada motor = 160 US$/unidad Demanda anual promedio D = 240,000 unidades/año Desviación estándar diaria estimada de la demanda = 200 unidades Peso unitario del motor = 7 kg/unidad Factor de seguridad utilizado k = 2.33 (Para un nivel de servicio P1 = 99%) Tasa de costo de mantenimiento del inventario r = 26% anual Costo estimado de faltantes B2 = 30% Tasa mínima de retorno de la empresa = 18% anual La empresa ha estado utilizando el transporte por océano para los motores, pero le han ofrecido un nuevo modo llamado ―océano rápido‖, el cual tiene un mayor flete, pero logra un tiempo de reposición menor porque los buques no arriman a todos los puertos en los que atracan viajando por el modo normal. Las características de cada modo de transporte se muestran en la Tabla 10.1. Se asume que los tiempos de reposición son estables. Tabla 10.1. Características de los modos de transporte (Ejemplo 10.1) Modo de transporte Flete Tiempo de Intervalo entre (US$/kg) reposición (días) envíos (días) Océano normal (1) 0.40 25 7 Océano rápido (2) 0.60 18 5 La empresa está utilizando un sistema de control de inventarios (s, Q) para este ítem, calculando el tamaño de cada pedido con base en la demanda promedio y el intervalo entre envíos de cada modo de transporte. Se asume que los costos de ordenamiento son despreciables frente a los demás costos. ¿Debería la empresa aceptar la oferta del nuevo modo de transporte? Para resolver este problema debe primero calcularse la inversión promedio total requerida en inventario por cada modo de transporte y el costo de mantenimiento del inventario asociado. Ilustraremos el caso del modo océano normal, ya que el cálculo para el otro modo es semejante. Primero, para calcular el tamaño de envío Q1, de acuerdo con los supuestos, se tiene en cuenta la demanda promedio anual y el intervalo entre envíos. Así:

Q1  (240,000 u./año) / [(365 días/año) / (7 días)]  4,603 unidades


395

Ahora se calculan los tres tipos de inventario asociados con la política actual de control (en unidades):

Inventario cíclico promedio  Q1 / 2  4,603 / 2  2,302 unidades Inventario de seguridad  kˆ1 L1  2.33  200  25  2,330 unidades

Inventario en tránsito  ( D / 365)  L1  (240,000 / 365)  25  16,438 unidades Inventario promedio total  2,302  2,330  16,438  21,070 unidades Nótese la forma de calcular el inventario en tránsito, con base en la demanda promedio diaria y el tiempo de reposición expresado en días. Igualmente, es importante observar que la magnitud del inventario en tránsito es significativa comparada con la de los otros dos tipos de inventario. El supuesto que hay tras este cálculo es el hecho de que las unidades que vienen en camino ya han sido pagadas y son de propiedad de la empresa, lo cual es muy común en el ambiente de los negocios internacionales. Como ya se calcularon los inventarios en unidades, debe ahora hacerse el traslado a unidades monetarias, en este caso dólares. Así:

Inversión requerida en inventario modo océano  21,070 unidades/a ño  [160 US$/u  (0.40 US$/kg  7.0 kg/u)]  3,430,196 US$/año En este cálculo se ha considerado que el costo de transporte aumenta ligeramente el valor del producto ubicado en la bodega de la empresa (pasando de 160 a 162.8 US$/u). Ahora, es clave observar que se habla de ―inversión requerida en inventario‖ si se utiliza el modo de transporte por océano normal. Con esta inversión promedio se puede brindar el nivel de servicio especificado a los clientes. Este inventario cuesta mantenerlo y, por lo tanto, su costo de mantenimiento, aplicando la Ec. (3.5), sería:

Ivr  ( Iv)  r  (3,430,196 US$/año)  0.26 US$/US$  año  891,851 US$/año El otro componente del costo total de logística es el de faltantes, el cual se puede estimar de la siguiente forma [Ec. (5.29), con Gz(k) = 0.003352 para k = 2.33]: Costo de faltantes 

D B2v ˆ1 L1Gz (k )  240,000 0.30 162.8 200  25  0.003352 Q1 4,603

 8,536 US$/año

Al igual que lo expresado en el enunciado del problema con respecto a los costos de ordenamiento, este costo es despreciable con relación al costo de mantenimiento del inventario anteriormente calculado. Esto se explica por el alto nivel de servicio que se ha especificado. El último costo a calcular es el de los fletes por el modo océano normal, así:


396

Costo de fletes si se escoge el modo océano normal  240,000 u/año  0.40 US$/kg  7.0 kg/u  672,000 US$/año Finalmente, se calcula el costo total de logística asociado a la decisión de escoger el modo de transporte por océano normal:

Costo total de logística si se escoge el modo océano normal  891,851  8,536  672,000  1,572,387 US$/año La Tabla 10.2 resume los cálculos anteriores y los cálculos para el modo de transporte por océano rápido. Aparentemente el mejor modo de transporte es el océano normal sugiriendo que la oferta del modo por océano rápido debería rechazarse. Sin embargo, hay que tener en cuenta la siguiente observación para realizar un análisis beneficio-costo. La diferencia entre la inversión requerida en inventario y su costo de mantenimiento debe ser clara. La inversión compromete recursos de la empresa para adquirir, financiar y luego almacenar y vender los motores eléctricos, mientras que el costo total de logística es un costo real que la empresa debe asumir para poder cumplir sus metas de negocio. Obsérvese que, a pesar de que el modo océano rápido tiene un mayor costo total de logística, también compromete menos recursos de la empresa pues su inversión requerida en inventario es menor. Por lo tanto, es conveniente realizar un análisis incremental para ayudar a tomar la decisión final. Tabla 10.2. Resumen de cálculos para la selección del modo de transporte (Ejemplo 10.1) Modo de transporte

Inversión requerida en inventario (US$/año)

Costo de mantenimiento del inventario (US$/año)

Costo de faltantes

Costo de fletes

(US$/año)

(US$/año)

Costo total de logística (US$/año)

Océano normal (1)

3,430,196

891,851

8,536

672,000

1,572,387

Océano rápido (2)

2,538,039

659,890

10,227

1,008,000

1,678,117

Bajo la premisa que, independientemente del modo de transporte escogido, el nivel de servicio que se preste al cliente va a ser el mismo y que la empresa tiene los recursos suficientes para invertir en inventario de acuerdo con el modo de transporte de mayor inversión, la pregunta es: ¿Vale la pena invertir 3,430,196 – 2,538,039 = 892,157 US$/año adicionales en el modo océano normal para ahorrarse 1,678,117 – 1,572,387 = 105,730 US$/año en costos totales de logística? La respuesta debe darse con base en la tasa mínima de retorno de la empresa. Nótese que los 892,157 US$ adicionales que se invertirían por año en el modo océano normal redituarían 105,730 US$/año. Esto corresponde a 105,730 / 892,157 = 11.85 % anual. Como la tasa mínima de retorno de la empresa es del 18% anual, la conclusión es que no vale la pena hacerlo puesto que se puede mejor invertir 2,538,039 US$/año en el modo océano rápido y los 892,157 US$/año que sobran redituarían más a la tasa mínima de retorno de la empresa (18%


397

anual) que al 11.85% anual que se lograría si se continúa utilizando el modo por océano normal. Así, la sugerencia es que la oferta debería aceptarse, a pesar de que el costo total de logística indique lo contrario. El análisis anterior no se encuentra en ninguno de los textos que se han consultado, pues, en los que consideran este tema, se toma la decisión con base en el costo total de logística mínimo. El único autor que aplica esta forma de abordar el problema es Eichmann (1996). Sería interesante analizar las causas por las cuales se ignora esta opción. Incluso, en una referencia reciente por Kutanoglu y Lohiya (2008), se formula un modelo de optimización que integra las decisiones de selección de modo de transporte, nivel de inventario a mantener y servicio al cliente en una cadena de abastecimiento de repuestos y partes. En este modelo se minimiza el costo total compuesto por los costos de mantenimiento del inventario, los fletes y los costos de satisfacción de la demanda, estos últimos expresados como costos de despachos de emergencia para envíos directos de la bodega central hacia los clientes. No se menciona en el artículo nada referente a un análisis beneficio/costo para tomar la decisión.

Ejercicios 10.1 1. Diseñe una hoja electrónica que le permita reproducir y resolver el Ejemplo 10.1. Hágalo de la forma más general posible, es decir, considerando también la variabilidad del tiempo de reposición y los costos de ordenamiento. 2. Se están considerando tres servicios de transporte por camión para hacer repartos desde una de sus plantas manufactureras hacia su centro de distribución. Se dispone de la siguiente información: Demanda (constante y conocida) Costo de procesamiento de una orden Precio del producto (FOB planta) Cantidad de envío Costo de manejo del inventario en tránsito Costo de manejo del inventario cíclico y de seguridad Nivel de servicio P1 durante el tiempo de reposición Costo de faltantes B2 Días de venta *

4,500,000 kg/año $250/pedido $1.75/kg Igual al EOQ (Constante) 20% anual 30% anual* 97.5% (Constante) Desconocido 365 días/año

Utilice este costo de manejo para el cálculo del EOQ.

La información sobre los tres transportadores se ilustra a continuación: Característica

Transportador A

Transportador B

Transportador C

T. de reposición (LT) Variabilidad del LT (LT) Flete

6 días 2.0 días $0.300/kg

8 días 1.5 días $0.295/kg

11 días 1.0 días $0.313/kg

En el centro de distribución se aplica un sistema de control (s, Q) del inventario. La tasa mínima de retorno de la empresa es del 15%.

398


a) Construya una hoja electrónica que le permita determinar cuál de los tres transportadores debería seleccionarse con base en lo expuesto en el Ejemplo 10.1 y asumiendo que B2 es despreciable (La hoja electrónica puede comparar parejas de modos de transporte y utilizarse repetidamente, conservando el mejor modo cada vez). b) Usted observa que, aunque el transportador C tiene el mayor tiempo de reposición, es el más confiable dada su baja variabilidad. ¿Cuál es el máximo flete que estaría usted dispuesto a pagarle al transportador C para poder adoptar esta opción? c) Analice la incidencia que podría tener sobre la decisión un alto costo de faltantes B2 (En otras palabras, realice un análisis paramétrico en B2, tal que 0% ≤ B2 ≤ 100%).

10.3 LA SELECCIÓN DEL TRANSPORTADOR En la selección del modo de transporte se pudo observar que existen aspectos tanto cualitativos como cuantitativos a tener en cuenta para tomarla. El Ejemplo 10.1 presentó un método que considera los aspectos cuantitativos para la selección del modo de transporte. Sin embargo, en la práctica puede ser necesario considerar también los aspectos cualitativos simultáneamente con los cuantitativos. No es fácil ni existe una metodología universalmente aceptada para involucrar aspectos cualitativos, generalmente difíciles o imposibles de cuantificar, en las decisiones. El problema radica en que siempre existirán elementos subjetivos que afectan el proceso decisorio. La teoría de decisiones multi-criterio es una parte de la investigación de operaciones aplicada que busca combinar diversos criterios en los procesos decisorios, tales como los cuantitativos y los cualitativos que hemos expuesto. Dentro de las técnicas multi-criterio determinística podemos citar la programación de metas, los procedimientos de calificación absoluta y el proceso de jerarquización analítica (Analytic Hierarchy Process, AHP). La programación de metas consiste en la definición de una serie de objetivos del sistema bajo análisis, generalmente contrapuestos, los cuales no se pueden cumplir totalmente en forma simultánea. Se supone que aquí conocemos la contribución de cada variable de decisión a cada uno de los objetivos. Como éstos no se pueden cumplir totalmente, entonces definimos una serie de variables auxiliares que expresan la desviación desde cada uno de los objetivos y establecemos una penalización para cada una de las desviaciones. El problema de optimización consiste entonces en hallar los valores de las variables de decisión que minimicen la penalización total sobre todos los objetivos. En la definición de estas penalizaciones es donde precisamente surge el elemento subjetivo. Los procedimientos de calificación absoluta son procesos relativamente sencillos en los cuales definimos inicialmente los criterios bajo los cuales se hará la evaluación de la decisión de escogencia entre varias alternativas. Posteriormente, calificamos cada alternativa con respecto de cada uno de los criterios definidos. A continuación le damos un peso o factor de importancia a cada uno de los criterios. Finalmente, para cada alternativa calculamos el valor ponderado de su calificación, utilizando el peso de cada criterio definido en el paso anterior. En el proceso de calificación y en la definición de las ponderaciones de cada criterio es cuando se involucran los elementos subjetivos en el análisis. El proceso de jerarquización analítica, al cual denominaremos AHP por sus siglas en inglés, fue propuesto por Saaty (1980). En este método se realiza una comparación por parejas de alternativas con respecto de cada criterio de evaluación. Inicialmente se define el


399

objetivo buscado, por ejemplo, la selección de un transportador. Luego se definen los criterios de evaluación, los cuales pueden ser cuantitativos o cualitativos. Cada uno de los criterios puede tener una serie de subcriterios que lo definan mejor, especialmente cuando el criterio es muy general. Por ejemplo, para el caso de la selección de modo y transportador, los criterios cualitativos podrían ser los fletes y los costos de inventario. Un criterio cualitativo podría ser el rastreo de despachos, dentro del cual varios subcriterios podrían caber, tales como la velocidad de rastreo en tiempo real, el cubrimiento geográfico y la precisión de la información suministrada. Cada uno de los subcriterios y de los criterios es evaluado de acuerdo con una escala de medición por parejas establecida por Saaty de la siguiente forma: 1 3 5 7 9

= = = = =

IGUALMENTE PREFERIDA MODERADAMENTE PREFERIDA FUERTEMENTE PREFERIDA MUY FUERTEMENTE PREFERIDA EXTREMADAMENTE PREFERIDA

Esto significa que, si por ejemplo estamos comparando las alternativas A y B con respecto de cierto criterio, entonces el grupo de trabajo podría establecer que ―A es FUERTEMENTE PREFERIDA que B‖ respecto de dicho criterio. Así, a esta pareja se le asignaría un valor de 5 dentro de la matriz de preferencias que será definida más adelante. En esta definición de las preferencias es cuando entra la componente subjetiva en el proceso de decisión, pero con la ventaja de que se cuenta con un mecanismo para evaluar si hay contradicciones o inconsistencias en dicha evaluación. Este mecanismo, denominado el coeficiente de consistencia, será descrito más adelante. Descripción del AHP La técnica del AHP consta de los siguientes pasos sucesivos:  Se construye la matriz de preferencias (o matriz de comparación por parejas) entre todas las alternativas con respecto de cada uno de los criterios.  Cada matriz de preferencias se normaliza dividiendo cada término de la misma entre la suma de los elementos de su columna respectiva.  A partir de cada matriz de preferencias, se obtiene el vector de prioridad de cada criterio promediando los términos de cada fila de la matriz normalizada.  Se construye la matriz de preferencias para los criterios propiamente dichos, se normaliza de la misma forma y se obtiene el vector de prioridad de los criterios en forma semejante a como se obtuvo para cada criterio. Este paso es análogo al paso de darle el peso o importancia a cada criterio en el método de calificación absoluta.  Se verifica que tanto cada matriz de preferencias correspondiente a cada criterio como la matriz de preferencias de los criterios propiamente dichos no viole la condición de consistencia establecida por el coeficiente del mismo nombre. Esta condición establece que el coeficiente de consistencia para cada criterio debe ser menor ó igual que 0.1. Si ninguna de las matrices viola esta condición, entonces se continúa con el paso siguiente.

400


En caso contrario, se debe determinar el origen de cada inconsistencia, corregirla y repetir los pasos anteriores hasta que se cumpla esta condición.  Se calcula el producto entre una matriz formada por todos los vectores de prioridad de cada criterio y el vector de prioridad de los criterios propiamente dichos. El resultado es el vector de prioridad de las alternativas y es el que puede servir de guía para tomar la decisión final respecto de las mismas. La Figura 10.1 ilustra el procedimiento anterior. Nótese que hasta tanto no se haya alcanzado la consistencia para todos los criterios, el método no debería utilizarse como apoyo para el proceso decisorio. El Ejemplo 10.2 ilustra el proceso de jerarquización analítica AHP para el caso de selección entre tres transportadores. Diagrama de flujo para el Analytic Hierarchy Process (AHP)

Defina el objetivo general, n criterios y las m alternativas de decisión

Para cada criterio i = 1,.., n complete los siguientes pasos

Completo

Construya la matriz de comparación por parejas de criterios

Para cada criterio i, defina la matriz de comparación por parejas de alternativas

Normalice la matriz de comparación para cada criterio i

Normalice la matriz anterior

Utilizando la matriz anterior, desarrolle el vector de prioridad para los criterios

Utilizando la matriz anterior, encuentre el vector de prioridad para cada criterio i

Desarrolle el vector global de prioridades

Compute el coeficiente de consistencia para la matriz de comparación del criterio i

Si

Combine los n vectores de prioridad en una matriz de vectores de prioridad

No

¿El CCi < 0.1?

Figura 10.1. El procedimiento del proceso de jerarquización analítica (AHP) [Fuente: Traducido de Anderson et al. (1994, p. 392)]


401

Ejemplo 10.2 [Selección de transportadores utilizando el análisis absoluto y el AHP] El análisis absoluto Supóngase que se debe contratar a uno de tres transportadores para distribuir su carga en los próximos seis meses. Vamos a denominar a los transportadores como T1, T2 y T3. En una reunión de grupo en la empresa, se decidió considerar los criterios de costo (fletes), confiabilidad y disponibilidad, ya que se encontró que son los más importantes para tomar la decisión. Analizando el desempeño de cada transportador y con base en la experiencia de las personas participantes en la decisión, se determinaron inicialmente las calificaciones de cada alternativa con respecto de cada criterio (Tabla 10.3). Tabla 10.3. Matriz de calificaciones absolutas de los transportadores (Ejemplo 10.2) T1 T2 T3

Costo 90 100 50

Confiabilidad 100 50 50

Disponibilidad 80 40 100

Igualmente, el grupo definió que el criterio costo tiene una importancia del 50%, el criterio confiabilidad del 40% y el criterio disponibilidad sólo del 10%, ya que existe la posibilidad de contratar transportadores externos en caso de emergencia. De esta forma, se puede realizar el producto matricial entre la matriz de calificaciones mostrada en la Tabla 10.3 y el vector columna de la prioridad de los criterios. El resultado es un vector columna que califica a cada transportador en forma absoluta:

90 100 80  0.5 93 (para T1) 100 50 40  0.4  74 (para T2)      50 50 100 0.1 55 (para T3) Este método indica pues que el transportador a seleccionar debería ser T1. Sin embargo, se podría hacer un análisis más exhaustivo entre T1 y T2 considerando por ejemplo otros criterios e ignorando definitivamente a T3. El proceso de jerarquización analítico AHP En la misma reunión, alguien propuso utilizar un método más sofisticado para ayudar a tomar la decisión, el cual es el AHP. Se determinaron así las siguientes comparaciones entre cada pareja de transportadores para cada uno de los criterios: Criterio Costo: Para desarrollar las comparaciones con este criterio, no sólo se tuvieron en cuenta los fletes nominales para las diferentes rutas sino también la estabilidad de los costos y la facilidad de negociación con el transportador. Se obtuvieron las siguientes parejas de comparaciones:

402


T2 está entre IGUALMENTE PREFERIDO y MODERADAMENTE PREFERIDO que T1. T1 está entre MODERAMENTE PREFERIDO y FUERTEMENTE PREFERIDO que T3. T2 es MODERADAMENTE PREFERIDO que T3. Criterio Confiabilidad: En este criterio se tuvo en cuenta principalmente la consistencia de los tiempos de tránsito del transportador, la incidencia de los daños en tránsito y el manejo que da el transportador a los reclamos de la empresa en cuanto a entregas perfectas. Se obtuvieron las siguientes parejas de comparaciones: T1 es MUY FUERTEMENTE PREFERIDO que T2. T2 es IGUALMENTE PREFERIDO que T3. T1 está entre IGUALMENTE PREFERIDO y MODERADAMENTE PREFERIDO que T3. Criterio Disponibilidad: En este criterio se tuvo en cuenta principalmente la disponibilidad de los equipos de transporte y de cargue y descargue del transportador, al igual que la habilidad del transportador para manejar algunas órdenes de emergencia que puedan presentarse. Se obtuvieron las siguientes parejas de comparaciones: T1 es MUY FUERTEMENTE PREFERIDO que T2. T3 es MODERADAMENTE PREFERIDO que T1. T3 está entre MUY FUERTEMENTE PREFERIDO y EXTREMADAMENTE PREFERIDO que T2. Por otra parte, se establecieron las siguientes comparaciones de importancia entre los criterios: El COSTO está entre IGUALMENTE PREFERIDO y MODERADAMENTE PREFERIDO que la CONFIABILIDAD. El COSTO es FUERTEMENTE PREFERIDO que la DISPONIBILIDAD. La CONFIABILIDAD está entre MODERADAMENTE PREFERIDA y FUERTEMENTE PREFERIDA que la DISPONIBILIDAD. Ahora se construye la matriz de preferencias para cada criterio. Vamos a ilustrar inicialmente todo el proceso con el criterio COSTO. La matriz de preferencia para este criterio, de acuerdo con las comparaciones por parejas realizadas anteriormente es la siguiente:

T1  T1 T2 T3

T2

T3

Criterio Costo

1 1/2 2 1  1/4 1/3

4 3 1 


403

Esta matriz se lee desde las filas hacia las columnas. Por ejemplo, como se había establecido que T2 es MODERADAMENTE PREFERIDO que T3, entonces en la fila de T2 que se cruza con la columna de T3 se escribe el número 3. Dado que para el AHP aplica el principio de relación inversa, el número que debe aparecer en la fila de T3 y la columna de T3 deber ser igual al inverso de 3, es decir, 1/3. Los demás términos de la matriz se explican de forma semejante. Ahora, construimos la matriz normalizada del criterio COSTO dividiendo cada término de la matriz de preferencias entre la suma de su columna correspondiente. La matriz normalizada para el criterio COSTO es, por lo tanto, la siguiente:

T1  T1 T2 T3

T2 T3

Criterio Costo

T1

 4 T1 3  T2 1  T3

T2

T3

Criterio Costo

1 1/2 2 1  1/4 1/3

4/13 8/13  1/13

3/11 1/2  6/11 3/8  2/11 1/8

En la matriz anterior, por ejemplo, el término ubicado en la fila de T1 y en la columna de T1 proviene de dividir el término 1 entre la suma de la primera columna: 1(1 + 2 + ¼) = 4/13. Se obtiene ahora el vector de prioridad del criterio COSTO calculando el promedio de cada fila de la matriz normalizada:

T1  T1 T2 T3

T2

Criterio Costo

T3

 3/11 1/2  T1 6/11 3/8   T2 2/11 1/8 T3

Criterio Costo

4/13 8/13  1/13

0.3601 0.5120  Vector de prioridad del COSTO   0.1279

El procedimiento anterior se repite para cada uno de los criterios restantes y para los criterios propiamente dichos, obteniéndose los siguientes resultados: Matrices de preferencia, matrices normalizadas y vectores de prioridad de los criterios CONFIABILIDAD y DISPONIBILIDAD y de los CRITERIOS propiamente dichos:

T1  T1 T2 T3

T2 T3

Confiabilidad

T1

 2 T1 1  T2 1 T3

T2

Confiabilidad

1 1/7  1/2

7 1 1

T3  1/2  T1 1/4   T2 1/4  T3

Confiabilidad

14/23 7/9 2/23 1/9  7/23 1/9

0.6288 0.1494   0.2218


404

T1

T2 T3

Disponibilidad

 T1 T2 T3

T1

T2

Disponibilidad

1 1/7  3

 7 1/3 T1 1 1/8   T2 8 1  T3

Criterios  

Costo Conf. Disp.

Disponibilidad

7/29 7/16 1/29 1/16  21/29 1/2

Costo Conf. Disp.

Costo Criterios  

2 5 Costo 1 1/2 1 4   Conf.   1/5 1/4 1  Disp.

T3

10/17 5/17  2/17

Conf.

 8/35  T1 3/35   T2 24/35 T3 Disp. Criterios  

8/13 4/13 1/13

0.3025 0.0609   0.6366

1/2  Costo 2/5   Conf. 1/10  Disp.

0.5679 0.3339   0.0982

Cálculo de los coeficientes de consistencia: El paso siguiente es la determinación de todos los coeficientes de consistencia. Esto se realiza de la siguiente forma:  Se toma la matriz de preferencias original del criterio dado y se multiplica matricialmente por el vector de prioridad del criterio respectivo. Por ejemplo, para el criterio COSTO se haría de la siguiente manera:

T1  T1 T2 T3

T2

T3

Criterio Costo

1 1/2 2 1  1/4 1/3

4 0.3601 1.1278  3 0.5120  1.6160  1  0.1279 0.3886

 Se divide cada elemento del vector obtenido anteriormente entre su correspondiente valor (en la misma posición) en el vector de prioridad del criterio bajo análisis. Para el criterio COSTO sería:  T1 T2 T3

Criterio Costo

1.1278 / 0.3601  3.1315 1.6160 / 0.5120   3.1565     0.3886 / 0.1279 3.0380

 Se obtiene el max como el promedio de los términos del vector anterior. Para el criterio COSTO sería igual a (3.1315 + 3.1565 + 3.0380) / 3 = 3.1087.  Se determina el ÍNDICE DE CONSISTENCIA IC de acuerdo con el número de alternativas m, mediante la siguiente expresión:


IC 

máx  m m 1



3.1087  3  0.0543 3 1

405

(10.1)

 Se determina el ÍNDICE ALEATORIO IA, el cual tiene en cuenta la característica probabilística de la asignación de las comparaciones por parejas. De acuerdo con Taha (1997, p. 525), este índice se puede calcular como: IA 

1.98(m  2) 1.98(3  2)   0.6600 m 3

 Finalmente, el COEFICIENTE DE CONSISTENCIA CC se define como CC = IC/IA. En este caso sería CC = IC/IA = 0.0543 / 0.66 = 0.08227. El criterio de aceptación es que el CC deber ser menor que 0.1, lo cual ocurre en este caso. Por lo tanto, la definición de la matriz de comparaciones del criterio COSTO fue satisfactoria y se puede aceptar que estas comparaciones son consistentes. De forma análoga, se determina el CC para el criterio CONFIABILIDAD. Se sugiere al lector comprobar que en este caso se obtiene CC = 0.1377 > 0.1. Por lo tanto, es posible que hayamos incurrido en una consistencia cuando definimos la matriz de comparación para este criterio. Analicemos de nuevo estas comparaciones: T1 es MUY FUERTEMENTE PREFERIDO que T2. T2 es IGUALMENTE PREFERIDO que T3. T1 está entre IGUALMENTE PREFERIDO y MODERADAMENTE PREFERIDO que T3. Para hallar más fácilmente la posible inconsistencia, utilicemos un lenguaje matemático. Si decimos que T1 es MUY FUERTEMENTE PREFERIDO que T2, podemos representarlo como T1 >> T2. Igualmente, T2 = T3 y T1  T3. La inconsistencia, por lo tanto, es que si decimos que T1 es ‗mucho mejor‘ que T2 respecto de este criterio, y como T2 = T3, entonces lo lógico sería que T1 también fuera ‗mucho mejor‘ que T3, si aceptamos que estas calificaciones debe cumplir con una cierta ley de transitividad. Sin embargo, estamos diciendo que T1 es ‗casi igual‘ que T3. La forma de corregir esta inconsistencia es la de volver a discutir en grupo las comparaciones bajo este criterio. Supongamos que al hacerlo, llegamos a la conclusión de que efectivamente T1 está entre MODERADAMENTE PREFERIDO y FUERTEMENTE PREFERIDO que T3, respecto del criterio CONFIABILIDAD. Esto significa que el término en (T1, T3) de la matriz de preferencias cambia de 2 a 4. Al implementar este cambio en la matriz de preferencias de este criterio, se llega a un nuevo CC = 0.0267 < 0.1 y, por lo tanto, se puede declarar consistencia en este criterio. La nueva matriz de comparaciones, la nueva matriz normalizada y el nuevo vector de prioridad para este criterio serían entonces los siguientes:


406

T1  T1 T2 T3

T2 T3

Confiabilidad

T1

 4 T1  1  T2 1 T3

T2

Confiabilidad

1 1/7  1/4

7 1 1

T3  2/3 T1  1/6   T2 1/6  T3

Confiabilidad

28/39 7/9 4/39 1/9  7/39 1/9

0.7208 0.1268   0.1524

El CC para el criterio disponibilidad es igual a 0.0803 < 0.1, con lo que este criterio también pasa la prueba. Igualmente, si hacemos lo mismo para los criterios mismos se obtiene un CC = 0.0186 < 0.1, con lo que aquí tampoco hay problemas de consistencia. Es de notar que la inconsistencia en los criterios mismos es discutible ya que no es muy claro que aplique la ley de transitividad expuesta anteriormente. La priorización de las alternativas de decisión (transportadores): Como ya logramos establecer la consistencia en todos los casos, el paso final es calcular el vector de prioridad de los transportadores. Esto se logra formando una matriz con los vectores de prioridad de los tres criterios y multiplicándola por el vector de prioridad de los criterios (después de haber corregido cualquier inconsistencia). En este caso se utiliza el nuevo vector de prioridad del criterio CONFIABILIDAD y se obtiene lo siguiente: Costo

 T1 T2 T3

Conf.

Disp.

Resultadofinal

0.3601 0.7208 0.3025  0.5120 0.1268 0.0609   0.1279 0.1524 0.6366

Criterios  

Costo Conf. Disp.

 T1 0.5679 0.3339  T2   0.0982 T3

Resultadofinal

0 .4 7 4 9 0 .3 3 9 1   0 .1 8 6 0

Mediante este método la conclusión es que el mejor transportador es T1. Sin embargo, dada la cercanía de T2 se requiere de un análisis más detallado, posiblemente incluyendo otros criterios de decisión. El transportador T3 definitivamente no debería seguirse considerando en el análisis. Cuando aplicamos la técnica absoluta llegamos a la misma conclusión. Sin embargo, el método del AHP es mucho más poderoso por dos motivos principales:  La realización de comparaciones por parejas de alternativas es mucho más eficiente y puede presentar menos inconsistencias que la comparación absoluta de varias alternativas en forma simultánea.  El método del AHP, a través del índice de consistencia, provee de una poderosa herramienta para evitar las inconsistencias. Una limitación, sin embargo, es que el coeficiente de consistencia indica el criterio para el cual se produce la inconsistencia, pero no identifica cuál es la inconsistencia exactamente. Este trabajo lo deben hacer los analistas. Esta es una rama de investigación actualmente.


407

Tal vez la única desventaja del AHP frente al método absoluto es la simplicidad de este último. Sin embargo, la construcción de hojas electrónicas y el desarrollo actual de varios programas de técnicas de decisión multi-criterio minimizan esta desventaja. El AHP puede aplicarse virtualmente en cualquier campo donde se necesite priorizar alternativas de decisión. Por ejemplo, Tadisina et al. (1991) presentan una aplicación para seleccionar entre varios programas de doctorado. Badri (1999) aplica el AHP y la programación de metas en decisiones de localización y asignación global. Forman y Gass (2001) presentan una serie de aplicaciones del AHP, incluyendo selección entre varias alternativas en Xerox, NASA y la Universidad de Chile, asignación de recursos, benchmarking, administración de la calidad, políticas públicas, aplicaciones en salud y planeación estratégica. Tavana (2003) muestra de nuevo aplicaciones del AHP para evaluar y priorizar proyectos de tecnología avanzada en la NASA. Más recientemente, Chan y Kumar (2007) aplican el AHP para el desarrollo de proveedores globales y Rabelo et al. (2007) integran la técnica del AHP con dinámica de sistemas y simulación discreta para simular las actividades de producción y servicio de una cadena de suministro global de una empresa manufacturera de equipos de construcción. Algunas aplicaciones muy recientes de AHP y algunas de sus extensiones en logística incluyen Gümus (2009), Vahidnia et al. (2009) y Lin (2009).

10.4 EL PROBLEMA DEL RUTEO DE VEHÍCULOS Tal vez uno de los problemas más complejos y de mayor investigación actualmente en transporte es el del ruteo de vehículos (Vehicle Routing Problem VRP). Por facilidad, lo seguiremos llamando VRP. Este problema involucra una serie de famosos problemas de redes, como son el problema de la distancia más corta (shortest path), el problema del transporte y el del viajero de negocios (Traveling Salesman Problem TSP). En esta sección vamos a analizar estos problemas, los cuales conllevan al problema más general del VRP. En general, los problemas de ruteo se pueden clasificar en dos grandes grupos. Los problemas con origen y destino diferentes y los problemas con el mismo origen y destino. Problemas con origen y destino diferentes En esta clasificación podemos identificar los siguientes problemas, entre otros posibles:  El problema de la ruta más corta  El problema del transporte  El problema del cartero chino (algunas versiones) Estos problemas se caracterizan porque el origen de la ruta no coincide con el destino o destinos. En general, este tipo de problemas son relativamente más tratables y se pueden obtener soluciones óptimas en forma computacionalmente eficiente. Más adelante describiremos cada uno de ellos.

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Problemas con origen y destino coincidentes En esta clasificación podemos identificar los siguientes problemas, entre otros posibles:  El problema del viajero de negocios, al cual seguiremos denominando TSP  El problema del ruteo de vehículos  El problema del cartero chino (algunas versiones) Estos problemas se caracterizan porque el origen de cada ruta coincide con su destino. Generalmente son difíciles de resolver a optimalidad y se clasifican como NP-Completos o ‗duros‘ de resolver (NP-Hard). Es decir, que para ellos no se conoce si existe un algoritmo que los resuelva en tiempo polinomial en función de su tamaño. Más adelante describiremos cada uno de ellos. Existen además múltiples problemas híbridos que pueden ser combinación de los anteriores o casos especiales de los mismos. Un texto excelente para consultar una gran cantidad de problemas de redes es el de Ahuja et al. (1993). 10.4.1. El problema de la ruta más corta

Figura 10.2. El problema de la ruta más corta En el problema de la ruta más corta en una red direccionada con costos sobre los arcos positivos se necesita determinar una ruta que partiendo de un nodo origen alcance un nodo destino con ‗costo‘ total mínimo. El término ‗costo‘ puede significar distancia, tiempo, costo propiamente dicho o cualquier otra medida de eficiencia sobre la red. En la Figura 10.2, por ejemplo, se requiere hallar la ruta más corta partiendo del nodo origen 1 y llegando al nodo destino 8. El problema de la ruta más corta tiene importancia real en los problemas de ruteo de vehículos ya que en este problema se requiere encontrar la ruta más corta entre cada par de paradas de una ruta establecida. Por ejemplo, en ruteo urbano es muy posible que si un camión está haciendo una entrega al cliente A y el cliente B es el próximo en la ruta, entonces se necesite encontrar la ruta más corta entre A y B a través del sistema de calles de la ciudad. Existen múltiples algoritmos de solución de este problema. En realidad, la investigación sobre este problema sigue activa ya que en muchos otros problemas más complejos se requiere hallar su solución millones de veces y por ello entre más rápido se resuelva el problema de la ruta más corta, se logra más eficiencia para resolver el problema complejo más rápidamente.


409

Además, se investigan extensiones del problema, como por ejemplo Bock (2010) y Peyer et al. (2009). Aquí vamos a describir el conocido algoritmo de Dijkstra para resolver este problema, dada su simplicidad y eficiencia. Muchos paquetes comerciales de diseño de redes e investigación de operaciones traen este y otros algoritmos para resolver este problema. El algoritmo de Dijkstra En este algoritmo, cada nodo i tiene dos valores que lo caracterizan, a saber (di, pi). La variable di representa la distancia mínima conocida hasta dicho nodo desde el nodo origen. La variable pi es el nodo predecesor del nodo i en la ruta más corta identificada y caracterizada por la distancia di. Ambos valores son necesarios porque en este problema no sólo se necesita conocer la distancia mínima sino la ruta que la proporciona. Por otra parte, el algoritmo marca los nodos de dos formas: Temporalmente y en forma definitiva. Un nodo marcado en forma temporal puede sufrir cambios en cuanto a los valores que lo caracterizan; un nodo marcado definitivamente, sin embargo, no puede sufrir transformación de estos valores. El algoritmo se presenta a continuación. Datos de entrada y definiciones: Red con un conjunto N de n nodos y un conjunto de arcos dirigidos A: {(i, j); i y j  N}. Cada arco (i, j)  A tiene especificada una distancia dij  0. Sea S un subconjunto del conjunto de nodos N (S  N). Sea o el nodo origen y z el nodo destino. Paso 1: Marque todos los nodos de la red en forma temporal con (, -), excepto el nodo origen o que se marca como (0, -). Haga S = N el conjunto de nodos marcados temporalmente. Paso 2: Si S   (el conjunto vacío), CONTINUAR CON EL PASO 3. En caso contrario, la distancia más corta entre el nodo origen o y el nodo destino z es igual a dz y la ruta más corta se halla devolviéndose a partir del predecesor inmediato del nodo destino z y continuando en reversa hasta llegar al nodo origen o. PARAR. Paso 3: Escoja el nodo k  S cuya distancia mínima dk sea la mínima entre todos los nodos marcados temporalmente. Si hay empates, se rompen arbitrariamente. Marque el nodo k en forma definitiva y haga S  S – {k} (operación diferencia de conjuntos). Paso 4: Para cada nodo j  S que sea alcanzable en forma directa desde el nodo k, determine si dk + dkj < dj. Si este es el caso, entonces cambie la marcación temporal del nodo j a (dk + dkj, k). En caso contrario, no altere la marcación del nodo j. Si ocurre que dk + dkj = dj, entonces no es necesario cambiar la marcación temporal del nodo j a menos que se quieran encontrar rutas óptimas alternas. Una vez completado este paso, RETORNAR AL PASO 2.

410


Ejemplo 10.3 [El algoritmo de Dijkstra para hallar la ruta más corta en una red] Aplicar el algoritmo de Dijkstra a la red de la Figura 10.2 para hallar la distancia más corta y una ruta óptima entre el nodo 1 y el nodo 8. El Paso 1 se muestra en la Figura 10.3. Todos los nodos se marcan como (, -), excepto el nodo origen que se marca como (0, -). Así, al ir a los Pasos 2 y 3, el conjunto S es no vacío y el nodo marcado temporalmente que presenta la distancia mínima es, por supuesto, el nodo origen con d1 = 0. Por lo tanto, este nodo se marca en forma definitiva. En las figuras, distinguiremos un nodo marcado en forma definitiva porque su marcación está rodeada por un rectángulo.

Figura 10.3. El algoritmo de Dijkstra (Pasos 1, 2 y 3) Continuando con el Paso 4, los dos nodos alcanzables directamente desde el nodo origen 1 son el 2 y el 3. Como d1 + d12 = 0 + 1 = 1 < d2 = , entonces se debe actualizar la marcación del nodo 2 a (1, 1), ya que se ha encontrado una nueva distancia mínima desde 1 hasta 2 y un nuevo predecesor. Análogamente, el nodo 3 se debe marcar como (2, 1), como se muestra en la Figura 10.4. Volviendo al Paso 2, S es no vacío y en el Paso 3 se halla que el nodo temporalmente marcado con distancia mínima es el nodo 2 con d2 = 1. Por lo tanto, marcamos este nodo en forma definitiva y analizamos los nodos alcanzables en forma directa desde él. Como d2 + d23 = 1 + 1 = d3 = 2, entonces no es necesario modificar la marcación temporal del nodo 3. Por el contrario, la marcación de los nodos 4 y 5 sí debe actualizarse a (6, 2) y (3, 2), respectivamente y retornar de nuevo al Paso 2. (Figura 10.5)


411

Figura 10.4. El algoritmo de Dijkstra (Paso 4)

Figura 10.5. El algoritmo de Dijkstra (Marcación definitiva del nodo 2 y actualización de los nodos 4 y 5) Como aún S es no vacío, el nodo temporal con distancia mínima es el nodo 3 (d3 = 2) y por ende se marca en forma definitiva y se actualizan los nodos 4 y 6. Nótese que el nodo 4 tenía una marcación anterior de (6, 2). Como d3 + d34 = 2 + 2 = 4 < d4 = 6, entonces se actualiza la marcación del nodo 4 a (4, 3). El nodo 5 no se actualiza porque la nueva distancia es igual a la que traía antes. (Figura 10.6) Al iniciar la iteración siguiente, el nuevo nodo marcado temporalmente con distancia mínima es ahora el nodo 5. Se marca entonces en forma definitiva y se actualiza sólo el nodo 7 a (10, 5), pues el nodo 6 no mejora en cuanto a su distancia mínima. (Figura 10.7) El nodo a marcar definitivamente ahora es el nodo 4, con una distancia mínima d4 = 4. Esta, sin embargo, es una iteración de transición puesto que ninguno de los nodos alcanzables desde el nodo 4 sufre variación. El nodo 5 ni siquiera debe analizarse porque ya estaba marcado ya en forma definitiva. Los nodos 6 y 7 no mejoran en cuanto a su distancia mínima desde el nodo 4 y por ende no se actualiza su marcación temporal.

412


Figura 10.6. El algoritmo de Dijkstra (Marcación definitiva del nodo 3 y actualización de los nodos 4 y 6)

Figura 10.7. El algoritmo de Dijkstra (Marcación definitiva del nodo 5 y actualización del nodo 7)

Figura 10.8. El algoritmo de Dijkstra (Marcación definitiva del nodo 4. En este caso ningún nodo alcanzable desde el 4 sufre cambios de marcación)


413

El nuevo nodo a marcar es el nodo 6, con una distancia mínima d6 = 6. El nodo 7 no sufre variaciones en cuanto a su marcación, pero en esta iteración se logra alcanzar el nodo destino 8, el cual se actualiza a (8, 6). El nodo 7 no sufre cambio alguno. La Figura 10.9 muestra la red una vez cumplido este paso.

Figura 10.9. El algoritmo de Dijkstra (Marcación definitiva del nodo 6. En este caso se alcanza el nodo destino, pero aún quedan dos nodos no marcados) En la iteración siguiente aún quedan dos nodos sin marcar. Así, se escoge el nodo 8, el nodo destino, como aquél con la mínima distancia (d8 = 8). Dado que este es el nodo destino, en este caso él no tiene nodo alguno alcanzable en forma directa. Por lo tanto, se marca en forma definitiva, pero no ocurre cambio alguno. En este momento, el conjunto S = {7}. Por lo tanto, se marca este último nodo, pero como el único nodo alcanzable desde él es el nodo 8 y éste ya está marcado definitivamente, tampoco ocurren cambios.

Figura 10.10. Resultado final del algoritmo de Dijkstra para el Ejemplo 10.3. Las flechas más gruesas indican una ruta óptima entre los nodos 1 y 8.


414

Al retornar al Paso 2 encontramos que el conjunto S es vacío y, por lo tanto, el proceso termina. La Figura 10.10 ilustra la situación final de la red, con la ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 8, hallada a partir de la información de los nodos antecesores, y la distancia mínima igual a d8 = 8. El algoritmo de Dijkstra no sólo provee de la distancia más corta desde el origen hacia el destino y la ruta respectiva. En realidad, brinda todas las distancias más cortas entre el nodo origen y todos los demás nodos de la red, al igual que las rutas respectivas. La Tabla 10.4 ilustra todas las distancias y rutas más cortas desde el nodo origen hasta el resto de nodos de la red para el Ejemplo 10.3. Tabla 10.4. Distancias y rutas más cortas entre el nodo 1 y el resto de nodos de la red (Ejemplo 10.3) NODO 2 3 4 5 6 7 8

DISTANCIA MÁS CORTA DESDE EL NODO 1 (Km) 1 2 4 3 6 10 8

RUTA ÓPTIMA* 1-2 1-3 1-3-4 1-2-5 1-3-6 1-2-5-7 1-3-6-8

*

Existen rutas óptimas alternativas, ya que hubo empates durante el desarrollo del algoritmo.

A continuación pasamos a los problemas de ruteo cuando el origen y el destino coinciden. El problema del transporte no lo tratamos en este capítulo por ser del resorte de la optimización de redes del Capítulo 11, donde se presentan extensiones del mismo. El problema del cartero chino (Chinese Postman Problem) consiste en encontrar una ruta que recorra al menos una vez por todos los arcos de la red y simultáneamente lo haga con la mínima distancia total recorrida posible. El inicio y el final de la ruta pueden o no coincidir y por ello este problema puede pertenecer a cada una de las dos clasificaciones mencionadas anteriormente. Este problema se aplica especialmente al ruteo de vehículos recolectores de residuos sólidos en las ciudades. 10.4.2. El problema del viajero de negocios El problema del viajero de negocios, más conocido como el TSP en el área de la investigación de operaciones, es muy sencillo de plantear. Se trata de un viajero de negocios, cuya base es la ciudad 0 y debe visitar a n clientes ubicados en diversas poblaciones alrededor de la ciudad 0. El viajero debe visitar a todos los clientes y retornar a su ciudad de origen, de tal forma que recorra la menor distancia posible. La Figura 10.11 ilustra un ejemplo de un problema del TSP con 15 ciudades. El problema luce muy sencillo, pero en realidad se han escrito libros e innumerables artículos científicos sobre él y es tema actual de investigación. El texto por Applegate et al. (2006) es un excelente ejemplo. Incluso existen páginas web dedicadas al mismo (recomiendo visitar la página http://www.tsp.gatech.edu/optimal/index.html). La aplicación del TSP no sólo es en el área de logística en problemas de ruteo de camiones. Hay múltiples aplicaciones como por


415

ejemplo la presentada en la recolección de órdenes (order picking) en el Capítulo 8 y en la producción de circuitos integrados, donde un robot debe soldar miles de posiciones en una tableta electrónica y retornar a su posición base en el mínimo tiempo posible.

Figura 10.11. El problema del viajero de negocios (TSP) La dificultad del TSP radica en el hecho de que es un problema NP-Completo o ‗duro‘ de resolver y aún no se le conoce algoritmo polinomial de solución y probablemente éste no exista. En la vida real, un problema del TSP puede tener decenas o cientos de miles de ciudades. En la página web mencionada anteriormente se ilustra un caso aplicado en producción con técnicas láser con 85,900 puntos, resuelto óptimamente en 2006, el cual se había constituido en un problema de concurso. En realidad hay casos mayores reportados, pero generalmente con la aplicación de métodos heurísticos que no garantizan la solución óptima. Por ejemplo, Applegate et al. (2003) reportan casos resueltos al 1% de optimalidad, los cuales llegan a tener hasta 25,000,000 de ciudades y son resueltos en aproximadamente un día de computación. Ejemplo 10.4 [Un caso muy pequeño del TSP] La Figura 10.12 muestra un caso muy simple del TSP con dos posibles rutas. En la ruta del lado izquierdo existen cruces. Esto por lo general conlleva a soluciones muy pobres. La ruta del lado derecho corrige esta situación y mejora la ruta. Es importante aclarar cómo se calculan las distancias en este ejemplo. Las distancias más utilizadas son las distancias Euclidianas. Dados dos puntos en el plano, (x1, x2) y (y1, y2), la distancia Euclidiana o rectilínea se define como:

d  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2

(10.2)


416

14

14

(1,12)

12

10

10

(6,8)

(2,8)

8

(-3,7)

(-3,7) 6

6

(4.5,5)

4

(4.5,5)

4

2

2

(0,0)

0 -2

(6,8)

(2,8)

8

-4

(1,12)

12

(0,0) 0

0

2

4

6

8

-4

-2

0

2

4

6

8

Ruta deficiente (hay cruces): Ruta mejorada (no hay cruces): Distancia total = 37.4454 Distancia total = 35.0540 Figura 10.12. Un pequeño ejemplo del TSP (Ejemplo 10.4) Por ejemplo, la distancia rectilínea total de la ruta a la derecha (Figura 10.12) se calcula así:

d  (0  3) 2  (0  7) 2  (1  3) 2  (12  7) 2  (1  6) 2  (12  8)2  (6  2)2  (8  8)2  (2  4.5)2  (8  5) 2  (4.5  0)2  (5  0) 2  35.0540 unidades de longitud Distancias reales vs. rectilíneas (Algunas ciudades de Colombia) 2000 1800

Distancias Reales [Km]

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

200

400

600

800

1000

1200

Distancias Rectilíneas [Km]

Figura 10.13. Gráfica de distancias reales contra distancias rectilíneas en km entre las principales ciudades de Colombia (Pendiente de la recta de regresión = 1.57)


417

Obviamente, en un caso real, por ejemplo en una ciudad, las distancias deberían medirse de acuerdo con el sistema de calles. Estas distancias, conocidas como rectangulares, son menos tratables matemáticamente que las rectilíneas. Éstas se pueden aproximar a las reales mediante factores adecuados y así se pueden utilizar para efectos de todos los análisis de ruteo. Por ejemplo, hace algún tiempo realicé un pequeño estudio que comparaba las distancias rectilíneas con las distancias por carretera en Colombia. La metodología es relativamente sencilla. Se toman las distancias reales por carretera entre las principales ciudades del país y se grafican contra la misma distancia medida en forma rectilínea (Figura 10.13). El resultado es una serie de puntos a los cuales se les puede ajustar una línea recta de mínimos cuadrados, obteniéndose una pendiente que relaciona la distancia real con la distancia por carretera. Se obtuvo un factor de 1.57, el cual es considerablemente mayor que los publicados para Estados Unidos (entre 1.2 y 1.3). Este resultado es el esperado dada la topografía de nuestro país. En la Figura 10.13 hay dos puntos que parecen ser datos atípicos. En efecto, estos puntos están relacionados con la ciudad de Neiva. Por ejemplo, la distancia por carretera entre Neiva y Cali (o viceversa) es considerablemente mayor que su distancia rectilínea. Por este motivo este tipo de estudios puede hacerse de forma selectiva por regiones geográficas, con lo cual se obtienen resultados más robustos. Para el caso de una ciudad relativamente uniforme se obtienen resultados más consistentes. Algunos estudios publican factores entre 1.2 y 1.4 como factores a tener en cuenta cuando se trabaja con distancias rectilíneas. Continuando con el tema del Ejemplo 10.4, la pregunta natural que surge es, ¿cuál es la solución óptima del problema planteado? En un problema tan pequeño, se puede encontrar fácilmente. Para ello vamos a analizar las formulaciones matemáticas básicas del TSP. Definamos inicialmente las siguientes variables de decisión y conjuntos:

xij  1, si el arco (i, j ) pertenece a la ruta; 0, de lo contrario dij  Distancia del nodo i al nodo j V  Conjunto de vértices S  Subconjunt o de V n  Número de puntos o ciudades a visitar La formulación binaria clásica del TSP es la siguiente:

Minimizar  d ij xij i j

sujeto a : n

x i 1

ij

(10.3)

n

x j 1

ij

x

i , jS

 1; j  1,2,..., n

ij

 1; i  1,2,..., n  S  1; S  V ; 2  S  n  2

xij  0,1; i, j  1,2,..., n; i  j

418


Los dos primeros conjuntos de restricciones de la formulación (10.3) corresponden al típico modelo de asignación. Estas restricciones aseguran que a cada nodo sólo entra y sale un arco. Sin embargo, estas restricciones no son suficientes para definir una ruta, ya que pueden presentarse una serie de rutas desconectadas y cíclicas que cumplen con los dos primeros conjuntos de restricciones pero que no son realmente rutas válidas. La Figura 10.14 muestra un caso posible de subrutas para la red del Ejemplo 10.4. 14

12

10

8

6

4

2

0 -4

-2

0

2

4

6

8

Figura 10.14. Ilustración de posibles subrutas que pueden presentarse en la formulación incompleta del TSP (Se muestran para la red del Ejemplo 10.4) Para completar la formulación del TSP se hace necesario un conjunto de restricciones que eliminan cualquier posible subruta. Este conjunto es el tercero del modelo (10.3) y lo que hace básicamente es eliminar las subrutas en la red óptima, excepto el ciclo que contiene a todos los puntos. Esto se logra limitando el número de arcos presentes en cualquier subconjunto S de vértices que contenga entre 2 y n – 2 puntos. Lo que complica al modelo del TSP son estas restricciones que eliminan las subrutas, ya que se trata de un modelo binario cuyas restricciones crecen en forma exponencial con el número n de puntos a visitar. Algunos autores han propuesto otras formulaciones equivalentes, como por ejemplo la siguiente:


419

Minimizar  d ij xij i j

sujeto a : n

x i 1

 1; j  1,2,..., n

ij

n

x j 1

 1; i  1,2,..., n

ij

(10.4)

ui  u j  (n  1) xij  n  2; i  2,..., n; j  2,..., n 1  ui  n  1; i  2,..., n

xij  0,1; i, j  1,2,..., n; i  j

Aunque el modelo (10.4) contiene más variables que el modelo (10.3), la forma como se expresan las restricciones que eliminan las subrutas es más eficiente. Para el caso del problema del Ejemplo 10.4, esta formulación es la siguiente: 6

Minimizar

d

i 1,i  j

x

ij ij

sujeto a : 6

x i 1

ij

6

x j 1

ij

 1; j  1,2,...,6  1; i  1,2,...,6

(10.5)

ui  u j  5 xij  4; i  2,...,6; j  2,...,6 1  ui  5; i  2,...,6

xij  0,1; i, j  1,2,...,6; i  j

El modelo (10.5) contiene 35 variables binarias y 32 restricciones y se resuelve fácilmente utilizando software comercial. Para formularlo adecuadamente, se deben bautizar los 6 puntos a visitar. La solución óptima x12 = x23 = x36 = x65 = x54 = x41 = 1 brinda la ruta óptima, con una distancia mínima = 32.2229 unidades de longitud. La Figura 10.15 ilustra esta solución. La solución óptima anterior sugiere algunos principios empíricos básicos para el diseño de una ruta del TSP. Primero, deben evitarse los cruces en la ruta. Segundo, la secuencia de paradas debe ‗parecerse lo más posible a una lágrima‘. En realidad, este principio indica que deben evitarse los picos fuertes en la figura de la ruta y tratar de que sea lo más convexa posible. Lo realizado aquí para el Ejemplo 10.4 resulta ser prohibitivo para tamaños reales del TSP y por ello es muy difícil o imposible encontrar soluciones óptimas. Por lo tanto, es necesario aplicar métodos heurísticos de solución, algunos de los cuales serán utilizados posteriormente en el tema de ruteo de vehículos VRP.

420


14

3(1,12)

12

10

5(6,8) 8

6(2,8)

2(-3,7) 6

4(4.5,5) 4

2

W =1(0,0) 0 -4

-2

0

2

4

6

8

Figura 10.15. Solución óptima del problema del TSP del Ejemplo 10.4 (Distancia mínima = 32.2229 unidades de longitud) 10.4.3. El problema del ruteo de vehículos (VRP) Introducción y características del problema El problema del ruteo de vehículos es mucho más complejo que el problema del TSP. En realidad un VRP consta de múltiples problemas del TSP, pero con restricciones y características adicionales que pueden volver extremadamente complejo el problema. La Figura 10.16 muestra un ejemplo con un CD y cuatro rutas. Los vehículos en cada ruta pueden ser iguales o diferentes. 5 4 6 2

3

7 8

1

9 CD

15

10 13 12 14 11

Figura 10.16. El problema de ruteo de vehículos


421

En logística, un problema clásico de ruteo lo encontramos cuando varios camiones salen de un centro de distribución y deben visitar a varios clientes, hacer diversas entregas y retornar al CD. En realidad, pueden presentarse una o más de las siguientes situaciones:  Cada parada puede tener un cierto volumen para ser entregado, o recogido o ambos.  Múltiples vehículos con diferentes eficiencias, capacidades volumétricas y gravimétricas pueden ser utilizados.  Pueden existir paradas cuya demanda individual sea superior a la capacidad del camión más grande. En estos casos, la parada debería ser visitada por más de un camión o por el mismo camión más de una vez con rutas de recargue en el CD.  Pueden existir ‗ventanas de tiempo‘ (time windows). Una ventana de tiempo exigida por un cliente o punto de entrega es un intervalo determinado dentro del cual los vehículos deben arribar al lugar de destino.  En algunos casos, la recolección solo puede hacerse después de haberse realizados los despachos (relaciones de precedencia).  Las rutas en días sucesivos pueden ser significativamente diferentes, lo que convierte a este problema en uno operativo de muy corto plazo.  Pueden existir rutas tan largas que hagan necesario que los conductores pernocten en un lugar diferente a su ciudad base y continúen la ruta al día siguiente. Por el contrario, pueden existir rutas tan cortas o vehículos de tan poca capacidad que se requiera realizar rutas con recargue, es decir, que los vehículos retornan al CD a recargar e iniciar una nueva ruta.  El máximo tiempo de viaje continuo generalmente puede estar regulado.  Los conductores tienen períodos de descanso y alimentación.  Pueden existir barreras geográficas y configuraciones especiales de la infraestructura que complican el proceso de ruteo. Por otra parte, existen diferentes clases de problemas de ruteo, especialmente cuando se combinan con otros problemas logísticos. A continuación damos una lista de ellos, no necesariamente exhaustiva:  Existen problemas del VRP con múltiples depósitos, en los cuales primero debe asignarse los clientes a los depósitos y posteriormente resolver cada problema del VRP.  El VRP puede tener uno o varios componentes aleatorios, denominándose el problema de ruteo de vehículos aleatorio (Stochastic Vehicle Routing): la demanda en la ruta, la velocidad de los vehículos, los tiempos de tránsito, de cargue y descargue, el hecho de que el cliente esté o no presente cuando llega el vehículo, entre otros posibles detalles.  Como cada vehículo muy probablemente va a llevar muchos productos diferentes, el problema de ruteo puede combinarse con problemas de control de inventarios y de cargue del vehículo; este se denomina el problema de ruteo e inventarios (The Inventory Routing Problem). Un caso particular de éste ocurre cuando el problema de ruteo se resuelve bajo un ambiente de inventario manejado por el proveedor (Vendor Managed Inventory VMI). Aquí el proveedor determina las cantidades a entregar de cada producto en cada parada y diseña las rutas acordemente.

422


 El problema puede ser de ruteo dinámico, es decir, que puede existir reprogramación de rutas en tiempo real una vez el vehículo ya se encuentre en el recorrido. Este tipo de problemas es actualmente muy importante, especialmente para empresas que reciben pedidos por Internet en cualquier momento y prometen tiempos específicos de entrega.  El problema de ruteo puede combinarse con problemas estratégicos, como los de localización, denominándose el problema de ruteo y localización (The Location Routing Problem). En este tipo de problemas, se trata no sólo de encontrar la mejor localización de los CDs sino de simultáneamente diseñar las mejores rutas, todo con el mismo modelo.  Existen problemas de ruteo de diferente naturaleza, no necesariamente relacionados con el transporte de carga. Entre estos problemas podemos citar: La recolección de residuos sólidos, el transporte de pasajeros tanto público como privado, el diseño de rutas de buses escolares, el diseño de rutas de helicópteros, rutas de recolección de documentos, rutas de vigilancia de policía y ambulancias, entre otras posibles. Toda la anterior diversidad y variabilidad de situaciones puede volver al VRP un problema altamente complejo para el cual es imposible hallar soluciones óptimas. Por ello, prácticamente todos los métodos de solución actuales son heurísticos. La literatura sobre el VRP es muy amplia; una excelente revisión, descripción y características de la mayoría de los tipos de problemas del VRP se puede consultar a Cordeau et al. (2007). Estos autores describen los problemas y sus algoritmos de solución hasta 2007 con gran detalle y dan múltiples referencias adicionales. A pesar de toda la variedad de los problemas anteriormente presentados, es muy útil estudiar el problema básico de ruteo determinístico, con vehículos de limitada capacidad y con y sin ventanas de tiempo. En nuestro medio se encuentran situaciones de ruteo con muchas deficiencias y por ello hemos encontrado que los métodos más simples pueden producir mejoras sorprendentes. Por ejemplo, un trabajo de grado de ingeniería industrial por Rodríguez (2001), aplicando el método más sencillo de ruteo cual es el método del barrido que estudiaremos más adelante, produjo mejoramientos significativos en el sistema de rutas de un distribuidor de alimentos en la ciudad de Cali. Otros ejemplos son los trabajos por Astudillo y Payán (2007) y por Rodallega y Hernández (2008). El problema de ruteo, en su forma más simple, se puede expresar de la siguiente forma:


423

La función objetivo de un problema de ruteo puede ser compleja. Por supuesto que el objetivo primordial es la minimización del costo total de todas las rutas, el cual puede estar implicado por la minimización de la distancia total y del número de rutas o vehículos utilizados. Sin embargo, este objetivo se puede contraponer con otro importante, como puede ser maximizar la utilización de los vehículos en cuanto a su capacidad se refiere. Entre las principales restricciones encontramos la satisfacción de la demanda de entrega y/o recogida de los clientes, la infraestructura y equipos disponibles, algunas restricciones de longitud y velocidad, las ventanas de tiempo y una restricción implicada de balanceo de rutas, la cual trata de balancear la carga entregada en cada ruta, de acuerdo con la capacidad de los vehículos y está relacionada con la maximización de la utilización de los mismos. A continuación enunciamos algunos principios básicos para diseñar ‗buenas‘ rutas, principalmente expuestos por Ballou (2004, pp. 236-241). Principios básicos para diseñar rutas Existe una serie de principios básicos para el diseño de rutas. Ballou (2004, 236-241) presenta la mayoría de ellos. Cada uno de estos principios está basado en una explicación cuantitativa que estudiaremos más adelante. Entre estos principios tenemos los siguientes:

1000

MA

LU 900

800

700

600

500

VI

400

MI

300

200

100

JU

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Figura 10.17. Un método empírico para el diseño de rutas a. Cargar los vehículos iniciando con la parada más lejana, asignándole paradas cercanas entre sí hasta completar su capacidad lo más cercanamente posible. Este principio dice que se debe iniciar con la parada más lejana del depósito y construir un grupo de paradas alrededor de la misma, hasta copar la capacidad del vehículo lo más cercanamente posible. Una vez hecho el grupo de paradas, se procede a realizar la secuenciación correspondiente. Es importante notar que este proceso no necesariamente lleva a que visitemos la parada más lejana primero con el vehículo cargado, lo cual implicaría una componente adicional

424


de costo por consumo de combustible variable dependiente de la carga. Aunque se sabe que el principal consumo de combustible depende de la distancia recorrida, de todas formas es recomendable considerar esta componente del costo de combustible. Luego, se puede continuar con la siguiente parada más lejana del CD y así sucesivamente hasta completar la asignación de todas las paradas a los vehículos disponibles. La Figura 10.17 ilustra este principio, el cual da lugar a un método empírico de diseño de rutas. En el caso mostrado, en cada día de lunes a viernes se hacen dos rutas (las rutas no se han dibujado completamente por facilidad de interpretación de la figura, pero obviamente todas inician y terminan en el CD). Obsérvese que se generan dos rutas en una zona rectangular cercana al depósito y cuatro pares de rutas en forma de pétalo para los puntos más lejanos del depósito. Cada ruta específica es un caso del TSP, a la cual se le pueden aplicar todos los principios y métodos disponibles para dicho problema. b. En lo posible, evitar los cruces en la misma ruta y los cruces en rutas diferentes realizadas en días distintos. Los cruces en una misma ruta son ineficientes y normalmente se pueden encontrar rutas mejores evitándolos (Figura 10.12). Igualmente, en días diferentes deberían evitarse estos cruces, así representen vehículos o rutas distintas. El problema con este principio es que si existen restricciones de ventanas de tiempo, frecuentemente no es posible diseñar rutas sin cruces e incluso una ruta con cruces podría ser óptima. c. Tratar de utilizar primero los vehículos de mayor capacidad. Este principio se justifica por el hecho que, en el diseño de rutas, las distancias recorridas en cada ruta entre el CD y la primera parada que se visita y entre la última parada visitada y el CD son generalmente grandes (Figura 10.17 para los días lunes-jueves). Por lo tanto, si se tuviera un megavehículo de gran capacidad, éste podría visitar todas las paradas y así sólo habría una ruta y un viaje de ida y vuelta al CD. d. Para las paradas de baja demanda y aisladas utilizar servicios alternativos de transporte. Este principio es muy importante. Muchas veces, como se piensa que el cliente ‗siempre tiene la razón‘, se desvía un vehículo de una ruta establecida para atender a un cliente de baja demanda y en un lugar muy apartado. Es preferible en estos casos utilizar servicios de una empresa especializada en este tipo de transporte para suplir la demanda del cliente. e. Combinar entregas y recolección dentro de la misma ruta y renegociar ventanas de tiempo complicantes. Es evidente que si dentro de la misma ruta combinamos las recolecciones y las entregas, el ruteo es más eficiente. Para esto hay que tener en cuenta si existen relaciones de precedencia, ya que en ocasiones es necesario que el vehículo esté relativamente vacío para iniciar con las recolecciones. Por otra parte, las ventanas de tiempo pueden llegar a ser una restricción muy fuerte. Si logramos identificar una o más ventanas de tiempo que complican innecesariamente una ruta, podemos dialogar con el cliente o clientes respectivos para tratar de modificar dichas ventanas y poder encontrar soluciones más económicas. Todos los principios anteriores son empíricos y por lo tanto no necesariamente funcionan bien en todos los casos. Es muy importante la experiencia del analista para lograr el mejor diseño posible de un conjunto de rutas. A continuación presentamos varios heurísticos para el diseño de rutas y ruteo de vehículos, basándonos en un ejemplo.


425

Métodos heurísticos para el VRP Existen muchos métodos heurísticos para el problema del ruteo de vehículos, los cuales han demostrado tener un comportamiento aceptable para muchas instancias en las cuales han sido probados. Los métodos que se van a presentar son los siguientes:  El método del barrido (The sweep method)  El método de los ahorros (The savings method)  Una descripción breve del método de asignación generalizada (The general assignment method) El método del barrido: En este método se traza una línea imaginaria desde el CD en cualquier dirección y se pone a rotar, por ejemplo, en el sentido de las manecillas del reloj. A medida que la recta imaginaria, como un radar, va ‗barriendo‘ la zona de ruteo, va tocando paradas. Estas paradas se adicionan a la primera ruta y se sigue rotando la recta hasta que no se puedan adicionar más paradas al grupo por limitaciones de capacidad del vehículo. En este momento se cierra esta ruta, se continúa rotando la recta y se inicia el grupo para una segunda ruta. Así se sigue hasta que todas las paradas hayan sido barridas por la recta. Una vez los grupos estén constituidos, se procede a hacer su secuenciación mediante las técnicas conocidas del TSP. Podríamos iniciar el barrido desde cualquiera de las n paradas o clientes y, por lo tanto, podríamos tener hasta n diferentes resultados con este método. Simplemente escogemos el conjunto de rutas que produzcan la mínima distancia total recorrida. Ejemplo 10.5 [Un caso del problema de ruteo de vehículos sin ventanas de tiempo] Tabla 10.5. Coordenadas de un centro de distribución y 15 clientes y sus demandas (Ejemplo 10.5) Nombre Coordenada X W 460 1 220 2 240 3 470 4 670 5 540 6 630 7 420 8 370 9 130 10 180 11 480 12 480 13 660 14 760 15 810

Coordenada Y 720 800 720 790 860 730 680 570 490 500 270 360 210 250 390 640 TOTAL Cap. Camiones No. de camiones

Coord. X corr. 0 -240 -220 10 210 80 170 -40 -90 -330 -280 20 20 200 300 350

Coord. Y corr. 0 80 0 70 140 10 -40 -150 -230 -220 -450 -360 -510 -470 -330 -80

Demanda (Lb)

Ángulo

3,000 31,500 16,500 6,000 4,500 6,750 3,750 6,000 7,500 9,000 5,250 18,000 3,000 6,750 11,250

2.8198 3.1416 1.4289 0.5880 0.1244 -0.2311 -1.8314 -1.9438 -2.5536 -2.1274 -1.5153 -1.5316 -1.1685 -0.8330 -0.2247

138,750 40,000 4


426

La Tabla 10.5 muestra las coordenadas de un CD y 15 clientes, al igual que la demanda de estos últimos en libras. Vamos a utilizar las coordenadas X e Y y no las coordenadas corregidas, las cuales se utilizan en otro heurístico. Se dispone de cuatro camiones con capacidad de 40,000 lb cada uno, con lo cual hay capacidad suficiente para satisfacer la demanda de todos los clientes. VEHICLE ROUTING PROBLEM Ejemplo 900 4 1

800

3 5 2

700

6

COORDENADA Y

15

600

7

500

9

8

400

14

11

300

10

13 12

200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

COORDENADA X

Figura 10.18. Localización relativa de la bodega y de los 15 clientes (Ejemplo 10.5) La Figura 10.18 muestra la localización relativa de la bodega y de todos los clientes. Para iniciar el método del barrido, vamos a trazar una línea imaginaria desde el CD hacia la derecha horizontalmente, y la vamos a rotar en el sentido de las manecillas del reloj. Como muestra la Figura 10.19, el primer punto que toca la recta es el cliente 15 con una demanda de 11,250 lb y, por lo tanto, se adiciona a la ruta 1. Al continuar rotando la recta, se toca al cliente 6 con una demanda de 6,750 lb, se adiciona a la ruta, quedando con un total de 18,000 lb (Note que el ángulo del cliente 15 de 0.2247 rad en el sentido de las agujas del reloj es menor que el ángulo del cliente 6 de 0.2311 rad en el mismo sentido, con lo que se comprueba que el primer cliente que toca la recta es el 15). Continuando de esta forma, se adicionan los clientes 14, 13 y 11, cuyas demandas son 6,750, 3,000 y 5,250 lb, respectivamente. Al rotar la línea un poco más se toca al cliente 12 con una demanda de 18,000 lb. Este cliente ya no se puede adicionar a la ruta 1 pues 33,000 + 18,000 = 41,000 > 40,000 lb de capacidad del camión. Por lo tanto, se cierra la ruta 1 con los clientes 15, 6, 14, 13 y 11, con una carga total de 33,000 lb. Seguidamente, se inicia la ruta 2 rotando la recta a partir del cliente que no se pudo ingresar en la ruta 1 por limitaciones de capacidad, es decir, con el cliente 12 de 18,000 lb. Luego se adiciona el cliente 7 con 3,750 lb de demanda y así sucesivamente hasta que la recta rotante regresa a su posición de partida y todos los clientes han sido asignados a alguna ruta.


427

Finalmente, en cada grupo de paradas que forma cada ruta, hacemos la mejor secuenciación posible aplicando los principios del TSP. En estos casos pequeños esto no es problema y se pueden encontrar muy buenas u óptimas secuencias. El resultado final se muestra en la Figura 10.20. Y (km) 900

6,000 3,000

16,500

800

4,500

31,500

700

11,250

6,750 600

3,750 7,500

500

6,000

400

6,750

5,250

300

9,000 200

3,000

18,000

100

X (km) 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Figura 10.19. El método del barrido: Ruta 1 (Ejemplo 10.5) Y (km) 900

6,000

Ruta 4 (30,000)

3,000 800

16,500 31,500

700

4,500

Ruta 3 (39,000) 600

11,250

6,750

3,750 7,500

500

Ruta 1 (33,000)

6,000

400

5,250

300

6,750

Ruta 2 (36,750) 9,000

200

3,000 18,000

100

Distancia total = 4,556.27 km

X (km)

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Figura 10.20. Resultado de la aplicación del método del barrido (Ejemplo 10.5)

428


El procedimiento del barrido se replica para las 15 posibilidades de inicio en este ejemplo y se escoge aquélla que produce la mínima distancia total. La Figura 10.21 muestra estas rutas con la carga entregada en cada una, su distancia total y con el inicio de la recta rotante que las genera. Nótese que la distancia total recorrida es un 12.3% menor que la distancia encontrada en las rutas iniciales de la Figura 10.20. Por lo tanto, se justifica realizar el procedimiento del barrido para las n posibilidades en cada caso. Y (km) 900

6,000 3,000

34,500

800

16,500

31,500

700

38,250 4,500 6,750

600

11,250

3,750 7,500

500

39,750

6,000

26,250 400

5,250

6,750

300

9,000 200

3,000 18,000

100

Distancia total = 3,995.73 km

X (km)

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Figura 10.21. El mejor resultado que produce el método del barrido, partiendo desde una recta trazada desde el CD hacia abajo en forma vertical (Ejemplo 10.5) El método de los ahorros:

A

B

W

Ahorros = dAW + dWB - dAB Figura 10.22. El principio básico del método de los ahorros


429

El método de los ahorros tuvo su origen en el trabajo de Clarke y Wright (1964). La idea central del método de los ahorros se puede observar en la Figura 10.22. Inicialmente, los puntos A y B no están en la misma ruta sino que representan rutas separadas, cada una desde el depósito hacia el punto y retornando. Si combinamos A y B en la misma ruta, podemos ahorrar cierta distancia. Es decir, si ahora las dos rutas separadas son reemplazadas por una sola: W-A-B-W, nos ahorramos la distancia desde A hacia W (dAW) y la distancia desde W hacia B (dWB), pero se incrementa la distancia entre A y B (dAB). Así, el ahorro por combinar los dos puntos en la misma ruta viene dado por:

AhorroAB  Ahorros por combinar A y B en la misma ruta  d AW  dWB  d AB

(10.6)

Nótese que, entre más lejanos estén los puntos combinados de la bodega W y entre más cercanos estén ellos entre sí, los ahorros son mayores. Este es el soporte matemático del principio que sugiere iniciar con la parada más alejada del depósito, agrupando puntos cercanos alrededor de ella. El problema del VRP puede ser simétrico, es decir cuando dij = dji para toda pareja de paradas (i, j). Esta versión del problema es relativamente más sencilla de manejar que su versión asimétrica, donde no necesariamente la distancia entre la parada i y la parada j coincide con la distancia entre j e i. El método de los ahorros ha tenido muchas variaciones y mejoras desde sus inicios y de hecho existen varias versiones del mismo, las cuales siempre tratan de obtener soluciones cada vez más cercanas al óptimo. Obviamente, al ser el VRP un problema mucho más complejo que el TSP, es prácticamente imposible encontrar soluciones óptimas para problemas reales. Lo que generalmente se obtiene son ‗buenas‘ soluciones, especialmente si existen múltiples restricciones como ventanas de tiempo, por ejemplo. A continuación se presenta una adaptación y complementación de un método de los ahorros mostrado por Chopra y Meindl (2001 y 2004). Curiosamente, en la versión en inglés 2007 y en español 2008 de este excelente texto se abolió la sección de ruteo en el tema de transporte. El método está conformado por los siguientes pasos: Paso 1:

Iniciación y determinación de matrices.

 Los datos de entrada son la localización de cada cliente o parada y el CD, la demanda de cada cliente y el número y capacidad de los vehículos disponibles. La localización puede darse en coordenadas cartesianas (xi, yi) o en latitud y longitud. En versiones más complejas del problema, se necesita conocer todas las restricciones adicionales, como por ejemplo las relaciones de precedencia en rutas de entrega y recolección, las ventanas de tiempo y la longitud máxima de una ruta, entre otras posibles. Aquí asumimos que no existe parada alguna cuya demanda sea mayor que la máxima capacidad disponible de los vehículos individuales. Si este es el caso, se sugiere tratar separadamente dicha parada y borrarla del proceso siguiente.  Construya la matriz de distancias entre todas las paradas, incluyendo al CD. Esto se puede hacer mediante la Ec. (10.2) para coordenadas cartesianas, posiblemente aplicando los factores de corrección mencionados anteriormente. Si las coordenadas están dadas en latitud y longitud, se puede adaptar la fórmula dada en Ballou (2004, p. 637) para calcular la distancia en km entre dos puntos A y B, dadas sus latitudes en


430

radianes (LATA y LATB) al igual que sus longitudes en radianes (LONA y LONB). Esta ecuación es la siguiente: d AB  6,371 cos 1{sen ( LATA )sen ( LATB )  cos( LATA ) cos( LATB ) cos LON A  LONb }

(10.7)

Si se conocen las distancias reales entre las paradas y entre éstas y la bodega por el sistema de calles o carreteras, entonces se sugiere utilizarlas.  Construya la matriz de ahorros por parejas de paradas con base en la Ec. (10.6), teniendo en cuenta si el problema es simétrico o asimétrico. Paso 2:

Asignación de paradas a rutas.

Se adicionan entonces paradas a rutas, de la siguiente forma:  Paso 2a: Si todas las paradas han sido asignadas a alguna ruta, vaya al Paso 3. En caso contrario, continúe con el Paso 2b.  Paso 2b: Escoja la pareja de paradas (i, j) que tenga el máximo ahorro. Sea éste el Ahorroij* . Si existen empates, se pueden romper arbitrariamente.  Paso 2c: En este paso pueden suceder tres casos excluyentes. Determine cuál de ellas ocurre y continúe acordemente:  Caso 1: Si ambas paradas i y j ya han sido asignadas a alguna ruta, entonces haga Ahorroij*  1 y retorne al Paso 2a. (En esta modalidad del método de los ahorros, el mínimo ahorro posible es igual a cero. Por ello, hacemos el máximo ahorro actual igual a –1, de tal forma que no haya posibilidad de que éste continúe siendo el máximo ahorro).  Caso 2: Si sólo una de las dos paradas, i ó j, ha sido asignada a alguna ruta, adicione la parada que aún no ha sido asignada a dicha ruta, siempre y cuando no ve viole restricción alguna. Si esto no es posible, entonces haga Ahorroij*  1 y retorne al Paso 2a.  Caso 3: Si ni la parada i ni la parada j han sido asignadas aún a ruta alguna, inicie una nueva ruta con esta pareja, siempre y cuando esto sea posible, es decir, que no se viole restricción alguna, haga Ahorroij*  1 y retorne al Paso 2a. Si esto no es posible, haga Ahorroij*  1 y retorne al Paso 2a. Paso 3:

Secuenciación de paradas en cada ruta.

Como la salida del proceso anterior son varias rutas, se debe proceder a secuenciar las paradas en cada ruta que contenga al menos dos paradas (para problemas asimétricos) o al menos tres


431

paradas (para problemas simétricos), de acuerdo con los principios y algoritmos disponibles para el TSP. Si el problema contiene restricciones de ventanas de tiempo, aquí debería de nuevo revisarse si la secuencia obtenida no viola la ventana de tiempo de alguna de las paradas. Si esto no es posible, se puede tratar de reasignar la parada cuya ventana de tiempo no se cumple a otra ruta o de renegociar con el cliente dicha ventana de tiempo. Una vez se secuencien todas las paradas dentro de cada ruta y se revise el cumplimiento de todas las restricciones del problema, el proceso PARA. Ejemplo 10.6 [El método de los ahorros] Considere el Ejemplo 10.5 con todos sus datos. Aplique el algoritmo del método de los ahorros anteriormente expuesto para resolver dicho problema. Como los datos ya están dados en el Ejemplo 10.5, entonces el primer paso es construir la matriz de distancias aplicando la Ec. (10.2). Esta matriz es la siguiente: W 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

W

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

252.98 220.00 70.71 252.39 80.62 174.64 155.24 246.98 396.61 530.00 360.56 510.39 510.78 445.98 359.03

82.46 250.20 453.98 327.57 427.20 304.80 344.38 313.21 531.51 511.08 644.75 704.34 678.01 611.31

240.42 452.22 300.17 392.05 234.31 264.20 245.97 453.98 432.67 563.65 630.32 615.87 575.59

211.90 92.20 194.16 225.61 316.23 446.88 595.40 430.12 580.09 572.45 494.06 371.62

183.85 184.39 382.88 476.34 649.00 766.94 534.88 677.20 610.08 478.54 260.77

102.96 200.00 294.11 470.11 584.12 374.83 523.45 494.77 404.97 284.60

237.07 322.02 531.41 608.77 353.41 493.36 431.05 317.80 184.39

94.34 298.33 384.19 218.40 364.97 400.00 384.71 396.23

240.21 290.69 170.29 300.83 376.43 402.62 464.87

235.37 376.96 454.53 586.00 639.53 694.26

313.21 305.94 480.42 592.28 730.62

150.00 210.95 281.60 432.78

184.39 332.87 542.03

172.05 417.85

254.95

15

Y la matriz de ahorros por parejas, con base en la Ec. (10.6) es la siguiente (el problema se asume simétrico): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

390.52 73.49 51.39 6.04 0.42 103.43 155.58 336.38 251.47 102.46 118.63 59.42 20.95 0.70

50.29 20.17 0.46 2.60 140.93 202.78 370.64 296.02 147.89 166.74 100.47 50.11 3.44

111.20 59.14 51.19 0.34 1.46 20.44 5.31 1.15 1.02 9.04 22.63 58.12

149.16 242.64 24.75 23.03 0.00 15.45 78.06 85.58 153.09 219.83 350.65

152.31 35.86 33.50 7.13 26.50 66.34 67.56 96.63 121.64 155.04

92.82 99.60 39.84 95.87 181.79 191.68 254.38 302.82 349.28

307.88 253.52 301.05 297.39 300.67 266.03 216.52 118.04

403.38 486.29 437.24 456.54 381.33 290.35 141.14

691.24 380.20 452.47 321.39 203.06 61.37

577.35 734.45 560.37 383.70 158.41

720.95 660.39 524.93 286.80

836.78 623.51 327.39

784.72 451.96

550.06

15

Se continúa con el Paso 2 del algoritmo, donde debe determinarse la pareja de paradas que presenta el máximo ahorro. Como esta tarea no es sencilla a simple vista, se puede utilizar el formato condicional de la hoja electrónica haciendo colorear de un color diferente la celda que presenta el máximo ahorro. Esto se logra definiendo una celda fuera de la matriz igual al máximo de los elementos de la matriz (mediante la función MAX) y luego dando a la matriz el formato condicional cuando la celda sea igual a dicho máximo. Así, la celda con el máximo ahorro se ‗ilumina‘ y es fácilmente reconocible. En este caso, para la primera vez luciría de la siguiente forma:


432

Demanda 3,000 31,500 16,500 6,000 4,500 6,750 3,750 6,000 7,500 9,000 5,250 18,000 3,000 6,750 11,250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

390.52 73.49 51.39 6.04 0.42 103.43 155.58 336.38 251.47 102.46 118.63 59.42 20.95 0.70

50.29 20.17 0.46 2.60 140.93 202.78 370.64 296.02 147.89 166.74 100.47 50.11 3.44

111.20 59.14 51.19 0.34 1.46 20.44 5.31 1.15 1.02 9.04 22.63 58.12

149.16 242.64 24.75 23.03 0.00 15.45 78.06 85.58 153.09 219.83 350.65

152.31 35.86 33.50 7.13 26.50 66.34 67.56 96.63 121.64 155.04

92.82 99.60 39.84 95.87 181.79 191.68 254.38 302.82 349.28

307.88 253.52 301.05 297.39 300.67 266.03 216.52 118.04

403.38 486.29 437.24 456.54 381.33 290.35 141.14

691.24 380.20 452.47 321.39 203.06 61.37

577.35 734.45 560.37 383.70 158.41

11

12

720.95 660.39 836.78 524.93 623.51 286.80 327.39

13

14

784.72 451.96

550.06

15

En la matriz anterior se ha adicionado la demanda de cada punto, única restricción en este ejemplo, para facilitar la decisión de si es posible o no combinar las parejas de paradas en la misma ruta. La pareja que presenta el máximo ahorro son las paradas (12, 13), como en efecto sugiere visualmente la Figura 10.18, al ser estas paradas las más alejadas del depósito y al estar relativamente cerca entre sí. Por lo tanto, la Ruta 1 se inicia agrupando las paradas 12 y 13, ya que su demanda total es de 21,000 lb < 40,000 lb de capacidad de cada camión. Nótese que la situación anterior corresponde al Caso 3 del Paso 2c del algoritmo, ya que ninguna de las dos paradas había sido asignada a ruta alguna. Así, ahora se debe hacer el máximo ahorro igual a –1 y retornar al Paso 2a, ahora con base en la siguiente matriz: Demanda 3,000 31,500 16,500 6,000 4,500 6,750 3,750 6,000 7,500 9,000 5,250 18,000 3,000 6,750 11,250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

390.52 73.49 51.39 6.04 0.42 103.43 155.58 336.38 251.47 102.46 118.63 59.42 20.95 0.70

50.29 20.17 0.46 2.60 140.93 202.78 370.64 296.02 147.89 166.74 100.47 50.11 3.44

111.20 59.14 51.19 0.34 1.46 20.44 5.31 1.15 1.02 9.04 22.63 58.12

149.16 242.64 24.75 23.03 0.00 15.45 78.06 85.58 153.09 219.83 350.65

152.31 35.86 33.50 7.13 26.50 66.34 67.56 96.63 121.64 155.04

92.82 99.60 39.84 95.87 181.79 191.68 254.38 302.82 349.28

307.88 253.52 301.05 297.39 300.67 266.03 216.52 118.04

403.38 486.29 437.24 456.54 381.33 290.35 141.14

691.24 380.20 452.47 321.39 203.06 61.37

577.35 734.45 560.37 383.70 158.41

11

12

720.95 660.39 -1.00 524.93 623.51 286.80 327.39

13

14

784.72 451.96

550.06

15

El segundo ahorro mayor aparece sombreado y es fácilmente identificable. Así, la siguiente pareja con el máximo ahorro resulta ser la formada por las paradas (13, 14). De esta forma, estamos en el Caso 2 del Paso 2c, pues la parada 13 ya ha sido asignada a la Ruta 1. Por lo tanto, debemos decidir si la parada 14 se puede adicionar a la Ruta 1. Como la demanda del cliente 14 es de 6,750 lb, al sumar esta cantidad a las 21,000 lb anteriores, obtenemos 27,750 lb < 40,000 lb; por lo tanto, podemos adicionar la parada 14 a la Ruta 1. Si continuamos de esta forma, vamos a obtener la secuencia de paradas con el máximo ahorro y la decisión correspondiente que muestra la Tabla 10.6, donde se incluye todo el proceso desde un comienzo. Por comodidad y para limitar la longitud de la tabla, no se muestran algunos casos donde no se podía asignar la parada a ruta alguna.


433

Tabla 10.6. Aplicación del algoritmo de los ahorros al Ejemplo 10.5 (Ejemplo 10.6) Pareja Máx. Ahorro Caso (Paso 2c) ¿Posible adición? (12, 13) Caso 3 SI (13, 14) Caso 2 SI (10, 12) Caso 2 SI (11, 12) Caso 2 NO (9, 10) Caso 2 NO (11, 13) Caso 2 NO (12, 14) Caso 1 Ambas asignadas (10, 11) Caso 2 NO (10,13) Caso 1 Ambas asignadas (14, 15) Caso 2 NO (10, 14) Caso 1 Ambas asignadas (11, 14) Caso 2 NO (8, 10) Caso 2 NO (8, 12) Caso 2 NO (9, 12) Caso 2 NO (13, 15) Caso 2 NO

Evolución de rutas Carga en la ruta (lb) Ruta 1: 12, 13 Ruta 1 = 21,000 Ruta 1: 12, 13, 14 Ruta 1 = 27,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 (8, 11) Caso 3 SI Ruta 2 = 8, 11 Ruta 2 = 11,250 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 (8, 9) Caso 2 SI Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 (1, 2) Caso 3 SI Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 (10, 14) Caso 1 Ambas asignadas Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 (8, 13) Caso 1 Ambas asignadas Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 (9, 11) Caso 1 Ambas asignadas Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 (2, 9) Caso 2 Ambas asignadas Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 (4, 15) Caso 3 SI Ruta 4 = 4, 15 Ruta 4 = 17,250 Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9 Ruta 2 = 18,750 Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 (6, 15) Caso 2 SI Ruta 4 = 4, 15, 6 Ruta 4 = 24,000 ….. ….. ….. ….. ….. Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9, 7 Ruta 2 = 22,500 Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 (7, 8) Caso 2 SI Ruta 4 = 4, 15, 6 Ruta 4 = 24,000 ….. ….. ….. ….. ….. Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9, 7 Ruta 2 = 22,500 Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 (5, 6) Caso 2 SI Ruta 4 = 4, 15, 6, 5 Ruta 4 = 28,500 ….. ….. ….. ….. ….. Ruta 1: 12, 13, 14, 10 Ruta 1 = 36,750 Ruta 2 = 8, 11, 9, 7, 3 Ruta 2 = 39,000 Ruta 3 = 1, 2 Ruta 3 = 34,500 (3, 9) Caso 2 SI Ruta 4 = 4, 15, 6, 5 Ruta 4 = 28,500 FIN DEL PASO 2: TODAS LAS PARADAS HAN SIDO ASIGNADAS A ALGUNA RUTA

De esta forma, los grupos de paradas quedan conformados como muestra la última fila de la Tabla 10.6. Sólo resta, por lo tanto, el Paso 3 del procedimiento, o sea secuenciar las paradas dentro de cada ruta, de acuerdo con los principios y algoritmos disponibles para el TSP. Una


434

forma interesante de hacerlo es aplicando el método del barrido a cada uno de los grupos ya conformados. Existen, por supuesto, múltiples métodos, como son el de la inserción del más lejano, el de la inserción del más cercano y el de la inserción del vecino más cercano. Otros métodos mejoran las secuencias, tales como el 2-opt, el 3-opt y un método que ha demostrado ser muy efectivo, el r-opt, original de Lin y Kernigham (1973). Este método continúa siendo válido hasta la actualidad y ha sido implementado de múltiples formas con grandes resultados. En este caso se decidió aplicar la técnica más sencilla, el método del barrido, junto con los demás principios para el TSP vistos anteriormente. El resultado final se muestra en la Figura 10.23. VEHICLE ROUTING PROBLEM Ejemplo método de los ahorros 900

Ruta 3: 34,500

4

1

800

3 5

Ruta 4: 28,500

2

COORDENADA Y

700

6

Ruta 2: 39,000

15

600

7

500

9

8

400

14

11

300

Ruta 1: 36,750

10

13

12

200

Dtotal = 4.376,66

100

(Comparar con Dtotal = 3,995.73 por el método del barrido)

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

COORDENADA X

Figura 10.23. Resultado final de la aplicación del método de los ahorros (Ejemplo 10.6) Obsérvese que, para este ejemplo, el método de los ahorros no supera al mejor resultado del método del barrido. Estos resultados pueden esperarse ya que se trata de métodos heurísticos. Existen muchos otros métodos heurísticos para el VRP y cada día surgen nuevos, ya que es un campo de ardua investigación. Por ejemplo, el método de asignación generalizada, presentado por Chopra y Meindl (2004, pp. 444-451) es uno de ellos. Aunque no se va a presentar explícitamente en este texto, aplicamos el método al caso del Ejemplo 10.5 y se obtuvo el resultado mostrado en la Figura 10.24. En otras palabras, para este ejemplo, el método de asignación generalizada mejora lo obtenido por todos los métodos anteriores. Por ello, la recomendación es que, si se dispone de tiempo y capacidad de computación, se deben aplicar todos los métodos heurísticos posibles y escoger el mejor resultado.


435

VEHICLE ROUTING PROBLEM Ejemplo método de asignación generalizada 900 4

34.500

1

800

3 5

27.000

2

700

6

COORDENADA Y

15

600

7

39.000

500

9

8

38.250

400

14

11

300

10

13 12

200

Dtotal = 3.974,90

100

(Comparar con Dtotal = 3.995,73 por el método del barrido)

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

COORDENADA X

Figura 10.24. Resultado de la aplicación del método de asignación generalizada al caso del Ejemplo 10.5 Software de ruteo El problema de ruteo es tan complejo que en la práctica, donde se presentan problemas con muchas paradas y con varias restricciones, debemos recurrir a software de ruteo si queremos planear las rutas de una forma eficiente. Existen múltiples programas y productores de software que desde hace muchos años han venido diseñando sistemas para encontrar buenas soluciones del VRP. Muchas empresas utilizan actualmente este tipo de tecnología para planear sus rutas. Se da a continuación las principales características de este tipo de programas, ya que muy probablemente el lector podría necesitar definir en algún momento el tipo de software de ruteo que le conviene a su organización. Una muy buena fuente de información sobre los proveedores de este tipo de programas la podemos encontrar en la página web de INFORMS, en forma gratuita. Este instituto ha realizado varias encuestas sobre software de ruteo, siendo la más reciente la realizada en febrero de 2008, la cual se puede consultar gratuitamente en la siguiente página: http://lionhrtpub.com/orms/surveys/Vehicle_Routing/vrss.html. Se sugiere al lector revisar periódicamente la página para nuevas revisiones. Esta revisión de software de ruteo contiene los siguientes elementos:  Una introducción y un artículo que acompaña a la revisión.  El proveedor del software, el año en el que se introdujo al mercado y las plataformas donde funciona.  El máximo tamaño que soporta el software en cuanto a número de paradas, número de vehículos y número de terminales se refiere, incluyendo el equipo recomendado, la


436





 



velocidad del procesador, la memoria y la capacidad del disco duro. La mayoría de los proveedores afirman que este número es ilimitado, pero por supuesto hay que tener en cuenta las características físicas del equipo, las cuales por supuesto limitan los tamaños de problema que pueden resolverse. Algunos de los proveedores mencionan cifras del orden de 20,000 paradas, lo cual puede ser adecuado para un caso real. El comportamiento del software en cuanto a tiempos de computación y tipos de algoritmos utilizados. Los proveedores reportan tiempos muy variables, como por ejemplo, ―menos de 3 segundos‖ y ―2-15 minutos‖. Por supuesto, el verdadero tiempo de computación depende de la aplicación específica. En cuanto al algoritmo de solución, la mayoría de los proveedores no lo especifican con detalle y prefieren decir que es confidencial o restringido. Sin embargo, aquellos que reportan alguna información mencionan algoritmos genéticos, métodos heurísticos (incluyendo variaciones del método de los ahorros), recocido simulado y programación entera, entre otros. En otras palabras, la producción de software de ruteo es en realidad una gran competición por sacar mejores algoritmos y tiempos de computación más rápidos. Tal vez nunca sabremos en realidad cuáles de los programas comerciales son los más rápidos y efectivos porque sería muy difícil que se sometieran a una prueba bajo condiciones uniformes. Por ello se sugiere realizar pruebas reales en caso de que se requiera adquirir una de estas tecnologías. Las características del software en cuanto a si es capaz de resolver problemas de ruteo por nodos (el que se vio anteriormente), por arcos (como en el caso del problema del cartero chino y de rutas de recolección de basuras), ruteo dinámico, ruteo diario e incorporación de características del tránsito en tiempo real. Se incluye aquí igualmente si el software determina la mejor ruta (el problema de la ruta más corta descrito anteriormente) a lo largo de las calles entre cada par de puntos codificados en el sistema. Capacidades de interacción con sistemas de información y localización global, como por ejemplo el despliegue de rutas y paradas en mapas, el poder editar las rutas y las paradas con el ratón y las direcciones dadas en latitud y longitud. Información de precios, la cual incluye los costos por licencias de acuerdo a las características que se requieran, si la aplicación incluye o no mapas digitales de las ciudades donde se va a utilizar, los costos de instalación y los costos de asesoría. Es muy importante notar que el tema del mapa digital es clave, pues este tipo de software puede diseñar rutas reales por las calles de una ciudad. Un mapa digital es la representación virtual de las calles y las intersecciones de una ciudad y es esencial para el diseño de rutas reales por las calles de la misma. Sin embargo, siempre téngase en cuenta que mucho de los mapas digitales pueden estar desactualizados, especialmente en nuestras ciudades donde se llevan a cabo múltiples proyectos de infraestructura especialmente para el transporte de pasajeros. Hay empresas que incluso generan sus propias coordenadas de sus clientes y sus propios mapas digitales para trabajar los problemas de ruteo. La consideración o no de ventanas de tiempo flexibles (soft time windows). Una ventana de tiempo flexible es aquélla que se puede violar en una solución factible del problema en cierto rango y a cierto costo. Cada proveedor de software aborda y modela de forma diferente esta característica, como por ejemplo mediante la utilización de funciones de penalidad por la violación de la ventana de tiempo o por el máximo tiempo de demora permitido.


437

 Un punto muy importante es si el software de ruteo está relacionado o pertenece a una aplicación más amplia, como por ejemplo un sistema de administración de transporte (Transportation Management System TMS). En este punto se le pregunta al proveedor del software características tales como: Existencia de tableros que despliegan las rutas a bordo del vehículo, mensajes inalámbricos para el conductor del vehículo, seguimiento de los vehículos en tiempo real, software de planeación de cadena de abastecimiento y/o de inventarios (SCM), proceso de administración de órdenes, entre otros.  Características especiales, tales como: Asignación de conductores individuales, instrucciones de la ruta paso a paso, pronósticos automáticos de despachos, manifiestos de carga, plan de cargue del vehículo.  Tipos de ruteo que puede manejar el software: Recolección y entrega local, combinación de ruteo rural y local tanto para vehículos completos (Truck Load TL) o incompletos (Less than Truck Load LTL), servicios de paqueteo (como por ejemplo Fedex, DHL, Servientrega, etc.), ruteo de buses y taxis, flotas de servicio y vehículos de emergencia como bomberos.  Otros aspectos especiales y recientes innovaciones en el sistema. Por ejemplo, aquí se incluyen la optimización de las operaciones en la bodega combinadas con ruteo y la relación con sistemas de información generales como SAP.  Número aproximado de empresas que están utilizando el software y ejemplos de ellas. Este punto es muy importante porque puede dar una idea de la naturaleza del software y de quién lo usa. Esto puede usarse como referencia al momento de tomar la decisión de cuál software debería adquirirse.  Una pregunta importante es si el software ha sido integrado con tecnologías de teléfonos celulares ó PDA y si se ha interactuado con aplicaciones de optimización de la cadena de abastecimiento. La mayoría de los proveedores de software manifiestan que ha hecho o están haciendo este tipo de extensiones del software de ruteo.  Un listado de los proveedores del software con toda su información y sus páginas web. Un aspecto fundamental del software de ruteo es el ahorro significativo en distancia recorrida por las múltiples rutas que se puede lograr al utilizar el software en aplicaciones reales. De acuerdo con Hall y Partyka (2008), en un estudio reciente en una empresa cervecera del Reino Unido, se lograron ahorros en distancia equivalente aproximadamente a 4 millones de km, los cuales representan un ahorro de emisiones de CO2 de 3,700 toneladas/año! Este solo hecho justifica ampliamente la inversión en este tipo de software. Finalmente, resulta conveniente mencionar algunas de las buenas prácticas aceptadas generalmente para un software de ruteo. Un buen software de ruteo debería:  Utilizar mapas digitales.  Aplicar múltiples algoritmos heurísticos, metaheurísticos y de programación matemática, entre otros posibles, para hallar la mejor solución posible del problema. Esto, por supuesto, debe hacerse teniendo en cuenta los tiempos de solución, ya que el problema de ruteo ocurre a nivel operativo con muy poco tiempo para el proceso de toma de decisiones.  Permitir el establecimiento de rutas maestras, cuyos clientes pueden o no ser necesariamente visitados cada día.  Balancear la carga por ruta y tratar de maximizar la utilización de los vehículos.


438

 Considerar múltiples restricciones que ocurren en la práctica, tales como ventanas de tiempo, rutas sin peajes, cambios de velocidad en horas pico, compatibilidad de productos dentro de los vehículos y de los vehículos mismos, etc.  Crear escenarios para múltiples días en la semana.  Generar, si es necesario, rutas con recargue, es decir, utilizando el mismo camión varias veces.  Disponer de información de clientes por zonas.  Calcular costos fijos y variables, tales como costo de conductores y de vehículos, tanto en horas normales como en horas extras, si las hay.  Producir indicadores de eficiencia, tales como la utilización de los vehículos, distancia total recorrida y por ruta, tiempos estimados, etc.  Considerar restricciones físicas de la infraestructura. En conclusión, si su problema es pequeño y no se dispone de software comercial de ruteo, se pueden aplicar todos los principios y técnicas vistas en este capítulo y escoger la mejor solución posible, dentro del tiempo razonable de solución. Si su aplicación se torna demasiado grande o compleja, es recomendable pensar en la adquisición de algún software de ruteo. La selección de este software puede también apoyarse en técnicas multicriterio como las estudiadas en la Sección 10.3.

Ejercicios 10.2 1. Diseñe una hoja electrónica que le permita reproducir y resolver el Ejemplo 10.2. Diseñe la hoja electrónica para un número mayor de alternativas y criterios que el dado en el ejemplo e incluya los cálculos de los coeficientes de consistencia. 2. Investigue las características del método de asignación generalizada y aplíquelo al caso del Ejemplo 10.5 para obtener los resultados mostrados en la Figura 10.24. 3. El diagrama siguiente muestra una red de carreteras que une a 7 ciudades. Sobre cada arco se representa la distancia de un lugar a otro en km. (Asuma que las carreteras mostradas son de doble vía y que la distancia de ida es igual a la distancia de vuelta). B

15

10

30

22

41

20

60

F

50

52 50

A

D

70

23

14 0

62 17

G

25 38

C

40

E

18

La empresa posee tres centros de distribución (CDs) en las ciudades A, D y F (de color amarillo) y clientes importantes en todas las ciudades, incluyendo las mismas ciudades


439

donde tiene los CDs (amarillo y rojo). En un día determinado, se tienen las siguientes existencias de cierto producto y se han recibido los siguientes pedidos: CIUDAD A B C D E F G TOTAL

EXISTENCIA O CAPACIDAD (Unidades) 5,500

DEMANDA ACTUAL (Unidades) 1,850 2,525 1,400 1,000 1,780 800 1,350 10,705

1,850 6,675 14,025

Después de un análisis para seleccionar el modo de transporte, se ha escogido el camión. El costo de transporte se ha estimado entonces en $45/(kmunidad). a) Determine las mejores rutas desde cada uno de los centros de distribución hacia cada uno de los clientes, mediante el algoritmo de Dijkstra. b) Una vez realizado el punto anterior, formule un problema del transporte para determinar la mejor forma de envío del pedido actual. No considere posibles transbordos del producto entre centros de distribución. Utilice el método que considere conveniente. c) Si la demanda se conservara como en el punto anterior y usted tuviera la opción de ampliar uno de los centros de distribución, ¿cuál consideraría primero y por qué? 4.

Una compañía cervecera utiliza un vendedor para ofrecer sus productos desde un depósito W, utilizando un camión propio. La ubicación espacial relativa de los diversos puntos de venta es la siguiente: Punto W 1 2 3 4 5 6 0 -4 -4 -3 -7 -2 -1 xi 0 -3 -2 -1 4 2 1 yi

7

8

9 10 11 12 13 14 15

0 7

1 -2

2 0

1 -4

3 5

4 -2

2 2

3 0

3 4

Encuentre la mejor ruta posible, aplicando los principios de solución del TSP. 5. CLIENTE O BODEGA Bodega W Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Cliente 6 Cliente 7 TOTAL

Xi (Km×100) 0 3 2 0 3 4 3 0

Yi (Km×100) 0 1 3 6 7 6 3 3

DEMANDA (Kg) --o-4,500 2,800 5,900 2,300 1,000 3,500 7,000 27,000

440


Considere el caso de ruteo de vehículos sin ventanas de tiempo mostrado anteriormente. Si se dispone de dos camiones con una capacidad de 15 toneladas cada uno, encuentre las mejores rutas posibles mediante el método del barrido y mediante el método de los ahorros. Repita el problema si ahora posee tres camiones con capacidad de 10 toneladas cada uno y compare los resultados obtenidos.

Lecturas adicionales Capítulo 10 1. Cordeau et al. (2007): Se recomienda especialmente este material para profundización sobre el tema de ruteo de vehículo (VRP). 2. Chopra y Meindl (2004): El método de asignación generalizada (pp. 444-451). 3. Ballou (2004): Capítulo 7 (pp. 219-285). Aquí se pueden ampliar algunos conceptos vistos en este capítulo. Incluye varios casos de estudio muy interesante que pueden servir como ejercicios adicionales a los propuestos.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 11: Introducción y optimización de cadenas de abastecimiento regionales

441

11. INTRODUCCIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO REGIONALES En este cuarta parte del texto (Capítulos 11 y 12) nos dedicamos a integrar la mayoría de los conceptos de los capítulos anteriores, a través de la formulación de diversos modelos matemáticos estratégicos y de planeación, al igual que la descripción de una serie de elementos y buenas prácticas importantes para el diseño de cadenas de abastecimiento (CAs). En este capítulo, se darán conceptos generales sobre el problema de diseño de redes de distribución y transporte. Seguidamente, se presentará una clasificación de los problemas generales de localización de instalaciones, para entrar al diseño y optimización de cadenas regionales, tanto desde el punto de vista continuo como discreto. En el Capítulo 12, se abordará el complejo tema de la optimización de CAs internacionales. Se introducirá el tema de precios de transferencia internacionales y se presentarán algunos casos reales en los que he trabajado.

11.1

ELEMENTOS BÁSICOS PARA LA PLANEACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO (CA)

Puede distinguirse entre dos tipos de problemas en el diseño de CAs. Primero, si la cadena ya existe y se está tratando solamente de optimizar los flujos de productos y componentes y la selección de modos de transporte. En este caso se aplican generalmente técnicas estándar de programación lineal. Una notable excepción que se da en ambientes internacionales, la cual se tratará posteriormente, consiste en la optimización de precios de transferencia. En este caso, así la CA ya exista, dado que tanto los flujos de productos y componentes como el precio al cual se transfieren son variables, entonces se generan problemas de optimización no-lineal. Segundo, si toda la cadena o parte de ella aún no existe y se está, por ejemplo, definiendo una nueva localización de una planta o de uno o varios centros de distribución (CDs), se generan problemas de optimización lineal entera-mixta. En el caso más complejo, se pueden generar modelos de optimización no-lineal entera-mixta, como ocurre en el diseño de CAs internacionales que consideran precios de transferencia junto con problemas de localización. En la práctica, muchas personas se cuestionan si para el diseño de CAs es necesario utilizar modelos tan sofisticados. Su argumento principal es que, de una u otra forma, las CAs existen, funcionan, le prestan el servicio al cliente y generan utilidades. La gran pregunta es, ¿pueden estas cadenas funcionar de la misma o mejor forma con menos recursos comprometidos? Es decir, ¿están estas cadenas funcionando en forma óptima o cercana a la óptima? Es muy dudoso que esto sea así, dadas las numerosas evidencias de suboptimización que existen en la mayoría de las cadenas con las que tenemos contacto, especialmente en lo relacionado con niveles de inventarios, productos agotados, niveles de servicio y en lo que atañe a elementos del sistema de transporte, tales como el ruteo y programación de vehículos y el diseño de redes, por mencionar sólo algunos factores. Así, uno de los temas más


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apasionantes de la administración de la cadena de suministro y de la logística es el de formular modelos matemáticos, cuyas soluciones brinden respuesta a los anteriores interrogantes. En realidad, lo anterior se enmarca dentro de un concepto mucho más amplio, cual es el del Enfoque de Sistemas, aspecto que también se trató en el Capítulo 1. De acuerdo con Bowersox et al. (2007, pp. 254-255), esta metodología analiza un sistema, cualquiera que éste sea, de una forma integral, tomando en consideración todos sus elementos internos, sus relaciones y su relación con el entorno, considerando los objetivos y metas del sistema. En el caso de cadenas de abastecimiento, lo que se busca es integrar todas las funciones de la CA y de logística, o sea procesamiento de órdenes, inventarios, transporte, almacenamiento, manejo de materiales y empaque y diseño de redes, entre todos los participantes de la cadena. La idea fundamental es descubrir y aprovechar posibles sinergias entre los anteriores elementos, de tal forma que su funcionamiento integrado sea mejor que su operación en forma aislada e independiente. Incluso, en muchas ocasiones, uno o varios de los componentes de la cadena se debería ‗sacrificar‘ para lograr el beneficio de la cadena como un todo. Un ejemplo de esto se estudiará en el caso de los precios de transferencia internacionales. Para hacer el análisis integrado mencionado anteriormente, se puede o no utilizar modelos matemáticos. Sin embargo, dada la alta complejidad de las CAs y el extremadamente grande número de posibilidades de diseño y configuración, los modelos matemáticos se convierten en una alternativa casi obligatoria. De hecho, tal como vimos en la Sección 1.1 y como Shapiro (2004, p. 1) lo menciona, ―Los modelos de optimización son herramientas necesarias y deseables para identificar decisiones efectivas en la cadena de abastecimiento. Son las únicas herramientas capaces de analizar las complejas interacciones de las decisiones tomadas a lo largo de la cadena de abastecimiento de la compañía de una forma holística.‖ Llama mucho la atención que la afirmación anterior provenga de un profesor que pertenece una escuela de administración (Sloan School of Management del MIT) y no de una de ingeniería. Esto justifica aún más la utilización de modelos matemáticos como herramientas básicas para la toma de decisiones en la CA y en logística y por ello este texto enfatiza el desarrollo de estos temas. En el diseño de CAs hay una serie de preguntas básicas (estratégicas) que las organizaciones a menudo se hacen:       

¿Cuántas plantas y CDs deben tenerse, dónde deben estar situados y cuál debe ser su capacidad? ¿Cuáles proveedores deben seleccionarse? ¿Qué productos deben producirse en cada planta y de dónde debe proveerse de materia prima y componentes? ¿Qué tipo de CDs deben utilizarse, es decir, manuales, combinados, automáticos? ¿Qué nivel de inventarios debe mantenerse en cada punto de la cadena? ¿Se deben tener CDs propios, tercerizados, híbridos o de otro tipo? ¿Cómo deben asignarse los clientes a los CDs? ¿Cuáles modos de transporte deben seleccionarse entre cada par de puntos de la cadena? ¿Cuáles sistemas de información y planeación se deben utilizar?

Aunque las preguntas anteriores corresponden, en su gran mayoría, a decisiones estratégicas, ocurren más frecuentemente de lo que podría suponerse, especialmente en nuestro


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medio y dentro de las condiciones actuales de la economía. Una pregunta muy común, es, por ejemplo, ¿por qué tenemos cuatro centros de distribución en Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla, si podríamos tener dos solamente? A nivel Latinoamericano, estas preguntas están ocurriendo muy a menudo. Lo discutible es que, en la mayoría de las veces, las preguntas estratégicas se resuelven principalmente de una forma empírica. La Figura 11.1 ilustra una posible metodología a seguir para el diseño de CAs.

Figura 11.1. Una posible metodología para el diseño de cadenas de abastecimiento [Fuente: Adaptado de Vidal (1998), p. 6]

El objetivo es definir y/o ajustar el diseño actual de la cadena. Por ejemplo, la pregunta a resolver podría ser la siguiente: Dado que nuestra capacidad instalada está llegando al límite, ¿cuántas nuevas plantas de producción debemos construir, cuál debe ser su capacidad y dónde deben estar ubicadas? Los analistas y administradores de la cadena se basan en los datos y la información que tengan disponible, generalmente extractados del sistema de información propio de la organización, y, con base en su experiencia, en la intuición, en técnicas administrativas tradicionales y, en ocasiones, utilizando algunas técnicas cuantitativas, consideran la estrategia competitiva de la empresa y diversos factores a tener en cuenta para el diseño. En este sentido, debe recordarse el concepto de ajuste estratégico, en el cual los objetivos de la cadena a configurar deben estar alineados con la estrategia competitiva de la empresa. Dentro de las posibles estrategias de competencia de la empresa pueden estar el costo del producto, el nivel de servicio al cliente, la calidad, la innovación de productos y la flexibilidad para responder a situaciones inesperadas. Igualmente, de acuerdo con los tipos de productos que la empresa manufactura, debe considerarse el equilibrio a tener entre el nivel de respuesta que la cadena ofrece y el costo de lograrlo. Así, las competencias de la empresa se contrastan con los factores generales de decisión con el objeto de eventualmente llegar a un diseño preliminar de la cadena; en el caso del ejemplo, se podría llegar a un conjunto factible de localizaciones de la nueva o nuevas plantas. Dentro de los principales factores que deberían tenerse en cuenta para el diseño de una CA local o internacional, se pueden mencionar los siguientes:


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            

Costos totales de logística y producción Nivel de respuesta a ofrecer Características y condiciones de los mercados, elementos de competencia local e internacional y condiciones para el flujo de caja internacional Condiciones de infraestructura Factores tecnológicos y técnicos especiales del producto a manufacturar Ubicación y características de los proveedores Características de los sistemas de distribución disponibles Ambiente político, económico, legal y social Consideraciones ambientales Estructura de impuestos en general Aspectos de administración de las instalaciones Flujo y sistemas de información Otros posibles factores

Los costos totales de logística y producción son un elemento clave para el diseño y configuración de una CA. Dentro de éstos se pueden mencionar los costos variables de producción, los costos de transporte, los costos de inventarios, los costos fijos de las instalaciones y los costos de promoción, mercadeo y administración del sistema. Los costos variables de producción incluyen los costos de materias primas, los cuales muchas veces dependen de la localización de la instalación. Por ejemplo, algunas empresas del sector de alimentos derivados de la papa y del maíz localizadas en Colombia (papitas fritas, alimentos de maíz inflado, etc.) analizan a fondo la instalación de plantas en Venezuela debido a que las fuentes de materia prima son escasas en dicho país. Los costos de transporte, de inventarios y fijos de las instalaciones generalmente dependen del número de instalaciones que contiene la cadena. En general, los costos de transporte disminuyen cuando el número de instalaciones aumenta, pero sólo hasta cierto punto, ya que si hay demasiadas instalaciones, se pueden perder las economías de escala de transporte y estos costos pueden eventualmente incrementarse. Los costos de inventarios son proporcionales al número de instalaciones, pero no varían linealmente; este tópico se analizará posteriormente. Los costos fijos de instalaciones y de máquinas dentro de éstas dependen del número de instalaciones y máquinas, pero su variación no necesariamente es lineal. Los costos de promoción, mercadeo y administración del sistema pueden depender en gran parte de la configuración de la cadena y de cada localidad y por ello deben tenerse en cuenta en el diseño. Lo que se busca eventualmente es obtener una configuración de la CA que minimice los costos totales de logística y producción, pero que a su vez produzca el nivel de respuesta deseado. Generalmente, el nivel de respuesta es mejor a medida que se tienen más instalaciones en la cadena, aunque tiende a estabilizarse después de cierto número. El nivel de respuesta debe también involucrar aspectos de logística reversiva o de reversa para el manejo de las devoluciones, la recolección de productos defectuosos y de elementos reciclables. Las características y las condiciones de los mercados, los elementos de competencia local e internacional son aspectos muy importantes para las decisiones estratégicas. En muchas cadenas, se buscan ubicaciones cercanas a la competencia, ya que de esta forma se incrementa la demanda para todos. Por ejemplo, es común encontrar varias droguerías de diferentes cadenas ubicadas en zonas muy cercanas dentro de las ciudades. De esta forma, es muy probable que muchos clientes acudan a estas zonas, incrementando el nivel de ventas de todos


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los participantes. Esto también se observa, por ejemplo en la ciudad de Cali, en aquéllas zonas de la ciudad donde se venden repuestos para automotores. Otro ejemplo ocurre en la logística global, donde se observa la localización de plantas en diversos países donde antes era impensable ubicar una nueva instalación. Este efecto se ha producido en el caso de producción de automotores en Estados Unidos, México y Canadá a raíz del NAFTA (North American Free Trade Agreement). Como es sabido, los aranceles de importación de vehículos son regularmente muy altos. Sin embargo, a raíz de los acuerdos y tratados internacionales como el NAFTA, los países eliminan estas barreras siempre y cuando el producto contenga un mínimo de contenido local (local content) manufacturado en uno de los países que firman el acuerdo. Esto ha obligado a que fábricas de vehículos japoneses se ubiquen, por ejemplo, en México para atender el mercado local y los mercados de Estados Unidos y Canadá, entre otros posibles, aprovechando simultáneamente las mejores condiciones de costos de mano de obra. Las condiciones de flujo de caja internacional son claves cuando una empresa desea repatriar utilidades o redistribuirlas en diferentes países para reinversión o no. Desde este punto de vista, el tema de precios de transferencia internacionales, como se estudiará más adelante, se torna muy importante. Existen países con regulaciones muy estrictas e impuestos muy altos cuando se trata del movimiento de dinero fuera de ellos. Esto hace que una empresa deba analizar a fondo todas las regulaciones relacionadas con los impuestos de retención (withholding taxes) y con todo lo relacionado con transferencias de productos y dinero. Las condiciones de infraestructura están relacionadas con los sistemas de carreteras, vías ferroviarias, puertos, aeropuertos, bodegas públicas, terminales de carga, operadores logísticos, zonas especiales de logística, zonas francas y pasos de frontera. Desde otros puntos de vista, una buena infraestructura incluye facilidad de consecución de terrenos y de realización de construcciones civiles, disponibilidad de todo tipo de mano de obra, servicios públicos y servicios especializados como zonas hoteleras, hospitales, estaciones de gasolina, etc. Una buena infraestructura ayuda a garantizar el flujo adecuado hacia y desde las instalaciones de la cadena. Son también muy importantes las condiciones de flujo vehicular y las características de la distribución física urbana, especialmente en nuestro medio con la gran congestión que existe en las principales ciudades. No basta, por ejemplo, con tener un muy buen sistema de carreteras que conecte a Bogotá y Cali con el puerto de Buenaventura y que éste sea lo más eficiente posible, si el ingreso a la ciudad de Buenaventura es muy limitado y congestionado, como ha ocurrido en los últimos años. Esto hace que los países usualmente deban pensar en verdaderos ‗corredores logísticos‘ para mejorar su competitividad. Los factores tecnológicos y técnicos especiales del producto a manufacturar pueden tener una influencia significativa en la localización y el número de instalaciones. Actualmente, por ejemplo, algunas empresas de alta tecnología concentran la producción en pocas plantas de gran capacidad a nivel mundial, dados sus altos costos fijos. Otras organizaciones, por el contrario, como es el caso de las embotelladoras pueden tener varias plantas en un solo país, con el objeto de minimizar los costos de transporte, dado que los costos fijos son relativamente bajos [Chopra y Meindl (2008, p. 117)]. Por otra parte, algunos productos requieren de condiciones especiales de localización. Por ejemplo, para la producción de papel se requiere que la planta tenga disponible un río cercano. La ubicación y características de los proveedores es un punto esencial para la localización de plantas manufactureras en el caso de sistemas productivos y de centros de distribución para sistemas comerciales. En muchas ocasiones, sin embargo, las principales materias primas con que se alimenta una planta son importadas de países lejanos con tiempos de entrega largos. Por ejemplo, las fábricas de cerveza en Colombia deben importar el lúpulo, ingrediente

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esencial de la misma, desde otros países con largos tiempos de reposición. Esto hace que el control de los inventarios de esta materia prima sea complejo y que su inventario y tiempos de seguridad sean altos. Así, puede verse que este factor debe ser analizado en conjunto con los sistemas de transporte e inventarios de la organización. Por otra parte, al otro extremo de la cadena, los sistemas de distribución juegan un papel muy importante en el diseño de una CA, principalmente en lo relacionado con la ubicación y el diseño de centros de distribución y bodegas. Normalmente, un CD debe estar ubicado estratégicamente dentro de una zona de consumo y la determinación de cuáles clientes deben ser atendidos desde cada CD se basa en el equilibrio entre los costos de transporte y el nivel de servicio deseado en cuanto a tiempos de entrega y facilidad de suministro. Los sistemas de distribución en la práctica pueden comprender diversas etapas compuestas, entre otros posibles, de CDs, bodegas locales, distribuidores mayoristas y distribuidores minoristas. Estos dos últimos generalmente no pertenecen a la misma cadena, pero juegan un papel fundamental en la distribución del producto. Por ejemplo, es fácil observar que en Colombia múltiples productos de consumo masivo se encuentran disponibles hasta en la más pequeña tienda de barrio y en la más alejada tiendita en una montaña; alguien tuvo que llevar el producto hasta allí. Por ejemplo, en el caso de chicles, a pesar de que el principal canal de distribución es el tradicional, o sea las tiendas y rapitiendas de barrio (no lo son las grandes superficies), la empresa productora no llega hasta ese nivel directamente. Para ello se cuenta con redes de distribuidores mayoristas y minoristas que realizan este trabajo, en el cual son expertos. El ambiente político, económico, legal y social dentro de un país debe ser tenido en cuenta para la localización de plantas y CDs. Es bien sabido que muchas empresas rechazan países en primera instancia porque se encuentran en situaciones de inestabilidad política y/o social. Igualmente, si el entorno legal del país no es claro o es demasiado estricto, esto puede afectar la favorabilidad de dicho país para ser considerado como un buen candidato para localizar nuevas instalaciones productoras o distribuidoras. El factor económico es por supuesto otro aspecto clave, por cuanto las condiciones de devaluación o revaluación de la moneda local y las características de inflación de un país pueden favorecer o desfavorecer su escogencia para producción o distribución directa. Las consideraciones ambientales se convierten cada día más en un factor muy importante para el diseño de una CA. Dada la coyuntura actual de aspectos como el calentamiento global y la contaminación de todo tipo, es necesario que las empresas diseñen integralmente sus cadenas como de ‗ciclo cerrado‘ (closed-loop supply chains). Esto significa que las empresas son responsables de todo el ciclo del producto y sus empaques hasta que llegan al final de su ciclo de vida y deban reciclarse, reacondicionarse o disponerse de ellos. Desde este punto de vista, la logística reversiva o de reversa es un factor fundamental y cualquier sistema de producción-distribución actual debe considerarla como un factor integral de diseño. Por ejemplo, empresas que producen baterías y pilas, productos con envases de tetra-pack, papel, entre otras, tienen diseños integrales para recolectar y reprocesar sus productos y empaques, una vez hayan cumplido su ciclo de vida útil. Falta mucho por hacer con relación a la educación de las personas para que piensen siempre en reciclar sus desechos y basuras de una manera adecuada y de esto deben tomar pronto acciones los gobiernos locales y nacionales. Cada año se pierden en el mundo, entre la basura orgánica normal, y llenan innecesariamente los rellenos sanitarios, cientos o miles de toneladas de papel, aluminio, acero, vidrio y otros elementos que podrían reciclarse para la producción de cientos de productos. El diseño de las CAs modernas debe considerar este flujo inverso en forma integral.


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La estructura de impuestos de una región puede determinar que una empresa se localice o no en dicha región. Factores como el impuesto de renta, los aranceles, los impuestos de retención mencionados anteriormente, la reglamentación sobre precios de transferencia y otros múltiples elementos tributarios hacen que un país o región sean más o menos atractivos para la localización de actividades de producción y/o distribución. Hace unos años, en Colombia, por ejemplo, estaba vigente la Ley Páez, la cual daba grandes beneficios tributarios en cuanto a impuesto de renta y aranceles para las empresas que se localizaran en la región de Páez, Cauca. Actualmente, muchas empresas tienen plantas manufactureras localizadas en dicha región. En la época de validez de la ley, los beneficios tributarios fácilmente hacían que la región de Páez dominara sobre cualquier otra región que estuviera compitiendo para la localización de nuevas plantas. Algo semejante puede ocurrir cuando los países llegan a acuerdos comerciales como se mencionó anteriormente. En cualquier caso, un estudio de localización y diseño de la CA debe incluir un análisis profundo de las estructuras de impuestos de cada uno de los lugares candidatos para la localización de nuevas instalaciones. Los aspectos administrativos de las instalaciones se refieren a la mayor o menor conveniencia que presenta una región para administrar una planta manufacturera o un CD. Este elemento puede estar relacionado con aspectos culturales, humanos y de relaciones interpersonales, especialmente entre los niveles de gestión y los niveles operativos. Aunque este es un factor que debe ser manejado cuidadosamente por la administración, puede haber regiones cuyas personas muestren mayor voluntad de colaboración y presenten estilos de trabajo más adecuados que en otras. Los elementos de flujo y sistemas de información corresponden al factor más importante de la CA: La información. Independientemente de que se utilicen o no modelos matemáticos para la configuración de una CA, es necesario disponer de información precisa, actualizada y a tiempo para tomar las decisiones correspondientes. Para las decisiones estratégicas, sin embargo, la información puede estar en forma agregada ya que generalmente se trata de planeación a mediano y largo plazo, o sea de un año o más. Cuando una cadena ya existe y se está tratando de rediseñarla, por ejemplo en el caso de localización internacional de una nueva planta o en la consolidación o crecimiento de CDs, es muy importante el acceso a la información oportuna que brindan todos los países involucrados en el análisis. A menudo, las empresas localizadas en ciertos países disponen de mejor información que aquéllas localizadas en otros y por este aspecto las primeras pueden verse favorecidas a lo largo del proceso de análisis. En el proceso de recolección de la información, se pueden identificar inconsistencias en los datos entre un país y otro, se puede llegar a normalizar cierto tipo de información y se pueden definir nuevas métricas de la cadena. Como se puede observar, son múltiples los factores a considerar para el diseño y configuración de una CA. El arte de este diseño consiste en identificar los elementos básicos y sus interrelaciones para tomar la decisión de la forma más integral posible. De esta forma, los modelos matemáticos que se estudian en este texto contribuyen significativamente a llevar a cabo este proceso. Recordando la Figura 11.1, una vez se confronten los elementos de competencia de la empresa con los factores anteriormente descritos, se puede llegar a un diseño preliminar de la CA. Es aquí en este momento cuando es crucial la utilización de modelos matemáticos y técnicas cuantitativas para facilitar el proceso de toma de decisiones. Si este eslabón se ignora, lo más probable es que el diseño al que se llegue sea subóptimo y se pierdan oportunidades de funcionar mejor y con menos recursos. Nótese que la gran diversidad de factores hace extremadamente difíciles estos análisis y que tal vez la única forma de involucrar

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múltiples variables en la decisión sea la formulación de modelos especializados como los que se exponen en este capítulo. Una vez se haya decidido acerca de la localización y de la configuración de la cadena, el proceso a seguir es la implementación de la solución y, por supuesto, la administración de la cadena rediseñada. Esta administración puede involucrar la utilización de otros modelos matemáticos tácticos y operativos, ya que, por ejemplo, la optimización de flujos es un proceso de planeación que se hace periódicamente. En cualquier caso, este proceso puede ser muy dinámico y puede retroalimentar a los pasos anteriores, produciendo en ocasiones la reconfiguración frecuente de la cadena. Por ejemplo, algunas industrias que producen cuadernos pueden tener capacidad de producción en diferentes países, la cual pueden utilizar en forma flexible dependiendo de la estacionalidad normal que su demanda presenta y, en ocasiones, pueden llegar a redistribuir ciertos equipos de producción dependiendo de la temporada de demanda.

11.2

CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE LOCALIZACIÓN

Existen múltiples tipos de problemas de localización. La Figura 11.2 resume los principales criterios de clasificación de problemas de localización.

Problemas de Localización

Factor principal

Económicos (Plantas y CD)

Ingreso a la zona (Detallistas)

Tiempo de respuesta

Tipo de problema

Continuo

Discreto

Localización y ruteo

Número de productos

Un (1) producto

Multiproducto

Número de instalaciones

Una (1) instalación

Más de una instalación

Agregación de los datos

Mayor agregación

Menor agregación

Horizonte de tiempo

Estático o un sólo período

Dinámico o multi-período

Certeza de los datos

Determinístico

Estocástico

Función objetivo

Una sólo función objetivo

Multi-objetivo

Figura 11.2. Clasificación de problemas de localización de instalaciones


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Inicialmente, clasificamos los problemas o modelos de acuerdo con el tipo de instalación para la cual se va a determinar su localización, es decir, de acuerdo con el factor determinante o principal de la decisión. Si la nueva instalación es una planta o un CD, generalmente se buscan ventajas económicas principalmente, relacionadas con la minimización de los costos totales de logística o la maximización de las utilidades, según sea el caso. Si se trata de la localización de un detallista (retailer), entonces la penetración en el mercado local y la relación con posibles competidores localizados en el mismo lugar es normalmente el factor determinante para la localización. En este caso encontramos la localización de estaciones de gasolina y droguerías, entre otros. Cuando se trata de determinar la localización de instalaciones relacionadas con rápida respuesta, como es el caso de estaciones de bomberos, de policía, ambulancias, etc., el principal elemento consiste en la minimización del tiempo máximo de respuesta dentro de la zona de influencia de la nueva instalación. Por otra parte, los problemas de localización, de acuerdo con su tipo, pueden ser continuos, discretos o pueden contener alguna combinación de estos o de otros tipos de problemas. En un problema de localización continua, la nueva instalación se puede localizar en cualquier punto de un plano continuo (x, y) dentro de una región determinada; el problema consiste entonces en determinar la localización óptima (x*, y*) que minimice cierta función objetivo generalmente relacionada con los costos totales de logística, la cual contiene una cierta métrica para medir distancias. Por ejemplo, se puede minimizar la suma de las distancias Euclidianas a todos los puntos (xi, yi) implicados en el análisis, es decir, minimizar



( x  xi )2  ( y  yi )2 ; en otros casos, se busca minimizar la distancia rectilínea por

ejemplo en localización dentro de una red de calles y carreteras donde las distancias Euclidianas no representan correctamente la situación, ya que los desplazamientos deben hacerse en forma horizontal o vertical, de acuerdo con el diseño de la red. En contraste, en un problema de localización discreta, se definen previamente ciertas localidades discretas donde es factible localizar la nueva instalación y de éstas se escoge la mejor. Esto conlleva generalmente a problemas de optimización lineal entera-mixta con variables binarias de localización. En cuanto al número de productos, un problema de localización real casi siempre considera una red multi-producto. En ocasiones, para análisis estratégicos muy agregados, es posible consolidar todos los productos en uno sólo, por ejemplo totalizando el peso transportado en toneladas por cada modo de transporte. Estos casos generalmente son de interés académico y se utilizan en este texto para introducir cada uno de los temas. Entre menor grado de agregación de productos exista, más precisa es la representación de la cadena, pero más difícil es resolver el modelo que se formule. Por este motivo, en otras ocasiones se utiliza una estrategia intermedia, agregando los productos por familias o por líneas de producción y considerando entonces múltiples familias en el análisis. Por ejemplo, en algunas fábricas de alimentos como dulces y galletas, el número de referencias que se manejan puede llegar al orden de miles. Un modelo matemático que considere cada producto en forma independiente dentro de las variables de decisión, generaría un gran número de ellas, lo cual probablemente haría intratable el modelo. Por ejemplo, supóngase que se formulan las variables de decisión Xjkmpt = Cantidad del producto p a enviar desde la planta j hacia el CD k por el modo de transporte m en el período t. Un caso real podría contener cinco plantas, 15 CDs, un promedio de 2.5 modos de transporte por cada eslabón de la cadena, 1,000 productos y 12 períodos de tiempo. Esto produciría un total de 5 × 15 × 2.5 × 1,000 × 12 = 2,250,000 variables de decisión, lo cual muy probablemente haría imposible de resolver el problema de una forma

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eficiente. Por este motivo, se haría necesario agregar los 1,000 productos en familias y reformular las variables de decisión. Obsérvese que si los 1,000 productos se agregan en, por ejemplo, 100 familias, el número de variables se reduce a 225,000, el cual es más manejable con la tecnología actual. Con respecto del número de instalaciones, es común encontrar problemas tanto de una instalación solamente como de múltiples instalaciones a localizar. En un caso de papel en el que trabajamos, la empresa estaba interesada en localizar una nueva mega-planta en la de aquel entonces Región Andina, pero a su vez se deseaba analizar el efecto que tendría construir múltiples plantas de menor capacidad en el mismo o en diferentes países. Los modelos matemáticos así desarrollados debían entonces considerar todas estas posibilidades. La agregación de los datos es otro elemento muy importante a analizar en cualquier problema de localización. Como se dijo anteriormente, el agregar productos disminuye la precisión con la que se representa la realidad de la CA, pero facilita la solución de los modelos. En forma semejante, los clientes (o el último eslabón de la cadena) que se consideren en el análisis, en la mayoría de los casos, deben ser agregados en zonas de tal forma que los modelos sean tratables matemáticamente y se puedan resolver. Una empresa puede tener decenas de miles de clientes y el considerarlos individualmente en un modelo matemático, aparte de que es innecesario, haría imposible su solución en forma eficiente. Por este motivo, se podrían agregar en zonas que contengan cientos de clientes cada una, reduciendo significativamente el tamaño del problema y permitiendo encontrar su solución en forma eficiente. Ballou (1994 y 2004, pp. 633-635) trata detalladamente el problema de agregación de clientes y su influencia sobre el cálculo de los costos de transporte. De acuerdo con el horizonte de tiempo, los problemas de localización pueden ser estáticos o dinámicos. En un problema estático se considera un solo período, por ejemplo un año. Se trata de una ‗foto‘ de la cadena para dicho período. En un problema dinámico, por el contrario, se consideran múltiples períodos en el análisis, por ejemplo, se puede tomar todo un año dividido en 12 meses. Los modelos dinámicos se utilizan principalmente cuando se quiere reflejar una situación que cambia de un período a otro, como por ejemplo si algún producto tiene una demanda estacional y se está llevando un registro del inventario final de dicho producto en cada período. Una desventaja de los modelos dinámicos es la necesidad de estimar datos con precisión para cada período bajo análisis; otra desventaja radica en la dificultad de controlar en el modelo el hecho de que una instalación se abra en un período, luego se cierre, posteriormente se vuelva a abrir y así sucesivamente. Esto sería totalmente impráctico, especialmente si se trata de plantas manufactureras. Una ventaja de los modelos dinámicos, sin embargo, es la de proveer información para las decisiones tácticas en cada período. Yo considero que los modelos dinámicos son demasiado complejos y que probablemente no son necesarios, ya que un modelo estático se puede replicar varias veces para diferentes datos de entrada, simplificando la solución. El analista, en cada caso, deberá juzgar la conveniencia de utilizar un modelo dinámico comparando el grado de detalle y el valor que agrega el mismo con su posibilidad de solución. Otro aspecto que caracteriza un problema de localización es la certeza de los datos. La mayoría de los modelos tratan sistemas determinísticos y mediante análisis de sensibilidad de los datos se evalúa el efecto que la incertidumbre puede tener en su solución. Actualmente, hay una fuerte corriente de investigación cuyo objetivo es el de formular modelos estocásticos de optimización de cadenas de abastecimiento que consideren una o varias entradas como aleatorias en forma explícita. Una referencia muy interesante que ilustra las características de los modelos estocásticos de optimización de cadenas de abastecimiento es la de Santoso et al.


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(2005). A pesar de ciertos avances en esta área, la optimización determinística juega un gran papel en los diseños actuales de las CAs, y por ello en este texto se enfatizan estos modelos. La función objetivo es la medida de la eficiencia de la CA. Puede ser de minimización de costos totales de logística o de maximización de utilidades. En su gran mayoría, los modelos actuales de optimización de CAs consideran una sola función objetivo y formulan otros aspectos como por ejemplo el tiempo de servicio al cliente como una o varias restricciones que deben mantenerse en cierto valor. Una corriente de investigación actual es la de considerar varias funciones objetivo en los modelos de optimización de CAs, lo que se conoce como optimización multi-objetivo. Por ejemplo, un modelo podría contener una función objetivo de minimización de costo y otra de minimización del tiempo de respuesta al cliente. Claramente, ambas funciones se contraponen puesto que un menor tiempo de respuesta al cliente cuesta más. En estos casos la solución óptima no es única sino que el resultado de los modelos es cierta frontera de decisión de los dos o más objetivos, de la cual el analista selecciona una solución conveniente de acuerdo con su caso particular. Melo et al. (2009) y Klose y Drexl (2005) describen elementos adicionales relacionados con la clasificación de problemas de localización y los diferentes modelos utilizados para resolverlos.

11.3

OPTIMIZACIÓN REGIONALES

DE

CADENAS

DE

ABASTECIMIENTO

Las CAs regionales son aquéllas cuyas instalaciones se localizan dentro de un mismo país o región con características uniformes. Hoy en día es difícil encontrar una CA que sea puramente regional, ya que por lo menos puede exportar algunos productos o importar materias primas y componentes. Este tema, por lo tanto, se considera como básico para asimilar temas más complejos, como es la optimización de cadenas de abastecimiento internacionales. En esta sección primero estudiamos algunos modelos continuos de localización y posteriormente se presentan los modelos discretos. 11.3.1 Modelos de localización continua En los problemas de localización continua se tiene toda una región, generalmente en el plano cartesiano (x, y), donde se debe localizar una nueva instalación, de tal forma que su interacción con las instalaciones existentes produzca el mínimo costo total de logística. Una simplificación es la de considerar en la función objetivo solamente el costo total de transporte, considerando los factores de nivel de servicio hacia los clientes por disponibilidad de producto y localización de, por ejemplo, una nueva bodega. El ejemplo 11.1 muestra esta situación. Ejemplo 11.1 (Localización continua de una sola instalación) Una empresa tiene seis puntos de venta ubicados en Cali, Palmira, Buga, Buenaventura, Cartago y Zarzal. La empresa se abastece desde dos proveedores importantes localizados en Cali y Tuluá. La Tabla 11.1 presenta los principales datos sobre volumen, costos de transporte y las coordenadas de localización con respecto de los ejes (x, y) arbitrarios mostrados en la

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Figura 11.3, la cual ilustra la posición geográfica de todas las instalaciones. En la situación actual, el proveedor de Cali despacha sólo el producto P1, mientras que el proveedor de Tuluá despacha el producto P2 solamente; por lo tanto, cada proveedor despacha sus productos hacia todos los puntos de venta. Dado que se están presentando algunos problemas con los despachos directos desde los proveedores y con el inventario disponible de éstos, lo cual está afectando significativamente el nivel de servicio, se está analizando la posibilidad de tener una bodega para mantener cierto inventario, hacia la cual despacharían los proveedores y desde la cual se enviarían los productos a los puntos de venta. Una ventaja de esta nueva configuración sería la de tener mayor cercanía a los puntos de venta puesto que, por ejemplo, el proveedor de Cali debe enviar el producto P1 hasta el punto de venta de Cartago, lo cual podría ser más económico desde una bodega ubicada más hacia el Norte del Valle del Cauca. Otra ventaja sería la posibilidad de obtener economías de escala desde los proveedores debido a que despacharían mayores volúmenes hacia la bodega que hacia cada punto de venta en forma individual. Finalmente, al disponer del inventario adecuado en la bodega, se podrían solucionar los problemas actuales de nivel de servicio. En la Tabla 11.1, los fletes de proveedores son por lo tanto los estimados entre éstos y la nueva bodega, logrados por economías de escala. Igualmente, los fletes para puntos de venta son los que se han estimado por el mismo motivo desde la nueva bodega hacia cada punto de venta, ya que, con la nueva bodega, se harían despachos consolidados para los dos productos P1 y P2. Se desea determinar la ubicación de la nueva bodega (x*, y*) que minimiza los costos totales de transporte, con base en la información suministrada. Tabla 11.1. Datos de volumen, fletes y localización de cada proveedor y punto de venta para el Ejemplo 11.1 (Los fletes mostrados son los estimados después de considerar las economías de escala en transporte primario y de distribución) Ciudad Tipo de Volumen total Costo de xi yi instalación estimado Vi transporte CTi (Km) (Km) (Ton/año) ($/Ton Km) Cali Proveedor 12,000 (P1) 170 123.3 88.9 Tuluá Proveedor 5,000 (P2) 200 163.2 159.6 3,800 (P1) Cali Punto de Venta 215 123.3 88.9 1,700 (P2) 2,800 (P1) Buga Punto de Venta 300 151.4 139.6 1,200 (P2) 700 (P1) Cartago Punto de Venta 270 196.7 235.7 300 (P2) 2,500 (P1) Palmira Punto de Venta 255 152.3 98.0 1,000 (P2) 1,400 (P1) B/ventura Punto de Venta 320 61.9 138.3 600 (P2) 800 (P1) Zarzal Punto de Venta 285 179.5 196.7 200 (P2)


453

y

Cliente

Proveedor

x

Figura 11.3. Localización de clientes y proveedores para el Ejemplo 11.1 Una primera aproximación para resolver este problema consiste en ubicar el centro de gravedad de las localizaciones, el cual considera el volumen total, los fletes y las coordenadas de cada localidad. En general, el centro de gravedad (x0, y0) viene expresado como:

454


N

x0 

Vi  CTi  xi i 1

N

V  CT i 1

i

N

y0 

i

V  CT  y i

i 1

i

i

N

V  CT i 1

i

(11.1)

i

donde N es el número total de instalaciones existentes. En el caso del Ejemplo 11.1, N = 8 (2 proveedores y 6 puntos de venta). Es relativamente sencillo implementar una hoja electrónica para realizar estos cálculos. Aplicando la Ec. (11.1) al caso del ejemplo, se obtiene:

x0  136.0885 Km

y0  121.0753 Km

Estos valores se deben considerar como una aproximación ya que, en general, el centro de gravedad no produce la solución óptima. Para encontrar ésta, se debe plantear el siguiente problema de optimización no-lineal, el cual considera las distancias Euclidianas entre las instalaciones. Si se desea, se puede utilizar un factor de corrección que corrige la distancia Euclidiana y estima la distancia real por el sistema de carreteras, tal como se ilustró en el Capítulo 10: Minimizar costo total de transporte ($/año)  8

CT ( x, y )  Vi  CTi  ( x  xi ) 2  ( y  yi ) 2

(11.2)

i 1

donde (x, y) es la localización de la nueva bodega. Nótese que no hay necesidad de restringir las variables de decisión, ya que se asume que x e y pueden tomar cualquier valor real. El problema (11.2) es un modelo de optimización no-lineal no restringido en dos variables, x e y. Por lo tanto, se pueden aplicar las condiciones necesarias para la existencia de un mínimo, tomando las derivadas parciales de la función con respecto de cada una de las dos variables. Para facilitar la notación, se va a definir: di  ( x  xi )2  ( y  yi )2

(11.3)

Como el problema es simétrico, se va a ilustrar para la variable x, dado que para la variable y el desarrollo es análogo. Las condiciones necesarias para la existencia de un mínimo son, por lo tanto: 8

CT ( x,y )  x

 Vi  CTi  ( x  xi ) 2  ( y  yi ) 2 i 1

8

 Vi  CTi  i 1 8

 Vi  CTi  i 1

x 2( x  xi )(1)

1 2 ( x  xi ) 2  ( y  yi ) 2 ( x  xi ) 0 di

(11.4)


455

La última sumatoria en (11.4) se puede separar fácilmente, obteniéndose el siguiente resultado, donde se ha extendido en forma análoga para la variable y (Note que en estas ecuaciones no es posible ―simplificar‖ di, ya que se trata de sumatorias tanto en el numerador como en el denominador; se menciona esto porque este error se comete a menudo): 8

x  *

Vi  CTi  xi / di i 1

8

V  CT / d i 1

i

i

8

y 

i

*

V  CT  y / d i

i 1

i

i

i

(11.5)

8

V  CT / d i 1

i

i

i

El problema con las Ec. (11.5) es que di está también en función de x e y y por ende no se puede hallar la solución del problema directamente a través de ellas. Sin embargo, estas ecuaciones sugieren una estrategia de solución, a través del conocido método de iteración de punto fijo para resolver sistemas de ecuaciones no-lineales. Así, se puede tomar un punto de inicio x = x0, y = y0, el cual puede corresponder al centro de gravedad; a continuación, se calculan las distancias di con base en la Ec. (11.3), se recalculan x e y utilizando las Ec. (11.5) y se repite este proceso hasta que sucesivos valores de x e y no sufran cambios significativos, es decir, hasta que se logre la convergencia. Se puede demostrar que este método converge hacia la solución óptima del problema de localización continua de una sola instalación. Aplicando este procedimiento al Ejemplo 11.1, se encuentran los resultados mostrados en la Tabla 11.2. Tabla 11.2. Resultados de localización del Ejemplo 11.1 Iteración n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …. 20 21 …. 97 98 100

xn (Km) 136.088 137.555 136.418 135.213 134.176 133.313 132.607 132.032 131.563 131.175 130.852 …. 129.323 129.253 …. 128.614 128.613 128.613

yn (Km) 121.075 114.628 110.700 107.948 106.003 104.594 103.533 102.702 102.034 101.485 101.027 …. 98.817 98.714 …. 97.761 97.760 97.760

Costo total de transporte ($/año) 321,296,593 314,036,693 310,695,317 308,784,289 307,689,900 307,037,366 306,627,858 306,359,061 306,176,096 306,047,858 305,955,810 …. 305,692,534 305,687,118 …. 305,663,612 305,663,612 305,663,612


456

y

Cliente

Proveedor

Nueva Bodega

x

Figura 11.4. Solución óptima del problema del Ejemplo 11.1 La iteración 0 en la Tabla 11.2 muestra el punto de inicio correspondiente al centro de gravedad. En este caso, la rata de convergencia es lenta y se logra alrededor de la centésima iteración; esto algunas veces ocurre, pero en general el método converge rápidamente. Nótese que la diferencia entre el costo de transporte de inicio cuando la ubicación de la nueva bodega coincide con el centro de gravedad y el de la ubicación óptima es significativa, al lograrse una


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reducción del 4.9 por ciento. La solución óptima da en la jurisdicción del municipio de Yumbo, como se muestra en la Figura 11.4, lo cual tiene sentido en este ejemplo. Nótese en la figura los flujos de productos entre los proveedores y la nueva bodega y entre ésta y los puntos de venta. Es importante notar que este problema se puede resolver también en forma eficiente construyendo una hoja electrónica. En esta hoja se calculan las distancias dada la localización (x, y) de la nueva bodega y se determina el costo total de transporte. Así, se puede utilizar el solver de Excel™ para hallar los valores de las celdas que contienen a x e y, de tal forma que se minimice, sin restricciones, la celda que contiene el costo total de transporte. Se llega así, por supuesto, a la misma solución encontrada anteriormente. Debe tenerse en cuidado en NO activar la opción del solver de considerar el modelo como lineal. Hay dos aspectos importantes para mencionar con respecto de este ejemplo. El primero tiene que ver con el tipo y la localización definitiva de la bodega, si se toma la decisión de abrirla. El tipo de la bodega a abrir, o sea propia, tercerizada, híbrida u otra y su tamaño fue un tema tratado en los Capítulos 7 y 8. El flujo (o throughput) que la bodega manejaría se puede estimar en 17,000 ton/año, de acuerdo con las condiciones del problema. Este dato permitiría estimar su tamaño, a través de la metodología presentada en el Capítulo 8. La localización definitiva de la bodega se convierte en un problema de menor escala y dependerá de los factores presentados en la Sección 11.1. El segundo aspecto es que la solución de este problema se ha encontrado exclusivamente con base en los costos anuales de transporte. Como se verá en ejemplos posteriores, los modelos deben complementarse con la inclusión de otros costos, tales como los costos fijos de las instalaciones y los costos de inventario, los cuales se incrementan de acuerdo con el número de instalaciones que contenga la CA. Debe también considerarse los aspectos de nivel de servicio mencionados en el Ejemplo 11.1, a través, por ejemplo, de los tiempos de servicio y la disponibilidad del producto. El Problema No. 1 de los Ejercicios 11.1 introduce este tema. Ejemplo 11.2 (Localización continua de más de una instalación) Consideremos el Ejemplo 11.1 y asumamos que se desea analizar el impacto de abrir dos nuevas bodegas. En este caso el problema se torna más complejo, ya que debe determinarse la localización de cada una de las bodegas y definirse cuál bodega va a despachar a cada punto de venta. Este problema se conoce como el de localización y asignación (Location-Allocation Problem) y no se puede resolver fácilmente como en el caso de una sola instalación. Por lo tanto, deben utilizarse métodos heurísticos. Francis et al. (1992, pp. 373-383) presentan algunos ejemplos de estos métodos. Por ejemplo, para el caso de dos bodegas, se puede iniciar con una localización dada de cada una y asignar cada punto de venta a la bodega más cercana. Esto divide el problema en dos subproblemas de localización de una sola instalación, los cuales se pueden resolver mediante el método ilustrado en el Ejemplo 11.1. Una vez se tengan las dos localizaciones óptimas individuales, se repite el proceso a partir de estas nuevas localizaciones hasta que no se pueda disminuir más el costo total de transporte. El resultado al que se llega mediante este método depende en gran parte del punto inicial de localización de las instalaciones dado que se trata de funciones con múltiples extremos locales. Por lo tanto, se recomienda ensayar con varios puntos de inicio y escoger la mejor solución encontrada.

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Una variante del método anterior puede ser primero agrupar los puntos de venta en dos subconjuntos disjuntos y posteriormente resolver el subproblema de localización de una sola instalación para cada uno de ellos. Se puede así probar con varias particiones del conjunto de puntos de venta y escoger la que dé el costo mínimo. Nótese que en los dos métodos anteriores, se asume que cada punto de venta es atendido por una bodega solamente. Esto es lo que se conoce como ‗suministro simple‘ (single sourcing). Sin embargo, es factible encontrar mejores soluciones si se permite que un punto de venta sea atendido por varias bodegas, en este caso por las dos bodegas. Esto, aunque teóricamente factible, frecuentemente no es aceptado en la práctica por los problemas administrativos, de coordinación y de control que puede conllevar el hecho de que a un punto de venta le despachen dos o más bodegas diferentes. Para resolver el caso del ejemplo, se van primero a agrupar los puntos de venta y los proveedores y, posteriormente, se encontrará la ubicación óptima de cada una de las bodegas nuevas mediante el método descrito en el Ejemplo 11.1. La primera agrupación que hace sentido es tener en un subconjunto a los puntos de venta de Cartago, Zarzal y Buga y obviamente a los dos proveedores dado que ambos suministran productos diferentes. Así, el segundo grupo contendría a los puntos de venta de Cali, Palmira y Buenaventura y a los dos proveedores. Asumimos, por simplicidad, que los fletes actuales se mantienen para el flujo hacia y desde cada una de las dos nuevas bodegas. Si este no fuese el caso, el problema se podría resolver con los nuevos fletes que se estimen. Debe tenerse cuidado con la conservación de los flujos desde cada proveedor, de acuerdo con la demanda de cada punto de venta para cada producto. Al resolver el problema de ubicación de la primera nueva bodega para el primer subconjunto, se obtiene que ésta debería ubicarse en la ciudad de Buga, con un costo total de transporte de 97,091,350 $/año. Al aplicar el método al segundo subconjunto de puntos de venta, se obtiene una ubicación óptima de la segunda bodega en la ciudad de Cali, con un costo total de transporte de 131,142,571 $/año. Así el costo total de transporte de esta configuración sería igual a 228,233,921 $/año. Obviamente, el costo total de transporte disminuye ya que, si se mantienen los fletes, las dos bodegas logran concentrar más la distribución y disminuir las distancias en las dos zonas resultantes. Una segunda partición que podría probarse es asignar la demanda de Buga al segundo grupo anterior, quedando las particiones de la siguiente forma: Partición No. 1: Puntos de venta de Cali, Palmira, Buga y Buenaventura y los dos proveedores. Partición No. 2: Puntos de venta de Cartago y Zarzal y los dos proveedores. En este caso se obtiene la bodega No. 1 ubicada en Cali con un costo total de transporte para este subconjunto de 220,185,791 $/año y la bodega No. 2 ubicada en Zarzal con un costo total de transporte para este subconjunto de 46,561,252 $/año, obteniéndose un costo total de transporte de 266,747,043 $/año, lo cual no es mejor que la anterior configuración. La última opción que se analizará es agrupar a los puntos de venta de Cartago, Zarzal, Buga y Buenaventura y los dos proveedores en el primer subconjunto y a Cali y Palmira y los dos proveedores en el segundo subconjunto. Esta configuración produce una nueva bodega en Buga y otra en Cali, para un costo total de transporte de 241,925,195 $/año. Así, la mejor opción es construir una bodega nueva en Buga y otra en Cali, pero esta última atendiendo a Cali, Palmira y Buenaventura, como se analizó en la primera partición de puntos


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de venta, con un costo total de transporte de 228,233,921 $/año. Es importante comparar este costo con el costo óptimo de 305,663,312 $/año obtenido en el Ejemplo 11.1. La diferencia entre el costo actual de logística y el mejor costo obtenido en este ejemplo debe compararse con el incremento en costos fijos de las dos nuevas bodegas y los costos de mantenimiento del inventario dentro de ellas. Si el balance es positivo, entonces, desde el punto de vista de costos totales de logística, sería conveniente abrir las dos nuevas bodegas. Aún si el balance es negativo podría ser necesario abrir las dos bodegas debido a posibles problemas de nivel de servicio que se estén presentando, ocasionados muy probablemente por el desfase entre el aprovisionamiento y la demanda, una de las causas fundamentales de la necesidad de almacenar productos. El ejemplo que sigue ilustra la consideración de otros costos de logística dentro de los problemas de localización continua múltiple. Ejemplo 11.3 (Localización continua múltiple con costos fijos de instalaciones y costos de inventario)

Y

Ibagué

X

Figura 11.5. Localización de los clientes y bodegas potenciales del Ejemplo 11.3 En este ejemplo se considera el caso de una empresa comercializadora que opera en todo el territorio nacional, la cual desea conocer el número, localización y capacidad de las bodegas a abrir. Los clientes se han agregado en 12 zonas a lo largo del país, representando las


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principales ciudades. Se va a analizar la apertura desde mínimo una bodega hasta máximo 12, una en cada ciudad, como caso extremo. Los fletes han sido estimados con base en la tabla de fletes del Ministerio de Transporte de Colombia y se ha hecho un estudio de la distancia real por carretera semejante al presentado en el Capítulo 10. La Figura 11.5 muestra la ubicación geográfica de los clientes (círculos) y de las bodegas potenciales (cuadrados) en un mapa a escala. El factor de escala del mapa es tal que 1 cm corresponde a 100 Km; el factor de corrección por la distancia por carretera utilizado es de 1.57, de acuerdo con el estudio presentado en el Capítulo 10. Por lo tanto, el factor total de escala es igual a 157. Los datos disponibles se muestran en la Tabla 11.3. Tabla 11.3. Datos de localización, volumen y fletes del Ejemplo 11.3 ZONA No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ciudad Pasto Popayán Neiva Cali Ibagué Pereira Bogotá Medellín Yopal B/manga Cúcuta B/quilla

X [cm] 0.4 1.1 2.7 1.2 2.7 2.3 4.0 2.5 6.0 5.1 5.8 3.4

Y [cm] 0.4 1.7 2.4 3.0 4.0 4.4 4.3 6.1 4.8 7.1 7.9 11.4 Suma

Volumen [Ton/año] 550 650 1,060 3,190 1,350 1,700 5,300 4,250 320 910 480 1,490 21,250

Flete [$/Ton.Km] 90.49 118.09 120.88 104.73 112.28 110.97 133.64 93.75 132.65 83.84 91.98 53.85

Se considera un costo fijo de F0 = $60 millones/año por cada bodega que se abra. Se ha estimado una rotación de los productos en bodega de 24 veces/año, un valor promedio de los productos de v = 750,000 $/ton y una tasa del costo de mantenimiento del inventario r = 24% anual. Con base en esta información se pide determinar el número, localización y capacidad más adecuados de las bodegas a abrir. Para resolver este problema nos vamos a apoyar en el software LogWare Versión 6.0 2008 por Ronald H. Ballou ( Copyright1992-2008 Ronald H. Ballou All rights reserved), quien ofrece su software para propósitos educacionales tal como consta en el manual del mismo. Utilizaremos el programa MULTICOG, el cual localiza múltiples instalaciones en el plano mediante el método exacto de múltiples centros de gravedad. Dado que el software minimiza los costos totales de transporte exclusivamente, los costos fijos de las nuevas bodegas y los costos de inventario deben adicionarse en forma externa al programa. Un método que puede utilizarse, entonces, es definir la mejor ubicación de 1, 2, 3, …, 11 y 12 bodegas, adicionar los costos fijos y los de inventario y seleccionar la opción de mínimo costo total. El costo fijo de las bodegas se considera proporcional al número de éstas que se vayan a abrir. Es decir, si N = Número de bodegas a abrir, entonces se incurriría en un costo fijo total igual a F0N. En un caso real, este supuesto debe analizarse más profundamente, ya que no necesariamente se da esta proporcionalidad perfecta. Por ejemplo, algunos autores proponen ‗paquetes‘ de capacidad a un cierto costo fijo, donde no necesariamente se da una proporcionalidad perfecta.


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Los costos de mantenimiento del inventario se van a tratar de la siguiente forma. Recuérdese que la expresión general para calcular estos costos es Cm  Ivr . El valor promedio de los productos v y la tasa de costo de mantenimiento r están dados. Falta estimar el inventario promedio. El inventario promedio está relacionado con el flujo a través de la bodega mediante la rotación, dato que también es conocido. Así, si se abriera sólo una bodega, esta debería manejar un flujo total de 21,250 ton/año, el cual es el flujo total mostrado en la Tabla 11.3. Por lo tanto, el inventario promedio se podría obtener dividiendo este flujo entre la rotación anual, es decir,

I  21,250 / 24  885.42 ton Por lo tanto, el costo de mantenimiento del inventario si se abriera una bodega solamente sería igual a:

Cm  Ivr  885.42 ton  750,000 $/ton  0.24 $/($  año)  159.38 millones de $/año La pregunta que surge es, ¿cómo varía el nivel de inventario cuando se pasa de 1 a 2, 3, …, N bodegas? Esta pregunta no es fácil de responder y puede depender de varios aspectos, como por ejemplo los sistemas de control de inventarios que se utilicen en las bodegas. Existe una aproximación que se ha utilizado, en la cual el nivel de inventario se calcula proporcionalmente a la raíz cuadrada del número de bodegas. En un primer trabajo, Brown (1967, pp. 258-266) propone la aproximación de la raíz cuadrada sólo para el inventario de seguridad. Maister (1976) extiende el trabajo anterior al inventario total, incluyendo el inventario cíclico, siempre y cuando se utilice el EOQ como sistema de control. Más recientemente, Croxton y Zinn (2005) formulan un modelo matemático de programación lineal entera-mixta, donde aplican la fórmula de la raíz cuadrada al inventario total para resolver un problema de localización discreta. Estos dos autores presentan igualmente una revisión muy completa sobre el tema. Puede también consultarse a Ballou (2004, pp. 641-642). De acuerdo con lo anterior, para este ejemplo vamos a adoptar la regla de la raíz cuadrada para estimar el nivel de inventario total cuando el número de bodega varía. Así, si I1 es el nivel de inventario total cuando se abre una bodega solamente, el nivel de inventario total cuando se abren N bodegas vendría dado por:

I N  I1 N

(11.6)

Esta expresión se puede utilizar para el cálculo del costo de mantenimiento del inventario cuando se abre más de una bodega, de la siguiente forma:

Costo de mantenimie nto del inventario al abrir N bodegas  I N vr   I1vr N  159.38 N millones de $/año

(11.7)


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Así, teniendo en cuenta lo anterior, se procede a correr el software para localizar una bodega solamente. Para este primer paso, se puede utilizar también el método visto en el Ejemplo 11.1. La localización óptima se obtiene en las coordenadas x = 3.14, y = 4.36, es decir, en cercanías de Ibagué, aunque no en una ciudad determinada. El costo total de transporte óptimo resulta ser 672.06 millones de $/año. A este costo se le suma el costo fijo de una bodega, o sea 60 millones de $/año y el costo de mantenimiento del inventario al abrir una bodega solamente, es decir, 159.38 millones de $/año. Así, el costo total de logística para esta configuración vendría dado por 891.44 millones de $/año. Cuando se abren dos bodegas, las localizaciones óptimas resultan ser en las ciudades de Bogotá y Pereira, con un costo total de transporte de 492.10 millones de $/año. En este caso, desde la bodega en Bogotá se atenderían los clientes ubicados en Bogotá, Yopal, Bucaramanga y Cúcuta y desde Pereira el resto de clientes. Al costo total de transporte se le sumaría entonces 2 × 60 = 120 millones de $/año de costo fijo de bodegas y 159.38 2  225.39 millones de $/año de costo de mantenimiento del inventario en las dos bodegas, lo que produciría un costo total de transporte de 837.49 millones de $/año. Tabla 11.4. Costos de transporte, fijos, de inventario y totales de logística (Ejemplo 11.3) No. de bodegas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Costo de Transporte ($000,000/año) 672.06 492.10 292.54 260.04 210.04 177.85 152.42 84.70 74.91 23.08 11.54 0.00

Costo fijo de bodegas ($000,000/año) 60.00 120.00 180.00 240.00 300.00 360.00 420.00 480.00 540.00 600.00 660.00 720.00

Costo de Inventario ($000,000/año) 159.38 225.39 276.05 318.75 356.37 390.39 421.67 450.78 478.13 503.99 528.59 552.09

Costo Total de Logística ($000,000/año) 891.43 837.49 748.58 818.79 866.41 928.24 994.09 1,015.48 1,093.03 1,127.07 1,200.12 1,272.09

Se continúa de forma análoga y se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 11.4. La solución óptima resulta ser la apertura de tres bodegas ubicadas en Bogotá, Medellín y Cali, con un costo total de logística de 748.58 millones de $/año. Desde la bodega ubicada en Bogotá se atienden los clientes de Ibagué, Pereira, Bogotá y Yopal. Desde la bodega de Medellín se atienden los clientes de Medellín, Bucaramanga, Cúcuta y Barranquilla y desde la bodega de Cali se atienden Pasto, Popayán, Neiva y Cali. Esta configuración tiene sentido y probablemente sería la ideal a implementar. Los resultados se resumen en la Tabla 11.5, donde se muestran los costos de transporte desde cada nueva bodega y los volúmenes totales de cada una, dato que se torna muy importante para determinar la capacidad y tamaño de cada una de las nuevas bodegas.


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Tabla 11.5. Configuración de la cadena de suministro (Ejemplo 11.3) Bodega X No. (Km) 1 4.0 2 2.5 3 1.2 TOTALES

Y (Km) 4.3 6.1 3.0

Ciudad Bogotá Medellín Cali

Volumen (Ton/año) 8,670 7,130 5,450 21,250

Costo ($000,000/año) 95.93 127.14 69.47 292.54

Clientes Atendidos Ibagué, Pereira, Bogotá, Yopal Medellín, B/maga, Cúcuta, B/quilla Pasto, Popayán, Neiva, Cali

La Figura 11.6 ilustra los costos de transporte, fijos y de inventario en función del número de bodegas a abrir. En esta figura es importante notar que los costos de transporte generalmente disminuyen cuando se aumenta el número de instalaciones de la cadena, debido a que si se mantienen las economías de escala del transporte primario y se reducen los costos de distribución desde cada bodega, al ubicarse más cerca de las zonas de consumo. Aunque no es el caso del ejemplo, cuando el número de bodegas aumenta demasiado se puede perder la ventaja de economías de escala del transporte primario y los costos totales de transporte pueden incrementarse. Los costos fijos de instalaciones son proporcionales al número de instalaciones, aunque en la práctica pueden no ser lineales debido a posibles economías de escala que pueden generarse. Por ejemplo, los costos fijos de dos instalaciones pueden ser menores que el doble del costo fijo de una instalación simple. Los costos de inventario en general tienen una tendencia semejante a la mostrada, con una curva suavizada a medida que aumenta el número de bodegas. Es posible que en la práctica la curva sea ―más suave‖, o sea que el incremento de inventario promedio no sea directamente proporcional a la raíz cuadrada de N, sino un poco menor. [Ver Chopra y Meindl (2004), Capítulo 4 y Croxton y Zinn (2005)].

1,400

1,200

Costos ($/año)

1,000

800

Transporte Fijo Inventario

600

Total

400

200

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Número de bodegas

Figura 11.6. Costos de transporte, fijos, de inventario y totales de logística en función del número de bodegas a abrir (Ejemplo 11.3)

464

11.3.2


Modelos de localización discreta

En contraste con los modelos de localización continua, en los modelos discretos se escogen a priori algunos lugares candidatos para la apertura de una nueva planta o centro de distribución o cualquier instalación que se esté considerando. El problema consiste entonces en definir cuáles de los lugares potenciales son los mejores para la creación de nuevas instalaciones o para que las instalaciones existentes continúen funcionando, si este es el caso. En la localización discreta tiene entonces sentido la consideración de dos o más lugares potenciales para la nueva o nuevas instalaciones. Aquí se generan modelos matemáticos de programación lineal entera-mixta, ya que surgen variables binarias para las decisiones de abrir (variable binaria = 1) o no abrir (variable binaria = 0) una nueva instalación en un lugar dado. El ejemplo 11.4 ilustra esta situación con un caso regional en Colombia. Ejemplo 11.4 (Localización discreta en Colombia con costos de inventario) Este ejemplo es una extensión del Ejemplo 11.3 de localización continua. En este caso, se han adicionado los proveedores al análisis y se desea encontrar el número óptimo y capacidad de las bodegas a abrir, de tal forma que se minimicen los costos totales de Logística, representados por los costos totales de transporte, los costos fijos de instalaciones y los costos de inventario. Se han agregado los diversos productos en uno solo y se considera el transporte de productos por unidad de peso, o sea toneladas/año.

Cali

Pasto

Pasto

Popayán

Popayán

Neiva

Neiva

Cali

Cali

Ibagué

Ibagué

Pereira

Pereira

Bogotá

Bogotá

Medellín

Medellín

Yopal

Yopal

B/manga

B/manga

Cúcuta

Cúcuta

B/quilla

B/quilla

BODEGAS POTENCIALES

CLIENTES

Ibagué

Pereira

Bogotá

Medellín

B/manga

B/quilla

PROVEEDORES

Figura 11.7. Esquema de la red a configurar (Ejemplo 11.4)


465

Aunque se trata de un caso en un país específico y de una cadena particular, su generalización hacia otras cadenas o redes en cualquier país es posible. Como ilustra la Figura 11.7, la empresa se aprovisiona de siete proveedores y tiene clientes en 12 ciudades del país. Se está analizando de nuevo la opción de abrir desde una hasta 12 nuevas bodegas y se han definido como lugares potenciales las mismas ciudades donde la empresa tiene a sus clientes. La Figura 11.8 muestra la ubicación geográfica de los clientes, de los proveedores y de las bodegas potenciales, cuyos lugares factibles coinciden con los de los clientes.

Ibagué

Cliente y bodega potencial Proveedor

Figura 11.8. Ubicación geográfica de los proveedores, clientes y bodegas potenciales (Ejemplo 11.4) Para resolver este problema, el cual puede considerarse como una extensión del problema del transporte mencionado en la Sección 10.4.1, es necesario conocer un conjunto de datos e información, a saber:  Fletes desde proveedores hacia bodegas y desde bodegas hacia clientes  Capacidad de proveedores  Demanda de cada cliente

466


 Costo fijo aproximado de cada bodega (Como en el caso del ejemplo anterior, se asume un costo fijo de 60 millones de $/año por cada bodega abierta)  Número mínimo y máximo de bodegas a abrir (En este caso se considera un mínimo de una bodega y un máximo de 12 bodegas)  Información sobre costos de inventario (semejante a la del caso continuo del Ejemplo 11.3) La Tabla 11.6 presenta la capacidad de cada proveedor y la Tabla 11.7 la demanda estimada de cada cliente, ambos en Ton/año. Obsérvese que la suma de las capacidades de los proveedores es igual a la suma de la demanda de los clientes. Esto se ha hecho de esta forma intencionalmente para que el problema sea muy ‗apretado‘, cuyas características se presentarán posteriormente. Tabla 11.6. Capacidad de cada proveedor (Ejemplo 11.4) Proveedor No. 1 2 3 4 5 6 7

Ciudad Cali Ibagué Pereira Bogotá Medellín B/manga B/quilla TOTAL =

Capacidad [Ton/año] 3,250 2,000 2,000 5,800 4,500 1,250 2,450 21,250

Tabla 11.7. Demanda de cada cliente (Ejemplo 11.4) ZONA No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ciudad Pasto Popayán Neiva Cali Ibagué Pereira Bogotá Medellín Yopal B/manga Cúcuta B/quilla TOTAL =

Volumen [Ton/año] 550 650 1,060 3,190 1,350 1,700 5,300 4,250 320 910 480 1,490 21,250

Los fletes entre cada par de ciudades se han adaptado de la tabla de fletes que tradicionalmente emite mediante decreto el Ministerio de Transporte de Colombia. Obviamente, en un problema real, se debería disponer de los fletes reales que la empresa estime con base en su conocimiento del sistema, ya que la tabla de fletes en Colombia fija el valor mínimo que debe cobrarse por tonelada en las diferentes rutas. Sin embargo, de acuerdo con la información suministrada por diversas fuentes relacionada con logística, esto muchas veces no se cumple, dada la excesiva oferta de transporte en Colombia. La tabla de fletes ha


467

sido y sigue siendo motivo de discusión entre los transportadores, los generadores de carga, el gobierno y, en general, cualquier organización relacionada con el transporte de carga por carretera en Colombia y por ello, como se mencionó anteriormente, es muy probable que desaparezca en octubre de 2009. Formularemos a continuación el modelo matemático que representa el diseño de la cadena de abastecimiento de este ejemplo. Lo ideal para formular y resolver cualquier modelo de este tipo es realizar los siguientes pasos:    



Definir claramente los conjuntos e índices donde van a quedar definidos los parámetros y las variables de decisión del modelo. Definir los parámetros del modelo, entendiendo por ello los datos que se necesitan para formularlo. Normalmente, se considera que los parámetros del modelo son determinísticos y conocidos para el horizonte de planeación que se está considerando. Definir las variables de decisión, las cuales representan las decisiones que el analista puede hacer y están bajo su control. Definir el tipo de software a utilizar para la solución del modelo. En ocasiones, para problemas relativamente pequeños, se puede utilizar software académico, el cual necesita que el modelo se ingrese en su forma normal, después de reemplazar en el mismo los valores de los parámetros. Otras veces, para modelos más grandes o que representen casos reales, se requiere utilizar software más avanzado, el cual generalmente divide y diferencia el archivo de datos, con la información de los parámetros y el archivo del modelo propiamente dicho. Estos programas combinan ambos archivos con otro archivo de comandos de ejecución, producen el modelo en su forma normal, lo resuelven y devuelven su solución en la forma especificada por el usuario. Hallar la solución del modelo, analizar su solución mediante diversos análisis de sensibilidad y proveer los pasos necesarios para su ejecución dentro del sistema bajo estudio.

A continuación se van a definir los conjuntos e índices, los parámetros y las variables de decisión para el modelo, considerando sólo los costos fijos en bodegas y los costos de transporte. Los costos de inventario se tratarán de forma semejante al caso del Ejemplo 11.3 y por ello sus parámetros no se definen aquí. Conjuntos e índices PROV = BOD = CONS =

Conjunto de proveedores, indexado por i Conjunto de bodegas potenciales o lugares para abrirlas, indexado por j Conjunto de clientes o consumidores, indexado por k

El índice de cada conjunto se define para mayor claridad, aunque en el modelo en sí se puede utilizar cualquier índice siempre y cuando haya consistencia. De todas formas, se sugiere conservar los índices como fueron definidos. Dado que en este problema todos los productos se han agregado por peso (ton/año) no existe un conjunto de productos, el cual es común en modelos más complejos, como se estudiará posteriormente. Igualmente, no existe en este caso un conjunto de modos de transporte, ya que se supone que este sólo se va a


468

realizar por carretera y mediante ciertos camiones estándar. Un modelo más real puede contener múltiples modos de transporte e incluso dentro de un mismo modo se pueden definir varios submodos, como por ejemplo dentro del transporte por carretera podrían existir varios tipos de camión que representaran un modo diferente. Parámetros CAP_PROVi CFIJOj DEMANDAk FLETE_PROV_BODij FLETE_BOD_CONSjk N

= = = = = =

Capacidad del proveedor i, en ton/año Costo fijo de una bodega si se abre en el lugar j, en $/año Demanda del cliente k, en ton/año Flete entre el proveedor i y la bodega potencial j, en $/ton Flete entre la bodega potencial j y el cliente k, en $/ton Número de bodegas a abrir (adimensional)

Obsérvese que los parámetros, están definidos para los elementos de un conjunto definido previamente. Existen parámetros unidimensionales, como la capacidad de cada proveedor, ya que a cada elemento del conjunto de proveedores le asignamos una capacidad. Otros parámetros son bidimensionales. Por ejemplo, los fletes entre los proveedores y las bodegas potenciales son bidimensionales puesto que relacionan a cada proveedor con cada una de las bodegas dentro de sus respectivos conjuntos. El número de bodegas a abrir N puede ser considerado como un parámetro adimensional. En modelos más complejos pueden existir parámetros multidimensionales. Es importante también notar que cada parámetro sin excepción debe contener sus respectivas unidades de medida. Los parámetros, conjuntos e índices definidos se ilustran igualmente en la Figura 11.9.

Parámetros, conjuntos e índices del modelo CAP_PROVi

N, CFIJOj

PROVEEDORES (índice i)

BODEGAS (índice j)

FLETE_PROV_BODij

DEMANDAk CLIENTES (índice k)

FLETE_BOD_CONSjk

Figura 11.9. Parámetros, conjuntos e índices del modelo (Ejemplo 11.4) Variables de decisión Xij

=

Yjk

=

Wj

=

Cantidad de los productos a enviar desde el proveedor i hacia la bodega j, en ton/año Cantidad de los productos a enviar desde la bodega j hacia el cliente k, en ton/año Variable binaria igual a 1 si se abre una nueva bodega en el lugar j e igual a 0 de lo contrario

Las variables de decisión representan las variables controlables, las cuales pueden ser manejadas por la organización, y son aquéllas que resuelven el problema original en forma


469

directa o indirecta. En este caso, la empresa puede decidir cuántas y cuáles bodegas abrir e igualmente cómo va a ser la distribución de los flujos desde los proveedores hacia dichas bodegas y desde éstas hacia los clientes. Los flujos determinarán entonces la capacidad requerida de cada bodega que se abra. El modelo se encarga entonces de hallar los valores de estas variables que produzcan el costo total de logística mínimo. La Figura 11.10 esquematiza las variables de decisión del modelo.

Variables de decisión del modelo Xij PROVEEDORES (índice i)

Yjk BODEGAS (índice j)

CLIENTES (índice k)

Wj

Figura 11.10. Variables de decisión del modelo (Ejemplo 11.4) Formulación verbal del modelo Es conveniente siempre escribir el modelo matemático en forma verbal y luego pasar a su expresión en forma matemática. El modelo matemático en forma verbal es una forma muy útil de expresar el problema de optimización, ya que condensa los costos y otros elementos que se van a considerar en la función objetivo y describe las diferentes restricciones que se tendrán en cuenta. La formulación verbal del modelo matemático es la siguiente: Función objetivo: Minimizar Costos de Transporte + Costos fijos de bodegas + Costos de inventarios (incluidos posteriormente) Restricciones: Capacidad de proveedores Capacidad de bodegas (ilimitada para decidir capacidad) Satisfacción de demanda en zonas de consumo Balance de productos en bodegas Número de bodegas a abrir (mínimo, máximo, igual a) Restricciones obvias El modelo matemático paso a paso A continuación se formula el modelo matemático paso a paso, iniciando con la función objetivo y continuando con cada conjunto de restricciones.


470

•

Función objetivo:

Minimizar Costos de Transporte + Costos fijos de bodegas + Costos de inventarios (incluidos posteriormente) Minimizar COSTO TOTAL DE TRANSPORTE Y FIJOS 

 FLETE _ PROV _ BOD X   FLETE _ BOD _ CONS ij

i

ij

j

j

k

jk

Y jk   CFIJO jW j

(11.8)

j

La función objetivo mostrada es la suma de los fletes totales desde los proveedores a las bodegas (primera sumatoria), de los fletes totales desde las bodegas hacia los clientes (segunda sumatoria) y de los costos fijos de las bodegas que se vayan a abrir (tercera sumatoria). La notación de sumatoria es muy útil, pues es compacta y fácil de comprender. En el caso mostrado, los subíndices i y j de la primera sumatoria, por ejemplo, expresan que dicha suma debe hacerse sobre todos los proveedores (i) y sobre todas las bodegas (j). Nótese que la expresión de arriba es simplemente tres sumas que cualquier analista efectuaría si estuviera calculando por otro medio los costos mostrados. Los costos de inventario que completan los costos totales de logística se adicionarán posteriormente. •

Restricciones: 

Capacidad de proveedores:

X

ij

 CAP _ PROVi i

(11.9)

j

Restricciones de capacidad de proveedores

BODEGAS (índice j)

PROVEEDOR i

CAP_PROVi Xij

Figura 11.11. Restricciones de capacidad de cada proveedor (Ejemplo 11.4) Este conjunto de restricciones expresa que todo el flujo que sale de cada proveedor (Figura 11.11) hacia todas las posibles bodegas que estén abiertas, no puede ser mayor que su capacidad máxima. Por lo tanto, el número de restricciones representadas en la expresión mostrada es igual al número de proveedores (siete en este caso). El modelo reconoce las bodegas que están abiertas gracias a las restricciones que se muestran a continuación.




471

Capacidad de bodegas (ilimitada para decidir capacidad):

X

ij

 MW j j, donde M es un número positivo muy grande (11.10)

i

Restricciones de capacidad de bodegas

PROVEEDORES (índice i)

BODEGA j

Xij

Wj

Capacidad suficiente =M

Figura 11.12. Restricciones de capacidad de bodegas (Ejemplo 11.4) Estas restricciones indican que todo el flujo que llega a cada bodega abierta (desde todos los proveedores) no puede pasarse de su capacidad. Como no se conoce esta capacidad, se deja libertad al modelo de determinarla al asignarle una capacidad muy grande (M >> 0). La expresión representa por lo tanto 12 restricciones para el caso considerado, pues hay 12 lugares potenciales para localizar bodegas. La Figura 11.12 ilustra estas restricciones. Nótese que si la bodega j se abre, entonces su variable binaria asociada Wj es igual a 1. Por lo tanto, su capacidad máxima sería M ton/año, y como M es un número muy grande, el modelo no tiene problema en escoger la capacidad adecuada de dicha bodega. Si la bodega NO se abre, entonces su variable binaria asociada Wj es igual a 0 y por lo tanto su capacidad total sería cero, con lo que no podría haber flujo alguno hacia ella. Para efectos prácticos de la solución del modelo, debe buscarse el valor más ajustado de M que cumpla con su cometido, es decir, el de no limitar la capacidad de la bodega. Esto se puede lograr asignando a M un valor igual, por ejemplo, a la demanda total de todos los clientes (21,250 ton/año), en caso de que solo se abriera una bodega. Esto es mucho mejor que hacer M igual a un valor demasiado grande para efectos de rapidez de solución del modelo, ya que representa una formulación más ‗apretada‘ (tighter formulation). 

Satisfacción de demanda de cada cliente:

Y j

jk

 DEMANDAk k

(11.11)


472

Restricciones de demanda de clientes BODEGAS (índice j)

CLIENTE k

Yjk

DEMANDAk

Figura 11.13. Restricciones de demanda de clientes (Ejemplo 11.4) Estas restricciones representan el cumplimiento de la demanda para cada cliente, como parte del nivel de servicio brindado al mismo. Expresan que la suma de los flujos que llegan desde todas las bodegas abiertas hacia cada cliente, debe ser igual a su demanda estimada. Son, por lo tanto, 12 restricciones, una por cada cliente. En modelos más complejos este tipo de restricciones se hacen por cliente y por producto, generándose un número mucho mayor de restricciones. La Figura 11.13 ilustra estas restricciones. Cuando se tienen problemas de maximización de utilidades en lugar de minimización de costos, es posible escribir estas restricciones de demanda como de ―menor ó igual‖ (). Así, el modelo sería capaz de identificar productos y/o clientes no rentables, a los cuales no debería satisfacérsele su demanda por motivos económicos. A veces, sin embargo, esto se acepta en las empresas por motivos de mercadeo o porque se puede estar subsidiando algún cliente o producto, por ejemplo en el caso de productos nuevos. En este caso, esto no puede hacerse porque si se utilizan restricciones de  en la demanda, la solución óptima sería hacer todos los flujos iguales a cero y no abrir bodega alguna, pues se están minimizando los costos totales de logística. Lo que sí produciría el mismo resultado es utilizar restricciones de demanda de  en este caso, ya que el modelo las ajusta a la igualdad para minimizar los costos. Otra observación importante, de acuerdo con la Figura 11.13, es que en principio los clientes aceptan ser servidos desde más de una bodega. Como se mencionó en ejemplos anteriores, esto a veces no es conveniente para la percepción del cliente respecto de su nivel de servicio y frecuentemente se requiere que cada cliente sea atendido desde una sola bodega (single sourcing). Esto le agrega complejidad al modelo puesto que se deben utilizar variables binarias adicionales y reformular el modelo para representar esta situación (Problema No. 2, Ejercicios 11.1). 

Balance de productos en bodegas:

 X  Y ij

i

k

jk

j

(11.12)


473

Restricciones de balance en bodegas PROVEEDORES (índice i)

CLIENTES (índice k)

BODEGA j

Xij

Yjk

Figura 11.14. Restricciones de demanda de clientes (Ejemplo 11.4) Estas restricciones son necesarias para la consistencia del modelo y en muchas ocasiones se olvidan, generando modelos inconsistentes. Indican que el flujo que llega a cada bodega desde todos los proveedores, debe ser igual al flujo que sale de la misma hacia todos los clientes. Si la bodega está cerrada, el control de los flujos realizado por las restricciones anteriores, simplemente causaría en este caso una igualdad 0 = 0 sin efectos para el modelo. Como hay una restricción por cada bodega potencial, entonces aquí habría 12 restricciones. En el caso de modelos más complejos, este tipo de restricciones puede contener una fórmula de materiales (Bill of Materials, BOM), y debería hacerse por cada material y por cada instalación (generalmente una planta manufacturera), expresando que cada material que llega sale transformado en forma de producto terminado. En este caso, como los productos se han agregado en uno solo (expresando los flujos en toneladas/año), este tipo de fórmula de materiales no aplica. Por otra parte, estas restricciones indican que no hay acumulación de productos en las bodegas ó, equivalentemente, que se ha alcanzado un estado estable en la cadena, con lo que se mantiene en las bodegas un inventario promedio, el cual se considerará posteriormente para determinar el número óptimo de bodegas a abrir. 

Número de bodegas a abrir:

W

j

N

(11.13)

j

Esta última restricción (solo es una) expresa que el número total de bodegas a abrir (igual a la suma de las variables binarias asociadas a la apertura de bodegas) es igual a un número predeterminado. Esta forma de la restricción se va a utilizar para que el modelo abra desde 1 hasta 12 bodegas, de tal forma que se pueda adicionar el costo de inventario respectivo, tal como se hizo en el Ejemplo 11.3. Estas restricciones podrían también ser de  si se quiere dejar libertad al modelo para que escoja el número óptimo de bodegas a abrir. Por ejemplo, si se utiliza de la forma  12, el modelo decidiría el número óptimo de bodegas a abrir entre 1 y 12, pero considerando solamente los costos fijos y los de transporte.


474



Restricciones obvias:

X ij , Y jk  0 i, j, k

(11.14)

W j  {0, 1} j

Las restricciones obvias, como su nombre lo indica, expresan simplemente que los flujos de productos no pueden ser negativos y que las variables de apertura ó cierre de las bodegas son binarias. Estas restricciones generalmente no se cuentan dentro del número de restricciones del modelo matemático. Sin embargo, son muy importantes y generalmente el software comercial tiene una forma muy sencilla de expresarlas por defecto. El modelo matemático en forma compacta A continuación se presenta el modelo matemático en forma compacta. El modelo incluye la función objetivo y todas las restricciones descritas anteriormente.

M inimizar COSTOS FIJOS Y DE TRANSPORTE 

 FLETE _ PROV _ BOD X   FLETE _ BOD _ CONS ij

i

j

ij

j

jk

Y jk

k

  CFIJO jW j j

sujeto a :

X

ij

 CAP _ PROVi i (Capacidad de proveedores)

X

ij

 ( M )W j j (Capacidad de bodegas)

j

i

Y

jk

 DEMANDAk k (Demanda de clientes)

j

X

ij

W

j

i

  Y jk j (Balance en bodegas) k

N

(Número de bodegas a abrir)

j

X ij , Y jk  0; W j  {0,1} (Restricciones obvias)

(11.15)

Estas expresiones compactas son la verdadera representación de la realidad constituida por el modelo. El modelo matemático de programación lineal entera-mixta, en este caso, contiene 240 variables de decisión (12 de ellas binarias) y 44 restricciones (sin contar las restricciones obvias). Aunque no se trata de un modelo grande, el solver de Excel™ en su versión normal no lo puede resolver y por ello se necesita software más especializado para encontrar su solución. Esto se debe a que este programa acepta hasta 240 celdas variables, pero como en este caso hay variables binarias, el software emite un aviso diciendo que son demasiadas. En este caso se puede utilizar el software académico WinQSB (Copyright Yih-Long Chang) para resolver este problema. Para utilizarlo, se debe obtener la forma normal del modelo reemplazando todos los parámetros, de acuerdo con las Tablas 11.6 y 11.7 e ingresar


475

en el programa el modelo en su forma explícita. Como los costos de inventario no se incluyen directamente en el modelo, entonces se utiliza el software para resolver el problema abriendo N = 1, 2, 3, …, 11, 12 bodegas. Externamente al modelo y en forma totalmente análoga a como se hizo en el Ejemplo 11.3, se adicionan los costos de mantenimiento del inventario utilizando la Ec. (11.7). Los resultados de este proceso se muestran en la Tabla 11.8, la cual muestra las soluciones encontradas con el modelo de optimización, antes y después de considerar los costos de inventario. En el primer caso, cuando no se tienen en cuenta los costos de inventario, la solución óptima dice que deben abrirse 7 bodegas, con un costo total de transporte + costos fijos de 699.93 millones de $/año. Cuando se consideran costos de inventario en el análisis, la solución óptima se reduce a abrir 5 bodegas, con un costo total de 1,101.14 millones de $/año. Este resultado corrobora lo expresado por Croxton y Zinn (2005) en el sentido que al considerar los costos de inventario para la configuración de la cadena de abastecimiento, se obtienen soluciones óptimas que generalmente contienen un menor número de instalaciones a abrir. Tabla 11.8. Resultados de la aplicación del modelo (Ejemplo 11.4) No. de Costo de bodegas Transporte a abrir ($000,000/año) 1 1,556.44 2 1,088.26 3 758.48 4 554.08 5 444.77 6 361.72 7 279.93 8 279.93 9 279.93 10 279.93 11 279.93 12 279.93

Costo fijo de bodegas ($000,000/año) 60.00 120.00 180.00 240.00 300.00 360.00 420.00 480.00 540.00 600.00 660.00 720.00

Costo de Inventario ($000,000/año) 159.38 225.39 276.05 318.75 356.37 390.39 421.67 450.78 478.13 503.99 528.59 552.09

Costo de Transporte + Fijo ($000,000/año) 1,616.44 1,208.26 938.48 794.08 744.77 721.72 699.93 759.93 819.93 879.93 939.93 999.93

Costo Total ($000,000/año) 1,775.81 1,433.65 1,214.52 1,112.83 1,101.14 1,112.10 1,121.60 1,210.71 1,298.06 1,383.92 1,468.52 1,552.02

La Figura 11.15 ilustra la red óptima que contiene las cinco nuevas bodegas ubicadas en Bogotá, Medellín, Cali, Barranquilla e Ibagué. Nótese que el flujo entrante (o saliente) a cada una de las bodegas determina o estima la capacidad de flujo que debería tener cada bodega. Así, las restricciones (11.10) cumplen su función limitando la capacidad de cada bodega hasta un máximo del flujo total admisible, o sea 21,250 ton/año. Es interesante analizar los flujos óptimos obtenidos. Por ejemplo, no es intuitivo que la bodega de Ibagué sea atendida por el proveedor de Bucaramanga. Recuérdese que el problema se planteó de una forma muy apretada, ya que la suma de las capacidades de los proveedores es igual a la suma de las demandas de los clientes. Esta es la razón de obtener este flujo. Si por ejemplo se aumentara la capacidad de un proveedor más cercano a Ibagué, evidentemente se podría obtener una solución óptima con un menor costo mínimo. Incluso se podría calcular un límite inferior del costo asumiendo que todos los proveedores tuvieran capacidad ilimitada o al menos igual a la suma de todas las demandas de los clientes (Problema No. 3, Ejercicios 11.1)

476


Pasto 550 5,250 3,250

Popayán 650

Cali

Neiva

3,190

Cali 2,000 Ibagué

2,000 Ibagué

Cali

1,060 1,350

Ibagué

3,000 1,000

Pereira

860

590

Pereira Bogotá

5,800

Bogotá

Bogotá 250

6,050 250

Medellín 4,500

4,250

Medellín 4,500

B/manga

B/quilla

5,300

B/quilla

Medellín

320 Yopal

430 480

2,450

B/manga 480

2,450

Cúcuta

1,490 B/quilla PROVEEDORES

BODEGAS ABIERTAS

CLIENTES

Figura 11.15. Configuración óptima de la red (Ejemplo 11.4) La Figura 11.16 presenta la gráfica de los costos contra el número de bodegas a abrir. Nuevamente, esta gráfica es el resultado más importante de este ejemplo. El comportamiento de los costos de transporte, fijos de bodegas y de inventarios es semejante a lo explicado anteriormente en el caso continuo. Sin embargo, hay dos elementos adicionales en esta gráfica. Primero, nótese que se generó el tiempo máximo de respuesta al cliente, dependiendo del número de bodegas abiertas. Estos tiempos se calcularon tomando la distancia entre ciudades y una velocidad promedio razonable y no incluyen tiempos adicionales posibles de cargue, descargue y otros posibles. Como es de esperarse, si se aumenta el número de instalaciones, el tiempo de respuesta disminuye hasta un valor mínimo que sería el tiempo de respuesta alcanzable desde los proveedores hacia las bodegas, ya que estos enlaces se han incluido en el cálculo. La importancia de estos tiempos es que completan el segundo aspecto de importancia para el diseño de la cadena de abastecimiento, cual es la respuesta. O sea que puede tenerse


477

una cadena de abastecimiento muy eficiente, pero que también cumpla con las expectativas de respuesta hacia los clientes. Transporte

Fijo

Inventario

Total

Tiempo máximo

2,000

25

Costos ($000,000/año)

1,600

20

1,400 1,200

15

1,000 800

10

600 400

5

Tiempo máximo de respuesta (hr)

1,800

200 0

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Número de bodegas

Figura 11.16. Gráfico de costos de transporte, fijos, de inventarios, costo total de logística y tiempo máximo de respuesta en función del número de bodegas abiertas (Ejemplo 11.4) Segundo, obsérvese que, aunque existe un óptimo en N = 5 bodegas abiertas, la curva del costo total de logística es muy ‗plana‘ alrededor de este valor óptimo, lo que significa que hay mucha flexibilidad de escogencia, puesto que si se pasa a un valor de N entre 4 y 7 bodegas abiertas, el costo total no cambia significativamente y además el nivel de respuesta se mantiene en el nivel adecuado. Por lo tanto, la decisión final del número de bodegas a abrir puede depender de otros factores, entre los cuales pueden estar algunos de naturaleza cualitativa, como coordinación, facilidad de administración, disponibilidad de mano de obra en cada lugar, etc. 11.3.3.

Programas especializados de solución

Cuando los problemas son de mayor tamaño como ocurre en el caso de modelos reales, debe utilizarse software especializado para la generación y solución de los modelos. Esto se debe a que los modelos reales pueden llegar a tener decenas de miles, centenas de miles e incluso millones de variables con otro tanto de restricciones. El proceso de generación del modelo consiste en que al software generador se le suministra la estructura matemática del modelo de acuerdo con su propia sintaxis y el generador combina los archivos del modelo y de datos para producir un archivo ejecutable por el solucionador (solver) correspondiente. Cuando éste resuelve el problema, el generador interpreta la solución y devuelve el resultado de acuerdo con los nombre de las variables, función objetivo y restricciones originales que se le hayan definido. La Figura 11.17 muestra el esquema

478


general de funcionamiento de un generador de modelos y su solucionador asociado. Lo más importante, por supuesto, es formular el modelo matemático de la situación real y escribirlo en forma simbólica matemática como se hizo por ejemplo en las expresiones (11.15) anteriores. Posteriormente, el modelo en lenguaje matemático se traduce a un archivo del modelo, el cual se escribe de acuerdo con la sintaxis específica del generador de modelos utilizado. En el caso de la figura se muestra el generador AMPL (A Modeling Language for Mathematical Programming, página web www.ampl.com), desarrollado por Bell Laboratories, el cual es un generador muy amigable y con un poderoso manejo de conjuntos, lo cual es muy importante para modelar y resolver problemas reales. De este generador se puede descargar una versión estudiantil, la cual permite resolver problemas de hasta 300 variables con 300 restricciones. Se recomienda especialmente al estudiante descargar este software para que se familiarice con el mismo. Entre otros generadores de modelos encontramos por ejemplo GAMS y MOSEL. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO ARCHIVO DEL MODELO

SOLUCIÓN Y RESULTADOS

ARCHIVO DE DATOS

GENERADOR DE MODELOS (AMPL)

SOLVER (CPLEX)

MODELO ESPECÍFICO (Archivo MPS)

Figura 11.17. Funcionamiento general de un programa generador de modelos y su solucionador (solver) asociado El archivo del modelo se combina con el archivo de datos, el cual se escribe igualmente con base en la sintaxis específica del generador de modelos. Este último combina los dos archivos, estructurando el modelo matemático completo y generando un archivo en formato estándar para que el solucionador o solver pueda resolver el modelo. En la figura se ilustra el solucionador CPLEX de amplia utilización, pero existen muchos más como XPRESS, FortMP y MINTO, entre otros. Una vez se logre resolver el modelo, el solucionador informa la solución al generador de modelos quien, a través de un archivo opcional de comandos, reporta los resultados en el formato que el usuario haya establecido. Si el archivo de comandos no se especifica, el generador de modelos presenta los resultados en el formato que tenga por defecto. Uno de los aspectos más importantes que un generador de modelos debe presentar es el grado de independencia que se pueda tener entre el modelo y los datos. Así, se podría generar


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un archivo de modelo maestro y correrlo con varios archivos de datos diferentes para por ejemplo establecer análisis comparativos y de sensibilidad. Un modelo en AMPL puede correrse con el programa y su solucionador asociado residentes en un PC, pero también disponemos actualmente de un servidor totalmente gratis y legal en Internet, abierto a todo el público a nivel mundial, mediante el cual se pueden correr varios generadores de modelos combinados con varios solucionadores, algunos de los cuales pueden estar en prueba. Este servidor, al que denominamos NEOS Server puede ser accesado en la página web http://www-neos.mcs.anl.gov/. El servidor es un proyecto conjunto de diversas organizaciones de los Estados Unidos relacionadas con la disciplina de la optimización, entre las cuales están la National Science Foundation (NSF) en sus programas de desafíos en ciencias computacionales, investigación en tecnología de información y el programa de investigación de operaciones y el U.S. Department of Energy en su oficina de computación científica avanzada. Igualmente, hay varias universidades e institutos de los Estados Unidos que ofrecen los recursos computacionales, como son Aachen University of Technology, Argonne National Laboratory, Arizona State University, Lehigh University, Northwestern University, Sun Microsystems y University of Wisconsin at Madison. En el NEOS Server se pueden correr diversos tipos de modelos, entre los que se cuentan modelos de programación lineal continua, modelos de programación lineal entera-mixta, modelos de optimización global, modelos combinatorios y enteros, modelos no-lineales, algunos modelos estocásticos y otros modelos especializados. El servidor se puede utilizar con varios generadores de modelos, tales como AMPL, GAMS y MOSEL. Igualmente hay diversos solucionadores a los cuales se puede ligar el generador como por ejemplo FortMP, XpressMP, MINTO, BARON, LINDOGlobal, entre muchos otros. Cualquier persona puede ser usuario del servidor para cualquier aplicación que lo requiera y lo único que se solicita en forma voluntaria es compartir las experiencias de utilización y cualquier problema que se encuentre con el objetivo de mejorar y refinar cada vez más el sistema. Yo pienso que este servidor es realmente un logro muy loable de la comunidad científica, realizado con el esfuerzo de muchas personas y espero que se siga manteniendo en un futuro. Ejemplo 11.5 (Localización discreta en Colombia utilizando AMPL) Considere el Ejemplo 11.4 anterior. Se pide resolverlo utilizando AMPL, corriéndolo en su versión estudiantil y también utilizando el NEOS Server por Internet. Para este ejemplo se asume que el estudiante tiene cierta familiaridad con el generador AMPL y su sintaxis. En caso contrario se le sugiere al estudiante visitar la página web de AMPL (www.ampl.com) y leer el Capítulo 1 del texto de AMPL, el cual se puede obtener sin costo, ya que la sintaxis completa de AMPL está fuera del alcance de este texto. El archivo del modelo en AMPL Como el modelo matemático ya se formuló anteriormente, de acuerdo con las expresiones (11.15), el primer paso es escribir el archivo del modelo en AMPL. El modelo en AMPL se muestra a continuación (para mayor claridad, nótese la correspondencia entre los nombres de los conjuntos, parámetros y variables del modelo con lo definido anteriormente en el Ejemplo 11.4).

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# MODELO EN AMPL CORRESPONDIENTE AL PROBLEMA LOCALIZACION DE BODEGAS EN COLOMBIA # CONJUNTOS PRINCIPALES set PROV; # Conjunto de proveedores indexado por i set BOD; # Conjunto de bodegas indexado por j set CONS; # Conjunto de zonas de consumo o clientes indexado por k # PARÁMETROS param flete_prov_bod {PROV, BOD} >= 0; # Flete desde cada proveedor hacia cada bodega # ($/Ton) param flete_bod_cons {BOD, CONS} >= 0; # Flete desde cada bodega hacia cada zona de consumo o cliente # ($/Ton) param cap_prov {PROV} >= 0; # Capacidad de cada proveedor # (Ton/año) param cfijo {BOD} >= 0; # Costo fijo de cada bodega # ($/año) param demanda {CONS} >= 0; # Demanda de productos en cada zona de consumo # (Ton/año) param n >= 0; # Numero de bodegas a abrir # (Adimensional) # VARIABLES DE DECISIÓN var x {i in PROV, j in BOD} >= 0; # Ton/año a enviar desde el proveedor i hacia la bodega j # (Ton/año) var y {j in BOD, k in CONS} >= 0; # Ton/año a enviar desde la bodega j hacia la zona de consumo k # (Ton/año) var w {j in BOD} binary; # Variable binaria igual a 1 si la bodega j se abre, e igual a 0 de lo contrario # FUNCIÓN OBJETIVO minimize costo_total:

# ($/año)

+ sum{i in PROV, j in BOD} (flete_prov_bod[i,j]*x[i,j]) # Costo anual de transporte desde los proveedores hacia las bodegas + sum{j in BOD, k in CONS} (flete_bod_cons[j,k]*y[j,k]) # Costo anual de transporte desde las bodegas hacia las zonas de consumo + sum{j in BOD} (cfijo[j]*w[j]); # Costo anual fijo de las bodegas # RESTRICCIONES


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# Por capacidad anual cada proveedor # (Ton/año): subject to capprov {i in PROV}: sum {j in BOD} (x[i,j]) <= cap_prov[i]; # Por capacidad anual de cada bodega # (Ton/año): subject to capbod {j in BOD}: sum {i in PROV} (x[i,j]) <= (sum {k in CONS} demanda[k]) *w[j]; # Por demanda en cada zona de consumo # (Ton/año): subject to demcons {k in CONS}: sum {j in BOD} (y[j,k]) = demanda[k]; # Por balance de masa en cada planta de alúmina subject to balance {j in BOD}: sum {i in PROV} (x[i,j]) = sum {k in CONS} (y[j,k]); # Restricciones de configuración para análisis de sensibilidad: # Por numero de bodegas a abrir subject to numero: sum {j in BOD} (w[j]) = 5;

En la sintaxis de AMPL toda línea precedida por el símbolo # se considera un comentario y no se tiene en cuenta. Las palabras clave utilizadas, como son set, parameter y variable corresponden respectivamente a conjunto, parámetro y variable, cada una seguida por su nombre correspondiente. Es importante notar que AMPL diferencia entre letras mayúsculas y minúsculas en todos los nombres y por lo tanto éstos deben corresponder exactamente como fueron originalmente definidos. Además, todas las llaves {}, corchetes [] y paréntesis () que se observan en el archivo del modelo forman parte de la sintaxis de AMPL y deben ser utilizados en la forma como se muestra. Nótese, por ejemplo, en la definición de la función objetivo que se utiliza la palabra clave ‗sum‘ para expresar una sumatoria. Por ejemplo, la expresión: sum{i in PROV, j in BOD} (flete_prov_bod[i,j]*x[i,j])

significa que se va a hacer una suma sobre todos los proveedores que se definan en el conjunto PROV indexado por i y sobre todas las bodegas en el conjunto BOD indexado por j. Lo que va dentro de la sumatoria (entre paréntesis) es el producto del flete desde cada proveedor hacia cada bodega multiplicado por el flujo de productos en cada una de las rutas, el cual es la variable de decisión Xij. Aunque los paréntesis no son necesarios en este caso, dan mayor claridad a la expresión contenida dentro de la sumatoria. Esta expresión produciría entonces el costo total de fletes entre los proveedores y las bodegas que se abran. Así, lo que hace el generador de modelos AMPL es tomar del archivo de datos que se presenta más adelante los valores del parámetro flete_prov_bod y construir esta parte de la función objetivo en forma automática, cruzando los parámetros con las variables de decisión correspondientes.

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En el caso de las restricciones, primero se bautiza la restricción con un nombre que luego pueda ser utilizado y se traduce análogamente a como se hizo en la función objetivo cada expresión. Por ejemplo, en la restricción: subject to capprov {i in PROV}: sum {j in BOD} (x[i,j]) <= cap_prov[i];

el nombre de la restricción es capprov (capacidad de proveedores) y a continuación entre llaves {} se escribe para cuáles elementos y de qué conjunto está definida la restricción. En este caso la expresión {i in PROV}significa que a cada proveedor del conjunto PROV le corresponde una restricción de capacidad. Posteriormente, se escribe la expresión matemática de la restricción, en la cual la sumatoria se hace sobre todas las bodegas del conjunto BOD, ya que se trata de sumar todos los flujos que salen del proveedor i hacia todas las bodegas para comparar su suma con la capacidad de dicho proveedor (Recuérdese la Ec. (11.9) y la Figura 11.11). Una regla importante que puede servir para evitar errores es la de que todos los subíndices de la función objetivo deben quedar definidos dentro de las sumatorias de la misma. Los subíndices de cada restricción se pueden definir fuera de las sumatorias, indicando el conjunto o conjuntos sobre el cual o los cuales se define la restricción o dentro de las sumatorias, indicando las sumas que se hacen de acuerdo con cada expresión matemática definida en el modelo. Otro aspecto a notar es que cada instrucción completa se separa de las demás por el signo punto y coma ‗;‘. Un error frecuente es olvidar un punto y coma lo que causa que el compilador detecte otro tipo de error a veces difícil de encontrar, ya que asume que la instrucción no ha terminado y la combina con la siguiente. Por ello, se sugiere especialmente antes de iniciar cualquier proceso de depuración de un archivo de modelo, de datos o de comandos revisar cuidadosamente los punto y comas. Nótese finalmente que la última restricción del modelo, correspondiente al número de bodegas a abrir se ha establecido como: subject to numero: sum {j in BOD} (w[j]) = 5;

Es decir que la suma de las variables binarias de apertura se ha hecho igual a cinco. Esta restricción corresponde a la corrida donde se desea que el modelo abra cinco bodegas. Sin embargo, para generar la Tabla 11.8 anterior esta restricción debe modificarse en cada corrida, cambiando el número de bodegas a abrir desde 1 hasta 12. Igualmente, si se desea que el modelo encuentre la configuración óptima de la cadena sin considerar costos de inventario, entonces esta restricción debería reescribirse como: subject to numero: sum {j in BOD} (w[j])  12;

con lo cual el modelo abriría el número óptimo de bodegas, considerando un máximo de 12. El archivo de datos en AMPL Una vez formulado el modelo, se procede a construir el archivo de datos. El archivo de datos para este ejemplo es el siguiente:


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# CONJUNTO DE DATOS EN AMPL CORRESPONDIENTE AL PROBLEMA BODEGAS EN COLOMBIA # CONJUNTOS PRINCIPALES set PROV:= CAL IBA PER BOG MED BMA BQU ; set BOD:= PAS POP

NEI CAL IBA PER BOG MED YOP BMA CUC BQU ;

set CONS:= PAS POP NEI CAL IBA PER BOG MED YOP BMA CUC BQU ;

# PARÁMETROS # Capacidad de cada proveedor # (Miles de Ton/año) param cap_prov:= CAL IBA PER BOG MED BMA BQU

3250 2000 2000 5800 4500 1250 2450 ;

# Costo fijo de cada bodega # ($/año) param cfijo:= PAS POP NEI CAL IBA PER BOG MED YOP BMA CUC BQU

60000 60000 60000 60000 60000 60000 60000 60000 60000 60000 60000 60000 ;

# Costo de transporte desde cada proveedor hacia cada bodega # ($000/Ton) param flete_prov_bod: PAS POP NEI

CAL

IBA

PER

BOG

MED

YOP

BMA

CUC

BQU :=

CAL IBA PER BOG MED BMA BQU

3.000 39.476 27.634 45.214 41.979 70.051 94.086

42.108 3.000 39.476 30.266 43.446 52.635 86.201

30.266 35.529 3.000 42.108 36.845 57.899 86.189

53.951 31.581 51.320 3.000 43.698 55.267 84.870

49.844 43.446 40.793 43.522 3.000 67.110 68.704

78.953 50.865 72.374 39.476 81.584 74.092 108.778

72.061 48.688 61.847 40.793 52.224 3.000 64.478

86.075 63.582 77.637 50.662 69.434 28.259 73.689

79.611 65.135 69.478 52.109 44.872 47.767 3.000

;

44.740 65.794 55.299 74.753 68.031 94.666 101.322

26.318 53.951 39.617 53.557 43.424 77.711 95.533

52.635 26.318 53.951 36.845 48.708 59.343 93.253


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# Costo de transporte desde cada bodega hacia cada zona de consumo # ($000/Ton) param flete_bod_cons: PAS PAS POP NEI CAL IBA PER BOG MED YOP BMA CUC BQU ;

3.000 43.424 72.374 44.740 65.794 55.299 74.753 68.031 92.638 94.666 101.323 101.322

POP

NEI

CAL

IBA

PER

BOG

MED

YOP

BMA

CUC

BQU :=

43.424 3.000 61.847 26.318 53.951 39.617 53.557 43.424 92.638 77.711 83.953 95.553

68.285 61.847 3.000 52.635 26.318 53.951 36.845 48.708 58.959 59.343 65.136 93.253

50.003 26.318 47.372 3.000 39.476 27.634 45.214 41.979 78.953 70.051 79.611 94.086

63.162 53.951 27.634 42.108 3.000 39.476 30.266 43.446 50.865 52.635 60.486 86.201

54.528 39.617 42.108 30.266 35.529 3.000 42.108 36.845 72.374 57.899 66.752 86.189

73.472 53.557 43.424 53.951 31.581 51.320 3.000 43.698 39.476 55.267 59.214 84.870

71.976 43.424 52.635 49.844 43.446 40.793 43.522 3.000 81.584 67.110 72.035 68.704

92.638 92.638 58.959 78.953 50.865 72.374 39.476 81.584 3.000 74.092 83.953 108.778

89.743 77.711 61.302 72.061 48.688 61.847 40.793 52.224 74.092 3.000 30.266 64.478

101.323 83.953 79.123 86.075 63.582 77.637 50.662 69.434 83.953 28.259 3.000 73.689

104.217 95.533 79.611 79.611 65.135 69.478 52.109 44.872 108.778 47.767 52.109 3.000

# Demanda en cada zona de consumo # (Ton/año) param demanda:= PAS POP NEI CAL IBA PER BOG MED YOP BMA CUC BQU

550 650 1060 3190 1350 1700 5300 4250 320 910 480 1490 ;

# Numero de bodegas a abrir param n:= 12 ;

Nótese primero que se definen los conjuntos en su orden, dando el nombre de cada uno de los elementos de cada conjunto. Cada elemento va separado de otro por al menos un espacio y siempre se termina cada conjunto de datos diferenciable con un punto y coma. En forma semejante, se dan los valores de cada parámetro, de acuerdo con los nombre de los elementos que se hayan definido para cada conjunto. Por ejemplo, la capacidad del proveedor de Cali está definida en el parámetro cap_prov de la siguiente forma: CAL 3250. Así, el sistema reconoce al elemento CAL definido anteriormente en el conjunto de proveedores PROV. Aquí se ha dado el valor de la capacidad de cada proveedor en una línea aparte sólo por presentación, ya que se puede hacer en forma continua siempre y cuando se alterne el elemento del conjunto y su correspondientes valor del parámetro y se deje al menos un espacio entre todos ellos. Por ejemplo, el parámetro cap_prov se puede también definir de la siguiente forma: param cap_prov:= CAL 3250 IBA 2000 PER 2000 BOG 5800 MED 4500 BMA 1250 BQU 2450 ;


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Respecto de los parámetros bidimensionales, por ejemplo los fletes, AMPL da la opción de presentarlos en forma de tabla como se muestra en el archivo de datos anterior, para una mejor organización y facilidad de lectura, aunque, de nuevo, se pueden definir en forma continua si se separan adecuadamente. En la notación mostrada, el flete por ejemplo desde los proveedores hacia las bodegas potenciales se puede leer directamente desde la fila (proveedor) hacia la columna (bodega potencial) en miles de $/ton. Por ejemplo, el flete desde el proveedor en Pereira hacia la bodega potencial en Ibagué utilizado para el ejemplo es de 39,476 $/ton (es importante notar aquí que se utilizaron los valores dados en la tabla de fletes de 2002). Un parámetro bidimensional puede también darse en forma transpuesta adicionando la clave (tr) inmediatamente después del nombre del parámetro. Por ejemplo, el parámetro de fletes entre proveedores y bodegas potenciales puede también definirse como: param flete_prov_bod (tr):

seguido por la misma tabla pero dada en forma transpuesta, es decir, dando en las filas las bodegas potenciales y en las columnas los proveedores. Esto puede ser útil si se tienen demasiadas columnas originalmente lo que puede ocasionar problemas de espacio en cada fila para visualizar el parámetro en forma tabular. Para parámetros de tres o más dimensiones se deben utilizar tablas bidimensionales sucesivas, cada una definida para un valor dado de una de las dimensiones escogida arbitrariamente. Obsérvese finalmente que un parámetro adimensional, como es el número de bodegas a abrir n, simplemente se da en forma directa. El archivo de comandos y el archivo de resultados en AMPL El archivo de comandos en AMPL se puede utilizar para informarle al sistema la forma como deseamos que salgan los resultados y cuáles de éstos queremos tener en la salida. Un uso mucho más ambicioso de este archivo es el de programar procedimientos especiales y manipulación de varios modelos y archivos de datos con el objeto de producir un análisis deseado. Por ejemplo, el archivo de comandos de AMPL se puede utilizar para correr procesos de generación de columnas o de solución de sucesivos programas lineales dentro de procesos iterativos que se utilizan para resolver modelos complejos de programación no-lineal. Para este ejemplo, el archivo de comandos de AMPL es el siguiente: # COMANDOS EN AMPL CORRESPONDIENTES AL PROBLEMA BODEGAS EN COLOMBIA # EJEMPLO PARA UTILIZAR CON AMPL STUDENT EDITION # COMANDOS DE INICIALIZACIÓN DE CONDICIONES: option option option option option option option

show_stats 1; solution_precision 0; omit_zero_rows 1; omit_zero_cols 1; display_precision 6; display_round 1; display_width 50;

# COMANDOS DE SOLUCIÓN:


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model cdcolmod.txt; data cdcoldat.txt; option solver cplex; solve; # COMANDOS DE IMPRESIÓN DE RESULTADOS: printf "\n\n**********************************************\n" > cdcolout.txt; printf "RESULTADOS DEL PROBLEMA DE BODEGAS EN COLOMBIA\n" >> cdcolout.txt; printf "**********************************************\n\n" >> cdcolout.txt; printf "\nCOSTO TOTAL = \t%12.1f", costo_total >> cdcolout.txt; printf "\n\nCONFIGURACION DEL SISTEMA (BODEGAS ABIERTAS) =\n\n" >> cdcolout.txt; display w >> cdcolout.txt; printf "\nFLUJO DESDE PROVEEDORES HACIA BODEGAS =\n\n" >> cdcolout.txt; display x >> cdcolout.txt; printf "\nFLUJO DESDE BODEGAS HACIA ZONAS DE CONSUMO =\n\n" >> cdcolout.txt; display y >> cdcolout.txt; printf "\nCAPACIDAD SOBRANTE DE PROVEEDORES =\n\n" >> cdcolout.txt; display capprov.slack >> cdcolout.txt; printf "\nCOSTOS DE OPORTUNIDAD DE PROVEEDORES =\n\n" >> cdcolout.txt; display capprov >> cdcolout.txt;

La explicación de los comandos de inicialización de condiciones es la siguiente: option show_stats 1: option solution_precision 0: option omit_zero_rows 1: option omit_zero_cols 1: option display_precision 6: option display_round 1: option display_width 50:

Muestra las estadísticas del problema a resolver (No. de variables, No. de restricciones, No. de variables binarias, etc.). Define la máxima precisión para llevar a cabo los cálculos. Omite de los resultados aquéllas filas (restricciones) cuyo valor sea cero. Omite de los resultados aquéllas columnas (variables) cuyo valor sea cero (esto es muy útil para problemas con resultados muy dispersos). Define como seis los campos de precisión a presentar de cada variable. Redondea a una cifra decimal lo que muestra en los resultados. Este es un comando que controla el ancho de la fila para motivos de impresión de resultados.

Los comandos de solución pueden variar, dependiendo de si el problema se está corriendo en forma residente en un PC o por Internet en el NEOS Server. Para el primero, el mostrado arriba, es conveniente darle el nombre de los archivos que contienen el modelo y los datos en AMPL. De esta forma, al accesar el programa AMPL versión estudiantil residente en el PC basta con darle el comando include y lo corre completamente. Por ejemplo, en este caso el archivo de comandos se denomina cdcolcom.txt, es decir, que basta con darle el comando include cdcolcom.txt para que el sistema busque el archivo del modelo, lo cruce con el de datos, resuelva el modelo y reporte los resultados en la forma mostrada por el archivo de comandos corrido. Es importante notar que todos los archivos deben ser residentes en la misma carpeta que contiene el programa AMPL instalado y que hay que darle al sistema la extensión del archivo de comandos (en este caso de texto plano


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.txt). Otras versiones de AMPL son mucho más amigables y permiten el enlace con hojas electrónicas y con bases de datos para el intercambio de datos y de resultados. El comando solve siempre debe ir en todos los casos. Si el modelo se está corriendo en el NEOS Server por Internet, el archivo de comandos sufre una leve variación, ya que las instrucciones: model cdcolmod.txt; data cdcoldat.txt;

deben borrarse, ya que por Internet se le informa al sistema la carpeta donde se encuentra cada uno de estos dos archivos y si se vuelven a dar, ocasionaría un error por doblaje de información. Respecto de los comandos de impresión de resultados puede decirse que son muy semejantes al lenguaje de programación C. Por ejemplo, \n significa salto de línea; \t tabulador; %12.1f significa que se va a imprimir un número de punto flotante (un número real) con 12 espacios, de los cuales uno es decimal. Las comillas le indican al programa que se imprima el texto dado y se pueden imprimir las variables dando su nombre correspondiente. Por ejemplo, la expresión: printf "\nCOSTO TOTAL = \t%12.1f", costo_total >> cdcolout.txt;

hace lo siguiente: Salta una línea, imprime COSTO TOTAL = , inserta una tabulación e imprime la variable real llamada costo_total (en este caso es la función objetivo) con 12 campos, de los cuales uno es decimal. Análogamente, el comando display se utiliza para imprimir variables de decisión definidas en la sección de variables en el archivo del modelo. Por ejemplo, la expresión: display w >> cdcolout.txt;

imprimirá en el formato que AMPL trae por defecto todas las variables binarias de apertura de bodegas que sean diferentes de cero (debido a los comandos de inicialización). Algo importante a comentar es el final de las expresiones anteriores. El comando > cdcolout.txt significa que se ha generado un archivo de resultados de texto plano llamado cdcolout.txt. Con un solo símbolo ‗>‘ el sistema borra todo lo que contenga este archivo, si existe, y lo reemplaza con lo que está imprimiendo. Si se utiliza el comando >> cdcolout.txt con doble símbolo ‗>>‘, entonces no se reescribe el archivo sino que se le adiciona la nueva impresión al final, de acuerdo con las instrucciones de impresión dadas por el usuario. De esta forma se pueden generar todas las salidas que se desee en un mismo archivo de resultados. Solo basta comentar que AMPL permite imprimir las variables de holgura (slack) o de exceso (surplus) asociadas a restricciones de  ó de , respectivamente. Es decir, que se puede conocer fácilmente los recursos sobrantes o los excesos asociados a cualquier restricción. Por ejemplo, la expresión: display capprov.slack >> cdcolout.txt;

imprimirá en el archivo de resultados las variables de holgura del conjunto de restricciones denominado capprov en el archivo de modelo, es decir, que dará información sobre aquéllos


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proveedores con capacidad sobrante, si los hubiere. Análogamente, AMPL permite conocer los costos de oportunidad o precios sombra de recursos escasos. Es así como la expresión: display capprov >> cdcolout.txt;

imprimirá al archivo de resultados los costos de oportunidad de cada uno de los proveedores, es decir, el valor en el cual se podría disminuir la función objetivo si el proveedor respectivo tuviese una unidad adicional de capacidad para suministrar productos (obviamente dentro del rango de factibilidad de la solución básica actual). De esta forma, el archivo de resultados que produce la versión estudiantil de AMPL al correr el modelo anterior con sus respectivos conjunto de datos y archivo de comandos es el siguiente: ********************************************** RESULTADOS DEL PROBLEMA DE BODEGAS EN COLOMBIA ********************************************** COSTO TOTAL =

744766.1

CONFIGURACION DEL SISTEMA (BODEGAS ABIERTAS) = w [*] := BOG 1.0 BQU 1.0 CAL 1.0 IBA 1.0 MED 1.0 FLUJO DESDE PROVEEDORES HACIA BODEGAS = x := BMA BOG BMA IBA BOG BOG BQU BQU CAL CAL IBA IBA MED MED PER CAL

250.0 1000.0 5800.0 2450.0 3250.0 2000.0 4500.0 2000.0

FLUJO DESDE BODEGAS HACIA ZONAS DE CONSUMO = y := BOG BMA BOG BOG BOG YOP BQU BMA BQU BQU BQU CUC CAL CAL CAL PAS CAL PER CAL POP IBA IBA IBA NEI IBA PER MED MED MED PER

430.0 5300.0 320.0 480.0 1490.0 480.0 3190.0 550.0 860.0 650.0 1350.0 1060.0 590.0 4250.0 250.0


489

CAPACIDAD SOBRANTE DE PROVEEDORES = capprov.slack [*] := COSTOS DE OPORTUNIDAD DE PROVEEDORES = capprov [*] := BOG -52.3 BQU -28.6 CAL -54.9 IBA -49.6 MED -48.3 PER -30.3

Obsérvese, como es lo esperado, que el resultado del costo total de 744,766.1 miles de $/año es el mismo que el dado en la Tabla 11.8 para N = 5 bodegas abiertas en la columna de costos de transporte + fijos, igual a 744.77 millones de $/año y que todos los flujos que se dan son los mismo que los mostrados en la Figura 11.15 anterior, la cual representa la configuración óptima de la red considerando los costos de inventario. También, nótese que no hay un solo proveedor que tenga capacidad sobrante, resultado esperado, pues el problema fue formulado intencionalmente con la capacidad exacta de los proveedores para suplir la demanda total. Finalmente, los costos de oportunidad de proveedores representan un resultado muy importante, ya que dan pautas para establecer cuál proveedor debería tener una mayor capacidad de tal forma que la función objetivo disminuya significativamente. Desde este punto de vista, los proveedores de Cali, Bogotá e Ibagué son los críticos para tratar de que incrementen su capacidad y así poder obtener un costo total de logística menor que el obtenido hasta el momento (Problema No. 4, Ejercicios 11.1). Corrida del modelo por Internet en el NEOS Server Este mismo modelo fue corrido por Internet en el NEOS Server mediante el solucionador KNITRO con entrada de AMPL. El procedimiento para realizar esta corrida es el siguiente: 



Los archivos de modelo y datos son los mismos que los mostrados anteriormente. Sólo cambia el archivo de comandos en el sentido que se mencionó arriba y también en el hecho de que no se imprime hacia un archivo de salida, ya que la impresión sale directamente por Internet y como se da el correo electrónico llega a éste automáticamente una vez el sistema logre encontrar la solución. Obsérvese que de esta forma se pueden enviar varios modelos para correr y se espera la respuesta por correo electrónico, especialmente para problemas reales donde la solución podría tomar varios minutos e incluso días o más. Se entra entonces a la página web http://neos.mcs.anl.gov/neos/solvers y se escoge el solucionador y el generador de modelos a utilizar de acuerdo con el tipo de modelo a resolver. Como en algunas ocasiones hay situaciones de licencias que ya se van a renovar, a veces es necesario probar con varios solucionadores. En este caso se escogió KNITRO del conjunto de solucionadores de programación no-lineal enteramixta con restricciones no-lineales. Aunque este no es el caso, se trata de un sistema que obviamente resuelve también problemas mixtos con restricciones lineales. Ya


490



dentro de la página del solucionador específico, en este caso KNITRO, se puede escoger la remisión del modelo por la web, o sea la forma WWW Form. Normalmente, cada solucionador al comienzo presenta una serie de instrucciones generales que es conveniente leer. Posteriormente, se debe ingresar la localización de los archivos del modelo, de datos y el de comandos (este último no es permitido por algunos solucionadores, sino que el solucionador da unos resultados por defecto). La Figura 11.18 ilustra la forma como se solicitan los archivos para este caso.

Enter the location of the ampl model (local file) Model File:

Enter the location of the ampl data file (local file) Data File:

Enter the location of the ampl commands file (local file) Commands File:

Comments:

Put in priority queue e-mail address:

Submit to NEOS

Clear this Form

Please do not click the 'Submit to NEOS' button more than once.

Figura 11.18. Página web del NEOS Server para el solucionador KNITRO (Fuente: NEOS Solvers for Optimization, http://neos.mcs.anl.gov/neos/solvers/minco:KNITRO/AMPL.html#webform utilizada el 21 de julio de 2009)

Obsérvese en la Figura 11.18 que se pide el archivo del modelo en primera instancia. Así, se puede explorar en el PC residente y buscar el archivo específico. Es conveniente por supuesto tener los tres archivos en la misma carpeta. Este proceso se repite para el archivo de datos y para el de comandos. Este último es el siguiente:


491

# COMANDOS EN AMPL CORRESPONDIENTES AL PROBLEMA BODEGAS EN COLOMBIA # EJEMPLO PARA UTILIZAR EL NEOS SERVER # COMANDOS DE INICIALIZACIÓN DE CONDICIONES: option option option option option option option


# COMANDO DE SOLUCIÓN: solve; # COMANDOS DE IMPRESIÓN DE RESULTADOS: printf "\n\n**********************************************\n"; printf "RESULTADOS DEL PROBLEMA DE BODEGAS EN COLOMBIA\n"; printf "**********************************************\n\n"; printf "\nCOSTO TOTAL = \t%12.1f", costo_total; printf "\n\nCONFIGURACION DEL SISTEMA (BODEGAS ABIERTAS) =\n\n"; display w; printf "\nFLUJO DESDE PROVEEDORES HACIA BODEGAS =\n\n"; display x; printf "\nFLUJO DESDE BODEGAS HACIA ZONAS DE CONSUMO =\n\n"; display y; printf "\nCAPACIDAD SOBRANTE DE PROVEEDORES =\n\n"; display capprov.slack; printf "\nCOSTOS DE OPORTUNIDAD DE PROVEEDORES =\n\n"; display capprov;

En el anterior archivo no se indica de nuevo la localización de los archivos del modelo ni el de datos; solamente se utiliza el comando ‗solve‘. Además, no se imprimen los resultados hacia un archivo de salida, sino que el sistema lo hace automáticamente en una salida de texto. Por otra parte, el sistema permite hacer comentarios a cada corrida, algo muy útil cuando se envían varios modelos o con características de corrida diferentes. Finalmente, el sistema permite dar una dirección electrónica a donde se reportan los resultados. Una vez cumplidos estos pasos, se procede a enviar toda la información al NEOS Server mediante el botón ‗Submit to NEOS‘. 

Una vez enviada la información, si el problema es relativamente pequeño, se puede esperar su solución directamente por Internet. En caso contrario, se puede salir de la página sin problemas y esperar el envío de la solución a la dirección de correo electrónico suministrada. De todas formas, el sistema permite consultar en cualquier momento el estado de la corrida suministrando el número del trabajo (job number) y el


492

de la clave (password). En este ejemplo, la salida obtenida por Internet es obviamente la misma que la mostrada arriba. Sin embargo, puede ser interesante mostrar algunos resultados que el solucionador KNITRO brinda tanto por Internet como a la dirección electrónica suministrada: ************************************************************* NEOS Server Version 5.0 Job# : 1909041 Password : ubHfGkRX Solver : minco:KNITRO:AMPL Start : 2009-07-21 17:36:21 End : 2009-07-21 17:36:56 Host : vieta.mcs.anl.gov Disclaimer: This information is provided without any express or implied warranty. In particular, there is no warranty of any kind concerning the fitness of this information for any particular purpose. ************************************************************* Job 1909041 sent to vieta.mcs.anl.gov password: ubHfGkRX ---------- Begin Solver Output ----------Executing /home/neosotc/neos-5-solvers/knitro-ampl/knitro-driver.py File exists You are using the solver knitro. %% YOUR COMMENTS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUCION DEL PROBLEMA DE LOS CD EN COLOMBIA DADA POR EL SOLUCIONADOR KNITRO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Executing AMPL. processing data. processing commands. 240 variables: 12 binary variables 228 linear variables 44 constraints, all linear; 564 nonzeros 1 linear objective; 240 nonzeros. KNITRO 6.0.0: ====================================== Academic Ziena License (NOT FOR COMMERCIAL USE) KNITRO 6.0.0 Ziena Optimization, Inc. website: www.ziena.com email: [email protected] ====================================== Problem Characteristics ----------------------Objective goal: Minimize Number of variables: bounded below: bounded above: bounded below and above: fixed: free: Number of binary variables: Number of integer variables: Number of constraints: linear equalities: nonlinear equalities: linear inequalities: nonlinear inequalities: range: Number of nonzeros in Jacobian:

240 228 0 12 0 0 12 0 44 25 0 19 0 0 564


Number of nonzeros in Hessian:

0

KNITRO MIP using Branch and Bound method EXIT: Optimal solution found. Final Statistics for MIP -----------------------Final objective value Final integrality gap (abs / rel) # of nodes processed # of subproblems solved # of LP iterations Total program time (secs) Time spent in evaluations (secs)

= 7.44766120000000e+05 = -5.82e-10 / -7.82e-16 (-0.00%) = 135 = 140 = 2370 = 0.99109 (0.930 CPU time) = 0.01562

=========================================================================== Locally optimal solution. objective 744766.12; integrality gap -5.82e-10 135 nodes; 140 subproblem solves ********************************************** RESULTADOS DEL PROBLEMA DE BODEGAS EN COLOMBIA ********************************************** COSTO TOTAL =

744766.1

CONFIGURACION DEL SISTEMA (BODEGAS ABIERTAS) = w [*] := BOG 1.0 BQU 1.0 CAL 1.0 IBA 1.0 MED 1.0 FLUJO DESDE PROVEEDORES HACIA BODEGAS = x := BMA BOG BMA IBA BOG BOG BOG BQU BQU BQU BQU YOP CAL CAL IBA CAL IBA CUC IBA IBA MED BMA MED MED PER CAL PER CUC PER POP

250.0 1000.0 5800.0 0.0 2450.0 0.0 3250.0 0.0 0.0 2000.0 0.0 4500.0 2000.0 0.0 0.0

FLUJO DESDE BODEGAS HACIA ZONAS DE CONSUMO = y [*,*] : BMA BOG 430.0 BQU 480.0 CAL 0.0 CUC 0.0 IBA 0.0 PER 0.0 POP 0.0 : BOG CAL

IBA 0.0 0.0

BOG 5300.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 MED 0.0 0.0

BQU 0.0 1490.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 NEI 0.0 0.0

CAL 0.0 0.0 3190.0 0.0 0.0 0.0 0.0

CUC 0.0 480.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

:=

PAS 0.0 550.0

PER 0.0 860.0

:=

493


494

IBA MED YOP

1350.0 0.0 0.0

: BOG CAL POP

POP 0.0 650.0 0.0

0.0 4250.0 0.0 YOP 320.0 0.0 0.0

1060.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

590.0 250.0 0.0

:=

CAPACIDAD SOBRANTE DE PROVEEDORES = capprov.slack [*] := BQU -0.0 COSTOS DE OPORTUNIDAD DE PROVEEDORES = capprov [*] := BOG -52.3 BQU -28.6 CAL -54.9 IBA -49.6 MED -48.3 PER -30.3

Ejercicios 11.1 1. En el ejemplo 11.1, asuma que los fletes actuales son mayores en un 30% a los que se logran con las economías de escala. Estime el costo de transporte actual, asumiendo que el transporte entre la misma ciudad de Cali se realiza para una distancia de 20 Km, entre el proveedor y el punto de venta. Discuta el resultado confrontándolo con el aumento en el costo fijo de la nueva bodega, el costo de inventario que ésta va a mantener y los problemas actuales de nivel de servicio a los puntos de venta. Construya una hoja electrónica para resolver este problema. 2. Considere el Ejemplo 11.4 y resuelva los siguientes literales: a) Resuelva el problema con fletes dados por el Ministerio de Transporte para el año 2008, utilizando el mismo modelo matemático dado en clase y comente acerca de la solución óptima con y sin costos de inventario. Si hay ciudades que no aparecen en la matriz, haga un supuesto razonable para determinar el flete o investíguelo en la página web de algún operador logístico. b) Asuma ahora que existe la restricción de que un cliente debe ser atendido desde una sola bodega (single–sourcing). Reformule el modelo matemático para esta situación y encuentre la nueva solución óptima del problema considerando costos de inventario para los fletes originales del problema. Comente acerca de la nueva solución. 3. Considere de nuevo el Ejemplo 11.4 y lea cuidadosamente el artículo: Croxton, K.L. & W. Zinn, “Inventory Considerations in Network Design”, Journal of Business Logistics, 26(1), 2005, 149-168. Analice las diferencias si existen entre el modelo en forma estándar dado en la página 167 del artículo y el modelo del ejemplo. Reformule el modelo del Ejemplo 11.4, de acuerdo con el modelo propuesto por los autores en las


495

páginas 167-168, haciendo los supuestos que considere necesario y resuélvalo. solución debería coincidir con la solución original del Ejemplo 11.4.

Su

4. Considere una vez más el Ejemplo 11.4. Realice los siguientes análisis de sensibilidad con base en el modelo original del ejemplo. a) Suponga que la capacidad del proveedor de Pereira aumenta en un 50%. Determine la nueva solución óptima del problema. b) Incremente la capacidad de los proveedores de Cali, Bogotá e Ibagué en un 30% y reoptimice. Discuta los resultados a la luz de lo establecido en el Ejemplo 11.5 relativo a los costos de oportunidad de los proveedores. c) Calcule un límite inferior de la solución óptima redefiniendo las capacidades de todos los proveedores. 5. Formule y resuelva el siguiente problema sobre el diseño de una cadena de abastecimiento. Una siderúrgica situada en Colombia ha recibido pedidos anuales de cuatro países diferentes: Bolivia, Ecuador, Perú y Venezuela, para dos tipos diferentes de acero que produce: de alto calibre y de bajo calibre. Estos aceros son producidos en tres plantas localizadas en Cali, Bogotá y Barranquilla, usando mineral de hierro proveído por dos compañías, una situada en Colombia y la otra en Estados Unidos. El mineral de hierro tipo A es suministrado solamente por el proveedor de Estados Unidos y el mineral de hierro tipo B es suministrado solamente por el proveedor en Colombia. La capacidad anual de los proveedores de mineral de hierro es de 1,000 toneladas de mineral de hierro tipo A para el proveedor ubicado en los Estados Unidos, y de 2,000 toneladas de mineral de hierro tipo B para el proveedor ubicado en Colombia. El costo de compra y los costos de transporte están especificados en la tabla siguiente: PROVEEDOR DE MINERAL DE HIERRO

COSTO DE COMPRA ($/Ton)

COSTOS DE TRANSPORTE ($/Ton) HACIA:

Estados Unidos (Tipo A)

120

75

83

65

Colombia (Tipo B)

90

12

10

15

CALI

BOGOTÁ

B/QUILLA

Cada una de las tres plantas puede producir acero de alto calibre y de bajo calibre. El acero de alto calibre requiere combinar mineral de hierro tipo A y B en una proporción de 1 a 2 (O sea que para producir 1 tonelada de acero de alto calibre se requieren 1/3 toneladas de mineral de hierro tipo A y 2/3 toneladas de mineral de hierro tipo B). El acero de bajo calibre requiere una proporción de 1 a 3 (O sea que para producir 1 tonelada de acero de bajo calibre se requieren 1/4 toneladas de mineral de hierro tipo A y 3/4 toneladas de mineral de hierro tipo B). Las capacidades de procesamiento de mineral de hierro (en total para los dos tipos de mineral de hierro) son de 800, 1.300 y 500 Ton/año para las plantas de


496

Cali, Bogotá y Barranquilla, respectivamente. Los costos fijos de funcionamiento de estas plantas son de 144.000 $/año, 210.000 $/año y 115.000 $/año para Cali, Bogotá y Barranquilla, respectivamente. Los costos de producción en $/Ton de acero producido de cada planta se muestran en la tabla siguiente: COSTO DE PRODUCCIÓN ($/Ton) EN: TIPO DE ACERO CALI

BOGOTÁ

B/QUILLA

Alto Calibre

36

32

41

Bajo Calibre

30

26

34

El acero terminado se embarca hacia Bolivia, Ecuador, Perú y Venezuela. Las demandas por tipo de acero (consideradas la mayoría muy estables) y los costos de transporte hacia dichos países se muestran en la tabla siguiente: PAÍS DESTINO

TIPO DE ACERO

DEMANDA (Ton/año)

COSTOS DE TRANSPORTE ($/Ton) DESDE: CALI B/QUILLA

Alto calibre Bolivia Bajo calibre

Alto calibre Ecuador Bajo calibre

Alto calibre Perú Bajo calibre

Alto calibre Venezuela Bajo calibre

BOGOTÁ

150

170

185

195

80

160

175

190

300

60

75

95

125

60

75

95

400

95

110

130

200

95

110

130

500

100

120

85

250

110

115

80

a) Usted, como Gerente de Logística de la empresa debe realizar un estudio estratégico para determinar cuáles plantas productoras de acero deberían estar abiertas y como debería servirse la demanda de cada país, con base en la minimización del costo total. Se sugiere dibujar un diagrama de la cadena de abastecimiento para ayudar a identificar las variables


497

de decisión, y formular un modelo de programación lineal entera–mixta para esta situación. Resuélvalo por computador y analice detalladamente la solución dada por el programa. (Ayuda: NO olvide las restricciones de balance de materia prima en cada planta, por cada tipo de mineral de hierro). b) Si se insiste en mantener abierta la planta de Barranquilla, ¿Cuál sería la nueva solución óptima? ¿Qué porcentaje sobre el costo óptimo se estaría sacrificando? c) Se espera que la demanda en Venezuela para cada tipo de acero crezca en un 25% para el próximo año. ¿Cuál sería ahora la nueva solución óptima? Si es muy probable que este crecimiento de demanda en Venezuela realmente ocurra, ¿sugeriría usted cerrar la planta de Barranquilla? Sustente todas sus respuestas.

Lecturas adicionales Capítulo 11 1. Chopra y Meindl (2008): Capítulo 5 (pp. 114-151). Este capítulo es un excelente complemento a todas las ideas expuestas aquí, ya que trata algunos modelos matemáticos, todos resueltos con hojas electrónicas. 2. Croxton y Zinn (2005): Este artículo presenta un modelo muy interesante sobre la consideración de inventarios para la optimización de cadenas de abastecimiento y complementa lo dicho en este capítulo sobre el tema. 3. Ballou (2004): Capítulo 13 (pp. 550-617). Este es un muy buen capítulo sobre localización de instalaciones en general. Capítulo 14 (pp. 618-690). Este capítulo complementa al anterior y muestra algunos aspectos prácticos de diseño y optimización de cadenas de abastecimiento regionales, como la adquisición de datos, herramientas para el análisis y un estudio de un caso. 4. Shapiro (2001): Capítulo 7 (pp. 279-322). Presenta modelos estratégicos y tácticos de diseño de la cadena de abastecimiento, con descripción de dos aplicaciones en estrategias de manufactura.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Capítulo 12: Optimización de cadenas de abastecimiento internacionales y temas avanzados

498

12. OPTIMIZACIÓN DE CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES Y TEMAS AVANZADOS Habiendo estudiado los modelos de optimización para cadenas de abastecimiento regionales, este capítulo final se concentra en el diseño y optimización de cadenas de abastecimiento internacionales. Se dan primero los elementos básicos de este tipo de cadenas, destacando los elementos de consecución de la información para que los modelos funcionen. Posteriormente, introducimos el tema de precios de transferencia internacionales como un aporte al contenido de este tipo de textos (este tema se trata escasamente en los textos universitarios) y concluimos con la descripción de algunos casos reales.

12.1

ELEMENTOS BÁSICOS PARA OPTIMIZACIÓN DE CADENAS INTERNACIONALES

LA DE

PLANEACIÓN Y ABASTECIMIENTO

Indudablemente el diseño y optimización de cadenas de abastecimiento globales o internacionales es una tarea mucho más compleja que la optimización de cadenas de abastecimiento regionales. Esto se debe a que estas cadenas presentan numerosos aspectos que generalmente están ausentes en las cadenas regionales. Entre estos factores pueden citarse los siguientes: • • • • •

Diferentes mercados y tipos de competencia Diferentes características de modos de transporte Flujos de información y dinero más complejos Estructuras de impuestos y aranceles diversas y complejas Variabilidad e incertidumbre (tasas de cambio, tiempos de reposición, modos de transporte, etc.) • Existencia de precios de transferencia • Existencia de tratados internacionales y regulaciones gubernamentales • Infraestructura general (política, económica, social, cultural, etc.) Ciertamente, los mercados y los competidores internacionales son más complejos de manejar que los mercados locales. Pueden existir, por ejemplo, leyes que protegen a los competidores locales y que no aplican para un competidor internacional que quiera ingresar a dicho mercado. Igualmente, existen muchas diferencias de preferencias del consumidor y de características de los productos, así en su esencia estos sean exactamente los mismos. Los modos de transporte internacionales son definitivamente diferentes a los locales, especialmente para grandes distancias. Por ejemplo, aunque el modo por carretera se utiliza también en el ambiente internacional, existen muchas diferencias con respecto del mismo


499

modo en un ambiente regional. Es así como los pasos de frontera pueden ser muy complejos; por ejemplo, en muchas ocasiones, camiones de un país no pueden pasar al otro y debe efectuarse transbordo de carga en la frontera, lo que aumenta considerablemente los tiempos de reposición. Pueden también existir regulaciones que no permitan el paso de ciertos camiones o de conductores hacia el otro país, lo que dificulta la logística. Además, los tiempos de reposición, por ejemplo, del modo marítimo son en general mayores y de gran variabilidad absoluta debido a las demoras en los puertos. Adicionalmente, la documentación requerida es mucho más compleja y existen múltiples intermediarios, cuyas características deben ser conocidas por quienes practican el comercio internacional en general. En un ambiente internacional los flujos de información y dinero son más complejos que en las cadenas locales. En el primer flujo pueden existir muchas dificultades provenientes de las diferentes métricas de la cadena de abastecimiento, de la dificultad para la normalización de productos y de los diferentes idiomas y regulaciones. El flujo de dinero normalmente se administra de una forma muy diferente a la local, ya que deben conocerse aspectos como los de la documentación internacional, cartas de crédito, regulaciones de transferencias y pagos internacionales, términos en los que se negocian las transacciones internacionales (INCOTERMS), entre otros posibles. Las estructuras de los impuestos de importación (aranceles) y de otros impuestos como los de renta suelen ser muy diversas entre los países. En algunas ocasiones, los países suscriben tratados y reducen o eliminan los aranceles de diversos productos y materias primas, pero en otras aumentan estos aranceles en ocasiones por medidas proteccionistas o por motivos políticos. Los impuestos de renta para corporaciones suelen también ser muy diversos a lo largo del mundo. Por ejemplo, en Irlanda el impuesto de renta para corporaciones es aproximadamente del 12%, mientras que en Alemania e Inglaterra puede llegar alrededor del 30% y en Estados Unidos al 35%. Existen aún incluso algunos paraísos fiscales donde la tasa corporativa de impuesto de renta puede ser del 0% como en el caso de las Islas Caimán, aunque muchos gobiernos han desarrollado regulaciones estrictas para evitar que estos paraísos fiscales permitan evadir impuestos fácilmente. En otras ocasiones, pueden existir zonas especiales de comercio o leyes especiales transitorias dentro de los países, como fue el caso de la Ley Páez en Colombia que eliminaba el impuesto de renta para corporaciones durante 10 años si situaban sus plantas en la zona de influencia del Río Páez. Las fuentes de variabilidad e incertidumbre en un ambiente internacional son mucho más marcadas que en una cadena regional. Como ya se ha dicho, los tiempos de reposición son mucho más variables debido a los diversos modos de transporte como es el caso de vía marítima. Las tasas de cambio pueden ser muy fluctuantes e inciertas o pueden estar sujetas a condiciones especiales del país, como por ejemplo el caso actual de Venezuela. Tal vez uno de los más desafiantes y complejos temas dentro de las cadenas de abastecimiento internacionales tiene que ver con los precios de transferencia. Un precio de transferencia se define como el precio que se fija a una transacción internacional realizada entre dos subsidiarias pertenecientes a la misma empresa. Por ejemplo, una empresa puede estar produciendo en Colombia y estar exportando productos a su filial en Perú, con lo que se genera un precio de transferencia para los productos. Los precios de transferencia han sido manipulados en el sentido que una empresa puede eventualmente fijar un precio muy bajo o muy alto, de acuerdo con la conveniencia de la transacción. Esto, sin embargo, es hoy en día muy controlado por las agencias de impuestos de los países y se encuentra muy regulado. Sin embargo, siempre existe cierta flexibilidad para fijar precios de transferencia, lo que hace interesante su cálculo, ya que está probado que ligeras variaciones en estos precios pueden


500

llevar a aumentos significativos de los ingresos después de impuestos de las corporaciones internacionales. Este tema se analizará posteriormente. La existencia de tratados internacionales y regulaciones gubernamentales puede afectar significativamente la localización de una nueva planta o centro de distribución, como se explicó en la Sección 11.1. En el caso de diseño de cadenas de abastecimiento internacionales se requiere estudiar a fondo dichos tratados y regulaciones para analizar todas sus implicaciones respecto de aranceles, impuestos de renta, cuotas, reglas de contenido local y todas las regulaciones relacionadas de una u otra forma con la logística internacional. Análogamente, debe estudiarse con detalle cualquier aspecto relacionado con las condiciones políticas, sociales, económicas, culturales y ambientales de los países que se consideran dentro de la cadena de abastecimiento analizada.

12.2

INFORMACIÓN NECESARIA PARA OPTIMIZAR CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES

La información requerida para la optimización de una cadena de abastecimiento internacional es, en general, mucho más compleja y extensa que la que se necesita para una cadena de abastecimiento regional. Sin ser exhaustivos, los aspectos de información requeridos para el diseño y configuración de una cadena global pueden comprender los siguientes: • • • • • • • • • • • • • • • • •

Estructura general del sistema Información sobre estructuras de impuestos y aranceles Información sobre precios de transferencia Demanda por zona de consumo y por producto Precios de venta por zona de consumo y por producto Capacidad de proveedores, capacidad de producción, capacidad de almacenamiento y manejo, capacidad de modos de transporte y cualquier otra capacidad restrictiva Información sobre desperdicios y mermas, porcentaje de defectuosos y eficiencia de máquinas Costos de compra de materia prima Costos variables de producción Costos de almacenamiento y manejo Costos de transporte de todos los arcos involucrados en el análisis y peso unitario de cada producto Costos de inventarios Costos fijos de plantas y/ó máquinas Costos de promoción, publicidad, mercadeo, ventas, generales y de administración Información para balances de flujo en plantas de producción (fórmulas de materiales) y en centros de distribución Tiempos de tránsito y de reposición entre todos los nodos considerados en el análisis Otros posibles detalles

La estructura general del sistema se refiere a la información actualizada sobre la localización, capacidad y características básicas de los proveedores, las plantas, los centros de distribución y cualquier instalación que forme parte de la cadena de abastecimiento. En un


501

rediseño de la cadena global puede ocurrir que muchas de las actuales instalaciones sean candidatas para continuar funcionando o cerrarse parcial o totalmente. Además, es muy probable que existan nuevas localizaciones candidatas para vincular a la cadena nuevos proveedores o abrir nuevas plantas o centros de distribución. En la estructura también se definen los posibles modos de transporte entre todos los eslabones de la cadena, de los cuales los modelos podrán escoger los más adecuados, bien sea como parte integral del modelo cuando existan restricciones de capacidad de modo de transporte o en forma externa al modelo cuando estas restricciones no sean significativas. Del análisis anterior, es claro que debe conocerse con precisión la estructura de impuestos y aranceles de cada uno de los países involucrados en el análisis de la cadena, puesto que este puede ser un factor determinante para la localización de nuevas plantas y centros de distribución. La complejidad de algunos sistemas tributarios puede hacer necesario la consideración de algunas simplificaciones que permitan modelar matemáticamente la situación en cada país. La información sobre precios de transferencia es fundamental para la configuración de la cadena de abastecimiento. Tradicionalmente, se ha considerado que el establecimiento de los precios de transferencia es un aspecto meramente contable y se ha ignorado que éstos pueden ser fundamentales en el momento de definir la localización de nuevas instalaciones en la cadena global, especialmente en aquéllos casos de flujo de materias primas y productos entre filiales de la misma empresa. La información mencionada se refiere a la forma como los gobiernos permiten calcular los precios de transferencia y cualquier regulación al respecto que sirva para identificar oportunidades de optimización de la cadena. Vidal (1998) discute ampliamente este tema, el cual es también motivo actual de amplia investigación. Este tópico se ampliará posteriormente. En un modelo global ya es muy difícil de hablar de redes de un solo producto agrupado. Normalmente, las redes son multi-producto, bien sea por productos individuales o por familias de productos tal como se explicó en la Sección 11.2. Por este motivo necesita estimarse la demanda de cada uno de los productos o familias por cada zona de consumo o cliente que se considere en el análisis. En esta estimación es muy importante considerar que la demanda de los productos siempre es aleatoria y que, por lo tanto, debemos considerar cierto factor de seguridad en el análisis. Nunca debe diseñarse una cadena solamente con base en la demanda promedio porque se puede llegar a conclusiones erróneas sobre su configuración óptima. Actualmente existe una gran corriente de investigación que trata de involucrar en forma explícita los aspectos probabilísticos de los diversos parámetros de la cadena, entre ellos la demanda. Dentro de estas investigaciones pueden citarse Schütz et al. (2009), Sodhi y Tang (2009), Azaron et al. (2008), Pujari et al. (2008), You y Grossmann (2008), Snyder et al. (2007) y Santoso et al. (2005). En forma semejante a la demanda, para modelos de maximización de utilidades, se deben estimar los precios de venta por producto y por zona de consumo. Las capacidades de todo tipo en la cadena de abastecimiento son básicas para su correcto diseño, pues difícilmente pueden ser incrementadas e imponen restricciones que en la práctica no pueden ser violadas. Dentro de estas capacidades están: capacidad de proveedores, de producción, de almacenamiento y manejo y de modos de transporte. La capacidad de proveedores indica los máximos flujos que éstos pueden suministrar a la cadena, bien sea de materias primas, componentes u otros insumos. Frecuentemente es difícil estimar la capacidad de un proveedor por cada materia prima y se hace necesario utilizar un indicador de capacidad global con ciertos coeficientes por cada materia prima o un indicador de capacidad medido en

502


unidades de tiempo por año. La capacidad de producción se refiere a la capacidad efectiva de máquinas y también puede medirse en unidades de tiempo por año si se conoce la eficiencia de las máquinas. Por ejemplo, se puede decir que una máquina puede trabajar efectivamente 7,500 horas por año y que su eficiencia nominal es producir 5 ton/hora de cierto producto; de esta forma se podría estimar las toneladas por año que dicha máquina podría producir. Dentro de este contexto es también necesario definir los desperdicios o mermas y los porcentajes de defectuosos que las máquinas producen. Por ejemplo, en la producción de papel higiénico, parte de la materia prima de entrada se pierde por lo que se denomina el efluente y, por lo tanto, estas pérdidas deben ser consideradas para el cálculo del flujo y costo de materias primas y para la capacidad de los proveedores. La capacidad de almacenamiento y manejo tiene que ver con los recursos disponibles en los centro de distribución y bodegas para manejar los materiales y productos que por allí circulan. La capacidad de almacenamiento está relacionada con el área y la altura de la instalación y la capacidad de manejo es el reflejo de su diseño interno y de los recursos humanos, equipos y sistemas de información que se tengan disponibles para el manejo de los productos. Finalmente, la capacidad de los modos de transporte relaciona las limitaciones que ciertos modos de transporte pueden tener para el transporte de la carga. Por ejemplo, si se trata de carga de exportación, es posible que se tenga cierta capacidad limitada por unidad de tiempo debido a la disponibilidad de los buques que atracan en los puertos de cierto país. Si los modos de transporte no tienen limitaciones fuertes de capacidad, entonces la selección de los mismos podría hacerse en forma externa al modelo, de tal forma que éste se pueda simplificar. Si por el contrario, hay mucha restricción de capacidad en ciertos modos de transporte, ésta debería considerarse explícitamente dentro del modelo para que este escoja los mejores modos de transporte sin violar sus restricciones de capacidad. Los costos de la cadena de abastecimiento global son fundamentales para su diseño. Dentro de estos costos se encuentran los costos de adquisición de materia prima; de producción; de almacenamiento y manejo; de transporte (fletes); de inventarios; los costos fijos y los costos indirectos de promoción, publicidad, mercadeo, ventas, generales y de administración. Los costos de materias primas son relativamente fáciles de estimar pues corresponden al precio puesto en planta dado por el proveedor (landed price). Los costos variables de producción involucran todo lo referente a mano de obra variable y otros costos variables, como energía, gas, vapor, agua, combustibles y otros insumos no considerados inicialmente como materia prima. Si se consideran los costos de materia prima en forma independiente, debe tenerse cuidado de no incluirlos aquí para que no queden doblemente contabilizados. Si se trata de procesos que involucran más de una etapa de producción, como es el caso de la producción de papel higiénico, donde primero se producen grandes rollos (bobinas o hardrolls) y luego éstos se convierten en otras máquinas a su forma final, debería considerarse el costo variable incremental de producción que se agrega en cada etapa para no contabilizar doblemente productos intermedios, como las bobinas en el caso del papel. Los costos de almacenamiento y manejo están relacionados con lo que se debe pagar por el área y volumen ocupados en un centro de distribución por unidad de producto y por unidad de tiempo más los costos de manejo por unidad movilizada a través de la bodega. Si la bodega es tercerizada, estos costos son más fáciles de estimar, pues son los establecidos por el operador logístico. En caso contrario, deben tenerse métricas para medir estos costos dentro de los centros de distribución propios. Los costos de transporte o fletes deben estimarse para cada uno de los arcos que represente una ruta factible dentro de la cadena de abastecimiento y por cada uno de los modos factibles en dicha ruta. En logística global es muy común que


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estos fletes estén dados por unidad de peso y, por lo tanto, se requiere tener la información sobre el peso unitario de cada producto involucrado en el análisis. Los fletes también pueden estar dados por contenedor, especialmente en el transporte marítimo, y aquí entra en juego la definición de la forma como se carga el contenedor para poder establecer la relación entre el costo de transporte por contenedor y el flete por unidad de producto o por unidad de peso, dependiendo de la forma como se hayan definido las variables de flujo. Los costos de inventarios tienen la dificultad de que son no-lineales. Por ello se puede aplicar la técnica estudiada en los Ejemplos 11.3 y 11.4. Igualmente, los costos de inventario en tránsito pueden ser muy importantes para la determinación del modo de transporte y por ello al menos éstos deberían considerarse en el análisis (Sección 10.2). La consideración explícita de costos de inventarios en modelos de optimización de cadenas de abastecimiento es un tema actual de investigación. Puede consultarse, por ejemplo, a Üster et al. (2008). Los costos fijos de instalaciones y de máquinas constituyen igualmente una complejidad para el diseño de cadenas de abastecimiento, tal como se mencionó en el Ejemplo 11.3. Especialmente cuando la instalación no existe y no se conoce su capacidad, el tratamiento de los costos fijos no es sencillo, ya que un estos podrían depender en cierto grado de la capacidad de la nueva instalación. Esto normalmente se ignora en los modelos tradicionales de optimización de cadenas de abastecimiento. Además, es probable que no exista una proporcionalidad perfecta entre el número de instalaciones o máquinas y sus costos fijos, generando así funciones discontinuas y no-lineales de costo que vuelven muy complejos o intratables los modelos matemáticos. Por ello, se recomienda analizar profundamente los supuestos que se hagan respecto de los costos fijos de instalaciones y máquinas y posteriormente se revisen cuando se hayan obtenido soluciones de los modelos y sus correspondientes análisis de sensibilidad. Finalmente, los costos indirectos de promoción, publicidad, mercadeo, ventas, generales y de administración no están directamente relacionados con el diseño de la cadena de abastecimiento. Sin embargo, estos costos deben considerarse para el cálculo de las utilidades netas antes de impuestos, especialmente en el caso de cadenas globales, donde dichos costos pueden diferir significativamente entre un país y otro. La información para formular los balances de flujo en plantas tiene que ver con las fórmulas de materiales (BOM ó Bill of Materials). Cuando se está modelando una cadena de abastecimiento desde los proveedores, es necesario modelar lo que ocurre al interior de las plantas en la etapa de conversión. Por ejemplo, en el caso de la producción de algunos alimentos como sopas deshidratadas, pueden existir muchos ingredientes que se combinan en cantidades especificadas por la fórmula del producto. Si se están considerando los proveedores de los ingredientes, debe conocerse la fórmula de cada producto con cierta precisión para establecer los balances de masas en las plantas productoras. Es decir, que, en condiciones estacionarias, las materias primas que entran deben ser iguales a las materias primas que salen en forma de productos terminados. Una complejidad adicional puede surgir en el diseño de cadenas donde las fórmulas de materiales no son fijas sino que pueden depender de la calidad de los materiales y de otros factores de producción, como por ejemplo en el caso de la producción de algunas cervezas. En estos casos sería necesario considerar consumos históricos promedio para establecer fórmulas de materiales confiables. En el caso de balance de flujos en centros de distribución la situación puede ser menos compleja, ya que generalmente el producto que entra y el que sale no sufre cambios significativos. Así, en condiciones estables de flujo las ecuaciones de balance resultan ser más sencillas que las de las fórmulas de materiales. Si el producto sufre algún cambio significativo o si se cambia por

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ejemplo su tipo de empaque debe tenerse especial cuidado de definir las métricas adecuadas para formular el balance correcto. Los tiempos de tránsito y tiempos de reposición de cada eslabón de la cadena pueden ser necesarios para calcular los inventarios en tránsito, elemento clave para determinar el modo de transporte más adecuado, tal como se explicó anteriormente. Pero, además, estos datos son útiles para calcular los tiempos de servicio y el nivel de respuesta de la cadena, elemento clave de la misma junto con los costos totales de logística. Algunas formulaciones definen las variables de decisiones como variables de ruta (path formulation) y no como variables de arco (arc ó link formulation), de tal forma que el modelo pueda calcular los tiempos totales de servicio a lo largo de dichas rutas. Para ilustrar, en el Ejemplo 11.4, en lugar de definir las variables de arco como Xij y Yjk (228 variables de decisión), se puede definir una variable de ruta Zijk = Cantidad de producto a enviar desde el proveedor i hacia la bodega j y luego hacia el cliente k (1,008 variables de decisión), en toneladas/año. Estas formulaciones, sin embargo, son muy grandes y podrían volver intratable el modelo matemático; además, no son útiles cuando el producto sufre alguna transformación importante o cuando una de las instalaciones intermedias es una planta productora. Por ello, en este texto se enfatiza la formulación de las variables de arco y se analiza el grado de respuesta de la cadena en forma independiente, como se hizo con los tiempos máximos de respuesta mostrados en la Figura 11.16 del Ejemplo 11.4. Ejemplo 12.1 (Una pequeña cadena de abastecimiento internacional) Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se convierte en alúmina (un producto intermedio), en lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado. Los datos siguientes están disponibles: Minas de bauxita A B C

Costo de explotación ($/ton.) 420 360 540

Capacidad anual de bauxita (ton.) 36,000 52,000 28,000

Rendimiento de alúmina 6.0% 8.0% 6.2%

Conversión de Bauxita en Alúmina:

Planta

Costo Producción ($/ton alúmina)

B C D E

330 320 380 240

Capacidad anual procesamiento de bauxita (ton/año) 40,000 20,000 30,000 80,000

Costo fijo anual de la planta de alúmina ($/año) $ 3,000,000 $ 2,500,000 $ 4,800,000 $ 6,000,000


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Proceso de Esmaltado: Costo Procesamiento ($/ton alúmina) 8,500 5,200

Planta D E

Capacidad anual procesamiento de Alúmina (ton/año) 4,000 7,000

Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1,000 ton en la planta D y de 1,200 ton en la planta E. Costos de transporte en $/ton de bauxita: DE

i =

HACIA j = A B C

B 1 400 10 1,630

1 2 3

C 2 2,010 630 10

D 3 510 220 620

D 1 220 620 0 1,465

E 2 1,510 940 1,615 0

Costos de transporte de la alúmina, en $/ton de alúmina: DE

j =

HACIA k = B C D E

1 2 3 4 Wj

Xij

B Yjk

A C

D

D

E

B

C

A l u m i n i o

T e r m i n a d o

E Minas de Bauxita

Plantas de Alúmina

Plantas de Esmaltado

Figura 12.1. Cadena de abastecimiento de la bauxita

E 4 1,920 1,510 940


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Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada. Note que existe el problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas. La Figura 12.1 muestra la cadena de abastecimiento bajo análisis. Para formular el modelo en la forma tradicional, se plantean entonces las siguientes variables de decisión. Note que se trata de una formulación de arco y que las variables Xij y Yjk no representan el mismo tipo de producto, lo que complicaría o imposibilitaría una formulación de ruta. Variables de Decisión Xij

=

Ton/año de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j; i = A, B, C; j = B, C, D, E.

Yjk

=

Ton/año de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k; j = B, C, D, E; k = D, E.

Wj

=

1, si la planta de alúmina j se abre o permanece abierta; 0, de lo contrario; j = B, C, D, E.

Función Objetivo Minimizar Costo Total Anual

= Costo anual de explotación de bauxita + Costo anual de producción de alúmina + Costo anual de procesamiento de alúmina en las plantas de esmaltado + Costo anual de transporte de bauxita desde las minas hacia las plantas de alúmina + Costo anual de transporte de alúmina desde las plantas de alúmina hacia las plantas de esmaltado + Costo fijo anual de las plantas de alúmina

Costo anual de explotación de bauxita ($/año):

Mina A : 420( X AB  X AC  X AD  X AE ) Mina B : 360( X BB  X BC  X BD  X BE ) Mina C : 540( X CB  X CC  X CD  X CE ) Costo anual de producción de alúmina ($/año):


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Planta B : 330(YBD  YBE ) Planta C : 320(YCD  YCE ) Planta D : 380(YDD  YDE ) Planta E : 240(YED  YEE ) Costo anual de procesamiento de alúmina en las plantas de esmaltado ($/año):

Planta D : 8,500(YBD  YCD  YDD  YED ) Planta E : 5,200(YBE  YCE  YDE  YEE ) Costo anual de transporte de bauxita desde las minas de bauxita hacia las plantas de alúmina ($/año):

Desde la mina A : 400 X AB  2,010 X AC  510 X AD  1,920 X AE Desde la mina B : 10 X BB  630 X BC  220 X BD  1,510 X BE Desde la mina C : 1,630 X CB  10 X CC  620 X CD  940 X CE Costo anual de transporte de alúmina desde las plantas de alúmina hacia las plantas de esmaltado ($/año):

Hacia la planta D : 220YBD  620YCD  1,465YED Hacia la planta E : 1,510YBE  940YCE  1,615YDE Costo fijo anual de las plantas de alúmina ($/año):

Planta B : 3,000,000WB Planta C : 2,500,000WC Planta D : 4,800,000WD Planta E : 6,000,000WE Restricciones 1) Por capacidad anual de explotación de bauxita en cada mina (Ton de bauxita/año):

Mina A : X AB  X AC  X AD  X AE  36,000 Mina B : X BB  X BC  X BD  X BE  52,000 Mina C : X CB  X CC  X CD  X CE  28,000 Estas restricciones expresan que todo el flujo anual de bauxita que sale de cada mina no puede exceder su capacidad anual de explotación. Note que aquí no hay decisiones de cierre de minas involucradas, es decir, que se asume que las minas siempre van a estar abiertas.

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2) Por capacidad anual de procesamiento de bauxita en cada planta de alúmina (Ton de bauxita/año):

Planta B : X AB  X BB  X CB  40,000WB Planta C : X AC  X BC  X CC  20,000WC Planta D : X AD  X BD  X CD  30,000WD Planta E : X AE  X BE  X CE  80,000WE Estas restricciones aseguran que no se puede recibir flujo alguno de bauxita desde las minas, si la planta de alúmina destino no ha sido abierta. Las restricciones han sido formuladas de acuerdo con la capacidad de cada planta de alúmina de procesar la bauxita entrante. Otra forma en la que estas restricciones podrían escribirse es de acuerdo con la capacidad de cada planta de alúmina de producir alúmina saliente. Sin embargo, la información dada en el problema no permite formularlas de esta forma. Este ejemplo es útil para ilustrar que las restricciones de capacidad en una planta productora pueden escribirse con base en las materias primas entrantes o también con base en los productos terminados salientes. En el caso de los ingenios azucareros, para ilustrar con otro ejemplo, podríamos escribir las restricciones de capacidad de procesamiento de la caña de azúcar que llega al ingenio o podríamos definir las restricciones con base en la capacidad de producción de azúcar. Obsérvese finalmente que las anteriores restricciones, en combinación con el conjunto de restricciones (5) descrito más adelante, aseguran que no se puede despachar cantidad alguna de alúmina hacia las plantas de esmaltado, si la planta origen no ha sido abierta, completando así la lógica del modelo. 3) Por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado (Ton de alúmina/año):

Planta D : YBD  YCD  YDD  YED  4,000 Planta E : YBE  YCE  YDE  YEE  7,000 Estas restricciones expresan que todo el flujo anual de alúmina que llega a cada planta de esmaltado no puede exceder su capacidad anual de procesamiento de alúmina. De nuevo, son restricciones de capacidad dadas por la materia prima entrante a la planta. 4) Por ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado (Ton de aluminio terminado/año):

Planta D : 0.4(YBD  YCD  YDD  YED )  1,000 Planta E : 0.4(YBE  YCE  YDE  YEE )  1,200 Estas restricciones aseguran que la demanda anual proyectada en cada planta de esmaltado se va a satisfacer en forma total. Nótese que se aplica el factor de rendimiento de alúmina en aluminio terminado (0.4 toneladas de aluminio terminado por cada tonelada de alúmina). Esta


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relación sencilla permite en este modelo no formular variables adicionales para el aluminio terminado. En extensiones de este modelo, tal como la planteada en el Problema No. 1 de los Ejercicios 12.1, es probable que se requieran formular variables de decisión adicionales. 5) Por balance de masa en cada una de las plantas de alúmina:

Planta B : 0.060 X AB  0.080 X BB  0.062 X CB  YBD  YBE Planta C : 0.060 X AC  0.080 X BC  0.062 X CC  YCD  YCE Planta D : 0.060 X AD  0.080 X BD  0.062 X CD  YDD  YDE Planta E : 0.060 X AE  0.080 X BE  0.062 X CE  YED  YEE Estas restricciones aseguran que la cantidad anual de bauxita que entra a cada planta de alúmina, afectada por su correspondiente rendimiento para producir alúmina, es igual a la cantidad anual de alúmina que sale de dicha planta hacia las plantas de esmaltado. Al formular estas restricciones se asume, por una parte, la linealidad del proceso de transformación de bauxita en alúmina y, por la otra, que no hay diferenciación de calidad de la alúmina saliente. En la práctica, es posible que las cosas no sean así de sencillas y que cada materia prima tenga calidad diferente y produzca diferentes calidades de un mismo producto terminado. 6) Por límites en los valores de cada una de las variables (restricciones obvias): X ij  0 i, j Y jk  0 j , k

W j  0, 1 j

El modelo matemático para resolver el problema planteado comprende entonces minimizar la función objetivo, sujeto a las restricciones anteriormente enunciadas. Al simplificar la función objetivo y las restricciones, se obtiene el siguiente modelo de programación lineal mixta:

M inimizar Costo Total Anual (CTA)  820 X AB  2430 X AC  930 X AD  2340 X AE  370 X BB  990 X BC  580 X BD  1870 X BE  2170 X CB  550 X CC  1160 X CD  1480 X CE  9050YBD  7040YBE  9440YCD  6460YCE  8880YDD  7195YDE  10205YED  5440YEE  3,000,000WB  2,500,000WC  4,800,000WD  6,000,000WE Sujeto a:

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X AB  X AC  X AD  X AE  36,000 X BB  X BC  X BD  X BE  52,000 X CB  X CC  X CD  X CE  28,000 X AB  X BB  X CB  40,000WB  0 X AC  X BC  X CC  20,000WC  0 X AD  X BD  X CD  30,000WD  0 X AE  X BE  X CE  80,000WE  0

YBD  YCD  YDD  YED  4,000 YBE  YCE  YDE  YEE  7,000 0.4(YBD  YCD  YDD  YED )  1,000 0.4(YBE  YCE  YDE  YEE )  1,200 0.060 X AB  0.080 X BB  0.062 X CB  YBD  YBE  0 0.060 X AC  0.080 X BC  0.062 X CC  YCD  YCE  0 0.060 X AD  0.080 X BD  0.062 X CD  YDD  YDE  0 0.060 X AE  0.080 X BE  0.062 X CE  YED  YEE  0 X ij  0 i, j Y jk  0 j , k

W j  0, 1 j

Este modelo contiene 24 variables de decisión, de las cuales 4 son binarias y el resto son continuas, y 15 restricciones (sin incluir las restricciones obvias). Los modelos matemáticos de cadenas de abastecimiento internacionales que se formulan en la práctica pueden contener decenas o cientos de miles de variables con decenas o cientos de miles de restricciones, llegando incluso a millones de ellas. La dificultad para su solución eficiente depende principalmente del número de variables enteras (binarias) involucradas en el modelo y de su estructura. Solución del modelo por solver de Excel™ La solución de este modelo puede encontrarse con la ayuda de software comercial especial para ello, mediante el solver de Excel™ o incluso mediante un software más especializado como AMPL (Recuérdese el Ejemplo 11.5), a pesar de tratarse de un modelo pequeño. La hoja electrónica que resuelve este modelo se muestra en la Figura 12.2. En general, cualquier modelo de programación lineal entera-mixta relativamente pequeño (por ejemplo, con un máximo de 240 celdas variables) se puede resolver en formatos parecidos a los que se presentan en la figura mencionada.


Figura 12.2. Hoja electrónica para la solución del problema de la bauxita (Ejemplo 12.1)

511

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La función objetivo, celda C35 en la Figura 12.2, se desarrolla con la función SUMAPRODUCTO, calculando el producto escalar entre la columna de coeficientes de la función objetivo (celdas C10 a C33) y la columna de celdas cambiantes que corresponde a las variables de decisión (celdas B10 a B33). Cada una de las restricciones se puede transformar dejando las variables de decisión al lado izquierdo de la desigualdad o de la ecuación y al lado derecho de éstas el término constante. Así, cada restricción se puede escribir como una columna (columnas D a la R), con cada uno de los coeficientes diferentes de cero al frente de la variable correspondiente. En una fila aparte (celdas D37 a R37), se utiliza de nuevo la función SUMAPRODUCTO para calcular el valor de cada restricción de acuerdo con los valores que tomen las variables del modelo. En otra fila (celdas D38 a R38), se copian los términos del lado derecho del modelo, o sea los recursos, demandas, etc. Para algunas restricciones, como las de balance y las de capacidad con variables binarias como las de las plantas de alúmina, este término del lado derecho puede ser igual a cero. Finalmente, si se desea, en otra fila (celdas D39 a R39) se puede calcular la diferencia entre el término del lado derecho y el correspondiente valor de cada restricción, obteniéndose así los recursos sobrantes, los excesos, demandas insatisfechas, ceros en las ecuaciones de balance, etc., según sea el caso. Con el modelo ya estructurado, se pasa a encontrar la solución mediante el solver. En este caso, la ventana del solver luce como se muestra en la Figura 12.3.

Figura 12.3. Ventana del solver para resolver el modelo del Ejemplo 12.1 La celda objetivo corresponde a la celda del costo total $C$35. Las celdas cambiantes son todas las variables de decisión, incluyendo todos los flujos (celdas B10 a la B29, es decir, las variables Xij y Yjk) y las variables binarias de apertura de las plantas de alúmina (celdas B30 a la B33, es decir, las variables Wj). Las restricciones corresponden primero a aquéllas que son de desigualdad de  correspondientes a las capacidades de las minas de bauxita, las plantas de alúmina y las plantas de esmaltado (columnas D a la L). Obsérvese que estas restricciones se pueden escribir en forma compacta mediante la expresión $D$37:$L$37  $D$38:$L$38, lo que


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significa que está tomando el valor de cada una de estas nueve restricciones y lo está haciendo menor al recurso disponible en cada caso. El segundo grupo de restricciones hay que escribirlo aparte porque son restricciones de igualdad y corresponden a las dos de demanda de aluminio terminado, la cual se va a satisfacer exactamente, y a las cuatro de balance que por su naturaleza siempre son igualdades (éstas corresponden a la expresión $M$37:$R$37  $M$38:$R$38 de las restricciones del solver). Al solver se le debe decir cuáles de las variables o celdas cambiantes son binarias. Para este efecto se tiene la expresión Apertura = binario en solver. Nótese que aquí no aparecen las referencias de las celdas, ya que se ha utilizado, para ilustrar, la definición de un ‗nombre‘ en Excel y se han bautizado las celdas B30 a B33 correspondientes a las variables binarias de apertura de plantas de alúmina con el nombre de ―Apertura‖. Esto no es necesario hacerlo, pero muchas veces es conveniente para efectos de identificación y fácil recordación de las variables. El resto de variables o celdas cambiantes, por defecto, las tomará reales mayores ó iguales que cero (aunque debe tenerse cuidado de que esto en realidad esté definido así en la ventana que se abre al pulsar las ‗Opciones…‘ de la ventana del solver). Finalmente, cuando se le da el comando ‗Resolver‘ al solver, se obtiene entonces la solución óptima mostrada en la Figura 12.2 anterior. Análisis de la solución óptima obtenida

40,000

A

B

1,666.7

1,760

C B

D

1,000

E

1,200

1,240

12,000

D C

1,440

1,060

20,000

A l u m i n i o

T e r m i n a d o

E Minas de Bauxita

Plantas de Alúmina

Plantas de Esmaltado

Figura 12.4. Solución óptima del problema de la bauxita (Ejemplo 12.1) El valor de la función objetivo indica que el costo total de logística mínimo es de 87,455,600 $/año. Este costo incluye los costos de explotación y producción, los costos de transporte y los costos fijos. Esto se logra abriendo las plantas de alúmina ubicadas en B, C y D (variables binarias WB = WC = WD = 1) y cerrando la planta ubicada en E (variable binaria WE = 0), la

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cual al parecer es una planta muy ineficiente, tiene un costo fijo muy alto y/o tiene problemas de localización. Los flujos óptimos son los que se muestran en las celdas B10 a B29 de la Figura 12.2, ilustrados en forma gráfica en la Figura 12.4. Se sugiere al lector comprobar que los balances de flujo tanto en las plantas de alúmina como en las plantas de esmaltado se cumplen. En cuanto a los recursos sobrantes es importante notar que la mina A apenas está siendo explotada en un 4.63% de su capacidad (1,667 de 36,000 ton/año disponibles). Muy probablemente análisis adicionales pueden revelar que debería considerarse el cierre de esta mina o la redistribución de su materia prima. Además, su bauxita es la de menor calidad de acuerdo con su rendimiento de alúmina. En cuanto a las plantas de alúmina abiertas, la B y la C trabajan al 100% de su capacidad y la D tiene una capacidad sobrante del 54.44% (sobran 16,333 ton/año de capacidad de las 30,000 disponibles). Las plantas de esmaltado también están trabajando holgadamente: La planta D trabaja al 62.5 % de su capacidad y la E al 42.86%.

Algunos análisis de sensibilidad Se sugiere al lector comprobar que los siguientes análisis de sensibilidad son correctos: 1. Si se obliga a la planta de alúmina E a estar abierta: Se abren todas las plantas, pero no se produce nada en la planta de alúmina E. Simplemente se paga su costo fijo y el costo total anual asciende a 93,455,600 $/año. 2. Si sólo se abren las plantas de alúmina B y C, el problema no tiene solución factible alguna. 3. Si sólo se abren las plantas de alúmina B, C y E, se obtiene una solución óptima con un costo mínimo de 103,457,000 $/año y en este caso la planta E sí debe producir para lograr suplir la demanda de aluminio terminado. 4. Si se cierra la mina A, entonces el nuevo costo total de logística mínimo sería igual a 87,776,568 $/año, es decir tan sólo un 0.367% mayor que el obtenido inicialmente. Muy probablemente los costos fijos de explotación de la mina A son mayores que este incremento de costo total y ello sugiera el cierre de esta mina. Obviamente, una análisis más profundo es necesario aquí, pues el cierre de cualquier instalación siempre debe analizarse integralmente considerando todos los impactos que se pudieran producir.

Solución del modelo por AMPL y por Internet en el NEOS Server El modelo en AMPL para este problema es el siguiente:


# MODELO EN AMPL CORRESPONDIENTE AL PROBLEMA DE LA BAUXITA # CONJUNTOS PRINCIPALES set MINAS; # Conjunto de minas de bauxita indexado por i set PLALU; # Conjunto de plantas de alúmina indexado por j set PLESM; # Conjunto de plantas de esmaltado indexado por k # PARÁMETROS param capal_es{k in PLESM} >= 0; # Capacidad de procesamiento de alúmina en la planta de esmaltado k # (Ton de alúmina/año) param capb_al{j in PLALU} >= 0; # Capacidad de procesamiento de bauxita en la planta de alúmina j # (Ton de bauxita/año) param capbaux{i in MINAS} >= 0; # Capacidad de explotación de bauxita de la mina i (Ton de bauxita/año) param cexp{i in MINAS} >= 0; # Costo de explotación de la mina i ($/Ton de bauxita) param cfijo{j in PLALU} >= 0; # Costo fijo de la planta de alúmina j ($/año) param cpal{j in PLALU} >= 0; # Costo de producción de alúmina en la planta de alúmina j # ($/Ton de alúmina) param cpes{k in PLESM} >= 0; # Costo de procesamiento de la alúmina para producir aluminio # terminado en la planta de esmaltado k ($/Ton de alúmina) param ctran_al{j in PLALU, k in PLESM} >= 0; # Costo de transporte de alúmina desde la planta de alúmina j hacia # la planta de esmaltado k ($/Ton de alúmina) param ctran_b{i in MINAS, j in PLALU} >= 0; # Costo de transporte de bauxita desde la mina de bauxita i hacia # la planta de alúmina j ($/Ton de bauxita) param demanda{k in PLESM} >= 0; # Demanda de aluminio terminado en la planta de esmaltado k # (Ton de aluminio terminado/año param rendal{i in MINAS} >= 0; # Rendimiento de alúmina de la bauxita extraída de la mina i # (Ton de alúmina/Ton de bauxita) param rendim >= 0; # Rendimiento de alúmina para producir aluminio terminado # (Ton de aluminio terminado/Ton de alúmina) # VARIABLES DE DECISIÓN

515

516


var x{i in MINAS, j in PLALU} >= 0; # Ton de bauxita/año a explotar en la mina i # y a transportar a la planta de alúmina j (Ton de bauxita/año) var y{j in PLALU, k in PLESM} >= 0; # Ton de alúmina/año a producir en la planta de alúmina j # y a transportar a la planta de esmaltado k (Ton de alúmina/año) var w{j in PLALU} binary; # Variable binaria = 1 si la pl. de alúmina j se abre, = 0 de lo contrario # FUNCIÓN OBJETIVO minimize costo_total:

# ($/año)

sum{i in MINAS, j in PLALU} (cexp[i]*x[i,j]) # Costo anual de explotación de bauxita + sum{j in PLALU, k in PLESM} (cpal[j]*y[j,k]) # Costo anual de producción de alúmina + sum{j in PLALU, k in PLESM} (cpes[k]*y[j,k]) # Costo anual de procesamiento de alúmina en las plantas de esmaltado + sum{i in MINAS, j in PLALU} (ctran_b[i,j]*x[i,j]) # Costo anual de transporte de bauxita desde las minas hacia # las plantas de alúmina + sum{j in PLALU, k in PLESM } (ctran_al[j,k]*y[j,k]) # Costo anual de transporte de alúmina desde las plantas de alúmina # hacia las plantas de esmaltado + sum{j in PLALU} (cfijo[j]*w[j]); # Costo anual fijo de las plantas de alúmina # RESTRICCIONES # Por capacidad anual de explotación de bauxita en cada mina # (Ton de bauxita/año): subject to cap_exp{i in MINAS}: sum{j in PLALU} (x[i,j]) <= capbaux[i]; # Por capacidad anual de procesamiento de bauxita en cada planta de alúmina # (Ton de bauxita/año): subject to cap_prodal{j in PLALU}: sum{i in MINAS} (x[i,j]) <= capb_al[j]*w[j]; # Por capacidad anual de procesamiento de alúmina # en cada planta de aluminio terminado # (Ton de alúmina/año): subject to cap_procal{k in PLESM}: sum{j in PLALU} (y[j,k]) <= capal_es [k];


517

# Por demanda (ventas) de aluminio terminado # en cada planta de esmaltado # (Ton de aluminio terminado/año): subject to demand_es{k in PLESM}: sum{j in PLALU} (rendim*y[j,k]) = demanda[k]; # Por balance de masa en cada planta de alúmina subject to balance{j in PLALU}: sum{i in MINAS} (rendal[i]*x[i,j]) = sum{k in PLESM} (y[j,k]); # Restricciones de configuración para análisis de sensibilidad: # subject to pl_abierta_b: # w["B"] = 1; # subject to pl_abierta_c: # w["C"] = 1; # subject to pl_abierta_d: # w["D"] = 1; # subject to pl_abierta_e: # w["E"] = 1;

El archivo de datos correspondiente al modelo anterior y de acuerdo con la información dada al comienzo de este ejemplo es el siguiente: # CONJUNTO DE DATOS EN AMPL CORRESPONDIENTE AL PROBLEMA DE LA BAUXITA # CONJUNTOS PRINCIPALES set MINAS:= A B C; set PLALU:= B C D E; set PLESM:= D E; # PARÁMETROS # Capacidad de procesamiento de alúmina en la planta de esmaltado k # (Ton de alúmina/año): param capal_es:= D 4000 E 7000; # Capacidad de procesamiento de bauxita en la planta de alúmina j # (Ton de bauxita/año): param capb_al:= B 40000 C 20000 D 30000 E 80000; # Capacidad de explotación de bauxita de la mina i # (Ton de bauxita/año): param capbaux:= A 36000 B 52000 C 28000; # Costo de explotación de la mina i

518


# ($/Ton de bauxita): param cexp:= A 420 B 360 C 540; # Costo fijo de la planta de alúmina j # ($/año): param cfijo:= B 3000000 C 2500000 D 4800000 E 6000000; # Costo de producción de alúmina en la planta de alúmina j # ($/Ton de alúmina). param cpal:= B 330 C 320 D 380 E 240; # Costo de procesamiento de la alúmina para producir aluminio # terminado en la planta de esmaltado k # ($/Ton de alúmina): param cpes:= D 8500 E 5200; # Costo de transporte de alúmina desde la planta de alúmina j hacia # la planta de esmaltado k # ($/Ton de alúmina): param ctran_al: B C D E

D 220 620 0 1465

E

:=

1510 940 1615 0;

# Costo de transporte de bauxita desde la mina de bauxita i hacia # la planta de alúmina j # ($/Ton de bauxita): param ctran_b: A B C

B 400 10 1630

C 2010 630 10

D 510 220 620

E

:=

1920 1510 940;

# Demanda de aluminio terminado en la planta de esmaltado k # (Ton de aluminio terminado/año): param demanda:= D 1000 E 1200; # Rendimiento de alúmina de la bauxita extraída de la mina i # (Ton de alúmina/Ton de bauxita): param rendal:= A 0.060 B 0.080 C 0.062; # Rendimiento de alúmina para producir aluminio terminado # (Ton de aluminio terminado/Ton de alúmina): param rendim:= 0.4;


519

Finalmente, el archivo de comandos es el siguiente: # COMANDOS EN AMPL PROBLEMA DE LA BAUXITA PARA CORRER EN NEOS POR INTERNET # COMANDOS DE INICIALIZACIÓN DE CONDICIONES: option option option option option option option


# COMANDO DE SOLUCIÓN: solve; # COMANDOS DE IMPRESIÓN DE RESULTADOS: printf "\n\n*************************************\n"; printf "RESULTADOS DEL PROBLEMA DE LA BAUXITA\n"; printf "*************************************\n\n"; printf "\nCOSTO TOTAL = \t%9.1f", costo_total; printf "\n\nCONFIGURACION DEL SISTEMA (PLANTAS DE ALUMINA ABIERTAS) =\n\n"; display w; printf "\nFLUJO DE BAUXITA DESDE MINAS HACIA PLANTAS DE ALUMINA =\n\n"; display x; printf "\nFLUJO DE ALUMINA DESDE PLANTAS DE ALUMINA HACIA PLANTAS DE ESMALTADO =\n\n"; display y; printf "\nCAPACIDAD SOBRANTE EN MINAS DE BAUXITA =\n\n"; display cap_exp.slack; printf "\nPRECIOS SOMBRA DE MINAS DE BAUXITA =\n\n"; display cap_exp; printf "\nCAPACIDAD SOBRANTE EN PLANTAS DE ALUMINA =\n\n"; display cap_prodal.slack; printf "\nPRECIOS SOMBRA DE PLANTAS DE ALUMINA =\n\n"; display cap_prodal; printf "\nCAPACIDAD SOBRANTE EN PLANTAS DE ESMALTADO =\n\n"; display cap_proc_alu.slack; printf "\nPRECIOS SOMBRA DE PLANTAS DE ESMALTADO =\n\n"; display cap_proc_alu;

Los resultados que se obtienen con el anterior archivo de comandos son los siguientes, los cuales coinciden totalmente con lo que ya habíamos encontrado anteriormente:


520

************************************* RESULTADOS DEL PROBLEMA DE LA BAUXITA ************************************* COSTO TOTAL =

87455600.0

CONFIGURACION DEL SISTEMA (PLANTAS DE ALUMINA ABIERTAS) = w [*] := B 1.0 C 1.0 D 1.0 FLUJO DE BAUXITA DESDE MINAS HACIA PLANTAS DE ALUMINA = x A B B C

:= D B D C

1666.7 40000.0 12000.0 20000.0

FLUJO DE ALUMINA DESDE PLANTAS DE ALUMINA HACIA PLANTAS DE ESMALTADO = y B B C D

:= D E E D

1440.0 1760.0 1240.0 1060.0

CAPACIDAD SOBRANTE EN MINAS DE BAUXITA = cap_exp.slack [*] := A 34333.3 C 8000.0 PRECIOS SOMBRA DE MINAS DE BAUXITA = cap_exp [*] := B -660.0 CAPACIDAD SOBRANTE EN PLANTAS DE ALUMINA = cap_prodal.slack [*] := D 16333.3 PRECIOS SOMBRA DE PLANTAS DE ALUMINA = cap_prodal [*] := B -196.4 C -436.4 CAPACIDAD SOBRANTE EN PLANTAS DE ESMALTADO = cap_proc_alu.slack [*] := D 1500.0 E 4000.0


521

Ejercicios 12.1 1. El siguiente es una adaptación y ampliación del problema de la bauxita del Ejemplo 12.1. Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se puede convertir en alúmina, un producto intermedio, el cual puede ser obtenido en tres tipos diferentes (1, 2 y 3), en los lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E, donde se produce el aluminio terminado. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Los datos siguientes están disponibles: Minas de bauxita: Minas de bauxita A B C

Costo de explotación ($/ton) 420 360 540

Capacidad anual de bauxita (ton/año) 36,000 52,000 28,000

Costos fijos de operación ($/año) 1,500,000 2,000,000 1,250,000

Conversión de bauxita en alúmina:

Planta B C D E

Costo de producción ($/ton de alúmina) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 330 300 380 320 290 No 380 No 435 240 215 300

Capacidad anual de procesamiento de bauxita 40,000 20,000 30,000 80,000

Costo fijo anual de la planta de alúmina $3,000,000 $2,500,000 $4,800,000 $6,000,000

Como se puede observar en la tabla anterior, la planta D no puede producir la alúmina tipo 2 y la planta C no puede producir la alúmina tipo 3. Rendimiento de bauxita para cada tipo de alúmina y de alúmina en producto terminado:

Mina A B C Rendimiento de producto terminado

Rendimiento de Alúmina Tipo 1 (%) 6.0 8.0 6.2



40%

28%

50%

522


Proceso de esmaltado:

Planta D E

Costo de procesamiento ($/ton de alúmina) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 8,500 6,000 10,000 5,200 3,700 6,350

Capacidad de procesamiento de alúmina (ton/año) 4,000 7,000

Costos fijos de operación ($/año) 6,500,000 8,000,000

Se asume que la demanda ocurre en las plantas de esmaltado. La demanda anual de aluminio terminado y el precio unitario de venta se ha estimado de acuerdo con las siguientes proyecciones:

Planta D E

Demanda Mínima

Demanda Máxima

Precio de Venta

(ton/año)

(ton/año)

($/ton aluminio)

1,000 1,000

1,300 1,500

$ 60,000 $ 57,000

Costos de transporte en $/ton de bauxita: DE

HACIA

B 1 400 10 1,630

j= i=

A B C

1 2 3

C 2 2,010 630 10

D 3 510 220 620

E 4 1,920 1,510 940

Costos de transporte de la alúmina, en $/ton de alúmina (independiente del tipo de alúmina): DE

HACIA k=

j=

B C D E

1 2 3 4

D 1 220 620 0 1,465

E 2 1,510 940 1,615 0

Los lingotes de producto terminado pueden transportarse entre las plantas D y E y viceversa. Se pueden utilizar los mismos fletes dados en la tabla anterior (entre D y E y viceversa) en $/ton de producto terminado. Formule un modelo de optimización entero-mixto para determinar la mejor configuración de la cadena de abastecimiento presentada, de tal forma que se maximice la utilidad neta de la compañía. Determine los tipos de alúmina que deben producirse y sus cantidades y, en general, todos los flujos. Implemente el modelo en AMPL y resuélvalo con la versión


523

estudiantil (puede bajarla de www.ampl.com) o por Internet mediante el NEOS Server. Note que el problema es totalmente abierto para determinar cuáles minas deberían continuar siendo explotadas y cuáles plantas de alúmina y de esmaltado deberían continuar funcionando. Realice finalmente los siguientes análisis de sensibilidad (Analice cada punto en forma independiente de los demás, partiendo de la solución óptima inicialmente obtenida): a) Si se obliga a que la MINA A sea explotada, ¿Qué porcentaje disminuye la utilidad total? b) Si la demanda mínima de producto terminado a satisfacer en la planta de esmaltado D fuera de 1,200 ton/año, ¿Por qué, a pesar de aumentar la demanda satisfecha, disminuye la utilidad total? c) Si se obliga a que la planta de esmaltado D permanezca operando, analice la nueva solución óptima obtenida. d) Haga algún cambio razonable en los datos de tal forma que la producción de la alúmina tipo 2 sea rentable. 2. El caso siguiente es una simplificación de un caso real resuelto en Centro América. Una industria productora de papeles de impresión localizada en Centro América utiliza tres proveedores de materia prima, ubicados en San Salvador, Tegucigalpa y Managua. La compañía opera dos plantas manufactureras en El Salvador y Tegucigalpa y despacha dos productos terminados hacia centros de distribución (zonas de consumo) ubicados en El Salvador, Santa Ana, San Miguel, Tegucigalpa, San Pedro Sula, Managua y ciudad de Guatemala. La figura ilustra la cadena de abastecimiento bajo consideración:

SAL STA SAL TEG

SMI SAL

MAN

TEG SPE

TEG

MAN GUA

La empresa está tratando de reconfigurar su cadena de abastecimiento y ha considerado los precios de venta y los siguientes costos en el análisis, a un horizonte de tiempo de un año:


524

    

Precio de venta por producto por zona de consumo Costos fijos en plantas manufactureras Costos variables de producción en cada planta Costos de materia prima (incluyendo transporte y relacionados) Costos de transporte de productos terminados entre las plantas y los centros de distribución

Los costos de distribución propios de cada región no se consideran inicialmente y se han dejado para una posterior extensión y refinamiento del análisis. Se desea saber cuál de las dos plantas manufactureras debe continuar operando o si es conveniente mantener en operación ambas plantas. Igualmente, se sospecha que hay productos que no es rentable venderlos en ciertas zonas. Formule un modelo de programación lineal entera–mixta que le permita definir la configuración óptima de la cadena y todos los flujos de materia prima y productos terminados, para maximizar la utilidad neta total. Resuélvalo utilizando AMPL e identifique el producto o productos no rentables y las zonas correspondientes. Se ha recolectado la siguiente información, la cual se da directamente en un formato parecido a AMPL por facilidad. Analice detenidamente cada uno de los parámetros, haciendo énfasis en las unidades de medida que se dan. Note que este es un modelo multiproducto: HORAS/TON CONSUMIDAS POR CADA PROVEEDOR CUANDO PRODUCE Y DESPACHA CADA MATERIA PRIMA:

PROV_SALVADOR PROV_TEGUCIGALPA PROV_MANAGUA

MATP1

MATP2

MATP3

0.50 0.60 0.80

0.70 0.75 0.65

0.15 0.25 0.35

HORAS/TON CONSUMIDAS EN CADA PLANTA CUANDO PRODUCE CADA PRODUCTO TERMINADO:

PL_SALVADOR PL_TEGUCIGALPA

PROD1

PROD2

0.29 0.35

0.42 0.48

DEMANDA DE CADA PRODUCTO TERMINADO EN CADA ZONA DE CONSUMO EN TON/AÑO:

EL_SALVADOR STA_ANA SAN_MIGUEL TEGUCIGALPA SAN_PEDRO

PROD1

PROD2

2800 875 2250 1950 550

3500 1100 950 2000 0


MANAGUA GUATEMALA

850 350

525

1750 1575

PRECIO DE VENTA DE CADA PRODUCTO TERMINADO EN CADA ZONA DE CONSUMO EN $/TON: PROD1

PROD2

160 165 190 180 280 320 240

200 210 230 300 360 330 270

EL_SALVADOR STA_ANA SAN_MIGUEL TEGUCIGALPA SAN_PEDRO MANAGUA GUATEMALA

:=

COSTOS FIJOS DE CADA PLANTA SI SE ABRE ($/AÑO): PL_SALVADOR PL_TEGUCIGALPA

500000 750000

COSTOS VARIABLES DE PRODUCCIÓN EN CADA PLANTA POR PRODUCTO TERMINADO EN $/TON: PROD1

PROD2

80 65

120 135

PL_SALVADOR PL_TEGUCIGALPA

CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE CADA PLANTA MANUFACTURERA EN HORAS/AÑO: PL_SALVADOR PL_TEGUCIGALPA

7800 8600

COSTO DE CADA MATERIA PRIMA DESDE CADA PROVEEDOR HACIA CADA PLANTA, INCLUYENDO FLETES Y RELACIONADOS ($/TON): [Desde PROV_SALVADOR]: PL_SALVADOR PL_TEGUCIGALPA [Desde PROV_TEGUCIGALPA]: PL_SALVADOR PL_TEGUCIGALPA [Desde PROV_MANAGUA]: PL_SALVADOR

MATP1

MATP2

MATP3

12 25

15 25

17 28

MATP1

MATP2

MATP3

30 16

32 17

38 20

MATP1

MATP2

MATP3

40

48

52

526


PL_TEGUCIGALPA

35

37

41

CANTIDAD DE MATERIA PRIMA NECESARIA PARA PRODUCIR CADA PRODUCTO TERMINADO (El punto “.” significa que esta materia prima NO se necesita para manufacturar dicho producto y es válido utilizarlo en AMPL si así se ha definido en los conjuntos)(TON DE MATERIA PRIMA/TON DE PRODUCTO TERMINADO). Note igualmente que la suma de materias primas es exactamente igual a 1.00 porque NO se tienen en cuenta las pérdidas de masa por el efluente. En un modelo más real esto debería considerarse. PROD1 PROD2

MATP1 0.35 0.30

MATP2 0.45 .

MATP3 0.20 0.70

CAPACIDAD DE CADA PROVEEDOR EN HORAS/AÑO: PROV_SALVADOR PROV_TEGUCIGALPA PROV_MANAGUA

7500 7250 7000

FLETES DE PRODUCTOS TERMINADOS POR PLANTA Y POR ZONA DE CONSUMO EN $/TON: [Desde PL_SALVADOR]: EL_SALVADOR STA_ANA SAN_MIGUEL TEGUCIGALPA SAN_PEDRO MANAGUA GUATEMALA [Desde PL_TEGUCIGALPA]: EL_SALVADOR STA_ANA SAN_MIGUEL TEGUCIGALPA SAN_PEDRO MANAGUA GUATEMALA

PROD1

PROD2

12 18 38 90 105 128 63

10 15 32 80 90 110 58

PROD1

PROD2

51 61 29 10 35 56 89

45 54 26 8 31 49 80

Por otra parte, realice los siguientes análisis de sensibilidad, considerando cada uno de ellos independiente de los demás, es decir, siempre parta del modelo originalmente resuelto: a) Si se obliga al modelo a satisfacer toda la demanda, determine el nuevo valor de la función objetivo y el porcentaje de penalización por hacerlo. ¿Cambia la configuración óptima de la cadena? b) Obligue al modelo a abrir la planta de Tegucigalpa, dejándole libertad de abrir o no la de El Salvador y permitiendo que no se satisfaga la demanda total. Analice la nueva solución óptima obtenida. Repita el análisis si ahora se desea satisfacer la demanda total.


527

c) Obligue ahora al modelo a que ambas plantas estén abiertas, transformándose así en un modelo de programación lineal continua. Resuélvalo dejándole la libertad de satisfacer o no la demanda total y luego resuélvalo obligándolo a que satisfaga la demanda total. ¿Por qué cree usted que en este caso las dos soluciones óptimas coinciden? d) Para considerar las pérdidas por el efluente se plantea la siguiente fórmula de materias primas: PROD1 PROD2

MATP1 0.45 0.40

MATP2 0.50 .

MATP3 0.23 0.72

Resuelva el modelo de nuevo con este cambio y analice su impacto sobre la función objetivo y sobre la configuración óptima de la cadena.

12.3

EL PROBLEMA DE LOS PRECIOS DE TRANSFERENCIA EN CADENAS DE ABASTECIMIENTO INTERNACIONALES

12.3.1

Introducción al tema

Un precio de transferencia (PT) es el precio que un departamento, división o subsidiaria de una compañía (el vendedor) carga por un producto o servicio vendido o prestado a otro departamento, división o subsidiaria de la misma empresa (el comprador) [Abdallah (1989)]. De acuerdo con múltiples autores, la determinación de los PT internacional es, por una parte, uno de los más complejos, controvertidos y significativos problemas que las empresas multinacionales y transnacionales han enfrentado y enfrentan actualmente y por la otra, es una función de la empresa que afecta profundamente casi todas las operaciones de negocios de la empresa e incluso puede afectar la habilidad de la compañía para lograr sus objetivos fundamentales [O‘Connor (1997), Vidal (1998), Vidal y Goetschalckx (2001), Goetschalckx et al. (2002), Abdallah (2004), Rosenthal (2008), Vidal y Goetschalckx (2008)]. Este problema es tan importante que incluso los más recientes artículos sobre el tema lo reconocen así [Perron et al. (2009)]. El problema específico es determinar los PT de tal forma que se satisfagan las metas de negocio de la empresa, se respeten todas las regulaciones vigentes y que los indicadores de desempeño sean justos y equitativos para la corporación global y para todas las subsidiarias y divisiones de la organización. Existen dos metodologías que son ampliamente aceptadas por las autoridades y comprendidas y utilizadas por las organizaciones. La primera, denominada la del principio de ‗longitud de brazo‘ (arm’s length principle), consiste en que se fijan los PT como si el comprador fuera externo a la empresa; esta es ampliamente aceptada. La segunda se basa en costos internos y puede, por ejemplo, determinarse con base en los costos de producción (variables), multiplicando éstos por un factor previamente acordado. De acuerdo con O‘Connor (1997), la fijación de PT puede tener varios objetivos para la organización, como son: 

Satisfacer requisitos legales y tributarios


528

     

Producir el máximo retorno después de impuestos debido a la minimización de impuestos y aranceles a nivel global Producir un marco de referencia imparcial para medir el desempeño de todas las subsidiarias involucradas y mejorar su motivación Transferir dinero internacionalmente Minimizar el riesgo por tasas de cambio fluctuantes Evitar controles de cambio y cuotas Incrementar el retorno proveniente de alianzas estratégicas

Uno de los objetivos más controversiales de los PT es el de producir el máximo retorno global después de impuestos para la organización. En el pasado, muchas organizaciones utilizaron los PT como una herramienta muy agresiva para lograr este propósito y sacar partido de las tasas diferenciales de impuestos entre los países. Actualmente, y debido a fuertes regulaciones al respecto, hay mucho menos flexibilidad para la fijación de PT. Lo importante, sin embargo, es que existe siempre un rango dentro del cual una organización se puede mover para fijar dichos precios y es aquí donde la optimización se convierte en una herramienta clave para lograr el objetivo mencionado. Existe una estrecha relación entre los PT y la localización global de una empresa. Siempre se ha pensado que los PT son un problema meramente contable, pero en realidad representan una decisión significativa desde el punto de vista de la logística, la cadena de abastecimiento y la localización internacional. Abdallah (2004) resalta que las decisiones sobre PT tienen un gran impacto sobre las operaciones globales de una empresa, afectando directamente sus ingresos y utilidades y todas sus funciones, tales como manufactura, mercadeo, administración y finanzas. Killian (2006, p. 1073) menciona que ―hay evidencia que las firmas multinacionales pueden administrar ganancias, fijar precios de transferencia, o relocalizar instalaciones en respuesta a cambios e incentivos de impuestos. El impacto que estas acciones tienen sobre el ambiente en el cual ellas operan y sobre los lugares que deciden dejar vacantes no ha sido aún estudiado extensivamente.‖ Por ejemplo, una empresa puede estar exportando productos a distribuidores externos en cierto país y no tiene presencia de producción o almacenamiento propios en dicho país. En este caso, la empresa fija sus precios de venta a los terceros con base en precios de mercado. Se ha identificado la oportunidad de crear un centro de distribución en el país destino para distribuir productos desde allí. Evidentemente, ahora la empresa no exportará más a mayoristas en el país, sino que transferirá productos desde sus plantas hacia el nuevo CD, desde el cual se hará la distribución local en dicho país. Entre estas dos configuraciones existe la diferencia de que la última requiere la determinación de PT entre las plantas y el nuevo CD, con lo cual la decisión de localización se combina con la decisión financiera o contable de fijar PT adecuados. Algo semejante ocurre cuando se está estudiando dónde ubicar una nueva planta manufacturera, ya que ésta muy probablemente exportará sus productos hacia centros de distribución propios de la empresa ubicados en otros países. 12.3.2

Definición del problema de precios de transferencia

Se va a ilustrar a continuación, mediante un caso muy simple, en qué consiste el problema de los PT. Vamos a hacerlo a través de un ejemplo numérico adaptado de Vidal (1998).


529

Ejemplo 12.2 (Definición del problema de determinación de precios de transferencia) Consideremos la Figura 12.5. La subsidiaria A es la productora y está ubicada en el país A. La subsidiaria B es distribuidora, le compra a la subsidiaria A y vende y distribuye los productos en el país B. La corporación global está formada por las dos subsidiarias A y B.

A

x, t

B País B

País A

La Corporación Global Figura 12.5. El problema de los precios de transferencia entre dos subsidiarias Sean: x t

= =

Flujo de cierto producto entre A y B, unidades Precio de transferencia al cual se vende el producto, $/unidad (en este ejemplo se asume que todas las cifras monetarias están dadas en dólares US$) Tasa de impuestos

Ingreso neto antes de impuestos

Figura 12.6. Función de la tasa de impuesto de renta a considerar en el Ejemplo 12.2 La Figura 12.6 muestra la función de la tasa de impuesto de renta a considerar para este ejemplo. Si el ingreso neto antes de impuestos es menor ó igual que cero, entonces la empresa no paga impuesto alguno. Si dicho ingreso es mayor que cero, la empresa paga una tasa porcentual fija sobre el ingreso neto antes de impuestos. No se consideran posibles créditos y deducciones que se puedan generar cuando el ingreso netos antes de impuestos de la empresa sea menor que cero, es decir, cuando se haya producido pérdidas. Esta función es válida para las dos subsidiarias consideradas en el ejemplo. Aunque la función mostrada es relativamente simple, representa la realidad para muchas empresas a partir de cierto nivel de ingreso neto antes de impuestos. En algunos países

530


pueden existir funciones más complejas, como por ejemplo las que contienen varias tasas progresivas para ciertos niveles de ingresos, pero a partir de ciertos valores de ingreso neto antes de impuestos, la función mostrada es válida. Considerar funciones más complejas puede ser motivo de investigación en este tema. Tabla 12.1. Estado de pérdidas y ganancias simplificado para las subsidiarias A y B y para la corporación global cuando x = 20,0000 unidades y t = 11, 12 y 13 $/unidad (Ejemplo 12.2) DETALLE

(Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 53) SUBSIDIARIA SUBSIDIARIA A B

CORPORACIÓN GLOBAL

(Precio de transferencia t = $11/unidad) Ventas: 20,000 u @ $11/u 20,000 u @ $20/u  costos variables ($7/u)  costo de adquisición ($)  Aranceles (12%)  Costos fijos ($) Ingreso neto antes de Imp.  Impuestos (34% y 50%) Ingreso neto después de Impuestos ($)

220,000 400,000 140,000

400,000 140,000

20,000 60,000 20,400

220,000 26,400 120,000 33,600 16,800

26,400 140,000 93,600 37,200

39,600

16,800

56,400


240,000 400,000 140,000

20,000 80,000 27,200 52,800

400,000 140,000

240,000 28,800 120,000 11,200 5,600

28,800 140,000 91,200 32,800

5,600

58,400


260,000 400,000 140,000

400,000 140,000

20,000 100,000 34,000

260,000 31,200 120,000 11,200 0

31,200 140,000 88,800 34,000

66,000

11,200

54,800


531

La subsidiaria A va a transferir x = 20,000 unidades del producto y vamos a analizar el efecto de la variación del precio de transferencia t de 11 a 13 $/unidad. La Tabla 12.1 ilustra un estado de pérdidas y ganancias (PyG) simplificado para cada una de las subsidiarias y para la corporación global, para cada uno de los tres precios de transferencia considerados (Abdallah (1989) y O‘Connor (1997) presentan tablas similares para el análisis del impacto de los precios de transferencia sobre la utilidad neta total después de impuestos de corporaciones globales). De acuerdo con la Tabla 12.1, se asumen los siguientes parámetros para este ejemplo: Precio de venta del producto en la subsidiaria B Costos variables de la subsidiaria A Aranceles pagados por la subsidiaria B Costos fijos de la subsidiaria A Costos fijos de la subsidiaria A Tasa de impuesto de renta país subsidiaria A Tasa de impuesto de renta país subsidiaria B

= = = = = = =

20 $/unidad 7 $/unidad 12% sobre el valor CIF $20,000 $120,000 34% 50%

Es importante aclarar que los costos variables en la subsidiaria A incluyen un flete de 1 $/unidad, pagado por ésta misma. En un ambiente internacional es muy importante definir quién paga los fletes, ya que esto afecta el ingreso neto después de impuestos en cada país involucrado. La venta de las 20,000 unidades del producto a un precio unitario de, por ejemplo, 11 $/unidad representa un ingreso para la subsidiaria A de $220,000, mientras que para la subsidiaria B este es un costo de compra o adquisición del producto. Sin embargo, para la corporación global esto es transparente, puesto que esta transferencia interna se anula. Por ello, el PyG simplificado de la corporación global solamente contiene los costos variables, los aranceles y los costos fijos de ambas subsidiarias. Para un precio de transferencia t = 11, 12 y 13 $/unidad, el ingreso neto después de impuestos de la corporación global es igual a $56,400, $58,400 y $54,800, respectivamente. Nótese que para t = 13 $/unidad, la subsidiaria B empieza a tener ingreso neto antes de impuestos negativo, o sea que empieza a dar pérdidas. Por este motivo, la utilidad neta de la corporación global decrece de $58,400 a $54,800. Como la función de ingreso neto después de impuestos es continua, es entonces evidente que entre t = 11 $/unidad y t = 13 $/unidad existe un valor que produce la máxima utilidad neta después de impuestos, cuando se transfieren 20,000 unidades de producto. Más adelante demostraremos que el valor óptimo del precio de transferencia para este flujo es t* = 12.5 $/unidad con una utilidad máxima de $59,400 para la corporación global. Este resultado ilustra tres hechos muy importantes. Primero, si los límites originales del precio de transferencia t dados, por ejemplo, por regulaciones tributarias fuesen 11 (límite inferior) y 13 (límite superior) $/u, es claro que el óptimo no necesariamente coincide con uno de los dos límites. Esto será fundamental posteriormente para diseñar algoritmos de solución de problemas más complejos. Segundo, nótese que el intervalo [11, 13] es relativamente estrecho, pues podemos decir que los precios de transferencia son iguales a 12  1 $/unidad, es decir, un cambio absoluto de 1 en 12 representa el 8.33%. En otras palabras, estos rangos estrechos se presentan en la realidad debido a posibles regulaciones estrictas de las autoridades de impuestos. Tercero, tal vez el más importante, cambios pequeños en los precios de transferencia pueden generar aumentos significativos en el ingreso neto después de impuestos


532

de las corporaciones globales. Por ejemplo, si la corporación por algún motivo hubiese fijado el PT en 13 $/unidad, una reducción de tan solo el 3.85% en este precio (al valor óptimo de 12.5 $/unidad) hubiese producido un aumento en la utilidad neta después de impuestos de la corporación global del 8.40% ($59,400 contra $54,800). Este sencillo ejemplo ilustra la importancia de fijar adecuadamente los PT. 12.3.3

Un caso más general de precios de transferencia

Los resultados del ejemplo anterior son válidos para un flujo x = 20,000 unidades. Vamos ahora a analizar lo que ocurre si se cambia este flujo y si se deja en forma general para cualquier x. De los temas pasados es claro que los flujos en la cadena de abastecimiento son variables de decisión muy importantes; ahora estas variables se combinan con las variables de decisión de los PT, produciéndose como veremos modelos matemáticos no-lineales. Tabla 12.2. Caso general para cualquier flujo x y cualquier precio de transferencia t correspondiente al Ejemplo 12.2 (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 55) DETALLE

SUBSIDIARIA A

SUBSIDIARIA B

CORPORACIÓN GLOBAL

20x

20x

Ventas: x @ t $/u

tx

x @ 20 $/u  Costos variables (7 $/u)

7x

7x

 Costos de compra

tx

 Aranceles (12%)

0.12tx

0.12tx

20,000

120,000

140,000

(t  7)x  20,000

(20  1.12t)x  120,000

(13  0.12t)x  140,000

0.34(t  7)x  6,800

0.5(20 1.12t)x  60,000

0.34(t  7)x + 0.5(20  1.12t)x  66,800

0.66(t  7)x  13,200

0.5(20  1.12t)x  60,000

0.66(t  7)x + 0.5(20  1.12t)x  73,200

 Costos fijos Ingreso neto antes de impuestos  Impuestos (34% and 50%)

Ingreso neto después de impuestos

La Tabla 12.2 muestra el caso general correspondiente al ejemplo de la Tabla 12.1 para cualquier flujo x y para cualquier precio de transferencia t. Dado que los impuestos dependen del ingreso neto antes de impuestos y que la función representada en la Figura 12.6 no es continua, se deben analizar cuatro regiones disjuntas de


533

acuerdo con el ingreso neto antes de impuestos de cada subsidiaria. Estas cuatro regiones son las siguientes: 0.1 tx + 5.38x 73,200

si (t  7)x  20,000  0 y (20  1.12t )x  120,000  0

(12.1)

0.46tx + 15.38x 133,200 si (t  7)x  20,000  0 y (20  1.12t )x  120,000 < 0

(12.2)

0.44tx + 3x  80,000

si (t  7)x  20,000 < 0 y (20  1.12t )x  120,000  0

(12.3)

si (t  7)x  20,000 < 0 y (20  1.12t )x  120,000 < 0

(12.4)

0.12tx +13x 140,000

Para ilustrar, obsérvese que la expresión (12.1) corresponde a los ingresos netos después de impuestos para la corporación global después de simplificar algebraicamente (Tabla 12.2), siempre y cuando ambas subsidiarias tengan un ingreso neto antes de impuestos no negativo, o sea que ambas no den pérdidas. Para mayor claridad, ilustremos el origen de la expresión (12.2). En este caso asumimos que la subsidiaria A no presenta pérdidas, pero la subsidiaria B sí. Por lo tanto, el impuesto sólo aplica para la primera. De esta forma, el ingreso neto después de impuestos para la corporación global sería igual al ingreso neto después de impuestos para la subsidiaria A más la pérdida que está dando la subsidiaria B. Esto se puede expresar de la siguiente forma (Ver Tabla 12.2): Ingreso neto después de impuestos (A): 0.66(t  7)x  13,200 = 0.66tx  4.62x  13,200 Ingreso neto después de impuestos (B): (20  1.12t)x  120,000 =  1.12tx + 20x  120,000 Por lo tanto, el ingreso neto después de impuestos para la corporación global sería la suma de las dos expresiones anteriores, es decir, igual a 0.46tx + 15.38x  133,200, lo que corresponde a la expresión (12.2). Las expresiones (12.3) y (12.4) se pueden derivar de manera análoga. A partir de las expresiones (12.1) a (12.4) es posible entonces generar una gráfica de, por ejemplo, el ingreso neto después de impuestos de la corporación global en función del precio de transferencia t, dado el flujo x. La Figura 12.7 muestra el resultado para varios valores del flujo x.


534

x = 20,000 x = 15,000 x = 12,000

80000

x = 8,000

A y B ganan 60000

x = 6,000

Utilidad neta después de impuestos

A gana, B pierde 40000

A pierde, B gana

20000

Precio de transferenciat

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-20000 A y B pierden -40000

-60000

-80000

-100000

-120000

Figura 12.7. Utilidad neta después de impuestos para la corporación global del Ejemplo 12.2 en función del precio de transferencia t para varios valores del flujo x La primera curva de arriba hacia abajo en la Figura 12.7 corresponde al caso cuando x = 20,000 unidades transferidas desde A hacia B, es decir al Ejemplo 12.2 (Tabla 12.1). Se puede leer de la figura que el máximo ocurre cuando t = 12.5 $/u. Otra observación importante es que se si se unen los diferentes máximos para cada valor de x, se nota la nolinealidad de la función de ingreso neto después de impuestos. Para hallar en forma analítica el valor óptimo del precio de transferencia mencionado anteriormente, vamos a considerar el siguiente modelo matemático de optimización no-lineal: Maximizar Ingreso Neto Después de Impuestos = INDI = 0.1tx + 5.38x  73,200 sujeto a: tx  7x  20,000  0 1.12tx + 20x  120,000  0 11  t  13 0  x  20,000.

(12.5)


535

En el modelo (12.5) se ha asumido que ambas subsidiarias pueden tener un ingreso neto antes de impuestos no-negativo, lo que es garantizado por las dos primeras restricciones. Igualmente, se ha acotado el precio de transferencia entre 11 y 13 $/u y el flujo se ha limitado a un máximo de 20,000 unidades. Esta última restricción en la práctica puede provenir de diferentes fuentes, como por ejemplo capacidades de diversa índole, demandas máximas, etc. Evidentemente, el modelo (12.5) es no-lineal debido al producto de variables de decisión tx. Específicamente, el modelo es del tipo bilineal, es decir, que cuando se fija el valor de una de las dos variables, el modelo remanente se vuelve lineal. Aquí, sin embargo, es posible realizar un cambio de variable que permita obtener la solución óptima del modelo. Sea y = tx. La nueva variable y representa el volumen transferido en $ desde la subsidiaria A a la B, a través del flujo de productos x a un precio de transferencia t. Con esta nueva variable, el modelo (12.5) se puede escribir así: Maximizar INDI =

0.1y + 5.38x  73,200

sujeto a: y  7x  20,000 1.12y + 20x  120,000

(12.6)

11x  y  13x 0  x  20,000, y  0.

En el modelo (12.6), la restricción original 11  t  13 se transformó a 11x  y  13x, puesto que y = tx. Aquí asumimos que se va a transferir algún flujo x > 0, ya que si éste no es el caso, entonces el problema no existiría. La solución óptima del modelo (12.6) se encuentra fácilmente, obteniéndose lo siguiente: INDI* = $59,400 y* = $250,000 x* = 20,000 unidades Y, por lo tanto, el precio de transferencia óptimo puede hallarse como: t* = y*/x* = 250,000/20,000 = 12.5 $/u. El supuesto de que ambas subsidiarias presenten un ingreso neto antes de impuestos (INAI) no-negativo puede no ser realista. Para obtener un modelo más general, se pueden definir nuevas variables. Algunos autores ya han utilizado este tipo de definición anteriormente [Nieckels (1976) y Cohen et al. (1989), entre otros posibles]. Las nuevas variables son las siguientes:

536


A = Ingreso neto antes de impuestos de la subsidiaria A ($) B = Ingreso neto antes de impuestos de la subsidiaria B ($) Dado que el INAI puede ser negativo, cero o positivo, resulta conveniente definir a A y B como variables libres, es decir, no restringidas en signo. Ahora, se puede realizar la siguiente sustitución para estandarizar todas las variables a mayores ó iguales que cero: A = A+  A, donde A+  0 y A  0

(12.7)

B = B+  B, donde B+  0 y B  0

(12.8)

Las variables A+ y B+ son variables de ingreso neto antes de impuestos positivo, es decir, que son variables de utilidad. Por el contrario, Las variables A y B son variables de ingreso neto antes de impuestos negativo, o sea variables de pérdida. Como no pueden existir simultáneamente utilidades y pérdidas, entonces la diferencia entre las dos variables modela correctamente el ingreso neto antes de impuestos. Así, en cualquier solución factible, una de las dos variables necesariamente deberá ser igual a cero. De esta forma, podemos formular el siguiente modelo, el cual considera automáticamente los cuatro casos mostrados en las expresiones (12.1) a (12.4), y es la forma general del modelo (12.6) anterior: Maximizar INDI =

0.66A+  A + 0.5B+  B

sujeto a: y  7x  A+ + A = 20,000 1.12y + 20x  B+ + B = 120,000 11x  y  13x

(12.9)

0  x  20,000 y, A+ , A , B+ , B  0

Nótese que en la función objetivo aparece el INDI, ya que se están multiplicando las variables de utilidad por un factor igual a 1 menos la tasa de impuestos. Una aparente contradicción del modelo (12.9) es el hecho de que en la función objetivo aparecen simultáneamente las variables de utilidad y de pérdida para cada subsidiaria. Sin embargo, es fácil demostrar que, en cualquier solución factible del modelo y por supuesto en la solución óptima, al menos una de las dos variables es necesariamente igual a cero [Vidal (1998), pp. 61-62]. La solución óptima del modelo (12.9) es la siguiente:


537

INDI* = $59,400 y* = $250,000 x* = 20,000 unidades A+* = $90,000; A* = 0 B+* = B* = 0 La variable A+* = $90,000 representa el INAI de la subsidiaria A, el cual, después de descontar el 34% de impuestos, produce el INDI óptimo de $59,400. En la solución óptima, la subsidiaria B no produce utilidades ni pérdidas, es decir, que tiene un INAI = 0. Nótese que la subsidiaria B se está sacrificando al no obtener utilidad alguna en función de la utilidad neta total de la corporación global. Esto, por supuesto, en la práctica muy difícilmente es aceptable y el grado de sacrificio debe ser acordado por la administración del sistema. De la misma forma, se puede encontrar el precio de transferencia óptimo como: t* = y*/x* = 12.5 $/u. 12.3.4

La consideración explícita de los costos de transporte

En el Ejemplo 12.2 se consideraron los fletes en forma implícita dentro de los costos variables que la subsidiaria A paga. Recuérdese que el costo variable de la subsidiaria A incluía un flete de 1 $/u. Una muy buena oportunidad de optimización puede existir cuando este no es el caso, sino que se deja libertad que los fletes sean asumidos por la subsidiaria origen, por la subsidiaria destino, o incluso en forma compartida. En otras palabras, en la práctica, una misma empresa podría tener la opción de fijar los términos de la transacción internacional o INCOTERMS. Desde este punto de vista, un elemento que también se vuelve fundamental para las decisiones es el arancel o impuesto de importación y cómo éste es cargado. Lo más común es que el arancel se cargue en la subsidiaria destino con base en el precio CIF, es decir, el que incluye el flete, los seguros y costos relacionados. Por este motivo, asumiremos de ahora en adelante que el arancel se paga en el destino con base en el valor CIF de los bienes transferidos. Una forma de modelar entonces la decisión de quién asume el flete es definir una variable continua p = proporción del flete asumido por la subsidiaria origen (0  p  1). La definición de la variable p con base en el origen es arbitraria, ya que la proporción del flete que le toca al destino es por supuesto igual a 1 – p. La Tabla 12.3 muestra el P&G resumido general para cualquier precio de transferencia t y para cualquier flujo x, involucrando la decisión de asignación de fletes a través de la variable de decisión p. Otros parámetros y variables que se encuentran en la tabla mencionada son las siguientes: C = D =

Costo de transporte o flete entre A y B ($/u) Arancel cargado al valor CIF del producto en B (%)


538

FA FB IA IB M p V

= = = = = = =

Costos fijos de la subsidiaria A ($) Costos fijos de la subsidiaria B ($) Tasa de impuesto de renta en la subsidiaria A (%) Tasa de impuesto de renta en la subsidiaria B (%) Valor de mercado o precio de venta del producto en B ($/u) Proporción del flete pagado por la subsidiaria A (0  p  1) Costos variables en A exceptuando los fletes ($/u)

Tabla 12.3. P&G general para cualquier flujo x y cualquier precio de transferencia t considerando la decisión de asignación de fletes entre la subsidiaria origen y la destino (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 70) DETALLE

SUBSIDIARIA A

SUBSIDIARIA B

CORPORACIÓN GLOBAL

x @ M $/u

Mx

Mx

 Costos de compra

tx

Ventas: x @ t $/u

tx

 Fletes (C $/u)

Cpx

 Otros costos variables (V $/u)

Vx

C(1  p)x

Vx

 Aranceles (D% sobre el valor CIF)

D(t + C)x

D(t + C)x

FA

FB

FA + F B

(t  Cp  V)x  FA

{[M  (1 + D)C]  (1 + D)t + Cp}x  FB

(M  C  V  Dt)x  (FA + FB)

IA(t  Cp  V)x  I A FA

IB[(M  C)  (1 + D)t + Cp)]x  IB FB

(IA )(t  Cp  V)x + (IB){[M  (1 + D)C]  (1 + D)t + Cp}x  (IAFA + IBFB)

(1  IA)(t  Cp  V)x  (1  IA)FA

(1  IB){[M  (1 + D)C]  (1 + D)t + Cp)}x  (1  IB)FB

(1  IA)(t  Cp  V)x + (1  IB){[M  (1 + D)C]  (1 + D)t +Cp}x  [(1  IA)FA + (1  IB)FB]

 Costos fijos Ingreso Neto Antes de Impuestos (INAI)  Impuestos

Ingreso Neto Después de Impuestos (INDI)

Cx

En forma análoga al modelo (12.9), se pueden definir las siguientes variables para el INAI: A B Tl

= = =

tx  Cpx  Vx  FA = A+ A [M  (1 + D) C]x  (1 + D)tx + Cpx  FB = B+ B Límite inferior del precio de transferencia t


Tu Xmax y z

= = = =

539

Límite superior del precio de transferencia t Límite superior del flujo a transferir entre A y B tx px

La nueva variable de decisión z permite linearizar el término px y representa el flujo total de productos cuyo flete es pagado por la subsidiaria A. De esta forma, podemos formular el siguiente modelo. Maximizar INDI =

(1  IA)A+ A + (1  IB)B+ B

sujeto a: y  Cz  Vx  A+ + A = FA (1 +D)y + Cz + [M (1 + D)C]x  B+ + B = FB Tl x  y  Tu x

(12.10)

0zx 0  x  Xmax y, A+, A, B+, B  0

Tomando los mismos valores dados en el Ejemplo 12.2, discriminando los costos variables en la subsidiaria A como 1 $/u para fletes y 6 $/u para otros costos variables, es decir, para: C = D = FA = FB = IA = IB = M = V = Tl = Tu = Xmax =

1 $/u 12% $ 20,000 $ 120,000 34% 50% 20 $/u 6 $/u 11 $/u 13 $/u 20,000 unidades

Se obtiene la siguiente solución óptima para el modelo (12.10): INDI* = $59,400 y* = $230,000


540

x* = 20,000 unidades z* = 0 A+* = $90,000; A* = 0 B+* = B* = 0 Podemos entonces inferir los valores óptimos del precio de transferencia t y de la proporción p de fletes pagada por la subsidiaria A, así: t* = y*/x* = 11.5 $/u p* = z*/x* = 0 Obsérvese que aunque el INDI óptimo es el mismo que se obtuvo cuando se consideraron los costos variables totales de 7 $/u que incluían los fletes, el precio de transferencia óptimo pasó de 12.5 a 11.5 $/u y la decisión sobre la asignación de fletes es que la subsidiaria B pague el 100% de los mismos, cuando antes éstos estaban cargados a la subsidiaria A, a través de los costos variables totales. En otras palabras, la solución óptima cambió y, por lo tanto, es importante considerar todas las decisiones para la optimización de las cadenas de abastecimiento internacionales. Otro aspecto a analizar es si se puede afirmar que la asignación óptima de fletes siempre ocurre en uno de los extremos de los límites de la variable p, es decir, si siempre una de las dos subsidiarias debe asumir totalmente el valor de los fletes. La respuesta es NO, al igual que para el precio de transferencia t. Para ello, hemos resuelto el modelo (12.10) con los mismos valores anteriores, pero con tres variaciones: M = 16 $/u, Tl = 8 $/u y Tu = 10 $/u. Obviamente, se trata de otro ejemplo, pero produce los valores óptimos mostrados en la Tabla 12.4, los cuales demuestran que existen soluciones óptimas únicas para algunos valores del arancel D que producen soluciones fraccionales para la proporción p en el interior del intervalo [0, 1]. Por ejemplo, si D = 17.5% (caso No. 4), se obtiene una solución óptima única con p* = 57.5%. Es decir, que la subsidiaria A debería pagar el 57.5% de los fletes y la subsidiaria B el 42.5% restante para maximizar el INDI de la corporación global. Tabla 12.4. Soluciones óptimas obtenidas para el modelo (12.10) con M = 16 $/u, Tl = 8 $/u y Tu = 10 $/u, para varios valores del arancel D

a

(Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 72) INDI* t* A+* A* p*

B+*

B*

0

0

0

21,818

0

0

0

0.125

17,500

0

0

0

8.00

0.575

8,500

0

0

0

2,640

8.00

0.800

4,000

0

0

0

0.225

500

8.00

1.000

0

0

0

500

7

0.250

5,000

8.00

1.000

0

0

0

5,000

8

0.300

14,000

8.00

1.000

0

0

0

14,000

No.

D

1

0.000

26,400

9.00

0.000

40,000

2

a

0.100

14,400

8.09

0.000

3

a

0.125

11,550

8.00

4

a

0.175

5,610

5a

0.200

6

Solución óptima ÚNICA.


541

En conclusión, existen oportunidades de optimización cuando se consideran como variables de decisión tanto los precios de transferencia como también la asignación de costos de transporte entre filiales de la misma empresa.

12.4

FORMULACIÓN DE MODELOS REALES Y DESCRIPCIÓN DE ALGUNOS CASOS APLICADOS

12.4.1

Un modelo de optimización de una cadena global con precios de transferencia y asignación de costos de transporte (tema opcional)

A continuación se describe un modelo matemático de optimización no-lineal para una cadena de abastecimiento global, el cual considera precios de transferencia de materias primas desde algunos proveedores internos y de productos terminados. Se resume aquí el modelo de Vidal (1998, pp. 77-102). Todos los elementos descritos en las secciones anteriores son aplicados en este modelo. Este modelo se presenta en este texto para que el lector asimile la mayoría de los elementos que un modelo susceptible de ser aplicado en la vida real puede contener. Para un curso básico de logística, se sugiere al lector posponer la lectura de esta sección. La Figura 12.8 ilustra la cadena de abastecimiento que se va a modelar. Los proveedores están clasificados en dos grupos: proveedores internos, los cuales pertenecen a la misma empresa y proveedores externos. Desde los primeros se envían partes y componentes para ensamble en las plantas manufactureras, utilizando precios de transferencia. A los segundos se les compra con base en precios de mercado. W País 2 S

S

C

W

C

M

W

C

M

W

País 1 S S

C C

País 3 País 4

C

S = Proveedores M = Plantas manufactureras W = Centros de distribución C = Clientes

Figura 12.8. Cadena de abastecimiento global considerada en la cual se consideran precios de transferencia y asignación de costos de transporte Luego de realizar los ensambles, las plantas manufactureras envían los productos terminados a varios centros de distribución ubicados en diferentes países, utilizando un

542


segundo conjunto de precios de transferencia, pero en esta ocasión de productos terminados. Finalmente, los productos son distribuidos desde los centros de distribución hacia los clientes finales. Algunos supuestos importantes de este modelo son los siguientes:   

 



   



La estructura de la organización permite que las decisiones sobre precios de transferencia sean centralizadas. El modelo es de un solo período y comprende varias materias primas y productos terminados (red multi-producto). Se asume que la configuración actual de la cadena va a permanecer, es decir, que no hay decisiones de localización de nuevas instalaciones. Por lo tanto, el problema de optimización determina los flujos óptimos, los precios de transferencia óptimos para partes y componentes y para productos terminados y la forma óptima de asignar los costos de transporte entre proveedores y plantas y entre éstas y los centros de distribución. Como se trata de un modelo de maximización de utilidades después de impuestos, la demanda de cada producto para cada cliente puede o no ser satisfecha. Es decir, que se utilizan restricciones de demanda de . Todos los precios de transferencia tienen un límite inferior y uno superior, basados en factores aplicados a los costos de producción, los cuales pueden incluir cierto margen. Igualmente, los PT podrían estar basados en precios de mercado, según sea el caso. El rango de variación de cada precio de transferencia se considera válido para efectos legales y no constituye ninguna violación a las normas tributarias vigentes de cada país. Los precios de transferencia se consideran en forma independiente de los fletes y de la asignación de éstos a la subsidiaria origen y a la subsidiaria destino. Por este motivo, estos precios de transferencia, denominados precios de transferencia base, deberían ser los mismos desde cada origen, independientemente del destino. Esto le agrega cierto grado de complejidad al modelo como se verá más adelante. El país que importa paga aranceles basándose en los precios FOB ó CIF, según sea el caso. En otras palabras, ambas casos pueden ser modelados. Para simplificar el modelo, no se consideran flujos entre plantas, entre CDs o entre plantas y clientes directamente. Sin embargo, incluir estos flujos constituye una extensión simple del modelo. La propia cadena de abastecimiento de los proveedores internos no se considera. A cambio, se incluyen los costos variables y fijos de los proveedores internos de tal forma que se pueda calcular su correspondiente utilidad antes y después de impuestos. El modelo considera costos de inventario en tránsito, costos de inventario cíclico y costos de inventario de seguridad con base en ciertas simplificaciones que se explican más adelante. De esta forma, el modelo determina el mejor modo de transporte entre cada par de nodos de la red, lo cual está explícitamente incluido en las variables de decisión. La naturaleza de las partes y componentes y de los productos terminados se considera relativamente uniforme, de tal forma que los fletes expresados en $/unidad de peso son básicamente los mismos para cada producto.

La formulación completa del modelo es la siguiente.


543

Conjuntos e índices C= C(k) = M= Mc= Mf=

M(p) = M(i) = P= P(j) = P(r) = R= R(i) = R(j) = S= S’ = S’(j) = S’’ = S’’(j) = S(r) = T= T(i, j) = T(j, k) = T(k, l) = W= W(l) = Wc= Wf=

Conjunto de clientes o zonas de mercado, indexado por l. Conjunto de clientes que pueden ser servidos por el CD k  W. Conjunto de plantas manufactureras, indexado por j. Conjunto de plantas manufactureras localizadas en países donde los aranceles se cargan con base en el valor CIF de los productos importados; M c M. Conjunto de plantas manufactureras localizadas en países donde los aranceles se cargan con base en el valor FOB de los productos importados; M f  M, M c M f = M, M c M f = . Conjunto de plantas manufactureras que pueden producir el product terminado p  P; M(p)  M. Conjunto de plantas manufactureras que utilizan al menos una parte o componente suministrada por el proveedor i  S; M(i)  M. Conjunto de productos terminados, indexado por p. Conjunto de productos que pueden producirse en la planta j; P(j)  P. Conjunto de productos que usan r  R como materia prima; P(r)  P. Conjunto de materias primas, partes o componentes (denominado ―materias primas‖), indexado por r. Conjunto de materias primas que pueden ser suministradas por el proveedor i  S; R(i)  R. Conjunto de materias primas que la planta j  M puede necesitar; R(j)  R. Conjunto de proveedores, indexado por i. Conjunto de proveedores internos de la compañía; S’  S. Conjunto de proveedores internos de la compañía que pueden enviar al menos una materia prima a la planta j  M; S’(j) S’. Conjunto de proveedores externos; S’’ S, S’ S’’ = , S’ S’’ = S. Conjunto de proveedores externos que pueden enviar al menos una materia prima a la planta j  M; S’’(j)  S’’. Conjunto de proveedores que pueden suplir la materia prima r  R ; S(r)  S. Conjunto de modos de transporte, indexado por m. Conjunto de modos de transporte disponibles entre el proveedor i  S y la planta j  M; T(i, j)  T. Conjunto de modos de transporte disponibles entre la planta j  M y el CD k  W; T(j, k)  T. Conjunto de modos de transporte disponibles entre el CD k  W y la zona de mercado l  C(k); T(k, l)  T. Conjunto de CDs, indexado por k. Conjunto de CDs que pueden servir la zona de consumo l  C. Conjunto de CDs localizados en países donde los aranceles se cargan con base en el valor CIF de los productos importados; W c  W. Conjunto de CDs localizados en países donde los aranceles se cargan con base en el valor FOB de los productos importados; W f  W, W c W f = W, W c W f = .

544


Parámetros Por facilidad de interpretación del modelo, todos los parámetros se definen en letras mayúsculas. Air =

Bjp = CSF = Dlp = DUTYijr = DUTYjkp = Ei, Ej, Ek, El =

FIXSUi = FIXPLj = FIXDCk = H=

HANDCkp = LTPWjkm = LTSPijm =

LTWMklm = MINPROn =

MPRICElp =

Unidades de consumo de recursos del proveedor i  S cuando despacha la materia prima r  R(i); [unidades de recurso/unidad de r]. Las unidades de recurso mencionadas aquí pueden ser unidades de tiempo. Unidades de consumo de recurso de la planta j  M cuando manufactura el producto terminado p  P(j); [unidades de recurso/unidad de p]. Factor para calcular el inventario promedio para el costo de mantenimiento de inventario cíclico [adimensional]. Demanda proyectada del producto terminado p  P en la zona de mercado l  C; [unidades de p/unidad de tiempo]. Tasa de impuesto de importación o arancel de la materia prima r  R(i)  R(j), enviada desde el proveedor i  S hacia la planta j  M(i). Tasa de impuesto de importación o arancel del producto terminado p  P(j), despachado desde la planta j  M hacia el CD k  W. Tasa de cambio del país del proveedor i  S, la planta j  M, el CD k  W, y la zona de mercado l  C, respectivamente; [unidades monetarias del respectivo país/dólar]. Costos fijos del proveedor interno i  S’ ; [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor i por unidad de tiempo]. Costo fijo de la planta j  M ; [unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j por unidad de tiempo]. Costo fijo del DC k  W; [unidades monetarias del país donde está ubicado el DC k por unidad de tiempo]. Tasa de costo de mantenimiento del inventario dada en $/($  unidad de tiempo) (expresada en unidades de tiempo consistentes con aquéllas de los tiempos de tránsito definidos más adelante) [generalmente dada en $/$  año]. Costos de manejo del producto terminado p  P en el CD k  W; [unidades monetarias del país donde está ubicado el CD k/unidad de p]. Tiempo promedio de reposición desde la planta j  M hacia el CD k  W, usando el modo de transporte m  T(j, k); [unidades de tiempo]. Tiempo promedio de reposición desde el proveedor interno i  S’ hacia la planta j  M(i), usando el modo de transporte m  T(i, j); [unidades de tiempo]. Tiempo promedio de reposición desde el CD k  W hacia la zona de mercado l  C(k), usando el modo de transporte m  T(k, l); [unidades de tiempo]. Utilidad mínima razonable de la subsidiaria n (proveedor interno, planta ó CD); [unidades monetarias del país correspondiente/unidad de tiempo] (Estos parámetros deberían ser ajustados detenidamente por la administración). Precio de Mercado o precio de venta del producto terminado p  P en la zona de mercado l  C; [unidades monetarias del país donde está ubicada la zona de mercado l/unidad de p].


545

Costo de producción del producto terminado p  P(j) en la planta j  M (excluyendo los costos de las materias primas, ya que son considerados aparte); [unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j /unidad de p]. PCAPj = Capacidad de producción de la planta j  M para manufacturar los productos P(j) para el período bajo estudio; [unidades de recurso/unidad de tiempo]. PROCijmr = Costo de adquisición (incluyendo fletes, seguros y costos relacionados, pero excluyendo aranceles) de la materia prima r  R(i)  R(j), despachada desde el proveedor externo i  S’’ hacia la planta j  M(i), mediante el modo de transporte m  T(i, j); [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor externo i/unidad de r]. Qrp = Cantidad de materia prima, o parte o componente r necesaria para manufacturar o ensamblar una unidad de producto terminado p  P(r); [unidades de la materia prima r /unidad de p]. SCi = Capacidad del proveedor i  S para suministrar las materias primas R(i) para el período bajo estudio; [unidades de recurso/unidad de tiempo]. SHIPINTijm = Intervalo de tiempo entre despachos de materias primas desde el proveedor interno i  S’ hacia la planta j  M(i), mediante el modo de transporte m  T(i, j); [unidades de tiempo (generalmente en días)]. SHIPINTjkm = Intervalo de tiempo entre despachos de productos terminados desde la planta j  M hacia el CD k  W, mediante el modo de transporte m  T(j, k); [unidades de tiempo (generalmente en días)]. SHIPINTklm = Intervalo de tiempo entre despachos de productos terminados desde el CD k  W hacia la zona de consumo l  C(k), mediante el modo de transporte m  T(k, l); [unidades de tiempo (generalmente en días)]. SSFPjp = Factor de inventario de seguridad para el producto terminado p  P(j) en la planta j  M. SSFSir = Factor de inventario de seguridad para la materia prima r  R(i) en el proveedor interno i  S’. SSFWkp = Factor de inventario de seguridad del producto terminado p  P en el CD k  W. SUPCir = Costos variables de producción de la materia prima r  R(i) del proveedor interno i  S’ (incluyendo los fletes desde sus propios proveedores, impuestos y aranceles y todos los costos relacionados); [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor i/unidad de r]. TAXi, TAXj, TAXk = Tasa de impuesto de renta corporativa (%)del país donde está ubicado el proveedor interno i  S’, la planta j  M, y el CD k  W, respectivamente. l u TPPLDC jp, TPPLDC jp = Límite inferior y superior del precio de transferencia del producto terminado p  P(j), enviado desde la planta j  M hacia cualquier CD en W; [unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j/unidad de p]. l u TPSUPL ir, TPSUPL ir = Límite inferior y superior del precio de transferencia de la materia prima r  R(i), despachada desde el proveedor interno i  S’ hacia PCjp =

546


TRCPWjkm =

TRCSPijm =

TRCWMklm =

VCir = VPjp = VPkp = Wp = Wr =

cualquier planta en M(i); [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor interno i/unidad de r]. Costo de transporte por unidad de peso (sin incluir aranceles) de productos terminados enviados desde la planta j  M hacia el CD k  W, usando el modo de transporte m  T(j, k); [unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j/unidad de peso]. Costo de transporte por unidad de peso (sin incluir aranceles) de materias primas enviadas desde el proveedor interno i  S’ hacia la planta j  M(i), usando el modo de transporte m  T(i, j); [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor interno i/unidad de peso]. Costo de transporte por unidad de peso (sin incluir aranceles) de productos terminados enviados desde el CD k  W hacia la zona de mercado l  C(k), usando el modo de transporte m  T(k, l); [unidades monetarias del país donde está ubicado el CD k/unidad de peso]. Valor de la material prima r  R(i), dado en unidades monetarias del país del proveedor interno i  S’ por unidad de r. Valor del inventario del producto terminado p  P(j), dado en unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j  M por unidad de p. Valor del inventario del producto terminado p  P, dado en unidades monetarias del país donde está ubicado el CD k  W por unidad de p. Peso unitario del producto terminado p  P; [unidades de peso/unidad de p]. Peso unitario de la materia prima r  R; [unidades de peso/unidad de r].

Variables de decisión Por facilidad de interpretación del modelo, todas las variables de decisión se definen en letras minúsculas. ibtpcj = ibtpfj = ibtsi = ibtwck = ibtwfk = [Nota:

Ingreso neto antes de impuestos de la planta j  M c; [$/unidad de tiempo]. Ingreso neto antes de impuestos de la planta j  M f; [$/unidad de tiempo]. Ingreso neto antes de impuestos del proveedor interno i  S’; [$/unidad de tiempo]. Ingreso neto antes de impuestos del CD k  W c; [$/unidad de tiempo]. Ingreso neto antes de impuestos del CD k  W f; [$/unidad de tiempo]. Las variables de decisión anteriores son variables no-restringidas en signo, ya que el ingreso neto antes de impuestos puede ser positivo, negativo ó cero (recordar las variables A y B de los modelos de la sección anterior). Por lo tanto, cada una de estas variables se reemplaza por la diferencia entre una variable de utilidad y una variable de pérdida, ambas mayores ó iguales que cero, tal como se hizo con las variables A+ y A y B+ y B en la sección anterior. Por ejemplo, el conjunto de variables libres ibtpcj (j  M c) genera los conjuntos de variables nonegativas ibtpcj+ (j  M c) y ibtpcj- (j  Mc)].


547

propwjkm = Proporción de fletes de productos terminados enviados desde la planta j  M hacia el CD k  W, utilizando el modo de transporte m  T(j, k), pagados por la planta j. prospijm = Proporción de fletes de materias primas despachadas desde el proveedor interno i  S’ hacia la planta j  M(i), usando el modo de transporte m  T(i, j), pagados por el proveedor interno i. sijmr = Cantidad de materia prima r  R(i)  R(j), despachada desde el proveedor i  S hacia la planta j  M(i), usando el modo de transporte m  T(i, j); [unidades de r/unidad de tiempo]. tppldcjp = Precio de transferencia del producto terminado p  P(j), despachado desde la planta j  M hacia cualquier centro de distribución en W (excluyendo fletes pues son considerados independientemente); [unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j/unidad de p]. tpsuplir = Precio de transferencia de la materia prima r  R(i), enviada desde el proveedor interno i  S’ hacia cualquier planta  M(i) (excluyendo fletes); [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor interno i/unidad de r]. wklmp = Cantidad de producto terminado p  P despachado desde el CD k  W hacia la zona de mercado l  C(k), mediante el modo de transporte m  T(k, l); [unidades de p/unidad de tiempo]. xjkmp = Cantidad de producto terminado p  P(j), producido en la planta j  M y despachado hacia el CD k  W, mediante el modo de transporte m  T(j, k); [unidades de p/unidad de tiempo]. El modelo matemático A continuación se presenta el modelo matemático completo. Para efectos de su solución que se presenta más adelante, este modelo se bautiza como P(x, t, v, p), notación que será aclarada posteriormente. MODELO P(x, t, v, p) Maximizar + + Sujeto a:

Utilidad global después de impuestos ($/año) = Utilidad después de impuestos de los proveedores internos Utilidad después de impuestos de las plantas manufactureras Utilidad después de impuestos de los centros de distribución Expresiones para el INAI de proveedores internos, plantas y CDs Capacidad de proveedores (tanto internos como externos) Capacidad de producción de plantas manufactureras Restricciones de demanda en zonas de mercado Fórmulas de materiales en plantas Ecuaciones de balance de flujos en CDs Utilidad mínima aceptable para proveedores internos, plantas y CDs (opcional) Límites de precios de transferencia Límites de proporciones de asignación de fletes Restricciones obvias para todas las variables del modelo


548

Maximizar: Utilidad después de impuestos de proveedores internos:

 1  TAX  ibts i

iS 

 i

 ibts i



Utilidad después de impuestos de plantas manufactureras:



 1  TAX ibtpc j

jM

 j

  1  TAX ibtpf

 ibtpc j 

j

jM

c

 j

 ibtpf j



f

Utilidad después de impuestos de CDs: 

 1  TAX  ibtwc k

 k

  1  TAX  ibtwf

 ibtwc k 

k W c

k

k W

 k

 ibtwf k



(12.11)

f

Sujeto a: Expresión para el ingreso neto antes de impuestos de proveedores internos: 1  tpsuplir  SUPCir  prospijmTRCSPijmWr  sijmr jM ( i ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei   VCir H    LTSPijm  (CSF ) SHIPINTijm  SSFS ir LTSPijm sijmr     Ei  jM ( i ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j ) 

 





1    FIXSU i  ibts i  ibts i  Ei 



i  S

(12.12)

Expresión para el ingreso neto antes de impuestos de plantas localizadas en países donde los aranceles se cargan al valor CIF de los productos importados:  1   tppldc jp  PC jp  propw jkmTRCPW jkmW p  x jkmp   kW mT ( j ,k ) pP ( j )  E j   VP H       jp  LTPW jkm  CSF  SHIPINT jkm  SSFPjp LTPW jkm x jkmp  E  kW mT ( j ,k ) pP ( j )  j   1    tpsuplir 1  DUTYijr   1  prospijm  DUTYijr TRCSPijmWr sijmr     iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei 

  







 1   1    PROCijmr 1  DUTYijr  sijmr    FIXPL j E  iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei   j    ibtpc j  ibtpc j jMc 

 





(12.13)

Expresión para el ingreso neto antes de impuestos de plantas localizadas en países donde los aranceles son cargados al valor FOB de los productos importados:


549

 1   tppldc jp  PC jp  propw jkmTRCPW jkmW p  x jkmp   kW mT ( j ,k ) pP ( j )  E j   VP H       jp  LTPW jkm  CSF  SHIPINT jkm  SSFPjp LTPW jkm x jkmp  E  kW mT ( j ,k ) pP ( j )  j   1   tpsuplir 1  DUTYijr   1  prospijm TRCSPijmWr sijmr     iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei   1   PROCijmr 1  DUTYijr   DUTYijrTRCSPijmWr sijmr     iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei 

  











 1  E  j



  FIXPL j  ibtpf j  ibtpf j  

jM

f

(12.14)

Expresión para el ingreso neto antes de impuestos de CDs localizados en países donde los aranceles son cargados al valor CIF de los productos importados:  1   1   MPRICE lp wklmp       HANDCkp  TRCWM klmW p wklmp lC ( k ) mT ( k ,l ) pP  l  lC ( k ) mT ( k ,l ) pP  E k   VPkp H   LTWM klm  CSF  SHIPINTklm  SSFWkp LTWM klm wklmp      Ek  lC ( k ) mT ( k ,l ) pP 



    E







 1    tppldc jp 1  DUTYjkp   1  propw jkm  DUTYjkp TRCPW jkmW p x jkmp   jM mT ( j ,k ) pP ( j )  E j   1     FIXDC k  ibtwc k  ibtwc k k W c  Ek  

 





(12.15)

Expresión para el ingreso neto antes de impuestos de CDs localizados en países donde los aranceles son cargados al valor FOB de los productos importados:  1   1   MPRICE lp wklmp       HANDCkp  TRCWM klmW p wklmp lC ( k ) mT ( k ,l ) pP  l  lC ( k ) mT ( k ,l ) pP  E k   VPkp H   LTWM klm  CSF  SHIPINTklm  SSFWkp LTWM klm wklmp      Ek  lC ( k ) mT ( k ,l ) pP 



    E







 1    tppldc jp 1  DUTYjkp   1  propw jkm TRCPW jkmW p x jkmp   jM mT ( j ,k ) pP ( j )  E j   1     FIXDC k  ibtwf k  ibtwf k k W f  Ek  

 

Capacidad de proveedores:





(12.16)

550


 

A s

ir ijmr jM ( i ) mT ( i , j ) rR ( i )  R ( j )

 SCi

iS

(12.17)

jM

(12.18)

Capacidad de producción de plantas manufactureras:

  B

k W mT ( j , k ) pP ( j )

jp

x jkmp  PCAPj

Restricciones de demanda en zonas de mercado:

 w

k W ( l ) mT ( k , l )

klmp

 Dlp

l  C, p  P

(12.19)

j  M , r  R( j )

(12.20)

k W , p  P

(12.21)

Fórmulas de materiales en plantas:

 

Q

rp k W mT ( j , k ) pP ( r )  P ( j )

x jkmp 

 s

ijmr iS ( r ) mT ( i , j )

Restricciones de balance de flujos en CDs:

 x

jkmp jM ( p ) mT ( j , k )



 w

lC ( k ) mT ( k , l )

klmp

Utilidad mínima aceptable para proveedores internos, plantas y CDs (opcional): Utilidad neta antes de impuestos (ibtwck+, por ejemplo)  MINPROn n  S’, M ó W (12.22) Límites de los precios de transferencia:

TPSUPLlir  tpsuplir  TPSUPLuir

i  S , r  R(i)

TPPLDC ljp  tppldc jp  TPPLDC ujp

j  M , p  P( j )

(12.23)

Límites de las proporciones para asignar costos de transporte:

0  prospijm  1

i  S , j  M (i), m  T (i, j )

0  propwjkm  1

j  M , k W , m  T ( j, k )

(12.24)

Restricciones obvias: sijmr  0

i  S , j  M (i ), m  T (i, j ), r  R(i )  R( j )

x jkmp  0

j  M , k  W , m  T ( j , k ), p  P( j )

wklmp  0

k  W , l  C (k ), m  T (k , l ), p  P

Todas las variables de utilidad y de pérdida  0

(12.25)


551

Descripción de los componentes del modelo matemático La función objetivo (12.11) incluye el ingreso neto después de impuestos de los proveedores internos, las plantas manufactureras y los CDs, expresadas como el remanente después de impuestos de las variables de utilidad menos las variables de pérdida. Recuérdese que en una solución óptima al menos una de las variables de cada pareja (utilidad, pérdida) debe ser igual a cero. Las restricciones (12.12) a (12.16) son las igualdades que aseguran las expresiones correctas para calcular el ingreso neto antes de impuestos en cada localidad, incluyendo a proveedores internos, plantas manufactureras y CDs. Estas restricciones consideran las diferencias si los aranceles se cargan al valor FOB o al valor CIF de las materias primas o de los productos terminados que se importan. Para ilustrar, a continuación se aclara cada término de la expresión para el ingreso neto antes de impuestos de plantas manufactureras donde los aranceles son cargados sobre el valor CIF de las materias primas importadas:  1   tppldc jp  PC jp  x jkmp (Ventas menos costos de producción )   kW mT ( j ,k ) pP ( j )  E j   VPjp H   LTPW jkm  CSF  SHIPINT jkm  SSFPjp LTPW jkm x jkmp (Costos de inventario)      E  kW mT ( j ,k ) pP ( j )  j   1        propw jkmTRCPW jkmW p x jkmp (Fletes hacia los CDs)   kW mT ( j ,k ) pP ( j )  E j  1   tpsuplir 1  DUTYijr  sijmr (Costos de compra a proveedore s internos)     iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei 

  





1  1  prospijm TRCSPijmWr sijmr (Fletes desde los proveedore s internos) iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei  1   DUTYijrTRCSPijmWr sijmr (Expresión que aparece cuando los aranceles se cargan al valor CIF)     iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei  

 



 1   PROCijmr 1  DUTYijr  sijmr (Costo de compra a proveedore s externos) iS  ( j ) mT ( i , j ) rR ( i ) R ( j )  Ei   1     FIXPL j (Costo fijo de la planta) E   j  ibtpc j  ibtpc j jMc 

 



(12.26) En las expresiones (12.26), el ingreso de la planta son las ventas que ésta hace a los CDs, a un valor igual a cada precio de transferencia para cada producto factible de ser producido en dicha planta, sumando todos los productos, todos los flujos salientes hacia los CDs y por todos los modos de transporte. Los costos totales en la expresión (12.26) comprenden los siguientes: 

Costos de producción.


552

      

Costos de inventario (explicados más adelante). La proporción de los costos de transporte desde las plantas hacia los CDs asignados a las primeras. El costo de compra de componentes suministrados por los proveedores internos, incluyendo los aranceles sobre el precio de transferencia base. La proporción de costos de fletes desde los proveedores internos que son asignados a la planta. Los aranceles cargados sobre los costos de transporte desde los proveedores internos, ya que estos impuestos son cargados sobre el valor CIF de los productos importados. El costo de compra de componentes suministrados por proveedores externos, incluyendo aranceles sobre el valor CIF, dado que el parámetro PROCijmr, definido anteriormente, incluye los fletes. Costos fijos de la planta.

Para los proveedores externos, plantas y CDs en general (aranceles cargados en el valor FOB ó CIF), la explicación de cada término es análoga a la anterior y está muy relacionada con las expresiones de la Tabla 12.3. Costos de inventario. Vidal y Goetschalckx (2000a) desarrollan las ecuaciones aproximadas utilizadas en cada una de las expresiones (12.12) a (12.16) para los costos de inventario. Nótese que, por facilidad de formulación, se han utilizado los tiempos de reposición aguas abajo en la cadena, siguiendo una metodología semejante al concepto de tiempo de reposición de escalón (echelon lead time) que se menciona en la Sección 6.6 [Simchi-Levi et al. (2003, pp. 67-68)]. Sin embargo, para considerar también los tiempos de reposición aguas arriba, los parámetros relacionados con tiempos de reposición deberían contener un factor de corrección promedio para dichos tiempos. Recordando las Ec. (5.36) y (5.37) y dado que este modelo asume demanda aproximadamente estable y se concentra en el conflicto entre los fletes y el tiempo de reposición, estas expresiones para este caso se pueden escribir como:

E(w)  E ( LT )  D

ˆ w  D  ˆ LT

(12.27) (12.28)

El inventario de seguridad puede definirse entonces como:

IS  SSF  ˆ LT  D

(12.29)

Donde SSF fue definido como el factor de seguridad en la sección de parámetros (es decir, nuestro conocido factor k). En este modelo, el factor de seguridad es fijado por la administración de acuerdo con el nivel de servicio deseado y la demanda está representada por las variables de flujo del modelo. La estimación de la desviación estándar del tiempo de reposición ˆ LT depende de su distribución probabilística. Algunos autores han aplicado la distribución gamma para modelar inventarios con tiempo de reposición aleatorio [Por ejemplo, Tyworth et al. (1996), Yeh (1997)]. Dependiendo de cada distribución probabilística en


553

particular, la expresión para el inventario de seguridad varía. Por ejemplo, si el tiempo de reposición sigue una distribución exponencial, entonces su desviación estándar es igual a su valor esperado. Si el tiempo de reposición sigue una distribución gamma con parámetro 1, entonces su desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de su valor esperado. Así, el inventario de seguridad puede modelarse como: IS  SSF  E( LT )  D

(Tiempo de reposición exponencial)

IS  SSF  E ( LT )  D IS  SSF  CV  E(T )  D

(Distribución gamma con parámetro = 1) (Cualquier distribución probabilística a la cual se le pueda estimar su coeficiente de variación CV)

Dado que la distribución gamma ha sido ampliamente utilizada, se escogió para este modelo y esa es la explicación de las expresiones para los costos de inventario de seguridad que aparecen en las Ec. (12.12) a (12.16). En cuanto al inventario cíclico y al inventario en tránsito, se utilizan las siguientes expresiones muy conocidas: Inventario cíclico = CSF  SHIPINT  D Inventario en tránsito = E LT   D

(12.30) (12.31)

Donde los parámetros CSF y SHIPINT ya fueron definidos en la sección de parámetros del modelo como el factor del inventario cíclico (igual a 0.5 en la mayoría de los casos por el factor Q/2) y el tiempo entre despachos sucesivos, respectivamente. Las restricciones de capacidad de proveedores (12.17) y de plantas (12.18) son las normales que se han explicado anteriormente. Las restricciones de demanda (12.19) están definidas como desigualdades de  y, por lo tanto, la demanda de algún producto para alguna zona de mercado podría no necesariamente satisfacerse, especialmente debido a que no es rentable hacerlo. Esto puede ser muy útil para identificar productos y/o clientes para los cuales no se justifica satisfacer su demanda. Igualmente, si hay en la cadena alguna disrupción, como por ejemplo una huelga de algún proveedor o un problema de capacidad en alguna planta, el modelo así planteado identifica las demandas que debería satisfacerse bajo las condiciones de recursos escasos. Las restricciones de fórmulas de materias primas y balance en CDs (12.20) y (12.21), respectivamente ya han sido explicadas en secciones anteriores. Es importante destacar que este modelo se ha formulado pensando en una empresa de ensamble y, por lo tanto, los desperdicios pueden ser despreciables. Las restricciones (12.22) que establecen la utilidad mínima razonable en cada instalación pueden ser muy importantes desde el punto de vista administrativo, ya que expresan lo mínimo que cada instalación está dispuesta a obtener de utilidad. El valor por defecto es cero. Es importante notar que si estas restricciones se activan con algún valor mínimo positivo, entonces las variables de pérdida respectivas deben borrarse del modelo para evitar inconsistencias. Los límites de los precios de transferencia representados en las restricciones (12.23) son muy importantes ya que establecen su rango de factibilidad. En general, este rango debe ser los suficientemente angosto como para que sea aceptado por las autoridades tributarias. Por

554


ejemplo, un rango de 5% sobre un valor base podría ser ampliamente aceptado y, sin embargo, su optimización puede producir incrementos significativos de los ingresos netos después de impuestos. Finalmente, las restricciones (12.24) se explican por sí solas, al igual que las restricciones obvias (12.25) del modelo. Es importante notar en la definición de los conjuntos que se han utilizado algunos conjuntos inducidos, los cuales son subconjuntos de otros conjuntos ya definidos. Esto puede ser muy útil para modelar diversos aspectos en la vida real, especialmente cuando se utiliza un lenguaje como AMPL para resolver el modelo. Además, el acotar la definición de los conjuntos puede reducir el tamaño de los modelos. Por ejemplo, consideremos las siguientes variables de decisión definidas anteriormente: sijmr =

Cantidad de materia prima r  R(i)  R(j), despachada desde el proveedor i  S hacia la planta j  M(i), mediante el modo de transporte m  T(i, j); [unidades de la materia prima r/unidad de tiempo].

Obsérvese que estas variables están definidas sólo para aquéllas materias primas que pueden ser suplidas por el proveedor origen y que pueden ser utilizadas por la planta destino [conjunto R(i)  R(j)] y sólo para aquéllos modos de transporte disponibles entre el proveedor y la planta [conjunto T(i, j)]. Si estas variables fuesen definidas para todas las materias primas, para todas las plantas destino y para todos los modos de transporte, habría que obligar a muchas de ellas a ser iguales a cero, incrementando el tamaño del modelo desde un comienzo sin mucho sentido. Algo semejante ocurre cuando un proveedor no puede suministrar alguna materia prima o una planta no produce ciertos productos terminados. En estos casos es mejor definir el modelo con estas condiciones desde un comienzo, en lugar de llenar de ceros a las matrices y que se vuelvan muy dispersas. Así también se evita tiempo de solución adicional cuando los solucionadores realizan el preprocesamiento de los datos. Finalmente, como este modelo no tiene limitada la capacidad de los modos de transporte, estos se podrían seleccionar a priori para cada enlace de la cadena y así simplificar el modelo. El criterio principal de selección podría ser el conflicto de costos entre fletes y costos de mantenimiento del inventario (Sección 10.2). Sin embargo, se prefiere dejar así para mayor generalidad. Estructura matricial del modelo El modelo P(x, t, v, p) tiene una función objetivo lineal [(12.11)], un conjunto de restricciones lineales [(12.17) a (12.25)] y un conjunto de restricciones no-lineales (bilineales) [(12.12) a (12.16)]. Por lo tanto, corresponde a un problema de optimización no convexa, el cual puede ser clasificado como ‗duro‘ de resolver o completo (NP-Hard). Esto significa que no se conoce un algoritmo que lo pueda resolver en tiempo polinomial de acuerdo con su tamaño y que probablemente dicho algoritmo no exista. Así, es necesario desarrollar métodos heurísticos para aproximar su solución óptima. La notación P(x, t, v, p) se deriva del hecho que el modelo incluye el vector de variables de flujo x, el vector de variables de precios de transferencia t, el vector de variables de utilidad y de pérdida v y el vector de variables de proporción para la asignación de costos de transporte p. Dado que de ahora en adelante hablaremos de vectores y matrices, se utiliza para ellos


555

letras en cursiva y en negrilla, contrario a la notación de un escalar o número real, el cual sólo va en letra cursiva. El modelo P(x, t, v, p) tiene la siguiente estructura general:

M odelo P( x , t , v , p) M ax d 0T v s. a : crT x  d rT v  x T Ar t  x T Br p  f r ;

r  1,2,..., m

Cx  b

(12.32)

Tl  t  Tu 0 p1 x  0, t  0, v  0 donde: x= t= v= p= Ar (r = 1,..., m) = Br (r = 1,..., m) = C= b= cr (r = 1,..., m) = dr (r = 0, 1,..., m) = fr (r = 1,..., m) = T l, T u =

vector de flujo de materiales vector de precios de transferencia vector de variables de utilidad y de pérdida vector de proporciones para asignación de costos de transporte matriz de coeficientes de las igualdades bilineales (en x y t) matriz de coeficientes de las igualdades bilineales (en x y p) matriz de coeficientes de las restricciones relacionadas con el flujo vector del lado derecho de las restricciones relacionadas con el flujo vector de coeficientes de las variables de flujo en las igualdades bilineales vector de coeficientes de las variables de utilidad y de pérdida en las igualdades bilineales vector de costos fijos de proveedores internos, plantas y CDs vector de límites superior e inferior de precios de transferencia

Tabla 12.5. Correspondencia entre la formulación matemática del modelo P(x, t, v, p) y su representación matricial (12.32) (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 105) Formulación matemática Representación matricial Ecuaciones bilineales (12.12)-(12.16)

Ecuaciones bilineales: cr x  dr v  x Ar t  x Br p  fr ; T

T

T

T

r  1,2,..., m

Restricciones de flujo (12.17)- (12.21)

Restricciones: Cx  b

Restricciones para la utilidad mínima en cada instalación (12.22)

No se incluyen en la representación matricial

Límites de los precios de transferencia (12.23)

Restricciones: T l  t  T u

Límites de las proporciones (12.24)

Restricciones: 0  p  1

Restricciones obvias (12.25)

Restricciones obvias: x  0, t  0, v  0

556


Las restricciones de utilidad mínima después de impuestos no fueron incluidas en esta notación matricial, ya que son opcionales. La Tabla 12.5 resume la correspondencia entre la formulación matemática del modelo y su representación matricial dada en (12.32). Para la representación de las ecuaciones bilineales se han utilizado formas cuadráticas. Vidal (1998, pp. 106-108) presenta una revisión de literatura sobre métodos de solución para problemas bilineales como el modelo P(x, t, v, p), llegando a la conclusión que, hasta esa fecha, los experimentos computacionales reportados correspondían a instancias relativamente pequeñas no comparables a las instancias reales que ocurren en problemas reales de optimización de cadenas de abastecimiento globales. Por este motivo, se describe a continuación un método heurístico primal de solución. Un método heurístico de solución para el modelo P(x, t, v, p) Así como fue posible convertir el modelo no-lineal (12.5) en un modelo lineal (12.9) o en uno lineal más general (12.10) mediante las sustituciones y = tx y z = px, en este caso se puede utilizar una estrategia semejante, teniendo en cuenta que se trata de variables multidimensionales. La primera sustitución que se va a realizar tiene que ver con las variables de proporción de asignación de costos de transporte. Dado que existe flexibilidad para definir los términos de una transacción internacional entre dos subsidiarias, las proporciones dadas por las variables propwjkm y prospijm, pueden ser diferentes desde un origen específico hacia diferentes destinos, mediante un modo de transporte específico. Por lo tanto, los términos bilineales en x y p pueden ser linearizados utilizando los siguientes cambios de variable: prospijm

W s

r ijmr rR ( i )  R ( j )

propwjkm

W x

pP ( j )

p

 zijm

jkmp

 z jkm

i  S , j  M (i), m  T (i, j )

(12.33)

j  M , k W , m  T ( j, k )

(12.34)

Estas sustituciones pueden explicarse por el hecho que las proporciones para asignar fletes no dependen del componente o del producto terminado específico ya que estos costos están agregados por unidad de peso. Por este motivo en la Ec. (12.33) se realiza la suma sobre todas las materias primas transportadas entre el proveedor interno i y la planta j y en la Ec. (12.34) la suma se realiza sobre todos los productos terminados que se transportan entre la planta j y el CD k. Así, por ejemplo, las nuevas variables zijm representan la proporción de todas las toneladas de materias primas enviadas desde el proveedor interno i hacia la planta j usando el modo de transporte m, cuyos fletes son asumidos por la subsidiaria origen, es decir, por el proveedor interno i. Mediante estas sustituciones el modelo P(x, t, v, p) se transforma en el siguiente nuevo modelo, expresado en forma matricial:


557

M odelo P ( x , t , v , z ) M ax d 0T v s. to : crT x  d rT v  x T Ar t  grT z  f r ;

r  1,2,..., m

Cx  b

(12.35)

Tl  t  Tu z  Ex  0 x  0, t  0, v  0, z  0 donde: z= gr = E=

vector de las variables zijm y zjkm (a las que denominaremos variables z, simplemente) vector de coeficientes de las variables z en las restricciones bilineales matriz de coeficientes del nuevo conjunto de restricciones

El nuevo conjunto de restricciones z  Ex  0 corresponde a los límites de las proporciones transformados, o sea que provienen de las restricciones 0  p  1 del modelo P(x, t, v, p). En forma más precisa, estas restricciones son las siguientes: 0  zijm 

W s

r ijmr rR ( i )  R ( j )

0  z jkm 

W x

pP ( j )

p

jkmp

i  S , j  M (i), m  T (i, j )

(12.36)

j  M , k W , m  T ( j, k )

(12.37)

A partir de las Ec. (12.36) y (12.37) se pueden encontrar por sustitución las proporciones originales de asignación de los costos de transporte, así:

prospijm 

zijm Wr sijmr

i  S , j  M (i), m  T (i, j )

(12.38)

z jkm Wp x jkmp

j  M , k W , m  T ( j, k )

(12.39)

r R ( i )  R ( j )

propwjkm 

pP ( j )

Si algún denominador en las Ec. (12.38) ó (12.39) es igual a cero, esto significa que no hay flujo entre las instalaciones correspondientes y, por lo tanto, las proporciones correspondientes pueden ser ignoradas. Esto es importante tenerlo en cuenta para evitar inconsistencias matemáticas en el modelo. Ahora, con respecto de los términos bilineales relacionados con los precios de transferencia, puede afirmarse lo siguiente. Si se permitiera que los precios de transferencia básicos (aquéllos que no incluyen los fletes) puedan ser diferentes desde un mismo origen hacia diferentes destinos, entonces podríamos linearizar los productos entre los flujos y los precios de transferencia de una forma semejante a la realizada anteriormente. Sin embargo, lo

558


más probable es que en la práctica una autoridad tributaria podría cuestionar por qué dichos precios son diferentes. Por este motivo, debemos utilizar una metodología diferente y en primera instancia redefinir las variables de decisión que representan los precios de transferencia. Inicialmente, vamos a suponer que los precios de transferencia base pueden ser diferentes desde cada origen hacia diferentes destinos. Así, una nueva definición de ellos es la siguiente: tpsuplijr =

Precio de transferencia de la materia prima r  R(i), enviada desde el proveedor interno i  S’ hacia la planta j  M(i) (excluyendo los fletes); [unidades monetarias del país donde está ubicado el proveedor interno i/unidad de r].

tppldcjkp =

Precio de transferencia del producto terminado p  P(j), enviado desde la planta j  M hacia el CD k  W (excluyendo fletes); [unidades monetarias del país donde está ubicada la planta j/unidad de p].

En este nuevo conjunto de variables se ha adicionado el destino como subíndice. Compare estas variables con las originalmente definidas en la sección de variables de decisión del modelo. Mediante estas nuevas variables, es posible entonces realizar las siguientes sustituciones para linearizar los términos bilineales que aún permanecen en el modelo P(x, t, v, z): tpsuplijr

s

ijmr mT ( i , j )

tppldc jkp

 yijr

x

jkmp mT ( j , k )

i  S , j  M (i), r  R(i)  R( j )  y jkp

j  M , k  W , p  P( j )

(12.40) (12.41)

La explicación de la definición de estas variables es la siguiente. Dado que los precios de transferencia base no dependen del modo de transporte, puesto que los fletes son considerados independientemente, entonces cada sumatoria se puede efectuar sobre todos los modos de transporte que unen los dos nodos respectivos. Así, las nuevas variables representadas por el vector y representan la cantidad de dinero transferida desde cada origen hacia cada destino mediante el despacho de materias primas o productos terminados al precio de transferencia respectivo. Por ejemplo, las variables yijr representan la cantidad de dinero transferida desde el proveedor interno i hacia la planta j por el despacho de la materia prima r al precio de transferencia tpsuplijr mediante todos los modos de transporte que se utilicen entre dichos nodos. Es también importante notar que los límites inferior y superior de los precios de transferencia también deben redefinirse para que concuerden con la definición de las nuevas variables en (12.40) y (12.41). Así, para que el nuevo problema sea equivalente al problema original P(x, t, v, p), los límites se redefinen como:


TPSUPLlijr  TPSUPLlir

i  S , r  R(i )  R( j ),  j  M (i )

TPSUPLuijr  TPSUPLuir

i  S , r  R(i )  R( j ),  j  M (i )

TPPLDC ljkp  TPPLDC ljp

j  M , p  P( j ),  k  W

TPPLDC ujkp  TPPLDC ujp

j  M , p  P( j ),  k  W

559

(12.42)

Ahora, algo fundamental es que para que el nuevo problema sea equivalente al problema original P(x, t, v, z), se requiere que aseguremos que el precio de transferencia base de cada origen sea exactamente igual para todos los destinos. Esto, por supuesto, reintroduce restricciones no-lineales en el modelo, pero con la ventaja que éstas se pueden relajar como un mecanismo de encontrar un límite superior en el valor de la función objetivo. Estas nuevas restricciones son las siguientes: yijnr

s

ijn mr mT ( i , jn )

y jkn p

x

yijn1r

=

s

i  S , r  R(i )  R( j ), jn and jn1  M (i ), n  1,..., M (i )  1

ijn 1mr mT ( i , jn 1 )

=

jkn mp mT ( j ,kn )

y jkn1 p

x

(12.43) j  M , p  P( j ), k n and k n1  W , n  1,..., W  1

jkn 1mp mT ( j ,kn 1 )

Las restricciones (12.43) deben ser válidas para todas las posibles combinaciones de jn y jn+1, y de kn y kn+1. Estas restricciones pueden representarse en forma matricial como xTFq y = 0, q = 1, 2,..., h, y, por lo tanto, son restricciones bilineales. Así, el nuevo modelo sería el siguiente:

M odelo P( x, y, v , z ) M ax d 0T v s. a : crT x  d rT v  erT y  grT z  f r ;

r  1,2,..., m

Cx  b Dl x  y  Du x z  Ex  0 x T Fq y  0;

q  1,2,..., h (restricciones a ser relajadas)

x  0, y  0, v  0, z  0

(12.44)

donde: y = er =

vector de las variables y definidas en (12.40) y (12.41) vector de coeficientes de las variables y en las igualdades bilineales

Las nuevas restricciones D l x  y  D u x provienen de los límites originales de los precios de transferencia T l  t  T u en el modelo P(x, t, v, z), y están dadas por:

560


TPSUPLlijr

s


TPPLDC ljkp

 yijr  TPSUPLuijr

s


 x jkmp  y jkp  TPPLDC ujkp

mT ( j ,k )

 x jkmp

i  S , j  M (i ), r  R(i )  R( j ) j  M , k  W , p  P( j )

(12.45)

mT ( j ,k )

Se puede demostrar que dada una solución óptima (x*, y*, v*, z*) del modelo P(x, y, v, z), entonces una solución óptima para el modelo P(x, t, v, z) se puede obtener de la siguiente forma: tpsuplijr =

yijr

i  S , j  M (i ), r  R(i )  R( j )

s


i  S , para todo j  M (i ), r  R(i )  R( j )

tpsuplir  tpsuplijr

tppldc jkp =

y jkp

x

(12.46)

j  M , k  W , p  P( j )

jkmp mT ( j , k )

tppldc jp  tppldc jkp

j  M , para todo k  W , p  P( j )

(12.47)

Si alguno de los denominadores en las expresiones (12.46) ó (12.47) es igual a cero, entonces significa que no hay flujo entre los nodos dados y, por lo tanto, el precio de transferencia carece de interés. Esto evita algunas inconsistencias que pudieran presentarse. Para el desarrollo de un método heurístico de solución adecuado del modelo P(x, t, v, z) se necesita generar un límite superior sobre la solución que se obtenga. De acuerdo con el desarrollo anterior, si en el modelo P(x, y, v, z) dado en (12.44) ignoramos o relajamos las restricciones xTFq y = 0, q = 1, 2,..., h, las cuales aseguran la igualdad de los precios de transferencia base desde un mismo origen hacia todos los destinos y resolvemos el modelo lineal remanente, obtenemos entonces un límite superior del problema original P(x, t, v, p). Vamos a bautizar al modelo relajado como PR(x, y, v, z). Un método heurístico de solución por programación lineal sucesiva El modelo P(x, t, v, z) es bilineal y es equivalente al modelo original P(x, t, v, p) puesto que cualquier solución del primero se puede transformar a una solución del segundo mediante las expresiones (12.38) y (12.39). Así, si fijamos el vector x en el modelo P(x, t, v, z), entonces el modelo remanente es lineal en t. Igualmente, si fijamos el vector t en el modelo mencionado, entonces el modelo remanente es lineal en x. Por lo tanto, un método natural de solución sería fijar uno de los dos vectores, resolver óptimamente para el otro, tomar estos valores óptimos de nuevo como fijos, resolver para el primero, y así sucesivamente hasta que se llegue a un óptimo local del modelo P(x, t, v, z). El proceso se puede parar cuando la máxima diferencia, por ejemplo, entre dos valores sucesivos de los precios de transferencia sea menor que una tolerancia especificada  ( = 10–5 trabaja adecuadamente). La Figura 12.9 muestra el método heurístico diseñado. La notación P(x, t, v, z | x) y P(x, t, v, z | t) significa que se fijan los valores del vector de flujos x o del vector de precios de transferencia t, respectivamente. Nótese que si se resuelve el modelo relajado sin las


561

restricciones xTFq y = 0, q = 1, 2,..., h, pero la solución óptima satisface estas restricciones, entonces la solución es óptima para el modelo original con dichas restricciones. En caso contrario, se pasa a la fase iterativa, fijando uno de los vectores y resolviendo para el otro hasta que el criterio de convergencia o de parada se cumpla. En este caso, se logra llegar a una solución óptima local del modelo original. Para estos modelos que presentan altas relaciones no-lineales y múltiples extremos locales, es muy importante el punto de partida del proceso iterativo. Afortunadamente, en este caso la solución del modelo PR(x, y, v, z) brinda tanto el límite superior para evaluar la solución óptima alcanzada como un buen punto de partida para el proceso iterativo. Este método se aplicó a una serie de conjuntos de datos de prueba. A continuación se describen las experiencias computacionales. Resolver PR(x, y, v, z): Límite superior del problema P(x, t, v, p) y punto de inicio x0*(ó t0*)

¿Factible? [restricciones (12.43)]

Si

Solución optima de P(x, t, v, p)

Si

Solución local de P(x, t, v, p)

No Resolver P(x, t, v, z | x) [ó P(x, t, v, z | t)]

Resolver P(x, t, v, z | t) [ó P(x, t, v, z | x)]

No

¿Criterio de convergencia?

Figura 12.9. Un método heurístico primal para resolver el problema de los precios de transferencia P(x, t, v, p)

562


Experiencia computacional Para probar el modelo P(x, t, v, p) se utilizaron una serie de conjuntos de datos o instancias generadas cuidadosamente de tal forma que se asemejaran lo más posible a una situación real. Posteriormente, una extensión de este modelo fue probada en casos reales, como se describe en la Sección 12.4.2. La Tabla 12.6 muestra los diferentes conjuntos de datos que se utilizaron para probar el modelo con sus principales estadísticas. Se utilizaron dos conjuntos de datos de diferentes tamaños para observar el comportamiento del modelo. En realidad, los casos denominados ‗medianos‘ son verdaderamente casos reales, como se pudo comprobar posteriormente al aplicar una extensión de este modelo a un caso real. El número de variables de decisión y de restricciones corresponde al modelo simplificado por AMPL/CPLEX luego de realizarse el preprocesamiento del modelo con los datos. Es decir, que el número original de variables y restricciones del modelo puede incluso ser mayor. Tabla 12.6. Características de los conjuntos de datos de prueba del modelo P(x, t, v, p) (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 122) CARACTERÍSTICA CASOS PEQUEÑOS

CASOS MEDIANOS

Número total de proveedores

11

50

Número de proveedores internos

3

12

Número de plantas manufactureras

3

8

Número de centros de distribución

8

10

Número de clientes o zonas de mercado

20

80

Número de materias primas o componentes

10

35

Número de productos terminados

5

12

2.8

3.1

1,544

10,100

521

2,926

Número promedio de modos de transporte por arco de la red Número de variables de decisión Número de restricciones

Los puntos de partida para aplicar el heurístico fueron tomados de la solución óptima del problema relajado PR(x, y, v, z). De aquí se pueden tomar los flujos óptimos x0* o los precios de transferencia óptimos t0* para iniciar el procedimiento iterativo del heurístico. Otros posibles puntos de partida para los precios de transferencia son su límite inferior, su límite superior o su punto medio. Todos estos puntos de inicio se probaron para resolver el modelo. Otro punto de inicio muy interesante de probar es el que denominamos ‗la regla heurística‘ de los precios de transferencia. En la Tabla 12.3 anterior, nótese en la celda del ingreso neto después de impuestos de la corporación global que uno de sus términos es igual a [(1  IA)  (1  IB)(1 + D)]tx. Dado que tanto t como x son mayores ó iguales que cero, entonces el resultado de este término depende del valor de la expresión entre corchetes. Si (1  IA)  (1  IB)(1 + D) > 0, entonces deseamos que este término sea lo más grande posible y por lo tanto fijaríamos el precio de transferencia t igual a su límite superior. Por el contrario, si (1  IA) 


563

(1  IB)(1 + D) < 0, entonces desearíamos que este término fuera lo más pequeño posible y por lo tanto fijaríamos t en su límite inferior. Esto es lo que muy probablemente haría una empresa que no conociera mucho sobre modelos de optimización y por ello nos sirve como patrón de comparación. Tabla 12.7a. Resultados computacionales de prueba del modelo P(x, t, v, p) para las instancias pequeñas (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 126) No. 1

2

3

4

5

6

INSTANCIAS PEQUEÑASa Punto de partida % de brecha desde el límite superior Opt_Flows 1.931 Opt_TP 1.167 Heu_TP 2.006 LB_TP 2.006 UB_TP 1.888 Mid_TP 1.534 Init_Flows = 0 2.006 Init_Flows = 60,000 0.414 Opt_Flows 0.000 Opt_TP 0.000 Heu_TP 0.000 LB_TP 0.000 UB_TP 0.000 Mid_TP 0.006 Init_Flows = 0 0.000 Opt_Flows 0.492 Opt_TP 0.485 Heu_TP 0.844 LB_TP 0.844 UB_TP 0.464 Mid_TP 0.611 Init_Flows = 0 0.844 Opt_Flows 1.008 Opt_TP 0.931 Heu_TP 1.112 LB_TP 1.283 UB_TP 1.019 Mid_TP 1.118 Init_Flows = 0 1.283 Opt_Flows 3.662 Opt_TP 2.268 Heu_TP 12.240 LB_TP 12.240 UB_TP 15.275 Mid_TP 16.151 Init_Flows = 0 12.240 Opt_Flows 0.562 Opt_TP 0.552 Heu_TP 0.706 LB_TP 0.706 UB_TP 0.684 Mid_TP 0.739 Init_Flows = 0 0.706

Tiempo de solución (s) 6.61 6.46 87.73 87.73 8.42 226.24 55.93 27.11 3.80 4.45 3.94 3.94 5.67 4.12 4.72 6.95 4.79 5.94 6.51 29.88 11.76 7.87 8.36 12.03 33.13 47.25 38.60 36.57 50.07 5,553.29 6,507.61 1,364.63 1,139.90 6,287.59 2,889.05 1,271.91 7.68 7.81 25.82 27.36 18.19 17.87 37.46

No. de iteracionesb 2 2 54 54 3 220 52 23 1 2 1 1 3 2 2 2 2 4 4 29 9 5 5 8 28 40 33 31 41 4,636 4,797 949 947 10,001c 2,231 949 2 2 13 13 6 8 14


564

Tabla 12.7b. Resultados computacionales de prueba del modelo P(x, t, v, p) para las instancias medianas (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 127) No. 1

2

3

4

5

6

INSTANCIAS MEDIANASa Punto de partida % de brecha desde el límite superior Opt_Flows 0.071 Opt_TP 0.071 Heu_TP 0.062 LB_TP 0.063 UB_TP 0.079 Mid_TP 0.062 Init_Flows = 0 0.063 Opt_Flows 0.000 Opt_TP 0.000 Heu_TP 1.705 LB_TP 0.315 UB_TP 0.120 Mid_TP 0.254 Init_Flows = 0 0.315 Opt_Flows 0.193 Opt_TP 0.212 Heu_TP 3.583 LB_TP 0.991 UB_TP 0.935 Mid_TP 1.120 Init_Flows = 0 0.991 Opt_Flows 1.176 Opt_TP 0.624 Heu_TP 7.471 LB_TP 2.843 UB_TP 1.730 Mid_TP 3.129 Init_Flows = 0 2.843 Opt_Flows 1.381 Opt_TP 0.568 Heu_TP 6.839 LB_TP 9.163 UB_TP 6.355 Mid_TP 4.975 Init_Flows = 0 9.163 Opt_Flows 0.064 Opt_TP 0.060 Heu_TP 0.064 LB_TP 0.064 UB_TP 0.060 Mid_TP 0.063 Init_Flows = 0 0.064

Tiempo de solución (s) 185.03 186.55 105.51 828.65 2,771.69 1,794.72 846.31 38.90 32.04 49.05 45.71 46.39 47.00 51.01 134.06 140.84 307.93 141.67 200.54 277.93 164.16 113.10 91.17 112.75 85.92 141.01 150.34 113.88 12,966.19 22,410.60 2,943.14 18,264.02 14,721.74 21,841.52 18,096.26 109.45 106.71 106.96 824.47 3,612.42 2,277.78 844.60

No. de iteracionesb 7 7 3 44 143 93 45 1 1 2 2 2 2 3 2 2 11 3 5 8 4 2 2 3 2 4 4 3 459 1,001d 151 1,001d 721 1,001d 1,001d 3 3 3 42 206 118 43

Notas a las Tablas 12.7a y b: a Las instancias tienen la misma estructura general dada en la Tabla 12.6, pero difieren en varios parámetros, tales como demanda, tasa de impuestos y otros. Las instancias pequeñas y medianas No. 5 fueron definidas con precios de transferencia no acotados (LB = 0 y UB = Un número muy grande). b El número de iteraciones representa el número de veces que el criterio de convergencia es probado. c Proceso interrumpido después de 10,000 iteraciones (No. máximo especificado) d Proceso interrumpido después de 1,000 iteraciones (No. máximo especificado)


565

El método heurístico de la Figura 12.9 fue probado con los diversos puntos de partida descritos anteriormente. Los resultados se muestran en las Tablas 12.7a y 12.7b para las instancias pequeñas y medianas, respectivamente. Para efectos de lectura del punto de partida de los flujos x o de los precios de transferencia t en estas tablas se utilizó la siguiente notación: Opt_Flows Opt_TP Heu_TP LB_TP UB_TP Mid_TP Init_Flows

= = = = = = =

Flujos óptimos de la solución del modelo PR(x, y, v, z) PT óptimos de la solución del modelo PR(x, y, v, z) PT dados por la ‗regla heurística‘ descrita anteriormente Todos los PT fijados en su límite inferior Todos los PT fijados en su límite superior Todos los PT fijados en su punto medio [(LB + UB)/2] X (Todos los flujos fijados en el valor dado X)

El porcentaje de brecha desde el límite superior indica qué tan lejos del límite superior hallado mediante la solución del problema relajado PR(x, y, v, z) está la función objetivo de la solución local encontrada por el heurístico. Nótese que la calidad de la solución encontrada depende del punto de inicio y que, en la mayoría de los casos, la mejor solución se obtiene cuando iniciamos el proceso con los flujos óptimos o con los precios de transferencia óptimos del problema relajado. Las mejores soluciones se muestran en las filas sombreadas de las Tablas 12.7a y b. Las brechas obtenidas se consideran satisfactorias para un problema tan complejo como el resuelto con este modelo. Las instancias No. 5, tanto las pequeñas como las medianas, se diseñaron con completa libertad para los precios de transferencia. Es decir, en estos conjuntos de datos los precios de transferencia no están restringidos sino solamente por la restricción obvia de no-negatividad. Obsérvese que cuando este es el caso, es más difícil hallar una buena brecha del límite superior. Esto sin embargo no invalida el método puesto que en la vida práctica los precios de transferencia sin límite ya no existen debido a las reglamentaciones tributarias de los países. Es más, muy probablemente estos límites son cada vez más estrechos. Por otra parte, obsérvese que para las instancias No. 2, tanto la pequeña como la mediana, fue posible hallar la solución óptima, ya que la brecha entre la solución local y su límite inferior es igual a cero. Esto se debe al azar, posiblemente a los datos que dicha instancia contiene, pero no es un resultado que indique que siempre se va a obtener algo así. Una brecha del límite superior no necesariamente significa que la solución encontrada está alejada en dicho porcentaje de la solución óptima real. La brecha significa el máximo que la función objetivo de la solución local se puede alejar de la solución óptima real, pero en realidad puede estar más cerca de lo que uno piensa o puede incluso ser óptima. Por este motivo, Vidal (1998, pp. 134-182) aplicó un método de optimización global adaptado de BenTal et al. (1994) para refinar las soluciones encontradas mediante el heurístico primal descrito hasta aquí. Este método no se presenta por estar fuera del alcance de este texto. Algo para resaltar es que el método heurístico se utilizó dentro del algoritmo de optimización global para encontrar ‗buenas‘ soluciones factibles que permitieran acelerarlo. Se van a presentar los resultados del algoritmo de optimización global para efectos de comparación. Las Tablas 12.8a y 12.8b muestran los resultados de la aplicación del algoritmo de optimización global a las mismas instancias mostradas en las Tablas 12.7a y 12.7b. En las Tablas 12.8a y b la columna de brecha objetivo se refiere a lo máximo que deseamos que el proceso de optimización global dé entre la función objetivo de la mejor solución factible

566


encontrada y el mejor límite superior hallado. La brecha lograda es el valor que reporta el método después del tiempo de solución y el número de ramas analizadas. La última fila de cada instancia es la mejor brecha que se alcanzó dentro de tiempos razonables de computación. Tabla 12.8a. Resultados computacionales de prueba del modelo P(x, t, v, p) para las instancias pequeñas cuando se aplica el algoritmo de optimización global No. 1

2

(Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 167) INSTANCIAS PEQUEÑAS Brecha objetivo Brecha lograda Tiempo de solución (s)  (%)  (%) N/Aa 0.400 0.300 0.200 0.100 0.050 0.030 0.025*

0.414 (0.055)d 0.388 0.033 0.033 0.033 0.033 0.023 0.023

27.11 15.55 15.91 15.74 15.65 15.65 46.18 94.18

No. de ramas analizadasb 23 3 3 3 3 3 11 18

En este caso se halló la solución óptima (No es necesario el algoritmo global)

3

N/Aa 0.400 0.300 0.200 0.150 0.100

0.464 (0.129)d 0.384 0.288 0.167 0.136 0.091

29.88 22.11 47.97 244.03 650.59 155,082.34

29 3 7 37 100 21,455

4

N/Aa 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500* 0.400* 0.300* 0.200*

0.931 (0.252)d 0.847 0.732 0.640 0.574 0.455 0.378 0.297 0.197

12.03 115.33 163.78 255.83 523.67 485.67 798.97 23,709.59 101,883.86

8 7 11 20 31 23 40 901 5,414

5c

N/Aa 2.250* 1.750* 1.600*

2.268 (2.268)d 1.766 1.633 1.633e

6,507.61 311.85 2,183.30 25,200.00e

4,797 8 4 4e

6

N/Aa 0.500 0.400 0.300 0.200 0.150 0.100

0.552 (0.148)d 0.481 0.398 0.271 0.178 0.139 0.097

7.81 8.51 58.26 582.28 2,567.54 6,952.67 22,530.65

2 1 11 129 518 1,137 4,268


567

Tabla 12.8b. Resultados computacionales de prueba del modelo P(x, t, v, p) para las instancias medianas cuando se aplica el algoritmo de optimización global (Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 168)

No.

Brecha objetivo  (%)

1

N/Aa 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020

2

INSTANCIAS MEDIANAS Brecha lograda Tiempo de solución (s)  (%) 0.062 (0.026)d 0.059 0.045 0.037 0.029 0.024e

105.51 274.78 630.94 760.51 3,419.83 39,999.67e

No. de ramas analizadasb 3 1 4 6 25 26e

En este caso se halló la solución óptima (No es necesario el algoritmo global)

3

N/Aa 0.190 0.180 0.170 0.150 0.100*

0.193 (0.118)d 0.186 0.171 0.151 0.110 0.090

134.06 142.24 142.65 2,331.21 22,013.82 33,690.12

2 1 1 18 135 254

4

N/Aa 1.000 0.900 0.800 0.600* 0.400*

0.624 (0.405)d 0.935 0.867 0.796 0.496 0.391

91.17 138.09 1,204.15 3,015.55 430.02 7,537.98

2 1 12 28 3 59

5c

N/Aa 0.550* 0.500*

0.568 (0.568)d 0.543 0.522e

22,410.60 988.24 11,532.04e

1,001 1 9e

6

N/Aa 0.060 0.040 0.020

0.060 (0.028)d 0.042 0.032 0.028e

3,612.42 142.21 226.13 2,709.06e

206 1 2 16e

Notas a las Tablas 12.8a y b: * Casos resueltos con los PT óptimos como punto de inicio (Opt_TP) para hallar cualquier solución factible. a No aplicable a la mejor solución dada por el heurístico. b El número de ramas corresponde al número de iteraciones cuando se refiere al heurístico. c Para estas instancias, el tiempo de solución y el número de ramas analizadas depende del número de iteraciones permitidas para hallar cada solución factible dado que el incremento de la función objetivo es demasiado lento. d La verdadera brecha (%) lograda por el algoritmo heurístico primal descrito aquí se muestra entre paréntesis; se basa en el mejor límite superior hallado por el método de optimización global. e Proceso interrumpido después de transcurrido el tiempo que se muestra.

Para las instancias No. 2 el método de optimización global no aplica porque el heurístico encuentra la solución óptima probada. Por otra parte, nótese que para las instancias No. 5 (las que tienen los PT no acotados) no fue posible establecer que el heurístico produce una mejor brecha de optimalidad. Sin embargo, el algoritmo de optimización global logró mejorar las brechas originalmente logradas por el método heurístico.

568


El resultado más importante, sin embargo, son las celdas que se muestran sombreadas en las Tablas 12.8a y b. La brecha fuera del paréntesis fue la mejor que se logró inicialmente con el método heurístico (filas sombreadas de las Tablas 12.7a y b). La brecha dentro del paréntesis es la verdadera brecha que se puede demostrar que logró el algoritmo heurístico, gracias a que el algoritmo de optimización global encontró mejores límites superiores para contrastar las soluciones dadas por el heurístico. Como estos últimos son límites globales, entonces son aplicables a las soluciones halladas por el heurístico. Por ejemplo, para la instancia mediana No. 6 el heurístico encontró una brecha del 0.060% del límite superior cuando se partió de los precios óptimos de transferencia dados por el modelo relajado (Tabla 12.7b en la fila sombreada correspondiente a la instancia No. 6). Cuando a esta misma instancia se le aplicó el algoritmo de optimización global, se logró determinar que la solución originalmente encontrada por el heurístico en realidad tenía una brecha de optimalidad del 0.028% (celda sombreada para la instancia No. 6 en la Tabla 12.8b). En otras palabras, de acuerdo con estos resultados, se puede concluir que el heurístico primal basado en programación lineal produce mejores brechas de optimalidad que lo que el mismo método puede establecer. Esto es un hecho muy afortunado puesto que el heurístico es relativamente fácil de implementar en la práctica, como se muestra en la sección siguiente, y produce excelentes resultados en tiempos de computación razonables para la optimización de cadenas de abastecimiento internacionales. Un resultado impactante Tal vez uno de los resultados más impactantes del diseño y aplicación del modelo que se ha presentado hasta aquí es el siguiente, el cual se logró mediante el siguiente experimento. Supóngase que una empresa necesita determinar sus precios de transferencia. Lo más probable, si no aplica modelos de optimización para ello, es que se base en reglas heurísticas. Por ejemplo, la ‗regla heurística‘ descrita anteriormente pudiera utilizarse y así la empresa establecería cuáles de los PT serían iguales a su límite inferior y cuáles a su límite superior. Una vez hecho esto, asumamos que la empresa fija los PT y utiliza un modelo de optimización para hallar los flujos óptimos. A esta solución la vamos a llamar la ‗solución heurística‘. Ahora, tomemos los mismos datos de la empresa y apliquémosle toda la teoría vista hasta este momento, incluso llegando hasta el modelo de optimización global. Así, podríamos comparar los dos resultados. Esto se hizo para las instancias mostradas en las Tablas 12.7 y 12.8 y se obtuvieron los resultados mostrados en la Tabla 12.9. Estos resultados son impactantes, ya que se está hablando, al menos para estos casos, de incrementos de utilidad neta después de impuestos muy importantes. Por ejemplo, para las instancias medianas No. 3 y 4 se definieron los PT de componentes iguales a un valor base más o menos un cinco por ciento y los PT de productos terminados se definieron en forma semejante pero con un rango del diez por ciento. Es decir, que pequeños cambios en los PT pueden producir significativos incrementos en la utilidad neta después de impuestos, como ya Nieckels (1976) lo había mencionado. Nótese, por otra parte, que para algunos casos de la instancia pequeña No. 2 no se obtuvo incremento en la utilidad neta después de impuestos. Es decir, que para esta instancia la regla heurística hubiera funcionado. Sin embargo, el sólo hecho de saberlo ya es un resultado muy importante y lo más probable en la vida real es que este caso sea muy extraño. En otras palabras, yo considero que la aplicación de modelos como el que se ha descrito en esta sección


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vale la pena y debe pensarse seriamente de parte de las empresas, especialmente de aquéllas que tienen cadenas de abastecimiento internacionales. Tabla 12.9. Incremento de la utilidad neta después de impuestos cuando se aplica el algoritmo heurístico y el de optimización global en contraste con la simple determinación de los PT mediante la ‗regla heurística‘ y otras reglas seleccionadas No.

(Fuente: Traducido de Vidal (1998), p. 182) Punto Medio Regla Todos los PT Todos los PT iguales a (Mid_TP) Heurística iguales a su límite su límite superior (Heu_TP) inferior (LB_TP) (UB_TP) INCREMENTO DE UTILIDAD INSTANCIAS PEQUEÑAS (%)

1 2 3 4 5 6

7.24 2.86 2.86 7.66 1.02 0.00 0.00 2.29 4.52 11.40 11.40 2.48 9.12 17.95 17.36 3.14 No aplica para esta instancia porque los PT no están acotados 3.49 7.48 7.48 1.26 INCREMENTO DE UTILIDAD INSTANCIAS MEDIANAS (%)

1 2 3 4 5 6

2.40 0.18 0.75 4.06 23.22 12.08 17.09 29.22 22.59 30.23 39.93 16.24 45.63 65.03 95.20 32.05 No aplica para esta instancia porque los PT no están acotados 2.29 0.24 0.68 3.90

Como ilustración de lo mencionado, en la Sección 12.4.2 se describe la aplicación de una extensión del modelo presentado en esta sección en un caso real de la industria manufacturera. Mediante este caso se pudieron comprobar muchas de las cosas que fueron previstas por el modelo original. Mayor información sobre todo lo expresado en esta sección se puede leer en Vidal (1998) y en Vidal y Goetschalckx (2008). 12.4.2

Aplicación real No. 1: Determinando la mejor localización de una nueva planta manufacturera en la Región Andina

Como se expresó anteriormente, el objetivo general de este proyecto fue el de optimizar la cadena de distribución internacional de una empresa del sector manufacturero. La cadena de suministro es considerada a través de un modelo de redes multi-producto (Figura 12.10), donde se representan los proveedores de materia prima locales e internacionales de la empresa, un sistema de producción que se realiza en dos etapas y se llega hasta los centros de distribución ubicados en las zonas de consumo de cada uno de los países involucrados en el análisis. Las etapas de producción son diferenciadas y se pueden realizar en lugares y en instantes diferentes. Es decir, de las plantas de la primera etapa salen productos semi-terminados, los cuales pueden ser procesados en el mismo lugar en una segunda etapa de producción que entrega el producto terminado, o pueden ser enviados a otra planta, incluso en otro país, donde

570


se les da la forma final en una planta de la segunda etapa. Desde las plantas de la segunda etapa se despacha el producto terminado hacia las zonas de consumo (centros de distribución).

Figura 12.10. Cadena de abastecimiento modelada en el caso real de localización de una nueva planta en la Región Andina y Centro América El análisis involucró cinco países como zonas de producción y consumo (Colombia, Venezuela, Perú, Ecuador y Bolivia) y un sexto país como proveedor de materia prima (Estados Unidos). El objetivo principal del estudio fue el de determinar la mejor localización de una nueva planta manufacturera de la primera etapa y de diversas plantas de la segunda etapa. Esto produjo 15 lugares potenciales para localizar la planta de la primera etapa y 30 lugares potenciales para localizar plantas de la segunda etapa. El modelo incluyó 17 CDs ubicados en los cinco países de la Región Andina y un total de 13 materias primas y ocho productos intermedios así como ocho productos terminados. El modelo consideró dos conjuntos de precios de transferencia. Uno para la exportación de productos intermedios y otro para la exportación de productos terminados. En este caso, los precios de transferencia se determinaban mediante un factor aplicado a los costos variables de producción, tanto de los productos intermedios como de los terminados. Este factor podía variar dentro de los límites legales. Claramente, el modelo resultante es una extensión del modelo presentado en la Sección 12.4.1 ya que el primero involucra decisiones de localización y una forma diferente de determinar los precios de transferencia. O sea que tiene variables binarias, las cuales no estaban presentes en el modelo anterior. Los modelos obtenidos presentan un número de variables del orden de 10,500 (57 de las cuales son binarias) con 10,800 restricciones. El modelo no incluye la selección del modo de transporte, por cuanto éste fue escogido a priori con base en el valor del flete. Nótese que el tamaño de este modelo es comparable al de las instancias medianas que se trataron en la sección anterior y de ahí la validez del estudio realizado en cuanto a tamaño del problema se refiere.


571

El modelo obtenido es semejante al modelo P(x, t, v, p), pero no incluyó el vector p de asignación de costos de transporte, ya que se consideraron los costos totales en cada país y cada país pagaba los costos de transporte del material importado. La función objetivo maximiza la utilidad neta después de impuestos en todos los países. El modelo incluye las siguientes restricciones: Capacidad de proveedores y plantas manufactureras, satisfacción de la demanda, ecuaciones de balance, restricciones de configuración y límites en las variables de decisión. El modelo tiene en cuenta las ventas locales, las exportaciones, las importaciones, y los siguientes costos: Materia prima, variables y fijos de producción, transporte, inventarios, generales, de promoción, mercadeo, distribución y administrativos. La metodología de solución implementada fue un algoritmo semejante al heurístico mostrado en la Sección 12.4.1, implementado en AMPL/CPLEX. Algunas diferencias fueron que en este caso no fue posible determinar límites superiores debido a la premura del tiempo para reportar resultados. Sin embargo, se tomó el riesgo basándose en los resultados del método heurístico de solución del modelo original descrito anteriormente. Igualmente, en este caso no se fijan los vectores x y t en forma alternada, sino que fijan inicialmente los PT con base en la experiencia de la organización y se resuelve el modelo de programación lineal entera-mixta remanente. Una vez se tenga esta solución óptima, se recalculan los PT como se indicó anteriormente en una rutina externa al modelo, se prueba el criterio de convergencia (semejante al del modelo heurístico original) y se repite el ciclo si es necesario. La Figura 12.11 ilustra el heurístico aplicado en este caso real. Fijar los precios de transferencia iniciales

¿Máximo No. de iteraciones?

Si

Solución aproximada

No

Resolver el modelo mixto resultante (flujos óptimos)

Recalcular los precios de transferencia (externamente)

No

¿Criterio de convergencia?

Si

Solución local

Figura 12.11. Procedimiento heurístico de solución del caso real aplicado a una industria manufacturera en la Región Andina

572


Para todos los casos se obtuvo una relativamente rápida convergencia de los precios de transferencia. La Figura 12.12 muestra el comportamiento típico de la mayoría de los precios de transferencia involucrados en el análisis. Se observaron tiempos de solución entre 30 segundos y cinco minutos para todos los casos, lo cual es satisfactorio dada la aplicación estratégica.

CONVERGENCIA DE PRECIOS DE TRANSFERENCIA

Precio de Transferencia

Precio de transferencia

Limite

600 550 500 450 400 350 300 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Iteración

Figura 12.12. Convergencia típica de precios de transferencia en el caso real de la Región Andina (Tiempo máximo de solución de cinco minutos) Los principales resultados que los modelos de esta naturaleza brindan se pueden resumir en los siguientes aspectos:  Configuración óptima de la cadena de abastecimiento.  Flujos óptimos de materias primas entre proveedores y plantas de la primera etapa; flujos óptimos de productos intermedios entre plantas de la primera etapa y plantas de la segunda etapa de producción; flujos óptimos de productos terminados entre plantas de la segunda etapa y zonas de consumo (consideradas concentradas en los centros de distribución de cada país).  Requerimientos y costo promedio de materias primas (dato fundamental para el análisis de factibilidad económica)  Flujos y costo promedio de productos intermedios.  Precios de transferencia de productos intermedios y de productos terminados.  Estados de pérdidas y ganancias en cada país, detallando ventas locales, exportaciones, importaciones y todos los costos descritos anteriormente (Figura 12.13).  Otros de interés, tales como demanda no satisfecha y diversos costos de oportunidad para análisis de sensibilidad y de expansión de la cadena.


+ -

Ventas locales Exportaciones Importaciones Costos de materia prima Aranceles Costos variables de producción Costos fijos de plantas Costos de transporte Costos de inventario en tránsito Otros costos

-

Utilidad antes de impuestos Impuestos

573

Utilidad neta después de impuestos Figura 12.13. Estado de resultados de cada país dado por la solución óptima del modelo Cuatro aspectos prácticos a resaltar de la aplicación de este modelo son la validación del modelo, la recolección de la información, los aspectos financieros y la experiencia administrativa y de relaciones personales. El proceso de validación del modelo es fundamental para aceptar que éste pueda utilizarse dentro del proceso decisorio en forma eficiente y efectiva y siempre debe hacerse antes de pretender utilizar el modelo como herramienta para el proceso decisorio. La validación consiste en la determinación de si el modelo representa o no bien a la realidad y el grado de precisión logrado. Como generalmente los modelos de optimización de cadenas de abastecimiento determinan la localización de instalaciones inexistentes, no es fácil validarlos. Sin embargo, se puede analizar el comportamiento del modelo frente a situaciones reales de las cuales se conozcan sus resultados y/ó con datos históricos. En este caso se miró el estado de resultados en cada país y se comparó con el real. Las aproximaciones que se obtuvieron fueron satisfactorias. En el proceso de recolección de la información se consumió un tiempo significativo, pero fue fructífero, pues permitió identificar algunos detalles en la métrica de la cadena de abastecimiento que fueron útiles para, por ejemplo, estandarizar algunos productos en varios de los países. En general, durante la recolección de la información, es común encontrar indicios de posibles errores tales como:    

Fletes desconocidos, ilógicos o contra-intuitivos. Tasas de impuestos de renta imprecisas. Demandas promedio sin considerar su variabilidad ni su crecimiento futuro. Capacidades de suministro, producción y almacenamiento escasas que hacen no factibles a los modelos.  Estructura de aranceles errada.  Problemas de definición de costos fijos.

574


 Desconocimiento acerca de la determinación de precios de transferencia.  Curvas de aprendizaje desconocidas. Algunos de estos casos fueron detectados, lo que se constituyó en un gran aporte del estudio a los resultados del mismo. En cuanto a los aspectos financieros, en este tipo de proyectos es clave que se realice un análisis de factibilidad no sólo técnica, por supuesto, sino económica. El problema es que el modelo puede indicar las mejores localizaciones para una nueva planta, pero no necesariamente la construcción de la planta en una de dichas localizaciones representa una inversión rentable. En otras palabras, el modelo dice cuál debe ser la configuración óptima de la cadena, pero no asegura que el proyecto sea factible económicamente. Por este motivo, realizamos un análisis de factibilidad paralelo, basado en los resultados del modelo, análisis que le dio el visto bueno al proyecto de inversión que estaba por realizarse. La contribución del modelo para el análisis de factibilidad es fundamental porque como la nueva planta aún no existe, es muy difícil estimar sus costos; a través del modelo, esto se logra simular y se puede alimentar el análisis de factibilidad. Finalmente, en cuanto a la experiencia administrativa y de relaciones personales, este tipo de proyectos es muy interesante y desafiante. Es importante destacar el hecho de que este proyecto se realizó con la colaboración de un grupo interdisciplinario de la empresa, que incluyó personas de todos los países al más alto nivel ejecutivo. Siempre, en proyectos como éste, la primera reacción de la mayoría de las personas involucradas en los análisis es de rechazo al cambio y de incredulidad. El manejo de estas situaciones es un reto para el analista. Al final, quienes dudan de la eficiencia y eficacia de estos métodos, terminan volviéndose lo que yo he bautizado ‗modelo-dependientes‘ y ya no quieren hacer nada si el modelo no lo prueba y lo aprueba. Este extremo tampoco es recomendable porque nunca debe perderse de vista el hecho que los modelos son herramientas de decisión pero quienes toman la decisión son las personas. Por otra parte, cuando hay varios países involucrados en el diseño de una cadena de abastecimiento internacional, siempre existen presiones naturales y entendibles para que la localización óptima quede en el país de interés de la persona. Obviamente, ante estas situaciones se trabaja en forma absolutamente objetiva. En este proyecto, la localización óptima de la nueva planta dio en Colombia, donde está operando actualmente. Este resultado fue y es una comprobación de las ventajas logísticas que tiene nuestro país y que debemos aprovechar. Como anécdota, tuve que defender tal indicación del modelo en forma totalmente objetiva y hubo algunas bromas respecto del resultado final, obviamente comprendido y aceptado por todos los participantes del proyecto. Un elemento muy importante es que el modelo reporta respuestas muy rápidas de análisis de sensibilidad, los cuales brindan información inmediata sobre el comportamiento del sistema bajo supuestos cambios y fluctuaciones de diversos parámetros, datos y configuraciones de la cadena de abastecimiento internacional. Esto permite la planeación eficiente bajo incertidumbre sin necesidad de experimentar con el sistema real – algo extremadamente complicado o imposible – ni basarse en pronósticos poco confiables. La implementación del modelo en la industria manufacturera fue todo un éxito, ya que toda la información que brindó sirvió de sustento teórico para la justificación científica de diversas decisiones estratégicas que estaban por tomarse. Además, la cuantificación de los diversos aspectos involucrados en el modelo trajo como consecuencia una mayor comprensión relacionada con el comportamiento de diversos costos del sistema y de su respuesta a


575

múltiples cambios en los parámetros de diseño del mismo. Pero, más importante aún, es el hecho que este tipo de modelos cambian completamente la mentalidad y la cultura organizacional de las empresas. Una vez una compañía prueba las bondades de utilizar técnicas cuantitativas y modelos de optimización para la toma de decisiones, jamás deja de hacerlo. Este proyecto no fue la excepción, pues la empresa continuó apoyándose en este tipo de modelos en todas sus filiales de Latino América para tomar decisiones estratégicas y actualmente lo sigue haciendo. Podría decirse que este proyecto fue pionero en el área de la logística y cadenas de abastecimiento en Colombia, ya que no se tiene conocimiento de proyectos semejantes realizados anteriormente. El desarrollo del proyecto se caracterizó por la confianza mutua entre la universidad y la empresa, la cual brindó toda su colaboración y valiosa información. Agradecemos sinceramente a la empresa la oportunidad que nos brindó y toda la confianza depositada en la Universidad del Valle y en lo que ella puede hacer. Un resultado relativo a los precios de transferencia Un resultado de investigación muy interesante se obtuvo en este proyecto. Dado que los PT se definieron con base en los costos variables de producción, teniendo en cuenta cierto factor multiplicativo, resultaba de mucho interés analizar el impacto de dicho factor. La Figura 12.14 muestra los resultados obtenidos (obviamente las cifras han sido totalmente modificadas por motivos de confidencialidad). ING RE S O NE T O V S . F AC T O R D E P RE C IO S D E T RANS F E RE NC IA 66

64

In g re s o n e to ($ /a ñ o )

62

60

C uá l e s e l m á xim o va lo r d e l fa c to r d e p re c io s d e tra ns fe re nc ia a c e p ta b le ? 58

56

54

52

50 0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90

2.00

2.10

2.20

2.30

F a c to r d e p re c io s d e tra n s fe re n c ia

Figura 12.14. Gráfico de la utilidad neta después de impuestos contra el factor multiplicativo para calcular los precios de transferencia

576


De la figura se puede concluir que, efectivamente como lo mencionaba Nieckels (1976), cambios relativamente pequeños de los precios de transferencia pueden llevar a cambios significativos en la utilidad neta después de impuestos de las empresas que operan internacionalmente. Nótese también que llega un momento en que la curva se torna plana, es decir, que ya no es posible incrementar la utilidad neta después de impuestos. La gran pregunta que surge es, dadas las condiciones de cada subsidiaria, ¿hasta dónde podríamos llegar a modificar legalmente los precios de transferencia para producir la máxima utilidad neta después de impuestos de la corporación global? Esta es una pregunta de investigación actual y aún hay mucho por escribir sobre este tema. El proyecto en Centro América Dado el éxito que tuvo el proyecto inicial en la Región Andina, se realizó un estudio semejante para la ubicación de nuevas máquinas en Centro América. Dada la experiencia del primer proyecto, se diseñó un modelo más completo que involucró un mayor número de productos. El estudio incluyó seis países de Centro América y se siguió una metodología semejante a la anteriormente descrita. Contrario a los resultados de la Región Andina, donde las diferencias entre los países son más significativas, en los países de Centro América las diferencias no son tan marcadas y esto los constituye en una región mucho más homogénea. Por este motivo, la decisión final de localización involucra otros aspectos, tales como flexibilidad de producción, minimización del riesgo (puede incluir riesgo económico, social y político), la especialización de ciertos países y plantas en cierto tipo de productos, el aprovechamiento de la infraestructura existente y la especialización en distribución y economías de escala en transporte. 12.4.3

Aplicación real No. 2: Determinando la mejor localización de un nuevo almacén en Centro América

Este caso se describirá brevemente. Es muy común en muchos países que una empresa comercial que importa ciertos productos para vender, quiera determinar si es o no rentable tener un almacén central in-bond para almacenar los productos hasta que ocurra la demanda. Cuando esto ocurre, el producto es nacionalizado, se le da la forma final y se envía al punto de venta. En un almacén de este tipo, los aranceles de importación solo se pagan cuando el producto es nacionalizado. La Figura 12.15 muestra la cadena de abastecimiento bajo diseño. Es importante notar que aquí se tuvo en cuenta el puerto de entrada de los productos, bien por el Océano Atlántico o por el Pacífico. Igualmente, se tuvo en cuenta el puerto de Cutuco, en El Salvador, el cual aún no estaba construido para efectos de análisis a futuro. La cadena consta de los proveedores internacionales de los productos, ubicados en Estados Unidos, Europa y Asia. Estos despachan los productos hacia los diversos puertos de la región. Bajo el nuevo esquema, desde los puertos los productos pasarían al almacén central, cuya localización no estaba aún definida y por ello se consideraron varias posibilidades. Finalmente, la cadena concluye con los puntos de venta o sucursales ya existentes.


577

Acajutla PTO. DE ACAJUTLA

Pto. de Cutuco

San Salvador

Pto. S. Lorenzo PROV1

Pto. de Corinto PTO. DE CUTUCO

Santa Ana

Pto. Quetzal Pto. Sto. Tomás PROV2

PTO. SAN LORENZO

San Miguel

Pto. Cortés San Salvador Tegucigalpa Santa Ana

PTO. DE CORINTO PROV3

San Miguel Tegucigalpa PTO. QUETZAL

S. Pedro Sula

S. Pedro Sula La Ceiba

La Ceiba

Managua PROV4

PTO. STO. TOMÁS

Guatemala

Managua

Otra? PROV5

PTO. CORTĖS

Otra?

Guatemala

Otra?

Figura 12.15. Esquema de la cadena de abastecimiento bajo diseño En este caso se consideraron los siguientes parámetros para formular el modelo: – – – – – – – – – –

Aranceles Costo CIF de cada producto Costos de alistamiento de los productos Costos fijos de sucursales Costos fijos de almacenes Costos de manejo en puertos de entrada Costos del primer modo posible de transporte Costos del segundo modo posible de transporte Impuestos de renta en cada país Precios de venta

Este modelo incluyó la determinación automática del mejor modo de transporte entre dos que había posibles, tanto desde los puertos de entrada hacia el nuevo almacén, como desde éste hacia las sucursales. Igualmente, como se disponía de los precios de venta en cada sucursal, fue posible formular el modelo como de maximización después de impuestos de renta y de retención (withholding taxes).

578


La Figura 12.16 muestra una posible red que resuelve el problema. Este modelo no tuvo en cuenta los precios de transferencia como variables de decisión para simplificar el análisis.

Figura 12.16. Esquema de una posible solución óptima para la cadena bajo análisis Existen varias tendencias actuales que enriquecen y vuelven mucho más compleja la investigación en el área de optimización de cadenas de abastecimiento. Primero, la consideración de elementos estocásticos explícitos dentro de los modelos, como se comentó en el capítulo anterior. Segundo, la programación multi-objetivo la cual ya también se mencionó. Tercero, la combinación de modelos de optimización con técnicas multi-criterio como el AHP para la optimización y diseño de las cadenas de abastecimiento. Cuarto, la formulación de modelos combinados estratégico-operativos que buscan optimizar la cadena de abastecimiento y definir rutas de vehículos simultáneamente. Todos estos temas, dentro de otros posibles, están actualmente en plena investigación y estamos seguros que serán fuente futura de refinación y enriquecimiento de este texto.

Ejercicios 12.2 1. País A xB, tB, pB A

B País B xC, tC, pC C

La Corporación Global

Figura 12.17. Problema de desigualdad de precios de transferencia desde un mismo origen (país A) hacia dos destinos localizados en el mismo país (país B)


579

Considere la situación que ilustra la Figura 12.17. En este caso, se va a enviar un producto desde una subsidiaria A (la productora), ubicada en el país A, hacia dos subsidiarias B y C (las distribuidoras), ubicadas ambas en el mismo país B. Las variables de decisión se muestran sobre cada arco y representan el flujo a enviar, el precio de transferencia respectivo y la proporción de fletes que la subsidiaria origen va a asumir. Los datos del problema son los siguientes: Tasa de impuesto de renta país A = 34% Tasa de impuesto de renta país B = 50% Arancel cargado al valor FOB = 12% Máximo volumen de producto que se puede transportar hacia B = 20,000 units/u. time Máximo volumen de producto que se puede transportar hacia C = 12,000 units/u. time Precio de mercado = 16 $/u tanto para B como para C Valor del flete = 1 $/u desde A hacia B y desde A hacia C Otros costos variables de producción para la subsidiaria A = 6 $/u Costos fijos en la subsidiaria A = $20,000 Costos fijos en la subsidiaria B = $120,000 Costos fijos en la subsidiaria C = $70,000 Valor mínimo del precio de transferencia base (hacia cualquier destino) = 8 $/u Valor máximo del precio de transferencia base (hacia cualquier destino) = 10 $/u a) Formule un modelo matemático de programación lineal, semejante al modelo (12.10) que le permita determinar los precios de transferencia óptimos tA* y tB*, los flujos óptimos xA* y xB* y las proporciones óptimas para asignación de fletes pA* y pB*. ¿El resultado muestra que tA* = tB*? b) Formule ahora un modelo de programación no-lineal que le permita hallar la solución óptima si se exige que tA* = tB*. Idéese un método para resolver este modelo. c) Repita los literales (a) y (b) anteriores si los aranceles son cargados sobre el valor CIF del producto transferido. 2. CASO DE OPTIMIZACIÓN INTERNACIONALES1

DE

CADENAS

DE

ABASTECIMIENTO

Considere el siguiente caso de una empresa productora que opera en varios países (Figura 12.10). La empresa se surte de diversos proveedores de materias primas, quienes envían estos materiales hacia grandes plantas (1ª etapa de producción). En esta etapa de producción se manufacturan productos intermedios (a los cuales denominaremos subproductos), de acuerdo con fórmulas especificadas, detalladas posteriormente. Seguidamente, los subproductos son enviados a otras plantas menores para su conversión final (2ª etapa de producción), obteniéndose productos terminados. Las plantas menores pueden estar ubicadas en el mismo lugar de una planta de la primera etapa o pueden estar ubicadas en otros lugares aisladamente. Finalmente, desde estas plantas menores, se despachan productos terminados hacia centros (zonas) de distribución, considerados como la etapa final de la cadena de abastecimiento, donde ocurre la demanda. La Figura 12.10 ilustra la situación, en forma general, de la cadena de abastecimiento a analizar (El número de instalaciones mostradas en la figura no coincide exactamente con el número de instalaciones dados en este caso). Actualmente se encuentran funcionando tres plantas de la 1ª etapa en los lugares A, B y C, y, dada la demanda proyectada, se desea saber dónde ubicar una nueva planta de la 1ª etapa de gran tamaño, alta tecnología y 1

Adaptado y simplificado de un caso real trabajado por el autor en la industria manufacturera.


580

altamente eficiente. Todos los lugares actuales son candidatos para montar esta nueva planta, al igual que otros dos lugares adicionales D y E, donde actualmente no opera planta alguna de la 1ª etapa. Se desea conocer igualmente cuáles de las plantas existentes de la 1ª etapa deben continuar funcionando y cuáles deberían cerrarse. Existe cierto costo de cierre de cada una estas plantas, los cuales se detallan más adelante. En cada uno de los lugares donde existe una planta de la 1ª etapa y donde se podría instalar la nueva (A, B, C, D y E), se encuentra actualmente una planta de la 2ª etapa, pero se desea analizar si es conveniente cerrar algunas de estas plantas de la 2ª etapa y/ó abrir otras en cualquiera de esas localidades. O sea que es posible abrir más de una planta de la 2ª etapa en cualquiera de estos lugares, siendo tres el número máximo posible de plantas nuevas a abrir de la 2ª etapa en cada lugar. Así, en cualquier lugar, A, B, C, D ó E, podrían estar funcionando la planta de la 2ª etapa existente y cero, una, dos ó tres plantas nuevas de la 2ª etapa; o podría cerrarse la planta existente de la 2ª etapa y abrir una, dos ó tres plantas nuevas de la 2ª etapa; o, finalmente, no existir planta alguna de la 2ª etapa funcionando en dicho lugar.2 Es posible convertir los subproductos producidos en las plantas de la 1ª etapa en el mismo lugar ó enviarlos a cualquier otro lugar donde haya una planta de la 2ª etapa para ser procesados allí y luego ser despachados a las zonas de consumo. Se puede abrir plantas de la 2ª etapa en un lugar donde no exista planta alguna de la 1ª etapa. Así, este lugar solo desarrollaría actividades de conversión de los subproductos en productos terminados. Se desea hallar la mejor configuración posible de esta cadena de abastecimiento, de tal forma que se maximice la utilidad neta total. La información disponible se muestra en los numerales y en las tablas siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9.

Las plantas existentes de la 1ª etapa funcionan en los lugares: A B C. Los lugares potenciales para instalar la nueva planta de la 1ª etapa son: A B C D E. Las plantas actuales de la 2ª etapa funcionan en los lugares: A B C D E. Se pueden abrir 0, 1, 2 ó 3 plantas nuevas de la 2ª etapa en los lugares: A B C D E. Hay actualmente cuatro proveedores de materia prima: PROV1 PROV2 PROV3 PROV4. La demanda ocurre en seis zonas ó centros de distribución: DC1 DC2 DC3 DC4 DC5 DC6. La compañía produce actualmente cinco subproductos: SPROD1 SPROD2 SPROD3 SPROD4 SPROD5, de los cuales se obtienen igualmente cinco productos terminados: PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5. Los subproductos son producidos a partir de cuatro materias primas básicas: MP1 MP2 MP3 MP4. La demanda proyectada en ton/año de productos terminados en cada zona de consumo se muestra en la tabla siguiente:

Zona de consumo DC1 DC2 DC3 DC4 DC5 DC6 SUMA

PROD1

PROD2

PROD3

PROD4

PROD5

1,500 1,650 3,780 4,250 980 3,210 15,370

870 0 1,230 760 1,240 350 4,450

3,500 4,050 3,560 1,890 0 2,450 15,450

0 1,780 4,890 550 3,260 1,000 11,480

890 1,230 1,780 2,560 0 0 6,460

10. Los precios de venta estimados en $/ton de productos terminados en cada zona de consumo se muestran en la tabla siguiente:

2

Sugerencia: Defina una variable binaria para cada posibilidad de abrir una, dos ó tres plantas nuevas de la 2ª etapa en cada lugar, y asígnele la capacidad y costo fijo adecuados, de acuerdo con su definición.


Zona de consumo DC1 DC2 DC3 DC4 DC5 DC6

PROD1

PROD2

PROD3

PROD4

PROD5

1,000 1,350 1,500 975 980 1,050

1,870 1,550 450 1,760 1,240 1,350

910 1,120 1,560 1,290 985 1,450

2,220 1,975 2,000 2,550 575 1,500

1,890 1,230 1,780 1,560 990 1,100

581

11. Los costos fijos de cada planta existente de la 1ª etapa, los costos de cierre de cada planta existente de la 1ª etapa y los costos fijos que llegaren a causarse en caso de que la nueva planta sea instalada en el lugar correspondiente son los siguientes (N/A = ―No Aplica‖): Lugar A B C D E

Costo fijo planta existente ($/año) 1,000,000 800,000 550,000 N/A N/A

Costo de cierre planta existente ($/año) 450,000 300,000 250,000 N/A N/A

Costo fijo planta nueva ($/año) 2,750,000 2,500,000 3,100,000 2,500,000 2,350,000

12. Análogamente, los costos fijos de las plantas existentes de la 2ª etapa y los que llegaren a causarse por cada planta nueva de la 2ª etapa instalada en el lugar correspondiente, se muestran en la tabla siguiente. Si en algún lugar se instalan dos ó tres plantas de la 2ª etapa, se asume que el costo fijo es 1.75 veces ó 2.60 veces el costo mostrado, respectivamente. Lugar

Costo fijo planta existente

Costo fijo por cada planta

de la 2a etapa ($/año)

nueva de la 2a etapa ($/año)

A

550,000

500,000

B

470,000

550,000

C

320,000

625,000

D

670,000

625,000

E

748,000

700,000

13. Los costos variables de producción de cada subproducto en cada una de las plantas de la 1ª etapa (incluyendo la nueva), sin incluir los costos de materias primas, dados en $/ton de subproducto, se muestran en la Tabla 12.10. 14. Los costos variables (incrementales) de conversión de subproductos en productos terminados en cada planta de la 2ª etapa existente y potencial, por cada producto terminado, dados en $/ton de producto terminado, se muestran en Tabla 12.11. Estos costos no incluyen el costo del subproducto, pues éste ya ha sido considerado en el numeral anterior y no debe contabilizarse doblemente.

582


Tabla 12.10. Costos variables de producción de subproductos Costos variables de producción ($/ton de SPROD1) Lugar A B C D E

Costo variable planta existente ($/ton de subproducto) 150 130 180 N/A N/A

Costo variable planta nueva ($/ton de subproducto) 70 70 70 70 70

Costos variables de producción ($/ton de SPROD2) Lugar A B C D E













Tabla 12.11. Costos variables de conversión Costos variables de conversión ($/ton de PROD1) Lugar A B C D E

Costo variable planta existente ($/ton de producto terminado) 200 170 230 220 200

Costo variable planta nueva ($/ton de producto terminado) 150 120 170 165 150

Costos variables de conversión ($/ton de PROD2) Lugar A B C D E












583

584


15. La capacidad de cada proveedor de materia prima, por cada tipo de materia prima, dada en ton de MP/año es la siguiente (Los ceros en la tabla de abajo significan que el proveedor no suministra la materia prima correspondiente): Capacidad de cada proveedor (ton de MP/año) Proveedor PROV1 PROV2 PROV3 PROV4

MP1 6,400 10,400 3,200 2,000

MP2 8,000 0 10,000 13,000

MP3 8,000 10,300 4,000 0

MP4 1,600 2,500 1,000 1,400

16. Se asume que cada planta existente, de la 1ª ó de la 2ª etapa, puede operar hasta 7,880 horas/año. Por otra parte, la planta nueva de la 1ª etapa y las plantas nuevas de la 2ª etapa, puede cada una operar hasta 8,330 horas/año. La diferencia se debe a que las plantas nuevas necesitan menos tiempo de mantenimiento que las existentes. 17. El costo de suministro de cada materia prima cotizado por cada proveedor, dado en $/ton de MP, se muestra en la tabla siguiente. Este costo incluye el costo de la materia prima, los fletes, seguros, aranceles y todos los costos relacionados. En la tabla de abajo ―N/S‖ significa que el proveedor no suministra la materia prima correspondiente. (Confrontar con la tabla de capacidades de proveedores dada en el punto 15 anterior).

18. Los costos de transporte de subproductos desde cada planta de la 1ª etapa hacia cada planta de la 2ª etapa (existentes ó potenciales), dados en $/ton de subproducto, vienen dados por:

Costos de transporte de subproductos ($/ton de subproducto) Hacia: Desde: A B C D A 10 140 225 145 B 150 10 180 75 C 210 175 10 170 D 130 75 195 10 E 165 125 250 55

E 165 140 240 55 10

19. Análogamente, los fletes de productos terminados desde cada planta de la 2ª etapa (existente ó potencial) hacia cada zona de consumo, dados en $/ton de producto terminado se muestran en la tabla siguiente. Tanto en este caso como en el anterior, se asume que el modo de transporte ya ha sido determinado, ya que existe suficiente capacidad en cada modo de transporte y no se justifica incluir esta decisión en el modelo matemático.


585

Costos de transporte de productos terminados ($/ton de producto terminado)

Desde: A B C D E

Hacia: DC1 150 210 294 55 231

DC2 78 320 245 105 175

DC3 315 252 75 273 350

DC4 203 105 238 60 77

DC5 175 196 336 420 325

DC6 80 135 345 450 170

20. La fórmula de materiales en cada planta de la 1ª etapa (existente), dada en ton de materia prima/ton de subproducto, se muestra en la tabla siguiente. Se asume, por simplicidad, que estos valores no varían entre una planta existente y otra.

Toneladas de MP requeridas por cada tonelada de subproducto: (Plantas existentes)

Subproducto SPROD1 SPROD2 SPROD3 SPROD4 SPROD5

Materias Primas: MP1 0.60 0.40 0.25 0.10 0.00

MP2 0.30 0.55 0.50 0.45 0.60

MP3 0.35 0.20 0.45 0.50 0.20

MP4 0.00 0.10 0.05 0.20 0.45

Suma 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25

Nótese que se requieren en total 1.25 toneladas de materia prima por cada tonelada de subproducto. El resto se pierde dada la eficiencia de las máquinas existentes. La tecnología de la nueva planta permite que los valores anteriores se reduzcan todos proporcionalmente en un 8%. Así, por ejemplo, en la nueva planta, 1 tonelada de SPROD1 requerirá 0.552, 0.276, 0.322 y 0.000 toneladas de materia prima MP1, MP2, MP3 y MP4, respectivamente, dando una suma total de 1.15 toneladas de materia prima por cada tonelada de subproducto, lo cual equivale a un 8% menos de pérdidas. 21. Por simplicidad, se asume que en el proceso de conversión que se da en las plantas de la 2ª etapa no se pierde peso y, por lo tanto, el factor es de 1 tonelada de subproducto por cada tonelada de producto terminado correspondiente en cualquier planta de la 2ª etapa, existente ó nueva. Recuerde que, así como se necesita establecer restricciones de balance de materias primas y subproductos en las plantas de la primera etapa, igualmente se deben formular restricciones de balance en las plantas de la segunda etapa, utilizando la relación de una tonelada de subproducto i por cada tonelada de producto terminado i, i = 1,2,3,4,5.3 22. La eficiencia de producción en cada planta existente de la 1ª etapa es de 0.65 horas por cada tonelada de subproducto (Por simplicidad se asume que esta eficiencia no varía con el tipo de subproducto). Debido a su tecnología de punta, la eficiencia en la nueva planta es de 0.30 horas por cada tonelada de subproducto. 23. Análogamente, se asume que la eficiencia de conversión en cada planta existente ó nueva de la 2ª etapa es de 1 hora por cada tonelada de producto terminado.

3

Un error muy frecuente es considerar que se requiere una tonelada de cada subproducto para producir una tonelada de producto terminado. Recuerde que aquí la relación es uno a uno, o sea que solo se requiere una tonelada del subproducto i para producir una tonelada de su correspondiente producto terminado i.

586


24. Por simplicidad, no se considera ningún elemento de precios de transferencia, impuestos, aranceles o cualquier otro factor internacional diferencial en los países donde opera la empresa. Note el grado de complejidad que esto agregaría a la situación. Formule un modelo matemático que le permita determinar la configuración óptima de la cadena de abastecimiento anterior y sus flujos correspondientes 4, de tal forma que se maximice la utilidad neta total. Inicialmente, obligue a la satisfacción de la demanda proyectada por zona y por producto y posteriormente modele la demanda con restricciones de ≤ para identificar productos y clientes no rentables. Formule inicialmente el modelo en forma verbal; luego escriba las expresiones matemáticas correspondientes. Posteriormente programe el modelo en AMPL y resuélvalo por Internet, utilizando el NEOS Server. Analice adecuadamente las soluciones obtenidas.

Lecturas adicionales Capítulo 12 1. Perron et al. (2009): Este artículo presenta una extensión del trabajo de Vidal y Goetschalckx (2001) y puede ser muy interesante para observar la dinámica de investigación en el área de optimización de precios de transferencia. 2. Santoso et al. (2005): Este artículo es una muy buena introducción para asimilar los conceptos de introducción de elementos estocásticos para la optimización de cadenas de abastecimiento. 3. Shapiro (2001): Capítulos 8 y 9 (pp. 323-428). En estos dos capítulos se presentan temas avanzados sobre modelación de cadenas de abastecimiento, incluyendo relaciones con mercadeo e introducción de nuevos productos, programación estocástica, administración de variedad de productos y, algo muy importante, la integración de los aspectos financieros con las cadenas de abastecimiento (modelos de optimización para planeación financiera de corporaciones).

4

La configuración óptima y sus flujos correspondientes se refieren a: Proveedores a utilizar, lugar donde debe abrirse la nueva planta de la 1ª etapa, plantas existentes que deben continuar funcionando, lugares y número de plantas de la 2ª etapa a operar y todos los flujos de subproductos y productos terminados entre ellos.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Apéndice A: La distribución normal

587

APÉNDICE A: La Distribución Normal (Fuente: Con base en Silver et al. (1998, pp. 719-724). Tablas construidas por el autor de este texto.)

La distribución normal unitaria y sus propiedades La distribución normal es de suprema importancia en el control de inventarios ya que en la mayoría de las ocasiones constituye un buen modelo para representar las demandas y los errores del pronóstico. Las principales funciones de la distribución normal unitaria y sus propiedades son las siguientes: 1 exp( k 2 / 2) 2

Función de densidad f z (k ) 

-  k  

(A1)

Probabilidad de que la variable z sea mayor o igual a un valor dado k: pz (k )  Prob( z  k )  



k

1 exp(  x 2 / 2)dx 2

(A2)

Propiedades de pz(k): pz (  k )  1  pz ( k )

(A3)

dpz (k )   f z (k ) dk

(A4)

Función Gz(k): 

Gz (k )   ( x  k ) k

1 exp(  x 2 / 2)dx 2

(A5)

Propiedades de Gz(k): Gz (k )  f z (k )  kpz (k )

(A6)

Gz (k )  Gz (k )  k

(A7)

dGz (k )   pz (k ) dk

(A8)


588

Funciones en Excel™ para la distribución normal Excel™ trae algunas funciones de la distribución normal muy útiles para el tema de inventarios. Ellas son las siguientes: 1. Dado el valor de k, se pueden encontrar fz(k) y P1 = 1  pz(k), mediante las funciones 1/RAIZ(2*PI())*EXP(k*k/2) y DISTR.NORM.ESTAND(k), respectivamente. Debe tenerse cuidado, ya que esta última función da el valor de P1 = 1  pz(k), o sea que si se desea la función pz(k), se debe utilizar la fórmula 1  DISTR.NORM.ESTAND(k). Para hallar Gz(k), dado k, se aplica la Ec. (A6), o sea Gz (k )  f z (k )  kpz (k ) . Ejemplo: Dado k 1.96

f z (k ) 0.05844

p z (k ) 0.0250

P 1 = 1  p z (k ) 0.9750

G z (k ) 0.009445

f z (1.96)  1/RAIZ (2*PI ())*EXP (1.96*1.96/ 2)

pz (1.96)  1  DISTR.NORM .ESTAND(1.96) 1  pz (1.96)  DISTR.NORM .ESTAND(1.96) Gz (1.96)  1/RAIZ (2*PI ())*EXP (1.96*1.96/ 2)  1.96 * (1  DISTR.NORM .ESTAND(1.96))

2. Dado el valor de P1 = 1  pz(k), se puede encontrar k, mediante la función DISTR.NORM.ESTAND.INV(P1). Equivalentemente, si se da el valor de pz(k), se puede encontrar k mediante la misma función con signo negativo, o sea, DISTR.NORM.ESTAND.INV[pz(k)]. Ejemplo: Dado P 1 = 1  p z (k ) 0.975

k (Dado P 1) 1.9600

Dado p z (k ) 0.025

k [Dado p z (k )] 1.9600

k  DISTR.NORM .ESTAND.INV (0.975) k  DISTR.NORM .ESTAND.INV (0.025)

3. Para hallar k dado Gz(k), no existe aún una función inversa en Excel™. Entonces debe utilizarse una aproximación con funciones racionales, de la siguiente forma:


3

k

a c

i

b c

j

i 0 4

j 0

i

j

Donde:

 5  c  2 ln   , dado Gz (k ) G ( k )  z  Y las constantes ai y bj tienen los siguientes valores:

a0  5.3925569

b0  1

a1  5.6211054

b1  0.72496485

a2  3.8836830

b2  0.507326622

a3  1.0897299

b3  0.0669136868 b4  0.00329129114

Ejemplo: Aproximación funcional de k dado G z (k ): a0 -5.3925569

a1 5.6211054

a2 -3.883683

a3 1.0897299

b0 1

b1 -0.72496485

b2 0.507326622

b3 0.0669136868

c =

3.541668446

Dado G z (k ) = Se obtiene k =

b4 -0.00329129114

0.009445 1.9600

c  RAIZ(2* LN(5/0.009445))

k

a0  a1c  a2c 2  a3c3 b0  b1c  b2c 2  b3c3  b4c 4

Tablas de las principales funciones de la distribución normal unitaria

589

590


k 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 k

f z (k) 0.398942 0.398922 0.398862 0.398763 0.398623 0.398444 0.398225 0.397966 0.397668 0.397330 0.396953 0.396536 0.396080 0.395585 0.395052 0.394479 0.393868 0.393219 0.392531 0.391806 0.391043 0.390242 0.389404 0.388529 0.387617 0.386668 0.385683 0.384663 0.383606 0.382515 0.381388 0.380226 0.379031 0.377801 0.376537 0.375240 0.373911 0.372548 0.371154 0.369728 0.368270 0.366782 0.365263 0.363714 0.362135 0.360527 0.358890 0.357225 0.355533 0.353812 f z (k)

p z (k) 0.500000 0.496011 0.492022 0.488034 0.484047 0.480061 0.476078 0.472097 0.468119 0.464144 0.460172 0.456205 0.452242 0.448283 0.444330 0.440382 0.436441 0.432505 0.428576 0.424655 0.420740 0.416834 0.412936 0.409046 0.405165 0.401294 0.397432 0.393580 0.389739 0.385908 0.382089 0.378280 0.374484 0.370700 0.366928 0.363169 0.359424 0.355691 0.351973 0.348268 0.344578 0.340903 0.337243 0.333598 0.329969 0.326355 0.322758 0.319178 0.315614 0.312067 p z (k)

G z (k ) 0.398942 0.393962 0.389022 0.384122 0.379261 0.374441 0.369660 0.364919 0.360218 0.355557 0.350935 0.346353 0.341811 0.337309 0.332846 0.328422 0.324038 0.319693 0.315388 0.311122 0.306895 0.302707 0.298558 0.294448 0.290377 0.286345 0.282351 0.278396 0.274479 0.270601 0.266761 0.262959 0.259196 0.255470 0.251782 0.248131 0.244518 0.240943 0.237404 0.233903 0.230439 0.227011 0.223621 0.220267 0.216949 0.213667 0.210422 0.207212 0.204038 0.200900 G z (k )

k 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 k


k 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 k

f z (k) 0.352065 0.350292 0.348493 0.346668 0.344818 0.342944 0.341046 0.339124 0.337180 0.335213 0.333225 0.331215 0.329184 0.327133 0.325062 0.322972 0.320864 0.318737 0.316593 0.314432 0.312254 0.310060 0.307851 0.305627 0.303389 0.301137 0.298872 0.296595 0.294305 0.292004 0.289692 0.287369 0.285036 0.282694 0.280344 0.277985 0.275618 0.273244 0.270864 0.268477 0.266085 0.263688 0.261286 0.258881 0.256471 0.254059 0.251644 0.249228 0.246809 0.244390 f z (k)

p z (k) 0.308538 0.305026 0.301532 0.298056 0.294599 0.291160 0.287740 0.284339 0.280957 0.277595 0.274253 0.270931 0.267629 0.264347 0.261086 0.257846 0.254627 0.251429 0.248252 0.245097 0.241964 0.238852 0.235762 0.232695 0.229650 0.226627 0.223627 0.220650 0.217695 0.214764 0.211855 0.208970 0.206108 0.203269 0.200454 0.197663 0.194895 0.192150 0.189430 0.186733 0.184060 0.181411 0.178786 0.176186 0.173609 0.171056 0.168528 0.166023 0.163543 0.161087 p z (k)

G z (k ) 0.197797 0.194729 0.191696 0.188698 0.185735 0.182806 0.179912 0.177051 0.174225 0.171432 0.168673 0.165947 0.163254 0.160594 0.157967 0.155372 0.152810 0.150280 0.147781 0.145315 0.142879 0.140475 0.138102 0.135760 0.133448 0.131167 0.128916 0.126694 0.124503 0.122340 0.120207 0.118103 0.116028 0.113981 0.111962 0.109972 0.108009 0.106074 0.104166 0.102285 0.100431 0.098604 0.096803 0.095028 0.093279 0.091556 0.089858 0.088185 0.086537 0.084914 G z (k )

k 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 k

591

592


k 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 k

f z (k) 0.241971 0.239551 0.237132 0.234714 0.232297 0.229882 0.227470 0.225060 0.222653 0.220251 0.217852 0.215458 0.213069 0.210686 0.208308 0.205936 0.203571 0.201214 0.198863 0.196520 0.194186 0.191860 0.189543 0.187235 0.184937 0.182649 0.180371 0.178104 0.175847 0.173602 0.171369 0.169147 0.166937 0.164740 0.162555 0.160383 0.158225 0.156080 0.153948 0.151831 0.149727 0.147639 0.145564 0.143505 0.141460 0.139431 0.137417 0.135418 0.133435 0.131468 f z (k)

p z (k) 0.158655 0.156248 0.153864 0.151505 0.149170 0.146859 0.144572 0.142310 0.140071 0.137857 0.135666 0.133500 0.131357 0.129238 0.127143 0.125072 0.123024 0.121000 0.119000 0.117023 0.115070 0.113139 0.111232 0.109349 0.107488 0.105650 0.103835 0.102042 0.100273 0.098525 0.096800 0.095098 0.093418 0.091759 0.090123 0.088508 0.086915 0.085343 0.083793 0.082264 0.080757 0.079270 0.077804 0.076359 0.074934 0.073529 0.072145 0.070781 0.069437 0.068112 p z (k)

G z (k ) 0.083315 0.081741 0.080190 0.078664 0.077160 0.075680 0.074223 0.072789 0.071377 0.069987 0.068620 0.067274 0.065949 0.064646 0.063365 0.062104 0.060863 0.059643 0.058443 0.057263 0.056102 0.054961 0.053840 0.052737 0.051653 0.050587 0.049539 0.048510 0.047499 0.046505 0.045528 0.044568 0.043626 0.042700 0.041791 0.040898 0.040020 0.039159 0.038314 0.037483 0.036668 0.035868 0.035083 0.034312 0.033555 0.032813 0.032085 0.031370 0.030669 0.029981 G z (k )

k 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 k


k 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 k

f z (k) 0.129518 0.127583 0.125665 0.123763 0.121878 0.120009 0.118157 0.116323 0.114505 0.112704 0.110921 0.109155 0.107406 0.105675 0.103961 0.102265 0.100586 0.098925 0.097282 0.095657 0.094049 0.092459 0.090887 0.089333 0.087796 0.086277 0.084776 0.083293 0.081828 0.080380 0.078950 0.077538 0.076143 0.074766 0.073407 0.072065 0.070740 0.069433 0.068144 0.066871 0.065616 0.064378 0.063157 0.061952 0.060765 0.059595 0.058441 0.057304 0.056183 0.055079 f z (k)

p z (k) 0.066807 0.065522 0.064255 0.063008 0.061780 0.060571 0.059380 0.058208 0.057053 0.055917 0.054799 0.053699 0.052616 0.051551 0.050503 0.049471 0.048457 0.047460 0.046479 0.045514 0.044565 0.043633 0.042716 0.041815 0.040930 0.040059 0.039204 0.038364 0.037538 0.036727 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295 p z (k)

G z (k ) 0.029307 0.028645 0.027996 0.027360 0.026736 0.026124 0.025525 0.024937 0.024360 0.023796 0.023242 0.022699 0.022168 0.021647 0.021137 0.020637 0.020147 0.019668 0.019198 0.018738 0.018288 0.017847 0.017415 0.016992 0.016579 0.016174 0.015777 0.015390 0.015010 0.014639 0.014276 0.013920 0.013573 0.013233 0.012900 0.012575 0.012257 0.011946 0.011642 0.011345 0.011054 0.010770 0.010493 0.010222 0.009957 0.009698 0.009445 0.009198 0.008957 0.008721 G z (k )

k 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 k

593

594


k 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 k

f z (k) 0.053991 0.052919 0.051864 0.050824 0.049800 0.048792 0.047800 0.046823 0.045861 0.044915 0.043984 0.043067 0.042166 0.041280 0.040408 0.039550 0.038707 0.037878 0.037063 0.036262 0.035475 0.034701 0.033941 0.033194 0.032460 0.031740 0.031032 0.030337 0.029655 0.028985 0.028327 0.027682 0.027048 0.026426 0.025817 0.025218 0.024631 0.024056 0.023491 0.022937 0.022395 0.021862 0.021341 0.020829 0.020328 0.019837 0.019356 0.018885 0.018423 0.017971 f z (k)

p z (k) 0.022750 0.022216 0.021692 0.021178 0.020675 0.020182 0.019699 0.019226 0.018763 0.018309 0.017864 0.017429 0.017003 0.016586 0.016177 0.015778 0.015386 0.015003 0.014629 0.014262 0.013903 0.013553 0.013209 0.012874 0.012545 0.012224 0.011911 0.011604 0.011304 0.011011 0.010724 0.010444 0.010170 0.009903 0.009642 0.009387 0.009137 0.008894 0.008656 0.008424 0.008198 0.007976 0.007760 0.007549 0.007344 0.007143 0.006947 0.006756 0.006569 0.006387 p z (k)

G z (k ) 0.008491 0.008266 0.008046 0.007832 0.007623 0.007418 0.007219 0.007024 0.006835 0.006649 0.006468 0.006292 0.006120 0.005952 0.005788 0.005628 0.005472 0.005320 0.005172 0.005028 0.004887 0.004750 0.004616 0.004486 0.004358 0.004235 0.004114 0.003996 0.003882 0.003770 0.003662 0.003556 0.003453 0.003352 0.003255 0.003159 0.003067 0.002977 0.002889 0.002804 0.002720 0.002640 0.002561 0.002484 0.002410 0.002337 0.002267 0.002199 0.002132 0.002067 G z (k )

k 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 k


k 2.50 2.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 k

f z (k) 0.017528 0.017095 0.016670 0.016254 0.015848 0.015449 0.015060 0.014678 0.014305 0.013940 0.013583 0.013234 0.012892 0.012558 0.012232 0.011912 0.011600 0.011295 0.010997 0.010706 0.010421 0.010143 0.009871 0.009606 0.009347 0.009094 0.008846 0.008605 0.008370 0.008140 0.007915 0.007697 0.007483 0.007274 0.007071 0.006873 0.006679 0.006491 0.006307 0.006127 0.005953 0.005782 0.005616 0.005454 0.005296 0.005143 0.004993 0.004847 0.004705 0.004567 f z (k)

p z (k) 0.006210 0.006037 0.005868 0.005703 0.005543 0.005386 0.005234 0.005085 0.004940 0.004799 0.004661 0.004527 0.004396 0.004269 0.004145 0.004025 0.003907 0.003793 0.003681 0.003573 0.003467 0.003364 0.003264 0.003167 0.003072 0.002980 0.002890 0.002803 0.002718 0.002635 0.002555 0.002477 0.002401 0.002327 0.002256 0.002186 0.002118 0.002052 0.001988 0.001926 0.001866 0.001807 0.001750 0.001695 0.001641 0.001589 0.001538 0.001489 0.001441 0.001395 p z (k)

G z (k ) 0.002004 0.001943 0.001883 0.001826 0.001769 0.001715 0.001662 0.001610 0.001560 0.001511 0.001464 0.001418 0.001373 0.001330 0.001288 0.001247 0.001207 0.001169 0.001132 0.001095 0.001060 0.001026 0.000993 0.000961 0.000929 0.000899 0.000870 0.000841 0.000814 0.000787 0.000761 0.000736 0.000712 0.000688 0.000665 0.000643 0.000621 0.000600 0.000580 0.000561 0.000542 0.000523 0.000506 0.000488 0.000472 0.000455 0.000440 0.000425 0.000410 0.000396 G z (k )

k 2.50 2.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 k

595

596


k 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 k

f z (k) 0.004432 0.004301 0.004173 0.004049 0.003928 0.003810 0.003695 0.003584 0.003475 0.003370 0.003267 0.003167 0.003070 0.002975 0.002884 0.002794 0.002707 0.002623 0.002541 0.002461 0.002384 0.002309 0.002236 0.002165 0.002096 0.002029 0.001964 0.001901 0.001840 0.001780 0.001723 0.001667 0.001612 0.001560 0.001508 0.001459 0.001411 0.001364 0.001319 0.001275 0.001232 0.001191 0.001151 0.001112 0.001075 0.001038 0.001003 0.000969 0.000936 0.000904 f z (k)

p z (k) 0.001350 0.001306 0.001264 0.001223 0.001183 0.001144 0.001107 0.001070 0.001035 0.001001 0.000968 0.000935 0.000904 0.000874 0.000845 0.000816 0.000789 0.000762 0.000736 0.000711 0.000687 0.000664 0.000641 0.000619 0.000598 0.000577 0.000557 0.000538 0.000519 0.000501 0.000483 0.000466 0.000450 0.000434 0.000419 0.000404 0.000390 0.000376 0.000362 0.000349 0.000337 0.000325 0.000313 0.000302 0.000291 0.000280 0.000270 0.000260 0.000251 0.000242 p z (k)

G z (k ) 0.000382 0.000369 0.000356 0.000344 0.000332 0.000320 0.000309 0.000298 0.000287 0.000277 0.000267 0.000258 0.000249 0.000240 0.000231 0.000223 0.000215 0.000207 0.000199 0.000192 0.000185 0.000178 0.000172 0.000166 0.000160 0.000154 0.000148 0.000143 0.000137 0.000132 0.000127 0.000123 0.000118 0.000114 0.000109 0.000105 0.000101 0.000097 0.000094 0.000090 0.000087 0.000083 0.000080 0.000077 0.000074 0.000071 0.000069 0.000066 0.000063 0.000061 G z (k )

k 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 k


k 3.50 3.51 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.57 3.58 3.59 3.60 3.61 3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67 3.68 3.69 3.70 3.71 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.80 3.81 3.82 3.83 3.84 3.85 3.86 3.87 3.88 3.89 3.90 3.91 3.92 3.93 3.94 3.95 3.96 3.97 3.98 3.99 k

f z (k) 0.000873 0.000843 0.000814 0.000785 0.000758 0.000732 0.000706 0.000681 0.000657 0.000634 0.000612 0.000590 0.000569 0.000549 0.000529 0.000510 0.000492 0.000474 0.000457 0.000441 0.000425 0.000409 0.000394 0.000380 0.000366 0.000353 0.000340 0.000327 0.000315 0.000303 0.000292 0.000281 0.000271 0.000260 0.000251 0.000241 0.000232 0.000223 0.000215 0.000207 0.000199 0.000191 0.000184 0.000177 0.000170 0.000163 0.000157 0.000151 0.000145 0.000139 f z (k)

p z (k) 0.000233 0.000224 0.000216 0.000208 0.000200 0.000193 0.000185 0.000178 0.000172 0.000165 0.000159 0.000153 0.000147 0.000142 0.000136 0.000131 0.000126 0.000121 0.000117 0.000112 0.000108 0.000104 0.000100 0.000096 0.000092 0.000088 0.000085 0.000082 0.000078 0.000075 0.000072 0.000069 0.000067 0.000064 0.000062 0.000059 0.000057 0.000054 0.000052 0.000050 0.000048 0.000046 0.000044 0.000042 0.000041 0.000039 0.000037 0.000036 0.000034 0.000033 p z (k)

G z (k ) 0.000058 0.000056 0.000054 0.000052 0.000050 0.000048 0.000046 0.000044 0.000042 0.000041 0.000039 0.000038 0.000036 0.000035 0.000033 0.000032 0.000031 0.000029 0.000028 0.000027 0.000026 0.000025 0.000024 0.000023 0.000022 0.000021 0.000020 0.000019 0.000019 0.000018 0.000017 0.000016 0.000016 0.000015 0.000014 0.000014 0.000013 0.000013 0.000012 0.000012 0.000011 0.000011 0.000010 0.000010 0.000009 0.000009 0.000009 0.000008 0.000008 0.000007 G z (k )

k 3.50 3.51 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.57 3.58 3.59 3.60 3.61 3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67 3.68 3.69 3.70 3.71 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.80 3.81 3.82 3.83 3.84 3.85 3.86 3.87 3.88 3.89 3.90 3.91 3.92 3.93 3.94 3.95 3.96 3.97 3.98 3.99 k

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Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Apéndice B: Resumen sobre pronósticos de demanda independiente

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APÉNDICE B: Resumen sobre pronósticos de demanda independiente TEMA Clasificación ABC

PRINCIPALES APLICACIONES  Identificación de ítems clase A (Mayor concentración de esfuerzo de administración y control)  Identificación de ítems obsoletos (últimos ítems clase C), factibles de eliminar del sistema

OBSERVACIONES Si existen demasiados ítems, es probable incluir otras clasificaciones como AA y AAA (los ítems más importantes de todos) y D (los últimos ítems clase C). Los ítems nuevos deberían tener otra clasificación, por ejemplo N inicialmente, y luego deben reclasificarse.

Factores de importancia para el diseño de sistemas de control de inventarios

     

Valor de cada ítem v Tasa de costo de mantenimiento del inventario r Costo de alistamiento u ordenamiento A Costo de faltantes de inventario (B1, B2 ó B3) Tiempo de reposición o Lead Time L Tipo y patrón de demanda

Los principales patrones de demanda son los siguientes:  Perpetua, uniforme ó estacionaria (se mantiene el promedio a lo largo del tiempo)  Con tendencia (creciente ó decreciente)  Estacional  Errática  Combinada

Tipos de sistemas de pronósticos

    

Cualitativos Series de tiempo (estadísticos) Causales Simulación Sistemas combinados

Se recomienda en cuanto sea posible utilizar una combinación de sistemas de pronósticos, siendo la más común la de series de tiempo con sistemas cualitativos (como por ejemplo el análisis de promociones)

Ambiente general de un sistema de pronósticos

 Los pronósticos SIEMPRE estarán errados.  Por lo tanto, es importante sacar el máximo provecho de los errores del pronóstico, a través de la intervención humana.  Es primordial distinguir entre los pronósticos estadísticos que siguen la TENDENCIA de la demanda, y los verdaderos pronósticos de DEMANDA que estiman los límites de las demandas futuras con cierto nivel de confianza especificado por el usuario.

Es fundamental utilizar un sistema de pronósticos acorde con el patrón de demanda. Es un error muy común en la práctica, por ejemplo, aplicar un sistema de pronósticos de promedio móvil simple a un patrón de demanda creciente o decreciente.

Elementos de tiempo de un sistema de pronósticos

 El período base del pronóstico  El horizonte del pronóstico  El intervalo del pronóstico

Normalmente, la actualización del pronóstico (intervalo) coincide con el período base del mismo


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TEMA Fuentes de imprecisión de los pronósticos

PRINCIPALES APLICACIONES  Datos poco confiables  Utilización de datos de ventas en lugar de demanda  Sesgos (modelo equivocado para el patrón de demanda o demasiada influencia subjetiva en el pronóstico)  Poca velocidad de respuesta al cambio (Valor alto de N en promedio móvil o valor bajo de la constante de suavización  en suavización exponencial simple y doble)  Comportamiento de los proveedores (o del sistema de producción)  Selección del período base del pronóstico  La negación de los sistemas de pronósticos y la resistencia al cambio de las personas  La falta de información de hechos importantes para el pronóstico, como en el caso de promociones y campañas de ventas  El efecto látigo en cadenas de abastecimiento

OBSERVACIONES  Se sugiere analizar a fondo cada posible fuente de imprecisión del sistema de pronósticos y tratar de eliminarla o minimizarla.

Formas de medir los errores del pronóstico para UN SOLO PERÍODO

 Error del pronóstico = Demanda real  Pronóstico de demanda (generalmente hecho un período antes)  Error absoluto = Valor absoluto del error del pronóstico  Error cuadrático = Cuadrado del error del pronóstico  Error porcentual (1) = Valor absoluto de (Error del pronóstico / Demanda)  Error porcentual (2) = Valor absoluto de (Error del pronóstico / Pronóstico)

Se debe ser cuidadoso en los casos de demandas erráticas o de promedios de demanda cercanos a cero con la medida porcentual del error de pronóstico, por posible inestabilidad numérica, ya que se estaría dividiendo por valores cercanos a cero.

Formas de medir los errores del pronóstico en forma AGREGADA

 MAD = DESVIACIÓN ABSOLUTA MEDIA (MEAN ABSOLUTE DEVIATION) = Promedio de los errores absolutos sobre un número de períodos definido por el usuario

 Se sugiere tomar al menos el 40% de la historia para calcular la MAD ó el ECM.  Un sistema de pronósticos se comporta mejor entre menor sea la MAD, el ECM o la MAPE. (Se puede utilizar uno u otro. Sin embargo, se sugiere utilizar el ECM, a menos que la normalidad de los errores del pronóstico esté garantizada).  La MAPE es muy utilizada en la industria por los planeadores de demanda.

 ECM = ERROR CUADRÁTICO MEDIO (MEAN SQUARE ERROR) = Promedio de los errores cuadráticos sobre un número de períodos definido por el usuario  MAPE = DESVIACIÓN ABSOLUTA PORCENTUAL MEDIA (MEAN ABSOLUTE PERCENTAGE ERROR) = Promedio de los errores porcentuales sobre un número de períodos definido por el usuario (Pueden ser referidos a la demanda observada o al pronóstico)


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TEMA Selección del sistema de pronósticos y simulación de pronósticos

PRINCIPALES APLICACIONES  Si se dispone de suficientes datos de demanda, la historia se divide en dos partes: Una parte se usa para INICIALIZAR el sistema de pronósticos y la otra parte para SIMULAR los pronósticos y observar cuál hubiera sido su comportamiento si dicho sistema se hubiere implementado en ese momento. Esto es válido para cualquier sistema de pronósticos que se utilice.  A continuación se debe encontrar el valor o valores óptimos de los parámetros del sistema de pronósticos (por ejemplo, el Nópt en promedio móvil y el ópt en suavización exponencial).  Una vez se seleccione el sistema de pronósticos, se puede utilizar en tiempo real y se le debe hacer un seguimiento continuo para la posible reoptimización de parámetros y/o el cambio de modelo si la demanda cambia su patrón de comportamiento.

OBSERVACIONES Se sugiere utilizar el 60% de la historia para inicializar el pronóstico y el 40% restante para simular. Por ejemplo, si se dispone de 3 años de demanda mensual, entonces se pueden tomar 0.6 × 36 = 22 datos mensuales para inicialización y 14 datos mensuales para simulación.

SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE PROMEDIO MÓVIL

 Aplicable a patrones de demanda perpetua ó uniforme  El pronóstico estadístico se calcula como el promedio de los últimos N datos de demanda  Entre más pequeño sea N, el sistema responde más rápidamente a posibles cambios de demanda, pero el error del pronóstico puede aumentar.

Se recomienda hallar el N óptimo para cada ítem, variando N entre 6 y 20 períodos.

SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL SIMPLE

 Aplicable a patrones de demanda perpetua ó uniforme  El pronóstico estadístico se calcula como  veces la demanda del último período + (1  ) veces el pronóstico del período anterior  Entre mayor sea , el sistema responde más rápidamente a posibles cambios de demanda, pero el error del pronóstico puede aumentar.

Se recomienda hallar el  óptimo para cada ítem, variando  entre 0.01 y 0.30.

SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DOBLE

 Aplicable a patrones de demanda con tendencia (creciente ó decreciente)  El pronóstico estadístico se calcula con base en dos parámetros inicialmente estimados por medio de regresión lineal  Entre mayor sea , el sistema responde más rápidamente a posibles cambios de demanda, pero el error del pronóstico puede aumentar.

 Se recomienda hallar el  óptimo para cada ítem, variando  entre 0.01 y 0.30.  En algunos textos este método se presenta con dos constantes de suavización, lo que lo hace un poco más complejo de manejar.


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TEMA SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE WINTERS (Multiplicativo ó Aditivo)

PRINCIPALES APLICACIONES  Aplicable a patrones de demanda estacional con o sin tendencia  El pronóstico estadístico se calcula con base en tres parámetros inicialmente estimados a partir de datos históricos  En este caso el sistema utiliza tres constantes de suavización, ,  y .

OBSERVACIONES Las tres constantes de suavización pueden variar entre 0 y 1. Si se va a utilizar el solver de Excel™ para hallar los valores óptimos de estas constantes, deben probarse varios puntos de partida para tratar de determinar el óptimo global.

SISTEMA DE PRONÓSTICOS DE CROSTON

 Aplicable a patrones de demanda errática ó intermitente  El pronóstico estadístico se calcula con base en la estimación del valor esperado del número de períodos entre ocurrencias de demanda y el valor suavizado de los picos de demanda  En este caso el sistema utiliza una constante de suavización, .

Se recomienda hallar el  óptimo para cada ítem con demanda errática, variando  entre 0 y 1. Este método puede funcionar mejor que los demás métodos para demandas erráticas e intermitentes.

SISTEMA DE PRONÓSTICOS ARIMA

 Aplicables a demandas altamente correlacionadas

Puede explotar correlaciones entre demandas, si éstas existen, para mejorar los pronósticos. Su desventaja radica en el gran número de datos necesarios y en la necesidad de utilizar software especializado para su implementación.

MÉTODOS DE PRONÓSTICOS AUTOADAPTIVOS

 Aplicables a demandas con tendencia cambiante o con cambios bruscos de tendencia  En cada período se modifica la constante de suavización , haciéndola igual a la señal de rastreo, lo cual puede hacer al pronóstico más responsivo. Pueden existir diferentes versiones de estos sistemas (Ver ―Señales de Rastreo‖ más adelante)

No han demostrado ser superiores a los métodos tradicionales donde se mantiene el valor de la constante de suavización  estable durante cierto número de períodos y luego se reoptimiza.

COMBINACIONES DE PRONÓSTICOS

Se ha encontrado que la combinación de pronósticos, con base en, por ejemplo, el promedio simple de varios pronósticos obtenidos de diversos sistemas adecuados para el caso bajo estudio, se comporta mejor que cada uno de los sistemas en forma individual. Es una alternativa viable y muy poderosa.

Se pueden explorar diversos tipos de combinación, como por ejemplo, la combinación lineal convexa. Los parámetros de cada método que se combine ya deberían ser los óptimos.

PRONÓSTICOS DE DEMANDA DE ÍTEMS NUEVOS

Este es uno de los temas más complejos. He encontrado que el sistema de promedio móvil progresivo, el cual asume demanda de Poisson, se comporta satisfactoriamente en el caso de medicamentos nuevos (Sección 3.8.2, Capítulo 3).

Dentro de los ítems nuevos se clasifican los productos de corto ciclo de vida y las promociones.


TEMA CÁLCULO DE INVENTARIOS DE SEGURIDAD (IS)

PRINCIPALES APLICACIONES  Dependen del sistema de control de inventarios utilizado (continuo o periódico).  Se pueden calcular mediante las siguientes expresiones (tiempo de reposición constante):

IS  kˆ L  kˆ1 L [Sistema ( s, Q)] IS  kˆ R  L  kˆ1 R  L [Sistema ( R, S )]

ESTIMACIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR E INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DEMANDA

 La desviación estándar de los errores del pronóstico puede estimarse a partir de la MAD ó del ECM, a través de las siguientes expresiones:

ˆ1  1.2533  MAD (Asume normalidad ) ˆ1  ECM (Cualquier distribución) 

Se puede generar un intervalo de confianza de la demanda a través de la expresión:

Intervalo  (d  L)  kˆ1 L , donde: d = Pronóstico estadístico de demanda periódica L = Número de períodos para los cuales se desea generar el intervalo de confianza k = Factor de seguridad que depende del nivel de confianza con que se desee el intervalo

602

OBSERVACIONES  Si el tiempo de reposición es aleatorio, deben utilizarse otras expresiones (Ver Sección 5.8 del Capítulo 5).  Para la suavización exponencial doble se cuenta con una fórmula más precisa para estimar a L, la cual depende de . (Ver pronósticos acumulados más adelante).  Los valores de k pueden escogerse de acuerdo con la distribución normal, a saber (recuerde que debe tener en cuenta si el intervalo de confianza es de dos ó de un solo lado): Nivel de confianza (%) 90.0 95.0 97.5 99.0 99.5 99.9

k 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.10

 No se recomiendan valores de k inferiores a 1.65. Este factor puede variar de un ítem a otro.

 El intervalo de confianza se puede definir como el PRONÓSTICO DE DEMANDA y puede utilizarse para planeación. ERRORES SUAVIZADOS Y SEÑALES DE RASTREO

 Otra forma de estimar el error del pronóstico, la MAD y el ECM es a través de los errores suavizados, los cuales se actualizan en cada intervalo del pronóstico.  Así, se puede entonces estimar la desviación estándar dinámicamente.  La señal de rastreo le permite al usuario identificar cuándo el sistema de pronósticos está fallando y así establecer los correctivos del caso (reoptimización ó redefinición de la constante de suavización ).  Cuando dos o más señales de rastreo sucesivas sobrepasan un valor límite establecido por el usuario (0.4 - 0.6), entonces debe re-optimizarse ó aumentarse el valor de  (Ver Sección 3.10.2, Capítulo 3).

 Es necesario estimar valores de inicio de los errores suavizados, principalmente a través de regresión lineal.  En los métodos autoadaptivos, la señal de rastreo se hace igual a la constante de suavización  en cada período. Pueden existir otras formas de definir la constante de suavización en cada período.


603

TEMA CONTROL DE DATOS ATÍPICOS (OUTLIERS)

PRINCIPALES APLICACIONES  Un dato atípico de demanda (outlier) se presenta cuando ésta es extremadamente grande o extremadamente pequeña comparada con su promedio histórico.  No es fácil identificar un dato atípico de demanda, ya que debe definirse qué es ―extremadamente grande ó pequeño‖. Existe, sin embargo, un método estadístico para hacerlo, bien sea si el outlier aparece en los datos de inicialización del pronóstico o en el pronóstico que se hace en tiempo real (Ver Sección 3.10.3, Capítulo 3).

OBSERVACIONES  Cuando se identifica un dato atípico, no debería considerarse para el pronóstico y debería reemplazarse, por ejemplo, por el promedio histórico de demanda que venía presentándose.  Los outliers no deben borrarse automáticamente, ya que podrían representar verdaderos cambios de tendencia de demanda. Deben analizarse a fondo en forma individual.

PRONÓSTICOS ACUMULADOS

 Cuando se requiere estimar la demanda para L períodos adelante, deberían utilizarse las fórmulas de pronósticos acumulados (Ver problema No. 3 de los Ejercicios 3.6, Capítulo 3).  La desviación estándar de los pronósticos acumulados aumenta a medida que el horizonte del pronóstico aumenta y para valores de  grandes (cercanos a 0.30). Recuerde que los pronósticos para horizontes de tiempo largos siempre presentan una mayor variabilidad.  Para valores de  pequeños (menores ó iguales que 0.1), la fórmula del pronóstico acumulado es equivalente a la fórmula presentada arriba para la estimación del intervalo de confianza de la demanda.  Es recomendable actualizar dinámicamente los pronósticos acumulados a medida que nuevos datos de demanda se van conociendo.

 Las fórmulas que se presentan en el texto son válidas para sistemas de pronósticos de suavización exponencial doble.  Para promedio móvil y suavización simple, el pronóstico para cualquier período adelante es igual al pronóstico para un período adelante y, por lo tanto, el pronóstico acumulado es el producto de éste por el número de períodos que se quiera pronosticar. Esto es válido debido al patrón de demanda estable subyacente.


TEMA COMENTARIOS ADICIONALES

PRINCIPALES APLICACIONES  Se puede utilizar un modelo de mayor nivel, por ejemplo, el método multiplicativo de Winters para un patrón de demanda de menor nivel, como por ejemplo un patrón de demanda estable, ya que el modelo subyacente del primer método es más general e incluye al modelo subyacente del segundo método como un caso particular. Sin embargo, de ser posible, se recomienda utilizar el sistema de pronósticos preciso que mejor se adapte al patrón de demanda, ya que se ha encontrado que tiene un mejor desempeño.  Para el caso de demanda combinada, por ejemplo estable para unos períodos y estacional para otros, se recomienda utilizar dos sistemas de pronósticos de demanda independiente, adaptados a su patrón de demanda respectivo.  El intervalo de confianza de la demanda puede determinarse en cada período T en forma dinámica, con base en los errores suavizados. En este caso se podría utilizar la fórmula:

Intervalo(T )  (d  L)  k ECMS (T ) L , donde ECMS(T) es el error cuadrático medio suavizado correspondiente al período T. Recuerde que k debe seleccionarse adecuadamente teniendo en cuenta que se trata de un intervalo de confianza de dos lados.

604

OBSERVACIONES Si el patrón combina demanda estable con picos periódicos (por ejemplo un pico estacional que solo ocurre en el mes de diciembre), se pueden independizar los dos patrones y utilizar suavización exponencial doble para cada uno de ellos. Esto podría utilizarse también para el pronóstico de promociones, aunque ellas no ocurran en forma estrictamente estacional.

Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Apéndice C: Páginas web de interés en logística y cadenas de abastecimiento

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APÉNDICE C: Páginas web de interés en logística y cadenas de abastecimiento Algunas páginas web importantes en el área de logística y cadenas de abastecimiento son las siguientes: PÁGINA WEB http://lionhrtpub.com/orms/surveys/Vehicle_Routing/vrss.html

http://www.informs.org/

http://cscmp.org/Default.asp

http://www.iienet2.org/Default.aspx

http://www.mintransporte.gov.co/

http://www.proexport.gov.co/

DESCRIPCIÓN Acceso al último review de software de ruteo de INFORMS de Febrero/2008. Página web de INFORMS, especial para Investigación de Operaciones aplicada. Página del CSCMP (Council of Supply Chain Management Professionals), instituto de logística y cadenas de abastecimiento que reúne a miles de miembros a nivel mundial. Página web del Institute of Industrial Engineers de Estados Unidos. Página del Ministerio de Transporte de Colombia. Contiene varios estudios, decretos, banco de tesis, diversas estadísticas del transporte en Colombia, etc. Página web especial para temas sobre exportaciones desde Colombia y muchos otros temas de interés


http://www.scl.gatech.edu/

http://www.trendeoccidente.com/index.php

http://www.mintransporte.gov.co/portal_servicios/proyecto_yuma/home.asp

http://www.sprbun.com/

http://flamenco.puertocartagena.com/

http://www.sprb.com.co/

http://www.spsm.com.co/

http://www.iccwbo.org/incoterms/id3045/index.html

http://www.andi.com.co

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Página web del Supply Chain & Logistics Institute de Georgia Tech, uno de los más reconocidos del mundo. Página web del Tren de Occidente, donde se puede mirar el futuro del transporte férreo en el Valle del Cauca Página web del proyecto de navegabilidad del Río Magdalena Página web de la Sociedad Regional Portuaria de Buenaventura Página web de la Sociedad Regional Portuaria de Cartagena Página web de la Sociedad Regional Portuaria de Barranquilla Página web de la Sociedad Regional Portuaria de Santa Marta Página web del International Chamber of Commerce (Cámara Internacional de Comercio), donde se puede consultar todo lo referente a los INCOTERMS Página web de la Asociación Nacional de Empresarios de Colombia (consulta de


documentos en general y memorias de los Encuentros de Gerentes de Logística, organizados por la Seccional del Valle del Cauca)

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Planeación, Optimización y Administración de Cadenas de Abastecimiento. Bibliografía

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